Contents

1. مقدمة

شهدت السنوات الأخيرة نشاطًا واسعًا في تعديل نظريات الكوهومولوجيا المعممة لإدخال الالتواءات والتصقيلات الهندسية، وذلك لاستيعاب التشاكلات الذاتية وإدراج المعطيات الهندسية. وقد أُسست نظريات الكوهومولوجيا التفاضلية المعممة الملتوية على مستوى بديهي عام [BN14]. غير أن صياغة هذه النظريات صياغة صريحة ليست، في الممارسة، مهمة مباشرة. فقد تبيّن أن التواء أبسط حالة من نظريات الكوهومولوجيا التفاضلية، وهي كوهومولوجيا ديلين، مسألة غير بديهية [GS17a]، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بإنشاءات مهمة في الهندسة الجبرية، ولا سيما أخذ المعاملات في تنويعات بُنى هودج المختلطة (انظر [CH89][Ha15]). وحتى على المستوى الطوبولوجي، ومع أن التواء نظريات الكوهومولوجيا المعممة مؤسس بديهيًا [MS06][ABGHR14][ABG10]، فإن عرض الإنشاءات الصريحة يتطلب عملًا كبيرًا (انظر [ABG10][SW15][LSW16] لأمثلة حديثة). وغاية هذه الورقة هي تعميم الالتواءات من الدرجة الأولى لكوهومولوجيا ديلين في [GS17a] لتشمل الالتواءات ذات الدرجات الأعلى. وستظهر هذه الالتواءات في صورة جربات أعلى، أو حزم n، مزودة باتصالات (انظر [FSSt12][SSS12][Sc13][FSS13][FSS15a] للإنشاءات والتطبيقات ذات الصلة).

كوهومولوجيا ديلين (انظر [De71][Be85][Gi84][Ja88][EV88][Ga97]) هي تصقيل تفاضلي للكوهومولوجيا العادي، أي التكاملية. وبذلك فلها عدة تحقيقات (انظر [De71][CS85][Ga97][Br93][DL05][HS05][BKS10] [BB14][Sc13])، والتي (من المتوقع أن تكون) مكافئة (راجع [SS08][BS10]). لننظر في حزمة معقدات السلاسل المرتبطة بها الأشكال التفاضلية ذات القيم الحقيقية 1 حيث نضع الأشكال التفاضلية (n− 1) في الدرجة 0 والدوال ذات القيم الصحيحة الثابتة محليًا في درجة n. إذا أُعطي متشعب أملس M، فإن مجموعة كوهومولوجيا ديلين من فتُعرَّف كوهومولوجيا ديلين من الدرجة n بأنها مجموعة كوهومولوجيا الحزم الفائقة 2 ⁿ (M;ℤ) := H⁰(M;𝒟(n)). تسمح حلول تشيك بإجراء حساب صريح لهذه المجموعات. إذا كان {U_α}غلافًا مفتوحًا جيدًا لـ M، فيمكن للمرء تشكيله المجمع المزدوج Čech-ديلين (راجع [BT82][Br93])

(1.1)

حيث يشير U_α0α1…αk إلى التقاطع k-ي U_α0 ∩U_α1 ∩∩U_αk. مع d وδ تفاضلا دي رهم وČech، على التوالي، تعمل على عناصر الدرجة p، المشغل الإجمالي في المجمع المزدوج هو مشغل Čech-ديلين D := d + (−1)^pδ. يمكن بعد ذلك التعرف على مجموعة الكوهومولوجيا H⁰(M;𝒟(n)) مجموعة العناصر القطرية العناصر η_k,k في المجمع المزدوج والتي تكون D-مغلقة، Dη_k,k = 0، بترديد العناصر التي تكون D-تامّة.

على مستوى أكثر عمومية، ومن وجهة نظر النظرية المثلية، في ضوء الطيف E تتكون البيانات الأساسية للنظرية التفاضلية المقابلة من التالية (انظر [Bu12, Example 4.49]). دع ℋ يكون عامل إيلنبرغ-ماكلين ويأخذ A := π_∗E ⊗ℝ المعاملات "المحققة" للنظرية. اجعل c : E →ℋ(A) هي التطبيق المحدد بشكل فريد حتى الهوموتوبي بحيث يحث التطبيق على "تحقيق" المعاملات π_∗(E) → π_∗(A)π_∗(E) ⊗ℝ, xx ⊗ 1. في الواقع، بالنسبة لـE = ℋ(ℤ)، طيف إيلنبرغ-ماكلين المتكامل، A = ℤ ⊗ℝℝ وc : ℋ(ℤ) →ℋ(ℝ) يتم تحديده بشكل فريد بواسطة ℤ →ℝℤ ⊗ℝ، xx ⊗ 1. تحدد هذه البيانات امتدادًا تفاضليًا لـ ℋℤ، والذي يتم إدخاله الدرجة n تأخذ النموذج (Σⁿℋℤ,ℝ,c). تطبيق وظيفة إيلنبرغ-ماكلين ℋ على مجمع ديلين 𝒟(n) من التعبير (1) يعطي معادلة طبيعية للتفاضل الأطياف (انظر [Bu12])

ماذا يعني تحريف كوهومولوجيا ديلين؟ على المستوى العملي، يعتبر كوهومولوجيا ديلين كذلك مزيج من كوهومولوجيا دي رهم وكوهومولوجيا تشيك. يمكن للمرء بسذاجة النظر في الالتواءات في كوهومولوجيا دي رهم بعد جعلها دورية، وكذلك في كوهومولوجيا تشيك، كلٌّ على حدة. الآن، يعمل مشغل Čech-ديلين D = d + (−1)^pδ على Čech-ديلين المجمع المزدوج عبارة عن مزيج من تفاضل دي رهم d، الذي يعمل في اتجاه دي رهم المعقد، وتفاضل تشيك δ، التي تعمل في اتجاه Čech معقدة (انظر مرة أخرى [BT82][Br93] للحصول على معلومات موسعة المناقشات). يمكن للمرء بعد ذلك النظر في حالتين (أو مرحلتين) في محاولة القيام بذلك قم بتحريف العامل D: أولاً، إضافة شكل تفاضلي مغلق H، أي التعديل جزء الأشكال فقط، مما يؤدي إلى التواء تفاضل دي رهم d ↝ d_H. ثانيًا، إضافة فئة الكوهومولوجيا التفاضلية ، أي. تعديل كلا الجزأين من إجمالي Čech-دي رهم التفاضلي، أي d ↝ d_H و δ ↝ δ_B حيث تكون (H,B) مناسبة (دي رهم، Čech) - المكونات من . وسوف نرى أن الأمر لن يسير على هذا النحو تمامًا؛ ومع ذلك، فقد تبين أن هذا بمثابة إرشاد جيد أن نأخذ في الاعتبار. على النقيض من تفاضل دي رهم، فإن التواء الترس التفاضلي Čech سيكون معقدة للغاية بسبب بيانات الانتقال المحلية الأعلى والأعلى. في الواقع، تُستعمل كوهومولوجيا Čech-دي رهم، ملتويةً بشكل من الدرجة الثالثة (دون تغيير يُستخدم اتجاه تشيك) في [GT10] لوصف نموذج محدود الأبعاد من نظرية K الملتوية. لاحظ أنه يمكن وصف كوهومولوجيا دي رهم الملتوي للفضاء عبر الهوموتوبي غير الملتوي للرصة المقابل [BSS07].

ما هي درجات الالتواءات H أو ؟ تنشأ التواءات معقد ديلين بشكل طبيعي في الدرجة الأولى [GS17a]. لاحظ أنه بالنسبة للنظرية الطوبولوجية الأساسية، هناك تمثيل للأساسيات مجموعة π₁(X) من فضاء X على Aut(ℤ)ℤ∕2 يعطي ℤ بنية الوحدة النمطية فوق حلقة المجموعة ℤ[π₁(X)]، والذي يتم استخدامه في [BFGM03] لوصف π₁(X) - الكوهومولوجيا التكاملية الملتوي. من ناحية أخرى، يمكن للمرء أن يحرف مجمع دي رهم بأشكال تفاضلية من أي درجة غريبة، ليس فقط الدرجة الأولى (انظر [RW86][BCMMS02][Te04][Sa09][Sa10][MW11]). للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا يعطي عدم توافق متأصل في كوهومولوجيا دي رهم الملتوي والكوهومولوجيا التكاملية الملتوي. ومع ذلك، إذا ألقى المرء نظرة فاحصة، يدرك المرء أن الكوهومولوجيا الملتوية لـ دي رهم يتعلق حقًا ℤ∕2 بدرجات دورية من رهم الكوهومولوجيا. وبالتالي، لا يتوقع المرء التوافق مع الكوهومولوجيا التكاملية، بل مع دوري الكوهومولوجيا التكاملية. ومن هنا فإننا نعتبر الالتواءات في النظرية الأخيرة في المقطع 2. وهذا يمهد بعد ذلك جزءًا من الطريق أمامنا للتوجه نحو الملتوية العامة كوهومولوجيا ديلين. ومع ذلك، كما كان كلا المكونين، أي دي رهم والكوهومولوجيا التكاملية بشكل دوري، نحدد نسخة دورية من كوهومولوجيا ديلين في المقطع 3. نوصّف خصائصه الرئيسية من خلال علم الحزم المشترك والأطياف التفاضلية، بما في ذلك البنية الحلقية الناشئة عن جداء الكأس ديلين-بيلنسون [De71][Be85] (راجع [FSS13][FSS15a]). مجموعات الكوهومولوجيا التفاضلية التكاملية الدورية (X;ℤ[u,u⁻¹]) دُرست من وجهة نظر نظرية الفهرس لفترة وجيزة في [Lo02][FL10, Sec. 8.4].

بعد تحديد نقطة البداية المناسبة لتحريف كوهومولوجيا ديلين، وهي النسخة الدورية، نناقش الالتواءات في كوهومولوجيا ديلين الدوري في المقطع 4. نتناول التواء كوهومولوجيا ديلين الدوري باستخدام الحزم المسبقة المبسطة و رصات ملساء [FSSt12][FSS13][HQ15][FSS15a][Sc13]، كما فعلنا في [GS17a]. هذا النهج مناسب جدًا للالتواءات الأعلى و يسمح باستخدام الآلات الجبرية القوية. وسوف نظهر أن الالتواءات في الواقع صقل الالتواءات في كل من الكوهومولوجيا التكاملية ومجمع دي رهم. سوف تنشأ الرصات الملساء بشكل طبيعي في كوهومولوجيا ديلين الدوري. تماما كما نستطيع تحريف الكوهومولوجيا التكاملية الدورية بواسطة دورات مفردة من درجة فردية (المقطع 2)، سنرى أن كوهومولوجيا ديلين الدوري يمكن تحريفه بجربات أعلى من الدرجة الفردية (المقطع 4). إن ظهور الجربات يقودنا بشكل طبيعي إلى عالم السلاسة الرصات، وسوف نجد أنه من المفيد أن نتذكر بعض الإنشاءات في هذا الإعداد (راجع [Br93][FSSt12][FSS13][FSS15a]). وهذا يتطلب منا أن نفهم بالتفصيل بالضبط ما نعنيه بتحريف الدورية نظرية الكوهومولوجيا التفاضلية. نعطي توصيف الالتواءات عبر مجموعات من الحزم الأعلى مزودة باتصالات، ولكن مع الحفاظ على التقنية المسائل التقنية عند حد أدنى.

كما نوقش أعلاه، يمكننا تحريف كوهومولوجيا ديلين عن طريق الجربات ذات الدرجة الفردية. إنه أمر مثير للاهتمام لنرى أين تظهر بيانات الجرب في تعريف النظرية الملتوية. في الواقع، كما لوحظ في [BN14]، العنصر الحاسم في تعريف النظريات التفاضلية الملتوية هو التناظرية من نظرية التماثل دي رهم للكوهومولوجيا الملتوي. وفي الحالة غير الملتوية، تذكر أن الحزمة الثابتة محليًا ℝ تقبل دقة غير دورية عبر مجمع دي رهم ومن الواضح أن نظرية دي رهم هي نتيجة طبيعية لهذه الحقيقة. في الواقع، على نحو سلس المتشعب M، يمكن حساب كوهومولوجيا الحزمة H^∗(M,ℝ) كلاهما كعلم مشترك Č وعبر هذا القرار. التماثل بين ثم يتم استعادة الكوهومولوجيا المفرد وČ. نظرية دي رهم الكلاسيكية.

تمامًا كما تحتوي نظريات الكوهومولوجيا الضربية على مساحات طوبولوجية من الالتواءات (فضاءات بيكارد) [MQRT77] [MS06][ABGHR14]، التحسينات التفاضلية لمثل هذه النظريات تحتوي على رصات ملساء من الالتواءات. في الواقع، رصة من الالتواءات لأي نظرية كوهومولوجيا مصقولة تفاضليًا = (ℛ,c,A) تم تقديمه في [BN14]. تم تعريف هذا من خلال الانسحاب 3 (في تدوين [GS17b]) أين

• Pic_ℛ^top هو بيكارد العادي ∞-غروبويد من الالتواءات للطيف الدائري ℛ، مدمجة كرصة ملساء ثابتة،
• Pic_ℛ^dR عبارة عن رصة بيكارد لـ حزم من أطياف الوحدة القابلة للعكس فوق المنتج المحطم ℛ∧ℋℝ (مضمن كحزمة ثابتة من الأطياف)، و
• Pic_ℛ^form هو الرصة الملساء الذي (بعد التقييم على متشعب أملس M) يأتي كعصب المجموعة التي تكون كائناتها ضعيفة وحدات ثابتة محليًا ومسطحة وقابلة للعكس على Ω^∗(−;A)|_M (راجع [BN14] للحصول على التفاصيل).

يمكن تحديد عنصر السحب الخلفي (1) بثلاثية = (ℛ_τ,t,ℒ), حيث ℛ_τ هي نظرية أساسية ملتوية للكوهومولوجيا مع التواء طوبولوجي τ، وℒوحدة قابلة للعكس Ω^∗(−;A) وt تكافؤ

عرض نظرية دي رهم الملتوية. سيكون هذا الرصة مهمًا في تحديد الالتواءات في كوهومولوجيا ديلين الدوري في المقطع 4.

الوضع ملخص في الجداول التالية. الأول يلتقط الحالة غير الملتوية

في [GS17b] سلطنا الضوء على أوجه التشابه الوثيقة بين الأطياف الملتوية وحزم الخط، في تلك الأطياف التفاضلية الملتوية ترتبط ارتباطًا وثيقًا حزم من الأطياف مجهزة باتصال مسطح. وهنا نرغب في الاستبدال المفاهيم الواردة في الجدول أعلاه مع نظائرها الملتوية على النحو التالي.

ترتبط النظريات التي نعتبرها بشكل تخطيطي على النحو التالي حيث يمثل الصف العلوي والصف السفلي والعمود الأيسر والعمود الأيمن النظريات الهندسية، النظريات الطوبولوجية، النظريات الدورية، و النظريات غير الدورية، على التوالي. يتم تلخيص العلاقات بين المساحات المقابلة للالتواءات بدورها في المخطط هنا |⋅|هو تحقيق هندسي، مما يقلل من النظرية الهندسية نزولاً إلى النظرية الطوبولوجية المقابلة، وB(ℤ∕2)_∇ هو رصة من الالتواءات لـ كوهومولوجيا ديلين [GS17a]. لتحريف النظريات المعروضة في المخطط الأول (1) يمكن للمرء أن يأخذ بعين الاعتبار التطبيقات من المتشعب M إلى فضاء الالتواءات المقابل المخطط الثاني (1) .

تم وصف ممثلات تشيك الصريحة لكوهومولوجيا ديلين في [Ga97][BM94][BM96][Go06]. بينما نحن لا نفعل هذا بشكل عام في الحالة الملتوية، نوضح كيف تظهر بيانات الدورة المحورية Č كجزء من بيانات التتفيه لكوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي في ملاحظة 6. يتضمن هذا التبسيط من نوع تشيرن سيمونز من Čech-ديلين كوسلسلات، معبأة بإيجاز كما في [GS17b]. مناقشات مستفيضة حول مثل هذه التتفيهات المتعلقة بـ تشيرن سيمونز يتم تقديم النظرية في [BM94][BM96][Go01][Fr02][CJMSW05][FSSt12][Wa13] [GPT13][FSS14][Sa14][FSS15a][FSS15b][Th15]. في المقابل، فإن الممثلات الدورية الناشئة عن معقدات السلاسل سيتضمن نظامًا محليًا أعلى مجردًا ناتجًا عن الالتواءات الدورية الكوهومولوجيا التكاملية. وفي حين أن هذا ممكن التنفيذ، فإنه لا يجعل الوصف أي أكثر شفافية مقارنة بالوصف عبر الأطياف؛ لذلك نحن لا نعتبرها في هذه الورقة.

الاستفادة من العام الإنشاءات في [GS16b][GS17b]، ثم ندرس التسلسل الطيفي لعطية-هرزبروخ الكوهومولوجيا التكاملية الدوري الملتوي وكذلك الملتوي كوهومولوجيا ديلين الدوري في المقطع 5. نحن توفير الإنشاءات والتوصيفات الواضحة في المقطع 5.1 ثم قم بتوضيح العمليات الحسابية عبر الأمثلة في المقطع 5.2.

نلاحظ أن هناك طرقًا أخرى لدراسة ثنائي Čech-دي رهم معقد. وصف صريح للدورات الحلقية عبر كوهومولوجيا المؤثر الكلي يتم توفير المشغل D للمجمع المزدوج في [Pi05]. إن استخدام فكرة سلسلة سلسلة مشتركة لـ تشيغر-سيمونز يثير [CS85]، وهو أمر متماثل آلة لدراسة الثوابت الهندسية الثانوية تسمى مجمعات الشرارة الموصوفة في [HLZ03] [HL06]. يبدو أن هذا هو الإعداد المناسب للالتواء التفاضلي الكوهومولوجيا في تجسده كشخصيات تفاضلية. وبينما لا نتناول هذا الأمر، فإننا نتوقع وأن النسخ الملتوية الناتجة ستكون متكافئة؛ نهجنا يضع التعقيد في معاملات الكوهومولوجيا الفائقة في حين أن هذا النهج ذو النكهة الأكثر تماثلًا سيكون كذلك وضعه في الدورات، على سبيل المثال، عن طريق المجمعات شرارة.

2. الكوهومولوجيا التكاملية الدورية الملتوي

في هذا المقطع، نقوم بوصف الكوهومولوجيا الدورية الملتوي بكل من الحقيقي والمتكامل معاملات. يؤدي هذا إلى تعميم الالتواءات في الكوهومولوجيا التكاملية [MQRT77]، الموصوف أيضًا في المصطلحات الفئوية الحديثة في [ABG10] والهندسية في [Fr01]. وستكون هذه مقدمة لل نظرية دي رهم اللازمة لتحديد كوهومولوجيا ديلين الملتوي. طوال ما تبقى في هذه الورقة، سوف نتبع ∞- المعالجة الفئوية لنظريات الكوهومولوجيا الملتوية [ABG10][ABGHR14][SW15] وتحسيناتها التفاضلية [BN14][GS17b].

2.1. الالتواءات عبر حزم من الأطياف. نقطة البداية للكوهومولوجيا التكاملية الدورية هي الجبر التفاضلي المتدرج (DGA) ℤ[u,u⁻¹]، مجهزة التفاضلية تافهة. هناك عامل من فئة المجمعات المتسلسلة غير المحدودة إلى فئة الأطياف، يسمى عامل إيلينبيرج-ماكلين. تم تعريف هذا المعامل في [Sh07]، حيث كان يظهر لإظهار التكافؤ بين ℋℤ - أطياف الوحدة النمطية والمتدرجة تفاضليًا ℤ - الجبر. تطبيق ℋ على ℤ[u,u⁻¹] نحصل على الطيف ℋℤ[u,u⁻¹] الذي يمثل الكوهومولوجيا التكاملية الدورية، بمعنى ذلك حيث الجانب الأيمن هو الجبر المتدرج الذي تكون عناصره متعددة حدود لوران الرسمية المعاملات في H^∗(X;ℤ) متدرجة حسب الدرجة المتجانسة. يتم إحداث بنية الحلقة على اليمين من بنية منتج الكأس على H^∗(X;ℤ)، بينما على اليسار يتم استخلاصها من الجبر الهيكل على ℤ[u,u⁻¹]. هذه النظرية بطبيعة الحال متدرجة ℤ∕2، حيث أن لدينا تشابهات أساسية H^∗(X;ℤ[u,u⁻¹])H^∗+2(X;ℤ[u,u⁻¹]). لهذا السبب، عادةً ما نشير إلى درجة الفئة إما زوجي أو فردي.

ملاحظة 1 (عمل الوحدات على الكوهومولوجيا التكاملية الدورية). نظرًا لكونه ℋℤ - طيف الوحدة النمطية، فإن الطيف ℋℤ[u,u⁻¹] يتلقى إجراءً بواسطة ℋℤ. يتجلى هذا الإجراء ببساطة من خلال عمل جداء الكأس في الكوهومولوجيا التكاملية. وبشكل أكثر دقة، بالنظر إلى فئة كوهومولوجيا h ∈ H^∗(X;ℤ)، يمكننا العمل على كثيرة حدود لوران متجانسة الدرجة k، a = + a_k+2u⁻¹ + a_k + a_k−2u¹ + ، عبر

ومع ذلك، لاحظ أنه إذا كان h ذو درجة غريبة فإن الإجراء لن تنشأ من وحدات الطيف ℋℤ[u,u⁻¹]، نظرًا لأن صلاحيات u موزونة بدرجات زوجية. من ناحية أخرى، بالنسبة لفئة الكوهومولوجيا ذات الدرجة المتساوية h، الإجراء بواسطة hu^−deg(h) يحافظ على الدرجة المتجانسة ويؤدي إلى الالتواء من H^∗(X;ℤ[u,u⁻¹]) على X.

ننتقل الآن إلى توصيف فضاء الالتواءات في الكوهومولوجيا التكاملية الدورية، أولها مجموعها فضاء اللفات في الحالة غير الدورية الموصوفة في [GS17a].

قضية 1 (فضاء الالتواءات للكوهومولوجيا التكاملية الدورية). فضاء الالتواءات للكوهومولوجيا التكاملية الدورية هي

البرهان. وسوف نظهر أن لدينا التكافؤ تم توفير الغلاف المتصل بـ ℋℤ[u,u⁻¹] بواسطة ℋℤ[u] وفضاء الحلقة اللانهائية هي صورة دولد-كان ذات التصنيف الإيجابي مجمع ℤ[u]∏ _kℤ[2k]، وهو نموذج لـ∏ _kK(ℤ,2k). نظرًا لأن مجموعة وحدات ℤ هي ℤ∕2{−1,1}، فإننا نرى ذلك GL ₁ (ℋℤ[u,u⁻¹]) كما هو مطلوب، ويعطي الحذف التكافؤ المطلوب. □

ننتقل الآن إلى وصف الالتواءات عبر أطياف الوحدة. بالنسبة للطيف الحلقي ℛ، دعونا نتذكر بيكارد ∞-غروبويد Pic _ℛ^top من [GS17b]، متابعة [BN14]. هذا هو المجموعة اللانهائية التي تكون كائناتها قابلة للعكس ℛ- أطياف الوحدة. المقابلة يتحلل الإدراك الهندسي إلى فئة المساحات مثل

بالنسبة للطيف ℋℤ[u,u⁻¹]، يقدم الاقتراح 1 تطبيق أساسية

يُعطى من خلال التضمين في مكون الهوية لفضاء بيكارد. هذا بالفعل يسمح لنا بتحريف الكوهومولوجيا التكاملية الدوري من خلال أي فئة متكاملة من الدرجة الفردية (ℤ∕2-الصف في الدرجة الأولى).

نود الآن أن نصف أطياف الوحدة الفعلية التي تظهر النظرية الملتوية. تم تقديم إحدى الطرق الأكثر منهجية لوصف أطياف الوحدة الناتجة في [GS17b]. هناك، قمنا بتعريف حزمة أساسية من الأطياف على اللانهاية بيكارد المجموعة التي تعيش في اللانهاية المماس توبوس4 T(𝒮pace) والانسحابات من هذه الحزمة العالمية من خلال تطبيق h : X → Pic_ℛ^top المقدمة حزمة من الأطياف تمثل النظرية الملتوية. وبما أننا نود أن نكون ملموسين قدر الإمكان، و وبالاعتماد على أقل قدر ممكن من الآلات المجردة، نلاحظ أنه في الحالة الحالية هذه الحزمة الغامرًا سوف تتخذ شكلاً بسيطًا نسبيًا؛ انظر التطبيق (2.1) .

نبدأ بوصف فئة مناسبة تعيش فيها مجموعات الأطياف لدينا. ناقل عادي يُسمح للحزم بالعيش في مساحات طوبولوجية نظرًا لأن الألياف نفسها عبارة عن فضاء طوبولوجية. ومع ذلك، فإن الطيف هو تعميم لأنواع معينة من الفضاءات الطوبولوجية، وهي اللانهائية مساحات الحلقة. يُسمح لفضاء الحلقة اللانهائية أن تحتوي على مجموعات متجانسة بدرجات سلبية، وبالتالي، لا يمكن اعتباره في حد ذاته فضاء. كما ذكر أعلاه، الفئة المناسبة التي تتم فيها إنشاءاتنا هي فئة الظل اللانهائي للفضاءات، T(𝒮pace) (راجع الملاحظة 2 أدناه). على غرار الطريقة التي يحدد بها الطيف من preالطيف، لدينا التعاريف التالية و الخصائص.5

تعريف 2 (الأطياف ذات المعلمات (المسبقة)). (i) إن الطيف ذو معلمات فوق X عبارة عن مجموعة من التطبيقات بين الفضاءات p_n : E_n → X، n ∈ ℤ، بالإضافة إلى اختيار المقطع، والتي تأتي مزودة بأشكال مورفيزم Σ_XE_n → E_n+1، التنقل مع المقاطع. علاوة على ذلك، فإن المخطط التالي

مطلوب للتنقل حتى اختيار التكافؤ. العملية Σ_X هي نتيجة عملية الدفع

(ii) طيف ذو معلمات {p_n : E_n → X} حيث التطبيقات المجاورة E_n → Ω_XE_n+1 يتم استدعاء المعادلات الطيف المعلمي.

لاحظ أن الدفعة السابقة Σ_XE_n هي تعميم لـ التعليق المعتاد ΣE_n، والذي ينشأ عن طريق اعتبار X نقطة.

ملاحظة 2 (فئة اللانهاية الظلية للمساحات من الأطياف ذات المعلمات). مع نسيان مستويات الكائن {p_n}، فغالبًا ما نشير إلى طيف ذو معلمات مستوياتها هي p_n : E_n → X، ببساطة عن طريق p : E → X. بالنظر إلى كائنين p : E → X وp^′ : E^′ → X^′ لدينا مجموعة (عادية، غير محددة) من التطبيقات Map(p,p^′)، والتي على وجه الخصوص (عند المستوى صفر) تعطي مجموعة من المخططات التبادلية المتماثلة

البنية الناتجة هي فئة ∞المستقرة، والتي نشير إليها T(𝒮pace). نشير إلى الفئة الفرعية على تلك الأطياف تم تحديد معلماتها على فضاء ثابتة X كـ T(𝒮pace)_X.

الآن بعد أن أصبح لدينا فئة مناسبة من الأطياف ذات المعلمات التي للعمل، يمكننا تحديد حزمة من الأطياف على النحو التالي.

في غياب أي هندسة، تتصرف حزم الأطياف مثل مساحات التغطية أكثر من كونها ملساء حزم ناقلات. ويوضح المثال التالي هذه النقطة.

مثال 1 (حزمة الأطياف فوق الدائرة). دع Z → S¹ يكون الغلاف المنفئة لـ S¹، وينقسم إلى الاتحاد المنفئة Z = ∐ _kW، حيث W هو الغلاف المتصل المصنف بواسطة المجموعة الفرعية 2ℤ ⊂ℤπ₁(S¹). هذا يمكن عرض الغلاف على أنه ℤ-حزمة جزئية من حزمة Möbius المقدمة عن طريق التقييد بالأعداد الصحيحة. عرض S¹ كدائرة الوحدة في المستوى المركب وإزالة النقاط −1 و1 من S¹، نحصل على المجموعات المفتوحة المقابلة U وV ، على التوالي، وتغطي S¹. عبر U وV ، لدينا معادلات

والتي يمكن اختيارها بحيث تعمل دوال الانتقال عن طريق الضرب بـ −1 على الألياف، على سبيل المثال، ϕ_UV (n,x) = (−n,x). تمتد التطبيق −1× : ℤ → ℤ إلى تطبيق −1× : ℋ(ℤ[u,u⁻¹]) → ℋ(ℤ[u,u⁻¹]) بالدرجة. الإلتصاق بهذا الشكل الذاتي يعطي التعريف

حيث i₂ هو الناجم عن التضمين المعتاد في يطبق العامل الثاني والتطبيق العلوية −i₁ الشكل التلقائي −1 ثم يتم تضمينه في العامل الأول. يحدث هذا النهاية المشتركة في الفئة T(𝒮pace). كجزء من بيانات القولون، لدينا تفاهات محلية

تحويل 𝒵 إلى حزمة مقابلة من الأطياف، باستخدام الألياف ℋ(ℤ[u,u⁻¹])، على S¹. تأخذ دوال النقل الشكل ϕ_UV (x,−) = −1، حيث −1 هو الشكل التلقائي لـ الألياف ℋ(ℤ[u,u⁻¹]) الناتجة عن الضرب بواسطة −1.

في المثال 1، كانت التشاكلات الذاتية ϕ_UV (x,−) ذات درجة صفر، بمعنى أنها كانت حقيقية 1- أشكال مورفيزم وليست أعلى من البساطة في فضاء التشاكلات الذاتية GL₁(ℋ(ℤ[u,u⁻¹)). ومع ذلك، فإن المثال التالي يعطي مثالًا حيث لدينا تبسيطات أعلى.

مثال 2 (حزمة من الأطياف فوق 3-كرة). خذ بعين الاعتبار 3-الكرة S³، المجهزة بالغطاء {U,V }الذي تم الحصول عليه عن طريق إزالة الشمال والقطب الجنوبي على التوالي. التقاطع U ∩V ≃ S² وبالنظر إلى هويتنا من الوحدات في (إثبات) الاقتراح 1، لدينا

مع المولد u. ونتيجة لذلك، فإن الطبقة المتماثلة للتطبيق U ∩ V ≃ S² → GL₁(ℋℤ[u,u⁻¹]) يتم تمثيله بعدد صحيح n مرات المولد u. من خلال عمل GL₁(ℋℤ[u,u⁻¹])، مثل هذا الممثل يؤدي إلى ظهور تطبيق ونود أن نأخذ التطبيق على أنها توفر بيانات الانتقال لحزمة على S³. التصرف بهذا التطبيق ثم بتطبيق التضمين المعتادة U ∩V U ∐ V في العامل الثاني يعطي السهمين العلويين (أي ×nui₁ وi₂)، على التوالي، في المخطط التالي

حقيقة أن هذا المخطط يحتوي على هوموتوبيات غير بديهية تملأه، أي تلك المقدمة من التطبيق (2)، هو ما يفصلها عن المثال 1. تحسب فئة التماثل المتماثل لمقاطع الحزمة 𝒵→ S³ مجموعات الكوهومولوجيا الملتوية.

بنفس الطريقة التي يتم بها تصنيف حزم المتجهات العادية ذات البنية G بواسطة التطبيقات فضاء التصنيف BG، حزم الأطياف مع الألياف ℛ مصنفة بالتطبيقات إلى BGL₁(ℛ). هناك حزمة عالمية من الأطياف فوق هذا الفضاء. في الحالة الحالية (أي بالنسبة للكوهومولوجيا التكاملية الدورية) يأخذ الشكل التالي. عمل كل عامل K(ℤ,2k) على الطيف ℋℤ[u,u⁻¹] يؤدي إلى الحاصل 7 ℋℤ[u,u⁻¹]∕∕K(ℤ,2k). وهذا يؤدي إلى الحزمة التالية والتي يمكننا أن نعتبرها حزمة عالمية. بالنظر إلى التطبيق h : X → K(ℤ,2k + 1)، فإننا نعتبر مخطط السحب الخلفي ثم 𝒵_h → X هو في حد ذاته حزمة من الأطياف مع الألياف ℋℤ[u,u⁻¹]. في الواقع، يشير لمّة اللصق لعمليات السحب الخلفي إلى أن لدينا مربع انسحاب مزدوج بحيث يتم تحديد ℋℤ[u,u⁻¹] على أنه الألياف. التالي، افترض ذلك X يقبل غطاء مفتوح جيد {U_α}. ثم من خلال نظرية العصب بورسوك (انظر، على سبيل المثال، [Pr06, Theorem 3.21])، X هو مكافئ هوموتوبيًا للالنهاية المشتركة فوق عصب تشيك لغطاء مفتوح جيد {U_α}. من خلال تكرار عمليات الانسحاب، وبالتالي نحصل على الرسوم البيانية المبسطة التبادلية المستحثة حيث يتم إحداث المخطط البسيط السفلي بواسطة العصب الصدي Č. عن طريق النسب، أعلى التبسيط المخطط في (2.1) هو هوموتوبي ذا نهاية مشتركة وهذا يقول أنه (حتى معادلة الهوموتوبي) يمكننا استعادة الفضاء الإجمالية 𝒵_h من خلال لصق التتفيهات المحلية معًا عبر خرائط التوافق المحددة في مختلف التقاطعات.8 يعطي هذا الارتباط المراسلات التالية.

كما ذكرنا في الملاحظة 2، تشكل مقاطع التطبيق p : 𝒵_h → X نطاقًا. نظرًا لذلك، محليًا، فإن 𝒵_h يتم التبسيط من أهميته كـ ℋℤ[u,u⁻¹] × U_α عندما يكون {U_α}عبارة عن غطاء مفتوح جيد لفضاء X، يمكننا حساب الطيف عبر البيانات المحلية كحد الأطياف حيث مرة أخرى يتم تحديد المخطط التبادلي حتى الهوموتوبي البسيط بواسطة دوال الانتقال وبيانات انتقالية أعلى. ومن الناحية العملية، يمكن أن يساعد هذا في الحساب؛ ومع ذلك، فمن المفيد أن تطوير بعض الخصائص الأساسية للطيف المقاطع. في الواقع، سنفعل ذلك في المقطع 2.2.

ننتهي من مناقشتنا الحالية من خلال تحديد مجموعات الكوهومولوجيا الملتوية الأساسية للدورية الملتوية ℤ-الكوهومولوجيا. لاحظ أنه بما أن الألياف ℋℤ[u,u⁻¹] هي 2-دورية، بمعنى أن Σ²ℋℤ[u,u⁻¹] ≃ℋℤ[u,u⁻¹]، وينتقل الإجراء بواسطة K(ℤ,2k) مع هذا التحول، مقاطع 𝒵_h هي أيضًا 2-دورية. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي للتخفيض الكوهومولوجيا.

تعريف 5 (الكوهومولوجيا التكاملية الدورية). ليكن h : X → K(ℤ,2k + 1) التواءً للكوهومولوجيا التكاملية الدورية. نعرّف h- الكوهومولوجيا التكاملية الملتوي مثل المجموعة المتدرجة ℤ∕2

سنشير إلى درجة الفئة إما زوجي أو فردي، المتوافق مع عناصر الهوية وعدم الهوية في ℤ∕2، على التوالي.

2.2. خصائص الكوهومولوجيا التكاملية الدورية الملتوي. في هذا المقطع، نذكر بعض الخصائص الأساسية لعلم الكوهومولوجيا الدوري الملتوي، والتي نعممها على كوهومولوجيا ديلين السلسة الدورية الملتوي في المقطع 4.2. الاقتراح التالي ينطبق بشكل عام على أي نظرية كوهومولوجية ملتوية، لكننا سنذكر هذا فقط في الحالة الحالية للمخفض النظرية ^∗(X;h).

البرهان. (i) بالنظر إلى تطبيق f : X → Y تلبي التوافق المطلوب، لدينا مخطط سحب مزدوج مستحث الذي يعطي تعريف 𝒵_f^∗ℓ ≃𝒵_h. وبالتالي، لدينا مورفيسم المستحث من المقاطع f^∗ : Γ(X;𝒵_ℓ) → Γ(Y ;𝒵_f^∗ℓ) Γ(Y,𝒵_h). يؤدي المرور إلى مجموعات الهوموتوبي إلى الحصول على تطبيق f^∗ : ^∗(Y ;ℓ) →^∗(X;h). من الواضح أن هذه المهمة تتطلب تركيبات من أشكال الأزواج إلى تركيبات التماثل الجماعي.

(ii) ننتقل الآن إلى نتحقق من بديهيات إيلينبيرج-ستينرود المعممة.

ثبات الهوموتوبي. ويترتب على الخاصية العالمية للانسحاب أنه عند وجود خريطتين f : (X,h) → (Y,ℓ) وg : (X,h) → (Y,ℓ) هما متماثلان، 9 التطبيق المستحث على المقاطع f^∗ : Γ(X;𝒵_ℓ) → Γ(Y ;𝒵_f^∗ℓ) Γ(Y,𝒵_h) و g^∗ : Γ(X;𝒵_ℓ) → Γ(Y ;𝒵_g^∗ℓ) Γ(Y,𝒵_h) هي متماثلة، وبالتالي، إحداث خرائط متماثلة على مستوى الكوهومولوجيا.

الإضافة. دع X = ∐ _αX_α، فإن التطبيق h : X → K(2k + 1) هي عبارة عن مجموعة من التطبيقات بشكل مكافئ h_α : X_α → K(ℤ,2k + 1). ومن هنا مجموعة المقاطع Γ(X,𝒵_h) ينقسم كمنتج ∏ _αΓ(X_α,𝒵_hα). نظرًا لأن مجموعات التماثل المتماثل تتنقل مع المنتجات، فقد أصبح لدينا تشابه

الدقة. دع i : (A,i^∗h)(X,h) يكون تضمينًا وفكر في تسلسل ألياف الليف المشارك (A,i^∗h)(X,h) → cone(i,). يرسل الدالة Γ(−;𝒵) هذه النسخة المتماثلة تسلسلات ألياف الليف المشارك إلى تسلسلات ألياف هوموتوبية، وبالتالي، لدينا تسلسل ألياف Γ(cone(i);𝒵) → Γ(X;𝒵_h) → Γ(A;𝒵_i^∗h). التسلسل الدقيق الطويل المرتبط بتسلسل الليف المشارك

مع r_W التقييد على المجموعة المفتوحة المناسبة W، يعطي تسلسل ماير-فيتوريس.

(iii) أخيرًا، إذا كان الالتواء h : X → K(ℤ,2k + 1) تافهًا، فحتى الهوموتوبي، h عوامل من خلال تضمين النقطة ∗K(ℤ,2k + 1) الناجم عن التطبيق الصفري 0 →ℤ. إصلاح مثل هذا الهوموتوبي ثم أخذ عمليات السحب الخلفي المتكررة واستخدام اللصق تنتج لمّة اللصق مربعات السحب الخلفي ثم يؤدي تكافؤ الحزمة 𝒵_h ≃ℋℤ[u,u⁻¹] × X إلى التكافؤ على مستوى المقاطع العالمية، وبالتالي التماثل على مستوى النظريات المخفضة المقابلة. □

ملاحظة 3 (مخفض مقابل غير مخفض). لاحظ أنه يمكننا الانتقال من النظرية المختزلة ^∗(X;h) إلى النظرية غير المختزلة نظرية الثلاثي (X,A,h) مع A ⊂ X كالعادة بالإعداد

3. كوهومولوجيا ديلين السلسة الدورية

في هذا المقطع، نقدم فكرة كوهومولوجيا ديلين الدوري. وهذا سيمهد الطريق للقسم التالي، حيث نتعرف على الالتواءات في هذه النظرية.

3.1. البناء كنظرية الكوهومولوجيا. تمامًا كما تمت فهرسة مجمع ديلين بواسطة عدد صحيح n ∈ℤ، لدينا هنا مجمعات مفهرسة بواسطة عناصر في ℤ∕2، والتي سنسميها إما زوجية أو فردية، اعتمادًا على التكافؤ. نسمح لـ ℤ بالإشارة إلى الحزمة الثابتة محليًا للدوال ذات القيمة ℤ.

تعريف 7 (مجمعات ديلين الزوجية والفردية). بالنسبة إلى ev وodd ∈ ℤ∕2، المتوافقين مع مكونات الهوية وغير الهوية، على التوالي، لدينا مجمعين

و

حيث يوجد ℤ بدرجات زوجية في المجمع الأول وبدرجات فردية في المجمع الثاني. وبدرجات إيجابية الفرق في كلا المجمعين هو المشتق الخارجي المعتاد من حيث المصطلح وعلى نسخ ℤ يتم تقديمه بواسطة تطبيق التضمين ℤΩ⁰∏ _kΩ^2k. في الدرجات السلبية يكون الفارق تافهًا.

المجمعات 𝒟(ev) و𝒟(odd) عبارة عن حزم من معقدات السلاسل فئة جميع المتشعبات الملساء، والتي تم تصنيفها كموقع عبر أغطية مفتوحة جيدة. بدلا من ذلك، يمكن اعتبار كلا المجمعين بمثابة حزم من معقدات السلاسل على أي متشعب ثابت M ببساطة عن طريق التقييم على المجموعات الفرعية المفتوحة لـ M. هذا هو الوضع المألوف الذي يتخذ فيه كوهومولوجيا ديلين السلسة العادية المكان (على سبيل المثال [Br93]). لدينا التعريف الطبيعي التالي.

تعريف 8 (كوهومولوجيا ديلين الدوري). نعرّف ℤ∕2- مجموعات الكوهومولوجيا الدورية المتدرجة من ديلين من المتشعب الأملس M كمجموعات التماثل الفائقة للحزم 10

يوضح ما يلي أنه يمكن حساب كوهومولوجيا ديلين الدوري بسهولة من كوهومولوجيا ديلين العادي مجموعات متعددة.

قضية 9 (حساب مجموعات الكوهومولوجيا الدورية من ديلين). دع M يكون متشعبًا سلسًا. هناك التماثلات الطبيعية

البرهان. سنثبت المطالبة بـ ^ev(M;ℤ[u,u⁻¹]). القضية ل ^odd(M;ℤ[u,u⁻¹]) تم إثباته بالمثل. وتحقيقا لهذه الغاية، نحن قم بتنظيم حزمة معقدات السلاسل 𝒟(ev) على النحو التالي

حيث تشير الأرقام الموجودة على المحور العمودي إلى درجة المركب. تمثل الأسهم القطرية الفرق في كل مكون المنتج الذي تم الاستيلاء عليه في صف معين. يمكن بسهولة رؤية المجمعات القطرية على أنها مجمع ديلين المعتاد، وبالتالي، لدينا تقسيم حيث يأتي الجمع الثاني من الدرجات السالبة للمركب. هذا الأخير لا يساهم في فرط الهوموتوبي للمجمع، حيث أن الدقة Č للمجمع تختفي بالضرورة بدرجات سلبية. وهكذا، تنقسم مجموعات التماثل الفائقة حسب الرغبة. □

من الاقتراح 9، يترتب على الفور أن كوهومولوجيا ديلين الدوري تتلاءم المجموعات مع مخطط المعين التفاضلي الكوهومولوجيا وفي تسلسلات دقيقة مماثلة إلى تلك الخاصة بكوهومولوجيا ديلين العادي، كمثال للكوهومولوجيا التفاضلي التكاملية [SS08].

قضية 10 (ماسة الكوهومولوجيا الدورية من ديلين). لدينا مخطط المعين الدقيق لمجمع ديلين الزوجي وماسة مماثلة للرقم الفردي، يتم الحصول عليها عن طريق التبديل ev وodd. هنا Ω^odd(M) وΩ^ev(M) هما مجموعات من الأشكال التفاضلية للدرجات الفردية والزوجية، على التوالي. على سبيل المثال، أ العنصر ω ∈ Ω^ev(M) عبارة عن مجموعة رسمية

مع ω_2i شكل تفاضلي للدرجة 2i.

ملاحظة 4 (امتداد المعين إلى تسلسل دقيق طويل). يمكن تمديد أحد الأقطار في المخطط المعيني في الاقتراح 10 إلى تسلسل دقيق طويل. اعتمادا على التكافؤ، ذات الصلة يتم إعطاء أجزاء من هذا التسلسل الدقيق الطويل بواسطة

	Hev(M;ℤ[u,u−1])→Ωev(M)∕im(d)→odd(M;ℤ[u,u−1])→Hodd(M;ℤ[u,u−1])→0 ,
	Hodd(M;ℤ[u,u−1])→Ωodd(M)∕im(d)→ev(M;ℤ[u,u−1])→Hev(M;ℤ[u,u−1])→0 .

التطبيق إلى الخارج Ω^ev(M)∕im(d) تأخذ فئة متكاملة دورية وتعينها على فئة ممثل دي رهم المقابل لها (أي شكل بفترات تكاملية). لاحظ أيضًا أن التطبيق R : ^ev(M;ℤ[u,u⁻¹]) → Ω_cl^ev(M) ليست غامرًا؛ صورتها هي مجموعة فرعية من الأشكال المغلقة مع فترات متكاملة.

3.2. هيكل الحلقة والأمثلة. في النهاية، نود أن نأخذ في الاعتبار التواءات هذه النظرية، وللقيام بذلك نحتاج هيكل حلقي على مجمع ديلين الدوري هذا. أذكر ذلك بالنسبة لـ ديلين العادي الكوهومولوجيا، يعطي جداء الكأس ديلين-بيلنسون مجموعة من التشاكلات لل حزم من معقدات السلاسل [De71][Be85] (راجع أيضًا [FSS13][FSS15a]) وعلى مستوى المقاطع المحلية يتم تحديده بواسطة الصيغة

بما أن مجمع ديلين الدوري الزوجي انقسم إلى الناتج (3.1) (وبالمثل بالنسبة للفرد)، هناك خرائط الضرب

(3.1)

الناتج عن منتج الكأس ∪_DB من (3.2) بدرجات موجبة وضرب الأعداد الصحيحة بدرجات سلبية. من الفوري أن تنحدر هذا التطبيقات إلى منتج كوب تبادلي متدرج متوافق مع جداء الكأس ديلين-بيلنسون حدًّا بحد. ونلخص هذه الملاحظات على النحو التالي.

قضية 11 (بنية الجبر الفائق على كوهومولوجيا ديلين الدوري). مع خرائط الضرب (3.1) الناتج عن جداء الكأس ديلين-بيلنسون، المركب 𝒟(ev) ⊕ 𝒟(odd) يقبل بنية حزمة من الجبر الفائق المتدرج تفاضليًا. على مستوى الكوهومولوجيا الفائقة، فإنه يعطي

هيكل الجبر التبادلي الفائق. علاوة على ذلك، لدينا مخططات تبادلية

و

حيث H^{ev ∕ odd}(M;ℤ[u,u⁻¹]) هو الكوهومولوجيا التكاملية الدورية، ويتمتع بالجبر الفائق البنية الموروثة من منتج الكأس، وΩ^{ev ∕ odd}(M) هو الجبر الفائق للأشكال التفاضلية المتدرجة.

ونوضح الآن هذا مع حالة الكرات.

مثال 4 (كوهومولوجيا ديلين الدوري للكرات الزوجية). اجعل S^2k عبارة عن كرة ملساء ذات أبعاد متساوية. الكوهومولوجيا التكاملية الدورية الأساسي يتم حساب الكوهومولوجيا بسهولة

بالنظر إلى التسلسلين الدقيقين الطويلين في الملاحظة 4، فإننا نقوم بالحساب بسهولة

حيث Ω_cl,ℤ^ev(S^2k) هي المجموعة الفرعية من الأشكال الزوجية المغلقة ذات الفترات التكاملية (أي أن كل مكون من عنصر ω = ω₀ + ω₂ + له فترات متكاملة).

مثال 5 (كوهومولوجيا ديلين الدوري للكرات الفردية). وبالمثل، فإننا نحسب الكرات الفردية باستخدام نفس التسلسلين أعلاه، للحصول على هذه الحالة

و

حيث تم نقل أحد عوامل ℤ، مقارنة بحالة حتى الكرات، وذلك لأسباب التكافؤ.

4. كوهومولوجيا ديلين الملتوي الدوري الملتوي

في هذا المقطع ننتقل إلى كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي المشيدة أعلاه. تمامًا كما هو الحال في الكوهومولوجيا التكاملية الدورية في المقطع 2.1 يأخذ شكل حزمة من الأطياف على فضاء بارامتري، وهنا سيكون لدينا حزمة ملساء من الأطياف، معلَّمة فوق متشعب أملس M. في الوضع الأملس، نقطة البداية لدينا هي لم تعد فئة الفضاءات وفئة اللانهاية المماس لها T(𝒮pace)، ولكن بل فئة الرصات الملساء 𝒮h_∞(ℳf) وظلها فئة اللانهاية T(𝒮h_∞(ℳf)).

4.1. الطيف ذو المعلمات والجربات عبر رصات ملساء. دع M يكون متشعبًا سلسًا وفكر في موقع المجموعات الفرعية المفتوحة 𝒪pen(M)، المجهزة بواسطة الأغلفة المفتوحة الجيدة {U_α → M}. الرصات الملساء الموجودة على M تشبه الحزم الملساء، ولكنها بدلاً من ذلك لتعيين مجموعة من العناصر لكائن U ∈𝒪pen(M)، نقوم بتعيين فضاء (عادةً ما تكون على غرار اندماجيًا بواسطة مجموعة مبسطة). يتم استبدال حالة لصق الحزم بحالة أضعف حيث نحن فقط تتطلب الإلتصاق بالتكافؤ. لتسهيل عملية الانتقال، نبدأ بما يلي.

توجد فئة ∞كبيرة من الرصات الملساء 𝒮h_∞(ℳf) والتي لا توجد تعتمد على اختيار المتشعب الأملس الأساسي. الموقع الخاص بهذه الفئة ∞هو موقع جميع المتشعبات الملساء الفتحات ℳf، مُغطاة عبر أغطية مفتوحة جيدة. يمكن تقييد أي كائن في 𝒮h_∞(ℳf) بمتشعب واحد بمجرد التفكير قيمته على المجموعات الفرعية المفتوحة UM. إحدى فوائد العمل في هذه الفئة الأكبر ∞هي ذلك يمكن للمرء تحديد رصات فضاءات معيارية X والتي تمثل كائنات ذات أهمية على M عبر التطبيقات M → X. على سبيل المثال، تمت دراسة مجموعة المعامل للجربات الأعلى مع الاتصال BⁿU(1)_∇ في [FSSt12][SSS12][Sc13][FSS15a][FSS15b]. إحدى الطرق لتقديم هذه الرصة هي تطبيق دالة دولد-كان على حزمة معقدات السلاسل

حيث تقع الحزمة U(1) := C^∞(−;U(1)) في الدرجة n. الحزم في حجة DK شبه متماثل (عبر التطبيق الأسية) لمجمع ديلين الأملس 𝒟(n). يرسل دالة دولد-كان شبه التماثل إلى معادلات ضعيفة و (بما أننا نعمل على التكافؤ) وهذا يبرر التدوين الموحد BⁿU(1)_∇ لكلا المجموعتين الناتجتين (أي عند التقديم DK على أي من المجمعين). الرصة BⁿU(1)_∇ يقع في مربع ديكارتي حيث Ω_cl^≤n+1 هو الرصة الذي تمثله حزمة معقدات السلاسل في [FSSt12]، تبين أن فئات الهوموتوبي للتطبيقات M →BⁿU(1)_∇ في تراسل تقابلي مع مجموعة كوهومولوجيا ديلين ⁿ (M;ℤ).

مثال 7 (رصة من 2- حزم مع اتصالات/جربات مع اتصالات). يمكن تقديم الرصة الملساء B²U(1)_∇ عبر مراسلات دولد-كان بواسطة حزمة معقدات السلاسل

حيث L هو عامل الترصيف. 11 دع ϕ : ℝⁿ → M يكون المخطط المحلي. بالنسبة لمجموعة فرعية محدبة مفتوحة U ⊂ℝⁿ، يمكن تقييم هذه الرصة على المجموعة الفرعية المفتوحة المقابلة V = ϕ(U) عبر

وبشكل أكثر عمومية، فإن نزول الرصة B²U(1)_∇ يشير إلى أنه بالنسبة لأي اختيار جيد مفتوح تغطية {U_α}لـ M، يمكن تحديد فضاء التطبيقات Map(M,B²U(1)_∇) عن طريق استبدال M بالعصب الصوتي Č Č({U_α}) الخاص بـ {U_α} والأخذ في الاعتبار بدلا من فضاء التطبيقات

من خلال الخصائص الأساسية لمراسلات دولد-كان، لدينا تشابه 12

بواسطة [Br93, Theorem 5.3.11]، تحدد العناصر الموجودة على اليمين فئات الهوموتوبي للجربات مع البنية الضامة والتقويس المذكورة في المثال 6.

يعد تعريف الأطياف ذات المعلمات في الإعداد الأملس امتدادًا مباشرًا لـ التعريف 2 من الفضاءات إلى الرصات.

لدينا التعريف الطبيعي التالي لحزمة ملساء وتافهة محليًا من الأطياف.

نرغب الآن في تركيز نطاقنا على حالة كوهومولوجيا ديلين الدوري. يعتبر حزمة أطياف الحلقة المعطاة من خلال تطبيق وظيفة إيلنبرغ-ماكلين ℋ على حزمة من معقدات السلاسل 𝒟(ev) و𝒟(odd). في المقطع 3.1، لقد رأينا أن هذا الطيف الحلقي يمثل كوهومولوجيا ديلين الدوري، بمعنى أن

نود أن نحدد فئة كبيرة من الالتواءات لهذه النظرية. ولتحقيق هذه الغاية، دعونا ننظر في رصة من الالتواءات في المخطط (1) مع طيف الحلقة التفاضلية الدورية المحدد بواسطة كل من ℋ(𝒟(ev)) وℋ(𝒟(odd))، كلٌّ على حدة. في البداية، قد يبدو ذلك سنحصل على مجموعتين من اللفات تتوافق مع الدرجات الزوجية والفردية؛ ومع ذلك، هذا ليس هو الحال.

قضية 14 (معادلة رصات الالتواءات الزوجية والفردية لكوهومولوجيا ديلين الدوري). لدينا معادلة قانونية للرصات الملساء

الناجم عن تحويل كل من طيف الحلقة ℋ(ℤ[u,u⁻¹]) ومجمع دي رهم الدوري المقلوب Ω^∗[u,u⁻¹] يصل إلى درجة واحدة لكل منهما.

البرهان. من الواضح رسميًا أن تحويل طيف الوحدة النمطية ℛ_τ للأعلى درجة واحدة هي وحدة الطيف فوق الطيف الحلقي ℛ، أي، خرائط الوحدة μ : ℛ^m ∧ℛ_hⁿ →ℛ_h^m+n تؤدي إلى إنشاء خرائط ℛ^m ∧ℛ_hⁿ⁺¹ →ℛ_h^m+n+1. وبالمثل، فإن تحويل وحدة K-مسطحة القابلة للعكس ℒهو مرة أخرى وحدة قابلة للعكس K-مسطحة. وعلاوة على ذلك، نظرا لأي التكافؤ

نحصل على التكافؤ المقابل على مستوى التحولات. بالملكية العالمية من السحب الخلفي، لدينا تطبيق مستحثة على مستوى الالتواءات. لدورية ملساء كوهومولوجيا ديلين هذا يأخذ الشكل

من الفوري أن تقبل هذا التطبيق بعكس ناتج عن التحول لأسفل. □

يشير الاقتراح 14 إلى أنه ليس علينا أن نأخذ في الاعتبار الزوجي و درجات فردية على حدة، ولكن يمكننا أن ننظر إلى التواء معين على أنه يتوافق مع أي من الطيفين. من الآن فصاعدا، سنشير فقط إلى مجموعة الالتواءات في كوهومولوجيا ديلين الدوري وقم بالإشارة إلى الرصة ببساطة بواسطة .

ملاحظة 6 (التسلسل الهرمي لنوع تشيرن-سيمونز للتفاهات في Čech-ديلين كوسلسلات). فكر في كوسلسلة تشيك-ديلين η = (η⁽⁰⁾,η⁽¹⁾,η⁽²⁾,,η^(2k+1)) على متشعب أملس M، حيث η⁽ⁱ⁾ هي بيانات بيانات الكوسلسلة على تقاطع i-طي، أي، η⁽⁰⁾ هو شكل 2k محدد في مجموعات مفتوحة، وη⁽¹⁾ هو شكل (2k − 1) محدد عند التقاطعات، إلخ. وبهذا نربط بين التشاكلات الذاتية والتشاكلات الأعلى لمجمع دي رهم الدوري Ω^∗[u,u⁻¹] على متشعب أملس M. وبشكل أكثر دقة، نحن نربط هذه الدورة بالتماثلات الذاتية

ch(0)(η) ∧ (−)	= eη(0) ∧ (−) = 1 + η(0) ∧ (−) + η(0) ∧ η(0) ∧ (−) + η(0) ∧ η(0) ∧ η(0) ∧ (−) + ,
CS(1)(η) ∧ (−)	= η(1) + η(1) ∧ dη(1) ∧ (−) + η(1) ∧ dη(1) ∧ dη(1) ∧ (−) + ,

حيث لدينا المتغير الأساسي ch⁽⁰⁾(η)، ثم ثابت ثانوي CS⁽¹⁾(η) للأخير، ثم ثابت ثالثي للأخير، ونمط مماثل في الدرجات الأعلى، تم الحصول عليها باستخدام بيانات بيانات الكوسلسلة المتنوعة لـ η. هذه المهمة هي تم شرحه في إثبات [GS17b, Theorem 17] وفي المناقشة التي سبقت ذلك نظرية. على وجه الخصوص، مع k = 1، نحصل على η = (B_α,A_αβ,f_αβγ,n_αβγ,δ)، وهي دورة ech-ديلين Č المتوافق مع الجرب "القياسي" مع الاتصال (راجع المثال 6)، مشفِّرًا لالتواء. وهذه تمثل الهوموتوبيات، والهوموتوبيات بين الهوموتوبيات، وما إلى ذلك، على التوالي، في المخطط (8) للمثال 8 أدناه. التعبير لـ CS⁽¹⁾(η) هو مجموع المنتج الأعلى هو نظريات تشيرن سيمونز، بمعنى [FSS13]. المصطلحات التالية (غير المسجلة بشكل صريح للإيجاز) تتوافق مع التعليم العالي والأعلى الهياكل، بمعنى [FSS13][Sa14].

قضية 15 (التواء كوهومولوجيا ديلين الدوري عن طريق الجرب ذو الدرجة الفردية مع الاتصال). دع (M) يشير إلى مجموعة الالتواءات، التي تم تقييمها على متشعب أملس M. ثم تحدد كل كوسلسلة تشيك-ديلين من الدرجة 2k + 1 التواءً في كوهومولوجيا ديلين الدوري. في الواقع، هناك مورفزم من الرصات الملساء

تحسين التطبيق K(ℤ,2k + 1) → BGL₁(ℋℤ[u,u⁻¹])Pic_{ℋℤ[u,u⁻¹]}^top.

البرهان. الرصة B^2kU(1)_∇ يتناسب مع المربع الديكارتي (4.1). يمكن حساب هذا السحب الخلفي في الرصات الملساء من خلال ترصيف السحب الخلفي المقابل في الرصات القبلية، والتي يتم حسابها بشكل كائني. علاوة على ذلك، فإن مورفزم الرصات المسبقة في الرصة هو، بشكل مكافئ، مورفزم من الرصات خارج الترصيف.14 لذلك، يكفي إنشاء التطبيق بشكل كائني من الرصات الثلاثة Ω_cl^2k+1، B^2k+1ℤ وΩ_cl^≤2k+1 ولكل نموذج (1-) يملأ المخطط، رسم تخطيطي لملء الهوموتوبي المطابق (1).

ولتحقيق هذه الغاية، قم بإصلاح متشعب عشوائي M وحدد التطبيقات الثلاث

على النحو التالي. ترسل التطبيق الأولى شكلًا مغلقًا من الدرجة الفردية إلى الوحدة القابلة للعكس خلال الفترة الدورية معقد دي رهم (Ω^∗[u,u⁻¹](M),d_H) حيث الفارق d_H = d + H∧يعمل على شكل تفاضلي كما يتم إنشاء التطبيق الثانية بواسطة تطبيق التضمين الأساسية K(2k + 1,ℝ)BGL₁(ℋℝ[u,u⁻¹])، بينما يتم إنشاء التطبيق الثالثة بالمثل بواسطة K(2k + 1,ℤ)BGL₁(ℋℤ[u,u⁻¹]).

يمكن التعرف على هوموتوبي يملأ المخطط (4.1) عبر مراسلات دولد-كان باعتباره العنصر η بالدرجة 1 من المركب الكلي لالمجمع المزدوج لتشيك Tot{U_α},Ω_cl^≤2k+1، مع {U_α}غلاف مفتوح جيد لـ M، مع مراعاة الشرط التالي: نطلب D(η) = H −h، مع H الشكل التفاضلي المغلق المحدد عالميًا للدرجة 2k + 1 تم تحديدها في Ω_cl^2k+1(M) وh القيمة الحقيقية Č لدورة تشيك من الدرجة 2k + 1 يمثل عنصرًا في B^2k+1ℤ(M)B^2k+1ℝ(M) (راجع [FSSt12] لمزيد من التفاصيل على الرصة الأخيرة). بالنسبة للنموذج المتماثل η، نحتاج إلى إنشاء تكافؤ مطابق

حيث ℋℝ[u,u⁻¹]_h هي حزمة الأطياف الثابتة محليًا والتي تتوافق مع وحدة نمطية قابلة للعكس ℋℝ[u,u⁻¹]. الأول مصنف على التطبيق

كما هو موضح في [GS17b]، الشكل المحدد محليًا ch⁽⁰⁾(η) من الملاحظة 6 يحدد التتفيه المحلي

تتوافق CS⁽ⁱ⁾ الأعلى في الملاحظة 6 مع التشاكلات الذاتية عند التقاطعات والأعلى التشكل الذاتي عند التقاطعات العليا. كما هو الحال في إثبات [GS17b, Theorem 17]، تحدد هذه الدورة ميزة في Pic^dR توصيل ℋ(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) وℋℝ[u,u⁻¹]_h. يتضح من البناء أن هذا التطبيق يعمل على تحسين إدراج K(ℤ,2k + 1) في الالتواءات الطوبولوجية. □

في المقطع 2، قمنا بوصف حزمة عالمية من الأطياف والتي تصنف حزم الأطياف عبر فضاء X مع K(ℤ,2k) - ​​هيكل موصوف بواسطة التواء h : X → K(ℤ,2k + 1). هناك حزمة عالمية مماثلة رصة الالتواءات (1)، الموصوفة في [GS17b]، والتي تصنف نظريات الكوهومولوجيا التفاضلية الملتوي عبر السحب الخلفي. يتيح لنا النسب لصق الحزمة معًا من خلال التتفيهات المحلية. كمثال أساسي، نعتبر ما يلي.

مثال 8 (أشكال تفاضلية ملتوية أعلى كمقاطع من حزمة ملساء من الأطياف). خذ بعين الاعتبار حزمة المجمعات (Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) على متشعب أملس M، وهو متطابق بالدرجة إلى مجمع الأشكال الدوري، ولكنه مجهز بالتفاضل d_H := d + H∧، الذي يعمل بواسطة (4.1). هنا، H شكل مغلق للدرجة 2k + 1. تطبيق وظيفة إيلنبرغ-ماكلين ℋ على (Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) يعطي حزمة من الأطياف على M. الآن (Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) عبارة عن وحدة نمطية قابلة للعكس عبر (Ω^∗[u,u⁻¹],d) وهي محلية يعادل (بواسطة لمّة بوانكاريه) الحزمة الثابتة ℝ[u,u⁻¹]. هكذا ℋ(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) يعطي حزمة من الأطياف وهي عبارة عن وحدة نمطية فوق ℋℝ[u,u⁻¹]. سحب الحزمة العالمية من الأطياف

(راجع [GS17b] للاطلاع على هذا البناء) من خلال التطبيق τ : M → Pic_{ℋℝ[u,u⁻¹]}^dR، الذي يلتقط حزمة الأطياف الملتوية ℋ(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H)، ويعطي حزمة ملساء من الأطياف E → M. حزمة المقاطع المحلية للأخيرة التي تم تقييمها على U هي، بحكم التعريف، ℋ(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H)(U). اختر الإمكانات المحلية B_α لـ H في كل عنصر من عناصر غلاف مفتوح جيد {U_α}لـ M (أي dB_α = H). ثم، في كل تصحيح U_α، لدينا شبه التماثل لحزم المجمعات

والتي ترسل قسمًا محليًا ω إلى منتج الإسفين باستخدام الأسي الرسمي

تتوافق هذه التماثلات شبه مع التتفيهات المحلية

في الواقع، تم اختيار ممثل H في مجمع Čech-دي رهم المزدوج يؤدي إلى رسم تخطيطي تبادلي مثلي حيث يتم تحديد التطبيقات المبسطة في كل مرحلة بواسطة بيانات Čech-دي رهم لـ H. على سبيل المثال، اختيار شكل تفاضلي A_αβ عند التقاطعات، يرضي dA_αβ = B_α − B_β، يعطي الارتقاء إلى مخطط تبادلي مثلي

مع التماثل المعطى بواسطة المنتج الإسفيني مع نموذج تشيرن سيمونز الأبيلي (راجع الملاحظة 6)

لهذا السبب.

بالنسب، يستنتج المرء أن E هو في الواقع كولوميت على هذا المخطط. لاحظ أيضا أنه نظرًا لأن المقاطع العامة لـ E هي ℋ(Ω^∗[u,u⁻¹](M),d_H)، فإننا تأكد على الفور من أن الكوهومولوجيا الملتوية الذي تمثله الحزمة H هو كوهومولوجيا دي رهم الملتوي لـ M.

ملاحظة 7 (مجمع ديلين الدوري الملتوي كمقاطع من حزمة ملساء من الأطياف). يوضح المثال 8 أن العناصر الموجودة في مجمع دي رهم الملتوي عبارة عن مقاطع سرًا من حزمة من الأطياف على M. يمكن تكييف هذا المثال مع دورية ديلين بملاحظة أنه إذا كان التواء دي رهم H ذا فترات تكاملية، فإن الالتواء الطوبولوجي المقابل قم بتحريف العوامل h : M → K(ℝ,2k + 1) (حتى الهوموتوبي) من خلال K(ℤ,2k + 1). وفي هذه الحالة الثلاثي Hℤ[u,u⁻¹]_h,t,(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H)، مع

معادلة دي رهم الملتوية، تعطي لمحة من كوهومولوجيا ديلين الدوري على M، ومن ثم التطبيق τ : M →. السحب الخلفي عن طريق الحزمة العالمية → يعطي بيانات مشابهة لتلك الموجودة في المثال 8.

تعريف 16 (كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي). اجعل H شكلًا تفاضليًا مغلقًا من الدرجة الفردية وله فترات متكاملة. ثم يمكن رفع H إلى التطبيق

وفقًا للمقترح 14، يمكننا اعتبار هذا إما التواء ℋ(𝒟(ev)) أو ℋ(𝒟(odd)). دع 𝒵^ev → M و𝒵^odd → M لتكن الحزم الملساء المقابلة من الأطياف. نعرّف كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي ليكون فئات الهوموتوبي لـ مقاطع الحزمة المقابلة 𝒵^{ev ∕ odd} → M، أي،

مثلما يمكن للمرء تحديد منتج الموتر والمجموع المباشر لحزم المتجهات، يمكن تحديد منتج الإسفين بالمثل و المنتج المحطم لحزم الأطياف (راجع [GS17b] للحصول على تعريف المنتج المحطم؛ يتم تعريف منتج الإسفين بالمثل). في الحالة الحالية، لدينا حزمة من الأطياف ℤ∕2 متدرجة E^ev ∨E^odd → M. ال يتم إعطاء المقاطع المحلية من هذه الحزمة من خلال تقييم المنتج الإسفيني للأطياف ℋ(𝒟(ev)) ∨ℋ(𝒟(odd)) ≃ℋ(𝒟(ev) ⊕𝒟(odd)) على مجموعات فرعية مفتوحة U ⊂ M. بالنظر إلى البنية المضاعفة لكوهومولوجيا ديلين الدوري من المقطع 3.2، لدينا ما يلي.

قضية 17 (بنية الوحدة النمطية لكوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي). حزمة مقاطع حزمة الإسفين E^ev ∨ E^odd → M عبارة عن طيف نمطي فوق حزمة من أطياف الحلقة التي قدمها الإسفين ℋ(𝒟(ev)) ∨ℋ(𝒟(odd)). ينزل إجراء الوحدة إلى التطبيق

تحويل ^{ev ∕ odd}(M;) إلى وحدة نمطية عبر الجبر الفائق ^{ev ∕ odd}(M;ℤ[u,u⁻¹]).

4.2. خصائص كوهومولوجيا ديلين الملتوي الدوري. في هذا المقطع، ندرج بعض خصائص كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي. معظم هذه الخصائص مشابهة لتلك التي تمت مناقشتها في الاقتراح 6. نقطة التناقض الرئيسية التي يجب التأكيد عليها هنا هي أن هذه النظرية لن تكون مرضية بديهية الثبات المثلي، كما هو الحال بالنسبة لأي نظرية كوهومولوجيا (انظر [BS10]).

البرهان. (i) بالنظر إلى تطبيق f : M → N تلبي التوافق المطلوب، لدينا مخطط السحب الخلفي المزدوج المستحث الذي يعطي التعريف 𝒵_f^∗ ≃𝒵 . ونتيجة لذلك، لدينا شكل مستحث للمقاطع f^∗ : Γ(N;𝒵) → Γ(M;𝒵 ). يؤدي المرور إلى مجموعات الهوموتوبي إلى الحصول على تطبيق f^∗ : ^∗(N; ) →^∗(M;).

(ii) ننتقل الآن إلى نتحقق من بديهيات إيلنبرغ-ستينرود القابلة للتطبيق.

الإضافة. دع M = ∐ _αM_α مع كل M_α متشعب أملس. تطبيق : M →B^2kU(1)_∇ عبارة عن مجموعة من التطبيقات بشكل مكافئ h_α : M_α →B^2kU(1)_∇. ثم طيف المقاطع Γ(M,𝒵) ينقسم إلى ملف المنتج ∏ _αΓ(M_α,𝒵 _α). نظرًا لأن مجموعات التماثل المتماثل تتنقل مع المنتجات، فقد أصبح لدينا تشابه

الدقة. يتبع ذلك حرفيًا كما في إثبات الاقتراح 6، مع تم استبدال الفضاء X بمتشعب أملس M وA ⊂ M بمتشعب فرعي، و تم استبدال التطبيق h : X → K(ℤ,2k + 1) بالتحسين : M →B^2kU(1)_∇.

(iii) أخيرًا، إذا كان الالتواء : M →B^2kU(1)_∇ تافهًا طوبولوجيًا، أي، تحقيقها الهندسي h : |M|≃ M →|B^2kU(1)_∇|≃ K(ℤ,2k + 1) هو متماثل للتطبيق الثابتة الناتجة عن 0 →ℤ. في هذه الحالة، الطيف الملتوي الأساسي ℋℤ[u,u⁻¹]_h يعادل ℋℤ[u,u⁻¹] ولدينا المخطط

حيث يعتمد التكافؤ السفلي على اختيار المثلية العكسية لـ c ويتم تعريفه على أنه واضح التكوين في المخطط. من خلال الخصائص الأساسية للعامل ℋ (راجع [BN14, pp. 17-18] للمناقشة)، وجود التكافؤ السفلي يعني أن Ω^∗[u,u⁻¹] و(Ω^∗[u,u⁻¹],d_H) ترتبط عن طريق متعرج من شبه التماثل. ومن الواضح أن هذه هي البيانات اللازمة لتحديد التكافؤ في ∞-غروبويد (M). □

5. التسلسل الطيفي _h وأمثلة

في هذا المقطع، قمنا بتطبيق التسلسل الطيفي الملتوي لعطية-هيرتسبروخ (كلاهما الكلاسيكي [Ro82][Ro89] [AS06] والتحسين التفاضلي [GS17b]) لحساب الكوهومولوجيا التكاملية الدورية الملتوي وكوهومولوجيا ديلين للكرات.

5.1. التسلسل الطيفي في كوهومولوجيا ديلين السلسة الدورية الملتوي. في [AS06]، أول تفاضل غير متلاشي لـ AHSS الملتوي (يتم تطبيقه على K- النظرية) على فضاء X تم التعرف عليها من خلال ملاحظة أن الدرجة الوحيدة هي ثلاث عمليات متزايدة لـ المساحات المجهزة بالتطبيقات X → K(ℤ,3) يتم توفيرها من قبل مجموعة الكوهومولوجيا

العامل الثالث على الجانب الأيمن مولَّد بواسطة منتج المولدات لـ Hⁿ(K(ℤ,n)) وH³(K(ℤ,3)). ومن هذا يستنتج ذلك

مع [h] فئة التكامل الملتوية وSq_ℤ³ مربع ستينرود المتكامل الثالث، والذي يأتي من AHSS غير الملتوي لـ K-نظرية [AH62].

إن الوضع بالنسبة للكوهومولوجيا التكاملية الدورية أسهل بكثير حيث أن الفوارق غير الملتوية تختفي و نظرًا لأن المرء قادر على المقارنة بسهولة مع الكوهومولوجيا النسبية. بالنظر مرة أخرى إلى الدرجة الثالثة h، نجد بعد ذلك أن 15

تنطبق نفس الحجة ليس فقط في حالة الدرجة الثالثة، ولكن أيضًا في الدرجات الفردية الأعلى. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه بالنسبة للمساحات المجهزة بالتطبيقات X → K(2k + 1;ℤ)، لدينا التعريف مرة أخرى

مع العامل الأخير الذي مولَّد بواسطة منتج مولد Hⁿ(K(ℤ,n)) و مولد H^2k+1(K(ℤ,2k + 1)). ولذلك، لدينا ما يلي.

قضية 19 (الفرق الأول لـ AHSS_h للكوهومولوجيا التكاملية الدورية الملتوي). دع h : X → K(ℤ,2k + 1) يكون التواءً في الكوهومولوجيا التكاملية الدورية. ثم الأول يحدث التفاضل غير المتلاشي في AHSS المرتبط في صفحة E_2k+1 ويتم تقديمه بواسطة

سنوضح ذلك في الأمثلة 9 و10 أدناه.

في [GS17b]، قمنا بتطوير AHSS لنظريات الكوهومولوجيا التفاضلية الملتوية، والتي بدورها تعميم تلك النظرية التفاضلية [GS16b]. في حالة كوهومولوجيا ديلين الدوري، هناك نوعان من التسلسلات الطيفية المقابلة للدرجات الزوجية والفردية (منفصلة).

بالنسبة لنظرية التفاضل الملتوي K، في [GS17b] حددنا أول تفاضل غير صفري في التسلسل الطيفي كما

حيث _ℤ³ هي عملية التواء في الكوهومولوجيا التفاضلية الموروث منها Sq³ (انظر [GS16a])، و[] ∪_DB(−) هو جداء الكأس ديلين-بيلنسون العملية. تنطبق نفس الوسيطة المستخدمة في [GS17b, Proposition 25] على حالة التفاضل تحسينات الالتواءات ذات الدرجات الأعلى للكوهومولوجيا التكاملية الدورية. ونتيجة لذلك لدينا ما يلي.

قضية 22 (الفرق الأول لـ لكوهومولوجيا ديلين الملتوي). دع h : M →B^2kU(1)_∇ يكون التواءً في كوهومولوجيا ديلين الدوري. ثم الفرق في AHSS المرتبط على صفحة E_2k+1 16 يعطى بواسطة

سنوضح ذلك في الأمثلة 11 و12 أدناه.

5.2. أمثلة عبر التسلسل الطيفي. ننتقل الآن إلى الأمثلة التي توضح AHSS التي قمنا بتطويرها في المقطع 5.1 لكليهما الكوهومولوجيا التكاملية الدوري الملتوي (المقطع 2) وكوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي (المقطع 4).

مثال 9 (الكوهومولوجيا التكاملية الدوري الملتوي للكرات الزوجية). بالنسبة للكرات الزوجية، تختفي فئة الالتواء لأسباب التكافؤ. ولذلك، يتدهور AHSS في صفحة E₂ ونقوم بتحديده على الفور

مثال 10 (الكوهومولوجيا التكاملية الدوري الملتوي للكرات الفردية). بالنسبة للكرة ذات الأبعاد الفردية S^2k+1، يحدث الالتواء الوحيد المثير للاهتمام في الدرجة 2k + 1. وبالتالي، فإن الفارق الوحيد غير الصفري في AHSS يحدث في صفحة E_2k+1، إعطاء التسلسل

وبالتالي، يشير h أيضًا إلى العدد الصحيح المطابق للطوبولوجي التواء h، نحصل عليها

توضح الأمثلة المذكورة أعلاه فائدة AHSS في الحوسبة الكوهومولوجيا التكاملية الملتوي. سنقوم الآن بتوسيع هذه الأمثلة لتشمل الحالة التفاضلية. اتضح أنه بالنسبة للكرات الزوجية، سنجد استخدام تسلسل ماير-فيتروا هو واضح بما فيه الكفاية وفعالة في هذه الحالة.

مثال 11 (كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي للكرات الزوجية). دع : M → B^2kU(1)_∇ يكون بمثابة التواء لكوهومولوجيا ديلين الدوري. لأسباب التكافؤ، فئة الالتواء الطوبولوجي الأساسي h ∈ H^2k+1(S^2k;ℤ) يختفي. حسب الخاصية (ثالثًا) الاقتراح 18، ويترتب على ذلك أن لدينا تماثلًا

مع النظرية الأساسية غير الملتوية. قمنا بحساب المجموعات المقابلة في وقت سابق في المثال 4 (المقطع 3.2)، والذي ينتج عنه فورًا

حالة الكرات الفردية أكثر تعقيدا.

مثال 12 (كوهومولوجيا ديلين الدوري الملتوي للكرات الفردية). بالنسبة للكرات الفردية، فإن الالتواء الوحيد المثير للاهتمام هو التحسينات التفاضلية للطوبولوجية الالتواءات [h] ∈ H^2k+1(S^2k+1;ℤ). اختر مثل هذا التحسين التفاضلي : M →B^2kU(1)_∇. ثم يحتوي التسلسل الطيفي على تفاضل واحد غير بديهي

يحدث على (2k + 1)-الصفحة. هنا Ω_dH-cl^odd تشير إلى تلك الأشكال الفردية المغلقة بالنسبة إلى التفاضل الملتوي d_H. يُعطى التقييد على العامل U(1) بجداء الكأس ديلين-بيلنسون مع []. ويمكن حساب ذلك على النحو التالي. كما هو مذكور أعلاه، دع h هو العدد الصحيح الذي يمثل الفئة الطوبولوجية h ∈ ℤ. بالنسبة إلى 𝜃 ∈ U(1)، لدينا [] ∪_DB𝜃 = h𝜃. نواة d_2k+1 يقتصر على هذا العامل المجموعة الفرعية h - جذور الوحدة وهي متماثلة الشكل ℤ∕h. نظرًا لأن التطبيق 𝜃h𝜃 نهائية نظرية التماثل الأولى تشير إلى أن العامل Ω_dH-cl^odd(S^2k+1) يُفنى بواسطة d_2k+1.

يبقى حل مشكلة التمديد

الآن لأي مجموعة أبيلية A وأي مجموعة قابلة للقسمة B تختفي المجموعة Ext Ext(A,B). بما أن المجموعة Ω_dH-cl^odd(S^2k+1) قابلة للقسمة، ثم لدينا

وبالتالي فإن الامتداد يجب أن يكون تافهاً ونستنتج ذلك

شكر وتقدير.. يشكر المؤلفون المنظمين والمشاركين في ندوة التحليل الهندسي والطوبولوجيا في معهد كورانت في جامعة نيويورك لسؤاله عن التواء كوهومولوجيا ديلين، خلال محاضرة H.S.، والتي شجع المؤلفين على إنهاء هذا المشروع المكون من مرحلتين، بدءًا من [GS17b].

References