علاقة عملية بين أزمنة اندماج ثنائيات الثقوب السوداء وخصائص المجرات المضيفة

الملخص

على مدى السنوات 15 الماضية، بيّنت الأدلة بوضوح أن المقاييس الزمنية لاندماج ثنائيات الثقوب السوداء فائقة الكتلة (MBH) تعتمد اعتمادا قويا على الخصائص البنيوية والحركية لمجراتها المضيفة. فالكثافة النجمية، ومحتوى الغاز، والشكل، والحركيات تؤدي كلها دورا، وتتآلف بطرائق لاخطية في التأثير في تطور الثنائية. كما أن خصائص الثنائية نفسها، مثل الشذوذ المركزي، ونسبة الكتلة، والمستوى المداري، مهمة كذلك. وهذا يجعل تقدير معدلات اندماج ثنائيات MBH الكونية بدقة، أو توليد مجالات لمعدلات الاندماج تعكس توزع المجرات المضيفة والمدارات، أمرا غير بسيط. وباستخدام مجموعة واسعة من محاكاة $N-$الأجسام المباشرة عالية الدقة، التي تستند فيها هيئة كل مجرة مضيفة وبنيتها وحركياتها مباشرة إلى الرصد، نرسم خريطة للمقاييس الزمنية لاندماج ثنائيات MBH عبر مدى من المجرات المضيفة ومدارات ثنائيات MBH. وينتج عن ذلك طيف ملائم من علاقات القياس لتحديد المقاييس الزمنية لاندماج ثنائيات MBH، وكذلك مدى هذه المقاييس الزمنية، بوصفها دوال في المرصودات الأساسية. ويمكن استخدام علاقات القياس هذه بسهولة نموذجا دون شبكي في الدراسات الكونية أو شبه التحليلية، مثلا لنمذجة معدلات الأحداث لدى LISA أو توقيت النجوم النابضة.

1 مقدمة

من المتوقع أن تكشف سماء الموجات الثقالية منخفضة التردد عن جمهرة من ثنائيات الثقوب السوداء فائقة الكتلة (MBH) $({10}^4\text{–}{10}^9{M}_{\odot })$ في أثناء التفافها الحلزوني واندماجها عميقا داخل ألباب المجرات في أنحاء الكون. وربما تكون مصفوفات توقيت النجوم النابضة (Taylor, 2021) قد رصدت بالفعل الجزء الأعلى كتلة من هذه الجمهرة $(\gtrsim {10}^8{M}_{\odot })$ مع الرصد 2023 لخلفية موجات ثقالية عشوائية في نطاق تردد النانوهرتز، وهي متسقة مع مجموع ثنائيات MBH كثيرة على مدارات تمتد عقودا (Agazie et al., 2023a; EPTA Collaboration et al., 2023; Reardon et al., 2023; Xu et al., 2023; Miles et al., 2025). ومع أن رصد توقيت النجوم النابضة لخلفية موجات ثقالية عند النانوهرتز واضح، فثمة بعض التوتر بين أرصاد توقيت النجوم النابضة والنماذج النظرية، لأن الخلفية المقيسة أعلى شدة من المتوقعة؛ فإذا كانت الخلفية العشوائية تنتج حصرا من ثنائيات MBH، فقد تشير إلى جمهرة أعلى كتلة، و/أو أكثر عددا، و/أو أسرع تطورا مما كان متوقعا (Agazie et al., 2023b; EPTA Collaboration et al., 2024; Laal et al., 2025). ومع هوائي مقياس التداخل الليزري الفضائي (LISA)، وهو مرصد موجات ثقالية فضائي تابع لوكالتي ESA/NASA ومقرر إطلاقه في 2035، يتوقع أن يكون اندماج ثنائيات ${10}^4-{10}^7{M}_{\odot }$ قابلا للرصد حتى انزياح أحمر 20 وبنسب إشارة إلى ضجيج تبلغ المئات (Colpi et al., 2024)، الأمر الذي سيساعدنا في تركيب صورة أكمل لتجمع MBH عبر كامل طيف الكتل وعبر الزمن الكوني.

يتطلب استنتاج نشأة MBH وتطورها من أرصاد LISA وتوقيت النجوم النابضة تنبؤات عالية الموثوقية بمعدلات اندماج MBH وديموغرافيتها (مثلا Holley-Bockelmann et al., 2010; Chen et al., 2017; Taylor et al., 2017; Colpi et al., 2019, والمراجع الواردة فيه). غير أن تنبؤات معدلات اندماج MBH تمتد على رتبتين عشريتين (Amaro-Seoane et al., 2023)، ويعود معظم هذا الارتياب إلى الارتياب في المقياس الزمني لاندماج MBH (مثلا Merritt, 2013, والمراجع الواردة فيه). وتكثر أسباب ذلك: فالمحاكاة الكونية والنماذج شبه التحليلية لا تستطيع أن تدرج فيزياء الغاز والنجوم والجاذبية ذات الصلة عبر 12 رتب عشرية في المقياس المكاني بينما تشق MBH طريقها من مجرات منفصلة إلى الاندماج، ولذلك يجب على كل دراسة أن تختار الفيزياء التي ستقاربها. وعلى نحو عام، يقود الاحتكاك الديناميكي MBH إلى مركز المجرة، حيث تلتقي وتكوّن ثنائية. وبعد ذلك، يقلص سحب الغاز وتشتت النجوم مدار الثنائية بمعامل $𝒪({10}^2-{10}^4)$ إلى أن يهيمن إصدار الموجات الثقالية وتلتحم الثنائية (Begelman et al., 1980).

ثمة ممارسة شائعة تتبناها المحاكاة الكونية تتمثل في ترحيل MBH اصطناعيا نحو مركز جهد مجرتها المضيفة، بما يكافئ أساسا مساواة معدل اندماج MBH بمعدل اندماج المجرات (مثلا Sijacki et al., 2015; Schaye et al., 2015; Huang et al., 2018). وتهمل هذه الممارسة ديناميكيات الثنائية والتأخيرات المصاحبة التي قد تنجم عن العملية. أما التقديرات الأكثر تطورا فتدرج الاحتكاك الديناميكي على الثقب الأسود الساقط في أثناء التشغيل أو من خلال تحليل لاحق للمعالجة (مثلا Micic et al., 2011; Just et al., 2011; Antonini and Merritt, 2012; Tremmel et al., 2015; Dosopoulou, 2018; Barausse et al., 2020; Ma et al., 2023). وفي المحاكاة الكونية، يجلب ذلك MBH إلى داخل الدقة المكانية للمحاكاة ($\sim 100$ pc)؛ وعند هذا الفصل لا تكون MBH مرتبطة طاقيا كثنائية، لكنها تُجبر مع ذلك على الاندماج (مثلا Tremmel et al., 2018; Genina et al., 2024). وقد تحقق حديثا تقدم هائل في هذا المجال بفضل الإتاحة العامة لحزمة KETJU، التي تغير طريقة معالجة التآثرات الثقالية بين جسيمات الثقوب السوداء فائقة الكتلة والجسيمات النقطية غير التصادمية بحيث لا تعود الحاجة إلى تليين الجاذبية في التآثرات القريبة (Mannerkoski et al., 2023)؛ وفي الوقت الراهن تمنع كلفة تقنية الانتظام استخدامها في أحجام كونية كبيرة منتظمة، غير أن أداء KETJU في محاكاة التكبير وفي اندماجات المجرات المعزولة يجعلها واعدة جدا للمستقبل (مثلا Rawlings et al., 2025; Attard et al., 2024; Partmann et al., 2024).

لم يطبق التطوير الصريح لـ MBH خلال طور التشتت النجمي داخل محاكاة كونية، ولذلك اقترح Sesana and Khan (2015) وصفة لتقدير عمر ثنائية MBH اعتمادا على مجموعة من محاكاة $N-$الأجسام وتجارب التشتت. وقد اعتمدت وصفتهم على الكثافة النجمية المركزية وتشتت السرعات عند نصف قطر تأثير ثنائية MBH. واقترح Vasiliev et al. (2015) نموذجا مشابها استنادا إلى اندماجات النوى المجرية ذات النتوءات المركزية. وقد استُخدمت هذه الوصفات على نطاق واسع في النماذج شبه التحليلية وفي المعالجة اللاحقة للمحاكاة الكونية لتقدير عمر ثنائية MBH في المرحلة اللاحقة لاندماج المجرات (Kelley et al., 2017c; Biava et al., 2019; Volonteri et al., 2020b; Bortolas et al., 2021; Sykes et al., 2022; Chen et al., 2022; Agazie et al., 2023a; Truant et al., 2025). إلا أن كرة التأثير غير محلولة في المحاكاة الكونية، ومن ثم تُقدّر المدخلات الأساسية للوصفة باستقراء ملفات المجرة المضيفة نحو الداخل من مقاييس أكبر بمئات المرات، مما ينتج قيما غير دقيقة. ومما يزيد الأمر تعقيدا أن دراسات حديثة كثيرة أظهرت أن الخصائص الحركية والبنيوية للمجرة المضيفة، مثل الدوران (Holley-Bockelmann and Khan, 2015a; Rasskazov and Merritt, 2016; Mirza et al., 2017; Avramov et al., 2021)، والقضبان (Bortolas et al., 2022b)، والعناقيد النجمية النووية (Khan and Holley-Bockelmann, 2021; Khan et al., 2024; Mukherjee et al., 2025)، تؤدي دورا مهما في تحديد مصير الثنائية فائقة الكتلة.

هدف هذه الورقة هو إيجاد علاقة تجريبية بين زمن التحام ثنائية MBH وخصائص المجرة المضيفة والتكوين المداري. وتضحي هذه المحاولة بالفهم العميق للعمليات الديناميكية الدقيقة المؤثرة في تفاعل معين لثنائية ثقوب سوداء لصالح ملاءمة شاملة للمقياس الزمني بوصفه دالة في مرصودات يسهل نسبيا قياسها من جمهرة مجرات حقيقية أو محاكاة. ونعرض هنا نموذجا يستند إلى مجموعة من محاكاة $N-$الأجسام لتطور ثنائيات MBH في مجرات مضيفة واقعية تتضمن طيفا من السمات، مثل الدوران، وثلاثية المحاور، والعناقيد النجمية النووية المركزية، وهي سمات ثبت أنها تؤثر في المقاييس الزمنية لالتحام MBH. وتعتمد وصفتنا المحسنة على معاملات مثل الكتلة النجمية للمجرة، ونصف القطر الفعال، و$v/\sigma$، وهي معاملات يسهل الحصول عليها من المحاكاة الكونية ومن الأرصاد على السواء.

تنظم الورقة على النحو الآتي: يعرض القسم 2 السمات المستخدمة في الدراسة، بما في ذلك كيفية بناء مجموعة المحاكاة وتشغيلها؛ ويناقش القسم 3 طرائق تحديد علاقة متينة وتنبؤية بين زمن الالتحام وخصائص المجرات؛ ويعرض القسم 4 نموذجين يتنبآن بزمن الالتحام بخطأ كسري أقل من $40\%$ اعتمادا على الخصائص المرصودة للمجرة المضيفة والتكوين المداري للثقب الأسود؛ أما القسم 5 فيلخص النتائج، ويشير إلى المحاذير، ويرسم ملامح العمل المستقبلي.

2 البيانات والسمات

على امتداد عقد من الزمن، جمعنا مجموعة من 28 محاكاة $N$-الأجسام المباشرة عالية الدقة لالتحام ثنائيات MBH داخل نماذج مجرات مضيفة تستند خصائصها البنيوية والحركية إلى الأرصاد. وتمتد نماذج المجرات هذه عبر مدى أنواع المجرات، من الإهليلجيات القزمة الخافتة، إلى الأقزام الكلاسيكية، إلى درب التبانة، إلى M87. وقد ظهرت كثير من هذه المحاكاة، لا كلها، في منشورات أخرى (مثلا Khan et al., 2015; Holley-Bockelmann and Khan, 2015b; Khan and Holley-Bockelmann, 2021; Khan et al., 2024)، وتستغرق عادة أشهرا من الزمن الجداري على معماريات GPU متوازية. ورغم أن عينتنا تتضمن أنظمة متعددة المكونات ذات انتفاخات وأقراص وغالبا عناقيد نجمية نووية NSCs، فإننا لم ندرج مجرات قضيبية أو غير منتظمة. ولدى معظمها قياسات واضحة لثقب أسود مركزي، مع الإقرار بأنه لا يعرف أن أيا منها يحوي ثنائيات MBH. وتركز نماذج الاتزان لدينا على المركز المجري، الذي يمتد، تبعا للنموذج، إلى نحو بضع مئات من الفرسخ الفلكي. يلخص الجدول 1 معاملات المجرة وMBH المركزي. ونؤكد أنه عندما يدرج اسم نموذج المجرة، فإن المعاملات تحددها القياسات الرصدية؛ وإلا فتختار المعاملات من توزع قياسات لتلك الفئة المجرية. في هذه الدراسة، نهتم بعزل أثر التشتت النجمي في قيادة تطور الثنائية، ولذلك فإن النماذج كلها خالية من الغاز والمادة المظلمة . ننشئ تمثيلا جسيميا N-الأجسام باستخدام AGAMA (Vasiliev, 2019)، وهو يتيح لنا أخذ عينات من مدارات كل جهد بطريقة شفارتزشيلد، مع افتراض تقريب جينز لإسناد مركبات السرعة.

ترد كل عملية تشغيل في الجدول 2. وبوجه عام، نطلق ثقبا أسود ثانويا عند عدة أضعاف نصف قطر تأثير الثقب الأسود الأساسي وبشذوذ مركزي ابتدائي 0.5، إما على مدار تقدمي أو تراجعي عندما تكون المجرة الأساسية دوارة. وعند هذا الفصل نستطيع رصد الجزء الأخير من طور الاحتكاك الديناميكي، وكذلك طور اقتران الثنائية وتصليبها، ونوقف التشغيل عندما يصبح فصل الثنائية صغيرا بما يكفي لأن يصبح الإشعاع الثقالي مهما. نكامل التطور باستخدام مخطط تكامل هرمايتي من الرتبة 4 في $\mathrm{\Phi }$-GPU، وهو كود N-الأجسام مباشر مسرع بوحدات GPU (Berczik et al., 2024). وتملك $\mathrm{\Phi }$-GPU تليينا اختياريا لمنع تشكل الثنائيات النجمية؛ ونستخدم ${ϵ}_{\mathrm{BH}}=0$ لتفاعلات BH-BH و${ϵ}_{\mathrm{star}}={10}^{-2}$ فرسخ فلكي لتفاعلات نجم-نجم. أما في تفاعلات BH-نجم، فإن معامل التليين هو:

$${ϵ}_{\star ,\mathrm{MBH}}=\sqrt{\frac{{ϵ}_{\star }^2+{ϵ}_{\mathrm{MBH}}^2}{2}}.$$ (1)

لما كان هدفنا هو ربط المقاييس الزمنية لاندماج MBH بخصائص المجرات والمدارات الكلية، فإن السمات المثلى هي تلك التي يمكن قياسها بسهولة نسبية بالأرصاد أو بالمحاكاة الكونية. بدأنا بالمجموعة أدناه. ومع أن كثيرا من السمات في هذه القائمة متداخلة بالتأكيد، فقد قررنا ألا ننتقي مسبقا السمات المهمة لتنبؤنا بزمن الالتحام. وفي القسم التالي، نصف معالجتنا للارتباطات بين السمات عند تحديد علاقتنا النهائية.

• دليل Sérsic، n. يقيس هذا رسميا شكل ملف السطوع السطحي (Sérsic, 1963; Sersic, 1968)، ويمكن تحويله إلى ملف كثافة نجمية 3-الأبعاد، $\rho (r)$ باستخدام Prugniel and Simien (1997) (انظر أيضا Terzić and Graham (2005)):

  $$\rho (r)={\rho }_0{\left(\frac{r}{R_e}\right)}^{-p}{e}^{-b{(r/R_e)}^{(1/n)}},$$ (2)

  حيث إن $r$ هي المسافة الشعاعية من مركز المجرة، وn هو دليل Sérsic، و$R_e$ هو نصف القطر الفعال. أما ${\rho }_0$ فهي كثافة التطبيع التي تعتمد على الكتلة الكلية للمجرة ونصف القطر الفعال. ويمكن التعبير عن دليل قانون القوة، $p$، والمعامل $b$ كما يأتي: $p=1.0-0.6097/n+0.05563/n^2$، و$b\approx 2n-1/3+0.009876/n$، من أجل (Terzić and Graham, 2005).

• كتلة ثنائية الثقوب السوداء، $M_{\mathrm{BBH}}$، وكتلة الثقب الأسود الأساسي، $M_{\mathrm{BH1}}$، وكتلة الثقب الأسود الثانوي، $M_{\mathrm{BH2}}$ $[M_{\odot }]$، ونسبة الكتلة، $q$.

• الكتلة النجمية للمجرة، $M_{\mathrm{gal}}^{\ast }[M_{\odot }]$، ونصف القطر الفعال، $R_{\mathrm{eff}}[\mathrm{pc}]$. ومرة أخرى، فإن جمع هذه السمات ليس مستقلا تماما عن دليل Sérsic أعلاه ولا عن الكثافة النجمية في القسم التالي.

• كتلة العنقود النجمي النووي، $M_{\mathrm{NSC}}[M_{\odot }]$، ونصف القطر الفعال للعنقود النجمي النووي، $R_{\mathrm{NSC}}[\mathrm{pc}]$.

• نسبة سرعة الدوران النجمي إلى تشتت السرعات، $v/\sigma$. قسنا هذه الكمية عند نصف قطر التأثير.

نظرنا أيضا في سمات يمكن قياسها من خلال المحاكاة العددية لكنها تكون صعبة، أو مستحيلة، الرصد. ورغم أن هذه المجموعة ستكون أقل قابلية للتطبيق الواسع، فقد أدرجناها تحسبا لتعذر التنبؤ بالمقياس الزمني لاندماج ثنائية الثقوب السوداء باستخدام المجموعة السابقة وحدها.

• اتجاه المستوى المداري لثنائية الثقوب السوداء، $\mathrm{Cos}\mathrm{\Theta }$. في تهيئتنا، تكون $\mathrm{\Theta }$ الزاوية بين محور الزخم الزاوي لمدار ثنائية الثقوب السوداء ومحور الزخم الزاوي للمكون النجمي في المجرة، وتمثل $\mathrm{\Theta }=0^{\circ }$ اتجاها تقدميا مستويا (دورانا مشتركا)، في حين تمثل $\mathrm{\Theta }={180}^{\circ }$ اتجاها تراجعيا مستويا (دورانا مضادا). ولا تحتوي مجموعتنا المدخلة إلا على تهيئات ذات دوران مشترك أو مضاد خالصين، لكن لدينا مجموعة (الجدول 3) تغير $\mathrm{Cos}\mathrm{\Theta }$ بين -1 و1، ونستخدمها لاختبار الملاءمة. ملاحظة: جمعنا Cos  $\mathrm{\Theta }$ و$\frac{v}{\sigma }$ للتعبير بصورة مدمجة عن دوران المجرة كما يسقط على المستوى المداري لثنائية الثقوب السوداء، ${v/\sigma |}_{\text{proj}}$.

• الكثافة النجمية المركزية الابتدائية، ${\rho }_0$، والكثافة النجمية عند نصف قطر تأثير الثقب الأسود الأساسي، ${\rho }_{\mathrm{infl}}$ $[M_{\odot }/{\mathrm{pc}}^3]$، والكثافة النجمية عند نصف قطر تأثير ثنائية الثقوب السوداء، ${\rho }_{\mathrm{infl},\mathrm{b}}$. لاحظ أن هذه السمات مرتبطة بقوة بدليل Sérsic.

• نصف قطر التصليب، $r_h[\mathrm{pc}]$، والكثافة النجمية عند نصف قطر التصليب، ${\rho }_{\mathrm{h}}$ $[M_{\odot }/{\mathrm{pc}}^3]$. نصف قطر التصليب هو الفصل بين الثقبين الأسودين بعد تشكل الثنائية بحيث تزيد اللقاءات النجمية اللاحقة طاقة ارتباط الثنائية، أي إنها "تصلب" الثنائية. ويمكن التعبير عن نصف قطر التصليب كما يأتي: $r_h=G{M}_2/4{\sigma }_{\star }^2$، حيث $M_{\mathrm{BH2}}$ هي كتلة الثقب الأسود الثانوي، و${\sigma }_{\star }$ هو تشتت السرعات النجمية قرب الثنائية (Heggie, 1975).

• الشذوذ المركزي الابتدائي، $e_i$، والشذوذ المركزي عند نصف قطر التصليب $e_{r_h}$. لاحظ أن $e_{r_h}$ مرتبط بـ $\mathrm{Cos}\mathrm{\Theta }$، بمعنى أن الشذوذ المركزي يعزز إلى مدارات شعاعية في الاتجاهات ذات الدوران المضاد  (Iwasawa et al., 2011; Mirza et al., 2017).

• معامل التصليب، $s$ $[{\mathrm{pc}}^{-1}/\mathrm{Myr}]$. نلاحظ أن $s$ مقياس معروف جيدا لمعدل انكماش مدار ثنائية الثقوب السوداء، وغالبا ما يؤخذ بديلا عن زمن الاندماج. ومن المعروف أنه شديد الارتباط بالكثافة النجمية المركزية  (Quinlan, 1996).

لتوضيح المسألة على نحو أفضل، ولفحص دقة مجموعة المحاكاة لدينا، تعرض اللوحة اليسرى من الشكل 1 معامل التصليب، s، بوصفه دالة في الكثافة النجمية عند نصف قطر تأثير الثنائية، ${\rho }_{r_{\mathrm{infl},\mathrm{b}}}$. وتشير قوة هذا الارتباط إلى أن المعدل الذي ينكمش به مدار الثنائية خلال طور التشتت النجمي مقترن مباشرة بكثافة الخزان النجمي في مخروط الفقد للثنائية (Quinlan and Hernquist, 1997)؛ وتنجح مجموعة المحاكاة لدينا في إعادة إنتاج هذه النتيجة، وهو مؤشر واعد على أنها تحل التآثرات بين ثنائية الثقوب السوداء والجسيمات النجمية الفردية. وقد يكون من المغري ربط $s$ أو ${\rho }_{r_{\mathrm{infl},\mathrm{b}}}$ مباشرة بزمن التحام الثنائية، غير أن اللوحة اليمنى من الشكل 1 تشير إلى أن زمن الالتحام تقوده فيزياء إضافية. ففي حال معامل تصليب معين، يختلف زمن الالتحام بمعامل 100؛ ويمكن تفسير معظم هذا الاختلاف بما إذا كان الثقب الأسود الثانوي يدخل في مدار تقدمي (وردي) أو تراجعي (أخضر) بالنسبة إلى دوران المجرة. ويلمح الشكل 2 كذلك إلى أن زمن الالتحام قد يوصف على أفضل وجه كمتشعب في فضاء سمات أعلى أبعادا، مع تشتت كبير واختلاف واضح في زمن الالتحام لمدارات مختلفة لثنائية الثقوب السوداء عند رسمه بوصفه دالة في الكتلة النجمية للمجرة (يسارا)، أو كتلة ثنائية الثقوب السوداء (وسطا)، أو الشذوذ المركزي للثنائية في نظام الموجات الثقالية (يمينا).

Table 1: خصائص المجرة المضيفة.

Galaxy	Sérsic index	$M_{\mathrm{gal}}^{\ast }$	${\rho }_0$	$R_{\mathrm{eff}}$	$v/\sigma$	$M_{\mathrm{NSC}}$	$R_{\mathrm{NSC}}$	$M_{\mathrm{BH1}}$	$r_{\mathrm{infl}}$	${\rho }_{{\mathrm{r}}_{\mathrm{infl}}}$
		${10}^9$ M⊙	M${}_{\odot }{}^{}/{\mathrm{pc}}^3$	kpc		${10}^7$ M⊙	pc	${10}^6$M⊙	pc	$M_{\odot }/{\mathrm{pc}}^3$
NGC2639	$3.34$	$720$	$1\times {10}^4$	$5.63$	$0.5$	–	–	$1700$	$130$	$290$
NGC1374	$3.7$	$33.1$	$2\times {10}^4$	$2.34$	$0.65$	–	–	$580$	$175$	$2.1\times {10}^4$
NGC6958	$3.3$	$36$	$1\times {10}^3$	$2.59$	$0.5$	–	–	$360$	$160$	$18$
MW	$1.32$	$9.6$	$1\times {10}^7$	$1.0$	$0.6$	$4.0$	$4.2$	$4.0$	$1.2$	$2.6\times {10}^5$
M32	$1.6$	$1.04$	$1\times {10}^7$	$0.18$	$0.7$	$1.45$	$4.4$	$2.5$	$1.61$	$6.5\times {10}^4$
NGC5102	$3.0$	$5.98$	$2\times {10}^6$	$1.2$	$0.6$	$0.71$	$1.6$	$0.88$	$1.2$	$2.0\times {10}^5$
NGC5206	$2.57$	$2.43$	$1\times {10}^6$	$0.99$	$0.25$	$0.17$	$3.4$	$0.47$	$1.0$	$6.0\times {10}^4$
NGC404	$2.5$	$0.86$	$2\times {10}^5$	$0.675$	$0.2$	$0.34$	$1.6$	$0.07$	$0.35$	$1.0\times {10}^5$
NGC205	$1.4$	$0.97$	$1\times {10}^6$	$0.52$	$0.2$	$0.18$	$1.3$	$0.04$	$0.14$	$6.0\times {10}^5$

العمود 1: نموذج المجرة؛ العمود 2: دليل Sérsic للملف النجمي؛ العمود 3: الكتلة النجمية للمجرة الأساسية بوحدات ${10}^9$ M_⊙، العمود 4: الكثافة النجمية المركزية بوحدات M${}_{\odot }{}^{}/{\mathrm{pc}}^3$؛ العمود 5: نصف القطر الفعال للمجرة الأساسية بوحدات kpc؛ العمود 6: نسبة سرعة الدوران إلى تشتت السرعات النجمية 3-d؛ العمود 7: كتلة العنقود النجمي النووي بوحدات ${10}^7$ M_⊙؛ العمود 8: نصف قطر مقياس العنقود النجمي النووي بوحدات الفرسخ الفلكي؛ العمود 9: كتلة الثقب الأسود المركزي بوحدات ${10}^6$ M_⊙؛ العمود 10: نصف قطر تأثير الثقب الأسود الأساسي بوحدات الفرسخ الفلكي؛ العمود 11: الكثافة النجمية عند نصف قطر التأثير بوحدات M${}_{\odot }{}^{}/{\mathrm{pc}}^3$.

Table 2: عمليات تشغيل تطور ثنائيات MBH

Galaxy Run	$M_{\mathrm{BH2}}$	$M_{\mathrm{BBH}}$	$r_{\mathrm{infl},\mathrm{b}}$	${\rho }_{{\mathrm{r}}_{\mathrm{infl},\mathrm{b}}}$	$s$	$e_{\mathrm{i}}$	$e_{\mathrm{f}}$	$T_{\mathrm{coal}}$
	${10}^6$ M⊙	${10}^6$ M⊙	pc	$M_{\odot }/{\mathrm{pc}}^3$	${\mathrm{pc}}^{-1}/\mathrm{Myr}$			$\mathrm{Gyr}$
NGC2639-p	$1700$	$3400$	$257$	$67$	$0.0057$	$0.14$	$0.21$	$0.742$
NGC2639-p4	$425$	$2125$	$178$	$136$	$0.012$	$0.05$	$0.05$	$0.61$
NGC2639-r4	$425$	$2125$	$180$	$145$	$0.011$	$0.92$	$0.99$	$0.07$
NGC1374-p	$580$	$1160$	$431$	$10.1$	$0.00085$	$0.05$	$0.02$	$6.75$
NGC1374-r	$580$	$1160$	$411$	$10.2$	$0.00068$	$0.82$	$0.95$	$1.46$
NGC1374-p4	$145$	$725$	$263$	$10.4$	$0.00265$	$0.04$	$0.05$	$3.97$
NGC1374-r4	$145$	$725$	$257$	$10.4$	$0.00264$	$0.8$	$0.98$	$0.37$
NGC6958-p4	$90$	$450$	$232$	$10.8$	$0.003$	$0.06$	$0.07$	$4.775$
NGC6958-r4	$90$	$450$	$226$	$10.4$	$0.0029$	$0.98$	$0.99$	$0.256$
NGC6958-p10	$36$	$396$	$190$	$15.6$	$0.0049$	$0.17$	$0.15$	$3.96$
NGC6958-r10	$36$	$396$	$185$	$15.5$	$0.0037$	$0.98$	$0.985$	$0.34$
MW-p	$4.0$	$8.0$	$5.16$	$3.4\times {10}^3$	$0.78$	$0.05$	$0.05$	$0.578$
MW-p4	$1.0$	$5.0$	$2.6$	$4.1\times {10}^4$	$5.13$	$0.14$	$0.18$	$0.176$
MW-r4	$1.0$	$5.0$	$2.7$	$4.1\times {10}^4$	$3.3$	$0.72$	$0.98$	$0.034$
MW-p10	$0.4$	$4.4$	$2.2$	$7.4\times {10}^4$	$13.2$	$0.16$	$0.18$	$0.104$
MW-r10	$0.4$	$4.4$	$2.2$	$7.4\times {10}^4$	$11.5$	$0.8$	$0.83$	$0.05$
M32-p	$2.5$	$5.0$	$7.5$	$2.89\times {10}^3$	$0.47$	$0.03$	$0.02$	$1.014$
M32-p4	$0.62$	$3.1$	$6.5$	$3.68\times {10}^3$	$1.8$	$0.1$	$0.08$	$0.489$
M32-r4	$0.62$	$3.1$	$6.5$	$3.71\times {10}^3$	$1.9$	$0.98$	$0.91$	$0.162$
M32-p10	$0.25$	$2.75$	$5.5$	$4.78\times {10}^3$	$2.7$	$0.13$	$0.14$	$0.437$
M32-r10	$0.25$	$2.75$	$5.6$	$4.7\times {10}^3$	$2.86$	$0.97$	$0.90$	$0.128$
NGC5102-p	$0.88$	$1.76$	$1.9$	$4.5\times {10}^4$	$8.8$	$0.18$	$0.54$	$0.176$
NGC5102-r	$0.88$	$1.76$	$1.9$	$4.5\times {10}^4$	$8.3$	$0.45$	$0.99$	$0.014$
NGC5206	$0.47$	$0.94$	$2.9$	$2.0\times {10}^4$	$3.73$	$0.1$	$0.4$	$0.523$
NGC5206-e	$0.47$	$0.94$	$2.9$	$2.0\times {10}^4$	$3.73$	$0.1$	$0.92$	$0.173$
NGC404	$0.07$	$0.14$	$0.7$	$1.1\times {10}^5$	$49$	$0.2$	$0.5$	$0.218$
NGC205	$0.04$	$0.08$	$0.25$	$7.0\times {10}^5$	$299$	$0.2$	$0.39$	$0.074$
NGC205-4	$0.0055$	$0.0275$	$0.255$	$5.3\times {10}^5$	$223$	$0.08$	$0.09$	$0.205$

العمود 1: عملية تشغيل المحاكاة. يطابق الاسم الأساسي نموذج المجرة الأساسية كما وصف في الجدول 1. أما اللاحقة بعد الشرطة، إن وجدت، فتعكس خصائص مدار الثقب الأسود الداخل: يشير الحرف إلى اتجاه دوران الثقب الأسود بالنسبة إلى محور الزخم الزاوي للمجرة الأساسية، ويشير الرقم إلى نسبة كتلة الثقب الأسود الأساسي إلى الثانوي. تحديدا، يرمز p إلى المدار التقدمي، وr إلى المدار التراجعي، وغياب الحرف يعني أن الأساسية لم تكن دوارة، وe يقابل عملية تشغيل ضبط فيها مدار الثقب الأسود على شذوذ مركزي أعلى بعد التصليب بقليل. لاحظ أنه إذا لم يوجد رقم، فإن الثقبين الأسودين متساويا الكتلة؛ العمود 1: كتلة الثقب الأسود الثانوي بوحدات ${10}^6$ M_⊙؛ العمود 2: الكتلة الكلية لثنائية الثقوب السوداء بوحدات ${10}^6$ M_⊙، العمود 3: نصف قطر تأثير ثنائية الثقوب السوداء بوحدات الفرسخ الفلكي؛ العمود 4: الكثافة النجمية عند نصف قطر تأثير الثنائية بوحدات M${}_{\odot }{}^{}/{\mathrm{pc}}^3$؛ العمود 5: معدل التصليب بوحدات pc^-1/Myr؛ العمود 6: الشذوذ المركزي عند وقت تشكل الثنائية؛ العمود 7: الشذوذ المركزي في نظام الموجات الثقالية في نهاية المحاكاة؛ العمود 8: زمن التحام ثنائية الثقوب السوداء بوحدات Gyr.

Figure 1: يسارا: الكثافة النجمية للمجرة المضيفة عند نصف قطر تأثير الثنائية، ${\rho }_{\text{infl,b}}$، في مقابل $s$، أي معامل تصليب الثنائية. تشير النقاط الملونة إلى اتجاه الزخم الزاوي المداري لثنائية الثقوب السوداء بالنسبة إلى اتجاه المجرة المضيفة. البرتقالي الفاتح: لا دوران؛ الوردي: تراجعي؛ الأخضر: تقدمي. وعلى مدى 6 رتب عشرية في الكثافة النجمية، توجد علاقة محكمة بين الكثافة النجمية وتصليب ثنائية الثقوب السوداء، مع فروق طفيفة فقط تعود إلى المدار أو الحركيات أو الشكل. لاحظ أن أفضل ملاءمة للحالات التقدمية والتراجعية مرسومة بالوردي والأخضر، على الترتيب؛ وهما غير قابلتين للتمييز في هذا الشكل. ويشير ذلك إلى أن المحاكاة تحل طور التشتت قليل الأجسام على نحو ملائم، ويتسق مع نتيجة أن استخراج الطاقة من مدار ثنائي يعتمد على الكثافة النجمية في مخروط الفقد (مثلا Quinlan, 1996). يمينا: معامل تصليب الثنائية، $s$، في مقابل زمن الالتحام، log(T${}_{\text{coal}}{}^{})$. وعند معامل تصليب معين، يوجد فرق يتراوح بين 1-2 رتب عشرية في زمن الالتحام، مفصولا عموما بحسب مدار الثنائية، إذ تستغرق التهيئات التقدمية زمنا أطول للاندماج من نظيراتها التراجعية.

Figure 2: زمن التحام ثنائية MBH بوصفه دالة في سمات مختارة. في كل لوحة، تلون النقاط بحسب اتجاه متجه الزخم الزاوي المداري للثنائية بالنسبة إلى اتجاه المجرة المضيفة. الأخضر: تقدمي؛ البرتقالي الفاتح: مضيف غير دوار؛ الوردي: مدارات تراجعية. يسارا: نختار سمة مرتبطة بالمجرة المضيفة، وهي الكتلة النجمية للمجرة. وسطا: نعرض زمن الالتحام بوصفه دالة في سمة مرتبطة بالثقب الأسود، وهي كتلة ثنائية الثقوب السوداء، M${}_{\text{BBH}}$. يمينا: نبين كيف يعتمد زمن الالتحام على الشذوذ المركزي عند نصف قطر التصليب، $e_{r_h}$. لاحظ درجة التشتت الكبيرة في زمن الالتحام في كل لوحة، وكذلك التجمع القوي لزمن الالتحام بحسب مدار الثنائية؛ وهذه مؤشرات على أن هذه السمات إسقاط لمتشعب أعلى أبعادا، وأن المدار أحد المتنبئات الرئيسية بزمن الالتحام.

3 طرائق إيجاد الملاءمة

لما كانت معظم تقنيات الانحدار تتطلب سمات ذات مدى ديناميكي أو تدرج وحدات متشابه، فقد حوّلنا عدة سمات قبل البحث عن علاقتنا الخاصة بالمقياس الزمني للاندماج. أخذنا اللوغاريتم لكل الكتل والكثافات وزمن الالتحام، ومركزنا كل سمة بطرح المتوسط. لاحظ أن بياناتنا المدخلة لا تأخذ عينات إلا من إسقاطات تقدمية أو تراجعية خالصة؛ وسنستخدم مجموعة منفصلة ذات مدى من إسقاطات المستوى المداري لاختبار النموذج.

يبدو أن الانحدار الخطي، مقترنا باختيار أفضل مجموعة فرعية، هو النهج الأمثل لاختيار متنبئ جيد بزمن الالتحام وبناء نموذج عالي القابلية للتفسير من السمات الرصدية. لهذا النهج سلبيات: فعلى وجه التحديد، نفترض أن المتغير التابع، أي زمن الالتحام، دالة خطية في توليفة ما من السمات، وقد لا يستكشف الانحدار الخطي إلا عددا محدودا من النماذج إذا كان عدد السمات كبيرا جدا. لكن للطرائق الأخرى سلبياتها أيضا. فعلى سبيل المثال، يحدد تحليل المكونات الرئيسية (PCA) توليفة خطية من السمات تولد متشعبا يحدث على امتداده التباين في البيانات، ويمد قريبه، PCA النواتي، تقنية PCA إلى السمات المرتبطة لاخطيا. ومع أننا وجدنا ملاءمة باستخدام PCA، فقد أسفرت عن نموذج أكثر تعقيدا، إما من حيث امتلاكه مكونات رئيسية أقل قابلية للتفسير أو حاجته إلى حدود زائدة أساسا. أما PCA النواتي، فيكون أنسب عندما نستطيع تقديم تأكيدات أقوى بشأن نوع اللاخطية الدقيق، وهو أمر لا نعرفه مسبقا. وقد تكون الطرائق غير الخاضعة للإشراف، مثل تحليل البيانات الطوبولوجي (TDA)، واعدة لأنها تكسر افتراضنا للخطية (Chazal and Michel, 2021). وفي TDA تعامل البيانات بوصفها بيانا موزونا في فضاء عالي الأبعاد، ويبحث التحليل عن عناقيد في البيانات لتحديد شكل هذا المتشعب داخل ذلك الفضاء. وتكمن المشكلة في أن كثيرا من دوافع TDA استمدت من تحليل مجموعات بيانات كبيرة، ومع مجموعة البيانات الصغيرة التي لدينا هنا فإن إيجاد عناقيد في البيانات وتحديد مصفوفات تغاير دقيقة ليسا، عمليا، متينين. ولو توفرت محاكاة كثيرة إضافية لثنائيات الثقوب السوداء في مجموعة البيانات، فقد يكون بناء نموذج بمعاملة البيانات طوبولوجيا أدق طريقة لكسر افتراض الخطية لدينا وتقريب متشعب لاخطي يمثل البيانات حقا. غير أننا ننبه إلى أن النتيجة قد تكون غير قابلة للتفسير، ومن ثم قد لا تخدم غرضا مفيدا بقدر علاقة قياس عملية تستخدم نموذجا دون شبكي لأزمنة اندماج ثنائيات الثقوب السوداء. وبعد تجربة تقنيات الملاءمة هذه، وجدنا أن الانحدار الخطي البسيط كان الأنسب لاحتياجاتنا وأفضى في النهاية إلى نموذج عالي القدرة التنبؤية.

3.1 تنفيذ انحدار أفضل مجموعة فرعية

بالنسبة إلى المجموعات الفرعية ذات الحجم n، اختبرنا $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{8}{n}\right)$ نموذجا. ومن أجل $n=$ 1، و2، و3، و4، اختبرنا 8، و28، و56، و70 نموذجا، على الترتيب. وكما نناقش أدناه، فإن النظر إلى أفضل النماذج لكل حجم مجموعة فرعية يتيح لنا تتبع وقت ظهور مجموعات فرعية صالحة، وكذلك تقدير وقت ظهور تعدد ارتباطات خطية قوي.

لكل مجموعة فرعية، نحسب معامل التحديد، $R^2$، مقياسا لمدى ملاءمة البيانات للنموذج. وتزداد $R^2$ مع زيادة n، ولذلك نعدل $R^2$ لمقارنة نماذج بأحجام مختلفة بحيث:

$$R_{\mathrm{adjusted}}^2=1-\left(\frac{RSS/(m-n-1)}{TSS/(m-1)}\right)=1-(1-R^2)\frac{m-1}{m-n-1},$$ (3)

حيث m هو عدد مشاهداتنا، وRSS هو مجموع مربعات البواقي (المرتبط بتباين النموذج)، وTSS هو مجموع المربعات الكلي (المرتبط بتباين المتوسط). وهذا مكافئ لـ $R^2=1-\frac{RSS}{TSS}$، باستثناء أن $R_{\mathrm{adjusted}}^2$ يعاقب كل إضافة لمتغير تنبؤي جديد.

Figure 3: مصفوفة الارتباط للسمات المختارة المستخدمة في هذه الدراسة. تمثل شدة اللون قوة الارتباط، إذ يدل الأخضر على ارتباط موجب ويمثل الأرجواني ارتباطا عكسيا. ويتضح أن السمات غير المرتبطة قليلة جدا، مما يشير إلى ضرورة توخي العناية في معالجة تعدد الارتباطات الخطية في النماذج المحتملة.

يتضح من الشكل 3 أن عدة سمات مترابطة بعضها مع بعض، وهذا التعدد في الارتباط الخطي قد يضعف متانة أي ملاءمة نموذجية. والمقياس القياسي المستخدم لتعدد الارتباطات الخطية هو عامل تضخم التباين (VIF)؛ ويكون VIF لكل متنبئ $X_i$ في نموذج معين: VIF${}_{X_i}{}^{}=1/(1-R_i^2)$، حيث تحدد $R_i$ بإجراء انحدار لـ $X_i$ على المتنبئات الأخرى. وكلما كان $X_i$ أكثر تراصفا خطيا مع المتنبئات الأخرى، ازداد VIF، وازداد المتوقع أن يتغير النموذج لو بني على عينات عشوائية أخرى. وعموما، يشير $\mathrm{VIF}>5$ إلى درجة من التراصف الخطي تجعل النموذج إشكاليا. حسبنا VIF لكل نموذج واستبعدنا أي نموذج تجاوزت قيم VIF فيه هذا الحد. وكما يظهر في الشكل 3، فإن ${\rho }_{\mathrm{infl}}$ هو المتغير الأكثر تراصفا خطيا، وغالبا ما يؤدي إلى نماذج استبعدت بسبب قيم VIF كبيرة.

4 نموذج زمن الالتحام

عند n=3، برزت ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، وlog$M_{\mathrm{BBH}}$، وlog${\rho }_{\mathrm{infl}}$ بوصفها سمات شديدة القدرة التنبؤية وأنتجت نماذج ذات $R_{\mathrm{adjusted}}$ مرتفع. غير أن VIF بين log$M_{\mathrm{BBH}}$ وlog ${\rho }_{\mathrm{infl}}$ كان 6.1، مشيرا إلى درجة عالية جدا من التراصف الخطي بين هذه المتغيرات. وكانت أفضل مجموعة فرعية من السمات ذات قيم VIF هي: ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، وlog$M_{\mathrm{NSC}}$، و$R_{\mathrm{eff}}$، منتجة $R_{\mathrm{adjusted}}^2=0.82$ معدلا:

$$\log ({\mathrm{T}}_{\mathrm{coal}})=9.8-0.21\log ({\mathrm{M}}_{\mathrm{NSC}})+0.7({\mathrm{v}/\sigma |}_{\mathrm{proj}})-0.27({\mathrm{R}}_{\mathrm{eff}}).$$ (4)

عند n=4، أظهرت $R_{\mathrm{eff}}$، و${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، وlog$M_{\mathrm{NSC}}$، وlog$M_{\mathrm{BBH}}$ كلا من $R_{\mathrm{adjusted}}^2=0.86$ معدل مرتفع، وقيم VIF=[1.9، 1.0، 4.8، 4.5]، على الترتيب:

$$\log ({\mathrm{T}}_{\mathrm{coal}})=8.2+0.19\log ({\mathrm{M}}_{\mathrm{BBH}})-0.16\log ({\mathrm{M}}_{\mathrm{NSC}})+0.71({\mathrm{v}/\sigma |}_{\mathrm{proj}})-0.32({\mathrm{R}}_{\mathrm{eff}}).$$ (5)

بالنسبة إلى معظم النماذج التي تزيد على 4 حدود، يصبح تعدد الارتباطات الخطية مشكلة أعصى، كما تقيسها عوامل تضخم التباين. ومع ذلك، ظهرت ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ وq غالبا في النماذج حسنة الملاءمة مع واحدة أو أكثر من السمات الأخرى. وكان التحسن في $R_{\mathrm{adjusted}}^2$ المعدل بإضافة حد آخر إلى النموذج من رتبة $0.01$ مع خطر تعدد ارتباطات خطية أكبر. يعرض الشكل 4 زمن التحام الثنائية المتنبأ به في مقابل المقيس للنموذجين ذوي 3 و4 حدود من المعادلتين 4 و5، على الترتيب. لاحظ أنه بالنسبة إلى زمن التحام مقيس معين، يكون مدى أزمنة الالتحام المتنبأ بها عادة أقل من معامل 2، مما يمهد الطريق لمعالجة أدق لديناميكيات ثنائيات الثقوب السوداء في النماذج دون الشبكية. ويعرض الشكل 5 الخطأ الكسري في المقياس الزمني المتنبأ به لالتحام الثنائية مقارنة بالمقياس الزمني الفعلي للنموذج ذي 4 حدود. نصف التنبؤات دقيق ضمن 20% من زمن الالتحام الحقيقي، ونحو ربع النماذج لها أخطاء مقدارها 40%. ومعظم هذه القيم الشاذة الأكبر ذات تهيئات تراجعية، مما يلمح إلى انحياز طفيف في النموذج؛ وتلزم محاكاة مستقبلية لتفصيل ذلك.

Figure 4: زمن الالتحام المقيس في مقابل المتنبأ به. تمثل النقاط الملونة زمن الالتحام المتنبأ به للنموذج ذي 3 حدود (يسارا، انظر المعادلة 4)، وللنموذج ذي 4 حدود (يمينا، انظر المعادلة 5) عند زمن التحام مقيس معين، مع رسم ملاءمة المربعات الصغرى لهذه البيانات بلون مطابق (يسارا: أرجواني؛ يمينا: أصفر). ويمثل الخط الأسود تنبؤا مثاليا. وباستخدام نموذج التحام يتضمن $R_{\mathrm{eff}}$، و${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، وlog$M_{\mathrm{NSC}}$، وlog$M_{\mathrm{BBH}}$، نستطيع خفض التباين في تنبؤات زمن الاندماج من رتبتين عشريتين إلى أقل من معامل يقارب 2.

Figure 5: الفرق الكسري في تنبؤ زمن الالتحام لعمليات تشغيل المجرات الموصوفة في الجدول 2، باستخدام النموذج ذي 4 حدود (المعادلة 5). إن تنبؤا نموذجيا بزمن الالتحام سيقلل أو يبالغ في تقدير زمن الالتحام الحقيقي بمقدار $\sim 20\%$. وهناك إشارة طفيفة إلى أن المقاييس الزمنية المتنبأ بها للالتحام في المدارات التراجعية لها تشتت أكبر وانحياز صغير نحو المبالغة في تقدير المقياس الزمني الحقيقي للالتحام.

Figure 6: الخطأ الكسري في زمن الالتحام لمجموعة الاختبار لدينا. أخذت المحاكاة من Mirza et al. (2017)، حيث تستكشف نماذج A أثر ميل مدار الثنائية بالنسبة إلى مستوى المجرة، وتبحث نماذج B أثر الألباب المجرية ذات الدوران المضاد. ويقابل الرمز السفلي $\mathrm{\Theta }$، أي الزاوية بين محور الزخم الزاوي لمدار ثنائية الثقوب السوداء ومحور الزخم الزاوي للمجرة، حيث تقابل الدوران المشترك للثنائية مع المادة النجمية للمجرة، وتقابل الدوران المضاد.

4.1 اختبار النموذج

تطلب اختبار النموذج مجموعة بيانات أخرى، استمدت من مجموعة محاكاة استكشفت زمن الالتحام بوصفه دالة في اتجاه المستوى المداري لثنائية الثقوب السوداء بالنسبة إلى دوران نموذج المجرة (Mirza et al., 2017)، حيث يكون لنموذج المجرة شكل وبنية ثابتان بخلاف ذلك (مثلا Holley-Bockelmann and Khan, 2015b). وبما أن ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ وكتل الثقوب السوداء كانت متنبئات عالية الدلالة في نماذج أفضل مجموعة فرعية لدينا، وبما أن نطاقا من قيم ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ كان مفقودا في مجموعة بياناتنا الأصلية، فإن اختيار عينة لا تغير إلا هذين المتنبئين يقدم اختبارا جيدا، وإن كان أساسيا، لنموذجنا. وعلى وجه التحديد، كانت هناك 9 قيم ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، إذ تغير الميل المداري $\mathrm{Cos}\mathrm{\Theta }$، و2 كتل ثقوب سوداء، بإجمالي 18 نماذج (انظر  (Mirza et al., 2017) لمزيد من التفاصيل). ومن اللافت أن المجرات المضيفة في مجموعة الاختبار هذه لم تتضمن عناقيد نجمية نووية، وكتلتها متنبئ مهم في كلا النموذجين. ويعرض الشكل 6 الخطأ الكسري في زمن التحام الثنائية المتنبأ به باستخدام النموذج ذي 4 حدود مقارنة بزمن الالتحام المقيس في  Mirza et al. (2017). ومن الأرجح قليلا أن يبالغ نموذجنا في تقدير المقياس الزمني لتشتت ثنائية الثقوب السوداء عند كتل الثقوب السوداء الأقل؛ وربما يرجع ذلك إلى أن المجرات المضيفة لهذه المجرات تؤوي عادة عناقيد نجمية نووية غائبة عن مجموعة الاختبار. ومع ذلك، نجد ملاءمة خطية متوسطة الدقة للعلاقة اللاخطية بوضوح بين ${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ وزمن الالتحام عند تثبيت كل المتغيرات الأخرى، مع كون معظم تنبؤات زمن الالتحام دقيقة ضمن 30$\%$.

5 محاذير وآثار وعمل مستقبلي

حددنا علاقة عملية للتنبؤ بالمقاييس الزمنية لالتحام ثنائيات الثقوب السوداء خلال طور التشتت النجمي، اعتمادا على خصائص قابلة للرصد للمجرة المضيفة ومدار الثقب الأسود الداخل. وتنطبق هذه العلاقة على مدى واسع من كتل الثقوب السوداء، من المتوسطة إلى الفائقة الكتلة، وعلى تشكيلة من مورفولوجيات المجرات المضيفة، تشمل المجرات القزمة، والمجرات القرصية، والإهليلجيات العملاقة. ونجد أن طور التشتت النجمي يمتد بين نحو 10 Myr وبضعة Gyr؛ وتعد كتلة ثنائية الثقوب السوداء، ووجود عنقود نجمي نووي، ودرجة الدوران واتجاهه بالنسبة إلى مدار الثقب الأسود الداخل، وحجم المجرة، مكونات رئيسية في تحديد هذا المقياس الزمني.

رغم نجاح علاقتنا في التنبؤ بالمقاييس الزمنية للالتحام في هذه المرحلة، فثمة عدد من المحاذير التي ينبغي تذكرها، إجرائية وفيزيائية فلكية على السواء. فعلى سبيل المثال، لما كانت خصائص المجرات نفسها مترابطة بقوة (والمستوى الأساسي مثال كامل على ذلك)، فمن الصعب تجنب المتغيرات ذات الارتباط العالي. غير أن الانحدار البسيط يقوم على افتراض أن السمات مستقلة، بحيث تكون معاملات الانحدار الحقيقية مستقلة أيضا، وعندما يفشل هذا الافتراض قد لا يكون النموذج الناتج متينا. ولمواجهة ذلك، جمعنا متغيرات شديدة الارتباط أو أسقطناها. ومع ذلك، فإن مجموعة السمات الناتجة، M_BBH، وM_NSC، وR_eff، و${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ ليست كلها مستقلة بدقة. إضافة إلى ذلك، وبسبب الكلفة الحاسوبية العالية لهذه المحاكاة، فإننا نتعامل رسميا مع مجموعة بيانات متفرقة؛ وتشير قاعدة عملية جيدة إلى ضرورة وجود ما لا يقل عن 10 نقاط بيانات لكل متنبئ، مع أن هذا العدد قد يكون أعلى بكثير تبعا لتعقيد المسألة. ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى أن العناقيد في البيانات قد تؤدي إلى ارتباطات مضللة، ومن ثم إلى نتائج مضللة. ومع أقل من 30 عملية تشغيل ونحو عشرين سمة، لا توجد بيانات كافية لتغطية كل السمات على نحو ملائم. وهنا تكون الارتباطات بين السمات في جمهرة المجرات مفيدة في الواقع؛ فبإسقاط مجموعات السمات في نموذج مرشح عندما كانت شديدة الارتباط، قصرنا عدد السمات في النموذج على 3-4. ولحسن الحظ، بما أن الانحدار هو في جوهره ملاءمة لمستوي فائق مع البيانات، فينبغي أن يلائم المستوي الفائق البيانات محليا على امتداد خطوط الانحدار ما دامت الارتباطات الكامنة بين السمات حقيقية.

من المفهوم أنه سيكون من الصعب اختبار أي نموذج إلى أن تتوفر بيانات أكثر تملأ فضاء السمات على نحو أفضل. اختبرنا نموذجنا بمجموعة محاكاة تغير السمات الأثقل وزنا لدينا، وهي كتلة الثقب الأسود و${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$، مع تثبيت السمات الأخرى. ووجدنا أن علاقتنا كانت متنبئا جيدا بزمن الالتحام في مجموعة الاختبار، لكن هذا ليس إلا اختبارا واحدا تحقق من أن علاقتنا لا تتشوه بفعل العناقيد الموجودة في البيانات على امتداد هاتين السمتين. ومع ذلك، وبالنظر إلى هذا الاختبار الوحيد، يبقى من المعقول أننا وجدنا ملاءمة خطية محلية لزمن الالتحام في طور التشتت بوصفه دالة في M_BBH، وM_NSC، وR_eff، و${v/\sigma |}_{\mathrm{proj}}$ بدقة ضمن معامل اثنين. وهذا أفضل برتبتين عشريتين من التنبؤات السابقة التي تعتمد فقط على الكثافة النجمية.

على الرغم من أن نماذج المجرات في مجموعتنا تستند إلى مجرات مرصودة، فهي لا تمثل كل أنواع المجرات، ولا تحتوي على كل الفيزياء ذات الصلة التي قد تؤثر في التحام ثنائية MBH بعد أن تصبح الثنائية مرتبطة. فأولا وقبل كل شيء، الغاز حاضر دائما في النوى المجرية، وطالما اعتقد أنه يسرع الالتفاف الحلزوني للثنائية عبر عزوم الجاذبية (مثلا Artymowicz and Lubow, 1994, 1996; Gould and Rix, 2000; Armitage and Natarajan, 2002; Escala et al., 2005; Cuadra et al., 2009; Goicovic et al., 2018; Tiede et al., 2020; Heath and Nixon, 2020). وتصبح هذه الصورة أعقد عند النظر في فيزياء أكثر واقعية مثل تشكل النجوم والتغذية الراجعة من نواة مجرية نشطة (AGN). وتفترض معظم المحاكاة ذات المقياس الكوني التي تدرج آثار الغاز أن الثنائية ستقاد إلى الداخل على نحو عام (Haiman et al., 2009; Kelley et al., 2017b, a; Volonteri et al., 2020a, 2022). وقد تفرغ تغذية AGN الراجعة تجويفا مركزيا (Khan et al., 2025) وتثبط العزوم المدفوعة بالتراكم، مما يؤدي إلى مراحل من تطور ثنائي متباطئ أو حتى متوقف (del Valle and Volonteri, 2018; d’Etigny et al., 2024). وتجد عدة دراسات حديثة أنه في ظروف معينة قد تتسع الثنائيات (Miranda et al., 2017; Tang et al., 2017; Moody et al., 2019; Muñoz et al., 2019, 2020; Duffell et al., 2020, 2024). وظهور الهجرة نحو الخارج شديد الحساسية لافتراضات المحاكاة العددية وخصائص القرص، ولا تزال الملاءمة الفيزيائية للأنظمة التي تظهر فيها هذه الآثار مجال بحث نشط (مثلا D’Orazio and Duffell, 2021; Dittmann and Ryan, 2022, 2024; Franchini et al., 2022; Penzlin et al., 2022; Sudarshan et al., 2022; Siwek et al., 2023). وتبرز هذه الأنظمة الشديدة اللاخطية الحاجة إلى مزيد من الدراسة لتوصيف آثار النجوم والغاز في تصليب الثنائيات. ويمكن لأرصاد ثنائيات MBH الملتحمة بواسطة كواشف الموجات الثقالية مثل LISA أن تقدم بصيرة من خلال تقييد البصمات البيئية المطبوعة على أشكال الموجات الثقالية (Derdzinski et al., 2019, 2021; Garg et al., 2022; Cole et al., 2023; Spadaro et al., 2025).

هناك أيضا نوعان على الأقل من النوى المجرية استبعدا من مجموعة المحاكاة لدينا. فحوالي 20-40$\%$ من المجرات القرصية المحلية المختارة بصريا تحتوي على قضبان (مثلا Aguerri et al., 2009; Masters et al., 2011; Euclid Collaboration et al., 2025)، وترتفع هذه النسبة إلى 70$\%$ أو أكثر إذا أدرجت القضبان الضعيفة، أو إذا رصدت المجرة في الأشعة تحت الحمراء (مثلا Eskridge et al., 2000; Sheth et al., 2008; Menéndez-Delmestre et al., 2007). وعلى مقياس أكبر، قد تواجه MBH الساقطة صعوبة في شق طريقها إلى المركز المجري لأنها تنجرف بفعل الرنينات المستحثة بالقضيب (مثلا Bortolas et al., 2022a). إضافة إلى ذلك، نستبعد المجرات القزمة غير ذات النوى الأدنى كثافة ($M_{\text{gal}}\lesssim {10}^7{M}_{\odot }$). إن وجود ثقوب سوداء مركزية فائقة أو متوسطة الكتلة في هذه الأنظمة القصوى غير مقيد بدرجة كبيرة بسبب القيود الرصدية، لكن إذا اتبعت علاقات القياس المحلية، فقد يتوقع أن تستضيف هذه الأنظمة بعضا من أخف MBH (Reines and Volonteri, 2015; Greene et al., 2020). وتبين محاكاة $N$-الأجسام المباشرة لهذه المجرات القزمة منخفضة الكثافة أن ثنائيات MBH تكافح للاندماج خلال زمن هابل بسبب نقص المادة النجمية اللازمة للتشتت (Khan et al., 2024). وإذا كانت هذه الأقزام تستضيف فعلا MBH ونمت عبر اندماج هرمي، فقد تستضيف جمهرة من ثنائيات MBH منخفضة الكتلة التي توقفت إلى أجل غير مسمى، بوصفها سجلا محفوظا لتاريخ تجمع المجرة.

أخيرا، بنيت كل نماذجنا المجرية الابتدائية في حالة اتزان، وهو ما يهمل التنوع الغني من الاضطرابات الثقالية التي تشكل المجرة ضمن سياق كوني. وعلى مدى مقياس زمني نموذجي للتشتت النجمي قدره $𝒪({10}^8)$ سنة، يبدو تعامل المجرة المضيفة بوصفها جهدا شبه معزول مبررا إلى حد معقول، لكن هذا الافتراض أقل واقعية على مقاييس زمنية أكبر إذ تتحول المجرة نفسها في الكتلة والمورفولوجيا والحركيات، أو عند انزياح أحمر عال حين تكون المجرة المضيفة في طور التجمع النشط (Di Cesare et al., 2023; Harikane et al., 2023; Pérez-González et al., 2023). وبالإضافة إلى ذلك، يفترض أن يكون الثقب الأسود الثانوي محاطا ببقايا مركزه المجري الخاص، وأن هذه الكتلة الإضافية ستسرع الالتحام في هذه المرحلة، سواء باضطراب الجهد أو بجلب إمداد جديد من النجوم إلى مخروط الفقد (Khan et al., 2018; Ogiya et al., 2019; Mukherjee et al., 2025).

وعلى الرغم من هذه المحاذير، فإن إمكانية تقدير طور التشتت النجمي بهذه الجودة باستخدام الخصائص الكلية للمجرة المضيفة والاتجاه الابتدائي للثقب الأسود الداخل تجعله عونا كبيرا للعمل الرصدي والنظري على حد سواء. وسيكون من المفيد خصوصا توظيف هذه العلاقات لتحسين تنبؤات كسر الإشغال لثنائيات الثقوب السوداء فائقة الكتلة، أو لحساب معدلات اندماج MBH لدى LISA وNANOGrav من محاكاة $N$-الأجسام الكونية. نستكشف هذه الاستخدامات في ورقة قادمة (Roth et al., 2025).

الشكر والتقدير

بدأ هذا المشروع خلال جائحة COVID وتعرض لتأخيرات تكاد تماثل في عددها تأخيرات الثقب الأسود في بلوغ مركز مجري. تقدر KHB صبر مؤلفيها المشاركين مع المقياس الزمني لالتحام هذه المخطوطة، وتشكرهم على التشجيع والاقتراحات المفيدة على امتداد الطريق. نُفذ هذا العمل على ACCRE في Vanderbilt University، ودعمته NASA-NNX08AG74G، وNSF-2125764، وNSF-2319441. ويقر FMK وAVM بالدعم المقدم من Tamkeen ضمن منحة CASS من NYU Abu Dhabi Research Institute.

بيان إتاحة البيانات

ستتاح البيانات التي تستند إليها هذه المقالة بناء على طلب معقول يوجه إلى المؤلف المراسل.