الحمل الحراري المضطرب في خلايا دوارة رفيعة

الملخص

يحدث الحمل الحراري المضطرب في باطني الشمس والأرض عند أعداد رايلي عالية $Ra$، وأعداد برانتل منخفضة $Pr$، ومستويات مختلفة من معدلات الدوران. ولفهم التأثيرات المشتركة على نحو أفضل، ندرس الحمل الحراري المضطرب الدوار عند $Pr=0.021$ (وهي حالة تتوافر لها بعض البيانات المختبرية الموافقة للمعادن السائلة)، ومع أعداد روسبي متغيرة $Ro$، باستخدام محاكاة عددية مباشرة (DNS) في أسطوانة رفيعة ذات نسبة باعية 0.1؛ ويتيح لنا هذا الحصر بلوغ أعداد رايلي عالية بما يكفي. ويحفزنا في ذلك ما وُجد سابقا، في غياب الدوران، من أن انتقال الحرارة عند $Ra$ مرتفع بما يكفي يكون متشابها بين المجالات المحصورة والمجالات الممتدة. ونجري مقارنات مع بيانات ذات نسب باعية أعلى كلما أمكن ذلك. ندرس تأثيرات الدوران في النقل الكلي للحرارة والزخم وكذلك في بُنى الجريان، (أ) عند زيادة الدوران لقيم ثابتة قليلة من $Ra$ و(ب) عند زيادة $Ra$ (حتى ${10}^{10}$) عند عدد إكمان منخفض وثابت مقداره $1.45\times {10}^{-6}$. نقارن النتائج بنتائج محاكاة $Pr$ وحدوية ضمن المدى نفسه من $Ra$ و$Ro$، وبالحالة غير الدوارة ضمن المدى نفسه من $Ra$ و$Pr$ منخفض. ونجد أن تأثيرات الدوران تتضاءل مع ازدياد $Ra$. وتشير هذه النتائج ودراسات المقارنة إلى أنه، عند $Ra$ مرتفع بما يكفي، يغير الدوران الجريانات الحملية بطريقة متشابهة في النسب الباعية الصغيرة والكبيرة، ومن ثم يمكن الحصول على رؤى مفيدة حول آثار القسر الحراري العالي في الحمل الحراري بالنظر في المجالات الرفيعة.

1 مقدمة

يترافق الحمل الحراري في معظم البيئات الطبيعية، مثل باطن الأرض وغلاف المشتري الجوي  (Heimpel et al., 2005) والحمل الحراري في باطن الشمس  (Hanasoge et al., 2016)، مع الدوران. ويُعد الحمل الحراري رايلي-بينار الدوار (RRBC)، حيث تدور طبقة مائع بانتظام حول محورها الرأسي وتُسخن في الوقت نفسه من الأسفل وتُبرد من الأعلى، نموذجا شائعا لمثل هذه الجريانات (Ecke & Shishkina, 2023). وتعتمد خصائص RRBC على عدد برانتل $Pr$ (نسبة مقياسي زمن انتشار الحرارة والزخم)، وعدد رايلي $Ra$ (نسبة قوة الطفو إلى آثار الانتشارية الحرارية ولزوجة المائع)، وعدد إكمان $Ek$ (نسبة المقياس الزمني للدوران إلى المقياس الزمني لانتشار الزخم). ويكون $Pr$ صغيرا في كثير من الجريانات الحملية الطبيعية ($\sim 0.01-0.1$ في اللب الخارجي للأرض (Aurnou et al., 2015; Pandey et al., 2022b)، و$\sim {10}^{-6}$ في باطن الشمس (Schumacher & Sreenivasan, 2020)). وعلى الرغم من أهمية RRBC منخفض $Pr$، ومن إدراك أنه متميز عن الحمل الحراري عند $Pr$ متوسط وعال (King & Aurnou, 2013; Horn & Schmid, 2017; Aurnou et al., 2018)، فإنه لم يُستكشف بالقدر نفسه الذي استُكشف به نظيره عالي $Pr$. في هذه الورقة، ندرس RRBC عند $Pr$ منخفض مقداره 0.021 ضمن مدى من معدلات الدوران، مع مدى $Ra$ يشمل بدء الحمل الحراري وكذلك الحالة المضطربة.

ولتحسين استخدام الموارد الحاسوبية (انظر أيضا المناقشة في نهاية § 2)، نستخدم مجالا أسطوانيا ذا نسبة باعية $\mathrm{\Gamma }=0.1$. هنا تمثل $\mathrm{\Gamma }$ نسبة قطر الخلية إلى ارتفاعها. وقد بينا مؤخرا (Pandey & Sreenivasan, 2021; Pandey et al., 2022a) أن كثيرا من خصائص الجريانات الحملية في الخلية الرفيعة تكون، في غياب الدوران، مشابهة لتلك الموجودة في المجالات الممتدة ذات $\mathrm{\Gamma }=25$، عندما يكون $Ra$ كبيرا. وبالمثل، فعلى الرغم من أن بُنى الجريان قرب بدء الحمل الحراري تعتمد بالفعل على $\mathrm{\Gamma }$، يمكن توقع أن تكون متشابهة بين المجالات المحصورة والممتدة إذا كان $Ra$ كبيرا. وعلى أي حال، نجري، كلما أمكن، مقارنات صريحة مع بيانات من خلايا حمل حراري أعرض. لكن تجدر الإشارة إلى أن الحصر الاتجاهي لوحظ أنه يغير خصائص الجريان بطرائق مختلفة في RBC تبعا لمعاملات التحكم (Wagner & Shishkina, 2013; Chong et al., 2015; Chong & Xia, 2016). فعلى سبيل المثال، وجد Chong et al. (2015) عند $Pr=4.38$ أنه في مجالات مستطيلة ذات أبعاد $(H,L_y,H)$ يتضخم انتقال الحرارة ويبلغ قيمة عظمى عندما يتناقص ${\mathrm{\Gamma }}_y=L_y/H$ ويصل إلى قيمة حرجة تابعة لـ $Ra$ هي ${\mathrm{\Gamma }}_y$. غير أن الصناديق الأضيق لوحظ أنها تصبح أكثر مقاومة تدريجيا لنقل الزخم. ومن جهة أخرى، لاحظ Wagner & Shishkina (2013) عند $Pr=0.786$ أن نقلي الحرارة والزخم ينخفضان عموما عندما يتغير ${\mathrm{\Gamma }}_y$ من 1 إلى $1/10$.

ولأغراض المقارنة، نجري أيضا DNS للحمل الحراري في خلايا سريعة الدوران وغير دوارة للمدى نفسه من $Ra$، مع إبقاء $Pr$ منخفضا عند 0.021. وندرس تأثيرات الدوران في بُنى الجريان وكذلك في النقلين الكليين للحرارة والزخم. وعلى وجه التحديد، ننظر فيما يلي:

(1) تأثير الدوران في عدد رايلي الحرج، $R{a}_c$. نوضح تغير البنية الكبيرة للجريان، ولا سيما تطور البنية الحلزونية المنظمة عند $Ra$ منخفض إلى بنية يزداد فيها محتوى المقاييس الصغيرة.

(2) تأثير الدوران قرب بدء عدم الاستقرار. فبالنسبة إلى الطبقات الدوارة غير المحدودة أفقيا، تبين نظريات الاستقرار الخطي أن بدء الحمل الحراري يتأخر في $Ra$، إذ يعتمد عدد رايلي الحرج $R{a}_c$ ومقياس الطول الموافق ${\mathrm{\ell }}_c$ على $Ek$ فقط عندما يكون $Pr$ متوسطا وكبيرا (Chandrasekhar, 1981). وحتى عند $Pr$ منخفض، فإن اعتماد معاملات البدء على $Pr$ معروف صراحة (Chandrasekhar, 1981; Zhang & Liao, 2017). أما ما لا يُعرف فهو سلوك انتقال الحرارة عند $Pr$ منخفض. وعند $Pr$ متوسط، يزداد انتقال الحرارة الزائد (Ecke & Niemela, 2014; Plumley & Julien, 2019; Kunnen, 2021) المعطى بـ $Nu-1$ خطيا مع فوق الحرجية $ϵ=Ra/R{a}_c-1$ (Gillet & Jones, 2006; Ecke, 2015; Long et al., 2020)—حيث إن عدد نوسلت $Nu$ هو نسبة انتقال الحرارة الفعلي إلى انتقال الحرارة الممكن بالتوصيل وحده—لكن السلوك المناظر عند $Pr$ منخفض لم يُستكشف بعد.

(3) قياس انتقال الحرارة والزخم ضمن مدى كبير من $Ra$. وقد لوحظ مدى من أسس القياس $\beta$ في العلاقات التجريبية $Nu\sim R{a}^{\beta }$ في RRBC. ففي نظام الدوران السريع، يبلغ $\beta$ قيما كبيرة تصل إلى 3.6 للحمل الحراري في الماء، مع تناقص $\beta$ مع انخفاض الدوران (King et al., 2009, 2012; Cheng et al., 2015). وكشفت المحاكاة التقاربية لـ RRBC أن انتقال الحرارة يتدرج مثل $Nu-1=R{a}^{3/2}P{r}^{-1/2}E{k}^2$ في النظام الجيوستروفي (Julien et al., 2012a; Aurnou et al., 2020; Kunnen, 2021). وفي الغاليوم السائل الدوار ($Pr\approx 0.025$)، أبلغ King & Aurnou (2013) عن قيم $\beta$ تتغير من 0.1 إلى 1.2 في النظام المتأثر بالدوران في خلية أسطوانية ذات $\mathrm{\Gamma }\approx 2$، في حين وجد Aurnou et al. (2018) القيمة $\beta \approx 0.9$ لنسبة باعية مشابهة ($\mathrm{\Gamma }=1.9$). ونفحص مدى صحة هذه التوقعات.

(4) تدرج درجة حرارة اللب في الخلايا الدوارة الرفيعة. فكبح الخلط المضطرب بفعل الدوران يتجلى غالبا في وجود تدرج رأسي مهم في درجة الحرارة $\partial T/\partial z$ في منطقة اللب. ويتغير هذا التدرج تغيرا غير رتيب في RRBC (Cheng et al., 2020; Aguirre Guzmán et al., 2022)، ولدى $Pr$ متوسط، تشير سرعة تغيره مع $Ra$ إلى بُنى جريان مختلفة (Julien et al., 2012b). وقد اقتُصرت حالة $Pr$ المنخفضة في الغالب على $Ra$ متوسط (King & Aurnou, 2013; Horn & Schmid, 2017; Aurnou et al., 2018; Aguirre Guzmán et al., 2022) بسبب تحديات عددية وتجريبية (Pandey et al., 2022b). هنا نحدد كميا $\partial T/\partial z$ في منطقة اللب في الحمل الحراري منخفض ومتوسط $Pr$، بإجراء DNS عند $Ra$ عال، ونجد أنه مشابه نوعيا لما يوجد في الخلايا الأعرض.

(5) الطبقة الحدية اللزجة قرب الصفيحة الأفقية. في الحمل الحراري غير الدوار، تصبح الطبقة الحدية اللزجة قرب الصفائح أرق مع ازدياد القسر الحراري، أما عرضها ${\delta }_u$ فيحدده عدد إكمان في RRBC؛ ففي الجريانات الحملية سريعة الدوران، ${\delta }_u\sim \sqrt{Ek}$ (King et al., 2013). نقدر ${\delta }_u$ ونجد أنه يتدرج مثل $\sqrt{Ek}$ في الخلايا الدوارة الرفيعة عندما تهيمن تأثيرات الدوران على القسر الحراري. ونقارن كذلك ملف السرعة في منطقة قرب الجدار ونلاحظ توافقا جيدا جدا مع الملف التحليلي لطبقة إكمان (Aguirre Guzmán et al., 2022) في النظام الذي يصح فيه قياس ${\delta }_u\sim \sqrt{Ek}$ على نحو جيد.

ومع تناقص مقياس طول البدء بانخفاض عدد إكمان، يزداد عدد البُنى الحملية مع تناقص $Ek$ في مجال ذي $\mathrm{\Gamma }$ ثابت. وقد استغل الباحثون هذا الجانب باستكشاف الحمل الحراري الدوار عند $Ek$ منخفض (و$Ra$ عال) في مجالات حمل حراري رفيعة، لأن آثار الحصر قد تغدو غير مهمة بسبب وجود عدد كبير من بُنى الجريان الأولية (Cheng et al., 2015, 2018, 2020; Madonia et al., 2021). ومع ذلك، قد تتغير خصائص الجريان في مجالات RRBC المحصورة بطريقة معقدة—مثلا بفعل ما يسمى الجريان النطاقي الحدودي (Zhang et al., 2020; Shishkina, 2020; Zhang et al., 2021; Ecke et al., 2022; Wedi et al., 2022) أو دوران الجدار الجانبي (de Wit et al., 2020; Favier & Knobloch, 2020). وفي العمل الحالي، تحتوي خلية الحمل الحراري الرفيعة بين 1 و3 بُنى أولية عند البدء، مما يدل بوضوح على أن الجريان محصور في ذلك السياق. وعلى الرغم من ذلك، فإن الطريقة التي يتغير بها الجريان بسبب الدوران هي في جوهرها الطريقة نفسها في الجريانات داخل الخلايا الأعرض، ولا سيما عند $Ra$ الأعلى.

بعد مناقشة موجزة لأدوات المحاكاة في §2، نقدم تعليقات على مورفولوجيا الجريان في §3. وتناقش بُنى الجريان قرب بدء الحمل الحراري في §4، ونتائج القياس الخاصة بانتقال الحرارة الكلي في §5، وتدرج درجة الحرارة في منطقة اللب والطبقة الحدية اللزجة في §6. وتعرض بضع ملاحظات ختامية في §7، في حين تلخص المعاملات المهمة لمحاكياتنا في الملحق A.

2 منهجية المحاكاة

نحل معادلات أوبرْبك-بوسينسك اللابعدية

${\displaystyle \frac{\partial 𝒖}{\partial t}}+𝒖\cdot \nabla 𝒖$ $=$ $-\nabla p+T\widehat{z}-{\displaystyle \frac{1}{Ro}}\widehat{z}\times 𝒖+\sqrt{{\displaystyle \frac{Pr}{Ra}}}{\nabla }^2𝒖,$ (1)

${\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}}+𝒖\cdot \nabla T$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{PrRa}}}{\nabla }^{2}T,$ (2)

$\nabla \cdot 𝒖$ $=$ $0,$ (3)

حيث إن $𝒖(\equiv u_x\widehat{x}+u_y\widehat{y}+u_z\widehat{z})$ و$T$ و$p$ هي حقول السرعة ودرجة الحرارة والضغط، على الترتيب. وطول التطبيع $H$ هو الارتفاع بين الصفائح الأفقية، و$\mathrm{\Delta }T$ هو فرق درجة الحرارة بينها. أما سرعة السقوط الحر $u_f=\sqrt{\alpha g\mathrm{\Delta }TH}$ وزمن السقوط الحر $t_f=H/u_f$ فهما مقياسا السرعة والزمن الملائمان. ويمثل كل من عدد رايلي $Ra=\alpha g\mathrm{\Delta }T{H}^3/(\nu \kappa )$ وعدد برانتل $Pr=\nu /\kappa$. أما عدد روسبي الحملي $Ro=u_f/(2\mathrm{\Omega }H)=\alpha g\mathrm{\Delta }T/(2\mathrm{\Omega }{u}_f)$ فهو نسبة قوتي الطفو وكوريوليس، حيث إن $\mathrm{\Omega }$ هو معدل الدوران، و$\alpha ,\nu ,\kappa$ هي، على الترتيب، معامل التمدد الحراري عند ضغط ثابت، واللزوجة الحركية، والانتشارية الحرارية للمائع.

تقابل المحاكاة $Pr=0.021$ و$2\times {10}^7\le Ra\le {10}^{10}$ في خلية أسطوانية ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$ باستخدام المحلِّل Nek5000، القائم على طريقة العناصر الطيفية (Fischer, 1997). ويُفرض شرط حد عدم الانزلاق على حقل السرعة عند جميع الجدران، وتُفرض الشروط متساوية الحرارة على الصفائح الأفقية والأدياباتية على الجدران الجانبية لحقل درجة الحرارة. وتقسم الأسطوانة إلى $N_e$ عنصر، وتوسع حقول الاضطراب داخل كل عنصر باستعمال كثيرات حدود الاستيفاء اللاغرانجية من الرتبة $N^{\mathrm{th}}$. ومن ثم فإن عدد خلايا الشبكة في الجريان بأكمله هو $N_e{N}^3$؛ وتُستخدم كثافة شبكية أعلى في مناطق قرب الجدار لالتقاط التغيرات السريعة في متغيرات الحقل. ويمكن العثور على مزيد من التفاصيل في Scheel et al. (2013); Iyer et al. (2020); Pandey et al. (2022a). (وبالمناسبة، كان عدد العناصر الطيفية $N_e$ في Iyer et al. (2020) مساويا 192,000 عند $Ra={10}^8,{10}^9,{10}^{10}$ و${10}^{11}$.)

Figure 1: فضاء المعاملات المستكشف في الدراسة الحالية لـ (a) $Pr=0.021$ و(b) $Pr=1$. الرموز المفتوحة تخص محاكيات ذات دوران ثابت وقسر حراري متغير، أما الرموز المصمتة فتخص محاكيات ذات قسر ثابت ومعدل دوران متغير. في كل من (a) و(b)، تمثل البيانات المائلة حالة $Ro$ متغير مع $Ek$ ثابت.

تُدرس تأثيرات الدوران باستخدام نهجين مختلفين. أولا، تُستكشف آثار زيادة القسر الحراري عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ ثابت و$Ra$ متغير حتى ${10}^{10}$. ويقيس عدد إكمان $Ek=\nu /(2\mathrm{\Omega }{H}^2)$ شدة القوة اللزجة بالنسبة إلى قوة كوريوليس، لذلك نتعامل مع حالة دوران سريع. ثانيا، تُدرس آثار زيادة الدوران بتثبيت $Ra={10}^8,{10}^9$ و${10}^{10}$ وبإنقاص عدد روسبي لكل $Ra$. وتجدر الإشارة إلى أن عدد روسبي الحملي يكتب أيضا على الصورة $Ro=Ek\sqrt{Ra/Pr}$؛ وعند $Ra$ و$Pr$ ثابتين، يتناقص $Ek$ مع تناقص $Ro$. وتمثل محاكيات الحمل الحراري غير الدوار الحالة المرجعية. وللمقارنة مع خصائص الجريان في حمل حراري متوسط $Pr$، نجري كذلك محاكيات RRBC عند $Pr=1$ و$Ra$ حتى ${10}^{11}$، غير أن التركيز في هذه الورقة هو على حالة $Pr$ المنخفض. ويعرض فضاء المعاملات في هذه الدراسة في الشكل 1.

يقدر مقياس طول كولموغوروف على أنه $\eta ={({\nu }^3/{\epsilon }_u)}^{1/4}$، حيث إن ${\epsilon }_u$ هو معدل تبديد الطاقة الحركية المحسوب عند كل نقطة في الجريان كما يلي

$${\epsilon }_u(𝒙)=\frac{\nu }{2}\sum _{i,j}{\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)}^2,$$ (4)

حيث $i,j\equiv (x,y,z)$. ولضمان كفاية الدقة المكانية، نقدر مقياس كولموغوروف المعتمد على الارتفاع $\eta (z)$ باستخدام معدل التبديد المتوسط مكانيا وزمنيا ${⟨{\epsilon }_u⟩}_{A,t}(z)$، ونتأكد من أن تباعد الشبكة الرأسي ${\mathrm{\Delta }}_z$ يبقى من رتبة $\eta (z)$. ويلتقط هذا القيد جميع التغيرات المهمة في حقل السرعة. كذلك، ضمن طبقة إكمان، التي تتغير مثل ${\delta }_{\nu }\sim \sqrt{Ek}$، أدرجنا 5-20 نقطة شبكية.

نوسع هنا بإيجاز الحديث عن المكاسب الحاسوبية الناتجة من استخدام خلية رفيعة، لأن حجم المائع أصغر بعامل ${\mathrm{\Gamma }}^2$. ومن ثم يمكن بلوغ $Ra$ أعلى بالموارد الحاسوبية نفسها، مقارنة بالحالات ذات $\mathrm{\Gamma }$ أعلى. غير أن جزءا أكبر من المائع يتأثر بالجدار الجانبي، كما أن $Ra$ الحرج لبدء الحمل الحراري يزداد عند $\mathrm{\Gamma }$ صغير (Shishkina, 2021; Ahlers et al., 2022). وبهذا القدر تميل الميزة الحاسوبية لاستخدام مجال رفيع لاستكشاف نظام حمل حراري شديد الاضطراب إلى التناقص، لكن الأمر يحتاج إلى مزيد من الاستكشاف لهذه المزايا في أنظمة مختلفة من عدد رايلي.

3 مورفولوجيا الجريان

Figure 2: بُنى حملية لحظية في خلية رفيعة غير دوارة عند $Pr=0.021$ و$Ra={10}^8$ (a,d,g)، و$Ra={10}^9$ (b,e,h)، و$Ra={10}^{10}$ (c,f,i). تُظهر خطوط انسياب السرعة (a–c)، الملونة بالسرعة الرأسية، بُنى جريان حلزونية في الخلية الرفيعة. وتكشف المقاطع المستوية للسرعة الرأسية (d–f) أن بُنى جريان أدق تدريجيا تتولد مع ازدياد القسر الحراري. وتشير الأسطح متساوية القيمة لدرجة الحرارة (g–i) إلى أنه، على الرغم من زيادة الخلط مع $Ra$، فإن منطقة اللب متساوية الحرارة، التي لوحظ وجودها في مجالات حمل حراري أعرض، غير موجودة في الخلية الرفيعة.

تؤدي لفائف دوران متعددة مكدسة رأسيا إلى بُنى حلزونية في مجالات الحمل الحراري الرفيعة (Iyer et al., 2020; Zwirner et al., 2020; Pandey & Sreenivasan, 2021; Pandey et al., 2022a). ويعرض الشكل 2 تكوين الجريان في الخلية الرفيعة غير الدوارة عند تغير $Ra$. وتؤكد خطوط انسياب السرعة اللحظية المعروضة في الشكل 2(a–c)، الملونة بحسب السرعة الرأسية، وجود لفائف مكدسة رأسيا. وتكون بنية الجريان الحلزونية ملساء نسبيا عند $Ra={10}^8$ (اللوحة (a)) لكنها تزداد تعقيدا مع زيادة القسر الحراري. وتُظهر شرائح السرعة الرأسية في الشكل 2(d–f) جريانات متحركة بترابط، صاعدة وهابطة، وبأحجام تقارن بالامتداد الجانبي للجريان. غير أن هذه البُنى المنظمة تستوعب مقاييس أصغر فأصغر مع ازدياد $Ra$. وتبين الأسطح متساوية درجة الحرارة المقابلة في الشكل 2(g–i) أن الخلط ضعيف عند $Ra$ منخفض، لكنه يصبح أكثر فاعلية مع اشتداد القسر الحراري. وحتى في جريان شديد الاضطراب عند $Ra={10}^{10}$ (الشكل 2(i))، توجد تشكيلة من الأسطح متساوية الحرارة في منطقة اللب، مما يدل على أن الخلط المضطرب أضعف منه في مجالات حمل حراري أعرض، حيث تُلاحظ منطقة لب جيدة الخلط ومتساوية الحرارة. ومع ذلك فإن انتقال الحرارة الكلي لا يختلف كثيرا في الحالتين (Pandey et al., 2022b).

المعاملات الحرجة لبدء الحمل الحراري غير الدوار مستقلة عن $Pr$. وعلى النقيض، تعتمد معاملات البدء في الحمل الحراري الدوار على عدد برانتل عندما يكون أقل من 0.68 (Chandrasekhar, 1981). ويعطي تحليل الاستقرار الخطي عند $Pr>0.68$ في مجالات غير محصورة أفقيا عدد رايلي ومقياس الطول لبدء ثابت كما يلي

$R{a}_c$ $=$ $3{({\pi }^2/2)}^{2/3}E{k}^{-4/3}\approx 8.7E{k}^{-4/3},$ (5)

${\mathrm{\ell }}_c/H$ $=$ ${(2{\pi }^4)}^{1/6}E{k}^{1/3}\approx 2.4E{k}^{1/3}.$ (6)

ولأعداد برانتل المنخفضة ()، تعتمد المعاملات الحرجة عند البدء التذبذبي على كل من $Ek$ و$Pr$  (Horn & Schmid, 2017; Aurnou et al., 2018; Vogt et al., 2021) كما يلي

$R{a}_c$ $=$ $3\pi {\left({\displaystyle \frac{2\pi }{1+Pr}}\right)}^{1/3}{\left({\displaystyle \frac{Ek}{Pr}}\right)}^{-4/3},$ (7)

${\mathrm{\ell }}_c/H$ $=$ ${(2{\pi }^4)}^{1/6}{(1+Pr)}^{1/3}{\left({\displaystyle \frac{Ek}{Pr}}\right)}^{1/3},$ (8)

${\omega }_c$ $=$ ${(2-3P{r}^2)}^{1/2}{\left({\displaystyle \frac{2\pi }{1+Pr}}\right)}^{2/3}{\left({\displaystyle \frac{Ek}{Pr}}\right)}^{1/3}.$ (9)

ومن ثم يكون مقياس طول البدء ${\mathrm{\ell }}_c$ في الحمل الحراري منخفض $Pr$ أكبر بعامل ${(1+1/Pr)}^{1/3}$.

Figure 3: مورفولوجيا الجريان في خلية رفيعة دوارة عند $Pr=0.021,Ek=1.45\times {10}^{-6}$ كما تكشفها شرائح السرعة الرأسية اللحظية (a–d) والأسطح متساوية درجة الحرارة (e–h)، وذلك عند $Ra=6\times {10}^7$ (a,e)، و$Ra=2\times {10}^8$ (b,f)، و$Ra={10}^9$ (c,g)، و$Ra={10}^{10}$ (d,h). قرب بدء الحمل الحراري (اللوحتان a,e)، تستشعر بُنى الجريان الدوران بقوة، ويكاد التغير على طول الاتجاه الرأسي يكون مكبوتا. ومع ازدياد $Ra$، تزداد القدرة على مقاومة أثر الدوران، ويُظهر تكوين الجريان عند $Ra={10}^{10}$ (اللوحتان d,h) شبها قويا بنظيره غير الدوار في الشكل 2 (كما أن النقلين الكليين للحرارة والزخم شبه غير متأثرين في هذه الحالات، انظر الجدول 3.)

يُعرض الجريان في الخلية الدوارة عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ في الشكل 3 لقيم مختلفة من $Ra$. ولهذه القيم من $Ek$ و$Pr=0.021$، يكون مقياس الطول عند بدء الحمل الحراري وفقا لـ (8) مساويا ${\mathrm{\ell }}_c/H\approx 0.1$، وهو يساوي البعد الأفقي للمجال الرفيع. لذلك يكون الجريان منخفض $Pr$ لهذه القيمة من $Ek$ محصورا عند البدء. وعند $Ra=6\times {10}^7$—وهو غير بعيد عن البدء—تهيمن قوة كوريوليس على قوة الطفو، مما يؤدي إلى بُنى سرعة ملساء وطويلة تشغل العمق كله (الشكل 3(a)). وعند $Ra=2\times {10}^8$ (اللوحة b)، يصبح الطفو أقوى، لكن الجريان يظل متأثرا بالدوران الشديد. وتطور البُنى الطويلة المرصودة طابعا متموجا كما في الحمل الحراري عالي $Pr$ (Cheng et al., 2020). ويكاد الترابط الرأسي يضيع تماما عند $Ra={10}^9$، وعند $Ra={10}^{10}$ تبدو مورفولوجيا الجريان قريبة جدا من تلك الموجودة في الخلية غير الدوارة المعروضة في الشكل 2(f,i)، مما يشير إلى أن آثار قوة كوريوليس (لهذا الدوران) تزول في جوهرها حول $Ra={10}^{10}$. ومن تصور خطوط انسياب السرعة (غير معروض)، نستنتج أن البنية الحلزونية، الموجودة في كامل مدى القسر الحراري المستكشف في الخلية غير الدوارة، لا تُلاحظ في الحمل الحراري الدوار الرفيع عندما تهيمن قوة كوريوليس؛ ولا يستعاد التكوين الحلزوني إلا عندما يصبح القسر الحراري قويا بما يكفي للتغلب على الدوران.

ويتضح أيضا تناقص الترابط الرأسي مع ازدياد $Ra$، عند دوران ثابت، من حقل درجة الحرارة في الشكل 3(e–h). فأسطح درجة الحرارة المتساوية عند $Ra=6\times {10}^7$—المعروضة في الشكل 3(e)—هي أقراص دائرية شبه مستوية. وهذا يتوافق مع قيد تايلور-برودمان القائل إن التغير الرأسي للجريان يُثبط في جريان غير لزج سريع الدوران (Chandrasekhar, 1981). ومع ازدياد $Ra$، تصبح الأسطح متساوية القيمة ثلاثية الأبعاد على نحو متزايد، وعند $Ra={10}^{10}$ تبدو مشابهة جدا للحالة غير الدوارة. وفي § 5، نُظهر أيضا أن خصائص النقل التكاملية للجريان الدوار عند $Ra={10}^{10}$ و$Ek=1.45\times {10}^{-6}$ تكاد تكون مماثلة لخصائص الجريان غير الدوار الموافق.

Figure 4: تطور البُنى الحملية مع ازدياد معدل الدوران عند $Pr=0.021,Ra={10}^{10}$: (a,e) $R{o}^{-1}=0$، (b,f) $R{o}^{-1}=2$، (c,g) $R{o}^{-1}=10$، (d,h) $R{o}^{-1}=30$. يفقد الجريان طابعه الثلاثي الأبعاد، وينقص مقياس طول بُنى السرعة، مع تناقص عدد روسبي.

ويُلاحظ تغير مشابه نوعيا في مورفولوجيا الجريان عندما يزداد الدوران لقسر حراري محدد (Horn & Shishkina, 2015; Aurnou et al., 2020). ويعرض الشكل 4 بُنى الجريان عند $Ra={10}^{10}$ و$0\le R{o}^{-1}\le 30$، حيث تتحول البنية الحلزونية إلى بُنى سرعة طويلة متمددة رأسيا كلما دارت الحاوية بسرعة أكبر. كما تفقد خطوط تساوي درجة الحرارة طابعها الثلاثي الأبعاد مع تناقص $Ro$، بما يتسق مع الملاحظات في مجالات حمل حراري أعرض مملوءة بموائع متوسطة وعالية $Pr$ (Cheng et al., 2015). ونلاحظ كذلك من الشكل 4 أن مقياس طول الجريان يتغير بتغير $Ro$. فعند $R{o}^{-1}=30$ في الشكل 4(d)، تكون $Ek\approx 4.8\times {10}^{-8}$ وتعطي نظرية الاستقرار الخطي ${\mathrm{\ell }}_c/H\approx 0.032$، وهي أصغر بنحو ثلاث مرات من قيمتها عند $Ek\approx 1.45\times {10}^{-6}$ في الشكل 3. لذلك تُخفف آثار الحصر في الخلية الرفيعة تدريجيا مع تناقص $Ek$.

4 الحمل الحراري الدوار الرفيع قرب البدء

نستكشف أولا تطور الجريان في النظام منخفض فوق الحرجية عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ و$Pr=0.021$. نبدأ المحاكيات من حل التوصيل مع اضطرابات عشوائية، ونلاحظ أن الحالة الحملية، المقابلة لقيم غير صفرية جوهريا من $Nu-1$، تظهر أولا عند $Ra=5.6\times {10}^7$. وتجدر الإشارة إلى أن هذه القيمة أكبر بنحو رتبة مقدار من $R{a}_c$ المحسوب من (7). هنا يُحسب عدد نوسلت $Nu$ كما يلي

$$Nu=1+\sqrt{RaPr}{⟨u_{z}T⟩}_{V,t},$$ (10)

حيث يدل ${⟨\cdot ⟩}_{V,t}$ على المتوسط على كامل الجريان وزمن التكامل. وبالنسبة إلى محاكاة عند $Ra=5.55\times {10}^7$ تبدأ من حالة التوصيل، نلاحظ $Nu-1\approx 0.0022$، في حين نحصل على $Nu-1\approx 0.049$ عندما تبدأ المحاكاة نفسها من حالة جريان معطاة بمحاكاة عند $Ra=6\times {10}^7$. وبإنقاص $Ra$، يمكننا ملاحظة حمل حراري بسعة منتهية حتى $Ra=5.40\times {10}^7$، حيث يكون الفيض الحملي $Nu-1\approx 0.034$ صغيرا لكنه مختلفا بوضوح عن الصفر. وهكذا توجد هسترة معتدلة في RRBC منخفض $Pr$ داخل الخلية الرفيعة.

Figure 5: إشارة درجة الحرارة (العمود الأيسر) في المستوى الأوسط عند مجس قرب الجدار الجانبي وطيف القدرة المقابل (العمود الأيمن) في جريان سريع الدوران ($Pr=0.021,Ek=1.45\times {10}^{-6}$) قرب بدء الحمل الحراري: (a,b) $Ra=6\times {10}^7$، (c,d) $Ra=7\times {10}^7$، (e,f) $Ra=8\times {10}^7$، (g,h) $Ra=9\times {10}^7$، و(i,j) $Ra={10}^8$.

نراقب تطور حقلي درجة الحرارة والسرعة عند بضعة مواضع في الجريان، ونعرض تغير درجة الحرارة عند منتصف الارتفاع قرب الجدار الجانبي في الشكل 5 عند $Ra\le {10}^8$ و$Ek=1.45\times {10}^{-6}$. يبين الشكل 5(a) أن الجريان يتطور دوريا عند $Ra=6\times {10}^7$، وهي سمة لوحظت أيضا في محاكيات $Ra$ الأقل. ويكشف طيف القدرة الموافق، المعروض في الشكل 5(b)، عن تردد مهيمن وحيد عند $\omega \approx 0.20$ وتوافقياته العليا. ومن المثير للاهتمام أن هذا التردد يتفق جيدا مع ${\omega }_c\approx 0.195$ المتنبأ به من (9) باستخدام تحليل الاستقرار الخطي عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ (Chandrasekhar, 1981). ومع ازدياد $Ra$ يصبح تطور الجريان معقدا تدريجيا بسبب ظهور أنماط أخرى. وعند $Ra=7\times {10}^7$، تنشأ قمة ذات سعة عالية أيضا عند تردد أقل، مما يشير إلى وجود أنماط الجدار (Goldstein et al., 1994; Horn & Schmid, 2017; Aurnou et al., 2018). وعند $Ra=8\times {10}^7$، تصبح القمة عند التردد الأدنى بقوة تقارب نظيرتها ذات التردد الأعلى. وتكاد الدورية تضيع عند $Ra=9\times {10}^7$ ويصبح الجريان فوضويا. ويشير طيف القدرة عريض النطاق عند $Ra\ge 9\times {10}^7$ إلى وجود بُنى جريان ذات مدى واسع من المقاييس الزمنية (والمكانية). ومن ثم، وبسبب طبيعته العطالية الشديدة، يصبح RRBC منخفض $Pr$ معقدا بسرعة.

Figure 6: خطوط تساوي السرعة الرأسية اللحظية في المستوى الأوسط عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ و(a) $Ra=6\times {10}^7$، (b) $Ra=7\times {10}^7$، (c) $Ra=8\times {10}^7$، (d) $Ra=9\times {10}^7$. تُلاحظ السعات العظمى في السرعة قرب الجدار الجانبي عند $Ra$ منخفض، لكن داخل المجال يمتلئ بجريانات أقوى مع ازدياد الدفع الحراري.

يعرض الشكل 6 الشرائح اللحظية في المستوى الأوسط للسرعة الرأسية عند $Ra\le 9\times {10}^7$ في الخلية الدوارة عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$. ونرى أن السرعة الرأسية تبلغ قمما قرب الجدار الجانبي عند $Ra=6\times {10}^7$، في حين تتسم منطقة اللب (بعيدا عن الجدار الجانبي) ببُنى منخفضة السعة. وهذه علامة على أنماط الجدار في خلية الحمل الحراري الرفيعة عند عدد برانتل منخفض (Horn & Schmid, 2017; Aurnou et al., 2018). وعند $Ra=7\times {10}^7$ و$8\times {10}^7$ تتسع الرقعة عالية السعة وتتوغل في داخل اللب. غير أن الداخل يصبح مشغولا بالكامل تقريبا بنمط اللب عند $Ra=9\times {10}^7$، ويكون قد تغلب على أنماط الجدار (Goldstein et al., 1994). كذلك لوحظ أن أنماط الجريان الحملية في الأسطوانات الدوارة تتقدم (غالبا) في الاتجاه المعاكس للدوران (Zhong et al., 1993; Horn & Schmid, 2017). ويمكن العثور على أنماط تقدم مشابهة في الخلية الرفيعة عند عدد برانتل منخفض في الأفلام التكميلية لعدد من الحالات.

نقارن الآن انتقال الحرارة عند البدء في الجريانات ذات $Pr$ منخفض مع تلك ذات $Pr$ متوسط وعال، وكلها دوارة. فعند $Pr$ متوسط وعال، لوحظ أن انتقال الحرارة الحملي $Nu-1$ يزداد خطيا مع فوق الحرجية $ϵ=Ra/R{a}_c-1$ (Ecke, 2015; Gillet & Jones, 2006; Gastine et al., 2016; Long et al., 2020; Ecke et al., 2022). ويعرض الشكل 7(a) بياناتنا الحالية لـ $Nu-1$ بوصفها دالة في $ϵ$ على مقياس خطي-خطي عند $Pr=0.021$ و$Ek=1.45\times {10}^{-6}$. وعلى الرغم من وجود هسترة معتدلة (كما ذُكر سابقا)، فقد أخذنا $R{a}_c=5.5\times {10}^7$ استنادا إلى ملاحظة أن انتقال الحرارة الحملي صغير جدا عند $Ra=5.55\times {10}^7$. ويُظهر الشكل 7(a) اتجاها خطيا عند $ϵ\lesssim 0.5$، مع أفضل ملاءمة معطاة بـ $Nu-1=0.39ϵ+0.05$. وتعتمد القيمة الدقيقة للمقطع المنتهي على الهسترة المعتدلة المذكورة لتوها، ولذلك فهي على الأرجح ليست موثوقة تماما.

Figure 7: انتقال الحرارة الحملي $Nu-1$ بوصفه دالة في المسافة المطَبعة $ϵ=Ra/R{a}_c-1$ من البدء لكل من (a) $Pr=0.021$ و(b) $Pr=1$. يُلاحظ قياس خطي في جوار البدء في كلتا الحالتين، لكن وجود مقطع منته في اللوحة (a) يعود إلى الطبيعة العطالية الشديدة للحمل الحراري منخفض $Pr$.

تظهر بيانات عدد برانتل الوحدوي في الخلية الرفيعة نفسها عند عدد إكمان مشابه، أي $Ek={10}^{-6}$، في الشكل 7(b). وفي هذه الحالة، يتلاشى انتقال الحرارة الناجم عن الحركة الحملية عند $Ra\approx 8\times {10}^7$، وهذا هو عدد رايلي عند البدء. وتتبع البيانات القياس الخطي جيدا؛ وعند استقرائها عكسيا إلى $Nu=1$، نحصل على $R{a}_c=8\times {10}^7$، في توافق تام مع $R{a}_c$ المحدد من فحص DNS. ومن اللافت أن (5) يعطي $R{a}_c\approx 8.7\times {10}^8$، وهو أعلى برتبة مقدار من $R{a}_c$ المحدد من بيانات DNS. ويرجع ذلك إلى أنماط الجدار التي تخفض عدد رايلي الحرج في المجالات المحصورة (Herrmann & Busse, 1993; Aurnou et al., 2018; Vogt et al., 2021). ويبين الشكل 7(b) كذلك أن معامل القياس الخطي هو $\approx 2$، وهو قريب من 1.54 الذي أُبلغ عنه مؤخرا في خلية $\mathrm{\Gamma }=1/2$ عند $Pr=0.8$ و$Ek={10}^{-6}$ (Ecke et al., 2022; Ecke, 2015). ومن ثم، قد يعود فيض الحرارة الحملي المختلف قليلا قرب البدء إلى الطبيعة العطالية الشديدة للحمل الحراري منخفض $Pr$، حيث تكون التبعية الزمنية الفوضوية راسخة حتى عند البدء. ويبدو من الإنصاف الاستنتاج، في المجمل، أن سلوك البدء هو في جوهره نفسه لجميع أعداد برانتل.

5 النقل الكلي للحرارة والزخم في الحالة المضطربة

Figure 8: انتقال الحرارة الحملي بوصفه دالة في $Ra$ في الخلية الرفيعة غير الدوارة (نجوم خضراء) وفي خلية رفيعة سريعة الدوران (دوائر حمراء) ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$ عند $Pr=0.021$. يُظهر الفيض الحراري في الخلية غير الدوارة قياسا أكثر حدة $Nu-1\sim R{a}^{1.03}$ (خط أخضر متقطع) مقارنة بما لوحظ في خلايا حمل حراري أعرض عند أعداد رايلي متوسطة، لكنه يُظهر قياسا مشابها $R{a}^{1/3}$ عند أعداد رايلي كبيرة (خط أخضر متصل). يكون $Nu$ في الحمل الحراري الدوار أقل منه في الحمل الحراري غير الدوار عندما تكون أعداد رايلي صغيرة، لكن الفروق تتلاشى في جوهرها مع ازدياد القسر الحراري. وتُظهر البيانات عند قانونا أسيا، وتعطي أفضل ملاءمة $Nu-1\sim R{a}^{1.32}$ (خط أحمر متقطع)، وهو قريب من قياس $Nu-1\sim R{a}^{3/2}$ في النظام الجيوستروفي. وتمثل المعينات السماوية بيانات تجريبية عند $Ek={10}^{-6}$ في أسطوانة $\mathrm{\Gamma }=1$ من King & Aurnou (2013)، ويشير الخط السماوي المتصل إلى قياس $R{a}^{1.32}$. ليست الخطوط المتصلة أفضل ملاءمات، بل رُسمت دليلا بصريا. وتقابل الرموز المصمتة الحمل الحراري غير الدوار منخفض $Pr$ من الأدبيات: تمثل المربعات الزرقاء البيانات التجريبية من Glazier et al. (1999) في مجال $\mathrm{\Gamma }=1/2$، أما المثلثات البرتقالية المتجهة إلى الأسفل فتقابل بيانات DNS في خلية $\mathrm{\Gamma }=1$ بواسطة Scheel & Schumacher (2017).

نقارن الآن انتقال الحرارة على مدى ممتد من $Ra$ بين الحالات الدوارة وغير الدوارة، وكلتاهما عند $Pr=0.021$ منخفض؛ انظر الشكل 8. لا تتبع بيانات الخلية الرفيعة غير الدوارة (النجوم الخضراء) قانونا أسيا مرضيا، لكننا نمضي في ملاءمة قوانين أسية لقطاعات مختلفة من $Ra$ ونعلق عليها. لنلاحظ أولا أن عدد رايلي الحرج لبدء الحمل الحراري في الخلية الرفيعة يقارب $1.1\times {10}^7$ (Pandey & Sreenivasan, 2021)، وهو أعلى كثيرا مما في المجالات غير المحدودة (Chandrasekhar, 1981). ومع ذلك، فإن تطور درجة الحرارة والسرعة في الجريان وكذلك الفيض الحراري المتوسط عند الصفائح الأفقية يُظهران تبعية زمنية فوضوية منذ $Ra=2\times {10}^7$. وهذا يشير إلى أن الانتقال إلى الاضطراب في الخلية الرفيعة عند $Pr=0.021$ يحدث غير بعيد عن البدء $Ra$، بما ينسجم مع الملاحظات في المجالات الأعرض (Schumacher et al., 2015; Horn & Schmid, 2017). ويرسم الشكل 8 أيضا انتقال الحرارة من تجارب الحمل الحراري غير الدوار بواسطة Glazier et al. (1999) في خلية $\mathrm{\Gamma }=1/2$، ومن DNS بواسطة Scheel & Schumacher (2017) في خلية $\mathrm{\Gamma }=1$، وكلاهما عند $Pr\approx 0.021$. وبينما يكون انتقال الحرارة في الخلية الرفيعة أقل مما أُبلغ عنه في الخلايا الأعرض، فإن التباين يتناقص مع ازدياد $Ra$؛ وتتبع بيانات الخلية الرفيعة عند أكبر $Ra$ مستكشف في هذا العمل قياسا مشابها لما في خلايا الحمل الحراري الأعرض.

من المعروف جيدا أن الدوران يقلل انتقال الحرارة (Chandrasekhar, 1981; Plumley & Julien, 2019; Kunnen, 2021; Ecke & Shishkina, 2023). وتؤكد بيانات $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ (الشكل 8 – الدوائر الحمراء) هذا السلوك—باستثناء $Ra\ge {10}^9$ الكبير، حيث تكون أعداد نوسلت في الحالتين الدوارة وغير الدوارة متقاربة جدا؛ وفي هذه الشروط المحددة، يمكن القول إن $Nu$ غير متأثر في جوهره بالدوران، وتتبع البيانات تقريبا قياس $R{a}^{1/3}$ غير الدوار الكنسي (Niemela et al., 2000)—مما يدل على أن آثار الدوران في الحمل الحراري منخفض $Pr$ في الخلية الرفيعة تشبه آثارها في المجالات الأعرض.

وعند توجيه الانتباه إلى $Ra$ المنخفض، ولنقل عند ، نرى أن $Nu$ يتبع قياسا أشد بكثير مقداره $Nu-1\sim R{a}^3$ (خط أحمر متصل). (وهذا لا يتعارض مع القياس الخطي المعروض في الشكل 7(a)، إذ تستخدم هذه الرسوم كميات مختلفة.) وهذا النظام من القياس مشابه لما أُبلغ عنه في DNS داخل صندوق أفقي دوري عند $Pr=1$ (Song et al., 2024). وتجدر الإشارة إلى أن قياسا حادا لانتقال الحرارة $Nu\sim R{a}^3$ قرب بدء الحمل الحراري الدوار اقترحه King et al. (2012)، وأُبلغ عنه كذلك لأعداد برانتل متوسطة (Stellmach et al., 2014; Cheng et al., 2015). غير أن مخططنا لـ $Nu$ مقابل $Ra$ (غير معروض) لا يظهر هذا القياس التكعيبي قرب البدء.

في المنطقة المتوسطة ، تبدو بيانات الحالة الدوارة كأنها تتبع قانونا أسيا بأفضل ملاءمة معطاة بـ $Nu-1\sim R{a}^{1.32\pm 0.06}$. وهذا القياس متسق تقريبا مع محاكيات المعادلات المختزلة تقاربيا—التي تصف RBC في حد الدوران السريع—حيث يزداد $Nu-1$ مثل $R{a}^{3/2}$، عند $Pr\ge 0.3$، في النظام الجيوستروفي (Julien et al., 2012a). ويعطي مخطط $Nu$ مقابل $Ra$ (غير معروض) أسّا أصغر مقداره 0.95 للمدى نفسه من $Ra$، وهو مشابه لـ $Nu\sim R{a}^{0.91}$ المرصود في نظام الحمل الحراري «المهيمن عليه دورانيا» في الغاليوم السائل داخل أسطوانة $\mathrm{\Gamma }=1.94$ (Aurnou et al., 2018). علاوة على ذلك، يكون $Nu-1\sim R{a}^{1.03}$ عند أعداد رايلي المتوسطة في الحالة غير الدوارة. وللمقارنة، ندرج أيضا بيانات من King & Aurnou (2013)، الذين أجروا تجارب في خلية أسطوانية $\mathrm{\Gamma }=1$ عند $Pr\approx 0.025$: تعرض المعينات السماوية في الشكل 8 انتقال الحرارة عند $Ek={10}^{-6}$. ومن الواضح أن $Nu-1$ في خلية RRBC الأعرض يزداد أيضا بحدة قرب البدء، لكن عند $Ra$ أعلى، يُظهر $Nu-1$ قياسا مشابها مقداره $R{a}^{1.32}$ (خط سماوي متصل) لما لوحظ في الخلية الرفيعة الدوارة.

Figure 9: عدد رينولدز بوصفه دالة في $Ra$ في الخلية غير الدوارة (نجوم خضراء) والخلية الدوارة عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ (دوائر حمراء). تنمو تقلبات السرعة بسرعة قرب بدء الحمل الحراري في الخلية الرفيعة، لكن معدل النمو يصبح أبطأ مع اشتداد الدفع. ويشير الخط الأخضر المتصل إلى أن البيانات عند أعلى $Ra$ تتبع تقريبا قانونا أسيا $\sqrt{Ra}$ كما في الخلايا الأعرض. ويشير الخط الأحمر المتصل إلى أن $Re$ ينمو مثل $R{a}^3$ عند . وتمثل الخطوط المتقطعة أفضل الملاءمات للقسر الحراري المتوسط. يتناقص الفرق بين قيم $Re$ غير الدوارة والدوارة مع ازدياد $Ra$، وتكاد القيمتان لا تتميزان عند $Ra={10}^{10}$. وتمثل المثلثات البرتقالية المتجهة إلى الأسفل بيانات DNS في خلية $\mathrm{\Gamma }=1$ بواسطة Scheel & Schumacher (2017).

يؤثر الدوران أيضا في نقل الزخم، كما يتضح من سلوك عدد رينولدز، المعتمد هنا على سرعة الجذر التربيعي للمتوسط التربيعي وعمق طبقة المائع، وفق

$$Re=\sqrt{{⟨u_x^2+u_y^2+u_z^2⟩}_{V,t}Ra/Pr}.$$ (11)

يُرسم عدد رينولدز في كل من الخليتين غير الدوارة والدوارة بوصفه دالة في $Ra$ في الشكل 9. ويزداد $Re$ للخلية غير الدوارة (النجوم الخضراء) بسرعة قرب البدء، لكن معدل الزيادة يتناقص مع اشتداد الدفع الحراري. وفي المدى المتوسط نفسه من $Ra$ الذي نلاحظ فيه قياس $Nu-1\sim Ra$، تعطي أفضل ملاءمة قياس $Re\sim R{a}^{0.73\pm 0.01}$. وتجدر الإشارة إلى أن عدد رينولدز في مجالات حمل حراري أعرض عُرف بأنه يزداد تقريبا مثل $\sqrt{Ra}$ لأعداد برانتل متوسطة ومنخفضة (Ahlers et al., 2009; Chillà & Schumacher, 2012; Verma et al., 2017; Pandey & Verma, 2016; Scheel & Schumacher, 2017; Pandey et al., 2022b). ونشير إلى قياس $R{a}^{1/2}$ بخط أخضر متصل في الشكل 9، ونلاحظ أن البيانات غير الدوارة لأكبر بضعة أعداد رايلي في هذه الدراسة تكاد تتبع القياس نفسه، مما يدل على أن آثار الحصر تصبح أضعف مع زيادة الدفع الحراري. كما يتضمن الشكل 9 للمقارنة قيما لـ $Re$ محسوبة في خلية أسطوانية $\mathrm{\Gamma }=1$ عند $Pr=0.021$ بواسطة Scheel & Schumacher (2017). ونلاحظ أن عدد رينولدز في الخلية الرفيعة أصغر مقارنة بالخلية الأعرض، وهذا يعود إلى احتكاك فعلي أكبر للحدود الصلبة في الحالة الأولى (Pandey & Sreenivasan, 2021).

تمثل الدوائر الحمراء في الشكل 9 أعداد رينولدز في الخلية الرفيعة الدوارة عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$، ويتضح انخفاض نقل الزخم في وجود الدوران (Schmitz & Tilgner, 2010) عند $Ra$ منخفض. كما يبين الشكل، على غرار الشكل 8، أن بدء الحمل الحراري ينتقل إلى $Ra$ أعلى مقارنة بالخلية غير الدوارة. وقرب بدء الحمل، ينمو $Re$ في الخلية الدوارة تقريبا مثل $R{a}^3$ (خط أحمر متصل)، وهو مشابه جدا لنمو $Nu-1$ في هذا النظام. كما أُبلغ عن نمو سريع في $Re$ قرب بدء الحمل الحراري الدوار بواسطة Schmitz & Tilgner (2010)، الذين أجروا DNS في مجال أفقي دوري. ومع زيادة الدفع الحراري، يتناقص معدل نمو $Re$، وتكون أفضل ملاءمة عند هي قياس $Re\sim R{a}^{0.83\pm 0.03}$ (خط أحمر متقطع). ولهذا القياس بعض التشابه مع القياس الخالي من التبديد $Re\sim RaEk/Pr$ الذي أبلغ عنه Guervilly et al. (2019); Maffei et al. (2021); Vogt et al. (2021); Ecke & Shishkina (2023). وعند $Ra$ أعلى، يقترب $Re$ في الخلية الدوارة من نظيره في الخلية غير الدوارة، ويصبح الفرق صغيرا جدا عند $Ra>{10}^9$.

Figure 10: النقلان الحراري (a) والزخمي (b) في الخلايا الرفيعة الدوارة، بعد تطبيعهما بالقيم المناظرة من الخلية غير الدوارة، يقتربان من الواحد عند $R{o}^{-1}\le 2$ لكنهما ينخفضان بسرعة عند أعداد روسبي العكسية الأكبر. ويكون كبح الفيض الحراري أقوى من كبح فيض الزخم في الحمل الحراري الرفيع منخفض $Pr$.

يمكن دراسة تأثير الدوران أيضا بإنقاص عدد روسبي $Ro$ عند عدد رايلي ثابت (Stevens et al., 2013; Kunnen et al., 2011; Ecke & Niemela, 2014; Horn & Shishkina, 2015; Aurnou et al., 2020)؛ ويعد عدد روسبي العكسي $R{o}^{-1}$ مقياسا لشدة قوة كوريوليس بالنسبة إلى الطفو. نجري محاكيات منخفضة $Pr$ لـ $R{o}^{-1}\in [0,30]$ عند $Ra={10}^8,{10}^9,{10}^{10}$. ويُعرض عدد نوسلت المطبع بـ $N{u}_0$—أي انتقال الحرارة في غياب الدوران—بوصفه دالة في $R{o}^{-1}$ في الشكل 10(a)، مع انهيار المنحنيات لقيم $Ra$ المختلفة على نحو معقول. ويبقى الفيض الحراري المطبع قريبا من الواحد عند $R{o}^{-1}\lesssim 2$، ثم ينخفض بعد ذلك. وهذا يدل على أن الدوران البطيء لا يؤثر في انتقال الحرارة في الخلية الرفيعة، بما ينسجم مع الملاحظات في خلايا حمل حراري أعرض لأعداد برانتل متوسطة (Wedi et al., 2021). كما يبين الشكل 10 أنه لا يوجد تعزيز لانتقال الحرارة عند معدلات دوران متوسطة، خلافا لما يحدث عند أعداد برانتل كبيرة بسبب آلية ما يسمى «ضخ إكمان» (Stevens et al., 2009; Zhong et al., 2009; Zhong & Ahlers, 2010; Chong et al., 2017)، لكن غياب تعزيز الفيض الحراري في بيانات الخلية الرفيعة يتسق مع RRBC منخفض $Pr$ في مجالات أكثر امتدادا (Zhong et al., 2009).

يُرسم عدد رينولدز المطبع $Re/R{e}_0$ مع $R{o}^{-1}$ في الشكل 10(b). والاتجاه مشابه نوعيا لاتجاه الفيض الحراري المطبع؛ فالدوران الضعيف ($R{o}^{-1}\lesssim 2$) لا يؤثر في نقل الزخم. وعند $R{o}^{-1}\gtrsim 2$، ينخفض فيض الزخم المطبع، لكن بيانات $Ra={10}^8$ تقع أسفل تلك الخاصة بـ $Ra\ge {10}^9$ عند $R{o}^{-1}$ الأعلى. ويكون كبح نقل الزخم أضعف منه لانتقال الحرارة؛ فعند $R{o}^{-1}=10$، يكون عدد نوسلت المطبع $Nu/N{u}_0\approx 0.45$ في حين يكون $Re/R{e}_0\approx 0.8$، وكلاهما عند $Ra={10}^{10}$.

6 تدرج درجة الحرارة في منطقة اللب والطبقة الحدية اللزجة

تتغير درجة الحرارة المتوسطة في الحمل الحراري المضطرب أساسا في الطبقات الحدية الحرارية الرقيقة (BLs) قرب الصفائح الأفقية. غير أن الحصر الجانبي الشديد يجعل تغير درجة الحرارة حاضرا أيضا في منطقة اللب عند أعداد برانتل متوسطة ومنخفضة (Iyer et al., 2020; Pandey & Sreenivasan, 2021; Pandey et al., 2022a). وينخفض تدرج درجة الحرارة الرأسي المتوسط $\partial T/\partial z$ مع ازدياد $Ra$ في الحالة غير الدوارة، في حين يتغير بطريقة محددة في الحمل الحراري الدوار (Julien et al., 2012b; Cheng et al., 2020; Aguirre Guzmán et al., 2022). نحسب تدرج درجة الحرارة الرأسي المتوسط في منطقة اللب ${⟨\partial T/\partial z⟩}_{\mathrm{bulk}}$ بإجراء متوسط على حجم اللب مع $z/H\in [0.25,0.75]$، ونرسمه بوصفه دالة في $Ra$ في الشكل 11(a) عند $Pr=0.021$. ويبقى التدرج قريبا من الواحد ولا يتغير كثيرا قرب بدء الحمل الحراري غير الدوار (نجوم خضراء). ومن ثم لا تختلف حالة جريان اللب في جوار البدء كثيرا عن حالة التوصيل غير الممزوجة ذات $\partial T/\partial z=-1$. غير أنه عند $Ra>{10}^8$، يتناقص $-{⟨\partial T/\partial z⟩}_{\mathrm{bulk}}$ رتيبا مع $Ra$، لكن حتى عند $Ra={10}^{10}$ يمتلك RBC منخفض $Pr$ في الخلية الرفيعة تدرجا أعلى مما في الحالة جيدة الخلط للمجالات الممتدة.

Figure 11: تدرج درجة الحرارة الرأسي المتوسط في منطقة اللب بين $z=0.25H$ و$z=0.75H$ بوصفه دالة في $Ra$ من خلايا رفيعة غير دوارة (نجوم خضراء) ودوارة (رموز مفتوحة) عند $Pr=0.021$ (a) و$Pr=1$ (b). ينخفض التدرج المتوسط رتيبا مع $Ra$ في الحمل الحراري غير الدوار، في حين يلاحظ اتجاه غير رتيب في الحمل الحراري الدوار. والمنحنيات المتصلة والمتقطعة أدلة بصرية وليست أفضل ملاءمات. ويشير الخط الرأسي المتقطع-النقطي في اللوحة (b) إلى الانتقال $Ra\approx 23E{k}^{-4/3}$ بين النظامين الخلوي ونظام الأعمدة الصاعدة، كما وجده Stellmach et al. (2014). وتقابل الخطوط الرأسية المتقطعة في اللوحتين $Ro=0.2$. أما البيانات غير الدوارة في اللوحة (b) فهي مأخوذة من Iyer et al. (2020).

يختلف تغير ${⟨\partial T/\partial z⟩}_{\mathrm{bulk}}$ في الشكل 11(a) للحمل الحراري الدوار (دوائر حمراء). فقد عُرف من محاكيات المعادلات المختزلة تقاربيا (Sprague et al., 2006; Julien et al., 2012b) وكذلك من المحاكيات العددية المباشرة لـ RRBC (Stellmach et al., 2014; Aguirre Guzmán et al., 2022) أن تدرج درجة الحرارة ينخفض بحدة مع $Ra$ في النظامين الخلوي والعمودي، اللذين يحدثان في جوار بدء الحمل الحراري لأعداد برانتل متوسطة وكبيرة. ومع زيادة $Ra$ أكثر، يزداد التدرج في نظام الأعمدة الصاعدة ويكاد يتشبع في النظام الجيوستروفي، حيث يضيع الترابط الرأسي (Stellmach et al., 2014). وعند أعداد رايلي أعلى في النظام المتأثر بالدوران، ينخفض التدرج مرة أخرى (Cheng et al., 2020). ويبين الشكل 11(a) أن التدرج عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ ينخفض بسرعة قرب البدء ثم يبدأ في الازدياد عند $Ra=2\times {10}^8$، قبل أن ينخفض ثانية عند $Ra\ge 5\times {10}^8$.

يعرض الشكل 11(b) تدرج درجة الحرارة عند $Pr=1$ من الحالة الدوارة ($Ek={10}^{-6}$) والحالة غير الدوارة (بيانات مأخوذة من Iyer et al. (2020))، وكلتاهما لخلايا رفيعة. ويتغير تدرج درجة حرارة اللب مع $Ra$ نوعيا بالطريقة نفسها كما في الحمل الحراري الدوار منخفض $Pr$. وقرب عدد رايلي الحرج يتبع التدرج قياس $R{a}^{-0.96}$ المشار إليه بالمنحنى الأزرق المتصل. وهذا القياس متسق مع نتائج البدء في محاكيات المعادلات التقاربية (Sprague et al., 2006; Julien et al., 2012b) وكذلك مع DNS (King et al., 2013; Stellmach et al., 2014; Aguirre Guzmán et al., 2022) لأعداد برانتل متوسطة. ومع ازدياد $Ra$، يتناقص التدرج ببطء أكبر قبل أن يزداد من $Ra=2\times {10}^9$ حتى $Ra\approx 6\times {10}^9$. وكما نوقش سابقا، فإن ازدياد التدرج مع $Ra$ سمة لمنطقة الأعمدة الصاعدة. وقد أجرى Stellmach et al. (2014) محاكاة DNS في مجال أفقي دوري بصفائح عدم انزلاق وانزلاق حر، ولاحظ أن الانتقال عند $Pr=1$ من المنطقة الخلوية إلى منطقة الأعمدة الصاعدة يحدث عند $Ra\approx 23E{k}^{-4/3}$ في حالة عدم الانزلاق. وهذا يقابل $Ra\approx 2.3\times {10}^9$ للبيانات الرفيعة؛ ونشير إلى هذا الانتقال $Ra$ بالخط الرأسي المتقطع-النقطي في الشكل 11(b). ومن المثير للاهتمام أن الانتقال $Ra$ الموجود في مجال أفقي دوري يحدد الانتقال في البيانات الرفيعة على نحو جيد. ولوحظ في التجارب (Cheng et al., 2020) وDNS (Aguirre Guzmán et al., 2022) أن تدرج درجة الحرارة ينخفض مثل $R{a}^{-0.21}$ في النظام المتأثر بالدوران، عندما يكون القسر الحراري أقوى كثيرا من القيمة الحرجة للبدء. وتكاد بيانات الخلية الرفيعة عند أكبر أعداد رايلي في الشكل 11(b) تتبع هذا القياس. ومن ثم فإن تغير تدرج درجة الحرارة مع $Ra$ في الخلية الرفيعة الدوارة مشابه نوعيا لما في الخلايا الأعرض، مما يدل مجددا على هيمنة الدوران على الحصر.

ولمعرفة ما إذا كانت البيانات في الشكل 11(a) تُظهر سمات القياس المذكورة لتوها لأعداد برانتل المتوسطة، نشير إلى قياس $R{a}^{-0.96}$ بمنحنى أحمر متصل، لكننا نجد أن التدرج قرب البدء ينخفض ببطء أكبر؛ وبدلا من ذلك، تتبع البيانات قياس ${⟨\partial T/\partial z⟩}_{\mathrm{bulk}}\sim R{a}^{-0.21}$ (منحنى أحمر متقطع-نقطي). وربما يكون هذا دلالة على حالة جريان مختلفة قرب البدء في الحمل الحراري منخفض $Pr$. كما يشار إلى قياس $R{a}^{-0.21}$ في النظام المتأثر بالدوران بمنحنى أحمر متقطع؛ ونجد من هذا الاختبار أن التدرج عند أكبر $Ra$ في حالة $Pr$ المنخفضة لا يختلف كثيرا. وتقابل الخطوط الرأسية المتقطعة في الشكل 11 القيمة $Ro=0.2$، مما يشير إلى أن قياس $R{a}^{-0.21}$ يحدث عندما $Ro>0.2$ ويتراخى القيد الدوراني في منطقة اللب تدريجيا.

Figure 12: (a) سمك الطبقة الحدية اللزجة عند $Pr=0.021$، المتوسط على الصفائح الأفقية كلتيهما، يتناقص مع $Ra$ في الخلية الرفيعة غير الدوارة، في حين يبقى ثابتا عند $Ra$ منخفض في الخلية الدوارة. (b) السمك في الخلية غير الدوارة بوصفه دالة في $Re$. وتبين أفضل ملاءمة عند $Re>{10}^3$ أن ${\delta }_u\sim R{e}^{-1/4}$. (c) يبقى سمك طبقة إكمان المطبع ${\delta }_u/\sqrt{Ek}$ ثابتا ضمن مدى أوسع من $Ra$ لمحاكيات $Pr=1$ مقارنة بمحاكيات $Pr=0.021$. (d) يتبع ملف السرعة الأفقية في الخلية الرفيعة الدوارة (منحنيات متصلة) عند $Pr=0.021$ الملف التحليلي لطبقة إكمان (منحنيات متقطعة) بدقة حتى $Ra={10}^8$، لكنه ينحرف عند أعداد رايلي أكبر.

يتناقص سمك الطبقة الحدية اللزجة (VBL) قرب الصفائح الأفقية مع ازدياد $Ra$ في الحمل الحراري غير الدوار (King et al., 2013; Scheel & Schumacher, 2017; Bhattacharya et al., 2018). أما في الحمل الحراري الدوار، فإن الطبقة الحدية اللزجة—المعروفة أيضا بطبقة إكمان—يضبطها عدد إكمان؛ فعند القسر الحراري الضعيف، أي في النظام المحكوم بالدوران، يتدرج سمك طبقة إكمان مثل $\sqrt{Ek}$ (King et al., 2013; Aguirre Guzmán et al., 2022). وغالبا ما يحدد سمك VBL ${\delta }_u$ باستخدام ملف السرعة الأفقية rms، $u_h(z)$ حيث $u_h=\sqrt{{⟨u_x^2+u_y^2⟩}_{A,t}}.$ بسبب شرط عدم الانزلاق المفروض في محاكياتنا، يتلاشى $u_h$ عند الصفائح ويزداد بسرعة مع الابتعاد عنها. نقدر ${\delta }_u$ بوصفه مسافة أول قيمة عظمى محلية في ملف $u_h(z)$ عن الصفيحة الأفقية. ونحسب ${\delta }_u$ عند الصفيحتين العليا والسفلى ونعرض السمك المتوسط بوصفه دالة في $Ra$ في الشكل 12(a) لكل من الخليتين الرفيعتين غير الدوارة والدوارة. وفي الحالة غير الدوارة (نجوم خضراء)، يتناقص ${\delta }_u$ مع $Ra$. وفي الشكل 12(b)، نرسم البيانات نفسها بوصفها دالة في $Re$، مما يشير إلى أن البيانات عند $Re>{10}^3$ قد توصف بقانون أسي واحد. وتعطي أفضل ملاءمة لهذا النظام قياس ${\delta }_u=0.05R{e}^{-0.26}$، وهو في اتفاق نوعي مع قياس $R{e}^{-1/4}$ المرصود في مجالات حمل حراري أعرض لأعداد برانتل متوسطة وعالية (King et al., 2013).

سمك طبقة إكمان عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ في الشكل 12(a) يكاد يكون مستقلا عن $Ra$ عند $Ra\le {10}^8$. وثبات ${\delta }_u$ يشير إلى أن VBL في هذا النظام يتصرف كطبقة إكمان الكلاسيكية، الناتجة من التوازن بين القوتين اللزجة وكوريوليس (King et al., 2013). ويكشف الشكل 12(a) أيضا أن تغيرا ملحوظا في ${\delta }_u$ يُلاحظ عند أعداد رايلي أعلى. كذلك يصبح الفرق بين البيانات الدوارة وغير الدوارة صغيرا جدا عند $Ra\ge {10}^9$، مما يشير إلى ازدياد هيمنة القسر الحراري على الدوران مع ازدياد $Ra$. ولمعرفة الاعتماد على $Ek$ للكمية ${\delta }_u$، نرسم السمك المطبع ${\delta }_u/\sqrt{Ek}$ بوصفه دالة في $Ra$ في الشكل 12(c)، ونضيف أيضا بيانات من محاكيات $Pr=1,Ek={10}^{-6}$. ويبين الشكل أن قياس ${\delta }_u\sim \sqrt{Ek}$ يُلاحظ بالفعل لكلا عددي برانتل عند قسر حراري منخفض، وأن معامل التناسب $\approx 3$ عند $Pr=0.021$ و$\approx 3.5$ عند محاكيات $Pr=1$. وتقع هذه المعاملات ضمن مدى القيم المبلغ عنها في RRBC في مجالات أعرض (King et al., 2013; Aguirre Guzmán et al., 2022). كما يبين الشكل 12(c) أن مدى أعداد رايلي الذي تكون فيه VBL من نوع إكمان أوسع عند $Pr=1$ منه عند $Pr=0.021$، مما يدل على الطبيعة العطالية لـ RRBC منخفض $Pr$ ويتسق مع نتائج Aguirre Guzmán et al. (2022).

نستقصي كذلك طبقة إكمان في الخلية الرفيعة بفحص شكل ملف السرعة الأفقية rms، $u_h(z)$، قرب الصفائح. وبالنسبة إلى طبقة إكمان الكلاسيكية فوق صفيحة عدم انزلاق، يمكن الحصول على ملف السرعة تحليليا بالنظر في جريان لب جيوستروفي، حيث تتوازن تدرجات الضغط الأفقية مع قوى كوريوليس، وبافتراض أن تدرجات الضغط الأفقية نفسها موجودة داخل منطقة الطبقة الحدية. وباتباع Kundu & Cohen (2004) وAguirre Guzmán et al. (2022)، نجد أن $u_h(z)$ قرب الصفيحة يمكن وصفه بـ

$$u_h(z)=U_h{[1-2\cos (z/{\delta }_U){\mathrm{e}}^{-z/{\delta }_U}+{\mathrm{e}}^{-2z/{\delta }_U}]}^{1/2}.$$ (12)

هنا، $U_h=\sqrt{U_x^2+U_y^2}$ هي السرعة الأفقية rms في اللب الجيوستروفي، مع كون $U_x$ و$U_y$ مركبتي السرعة الأفقية. ويقابل المعامل ${\delta }_U$ سمك طبقة إكمان. وفي الشكل 12(d)، نعرض $u_h(z)$ لأربعة أعداد رايلي من المحاكيات عند $Pr=0.021,Ek=1.45\times {10}^{-6}$ كمنحنيات متصلة. ونلائم هذه الملفات باستخدام المعادلة (12) ونحدد المعاملين $U_h$ و${\delta }_U$، وتعرض الملفات الناتجة من المعادلة (12) بالمعاملات الملائمة كمنحنيات متقطعة في الشكل 12(d). ونلاحظ أن الملفات عند $Ra\le {10}^8$ يمكن وصفها وصفا ممتازا بالملف التحليلي (12). غير أن الانحراف يبدأ في الظهور عند $Ra\ge 1.5\times {10}^8$. ويبين الشكل 12(d) أن المعادلة (12) ما زالت تصف ملفات قرب الجدار لجميع أعداد رايلي. ومن ثم فإن VBL في الخلية الرفيعة عند $Pr=0.021$ تكون من نوع إكمان فقط حتى $Ra={10}^8$، وهذا يتسق مع الاستنتاج من الشكل 12(c). وتجدر الإشارة إلى أن نتائج مشابهة أُبلغ عنها في RRBC في صناديق أفقية دورية بواسطة Aguirre Guzmán et al. (2022).

7 الاستنتاجات

ينصب الاهتمام الرئيس في هذه الورقة على حمل حراري لموائع منخفضة $Pr$ (اختيرت هنا لتكون 0.021) ضمن مدى من أعداد رايلي حتى ${10}^{10}$، مع معدلات دوران متغيرة. وللمقارنة، أجرينا أيضا محاكيات عند $Pr=1$. وبحكم الضرورة، تكون النسبة الباعية صغيرة. ومن مقارنة النتائج الحالية بنتائج شروط مختلفة عدة، بما في ذلك الحمل الحراري في خلايا أعرض (حيثما أمكن)، نستنتج طائفة من النتائج، نورد بعضا منها أدناه.

أولا، إن بنية الجريان، التي تكون في البداية حلزونية، تطور مكونات أدق تدريجيا مع ازدياد القسر الحراري. وتستشعر بنية الجريان الدوران بقوة قرب البدء، مع تثبيط التغير على طول الاتجاه الرأسي. غير أن القدرة على مقاومة الدوران تزداد مع ازدياد $Ra$، ويُظهر تكوين الجريان عند $Ra={10}^{10}$ (الشكل 3(d,h)) شبها قويا بنظيره غير الدوار في الشكل 2. وعلى الرغم من هذه السمة، فإن منطقة اللب متساوية الحرارة في جوهرها، التي لوحظ وجودها في مجالات حمل حراري أعرض، غائبة في الخلية الرفيعة. ومع ذلك، فإن قياس انتقال الحرارة هو نفسه كما في الخلايا الأعرض عند عدد رايلي عال معطى، مما يبين الدور الثانوي لجريان اللب في انتقال الحرارة الكلي.

وجدنا أنه قرب البدء، يكون السلوك فوق الحرج مستقلا نوعيا عن $Pr$. وعند $Ra$ متوسط، يزداد عدد نوسلت في الخلية الرفيعة غير الدوارة بحدة مع $Ra$؛ ووجدنا $Nu-1\sim Ra$ عند $6\times {10}^7\le Ra\le 5\times {10}^8$. وهذه الزيادة أشد من تلك الموجودة في مجالات حمل حراري ذات $\mathrm{\Gamma }\ge 0.5$، حيث لوحظ $Nu\sim R{a}^{\beta }$ مع $\beta \in [0.25-0.30]$ (Glazier et al., 1999; Cioni et al., 1997; Scheel & Schumacher, 2017; Schindler et al., 2022).

وجدنا أن $Nu-1$ في الخلية الدوارة يزداد تقريبا مثل $R{a}^{1.3}$ عند أعداد رايلي المتوسطة، وهو لا يختلف كثيرا عن قياس $Nu-1\sim R{a}^{3/2}$ المقترح للنظام الجيوستروفي (Julien et al., 2012a). كذلك لاحظنا قياس $Nu\sim R{a}^{0.95}$ لـ ${10}^8\le Ra\le {10}^9$، وهو قريب مما وجد في خلية أعرض عند عدد برانتل مشابه (Aurnou et al., 2018). وعند $Ra\ge {10}^9$ تتفق بيانات $Nu$ على نحو معقول مع قياس $R{a}^{1/3}$ الكنسي المرصود في خلايا حمل حراري أعرض غير دوارة (Niemela et al., 2000). كما درسنا آثار زيادة الدوران في النقلين التكامليين وبنية الجريان عند قسر حراري ثابت، ولاحظنا أن خصائص الجريان هذه في الخلية الرفيعة تتغير بطرائق مشابهة جدا لما أُبلغ عنه في جريانات دوارة ذات $\mathrm{\Gamma }\ge 0.5$.

حصلنا على تدرج درجة الحرارة المتوسط في منطقة اللب للخلايا الدوارة الرفيعة عند $Pr=0.021$ و$Pr=1$، ووجدنا أن تغيره مع $Ra$ مشابه لما أُبلغ عنه في المجالات الممتدة. كما حللنا عرض طبقة إكمان وملف السرعة في المنطقة القريبة من الصفيحة، ولاحظنا أنهما يُظهران سلوكا مشابها جدا للسلوك المرصود في الجريانات الحملية سريعة الدوران في المجالات الأعرض. ومن ثم فإن تأثيرات الدوران في الحمل الحراري الرفيع مشابهة لتلك الموجودة في الحمل الحراري الممتد، على الرغم من أن الحالة غير الدوارة تُظهر سلوكا مختلفا، ما دام $Ra$ عاليا بما يكفي.

نشير إلى أن القيمة العظمى لفوق الحرجية الحملية، $Ra/R{a}_c$، المستكشفة في العمل الحالي عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$ تقارب 200. وهذه القيمة ليست كبيرة جدا للحمل الحراري غير الدوار. أما في RRBC، فإن خصائص الجريان تتغير بسرعة مع ازدياد $Ra/R{a}_c$ من الواحد، وتُلاحظ أنظمة ديناميكية أغنى مقارنة بتلك الموجودة في الحمل الحراري غير الدوار ضمن مدى أقصر نسبيا من $Ra/R{a}_c$. وإضافة إلى ملاحظاتنا الخاصة، نستشهد كذلك بـ Julien et al. (2012b); Aguirre Guzmán et al. (2022) وEcke & Shishkina (2023) دليلا داعما.

تشير دراستنا، المستندة إلى محاكيات في خلية رفيعة ذات نسبة باعية ثابتة 0.1، إلى أن الدوران يؤثر في الحمل الحراري بقوة أكبر من الحصر الهندسي. وهذه نتيجة مهمة، إذ يمكن استكشاف الجريانات الحملية الدوارة عند أعداد رايلي أعلى باستخدام مجالات رفيعة، مما يفتح مجالات معاملات جديدة لا يمكن بلوغها في خلايا الحمل الحراري الأعرض. ونؤكد مجددا أنه، مع تناقص $\mathrm{\Gamma }$، يُتوقع أن يكون للطبقة الحدية عند الجدار الجانبي تأثير أقوى تدريجيا في ديناميكيات RRBC، إلا أن تأثيرات الدوران كثيرا ما تطغى على العوامل الأخرى. ومن الواضح بالطبع أن دراسات إضافية مع تغيير $\mathrm{\Gamma }$ ستساعدنا على فهم التفاعل بين تأثيرات الدوران والحصر على نحو أفضل.

[بيانات تكميلية]تتوفر المواد والأفلام التكميلية على
https://doi.org/10.1017/jfm.2024…

[شكر وتقدير]نشكر Jörg Schumacher على ملاحظاته المفيدة بشأن هذا العمل. كما نقر بالمناقشات القيمة مع Ravi Samtaney، الذي وافته المنية للأسف أثناء سير العمل. ويعرب المؤلفون عن امتنانهم لـ Shaheen II في KAUST، المملكة العربية السعودية (ضمن أرقام المشروع k1491 وk1624) ولمجموعتي Dalma وJubail في NYU Abu Dhabi على توفير الموارد الحاسوبية.

[التمويل]تستند هذه المادة إلى عمل مدعوم من Tamkeen ضمن منحة NYU Abu Dhabi Research Institute رقم G1502، ومن KAUST Office of Sponsored Research بموجب الجائزة URF/1/4342-01.

[إعلان المصالح]يصرح المؤلفون بعدم وجود تضارب مصالح.

[بيان توافر البيانات]تتوفر البيانات التي تدعم نتائج هذه الدراسة من المؤلف المراسل بناء على طلب معقول.

[معرفات ORCID للمؤلفين]
A. Pandey, https://orcid.org/0000-0001-8232-6626;
K. R. Sreenivasan, https://orcid.org/0000-0002-3943-6827

Appendix A معاملات المحاكاة

$Ra$	$N_e\times N^3$	$Nu$	$Re$	$t_{\mathrm{sim}}(t_f)$	${\mathrm{\Delta }}_z/\eta$
$1.5\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.05\pm 0.001$	$512\pm 1$	2547	0.32
$2\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.19\pm 0.001$	$1010\pm 1$	1448	0.47
$3\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.43\pm 0.004$	$1673\pm 1$	1255	0.65
$4\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.67\pm 0.07$	$2230\pm 13$	950	0.78
$6\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$2.03\pm 0.07$	$3037\pm 6$	997	0.97
$8\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$2.40\pm 0.01$	$3775\pm 8$	995	1.12
$1\times {10}^8$	$192000\times 3^3$	$2.81\pm 0.001$	$4496\pm 4$	929	1.26
$1.5\times {10}^8$	$192000\times 5^3$	$3.84\pm 0.1$	$6125\pm 11$	269	1.00
$2\times {10}^8$	$192000\times 5^3$	$4.64\pm 0.09$	$7400\pm 15$	385	1.14
$3\times {10}^8$	$192000\times 7^3$	$6.84\pm 0.42$	$10114\pm 30$	140	1.04
$5\times {10}^8$	$192000\times 7^3$	$9.60\pm 0.07$	$13896\pm 3$	110	1.30
$1\times {10}^9$	$537600\times 7^3$	$12.9\pm 0.63$	$19800\pm 55$	61.5	1.24
$3\times {10}^9$	$537600\times 7^3$	$27.2\pm 0.66$	$37905\pm 122$	36.9	2.00
$1\times {10}^{10}$	$537600\times {13}^3$	$39.9\pm 8.5$	$65715\pm 804$	29.2	1.69

Table 1: معاملات DNS عند $Pr=0.021$ في الخلية الأسطوانية غير الدوارة ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$: عدد خلايا الشبكة $N_e\times N^3$ في مجال الجريان كله، حيث إن $N_e$ هو عدد العناصر و$N$ رتبة كثير حدود الاستيفاء اللاغرانجي؛ و$Nu$ هو انتقال الحرارة المتوسط كليا والمقدر باستخدام (10)، و$Re$ هو عدد رينولدز القائم على سرعة الجذر التربيعي للمتوسط التربيعي. ويمثل $t_{\mathrm{sim}}$ زمن التكامل بوحدات السقوط الحر في الحالة المستقرة إحصائيا، وتعرض القيمة العظمى لنسبة تباعد الشبكة الرأسي المحلي ${\mathrm{\Delta }}_z(z)$ إلى مقياس كولموغوروف المحلي $\eta (z)$ في العمود الأخير. وتشير أشرطة الخطأ إلى الفرق بين القيم المتوسطة لنصفي مجموعات البيانات.

$Ra$	$N_e\times N^3$	$Nu$	$Re$	$t_{\mathrm{sim}}(t_f)$	${\mathrm{\Delta }}_z/\eta$
$5.75\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.061\pm 0.001$	$737\pm 1$	1947	0.47
$6.0\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.073\pm 0.001$	$818\pm 1$	1890	0.50
$6.5\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.133\pm 0.002$	$1167\pm 1$	1434	0.59
$7.0\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.167\pm 0.001$	$1360\pm 1$	2301	0.63
$7.5\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.189\pm 0.005$	$1510\pm 1$	2579	0.69
$8.0\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.215\pm 0.001$	$1629\pm 1$	2475	0.72
$8.5\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.226\pm 0.003$	$1684\pm 1$	2423	0.73
$9.0\times {10}^7$	$192000\times 3^3$	$1.240\pm 0.007$	$1786\pm 1$	2390	0.74
$1.0\times {10}^8$	$192000\times 3^3$	$1.254\pm 0.012$	$1885\pm 4$	1288	0.77
$1.5\times {10}^8$	$192000\times 3^3$	$1.80\pm 0.03$	$3719\pm 9$	454	1.13
$2\times {10}^8$	$192000\times 3^3$	$2.39\pm 0.02$	$5276\pm 9$	355	1.42
$3\times {10}^8$	$192000\times 5^3$	$3.24\pm 0.07$	$7121\pm 20$	190	1.11
$5\times {10}^8$	$192000\times 7^3$	$5.62\pm 0.32$	$11109\pm 51$	125	1.11
$1\times {10}^9$	$537600\times 7^3$	$11.2\pm 0.32$	$18595\pm 81$	63.0	1.20
$3\times {10}^9$	$537600\times 7^3$	$22.1\pm 2.8$	$34989\pm 330$	54.2	1.90
$1\times {10}^{10}$	$537600\times {13}^3$	$40.6\pm 9.0$	$65306\pm 742$	30.6	1.66

Table 2: معاملات DNS نفسها عند $Pr=0.021$ في خلية أسطوانية سريعة الدوران ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$ عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$.

$Ra$	$R{o}^{-1}$	$N_e\times N^3$	$Nu$	$Re$	$t_{\mathrm{sim}}(t_f)$	${\mathrm{\Delta }}_z/\eta$
${10}^8$	0	$192000\times 3^3$	$2.81\pm 0.001$	$4496\pm 4$	929	1.26
${10}^8$	0.25	$192000\times 3^3$	$2.82\pm 0.13$	$4515\pm 17$	583	1.27
${10}^8$	0.50	$192000\times 3^3$	$2.76\pm 0.02$	$4435\pm 1$	583	1.25
${10}^8$	1	$192000\times 3^3$	$2.72\pm 0.17$	$4391\pm 16$	583	1.25
${10}^8$	2	$192000\times 3^3$	$2.53\pm 0.02$	$4187\pm 10$	706	1.21
${10}^8$	5	$192000\times 3^3$	$1.79\pm 0.08$	$3172\pm 8$	723	1.02
${10}^8$	10	$192000\times 3^3$	$1.25\pm 0.01$	$1885\pm 4$	1288	0.77
${10}^9$	0	$537600\times 7^3$	$12.9\pm 0.72$	$19823\pm 60$	61.8	1.24
${10}^9$	1	$537600\times 7^3$	$12.3\pm 0.29$	$19310\pm 3$	39.7	1.23
${10}^9$	2	$537600\times 7^3$	$11.6\pm 0.12$	$18800\pm 16$	45.3	1.21
${10}^9$	3	$537600\times 7^3$	$10.5\pm 0.84$	$18104\pm 206$	45.0	1.18
${10}^9$	5	$537600\times 5^3$	$8.34\pm 1.2$	$16734\pm 146$	90.8	1.50
${10}^9$	10	$537600\times 5^3$	$3.92\pm 0.43$	$12359\pm 78$	125	1.20
${10}^9$	20	$537600\times 5^3$	$2.15\pm 0.08$	$7928\pm 40$	136	0.95
${10}^{10}$	0	$537600\times {13}^3$	$39.9\pm 8.5$	$65715\pm 804$	29.2	1.69
${10}^{10}$	1	$537600\times {13}^3$	$40.6\pm 9.0$	$65306\pm 742$	30.6	1.66
${10}^{10}$	2	$537600\times {13}^3$	$34.8\pm 2.3$	$61958\pm 202$	24.2	1.62
${10}^{10}$	5	$537600\times {13}^3$	$31.5\pm 5.2$	$60277\pm 1114$	27.9	1.61
${10}^{10}$	10	$537600\times {11}^3$	$17.8\pm 4.8$	$50783\pm 595$	26.8	1.61
${10}^{10}$	20	$537600\times 9^3$	$5.73\pm 1.5$	$31880\pm 484$	88.4	1.33
${10}^{10}$	30	$537600\times 7^3$	$3.88\pm 0.30$	$24455\pm 58$	303	1.59

Table 3: معاملات DNS عند $Pr=0.021$ مع تردد دوران متغير.

Figure 13: تتفق أعداد نوسلت المحسوبة باستخدام معدلات التبديد الحراري واللزج وتدرج درجة حرارة الجدار مع $Nu$ المحسوب من (10) ضمن 4% في جميع المحاكيات. وتعرض اللوحة (a) النسب $N{u}_{{\epsilon }_T}/Nu$، و$N{u}_{{\epsilon }_u}/Nu$، و$N{u}_{{\partial }_{z}T}/Nu$ عند $Pr=0.021$ و$Ek=\mathrm{\infty }$، في حين تعرض اللوحة (b) بيانات من الخلية الدوارة عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$.

نجمع المعاملات المهمة لـ DNS في الخلايا الرفيعة غير الدوارة والدوارة في الجدولين 1 و2، على الترتيب. ويتضمن الجدول 3 المعاملات ذات الصلة للمحاكيات ذات أعداد رايلي ثابتة ومعدلات دوران متغيرة. وإضافة إلى مقارنة أصغر تباعد شبكي بمقياس طول كولموغوروف (انظر §2)، نفحص تقارب الفيض الحراري باستخدام طرائق مختلفة (Pandey et al., 2022a)؛ إذ ينبغي للمحاكاة المحلولة على نحو صحيح أن تعطي انتقال الحرارة الكلي نفسه عند حسابه من مقاربات مختلفة. وتربط العلاقات الدقيقة لـ RBC بين معدلات تبديد الطاقة الحرارية والحركية المتوسطة حجميا وزمنيا وبين عدد نوسلت (Shraiman & Siggia, 1990)، وتقدر الفيوض الحرارية من معدلي الطاقة والتبديد الحراري كما يلي

$N{u}_{{\epsilon }_u}$ $=$ $1+{\displaystyle \frac{H^4}{{\nu }^3}}{\displaystyle \frac{P{r}^2}{Ra}}{⟨{\epsilon }_u⟩}_{V,t},$ (13)

$N{u}_{{\epsilon }_T}$ $=$ ${\displaystyle \frac{H^2}{\kappa {(\mathrm{\Delta }T)}^2}}{⟨{\epsilon }_T⟩}_{V,t}.$ (14)

وعند الصفائح الأفقية، تنتقل الحرارة كلها بفعل الانتشار الجزيئي، ويقدر الفيض المتوسط على المساحة عند الصفائح باستخدام تدرج درجة الحرارة الرأسي كما يلي

$$N{u}_{{\partial }_{z}T}=-\frac{H}{\mathrm{\Delta }T}{⟨{\left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)}_{z=0,H}⟩}_{A,t}.$$ (15)

نرسم النسب $N{u}_{{\epsilon }_T}/Nu$، و$N{u}_{{\epsilon }_u}/Nu$، و$N{u}_{{\partial }_{z}T}/Nu$ في الشكل 13(a) للمحاكيات غير الدوارة، وفي الشكل 13(b) للمحاكيات عند $Ek=1.45\times {10}^{-6}$. وتبتعد النسب عن الواحد بحد أقصى قدره 4% لجميع المحاكيات، مما يؤكد أن المحاكيات محلولة بدقة كافية.