أوجه التشابه بين خصائص الاضطراب الحملي في المجالات المحصورة والممتدة

الملخص

لفهم الحمل الاضطرابي عند أعداد رايلي مرتفعة جدا، على النحو المميز للظواهر الطبيعية، تمثل الدراسات الحاسوبية في خلايا نحيلة خيارا ممكنا إذا تعين تحسين استخدام الموارد المطلوبة ضمن الحدود المتاحة. غير أن الحصر الأفقي المصاحب يؤثر في بعض خواص الجريان. نستكشف هنا خصائص التقلبات الاضطرابية في حقلي السرعة ودرجة الحرارة داخل خلية حمل أسطوانية ذات نسبة باع 0.1، وذلك بتغيير عدد برانتل $Pr$ بين 0.1 و200 عند عدد رايلي ثابت $Ra=3\times {10}^{10}$، ونجد أن التقلبات تضعف مع ازدياد $Pr$، وبصورة كمية مشابهة لما يحدث عند نسبة الباع 25. تبقى دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتقلبات درجة الحرارة في منطقة اللب من الخلية النحيلة غاوسية في معظمها، إلا أن الانحرافات المتزايدة تظهر عندما يزداد $Pr$ متجاوزا الواحد. ونقيّم التقطّع في حقل السرعة بحساب دوال كثافة الاحتمال لمشتقات السرعة ولمعدل تبديد الطاقة الحركية، ونجد أن التقطّع يزداد مع تناقص $Pr$. وفي منطقة اللب من الحمل، ثمة نتيجة مشتركة تنطبق على الخلية النحيلة وعلى الخلايا ذات نسبة الباع الكبيرة، وكذلك على الحمل 2D، وهي أن عدد برانتل الاضطرابي يتناقص وفق $P{r}^{-1/3}$.

[label1]organization=Center for Space Science, New York University Abu Dhabi, city=Abu Dhabi, postcode=129188, country=UAE

[label2]organization=Institute of Thermodynamics and Fluid Mechanics, Technische Universität Ilmenau, city=Ilmenau, postcode=D-98684, country=Germany

[label3]organization=Tandon School of Engineering, New York University, city=New York, postcode=NY 11201, country=USA

[label4]organization=Division of Physical Science and Engineering, King Abdullah University of Science and Technology, city=Thuwal, postcode=23955-6900, country=Saudi Arabia

[label5]organization=Department of Physics and Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, city=New York, postcode=NY 11201, country=USA

1 مقدمة

تندفع كثير من الجريانات الاضطرابية في الطبيعة بفعل الحمل الحراري. وتمثل ظاهرة الصفائح التكتونية وتوليد المجال المغناطيسي الأرضي واستدامته تجليات للحمل الحراري في وشاح الأرض ولبها الخارجي، على الترتيب [1, 2]. وقد يكون المجال المغناطيسي المستدام وتبدلاته العشوائية في الشمس مرتبطين بالحمل الداخلي؛ انظر، على سبيل المثال، [3, 4]. ويعد حمل رايلي-بينار (RBC)، حيث تسخن طبقة مائع من الأسفل وتبرد من الأعلى، نموذجا معياريا لهذه الجريانات [5, 6, 7]. ويتغير عدد برانتل $Pr$، وهو نسبة مقاييس زمن انتشار الحرارة والزخم في المائع، وأحد المعاملات الحاكمة الجوهرية في RBC، تغيرا هائلا في الجريانات الطبيعية. فعلى سبيل المثال، يتغير بشدة في باطن الأرض من ${10}^{-1}$ في اللب الخارجي [8] إلى ${10}^{24}$ في الوشاح [1]. ويمثل عدد رايلي $Ra$ نسبة قوة الطفو الدافعة إلى القوى المبددة الناجمة عن اللزوجة والانتشار الحراري، أما نسبة الباع $\mathrm{\Gamma }$ فهي نسبة البعد الأفقي إلى البعد الرأسي لجهاز المائع؛ وهما معاملان حاكمان آخران في RBC. ويكمّم عدد نوسلت $Nu$ تعزيز انتقال الحرارة الناتج عن الحركة الحملية، بينما يشير عدد رينولدز $Re$ إلى شدة الاضطراب؛ وكل من معاملي الاستجابة $Nu$ و$Re$ دالتان في معاملات التحكم في RBC، وهي $Ra$ و$Pr$ و$\mathrm{\Gamma }$؛ انظر، على سبيل المثال، [6, 9, 10]. نقارن في هذه الورقة خصائص تقلبات السرعة ودرجة الحرارة في الحمل المحصور بنظائرها في المجالات الممتدة أفقيا عبر مجال واسع من $Pr$.

لعدد رايلي معطى، تتغير القدرة الحاسوبية المطلوبة لاستكشاف الجريانات الحملية اسميا وفق ${\mathrm{\Gamma }}^2$. ولهذا السبب، يغدو استخدام خلايا حمل نحيلة مغريا لبلوغ قيم عالية جدا من $Ra$. درس Iyer et al. [11] سمات القياس لانتقال الحرارة والزخم الكليين في خلية أسطوانية عند نسبة باع $\mathrm{\Gamma }=D/H=0.1$ لقيمة ثابتة من $Pr=1$ ولقيم $Ra$ تصل إلى ${10}^{15}$، ووجدوا أن قياس قانون القدرة لـ$Nu(Ra)$ قريب جدا من $Nu\sim R{a}^{1/3}$، بما يتفق مع نموذج الطبقة الحدية الهامشية الاستقرار لدى Malkus [12]؛ وانظر أيضا تعليق Doering [13]. ومع ذلك، وجد أن معدل زيادة $Re$ مع $Ra$ أدنى منه في المجالات الأعرض [11]. واستكشف Pandey and Sreenivasan [14] اعتماد $Nu$ و$Re$ على $Pr$ في خلية الحمل نفسها ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$، ولاحظوا أنه، في حين كان انتقال الحرارة أدنى مقارنة بالخلايا الأعرض عندما تكون $Pr$ و$Ra$ صغيرتين، فإنها تقترب من القيم في المجالات الأعرض عندما تكون $Pr\ge 1$ و$Ra\ge {10}^{10}$.

في العمل الحالي، نفحص اعتماد عدة كميات في الخلية النحيلة على $Pr$، مثل دوال كثافة الاحتمال (PDF) لتقلبات درجة الحرارة والسرعة ولمعدلات التبديد المقابلة، ونجد أنها مشابهة لنظائرها في المجالات الأعرض. كما يبدي عدد برانتل الاضطرابي $P{r}_t$ في الخلية النحيلة اعتمادا على $Pr$ مشابها جدا لما في خلايا الحمل $\mathrm{\Gamma }\ge 1$ [4]. ويعد عدد برانتل الاضطرابي (أو الفعال) $P{r}_t$، وهو نسبة اللزوجة الفعالة ${\nu }_t$ إلى الانتشارية الحرارية الفعالة ${\kappa }_t$ في الجريانات الاضطرابية، محوريا في نمذجة الاضطراب الهندسي والجوي [15]. وبسبب التحريك عالي الكفاءة، تمتلك الجريانات الاضطرابية انتشاريتين اضطرابيتين ${\nu }_t$ و${\kappa }_t$ أكبر بكثير من الانتشاريتين الجزيئيتين $\nu$ و$\kappa$. ويكون $P{r}_t\approx 1$ في جريانات ذات $Pr$ معتدل [16]، كما هو متوقع من مماثلة رينولدز التي تفيد بأن الدوامات نفسها تنقل الحرارة والزخم معا  [15]. غير أن $P{r}_t>1$ وجدت باستمرار في الموائع ذات عدد برانتل المنخفض [16, 17, 18]. وقد قدر Pandey et al. [4] مؤخرا $P{r}_t$ في RBC على مدى واسع من $Pr$، ووجدوا أن $P{r}_t\sim P{r}^{-1/3}$ عندما انخفض عدد برانتل الجزيئي من 13 إلى ${10}^{-4}$ عند عدد غراشوف ثابت، $Gr=Ra/Pr={10}^9$. ونجد هنا الاتجاهات نفسها مع الحصر ومن دونه، ويبقى $P{r}_t$ شبه غير متأثر بالحصر الأفقي ما دامت القوة الحرارية الدافعة قوية بما يكفي.

على وجه التحديد، ندرس الحمل الحراري في الحالات الآتية: أسطوانة قطرها عُشر ارتفاعها عند $Ra=3\times {10}^{10}$، ولمدى واسع من أعداد برانتل عند 12 قيم مختلفة بين $0.1\le Pr\le 200$. ونجري دراسة منهجية لاعتماد الإحصاءات على عدد برانتل ونربط النتائج بالدراسات الحديثة عند نسب باع أكبر، مع إيلاء اهتمام خاص للدقة المطلوبة زمنيا وطوليا عند أعداد برانتل المنخفضة [19]. ويكون توازن القوى المهيمن في الحمل منخفض $Pr$ بين قوى العطالة وقوى تدرج الضغط، مما يؤدي إلى اضطراب شديد مقارنة بما عند $Pr$ المعتدلة والعالية [20]. وبفضل التزايد في توافر الموارد الحاسوبية، صار من الممكن الآن حساب نظام الحمل منخفض $Pr$، وهو نظام ذو أهمية كبيرة في الجريانات الجيوفيزيائية والجوية [19, 21, 22, 23]. ويظهر حقل السرعة في مثل هذه الجريانات طابعا شديد التقطع، في حين يبقى حقل درجة الحرارة انتشاريا. نكمّم التقطع بحساب عامل التفلطح لتقلبات السرعة ودرجة الحرارة ولمشتقاتهما، ونلاحظ أن حقل درجة الحرارة (السرعة) يصبح أكثر تقطعا مع ازدياد (تناقص) $Pr$. وهذه السمة متسقة مع خصائص التقلبات من أجل $\mathrm{\Gamma }\ge 0.5$.

تنظم بقية الورقة على النحو الآتي. نقدم معاملات محاكاتنا في القسم 2. وتوصف بنية الجريان في الخلية النحيلة في القسم 3. وتكمّم خواص تقلبات درجة الحرارة والسرعة في القسمين 4 و 5، على الترتيب. ويعرض تغير عدد برانتل الاضطرابي مع عدد برانتل الجزيئي في القسم 6، وتلخص النتائج الرئيسة في القسم 7.

2 المعادلات الحاكمة والتفاصيل العددية

نجري محاكاة عددية مباشرة (DNS) لحمل أوبر بك-بوسينسك بحل المعادلات اللابعدية الآتية

${\displaystyle \frac{D{u}_i}{Dt}}$ $=-{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x_i}}+T{\delta }_{iz}+\sqrt{{\displaystyle \frac{Pr}{Ra}}}{\displaystyle \frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_j^2}},$ (1)

${\displaystyle \frac{DT}{Dt}}$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{PrRa}}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x_j^2}},$ (2)

${\displaystyle \frac{\partial u_j}{\partial x_j}}$ $=0,$ (3)

حيث إن $u_i$ (مع $i\equiv x,y,z$)، و$p$، و$T$ هي حقول السرعة والضغط ودرجة الحرارة، على الترتيب. ويمثل المؤثر $D/Dt=\partial /\partial t+u_j\partial /\partial x_j$ المشتقة المادية. وقد جُعلت هذه المعادلات لابعدية باستخدام العمق $H$، وفرق درجة الحرارة $\mathrm{\Delta }T$ بين الصفيحتين الأفقيتين، وسرعة السقوط الحر $u_f=\sqrt{\alpha g\mathrm{\Delta }TH}$، وزمن السقوط الحر $t_f=\sqrt{H/(\alpha g\mathrm{\Delta }T)}$، بوصفها مقاييس الطول ودرجة الحرارة والسرعة والزمن، على الترتيب. وتعرّف المعاملات الحاكمة اللابعدية على أنها $Ra=\alpha g\mathrm{\Delta }T{H}^3/(\nu \kappa )$ و$Pr=\nu /\kappa$، حيث إن $\alpha ,\nu ,\kappa$ هي، على الترتيب، معامل التمدد الحراري عند ضغط ثابت، واللزوجة الحركية، والانتشارية الحرارية للمائع العامل، وتكون $g$ تسارع الجاذبية. لاحظ أنه في الدراسات التجريبية لحمل المعادن السائلة في خلايا نحيلة [24, 25]، يستخدم قطر الخلية أيضا مقياسا طوليا ملائما لتعريف عدد رايلي. وسيؤدي هذا التحجيم إلى إنقاص قيم $Ra$ بعامل ${10}^3$ من أجل $\mathrm{\Gamma }$ الحالية. وقد تنتج معاملات أمامية مختلفة في قوانين قياس الانتقال تبعا لمقياس الطول المستخدم في تعريف عدد رايلي. وينصب تركيزنا على الاعتماد بالنسبة إلى $Pr$.

تُجرى المحاكاة باستخدام الحالّ Nek5000، المستند إلى طريقة العناصر الطيفية [26]. ويتألف مجال المحاكاة من $N_e$ عنصرا، مع تقطيع كل عنصر إضافيا باستخدام كثيرات حدود استيفاء لاغرانجية من الرتبة $N$، مما ينتج $N_e{N}^3$ خلية شبكية في مجال الجريان بأكمله. ولحقل درجة الحرارة نفرض شروطا متساوية الحرارة على الصفيحتين الأفقيتين وشروطا كظومة على الجدار الجانبي. أما حقل السرعة فيحقق شرط عدم الانزلاق على جميع الحدود. ونستخدم كثافة متزايدة من الخلايا الشبكية في الطبقات الحدية الحرارية واللزجة (BLs) لحلها بدقة كافية.

بالنسبة إلى الخلايا ذات نسبة الباع 0.1، نجري DNS من أجل $Ra=3\times {10}^{10}$، و$0.1\le Pr\le 200$. تبدأ المحاكاة من حل التوصيل مع اضطرابات عشوائية، وتستمر إلى داخل الحالة المستقرة إحصائيا لمدة كلية $t_{\mathrm{sim}}$. وقد مُددت بيانات المحاكاة من Pandey and Sreenivasan [14] لأزمنة أطول لإثبات تقارب الإحصاءات. ونحل كلا من مقياس طول كولموغوروف ${\eta }_u$ ومقياس طول باتشلور ${\eta }_B$، وهما أدق مقاييس السرعة ودرجة الحرارة، على الترتيب. ويقدر مقياس كولموغوروف المحلي على النحو

$${\eta }_u(x_i)={\left(\frac{{\nu }^3}{{\epsilon }_u(x_i)}\right)}^{1/4},$$ (4)

حيث

$${\epsilon }_u(x_i)=2\nu S_{ij}{S}_{ij}$$ (5)

هو معدل تبديد الطاقة الحركية لكل وحدة كتلة، و

$$S_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$ (6)

هو موتر معدل الانفعال. ويكون مقياس باتشلور ${\eta }_B={\eta }_u/\sqrt{Pr}$ أدق من مقياس كولموغوروف عندما $Pr>1$. نحسب مقياسي كولموغوروف وباتشلور المعتمدين على العمق باستخدام معدل تبديد الطاقة المتوسط مساحة وزمنا، ونقارنهما مع التباعد الشبكي الرأسي ${\mathrm{\Delta }}_z(z)$ لكل محاكاة. وترد القيم العظمى لـ${\mathrm{\Delta }}_z(z)/{\eta }_u(z)$ من أجل $Pr\le 1$ و${\mathrm{\Delta }}_z(z)/{\eta }_B(z)$ من أجل $Pr>1$ في الجدول 1. وهذه النسب من رتبة الواحد، مما يشير إلى أن الدقة المكانية كافية في جميع المحاكاة [27].

Table 1: معاملات DNS من أجل $Ra=3\times {10}^{10}$ في أسطوانة نحيلة ذات $\mathrm{\Gamma }=0.1$. عدد العناصر $N_e=192,000$ لجميع الحالات باستثناء الحالة عند $Pr=0.1$، التي يكون فيها $N_e=537,600$. وقد استخدم كلا عددي العناصر في [11] من أجل $Ra\le {10}^{11}$ و$Ra={10}^{12}$ (عند $Pr=1$ ثابتة). $N$ هي رتبة كثيرات حدود الاستيفاء اللاغرانجية؛ و$Nu$ و$Re$ هما انتقالا الحرارة والزخم المتوسطان عالميا، على الترتيب؛ و$t_{\mathrm{sim}}$ هي المدة الكلية للمحاكاة بوحدات زمن السقوط الحر في الحالة المستقرة إحصائيا؛ و${\mathrm{\Delta }}_z/\eta$ هي القيمة العظمى لنسبة التباعد الشبكي الرأسي إلى مقياس كولموغوروف المحلي (من أجل $Pr\le 1$) أو مقياس باتشلور (من أجل $Pr>1$) في الجريان. تمثل أشرطة الخطأ في $Nu$ و$Re$ الفرق بين القيم المتوسطة المحسوبة على نصفي مجموعات البيانات. وعلى وجه الخصوص، دُمجت جميع المحاكاة لفترات أطول مما في Pandey and Sreenivasan [14] لتأكيد تقارب الإحصاءات.

$Pr$	$N$	$Nu$	$Re$	$t_{\mathrm{sim}}(t_f)$	${\mathrm{\Delta }}_z/\eta$
0.1	11	$104.2\pm 2.5$	$44472\pm 150$	44	1.49
0.2	11	$112.0\pm 15$	$27634\pm 212$	90	1.45
0.35	9	$131.4\pm 8.0$	$19688\pm 76$	132	1.38
0.5	7	$134.3\pm 9.2$	$15173\pm 64$	191	1.48
0.7	7	$146.2\pm 1.7$	$12248\pm 9$	165	1.26
1	7	$150.0\pm 1.2$	$9411\pm 2$	213	1.08
2	7	$162.4\pm 7.7$	$5673\pm 10$	270	1.09
4.38	7	$177.2\pm 0.7$	$3230\pm 3$	282	1.12
7	7	$181.8\pm 2.7$	$2284\pm 1$	254	1.12
20	7	$181.8\pm 7.6$	$965\pm 2$	478	1.12
100	7	$176.6\pm 0.4$	$205\pm 1$	454	1.12
200	7	$179.3\pm 0.4$	$103\pm 1$	858	1.12

يمكن التأكد أكثر من كفاية الدقتين المكانية والزمنية بحساب تدفق الحرارة الاضطرابي باستخدام طرائق مختلفة. ويحدث تعزيز ملحوظ في انتقال الحرارة مقارنة بالحالة الهيدروستاتية نتيجة الحركة الحملية للمائع. ويكمّم عدد نوسلت $Nu$ هذا التعزيز ويحسب على النحو

$$Nu=1+\sqrt{RaPr}{⟨u_{z}T⟩}_{V,t},$$ (7)

حيث يرمز ${⟨\cdot ⟩}_{V,t}$ إلى المتوسط على مجال المحاكاة بأكمله وزمن التكامل. ويمكن أيضا تقدير الانتقال الحراري الكلي من معدلي التبديد اللزج والحراري باستخدام العلاقات الدقيقة [28, 29] على النحو

$N{u}_{{\epsilon }_u}$ $=1+\sqrt{RaPr}{⟨{\epsilon }_u⟩}_{V,t},$ (8)

$N{u}_{{\epsilon }_T}$ $=\sqrt{RaPr}{⟨{\epsilon }_T⟩}_{V,t},$ (9)

حيث يحسب معدل التبديد الحراري ${\epsilon }_T$ على النحو

$${\epsilon }_T(x_i)=\kappa {\left(\frac{\partial T}{\partial x_i}\right)}^2.$$ (10)

كذلك، ينبغي أن يتطابق تدفق الحرارة المتوسط زمنيا ومساحيا عند كل عمق مع القيم المحسوبة بالطرائق السابقة. ونقدر تدفق الحرارة عند الصفيحتين السفلى والعليا كما يأتي

$$N{u}_{{\partial }_{z}T}=-{⟨{\left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)}_{z=0,H}⟩}_{A,t},$$ (11)

حيث يرمز ${⟨\cdot ⟩}_{A,t}$ إلى المتوسط على كل من المساحة والزمن. وتؤكد أعداد نوسلت المطبعّة $N{u}_{{\epsilon }_T}/Nu$ و$N{u}_{{\epsilon }_u}/Nu$ و$N{u}_{{\partial }_{z}T}/Nu$، المبينة في الشكل 1، أن تدفقات الحرارة من جميع الطرائق تتقارب ضمن 4%، مما يطمئن إلى أن جميع المحاكاة محلولة بدقة كافية.

Figure 1: أعداد نوسلت المطبعّة $N{u}_{{\epsilon }_T}/Nu$ و$N{u}_{{\epsilon }_u}/Nu$ و$N{u}_{{\partial }_{z}T}/Nu$ لجميع المحاكاة. ويشير توافق انتقال الحرارة من جميع الطرائق ضمن 4% إلى كفاية الدقتين المكانية والزمنية للمحاكاة.

3 بنية الجريان في المجال النحيل

Figure 2: خطوط كنتور السرعة الرأسية في مستوى رأسي (a–d) والأسطح متساوية درجة الحرارة (e–h) من أجل $Pr=0.2$ (a,e)، و$Pr=2$ (b,f)، و$Pr=20$ (c,g)، و$Pr=200$ (d,h). تصبح بُنى السرعة أكثر تقطعا مع تناقص $Pr$، وتصبح منطقة اللب أكثر اقترابا من تساوي الحرارة مع ازدياد $Pr$.

Figure 3: حقل درجة الحرارة $T(x,y)$ (اللوحات العليا) وحقل السرعة الرأسية $u_z(x,y)$ (اللوحات السفلى) من أجل $Pr=1$: (a,f) $z=0.10H$، و(b,g) $z=0.25H$، و(c,h) $z=0.50H$، و(d,i) $z=0.75H$، و(e,j) $z=0.90H$. تنتقل مواضع الاندفاعات الحارة الصاعدة والاندفاعات الباردة الهابطة مع تحركنا في الاتجاه الرأسي (من اليسار إلى اليمين)، بما يتسق مع البنية الجريانية الحلزونية.

تُلاحظ دوامة حمل واحدة تشغل المجال كله من أجل $\mathrm{\Gamma }\approx 1$  [21, 30]، في حين تُلاحظ أنماط معقدة تتألف من مصفوفة من الدوامات في المجالات الممتدة أفقيا [22, 31]. أما في الخلايا النحيلة، فتُلاحظ دوامات حمل متعددة متراكبة رأسيا [30, 32]، وتعزى إلى عدم الاستقرار الإهليلجي [33]. ويُعرض تنظيم الجريان في الخلية النحيلة عند أعداد برانتل مختلفة في الشكل 2، الذي يرسم السرعة الرأسية في مستوى رأسي، وكذلك الأسطح متساوية درجة الحرارة. وتتبادل مواضع الاندفاعات الصاعدة والهابطة عدة مرات في الجريان عند $Pr=0.2$ (الشكل 2(a))، مما يشير إلى وجود بنية جريانية حلزونية شبيهة بعمود الحلاق [11]. ويبين الشكل 2 كذلك أن بنى أدق على نحو متزايد تظهر في حقل السرعة مع تناقص $Pr$، وذلك بسبب ازدياد أعداد رينولدز. وتكشف الأسطح متساوية درجة الحرارة اللحظية أن تباينا حراريا مهما يوجد حتى في منطقة اللب من أجل $Pr=0.2$، ويضعف هذا التباين مع ازدياد $Pr$. وتشير الأسطح الممدودة المقابلة لدرجة الحرارة المتوسطة $\mathrm{\Delta }T/2$ في الشكل 2(g, h) إلى أن لب الجريان في الخلية النحيلة يكاد يكون متساوي الحرارة عند أعداد برانتل الكبيرة [14].

يمكن فحص البنية الحلزونية الملحوظة في الشكل 2(a) بمزيد من التفصيل من خلال دراسة مقاطع السرعة الرأسية ودرجة الحرارة في مستويات أفقية مختلفة. يبين الشكل 3 كلا من $T(x,y)$ و$u_z(x,y)$ من أجل $Pr=1$ عند خمسة أعماق مختلفة في الخلية النحيلة، ويؤكد مجددا أن مناطق الاندفاع الحار الصاعد والاندفاع البارد الهابط تنتقل مع الاقتراب من الصفيحة العليا، بطريقة متسقة مع البنية الحلزونية [11]. كذلك يبقى الترابط بين بُنى السرعة ودرجة الحرارة قويا، مما يؤدي إلى تدفق حراري حملي قوي في الخلية النحيلة، على الرغم من ضعف الاضطراب [14]. ويبين الشكل 3 أيضا أن أصغر المقاييس في حقلي درجة الحرارة والسرعة متشابهة (إذ إن مقياسي كولموغوروف وباتشلور متساويان من أجل $Pr=1$).

Figure 4: تبين ملفات درجة الحرارة المتوسطة، بعد متوسطتها على النصفين العلوي والسفلي من المجال، أن التدرج المتوسط في منطقة اللب من الخلية النحيلة يتناقص مع ازدياد $Pr$ ويقترب من حد لب مخلوط جيدا بلا تدرج متوسط، كما لوحظ في الحمل ذي نسبة الباع الكبيرة. ويكشف الشكل الداخلي أن تغير درجة الحرارة في المنطقة القريبة من الجدار خطي، وأن عدد العقد داخل منطقة الطبقة الحدية الحرارية كاف لالتقاط تدرجات درجة الحرارة القوية.

لتكميم التغير الرأسي في درجة الحرارة كما يتضح في الشكل 2(e-f)، نرسم ملفات درجة الحرارة المتوسطة ${⟨T⟩}_{A,t}(z)$ في الشكل 4. وباستغلال التناظر العلوي-السفلي في حمل بوسينسك، نُوسّط الملفات على النصفين العلوي والسفلي من المجال للحصول على إحصاءات أفضل. يبين الشكل 4 أنه، إضافة إلى تغير سريع في منطقة الطبقة الحدية الحرارية (BL)، يحدث تغير مهم في درجة الحرارة في منطقة اللب حتى $Pr=7$. غير أنه من أجل $Pr\ge 20$، يصبح تدرج درجة الحرارة في منطقة اللب قريبا جدا من ذلك ($\approx 0$) المرصود في خلايا حمل أوسع. ويبين الشكل الداخلي في الشكل 4 تغير درجة الحرارة قرب الصفيحة السفلى لثلاث محاكاة ذات $Pr$ كبيرة. ونلاحظ أن درجة الحرارة تتغير خطيا في المنطقة القريبة من الجدار. كما يبرز الشكل الداخلي أن هناك 8-9 خلية شبكية داخل منطقة الطبقة الحدية الحرارية للحالات ذات أكبر $Pr$، مؤكدا بذلك كفاية الدقة لالتقاط التغيرات السريعة في درجة الحرارة قرب الصفيحتين السفلى والعليا [27].

4 خصائص تقلبات درجة الحرارة

تبقى درجة الحرارة المتوسطة ${⟨T⟩}_{V,t}$ في حمل أوبر بك-بوسينسك مساوية لـ$\mathrm{\Delta }T/2$. غير أن شدة التقلبات تعتمد على المعاملات الحاكمة. نحسب تقلب درجة الحرارة بجذر متوسط المربع (rms) حول المتوسط الكلي على النحو

$$T_{\mathrm{rms}}={\left({⟨{(T-{⟨T⟩}_{V,t})}^2⟩}_{V,t}\right)}^{1/2}={\left({⟨T^2⟩}_{V,t}-{⟨T⟩}_{V,t}^2\right)}^{1/2}$$ (12)

ونبين أن $T_{\mathrm{rms}}$ يتناقص مع ازدياد $Pr$ حتى $Pr\approx 100$ ويميل إلى التشبع بعد ذلك (الشكل 5). قاس Daya and Ecke [34] تقلبات درجة الحرارة عند مركز مجال أسطواني له $\mathrm{\Gamma }\approx 0.8$، ووجدوا أن تقلب جذر متوسط المربع يتناقص مع كل من $Ra$ و$Pr$. ويبين الشكل 5 أن $T_{\mathrm{rms}}$ في الخلية النحيلة يتناقص تدريجيا من أجل $Pr\le 2$ وبسرعة من أجل $Pr$ الأكبر حتى $Pr=20$. ويعطي أفضل ملاءمة لـ$0.1\le Pr\le 2$ كلا من $T_{\mathrm{rms}}=(0.088\pm 0.001)P{r}^{-0.17\pm 0.01}$، و$T_{\mathrm{rms}}=(0.096\pm 0.002)P{r}^{-0.36\pm 0.02}$ من أجل $2\le Pr\le 20$. والأس الأخير لقانون القدرة، وهو $-0.36$، قريب من $-0.38\pm 0.04$ الذي أورده Daya and Ecke [34] في مجال ضيق من أعداد برانتل $3\le Pr\le 12.3$. ونحسب أيضا $T_{\mathrm{rms}}$ من أجل $Ra={10}^{10}$ في الخلية النحيلة [14] ونحصل على أنه أكبر من القيم المقابلة عند $Ra=3\times {10}^{10}$ (غير معروضة)، وهو ما يتسق مجددا مع الحمل في الخلايا الأوسع [34, 35, 36]. ونجد أن تقلب جذر متوسط المربع لانحراف درجة الحرارة عن ملف الاتزان الانتشاري يزداد بضعف مع $Pr$ (غير معروض)، وهو ما يتسق مع الملفات المعروضة في الشكل 4؛ وانظر أيضا Pandey et al. [37], Pandey and Verma [20].

Figure 5: يتناقص تقلب جذر متوسط المربع حول درجة الحرارة المتوسطة الكلية مع ازدياد $Pr$ في مجالي الحمل النحيل والممتد كليهما، مع مقدار متقارب تقريبا في المجال المتداخل من $Pr$. ويمثل الخط المتصل والخط المتقطع أفضل ملاءمتين لبيانات الخلية النحيلة.

يُفحص أثر الحصر الأفقي في تقلبات درجة الحرارة برسم $T_{\mathrm{rms}}$ في مكعب $\mathrm{\Gamma }=25$ في الشكل 5 (Pandey et al. [38]). وتكون $T_{\mathrm{rms}}$ من أجل $Ra={10}^7$ في المجال الممتد (الخماسيات الزرقاء) قابلة للمقارنة مع الحالة النحيلة. كذلك فإن $T_{\mathrm{rms}}$ من أجل $Ra={10}^6$ أكبر قليلا، بما يتسق مع اتجاه التناقص مع $Ra$ [34, 35, 36]. وتعد الأعمدة الحرارية، وهي أسخن أو أبرد من المائع المحيط، المسؤولة أساسا عن تقلبات درجة الحرارة في الجريان. ولذلك قد يرتبط ازدياد $T_{\mathrm{rms}}$ مع تناقص $Pr$ بازدياد خشونة الأعمدة [38]. لاحظ أن عدد رايلي الحرج $R{a}_c$ لبدء الحمل في الخلية النحيلة يساوي تقريبا $1.1\times {10}^7$ [14]، وهو أكبر بثلاث رتب مقدار من نظيره عند $\mathrm{\Gamma }=25$ [39]. وعدد رايلي فوق الحرج للمجال النحيل هو $Ra/R{a}_c\approx 2700$، وللبيانات عند $Ra={10}^7$ في الخلية الممتدة هو $Ra/R{a}_c=5500$. ومن ثم، يبدو أن تشابه $T_{\mathrm{rms}}$ في كلا المجالين يشير إلى أن خواص تقلبات درجة الحرارة لا تتأثر بنسبة الباع ما دامت الشدة النسبية للقوة الحرارية الدافعة قابلة للمقارنة.

Figure 6: دالة كثافة الاحتمال (PDF) لتقلبات درجة الحرارة المطبعّة $T^{\prime }/T_{\mathrm{rms}}^{\prime }$ على (a) المجال بأكمله و(b) منطقة اللب فقط. تكاد دوال كثافة الاحتمال تكون غاوسية لأعداد برانتل المنخفضة، غير أن الانحرافات عن الغاوسية تزداد مع ازدياد $Pr$.

لتوصيف التقلبات الاضطرابية بمزيد من التفصيل، نحلل حقلي السرعة ودرجة الحرارة كما يأتي

$u_i(x_k,t)$ $=$ $U_i(x_k)+u_i^{\prime }(x_k,t),$ (13)

$T(x_k,t)$ $=$ $\mathrm{\Theta }(x_k)+T^{\prime }(x_k,t),$ (14)

حيث إن ($U_i,\mathrm{\Theta }$) هي المركبات المتوسطة، و($u_i^{\prime },T^{\prime }$) هي المركبات المتقلبة لحقلَي السرعة ودرجة الحرارة، على الترتيب. وهنا، مجددا، $i,k=x,y,z$. وتساوي العزوم الأولى لـ$T^{\prime }$، أي تقلب درجة الحرارة المتوسط حجما وزمنا، صفرا. علاوة على ذلك، فإن تغير تقلب جذر متوسط المربع $T_{\mathrm{rms}}^{\prime }$ يشبه تقريبا $T_{\mathrm{rms}}(Pr)$، وإن كان مقدار الأول أصغر بنحو عامل ثلاثة.

وكتوصيف إضافي لتقلبات درجة الحرارة، نرسم في الشكل 6(a) دالة كثافة الاحتمال (PDF) لـ$T^{\prime }$ على المجال بأكمله. ونجد أن لب جميع دوال كثافة الاحتمال يتبع عن كثب توزيعا غاوسيا من أجل $|T^{\prime }/T_{\mathrm{rms}}^{\prime }|\lesssim 4$. غير أن الذيول (التقلبات كبيرة السعة) تكون غاوسية فقط لأعداد برانتل المنخفضة حتى $Pr\approx 0.35$. ويظهر بوضوح انحراف الذيول عن الغاوسية من أجل $Pr\ge 1$. ويبين الشكل 6(b) دوال كثافة الاحتمال لـ$T^{\prime }$ على منطقة اللب، أي من أجل $0.2H\le z\le 0.8H$؛ ويكون التوزيع في منطقة اللب قريبا جدا من الغاوسي من أجل $Pr\le 7$. ولا تبدأ الذيول السميكة غير الغاوسية في الظهور إلا من أجل $Pr\ge 20$. ويدل اختفاء الأحداث كبيرة السعة من دوال كثافة الاحتمال في اللب على أن الأعمدة الحرارية، وهي المرشحات الرئيسة للذيول السميكة، تخضع لمزج قوي في منطقة اللب. ويشبه التغير مع $Pr$ في منطقة اللب من الخلية النحيلة نظيره في المجالات الممتدة، كما ورد في الشكل 5 من Schumacher et al. [40].

Figure 7: العزم المطبع من الرتبة الرابعة لتقلبات درجة الحرارة $T^{\prime }$ في الخلية بأكملها (رموز مملوءة) وفي منطقة اللب (رموز مفتوحة). ويمثل الخط المتقطع القيمة الغاوسية. وتتضح الانحرافات القوية عن التوزيع الغاوسي في الحمل ذي $Pr$ العالية.

وعلى الرغم من أن دوال كثافة الاحتمال تنحرف عن الغاوسية مع ازدياد $Pr$، فإنها تبقى متناظرة إلى حد كبير (الشكل 6). ويعرّف العزم المطبع من الرتبة الرابعة لـ$T^{\prime }$ على النحو

$$ℱ(T^{\prime })=\frac{⟨T^{\prime 4}⟩}{{⟨T^{\prime 2}⟩}^2},$$ (15)

وهو مقياس للتقطع في التوزيع [41, 42]. ويبين الشكل 7 أن التفلطح في منطقة اللب (المعينات المفتوحة) يبقى قريبا من قيمة التوزيع الغاوسي (=3) لجميع أعداد برانتل باستثناء أعلى عددين. غير أن التفلطح على المجال بأكمله (المعينات المملوءة) ينحرف بشدة عن 3 من أجل $Pr>1$، بما يتسق مع المناقشة السابقة التي تفيد بأن $T^{\prime }$ في اللب يتبع التوزيع الغاوسي، بينما تؤدي الأعمدة في الطبقة الحدية الحرارية إلى أحداث كبيرة السعة وذيول ممتدة في دوال كثافة الاحتمال لـ$T^{\prime }$. وبسبب الانخفاض الشديد في الانتشارية الحرارية في الحمل ذي $Pr$ العالية، تحتفظ الأعمدة بهويتها مدة أطول وتسهم إسهاما مهما في خصائص التقلبات الكبيرة [40, 43, 37].

5 خصائص تقلبات السرعة

إن سرعة جذر متوسط المربع،

$$u_{\mathrm{rms}}=\sqrt{{⟨u_i^2⟩}_{V,t}}=\sqrt{{⟨u_x^2+u_y^2+u_z^2⟩}_{V,t}},$$ (16)

ترسم بدلالة $Pr$ في الشكل 8. ونلاحظ أنها تتناقص مع ازدياد $Pr$، بسبب الزيادة غير المتناسبة في التأثيرات اللزجة. كما يبين الشكل 8 أيضا $u_{\mathrm{rms}}$ المحصل عليها في المجال الممتد عند $\mathrm{\Gamma }=25$ (Pandey et al. [38]). ويتضح أن $u_{\mathrm{rms}}$ في الخلية النحيلة أصغر بنحو أربع مرات، مما يؤكد النتائج السابقة لـ Iyer et al. [11] عند أعداد برانتل مختلفة. كذلك فإن الشكل الدالي لـ$u_{\mathrm{rms}}(Pr)$ متشابه في التهيئتين؛ إذ يعقب التناقص التدريجي مع $Pr$ في النظام الاضطرابي تناقص أشد في النظام اللزج [14, 20].

Figure 8: تتناقص سرعة جذر متوسط المربع مع ازدياد $Pr$. والرموز المملوءة مأخوذة من محاكاة Pandey et al. [38] في خلية الحمل الممتدة. وتقلبات السرعة في المجال النحيل أضعف من نظائرها في المجال الممتد، لكن التغير مع $Pr$ متشابه في التهيئتين.

حسبنا (لكن لم نعرض) دوال كثافة الاحتمال لمركبات السرعة في الخلية النحيلة ووجدنا أن تقلبات السرعة الرأسية غاوسية. غير أن دوال كثافة الاحتمال لتقلبات السرعة الأفقية تبدي انحرافا متزايدا عن الغاوسية مع ازدياد $Pr$. وباتساق كمي، يبقى تفلطح السرعة الرأسية قريبا من 3 في جميع المحاكاة، في حين يكون تفلطح تقلبات السرعة الأفقية نحو 4 من أجل $Pr\le 1$ (مع زيادة متواضعة فقط مع $Pr$)، ثم يظهر زيادة سريعة من أجل $Pr>1$. ومن ثم فإن تقلبات السرعة في الخلية النحيلة لا تختلف إلا قليلا عن الغاوسية في جميع مركبات السرعة، كما في خلية $\mathrm{\Gamma }=1$ باستخدام الماء [44]، وفي خلية $\mathrm{\Gamma }=16$ لكل من $Pr$ المنخفض والمعتدل [45].

وعلى الرغم من أن مركبات السرعة قريبة من الغاوسية، فإن مشتقات السرعة غير غاوسية بقوة، كما في الجريانات الاضطرابية الأخرى [41]. وتمتلك دوال كثافة الاحتمال لمشتقات السرعة الطولية ذيولا أسية ممتدة، وتصبح أكثر انتشارا مع تناقص $Pr$. ويكشف تفلطح المشتقات في منطقة اللب، المرسوم لقيم مختلفة من $Pr$ في الشكل 9، اتجاها متزايدا مع تناقص $Pr$. ويبين الشكل 9 أيضا أن التفلطح للمشتقات الثلاث كلها متشابه من أجل $Pr\le 1$ ويزداد إلى قيمة عالية قدرها $\approx 10$ من أجل $Pr=0.1$. وهذا يؤكد مجددا أن الحمل منخفض $Pr$ يتسم بحقل سرعة متقطع. ويختلف التفلطح من أجل $\partial u_z^{\prime }/\partial z$ في الشكل 9 اختلافا كبيرا عن تفلطح المشتقات الأفقية عند $Pr$ المعتدلة، ويظهر قيمة عظمى عند $Pr\approx 20$. ونؤكد أيضا أن المشتقتين الطوليتين في المستوى الأفقي تعطيان العزوم نفسها من الرتبة الرابعة، كما هو متوقع.

Figure 9: يزداد تفلطح مشتقات السرعة الأفقية في منطقة اللب مع تناقص $Pr$، بينما يبدي تفلطح المشتقة الرأسية اتجاها غير رتيب مع $Pr$.

يتضمن معدل تبديد الطاقة جميع مركبات موتر تدرج السرعة، ويظهر تقطعا قويا في الاضطراب الهيدروديناميكي وكذلك في الاضطراب الحملي [27, 46, 47, 48, 49]. نحسب دوال كثافة الاحتمال لمعدل التبديد اللزج الاضطرابي ${\epsilon }_{u^{\prime }}$ باستخدام المعادلة (5)، ونرسمها في الشكل 10. وبما يتسق مع السلوك في الاضطراب الهيدروديناميكي [46, 50]، يتوزع ${\epsilon }_{u^{\prime }}$ كتوزيع أسي ممتد. وهذا السلوك صحيح لجميع $Pr$، ويصبح أوضح على نحو متزايد مع تناقص $Pr$.

Figure 10: تتبع دوال كثافة الاحتمال لمعدل التبديد الاضطرابي توزيعا أسيا ممتدا. ويزداد عامل الامتداد مع تناقص $Pr$، مشيرا إلى ازدياد التقطع مع تناقص $Pr$.

يمكن أيضا فحص تقطع حقل السرعة في جريان اضطرابي بدراسة حقل الدوامية ${\omega }_i(x_m,t)={ϵ}_{ijk}\partial u_k/\partial x_j$، حيث إن ${ϵ}_{ijk}$ هو موتر ليفي-تشيفيتا المتناوب. ويعرّف حقل الإنستروفية على النحو $\mathrm{\Omega }(x_m,t)={\omega }_j^2(x_m,t)$ فيكمّم معدل الدوران المحلي في الجريان، وتتابع خواصه الإحصائية وبنيته المكانية عن كثب خواص معدل تبديد الطاقة [50]. ونجد أن دوال كثافة الاحتمال للإنستروفية تتوزع أيضا كتوزيعات أسية ممتدة، شبيهة جدا بـ${\epsilon }_{u^{\prime }}$. إضافة إلى ذلك، في الاضطراب المتجانس المتساوي الخواص، $\nu {⟨\mathrm{\Omega }⟩}_V={⟨{\epsilon }_u⟩}_V$، مع أن التبديد والإنستروفية المحليين لا يحققان هذه المساواة [50]. وتبين الملفات الرأسية لـ${\epsilon }_u$ و$\nu \mathrm{\Omega }$ (انظر الشكل 11) أنهما يختلفان أحدهما عن الآخر قرب الجدران الأفقية فقط. وقد قارن Scheel and Schumacher [51] هذه الملفات أيضا في خلية أسطوانية ذات $\mathrm{\Gamma }=1$ ووجد السلوك نفسه.

Figure 11: تختلف الملفات الرأسية لمعدل تبديد الطاقة (خطوط متصلة) و$\nu \mathrm{\Omega }$ (خطوط متقطعة) قرب الصفيحة الأفقية، لكنها تتفق تماما في منطقة اللب من أجل $z/H\ge 0.05$.

6 عدد برانتل الاضطرابي

عدد برانتل الاضطرابي $P{r}_t$، وهو نسبة الانتشاريتين الاضطرابيتين لنقلي الزخم والحرارة، خاصية من خواص الجريان. وفي الأدبيات، كثيرا ما تقدّر الانتشاريتان الاضطرابيتان باستخدام علاقات التدفق-التدرج [15]: فتقدر اللزوجة الاضطرابية ${\nu }_t$ بنسبة إجهاد رينولدز $-⟨u_x^{\prime }{u}_z^{\prime }⟩$ إلى تدرج السرعة المتوسطة $\partial U_x/\partial z$، وتقدر الانتشارية الحرارية الاضطرابية ${\kappa }_t$ بنسبة تدفق الحرارة الاضطرابي $-⟨u_z^{\prime }{T}^{\prime }⟩$ إلى تدرج درجة الحرارة المتوسطة $\partial \mathrm{\Theta }/\partial z$. غير أن هذا النهج لا يعطي نتائج معقولة في منطقة اللب من الحمل لأن تدرج السرعة المتوسطة ليس معرّفا دائما على نحو جيد. وفي عمل حديث، قدر Pandey et al. [4] $P{r}_t$ بإطار $k-\epsilon$ (انظر أدناه)، ووجدوا أن $P{r}_t$ يزداد مع تناقص نظيره الجزيئي في كل من حمل أوبر بك-بوسينسك وفي حالة محددة من حمل غير أوبر بك-بوسينسك.

في هذا العمل، نقدر اللزوجة الاضطرابية والانتشارية الحرارية الاضطرابية في الخلية النحيلة باستخدام نهج $k-\epsilon$ على النحو

${\nu }_t=c_{\nu }{\displaystyle \frac{k_u^2}{{\epsilon }_{u^{\prime }}}},$ (17)

${\kappa }_t=c_{\kappa }{\displaystyle \frac{k_u{k}_T}{{\epsilon }_{T^{\prime }}}},$ (18)

حيث إن $k_u=u_i^{\prime 2}/2$ و$k_T=T^{\prime 2}$ هما الطاقة الحركية الاضطرابية والتباين الحراري، على الترتيب. ويحسب معدل التبديد الحراري الاضطرابي باستخدام المعادلة (10) من حقل درجة الحرارة المتقلب. وبما أننا معنيون أساسا بتغير $P{r}_t$ مع $Pr$، فإننا نعامل المعاملين $c_{\nu }$ و$c_{\kappa }$ كثابتين مستقلين عن $Ra$ و$Pr$. لاحظ أن هذا افتراض. واختيارنا للمعامل $c_{\nu }=0.09$ هو نفسه المستخدم في نماذج الاضطراب [52, 53, 54].

لرؤية تغير الانتشاريتين الاضطرابيتين في الاتجاه الرأسي، نحسب ملفاتهما العمقية باستخدام $k_u(z)$ و$k_T(z)$ و${\epsilon }_{u^{\prime }}(z)$ و${\epsilon }_{T^{\prime }}(z)$. ونلاحظ أن الطاقة الحركية الاضطرابية والتباين الحراري المتوسطين أفقيا ينعدمان عند الصفيحتين الأفقيتين بسبب الشروط الحدية المفروضة، لكنهما ينموان بسرعة مع الابتعاد عن الحدود الأفقية. ومن ناحية أخرى، تكون معدلات التبديد المتوسطة أعلى ما تكون عند الصفائح، إذ تلاحظ أقوى التدرجات في جوار الصفائح، وتنخفض بسرعة مع الابتعاد عنها. غير أن هذه الكميات كلها تكاد تكون غير متغيرة في منطقة اللب [4]. نعرض معدلات التبديد الاضطرابية المتوسطة على اللب بدلالة $Pr$ في الشكل 12، ونلاحظ أن كلا من ${\epsilon }_{u^{\prime }}$ و${\epsilon }_{T^{\prime }}$ يتناقص مع $Pr$ [55]. وهذا متوقع من العلاقات الدقيقة، التي تعطي ${\epsilon }_u\sim (Nu-1)/\sqrt{RaPr}$ و${\epsilon }_T\sim Nu/\sqrt{RaPr}$؛ وبما أن $Nu$ يتدرج أبطأ من $P{r}^{0.5}$ [14]، فإن كلا من ${\epsilon }_{u^{\prime }}$ و${\epsilon }_{T^{\prime }}$ يتناقص مع $Pr$. علاوة على ذلك، فإن الانخفاض السريع لمعدلات التبديد الاضطرابية عند أعداد برانتل العالية في الشكل 12 يتسق مجددا مع القياس $Nu(Pr)$ من أجل $Ra=3\times {10}^{10}$ الذي نوقش في Pandey and Sreenivasan [14].

Figure 12: تتناقص معدلات تبديد الطاقة والحرارة الاضطرابية في منطقة اللب، $0.2H\le z\le 0.8H$، تدريجيا عند أعداد برانتل المنخفضة، لكنها تتناقص بشدة نسبيا في المناطق اللزجة عند أعداد برانتل العالية.

كما ذكرنا سابقا، فإن تقدير اللزوجة الاضطرابية باستخدام نهج التدفق-التدرج أمر صعب في RBC. ولإظهار ذلك، نعرض مخطط طور لتدفق الزخم الاضطرابي ${⟨u_z^{\prime }{u}_x^{\prime }⟩}_{A,t}(z)$ بدلالة تدرج السرعة المتوسطة ${⟨\partial U_x/\partial z⟩}_{A,t}(z)$ في الشكل 13 من أجل $Pr=0.35$ (اللوحة a) و$Pr=100$ (اللوحة b)، $\mathrm{\Gamma }=0.1$. وتتوزع نقاط الطور تجانسيا في الأرباع الأربعة كلها في حالة $Pr$ المنخفضة، في حين يمكن النظر إلى التوزيع في حالة $Pr$ العالية على أنه قريب من الخط القطري المبين. وتلاحظ توزيعات مشابهة لتلك في الشكل 13(a) والشكل 13(b) لجميع $Pr\le 4.38$ و$Pr\ge 7$، على الترتيب. ومن ثم، فإن اللزوجة الاضطرابية

$${\nu }_t(z)=-\frac{{⟨u_z^{\prime }{u}_x^{\prime }⟩}_{A,t}(z)}{{⟨\partial U_x/\partial z⟩}_{A,t}(z)}$$ (19)

تغير إشارتها كثيرا في الجريانات منخفضة $Pr$ مع تغير الارتفاع، مما يطرح صعوبة في تقدير ${\nu }_t$. وينطبق الأمر نفسه عندما يستبدل $x$ في المعادلة (19) بـ$y$. إن غياب جريان واسع النطاق متماسك ذي معدل قص متوسط معرّف على نحو سليم، ولا سيما عند أعداد برانتل المنخفضة، يمنع تطبيق مخطط التدفق-التدرج؛ انظر أيضا [56] لتجارب حديثة في المعادن السائلة. ومن أجل $Pr\ge 7$، نقدر ${\nu }_t$ بوصفها ميل الخط ونقارنها مع المقدرة باستخدام طريقة $k-\epsilon$ على أنها ${\nu }_t=k_u^2/{\epsilon }_{u^{\prime }}$. وترسم نسبة اللزوجات الاضطرابية والجزيئية ${\nu }_t/\nu$ من الطريقتين بدلالة $Pr$ في الشكل 14(a). والاتفاق معقول، وبصورة مشابهة لنتائج Pandey et al. [4]، يتناقص ${\nu }_t/\nu$ مع ازدياد $Pr$.

يوجد بالفعل تدرج متوسط غير صفري طفيف في درجة الحرارة في الخلية النحيلة [11, 14]، انظر الشكل 4. وهذا يمكننا من تقدير ${\kappa }_t$ باستخدام نهج التدفق-التدرج؛ ونجد أن تدفق الحرارة الاضطرابي ${⟨u_z^{\prime }{T}^{\prime }⟩}_{A,t}(z)$ يبقى موجبا في منطقة اللب من الخلية النحيلة. ونحسب الانتشارية الاضطرابية في منطقة اللب، أي من أجل $0.2H\le z\le 0.8H$، كما يأتي

$${\kappa }_t=-\frac{{⟨u_z^{\prime }{T}^{\prime }⟩}_{\mathrm{bulk}}}{{⟨\partial \mathrm{\Theta }/\partial z⟩}_{\mathrm{bulk}}}$$ (20)

ونرسم ${\kappa }_t/\kappa$ بدلالة $Pr$ في الشكل 14(b). وللمقارنة، نعرض أيضا الانتشارية المحسوبة من طريقة $k-\epsilon$ على أنها ${\kappa }_t=k_u{k}_T/{\epsilon }_{T^{\prime }}$؛ وتعطي الطريقتان نتائج متشابهة. ويتسق الاتجاه المتزايد لـ${\kappa }_t/\kappa$ حتى $Pr=20$ مجددا مع نتائج Pandey et al. [4].

Figure 13: تدفق الزخم الاضطرابي ${⟨u_z^{\prime }{u}_x^{\prime }⟩}_{A,t}(z)$ بدلالة تدرج السرعة المتوسطة ${⟨\partial U_x/\partial z⟩}_{A,t}(z)$ لمحاكاة الخلية النحيلة عند (a) $Pr=0.35$ و(b) $Pr=100$، $\mathrm{\Gamma }=0.1$. يؤدي حقل السرعة الشديد التقلب في الحمل منخفض $Pr$ إلى توزيع شبه متجانس لنقاط الطور، مما يجعل تقدير اللزوجة الاضطرابية باستخدام طريقة التدفق-التدرج صعبا. ويمكن تصور أن الخط المستقيم في (b) يمثل الحالة التي تنتظم حولها البيانات، لكن لا يمكن تصور هذا التفسير في (a).

نحسب عدد برانتل الاضطرابي المعتمد على العمق على النحو

$$P{r}_t(z)=\frac{{\nu }_t(z)}{{\kappa }_t(z)}=\frac{c_{\nu }}{c_{\kappa }}\frac{k_u(z)}{k_T(z)}\frac{{\epsilon }_{T^{\prime }}(z)}{{\epsilon }_{u^{\prime }}(z)}$$ (21)

ونعرضه في الشكل 15. ومجددا، تُوسّط الملفات على النصفين العلوي والسفلي من المجال. وكما نوقش في Pandey et al. [4]، نستخدم $c_{\nu }/c_{\kappa }=1.43$ للحصول على $P{r}_t\approx 0.85$ من أجل $Pr=0.7$. لاحظ أن $P{r}_t$ يبقى صغيرا في المنطقة القريبة من الجدار. وهذا معقول لأن التقلبات الاضطرابية أضعف قرب الصفائح، مما يؤدي إلى انتقال حراري وزخمي اضطرابيين غير مهمين مقارنة بما في منطقة اللب. ويبين الشكل 15 أيضا أنه بعد زيادة سريعة في المنطقة القريبة من الجدار، يسترخي $P{r}_t(z)$ إلى قيمة شبه ثابتة في اللب، $z\ge 0.2H$.

Figure 14: نسب اللزوجات (a) والانتشاريات الحرارية (b) الاضطرابية إلى الجزيئية في منطقة اللب من نهجين تتفق على نحو معقول فيما بينها وتبدي اتجاهات متشابهة جدا مع $Pr$.

نحسب الآن عدد برانتل الاضطرابي المتوسط في منطقة اللب ونرسمه بدلالة $Pr$ في الشكل 16. ونرى أن ${⟨P{r}_t⟩}_{\mathrm{bulk}}$ يزداد مع تناقص $Pr$. وللمقارنة، نعرض أيضا ${⟨P{r}_t⟩}_{\mathrm{bulk}}$ للحمل في صندوق ثنائي الأبعاد (2D) ذي $\mathrm{\Gamma }=2$ (من Pandey et al. [4]) وللحمل في الخلية المربعة ذات $\mathrm{\Gamma }=25$ (من Pandey et al. [38]). ويتضح من الشكل 16 أن تغير $P{r}_t$ مع $Pr$ متشابه جدا في الحالات الثلاث كلها من أجل $Pr\lesssim 20$. ويبدو أن القياس ${⟨P{r}_t⟩}_{\mathrm{bulk}}\sim P{r}^{-1/3}$، المستخلص من بيانات 2D [4]، يصف تغير عدد برانتل الاضطرابي في المجالين النحيل والممتد كليهما، من أجل $Pr\lesssim 20$. أما من أجل $Pr>20$، فتكشف بيانات الخلية النحيلة أن ${⟨P{r}_t⟩}_{\mathrm{bulk}}$ يهبط بسرعة أكبر بكثير مع $Pr$. وتشير نتائجنا إلى أن عدد برانتل الاضطرابي، كما حُصل عليه هنا، ليس حساسا لنسبة الباع. ونؤكد أن المخطط يجمع نتائج تغطي ست رتب مقدار في عدد برانتل الجزيئي.

Figure 15: يتغير عدد برانتل الاضطرابي المتوسط على النصفين العلوي والسفلي من الخلية النحيلة بحدة قرب الجدار، لكنه يبقى شبه غير متغير في منطقة اللب. وتعرض قيم $P{r}_t$ المتوسطة على اللب المقابلة في الشكل 16 كمعينات مفتوحة.

أخيرا، نقدم تقديرا لـ$P{r}_t$ باستخدام العلاقات الدقيقة [29] وعلاقات القياس الملحوظة لتقلبات السرعة ودرجة الحرارة في RBC. العلاقات الدقيقة [29] هي

${\epsilon }_T$ $=\kappa {\displaystyle \frac{{(\mathrm{\Delta }T)}^2}{H^2}}Nu,$ (22)

${\epsilon }_u$ $={\displaystyle \frac{{\nu }^3}{H^4}}{\displaystyle \frac{(Nu-1)Ra}{P{r}^2}}$ (23)

وعلاقات القياس للطاقتين الحركية والحرارية الاضطرابيتين هي

$k_u$ $=u_i^{\prime 2}/2\sim u_{\mathrm{rms}}^2$ (24)

$k_T$ $=T^{\prime 2}\sim T_{\mathrm{rms}}^2.$ (25)

ونذكّر بأن العلامات العليا تشير إلى قيم جذر متوسط المربع المحلية، في حين تشير اللاحقة “rms” إلى قيم جذر متوسط المربع الكلية؛ وتبين بياناتنا أن $T_{\mathrm{rms}}^{\prime }$ أصغر من $T_{\mathrm{rms}}$ لكن الاثنين يمتلكان اعتمادا شبه متماثل على $Pr$. ويمكن اعتبار معدل التبديد الحراري الاضطرابي ${\epsilon }_{T^{\prime }}$ متدرجا بالطريقة نفسها التي يتدرج بها تبديد الطاقة الاضطرابي الكلي، ${\epsilon }_T$، ويمكن بسهولة استبدال العامل $Nu-1$ بـ$Nu$. ونستخدم كذلك العلاقة المرصودة $T_{\mathrm{rms}}\sim P{r}^{-\zeta }\mathrm{\Delta }T$. وبإدخال هذه الافتراضات، نحصل على العلاقات الآتية:

$k_u$ $\sim u_{\mathrm{rms}}^2\sim R{e}^2{\displaystyle \frac{{\nu }^2}{H^2}},$ (26)

$k_T$ $\sim T_{\mathrm{rms}}^2\sim P{r}^{-2\zeta }{(\mathrm{\Delta }T)}^2,$ (27)

${\epsilon }_{T^{\prime }}$ $\sim \kappa {\displaystyle \frac{{(\mathrm{\Delta }T)}^2}{H^2}}Nu,$ (28)

${\epsilon }_{u^{\prime }}$ $\sim {\displaystyle \frac{{\nu }^3}{H^4}}{\displaystyle \frac{NuRa}{P{r}^2}},$ (29)

التي تعطي عدد برانتل الاضطرابي (21) على أنه

$$P{r}_t\sim R{e}^{2}P{r}^{1+2\zeta }R{a}^{-1}.$$ (30)

نلاحظ $Re\sim P{r}^{-2/3}R{a}^{1/2}$ من أجل $Pr$ المنخفضة والمعتدلة [14, 21]، و$Re\sim P{r}^{-1}R{a}^{3/5}$ من أجل $Pr$ العالية [43, 37, 14]. كذلك، من الشكل 5 نحصل على $\zeta \approx 0.17$ من أجل $Pr\le 2$ و$\zeta \approx 0.36$ من أجل $Pr\ge 2$. ويؤدي استخدام قيم الأسس هذه في المعادلة (30) إلى $P{r}_t\sim P{r}^0$ من أجل $Pr$ المنخفض، و$P{r}_t\sim P{r}^{-0.28}$ من أجل $Pr$ المعتدل، وهي قيم تختلف عن نتائجنا.

Figure 16: يزداد عدد برانتل الاضطرابي مع تناقص $Pr$ الجزيئي. وتشير أشرطة الخطأ إلى الانحراف المعياري لـ$P{r}_t$ في منطقة اللب. وتنهار بيانات الخلية النحيلة جيدا على البيانات المحصلة من المجال الممتد وكذلك من مجال ثنائي الأبعاد أوسع.

في الواقع، وبالقياس إلى نتائج DNS في اضطراب متجانس ومتساوي الخواص [57]، من المتصور تماما أن تتبع العلاقات الخاصة بمعدلي التبديد في اللب الصيغة

${\epsilon }_{T^{\prime }}$ $=\gamma (Re,Pr){\displaystyle \frac{u_{\mathrm{rms}}{T}_{\mathrm{rms}}^2}{\mathrm{\ell }}},$ (31)

${\epsilon }_{u^{\prime }}$ $=\beta (Re,Pr){\displaystyle \frac{u_{\mathrm{rms}}^3}{\mathrm{\ell }}}.$ (32)

وعندئذ ستؤدي المعادلة (21) إلى

$$P{r}_t\approx \frac{\gamma (Re,Pr)}{\beta (Re,Pr)}.$$ (33)

قدم المرجع [38] تحليلا لـ$\beta (Re)$ في خلايا ذات نسبة باع كبيرة، وأظهر أن الاعتماد الناتج لعدد برانتل الاضطرابي على $Pr$ مشابه لما في الشكل 16. غير أن البيانات والتحليل بشأن هذه النقطة محدودان حاليا، ومن الإنصاف القول إننا لا نستطيع استخلاص استنتاجات راسخة من مثل هذه الحجج النظرية؛ ونترك هذه المسألة مفتوحة لعمل مستقبلي.

7 الاستنتاجات

كان هدف هذا العمل مقارنة المحاكاة العددية المباشرة للحمل في خلية نحيلة، على مدى واسع من أعداد برانتل، بنظائرها في مجالات ذات نسبة باع كبيرة. كذلك نجمع بيانات عن اعتماد عدد برانتل الاضطرابي على عدد برانتل (الجزيئي) [4, 38].

درسنا خصائص تقلبات درجة الحرارة والسرعة في أسطوانة نحيلة ذات نسبة باع 0.1 عند عدد رايلي ثابت ومرتفع نسبيا $Ra=3\times {10}^{10}$، مع تغير $Pr$ على مدى ثلاث رتب مقدار. وقارنا التقلبات في الخلية النحيلة بنظيراتها في صندوق مربع ممتد أفقيا ذي $\mathrm{\Gamma }=25$، فوجدنا أوجه تشابه وبعض الاختلافات. ومن أمثلة التشابه أن تقلبات درجة الحرارة بجذر متوسط المربع تتدرج على نحو متشابه مع $Pr$ في كلتا التهيئتين. كما أن اعتماد تقلبات السرعة بجذر متوسط المربع على $Pr$ متشابه أيضا.

وثمة وجه مهم آخر للتشابه هو أن عدد برانتل الاضطرابي يسلك سلوكا متشابها جدا في خليتي الحمل ضمن المجال المتداخل من $Pr$. وخلاصة جميع البيانات المعروضة في الشكل 16، والتي تغطي ست رتب مقدار في عدد برانتل الجزيئي، هي أن الاتجاه المتناقص المنهجي لـ${⟨P{r}_t⟩}_{\mathrm{bulk}}(Pr)$ مستقل عما إذا كان الحمل 2D أو 3D، وكذلك عن نسبة باع خلية رايلي-بينار (ضمن المجال المغطى هنا). ونؤكد هنا مرة أخرى أنه، بخلاف جريانات القص الاضطرابية، فإن القص المتوسط واسع النطاق في مجال ممتد سيكون صفرا في منطقة اللب، بحيث لا يمكن تطبيق نموذج بوسينسك للتدفق-التدرج عالميا. وقد لاحظنا الأمر نفسه عند أدنى أعداد برانتل في إعدادنا. أما من أجل $Pr$ الأعلى، فقد كانت قيم $P{r}_t$ المستنتجة من الطريقتين متماثلة فعليا في حالة نسبة الباع المنخفضة.

وثمة وجه تشابه آخر هو أن دوال كثافة الاحتمال لتقلبات درجة الحرارة والسرعة تبدي اعتمادا متشابها جدا على $Pr$ عند نسبتي الباع المنخفضة والعالية. وعلى وجه الخصوص، تصبح دوال كثافة الاحتمال غير غاوسية بقوة عند أعداد برانتل العالية، في حين تكون قريبة جدا من الغاوسية في الحمل منخفض $Pr$. وتبدي السرعة الرأسية توزيعا غاوسيا متشابها في الحالتين.

غير أن هناك بعض الاختلافات. فعلى سبيل المثال، يكون توزيع مركبات السرعة الأفقية غاوسيا في الجريان الممتد، بينما تلاحظ انحرافات قابلة للتمييز في الخلية النحيلة قرب الجدار. ومن ثم يمكننا أن نستنتج أنه على الرغم من أن هندسة الخلية النحيلة تقيد الحمل الاضطرابي، فإن كثيرا من نتائجها الإحصائية مماثل لما في المجالات الأكبر. ولذلك توفر منصة اختبار مناسبة للتقدم إلى أعداد رايلي أعلى حتى من الحد الحالي البالغ $Ra={10}^{15}$ [11].

الشكر والتقدير

نتشرف بالمساهمة في هذا العدد الخاص المهدى إلى Charlie Doering، الذي ألهم بحثنا عبر نقاشات مثمرة امتدت عدة عقود؛ فقد كان قوة إيجابية وسنفتقده. ويأسف KRS وJS وAP للإشارة إلى الوفاة المبكرة في يوليو 24 لشريكهم في التأليف، Ravi Samtaney، أثناء مراجعة هذه المخطوطة. ويود JS أن يشكر Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences، Cambridge، على الدعم وحسن الضيافة خلال برنامج الجوانب الرياضية للاضطراب: أين نقف؟ حيث أُنجز جزء من هذا العمل. وقد دُعم هذا البحث من KAUST Office of Sponsored Research بموجب المنحة URF/1/4342-01، وكذلك بمنحة EPSRC رقم EP/R014604/1. وقد حُصل على بيانات نسبة الباع الكبيرة ثلاثية الأبعاد في عنقود الحوسبة SuperMUC-NG ضمن المشروع pn68ni التابع لـ Leibniz Rechenzentrum Garching. ويعرب المؤلفون عن امتنانهم لـShaheen II في King Abdullah University of Science and Technology، المملكة العربية السعودية (ضمن المشروع رقم k1491)، وكذلك لعنقودي Dalma وJubail في NYU Abu Dhabi لتوفير الموارد الحاسوبية عبر Center for Space Science (المنحة G1502).