الأنماط العطالية اللزجة على كرة ذات دوران تفاضلي:
مقارنة مع الرصد الشمسي

الملخص

Context. درسنا في بحث سابق أثر الدوران المتغيّر مع خط العرض في أنماط Rossby الاستوائية الشمسية ضمن تقريب المستوى . ومنذ ذلك الحين، رُصد على الشمس طيف غني من الأنماط العطالية، لا يقتصر على أنماط Rossby الاستوائية بل يشمل أنماطًا عند خطوط العرض العالية.

Aims. نمدّ هنا حساب الأنماط الحلقية في 2D إلى الهندسة الكروية، باستعمال دوران تفاضلي شمسي واقعي وإدراج التخميد اللزج. والهدف هو مقارنة أطياف الأنماط المحسوبة مع الرصد ودراسة استقرار الأنماط.

Methods. عند نصف قطر ثابت، نحلّ مسألة القيم الذاتية عددياً باستخدام تفكيك دالة جريان السرعة إلى توافقيات كروية.

Results. بسبب وجود طبقات حرجة لزجة، يتكون الطيف من أربع عائلات مختلفة: أنماط Rossby، وأنماط خطوط العرض العالية، وأنماط خطوط العرض الحرجة، والأنماط شديدة التخميد. ولكل عدد موجي طولي ، يوجد على الكرة ما يصل إلى ثلاثة أنماط شبيهة بأنماط Rossby، خلافًا للمستوى الاستوائي حيث لا يوجد إلا نمط Rossby الاستوائي. وللأنماط الأقل تخميدًا في النموذج ترددات ذاتية ودوال ذاتية تشبه الأنماط المرصودة؛ وتتحسن المقارنة عندما يؤخذ نصف القطر في النصف السفلي من منطقة الحمل. ولأنصاف أقطار أكبر من وأعداد Ekman ، يكون نمط واحد على الأقل غير مستقر. وبالنسبة إلى أو ، يصبح ما يصل إلى نمطي Rossby (أحدهما متناظر والآخر ضد متناظر) غير مستقرين عندما يتبع الاعتماد الشعاعي لعدد Ekman نموذج انتشارية مخمَّدة ( عند قاعدة منطقة الحمل). وبالنسبة إلى ، يمكن أن يصبح ما يصل إلى نمطي Rossby غير مستقرين، بما في ذلك نمط Rossby الاستوائي.

Conclusions. على الرغم من أن النموذج 2D المناقش هنا مبسط إلى حد كبير، فإن طيف الأنماط الحلقية يبدو أنه يتضمن كثيرًا من الأنماط العطالية الشمسية المرصودة. وللأنماط ذاتية الإثارة في النموذج ترددات قريبة من ترددات الأنماط المرصودة ذات السعات الأكبر.

1 مقدمة

أفاد Gizon et al. (2021) برصد مجموعة كبيرة من الأنماط العالمية للتذبذبات الشمسية في مجال الترددات العطالية وتحديدها. وتشمل هذه الأنماط أنماط Rossby الاستوائية (Löptien et al., 2018)، وأنماط خطوط العرض العالية (يتجلى النمط المتناظر في صورة بنية حلزونية، انظر Hathaway et al., 2013; Bogart et al., 2015)، وأنماط خطوط العرض الحرجة. وقد حُددت الأنماط المرصودة بالمقارنة مع (أ) أنماط عطالية محسوبة لنموذج متناظر محوريًا لمنطقة الحمل (باستخدام حال 2D) و(ب) أنماط حلقية صرفة محسوبة على سطح الشمس (باستخدام حال 1D). في هذا البحث، نقدم نتائج إضافية مبنية على الحال 1D. وتُقدَّم نتائج إضافية مبنية على الحال 2D في بحث مرافق (Bekki et al., 2022).

ضمن إعداد مبسّط في المستوى الاستوائي ، ناقش Gizon et al. (2020) أهمية الدوران التفاضلي العرضي في هذه المسألة. ومسألة القيم الذاتية للأنماط الحلقية الصرفة تكون مفردة في غياب اللزوجة. وفي وجود لزوجة دوامية، يمكن تجميع الأنماط الذاتية في عائلات متعددة: أنماط خطوط العرض الحرجة، وأنماط خطوط العرض العالية، والأنماط شديدة التخميد، وأنماط Rossby الاستوائية. وتنشأ هذه الأنماط من وجود طبقات حرجة لزجة تتساوى فيها سرعة الموجة مع جريان القص النطاقي. وبوجه خاص، تُحبس أنماط Rossby الاستوائية (أنماط R) أسفل الطبقة الحرجة. نرغب في هذا البحث في توسيع عمل Gizon et al. (2020) إلى دراسة الأنماط الحلقية على الكرة (أي إننا نتخلى عن تقريب المستوى الاستوائي ) في وجود دوران تفاضلي عرضي واقعي ولزوجة دوامية. والغاية هي إدراج الأنماط الحرجة وأنماط خطوط العرض العالية في المناقشة: هل يمكن لهذه الأنماط أيضًا أن تُلتقط بفيزياء بسيطة على الكرة؟

دُرست اللاتثابتات والأمواج على كرة ذات دوران تفاضلي من قبل. وقد وُضعت المعادلة الأساسية للتذبذبات (القسم 2) في إطار عطالي بواسطة Watson (1981)، ثم عممها Dziembowski & Kosovichev (1987) وCharbonneau et al. (1999) لاحقًا إلى مقاطع دوران شمسي أكثر واقعية. وقد أظهرت هذه الدراسات جميعًا إمكان ظهور أنماط غير مستقرة عندما يكون الدوران التفاضلي قويًا بما يكفي، وهذا هو الحال في الشمس ضمن منطقة الحمل العليا. وتظهر أنماط غير مستقرة أيضًا في الجزء متجاوز الحمل من التاكوكلين عند اعتماد نموذج ماء ضحل يسمح بحركات شعاعية بدلاً من الأنماط الحلقية الصرفة (Dikpati & Gilman, 2001).

نقتصر هنا على التقريب 2D، وهو صالح للأوساط شديدة التطبق عندما يكون معدل الدوران أصغر كثيرًا من تردد الطفو (Watson, 1981). وبالنسبة إلى الشمس، فهو صالح في المنطقة الإشعاعية، والغلاف الجوي، والجزء الخارجي من الغلاف الحملي (Dziembowski & Kosovichev, 1987). وعلاوة على ذلك، يمثل التقريب 2D تقريبًا قيّمًا للمسألة 3D بالنسبة إلى الأنماط التي تتغير ببطء مع العمق (Kitchatinov & Rüdiger, 2009) والتي تكون بعيدة عن محور التناظر (Rieutord et al., 2002).

في هذا العمل ندرس الأنماط الهيدروديناميكية فقط ولا نأخذ في الحسبان تأثير الحقل المغناطيسي، حتى وإن ثبت أنه مكوّن مهم (Gilman & Dikpati, 2000, 2002; Gilman et al., 2007). ويتمثل الفرق الرئيس عن الأعمال السابقة في إدخال حد لزج مهم لفهم شكل الدوال الذاتية وزمن حياة الأنماط دون الحرجة. كما أننا لا نقصر الدوران التفاضلي العرضي على مقطع ذي حدين أو أربعة حدود، بل نعتمد مقطع الدوران الشمسي كما قيس بالهليوزلزالية على سطح الشمس (القسم 4) وفي الباطن (القسم 5). وندرس طيف الأنماط النظامية للنظام ودوالها الذاتية. وتبعًا لمعاملات المسألة، نجد أن بعض الأنماط قد تكون ذاتية الإثارة (القسم 5). ويتضمن الاستنتاج، القسم 6، مناقشة موجزة لاستقرار الدوران التفاضلي في النجوم البعيدة.

2 الأنماط الحلقية الخطية على كرة

2.1 معادلة دالة جريان السرعة

ندرس انتشار أنماط حلقية صرفة على كرة نصف قطرها تحت تأثير الدوران التفاضلي العرضي. في إطار عطالي، يعتمد معدل الدوران على خط العرض المتمم المقاس من محور الدوران $\widehat{𝒛}$. ونعمل في إطار يدور بالسرعة الزاوية المرجعية (التي ستُختار لاحقًا مساوية لمعدل Carrington في البحث). وفي الإطار الدوار، تكون معادلة Navier-Stokes هي

$$\frac{\partial 𝒖}{\partial t}+𝒖\cdot \nabla 𝒖+2{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\widehat{𝒛}\times 𝒖=\nabla \mathrm{\Pi }+\nu \mathrm{\Delta }𝒖,$$ (1)

حيث $\widehat{𝒛}$ متجه الوحدة على امتداد محور الدوران، و$𝒖$ السرعة الأفقية، و اللزوجة الدوامية. ولأجل التبسيط، يُنمذج تخميد الأمواج بفعل الاضطراب بواسطة لابلاسي أفقي . ويُفترض أن القوة في الطرف الأيمن تشتق من كمون . وفي الإطار الدوار، نفكك السرعة إلى الجريان الوسطي المتناظر محوريًا $𝑼$ وسرعة الموجة ${𝒖}^{\prime }$،

$𝒖(\theta ,\varphi ,t)=𝑼(\theta )+{𝒖}^{\prime }(\theta ,\varphi ,t),$ (2)

حيث هو خط الطول (ويزداد في الاتجاه المتقدم). فعلى سبيل المثال، يمثل $𝑼=(\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})\widehat{𝒛}\times 𝒓$ الجريان المرتبط بالدوران التفاضلي العرضي. وإلى المرتبة الأولى في سعة الموجة، لدينا

$$\frac{\partial {𝒖}^{\prime }}{\partial t}+(𝑼\cdot \nabla ){𝒖}^{\prime }+({𝒖}^{\prime }\cdot \nabla )𝑼+2{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\widehat{𝒛}\times {𝒖}^{\prime }=-\nabla {\mathrm{\Pi }}^{\prime }+\nu \mathrm{\Delta }{𝒖}^{\prime }.$$ (3)

والمركبتان الأفقيتان لهذه المعادلة هما

$D_t{u}_{\theta }^{\prime }-2\mathrm{\Omega }\cos \theta u_{\varphi }^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\prime }}{\partial \theta }}+\nu \mathrm{\Delta }{u}_{\theta }^{\prime },$ (4)

$D_t{u}_{\varphi }^{\prime }+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }}\left(\mathrm{\Omega }{\sin }^2\theta \right)u_{\theta }^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{r\sin \theta }}{\displaystyle \frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\prime }}{\partial \varphi }}+\nu \mathrm{\Delta }{u}_{\varphi }^{\prime },$ (5)

حيث

$$D_t=\frac{\partial }{\partial t}+(\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})\frac{\partial }{\partial \varphi }$$ (6)

هو المشتق المادي في الإطار الدوار. وبالنسبة إلى الأنماط الحلقية الصرفة، يمكننا إدخال دالة الجريان بحيث

$${𝒖}^{\prime }=\nabla \times \left[\mathrm{\Psi }(\theta ,\varphi ,t)\widehat{𝒓}\right]=\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \varphi }\widehat{𝜽}-\frac{1}{r}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \theta }\widehat{\mathit{\varphi }}.$$ (7)

وبجمع المعادلة (4) والمعادلة (5)، نحصل على معادلة Watson (1981) بعد تعديل طرفها الأيمن لإدراج اللزوجة:

$$D_t\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\frac{\zeta {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}}{r^2}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \varphi }=\nu {\mathrm{\Delta }}^2\mathrm{\Psi },$$ (8)

حيث

$$\zeta (\theta )=\frac{1}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\mathrm{\Omega }{\sin }^2\theta )\right).$$ (9)

2.2 التفكيك النمطي

نبحث عن حلول موجية على الصورة

$$\mathrm{\Psi }(\theta ,\varphi ,t)=\text{Re}\left[\psi (\theta ){\text{e}}^{\mathrm{i}(m\varphi -\omega t)}\right],$$ (10)

حيث هو العدد الموجي الطولي و هو التردد الزاوي (المركب) المقاس في الإطار المرجعي الدوار. وبإدخال عدد Ekman

$$E=\frac{\nu }{r^2{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}},$$ (11)

تفي الدالة بـ

$$(m\delta -\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})L_m\psi -m\zeta \psi =-\mathrm{i}E{L}_m^2\psi ,$$ (12)

حيث عرّفنا الدوران التفاضلي النسبي

$$\delta (\theta )=\mathrm{\Omega }(\theta )/{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}-1$$ (13)

والمؤثر بحيث

$$L_m\psi =\frac{1}{\sin \theta }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\theta }\right)-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }\psi ,$$ (14)

أي اللابلاسي الأفقي على كرة الوحدة (ويسمى أيضًا مؤثر Legendre المرافق). وتختزل المعادلة (12) مع إلى معادلة Watson (1981) عند كتابتها في إطار دوار. إلا أنه عندما يكون ، تكون المعادلة (12) من الرتبة الرابعة، وهذا له تبعات عميقة على الطيف. وتلزم أربعة شروط حدية. نفرض أن يتلاشى الجريان عند القطبين:

$$\psi (0)=\psi (\pi )=0\text{and}\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\theta }(0)=\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\theta }(\pi )=0.$$ (15)

Figure 1: (أ) معدل الدوران التفاضلي الشمسي المعيّر عند أنصاف أقطار مختلفة، المستنتج من الهليوزلزالية والموسّط من 1996 إلى 2018 (تغطي المنطقة المظللة )، بالنسبة إلى معدل دوران Carrington، ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}={\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{Carr}}$. تبين المنحنيات المتصلة ملاءمات لمعدلات الدوران الشمسي. ويبين المنحنى المتقطع ملاءمة لمعدل دوران سطح الشمس، أي مع  nHz و nHz. (ب) رُسمت الدالة المعرّفة بالمعادلة (9) لكل حالة من الحالات الثلاث في اللوحة (أ). وبالنسبة إلى $r=R_{\mathrm{☉}}$ و، تبلغ الدالة قيمة صغرى عند (غير مبينة في الرسم). أما التذبذبات عند السطح فراجعة إلى التدفقات النطاقية (المعروفة أيضًا بالتذبذبات الالتوائية). يبين الخط الأفقي الأسود المتقطع $\beta -U_{\varphi }^{\prime \prime }\approx 2.24$، حيث ، وهو يؤدي دور في المستوى الاستوائي ، (انظر المعادلة (17) في Gizon et al., 2020).

2.3 الحلول العددية

في الحالة غير اللزجة ( في المعادلة 12)، تظهر خطوط عرض حرجة حيث $m\delta ({\theta }_{\mathrm{c}})-\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}=0$، أي حيث

(16)

تكون دوال الجريان الذاتية مستمرة لكنها غير منتظمة عند ، ومن ثم يكون ${𝒖}^{\prime }$ مفردًا هناك (انظر Gizon et al., 2020, لمسألة المستوى ).

عند إدراج اللزوجة، يستعاض عن خط العرض الحرج بطبقة لزجة عرضها متناسب مع . وتغدو الدوال الذاتية منتظمة. ويمكن نشر الحلول في سلسلة من كثيرات حدود Legendre المرافقة المعيّرة حتى الرتبة ،

(17)

حيث تكون معيّرة بحيث . ندخل هذا النشر في المعادلة (12) ونسقط على كثيرة حدود معينة . وباستخدام

(18)

نحصل على معادلة المصفوفة الآتية:

$$\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)(\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})b=-\mathrm{i}E{\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^{2}b+Cb,$$ (19)

حيث متجه، وللمصفوفة العناصر

$$C_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}=m{\int }_0^{\pi }\left[{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)\delta +\zeta \right]P_{\mathrm{\ell }}^m(\cos \theta )P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^m(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta .$$ (20)

تعرّف المعادلة (19) مسألة قيم ذاتية حيث هي القيمة الذاتية و المتجه الذاتي الموافق. ويربط الدوران التفاضلي (من خلال و) القيم المختلفة لـ و${\mathrm{\ell }}^{\prime }$، ولذلك فإن المصفوفة ليست قطرية (أي إن الدوال الذاتية ليست ). وبافتراض أن مقطع الدوران متناظر حول خط الاستواء، تنفصل المسألة إلى قيم فردية وزوجية لـ ، وينبغي حلها على حدة للدوال الذاتية المتناظرة والضد متناظرة. في هذا البحث كله، نطلق صفة المتناظرة على الأنماط التي لها دالة جريان متناظرة شمال-جنوب، أي المتناظرة في $u_{\theta }^{\prime }$ والضد متناظرة في $u_{\varphi }^{\prime }$. أما الأنماط ذات دالة جريان ضد متناظرة شمال-جنوب فنسميها ضد متناظرة. ولأجل التبسيط، لا ننظر في حالة مقطع دوران عام يحوي لاتناظرات شمال-جنوب. فهذا سيؤدي إلى دوال ذاتية ليست متناظرة ولا ضد متناظرة.

وبفضل التفكيك المعطى في المعادلة (17)، تتحقق الشروط الحدية، المعادلات (15)، تلقائيًا عندما يكون . أما عندما يكون ، فإن الشرط الحدي على المشتقة لا يتحقق لأن $\mathrm{d}{P}_{\mathrm{\ell }}^1(\cos \theta )/\mathrm{d}\theta \ne 0$ عند القطبين. وتناقش التعديلات الخاصة بهذه الحالة في الملحق A.

Differential rotation	2D hydrodynamics	Differential rotation	Solar observations
(on a sphere, this paper)	(plane Poiseuille flow)	($\beta$-plane approximation)
Rossby	—	Rossby (1939, no viscosity)	Löptien et al. (2018)
High-latitude	A family or ‘wall modes’ (Mack, 1976)	Gizon et al. (2020)	Gizon et al. (2021)
Critical-latitude	P family or ‘center modes’ (Pekeris, 1948)	Gizon et al. (2020)	Gizon et al. (2021)
Strongly damped	S family or ‘damped modes’ (Schensted, 1961)	Gizon et al. (2020)	—

Table 1: تقابل المصطلحات الخاصة بالأنماط اللزجة في جريانات القص.

Modes	Basic properties (all modes are retrograde, )
Rossby	Modes restored by the Coriolis force with frequencies near $\omega \approx -2m{\mathrm{\Omega }}_0/\mathrm{\ell }\left(\mathrm{\ell }+1\right)$, where $\mathrm{\ell }=m$ for the
	equatorial R mode, $\mathrm{\ell }=m+1$ for R1, and $\mathrm{\ell }=m+2$ for R2.
High-latitude	Modes whose eigenfunctions have largest amplitudes in the polar regions. Their frequencies are the most
	negative in the rotating frame. The least damped mode at fixed $m$ has frequency $\omega \approx m{\mathrm{\Omega }}_2$.
Critical-latitude	Modes whose eigenfunctions have the largest amplitudes at mid- or low-latitudes, between their critical
	latitudes. Their frequencies are the smallest in absolute value, with $\text{Re}\left[\omega \right]\approx \text{Im}\left[\omega \right]$.
Strongly damped	Modes with very large attenuation ($\left|\text{Im}\left[\omega \right]\right|\ge \left|\text{Re}\left[\omega \right]\right|$), whose eigenfunctions are highly oscillatory around their
	critical latitudes and frequencies satisfy $\text{Re}\left[\omega \right]\approx m{\mathrm{\Omega }}_2/2$ (for the $\beta$-plane analogy, see Grosch & Salwen, 1968).

Table 2: وصف الأنماط اللزجة المناقشة في هذا البحث، للحالة . تدين أنماط خطوط العرض العالية وأنماط خطوط العرض الحرجة والأنماط شديدة التخميد بوجودها إلى وجود طبقات حرجة لزجة. أما أنماط Rossby فستوجد حتى في حالة تلاشي الدوران التفاضلي (أي من دون طبقات حرجة).

2.4 معاملات الإدخال: اللزوجة ومقطع الدوران

الكميتان الوحيدتان المطلوبتان لحل مسألة القيم الذاتية هما اللزوجة ومقطع الدوران. في هذا البحث، نختار عدد Ekman عند السطح ، وهذا يعني  km²/s وعدد Reynolds موافقًا مقداره 300. ويؤدي هذا الاختيار إلى توافق جيد مع الدوال الذاتية المرصودة لأنماط Rossby الاستوائية (Gizon et al., 2020). ويدرس تأثير اللزوجة في الطيف والدوال الذاتية في القسم 4.1.

وفيما يخص الدوران، نستخدم المقطع المستنتج بالهليوزلزالية من Larson & Schou (2018). وبما أن المشتقتين الأولى والثانية لـ بالنسبة إلى مطلوبتان لحساب ، نكتب المقطع أولًا على هيئة سلسلة مقطوعة من دوال توافقية لتنعيمه:

(21)

ولكل ، تُستخرج المعاملات و بملاءمة الرصد مع أخذ الأخطاء العشوائية في الاعتبار. وتتغير هذه المعاملات مع الدورة الشمسية (التذبذبات الالتوائية). وبالنسبة إلى دوران متناظر شمال-جنوب، تكون المعاملات الفردية صفرية. أما الدوران المستنتج من الهليوزلزالية ذات الأنماط العالمية فهو متناظر شمال-جنوب بحكم بنائه، غير أنه يمكن استعمال مقاطع دوران عامة بطرائق هذا البحث. ونلاحظ أن المعاملات في هذا التفكيك تعتمد على لأن قوى ليست متعامدة.

يُعرض مقطع الدوران (المتناظر) من Larson & Schou (2018) والموسّط على 1996–2018 في اللوحة اليسرى من الشكل 1. وبالقرب من السطح، يلزم نشر ذو حتى لالتقاط التغير الحاد في ميل المقطع حول خط عرض ، وكذلك الجريانات النطاقية المرتبطة بالدورة الشمسية. ولن تؤدي إضافة مزيد من الحدود إلى تغيير مقطع السطح تغيرًا ذا شأن. وتحت طبقة القص القريبة من السطح، يكفي عادة نشر ذو لالتقاط مقطع الدوران. وتُظهر الكمية ، التي تتضمن المشتقتين الأولى والثانية لـ بالنسبة إلى ، تغيرات قوية قرب السطح (اللوحة اليمنى من الشكل 1). وسيكون لهذه التغيرات أثر مهم في الطيف كما يبين القسم التالي.

Figure 2: الترددات الذاتية من إلى 3 (من اليسار إلى اليمين). عدد Ekman هو . اللوحات العليا تخص ، مع  nHz و nHz، واللوحات السفلى تخص معدل الدوران الشمسي . وتُعرض الأنماط ذات الدوال الذاتية المتناظرة شمال-جنوب برموز مملوءة، أما ذات الدوال الذاتية الضد متناظرة فبرموز مفتوحة. وتُعبَّر الترددات في إطار Carrington المرجعي. نلاحظ أن الجزء التخيلي من التردد يرتبط بعرض خط النمط عبر . ويعلّم المحور العلوي في كل رسم الترددات الموافقة لخطوط العرض الحرجة و و (ولا يمثل ذلك تصريحًا بشأن خط العرض ذي القدرة العظمى). وتُبرز الفروع الثلاثة لعائلات A وP وS بألوان مختلفة (انظر Mack, 1976, للمقارنة مع طيف معادلة Orr-Sommerfeld). والأنماط المسماة R وR₁ وR₂ هي الأقرب إلى أنماط r التقليدية ذات و و على التوالي (انظر، مثلًا، Saio, 1982). وتُحصل تسمية الأنماط في الحالة الشمسية (اللوحات السفلى) بتتبع الأنماط من حالة (اللوحات العليا). انظر التطور بين المقطعين في الأفلام المتاحة على الإنترنت من أجل و.

3 الطيف لقوانين دوران مبسطة

3.1 الدوران المنتظم

في حالة الدوران المنتظم، ، يمكن الحصول على القيم الذاتية المركبة مباشرة من المعادلة (19) (المصفوفة قطرية لأن و ثابتتان):

$${\omega }_{\mathrm{\ell }m}^0=m({\mathrm{\Omega }}_0-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})-\frac{2m{\mathrm{\Omega }}_0}{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}-\mathrm{i}E{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1).$$ (22)

الأنماط هي أنماط Rossby كلاسيكية ذات دوال ذاتية . وهذه الأنماط مستقرة لأن قيمها الذاتية كلها ذات أجزاء تخيلية سالبة. ومن أجل معطاة، يكون نمط Rossby القطاعي () هو الأقل تخميدًا.

3.2 دوران تفاضلي ذو حدين و

نحل هنا مسألة القيم الذاتية المعطاة بالمعادلة (19) باستخدام تقريبًا للدوران التفاضلي الشمسي عند السطح. وبملاءمة مقطع الدوران السطحي المرصود، نستعمل  nHz و nHz. ويتيح هذا المقطع البسيط الربط مع دراسة Gizon et al. (2020)، حيث استُعمل جريان مكافئ في المستوى ، ويعمل مرجعًا لتتبع الأنماط وتحديدها عندما يكون مقطع الدوران أشد انحدارًا وأقرب إلى الشمس. ونستخدم عدد Ekman ، وهو قريب من قيمة اللزوجة الدوامية عند سطح الشمس. وكما هو مبين في الشكل 2 (اللوحات العليا)، يتخذ الطيف شكل Y في المستوى المركب. وهذا الطيف مميز لطيف معادلة Orr-Sommerfeld لجريان مكافئ (Poiseuille). وقد سمّى Mack (1976, شكله 5) فروع الطيف الثلاثة عائلة P (نسبةً إلى Pekeris, 1948)، وعائلة S (نسبةً إلى Schensted, 1961)، وعائلة A؛ وهي تقابل على التوالي «أنماط المركز»، و«الأنماط المخمَّدة»، و«أنماط الجدار». ونحيل القارئ إلى كتابي Drazin & Reid (1981) وSchmid & Henningson (2012) لمزيد من التفاصيل حول هذه المسألة في سياق الهيدروديناميك، وكذلك إلى مقالة المراجعة لـ Maslowe (2003) لمناقشات حول الطبقات الحرجة في جريانات القص. ويُعطى التقابل بين المصطلحات المستعملة في الهيدروديناميك وفي فيزياء الشمس في الجدول 1. ونجد أن الفروع الثلاثة تبقى موجودة للقيم الصغيرة لـ ، حتى وإن لم يعد تقريب المستوى مبررًا. ونوسم الأنماط المتناظرة بدليل زوجي والأنماط الضد متناظرة بدليل فردي. وترتَّب على الفروع بحيث يزداد الدليل مع التوهين (انظر الشكل 2، اللوحة العليا من أجل ).

إضافة إلى الأنماط أعلاه، توجد في الطيف حتى ثلاثة أنماط أخرى عند قيم الصغيرة. وتقع هذه الأنماط خارج فروع الطيف الثلاثة وتتأثر بقوة بقوة Coriolis. إنها أنماط Rossby. وبالنسبة إلى الكبيرة بما يكفي، لا يسهل تمييز إلا نمط Rossby الاستوائي (المشار إليه بالحرف R) خارج الفروع (كما في تقريب المستوى ، انظر Gizon et al., 2020, شكلهم 4). ونتعرف في أطياف التردد على ما يصل إلى نمطي Rossby إضافيين (يرمز إليهما بـ R₁ وR₂). ويمكن تتبع هذين النمطين رجوعًا إلى أنماط Rossby التقليدية في حالة الدوران المنتظم. وبإدخال الدوران التفاضلي تدريجيًا، أي مع زيادة من 0 إلى 1، نجد أنها تقابل الأنماط ذات و في حالة الدوران المنتظم ()، انظر الأفلام المتاحة على الإنترنت من أجل و. وتعد دراسة أمواج Rossby في النجوم، وعلى نحو أعم في الفيزياء الفلكية، موضوعًا واسعًا. ونحيل القارئ إلى المراجعة الحديثة التي قدمها Zaqarashvili et al. (2021). وتلخص الخصائص الأساسية للأنماط المدروسة في هذا البحث في الجدول 2.

Figure 3: (أ): الجزآن الحقيقي (المنحنيات المتصلة) والتخيلي (المنحنيات المتقطعة) من ترددات الأنماط R وA₁ وP₁ من أجل بوصفهما دالة في عدد Ekman، في حالة مقطع الدوران السطحي الشمسي المرصود. وتعرض اللوحات (ب)-(ز) الجزأين الحقيقي (اللوحات العليا) والتخيلي (اللوحات السفلى) من دوال الجريان للأنماط نفسها عند ثلاث قيم مختارة من عدد Ekman. انظر أيضًا اللوحات العليا من الشكل 8 لتمثيل 2D لدوال الجريان لهذه الأنماط.

3.3 دوران تفاضلي ذو حدين و

في حين أن قيمة اللزوجة مقيدة جيدًا عند سطح الشمس، فإن قيمتها داخل الشمس تبقى مجهولة إلى حد كبير. وتفترض عدة نماذج أن اللزوجة ينبغي أن تتناقص مع العمق (انظر مثلًا الشكل 1 في Muñoz-Jaramillo et al., 2011). وتبين اللوحات العليا في الشكل 6 طيف الأنماط و2 و3 عندما يضبط عدد Ekman على (بدلًا من كما في الشكل 2). وبالنسبة إلى و، لا يكون الطيف على شكل Y بل يكون أكثر تعقيدًا، إذ تقع كثير من أنماط S الآن على مصطبة ذات جزء تخيلي شبه ثابت. ولا يزال الفرعان الموافقان لعائلتي A وP ظاهرين بوضوح.

4 الطيف للدوران الشمسي عند السطح

عندما نستخدم تقريبًا جيدًا جدًا للدوران التفاضلي الشمسي عند السطح ( حدًا في النشر لوصف )، نجد أن التعرف على شكل Y في الطيف يصبح أصعب بكثير وأن كثيرًا من الأنماط تبتعد عن الفروع، انظر اللوحات السفلى في الشكل 2 من أجل $1\le m\le 3$. ولوسم الأنماط، نتتبع تردداتها في المستوى المركب بالانتقال ببطء من الحالة إلى الحالة الشمسية ، انظر مثلًا الفيلم المتاح على الإنترنت من أجل .

لا تتغير الأجزاء الحقيقية من الترددات الذاتية للأنماط R وR₁ وR₂ كثيرًا مقارنة بحالة مقطع الدوران ذي الحدين. غير أن الأجزاء التخيلية من الترددات الذاتية تتغير بالفعل. وبوجه خاص، تصبح تلك الخاصة بالنمط R₂ (المتناظر) مع ، وبالنمط R₁ (الضد متناظر) مع ، موجبة الآن، أي إن هذه الأنماط غير مستقرة (ذاتية الإثارة). وللمشتقة الثانية لمقطع الدوران تأثير قوي في تخميد الأنماط، ولا سيما أنماط خطوط العرض العالية وأنماط خطوط العرض الحرجة (انظر، مثلًا، الأفلام المتاحة على الإنترنت). وفي حين تكون معدلات تخميد الأنماط A وP كبيرة عند ، يصبح بعض هذه الأنماط أقل تخميدًا عند اعتماد الشبيه بالشمس، وبذلك تصبح أرجح للرصد في البيانات الشمسية.

يبين الشكل 7 الدوال الذاتية لأنماط مختارة ذات معروضة في الشكل 2. ولأنماط Rossby الثلاثة دوال ذاتية قريبة من ، أي قريبة من حالة الدوران المنتظم. وبالنسبة إلى ، تكون خطوط العرض الحرجة قريبة جدًا من القطبين ولا تؤثر إلا قليلًا في الدوال الذاتية. أما للقيم الأكبر لـ ، فتكون الدوال الذاتية محصورة بين الطبقات الحرجة ولها جزء تخيلي ملحوظ Gizon et al. (انظر 2020, من أجل ).

لدوال الأنماط عالية العرض A₁ وA₂ الذاتية مقياس يبلغ ذروته قرب الطبقات الحرجة عند ، وتتغير الزاوية بين الجزأين الحقيقي والتخيلي أسفل خطوط العرض هذه (مما يدل على نمط حلزوني هناك). وتعتمد الدوال الذاتية بحساسية على مقطع الدوران. والترددات المحسوبة لهذه الأنماط ( nHz) ليست بعيدة جدًا عن الترددات المرصودة عند nHz و nHz (Gizon et al., 2021, جدولهم 1). وسنبين في القسم 5.2 أن توافقًا أفضل يمكن الحصول عليه عندما يؤخذ مقطع الدوران الشمسي في أعماق منطقة الحمل.

ولأنماط خطوط العرض الحرجة P₁ وP₂ دوال ذاتية تتذبذب حول خطوط العرض الحرجة وتحتها. ولا يكون جزآها الحقيقي والتخيلي في الطور نفسه بوصفهما دالتين في خط العرض، ولهما سعة متقاربة تقريبًا. ولا تختلف هذه الأنماط كثيرًا عن حالة مقطع الدوران ذي الحدين. وهي تشبه أنماط خطوط العرض الحرجة المرصودة عند ترددات nHz و nHz التي أفاد بها Gizon et al. (2021).

4.1 أثر اللزوجة الاضطرابية

في حالة الدوران المنتظم، لا تؤثر اللزوجة إلا في الجزء التخيلي من الترددات الذاتية كما تبين المعادلة (22). غير أن الصورة تتغير عندما يُدرج الدوران التفاضلي. وتعرض اللوحة اليسرى من الشكل 3 الترددات الذاتية لعدة أنماط ذات بوصفها دالة في عدد Ekman عند اعتماد مقطع الدوران التفاضلي الشمسي السطحي. ويتجه الجزء التخيلي إلى الصفر مع ميل اللزوجة إلى 0، ويزداد بشدة عندما يصبح عدد Ekman أكبر من . والأكثر مفاجأة أن الجزء الحقيقي يتأثر أيضًا بوضوح للنمطين A₁ وP₁، بمقدار يتجاوز 100 nHz تبعًا لقيمة اللزوجة. ولا يتأثر النمط R إلا قليلًا عند هذه القيمة الصغيرة لـ . وبالنسبة إلى القيم الأكبر لـ ، نلاحظ تغيرًا في تردد نمط R يبلغ مثلًا 15 nHz عند و30 nHz عند عبر مجال أعداد Ekman المغطى في الرسم. وجميع هذه التغيرات ستكون قابلة للقياس في الرصد الشمسي، ومن ثم يمكن استعمال الأنماط مجسات للزوجة في الباطن الشمسي. وتتأثر الدوال الذاتية أيضًا (انظر الشكل 3)، ولا سيما أن الجزء التخيلي للنمط A₁ يغير إشارته مع اللزوجة، وأن النمط P₁ يصبح أكثر فأكثر حصرًا بين الطبقات اللزجة كلما تناقصت اللزوجة. ولا يعتمد شكل الدالة الذاتية لنمط R اعتمادًا ذا شأن على اللزوجة عند هذه القيمة الصغيرة لـ ، بخلاف ما يحدث للقيم الأكبر لـ كما ناقش Gizon et al. (2020) من قبل.

Figure 4: عدد الأنماط غير المستقرة بوصفه دالة في عدد Ekman عند أنصاف أقطار مختلفة من أجل . وعند $m\ge 4$ تكون جميع الأنماط مستقرة. أُخذ الدوران التفاضلي الشمسي من Larson & Schou (2018). ويعطي الخط الأسود المتقطع عدد Ekman بوصفه دالة في نصف القطر باستعمال اللزوجة الاضطرابية من نظرية طول الخلط (Muñoz-Jaramillo et al., 2011). ويبين الخط الأسود المتصل عدد Ekman باستخدام نموذج الانتشارية المخمَّدة الذي اقترحه Muñoz-Jaramillo et al. (2011)، انظر شكلهم 4b. وقد لُوّنت ووسمت المناطق الموافقة لأشد الأنماط عدم استقرار (R₂ وR₁ وR) ولأشد نمطين عدم استقرار (R₂ وR₁، وR₁ وR₂، وR وR₁) بهذه الأنماط. ويشير شريط الألوان إلى العدد الكلي للأنماط غير المستقرة عند أي نقطة في المخطط.

4.2 أثر الجريان الزوالي

لدراسة أهمية الجريان الزوالي ، ننظر في جريان الخلفية

$$𝑼=(\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})\widehat{𝒛}\times 𝒓+V\widehat{𝜽}.$$ (23)

وعند السطح، نأخذ جريانًا باتجاه القطبين ذي سعة عظمى  m/s،

$$V(\theta )=-1.54\times V_{\max }{\sin }^2\theta \sin 2\theta .$$ (24)

وتُعرض صياغة هذه المسألة وتقطيعها في الملحق B. وتفي دالة الجريان بالمعادلة (37).

بالنسبة إلى ، سبق أن ناقش Gizon et al. (2020) أثر الجريان الزوالي في النمط R ضمن المستوى . ويعرض الشكل 9 طيف الترددات كاملًا مع الجريان الزوالي ومن دونه في الهندسة الكروية. وبالنسبة إلى ، لا تزاح الترددات الذاتية للنمطين R وA₁ إلا ببضعة نانوهرتز، ولا تتأثر دوالهما الذاتية تأثرًا ملحوظًا (انظر الشكل 10، اللوحتين اليسرى والوسطى). ومن الآثار المهمة الناجمة عن الجريان الزوالي تغير الجزء التخيلي من تردد النمط R₁. إذ يصبح هذا النمط أشد عدم استقرار نتيجة للجريان الزوالي.

نجد أن أنماط خطوط العرض الحرجة هي الأكثر تأثرًا بالجريان الزوالي. وهذا غير مفاجئ لأن دوالها الذاتية تتغير بسرعة عند خطوط العرض المتوسطة حيث يكون الجريان الزوالي أعظم ما يكون. وتقترب الأجزاء الحقيقية من الترددات الذاتية لأنماط الواقعة على فرع P من الصفر عند إدراج الجريان الزوالي، بإزاحة مقدارها  nHz. كما يمدد الجريان الزوالي الدوال الذاتية في خط العرض؛ انظر مثلًا اللوحة اليمنى من الشكل 10 للنمط P₁ من أجل .

4.3 أثر الجريانات النطاقية المتغيرة زمنيًا

لتقييم حساسية الأنماط لتفاصيل مقطع الدوران، نحسب ترددات الأنماط بوصفها دالة في الزمن خلال آخر دورتين شمسيتين. ونستخدم مقطع الدوران المستنتج من الهليوزلزالية (Larson & Schou, 2018)، والمتحصل عليه بوتيرة 72 days. وتُوسّط مقاطع الدوران على خمسة صناديق للحصول على متوسطات سنوية خلال 1996–2018. وتُرسم التغيرات الزمنية لترددات الأنماط الأقل تخميدًا ذات في الشكل 11. ونجد أن تردد النمط R يتغير بأقل من 1 nHz، متفقًا مع حساب Goddard et al. (2020) باستخدام نظرية الاضطراب من المرتبة الأولى. كما يتغير نمط خط العرض الحرج P₁ بمقدار صغير جدًا قدره nHz. ويتغير تردد النمط عالي العرض A₁ بما يصل إلى  nHz ويظهر دورية مقدارها 22 سنة. أما الأنماط الأخرى فلها ترددات تتغير بقوة (مثل P₅، غير المعروض في الرسم، الذي يتغير بما يصل إلى  nHz). وبما أن دقة التردد الموافقة لسلسلة زمنية بطول 3 سنة هي  nHz، وأن عرض الخط النموذجي لنمط ما هو أيضًا nHz، فقد تكون إزاحات التردد لبعض الأنماط قابلة للكشف في السلاسل الزمنية المرصودة.

5 الطيف للدوران الشمسي عند أنصاف أقطار مختلفة

في القسم السابق لم ننظر إلا في مقطع الدوران على سطح الشمس. وهنا ننظر في الدوران التفاضلي العرضي عند أعماق مختلفة في باطن الشمس. وندرس استقرار الأنماط بوصفه دالة في العمق، وكيف تتأثر علاقات التشتت للأنماط المختلفة.

5.1 تحليل الاستقرار

دُرس الاستقرار الهيدروديناميكي للدوران التفاضلي العرضي الشمسي في بعدين من أجل اضطرابات حلقية صرفة في الحالة غير اللزجة. والشرط اللازم لعدم الاستقرار هو أن يغير التدرج العرضي للدوامية (، انظر المعادلة (9)) إشارته مرة واحدة على الأقل مع خط العرض (Lord Rayleigh, 1879). وقد أثبت Fjørtoft (1950) شرطًا أشد تقييدًا لعدم الاستقرار: وجود و (حيث إن صفر للدالة ) بحيث . وكما يُرى في الشكل 1b، تغير الدالة إشارتها عدة مرات عند السطح، ومن ثم قد توجد أنماط غير مستقرة. وفي الحالة الخاصة لقانون دوران ، بيّن Watson (1981) أن شرطًا لازمًا للاستقرار هو . ويتحقق هذا الشرط للملاءمات ذات الحدين لمقطع الدوران الشمسي. وأضاف Charbonneau et al. (1999) حدًا ثالثًا في ووجد عددياً أنه عندما (كما هي الحال في الشمس) يصبح نمطان (أحدهما متناظر والآخر ضد متناظر) غير مستقرين لكل من الحالتين و. ونظروا في مقاطع دوران شمسي مختلفة مستنتجة من انقسامات أنماط p في LOWL وGONG وMDI، وأجروا تحليل استقرار على كرات عند أعماق مختلفة. ووجدوا أن جميع الأنماط مستقرة أسفل ، في حين تصبح بعض الأنماط ذات و غير مستقرة في منطقة الحمل العليا.

Figure 5: علاقات التشتت النموذجية لجميع الأنماط ذات  nHz. تُعرض أنماط Rossby الاستوائية (منحنيات سوداء لـ R وR₁ و)، وأنماط خطوط العرض العالية (منطقة حمراء)، والأنماط شديدة التخميد (منطقة زرقاء)، وأنماط خطوط العرض الحرجة (منطقة برتقالية). والدوران التفاضلي شمسي ()، سواء عند السطح ( و، اللوحة اليسرى) أو عند أسفل منطقة الحمل ( و، اللوحة اليمنى). وتُعبَّر الترددات في إطار Carrington المرجعي. وتبين الرموز الأنماط المرصودة التي أفاد بها Gizon et al. (2021).

وسّعنا تحليل الاستقرار الذي أجراه Charbonneau et al. (1999) بإدراج اللزوجة واستخدام أحدث مقطع دوران من الهليوزلزالية (Larson & Schou, 2018). ويبين الشكل 4 عدد الأنماط غير المستقرة بوصفه دالة في عدد Ekman والعمق من أجل و و. وعند $m\ge 4$، تكون جميع الأنماط مستقرة. ويمكن أن تكون عدة أنماط غير مستقرة، بما يصل إلى 12 أنماط في طبقة صغيرة أسفل سطح الشمس من أجل (5 أنماط ذات ، و5 أنماط ذات ، و2 أنماط ذات ). ونجد أنه بالنسبة إلى ، لا يعتمد نصف القطر الذي تظهر فوقه أنماط غير مستقرة ( من أجل ، و من أجل ، و من أجل ) اعتمادًا حساسًا على اللزوجة، ويكاد يُعطى بحد . ولا يكون إلا للقيم تأثير مثبت. أما عند فكل الأعماق مستقرة. وعلى الشكل نفسه نرسم تقديرات عدد Ekman مع العمق، إما في إطار نظرية طول الخلط أو باستخدام انتشارية مخمَّدة (Muñoz-Jaramillo et al., 2011). وباستعمال القيمة عند كل عمق، تصبح ستة أنماط غير مستقرة، نمطان لكل قيمة من . وهذه هي الأنماط R₁ وR₂ من أجل و، وR وR₁ من أجل . وتُعرض دوالها الذاتية عند السطح في الشكل 12. وبما أن خط العرض الحرج قريب جدًا من القطب، فإنه لا يؤثر كثيرًا في شكل الدوال الذاتية التي تشبه الكلاسيكية ذات المحصلة في حالة الدوران المنتظم. وباستخدام قيم ، تصبح ثلاثة أنماط فقط غير مستقرة (R₁ وR₂ من أجل ، وR₁ من أجل )، ولا تعود أي أنماط غير مستقرة أسفل بدلًا من عند استخدام .

ومن ثم قد تكون لسعات الأنماط العطالية قيمة تشخيصية لمعرفة اللزوجة الدوامية في الباطن الشمسي.

5.2 مخطط الانتشار والمقارنة مع الرصد

يبين الشكل 5 مخطط الانتشار لأنماط مختلفة عندما يكون نصف القطر إما أو . وننظر في جميع أنماط النموذج التي تكون تردداتها التخيلية أقل من  nHz (بالقيمة المطلقة)، ومن ثم تكون أسهل كشفًا على الشمس. وبما أن عدة أنماط من كل عائلة توجد لكل قيمة من ، نرسم مناطق في مخطط الانتشار حيث توجد هذه الأنماط. وتُراكب الترددات المرصودة التي أفاد بها Gizon et al. (2021). ونرى أن الأنماط المرصودة عالية العرض لها ترددات تتداخل مع المنطقة الواقعة بين أبطأ وأسرع الأنماط عالية العرض في النموذج 2D، وتُقرب على أفضل وجه عندما يؤخذ مقطع الدوران عند قاعدة منطقة الحمل. وهذا غير مفاجئ لأن لهذه الأنماط معظم طاقتها الحركية هناك بحسب النمذجة 3D (انظر Gizon et al., 2021; Bekki et al., 2022). والأنماط المرصودة عالية العرض من أجل و2 و3 لها ترددات قريبة من النمطين R₁ وR₂ اللذين هما ذاتيا الإثارة. وقد يفسر ذلك سبب امتلاك الأنماط المرصودة عالية العرض أكبر السعات. غير أن الدوال الذاتية المستخرجة من النموذج تختلف عن الرصد. ولذلك يصعب تحديد هذه الأنماط بوضوح بين الأنماط A₁ وA₂ وR₁ وR₂. وقد ترتبط أنماط خطوط العرض الحرجة المرصودة ذات الترددات بين  nHz و0 nHz بالطيف الكثيف لأنماط خطوط العرض الحرجة. غير أن النموذج لا يتضمن أي نمط ذي تردد موجب (في إطار Carrington). كما أن النموذج عاجز عن تفسير بعض أنماط خطوط العرض الحرجة المرصودة ذات nHz (على سبيل المثال الأنماط ذات و10 وترددات حول  nHz). ويعرض الشكل 13 تمثيلًا مختلفًا لمخطط الانتشار حيث يُقسم التردد على العدد الموجي . والأنماط ذات القيم المتشابهة لـ لها خطوط عرض حرجة متشابهة لجميع قيم . ويبرز هذا المخطط الفصل في خط العرض بين عائلات الأنماط المختلفة.

الشكل 8 هو مقارنة بين الدوال الذاتية للأنماط R وP₁ وA₁ المحسوبة عند السطح وعند أسفل منطقة الحمل من أجل . ولهذه القيمة الصغيرة لـ ، لا تتغير الدالة الذاتية لنمط R إلا قليلًا مع العمق. وهذا يشير إلى أن المسألة 2D تلتقط الفيزياء الأساسية لأنماط R، وأن افتراض أن هذه الأنماط شبه حلقية مبرر جيدًا. ويتأكد هذا الاستنتاج بحل مسألة القيم الذاتية 3D في قشرة كروية: إذ يجد Gizon et al. (2021) وBekki et al. (2022) أن السرعة الشعاعية لأنماط R أصغر من سرعتها الأفقية بنحو رتبتين مقداريتين. ومن ناحية أخرى، فإن النمط عالي العرض A₁، وبدرجة أقل نمط خط العرض الحرج P₁، لهما دوال ذاتية تتغير تغيرًا ملحوظًا بين السطح وقاعدة منطقة الحمل (اللوحات الوسطى في الشكل 8). وفي حالة الأنماط عالية العرض، ليس هذا مفاجئًا جدًا (فالتقريب 2D ضعيف قرب محور التناظر، انظر، مثلًا، Rieutord et al., 2002). ويتطلب فهم أفضل للأنماط عالية العرض ليس فقط إعدادًا هندسيًا 3D، بل أيضًا إدراج تدرج عرضي في الإنتروبيا (Gizon et al., 2021; Bekki et al., 2022).

6 مناقشة

وسّعنا عمل Gizon et al. (2020) من المستوى الاستوائي إلى هندسة كروية، بهدف دراسة آثار الدوران التفاضلي واللزوجة في الأنماط ذات أصغر قيم . وكما في المستوى الاستوائي ، تظهر طبقات حرجة لزجة ويحتوي الطيف على عائلات مختلفة من الأنماط بسبب الدوران التفاضلي العرضي (الشكل 2). وتبقى أنماط خطوط العرض العالية، وأنماط خطوط العرض الحرجة، والأنماط شديدة التخميد (Mack, 1976) موجودة عند استخدام مقطع دوران شمسي واقعي. وبسبب قوة Coriolis، توجد أيضًا أنماط Rossby الاستوائية (أنماط R) في هذه المسألة، كما في مسألة المستوى . وباستخدام مقطع الدوران الشمسي السطحي، يوجد أيضًا نمطا Rossby إضافيان، R₁ (من أجل ) وR₂ (من أجل ). ومن اللافت أن الطيف المحسوب يشبه إلى حد كبير طيف الأنماط العطالية المرصودة على الشمس بواسطة Gizon et al. (2021)، ولا سيما عندما يؤخذ الدوران التفاضلي في أعماق منطقة الحمل، انظر الشكل 5b. وتكون ترددات بعض الأنماط في النموذج حساسة لقيمة اللزوجة ( مقابل )، ويمكن أن تكون مجسًا جيدًا لهذا المعامل (الشكل 3، اللوحة اليسرى). كما نجد أن الجريانات النطاقية (الشكل 11) والجريان الزوالي (الشكل 9) يمكن أن تؤثر في الأنماط. والنموذج 2D المقدم هنا مفيد لفهم الفيزياء الأساسية للأنماط الحلقية على الشمس، غير أن نموذجًا 2D لا يمكن أن يحل محل نموذج 3D أكثر تقدمًا يشتمل على حركات شعاعية، وتطبق واقعي، وفوق أديباتية (أي قوة التحريض الحملي)، وتدرجات في الإنتروبيا (للمعالجة الخاصة بهذه الآثار، انظر Bekki et al., 2022).

نؤكد نتيجة Charbonneau et al. (1999) القائلة إن بعض الأنماط ذاتية الإثارة، حتى عند إدراج اللزوجة والدوران التفاضلي الشمسي الواقعي. فحدود السرعة الزاوية في مع أساسية لزعزعة استقرار النظام. وبالنسبة إلى الشمس، فإن ملاءمة مفرطة التبسيط من الشكل ستؤدي إلى الاستنتاج الخاطئ بأن النظام مستقر. وباستخدام قيمة للزوجة موافقة لنموذج الانتشارية المخمَّدة من Muñoz-Jaramillo et al. (2011)، نجد أن ستة أنماط ذاتية الإثارة. وهذه هي أنماط Rossby R₁ وR₂ من أجل و، وR وR₁ من أجل . وإذا كان النمطان R₁ وR₂ يقابلان الأنماط عالية العرض المرصودة بواسطة Gizon et al. (2021)، فمن المفهوم أن تكون لهما أكبر السعات. وفوق ، يصبح نمط R الاستوائي غير مستقر؛ وهذا النمط هو نمط R ذو أصغر قيمة مرصودة على الشمس. وستُدرس إثارة الأنماط دون الحرجة وتخميدها بفعل الحمل الاضطرابي في بحوث قادمة.

Table 3: الاستقرار الدوراني لنجوم مختارة من Kepler التي قيس لها و باستخدام الأستروزلازلية (Benomar et al., 2018). ويرمز ^∗ إلى النجوم غير المستقرة بأكثر من انحراف معياري واحد () وفق معيار Watson (1981).

KIC #	${\mathrm{\Omega }}_0/2\pi$	${\mathrm{\Omega }}_2/{\mathrm{\Omega }}_0\pm \sigma$	${\mathrm{\Omega }}_2/{\mathrm{\Omega }}_0+2/7$
	(nHz)
5184732	$785\pm 276$	$-1.43\pm 1.87$	$-0.6\sigma$
6225718	$1725\pm 348$	$-1.58\pm 0.77$	$-2.1\sigma$  (*)
7510397	$2754\pm 469$	$-2.11\pm 0.92$	$-2.0\sigma$  (*)
8006161	$722\pm 137$	$-1.08\pm 0.67$	$-1.2\sigma$  (*)
8379927	$1550\pm 230$	$-1.17\pm 0.74$	$-1.2\sigma$  (*)
8694723	$2276\pm 324$	$-1.23\pm 0.61$	$-1.5\sigma$  (*)
9025370	$1015\pm 460$	$-2.63\pm 3.00$	$-0.8\sigma$
9139151	$1693\pm 426$	$-2.10\pm 1.51$	$-1.2\sigma$  (*)
9955598	$584\pm 243$	$-1.72\pm 2.11$	$-0.7\sigma$
9965715	$2321\pm 338$	$-0.73\pm 0.64$	$-0.7\sigma$
10068307	$1072\pm 313$	$-0.92\pm 1.09$	$-0.6\sigma$
10963065	$1140\pm 219$	$-0.5\pm 0.6$	$-0.4\sigma$
12258514	$1087\pm 432$	$-1.3\pm 1.4$	$-0.7\sigma$

في حالة النجوم البعيدة، لا يكون الدوران التفاضلي العرضي قابلًا للكشف بالأستروزلازلية إلا لعدد قليل من نجوم Kepler الشبيهة بالشمس (Benomar et al., 2018). وبالنسبة إلى هذه النجوم، يكون حد كبيرًا جدًا مقارنة بالقيمة الاستوائية ، وهي غير مستقرة وفق معيار Watson (الجدول 3). وللأسف لا تتوافر لدينا أي معلومات عن الحدود العليا الرتبة التي تحدد مقطع دوران هذه النجوم تحديدًا كاملًا.

Appendix A مسألة القيم الذاتية من أجل

من أجل ضمان أن يحقق الشروط الحدية (المعادلة (15)) عندما ، ننشر الحل على أساس من كثيرات حدود Legendre المرافقة بدلًا من :

$$\mathrm{\Psi }(\theta ,\varphi ,t)=\sum _{\mathrm{\ell }=2}^L{b}_{\mathrm{\ell }}{P}_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )\exp (\mathrm{i}\varphi -\mathrm{i}\omega t).$$ (25)

بعد ذلك، نحتاج إلى تحديد كيفية تأثير المؤثرين و في :

$L_1{P}_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )=$ $\left(-\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)+{\displaystyle \frac{3}{{\sin }^2\theta }}\right)P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta ),$ (26)

$L_1^2{P}_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )=$ $-{\displaystyle \frac{12\cos \theta }{{\sin }^3\theta }}{\partial }_{\theta }{P}_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )$

$+\left({\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^2-{\displaystyle \frac{6\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{{\sin }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{15+6{\cos }^2\theta }{{\sin }^4\theta }}\right)P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta ).$ (27)

وتصبح مسألة القيم الذاتية، المعادلة (12)،

$$\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}[\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)I+A]b=(C+D+G)b-\mathrm{i}E{\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^{2}b,$$ (28)

حيث هي مصفوفة الوحدة ، و معرفة بالمعادلة (20) مع ، وتعطى عناصر المصفوفات و و كما يلي:

$A_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}=-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{3}{{\sin }^2\theta }}{P}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^2(\cos \theta )P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )\sin \theta d\theta ,$ (29)

$D_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{J}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}(\theta )P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^2(\cos \theta )P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )\sin \theta d\theta ,$ (30)

$G_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}=12\mathrm{i}E{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\cos \theta }{{\sin }^3\theta }}{\partial }_{\theta }(P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^2(\cos \theta ))P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )\sin \theta d\theta ,$ (31)

مع

$$J_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}(\theta )=-\frac{3\delta (\theta )}{{\sin }^2\theta }-\mathrm{i}E\left(-\frac{6{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)}{{\sin }^2\theta }+\frac{15+6{\cos }^2\theta }{{\sin }^4\theta }\right).$$ (32)

Appendix B إدراج الجريان الزوالي

نشتق هنا معادلة دالة الجريان عندما يتضمن جريان الخلفية كلًا من الدوران التفاضلي وجريانًا زواليًا ، أي

$$𝑼(\theta )=[\mathrm{\Omega }(\theta )-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}]\widehat{𝒛}\times 𝒓+V(\theta )\widehat{𝜽}.$$ (33)

وتصبح المركبتان الأفقيتان للمعادلة (3)

$D_t{u}_{\theta }^{\prime }-2\mathrm{\Omega }\cos \theta u_{\varphi }^{\prime }+{\displaystyle \frac{V}{r}}{\partial }_{\theta }{u}_{\theta }^{\prime }+{\displaystyle \frac{{\partial }_{\theta }V}{r}}{u}_{\theta }^{\prime }$ $=-{\displaystyle \frac{{\partial }_{\theta }{\mathrm{\Pi }}^{\prime }}{r}}+\nu \mathrm{\Delta }{u}_{\theta }^{\prime },$ (34)

$D_t{u}_{\varphi }^{\prime }+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }}\left(\mathrm{\Omega }{\sin }^2\theta \right)u_{\theta }^{\prime }+{\displaystyle \frac{V}{r\sin \theta }}$ ${\partial }_{\theta }(\sin \theta u_{\varphi }^{\prime })$

$=-{\displaystyle \frac{{\partial }_{\varphi }{\mathrm{\Pi }}^{\prime }}{r\sin \theta }}+\nu \mathrm{\Delta }{u}_{\varphi }^{\prime }.$ (35)

وبجمع المعادلة (34) والمعادلة (35) واستخدام تعريف دالة الجريان (المعادلة (7))، نحصل على

$$D_t\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\zeta {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}{\partial }_{\varphi }\mathrm{\Psi }/r^2+\frac{1}{r\sin \theta }{\partial }_{\theta }\left(V\sin \theta \mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }\right)=\nu {\mathrm{\Delta }}^2\mathrm{\Psi },$$ (36)

حيث تُعرّف بالمعادلة (9). ولكل نمط طولي، لدينا

$$(m\delta -\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})L_m\psi -m\zeta \psi -\frac{\mathrm{i}}{\sin \theta }{\partial }_{\theta }\left(\tilde{V}\sin \theta L_m\psi \right)=-\mathrm{i}E{L}_m^2\psi ,$$ (37)

حيث $\tilde{V}=V/(r{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}})$.

B.1 الحالة

في هذه الحالة، تُنشر الدالة وفق المعادلة (17). وباستخدام ، نحصل على

$\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\psi =($ $m\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)\delta +m\zeta -\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{\sin \theta }}{\partial }_{\theta }(\tilde{V}\sin \theta \psi )$

$-\mathrm{i}E{\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^2)\psi .$ (38)

وهذا يقود إلى النظام الخطي

$$\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)b=(C+C^{\mathrm{mer}})b-\mathrm{i}E{\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^{2}b,$$ (39)

حيث تُعطى المصفوفة بالمعادلة (20) وللمصفوفة العناصر

$$C_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{\mathrm{mer}}=\mathrm{i}{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1){\int }_0^{\pi }\tilde{V}{\partial }_{\theta }[P_{\mathrm{\ell }}^m(\cos \theta )]P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^m(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta .$$ (40)

وبالنسبة إلى الجريان الزوالي المعرّف بالمعادلة (24)، يمكن رؤية آثار المصفوفة في الطيف في الشكل 9 للحالة . وتُرسم أمثلة للدوال الذاتية في الشكل 10.

B.2 الحالة

عندما ، نستخدم تفكيكًا لـ على أساس من لفرض الشروط الحدية (انظر القسم A). وتصبح مسألة القيم الذاتية

$\omega /{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{ref}}\left[\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)I+A\right]b=$ $(C+C^{\mathrm{mer}}+D+D^{\mathrm{mer}}+G+G^{\mathrm{mer}})b$

$-\mathrm{i}E{\mathrm{\ell }}^2{(\mathrm{\ell }+1)}^{2}b,$ (41)

حيث تُعرّف و بالمعادلتين (30) و (31)، و و تعطى بـ

$D_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{\mathrm{mer}}$ $=3\mathrm{i}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\tilde{V}\cos \theta }{{\sin }^3\theta }}{P}_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^2(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta ,$ (42)

$G_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{\mathrm{mer}}$ $=-3\mathrm{i}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\tilde{V}}{{\sin }^2\theta }}{\partial }_{\theta }[P_{\mathrm{\ell }}^2(\cos \theta )]P_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^2(\cos \theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta .$ (43)

Appendix C أشكال تكميلية

Figure 6: الترددات الذاتية من إلى 3 (من اليسار إلى اليمين) عندما يكون عدد Ekman هو . الوسوم والألوان هي نفسها كما في الشكل 2. واللوحات العليا تخص ، أما اللوحات السفلى فتخص معدل الدوران الشمسي عند نصف قطر .

Figure 7: دوال الجريان لأنماط مختارة من أجل ، باستخدام مقطع الدوران التفاضلي السطحي الشمسي وعدد Ekman . وتبين المنحنيات المتصلة الأجزاء الحقيقية، والمنحنيات المتقطعة الأجزاء التخيلية. وفي كل حالة، يكون التعيير بحيث حيث يكون أعظم ما يكون (ويحدث ذلك عند خطوط عرض مختلفة تبعًا للنمط). وفي كل لوحة، يُعطى اسم النمط والجزء الحقيقي من تردده (انظر أيضًا الشكل 2e). وتعطي الأسهم الحمراء العمودية خطوط عرض الطبقات اللزجة.

Figure 8: دوال الجريان للأنماط ذات وهي R وA₁ وP₁، باستخدام الدوران التفاضلي السطحي الشمسي وعدد Ekman (الأعلى)، وعند أسفل منطقة الحمل ( مع ). وتُبرز خطوط العرض والطول كل بمنحنيات منقطة، ويُعرض خط الاستواء بخط متصل. وتبين المنحنيات الحمراء خطوط عرض الطبقات الحرجة اللزجة. وتُعبَّر الترددات الذاتية في إطار Carrington المرجعي.

Figure 9: أثر الجريان الزوالي (المعادلة 24) في ترددات الأنماط ذات ، . والدوران التفاضلي السطحي العرضي مأخوذ من Larson & Schou (2018). وتبين المربعات السوداء ترددات الأنماط عندما يُدرج الجريان الزوالي، والدوائر الحمراء عندما لا يُدرج. وتقابل الرموز المصمتة الأنماط المتناظرة، والرموز المفتوحة الأنماط الضد متناظرة. وثُبّت عدد Ekman عند ، وجميع الترددات معبر عنها في إطار Carrington المرجعي. وتُعرض الدوال الذاتية للأنماط R وA₁ وP₁ في الشكل 10.

Figure 10: الدوال الذاتية للأنماط R وA₁ وP₁ مع الجريان الزوالي (بالأحمر) ومن دونه (بالأزرق). وتعطى الأجزاء الحقيقية بالمنحنيات المتصلة والأجزاء التخيلية بالمنحنيات المتقطعة. والحسابات من أجل و.

Figure 11: التغيرات الزمنية في ترددات لأنماط مختارة ذات ناجمة عن الجريانات النطاقية للشمس (عند السطح). وتعرض اللوحة اليسرى الأجزاء الحقيقية من الترددات، واللوحة اليمنى الأجزاء التخيلية. عدد Ekman هو . لاحظ أن النمط R₁ يكون غير مستقر في جزء من الزمن.

Figure 12: دوال الجريان لأنماط Rossby ذات 1 و2 و، وهي R وR₁ وR₂، وقد يكون بعضها غير مستقر. الدوران التفاضلي هو دوران سطح الشمس (المتوسط الزمني)، وعدد Ekman هو . وتبين المنحنيات الحمراء خطوط عرض الطبقات الحرجة اللزجة.

Figure 13: مخططات علاقات التشتت لجميع الأنماط ذات  nHz. هذا الشكل شبيه بالشكل 5، لكن الإحداثي الرأسي استُبدل به بحيث تقع خطوط العرض الحرجة على خطوط أفقية. وقد أُبرزت بضعة خطوط عرض (متممة) حرجة مختارة (خطوط رمادية أفقية)