علاقات (كتلة الثقب الأسود)-(الكثافة النجمية الكروية): $M_{\rm BH}$ – $\mu$ (و $M_{\rm BH}$ – $\Sigma$ ) و $M_{\rm BH}$ – $\rho$

Nandini Sahu OzGrav-Swinburne, Centre for Astrophysics and Supercomputing, Swinburne University of Technology, Hawthorn, VIC 3122, Australia Centre for Astrophysics and Supercomputing, Swinburne University of Technology, Hawthorn, VIC 3122, Australia Currently hosted by the University of Queensland, Brisbane, QLD 4067, Australia Alister W. Graham Centre for Astrophysics and Supercomputing, Swinburne University of Technology, Hawthorn, VIC 3122, Australia Benjamin L. Davis Center for Astro, Particle, and Planetary Physics (CAP³), New York University Abu Dhabi

الملخص

هذه الورقة هي الرابعة في سلسلة تقدم علاقات تحجيم كتلة الثقب الأسود، $M_{\rm BH}$ ، المعتمدة على (مورفولوجيا المجرة، ومن ثم على تكوّن المجرة). لقد استخدمنا عينة من 119 مجرة ذات $M_{\rm BH}$ مقاسة مباشرة ومعلمات للمكوّن الكروي المضيف مستخرجة من التحليل متعدد المكونات، أساسًا، لصور Spitzer عند $3.6\,\mu$ m. هنا، نقوم بدراسة الارتباطات بين $M_{\rm BH}$ وكثافة اللمعان المسقطة $\mu$ ، والكثافة الكتلية النجمية المسقطة $\Sigma$ ، والكثافة الكتلية النجمية منزوعة الإسقاط (الداخلية) $\rho$ ، لمختلف أنصاف الأقطار الكروية. نكتشف العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0,sph}$ المتوقعة ونقدم أول مخططات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int, sph}$ تعرض اتجاهات مختلفة قليلاً (ربما منحنية) للمجرات المبكرة والمتأخرة (ETGs وLTGs) و الإزاحة بين ETGs مع (الدوارات السريعة، ES/S0) وبدون (الدوارات البطيئة، E) قرص. يظهر أن التشتت حول العلاقات المختلفة $M_{\rm BH}$ – $\langle\Sigma\rangle_{\rm R,sph}$ (و $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ ) يتناقص بشكل منهجي مع زيادة الفتحة (والحجم) المحيطة، وينخفض من 0.69 dex عند استخدام الشكل الكروي “الاكتناز”, $\langle\Sigma\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ , إلى 0.59 dex عند استخدام $\langle\Sigma\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ . نكشف أيضًا أن $M_{\rm BH}$ يرتبط بالكثافة الداخلية، $\rho_{\rm soi,sph}$ ، عند نصف قطر مجال تأثير الثقب الأسود؛ إذ تحدد مجرات core-Sérsic (ذات مؤشر Sérsic مرتفع، $n$ ) ومجرات Sérsic (ذات $n$ منخفض) علاقات مختلفة بتشتت جذر متوسط تربيعي كلي قدره 0.21 dex و0.77 dex، على التوالي. يجب أن تساعد العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi,sph}$ في التقدير المباشر لمعدلات أحداث اضطراب المد والجزر، وعمر BH الثنائي، ومع علاقات قياس BH الأخرى، تحسين تقديرات الانفعال المميز لموجات الجاذبية ذات الطول الموجي الطويل التي يتم متابعتها باستخدام صفائف توقيت النجم النابض ومقاييس التداخل الفضائية.

المجرات من النوع المبكر (429) — تطور المجرات (594) — المجرات الكروية (2032) — المجرات من النوع المتأخر (907) — علاقات التحجيم (2031) — الثقوب السوداء الهائلة (1663)

^†^†journal: ApJ

1 مقدمة

عدد المجرات التي تم قياس كتل الثقب الأسود فيها بشكل مباشر، أي حيث يمكن للملاحظات أن تحل مجال تأثير جاذبية الثقب الأسود، قد زاد إلى حوالي 145 مجرات (Sahu et al., 2019a). باستخدام أحدث النمذجة ثنائية الأبعاد (Ciambur, 2015) والتحلل متعدد المكونات (Ciambur, 2016)، قمنا بتصميم ملامح السطوع السطحي لـ123 من هذه المجرات¹¹ 1 كان هذا هو حجم العينة المعروف في 2018 عندما بدأ هذا المشروع. ومكوناتها. لقد اكتشفنا الارتباطات المعتمدة على التشكل بين كتلة الثقب الأسود ( $M_{\rm BH}$ ) وخصائص المجرات المضيفة المختلفة، مثل الكتلة النجمية المجرية ( $M_{\rm *, gal}$ )، والكتلة النجمية الكروية ( $M_{\rm *,sph}$ )، وتركيز الضوء المركزي الكروي أو مؤشر Sérsic ( $n_{\rm sph}$ )، والفعالية الكروية. نصف قطر الضوء ( $R_{\rm e,sph}$ )، وتشتت السرعة النجمية المركزية (Graham, 2012; Graham & Scott, 2013; Scott et al., 2013; Savorgnan et al., 2016; Davis et al., 2018, 2019; Sahu et al., 2019b, a, 2020). لقد تحسنت هذه مع زيادة جودة وكمية البيانات. إن علاقات قياس الثقب الأسود البسيطة (مورفولوجيا المجرة) المستقلة²² 2 تمت مراجعة تاريخ علاقات قياس المجرة/الثقب الأسود في Ferrarese & Ford (2005) وGraham (2016). (على سبيل المثال، Dressler & Richstone, 1988; Magorrian et al., 1998; Häring & Rix, 2004; Gültekin et al., 2009; Kormendy & Ho, 2013; McConnell & Ma, 2013) هي في الواقع بسيطة للغاية بحيث لا يمكن تتبع التطور المشترك للأنواع المختلفة من المجرات وثقوبها السوداء بدقة.على سبيل المثال، تتبع الانتفاخات الصغيرة والضخمة في المجرات الحلزونية والعدسية علاقات $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ تختلف عن تلك الموجودة في المجرات الإهليلجية (Sahu et al., 2019b). ومن المأمول أن يساعد التقدم في الارتباطات المعتمدة على المورفولوجيا في تحديد الارتباط الأكثر أهمية، أي الارتباط الأولي مقابل الثانوي. ومع ذلك، لا يزال يتعين استكشاف أحد المرشحين المحتملين؛ أنها تنطوي على كثافة نجمية.

تختلف معظم علاقات قياس الثقب الأسود المعتمدة على التشكل بشكل كبير عن العلاقات المألوفة ولكنها حلت الآن محل “علاقات واحدة” التي تم الحصول عليها عندما يتم دمج جميع أنواع المجرات. والأهم من ذلك، أن المخططات ذات الأعداد المختلفة لأنواع المجرات المختلفة يمكن أن تنتج “علاقات واحدة” بمنحدرات وتقاطعات مختلفة. ونتيجة لذلك، فإن العديد من المجرات السابقة “علاقات واحدة” (التي تم إنشاؤها عن طريق تجميع المجرات من أنواع مورفولوجية مختلفة) لا معنى لها من الناحية المادية، فهي مجرد تمثيل لنسبة أنواع المجرات المختلفة في تلك العينة.

يعد الإدراك المذكور أعلاه أمرًا أساسيًا إذا أردنا أن نفهم بشكل كافٍ التطور المشترك للمجرات وثقوبها السوداء المركزية الضخمة. وذلك لأن كتلة الثقب الأسود تدرك، إلى حد ما، تاريخ التكوين والفيزياء المختلفة التي ساهمت في بناء مجرتها المضيفة. المهم ليس مجرد كمية الكتلة في النجوم وربما المادة المظلمة، ولكن كيف تم تجميع هذه الكتلة (وتحركاتها) لتكوين البنية التحتية/مورفولوجيا المجرة.

باستخدام عينة من 27 مجرة، لاحظ Graham & Driver (2007) وجود علاقة قوية بين $M_{\rm BH}$ والتركيز المركزي للانتفاخ، والذي يتم قياسه بواسطة معلمة الشكل لملمح سطوع سطح المكوّن الكروي أي مؤشر Sérsic ( $n_{\rm sph}$ , Trujillo et al., 2001). Graham & Driver (2007) وجد مستوى مشابهًا من التشتت (الجوهري) حول العلاقة $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ كما رأينا في العلاقات $M_{\rm BH}$ –(تشتت السرعة النجمية المركزية: $\sigma$ ) التي لوحظت في ذلك الوقت، والتي كانت حوالي 0.3 dex. يتتبع تشتت السرعة النجمية المرصودة توزيع الكتلة الأساسي والتركيز الشعاعي للضوء (Graham et al., 2001). وهكذا، اقترح Graham & Driver (2007) أن مزيجًا من الكثافة النجمية المركزية وتركيز الضوء المركزي لجسم كروي قد يحكم الاتصال الكروي بين الثقب الأسود والمضيف.

قدمت بعض الدراسات (على سبيل المثال، Graham & Guzmán, 2003; Merritt, 2006) علاقة بين التركيز المركزي والكثافة النجمية المركزية، مما يشير إلى أنه يمكن كتابة إحدى هذه الكميات بدلالة الأخرى؛ على الرغم من أنه لا يزال من غير الواضح ما هي الكمية الأكثر أهمية. Graham & Driver (2007) دمجت هذه العلاقة مع علاقاتها الخطية والمنحنية³³ 3 Graham & Driver (2007) قدم أيضًا علاقة أقوى ولكنها منحنية $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ مع تشتت جوهري قدره 0.18 dex. $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ العلاقات، للتنبؤ بكل من العلاقة الخطية والمنحنية $M_{\rm BH}$ –(السطوع السطحي المركزي الكروي أو الكثافة المركزية المسقطة، $\mu_{\rm 0,sph}$ ) العلاقة (Graham & Driver, 2007, معادلاتهم 9 و 10). علاوة على ذلك، اقترحوا أنه قد يوجد ارتباط أفضل بين $M_{\rm BH}$ والكثافة منزوعة الإسقاط (ثلاثية الأبعاد) ( $\rho$ ، ويعرف أيضا باسم الكثافة الداخلية أو المكانية) في مركز المكوّن الكروي. لأول مرة، نستكشف هنا العلاقات المتوقعة بين $M_{\rm BH}$ –(الكثافة النجمية) وغيرها.

نقدم ارتباطات جديدة بين $M_{\rm BH}$ والسطوع السطحي الكروي (كثافة اللمعان المسقطة/العمود)، والكثافة الكتلية النجمية المسقطة (أو العمود) ( $\Sigma$ )، والكثافة النجمية منزوعة الإسقاط عند أنصاف أقطار كروية مختلفة. تم وصف عينتنا من المجرات 123 في القسم التالي 2. يصف هذا القسم أيضًا الانحدار الخطي المطبق وعدم اليقين في المعلمة المستخدمة.تم تفصيل حساب الكثافة منزوعة الإسقاط في الملحق A، حيث قمنا أيضًا بمقارنة الكثافة الداخلية المحسوبة رقميًا مع تقريب من نموذج Prugniel & Simien (1997).

يعرض القسم 3 العلاقة بين $M_{\rm BH}$ وكثافة المكوّن الكروي المسقط (اللمعان والكتلة النجمية) في أنصاف أقطار مختلفة (المركز، 1 kpc، 5 kpc، ونصف قطر نصف الضوء). في القسم 4، نكشف عن ارتباطات جديدة إضافية تم الحصول عليها بين $M_{\rm BH}$ وكثافة الكتلة الداخلية المنتفخة عند أنصاف أقطار مختلفة (داخلية وأكبر)، بما في ذلك نصف قطر مجال تأثير الثقب الأسود. نحن نقدم أيضًا ملامح الكثافة المسقطة ومنزوعة الإسقاط، $\mu(R)$ و $\rho(r)$ ، للمساعدة في شرح الاتجاهات المختلفة التي تم الحصول عليها بين $M_{\rm BH}$ و $\mu$ ، وبين $M_{\rm BH}$ و $\rho$ في أنصاف أقطار كروية مختلفة.

في جميع هذه المخططات، قمنا أيضًا بدراسة الاعتماد المحتمل على مورفولوجيا المجرات، على سبيل المثال، المجرات من النوع المبكر (ETGs: الإهليلجية E، الإهليلجية ES⁴⁴ 4 تحتوي المجرات الإهليلجية على قرص نجمي دوار متوسط الحجم محصور بالكامل داخل انتفاخها (Liller, 1966; Savorgnan & Graham, 2016a). المصطلح الإهليلجي عبارة عن سلسلة مصنوعة من خلال الجمع بين الكلمتين “بيضاوي الشكل” و “عدسي” (يرى Graham, 2019a, لمراجعة تاريخية لمورفولوجيا المجرة وخطط التصنيف).، والعدسية S0) مقابل المجرات المتأخرة (LTGs: الحلزونية S)، السريعة مركزيًا (ES، S0، S) مقابل الدوارات البطيئة (E). core-Sérsic⁵⁵ 5 مجرات core-Sérsic هي عمومًا المجرات الأكثر ضخامة، ومن المحتمل أنها تشكلت من خلال عمليات اندماج كبيرة فقيرة بالغاز. يؤدي الاندماج النهائي للثقوب السوداء المركزية الضخمة إلى إبعاد النجوم من المركز “مخروط الخسارة” (من خلال نقل العزم الزاوي المداري للثقب الأسود الثنائي) ويخلق عجزًا في الضوء في المركز، يشار إليه بـ “جوهر”. يتم وصف ملمح السطوع السطحي المنتفخ لمجرة core-Sérsic بواسطة دالة أساسية Sérsic (Graham et al., 2003)، والتي تتكون من قانون طاقة داخلي ضحل متبوعًا بوظيفة Sérsic (Sérsic, 1968, 1963) عند نصف قطر أكبر. تمت ملاحظة هذه النوى لأول مرة بواسطة King & Minkowski (1966). مقابل Sérsic⁶⁶ 6 مجرات Sérsic ليس لديها نقص في الضوء في مركزها. المجرات، والمجرات القضيبية مقابل المجرات غير القضيبية. قارنا النتائج التي توصلنا إليها مع البنى التحتية المعتمدة على التشكل والتي شوهدت في ارتباطاتنا المنشورة مؤخرًا (Sahu et al., 2019b, a, 2020). في القسم 5 نناقش النتائج التي توصلنا إليها وبعض الآثار الأكثر وضوحًا. وأخيرًا، نلخص النتائج الرئيسية لهذا العمل في القسم 6.

لقد استخدمنا مصطلحي الكثافة المكانية والكثافة الداخلية بالتبادل للكثافة منزوعة الإسقاط (3D) خلال هذه الورقة. تُعرض جميع حالات عدم اليقين عند مجال الثقة $\pm 1\,\sigma \, (\approx 68\%)$ .

2 بيانات

لقد استخدمنا المعلمات الهيكلية للشكل الكروي من Savorgnan & Graham (2016b)، Davis et al. (2019)، وSahu et al. (2019b)، والتي تم الحصول عليها من التحلل متعدد المكونات لمجرات 123 مع كتل ثقب أسود مركزي تم قياسها مباشرة والمذكورة في الأدبيات. تشمل الطرق المباشرة لقياس كتلة الثقب الأسود النمذجة الديناميكية النجمية، والنمذجة الديناميكية للغاز، وحركيات الميزر الضخمة، والحركات المناسبة (لـ Sgr $A^{*}$ )، وأحدث التصوير المباشر (لـ M87*). كانت غالبية صور المجرات ( $\rm 81 \%$ ) في النطاق $3.6\,\mu$ m الملتقطة بواسطة كاميرا مصفوفة الأشعة تحت الحمراء (إيراك، Fazio et al., 2004, القرار $\sim 2 \arcsec$ ) على متن تلسكوب Spitzer الفضائي. جاءت الصور المتبقية من أرشيفات تلسكوب هابل الفضائي (HST، $11 \%$ )، ومسح سلون الرقمي للسماء (SDSS، $3 \%$ )، ومسح 2 ميكرون لجميع السماء (2MASS، $6 \%$ ). للحصول على التفاصيل الكاملة لتحليل الصور، نحيل القراء إلى الدراسات الثلاث المذكورة أعلاه.

باختصار، قمنا بإجراء نمذجة 2D لصور المجرات باستخدام برنامجنا الداخلي⁷⁷ 7 البرامج isofit، cmodel، و profiler متاحة للجمهور على منصة GitHub (يرى Ciambur, 2015, 2016, للحصول على التفاصيل). البرنامج isofit وcmodel (Ciambur, 2015)، والتي تم دمجها في منشأة تقليل الصور وتحليلها (iraf, Tody, 1986, 1993). isofit يناسب النظائر المتساوية شبه الإهليلجية في كل نصف قطر مجري. يستخدم نظام إحداثيات بيضاوي الشكل، وبالتالي يحسن نظام الإحداثيات الكروي المطبق في ellipse (Jedrzejewski, 1987a, b). يتم استخدام الإحداثيات الزاوي المعروف باسم “شذوذ غريب الأطوار” لأخذ عينات موحدة من المتساويات شبه الإهليلجية، ويستخدم الكود توافقيات فورييه لالتقاط الانحرافات المتساوية من القطع الناقص النقي (Carter, 1978; Kent, 1984; Michard & Simien, 1988). وبالتالي، فإن isofit يولّد ملمح سطوع سطحي أحادي البعد (متوسط السمت) على طول أي محور مجرة، جنبًا إلى جنب مع الاختلافات الشعاعية للإهليلجية المتساوية الضوئية ( $e$ )، وزاوية الموضع، ومعاملات فورييه. تُستخدم هذه المعلمات لإنشاء نموذج مجرة 2D عبر cmodel.يلتقط النموذج جميع الميزات المتماثلة حول المحور الرئيسي (تناظر المرآة) ويترك وراءه الاضطرابات ومجموعات النجوم التي يمكن استكشافها في “الصورة المتبقية”.

نقوم بتفكيك نموذج المجرة إلى مكونات بمساعدة الوظائف المختلفة المضمنة في البرنامج profiler (Ciambur, 2016). يمكن أن تحتوي المجرة على قرص منتفخ أو متوسط أو كبير الحجم أو شريط أو أنساي أو حلقات أو قلب مستنفد ومكونات نووية (على سبيل المثال، عنقود نجمي أو شريط نووي أو قرص أو حلقة). تم التحقق من وجود الأقراص والقضبان في تحليلاتنا، كلما أمكن ذلك، من خلال اللجوء إلى الأدبيات، بما في ذلك الأدلة الحركية لدوران القرص. قمنا بإجراء هذا التحلل متعدد المكونات باستخدام ملمح السطوع السطحي على طول المحور الرئيسي للمجرة بالإضافة إلى ما يسمى “المحور المكافئ”، والذي يمثل محورًا شعاعيًا مكافئًا لشكل دائري من متماثلات المجرة شبه الإهليلجية، بحيث يظل إجمالي اللمعان المغلق محفوظًا⁸⁸ 8 نصف قطر المحور المكافئ، $R_{\rm eq}$ ، للإيزوفوت هو الوسط الهندسي لنصف قطر المحور الرئيسي والثانوي للإيزوفوت ( $R_{\rm maj}$ و $R_{\rm min}$ ، على التوالي)، أي $R_{\rm eq}=\sqrt{R_{\rm maj} \times R_{\rm min}}$ أو $R_{\rm eq}=R_{\rm maj} \sqrt{1-e_{\rm maj}}$ (يرى Ciambur, 2015, 2016, لمزيد من التفاصيل حول نمذجة المجرة متساوية الضوء، والتحلل متعدد المكونات، والمحور المكافئ الدائري)..

تزودنا عملية التحلل متعدد المكونات بملامح السطوع السطحي لمكونات المجرة الفردية ومورفولوجيا المجرة التفصيلية، مما يشير إلى وجود قرص دوار، ونواة مستنفد، وقضيب، وما إلى ذلك. أحد أكثر مكونات المجرة ملاحظة هو الانتفاخ، الذي يتم وصف توزيع سطوع سطحه باستخدام الدالة Sérsic (1963) (معادلة الملحق A1)، والتي يتم تحديد معلماتها بواسطة مؤشر Sérsic ( $n_{\rm sph}$ )، ونصف قطر نصف الضوء الفعال ( $R_{\rm e, sph}$ )، والسطوع السطحي عند نصف قطر نصف الضوء ( $\mu_{\rm e, sph}= -2.5\log I_{\rm e,sph}$ ). تظهر ملامح السطوع السطحي للمكوّنات الكروية، محسوبة على المحور المكافئ، لعينة $\rm 3.6\,\mu m$ (Spitzer) في الشكل 1.

للحصول على توزيع الكثافة الكتلية النجمية الداخلية (منزوعة الإسقاط) للمكوّن الكروي، $\rho(r)$ ، أجرينا تحويل Abel معكوس (Abel, 1826) لملامح سطوع سطح المكوّن الكروي المكافئ (المتماثل دائريًا) ذات المحور المكافئ. يتم عرض الحساب الرقمي لملامح الكثافة الداخلية والمقارنة مع نموذج الكثافة Prugniel & Simien (1997) (تقريب لإزالة الإسقاط الدقيقة لملمح Sérsic) في قسم الملحق A.

Refer to caption — Figure 1: اللوحة اليسرى: ملامح السطوع السطحي للمكوّن الكروي (Sérsic) لعينة $\rm 3.6\, \mu$ m الخاصة بنا. اللوحة اليمنى: يتم تطبيع المحور الأفقي عند نصف قطر الضوء (المسقط) لكل كروي. يتتبع تسلسل الألوان الأزرق والأبيض والأحمر كتلة الثقب الأسود المتزايدة ويساعد في فهم الاتجاهات الإيجابية/السلبية التي لوحظت بين $M_{\rm BH}$ والسطوع السطحي الكروي (والكثافة الكتلية النجمية المسقطة) الواردة في القسم 3.

Figure 1: اللوحة اليسرى: ملامح السطوع السطحي للمكوّن الكروي (Sérsic) لعينة $\rm 3.6\, \mu$ m الخاصة بنا. اللوحة اليمنى: يتم تطبيع المحور الأفقي عند نصف قطر الضوء (المسقط) لكل كروي. يتتبع تسلسل الألوان الأزرق والأبيض والأحمر كتلة الثقب الأسود المتزايدة ويساعد في فهم الاتجاهات الإيجابية/السلبية التي لوحظت بين $M_{\rm BH}$ والسطوع السطحي الكروي (والكثافة الكتلية النجمية المسقطة) الواردة في القسم 3.

المعلمات الكروية المطلوبة لحساب كثافات الكتلة النجمية المسقطة والداخلية، على سبيل المثال، معلمات سطوع سطح الانتفاخ ( $n_{\rm sph}, \, R_{\rm e, sph}, \, \mu_{\rm e, sph}$ )، إلى جانب مورفولوجيا المجرة، والمسافات، والمقياس الفيزيائي (arcsec-to-kpc)⁹⁹ 9 تم حساب مقياس arcsec-to-pc باستخدام المعلمات الكونية من Planck Collaboration et al. (2018).، ونسبة الكتلة إلى الضوء النجمية، ومعلومات نطاق الصورة لجميع المجرات 123 هي متوفر في Sahu et al. (2020, ملحق الجدول A1). Sahu et al. (2020) يقوم أيضًا بجدولة كتل الثقب الأسود المركزي المقاسة بشكل مباشر والكتل النجمية المنتفخة ( $M_{\rm *, sph}$ ) لهذه المجرات 123.

هنا، استبعدنا المجرات NGC 404، NGC 4342، NGC 4486B، ودرب التبانة طوال تحقيقنا، ما لم ينص صراحة على خلاف ذلك. NGC 404 هي المجرة الوحيدة التي لديها كتلة ثقب أسود أقل من $10^6 \, \rm M_\odot$ (Nguyen et al., 2017) وقد تشوه/تحيز النتائج. تتمتع كتلة الثقب الأسود المنشورة بمجال تأثير أصغر بخمس مرات من مجال الرؤية ( $\rm \sim \, 0.1\arcsec$ ) الذي تم قياسه تحته. تم تجريد NGC 4342 وNGC 4486B بشكل كبير من كتلتهما بسبب سحب الجاذبية للمجرات المرافقة الضخمة لهما (يرى Batcheldor et al., 2010; Blom et al., 2014). بالنسبة لدرب التبانة، لم تتم معايرة ملمح السطوع السطحي المتوفر (Kent et al., 1991; Graham & Driver, 2007) للحصول على ملمح كثافة معاير. استبعاد هذه المجرات يترك لنا عينة مخفضة من المجرات 119.يتم عرض جميع المجرات المستبعدة من الانحدارات الخطية (التي يتم إجراؤها للحصول على علاقات التحجيم المعروضة هنا) برمز مختلف في المخططات التالية.

نحن نستخدم الأخطاء المرتبطة ثنائية المتغير وانحدار التشتت الجوهري (bces) (Akritas & Bershady, 1996) للحصول على علاقات قياس الثقب الأسود. bces هو تعديل لانحدار المربعات الصغرى العادية. وهو يأخذ في الاعتبار أخطاء القياس في كلا المتغيرين (والارتباط المحتمل بينهما) ويسمح بالتشتت الجوهري في التوزيع. نحن نفضل استخدام الخط bces(bisector)¹⁰¹⁰ 10 وحدة Python التي كتبها (Nemmen et al., 2012) متاحة على https://github.com/rsnemmen/BCES. الذي تم الحصول عليه عن طريق التناظر المتماثل للخط bces( $Y|X$ ) (مما يقلل من متوسط مربع الجذر المرجح للخطأ، وrms، والإزاحات الرأسية حول الخط المجهز) والخط bces( $X|Y$ ) (الذي يقلل من الإزاحات الأفقية المرجحة للخطأ حول هذا الخط المجهز المختلف). نحن نفعل ذلك جزئيًا لأنه من غير المعروف ما إذا كانت كثافة المكوّن الكروي المضيف متغيرًا مستقلاً وكتلة الثقب الأسود المركزي متغيرًا تابعًا، أو العكس، أو إذا كان هناك تفاعل. نحن أيضًا نتحقق من أفضل المعلمات لدينا باستخدام التطبيق المتماثل (Novak et al., 2006) للانحدار غير المتماثل جوهريًا (المعدل fitexy) المعروف باسم mpfitexy¹¹¹¹ 11 متوفر عند https://github.com/mikepqr/mpfitexy. الانحدار (Markwardt, 2009; Williams et al., 2010).

حالات عدم اليقين في $M_{\rm BH}$ ، ومعلمات الملمح الكروي $n_{\rm sph}$ ( $\pm 0.09$ dex)، $R_{\rm e,sph}$ ( $\pm 0.13$ dex)، و $\mu_{\rm e,sph}$ ( $\pm 0.58 \, \rm mag \, arcsec^{-2}$ أو $\pm 0.23$ dex في $\mu_{\rm e,sph}/2.5$ ) مأخوذة من Sahu et al. (2020, راجع قسمهم 2 لمزيد من التفاصيل). عدم اليقين في الكثافة الداخلية ( $\rho_e$ ) عند نصف قطر داخلي يساوي نصف قطر نصف الضوء المسقط ( $R_{\rm e,sph}$ ) — تم الحصول عليه عن طريق نشر الأخطاء في المعلمات الكروية من خلال التعبير التحليلي (المعادلة A7) — هي $\sim \pm 0.30$ dex. بالنسبة للكثافات في أنصاف أقطار أخرى، يوفر انتشار الخطأ (بافتراض معلمات مستقلة) من خلال تعبير الكثافة الداخلية (المعادلة A6) قدرًا أكبر من عدم اليقين بسبب التكرارات المتعددة لـ $n_{\rm sph}$ و $R_{\rm e,sph}$ ، بالإضافة إلى $\rho_e$ . من المحتمل أن يكون هناك مبالغة في تقدير هذه الشكوك، ويمكن أن تؤثر على الخطوط الأكثر ملائمة. لذلك، استخدمنا عدم يقين ثابت قدره $\pm 0.23$ dex على كثافات الكتلة المسقطة ( $\Sigma$ )، وبالمثل، استخدمنا عدم يقين ثابت قدره $\pm 0.30$ dex على الكثافات الداخلية لجميع الارتباطات، ما لم يُنص على خلاف ذلك. بالإضافة إلى ذلك، نقوم باختبار ثبات علاقاتنا المتبادلة (منحدراتها وتقاطعاتها) باستخدام نطاق من عدم اليقين (من صفر إلى $\pm 0.38$ dex) للكثافة المسقطة والداخلية.

3 كتلة الثقب الأسود مقابل الكثافة الكروية المسقطة

3.1 السطوع السطحي المركزي وكثافة الكتلة المسقطة: $\rm \mu_0 \, \& \, \Sigma_0$

Figure 2: اللوحة اليسرى: كتلة الثقب الأسود مقابل السطوع السطحي المركزي (في نظام القدر AB) للأجرام الشبه الكروية باستخدام عينة $\rm 3.6 \, \mu m$ . اللوحة اليمنى: كتلة الثقب الأسود مقابل الكثافة الكتلية النجمية المركزية المسقطة، بما في ذلك المجرات 22 غير Spitzer. يمثل الخط الأخضر الداكن أفضل ملاءمة تم الحصول عليها من الانحدار bces(bisector). تحدد المنطقة المظللة باللون الأخضر الداكن حول الخط الأكثر ملائمة منطقة عدم اليقين $\pm 1\sigma$ على المنحدر والتقاطع، وتحدد المنطقة المظللة باللون الأخضر الفاتح $\pm 1 \sigma$ تشتت جذر متوسط التربيع في البيانات. ويتبع نفس الوصف لجميع الارتباطات الأخرى المقدمة في هذه الورقة. بالنسبة لكل من مجرات Sérsic وcore-Sérsic، تم الحصول على $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ و $\Sigma_{\rm 0, sph}$ من خلال الاستقراء الداخلي للجزء Sérsic من ملامح مكوّناتها الكروية. تعاني مجرات core-Sérsic من نقص في الضوء في مركزها، وبالتالي فإن قيم $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ الموضحة هنا أكثر سطوعًا من القيمة الفعلية. تم تمييز المجرات المستبعدة من الانحدار بنجمة سوداء.

لدراسة العلاقة بين كتلة الثقب الأسود والسطوع السطحي المركزي للجسم الكروي المضيف ( $\mu_{\rm 0, sph}$ )، والذي يعتمد على نطاق الطول الموجي للصورة، استخدمنا عينة $\rm 3.6\, \mu m$ المكونة من مجرات 97 من العينة المخفضة للمجرات 119 (انظر القسم 2). يتضمن ذلك 72 مجرة Sérsic، أي المجرات التي يصف سطوع سطح مكوّنها الكروي ملمح Sérsic، و25 مجرة core-Sérsic، أي المجرات ذات النواة المركزية المستنفدة التي يوصف ملمح مكوّنها الكروي بقانون قوة مركزي ضحل متبوعًا بدالة Sérsic عند أنصاف أقطار أكبر (يرى Graham et al., 2003).

باستخدام معلمات السطوع السطحي (المحور المكافئ) ( $n_{\rm sph}$ ، $\rm R_{\rm e,sph}$ ، و $\rm \mu_{\rm e,sph}$ ) للأجرام الشبه الكروية، قمنا بحساب $\mu_{\rm 0, sph}$ عبر $\rm \mu_0=\mu_e -2.5\log e^{b}$ (المعادلة A1 عند R=0)، أي الاستقراء إلى الداخل لملاءمة Sérsic مع ملمح السطوع السطحي للمكوّن الكروي.من المهم أن نلاحظ أنه بالنسبة لمجراتنا core-Sérsic، تم الحصول على $\mu_0$ من خلال الاستقراء إلى الداخل لجزء Sérsic من ملمح مكوّنها الكروي (كما في الرسم البياني $L_{\rm gal}$ – $\mu_0$ Jerjen et al., 2000). وذلك لأن حجم النواة المنضب يكون عمومًا أصغر بكثير من الدقة المكانية $\rm \sim \, 2\arcsec$ لصور IRAC (يرى Dullo & Graham, 2014)، وعلى هذا النحو، فإن معلمات ( $\rm 3.6\, \mu m$ -النطاق) لقانون الطاقة المركزي للمكوّنات الكروية core-Sérsic ليست دقيقة¹²¹² 12 تم تأكيد وجود النوى من خلال صور HST الأصغر حجمًا عالية الدقة في مجال الرؤية والأدبيات عند توفرها.. وبالتالي، فإن $\mu_0$ المستخدم هنا للمجرات ذات القلب يمثل سطوع سطحها المركزي قبل التأثير الضار للثقوب السوداء الثنائية، والذي سيؤدي إلى انحراف المجرات ذات القلب عن خط الاتجاه الأولي $M_{\rm BH}$ – $\mu_0$ . هذا هو الحال مع مجموعات ETG المحفورة في المخطط $M_{\rm *,gal}$ – $\mu_0$ الموضح في Graham & Guzmán (2003, رقمهم 9)، والذي يمثل النقص في الكتلة المركزية/الضوء في المجرات ذات القلب.

المجرات ذات $n_{\rm sph}$ العالية M 59 وNGC 1399 (محفورة) وNGC 3377 تتميز بالنجوم السوداء ولديها ألمع $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ ( $\sim 3 \rm \, mag \, arcsec^{-2}$ ) في الشكل 2. وهي تقع خارج نطاق التشتت $2\sigma$ لمجموعة البيانات المتبقية ولها تأثير كبير على الخط الأكثر ملاءمة، بحيث يؤدي تضمين هذه المجرات الثلاث في الانحدار إلى تغيير الميل بمقدار $1\sigma$ . لذلك، تم استبعاد هذه المجرات الثلاث من الانحدار (بالإضافة إلى الاستثناءات الأربعة المذكورة في القسم 2) للحصول على العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ والعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm 0,sph}$ المذكورة هنا.

تم الحصول على العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ ¹³¹³ 13 عدم اليقين الذي خصصناه لـ $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ هو 0.58 $\rm mag \, arcsec^{-2}$ (نفس الشيء الذي تم تعيينه لـ $\mu_{\rm e, 3.6\mu m, sph}$ ); ومع ذلك، يتم الحصول على علاقات متسقة عند استخدام ما يصل إلى 2 $\rm mag \, arcsec^{-2}$ عدم اليقين. المرسومة في اللوحة اليسرى من الشكل 2 باستخدام المجرات 94 (Sérsic +core-Sérsic) المجرات ذات $\rm 3.6\, \mu m$ بيانات التصوير، ويمكن التعبير عنها كـ،

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(-0.41\pm 0.04)\,\left[\mu_{\rm 0,3.6\mu m,sph}-\frac{13\,mag}% {arcsec^{2}}\right]$
	$\displaystyle+\>(7.97\pm 0.10).$				(1)

إجمالي (خطأ القياس والتشتت الجوهري) تشتت rms ( $\Delta_{\rm rms|BH}$ ) هو 1.03 dex في الاتجاه $\log (M_{\rm BH})$ . يحدد هذا الارتباط كيف أن المكوّنات الكروية (Sérsic) التي تستضيف ثقوبًا سوداء أكثر ضخامة تتمتع بسطوع سطح مركزي أكثر سطوعًا، وهو ما يتوافق نوعيًا مع التنبؤ الخطي للعلاقة $\log (M_{\rm BH})$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ في Graham & Driver (2007, معادلتهم 9 بناءً على بيانات النطاق B). يمكن أيضًا استنتاج هذا الاتجاه من الملامح الكروية المرسومة في اللوحة اليسرى من الشكل 1، حيث بالنسبة لـ R الذي يميل إلى الصفر، $\mu$ يصبح أكثر سطوعًا عند الانتقال من المستوى المنخفض $M_{\rm BH}$ (الملامح الزرقاء) إلى المستوى العالي $M_{\rm BH}$ (الملامح الحمراء).

في مخططنا $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ (الشكل 2)، يتم تمثيل مجرات core-Sérsic بالقيمة $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ التي من المفترض أن تكون لها في الأصل إذا لم تخضع مراكزها لاستنفاد¹⁴¹⁴ 14 إن عجز الضوء في مركز مجرات core-Sérsic هو عمومًا جزء صغير فقط ( $5\%$ , متوسط القيمة من الجدول 5 في Dullo, 2019) من إجمالي ضوءها الكروي. هذا الكسر متغير ويمكن قياسه كميًا تقريبًا لـ $M_{\rm *,sph}$ إذا قمنا بدمج العلاقة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ العلاقة (على سبيل المثال، من Sahu et al., 2019b) مع العلاقة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,def}$ من الأدبيات (على سبيل المثال، Graham, 2004; Ferrarese et al., 2006; Dullo & Graham, 2014; Savorgnan & Graham, 2015). من الضوء بسبب اندماج ثنائيات BH في عمليات الاندماج الكبرى الجافة (Begelman et al., 1980). ومن ثم، لا ينبغي للمرء استخدام العلاقة المذكورة أعلاه لتقدير $M_{\rm BH}$ باستخدام السطوع السطحي المركزي الفعلي (المستنفد) ( $\mu_{\rm 0,core}$ ) للمجرات ذات القلب، بدلاً من ذلك، يمكن استخدام $\mu_{\rm 0}$ المستقرأ من جزء Sérsic من ملمح مكوّنها الكروي. يتضاءل $\mu_{\rm 0,core}$ الفعلي للمجرات core-Sérsic بزيادة $M_{\rm *,gal}$ (Graham & Guzmán, 2003).

لتضمين العينة المتبقية (غير Spitzer) من المجرات 22، قمنا بتعيين قيم السطوع السطحي المركزي، $\mu_{\rm 0, sph}$ ، لالكثافة الكتلية النجمية للسطح المركزي ( $\Sigma_{\rm 0,sph}$ ) مع وحدات الكتلة الشمسية لكل فرسخ فلكي مربع ( $\rm M_\odot \, pc^{-2}$ ) باستخدام المعادلة A5. لقد حصلنا على علاقة لوغاريتمية خطية موجبة $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm 0,sph}$ ، والتي يتم تمثيلها في اللوحة اليمنى من الشكل 2. يتم توفير العلاقة الأكثر ملائمة في الجدول 1، إلى جانب (الجوهري¹⁵¹⁵ 15 تجدر الإشارة إلى أن هذا يعتمد على عدم اليقين في المعلمة المعتمدة. والإجمالي) لتشتت جذر متوسط تربيع، ومعامل ارتباط بيرسون، ومعامل ارتباط ترتيب سبيرمان. إن العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, 3.6\mu m, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm 0,sph}$ التي تم الحصول عليها باستخدام مجرات Sérsic فقط تتوافق مع العلاقات التي تم الحصول عليها عند تضمين مجرات core-Sérsic.

$\log M_{\rm BH}$ — Table 1: الارتباطات بين كتلة الثقب الأسود والكثافة المسقطة للجسم الكروي

Category	Number	$\log(M_{\rm BH}/M_{\odot})=(Slope)\,X+(Intercept)$	$\epsilon$	$\Delta_{\rm rms\|BH}$	$r_{p}$	$r_{s}$
		Central Surface Brightness (Figure 2, left-hand panel)
$\rm 3.6\,\mu$ m sample	94^a^aتم تنفيذ الانحدار بعد استبعاد ثلاثة قيم متطرفة، راجع القسم 3.1 لمزيد من التفاصيل.	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-0.41\pm 0.04)\,[\mu_{\rm 0,3.6\mu m% ,sph}-13\,\rm mag\,arcsec^{-2}]+(7.97\pm 0.10)$	1.00	1.03	-0.52	-0.51
		Central Projected Mass Density (Figure 2, right-hand panel)
All types	116^a^aتم تنفيذ الانحدار بعد استبعاد ثلاثة قيم متطرفة، راجع القسم 3.1 لمزيد من التفاصيل.	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(0.91\pm 0.06)\,\log\left(\rm\Sigma_{% \rm 0,sph}/10^{6}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.38\pm 0.09)$	0.92	0.95	0.57	0.58
		Projected density within 1 kpc (Figure 3, left-hand panel)
All types	119	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(2.69\pm 0.18)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm 1kpc,sph}/10^{3.5}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(7.84\pm 0.07)$	0.57	0.69	0.78	0.80
		Projected density within 5 kpc (Figure 3, right-hand panel)
All types	119	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(1.87\pm 0.10)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm 5kpc,sph}/10^{2}\,M_{\sun}pc^{2.5}\right)+(8.13\pm 0.05)$	0.51	0.59	0.83	0.84
		Effective Surface Brightness at $R_{\rm e,sph}$ (Figure 5, left-hand panel)
LTGs ( $\rm 3.6\,\mu$ m sample)	26	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(0.77\pm 0.12)\,[\mu_{\rm e,3.6\mu m,% sph}-19\,\rm mag\,arcsec^{-2}]+(7.84\pm 0.17)$	0.75	0.85	0.51	0.54
ETGs ( $\rm 3.6\,\mu$ m sample)	71	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(0.47\pm 0.04)\,[\mu_{\rm e,3.6\mu m,% sph}-19\,\rm mag\,arcsec^{-2}]+(7.95\pm 0.11)$	0.78	0.83	0.57	0.57
E ( $\rm 3.6\,\mu$ m sample)	35	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(0.97\pm 0.10)\,[\mu_{\rm e,3.6\mu m,% sph}-19\,\rm mag\,arcsec^{-2}]+(6.24\pm 0.34)$	1.03	1.14	0.05	0.08
ES/S0 ( $\rm 3.6\,\mu$ m sample)	36	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(0.76\pm 0.10)\,[\mu_{\rm e,3.6\mu m,% sph}-19\,\rm mag\,arcsec^{-2}]+(8.41\pm 0.15)$	0.81	0.92	0.36	0.35
		Projected Density at $R_{\rm e,sph}$ (Figure 5, middle panel)
LTGs	39	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.56\pm 0.22)\,\log\left(\rm\Sigma_% {\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(7.75\pm 0.15)$	0.69	0.77	-0.43	-0.43
ETGs	80	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.11\pm 0.08)\,\log\left(\rm\Sigma_% {\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.31\pm 0.09)$	0.76	0.81	-0.55	-0.52
E	40	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.01\pm 0.39)\,\log\left(\rm\Sigma_% {\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.14\pm 0.35)$	0.73	0.76	-0.004	-0.01
ES/S0	40	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.60\pm 0.27)\,\log\left(\rm\Sigma_% {\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.78\pm 0.18)$	0.76	0.85	-0.35	-0.32
		Projected Density within $R_{\rm e,sph}$ (Figure 5, right-hand panel)
LTGs	39	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.69\pm 0.28)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.45\pm 0.27)$	0.71	0.80	-0.37	-0.40
ETGs	80	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.24\pm 0.10)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.96\pm 0.10)$	0.76	0.82	-0.53	-0.50
E	40	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.06\pm 0.59)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(8.75\pm 0.18)$	0.71	0.74	-0.02	-0.02
ES/S0	40	$\log\left(M_{\rm BH}/\rm M_{\sun}\right)=(-1.62\pm 0.38)\,\log\left(\rm\langle% \Sigma\rangle_{\rm e,sph}/10^{3}\,M_{\sun}pc^{-2}\right)+(9.54\pm 0.37)$	0.78	0.87	-0.27	-0.25

3.2 كثافة الكتلة المسقطة ضمن 1 كيلو فرسخ فلكي: اكتناز المكوّن الكروي $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$

Figure 4: إجمالي تشتت جذر متوسط التربيع العمودي في العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ كدالة لـ $R_{\rm sph}$ .

تم استخدام الكثافة الكتلية النجمية المسقطة ( $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc}$ ) داخل 1 كيلو فرسخ فلكي للمجرة كمقياس للمجرة “الاكتناز” (Barro et al., 2017; Ni et al., 2020)، وللتعرف على المجرات المدمجة التي تشكل النجوم (Suess et al., 2021). ومن المثير للاهتمام، أنه بالنسبة للمجرات المكونة للنجوم $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc}$ فقد وجد أنها ترتبط بنمو الثقب الأسود¹⁶¹⁶ 16 يتم تفسير العلاقة بين نمو الثقب الأسود والكثافة الكتلية النجمية للمجرة المضيفة من خلال افتراض وجود علاقة خطية بين الكثافة النجمية وكثافة الغاز في المجرات المكونة للنجوم (يرى Lin et al., 2019, والمراجع فيها). وبالتالي، فإن القيمة العالية البالغة $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc}$ للمجرة المكونة للنجوم تشير إلى كثافة غاز عالية، ومن المعروف أن وفرة الغاز في المناطق الداخلية للمجرة تعزز نمو الثقب الأسود (Dekel et al., 2019; Habouzit et al., 2019).، وقد اقترح أن هذا الارتباط أقوى من العلاقة بين نمو الثقب الأسود وكتلة المجرة النجمية المضيفة (يرى Ni et al., 2020). بالإضافة إلى ذلك، فقد اقترح أن $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc}$ هو مؤشر أفضل لنمو الثقب الأسود من الكثافة الكتلية النجمية المسقطة داخل نصف قطر المجرة نصف الضوء والكثافة المسقطة داخل ثابت آخر (أصغر أو أكبر) (على سبيل المثال، 0.1 كيلو فرسخ فلكي، 10 كيلو فرسخ فلكي) نصف قطر (Ni et al., 2019, 2020).

نحن هنا نتحقق من وجود علاقة محتملة بين كتلة الثقب الأسود ومتوسط الكثافة الكتلية النجمية المسقطة ( $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ ) داخل 1 كيلو فرسخ فلكي داخلي للجسم الكروي المضيف. وبالتالي، فإننا نشير إلى $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ على أنه الاكتناز الكروي. معظم عيناتنا التي تم قياسها مباشرة $M_{\rm BH}$ هي هادئة، مع $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ أكبر من القيمة الحرجة/العتبة ( $\rm \langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc}=3 \times 10^3 \, M_\odot \, pc^{-2}$ , Cheung et al., 2012) المستخدمة لتحديد المجرات الهادئة (Hopkins et al., 2021). بالإضافة إلى ذلك، اكتشفنا كيفية مقارنة العلاقة بين $M_{\rm BH}$ والاكتناز الكروي مع العلاقة بين $M_{\rm BH}$ وكثافات الشكل الكروي عند/داخل أنصاف أقطار أخرى.

نجد ارتباطًا وثيقًا $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ (اللوحة اليسرى في الشكل 3)، حيث يبدو أن جميع أنواع المجرات (ETGs+LTGs) تتبع علاقة إيجابية واحدة¹⁷¹⁷ 17 هنا، نستخدم قيمة عدم اليقين $30\%$ (0.13 dex) على قيم $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ (والتي تمت مناقشتها لاحقًا $\langle \Sigma \rangle_{\rm 5 kpc,sph}$ ). يتم الحصول على علاقات متسقة عند استخدام ما يصل إلى $40\%$ (0.17 dex) من عدم اليقين.، بحيث

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(2.69\pm 0.18)\log\left(\frac{\langle\Sigma\rangle_{\rm 1kpc,% sph}}{\rm 10^{3.5}\,M_{\odot}\,pc^{-2}}\right)$
	$\displaystyle+\>(7.84\pm 0.07),$				(2)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.69$ dex (انظر الجدول 1 لمعرفة معاملات الارتباط). وبالمثل، نرى أيضًا اتجاهًا إيجابيًا بين $M_{\rm BH}$ وكثافة العمود (الكتلة النجمية) ضمن نصف قطر كروي متوقع آخر (على سبيل المثال، 0.01 kpc، 0.1 kpc، 5 kpc، 10 kpc). يتضح هذا الاتجاه الإيجابي من توزيع الملامح الكروية في اللوحة اليسرى من الشكل 1، حيث، على جميع الأقطار الثابتة، تكون الملامح الأكثر احمرارًا ذات $M_{\rm BH}$ الأعلى أكثر سطوعًا من الملامح الأكثر زرقة ذات $M_{\rm BH}$ الأقل.

العلاقة بين $M_{\rm BH}$ والكثافة داخل أنصاف الأقطار المادية الثابتة الأصغر من 1 kpc ( $\langle \Sigma \rangle_{\rm 0.01 kpc,sph}$ و $\langle \Sigma \rangle_{\rm 0.1 kpc,sph}$ ) ليست ضيقة مثل العلاقة المذكورة أعلاه (المعادلة 3.2). ومع ذلك، نجد ارتباطات $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ أفضل لـ $\rm R > 1\, kpc$ ، مع ميل أقل عمقًا تدريجيًا وتشتت أصغر من العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ . على سبيل المثال، العلاقة بين $M_{\rm BH}$ و $\langle \Sigma \rangle_{\rm 5 kpc,sph}$ موضحة في اللوحة اليمنى من الشكل 3. يمكن التعبير عنها كـ ،

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(1.87\pm 0.10)\log\left(\frac{\langle\Sigma\rangle_{\rm 5kpc,% sph}}{\rm 10^{2.5}\,M_{\odot}\,pc^{-2}}\right)$
	$\displaystyle+\>(8.13\pm 0.05),$				(3)

مع إجمالي تشتت جذر متوسط تربيعي قدره $\Delta_{\rm rms|BH}=0.59$ dex. ويُبيَّن تشتت rms حول العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ كدالة في R في الشكل 4. ويتقارب التشتت إلى $\sim 0.58\pm 0.01$ dex بعد 5 kpc.

إن التشتت المنخفض (0.69 dex) حول العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ نسبة إلى 0.95 dex تشتت حول العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm 0,sph}$ (الجدول 1) و (تتم مناقشته قريبًا) $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ تشير العلاقات إلى أن $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1kpc,sph}$ هو متنبئ أفضل لـ $M_{\rm BH}$ من كثافات الكتلة المسقطة الأخيرة. ومع ذلك، فإن العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ لـ $\rm R> 1$ kpc أقوى، مما يعكس فصل التشكيلات الجانبية $\langle \mu \rangle$ (و $\langle \Sigma \rangle$ ) عند نصف قطر كبير.

3.3 السطوع السطحي والكثافة المسقطة عند نصف قطر نصف الضوء: $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph} \, \& \, \Sigma_{\rm e,sph}$

باستخدام عينة $\rm 3.6\, \mu m$ ، نرى اتجاهًا إيجابيًا بين $M_{\rm BH}$ والسطوع السطحي ( $\mu_{\rm e, sph}$ ) عند نصف قطر نصف الضوء المسقط للأشكال الشبه الكروية (الشكل 5). يتوافق القدر الأعلى من $\mu_{\rm e, sph}$ مع كثافة لمعان أقل؛ وبذلك نجد علاقة تناقصية بين $M_{\rm BH}$ وكثافة اللمعان الفعالة. نلاحظ أن ETGs وLTGs في عينتنا تحدد علاقتين مختلفتين $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ ، والتي يتم تمثيلها في اللوحة اليسرى من الشكل 5. تحدد ETGs العلاقة التالية،

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(0.47\pm 0.04)\,\left[\mu_{\rm e,3.6\mu m,sph}-\frac{19\,mag}{% arcsec^{2}}\right]$
	$\displaystyle\>+\,(7.95\pm 0.11),$				(4)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.83$ dex. في حين أن LTGs تتبع علاقة أكثر حدة مقدمة من

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(0.77\pm 0.12)\,\left[\mu_{\rm e,3.6\mu m,sph}-\frac{19\,mag}{% arcsec^{2}}\right]$
	$\displaystyle\>+\,(7.84\pm 0.17),$				(5)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.85$ dex.

من أجل تضمين العينة الكاملة، قمنا بتعيين $\mu_{\rm e, sph}$ ( $\rm mag \, arcsec^{-2}$ ) إلى $\Sigma_{\rm e,sph}$ ( $\rm M_\odot pc^{-2}$ ) باستخدام المعادلة A5، واستعدنا اتجاهين محددين بواسطة ETGs وLTGs في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ . تمت ملاحظة اتجاهات مماثلة بسبب ETGs وLTGs في المخطط $M_{\rm BH}$ –( $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ، متوسط الكثافة المسقطة ضمن $R_{\rm e,sph}$ ). تم توضيح العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ، على التوالي، في اللوحة الوسطى واليمنى من الشكل 5. يتم توفير معلمات الملاءمة ومعاملات الارتباط لهذه التوزيعات في الجدول 1.

بالنسبة للمجرات من النوع المبكر، فإن لمعان (أو كتلة) المجرة له علاقة منحنية مع سطوع سطح المجرة عند/داخل أي نطاق نصف قطر، $R_{\rm z, sph}$ ، متضمنًا (غير صفر) $\rm z\%$ من إجمالي ضوء المجرة (Graham, 2019b). يتضمن ذلك العلاقة بين لمعان المجرة وسطوع سطح المجرة عند/داخل نصف قطر الضوء ( $\rm z=50\%$ )، أي $M_{\rm *, gal}$ – $\mu_{\rm e, gal}$ أو $M_{\rm *, gal}$ – $\langle \mu \rangle_{\rm e, gal}$ (يرى Graham, 2019b, رقمهم 3). وبالمثل بالنسبة للأجرام الشبه الكروية، من المتوقع أن تكون العلاقات $M_{\rm *, sph}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ (أيضًا $\Sigma_{\rm e,sph}$ , و $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) منحنية، كما هو موضح في الشكل 5. يتم التنبؤ بهذه العلاقات المنحنية لـ ETGs وLTGs باستخدام العلاقات $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ (Sahu et al., 2019b) و $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, 3.6 \mu m, sph}$ العلاقات المحددة بواسطة الفئتين المورفولوجيتين لنطاق $M_{\rm BH}$ لعينتنا، ومواصلة تطبيق المعادلة $\mu_{\rm e, sph}=\mu_{\rm 0, sph}+ \rm 2.5 \, b_n/ln(10)$ (أو $\Sigma_{\rm e,sph}=\Sigma_{\rm 0,sph}- \rm b_n/ln(10)$ ) لتوزيع Sérsic. هنا، يمكن ربط $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ و $\langle \mu \rangle_{\rm e,sph}$ و $\mu_{\rm e, sph}$ من خلال المعادلة 9 في (Graham & Driver, 2005) والمعادلة 11 في (Graham et al., 2006).

وبالتالي، فإن منحدرات الخطوط $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ المجهزة (على سبيل المثال، المعادلتان 3.3 و 3.3) التي تم الحصول عليها هنا تعتمد على النطاق $M_{\rm BH}$ و $\mu_{\rm e, sph}$ للعينة المجهزة. علاوة على ذلك، بما أن ETGs وLTGs يبدو أنها تتبع اتجاهات مختلفة $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ ، فإن المنحنيات المتوقعة $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ (أو $\Sigma_{\rm e,sph}$ , أو $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) يجب أن تكون مختلفة أيضًا بالنسبة لنوعي المجرات.

3.3.1 الإزاحة بين ETGs مع وبدون قرص

Sahu et al. (2019b) لاحظ إزاحة $1.12\pm 0.20$ dex في الاتجاه $M_{\rm BH}$ ، بين مجموعات ETG المزودة بقرص (الأنواع ES وS0) ومجموعات ETG بدون قرص (النوع E)، والتي حددت علاقات متوازية تقريبًا في المخطط $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ . يعتمد حساب $M_{\rm *, sph}$ على الملمح الكروي Sérsic، الذي تم قياسه بواسطة المعلمات $n_{\rm sph}$ ، $R_{\rm e,sph}$ ، و $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ ، وبالتالي يجب أن يكون الإزاحة بين الأنواع ES/S0 وE قد انتشر إلى $M_{\rm *, sph}$ من هذه المعلمات. علاوة على ذلك، أعاد Sahu et al. (2020) ملاحظة هذا الإزاحة ( $1.38\pm 0.28$ dex في الاتجاه $M_{\rm BH}$ ) بين مجموعات ETG مع وبدون قرص في المخطط $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e,sph}$ ، حيث حددت هذه الفئات مرة أخرى علاقات متوازية تقريبًا. (Sahu et al., 2020) لم يبلغ عن أي إزاحة كبيرة بين عينات ETG الفرعية في المخطط $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ . هنا، قمنا بعد ذلك بالتحقق مما إذا كان هناك أي إزاحة بين النوعين ES/S0- وE في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ .

عند فصل مجموعات ETG مع قرص وبدونه، نرى المجموعتين متباعدتين عن بعضهما البعض في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ ، $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ ، و $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ (الشكل 6). ومع ذلك، فإن جودة الملاءمة للعينتين رديئة (انظر الجدول 1)؛ وبالتالي، فمن الصعب تحديد الإزاحة بدقة. علاوة على ذلك، كما تمت مناقشته من قبل، فإن العلاقات الكاملة $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ منحنية. تظهر المنحنيات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, 3.6 \mu m, sph}$ المتوقعة للنوعين E وES/S0 في الشكل 6.يتم حساب هذه المنحنيات أيضًا باستخدام الخطين $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ للمجموعتين السكانيتين مع $\mu_{\rm e, sph}=\mu_{\rm 0, sph}+ \rm 2.5 \, b_n/ln(10)$ . بالإضافة إلى ذلك، بما أن هذه المنحنيات ليست متوازية، فإن الإزاحة بين العلاقات للنوع E والنوع ES/S0 قد لا تكون ثابتة طوال الوقت.

يمكن أيضًا استنتاج العلاقة المتناقصة $M_{\rm BH}$ –(السطوع السطحي الفعال) من توزيع ملامح السطوع السطحي للمكوّن الكروي لعينتنا الموضحة في اللوحة اليمنى من الشكل 1. عند نصف قطر نصف الضوء ( $\rm R/R_e = 1$ ) للأجرام الشبه الكروية، يتضاءل السطوع السطحي عند الانتقال من التشكيلات الجانبية المنخفضة $M_{\rm BH}$ (الأزرق) إلى المرتفعة $M_{\rm BH}$ (الحمراء). أيضًا، نظرًا لملمح الكثافة المسقطة المتناقص شعاعيًا، فإن أنواع ES/S0 ذات $R_{\rm e,sph}$ أصغر من الأنواع E، لديها $\mu_{\rm e,sph}$ أكثر سطوعًا (أعلى $\Sigma_{\rm e,sph}$ و $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) من الأنواع E التي تستضيف $M_{\rm BH}$ مماثلة. هذا هو السبب في أن اتجاه الإزاحة بين النوعين E وES/S0 في هذه المخططات (الشكل 6) يكون معاكسًا للإزاحة التي تظهر في المخططات $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ ، حيث يكون للأنواع ES/S0 حجم أصغر $R_{\rm e, sph}$ و $M_{\rm *, sph}$ من الأنواع E التي تستضيف $M_{\rm BH}$ مماثلة.

4 كتلة الثقب الأسود مقابل الكثافة المكانية الكروية

لقد قمنا بنزع إسقاط ملامح السطوع السطحي Sérsic (المحور المكافئ) للكرات الشبه الكروية للحصول على ملامح كثافة الكتلة المكانية (أي الداخلية)، كما هو موضح في الملحق A. يتم عرض ملامح الكثافة الداخلية¹⁸¹⁸ 18 بالنسبة لارتباطات الثقب الأسود، يتم حساب الكثافة الداخلية عدديًا باستخدام التكامل الدقيق المعبر عنه بالمعادلة A3. ومع ذلك، يتم حساب ملامح الكثافة الداخلية الموسعة في الشكل 7 باستخدام نموذج تقريبي (Prugniel & Simien, 1997). وذلك لأنه، بالنسبة لبعض المكوّنات الكروية، لم يتقارب تكامل الكثافة (المعادلة A3) لتوفير قيمة كثافة صحيحة/حقيقية، خاصة عند نصف القطر الأكبر. علاوة على ذلك، فإن استخدام النموذج التقريبي لا يزال من الممكن أن يفسر الطبيعة النوعية للاتجاهات $M_{\rm BH}$ – $\rho$ التي لوحظت هنا. في الشكل 7. استخدمنا خريطة متسلسلة بالألوان الأزرق والأبيض والأحمر لتمثيل كتل الثقب الأسود المركزي بترتيب متزايد من الكتلة المنخفضة (الأزرق) إلى الكتلة العالية (الأحمر). ستساعد ملامح الكثافة في اللوحات الثلاث في الشكل 7 المرء على فهم الارتباطات القادمة التي تمت ملاحظتها بين كتلة الثقب الأسود والكثافة الداخلية للجسم الكروي المضيف في أنصاف أقطار مختلفة.

على غرار ملامح السطوع السطحي المسقطة، فإن ملامح الكثافة الداخلية (منزوعة الإسقاط)، $\rho(r)$ ، تتناقص بشكل رتيب ويمكن وصفها باستخدام معلمات ملمح السطوع السطحي Sérsic ( $n$ ، $R_{\rm e}$ ، $\rm \mu_e=-2.5 \log I_e$ ، راجع المعادلة A3). المكوّنات الكروية الأصغر والأقل ضخامة، والتي يتم قياسها بشكل عام بواسطة معلمات Sérsic الأصغر ( $n$ و $R_{\rm e}$ )، لها ملمح كثافة داخلية ضحل ينحدر بسرعة عند نصف القطر الخارجي (انظر الملامح الأكثر زرقة في اللوحة اليسرى من الشكل 7). على العكس من ذلك، فإن المكوّنات الكروية الأكثر ضخامة، والتي يشار إليها عمومًا بمعلمات Sérsic الأعلى ( $n$ و $R_{\rm e}$ )، لها ملمح كثافة داخلية أكثر انحدارًا مع كثافة أعلى وانخفاض أقل عمقًا عند نصف قطر كبير (انظر الملامح الحمراء في اللوحة اليسرى من الشكل 7).

يتم قياس المحاور الأفقية في اللوحات الوسطى واليمنى من الشكل 7 باستخدام نصف قطر مجال التأثير ( $r_{\rm soi}$ ) للثقوب السوداء ونصف القطر الداخلي (أو المكاني) نصف الكتلة ( $r_{\rm e, sph}$ ) للمكوّنات الكروية، على التوالي. وهذا يفسر بعض مقاييس الحجم المختلفة المستخدمة وسيساعد في فهم العلاقات المرصودة ( $M_{\rm BH}$ )–(الكثافة الداخلية الكروية) التي تم الكشف عنها في الأقسام الفرعية التالية.

4.1 الكثافة المكانية في مجال تأثير الثقب الأسود: $\rho_{\rm soi, sph}$

استنادًا إلى إزالة الإسقاط الدقيقة لنموذج Sérsic (المعادلات A3) تميل الكثافة الداخلية بالقرب من المركز الكروي، $\rho(r \rightarrow 0)$ ، إلى اللانهاية¹⁹¹⁹ 19 بالنسبة إلى $n=1$ ، $\rho(r \rightarrow 0)$ تميل إلى قيمة محدودة وتميل إلى الصفر بالنسبة إلى $\rm n<1$ (انظر المعادلة A3). وحيث إنه، استنادًا إلى نموذج Prugniel & Simien (1997) (المعادلة A6) والذي يعد تقريبًا لإزالة الإسقاط الدقيقة، فإن $\rho(r \rightarrow 0)$ يميل إلى ما لا نهاية لـ $n \gtrsim 0.6$ . لـ $n>1$ .ومن ثم، كمقياس للكثافة الداخلية المركزية، اخترنا الكثافة الداخلية عند نصف قطر مركزي آخر، حيث تكون إمكانات الجاذبية للثقب الأسود في توازن ديناميكي مع تلك الموجودة في المجرة المضيفة، والمعروفة باسم نصف قطر مجال التأثير ( $r_{\rm soi}$ ) للثقب الأسود. نشير إلى الكثافة المكانية الكروية عند $r_{\rm soi}$ بواسطة $\rho_{\rm soi, sph}$ .

قمنا أولاً بحساب $r_{\rm soi}$ باستخدام التعريف القياسي التالي (Peebles, 1972; Frank & Rees, 1976; Merritt, 2004; Ferrarese & Ford, 2005)،

\displaystyle\rm r_{soi}=\frac{G\,M_{BH}}{\sigma^{2}},

(6)

حيث $\sigma$ هي تشتت السرعة النجمية المركزية (المسقطة) للمجرة المضيفة، والتي من المحتمل أن يهيمن عليها المكون الكروي لمجراتنا. تم أخذ تشتت السرعة النجمية لمجراتنا بشكل أساسي من HyperLeda (Makarov et al., 2014) قاعدة البيانات²⁰²⁰ 20 يتم تجانس تشتيت السرعة النجمية المتوفرة في قاعدة البيانات HyperLeda إلى حجم فتحة ثابت قدره $\sim 0.595$ كيلو فرسخ فلكي., وهي مدرجة في Sahu et al. (2019a, طاولتهم 1). تم حساب قيمة $\rho_{\rm soi, sph}$ عددياً باستخدام المعادلة A3 عند $r=r_{\rm soi}$ . قمنا أيضًا بتضمين مجرات core-Sérsic في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (الشكل 8)، إذ يعتمد $\rho_{\rm soi, sph}$ لها على نزع إسقاط مكوّن Sérsic (المستقرأ إلى الداخل) من ملمح السطوع السطحي core-Sérsic لتلك المجرات.

Figure 8: كتلة الثقب الأسود مقابل الكثافة الكتلية النجمية الداخلية عند $r_{\rm soi}$ (اللوحات العلوية والمتوسطة) وكتلة الثقب الأسود مقابل الكثافة الكتلية النجمية الداخلية (المتوسطة) ضمن $r_{\rm soi}$ (اللوحة السفلية). تُظهر اللوحة العلوية انحدارًا واحدًا (حاشية سفلية 22)، حيث يتم توزيع مجرات core-Sérsic (النجوم السوداء) بطريقة تشير إلى اتجاه $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ مختلف لهذه الأنظمة ذات $n_{\rm sph}$ عالية. جميع نقاط البيانات في هذه اللوحة مرمزة بالألوان وفقًا لمؤشرات Sérsic الخاصة بها. تُظهر اللوحة الوسطى العلاقتين المختلفتين $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ المحددتين بواسطة مجرات Sérsic (الزرقاء) ومجرات core-Sérsic (الحمراء). تم ملاحظة بنية تحتية مماثلة بسبب مجرات Sérsic (منخفضة $n_{\rm sph}$ ) وcore-Sérsic (مرتفعة $n_{\rm sph}$ ) في الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ (اللوحة السفلية). تتم تسمية المجرات المستبعدة. راجع النص الموجود في القسم 4.1 للحصول على التفاصيل. لاحظ أن المحور الأفقي مقلوب بحيث تقل الكثافة عند الانتقال من اليسار إلى اليمين.

في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ سبع مجرات (NGC 404, IC 2560, NGC 3079, NGC 4388, NGC 4826, NGC 5055, NGC 6323) يتم تعويضها بشكل كبير (من المجموعة الرئيسية) نحو انخفاض $M_{\rm BH}$ و $\rho_{\rm soi, sph}$ . تظهر مجرة أخرى (Sérsic)، NGC 0821، متباعدة إلى حد ما نحو $\rho_{\rm soi, sph}$ عالية لكتلة ثقبها الأسود.

NGC 404، وهي المجرة الوحيدة التي تحتوي على ثقب أسود متوسط الكتلة (IMBH) في عينتنا، هي مجرة متطرفة حقيقية، ومن الممكن أن IMBHs قد لا تتبع العلاقات اللوغاريتمية الخطية $M_{\rm BH}$ –(الكثافة النجمية) المحددة بواسطة مضيفي SMBH. لقد تم استبعاده بالفعل من ارتباطاتنا (كما هو مذكور في القسم 2). NGC 5055 لديه تشتت سرعة نجمية مركزية صغير بشكل غير عادي بالنسبة إلى كتلة الثقب الأسود²¹²¹ 21 من الممكن أيضًا أن تكون قيمة $M_{\rm BH}$ في NGC 5055، المقاسة باستخدام النمذجة الديناميكية للغاز، مبالغة في التقدير. (راجع المخطط $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ في Sahu et al., 2019a, رقمهم 2)، مما يؤدي إلى $r_{\rm soi}$ كبير وبالتالي $\rho_{\rm soi, sph}$ صغير.

تحتوي المجرات IC 2560 وNGC 3079 وNGC 4388 وNGC 4826 وNGC 6323 على مؤشرات كروية Sérsic تتراوح بين 0.58 و 1.15; وبالتالي، لديهم كثافة داخلية ضحلة و $\rho_{\rm soi,sph}$ صغير. من ناحية أخرى، تحتوي المجرة Sérsic NGC 0821 على مؤشر Sérsic يبلغ 6.1 وبالتالي، ملمح كثافة داخلية حاد و $\rho_{\rm soi,sph}$ عالية. ويحتوي أيضًا على قرص متوسط الحجم ذو حافة باهتة (Savorgnan & Graham, 2016b)، مما يوحي بحدث تراكم.

إن تضمين المجرات الثماني المذكورة أعلاه يؤدي إلى تحيز كبير للعلاقة الأفضل التي حددتها معظم العينة؛ ومن ثم، فقد استبعدنا هذه المجرات (بالإضافة إلى درب التبانة) من علاقاتنا $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ . هنا، نحن لا نستبعد المجرات المجردة NGC 4342 وNGC 4486B (الموصوفة في القسم 2) لأننا نتعامل مع الكثافة المكانية الكروية في نصف قطر مركزي، والتي قد لا تتأثر بتجريد الكتلة الخارجية لهذه المجرات.

في البداية، أجرينا انحدارًا واحدًا بين $M_{\rm BH}$ و $\rho_{\rm soi, sph}$ باستخدام نموذجنا (Sérsic + core-Sérsic)²²²² 22 يوفر الانحدار الفردي العلاقة $\log \left( M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}} \right )= (-1.27 \pm 0.07) \, \log \left( \rm \rho_{\rm soi, sph}/10^{2.5} \, M_{\sun} pc^{-3} \right)+(8.55 \pm 0.07)$ ، مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.77$ dex.، كما هو موضح في اللوحة العلوية من الشكل 8. لقد لاحظنا أن توزيع مجرات core-Sérsic يتتبع بنية تحتية تتم إزاحتها بشكل منهجي من الخط الأفضل لمجموعة المجرات، مما يشير إلى اتجاه مختلف لهذه العينة الفرعية. ولذلك، أجرينا كذلك انحدارات مختلفة للمجرات core-Sérsic وSérsic، المعروضة في اللوحة الوسطى من الشكل 8. لقد لاحظنا علاقة ضيقة وضحلة للمجرات core-Sérsic، التي قدمها

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(-0.68\pm 0.06)\log\left(\frac{\rho_{\rm soi,sph}}{\rm 10^{2.5% }\,M_{\odot}pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(9.06\pm 0.05),$				(7)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.21$ dex. ومن الغريب أن هذه العلاقة لديها أقل إجمالي تشتت جذر متوسط تربيعي من بين جميع العلاقات علاقات قياس الثقب الأسود²³²³ 23 ويلاحظ أن $r_{\rm soi}$ مشتق من $M_{\rm BH}$ (المعادلة 6). بالنسبة إلى $\sigma$ تقريبًا بين مجرات core-Sérsic، فإن تلك ذات $M_{\rm BH}$ الأكبر لديها $r_{\rm soi}$ أكبر (انظر اللوحة اليسرى من الشكل 7). يتتبع المنحدر في المعادلة 4.1 متوسط المنحدر عبر 20-1000 pc للملامح الجانبية العالية $n$ (الحمراء) في الشكل 7.. بالنسبة للمجرات Sérsic (مع $\rm n \gtrsim 1$ )، وجدنا علاقة أكثر حدة نسبيًا،

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(-1.18\pm 0.10)\log\left(\frac{\rho_{\rm soi,sph}}{\rm 10^{2.5% }\,M_{\odot}pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(8.39\pm 0.10),$				(8)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.77$ dex. يتم عرض معاملات الارتباط للعلاقتين أعلاه في الجدول 2. هنا، كنا بحاجة إلى معرفة $M_{\rm BH}$ مقدمًا لقياس $r_{\rm soi}$ وبالتالي $\rho_{\rm soi, sph}$ ، وإبطال المعادلتين 4.1 و4.1 كأدوات للتنبؤ بكتلة الثقب الأسود ولكن تركها كقيود لعمليات المحاكاة والتنبؤ بـ $\rho_{\rm soi, sph}$ لقيمة معينة $M_{\rm BH}$ عندما لا تكون معلمات السطوع السطحي الكروي المضيف معروفة (كما حدث في Biava et al., 2019, باستخدام علاقات قياس الثقب الأسود الأخرى).

التشتت في العلاقات المذكورة أعلاه أصغر من ذلك الموجود في العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ (و $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm 0, sph}$ )، مما يشير إلى أن $M_{\rm BH}$ لديه علاقة أفضل مع $\rho_{\rm soi, sph}$ ، مما يدعم التنبؤ في Graham & Driver (2007). من تلقاء نفسها، يبدو أن مجرات core-Sérsic ليس لها أي ارتباط في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ (الشكل 2). ومع ذلك، فإن الطبيعة المتداخلة لملامح الكثافة الخاصة بها (مكون Sérsic) في اللوحة اليسرى من الشكل 7 (انظر أيضا Dullo & Graham, 2012, رقمهم 18)، إلى جانب المعادلة 6، تدعم الاتجاه الضيق للمجرات ذات القلب الموضحة في الشكل 8. يمكن فهم التشتت الأصغر الذي لوحظ في العلاقة core-Sérsic من التوزيع الضيق للنقاط السوداء التي تشير إلى $r_{\rm soi}$ و $\rho_{\rm soi, sph}$ على ملامح الكثافة للمكوّنات الكروية core-Sérsic في اللوحة اليسرى من الشكل 7. النقاط الخضراء، التي تحمل علامات $r_{\rm soi}$ و $\rho_{\rm soi, sph}$ على ملامح الكثافة للمجرات الكروية Sérsic هي أكثر تناثرًا، مما يفسر تشتت جذر متوسط التربيع الأعلى حول العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ للمجرات Sérsic.

يشرح الشكل 7 (اللوحة اليسرى) أيضًا سبب وجود علاقة بين كتلة الثقب الأسود ونصف القطر متساوي الضوء أو متساوي الكثافة المقاس عند كثافات باهتة/منخفضة. ومن السهل أن نرى أن استخدام كثافات أقل من أي وقت مضى سيؤدي إلى فصل أكبر بين المنحنيات. نتيجة بسبب اختلاف مؤشرات Sérsic ( $n$ ) والاتجاه بين $M_{\rm BH}$ و $n$ (على سبيل المثال، Graham & Driver, 2007; Sahu et al., 2020).

كما هو الحال مع $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ ، تم العثور على فصل واضح مماثل بين مجرات core-Sérsic وSérsic في الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ الذي يتضمن متوسط الكثافة المكانية داخل $r_{\rm soi}$ ، كما هو موضح في اللوحة السفلية من الشكل 8 (انظر الجدول 2 للتعرف على معلمات الملاءمة). ومع ذلك، فإن التشتت أعلى قليلاً من العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ . مرة أخرى، تجدر الإشارة إلى أن قيم $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ (و $\rho_{\rm soi, sph}$ ) للمكوّنات الكروية core-Sérsic أعلى من القيم الفعلية لأنها تعتمد على إزالة إسقاط الجزء Sérsic (المستقرأ إلى الداخل) من ملامح سطوع سطحها، والتي لا تأخذ في الاعتبار عمدًا نقص الضوء (انظر الحاشية السفلية 14) في الصميم، $r \lesssim R_{\rm b}$ .

بالنسبة للمجرات ذات core-Sérsic، تشير العلاقة $M_{\rm BH} \propto$ (عجز الكتلة النجمية: $M_{*,def}^{0.27}$ ) (Dullo & Graham, 2014, معادلتهم 18) إلى أن المجرات ذات $M_{\rm BH}$ عالية لديها عجز أكبر في الكتلة. عند حساب العجز الكتلي للحصول على $\rho_{\rm soi, sph, core}$ (و $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph, core}$ ) الفعلي، ستتحرك جميع مجرات core-Sérsic نحو مستوى أدنى $\rho_{\rm soi, sph}$ (و $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ )، أي نحو الجانب الأيمن في الشكل 8 (حيث تكون المحاور الأفقية مقلوب). ومع ذلك، فإن المجرات ذات $M_{\rm BH}$ الأعلى يجب أن تتحرك أكثر من المجرات ذات $M_{\rm BH}$ الأدنى، مما يولد ميلًا أقل ضحالة (سالب/منخفض) قليلاً من ميل العلاقة المعروضة هنا (المعادلة 4.1)، ولكن مع الحفاظ على البنية التحتية الظاهرة بين core-Sérsic وSérsic. يمكن تصور الارتباطات السلبية بين $M_{\rm BH}$ و $\rho_{\rm soi, sph}$ (و $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ ) من الترتيب الرأسي للظلال من الأزرق إلى الأحمر (أي، من المنخفض إلى الأعلى $M_{\rm BH}$ ) ملامح الكثافة للمكوّنات الكروية، الموضحة في اللوحة الوسطى من الشكل 7، مع المحور الشعاعي تم تطبيعه عند $r_{\rm soi}$ . بشكل عام، عند نصف قطر التأثير (وأي مضاعف ثابت لنصف القطر هذا يتجاوز $r/r_{\rm soi}=\rm 1$ )، تزداد الكثافة النجمية أثناء الانتقال من $M_{\rm BH}$ العالي (الملامح الحمراء) إلى $M_{\rm BH}$ المنخفضة (الملامح الأكثر زرقة). ينشأ الاتجاه العام (السلبي) $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi,sph}$ لعينتنا من الثقوب السوداء الضخمة التي لها مجالات تأثير أكبر، مقارنة بالثقوب السوداء منخفضة الكتلة، بالإضافة إلى انخفاض كثافة المكوّن الكروي شعاعيًا. ومع ذلك، فإن العلاقات الناتجة للمجرات core-Sérsic وSérsic تعتمد على اختيار العينة، وبالتالي، نطاق ملامح Sérsic المدرجة في كل عينة فرعية، كما تمت مناقشته في القسم الفرعي التالي.

4.1.1 دراسة البنية التحتية core-Sérsic مقابل Sérsic

قد يتساءل المرء عما إذا كانت الهياكل الأساسية في $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (و $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi,sph}$ ) المخططات التي تمت مشاهدتها بين core-Sérsic و قد تكون مجرات Sérsic مرتبطة بتقسيم مماثل لوحظ في المخططات $\rm L$ – $\sigma$ و $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ المخططات (يرى Davies et al., 1983; Held & Mould, 1994; Matković & Guzmán, 2005; Bogdán et al., 2018; Sahu et al., 2019a). قد يكون هذا بسبب أن بعض التقسيم الذي يظهر في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ قد يتأثر باستخدام تشتت السرعة النجمية المركزية أثناء حساب $r_{\rm soi}$ . أو على العكس من ذلك، فإن الهياكل الأساسية التي تمت ملاحظتها في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ قد تكون جزئيًا انعكاسًا للعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (أو $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ )، إذا كان $\rho_{\rm soi, sph}$ يؤثر على $\sigma$ .

ولاختبار هذا الارتباط، جربنا تقديرًا بديلًا لنصف قطر تأثير الثقب الأسود الذي يُشار إليه بالرمز $r_{\rm soi,2BH}$ . نصف القطر $r_{\rm soi,2BH}$ يمثل المجال الذي تعادل فيه الكتلة النجمية ضعف كتلة الثقب الأسود المركزي (Merritt, 2004). عند استخدام الكثافة الداخلية ( $\rho_{\rm soi,2BH,sph}$ ) المحسوبة عند $r_{\rm soi,2BH}$ ، فإننا نستعيد البنية التحتية بين مجرات core-Sérsic وSérsic في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi,2BH,sph}$ ²⁴²⁴ 24 تتبع مجرات core-Sérsic العلاقة $\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.65\pm 0.07)\,\log\left(\rm\rho_% {\rm soi,2BH,sph}/10^{2.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.73\pm 0.09)$ ، ومجرات Sérsic تتبع $\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.98\pm 0.07)\,\log\left(\rm\rho_% {\rm soi,2BH,sph}/10^{2.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.76\pm 0.10)$ ، مع $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.29 dex و 0.87 dex، على التوالي. (غير موضح)، وإن كان ذلك مع زيادة في التشتت. أظهر هذا الاختبار أن البنية التحتية الموضحة في الشكل 8 لا ترجع إلى انتشار $\sigma$ عبر المعادلة 6.

للتحقق من سيناريو آخر يكمن وراء البنى التحتية الظاهرة في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (و $M_{\rm BH}$ – $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ )، قمنا بترميز نقاط البيانات بالألوان في اللوحة العلوية من الشكل 8 وفقًا لـ Sérsic المؤشرات. تقسم خريطة ألوان الفهرس Sérsic البيانات الموجودة في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ في مناطق قطرية مختلفة، بترتيب تسلسلي $n_{\rm sph}$ ، بحيث يمكن للمرء الحصول على مجموعة من $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ العلاقات المطبقة على نطاقات مختلفة من $n_{\rm sph}$ . على سبيل المثال، يمكننا أن نشير تقريبًا إلى ثلاث مناطق في اللوحة العلوية من الشكل 8: نقاط البيانات المستبعدة بالقرب من أسفل يمين المخطط مع أصغر مؤشرات Sérsic ( $n_{\rm sph}\lesssim 1.5$ )؛ النقاط باللون الأزرق البنفسجي الأرجواني مع $1.5\lesssim n_{\rm sph}\lesssim 5$ في المنتصف، والنقاط الحمراء والبرتقالية الصفراء مع $n_{\rm sph}\gtrsim 5$ في الجزء العلوي الأيسر من الرسم التخطيطي. تقع معظم مجراتنا core-Sérsic في المنطقة الثالثة، ولهذا السبب نلاحظها تحدد علاقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ مختلفة عن غالبية مجرات Sérsic التي تقع في المنطقة الثانية.

يمكن تمثيل توزيع نقاط البيانات في اللوحة العلوية من الشكل 8 بشكل أفضل على المستوى $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ – $n_{\rm sph}$ .سيتم دراسة هذه الطائرة في استكشافنا المستقبلي للمستوى الأساسي للثقب الأسود. نلاحظ أن حسابنا لـ $\rho_{\rm soi, sph}$ يعتمد على $n_{\rm sph}$ و $M_{\rm BH}$ ، وبالتالي فإن هذه المصطلحات ليست كميات يتم قياسها بشكل مستقل. كما هو مذكور، فإن ارتفاع $M_{\rm BH}$ ، المرتبط بـ $n_{\rm sph}$ (يرى Sahu et al., 2020, للعلاقة $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ ) كبير، سيولد $r_{\rm soi}$ كبير وبالتالي أقل $\rho_{\rm soi, sph}$ .

4.2 كثافة الكتلة المكانية ضمن 1 kpc: الاكتناز المكاني الكروي $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$

تعد كثافة الكتلة الداخلية مقياسًا أفضل للكثافة الداخلية من كثافة العمود المسقطة. ومن ثم، فإننا نقدم $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ ، النظير المكاني للاكتناز الكروي المسقط $\langle\Sigma\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ (القسم 3.2)، والذي تم تعريفه على أنه متوسط الكثافة الكتلية النجمية الداخلية داخل 1 kpc الداخلي للكرات الشبه الكروية.

Figure 10: $\Delta_{\rm rms | BH}$ مقابل $r_{\rm sph}$ للعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ .

لقد وجدنا علاقة إيجابية بين كتلة الثقب الأسود والاكتناز المكاني الكروي دون أي بنية تحتية يمكن اكتشافها بسبب الطبقات المورفولوجية للمجرات. يمكن التعبير عن علاقة الانحدار الفردي $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ ²⁵²⁵ 25 على غرار الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ (القسم 3.2)، نستخدم عدم اليقين $\pm 30\%$ (0.13 dex) على $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ (و $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ ). نحصل على علاقات متسقة عند استخدام ما يصل إلى $\pm 40\%$ (0.17 dex) من عدم اليقين.، الموضحة في اللوحة اليسرى من الشكل 9، على النحو التالي

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(2.96\pm 0.21)\log\left(\frac{\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph% }}{\rm 10^{0.5}\,M_{\odot}\,pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(8.47\pm 0.07),$				(9)

ولها $\Delta_{\rm rms|BH}=0.75$ dex. العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ أكثر انحدارًا بشكل هامشي من العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ (المعادلة 3.2)، ولها تشتت عمودي أعلى قليلاً. ومع ذلك، فإن التشتت المتعامد (المتعامد مع الخط الأكثر ملاءمة) في كلا المخططين قابل للمقارنة ( $\sim$ 0.24 dex).

نجد اتجاهات إيجابية بين $M_{\rm BH}$ والكثافة الكروية الداخلية ضمن أنصاف أقطار ثابتة أخرى (على سبيل المثال، 0.1 kpc، 5 kpc، 10 kpc) أيضًا. تُظهر اللوحة اليسرى في الشكل 7 أنه، بشكل عام، تتواجد التشكيلات الجانبية العالية $M_{\rm BH}$ فوق التشكيلات الجانبية المنخفضة $M_{\rm BH}$ في جميع أنصاف الأقطار؛ وبالتالي، فإن المكوّنات الكروية المجرية ذات $M_{\rm BH}$ الأعلى تكون أكثر كثافة نسبيًا من المكوّنات الكروية ذات $M_{\rm BH}$ الأقل، عند مقارنتها بنصف قطر فيزيائي ثابت. يفسر هذا جزئيًا الاتجاهات الإيجابية التي تم الحصول عليها من ارتباطات كتلة الثقب الأسود مع الاكتناز المكاني، $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ ، والكثافة الداخلية عند/داخل أي نصف قطر مكاني ثابت. ومع ذلك، هناك تشتت متفاوت في العلاقات يتناقص مع زيادة نصف القطر.

يتم عرض مخطط للعلاقات العمودية $\Delta_{\rm rms|BH}$ مقابل $r_{\rm sph}$ للعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ في الشكل 10. بالنسبة إلى $\rm r_{\rm sph}<1\,kpc$ ، فإن العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ لها تشتت أعلى من المعادلة 4.2، بينما بالنسبة إلى $\rm r_{\rm sph}>1\,kpc$ فإن العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ أقوى نسبيًا ولها تشتت متناقص تدريجيًا مع زيادة $r_{\rm sph}$ ، مشابه للعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm R,sph}$ (القسم 3.2). يمكن فهم ذلك بسهولة من خلال النظر مرة أخرى إلى اللوحة اليسرى من الشكل 7، على الرغم من أنها تعرض ملامح الكثافة، $\rho$ ، بدلاً من ملامح متوسط الكثافة المشابهة إلى حد ما، $\langle\rho\rangle$ . هناك، يمكن للمرء أن يرى فصلًا أنظف لملامح المختلفة $M_{\rm BH}$ (ومؤشر Sérsic، $n$ ) عند الانتقال إلى أنصاف أقطار أكبر، وهو ما يرجع إلى الذيول الأطول بشكل متزايد لملامح الضوء العالية $n$ .

للمقارنة، يمكن التعبير عن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ (انظر اللوحة اليمنى من الشكل 9)، والتي تحتوي على $\Delta_{\rm rms|BH}=0.61$ dex، على النحو التالي:

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(1.99\pm 0.11)\log\left(\frac{\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph% }}{\rm 10^{-1.5}\,M_{\odot}\,pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(7.85\pm 0.06).$				(10)

يشير التشتت الأصغر في العلاقة المذكورة أعلاه عند مقارنته بالعلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ ، وشبه التشبع $\Delta_{\rm rms | BH}$ لـ $\rm r_{\rm sph}\gtrsim 5\,kpc$ (الشكل 10)، إلى أنه يمكن تفضيل $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ على $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ للتنبؤ $M_{\rm BH}$ .

بشكل عام، العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ أكثر حدة من العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\Sigma\rangle_{\rm R,sph}$ لأي نصف قطر كروي ثابت ( $r=R$ )، مع تشتت عمودي أعلى بشكل هامشي وتشتت متعامد مماثل. ومن ثم، من المحتمل أن تكون كلتا الخاصيتين ( $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ و $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ ) للشكل الكروي تنبؤات جيدة بنفس القدر لكتلة الثقب الأسود المركزي.

4.3 الكثافة الداخلية عند وداخل نصف القطر المكاني نصف الضوء: $\rho_{\rm e,int,sph}\,\&\,\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$

باستخدام ملامح الكثافة الداخلية للمكوّن الكروي، قمنا بحساب نصف قطر نصف الكتلة المكاني للكروي، $r_{\rm e, sph}$ ، والذي يمثل كرة تحتوي على $50\%$ من إجمالي الكتلة الكروية (أو اللمعان، لنسبة ثابتة من الكتلة إلى الضوء). النسبة $r_{\rm e,sph}/R_{\rm e,sph}$ تقريبًا 1.33 (Ciotti, 1991).

نجد أن ETGs وLTGs تحدد اتجاهات مختلفة (سلبية) بين $M_{\rm BH}$ والكثافة الكتلية النجمية الداخلية ( $\rho_{\rm e,int, sph}$ ) عند $r=r_{\rm e,sph}$ ، كما هو موضح في اللوحة-أ من الشكل 11. يمكن التعبير عن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int, sph}$ المتبوعة بـ ETGs كـ

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(-0.64\pm 0.04)\log\left(\frac{\rho_{\rm e,int,sph}}{\rm M_{% \odot}pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(7.81\pm 0.10),$				(11)

مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.73$ dex. العلاقة الأكثر انحدارًا التي تتبعها LTGs، مع $\Delta_{\rm rms|BH}=0.69$ dex، يتم الحصول عليها بواسطة

	$\displaystyle\rm\log\left(\frac{M_{\rm BH}}{\rm M_{\odot}}\right)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\rm(-1.02\pm 0.13)\log\left(\frac{\rho_{\rm e,int,sph}}{\rm M_{% \odot}pc^{-3}}\right)$
	$\displaystyle+\>(7.20\pm 0.11).$				(12)

هاتان العلاقتان لهما تشتت أصغر من علاقات $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ لـ ETGs وLTGs (الجدول 1). يشير التشتت الأصغر نسبيًا والشكوك الأصغر حجمًا في معلمات الملاءمة إلى أن $\rho_{\rm e,int,sph}$ يمكن أن يكون مؤشرًا أفضل لـ $M_{\rm BH}$ من $\Sigma_{\rm e,sph}$ (انظر الجدول 1).

وكما وجدنا مرارا وتكرارا، فإن المنحدر الضحل لمجموعات ETG لا معنى له من الناحية المادية. وتعكس قيمتها اختيار العينة وبالتالي العدد النسبي لمجموعات ETG مع القرص وبدونه. يكشف التحليل الإضافي للمخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ عن وجود إزاحة بين مجموعات ETG ذات قرص نجمي دوار (ES, S0) ومجموعات ETG بدون قرص نجمي دوار (E)، كما هو موضح في اللوحة-c من الشكل 11. يتم عرض معلمات العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ التي تم الحصول عليها لمجموعتي ETGs الفرعيتين في الجدول 2. ومن الجدير بالذكر أن هاتين الفئتين الفرعيتين من ETGs تتبعان علاقات أكثر حدة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ من المعادلة 4.3، متوازية تقريبًا مع بعضها البعض ولكن يتم تعويضها عن بعضها البعض بأكثر من ترتيب من حيث الحجم في الاتجاه $M_{\rm BH}$ . تشبه هذه الإزاحة الإزاحة الموجودة في المخططات $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ (Sahu et al., 2019b), $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e, sph}$ (Sahu et al., 2020), و $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ (القسم 3.3). ينشأ هذا الإزاحة من الأحجام الفعالة الأصغر ( $R_{\rm e, sph}$ ) والأعلى $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ للمجرات من النوع ES/S0 مقارنة بأحجام المجرات من النوع E التي ربما تكونت من عمليات اندماج كبرى.

تم العثور على اتجاهات مماثلة والبنى التحتية المورفولوجية بين $M_{\rm BH}$ ومتوسط الكثافة الداخلية، $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ ، ضمن $r_{\rm e,sph}$ (انظر اللوحات ب و د من الشكل 11). يتم توفير معلمات العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ في الجدول 2. تعرض اللوحة اليمنى في الشكل 7 ملامح الكثافة المكانية للمكوّنات الكروية لعينتنا مع المحور الشعاعي الذي تم تطبيعه عند $r_{\rm e,sph}$ . في نصف القطر المكاني نصف الضوء، حيث $\log(r/r_{\rm e,sph})=0$ ، تكون الكثافة المكانية المتزايدة عند الانتقال من التشكيلات الجانبية المرتفعة $M_{\rm BH}$ إلى المنخفضة $M_{\rm BH}$ واضحة تمامًا. وهذا يفسر الارتباطات السلبية $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ (و $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ ).

يوفر الجدول 2 أيضًا العلاقات المعتمدة على المورفولوجيا التي تم الحصول عليها بين $M_{\rm BH}$ والكثافة المكانية $\langle\rho\rangle_{\rm e,sph}$ داخل نصف قطر نصف الضوء المسقط ( $r=R_{\rm e,sph}$ )، والتي تشبه الهياكل الأساسية في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ . إن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm e,sph}$ التي تحددها مجموعات ETG لدينا تتوافق مع العلاقة Saglia et al. (2016). ومع ذلك، لم يبلغوا عن أي من الهياكل الأساسية الحيوية في هذا المخطط بسبب ETGs (E، ES/S0) وLTGs. بدون هذا الوعي بمورفولوجيا المجرة المضيفة، فإن ميل وتقاطع العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm e,sph}$ لا معنى له لأنه متحيز بسبب عشوائية اختيار العينة. في الواقع، هذا هو السبب في أن علاقة ETGs الخاصة بنا لها ميل -0.64 بدلاً من $\rm\sim-1.1$ تقريبًا، كما يليها المجرات من النوع E، والمجرات من النوع ES/S0، والمجرات الحلزونية (انظر الجدول 2).

أخيرًا، نلاحظ هنا مرة أخرى أنه على غرار العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ (و $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) (انظر الشكلين 5 و6 في القسم 3.3)، فإن الصورة الكاملة للعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ (و $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ ) التوزيعات منحنية، والتي يمكن الكشف عنها في المستقبل باستخدام عينة أكبر. تعتمد منحدرات العلاقات الخطية المعروضة هنا على النطاق الشامل لعينتنا.

Table 2: الارتباطات بين كتلة الثقب الأسود والكثافة الداخلية للجسم الكروي

Category	Number	$\log(M_{\rm BH}/M_{\sun})=(Slope)\,X+Intercept$	$\epsilon$	$\Delta_{\rm rms\|BH}$	$r_{p}$	$r_{s}$
		dex	dex	dex
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
		Internal Density at $r_{\rm soi}$ (Figure 8, middle panel)
Core-Sérsic	31	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.68\pm 0.06)\,\log\left(\rm\rho_% {\rm soi,sph}/10^{2.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(9.06\pm 0.05)$	0.00	0.21	-0.92	-0.93
Sérsic	83^a^aبعد استبعاد ثمانية قيم متطرفة مهمة، موضحة في الشكل 8، والتي يمكن أن تؤثر بشكل كبير على الخط الأفضل لمجموعة مجرات Sérsic.	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.18\pm 0.10)\,\log\left(\rm\rho_% {\rm soi,sph}/10^{2.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.39\pm 0.10)$	0.68	0.77	-0.54	-0.50
		Internal Density within $r_{\rm soi}$ (Figure 8, bottom panel)
Core-Sérsic	31	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.69\pm 0.07)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm soi,sph}/10^{2.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(9.29\pm 0.04)$	0.07	0.25	-0.89	-0.92
Sérsic	83^a^aبعد استبعاد ثمانية قيم متطرفة مهمة، موضحة في الشكل 8، والتي يمكن أن تؤثر بشكل كبير على الخط الأفضل لمجموعة مجرات Sérsic.	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.14\pm 0.09)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm soi,sph}/10^{2.5}M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.59\pm 0.12)$	0.78	0.85	-0.43	-0.40
		Internal Density within 1 kpc of Spheroid (Figure 9, left-hand panel)
All Galaxies	119	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(2.96\pm 0.21)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{1kpc,sph}/10^{0.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.47\pm 0.07)$	0.63	0.75	0.73	0.75
		Internal Density within 5 kpc of Spheroid (Figure 9, right-hand panel)
All Galaxies	119	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(1.99\pm 0.11)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{5kpc,sph}/10^{-1.5}\,M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.85\pm 0.06)$	0.53	0.61	0.82	0.84
		Internal Density at $r_{\rm e,sph}$ (Figure 11, left-hand panels)
LTGs	39	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.02\pm 0.13)\,\log\left(\rm\rho_% {e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.20\pm 0.11)$	0.63	0.69	-0.56	-0.58
ETGs (E+ES/S0)	80	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.64\pm 0.04)\,\log\left(\rm\rho_% {e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.81\pm 0.10)$	0.70	0.73	-0.64	-0.61
E	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.09\pm 0.11)\,\log\left(\rm\rho_% {e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(6.45\pm 0.26)$	0.76	0.82	-0.26	-0.21
ES/S0	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.03\pm 0.10)\,\log\left(\rm\rho_% {e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.11\pm 0.12)$	0.70	0.77	-0.52	-0.50
		Internal Density within $r_{\rm e,sph}$ (Figure 11, right-hand panels)
LTGs	39	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.12\pm 0.15)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.78\pm 0.13)$	0.64	0.72	-0.53	-0.56
ETGs (E+ES/S0)	80	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.68\pm 0.05)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.22\pm 0.09)$	0.70	0.74	-0.63	-0.59
E	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.13\pm 0.13)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.20\pm 0.21)$	0.75	0.81	-0.26	-0.17
ES/S0	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.09\pm 0.12)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.77\pm 0.12)$	0.71	0.79	-0.49	-0.44
		Internal Density within $R_{\rm e,sph}$
LTGs	39	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.16\pm 0.16)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.04\pm 0.16)$	0.65	0.73	-0.52	-0.54
ETGs (E+ES/S0)	80	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-0.68\pm 0.05)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(8.40\pm 0.08)$	0.70	0.74	-0.63	-0.59
E	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.13\pm 0.13)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(7.50\pm 0.19)$	0.75	0.81	-0.26	-0.17
ES/S0	40	$\log\left(M_{\rm BH}/{\rm M_{\sun}}\right)=(-1.11\pm 0.12)\,\log\left(\rm% \langle\rho\rangle_{\rm e,sph}/M_{\sun}pc^{-3}\right)+(9.06\pm 0.13)$	0.71	0.79	-0.49	-0.44

Note. — أسماء الأعمدة هي نفسها كما في الجدول 1.

5 الآثار والمناقشة

5.1 توقع $M_{\rm BH}$

لقد أظهرنا كيف وشرحنا سبب ارتباط كتلة BH بمجموعة من الكثافات النجمية المسقطة والداخلية للجسم الكروي المضيف. يكشف رسم ملامح الكثافة للأجرام الشبه الكروية (123 $-$ درب التبانة=) 122 معًا في نفس الشكل أن المكوّنات الكروية ذات كتل BH الأكبر تتواجد في مقاطع ذات أنصاف أقطار نصف ضوء أكبر، ومؤشرات Sérsic أعلى، وذيول أطول لملمح اللمعان (الأشكال 1 و 7). في نصف القطر الأكبر، يصبح فصل المكوّنات الكروية ذات التشكيلات الجانبية المنخفضة $M_{\rm BH}$ والمنخفضة $n$ عن تلك ذات التشكيلات الجانبية العالية $M_{\rm BH}$ والعالية $n$ أكثر نظافة. وبالتالي، وبشكل غير بديهي، فإن استخدام الكثافات المحسوبة عند نصف قطر أكبر ينتج عنه تشتت أقل في مخطط الكثافة $M_{\rm BH}$ (القسم 3.2 و 4.2).

العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\Sigma\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ (المعادلة 3.2) والعلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ (المعادلة 4.2) لهما جذر متوسط التربيع متشابهان (0.59 dex و 0.61) dex)، وتنطبق على جميع أنواع المجرات. يمكن مقارنة التشتت في هذه المخططات بالعلاقات $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ المعتمدة على التشكل (راجع، 0.50 dex، 0.57 dex، و 0.64 dex للأنواع E- وES/S0- وS، على التوالي) و $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e, sph}$ العلاقات (راجع، 0.59 dex، 0.61 dex، و 0.60 dex للأنواع E- وES/S0- وS، على التوالي)، وأصغر من الأنواع المعتمدة على التشكل علاقة $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ (راجع، 0.73 dex و 0.68 dex لـ ETGs وLTGs، على التوالي). وبالتالي، يمكن لـ $\langle \Sigma \rangle_{\rm 5 kpc,sph}$ و $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ التنبؤ بـ $M_{\rm BH}$ بشكل جيد كما تم التنبؤ به باستخدام $M_{\rm *, sph}$ و $R_{\rm e,sph}$ ، وأفضل من $M_{\rm BH}$ المتوقع باستخدام $n_{\rm sph}$ . ومع ذلك، فإن الكثافة عند 5 kpc قد تكون منخفضة جدًا بالنسبة إلى المكوّنات الكروية ذات $R_{\rm e}$ أقل من نصف kpc، وتصبح هذه العلاقات أكثر انعكاسًا للعلاقات $M_{\rm BH}$ –n، وبدرجة أقل العلاقات $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e}$ (Sahu et al., 2020).

توفر العلاقات $\rm 3.6\,\mu m$ $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0,sph}$ (المعادلة 3.1) والعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ (انظر الجدول 1) طريقة بديلة للتنبؤ $M_{\rm BH}$ باستخدام $\mu_{\rm 0,sph}$ أو $\mu_{\rm e,sph}$ ، فقط من ملمح سطوع سطح كروي تمت معايرته ( $\rm 3.6 \, \mu m$ )، دون الحاجة إلى مسافة المجرة (بالنسبة للمجرات المحلية حيث تكون التصحيحات الكونية صغيرة جدًا) أو نسبة الكتلة إلى الضوء النجمية التي قد يكون اختيارها معقدًا. ومع ذلك، نظرًا لارتفاع معدل التشتت حول هذه العلاقات، فإن أشرطة الخطأ في $M_{\rm BH}$ المتوقعة ستكون أعلى من التي تم الحصول عليها باستخدام العلاقات $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ و $M_{\rm BH}$ — $R_{\rm e, sph}$ العلاقات (يرى Sahu et al., 2020). يمكن أيضًا الحصول على القيم $n_{\rm sph}$ و $R_{\rm e,sph}$ من ملمح السطوع السطحي غير المعاير. من المعقول أن يكون الانتثار العالي في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ ناتجًا عن استخدام كثافة عمود، والتشتت العالي في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ ينشأ من التوزيع المنحني للنقاط.

للمقارنة، فإن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\phi$ للمجرات الحلزونية (Seigar et al., 2008; Berrier et al., 2013) لها أيضًا تشتت صغير قدره 0.43 dex (Davis et al., 2017)، حيث $\phi$ هي زاوية الميل، أي زاوية اللف للأذرع الحلزونية. يمكن أن توفر هذه العلاقة تقديرات جيدة لـ $M_{\rm BH}$ للمجرات الحلزونية. بما في ذلك جميع أنواع المجرات، فإن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ لها تشتت قدره 0.53 dex; ومع ذلك، فإن المخطط $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ له علاقات مختلفة للمجرات core-Sérsic (راجع، 0.46 dex) وSérsic (راجع، 0.55 dex)، والتي يمكن أن توفر تقديرًا أفضل لـ $M_{\rm BH}$ من العلاقة الفردية، إذا كان التشكل الأساسي Sérsic أو Sérsic معروفًا.هناك علاقة أخرى مفضلة للتنبؤ بـ $M_{\rm BH}$ قد تكون العلاقة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, gal}$ المعتمدة على التشكل (راجع، 0.58 dex و 0.79 dex لـ ETGs وLTGs، على التوالي Sahu et al., 2019b)، حيث لا يحتاج المرء إلى المرور بعملية التحلل متعدد المكونات للحصول على الكتلة النجمية للمجرة، $M_{\rm *,gal}$ .

العلاقة الضيقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi,sph}$ للمجرات core-Sérsic لديها أقل تشتت إجمالي (0.21 dex، انظر الجدول 2) من بين جميع علاقات قياس الثقب الأسود؛ في حين أن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi,sph}$ التي تم الحصول عليها لمجرات Sérsic لها تشتت أعلى (0.77 dex). العلاقة للمجرات core-Sérsic تلتقط فقط الغلاف العلوي للأجرام الكروية ذات $n_{\rm sph}$ عالية في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ ، في حين أن العلاقة للمجرات Sérsic تصف متوسط العلاقة للأجرام الشبه الكروية بقيمة متوسطة تبلغ $n$ (بين $\sim 1.5\,\rm to\,\sim 5$ ). بشكل عام، يشير الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ إلى أن إدراج $n_{\rm sph}$ كمعامل ثالث سيؤدي إلى مستوى ثقب أسود مع تشتت منخفض إلى حد كبير. ومع ذلك، إذا تبين أن كتلة الثقب الأسود مرتبطة بشكل أفضل بالكثافة النجمية في مجال تأثيره والتركيز النجمي (مقاسًا بـ $n$ )، فإنه ليس مفيدًا للتنبؤ بـ $M_{\rm BH}$ ، لأن $\rho_{\rm soi, sph}$ تتطلب معرفة $r_{\rm soi}$ وبالتالي $M_{\rm BH}$ .

5.2 اعتماد علاقات قياس الثقب الأسود على مورفولوجيا المجرة

Sahu et al. (2020) لم يبلغ عن الإزاحة بين مجموعات ETG الفرعية (الأنواع E مقابل ES/S0) في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ (أو $\langle \mu \rangle_{\rm e,sph}$ , أو $\Sigma_{\rm e,sph}$ , أو $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) الرسوم البيانية التي قمنا بإعادة التحقيق فيها هنا. كشف تحقيقنا هنا عن وجود إزاحة بين عينات المجرات من النوع E وES/S0 (الشكل 6). ومع ذلك، فإن الارتباطات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ التي تم الحصول عليها للنوعين E وES/S0 ضعيفة، ولم يتم تحديد منحدراتها وإزاحتها. ويرجع ذلك إلى أنها تتبع علاقة منحنية ذات منحدرات مختلفة، وقد أخذنا عينات من نقاط الانحناء للمنحنيات (انظر الشكل 6). وبالتالي، لا يوجد ارتباط قوي بين $M_{\rm BH}$ والكثافات الفعالة المختلفة لعينتنا (القسم 3.3).

الأقسام المعتمدة على التشكل في $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ (ETG vs LTG)، $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e,sph}$ (E vs ES/S0 vs LTG)، وكما نرى هنا، $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ (E vs ES/S0 vs LTG) المخططات، تنتشر في $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ (E مقابل ES/S0 مقابل LTG، Sahu et al., 2019b) المخططات. وبالمثل، يتم أيضًا نشر هذه البنى التحتية المورفولوجية إلى المخططات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ (و $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ ) المعروضة هنا (الشكل 11). على الرغم من أن مجموعات ETG وLTG يبدو أنها تحدد علاقات وثيقة متميزة، إلا أن هناك ترتيبًا من حيث الحجم يعوض²⁶²⁶ 26 تم تقليل هذا الإزاحة بين ETG مع قرص وبدونه في المخطط $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,gal}$ ، حيث كشف Sahu et al. (2019b) عن علاقتين متميزتين فقط بسبب (جميع) ETGs وLTGs. في الاتجاه $M_{\rm BH}$ بين مجموعات ETG بدون قرص (النوع E أو الدوارات البطيئة) ومجموعات ETG ذات القرص (الأنواع ES/S0 أو الدوارات السريعة). الإزاحة بين المجرات من النوع E وES/S0 هي تأثير مشترك لحجم انتفاخ أصغر ( $R_{\rm e,sph}$ ) وأكثر سطوعًا $\mu_{\rm e, sph}$ (أعلى $\Sigma_{\rm e,sph}$ و $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) للمجرات من النوع ES/S0 مقارنة بمجرات النوع E التي تحتوي على كتلة ثقب أسود مماثلة (القسم 3.3).

كما تمت مناقشته في القسم 4.1، يظل التقسيم Sérsic مقابل التقسيم الأساسي-Sérsic في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (الشكل 8) مستقلاً عما إذا كان $r_{\rm soi}$ قد تم حسابه باستخدام السرعة النجمية المركزية أم لا التشتت. ومن ثم، فإن البنية التحتية Sérsic مقابل البنى التحتية core-Sérsic التي تمت ملاحظتها في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ الرسم البياني (Sahu et al., 2019a) والمخططات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (أو $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ ) ليست كذلك ذات صلة مباشرة.ومع ذلك، فإن العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ و $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ تدرك على التوالي مورفولوجيا المجرات، وبالتالي المسارات التطورية للمجرات وتركيز الضوء/الكتلة المركزي، أي مؤشر Sérsic (انظر اللوحة العلوية في الشكل). 8 والوصف في القسم 4.1).

5.3 علاقة قياس الثقب الأسود الأساسية

اقترحت العديد من الدراسات أن العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ قد تكون العلاقة الأساسية/العالمية (على سبيل المثال، Ferrarese & Merritt, 2000; Gebhardt et al., 2000; Ferrarese & Ford, 2005; de Nicola et al., 2019; Marsden et al., 2020) بين الثقب الأسود والمجرة المضيفة بسبب ارتباطها الواضح بإمكانيات جاذبية المجرة وظهور العلاقات $M_{\rm BH}\propto\sigma^{4-5}$ في النظريات التي تحاول تفسير ردود فعل الثقب الأسود (Silk & Rees, 1998; Fabian, 1999). تستند هذه الادعاءات إلى الملاحظات السابقة (van den Bosch, 2016; Saglia et al., 2016) التي أبلغت عن وجود علاقة $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ واحدة لجميع أنواع المجرات (بما في ذلك المجرات الأقل انتفاخًا)، وأيضًا تناثر أصغر شوهد في الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ بالنسبة إلى $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ العلاقة. ومع ذلك، على مر السنين، تزداد الزيادات في التشتت حول علاقة $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ بـ $\sim 0.5$ dex مع تزايد حجم العينة (انظر المقدمة في Sahu et al., 2019a)، بالإضافة إلى الكشف عن Sérsic ( $M_{\rm BH}\propto\sigma^{\sim 5}$ ) مقابل Sérsic الأساسية ( $M_{\rm BH}\propto\sigma^{\sim 8}$ ) التقسيم في $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ الرسم البياني (على سبيل المثال، Bogdán et al., 2018; Sahu et al., 2019a; Dullo et al., 2020)، يقوض التفوق الملحوظ لـ $\sigma$ .

الأهم من ذلك، إذا كانت العلاقة مع أقل تشتت هي المعيار الأساسي لتحديد العلاقة الأساسية لقياس الثقب الأسود، فإن الدراسات الحديثة تزيد من إرباك الوضع. على سبيل المثال: العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (المعادلة 4.1) للمجرات core-Sérsic لها إجمالي جذر متوسط التربيع تشتت قدره 0.21 dex; العلاقة $M_{\rm BH}$ –( $R_{\rm b}$ : نصف قطر الكسر) للمجرات core-Sérsic لها $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.29 dex (Dullo et al., 2020); العلاقة $M_{\rm BH}$ –(زاوية الميل) للمجرات الحلزونية لها $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.43 dex (Davis et al., 2017); والعلاقة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ لـ ETGs لها $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.52 dex (Sahu et al., 2019b). علاوة على ذلك، فإن البنية التحتية في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ (الشكل 8) بسبب نطاقات مختلفة من قيم $n_{\rm sph}$ تشير إلى وجود مستوى أقوى $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ – $n_{\rm sph}$ ، والذي يجب التحقيق فيه في العمل المستقبلي. بالطبع، يتم حساب $\rho_{\rm soi, sph}$ باستخدام $M_{\rm BH}$ ، لذلك ستكون هناك حاجة إلى بعض العناية في مثل هذا الاستكشاف.

5.4 الجدول الزمني للاندماج الثنائي للثقب الأسود الهائل

تلعب الكثافة النجمية حول الثقب الأسود الثنائي فائق الضخامة (SMBHB) دورًا أساسيًا في تسريع اندماج الثقبين الأسودين من خلال الاحتكاك الديناميكي (Chandrasekhar, 1943; Begelman et al., 1980; Arca-Sedda & Capuzzo-Dolcetta, 2014). أثناء اندماج المجرات، يدفع الاحتكاك الديناميكي الثقوب السوداء نحو قلب بقايا اندماج المجرات، مما يشكل ثنائيًا عند مقاييس الفرسخ الفلكي. يمر SMBHB بتفاعل هيدروديناميكي مع النجوم المحيطة (والغبار/الغاز)، ويدخل في مرحلة تصلب، أي عندما تتجاوز طاقة الربط للثنائي متوسط الطاقة الحركية للنجوم المحيطة به (Holley-Bockelmann, 2016). ينتقل الثنائي بعد ذلك من مرحلة التصلب إلى مرحلة انبعاث موجة الجاذبية (GW)، مما يدفع الثنائي في النهاية إلى الاندماج (Celoria et al., 2018). يتم قضاء الجزء الأكبر من العمر الثنائي في مرحلة الانتقال/الفصل هذه (Sesana & Khan, 2015)، ويُعرف التردد المداري عند فصل الانتقال هذا بتردد الانتقال. يمكن تقدير هذه الفترة الزمنية ( $\approx$ العمر الثنائي) باستخدام متوسط الكثافة النجمية ( $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ )، وتشتت السرعة النجمية ( $\sigma_{\rm soi}$ ) في مجال تأثير الثنائي والانحراف المداري للثنائي (على سبيل المثال، Sesana & Khan, 2015, معادلتهم 7). يتم أيضًا تقدير تردد الانتقال، الذي يعد جزءًا من نموذج انفعال GW (الذي سنناقشه لاحقًا)، باستخدام $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ ، $\sigma_{\rm soi}$ ، والانحراف (Chen et al., 2017, معادلتهم 21).في الآونة الأخيرة، قدّر Biava et al. (2019) عمر SMBHB، كما تمت مناقشته أعلاه، باستخدام معلمات Sérsic لبقية الانتفاخ الذي يستضيف كتلة ثقب أسود (ثنائي) معينة. لقد استخدموا العلاقة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ العلاقة (Savorgnan et al., 2016) والعلاقة $M_{\rm *, sph}$ – $\rm R_{e,sph}$ العلاقة (Dabringhausen et al., 2008) والعلاقة $M_{\rm BH}$ – $n_{\rm sph}$ (Davis et al., 2019) للحصول على المعلمات Sérsic للانتفاخات التي تستضيف $10^{5}-10^{8}\,M_{\sun}$ الثقوب السوداء الثنائية، مع افتراض أن بقايا الاندماج تتبع هذه العلاقات. باستخدام معلمات الانتفاخ هذه، قاموا بتطبيق نموذج الكثافة Prugniel & Simien (1997) للحصول على $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ لتقدير العمر الثنائي باستخدام النموذج من Sesana & Khan (2015, معادلتهم 7).

الآن، باستخدام العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ التي تم الحصول عليها هنا والعلاقات $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ (على سبيل المثال، Sahu et al., 2019a)، يمكن للمرء الحصول مباشرة على القيم $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ والمركزية $\sigma$ ، على التوالي، لقيمة معينة $M_{\rm BH}$ ، وباستخدام $\sigma$ المركزي كبديل لـ $\sigma_{\rm soi}$ ، يمكن للمرء تقدير العمر الثنائي النموذجي بشكل أكثر مباشرة. يمكن للمرء أيضًا تطبيق تعبير تصحيح الفتحة المتوسطة لتشتت السرعة النجمية (من على سبيل المثال، Jorgensen et al., 1995; Cappellari et al., 2006) لدفع $\sigma_{\rm soi}$ باستخدام $\sigma$ المركزي (المقيس عند حجم فتحة يبلغ 0.595 kpc) الذي تم الحصول عليه من العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ و $r_{\rm soi}$ . وبالمثل، باستخدام القيم $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ و $\sigma$ لـ $M_{\rm BH}$ معين (وبعض الانحراف المركزي الثنائي)، يمكن أن يكون تقدير تردد الانتقال أكثر وضوحًا (يرى Chen et al., 2017, معادلتهم 21). بهذه الطريقة، لن يحتاج المرء إلى المرور عبر علاقات قياس الثقب الأسود المختلفة لمعلمات الانتفاخ للحصول على $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ ، باستخدام تقريب لـ $\sigma$ ، واختيار نموذج كثافة تقريبي، على سبيل المثال، كما هو مقترح في Sesana & Khan (2015) ومتبع في Biava et al. (2019).

ومع ذلك، ينبغي للمرء أن يلاحظ أنه بالنسبة للمجرات التي تحتوي إما على قرص نووي أو عنقود نجمي نووي، فإن $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ سيكون أعلى من التقدير باستخدام العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ للأجرام الشبه الكروية فقط. في حين أنه بالنسبة للمجرات core-Sérsic، فإن $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ ستكون أقل من المقدرة باستخدام العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ .

5.5 التنبؤ بالانفعال في موجات الجاذبية

تقع موجات الجاذبية ذات الطول الموجي الطويل (GWs: mHz - nHz)، المنبعثة أثناء اندماج SMBHB، في نطاق الكشف لمصفوفات توقيت النجم النابض (PTAs: $\micro$ Hz - nHz)، والهوائي الفضائي لمقياس التداخل الليزري (ليزا: 0.1 هرتز إلى 0.1 mHz، Amaro-Seoane et al., 2017)، ومقاييس التداخل الفضائية الأخرى المخطط لها، مثل TianQuin (Luo et al., 2016). تهدف هذه الكاشفات إلى الكشف عن خلفية GW العشوائية (GWB) وGWs الفردية، والتي يصعب التنبؤ بها (Sesana et al., 2009; Mingarelli et al., 2017). يتم قياس السعة القابلة للاكتشاف (لكل وحدة تردد لوغاريتمي) للاضطرابات الناجمة عن GWB بواسطة الانفعال المميز ( $\rm h_{c}$ )، والتي يلزم تقدير نموذجي لها لأجهزة كشف مختلفة حساسة لنطاقات أطوال موجية مختلفة من GWs (على سبيل المثال، انظر منحنيات الحساسية لمختلف أجهزة الكشف في Moore et al., 2015).

يمكن نمذجة الانفعال المميز لـ GWB من خلال دمج معدل اندماج SMBHB عبر الانزياح الأحمر على مدى مجال من كتل التشيرب²⁷²⁷ 27 تُعطى كتلة التشيرب لثنائي يتكون من جرمين كتلتهما $M_{\rm 1}$ و $M_{\rm 2}$ بواسطة $\mathcal{M}=(M_{\rm 1}M_{\rm 2})^{3/5}/(M_{\rm 1}+M_{\rm 2})^{1/5}$ (على سبيل المثال، انظر Cutler & Flanagan, 1994). وتؤثر هذه الكتلة في التطور المداري للثنائي، على سبيل المثال، التردد المداري الذي يحكم تردد GW المنبعث.(انظر النموذج الموصوف في Chen et al., 2019). يعتمد تقدير معدل اندماج SMBHB على دالة كتلة المجرة المرصودة، وكسر زوج المجرات، والمقياس الزمني لاندماج SMBHB (مقياس وقت اندماج المجرات $+$ العمر الثنائي)، و(الثقب الأسود) - علاقات قياس المجرة (Sesana, 2013). (الثقب الأسود) - علاقات قياس المجرة تحول دالة كتلة المجرة وجزء زوج المجرة إلى دالة كتلة الثقب الأسود (BHMF) وجزء زوج الثقب الأسود (BHPF).

في كثير من الأحيان، يتم دمج نسبة ثابتة $M_{\rm *, sph}$ / $M_{\rm *, gal}$ مع العلاقة الخطية القديمة $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ للحصول على نسبة $M_{\rm BH}$ / $M_{\rm *, gal}$ ، والتي تستخدم لتحويل دالة كتلة المجرة إلى BHMF (على سبيل المثال، Shannon et al., 2015; Chen et al., 2019). يؤدي هذا إلى انحياز في الانفعال المميز لـ GWB المقدّر (على سبيل المثال، Mapelli et al., 2012, أظهر أن العلاقة التربيعية $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, sph}$ ، بدلاً من العلاقة الخطية، تغير معدل الحدث الملهم لنسبة الكتلة المتطرفة المتوقعة بمرتبة مقدار واحدة).إن استخدام علاقاتنا $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *, gal}$ الجديدة المعتمدة على التشكل (Sahu et al., 2019b) سيوفر طريقة مباشرة للحصول على BHMF وBHPF أفضل. إلى جانب ذلك، فإن التقديرات الأفضل للعمر الثنائي (القسم 5.4) ستعمل على تحسين معدل اندماج SMBHB، مما سيؤدي في النهاية إلى تحسين التنبؤات الخاصة بالانفعال المميز لـ GWB القابل للاكتشاف لـ PTAs والبعثات الفضائية GW.

5.6 معدل حدث اضطراب المد والجزر

يمكن أن تساعد العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ التي تم الحصول عليها هنا أيضًا في وضع نموذج لمعدل أحداث اضطراب المد والجزر (تدس، Hills, 1975). يعد هذا أمرًا مهمًا لأنه بصرف النظر عن فحص تجمعات الثقب الأسود وبيئاتها (خاصة بالنسبة لـ BHs في المجرات غير النشطة)، يتم استخدام TDEs لتقدير كتلة الثقب الأسود (Mockler et al., 2019; Zhou et al., 2021)، ونظيراتها الكهرومغناطيسية من اللوالب ذات نسبة الكتلة المتطرفة (EMRIs).

من المتوقع أن تحدث TDEs بشكل متكرر أكثر في المجرات ذات الكثافة النجمية المركزية المرتفعة أو في العنقود النجمي النووي (Frank & Rees, 1976). تتطلب TDEs أيضًا $M_{\rm BH}\lesssim 10^{8}\,\rm M_{\odot}$ لأن قوى المد الأضعف عند نصف قطر شفارتزشيلد-دروستي (Schwarzschild, 1916; Droste, 1917) للثقوب السوداء الأكثر ضخامة، غير كافية لتمزيق النجوم المفتوحة وإنتاج TDE (Rees, 1988; Komossa, 2015). يوفر معدل TDE ( $\Gamma_{\rm TDE}$ ) مقابل علاقة $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ في Pfister et al. (2020, معادلتهم 8) حدًا أدنى قدره $\Gamma_{\rm TDE}$ لـ $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ معين. بدمج علاقتها $\Gamma_{\rm TDE}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ مع علاقتنا $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ للمجرات Sérsic، يمكننا الحصول على علاقة بين $M_{\rm BH}$ ومعدل TDE كما يلي:

\displaystyle\Gamma_{\rm TDE}/\rm year^{-1}=0.16\times(M_{\rm BH}/M_{\odot})^{% -0.6},

(13)

والتي يمكن استخدامها للحصول على تقدير نموذجي لمعدل TDE لـ $M_{\rm BH}$ معين. ويمكن تحسين ذلك بشكل أكبر من خلال استخدام مجموعة من العلاقات $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ ، والتي تنطبق على نطاقات مختلفة من مؤشر Sérsic، أو إنشاء مستوى $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm soi}$ – $n_{\rm sph}$ . سنترك هذا للعمل في المستقبل. ومن الجدير بالذكر أن التقديرات الدقيقة لـ $\Gamma_{\rm TDE}$ يمكن أن تختلف اعتمادًا على وجود عنقود نجمي نووي.

6 خاتمة

استخدمنا أكبر عينة حتى الآن من المجرات التي تحتوي على تحلل دقيق متعدد المكونات لملمح سطوعها السطحي المسقط (Savorgnan & Graham, 2016b; Davis et al., 2019; Sahu et al., 2019b) وكتلة ثقب أسود مركزي تم قياسها مباشرة والموجودة في الأدبيات (القسم 2). نحن نبني على أعمالنا الأخيرة (المنشورة)، حيث كشفنا عن العلاقات المعتمدة على المورفولوجيا $M_{\rm BH}$ –( $M_{\rm *,sph}$ و $M_{\rm *,gal}$ ) العلاقات (Davis et al., 2018, 2019; Sahu et al., 2019b), $M_{\rm BH}$ – $\sigma$ العلاقات (Sahu et al., 2019a), و $M_{\rm BH}$ –( $n_{\rm sph}$ و $\rm R_{e,sph}$ ) العلاقات (Sahu et al., 2020).

هنا، قمنا بدراسة العلاقة بين كتلة الثقب الأسود والكثافة الكتلية النجمية الداخلية والمسقطة للجسم الكروي المضيف (القسمان 3 و4، على التوالي). وبشكل أكثر تحديدًا، قدمنا علاقات التحجيم $M_{\rm BH}$ مع كثافة اللمعان الكروي المسقطة ( $\mu$ , $\rm mag \, arcsec^{-2}$ ) والكثافة الكتلية النجمية المسقطة ( $\Sigma$ و $\langle \Sigma \rangle$ , $\rm M_\odot \, pc^{-2}$ ) عند وداخل أنصاف أقطار كروية مختلفة (على سبيل المثال، $\rm R=0,1\,kpc,5\,kpc,$ و $R_{ \rm e, sph}$ ).

الأهم من ذلك أننا اكتشفنا العلاقة بين $M_{\rm BH}$ والكثافة الكتلية النجمية الداخلية $\rho$ ( $\rm M_{\odot}\,pc^{-3}$ )، وهو مقياس أفضل للكثافة من كثافة العمود المسقطة. لقد قمنا بنزع إسقاط ملامح السطوع السطحي (Sérsic) للمكوّنات الكروية المجرية باستخدام تحويل Abel العكسي (الملحق A) وقمنا بحساب الكثافات الداخلية عدديًا عند أنصاف أقطار داخلية مختلفة، بما في ذلك نصف قطر مجال تأثير الثقب الأسود ( $r_{\rm soi}$ )، ونصف القطر الداخلي المادي الثابت (على سبيل المثال، 1 kpc، 5 kpc)، ونصف قطر نصف الكتلة المكاني $r_{\rm e,sph}$ . لقد بحثنا في الارتباطات المحتملة بين $M_{\rm BH}$ والكثافة الكتلية النجمية الداخلية عند وداخل نصف القطر الكروي. لقد قدمنا أيضًا ملامح الكثافة (الشكل 7)، والتي تساعد في فهم الارتباطات المختلفة $M_{\rm BH}$ – $\rho$ (الجدول 2).

في كل هذه الحالات، اكتشفنا اعتماد علاقات قياس الثقب الأسود على مورفولوجيا المجرة المضيفة، أي التقسيم/البنية التحتية المحتملة في مخططات القياس بسبب ETGs مقابل LTGs، وSérsic مقابل المكوّنات الكروية core-Sérsic، والمجرات القضيبية مقابل المجرات غير القضيبية، والمجرات ذات القرص النجمي أو التي لا تملكه. تم تلخيص النتائج الرئيسية أدناه.

•

تتمتع المكوّنات الكروية ذات أعلى $M_{\rm BH}$ بسطوع سطح مركزي أكثر سطوعًا $\mu_{\rm 0, sph}$ (المعادلة 3.1) أو كثافة كتلة نجمية مركزية أعلى $\Sigma_{\rm 0, sph}$ (الشكل 2). وينطبق هذا على المكوّنات الكروية Sérsic التي لا تحتوي على نوى مستنفدة. يتوافق هذا من الناحية النوعية مع العلاقة الخطية $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ المتوقعة في Graham & Driver (2007). ومع ذلك، فإن إجمالي تشتت جذر متوسط التربيع في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm 0, sph}$ (و $\Sigma_{\rm 0,sph}$ ) مرتفع بشكل ملحوظ ( $\rm\sim 1$ dex، راجع معلمات الملاءمة في الجدول 1).
•

$M_{\rm BH}$ يحدد الارتباط الإيجابي مع متوسط الكثافة المسقطة، $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ ، داخل 1 kpc الداخلي للجسم الكروي المضيف (ويعرف أيضا باسم اكتناز المكوّن الكروي).العلاقة لها $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.69 dex (المعادلة 3.2)، وتتبعها جميع أنواع المجرات (انظر اللوحة اليسرى من الشكل 3، والقسم 3.2).
•

$M_{\rm BH}$ لديه ارتباط أقوى مع $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ لـ $\rm R > 1\, kpc$ ، مقارنة بالاكتناز الكروي $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ ، بحيث يكون ميل العلاقة ويتناقص التشتت بزيادة $R$ . يبدأ إجمالي التشتت بالتشبع عند $\sim 0.59$ dex بعد $\rm\sim 5\,kpc$ (انظر الشكل 4).
•

في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\mu_{\rm e, sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ (و $\langle \Sigma \rangle_{\rm e,sph}$ ) ، تتبع ETGs وLTGs (الأنواع S) علاقات سلبية مختلفة (الشكل 5، الجدول 1). الاتجاه السلبي هو أن المكوّنات الكروية ذات $M_{\rm BH}$ الأعلى لها نصف قطر نصف ضوء أكبر بكثافة أقل عند/داخل أنصاف الأقطار هذه مقارنة بالمكوّنات الكروية ذات $M_{\rm BH}$ الأقل. يكشف المزيد من البحث عن إزاحة بين المجرات من النوع E وES/S0 في هذه المخططات، مع منحدرات مشابهة بشكل موحٍ لمنحدرات LTGs (انظر الشكل 6). ومع ذلك، فإن معاملات الارتباط سيئة للغاية، كما أن التشتت العالي عبر هذه العلاقات يجعل من الصعب تحديد هذا الإزاحة بشكل صحيح. علاوة على ذلك، من المتوقع أن تكون التوزيعات الفعلية للأنواع E وES/S0 وS منحنية؛ يتم عرض المنحنيات المتوقعة أيضًا في الشكلين 5 و6 (القسم 3.3).
•

$M_{\rm BH}$ يرتبط بالكثافة الداخلية عند وداخل نصف قطر مجال التأثير المقابل ( $\rho_{\rm soi, sph}$ و $\langle \rho \rangle_{\rm soi, sph}$ , الشكل 8). يبدو أن مجرات Sérsic وcore-Sérsic تحدد علاقتين مختلفتين مع ميل سلبي. تحدد مجرات core-Sérsic علاقة ضحلة $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ مع $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.21 dex، في حين أن مجرات Sérsic مع $\rm n \gtrsim 1$ تتبع علاقة أكثر حدة مع $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.77 dex (انظر الجدول 2). ترجع هذه البنية التحتية في المقام الأول إلى نطاق ملامح مؤشر Sérsic العالية للأجرام الشبه الكروية core-Sérsic (انظر اللوحة العلوية من الشكل 8 والقسم 4.1). تشير البيانات إلى وجود مستوى $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm soi, sph}$ – $n_{\rm sph}$ ، والذي سيكون موضوع العمل المستقبلي.
•

مماثل للاكتناز الكروي (المسقط) $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ ، قدمنا الاكتناز المكاني الكروي، $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ ، وهو مقياس للكثافة داخل كرة نصف قطرها 1 kpc. تحدد الكمية $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ علاقة إيجابية مع $M_{\rm BH}$ ، التي تحتوي على $\Delta_{\rm rms|BH}=$ 0.75 dex (انظر المعادلة 4.2 واللوحة اليسرى في الشكل 9). كما هو الحال مع $\langle \Sigma \rangle_{\rm 1 kpc,sph}$ ، لا نجد اعتمادًا شكليًا في المخطط $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 1kpc,sph}$ .
•

قياسًا على الرسم البياني $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ ، نجد ارتباطات أقوى بين $M_{\rm BH}$ و $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ لـ $\rm r>1\rm\,kpc$ . يتناقص ميل العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ والتشتت الإجمالي مع زيادة نصف القطر الداخلي $r$ ، حيث تكون الخطوط المقاربة $\Delta_{\rm rms|BH}$ عند $\sim 0.6$ dex لـ $\rm r\gtrsim 5kpc$ (الشكل 10). تظهر العلاقة $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm 5kpc,sph}$ (المعادلة 4.2) في الشكل 9. بالنظر إلى التشتت المقارن في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\langle \Sigma \rangle_{\rm R,sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm r,sph}$ ، تبدو كلا العلاقتين تنبئان بشكل جيد على حد سواء بـ $M_{\rm BH}$ ، حيث تُفضل الكثافة ضمن 5 كيلو فرسخ فلكي على الكثافة ضمن 1 كيلو فرسخ فلكي (القسم 4.2).
•

في المخططات $M_{\rm BH}$ – $\rho_{\rm e,int,sph}$ و $M_{\rm BH}$ – $\langle\rho\rangle_{\rm e,int,sph}$ ، يبدو أن ETGs وLTGs تحدد علاقتين مختلفتين مع ميل سلبي (اللوحات العلوية في الشكل 11).يكشف المزيد من التحليل أن مجموعات ETG التي تحتوي على قرص (E) ومجموعات ETG التي لا تحتوي على قرص (ES/S0) يبدو أنها تتبع علاقتين مختلفتين متوازيتين تقريبًا، يقابلهما أكثر من مرتبة في الاتجاه $M_{\rm BH}$ (الألواح السفلية في الشكل 11). لديهم تقريبًا نفس المنحدر ( $\sim-1$ ) مثل العلاقة بين LTGs (الجدول 2). ومع ذلك، قد تكون العلاقة منحنية، وفي هذه الحالة يكون المنحدر المرصود دالة لمدى كتلة الثقب الأسود في عينتنا. وقد شوهد هذا النمط المعتمد على الشكل أيضًا في المخططات $M_{\rm BH}$ – $M_{\rm *,sph}$ (Sahu et al., 2019b), $M_{\rm BH}$ – $R_{\rm e, sph}$ (Sahu et al., 2019a), و $M_{\rm BH}$ – $\Sigma_{\rm e,sph}$ (الأشكال 5 و 6).

إن الكشف عن البنية التحتية المعتمدة على المورفولوجيا في الرسوم البيانية لكتلة الثقب الأسود مع مختلف خصائص المجرة/المكوّن الكروي المضيف يجعل الأمر أكثر تعقيدًا لاستنتاج العلاقة التي قد تكون الأفضل للتنبؤ بـ $M_{\rm BH}$ أو العلاقة الأكثر جوهرية. كما أنه يعيد كتابة فكرة التطور المشترك للمجرات وثقوبها السوداء. يبدو أن الثقوب السوداء على دراية بمورفولوجيا المجرة وبالتالي بفيزياء تكوين المجرة.

تعتمد الكثافات المركزية ( $\mu_{\rm 0, sph}$ ، $\Sigma_{\rm 0,sph}$ ، $\langle\rho\rangle_{\rm soi,sph}$ ، و $\rho_{\rm soi,sph}$ ) على الاستقراء الداخلي للمكون Sérsic لنموذج سطوع سطح المكوّن الكروي؛ ومع ذلك، فإن العناقيد النجمية النووية الإضافية أو النوى المستنفدة جزئيًا ستعدل هذه الكثافات. في العمل المستقبلي، نأمل في استخدام صور HST عالية الدقة لقياس النوى المستنفدة للمجرات ذات النواة Sérsic واستخراج مجموعات النجوم النووية من صورة المجرة المضيفة. وهذا سيمكننا من إعادة النظر في علاقات الكثافة المركزية $M_{\rm BH}$ .

$M_{\rm BH}$ –علاقات الكثافة التي تم الكشف عنها في هذه الورقة لها نطاق واسع من التطبيقات (القسم 5). على سبيل المثال: طريقة بديلة لتقدير كتلة الثقب الأسود في المجرات الأخرى؛ وتشكيل اختبارات محاكاة واقعية للمجرات ذات الثقب الأسود المركزي؛ تقدير المقاييس الزمنية للاندماج الثنائي SMBH؛ تقييد التردد المداري لـ SMBHB أثناء الانتقال من التصلب الثنائي إلى مرحلة انبعاث GW؛ نمذجة معدلات أحداث اضطراب المد والجزر (على سبيل المثال، المعادلة 13)؛ تقدير/نمذجة معدل الاندماج الثنائي SMBH؛ وتعديل السلالات المميزة للكشف عن موجات الجاذبية ذات الطول الموجي الطويل لمصفوفات توقيت النجم النابض ومقاييس التداخل الفضائية.

تم إجراء هذا البحث بالتعاون مع مركز التميز التابع لمجلس البحوث الأسترالي لاكتشاف موجات الجاذبية (OzGrav)، من خلال المشروع رقم CE170100004. تم دعم هذا المشروع في إطار خطة تمويل مجلس البحوث الأسترالي DP17012923. تستند هذه المادة إلى العمل الذي تدعمه تمكين بموجب منحة معهد البحوث بجامعة نيويورك أبوظبي CAP³. بالإضافة إلى ذلك، أشكر مجموعة الفيزياء الفلكية في جامعة كوينزلاند على استضافتي وتوفير مساحة مكتبية لمدة عام واحد خلال جائحة كوفيد-19.

Appendix A حساب الكثافة الداخلية للانتفاخ

تم وصف ملمح السطوع السطحي (كثافة اللمعان المسقطة / العمودية) للمجرة الكروية أو المجرة الإهليلجية بشكل جيد للغاية باستخدام الدالة (Sérsic, 1963, 1968)، والتي يمكن التعبير عنها بالصيغة الآتية:

\displaystyle\rm I(R)=I_{e}\exp{\left[-b\left\{\left(\frac{R}{R_{e}}\right)^{1% /n}-1\right\}\right]}.

(A1)

يتم تحديدها بواسطة مؤشر Sérsic ( $\rm n$ )، ونصف قطر المقياس ( $\rm R_{e}$ )، والكثافة ( $\rm I_{e}$ ) عند $\rm R_{e}$ . المصطلح $\rm b$ هو دالة لـ n، ويتم تعريفه بحيث يشمل نصف قطر المقياس $\rm R_{e}$ 50% من إجمالي الضوء الكروي؛ لذلك، $\rm R_{e}$ يُعرف بنصف قطر نصف الضوء الفعال (المسقط)²⁸²⁸ 28 راجع Graham (2019b) للحصول على مراجعة تفصيلية لأنصاف أقطار المجرة الشائعة وGraham & Driver (2005) للحصول على نظرة عامة على نموذج Sérsic.. كما لاحظ (Ciotti, 1991)، يمكن الحصول على القيمة الدقيقة لـ $\rm b$ باستخدام $\rm\Gamma(2n)=2\gamma(2n,b)$ أو يمكن تقريبها كـ $\rm b=1.9992\,n-0.327$ لقيمة n بين 0.5 إلى 10 (Capaccioli, 1989). المعلمة $\rm n$ هي الملمح معلمة الشكل وتحدد تركيز الضوء المركزي للشكل الكروي (Trujillo et al., 2001). ترتبط الشدة، $\rm I_{e}$ ، بالسطوع السطحي ( $\mu\rm\,in\,mag/arcsec^{2}$ ) عند $\rm R_{e}$ ، عبر $\rm\mu_{e}\equiv-2.5\log(I_{e})$ .

كما هو مذكور في القسم 2، فإن معلمات ملمح الانتفاخ Sérsic المستخدمة هنا مأخوذة من Sahu et al. (2020, طاولتهم A1). التي توفر كلا من معلمات سطوع سطح الانتفاخ للمحور الرئيسي ( $\rm n_{maj},R_{e,maj},\mu_{e,maj}$ ) ومعلمات سطوع سطح الانتفاخ المكافئ للمحور ( $\rm n_{eq},R_{e,eq},\mu_{e,eq}$ ) التي تم الحصول عليها عن طريق التحلل المستقل متعدد المكونات لملامح السطوع السطحي للمجرة على طول المحور الرئيسي ومحور الوسط الهندسي (أي المحور الدائري المكافئ)، على التوالي، (يرى Sahu et al., 2019b, لمزيد من التفاصيل حول عملية التحلل). كما هو موضح أدناه، استخدمنا معلمات انتفاخ المحور المكافئ للاستفادة من تماثلها الدائري أثناء حساب ملمح كثافة الانتفاخ الداخلي (منزوع الإسقاط).

باستخدام تحويل Abel العكسي (المتكامل) (Abel, 1826; Anderssen & de Hoog, 1990)، يمكن التعبير عن كثافة اللمعان المكاني، $j(r)$ ، لنظام كروي من حيث المشتق ( $\rm d\,I(R)/d\,R$ ) لملمح كثافة اللمعان المسقط (يرى Binney & Tremaine, 1987) بالصيغة الآتية:

\displaystyle\rm j(r)=-\frac{1}{\pi}\int_{r}^{\infty}\frac{d\rm I(R)}{d\rm R}% \frac{d\rm R}{\sqrt{\rm R^{2}-\rm r^{2}}},

(A2)

حيث يمثل R نصف القطر المسقط ويمثل r نصف القطر المكاني (أو الداخلي) 3D. باستخدام ملمح Sérsic (المعادلة A1) لـ $\rm I(R)$ ونسبة الكتلة إلى الضوء النجمية، $\Upsilon_{\lambda}$ (مناسبة لطول موجة الصورة المقابل $\lambda$ )، لتحويل اللمعان إلى كتلة نجمية، ملمح كثافة الكتلة المكانية، $\rho(r)\equiv\Upsilon_{\lambda}\,j(r)$ ، يمكن التعبير عنها بصيغة تكامل مبسطة (Ciotti, 1991; Graham & Colless, 1997) بالصيغة الآتية:

\displaystyle\rm\rho(r)=\Upsilon_{\lambda}\frac{\rm I_{e}be^{b}}{\pi r}\left(% \frac{r}{R_{e}}\right)^{1/n}\int_{0}^{1}\frac{e^{(-b(\rm r/R_{e})^{1/n}/t)}}{% \rm t^{2}\sqrt{\rm t^{-2n}-\rm 1}}d\rm t.

(A3)

التحويل أعلاه (المعادلة A2) قابل للتطبيق على نظام كروي، ويمكننا استخدام معلمات انتفاخ المحور المكافئ Sérsic ( $\rm n_{eq}$ ، $\rm R_{e,eq}$ ، و $\rm I_{e,eq}$ ) للحصول على $\rm\rho(r)$ .

باستخدام $\rm R_{e}$ بالفرسخ (pc)، $\rm I_{e}$ في اللمعان الشمسي لكل وحدة مساحة ( $\rm L_{\odot}/pc^{2}$ )، و $\Upsilon_{\lambda}$ في وحدات الكتلة الشمسية لكل سطوع شمسي ( $\rm M_{\odot}/L_{\odot}$ )، نحصل على $\rm\rho(r)$ في وحدات $\rm M_{\odot}/pc^{3}$ من التكامل أعلاه (المعادلة A3). يمكن تعيين السطوع السطحي $\mu_{e}$ (في $\rm mag/arcsec^{2}$ ) في نصف قطر نصف الضوء إلى $\rm I_{e}$ ( $\rm L_{\odot}/pc^{2}$ ) باستخدام المعادلة التالية المأخوذة من Graham et al. (2006),

\displaystyle\rm-2.5\log(I_{e}\,\rm[L_{\odot}pc^{-2}])

\displaystyle=

\displaystyle\rm\mu_{e}-DM-\mathfrak{M}_{\odot,\lambda}-2.5\log(1/s^{2}),

(A4)

حيث $\rm DM=25+5\log[Distance\,(Mpc)]$ هو معامل المسافة، $\rm\mathfrak{M}_{\odot,\lambda}$ هو القدر المطلق للشمس في نطاق الطول الموجي المقابل $\lambda$ ، و $s$ هو مقياس الحجم الفيزيائي للمجرة في $\rm pc\,arcsec^{-1}$ . يتم حساب كثافة الكتلة المسقطة (أو السطحية) $\Sigma\,\rm(M_{\odot}\,pc^{-2})$ عند أي نصف قطر مسقط R عبر،

\displaystyle\rm-2.5\log(\Sigma_{R}\,\rm[M_{\odot}pc^{-2}])

\displaystyle=

\displaystyle\rm\mu_{R}-DM-\mathfrak{M}_{\odot,\lambda}-2.5\log(1/s^{2})-2.5% \log(\Upsilon_{\lambda}).

(A5)

يمكن التعبير عن حل التكامل أعلاه (المعادلة A3) باستخدام دالة Meijer-G²⁹²⁹ 29 في بعض الحالات، يتم الحصول على مجموع بقايا الدالة الهندسية الفوقية المعممة. راجع http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/MeijerG/26/01/02/ لمعرفة كيفية ربط وظيفة Meijer-G والوظائف الهندسية الفائقة. (Meijer, 1936; Bateman & Erdélyi, 1953; Mazure & Capelato, 2002)، والتي قمنا بحسابها عدديًا باستخدام البرنامج النصي Mathematica للحصول على الكثافات الداخلية في أنصاف أقطار كروية مختلفة، المستخدمة في القسم 4.

يوفر Prugniel & Simien (1997, ملاحظة: فيما بعد) تقريبًا بسيطًا بشكل ملحوظ، وواحدًا من أقرب التقريبات إلى ملمح Sérsic منزوع الإسقاط (المعادلة A3)، والذي يمكن التعبير عنه بالصيغة الآتية:

\displaystyle\rm\rho(r)=\rho_{\rm e}\left(\frac{r}{R_{e}}\right)^{-p}\exp\left% \{-b\left[\left(\frac{r}{R_{e}}\right)^{1/n}-1\right]\right\}.

(A6)

هنا، $\rho_{\rm e}$ هي كثافة الكتلة المكانية عند $\rm r=R_{e}$ ، و $p$ هي دالة لـ $n$ ، تم الحصول عليها عن طريق تعظيم التوافق بين هذا الملمح التقريبي $\rho(r)$ (المعادلة A6) وملمح كثافة Sérsic منزوع الإسقاط بدقة (المعادلة A3). يتم إعطاء قيمة $p$ بواسطة $p=1.0-0.6097/n+0.05563/n^{2}$ لنطاق شعاعي $10^{-2}\lesssim r/R_{e}\lesssim 10^{3}$ ونطاق مؤشر $0.6\lesssim n\lesssim 10$ (Lima Neto et al., 1999; Márquez et al., 2000). عند معادلة الكتلة الإجمالية التي تم الحصول عليها من ملمح Sérsic المسقط (المعادلة A1) مع الكتلة الإجمالية المحسوبة باستخدام ملمح الكثافة المكانية PS (المعادلة A6)، مع الأخذ في الاعتبار نسبة الكتلة إلى الضوء الثابتة،

\displaystyle\rm\rho_{\rm e}=\Upsilon\left(\frac{I_{e}}{2R_{e}b^{n(p-1)}}% \right)\left[\frac{\Gamma(2n)}{\Gamma(n(3-p))}\right].

(A7)

نظرًا لشكله التحليلي البسيط ومعلمات النموذج المشتركة في ملمح اللمعان Sérsic، فإن نموذج PS يجعل من السهل تقدير ملمح الكثافة الداخلية للمجرات الإهليلجية والمجرات الكروية للمجرات متعددة المكونات (أي ES- وS0- والنوع الحلزوني). وبالتالي، فإن المعادلتين A3 و A6، كلاهما قابلان للتطبيق على مجرة/مكون يمكن وصف ملمح سطوع سطحه باستخدام دالة Sérsic؛ ومع ذلك، يمكن أن توفر المعادلة A3 القيمة الأكثر دقة.

بالنسبة للمجرات core-Sérsic، أي المجرات ذات قانون الطاقة $+$ Sérsic ملامح السطوع السطحي للمكوّن الكروي، Terzić & Graham (2005, معادلتهم 5) عدّلت النموذج PS وقدمت تعبيرًا لملمح الكثافة منزوع الإسقاط للمكوّنات الكروية core-Sérsic. ومع ذلك، نظرًا لعدم وجود معلمات دقيقة لنواة قانون الطاقة لمجراتنا core-Sérsic، فإننا نستخدم الجزء Sérsic من ملمح سطوع سطحها وننزع إسقاط استقرائه إلى الداخل للحصول على $r h o$ المركزية/الداخلية للمجرات core-Sérsic.

يمكن أن يكون تقريب ملامح الكثافة منزوعة الإسقاط غير دقيق ( $\rm<10\%\,diferrence\,at\,0.01<R/R_{e}<100\,R_{e}\,for\,n>2$ ) لمحاكاة ملامح الكثافة الفعلية عند نصف القطر المركزي، خاصة بالنسبة للمكوّنات الكروية ذات مؤشر Sérsic المنخفض. راجع المقارنات في Terzić & Graham (2005, رقمهم 4) وEmsellem & van de Ven (2008) وVitral & Mamon (2020). لذلك، بالنسبة للثقب الأسود - ارتباطات الكثافة الداخلية، نفضل استخدام الكثافات الداخلية المحسوبة عدديًا من المعادلة A3.

في الشكل 12، قمنا بمقارنة $\rho_{\rm e,approx}$ عند $r=R_{\rm e}$ المحسوبة باستخدام النموذج PS (المعادلة A7) مقابل $\rho_{\rm e,exact}$ ، المحسوبة عدديًا باستخدام المعادلة A3. هنا، نرى تقريبًا تطابقًا واحدًا لواحد بين القيمتين، باستثناء المجرات M 59، NGC 1399، وNGC 3377، المجرات الثلاثة المتقابلة في الشكل 2 مع $n_{\rm sph,eq}\gtrsim 8.8$ . نقطتا الإزاحة الموضحتين في الشكل 12 هما M 59 وNGC 1399، بينما بالنسبة لـ NGC 3377، لم يتقارب التكامل الدقيق (المعادلة A3) لتوفير قيمة مناسبة تبلغ $\rho_{\rm e,exact}$ .

نظرًا للاتفاق بين الكثافات الداخلية الدقيقة والتقريبية عند $\rm r=R_{e}$ لغالبية العينة، بالنسبة لـ NGC 3377، فقد استخدمنا $\rho_{\rm e}$ التي تم الحصول عليها من النموذج PS. وبالمثل، في بعض الحالات، حيث لم يتقارب التكامل الدقيق $\rho(r)$ (المعادلة A3) أو يوفر قيمة كثافة صالحة، استخدمنا الكثافات الداخلية التي تم الحصول عليها باستخدام نموذج PS (المعادلة A7). وهذا ليس له تأثير كبير على العلاقات الأفضل المعروضة هنا. تم الحصول على ملامح الكثافة الموسعة في الشكل 7 باستخدام نموذج PS، حيث لا يزال بإمكانه تفسير الطبيعة النوعية للاتجاهات الملاحظة في الرسوم البيانية $M_{\rm BH}$ – $\rho$ .

References

Abel (1826) Abel, N. 1826, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, 153. http://eudml.org/doc/183021
Akritas & Bershady (1996) Akritas, M. G., & Bershady, M. A. 1996, ApJ, 470, 706, doi: 10.1086/177901
Amaro-Seoane et al. (2017) Amaro-Seoane, P., Audley, H., Babak, S., et al. 2017, arXiv e-prints, arXiv:1702.00786. https://arxiv.org/abs/1702.00786
Anderssen & de Hoog (1990) Anderssen, R. S., & de Hoog, F. R. 1990, Abel Integral Equations, ed. M. A. Golberg (Boston, MA: Springer US), 373–410, doi: 10.1007/978-1-4899-2593-0_8
Arca-Sedda & Capuzzo-Dolcetta (2014) Arca-Sedda, M., & Capuzzo-Dolcetta, R. 2014, ApJ, 785, 51, doi: 10.1088/0004-637X/785/1/51
Barro et al. (2017) Barro, G., Faber, S. M., Koo, D. C., et al. 2017, ApJ, 840, 47, doi: 10.3847/1538-4357/aa6b05
Batcheldor et al. (2010) Batcheldor, D., Robinson, A., Axon, D. J., Perlman, E. S., & Merritt, D. 2010, ApJ, 717, L6, doi: 10.1088/2041-8205/717/1/L6
Bateman & Erdélyi (1953) Bateman, H., & Erdélyi, A. 1953, Higher transcendental functions, Calif. Inst. Technol. Bateman Manuscr. Project (New York, NY: McGraw-Hill). https://cds.cern.ch/record/100232
Begelman et al. (1980) Begelman, M. C., Blandford, R. D., & Rees, M. J. 1980, Nature, 287, 307, doi: 10.1038/287307a0
Berrier et al. (2013) Berrier, J. C., Davis, B. L., Kennefick, D., et al. 2013, ApJ, 769, 132, doi: 10.1088/0004-637X/769/2/132
Biava et al. (2019) Biava, N., Colpi, M., Capelo, P. R., et al. 2019, MNRAS, 487, 4985, doi: 10.1093/mnras/stz1614
Binney & Tremaine (1987) Binney, J., & Tremaine, S. 1987, Galactic dynamics
Blom et al. (2014) Blom, C., Forbes, D. A., Foster, C., Romanowsky, A. J., & Brodie, J. P. 2014, MNRAS, 439, 2420, doi: 10.1093/mnras/stu095
Bogdán et al. (2018) Bogdán, Á., Lovisari, L., Volonteri, M., & Dubois, Y. 2018, ApJ, 852, 131, doi: 10.3847/1538-4357/aa9ab5
Capaccioli (1989) Capaccioli, M. 1989, in World of Galaxies (Le Monde des Galaxies), ed. J. Corwin, Harold G. & L. Bottinelli, 208–227
Cappellari et al. (2006) Cappellari, M., Bacon, R., Bureau, M., et al. 2006, MNRAS, 366, 1126, doi: 10.1111/j.1365-2966.2005.09981.x
Carter (1978) Carter, D. 1978, MNRAS, 182, 797, doi: 10.1093/mnras/182.4.797
Celoria et al. (2018) Celoria, M., Oliveri, R., Sesana, A., & Mapelli, M. 2018, arXiv e-prints, arXiv:1807.11489. https://arxiv.org/abs/1807.11489
Chandrasekhar (1943) Chandrasekhar, S. 1943, ApJ, 97, 255, doi: 10.1086/144517
Chen et al. (2019) Chen, S., Sesana, A., & Conselice, C. J. 2019, MNRAS, 488, 401, doi: 10.1093/mnras/stz1722
Chen et al. (2017) Chen, S., Sesana, A., & Del Pozzo, W. 2017, MNRAS, 470, 1738, doi: 10.1093/mnras/stx1093
Cheung et al. (2012) Cheung, E., Faber, S. M., Koo, D. C., et al. 2012, ApJ, 760, 131, doi: 10.1088/0004-637X/760/2/131
Ciambur (2015) Ciambur, B. C. 2015, ApJ, 810, 120, doi: 10.1088/0004-637X/810/2/120
Ciambur (2016) —. 2016, PASA, 33, e062, doi: 10.1017/pasa.2016.60
Ciotti (1991) Ciotti, L. 1991, A&A, 249, 99
Cutler & Flanagan (1994) Cutler, C., & Flanagan, É. E. 1994, Phys. Rev. D, 49, 2658, doi: 10.1103/PhysRevD.49.2658
Dabringhausen et al. (2008) Dabringhausen, J., Hilker, M., & Kroupa, P. 2008, MNRAS, 386, 864, doi: 10.1111/j.1365-2966.2008.13065.x
Davies et al. (1983) Davies, R. L., Efstathiou, G., Fall, S. M., Illingworth, G., & Schechter, P. L. 1983, ApJ, 266, 41, doi: 10.1086/160757
Davis et al. (2018) Davis, B. L., Graham, A. W., & Cameron, E. 2018, ApJ, 869, 113, doi: 10.3847/1538-4357/aae820
Davis et al. (2019) Davis, B. L., Graham, A. W., & Cameron, E. 2019, ApJ, 873, 85, doi: 10.3847/1538-4357/aaf3b8
Davis et al. (2017) Davis, B. L., Graham, A. W., & Seigar, M. S. 2017, MNRAS, 471, 2187, doi: 10.1093/mnras/stx1794
de Nicola et al. (2019) de Nicola, S., Marconi, A., & Longo, G. 2019, MNRAS, 2130, doi: 10.1093/mnras/stz2472
Dekel et al. (2019) Dekel, A., Lapiner, S., & Dubois, Y. 2019, arXiv e-prints, arXiv:1904.08431. https://arxiv.org/abs/1904.08431
Dressler & Richstone (1988) Dressler, A., & Richstone, D. O. 1988, ApJ, 324, 701, doi: 10.1086/165930
Droste (1917) Droste, J. 1917, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences, 19, 197
Dullo (2019) Dullo, B. T. 2019, ApJ, 886, 80, doi: 10.3847/1538-4357/ab4d4f
Dullo et al. (2020) Dullo, B. T., Gil de Paz, A., & Knapen, J. H. 2020, arXiv e-prints, arXiv:2012.04471. https://arxiv.org/abs/2012.04471
Dullo & Graham (2012) Dullo, B. T., & Graham, A. W. 2012, ApJ, 755, 163, doi: 10.1088/0004-637X/755/2/163
Dullo & Graham (2014) —. 2014, MNRAS, 444, 2700, doi: 10.1093/mnras/stu1590
Emsellem & van de Ven (2008) Emsellem, E., & van de Ven, G. 2008, ApJ, 674, 653, doi: 10.1086/524720
Fabian (1999) Fabian, A. C. 1999, MNRAS, 308, L39, doi: 10.1046/j.1365-8711.1999.03017.x
Fazio et al. (2004) Fazio, G. G., Hora, J. L., Allen, L. E., et al. 2004, ApJS, 154, 10, doi: 10.1086/422843
Ferrarese et al. (2006) Ferrarese, L., Cote, P., Blakeslee, J. P., et al. 2006, arXiv e-prints, astro. https://arxiv.org/abs/astro-ph/0612139
Ferrarese & Ford (2005) Ferrarese, L., & Ford, H. 2005, Space Sci. Rev., 116, 523, doi: 10.1007/s11214-005-3947-6
Ferrarese & Merritt (2000) Ferrarese, L., & Merritt, D. 2000, ApJ, 539, L9, doi: 10.1086/312838
Frank & Rees (1976) Frank, J., & Rees, M. J. 1976, MNRAS, 176, 633, doi: 10.1093/mnras/176.3.633
Gebhardt et al. (2000) Gebhardt, K., Bender, R., Bower, G., et al. 2000, ApJ, 539, L13, doi: 10.1086/312840
Graham & Colless (1997) Graham, A., & Colless, M. 1997, MNRAS, 287, 221, doi: 10.1093/mnras/287.1.221
Graham (2004) Graham, A. W. 2004, ApJ, 613, L33, doi: 10.1086/424928
Graham (2012) —. 2012, ApJ, 746, 113, doi: 10.1088/0004-637X/746/1/113
Graham (2016) Graham, A. W. 2016, in Astrophysics and Space Science Library, Vol. 418, Galactic Bulges, ed. E. Laurikainen, R. Peletier, & D. Gadotti, 263, doi: 10.1007/978-3-319-19378-6_11
Graham (2019a) —. 2019a, MNRAS, 1547, doi: 10.1093/mnras/stz1623
Graham (2019b) —. 2019b, PASA, 36, e035, doi: 10.1017/pasa.2019.23
Graham & Driver (2005) Graham, A. W., & Driver, S. P. 2005, Publications of the Astronomical Society of Australia, 22, 118, doi: 10.1071/AS05001
Graham & Driver (2007) —. 2007, ApJ, 655, 77, doi: 10.1086/509758
Graham & Guzmán (2003) Graham, A. W., & Guzmán, R. 2003, AJ, 125, 2936, doi: 10.1086/374992
Graham et al. (2006) Graham, A. W., Merritt, D., Moore, B., Diemand , J., & Terzić, B. 2006, AJ, 132, 2711, doi: 10.1086/508992
Graham & Scott (2013) Graham, A. W., & Scott, N. 2013, ApJ, 764, 151, doi: 10.1088/0004-637X/764/2/151
Graham et al. (2001) Graham, A. W., Trujillo, I., & Caon, N. 2001, AJ, 122, 1707, doi: 10.1086/323090
Graham et al. (2003) Graham, A. W., et al. 2003, AJ, 125, 2951, doi: 10.1086/375320
Gültekin et al. (2009) Gültekin, K., Richstone, D. O., Gebhardt, K., et al. 2009, ApJ, 695, 1577, doi: 10.1088/0004-637X/695/2/1577
Habouzit et al. (2019) Habouzit, M., Genel, S., Somerville, R. S., et al. 2019, MNRAS, 484, 4413, doi: 10.1093/mnras/stz102
Häring & Rix (2004) Häring, N., & Rix, H.-W. 2004, ApJ, 604, L89, doi: 10.1086/383567
Held & Mould (1994) Held, E. V., & Mould, J. R. 1994, AJ, 107, 1307, doi: 10.1086/116944
Hills (1975) Hills, J. G. 1975, Nature, 254, 295, doi: 10.1038/254295a0
Holley-Bockelmann (2016) Holley-Bockelmann, K. 2016, in AAS/High Energy Astrophysics Division, Vol. 15, AAS/High Energy Astrophysics Division #15, 301.04
Hopkins et al. (2021) Hopkins, P. F., Wellons, S., Angles-Alcazar, D., Faucher-Giguere, C.-A., & Grudic, M. Y. 2021, arXiv e-prints, arXiv:2103.10444. https://arxiv.org/abs/2103.10444
Jedrzejewski (1987a) Jedrzejewski, R. I. 1987a, MNRAS, 226, 747, doi: 10.1093/mnras/226.4.747
Jedrzejewski (1987b) Jedrzejewski, R. I. 1987b, in Structure and Dynamics of Elliptical Galaxies, ed. P. T. de Zeeuw, Vol. 127, 37–46
Jerjen et al. (2000) Jerjen, H., Binggeli, B., & Freeman, K. C. 2000, AJ, 119, 593, doi: 10.1086/301216
Jorgensen et al. (1995) Jorgensen, I., Franx, M., & Kjaergaard, P. 1995, MNRAS, 276, 1341, doi: 10.1093/mnras/276.4.1341
Kent (1984) Kent, S. M. 1984, ApJS, 56, 105, doi: 10.1086/190978
Kent et al. (1991) Kent, S. M., Dame, T. M., & Fazio, G. 1991, ApJ, 378, 131, doi: 10.1086/170413
King & Minkowski (1966) King, I. R., & Minkowski, R. 1966, ApJ, 143, 1002, doi: 10.1086/148580
Komossa (2015) Komossa, S. 2015, Journal of High Energy Astrophysics, 7, 148, doi: 10.1016/j.jheap.2015.04.006
Kormendy & Ho (2013) Kormendy, J., & Ho, L. C. 2013, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 51, 511, doi: 10.1146/annurev-astro-082708-101811
Liller (1966) Liller, M. H. 1966, ApJ, 146, 28, doi: 10.1086/148857
Lima Neto et al. (1999) Lima Neto, G. B., Gerbal, D., & Márquez, I. 1999, MNRAS, 309, 481, doi: 10.1046/j.1365-8711.1999.02849.x
Lin et al. (2019) Lin, L., Pan, H.-A., Ellison, S. L., et al. 2019, ApJ, 884, L33, doi: 10.3847/2041-8213/ab4815
Luo et al. (2016) Luo, J., Chen, L.-S., Duan, H.-Z., et al. 2016, Classical and Quantum Gravity, 33, 035010, doi: 10.1088/0264-9381/33/3/035010
Magorrian et al. (1998) Magorrian, J., Tremaine, S., Richstone, D., et al. 1998, AJ, 115, 2285, doi: 10.1086/300353
Makarov et al. (2014) Makarov, D., Prugniel, P., Terekhova, N., Courtois, H., & Vauglin, I. 2014, A&A, 570, A13, doi: 10.1051/0004-6361/201423496
Mapelli et al. (2012) Mapelli, M., et al. 2012, A&A, 542, A102, doi: 10.1051/0004-6361/201118444
Markwardt (2009) Markwardt, C. B. 2009, in Astronomical Society of the Pacific Conference Series, Vol. 411, Astronomical Data Analysis Software and Systems XVIII, ed. D. A. Bohlender, D. Durand, & P. Dowler, 251. https://arxiv.org/abs/0902.2850
Márquez et al. (2000) Márquez, I., Lima Neto, G. B., Capelato, H., Durret, F., & Gerbal, D. 2000, A&A, 353, 873. https://arxiv.org/abs/astro-ph/9911464
Marsden et al. (2020) Marsden, C., Shankar, F., Ginolfi, M., & Zubovas, K. 2020, Frontiers in Physics, 8, 61, doi: 10.3389/fphy.2020.00061
Matković & Guzmán (2005) Matković, A., & Guzmán, R. 2005, MNRAS, 362, 289, doi: 10.1111/j.1365-2966.2005.09298.x
Mazure & Capelato (2002) Mazure, A., & Capelato, H. V. 2002, A&A, 383, 384, doi: 10.1051/0004-6361:20011751
McConnell & Ma (2013) McConnell, N. J., & Ma, C.-P. 2013, ApJ, 764, 184, doi: 10.1088/0004-637X/764/2/184
Meijer (1936) Meijer, C. S. 1936, Nieuw Arch. Wiskd., II. Ser., 18, 10
Merritt (2004) Merritt, D. 2004, in Coevolution of Black Holes and Galaxies, ed. L. C. Ho, 263. https://arxiv.org/abs/astro-ph/0301257
Merritt (2006) Merritt, D. 2006, Memorie della Societa Astronomica Italiana, 77, 750. https://arxiv.org/abs/astro-ph/0602353
Michard & Simien (1988) Michard, R., & Simien, F. 1988, A&AS, 74, 25
Mingarelli et al. (2017) Mingarelli, C. M. F., Lazio, T. J. W., Sesana, A., et al. 2017, Nature Astronomy, 1, 886, doi: 10.1038/s41550-017-0299-6
Mockler et al. (2019) Mockler, B., Guillochon, J., & Ramirez-Ruiz, E. 2019, ApJ, 872, 151, doi: 10.3847/1538-4357/ab010f
Moore et al. (2015) Moore, C. J., Cole, R. H., & Berry, C. P. L. 2015, Classical and Quantum Gravity, 32, 015014, doi: 10.1088/0264-9381/32/1/015014
Nemmen et al. (2012) Nemmen, R. S., Georganopoulos, M., Guiriec, S., et al. 2012, Science, 338, 1445, doi: 10.1126/science.1227416
Nguyen et al. (2017) Nguyen, D. D., Seth, A. C., den Brok, M., et al. 2017, ApJ, 836, 237, doi: 10.3847/1538-4357/aa5cb4
Ni et al. (2019) Ni, Q., Yang, G., Brandt, W. N., et al. 2019, MNRAS, 490, 1135, doi: 10.1093/mnras/stz2623
Ni et al. (2020) Ni, Q., Brandt, W. N., Yang, G., et al. 2020, MNRAS, doi: 10.1093/mnras/staa3514
Novak et al. (2006) Novak, G. S., Faber, S. M., & Dekel, A. 2006, ApJ, 637, 96, doi: 10.1086/498333
Peebles (1972) Peebles, P. J. E. 1972, ApJ, 178, 371, doi: 10.1086/151797
Pfister et al. (2020) Pfister, H., Volonteri, M., Dai, J. L., & Colpi, M. 2020, MNRAS, 497, 2276, doi: 10.1093/mnras/staa1962
Planck Collaboration et al. (2018) Planck Collaboration, Aghanim, N., Akrami, Y., et al. 2018, ArXiv e-prints, arXiv:1807.06209. https://arxiv.org/abs/1807.06209
Prugniel & Simien (1997) Prugniel, P., & Simien, F. 1997, 122, 111
Rees (1988) Rees, M. J. 1988, Nature, 333, 523, doi: 10.1038/333523a0
Saglia et al. (2016) Saglia, R. P., Opitsch, M., Erwin, P., et al. 2016, ApJ, 818, 47, doi: 10.3847/0004-637X/818/1/47
Sahu et al. (2019a) Sahu, N., Graham, A. W., & Davis, B. L. 2019a, ApJ, 887, 10, doi: 10.3847/1538-4357/ab50b7
Sahu et al. (2019b) —. 2019b, ApJ, 876, 155, doi: 10.3847/1538-4357/ab0f32
Sahu et al. (2020) —. 2020, ApJ, 903, 97, doi: 10.3847/1538-4357/abb675
Savorgnan & Graham (2015) Savorgnan, G. A. D., & Graham, A. W. 2015, MNRAS, 446, 2330, doi: 10.1093/mnras/stu2259
Savorgnan & Graham (2016a) Savorgnan, G. A. D., & Graham, A. W. 2016a, MNRAS, 457, 320, doi: 10.1093/mnras/stv2713
Savorgnan & Graham (2016b) —. 2016b, ApJS, 222, 10, doi: 10.3847/0067-0049/222/1/10
Savorgnan et al. (2016) Savorgnan, G. A. D., et al. 2016, ApJ, 817, 21, doi: 10.3847/0004-637X/817/1/21
Schwarzschild (1916) Schwarzschild, K. 1916, Abh. Konigl. Preuss. Akad. Wissenschaften Jahre 1906,92, Berlin,1907, 1916, 189
Scott et al. (2013) Scott, N., Graham, A. W., & Schombert, J. 2013, ApJ, 768, 76, doi: 10.1088/0004-637X/768/1/76
Seigar et al. (2008) Seigar, M. S., Kennefick, D., Kennefick, J., & Lacy, C. H. S. 2008, ApJ, 678, L93, doi: 10.1086/588727
Sérsic (1963) Sérsic, J. L. 1963, BAAA, 6, 41
Sérsic (1968) —. 1968, Atlas de Galaxias Australes - English Translation of the chapter “Photometric Analysis”, Tech. rep., doi: 10.5281/zenodo.2562394
Sesana (2013) Sesana, A. 2013, MNRAS, 433, L1, doi: 10.1093/mnrasl/slt034
Sesana & Khan (2015) Sesana, A., & Khan, F. M. 2015, MNRAS, 454, L66, doi: 10.1093/mnrasl/slv131
Sesana et al. (2009) Sesana, A., Vecchio, A., & Volonteri, M. 2009, MNRAS, 394, 2255, doi: 10.1111/j.1365-2966.2009.14499.x
Shannon et al. (2015) Shannon, R. M., Ravi, V., Lentati, L. T., et al. 2015, Science, 349, 1522, doi: 10.1126/science.aab1910
Silk & Rees (1998) Silk, J., & Rees, M. J. 1998, A&A, 331, L1. https://arxiv.org/abs/astro-ph/9801013
Suess et al. (2021) Suess, K. A., Kriek, M., Price, S. H., & Barro, G. 2021, arXiv e-prints, arXiv:2101.05820. https://arxiv.org/abs/2101.05820
Terzić & Graham (2005) Terzić, B., & Graham, A. W. 2005, MNRAS, 362, 197, doi: 10.1111/j.1365-2966.2005.09269.x
Tody (1986) Tody, D. 1986, in Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers (SPIE) Conference Series, Vol. 627, Instrumentation in astronomy VI, ed. D. L. Crawford, 733, doi: 10.1117/12.968154
Tody (1993) Tody, D. 1993, in Astronomical Society of the Pacific Conference Series, Vol. 52, Astronomical Data Analysis Software and Systems II, ed. R. J. Hanisch, R. J. V. Brissenden, & J. Barnes, 173
Trujillo et al. (2001) Trujillo, I., Graham, A. W., & Caon, N. 2001, MNRAS, 326, 869, doi: 10.1046/j.1365-8711.2001.04471.x
van den Bosch (2016) van den Bosch, R. C. E. 2016, ApJ, 831, 134, doi: 10.3847/0004-637X/831/2/134
Vitral & Mamon (2020) Vitral, E., & Mamon, G. A. 2020, A&A, 635, A20, doi: 10.1051/0004-6361/201937202
Williams et al. (2010) Williams, M. J., Bureau, M., & Cappellari, M. 2010, MNRAS, 409, 1330, doi: 10.1111/j.1365-2966.2010.17406.x
Zhou et al. (2021) Zhou, Z. Q., Liu, F. K., Komossa, S., et al. 2021, ApJ, 907, 77, doi: 10.3847/1538-4357/abcccb

علاقات (كتلة الثقب الأسود)-(الكثافة النجمية الكروية): – (و –) و –