11institutetext: Dipartimento di Fisica e Astronomia & CSDC, Università di Firenze, via G. Sansone 1, I–50019 Sesto Fiorentino, Italy
11email: pierfrancesco.dicintio@unifi.it
11email: alicia.simonpetit@unifi.it
22institutetext: INFN - Sezione di Firenze, via G. Sansone 1, I–50019 Sesto Fiorentino, Italy
33institutetext: CREF, Via Panisperna 89A, I–00184 Rome, Italy
44institutetext: Center for Astro, Particle and Planetary Physics (CAP3), New York University Abu Dhabi
44email: mp5757@nyu.edu
55institutetext: Department of Astronomy & Center for Galaxy Evolution Research, Yonsei University,
Seoul 120-749, Republic of Korea
55email: sjyoon0691@yonsei.ac.kr

تقديم طريقة جديدة للتصادم متعدد الجسيمات من أجل تطور الأنظمة النجمية الكثيفة II

انهيار النواة
Pierfrancesco Di Cintio ⋆1⋆12233    Mario Pasquato Equal First Authors44    Alicia Simon-Petit 1122    Suk-Jin Yoon 55
(استُلم في سبتمبر 15، 1996؛ وقُبل في مارس 16، 1997)
الملخص

Context. قدمنا في ورقة سابقة طريقة جديدة لمحاكاة أنظمة جاذبية تصادمية ذات $N$-جسم بزمن تحجيم خطي مع $N$، بالاستناد إلى مقاربة التصادم متعدد الجسيمات (MPC). ويتيح لنا ذلك محاكاة العناقيد الكروية بسهولة بعدد واقعي من الجسيمات النجمية ($10^5 - 10^6$) في غضون ساعات على محطة عمل اعتيادية.

Aims. نطوّر عناقيد نجمية تحتوي على ما يصل إلى $10^6$ نجم حتى مرحلة انهيار النواة وما بعدها. ونكمّم جوانب عدة من انهيار النواة عبر تحقيقات متعددة ومعاملات مختلفة، مع حل نواة العنقود دائماً بعدد واقعي من الجسيمات.

Methods. نُجري مجموعة كبيرة من محاكاة $N$-جسم باستخدام شيفرتنا الجديدة MPCDSS. ودالة كتلة العنقود هي قانون قوى صرف من دون تطور نجمي، مما يسمح لنا بقياس آثار طيف الكتل في انهيار النواة بوضوح.

Results. في المراحل المؤدية إلى انهيار النواة، نجد علاقة قانون قوى بين حجم النواة والزمن المتبقي حتى انهيارها. ومن ثم تؤكد محاكياتنا صورة الانكماش النظري ذاتي التشابه، ولكن مع اعتماد على ميل دالة الكتلة. ويُظهر زمن انهيار النواة اعتماداً غير رتيب على هذا الميل، يلائمه قطع مكافئ جيداً. وينطبق ذلك أيضاً على عمق انهيار النواة وعلى مقياس زمن الاحتكاك الديناميكي للجسيمات الثقيلة. وتُظهر ملامح كثافة العناقيد عند انهيار النواة بنية قانون قوى مكسور، مما يشير إلى أن الحِدَب المركزية سمة حقيقية للنوى المنهارة. وترتد النواة بعد الانهيار، مع تقلبات مرئية، ويتطور ميل الكثافة الداخلي إلى قيمة تقاربية. أما وجود ثقب أسود متوسط الكتلة فيثبط انهيار النواة، جاعلاً إياه أكثر ضحالة بكثير بصرف النظر عن ميل دالة الكتلة.

Conclusions. نؤكد ونوسع عدة تنبؤات تتعلق بتطور العناقيد النجمية قبل انهيار النواة وأثناءه وبعده. وقد استندت هذه التنبؤات إلى حسابات نظرية أو إلى محاكاة مباشرة صغيرة الحجم ذات $N$-جسم. وهنا نختبرها بمحاكاة MPC بعدد أكبر بكثير من الجسيمات، مما يتيح لنا حل النواة المنهارة.

Key Words.:
(المجرة:) العناقيد الكروية: عامة - طرائق: عددية

1 المقدمة

بعد طور تشكل أولي من سحابة أم منهارة (Krumholz et al., 2019; Krause et al., 2020)، تخضع العناقيد النجمية التي تنجو من طرد الغاز المبكر (انظر مثلاً Pang et al., 2020) لتطور علماني شبه اتزاني. وينتهي طور أولي من انكماش النواة بلحظة فاصلة، عندما يتوقف انهيار النواة وينعكس مع بدء احتراق الثنائيات (Giersz and Heggie, 1994a, b; Baumgardt et al., 2002; Gieles et al., 2010; Alexander and Gieles, 2012). وقد وُجد أن ديناميكيات التذبذبات الجاذبية الحرارية اللاحقة (Sugimoto and Bettwieser, 1983; Goodman, 1987; Allen and Heggie, 1992) تتسم بجاذب فوضوي منخفض البعدية (Breeden and Cohn, 1995, والمراجع الواردة فيه). وعلى نحو أعم، دُرست أصول انهيار النواة وتبعاته تاريخياً تحليلياً (Ambartsumian, 1938; Spitzer, 1940; Chandrasekhar, 1942; Hénon, 1961; Lynden-Bell and Wood, 1968; Heggie, 1979b, a) ومن خلال المحاكاة (Larson, 1970; Spitzer and Shull, 1975; Hénon, 1975; Baumgardt et al., 2003)؛ انظر Meylan and Heggie (1997) لمراجعة مبكرة لكليهما. بعد ترسخ أهمية انهيار النواة، أُنجزت مجموعة كبيرة من الأعمال حول تطور العناقيد النجمية وصولاً إلى انهيار النواة وما بعده، مع اعتماد قوي على محاكاة مباشرة ذات $N$-جسم حيث ازداد $N$ على مر السنين مع تحسن قدرات العتاد (انظر مثلاً Spurzem and Aarseth, 1996; Makino, 1996; Baumgardt and Makino, 2003; Trenti et al., 2010; Hurley and Shara, 2012; Sippel et al., 2012; Heggie, 2014). غير أن التعقيد الزمني للمحاكاة المباشرة ذات $N$-جسم لا يقل عن التربيعي (مثلاً Aarseth, 1999; Harfst et al., 2007). وبفضل الشيفرات المتوازية العاملة على وحدات GPU (Wang et al., 2015)، تبلغ المحاكاة الحالية $N \approx 10^6$، لكن ذلك لا يزال يتطلب آلاف الساعات على عنقود حاسوبي مخصص (Wang et al. 2016؛ انظر أيضاً مثلاً Heggie 2011 والمراجع الواردة فيها)، مع أن شيفرات $N$-جسم الحديثة جداً تخفف هذه المشكلة (Wang et al., 2020) من دون أن تغير سلوك التحجيم العام. وهذا يجعل تكرار أي تجربة عددية معينة غير عملي، ويجبر الباحثين في أحسن الأحوال على الاعتماد على عدد قليل فقط من تحقيقات نظام معين.
بينما يمكن من حيث الجوهر محاكاة العناقيد المفتوحة بنسبة $1$:$1$ بين النجوم الحقيقية وجسيمات المحاكاة، فإن عدم عملية المحاكاة المباشرة الكبيرة ذات $N$-جسم له تبعات ضارة على نمذجة العناقيد الكروية (باستثناء الأصغر منها ربما) والأنظمة الأكبر مثل العناقيد النجمية النووية. وقد أُدرك مبكراً جداً (Goodman, 1987) أن الافتراض الضمني بإمكان توسيع نتائج المحاكاة المباشرة الصغيرة ذات $N$-جسم بمرتبة مقدار واحدة أو أكثر أمر خطير، لأن السلوك الديناميكي بعد الانهيار قد يصبح مختلفاً نوعياً مع ازدياد أعداد الجسيمات. إضافة إلى ذلك، حتى إذا كانت أزمنة العبور المعاد تحجيمها متساوية، فإن المحاكاة المباشرة بأعداد جسيمات مختلفة اختلافاً كبيراً تمتلك أزمنة استرخاء ثنائية الأجسام فعالة مختلفة كثيراً، تعتمد صراحة على عدد الجسيمات $N$ على صورة $N/\log(N)$. وكما سُبق الاعتراف بذلك في سياق المحاكاة الكونية (انظر مثلاً Binney and Knebe 2002; Diemand et al. 2004; El-Zant 2006)، قد يؤدي ذلك إلى فروق كبيرة في الحالات النهائية لمحاكاتين تمثلان النظام ”نفسه” ذي الكتلة الكلية $M$ ولكن بعددين مختلفين من الجسيمات. وعلى وجه الخصوص، ستنشأ جميع عمليات عدم الاستقرار المرتبطة بآثار التقطّع في أزمنة أبكر (بوحدات زمن ديناميكي معطى بوصفه دالة لكثافة كتلية وسطية ثابتة ρ¯، tdyn=1/G⁢ρ¯) عندما يُستخدم عدد أصغر من الجسيمات في المحاكاة.
علاوة على ذلك، فإن المحاكاة منخفضة $N$ التي تتضمن ثقباً أسود متوسط الكتلة ذا كتلة $M_{\mathrm{IMBH}}$ في نواة عنقود نجمي كتلتها $M_{\mathrm{core}}$ ومتوسط الكتلة النجمية فيها $\langle m \rangle$ لا بد أن تكون غير واقعية، إما بتخفيض نسبة $M_{\mathrm{IMBH}}/\langle m \rangle$ أو بالمبالغة في نسبة $M_{\mathrm{IMBH}}/M_{\mathrm{core}}$، لأن $M_{\mathrm{core}}/\langle m \rangle$ هو عدد النجوم (المنخفض على نحو غير واقعي) المدرجة في النواة المحاكاة. وبذلك، قد يتغير مثلاً مقياس زمن الاحتكاك الديناميكي لثقب أسود مزاح وهو يغوص عائداً إلى نواة العنقود النجمي تغيراً ملحوظاً، مما قد يقود إلى استنتاجات خاطئة عن ديناميكيات العنقود نفسه. كما أن عدداً أصغر من جسيمات المحاكاة عند كتلة كلية ثابتة للعنقود يؤثر أيضاً في تشكل مخروط الفقد، إذ إن هذا الأخير تحكمه أساساً نسبة الكتلة بين الثقب الأسود والنجوم.
تمثل الطرائق التقريبية بديلاً للمحاكاة المباشرة ذات $N$-جسم، وهي تستند عادة إلى حل معادلة فوكر-بلانك (مثلاً Hypki and Giersz, 2013, لأحدث حال من محلل مونت كارلو)، مما يؤدي إلى أزمنة تشغيل أقصر على نحو كبير. وفي ورقة سابقة (Di Cintio et al., 2021, ويشار إليها فيما يلي بـ D2020) قدمنا شيفرة لمحاكاة أنظمة جاذبية ذات $N$-جسم تتبع مقاربة جديدة لتقريب التطور التصادمي من خلال ما يسمى طريقة التصادم متعدد الجسيمات. ونحيل القارئ إلى D2020 للاطلاع على تفاصيل الطريقة ومسوغها وتنفيذها. ونركز في هذا العمل على استخدام شيفرتنا لمحاكاة عناقيد نجمية تحتوي على ما يصل إلى $10^6$ جسيم عبر انهيار النواة، مع حساب عدة مؤشرات للحالة الديناميكية للعنقود ومقارنتها بالتوقعات النظرية. ولأن المحاكاة النموذجية لدينا لا تستغرق أكثر من بضع ساعات على محطة عمل عادية، نستطيع تشغيل تحقيقات متعددة لأي نظام معطى واستكشاف فضاء المعاملات ذي الصلة بسعة، ولا سيما دراسة أثر تغيير ميل دالة الكتلة. ومن أجل تحقيق تسريع إضافي وتبسيط المحاكاة العددية، نهمل في تنفيذ MPCDSS المستخدم هنا التطور النجمي11 1 نلاحظ أن تضمين التطور النجمي في محاكي معتمد على الجسيمات للعناقيد الكروية لا يكلف سوى زيادة من رتبة $N$ في الزمن الحسابي، إذ إن عنق زجاجة التكامل يبقى دائماً تقييم قوى الجاذبية، التي تتحجم في أفضل الأحوال على صورة $N\log(N)$.، المفرد والثنائي معاً. وعلى الرغم من أننا لا نمذج الثنائيات حالياً، فإنها ستُدرج في نسخة قادمة من الشيفرة (Di Cintio et al. قيد الإعداد). ومع أن هذه الاختيارات تقلل التعقيد العددي للمحاكاة على حساب بعض الفقدان في الواقعية، فإنها تسمح لنا أيضاً بفصل الأسباب الديناميكية الصرفة لعدد من الظواهر المحددة عن تلك الناشئة مثلاً عن التطور النجمي؛ وهذا ييسر المقارنات مع الأعمال النظرية البحتة.

2 المحاكاة

2.1 الشروط الابتدائية

أجرينا مجموعة من محاكيات هجينة تجمع بين شبكة الجسيمات والتصادم متعدد الجسيمات باستخدام شيفرة MPCDSS المقدمة حديثاً (في D2020 قارنا هذه الطريقة بالمحاكاة المباشرة ذات $N$-جسم، مبينين نتائج متشابهة رغم أزمنة التشغيل الأقصر جذرياً) على محطة عمل ذات 8 نواة. ويتراوح عدد جسيمات المحاكاة بين $10^4$ و$10^6$، موزعة ابتدائياً وفق ملمح Plummer (1911)

\begin{equation}\label{plummer} \rho(r)=\frac{3}{4\pi}\frac{Mr_s^2}{(r_s^2+r^2)^{5/2}}, \end{equation} (1)

ذي الكتلة الكلية $M$ ونصف قطر المقياس $r_s$. أما دالة الكتلة فهي قانون قوى صرف للكتلة من الشكل

\begin{equation}\label{mspectrum} \mathcal{F}(m) = \frac{C}{m^{\alpha}};\quad m_{\rm min} \leq m\leq m_{\rm max}, \end{equation} (2)

ويكون Salpeter (1955) حالة خاصة منه تقابل $\alpha=2.3$، حيث يعتمد ثابت التطبيع $C$ على نسبة الكتلة الدنيا إلى الكتلة العظمى $\mathcal{R}=m_{\rm min}/m_{\rm max}$ بحيث إن $\int_{m_{\rm min}}^{m_{\rm max}}\mathcal{F}(m){\rm d}m=M$.
في المحاكاة المعروضة في هذا العمل نركز على القيم الثلاث لـ $\mathcal{R}=10^{-2}$، $10^{-3}$ و$10^{-4}$. ويمتد الأس $\alpha$ من $0.6$ إلى $3.0$ بزيادات قدرها $0.1$. وتتطور الأنظمة في عزلة، ويُوقف التطور النجمي، وتُضبط نسبة الثنائيات البدئية دائماً على الصفر.

Table 1: معاملات الشروط الابتدائية لعمليات التشغيل لدينا.
N α ℛ MIMBH
2×105 0.6 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 0.7 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 0.8 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 0.9 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.0 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.1 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.2 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.3 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.4 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.5 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.6 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.7 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.8 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 1.9 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.0 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.1 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.2 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.3 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.4 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.5 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.6 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.7 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.8 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 2.9 10−4, 10−3, 10−2 −
2×105 3.0 10−4, 10−3, 10−2 −
106 2.3 10−2 −
106 2.3 10−2 3×10−4
106 2.3 10−2 10−3
106 2.3 10−2 3×10−3

2.2 المخطط العددي

اتساقاً مع D2020، طورنا جميع مجموعات المحاكاة لنحو $10^4$ زمن ديناميكي $t_{\rm dyn}\equiv\sqrt{r_s^3/GM}$، بحيث تصل الأنظمة في كل الحالات إلى انهيار النواة وتُطوَّر بعده أيضاً لمدة لا تقل عن $10^3t_{\rm dyn}$ إضافية. واستخدمنا تنفيذنا الحديث لـ MPCDSS، حيث يُحسب الجهد والقوة الجاذبيان الجمعيان بواسطة مخططات قياسية للجسيمات داخل الخلايا على شبكة كروية ثابتة من $N_g=N_r\times N_\vartheta\times N_\varphi$ نقطة شبكية، في حين تُحل التصادمات (الديناميكية) بين الجسيمات باستخدام ما يسمى مخطط التصادم متعدد الجسيمات (ويشار إليه فيما يلي بـ MPC، انظر Malevanets and Kapral 1999).
في المحاكاة المقدمة هنا حللنا معادلة بواسون $\Delta\Phi=-4\pi G\rho$ باستخدام شبكة ثابتة ذات $N_r=1024$ و$N_\vartheta=16$ و$N_\varphi=16$، مع حاويات شعاعية متباعدة لوغاريتمياً وممتدة حتى $100r_s$22 2 تتأثر الجسيمات خارج ذلك نصف القطر بحد الاحتكار $1/r$ لتوزيع الكتلة.، وذلك بطريقة شبكة الجسيمات الكروية لـ Londrillo and Messina 1990. وبما أن الأنظمة المدروسة يُفترض أن تحافظ على تناظرها الكروي، فقد أخذنا متوسط الجهد $\Phi$ على طول الإحداثيين السمتي والقطبي لتقليل ضجيج $N$ الصغير في الخلايا قليلة الإشغال ولفرض التناظر الكروي طوال المحاكاة.
يتألف MPC (انظر Di Cintio et al. 2017، وD2020 لمزيد من التفاصيل) جوهرياً من تدوير سرعات الجسيمات في الخلية اعتماداً على الخلية نفسها، ضمن إطار مركز كتلة الخلية المتحرك بسرعة $\mathbf{u}_{\rm com}$ في إطار المحاكاة؛ وبالنسبة إلى الجسيم $j-$ ذي السرعة $\mathbf{v}_j$ في الخلية $i$ يُكتب ذلك على الصورة

\begin{equation}\label{rotation} \mathbf{v}_{j}^\prime=\mathbf{u}_i+\delta\mathbf{v}_{j,\perp}{\rm cos}(\alpha_i)+(\delta\mathbf{v}_{j,\perp}\times\mathbf{R}_i){\rm sin}(\alpha_i)+\delta\mathbf{v}_{j,\parallel}. \end{equation} (3)

في المعادلة أعلاه، $\mathbf{R}_i$ هو محور دوران عشوائي، و$\delta\mathbf{v}_j=\mathbf{v}_j-\mathbf{u}_i$ و$\delta\mathbf{v}_{j,\perp}$ و$\delta\mathbf{v}_{j,\parallel}$ هي مركبات السرعة النسبية العمودية والموازية لـ $\mathbf{R}_i$ على التوالي. وعندما تُختار زاوية الدوران $\alpha_i$ عشوائياً فإنها تعطي قاعدة MPC تحفظ الطاقة الحركية والزخم فقط. أما إذا حُددت بدالة معينة (انظر مجدداً D2020 للتفاصيل) لمواضع الجسيمات في إطار المحاكاة وسرعاتها في إطار مركز الكتلة، فإنها تتيح أيضاً حفظ إحدى مركبات متجه الزخم الزاوي.
في المحاكاة المناقشة في هذا العمل، تُنفذ عملية MPC على شبكة قطبية مختلفة عن تلك المستخدمة في حساب الجهد، ذات $N_g=32\times 16\times 16$ نقطة، وممتدة فقط حتى $r_{\rm cut}=20r_s$. وبهذا لا تتأثر الجسيمات عند أنصاف أقطار أكبر (أي في منطقة تكون فيها الكثافة منخفضة للغاية) بالتصادمات.
في جميع المحاكاة المقدمة هنا نستخدم التطبيع نفسه بحيث إن $G=M=r_s=t_{\rm dyn}=1$. وبهذه الوحدات نعتمد خطوة زمنية ثابتة $\Delta t=10^{-2}$ تضمن دائماً توازناً جيداً بين الدقة والكلفة الحسابية.
في عمليات التشغيل التي تتضمن IMBH مركزياً، تُقيّم تفاعلاته مع النجوم مباشرة، أي إن IMBH لا يشارك في خطوة MPC ولا في تقييم جهد المجال المتوسط. ومن أجل الحفاظ على $\Delta t$ الكبير نسبياً نفسه للمحاكاة، يُنعّم الجهد الذي يؤثر به IMBH على الصورة $\Phi_{\rm IMBH}=-GM_{\rm IMBH}/\sqrt{r^2+\epsilon^2}$، حيث نأخذ $\epsilon=10^{-4}$ بوحدات $r_s$ بحيث يكون طول التنعيم، لنسبة كتلة IMBH إلى كتلة العنقود $10^{-3}$، دائماً من رتبة عُشر نصف قطر تأثير IMBH.

3 النتائج

Refer to caption
Figure 1: كثافة النواة ρ¯c (اللوحة العلوية) بدلالة الزمن بوحدات مقياس الزمن الديناميكي للمحاكاة. تطور أنصاف الأقطار اللاغرانجية 3D بوحدات نصف قطر مقياس بلامر الابتدائي $r_s$ (من الأسفل إلى الأعلى: $2\%$ و$10\%$ و$50\%$ و$90\%$؛ اللوحة السفلية). تُعرض محاكيات ذات ميل دالة كتلة $\alpha = 0.6$ و$1.0$ و$1.5$ و$2.0$ و$2.3$ و$2.5$ و$3.0$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$.
Refer to caption
Figure 2: اعتماد قانون قوى بين حجم النواة (نصف القطر اللاغرانجي $r_{2\%}$ 3D) والزمن المتبقي حتى انهيار النواة $t_{\mathrm{cc}} - t$. وتبقى علاقة قانون القوى (التي تظهر خطية في مقياس لوغاريتمي مزدوج) صالحة في الأطوار الأولى من انهيار النواة. نعرضها هنا لنماذج ذات ميل دالة كتلة $\alpha = 0.6$ و$0.8$ و$1.0$ و$1.2$ و$1.4$ و$1.6$، وعدد نجوم $N=2\times 10^5$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$. وبسبب تعريفنا للمحور x، يزداد الزمن من اليمين إلى اليسار. وتمثل الخطوط المتصلة بيانات محاكياتنا، أما الخطوط المتقطعة المتراكبة فتمثل ملاءمة خطية متينة بين الزمن الابتدائي و$t_{cc} - 100t_{\rm dyn}$. ويبدو أن المعامل الزاوي لخطوط الانحدار يتغير منهجياً مع دالة الكتلة. وكما هو متوقع، تنكسر علاقة قانون القوى قبل انهيار النواة، عندما ينتهي طور الانكماش ذاتي التشابه.
Refer to caption
Figure 3: ملمح كثافة 3D بقانون قوى مزدوج عند $t_{cc}$ للنماذج ذات $\alpha=0.6$ و$1.0$ و$1.5$ و$2.0$ و$2.3$ و$2.5$ و$3.0$ و$N=2\times 10^5$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$. ويُعرض ملمح بلامر الابتدائي المتناحي على هيئة خط أسود متصل رفيع. وتميز الخطوط المتقطعة والمنقطة اتجاهي النهاية الداخلية والخارجية ($\rho\sim r^{-1.5}$ و$\sim r^{-3}$ من كثافة النواة، على التوالي).
Refer to caption
Figure 4: التطور الزمني لمؤشر الفصل الكتلي $\phi_{mr}$ المحسوب داخل $r_{2\%}$ للنماذج ذات $\alpha=0.6$ و1.0 و2.3 و3.0 و$\mathcal{R}=10^{-3}$.
Refer to caption
Figure 5: زمن بدء الفصل الكتلي $t_{\rm ms}$ بوحدات $t_{\rm dyn}$، بدلالة ميل طيف الكتل $\alpha$ للنماذج ذات $\mathcal{R}=10^{-3}$.
Refer to caption
Figure 6: تطور ميل الكثافة 3D، $\gamma$، بين $r_{50\%}$ و$r_{80\%}$ (اللوحة العليا)، وبين $r_{10\%}$ و$r_{50\%}$ (اللوحة السفلى) للنماذج ذات $\alpha=0.6$ و$1.0$ و$1.5$ و$2.0$ و$2.3$ و$2.5$ و$3.0$، و$N=2\times 10^5$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$. ويميز الخط الأفقي المتقطع في اللوحة السفلى الميل التقاربي $\gamma=-2.23$.

3.1 التطور قبل انهيار النواة

عرّفنا زمن انهيار النواة $t_{cc}$ بأنه الزمن الذي يبلغ فيه نصف القطر 3D المحتوي على أكثر $2\%$ مركزية من جسيمات المحاكاة حده الأدنى المطلق. وفيما يلي نشير إلى ذلك باسم نصف القطر اللاغرانجي $r_{2\%}$. ويكون نصف القطر $2\%$ صغيراً بما يكفي لتتبع ديناميكيات الأجزاء الأعمق من النواة، مع أنه لا يزال يضم عدداً كافياً من الجسيمات ليكون قليل التأثر نسبياً بضجيج العد. كما حسبنا أنصاف الأقطار اللاغرانجية 3D، $r_{L}(t)$، التي تحيط بكسور مختلفة من العدد الكلي للجسيمات $N$، تتراوح من $2\%$ إلى $90\%$. ونتتبع تطور محاكياتنا نحو انهيار النواة عبر هذه الأنصاف وعبر كثافة الكتلة المركزية ρ¯c⁢(t). وتُعرّف الأخيرة بأنها متوسط كثافة الكتلة 3D داخل $5\%$ من نصف قطر مقياس نموذج بلامر الابتدائي لدينا، أي $r_m = 0.05 r_s$.
يُعرض تطور ρ¯c وأنصاف الأقطار اللاغرانجية المختارة في اللوحتين العليا والسفلى من الشكل 1، على التوالي، للتشغيلات ذات $\mathcal{R}=10^{-3}$ و$N=2\times10^5$ و$\alpha=0.6$ و$1.0$ و$1.5$ و$2.0$ و$2.3$ و$2.5$ و$3.0$. في جميع المحاكيات تزداد الكثافة المركزية رتيباً (مع تقلبات) مع الزمن حتى تبلغ قيمة عظمى تقابل انهيار النواة. ويحدد ميل دالة الكتلة كلاً من الزمن الذي تُبلغ فيه الكثافة العظمى وخصائص نمو الكثافة قبل هذه القيمة العظمى، إذ يعمل $\alpha=1.5$ فاصلاً بين تطور مقعر ومحدب (في المقياس اللوغاريتمي المزدوج، انظر الشكل 1). وبوجه عام، في النماذج المرتبطة بقيم أكبر لـ $\alpha$ تزداد الكثافة المركزية بسرعة متزايدة وتستقر عند قيمة ثابتة إلى حد ما بعد انهيار النواة، في حين تكون أنصاف الأقطار اللاغرانجية الداخلية قد بدأت بالتوسع من جديد. نقارن هذا السلوك بنموذج مبسط للانهيار ذاتي التشابه ومتساوي الكتلة مثل ذلك المعروض في Spitzer 1987، الفصل 3.1 (لكن انظر أيضاً Lynden-Bell and Eggleton 1980 والنقاش اللاحق)، والذي يتنبأ بنمو رتيب للكثافة مع الزمن، غالباً بانحناء موجب. ومن الواضح أن وجود طيف كتلي في محاكياتنا يضيف درجة حرية إضافية، مما يعقد سلوك النظام33 3 في الواقع، بينا في D2020 (الشكل 6) أن العدد التراكمي للهاربين دالة خطية إلى حد بعيد في الزمن، بصرف النظر عن ميل دالة الكتلة $\alpha$. وتحت هذا الشرط يكون المعامل الحر الوحيد $\zeta$ في النموذج المعروض في الفصل 3.1 من Spitzer (1987) محدداً تماماً، مما يعطي كثافة ثابتة بدلالة الزمن. وعلى وجه الخصوص، تضع المعادلة 3.6 من Spitzer (1987) القيمة $\zeta = 5/3$، ومن ثم يصبح أس قانون القوى في المعادلة 3.8 مساوياً لـ $0$.. وبوجه خاص، يعني وجود طيف كتلي أنه بينما يبدأ انهيار النواة، يخضع النظام أيضاً للفصل الكتلي. ويحدث هذا الأخير بمعدلات مختلفة اعتماداً على بنية طيف الكتل نفسه، إذ قد تمتلك الكتل المختلفة من حيث المبدأ مقاييس زمن احتكاك ديناميكي مختلفة. وفي الواقع، وجد Ciotti (2010, 2021) أنه في النماذج (الممتدة إلى ما لا نهاية) ذات الأطياف الكتلية الأسية أو ذات قانون القوى تتأثر قوة معامل الاحتكاك الديناميكي $\nu$ بشدة بتوزيع الكتلة، وذلك للجسيمات الاختبارية ذات الكتل القابلة للمقارنة مع الكتلة المتوسطة $\langle m\rangle$، إذ تكون أكبر بما يصل إلى عامل 10 مقارنة بالحالة الكلاسيكية.
تخضع جميع محاكياتنا لانهيار النواة خلال أربعة أزمنة استرخاء ثنائية الأجسام ابتدائية على الأكثر (المعرفة بأنها $t_{2b}=0.138Nt_{\rm dyn}/\log N$). ومن الشكل 1 يبدو أن المسارات التطورية لأنصاف الأقطار اللاغرانجية متشابهة عبر تحقيقات متعددة بالقيم نفسها لـ $\mathcal{R}$ و$N$ ولكن بقيم مختلفة لـ $\alpha$. وبعبارة أخرى، تتمدد العناقيد النجمية المحاكاة لدينا في الحجم المتوسط رتيباً مع اعتماد محدود نسبياً على طيف الكتل. أما هذا الأخير فله تأثير واضح في تطور النواة كما تصفه أنصاف الأقطار اللاغرانجية الأعمق، التي تنكمش بأنماط مختلفة بوضوح لقيم $\alpha$ المختلفة. وقد حسب Lynden-Bell and Eggleton (1980) تحليلياً التطور الزمني لنصف قطر نواة العنقود $r_c$ في الأطوار المؤدية إلى انهيار النواة، ضمن سياق سيناريو انهيار ذاتي التشابه:

rc∝(tc⁢c−t)2/(6−μ) (4)

حيث $2 < \mu < 2.5$.

Refer to caption
Figure 7: زمن انهيار النواة بدلالة ميل دالة الكتلة (اللوحة العلوية) وعمق انهيار النواة (اللوحة السفلية) لنماذج بلامر معزولة ذات $N=2\times 10^5$ و$\mathcal{R}=10^{-2}$ (مربعات حمراء)، و$10^{-3}$ (دوائر سوداء)، و$10^{-4}$ (مثلثات أرجوانية). وتُعطى الأزمنة بوحدات الزمن الديناميكي $t_{\rm dyn}$. وتميز الخطوط المتصلة أفضل ملاءمة متعددة حدود من الرتبة الثانية لدينا.

تتوافق محاكياتنا نوعياً مع التنبؤات التحليلية لـ Lynden-Bell and Eggleton (1980) في الطور الابتدائي من انهيار النواة، بصرف النظر عن العدد المحدد للجسيمات ونسب الكتل عندما $\alpha\lesssim 1.5$. وفي الشكل 2 نعرض اعتماد قانون القوى لنصف القطر اللاغرانجي $2\%$ على الزمن المتبقي حتى انهيار النواة ($t_{cc} - t$) من أجل $\alpha = 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6$ مع $N=2\times 10^5$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$، وهو يظهر علاقة خطية في مخططنا اللوغاريتمي المزدوج.
بالنسبة إلى القيم الأعلى لـ $\alpha$، التي يحدث فيها انهيار النواة خلال بضع مئات من $t_{\rm dyn}$، يصبح ملاءمة علاقة خطية أصعب بسبب عدم كفاية نقاط البيانات. ومن المتوقع أن يحدث الانحراف عن Lynden-Bell and Eggleton (1980) في المراحل المتأخرة من انهيار النواة بسبب آليات توليد الطاقة في نواة العنقود؛ وهذا ما يُلاحظ فعلاً في الشكل 2، الذي يُظهر تناسباً بين $\log r_{2\%}$ و$\log {(t_{cc} - t)}$ إلى أن يتشبع $\log r_{2\%}$ عند قيمة ثابتة عندما تتوقف النواة عن الانكماش.
غير أن ميل علاقة قانون القوى هذه يعتمد على دالة الكتلة الابتدائية في محاكاتنا، ومن ثم لا يمكن للمعادلة 4 أن تصح بقيمة ثابتة لـ $\mu$ على كامل مجموعة محاكياتنا. وهذا التباين غير مفاجئ لأن Lynden-Bell and Eggleton (1980) استخدم تقريب الكتلة المتساوية. ويبدو أن طيف الكتل يؤثر في ديناميكيات انهيار النواة من جهتين. أولاً، عند كتلة كلية وملمح كثافة ثابتين، يؤثر في معدل حدوث الانكماش (شبه) ذاتي التشابه، وثانياً يملي أزمنة مختلفة يغادر فيها هذا الانكماش حالة التشابه الذاتي (انظر مثلاً Khalisi et al. 2007). وبوجه خاص، تمتلك النماذج ذات الأطياف الكتلية الأكثر تسطحاً (أي ذات $\alpha$ أصغر) أطوار انهيار ذاتي التشابه أطول بكثير. ونفسر هذه الحقيقة بوصفها أثراً للتنافس بين الفصل الكتلي وانهيار النواة نفسه.
لدراسة عملية الفصل الكتلي في نظام متعدد الكتل حسبنا زمنياً المؤشر $\phi_{mr}$ المعرف على الصورة

\begin{equation}\label{indicator} \phi_{mr}=\frac{\langle mr\rangle}{\langle m\rangle\langle r\rangle}. \end{equation} (5)

في المعادلة أعلاه، $\langle x\rangle$ هو متوسط الكمية $x$ داخل نصف قطر لاغرانجي معين. ويمكن فهم هذا المؤشر بأنه نصف القطر المتوسط الموزون بالكتلة مقسوماً على نصف القطر المتوسط. ولأن جميع الشروط الابتدائية المستخدمة في هذا العمل تتصف بأطياف كتلية مستقلة عن الموضع، فإن $\phi_{mr}=1$ عند جميع أنصاف الأقطار عند $t=0$. ومع تطور الأنظمة، وغوص النجوم الأثقل إلى أنصاف أقطار أصغر $r$، نتوقع أن ينخفض $\phi_{mr}$ (على الأقل عندما يُحسب لأنصاف أقطار لاغرانجية أصغر من نحو $r_{50\%}$).
قيّمنا $\phi_{mr}$ داخل أنصاف أقطار لاغرانجية مختلفة، ووجدنا أن النماذج تبقى أساساً غير مفصولة كتلياً حتى نحو $100 t_{\rm dyn}$، بينما تؤدي تبادلات الطاقة المتواسطة بالتصادمات في أزمنة لاحقة، وبمعدلات مختلفة، إلى تركز النجوم الأثقل في المنطقة الداخلية من الأنظمة. وكمثال، نعرض في الشكل 4 التطور الزمني لمؤشر الفصل للحالات $\alpha=0.6$ و1.0 و2.3 و3.0 مع $\mathcal{R}=10^{-3}$. ومن اللافت أنه في جميع الحالات يستقر $\phi_{mr}$ عند قيمة ثابتة معقولة لعدة آلاف من الأزمنة الديناميكية قبل أن يتغير تغيراً ملحوظاً، في حين تكون أنصاف الأقطار اللاغرانجية الموافقة في النافذة الزمنية نفسها قد بدأت بإعادة التوسع سريعاً؛ قارن بالشكل 1 أعلاه.
أما في الشكل 5 فنعرض الزمن $t_{\rm ms}$ الذي يبدأ عنده الفصل الكتلي بالحدوث (أي عندما يبدأ $\phi_{mr}$ بالابتعاد بوضوح عن 1) بدلالة أس طيف الكتل $\alpha$. ونجد أن مقياس زمن الفصل الكتلي هذا يتناقص رتيباً مع ازدياد $\alpha$، في حين أن القيمة النهائية لـ $\phi_{mr}$ لها اتجاه غير رتيب مع $\alpha$.

3.2 ملمح الكثافة عند انهيار النواة: قانون قوى مكسور

انطلاقاً من شرط ابتدائي لبلامر ذي نواة مسطحة، يخضع الشكل الدالي لملمح الكثافة في جميع الحالات لتطور درامي قبل انهيار النواة وبعده. ولجميع القيم المستكشفة لـ $\alpha$ و$\mathcal{R}$، يظهر ملمح الكثافة عند زمن انهيار النواة $t_{cc}$ بنية متعددة القوانين القوية، كما هو مبين في الشكل 3 من أجل $\alpha=0.6$ و$1.0$ و$1.5$ و$2.0$ و$2.3$ و$2.5$ و$3.0$، و$\mathcal{R}=10^{-3}$. وتُرصد مثل هذه البنية متعددة القوانين القوية أيضاً في بعض العناقيد الكروية المجرية التي حُلت نواها باستخدام تلسكوب هابل الفضائي (مثلاً Noyola and Gebhardt, 2007)، وغالباً ما تُعد مؤشراً على انهيار النواة (انظر Trenti et al., 2010; Vesperini and Trenti, 2010, لمناقشة تستند إلى محاكاة مباشرة ذات $N$-جسم). وعادة ما ترتبط القيم المنخفضة لـ $\alpha$ بملامح كثافة مركزية أشد انحداراً، مع ميلي الكثافة في النواة والخارج $\gamma_{\rm int}$ و$\gamma_{\rm ext}$ بين $-1.5$ و$-3$.
نُظهر في الشكل 6 أن تطور ملمح الكثافة من أجل $\alpha\gtrsim 1.5$ يؤدي، على نحو لافت، في أزمنة لاحقة إلى ميل كثافة مركزي متوافق مع $\gamma\sim -2.23$. ويصح ذلك بصرف النظر عن القيمة المحددة لـ $\alpha$، ويتفق مع ما وجده Hurley and Shara (2012); Giersz et al. (2013); Pavlík and Šubr (2018) وD2020. وهذا يتطابق أساساً مع قيمة الميل $\gamma\sim -2.21$ التي وجدها Lynden-Bell and Eggleton (1980) باستخدام تقريب التوصيل الحراري لنقل الطاقة المتواسط باللقاءات النجمية.

3.3 زمن وعمق انهيار النواة

كما ذُكر أعلاه، نأخذ في كل محاكاة زمن انهيار النواة $t_{cc}$ بأنه الزمن الذي تتحقق فيه القيمة الدنيا لنصف القطر اللاغرانجي $r_{2\%}$ 3D. وتُظهر اللوحة العلوية من الشكل 7 الكمية $t_{cc}$ بدلالة قانون القوى الابتدائي لدالة الكتلة $\alpha$.
تكون المحاكيات التي تبدأ بدالة كتلة أشد انحداراً (أي بقيم أعلى لـ $\alpha$) أكثر شبهاً بحالة الكتلة المتساوية، ومن ثم تصل إلى انهيار النواة في أزمنة لاحقة (بصرف النظر عن عدد الجسيمات، ولجميع نسب الكتل $\mathcal{R}$، إذا قيس الزمن بوحدات المقاييس الزمنية الديناميكية للمحاكاة. انظر أيضاً الشكل 7 في D2020). وهذا ما تتوقعه النظرية الراسخة جيداً (مثلاً Spitzer, 1975) التي تبين أن التطور يتسارع بوجود طيف كتلي. وإضافة إلى أن التشغيلات ذات $\alpha$ المنخفض تستغرق زمناً أطول لبلوغ انهيار النواة، فإنها تبلغ أيضاً قيماً أضحل لكثافة النواة عند $t_{cc}$.
ومع ذلك، من المثير للاهتمام أنه عندما $\alpha>2.3$ يبدأ زمن انهيار النواة بالازدياد مرة أخرى. ويُلاحظ الاتجاه غير الرتيب نفسه أيضاً لعمق انهيار النواة $d_{cc}$، المعرف بأنه نسبة $r_{2\%}$ عند $t=t_{cc}$ إلى $r_{2\%}$ عند $t=0$ (الشكل نفسه، اللوحة السفلية). ونلائم علاقتي $t_{cc}$ و$d_{cc}$ مع أس دالة الكتلة $\alpha$ باستخدام كثيرة حدود من الرتبة الثانية (خطوط متصلة رفيعة). وكاتجاه عام، عند $\alpha$ ثابت يكون انهيار النواة أعمق (أي قيماً أخفض لـ $d_{cc}$) ويحدث في أزمنة لاحقة للنماذج ذات نسبة الكتلة الدنيا إلى العظمى الأكبر $\mathcal{R}$. ولهذا أيضاً تفسير مشابه للاعتماد على $\alpha$، إذ إن $\mathcal{R}$ أكبر يكون أشبه بحالة الكتلة الواحدة.

Refer to caption
Figure 8: مقياس زمن الاحتكاك الديناميكي المقدر $t_{\rm DF}$ للجسيمات ذات الكتلة $4\langle m\rangle$ بدلالة ميل طيف الكتل $\alpha$ للنماذج ذات $N=2\times 10^2$ و$\mathcal{R}=10^{-2}$ (مربعات)، و$10^{-3}$ (دوائر)، و$10^{-4}$ (مثلثات).

في الشكل 8 نرسم مقياس زمن الاحتكاك الديناميكي للجسيمات ذات الكتلة $4\langle m\rangle$، مبينين أنه لا يتأثر كثيراً بـ $\mathcal{R}$، بينما يعتمد على $\alpha$ بطريقة مشابهة لمقياس زمن انهيار النواة، مع قيمة دنيا عند قيم $\alpha$ متوسطة ضمن المجال $2.0$-$2.5$. ويرجع غياب الاعتماد على $\mathcal{R}$ إلى أن التغيرات في $\mathcal{R}$ لا تؤثر إلا في طرفي طيف الكتل، ومن ثم لا تُرصد للجسيمات في مجال الكتل المركزي نسبياً هذا.

3.4 آثار IMBH

في الشكل 9 نعرض تطور الكثافة المركزية وأنصاف الأقطار اللاغرانجية لثلاث محاكيات تحتوي على $10^6$ جسيم، و$\alpha = 2.3$، وIMBH مركزي ابتدائياً بكتل مختلفة، هي على التوالي $3 \times 10^{-4}$ و$10^{-3}$ و$3 \times 10^{-3}$ من كتلة المحاكاة الكلية. ولأن $N=10^6$، فإن نسبة الكتلة بين IMBH والنجم النموذجي تقع ضمن المجال الفيزيائي الفلكي الصحيح لعنقود نجمي كروي نموذجي، بافتراض أن كتلة IMBH تتراوح من $10^2$ إلى $10^5M_\odot$ (انظر مثلاً Greene et al. 2020)، وأن النجوم في العناقيد الكروية لها كتلة متوسطة قدرها $\approx 0.5M_\odot$. في جميع الحالات يتوقف انهيار النواة في أزمنة أبكر للنماذج ذات IMBH مركزي مقارنة بالحالات التي لا تحتوي على IMBH، لكنه يكون عموماً أضحل بكثير، فلا يتضمن سوى انكماش لنصف القطر اللاغرانجي $r_{2\%}$ بنحو $10\%$ على الأكثر، وبعد ذلك يرتد حجم النواة سريعاً ويتوسع أكثر بكثير مما يحدث في الأنظمة التي لا تستضيف IMBH مركزياً. وبذلك نؤكد التوقعات النظرية بأن IMBHs تولد نوى متضخمة في العناقيد النجمية (انظر مثلاً Hurley, 2007; Umbreit et al., 2008, 2012, والمراجع الواردة فيه).

Refer to caption
Figure 9: التطور الزمني للكثافة المركزية المتوسطة ρ¯c (اللوحة العلوية) وأنصاف الأقطار اللاغرانجية 3D التي تحيط بـ $2\%$ من العدد الكلي لجسيمات المحاكاة $N$ (اللوحة السفلية) لمحاكيات ذات $\alpha = 2.3$ و$\mathcal{R}=10^{-3}$ مع IMBH (خطوط متصلة) ومن دونه (خطوط متقطعة).

4 المناقشة والاستنتاجات

استخدمنا مقاربة محاكاة جديدة ذات $N$-جسم، تستند إلى طريقة التصادم متعدد الجسيمات، لمحاكاة عناقيد نجمية بعدد واقعي من الجسيمات من $10^5$ حتى $10^6$. وحاكينا أنظمة تتصف بدالة كتلة من نوع قانون القوى، غُيّر أسها بزيادات صغيرة عبر مجال واسع من القيم، مما أدى إلى 98 شرطاً ابتدائياً مختلفاً ملخصاً في الجدول 1. وقد أمكن ذلك بفضل الأداء العالي لشيفرتنا مقارنة بمقاربة مباشرة ذات $N$-جسم (بتعقيد خطي مقابل تعقيد تربيعي في عدد الجسيمات).

وجدنا أنه، لجميع ميول طيف الكتل التي حاكيناها، يكون ملمح الكثافة 3D عند انهيار النواة ذا شكل قانون قوى مكسور. وهذا يشير إلى أن حدبة كثافة مركزية قد تكون دلالة على حالة انهيار النواة في العناقيد النجمية الحقيقية. وبفضل العدد الكبير من الجسيمات الذي استطعنا محاكاته باستخدام تقنيتنا الجديدة، تمكنا من حل هذه الحدبة ذات قانون القوى عميقاً داخل المناطق الأعمق من النواة. ومن بين النتائج الأخرى التي تؤكد أعمالاً تحليلية سابقة، بينا أن ميل هذه الحدبة الداخلية يتطور تقاربياً إلى القيمة التي تنبأ بها Lynden-Bell and Eggleton (1980) استناداً إلى نموذج تحليلي. إضافة إلى ذلك، تتطور محاكياتنا عبر الطور الابتدائي ذاتي التشابه من انهيار النواة (قبل أن يبدأ احتراق الثنائيات) متبعة تنبؤ Lynden-Bell and Eggleton (1980) (المطور أصلاً لنظام وحيد الكتلة) بتحجيم قانون قوى لنصف قطر النواة مع الزمن المتبقي لانهيار النواة، رغم أن قانون التحجيم الذي نرصده له أس مختلف يعتمد على طيف الكتل المختار. ومن اللافت أن سلوك قانون القوى هذا يُستعاد حتى وإن أُهمل تشكل الثنائيات في مجموعة المحاكيات المعروضة هنا.
نجد اعتماداً قطعياً مكافئاً مفاجئاً إلى حد ما لزمن وعمق انهيار النواة بدلالة ميل دالة الكتلة. ومن المرجح أن يكون ذلك ناجماً عن الاعتماد غير الرتيب المشابه لمقياس زمن الاحتكاك الديناميكي على الميل المذكور، كما نعتزم أن نبيّن تحليلياً ضمن الإطار الذي قدمه Ciotti (2010).

وأخيراً، تمكنا من محاكاة عناقيد نجمية ذات $10^6$ جسيم مع تضمين IMBH، ومن ثم طابقنا نسبة $M_{\rm IMBH}/\langle m \rangle$ على نحو صحيح، وهي حالياً عند حدود قدرات المحاكاة المباشرة ذات $N$-جسم. ونؤكد نتائج سابقة تبين أن IMBH يُحدث أساساً انهيار نواة أسرع وأضحل، ينعكس بسرعة مؤدياً إلى نواة متضخمة بوضوح مقارنة بالنماذج ذات توزيع الكتلة الابتدائي نفسه ولكن من دون IMBH.

Acknowledgements.
تستند هذه المادة إلى عمل مدعوم من تمكين ضمن منحة معهد الأبحاث في جامعة نيويورك أبوظبي CAP3. ويرغب P.F.D.C. وA.S.-P. في شكر التمويل المقدم من مشروع MIUR-PRIN2017، وصف خشن الحبيبات للأنظمة غير المتوازنة وظواهر النقل (CO-NEST) رقم 201798CZL. ويقر S.-J.Y. بالدعم المقدم من برنامج الباحثين في منتصف المسار المهني (رقم 2019R1A2C3006242) وبرنامج SRC (مركز أبحاث تطور المجرات؛ رقم 2017R1A5A1070354) عبر مؤسسة الأبحاث الوطنية في كوريا. نشكر المحكم المجهول على تعليقاته التي ساعدت في تحسين عرض نتائجنا.

References

  • S. J. Aarseth (1999) From NBODY1 to NBODY6: The Growth of an Industry. PASP 111 (765), pp. 1333–1346. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • P. E. R. Alexander and M. Gieles (2012) A prescription and fast code for the long-term evolution of star clusters. MNRAS 422 (4), pp. 3415–3432. External Links: Document, 1203.4744, ADS entry Cited by: §1.
  • F. S. Allen and D. C. Heggie (1992) A model gravothermal oscillator. MNRAS 257 (2), pp. 245–256. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • V. A. Ambartsumian (1938) TsAGI Uchenye Zapiski 22, pp. 19–22. External Links: ADS entry Cited by: §1.
  • H. Baumgardt, D. C. Heggie, P. Hut, and J. Makino (2003) Parameters of core collapse. MNRAS 341 (1), pp. 247–250. External Links: Document, astro-ph/0301166, ADS entry Cited by: §1.
  • H. Baumgardt, P. Hut, and D. C. Heggie (2002) Long-term evolution of isolated N-body systems. MNRAS 336 (4), pp. 1069–1081. External Links: Document, astro-ph/0206258, ADS entry Cited by: §1.
  • H. Baumgardt and J. Makino (2003) Dynamical evolution of star clusters in tidal fields. MNRAS 340 (1), pp. 227–246. External Links: Document, astro-ph/0211471, ADS entry Cited by: §1.
  • J. Binney and A. Knebe (2002) Two-body relaxation in cosmological simulations. MNRAS 333 (2), pp. 378–382. External Links: Document, astro-ph/0105183, ADS entry Cited by: §1.
  • J. L. Breeden and H. N. Cohn (1995) Chaos in Core Oscillations of Globular Clusters. ApJ 448, pp. 672. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • S. Chandrasekhar (1942) Principles of stellar dynamics. University of Chicago Press. External Links: ADS entry Cited by: §1.
  • L. Ciotti (2010) Dynamical Friction from field particles with a mass spectrum. In American Institute of Physics Conference Series, G. Bertin, F. de Luca, G. Lodato, R. Pozzoli, and M. Romé (Eds.), American Institute of Physics Conference Series, Vol. 1242, pp. 117–128. External Links: 1001.3531, Document, ADS entry Cited by: §3.1, §4.
  • L. Ciotti (2021) Introduction to stellar dynamics. Cambridge University Press. Cited by: §3.1.
  • P. Di Cintio, R. Livi, S. Lepri, and G. Ciraolo (2017) Multiparticle collision simulations of two-dimensional one-component plasmas: Anomalous transport and dimensional crossovers. Phys. Rev. E 95 (4), pp. 043203. External Links: Document, 1610.10047, ADS entry Cited by: §2.2.
  • P. Di Cintio, M. Pasquato, H. Kim, and S. Yoon (2021) Introducing a new multi-particle collision method for the evolution of dense stellar systems. Crash-test N-body simulations. A&A 649, pp. A24. External Links: Document, 2006.16018, ADS entry Cited by: §1.
  • J. Diemand, B. Moore, J. Stadel, and S. Kazantzidis (2004) Two-body relaxation in cold dark matter simulations. MNRAS 348 (3), pp. 977–986. External Links: Document, astro-ph/0304549, ADS entry Cited by: §1.
  • A. A. El-Zant (2006) Two-body relaxation in simulated cosmological haloes. MNRAS 370 (3), pp. 1247–1256. External Links: Document, astro-ph/0506617, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Gieles, H. Baumgardt, D. C. Heggie, and H. J. G. L. M. Lamers (2010) On the mass-radius relation of hot stellar systems. MNRAS 408 (1), pp. L16–L20. External Links: Document, 1007.2333, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Giersz and D. C. Heggie (1994a) Statistics of N-Body Simulations - Part One - Equal Masses Before Core Collapse. MNRAS 268, pp. 257. External Links: Document, astro-ph/9305008, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Giersz and D. C. Heggie (1994b) Statistics of N-Body Simulations - Part Two - Equal Masses after Core Collapse. MNRAS 270, pp. 298. External Links: Document, astro-ph/9403024, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Giersz, D. C. Heggie, J. R. Hurley, and A. Hypki (2013) MOCCA code for star cluster simulations - II. Comparison with N-body simulations. MNRAS 431 (3), pp. 2184–2199. External Links: Document, 1112.6246, ADS entry Cited by: §3.2.
  • J. Goodman (1987) On Gravothermal Oscillations. ApJ 313, pp. 576. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • J. E. Greene, J. Strader, and L. C. Ho (2020) Intermediate-Mass Black Holes. ARA&A 58, pp. 257–312. External Links: Document, 1911.09678, ADS entry Cited by: §3.4.
  • S. Harfst, A. Gualandris, D. Merritt, R. Spurzem, S. Portegies Zwart, and P. Berczik (2007) Performance analysis of direct N-body algorithms on special-purpose supercomputers. New A 12 (5), pp. 357–377. External Links: Document, astro-ph/0608125, ADS entry Cited by: §1.
  • D. C. Heggie (1979a) A theory of core collapse in clusters.. MNRAS 76 (3), pp. 525–554. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • D. C. Heggie (1979b) Equations for core collapse in clusters.. MNRAS 186, pp. 155–176. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • D. C. Heggie (2011) Problems of collisional stellar dynamics. In Fluid Flows to Black Holes, pp. 121–136. External Links: Document, Link, https://www.worldscientific.com/doi/pdf/10.1142/9789814374774_0009 Cited by: §1.
  • D. C. Heggie (2014) Towards an N-body model for the globular cluster M4. MNRAS 445 (4), pp. 3435–3443. External Links: Document, 1409.5597, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Hénon (1961) Sur l’évolution dynamique des amas globulaires. Annales d’Astrophysique 24, pp. 369. External Links: ADS entry Cited by: §1.
  • M. Hénon (1975) Two Recent Developments Concerning the Monte Carlo Method. In Dynamics of the Solar Systems, A. Hayli (Ed.), Vol. 69, pp. 133. External Links: ADS entry Cited by: §1.
  • J. R. Hurley and M. M. Shara (2012) A direct N-body model of core-collapse and core oscillations. MNRAS 425 (4), pp. 2872–2879. External Links: Document, 1208.4880, ADS entry Cited by: §1, §3.2.
  • J. R. Hurley (2007) Ratios of star cluster core and half-mass radii: a cautionary note on intermediate-mass black holes in star clusters. MNRAS 379 (1), pp. 93–99. External Links: Document, 0705.0748, ADS entry Cited by: §3.4.
  • A. Hypki and M. Giersz (2013) MOCCA code for star cluster simulations - I. Blue stragglers, first results. MNRAS 429 (2), pp. 1221–1243. External Links: Document, 1207.6700, ADS entry Cited by: §1.
  • E. Khalisi, P. Amaro-Seoane, and R. Spurzem (2007) A comprehensive NBODY study of mass segregation in star clusters: energy equipartition and escape. MNRAS 374 (2), pp. 703–720. External Links: Document, astro-ph/0602570, ADS entry Cited by: §3.1.
  • M. G. H. Krause, S. S. R. Offner, C. Charbonnel, M. Gieles, R. S. Klessen, E. Vázquez-Semadeni, J. Ballesteros-Paredes, P. Girichidis, J. M. D. Kruijssen, J. L. Ward, and H. Zinnecker (2020) The Physics of Star Cluster Formation and Evolution. Space Sci. Rev. 216 (4), pp. 64. External Links: Document, 2005.00801, ADS entry Cited by: §1.
  • M. R. Krumholz, C. F. McKee, and J. Bland-Hawthorn (2019) Star Clusters Across Cosmic Time. ARA&A 57, pp. 227–303. External Links: Document, 1812.01615, ADS entry Cited by: §1.
  • R. B. Larson (1970) A method for Computing the evolution of star clusters. MNRAS 147, pp. 323. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • P. Londrillo and A. Messina (1990) A code for N-body simulation of highly clustered gravitational systems. MNRAS 242, pp. 595–605. External Links: Document, ADS entry Cited by: §2.2.
  • D. Lynden-Bell and P. P. Eggleton (1980) On the consequences of the gravothermal catastrophe. MNRAS 191, pp. 483–498. External Links: ADS entry Cited by: §3.1, §3.1, §3.2, §4.
  • D. Lynden-Bell and R. Wood (1968) The gravo-thermal catastrophe in isothermal spheres and the onset of red-giant structure for stellar systems. MNRAS 138, pp. 495. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • J. Makino (1996) Postcollapse Evolution of Globular Clusters. ApJ 471, pp. 796. External Links: Document, astro-ph/9608160, ADS entry Cited by: §1.
  • A. Malevanets and R. Kapral (1999) Mesoscopic model for solvent dynamics. J. Chem. Phys. 110, pp. 8605–8613. External Links: Document, ADS entry Cited by: §2.2.
  • G. Meylan and D. C. Heggie (1997) Internal dynamics of globular clusters. A&A Rev. 8, pp. 1–143. External Links: Document, astro-ph/9610076, ADS entry Cited by: §1.
  • E. Noyola and K. Gebhardt (2007) Surface Brightness Profiles for a Sample of LMC, SMC, and Fornax Galaxy Globular Clusters. AJ 134 (3), pp. 912–925. External Links: Document, 0705.3464, ADS entry Cited by: §3.2.
  • X. Pang, Y. Li, S. Tang, M. Pasquato, and M. B. N. Kouwenhoven (2020) Different Fates of Young Star Clusters after Gas Expulsion. ApJ 900 (1), pp. L4. External Links: Document, 2008.02803, ADS entry Cited by: §1.
  • V. Pavlík and L. Šubr (2018) The hunt for self-similar core collapse. A&A 620, pp. A70. External Links: Document, 1808.05230, ADS entry Cited by: §3.2.
  • H. C. Plummer (1911) On the problem of distribution in globular star clusters. MNRAS 71, pp. 460–470. External Links: Document, ADS entry Cited by: §2.1.
  • E. E. Salpeter (1955) The Luminosity Function and Stellar Evolution.. ApJ 121, pp. 161. External Links: Document, ADS entry Cited by: §2.1.
  • A. C. Sippel, J. R. Hurley, J. P. Madrid, and W. E. Harris (2012) N-body models of globular clusters: metallicities, half-light radii and mass-to-light ratios. MNRAS 427 (1), pp. 167–179. External Links: Document, 1208.4851, ADS entry Cited by: §1.
  • Jr. Spitzer and J. M. Shull (1975) Random gravitational encounters and the evolution of spherical systems. VII. Systems with several mass groups.. ApJ 201, pp. 773–782. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • Jr. Spitzer (1940) The stability of isolated clusters. MNRAS 100, pp. 396. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • Jr. Spitzer (1975) Dynamical Theory of Spherical Stellar Systems with Large N (invited Paper). In Dynamics of the Solar Systems, A. Hayli (Ed.), Vol. 69, pp. 3. External Links: ADS entry Cited by: §3.3.
  • L. Spitzer (1987) Dynamical evolution of globular clusters. Princeton, NJ, Princeton University Press, 191 p.. External Links: ADS entry Cited by: §3.1, footnote 3.
  • R. Spurzem and S. J. Aarseth (1996) Direct collisional simulation of 10000 particles past core collapse. MNRAS 282, pp. 19. External Links: Document, astro-ph/9605003, ADS entry Cited by: §1.
  • D. Sugimoto and E. Bettwieser (1983) Post-collapse evolution of globular clusters. MNRAS 204, pp. 19P–22P. External Links: Document, ADS entry Cited by: §1.
  • M. Trenti, E. Vesperini, and M. Pasquato (2010) Tidal Disruption, Global Mass Function, and Structural Parameter Evolution in Star Clusters. ApJ 708 (2), pp. 1598–1610. External Links: Document, 0911.3394, ADS entry Cited by: §1, §3.2.
  • S. Umbreit, J. M. Fregeau, S. Chatterjee, and F. A. Rasio (2012) Monte Carlo Simulations of Globular Cluster Evolution. VI. The Influence of an Intermediate-mass Black Hole. ApJ 750 (1), pp. 31. External Links: Document, 0910.5293, ADS entry Cited by: §3.4.
  • S. Umbreit, J. M. Fregeau, and F. A. Rasio (2008) The Imprints of IMBHs on the Structure of Globular Clusters: Monte-Carlo Simulations. In Dynamical Evolution of Dense Stellar Systems, E. Vesperini, M. Giersz, and A. Sills (Eds.), Vol. 246, pp. 351–355. External Links: Document, ADS entry Cited by: §3.4.
  • E. Vesperini and M. Trenti (2010) Widespread Presence of Shallow Cusps in the Surface-brightness Profile of Globular Clusters. ApJ 720 (2), pp. L179–L184. External Links: Document, 1008.2771, ADS entry Cited by: §3.2.
  • L. Wang, M. Iwasawa, K. Nitadori, and J. Makino (2020) PETAR: a high-performance N-body code for modelling massive collisional stellar systems. MNRAS 497 (1), pp. 536–555. External Links: Document, 2006.16560, ADS entry Cited by: §1.
  • L. Wang, R. Spurzem, S. Aarseth, M. Giersz, A. Askar, P. Berczik, T. Naab, R. Schadow, and M. B. N. Kouwenhoven (2016) The DRAGON simulations: globular cluster evolution with a million stars. MNRAS 458 (2), pp. 1450–1465. External Links: Document, 1602.00759, ADS entry Cited by: §1.
  • L. Wang, R. Spurzem, S. Aarseth, K. Nitadori, P. Berczik, M. B. N. Kouwenhoven, and T. Naab (2015) NBODY6++GPU: ready for the gravitational million-body problem. MNRAS 450 (4), pp. 4070–4080. External Links: Document, 1504.03687, ADS entry Cited by: §1.