إنتروبيا البنية والتنظيم الذاتي وقوانين القوى
في شبكات الشوارع الحضرية: دليل على أفكار ألكسندر

الملخص

تُعد سهولة الملاحة وبديهيتها ذات أهمية مركزية في المدن. ولا يزال التشابك الفعلي الحرّ القياس لشبكات الشوارع الحضرية في فضائها الطوبولوجي، حيث تُشفَّر معلومات الملاحة بإسناد الطرق إلى عُقد والمفارق إلى روابط بين العُقد، يفتقر إلى تفسير بسيط. إن التشديد على تراتبية الطريق-المفرق بطريقة كلية ومنهجية يقودنا إلى تصور شبكات الشوارع الحضرية أنظمة اجتماعية متطورة خاضعة لحفظ إنتروبي بولتزماني-ميزوسكوبي. ويكفل هذا الحفظ، الذي يمكن تأويله بدلالة المفاجأة المعلوماتية، الانتقال من تراتبية الطريق-المفرق إلى تماسك حرّ القياس. وبعبارة أدق، نستعيد التوزيع الاحتمالي الفعلي الحرّ القياس للطرق الطبيعية في المدن ذات التنظيم الذاتي. ونحصل على هذا الانتقال باستدعاء مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز (الفيزياء الإحصائية)، مع الإفادة في الوقت نفسه من الأفكار الحديثة في التكميم (فيزياء المعلومات) ومن النتائج المعروفة في البنينة (نظرية الشبكات الجبرية) لقياس إنتروبيا شبكة المعلومات. ويبدو أن النموذج الناشئ، الذي ينطبق على أنظمة ذات تراتبيات أعقد كالمدن الفعلية، يعكس على نحو جيد الأفكار المؤثرة للعمراني Christopher Alexander حول المدن.

I مقدمة

يمثّل فهم المعلومات المشفَّرة في بنى أنظمة النقل المعقدة تحدياً محيراً في الأنظمة المعقدة والفيزياء الإحصائية. فالمعلومات أو الطاقة أو المواد تتداول عبر أنظمة متباينة، بطرائق فعالة مختلفة، وفي صور متعددة. وتقدم الأنظمة الوعائية التي تنشر الدم والنسغ، والتغصنات العصبية التي تنقل الإشارات، وأحواض الأنهار التي تصرّف المياه أمثلة مثيرة للاهتمام. فتنوعها وتعقدها الظاهران يحجبان انتظاماً لافتاً متجهاً نحو البساطة. إذ إن بناها النقلية تخضع فعلاً لقانون تحجيم يكشف مبدأً أساسياً بسيطاً. فالأنظمة الوعائية تجعل مساحات سطح التبادل فيها “كسورية إلى أقصى حد” West et al. (1999)، والأشجار التغصنية تصغّر توصيلاتها Cuntz et al. (2012)، وشبكات الأنهار تمتد امتداداً أدنى Banavar et al. (1999).

ضمن هذا المنظور، تهدف هذه الورقة إلى الكشف عن مبدأ التحجيم الذي يدفع شبكات الشوارع الحضرية. وقد كانت شبكات النقل المرتبطة بالمدينة، بالنسبة إلى الأنظمة المعقدة، مصدراً خصباً لدراسات الحالة قبل عصر الإنترنت Barabási (2016); Newman (2018); Watts and Strogatz (1998); Barabási and Albert (1999); Broido and Clauset (2019); Holme (2019); Hillier (1999); Turner (2001); Jiang and Claramunt (2002, 2004). وقدمت شبكة القدرة الكهربائية في غرب الولايات المتحدة دليلاً على الاختراقين الأداتيين في تجدد دراسات الشبكات Watts and Strogatz (1998); Barabási and Albert (1999); Broido and Clauset (2019); Holme (2019). وأحدهما هو اكتشاف تراتبيات حرّة القياس بين شبكات العالم الحقيقي Barabási and Albert (1999); Broido and Clauset (2019); Holme (2019). وسرعان ما ظهر أن شبكات الشوارع الحضرية تخضع هي أيضاً لسلوكيات حرّة القياس Jiang and Claramunt (2004); Crucitti et al. (2006); Porta et al. (2006a, b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014). وقد أدى الحفاظ على التركيز على خاصيتها التحجيمية واعتماد مقاربات من المجتمع العمراني تدريجياً إلى نموذج تحجيم قابل للمعالجة تحركه فعلاً مبدأ حفظ بسيط. وفي سعينا إلى هدفنا، أدركنا أن نمذجتنا تلقي ضوءاً جديداً على النظرية العمرانية المرجعية التي طورها C. Alexander Alexander (1965, 2002); Salingaros (2005). وسنؤوّل نموذج التحجيم لدينا وفقاً لذلك.

إذا كان المجتمع العمراني قد نظر في شبكات الشوارع الحضرية بحثاً عن سمات إضافية بأدوات طُورت للشبكات العامة، فقد بحث أيضاً عن سمات خاصة بالمدينة بأدوات ومقاربات موروثة من خلفيته الخاصة Hillier (1999); Turner (2001); Jiang and Claramunt (2002, 2004); Crucitti et al. (2006); Porta et al. (2006a, b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014); Masucci et al. (2009); Jiang and Liu (2009); Rosvall et al. (2005); Masucci and Molinero (2016); Molinero et al. (2017); Jiang (2016); Alexander (1965, 2002); Salingaros (2005). ومن اللافت أن الفكر الثاقب للعمراني C. Alexander حول المدن Alexander (1965, 2002); Salingaros (2005) بدا متجاوباً مع اللاتغير الحرّ القياس من خلال مفهوم المدينة “الطبيعية” Alexander (1965); Jiang (2016); Jiang et al. (2008). وتشير المدن “الطبيعية” إلى مدن شبيهة بذاتية التنظيم. ويجب أن نذكر أيضاً العمل الأكثر توجهاً رياضياً ولكن لا يقل بصيرة لـ R. H. Atking حول دوال العلاقات بوصفها دوال ما قبل التشبيك والذي أفضى إلى تحليل Q Atkin (1974); *RHAtkin1977.

لتفسير حرية القياس في شبكة القدرة الكهربائية، يشدد A.-L. Barabási و R. Albert في المرجع Barabási and Albert, 1999 على سمتين أساسيتين لشبكات العالم الحقيقي: النمو والارتباط التفضيلي. وبناءً على ذلك يقدمان نموذجاً ظهر أنه عملية Yule Newman (2005); Simon (1955); *GUYule1925: ترتبط العُقد الجديدة بالقديمة باحتمال يتناسب مع تكافؤ العُقد القديمة. ويبين التحليل الرياضي أن عملية Yule تعيد إنتاج سلوك حرية القياس للعُقد ذات التكافؤات العالية Newman (2005); Simon (1955)، ومن ثم أهمية هذه المقاربة المؤسسة Barabási and Albert (1999); Newman (2005). وقد طُورت عمليات شبيهة بعملية Yule لشبكات الشوارع الحضرية Barthélemy (2011); Barthélemy and Flammini (2008); *MBarthelemyCEDTSMCF2009; Courtat et al. (2011); Rui et al. (2013); Masucci et al. (2014). وفي نماذج النمو والارتباط التفضيلي المعدلة هذه، تصبح آلية الارتباط التفضيلي خوارزميات محلية قائمة على مقاطع الشوارع: فبالنظر إلى بعض السياسات الخوارزمية المحلية، تكون مقاطع الشوارع إما متبرعمة Barthélemy and Flammini (2008); Courtat et al. (2011); Rui et al. (2013)، أو متشظية Masucci et al. (2014)، أو متصلة Barthélemy and Flammini (2008); Courtat et al. (2011); Rui et al. (2013); Masucci et al. (2014)، أو مزيجاً من ذلك. وتنجح هذه النماذج، بتغيير معاملات كل منها، في إعادة إنتاج طيف واسع من الأنماط الملاحظة فعلياً بين شبكات الشوارع الحضرية ذات التنظيم الذاتي. وبخاصة، يمكنها إعادة إنتاج حرية القياس. غير أن الطبيعة المعقدة لسياساتها الخوارزمية المحلية تجعلها عسيرة المعالجة. ومع ذلك، يدفعنا نجاحها إلى الاعتقاد بوجود عملية بسيطة شبيهة بعملية Yule لشبكات الشوارع الحضرية ذات التنظيم الذاتي. فهذه التكييفات تُدخل ضمنياً في عملية Yule مفهومي المحلية والكلية اللذين تغفل عنهما أصلاً. فعملية Yule ليست محلية ولا كلية بمعنى أنها لا تنطوي على جوار نموذجي. وفي الواقع، تفضل التكييفات أعلاه في معظمها عملية محلية على عملية كلية: إذ يُتوقع أساساً أن المبادئ المحلية وحدها تدفع السلوكيات الكلية. ومع أن هذا التوقع قد لا يلائم ببساطة نموذجاً بلا جوار نموذجي، فإنه قد يضلل أيضاً بالسعي إلى سياسات محلية مضبوطة أكثر فأكثر تصبح خوارزمية أكثر فأكثر. وتعلمنا الفيزياء الإحصائية أن هذه المزالق يمكن معالجتها بإدخال مبدأ كلي مناسب يعزز السمات ذات الصلة على حساب التفاصيل الدقيقة. وأخيراً، إلى جانب الارتباط التفضيلي، قد تتطور شبكات العالم الحقيقي الخاضعة لحرية القياس أيضاً بإزالة الوصلات أو إدراجها أو إعادة توصيلها Barabási and Albert (1999); Newman (2005). وكما في الارتباط التفضيلي، لا تنطوي آليات التوصيل هذه على جوار نموذجي. لذلك، قد يكون الإمساك بها بالاعتماد على سياسة محلية وحدها صعباً بالقدر نفسه. ونقدم في هذه الورقة لشبكات الشوارع الحضرية مبدأً كلياً يتميز بالنمو والارتباط التفضيلي وإعادة الارتباط المواتية، ويفضي في النهاية إلى حرية القياس.

ما هو أصيل ومتفرد في شبكات الطرق وشبكات الشوارع الحضرية أنها تقوم على تمثيل ثنائي فريد وغير تقليدي. فشبكات المسارات تتكون في المقام الأول من مفارق متصلة بمقاطع من المسارات. ومن جهة أخرى، تُضمّن شبكات المسارات طرقاً متصلة بهذه المفارق نفسها. ويمثل التمثيل الأول — التمثيل الأولي — تمثيلاً هندسياً صارماً لشبكات المسارات بوصفها رسوماً مستوية، بينما يفسر التمثيل الثاني — التمثيل الثنائي — نفسه بوصفه تمثيلاً طوبولوجياً و/أو تمثيلاً معلوماتياً لشبكات المسارات. وبات معترفاً به جيداً أن الفضاء الطوبولوجي (أو فضاء المعلومات) يلتقط تعقد شبكات المسارات. وينتج عن ذلك تبصر مفاده أن هندسة شبكات المسارات مقيدة بشدة بالفضاء والجغرافيا في حين تعكس طوبولوجيتها الأنشطة الاجتماعية والثقافية والاقتصادية. فعلى سبيل المثال، لأكبر عدد من المفارق في شبكات الشوارع الحضرية تكافؤ قدره ثلاثة أو أربعة على نحو ملحوظ، بينما بالمقابل يمتد توزيع تكافؤ الطرق في شبكات الشوارع الحضرية ذات التنظيم الذاتي على نطاق واسع إلى قانون قوة حرّ القياس. وتلقي الثنائية الهندسية/الطوبولوجية ضوءاً جديداً كلياً على تكييفات النمو والارتباط التفضيلي المذكورة آنفاً. فتبدو هذه التكييفات الآن كأنها تضيف عُقداً ووصلات جديدة في “الفضاء المقيد هندسياً” مع أنها ينبغي بالأحرى أن تعمل في الفضاء الطوبولوجي. وهذا ليس مقصوداً. إنه يشير ببساطة إلى أن الفضاء الهندسي أسهل إدراكاً من الفضاء الطوبولوجي. وفي هذه الورقة، نعمل عمداً في الفضاء الطوبولوجي.

تجعل النتائج السابقة في الوصف الحضري والأفكار الحديثة في التكميم والإنتروبيا العظمى من الممكن مقاربة الفضاء الطوبولوجي بطريقة كلية ومنهجية. أولاً، نؤكد علاقة وقوع الطريق-المفرق في شبكات الشوارع الحضرية. ويشير الطريق الطبيعي (أو الطريق) هنا إلى بديل مقبول لشارع “مسمى” Jiang et al. (2008). وهذه المقدمة الكلية معتمدة من تحليل Q Atkin (1974). ثم يطبق تحليل Q في صيغته القصوى ولكن التصحيحية العائدة إلى Y.-S. Ho Ho (1982); Macgill and Springer (1987)، وهي ليست سوى نموذج تحليل المفاهيم الصورية (FCA) Davey and Priestley (2002); *GGratzerLTF. ويبني هذا النموذج من علاقة وقوع الطريق-المفرق تقابلاً واحداً لواحد بين الفضاء الطوبولوجي و ترتيب جزئي Ho (1982); Davey and Priestley (2002). والترتيبات الجزئية مكافئة لبنى جبرية، تعرف باسم شبكات Galois، تتيح فيزياء المعلومات Knuth (2011, 2008, 2005, 2014) تكميمها وقياسها بطريقة وحيدة ومنهجية — وتكون المقاييس المعنية مقاييس معلومات. في النهاية، تسمح لنا فيزياء المعلومات بربط إنتروبيا دالية بالفضاء الطوبولوجي ربطاً لا لبس فيه، حيث يراد للدالتين المجهولتين فيها أن تصفا فيزياء كل طريق أو مفرق وأن تكون إحداهما دالة احتمال، على التوالي. وهذا يعني أن الفضاء الطوبولوجي يمكن تأويله على أنه يخضع لاتزان متذبذب بمقتضى مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز. وهنا نتصور شبكات الشوارع الحضرية أنظمة اجتماعية متطورة خاضعة لاتزان إنتروبي مماثل لما يُلاحظ فعلياً بين مدن الحوض الثقافي الواحد Dover (2004); Milaković (2001). وتستعيد مقاربتنا توزيع Pareto الاحتمالي المتقطع (توزيع قانون القوة الحرّ القياس) الملاحظ على نطاق واسع للطرق الطبيعية الممتدة في المدن “الطبيعية” Porta et al. (2006b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014)، وتستشرف توزيعاً غير قياسي على هيئة جرسية وذيل قانون قوة لمفارقها الواصلة، وجدناه متوافقاً مع البيانات القابلة للملاحظة المستخرجة من بعض شبكات الشوارع الحضرية “الطبيعية” النموذجية (انظر الشكل 3). وبأثر رجعي، فإن الجزء الموحِّد (أو المتذبذب) من مقاربتنا هو النظير Paretoي للنموذج الغاوسي في الفيزياء الإحصائية، أما الجزء الترتيبي (أو البنيوي) فهو استذكار لأفكار C. Alexander Alexander (1965, 2002) (انظر الشكل 2).

على الرغم من أن مقاربتنا تطبق تحديداً على شبكات الشوارع الحضرية، فإنها تقدم نموذجاً عاماً لدراسة الشبكات المعقدة القائمة على ترتيبات جزئية. وفي هذا المنظور الأوسع، تصير شبكات الشوارع الحضرية نموذجاً لعبياً مثالياً وتندرج أفكار C. Alexander في مجال نظرية الشبكات.

ينتظم المخطوط على النحو الآتي. يرسم نموذجنا بإيجاز كمدخل أول (القسم II). ثم نقدم مسحاً موجزاً لحالة الفن في شبكات الشوارع الحضرية قبل أن نمضي قدماً (القسم III). وبعد تطبيق النموذج، نناقش نتائجنا بمزيد من التفصيل من منظور أفكار C. Alexander (القسم IV). وأخيراً، نشير إلى أبحاث مستقبلية (القسم V).

II النموذج

II.1 البنية قبل القياس

II.1.1 البنية

‘البنية قبل القياس (ولكن من دون تغيير)’ هي اللازمة المهيمنة في هذا العمل. وهي مستعارة من تحليل Q Atkin (1974) لكن مع قيد صارم وأساسي (بين قوسين) بعد تصحيح Macgill and Springer (1987); Ho (1982) عائد إلى Y.-S. Ho Ho (1982): ‘ينبغي ألا ندرج أي شيء غير معطى’. ويقود نموذج Q كما أعاد Y.-S. Ho Ho (1982) النظر فيه إلى بنى ترتيبية جبرية صرفة تعرف باسم شبكات Galois Ho (1982); Davey and Priestley (2002) بدلاً من تفسير هندسي بسيطاني ثاقب ولكنه، في نهاية المطاف، قاصر Macgill and Springer (1987); Ho (1982) Atkin (1974). وبوصف كل شبكة Galois بنية مرتبة جزئياً، فهي مزودة بعلاقة ترتيب؛ وبوصفها بنية جبرية، فهي مزودة بمؤثر ضم. فإما أن يكون عنصران قابلين للمقارنة أو غير قابلين لها؛ وإما أن يكون العنصر غير قابل للاختزال بالضم أو يكون ضم عنصرين متمايزين.

عموماً، تنظم شبكة Galois نفسها في طبقات بالنسبة إلى علاقة ترتيبها لتنشئ مخطط Hasse Davey and Priestley (2002). وبالنسبة إلى شبكات Galois التوزيعية المنتهية Davey and Priestley (2002)، التي يمكن عدّها نموذجية Davey and Priestley (2002)، تشكل العناصر غير القابلة للاختزال بالضم أصغر العناصر غير التافهة Davey and Priestley (2002) التي يتكون منها الكل عبر مؤثر الضم، بحيث تؤلف أدنى طبقة غير تافهة في مخططات Hasse الخاصة بها. ومن الآن فصاعداً، لنتخيل هذه الطبقة شبكة من عناصر متجانسة تربط بين كل زوج منها عندما يمكنهما الضم لتوليد عنصر أكبر. وعلى هذا المنوال، ينتمي كل عنصر أكبر نفسه إلى طبقة عليا متصورة بوصفها شبكة أخرى من عناصر متجانسة مرتبطة اعتباطياً بالنسبة إلى علاقة الترتيب.

II.1.2 القياس

ماذا عن ‘القياس’؟ جواباً عن ذلك، لنستدع العبارة الصورية التي تنبثق من النظرية الناشئة لفيزياء المعلومات Knuth (2008): ‘القياس هو تكميم الترتيب’. وبصورة أدق، فإن فرض قيود اتساق جبرية طبيعية لا يسمح لنا بتقييم (أو تكميم) شبكات Galois فحسب، بل يسمح أيضاً باستعادة وتعميم مقاييس المعلومات المعاصرة (بترديد أُسّيتين شبكيتين متعاقبتين) Knuth (2011, 2008, 2005, 2014) — ففيزياء المعلومات للبنى كما أن مبرهنة Nœther Nœther (1918); *NOETHERTAVEL للتماثلات. وبالنسبة إلى شبكات Galois التوزيعية المنتهية Davey and Priestley (2002)، يرد التقييم إلى تقييمات عناصرها غير القابلة للاختزال بالضم، إذ تحدد القيود تقييمات العناصر القابلة للاختزال بالضم. وتولد الأُسّيات الشبكية شبكات Galois توزيعية.

بعبارة أخرى، لدينا حرية تقييم كل عنصر غير قابل للاختزال بالضم كما نشاء. ومع ذلك، في حين يُتعرف إلى دوال التقييم المرتبطة بالأُسّيات الأولى كتوزيعات احتمالية، تملي قيود اتساق طبيعية أخرى تركيبات خطية من إنتروبيتي Shannon و Hartley Aczél et al. (1974) كدوال تقييم مرتبطة بالأُسّيات الثانية Knuth (2008, 2005). ومن الواضح أن تقييم شبكة Galois الابتدائية تحكمه الفيزياء الكامنة، أي، إن تقييم كل عنصر ابتدائي غير قابل للاختزال بالضم يراد له أن يعبر عن حالته الفيزيائية. وفي الأثناء، يمكن أن يكون التوزيع الاحتمالي على أكبر قدر ممكن من المعقولية بالنسبة إلى كل من افتقارنا إلى معرفة شاملة بكل عنصر في تفاصيله المجهرية المحتجبة ومنظوراتنا العيانية. وليس هذا سوى مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز Knuth (2008); Jaynes (1957a); *ETJaynes1957II; Kesavan (2009); Kapur and Kesavan (1992); Jaynes (1989).

II.1.3 مبدأ Maximum Entropy

من ثم، ينتقل المحتوى الفيزيائي للنموذج من بنية جبرية إلى بيئة متذبذبة، ومن ترتيب جزئي لشبكة Galois إلى تماسك إنتروبي. ومع إفضاء جهلنا الابتدائي Jaynes (1989) إلى عناصر شبكة Galois، يكون التوزيع الاحتمالي على عدد حالاتها الممكنة.

لتكن $\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })$ دالة احتمال أن يحصي عنصر ما $\mathrm{\Omega }$ تكوينات، ولنلخص: إن أكثر تحقق معقول لـ $\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })$ هو الذي يعظم الإنتروبيا $-\sum \mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })\ln \mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })$ Note (1) مع قيود عزوم مناسبة تعرف باسم العزوم المميِّزة Jaynes (1957a); Kesavan (2009). وبصفتها عزوماً مميزة، إذا افترضنا بين العناصر عدم وجود عدد نموذجي من التكوينات بل وجود مقياس نموذجي، فعلينا استبعاد أي عزم كلاسيكي ويمكننا أن نأخذ العزوم اللوغاريتمية بدلاً من ذلك. ويبدو أن فرض العزم اللوغاريتمي الأول $\sum \mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })\ln \mathrm{\Omega }$ بوصفه العزم المميز الوحيد يفضي إلى توزيع Pareto الاحتمالي المتقطع (الحرّ القياس) $\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })\propto {\mathrm{\Omega }}^{-\lambda }$. وبما أن $\ln \mathrm{\Omega }$ لا يقيس سوى جهلنا التام بالحالة التي يشغلها فعلياً أي عنصر له $\mathrm{\Omega }$ حالات ممكنة، فإن هذا القيد يفرض في الواقع حفظاً وسطياً لجهلنا التام بعناصر شبكة Galois — وعلى سبيل القياس، يمكن استنتاج إحصاء Maxwell-Boltzmann الذي يصف الغازات المثالية بمجرد فرض طاقة وسطية ثابتة Jaynes (1957a); Kapur and Kesavan (1992).

وقد فُسر الحل الخارجي المفاجئ أعلاه بوصفه آلية ما قائمة على التطور للمحافظة على نظام داخلي مبهم Milaković (2001); Dover (2004). ويفضي فرض العزم اللوغاريتمي الثاني كعزم مميز إضافي إلى إحصاء يحكمه توزيع احتمالي لوغاريتمي طبيعي متقطع $\mathrm{Pr}(\mathrm{\Omega })\propto {\mathrm{\Omega }}^{-\lambda }\exp (-{(\ln \mathrm{\Omega }-\eta )}^2/2{\sigma }_{\eta }^2)$؛ وهكذا دواليك. أما الآن فلنقصر أنفسنا على محاولتنا الأولى. وفيما يلي، سنطلق على الاتزان الإنتروبي الموحِّد المحكوم بتوزيع Pareto المتقطع اسم التماسك Paretoي.

II.2 الشبكات الفوقية

II.2.1 شبكة العناصر غير القابلة للاختزال بالضم

نحوّل الآن انتباهنا من جديد إلى الشبكة التي تشكلها العناصر غير القابلة للاختزال بالضم في شبكة Galois. وكفرضية عمل، لنفترض لكل عقدة أن عدد تكويناتها $\mathrm{\Omega }$ يعتمد على تكافؤها $n$؛ ونكتب $\mathrm{\Omega }(n)$. ومن ثم، في هذه الشبكة، يحافظ التوزيع الاحتمالي لتكافؤات العُقد $\mathrm{Pr}(n)$ على الطابع الحرّ القياس عندما ينمو عدد التكوينات $\mathrm{\Omega }(n)$ نمواً قوياً وفق أس ${\nu }_1$. وعندئذ نحصل على $\mathrm{Pr}(n)\propto n^{-\lambda {\nu }_1}$ حيث يميز الأسان $\lambda$ و ${\nu }_1$، على التوالي، التماسك الإنتروبي لشبكة Galois ككل والنمو التكويني لعناصرها غير القابلة للاختزال بالضم بوصفها عُقداً في شبكة متجانسة. ومن جهة أخرى، يبقى عدد التكوينات لكل عنصر قابل للاختزال بالضم مكرهاً جبرياً بواسطة شبكة Galois، أي إنه ملزم بأن يعتمد جبرياً على عدد تكوينات عنصريه الضامين من خلال قيد إضافية التقييم Knuth (2008, 2011). والآن، لنتصور شبكة ثانية هي الطبقة التي تجمع ضم زوج من العناصر غير القابلة للاختزال بالضم، مع ربط ضمين لهما مولد مشترك.

II.2.2 شبكات العناصر القابلة للاختزال بالضم

لغرض الحجة، لنتظاهر بأن العُقد في طبقتي الشبكة الأولى والثانية تخضع لنمو تكويني قوي بأسين ${\nu }_1$ و ${\nu }_2$، على التوالي. وعلى شبكتنا الثانية، نحصل عندئذ على $\mathrm{Pr}(n)\propto ({\nu }_1;n)n^{-\lambda {\nu }_2}$ حيث تحصي $({\nu }_1;n)$ وقوعات العُقد ذات التكافؤ $n$ بالنسبة إلى قيد إضافية التقييم، بحيث يمكن التفكير فيها مجرد مؤثر التفاف ذاتي يعمل على توزيع احتمال التكافؤ في شبكتنا الأولى. ويعطي تكرار هذه العملية للطبقة الشبكية ذات الرتبة $k$ $\mathrm{Pr}(n)\propto ({\nu }_1,{\nu }_2,\mathrm{\dots },{\nu }_k;n)n^{-\lambda {\nu }_k}$ مع ترميزات واضحة. ومن ثم، في ظل الافتراض المواتي نسبياً بأن تكوينات العُقد تنمو قوياً مع التكافؤات، يرث توزيع احتمال التكافؤ لكل طبقة شبكية قابلة للاختزال ذيلاً قوياً من السلوك الحرّ القياس الكامن، في حين تكشفه الطبقة الشبكية غير القابلة للاختزال بجلاء، ويرث دالة كتلة من البنية الجبرية لشبكة Galois الكامنة. ولاحظ أنه عندما تُسطح شبكة Galois أو تُهمل، يرى توزيع احتمال التكافؤ ذيله محكوماً بأقوى ذيل قوي وتصير دالة كتلته تركيبات خطية من دوال كتلة موزونة قوياً.

II.2.3 ادعاء مضلل

إذن، ضمن هذا المخطط، لن نلاحظ شبكة حرّة القياس إذا أُهملت البنية الترتيبية الكامنة، أو إذا لم تكن الشبكة المعنية غير قابلة للاختزال، أو إذا لم تنم تكوينات العُقد قوياً مع التكافؤات. غير أن الادعاء بأن هذه الشبكات لا تخضع لحرية القياس سيكون مضللاً هنا لأن النظام ككل مدفوع فعلياً بتوزيع احتمالي لقانون قوة حرّ القياس، في حين لا يمكن أن يلاحظ السلوك الحرّ القياس إلا في الطبقة الشبكية الأولى.

III شبكات الشوارع الحضرية بوصفها نموذجاً لعبياً

III.1 الهندسة في مقابل الطوبولوجيا

III.1.1 تعقيدات تافهة في مقابل تعقيدات غير تافهة

بوصفنا مشاة أو راكبي دراجات أو سائقين، نميل إلى تصور المفارق ومقاطع الشوارع في مدننا، للوهلة الأولى، بوصفها العُقد والحواف الطبيعية، على التوالي، لشبكات الشوارع الحضرية (انظر الشكل 1d). ومع ذلك فإن تعقدها تافه: ثلاث أو أربع وصلات لمعظم مفارق الشوارع Jiang et al. (2008); Jiang and Liu (2009). فعلاً، ميدانياً، يعلم كل مغامر في المدينة أنه عند كل نهاية مقطع شارع (أو مفرق) لن يكون لديه في معظم الحالات إلا بديلان: الاستمرار بمحاذاته أو الاتجاه الآخر. ويحدث هذا بغض النظر عن المدينة التي يستكشفها أو عن موضعه في المدينة. ولا غرابة في أن التمثيل الهندسي (ويسمى أيضاً التمثيل الأولي) بدا ساذجاً جداً بحيث لا يجسد تعقد شبكات الشوارع الحضرية Jiang and Claramunt (2004); Jiang et al. (2008); Jiang and Liu (2009); Jiang et al. (2014); Porta et al. (2006a); Rosvall et al. (2005); Masucci et al. (2009).

وقد يقودنا تفكير ثانٍ إلى إدراك أننا نستدل بالأحرى بدلالة الشوارع لا بدلالة مقاطع الشوارع — وربما بدلالة المفارق. فعلاً، نتوقع من سكان المدن إجابات توجيهية موجزة مصوغة كما يلي: “للذهاب إلى مكتب Oasis من منطقة Amethyst: اسلك شارع Sunshine، ثم شارع Seaport — عند مفرق Jade — وأخيراً شارع Sunset — عند مفرق Jonquil.” ومع أن هذه الإجابة التوجيهية ملونة، فإنها تكشف ضمنياً عن معلومات ثمينة: (i) لا يُتوقع لا الموضع ولا المسافة؛ (ii) يلعب كل مفرق في حد ذاته دوراً ثانوياً؛ (iii) يشترك كل زوج من الشوارع المتعاقبة، على نحو حاسم، في مفرق مشترك — أياً كان. وبعبارة أدق، نتوقع استجابات طوبولوجية. فالتمثيل الطوبولوجي (أو التمثيل الثنائي) يسند الشوارع إلى عُقد ويربط كل زوج منها يشترك في مفرق مشترك (انظر الشكل 1e). وبخلاف الشبكات الهندسية، تظهر الشبكات الطوبولوجية خصائص العالم الصغير وحرية القياس، أي سلوكيات الشبكات المعقدة Jiang et al. (2008); Jiang and Liu (2009); Jiang et al. (2014); Porta et al. (2006a); Rosvall et al. (2005); Masucci et al. (2009); Masucci and Molinero (2016). لاحظ أن الشبكات الطوبولوجية يمكن النظر إليها كتشفيرات لمعلومات عديمة المسافة مفيدة في الملاحة عبر شبكات الشوارع الحضرية. ولهذا السبب يشار أيضاً إلى التمثيل الطوبولوجي باسم فضاء المعلومات.

III.1.2 لمحة عامة عن استخراج البيانات

حتى الآن أهملنا أن نسأل أنفسنا كيف نعرّف الشوارع. وقد يبدو هذا السؤال بعيد الاحتمال لمعظم من يعيشون في بلدات حُفظ لها سجل عقاري بدقة على مدى عقود أو قرون، ولكنه ليس كذلك بالتأكيد لجوابي الآفاق بيننا. وحتى لو وُجدت سجلات عقارية مثالية، فإن الشوارع “المسماة” تبقى في جوهرها نتيجة عمليات اجتماعية معقدة حيث تتداخل الفيزياء الاجتماعية الكامنة على الأرجح مع الأعراف المحلية، وصراعات الفاعلية الماضية أو الحاضرة بين الجماعات الاجتماعية، وما إلى ذلك. وفي الواقع، عولج السؤال “ما هو الشارع؟” بإدخال مفهوم الطريق الطبيعي.

الطريق الطبيعي Jiang et al. (2008) هو تسلسل حصري من مقاطع شارع متعاقبة مقترنة وفق مبدأ ضم قائم على السلوك ما (انظر الشكل 1c). وإلى جانب مبدأ الضم العقاري الفعلي، تُستخدم أساساً ثلاثة مبادئ ضم هندسية قائمة على زوايا الانحراف Hillier (1999); Turner (2001); Rosvall et al. (2005); Jiang et al. (2008); Molinero et al. (2017). ومبدأ الضم كل-أفضل-ملاءمة متمركز حول المفرق ولا يربط إلا بالنسبة إلى ترتيب زوايا الانحراف في كل مفرق، بحيث يكون شبه حتمي بسبب طابعه المحلي. أما مبدأا الضم ذاتي-أفضل-ملاءمة و ذاتي[-عشوائي]-ملاءمة فكلاهما متمركز حول المسار ويلحقان مقاطع شوارع جديدة عودياً، على التوالي، بالنسبة إلى ترتيب زوايا الانحراف لمقاطع الشوارع الطرفية وبصورة عشوائية. ولا غرابة في أن مبادئ الضم الذاتية بدت أكثر واقعية إزاء السجلات العقارية ذات الصلة بسبب طبيعتها الكلية — إذ تكون الصيغة العشوائية عموماً أفضل ملاءمة. ونستخدم هنا مبدأ الضم ذاتي[-عشوائي]-ملاءمة، ما لم يذكر خلاف ذلك. وبالأساس، تتمثل ‘المادة الخام’ لدينا في شبكات هندسية مستخرجة من بيانات خرائط جُلبت من أرشيفات شاملة معروفة (انظر الشكل 1a).

Figure 1: تمثيلات حالة الفن لشبكات الشوارع الحضرية Rosvall et al. (2005); Porta et al. (2006b); Jiang et al. (2008) من خلال مثال تصوري Note (4). (a) يعرض الصف العلوي ‘المادة الخام’ المحاكاة كما يمكن استخراجها من أي أرشيف شامل. ويعرض العمود الأيسر الصيغ الثلاث للتمثيل الهندسي (أو القائم على المقاطع): (b) رسم ‘للمادة الخام’ ملوّن اصطناعياً يعرض المفارق الشارعية الممتدة (النهايات المسدودة $i_{\ast }$ والمفارق الفعلية $j_{\ast }$) والمقاطع $s_{\ast }$ بألوان رمادية وباهتة، على التوالي؛ (d) رسم اتصال قائم على المفارق، أي الشبكة الملموسة من دون تصنعات؛ (f) رسم اتصال قائم على المقاطع وثنائي للرسم (d). ويعرض العمود الأيمن الصيغ الثلاث للتمثيل الطوبولوجي (أو القائم على الطريق الطبيعي) لإعداد الطريق الطبيعي نفسه: (c) رسم ‘للمادة الخام’ مُعاد الصياغة يبيّن المفارق الأصلية والطرق الطبيعية بألوان رمادية وزاهية، على التوالي؛ (e) رسم اتصال قائم على الطريق الطبيعي؛ (g) رسم اتصال قائم على المفارق وثنائي للرسم (e). وبالنسبة إلى الشبكات المجردة الأربع (d-g) يتناسب حجم كل عقدة مع تكافؤها. ومن بينها، تبدو (e) هي الملائمة لأن توزيع تكافؤها يخضع لقوانين قوى حرّة القياس Porta et al. (2006b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014) (انظر الشكل 3) بينما تكون توزيعات (d) و (f) ضيقة جداً ويكون توزيع (g) أعقد. وبالنسبة إلى الشبكات المجردة (d)، لأكبر عدد من المفارق تكافؤ قدره ثلاثة أو أربعة Cardillo et al. (2006); Lämmer et al. (2006); Buhl et al. (2006); Chan et al. (2011)؛ ومن ثم، بالنسبة إلى الشبكات المجردة (f)، لأكبر عدد من المقاطع تكافؤ قدره أربعة أو خمسة أو ستة Jiang et al. (2008); Jiang and Liu (2009).

III.2 تراتبية Galoisية

III.2.1 شبكة Galois محتجبة

لنسج شبكة طوبولوجية يمكننا أولاً إنشاء علاقة الوقوع $\mathfrak{caIR}$ التي تجمع لكل طريق طبيعي جميع المفارق التي يمر بها، ثم نستنتج معكوسها ${\mathfrak{caIR}}^{-1}$ الذي يجمع لكل مفرق جميع الطرق الطبيعية التي يصل بينها Jiang et al. (2008): فتأليف الأولى مع الثانية $\mathfrak{caIR}\circ {\mathfrak{caIR}}^{-1}$ يعطي شبكة الطريق-الطريق الطوبولوجية التي صادفناها أعلاه، بينما التأليف البديل ${\mathfrak{caIR}}^{-1}\circ \mathfrak{caIR}$ يقود إلى ثنائيتها، أي شبكة المفرق-المفرق الطوبولوجية. وتتحد هذه الثنائية البنائية بسهولة مع الثنائية الهندسية/الطوبولوجية كما هو موضح في الشكل 1. وكلتا الشبكتين تمثيل غير حقني لـ $\mathfrak{caIR}$، وبالتالي لشبكة الشوارع الحضرية المعنية.

لنفسر الآن أي علاقة وقوع $\mathfrak{caIR}$ كعلاقة موضوع/خاصية حيث يعمل كل طريق طبيعي كموضوع وكل مفرق كخاصية Atkin (1974); Davey and Priestley (2002); Ho (1982). وبذلك، اعتماداً على FCA، يمكننا تمثيل أي علاقة وقوع $\mathfrak{caIR}$ تقابلياً كبنية جبرية مرتبة تعرف باسم شبكة Galois Davey and Priestley (2002); Ho (1982). وكما يبين البرهان البنائي الذي قدمه Y.-S. Ho Ho (1982)، يمزج هذا النموذج الموضوعات والخواص في أزواج من مجموعات جزئية منها ليشكل، من دون فقد للمعلومات، شبكة Galois. ولتحقيق البنية الناشئة، تُمدد العلاقة واحد إلى كثير $\mathfrak{caIR}$ طبيعياً إلى علاقة كثير إلى كثير بالقول إن خواص موضوعين هي خواصهما المشتركة Ho (1982).

Figure 2: إيضاح على طريقة C. Alexander (Alexander, 1965, col. 5) لشبكة Galois المرتبطة بشبكة الشوارع الحضرية التصورية في الشكل 1. (a) تمثيل المجموعات الجزئية هو لتقييمات شبكات Galois ما يكونه مخطط Venn لعدد عناصر المجموعات. فالطرق الطبيعية $r_{\ast }$ مفردات، والمفارق $j_{\ast }$ مجموعات متقاطعة من الطرق الطبيعية، وشبكة الشوارع الحضرية $\top$، العنصر الأعلى Davey and Priestley (2002)، هي الاتحاد الكلي للمجموعات الجزئية. أي إن الطرق الطبيعية $r_{\ast }$ تنضم لتشكل مفارق $j_{\ast }$، بينما يجب أن نكون في مكان ما داخل شبكة الشوارع الحضرية $\top$. وفي هذا العمل، يُختزل مبدأ الاحتواء والاستبعاد للتقييمات إلى أبسط صوره غير التافهة (1). (b) يشدد مخطط Hasse Davey and Priestley (2002) على علاقة الترتيب الجزئي. وبالنسبة إلى شبكات الشوارع الحضرية، تتبسط مخططات Hasse في طبقتين متجانستين غير تافهتين — الطرق الطبيعية $r_{\ast }$ والمفارق $j_{\ast }$ التي تؤلف، على التوالي، الطبقتين الدنيا والعليا. أي إن الطرق الطبيعية $r_{\ast }$ “تمر عبر” (أو تقتضي) المفارق $j_{\ast }$. أما العنصر الأدنى $\perp$ فهو المقابل العبثي للعنصر الأعلى $\top$، أي، الخواء.

ولحسن الحظ، بالنسبة إلى شبكات الشوارع الحضرية، تُسند علاقات الوقوع جوهرياً إلى شبكات Galois ذات طبقتين غير تافهتين. فالطرق الطبيعية تشكل الطبقة الدنيا في حين تؤلف المفارق الطبقة العليا — وعلاقة الترتيب ‘يقتضي’ هي “المرور عبر”. وفي الحدث النادر الذي يتقاطع فيه طريقان طبيعيان أكثر من مرة، تجعل الحلقة الناتجة شبكة Galois أعقد. ولغرض العرض، سنفترض أن مثل هذه الحلقات نادرة جداً أو مفتوحة قسراً. وعلاوة على ذلك، عندما يصل كل مفرق بين طريقين طبيعيين فقط تصبح شبكة Galois توزيعية. ومع أن معظم المفارق تقريباً لا تصل إلا بين طريقين طبيعيين، نلاحظ أن أي مفرق يصل بين أكثر من طريقين طبيعيين يمكن استبداله بدوار بحيث لا يبقى إلا مفارق تصل بين طريقين طبيعيين على الأكثر. ولهذه الأسباب، سنصف بأنه قياسي كل شبكة شوارع حضرية تصل مفارقها فعلياً بين طريقين طبيعيين فقط. وباختصار، في شبكات الشوارع الحضرية، تُسند علاقات الوقوع، بطريقة واحد إلى واحد، إلى شبكات Galois توزيعية في جوهرها وذات طبقتين غير تافهتين، بينما تجعلها عملية القياسة شبكات Galois توزيعية صرفة.

يمكن القول إن هذا ليس جديداً، إلا أن تعقد شبكات الشوارع الحضرية يمكن الآن قياسه كلياً وبلا لبس ضمن إطار فيزياء المعلومات. والمعالجة التفصيلية لهذا الموضوع تقع بعيداً خارج نطاق هذه الورقة؛ لذلك، بعد المادة المرسومة بإيجاز سابقاً (انظر القسم II)، نكتفي بالإحالة إلى عمل K. H. Knuth Knuth (2011, 2008, 2005, 2014)، وسنقنع أنفسنا بعرض النتائج ذات الصلة بشبكات Galois طريق/مفرق للمضي في البناء.

III.2.2 قياس التعقد

من دون فقد للعمومية، يمكننا قياسة شبكات الشوارع الحضرية بحيث تكون شبكات Galois الخاصة بها توزيعية. ومن الآن فصاعداً، تشكل الطرق الطبيعية عناصرها غير القابلة للاختزال بالضم، أي، لدينا حرية تقييم كل طريق طبيعي كما نرغب بينما تملي البنية الجبرية لشبكة Galois تقييم كل مفرق بوصفه مجموع تقييم طريقيه الطبيعيين الواصلين. وهكذا، لكل مفرق $j(r,s)$ يصل بين زوج الطرق الطبيعية $(r,s)$، نكون ملزمين بكتابة

$$(j(r,s))=(r)+(s)$$ (1)

حيث ترمز $$ إلى دالة التقييم التي لا تزال مجهولة. وتُلزمنا متطلبات اتساق أخرى بالتعرف إلى أي دالة تقييم مرتبطة بالأُسّية الأولى لكل شبكة Galois بوصفها توزيعاً احتمالياً. وهذا التوزيع الاحتمالي هو تأليف دالة وزن لا تزال مجهولة $$ مع دالة التقييم أعلاه $$؛ فنقرأ

$$\mathrm{Pr}=\circ$$ (2)

مع كون $\mathrm{Pr}$ التوزيع الاحتمالي للنظام. وفي الوقت نفسه يمكننا اختيار $$ كما نشاء. وأخيراً، تفرض قيود الاتساق نفسها وقيود إضافية مطلوبة تحديد تقييم العنصر المركزي في الأُسّية الثانية لشبكة Galois بوصفه إنتروبيا النظام $[,]$ التي يعبر عنها، من ثم، كدالية في دالتي التقييم والوزن، $$ و $$، على التوالي. وبالنسبة إلى شبكات الشوارع الحضرية القياسية، تأخذ دالية إنتروبيا البنية $[,]$ الشكل

$$[,]=\sum _r\left(\circ \right)\left((r)\right)+\sum _{j(r,s)}\left(\circ \right)\left((r)+(s)\right)$$ (3)

حيث يجري الجمع الأول على الطرق الطبيعية $r$ والثاني على المفارق $j(r,s)$ التي تصل بين زوج الطرق الطبيعية $(r,s)$، بينما $:x\mapsto -x\ln x$ هي دالة إنتروبيا Shannon Note (1).

وبعكس قاعدة الإضافة (1) في الجمع الأيمن ثم التأليف وفقاً لـ (2)، سيستعيد القارئ بسهولة التعبير ‘المسطح’ للإنتروبيا الدالية $[,]$، أي $[\mathrm{Pr}]={\sum }_e\left(\circ \mathrm{Pr}\right)\left(e\right)$ حيث يقع الجمع بلا تمييز على جميع الطرق الطبيعية والمفارق $e$.

لذلك، في سياقنا، تتلخص الجدة التي تقدمها نظرية فيزياء المعلومات كما يلي: إنها تمكننا من قياس تعقد نظامنا غير المتجانس ككل بأخذ تراتبيته الترتيبية في الحسبان. وتفصيلاً، تتمفصل كما يلي: محلياً، تكشف كيف تفرض الطرق الطبيعية $r$ تقييماتها الاعتباطية $(r)$ على المفارق $j$؛ وعالمياً، تكشف كيف تلحم دالة وزن اعتباطية $$ الكل. ولاحظ إساءة الاستعمال الطفيفة للغة المستخدمة في عنوان المقال: فالإنتروبيا (3) توصف بالبنية لإبراز هذه الجدة.

III.3 التماسك Paretoي

III.3.1 جهل تام مفترض

على أي حال، لا يدرك معظم السكان من مدينتهم تراتبية Galois الكامنة في ذاتها بل يدركون التماسك Paretoي الناشئ الناتج عنها. ويبدو أن هذا الانتقال من البنية الجبرية إلى الترتيب العضوي يحدث في سياقنا نتيجة لمبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز كما رُسم مبكراً (انظر القسم II).

صورياً، نفترض جهلنا التام بالظواهر التي تدفع كل طريق طبيعي أو مفرق؛ بحيث إن أقصى ما نستطيع قوله هو أن كل واحد يمتلك عدداً منتهياً من التكوينات المتساوية الاحتمال. ومن ثم، تكتب إنتروبيا النظام الوسطية $⟨H⟩$

$$⟨H⟩=\sum _e\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)\ln {\mathrm{\Omega }}_e$$ (4)

كلما بلغ كل طريق طبيعي أو مفرق $e$ اتزاناً؛ ويجري الجمع بلا تمييز على جميع الطرق الطبيعية والمفارق $e$، وتعبر $\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)$ عن احتمال أن يكون للطريق الطبيعي أو المفرق $e$ عدد ${\mathrm{\Omega }}_e$ من الحالات، وتمثل $\ln {\mathrm{\Omega }}_e$ إنتروبيته البولتزمانية. بعد ذلك، وباستخدام الترميز نفسه، يحمل مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز المستدعى مع العزم اللوغاريتمي الأول بوصفه العزم المميز الوحيد حرفياً تعبير Lagrange-Shannon

$$ℒ(\left\{\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)\right\};\lambda ,\nu )=-\sum _e\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)\ln \left(\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)\right)-\lambda \left[\sum _e\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)\ln {\mathrm{\Omega }}_e-{⟨H⟩}_0\right]-\left(\nu -1\right)\left[\sum _e\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)-1\right]$$ (5)

حيث يفرض القيدان الأول والثاني حفظ إنتروبيا النظام الوسطية وشرط التطبيع الذي تفي به $\mathrm{Pr}$، على التوالي، بينما ${⟨H⟩}_0$ ترمز إلى الإنتروبيا الوسطية الثابتة التي يتطور عندها النظام. ويعطي حل (5) مباشرة توزيع قانون القوة

$$\mathrm{Pr}({\mathrm{\Omega }}_e)=\frac{{\mathrm{\Omega }}_e^{-\lambda }}{Z\left(\lambda \right)}\text{with}Z\left(\lambda \right)=\sum _e{\mathrm{\Omega }}_e^{-\lambda }$$ (6)

حيث تكون دالة التقسيم. ويؤدي الحساب الصريح للإنتروبيا الوسطية (4) إلى معادلة الحالة

$$⟨H⟩=-\frac{\partial }{\partial \lambda }\ln Z\left(\lambda \right)$$ (7)

التي نؤجل استثمارها.

بهذه الطريقة، يساعدنا جهلنا التام على تمييز تماسك Paretoي، وإن لم يكن قابلاً للإدراك بجلاء، بين شبكات الشوارع الحضرية.

III.3.2 معرفة جزئية ممنوحة

في الواقع تظاهرنا بجهلنا التام، جزئياً على الأقل: إذ صرفنا النظر ببساطة عن التراتبية Galoisية الكامنة وعن أن الطرق الطبيعية والمفارق مرجح أن تدفعها تفاعلات اجتماعية. وقد حان الوقت الآن لتفكيك التوزيع الاحتمالي (6) وفقاً للتأليف (2) وقاعدة الإضافة (1).

ولهذا الغرض، يبدو مناسباً اعتماد نموذج عامل Dover (2004); Parunak et al. (2004). فلنكيّف نموذج شبكة العوامل المتصلة داخلياً الذي قُدم في المرجع Dover, 2004 لتوزيع المدن في البلدان، بما أن السلوكيات الاجتماعية المعنية قد تكون متشابهة — إن لم تكن هي نفسها. وكعوامل، ننظر إلى السكان الذين يشاركون، بطريقة ما، في النشاط الحي لشبكات الشوارع الحضرية Alexander (1965): السائقين وراكبي الدراجات والمشاة، والموردين، والعوامل المؤسسية، والمقيمين، وما إلى ذلك. وهكذا، كل طريق طبيعي (أو مفرق) هو خلية اجتماعية يعتمد وجودها ذاته على قدرة كل عامل من عواملها على الحفاظ على عدد حاسم من الاتصالات الداخلية يُفترض بصورة خشنة أنه يساوي عدداً ثابتاً $$ (أو $$)، يسمى عدد الاتصالات الحيوية للطرق الطبيعية (أو المفارق)، ويميز شبكة الشوارع الحضرية. ويرتبط مخطط هذه الاتصالات الداخلية ضمنياً بالنظام الداخلي داخل كل طريق طبيعي (أو مفرق)، بينما يُنظر إلى العدد الكلي للمخططات الممكنة على نحو تبسيطي بوصفه عدد حالاته.

لنفترض، لكل طريق طبيعي $r$، أن عدد العوامل يتناسب تقاربياً مع عدد المفارق $n_r$ التي يمر عبرها $r$ — مع كون النسبة $A$ ثابتة وكبيرة بما يكفي. وتستند هذه الفرضية إلى الخاصية الامتدادية للطرق الطبيعية. ثم يعطي عدد الحالات ${\mathrm{\Omega }}_r$ لكل طريق طبيعي $r$

$${\mathrm{\Omega }}_r=\left(n_r\right)\simeq \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\frac{1}{2}A{n}_r\left(A{n}_r-1\right)}{}\right)\simeq \frac{A^2}{2^{}!}{n}_r^2$$ (8a)

حيث تُستخدم قوسية ثنائية الحد المعممة. أما في ما يتعلق بكل مفرق، فالعوامل المعنية هي مجرد عوامل الطريقين الطبيعيين الواصلين مجتمعة؛ ومن ثم تعطي المناورات الخشنة نفسها

$${\mathrm{\Omega }}_{j(r,s)}=\left(n_j=n_r+n_s\right)\simeq \frac{A^2}{2^{}!}{n}_j^2$$ (8b)

مع بعض إساءة استعمال للترميز.

ومن هنا، تبرز دالة التقييم $$ بوضوح بوصفها تسند إلى كل طريق طبيعي أو مفرق عدد العوامل المرتبطة به بينما تحصي دالة الوزن $$ تقاربياً عدد مخططات الاتصالات الداخلية الحيوية الممكنة (بترديد التطبيع) في الطريق الطبيعي أو المفرق المعني الذي يُتصور آنذاك كشبكة داخلية.

III.3.3 سلسلة معلومات متعاقبة

يمكننا الآن التعبير عن احتمال الطرق الطبيعية والمفارق بطريقة أكثر تحديداً وقابلية للإدراك. وبالتعويض بـ (8a) في (6)، نحصل مباشرة للطرق الطبيعية على

$$\mathrm{Pr}(n_r)\propto n_r^{-2\lambda }$$ (9a)

وهو توزيع قانون قوة حرّ القياس. أما نظير المفارق، فبإدراج (8b) بدلاً من ذلك في (6)، ثم التجميع والإحصاء بالنسبة إلى التوزيع الاحتمالي السابق (9a) نحصل على

$$\mathrm{Pr}(n_j)\propto \left(\sum _{j(r,s)}\frac{\left[n_j=n_r+n_s\right]}{{\left(n_r{n}_s\right)}^{2\lambda }}\right)n_j^{}{}_{}{}^{-2\lambda }$$ (9b)

حيث تُستخدم اصطلاحية قوس Iverson؛ والجمع بين قوسين هو ببساطة الالتفاف الذاتي لتوزيع احتمال الطرق الطبيعية (9a). وبالنسبة إلى طريق طبيعي معطى $r$، فإن عدد مفارقه $n_r$ ليس في جوهره سوى درجته في شبكة الطريق-الطريق الطوبولوجية المعنية: وقد لوحظ توزيع التكافؤ (9a) تجريبياً في المدن ذات التنظيم الذاتي Porta et al. (2006b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014). وتنطبق الحجة نفسها ثنائياً على المفارق: ومع ذلك، على حد علمنا، لا يمكن تأكيد ولا دحض توزيع التكافؤ (9b) استناداً إلى الأدبيات الحالية.

في التعرفات العملية Clauset et al. (2009)، نحتاج إلى افتراض أن عدد المفارق لكل طريق طبيعي يمتد ابتداءً من قيمة صغرى ما $⩾1$. عندئذ، يمكن حساب ثوابت التطبيع للتوزيعات الاحتمالية (9) بلا عناء بدلالة تعميمات طبيعية لدوال خاصة معروفة (جداً). وفي حين نحصل مباشرة على

$$\mathrm{Pr}(n_r)=\frac{n_r^{-2\lambda }}{(2\lambda ;)}$$ (10a)

حيث $(\alpha ;)={\sum }_{n=}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-\alpha }$ هي دالة zeta المعممة (أو Hurwitz) Clauset et al. (2009); Olver et al. (2010)، نجد أن

$$\mathrm{Pr}(n_j)=\frac{{\sum }_{n=}^{n_j-}{\left[n\left(n_j-n\right)\right]}^{-2\lambda }n_j^{}{}_{}{}^{-2\lambda }}{(2\lambda ,2\lambda ,2\lambda ;)}$$ (10b)

حيث $(\alpha ,\beta ,\gamma ;)={\sum }_{m,n⩾}{m}^{-\alpha }{n}^{-\beta }{\left(m+n\right)}^{-\gamma }$ هي دالة zeta Mordell-Tornheim-Witten المعممة (أو Hurwitzية) ثنائية البعد Borwein and Dilcher (2018). ويعرف التوزيع الاحتمالي الأول (10a) باسم توزيع Pareto المتقطع وهو نسخة منزاحة (أو Hurwitzية) من توزيع Zipf الأشهر Newman (2005); Clauset et al. (2009)؛ أما الأخير (10b) فهو توزيع غير قياسي جرسي الشكل ذو ذيل قانون قوة يقارب $n_j^{}{}_{}{}^{-2\lambda \left(+\right)}$، على حد ما نستطيع الجزم، وقد وجدنا من الملائم تسميته توزيع Schwitten Note (2).

Figure 3: توزيعات التكرار النسبي المضاد للتراكم (RACFD) لخمس شبكات شوارع حضرية “طبيعية” (a-e) لمدن ذات خلفيات ثقافية متميزة ولشبكة شوارع حضرية “اصطناعية” (f) لمدينة مخططة: تمثل الدوائر التكرارات النسبية المضادة للتراكم لتكافؤات شبكات الطريق-الطريق الطوبولوجية الخاصة بها (انظر الشكل 1e)؛ وتمثل الصلبان التكرارات النسبية المضادة للتراكم لتكافؤات شبكات المفرق-المفرق الطوبولوجية الخاصة بها (انظر الشكل 1g). وتصف المنحنيات الحمراء الملائمة لإحصاءات الطرق الطبيعية تقديرات الإمكان الأعظم (MLE) لتوزيع Pareto الاحتمالي المتقطع (10a) المقدّر وفق حالة الفن Clauset et al. (2009); Gillespie (2015) ($\mathrm{250\hspace{0.17em}000}$ عينات). وتعرض المنحنيات الخضراء الملائمة لإحصاءات المفارق ملاءمات المربعات الصغرى غير الخطية (NLSF) للتوزيع الاحتمالي المتقطع غير القياسي جرسي الشكل (10b) مع تثبيت $$ و $2\lambda$ عند قيم MLE الخاصة بهما؛ ولا يمكن تصور أي مقاربة MLE حسابياً في الوقت الراهن. ويسمح لنا مؤهل جودة الملاءمة MLE $$ بأن نصف شبكات الشوارع الحضرية بأنها “طبيعية” عندما يكون أكبر من $0.1$، وإلا فبأنها “اصطناعية” Clauset et al. (2009); Jiang (2007); Porta et al. (2006b, a); Jiang et al. (2008)؛ لذلك، يكون اختيارنا لشبكات الشوارع الحضرية مبرراً بأثر رجعي. ومن جهة أخرى، في الوقت الحالي، يمنعنا تحليل البيانات NLSF المخصص من الرفض الفج لتوزيع تكافؤ المفارق المستشرف (10b).

III.4 دراسات حالة

تحققنا من الملاءمة الإحصائية لتوزيع تكافؤ المفارق المستشرف (10b) لخمس شبكات شوارع حضرية يُعد فيها توزيع تكافؤ الطرق الطبيعية المتوقع (10a) فرضية معقولة بالنسبة إلى الطريقة الإحصائية الحديثة في حالة الفن لتوزيعات قانون القوة Clauset et al. (2009) وهي قائمة على تقديرات الإمكان الأعظم (MLE). واتخذنا شبكة شوارع حضرية سادسة معروفة بأنها مخططة كدراسة حالة مضادة. ولم يتيسر إجراء تحقق من توزيع تكافؤ المفارق (10b) على غرار حالة الفن Clauset et al. (2009) لأن التقييم السريع لدالة التطبيع $$ لم يُعثر عليه بعد؛ وفي الأثناء أُجري تحليل بيانات خشن قائم على ملاءمات المربعات الصغرى غير الخطية (NLSF).

يعرض الشكل 3 توزيعات التكرار النسبي المضاد للتراكم (RACFD) لتكافؤ شبكات الطريق-الطريق والمفرق-المفرق الطوبولوجية لشبكات الشوارع الحضرية الست مع محددات كمية لجودة الملاءمة (أو $p\text{-values}$)، والمعاملات المقدرة، والتوزيعات الاحتمالية الملائمة. لاحظ أن محددات جودة الملاءمة تُقدّر مقابل توزيع تكافؤ الطرق الطبيعية المتوقع (10a). وقد استُخرجت ‘المادة الخام’ (انظر الشكل 1a) من أرشيف Open Street Map (OSM) الشامل © OpenStreetMap contributors . واختيرت المدن بحيث تكون لها خلفيات ثقافية متميزة و أن تتسم بشبكة شوارع حضرية تاريخية قابلة للتحديد ولم تُعد صياغتها؛ وقد اخترنا: (a) London (United Kingdom)، (b) Ahmedabad (India)، (c) Xi’an (China)، (d) Harar (Ethiopia)، (e) Taroudant (Morocco)، و (f) Levittown (Pennsylvania, United States). والحد إما الطريق الحلقي الأعمق (London)، أو سور المدينة (Ahmedabad, Xi’an, Harar, Taroudant)، أو سلسلة محيطة متسقة من الطرق المتصلة (Levittown). وقد ضُمت الطرق الطبيعية (انظر الشكل 1c) وفق مبدأ الضم ذاتي[-عشوائي]-ملاءمة Jiang et al. (2008). ولكل هيكل، ولدنا مئة إعداد للطريق الطبيعي، ثم اخترنا، من بين الإعدادات ذات RACFD ناعم نسبياً لتكافؤ شبكة المفرق-المفرق الطوبولوجية الخاصة بها، الإعداد ذا أعلى محدد كمي لجودة الملاءمة. وقد لوحظ أنه بالنسبة إلى شبكات الشوارع الحضرية الخمس الأولى (a-e) فإن توزيع تكافؤ الطرق الطبيعية المتوقع (10a) هو فعلاً فرضية معقولة، إذ إن محددات جودة الملاءمة الخاصة بها $$ أكبر من $0.1$، بينما بالنسبة إلى السادسة (f) ينبغي رفضه بوضوح Clauset et al. (2009). لذلك، كما هو متوقع، فالخمس الأولى “طبيعية” بينما السادسة “اصطناعية”.

ويبدو تحليل بياناتنا الخشن المخصص واعداً بمعنى أنه يمنع المرء من نقض توزيع تكافؤ المفارق المستشرف (10b) نقضاً فجاً. ومن المثير للاهتمام أن دراسات الحالة تكشف أن عدد الاتصالات الحيوية $$ سالب، أي أن عدد التركيب الثنائي الحد المعمم المرتبط به أصغر من واحد. ونفسر هذه النتيجة كما يلي: عدد اتصالات العوامل الداخلية للمفارق أصغر نسبياً بكثير من نظيره في الطرق الطبيعية.

IV أفكار ألكسندر بوصفها دليلاً

IV.1 استعادة تلخيصية

خلاصة القول، يمكننا التسليم بأن جهلنا الجزئي يسمح لنا بالتعرف إلى تماسك Paretoي تراتبي بين شبكات الشوارع الحضرية. وبصورة أدق، ضمن إطار فيزياء المعلومات Knuth (2011, 2008, 2005, 2014)، فإن التماسك Paretoي الناشئ الذي يميز شبكات الشوارع الحضرية ذات التنظيم الذاتي (أو “الطبيعية”) Jiang (2007); Porta et al. (2006b, a); Jiang et al. (2008) لم يُتنبأ به فحسب، بل تبيّن أيضاً أنه يكشف التراتبية Galoisية الكامنة التي تصف أياً منها، سواء كانت مخططة أو ذاتية التنظيم. ويحدث الانتقال إلى التماسك Paretoي — العضوي بطبيعته — من التراتبية Galoisية — الخوارزمية في جوهرها — بفرض قيد إنتروبيا عظمى لوغاريتمي مع الجهل التام شرطاً معرفياً ابتدائياً Jaynes (1957a); Kesavan (2009); Kapur and Kesavan (1992); Jaynes (1989).

وتعتمد معرفتنا الجزئية على الترتيب الجزئي “المرور عبر” الذي يربط الطرق الطبيعية بالمفارق و على “الازدواج” الذي يميز أي نظام اجتماعي. فالأول يحول شبكات الشوارع الحضرية تقابلياً إلى شبكات Galois تؤدي بنيتها الجبرية، بدورها، (بترديد بعض القيود الجبرية الطبيعية Knuth (2011, 2008, 2005, 2014)) إلى مجموعة من العلاقات والمعادلات الدالية المقصود بها قياس التعقد؛ أما الثاني فيقدم إشارة لتبين المجهولين الداليين المعنيين، أي دالتي الوزن والتقييم.

وبكلمات C. Alexander Alexander (1965); Jiang (2016); Alexander (2002)، فإن الجزء السابق للانتقال “ميكانيكي”؛ وقد استخدمنا بدلاً من ذلك وصف Galoisي. إن التحويل الخوارزمي لتحليل المفاهيم الصورية (FCA) Ho (1982); Davey and Priestley (2002) ليس سوى شرط مسبق لتطبيق فيزياء المعلومات Knuth (2011, 2008, 2005, 2014). وقد تُرجمت الإشارة إلى نموذج خشن تقاربي ثنائي الحد لعوامل مزدوجة، وهو متوافق مع الآلية الاجتماعية التي تحدث “في Berkeley عند زاوية Hearst و Euclid” في المرجع Alexander, 1965.

IV.2 حدسية ألكسندر

اقتناعاً بأن الطبيعة لا تحب الأشجار، قدم C. Alexander على نحو غير صوري مفهوم “شبه الشبكة” Alexander (1965): ومن رأى تمثيلاتها اليدوية تأثر بالتشابه بين رسومها الخطية ومخططات Hasse قبل أن يدرك أن الرسوم المستديرة توضح بسلاسة قاعدة الإضافة (1) (انظر الشكل 2). ونعتقد أنه أدرك حدسياً فكرة اختزال علاقة الترتيب الجزئي إلى شبكات Galois — التي أُدركت بوضوح وأُثبتت بصرامة في وقت أسبق بواسطة Ø. Ore Ore (1942, 1944a); *OOre1944:erratum — مع البنية الجبرية المصاحبة Note (3).

ومع أن C. Alexander لم يحاول وضع أرقام على “أشباه الشبكات”، فقد ادعى مع ذلك أنه بالنسبة إلى المدن “الطبيعية” تنتظم عناصرها كلياً وفق تماسك “حي”: وهذا هو إرثه كمعماري حضري. وفي الأدبيات، يتخذ ذلك شكل خطوط مستقيمة على رسوم log-log لتوزيع تكافؤ الطرق الطبيعية؛ أما هنا، فقد تبين، في شبكات الشوارع الحضرية، أنه ينبثق من مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز المستدعى مع العزم اللوغاريتمي الأول بوصفه العزم المميز الوحيد. وهكذا، في هذا العمل، أرسينا أساس الفيزياء الإحصائية للتماسك “الحي” الذي يحدث بين المدن “الطبيعية”، على الأقل في شبكات شوارعها الحضرية؛ وبدلاً من “حي” استخدمنا Paretoي.

وباعتماد، كما ربما فعل C. Alexander، المقاربة الأكثر حدسية التي تفسر الإنتروبيا بأنها متوسط مقدار المفاجأة المعلوماتية Tribus (1961)، تصير حدسية ألكسندر: تتطور المدن “الطبيعية” بالمحافظة على مقدار مفاجأتها المعلوماتية ثابتاً في المتوسط. وتنطبق هذه الحدسية على المدن ككل، من المساكن إلى النقل.

IV.3 المفاجأة

فضلاً عن إعطاء محتوى فيزيائي عياني حدسي، فإن صياغة حدسية ألكسندر بدلالة المفاجأة المعلوماتية تعطي ضمناً أفكار C. Alexander محتوى فيزيائياً مجهرياً. وقد أدخل M. Tribus المفاجأة المعلوماتية (أو المفاجأة) $=-\ln \circ \mathrm{Pr}$ كمقياس يكمم دهشتنا وترددنا عندما نواجه حدثاً اعتباطياً Note (1); Tribus (1961). وعلى هذا المنوال، لا تعبر حدسية ألكسندر عن شيء سوى الحفظ المتوسط لدهشة السكان وترددهم عندما يدركون مدينتهم الخاصة. ولرسم قياس من الفيزياء الإحصائية، تحافظ جسيمات الغاز المثالي في المتوسط على حركتها، التي تُكمم بدلالة الزخم الخطي Jaynes (1957a); Kapur and Kesavan (1992). لذلك، من منظور الفيزياء الإحصائية، تبدو دهشة سكان مدينة ألكسندرية وترددهم، عندئذ، بالنسبة إلى الطرق الطبيعية والمفارق — وأي عناصر حضرية مشابهة أخرى — كما تكون الحركة لجسيمات الغاز المثالي.

إن المضي في القياس بين نظامنا وغاز مثالي بوصفه توازياً بين نظام Paretoي ونظام غاوسي ملائم أيضاً. فسيكون توزيع عدد الحالات توزيعاً غاوسياً متقطعاً بدلاً من توزيع Pareto متقطع، لعناصر شبكة Galois، لو استُدعي مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز مع العزمين الأول والثاني بدلاً من العزم اللوغاريتمي الأول كعزوم مميزة. وعندئذ يمكن أن تحفظ طبيعة التوزيع الغاوسي المتقطع الكامن تقريباً لكل من توزيعي الطريق الطبيعي والمفرق شريطة أن يكون عدد الاتصالات الحيوية في كليهما مساوياً لـ $1/2$. وقد استخدمنا حقيقة أن التفاف توزيعين غاوسيين متقطعين يكاد يكون توزيعاً غاوسياً متقطعاً Szabłowski (2001). والنقطة الجديرة بالملاحظة هي أن توزيع تكافؤ المفارق سيبدو عندئذ مشابهاً لتوزيع تكافؤ الطرق الطبيعية. أي إن فيزياء غاوسية ستذيب في الغالب شبكة Galois الكامنة في نظامنا، بينما تكشفها الفيزياء Paretoية المعروضة في هذه الورقة.

وباختصار، نحن أمام فيزياء إحصائية Galoisية Paretoية تتجاوز طريقتنا الغاوسية التقليدية في التفكير Jiang (2016); Sattin (2003)؛ وربما استخدم C. Alexander كلمة “ميكانيكية” بدلاً من ذلك Alexander (1965); Jiang (2016); Alexander (2002).

V خاتمة

درسنا التشابك الحرّ القياس في شبكات الشوارع الحضرية. فقد لوحظ على نطاق واسع أن رسوم الاتصال القائمة على الطريق الطبيعي تحقق شبكات حرّة القياس في المدن ذات التنظيم الذاتي Porta et al. (2006b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014) — والطريق الطبيعي (أو الطريق) بديل مقبول لشارع “مسمى” Jiang et al. (2008). وتشدد مقاربتنا، بطريقة كلية ومنهجية، على تراتبية الطريق-المفرق في شبكات الشوارع الحضرية. وتقود هذه المقاربة إلى تقابل واحد لواحد بين شبكات الشوارع الحضرية وبنى جبرية تعرف باسم شبكات Galois، بحيث تنسجم مع عقلية فيزياء المعلومات Knuth (2011, 2008, 2005, 2014). وفي النهاية، يسمح لنا هذا الانتقال إلى إطار مختلف بتصور شبكات الشوارع الحضرية أنظمة اجتماعية متطورة خاضعة لاتزان إنتروبي Milaković (2001); Dover (2004). وقد بينا أن الانتقال من التراتبية Galoisية (أو تراتبية الطريق-المفرق) الكامنة إلى تماسك Paretoي (أو حرّ القياس) كامن يمكن تحقيقه باستدعاء مبدأ الإنتروبيا العظمى لجاينز مع العزم اللوغاريتمي الأول بوصفه القيد المميز الوحيد وجهلنا التام بوصفه معرفة ابتدائية Jaynes (1957a); Kesavan (2009); Kapur and Kesavan (1992); Jaynes (1989); Milaković (2001); Dover (2004). وفي نهاية المطاف، يجب تفكيك التماسك Paretoي الكامن بالنسبة إلى التراتبية Galoisية الكامنة ضمن إطار فيزياء المعلومات. ويتصور تفكيكنا الطرق الطبيعية والمفارق خلايا لعوامل اجتماعية Dover (2004); Parunak et al. (2004). وتُنمذج التفاعلات الاجتماعية بنموذج ثنائي الحد لعوامل مزدوجة مأخوذ عند النهاية التقاربية Dover (2004). وقد استعدنا توزيع Pareto الاحتمالي المتقطع الملاحظ على نطاق واسع للطرق الطبيعية المتطورة في المدن ذات التنظيم الذاتي Porta et al. (2006b); Jiang (2007); Jiang et al. (2008, 2014). غير أن الأهم، هو أننا تمكنا أيضاً من استشراف توزيع غير قياسي جرسي الشكل ذي ذيل قانون قوة لمفارقها.

وخارج نطاق شبكات الشوارع الحضرية، جادلنا بأن نموذجنا يعكس أفكار C. Alexander حول المدن Alexander (1965, 2002). ومن وجهة نظر الفيزياء الإحصائية، يبدو الانتقال من التراتبية Galoisية إلى التماسك Paretoي كقطعة مفقودة من أفكاره. وقد أفضى هذا الانتقال إلى حدسية موجزة مسماة باسمه معبر عنها بدلالة المفاجأة المعلوماتية Tribus (1961). وتكمم المفاجأة المعلوماتية دهشة سكان المدن وترددهم، وهما في الفيزياء الإحصائية Paretoية للمدن “الطبيعية” كما تكون الحركة في الفيزياء الإحصائية الغاوسية للغازات المثالية Jaynes (1957a); Kapur and Kesavan (1992). وفي النهاية نحن أمام فيزياء إحصائية Galoisية Paretoية تتحدى طرائق تفكيرنا “الميكانيكية” والغاوسية Jiang (2016); Alexander (1965, 2002); Sattin (2003).

لقد ألقينا أيضاً ضوءاً جديداً على الكيفية التي يمكن بها لظواهر قانون القوة أن تنبثق من أنظمة معقدة تقوم على تراتبية Galoisية. وهنا تشكل شبكات الشوارع الحضرية نموذجاً لعبياً مثالياً لأنها تختزل أساساً إلى شبكات Galois حدسية ذات طبقتين. وفي هذا الصدد نعتقد أن الشبكات حرّة القياس حاضرة في كل مكان في الطبيعة، وكذلك أن لا ترتيبها الجزئي الكامن ولا الطابع اللوغاريتمي لإحصائها أُخذا في الحسبان بوضوح.