معادلة شرودنغر 2D ذات لاخطية أسية متذبذبة زمنيا

الملخص. تتناول هذه الورقة معادلة شرودنغر 2-D ذات لاخطية أسية متذبذبة زمنيا $i{\partial }_{t}u+\mathrm{\Delta }u=\theta (\omega t)\left(e^{4\pi {|u|}^2}-1\right)$، حيث إن دالة دورية. نبرهن أنه من أجل صنف من المعطيات الابتدائية ، فإن الحل يتقارب، عندما يؤول إلى اللانهاية، إلى الحل للمعادلة الحدية $i{\partial }_{t}U+\mathrm{\Delta }U=I(\theta )\left(e^{4\pi {|U|}^2}-1\right)$ بالمعطيات الابتدائية نفسها، حيث إن هو متوسط .

الكلمات المفتاحية    معادلة شرودنغر اللاخطية، الطاقة الحرجة، حسن الوضع

تصنيف الموضوعات MR(2010)   35-xx, 35Q55

1 مقدمة

نستذكر معادلة شرودنغر شبه الخطية التنافرية ذات اللاخطية أحادية الحد في البعد المكاني

$$i{\partial }_{t}u+\mathrm{\Delta }u={|u|}^{p-1}u,u:{ℝ}^{1+N}⟶ℂ,$$ (1.1)

والتي لها الأسس الحرجة $p^{\ast }=\frac{N+2}{N-2}$ (من أجل ) و$p_{\ast }=1+\frac{4}{N}$.

في حالة ما دون الحرج الطاقي ()، فإن تكرار نتيجة حسن الوضع محليا في الزمن، باستعمال الحد الأعلى القبلي على الناتج عن قوانين الانحفاظ، يثبت حسن الوضع الشامل من أجل (1.1) في . وتحقق تلك الحلول التشتت عندما $p>p_{\ast }$ (انظر [14, 20]).

أما حالة الحرج الطاقي ($p=p^{\ast }$) فهي في الواقع أصعب من معادلة كلاين-غوردون (الموجية)، إذ كانت خاصية الانتشار المنتهي حاسمة في استبعاد إمكان تركز الطاقة، بينما لا يوجد حد أعلى لسرعة الانتشار في معادلة شرودنغر. ومع ذلك، وبالاستناد إلى أفكار جديدة مثل الاستقراء على حجم الطاقة وتقديرات الانتشار مع فصل الترددات، برهن بورغان في [5] حسن الوضع الشامل والتشتت للمعطيات المتناظرة شعاعيا، ثم وُسعت هذه النتيجة إلى الحالة العامة بواسطة كولياندر وآخرين في [11] باستعمال متباينة موراويتز تفاعلية جديدة.

من أجل ، تكون مسألة القيم الابتدائية (1.1) دون حرجة طاقيا لكل . ولتحديد مسألة قيم ابتدائية “حرجة طاقيا” لمعادلة شرودنغر على ${ℝ}^2$، فمن الطبيعي أن ننظر في مسائل ذات لاخطيات أسية. ووفقا لمتباينة ترودنغر-موزر الحادة على ${ℝ}^2$ [1, 22] ولتضمين سوبوليف الحرج في البعد 2D، [3]، فمن الطبيعي دراسة مسألة كوشي الآتية

(1.2)

تحقق حلول (1.2) صوريا انحفاظ الكتلة والهاملتوني

$$M(u(t)):={\Vert u(t)\Vert }_{L^2}^2=M(u(0)),$$ (1.3)

$H(u(t))$ $:=$ ${\Vert \nabla u(t)\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle \frac{1}{4\pi }}{\Vert e^{4\pi {|u(t)|}^2}-1-4\pi {|u(t)|}^2\Vert }_{L^1({ℝ}^2)}$

$=$ $H(u(0)).$

لهذه المسألة، أُثبت حسن الوضع الشامل مع التشتت للمعطيات الصغيرة في [19]. وباستعمال متباينة ترودنغر-موزر الحادة على ${ℝ}^2$، جرى تكميم حجم المعطيات الابتدائية التي يتحقق لها الوجود المحلي في [10]، واقتُرحت صيغة للحرجية:

تعريف 1.1

يقال إن مسألة كوشي (1.2) دون حرجة إذا كان ، وحرجة إذا كان ، وفوق حرجة إذا كان .

يكمن سبب هذا التعريف في أنه يمكن إنشاء حل محلي وحيد للمعطيات الابتدائية بحيث ، وأن زمن الوجود يعتمد فقط على و. ومن ثم يكون الحل الأعظمي شاملا في الحالة دون الحرجة، في حين قد تحدث في الحالة الحرجة ظواهر تركز للهاملتوني. وقد بُرهن في [10] على نتيجة حسن الوضع الشامل الآتية.

مبرهنة 1.2

افترض أن $H(u_0)\le 1$، عندئذ تملك المسألة (1.2) حلا شاملا وحيدا في الصنف

$$𝒞(ℝ,H^1({ℝ}^2)).$$

وعلاوة على ذلك، فإن $u\in L_{loc}^4(ℝ,{𝒞}^{1/2}({ℝ}^2))$ و يحقق انحفاظ الكتلة والهاملتوني.

في الحالة دون الحرجة، أُثبتت نتيجة تشتت في [16] حيث طُرح الحد التكعيبي من اللاخطية لتجنب القيمة الحرجة $p_{\ast }=1+\frac{4}{N}$. وبصورة أدق

مبرهنة 1.3

من أجل أي حل شامل لـ (1.2) في يحقق ، لدينا $u\in L^4(ℝ,{𝒞}^{1/2})$ و توجد حلول حرة وحيدة بحيث

فضلا عن ذلك، فإن التطبيقات

هي تشاكلات طوبولوجية بين الكرات الوحدية في فضاء الطاقة اللاخطي وفضاء الطاقة الحر، أي من على .

العنصر الرئيس في الحالة دون الحرجة هو تقدير موراويتز تفاعلي جديد، برهنه استقلالا كولياندر وآخرون وبلانشون-فيغا [9, 21].

ملاحظات 1.4

• البرهان في الحالة دون الحرجة أبسط بكثير من أجل NLS منه من أجل NLKG [17]، وذلك بفضل التقدير القبلي العائد إلى [9, 21].

• وُسعت هذه النتيجة في [2] إلى الحالة الحرجة، ولكن فقط في الإطار الشعاعي.

1.1 صياغة المسألة والنتائج الرئيسة

في بعض الأعمال الحديثة [6, 13]، دُرست مسألة القيم الابتدائية الآتية:

$$\{\begin{array}{c}i{\partial }_{t}u+\mathrm{\Delta }u+\theta (\omega t){|u|}^{\alpha }u=0,\\ u(0)=\phi \in H^1({ℝ}^N),\end{array}$$ (1.5)

حيث إن $\theta \in C^1(ℝ,ℝ)$ دالة دورية ذات دور من أجل بعض ، و$\omega \in ℝ$ و (). ومثال نموذجي هو مع ${\lambda }_0,{\lambda }_1\in ℝ$. وقد بُين في [6, 13] أن الحل يتقارب عندما إلى الحل للمعادلة الحدية بالشرط الابتدائي نفسه، حيث إن هو متوسط المعطى بـ

$$I(\theta )=\frac{1}{\tau }{\int }_0^{\tau }\theta (s)𝑑s.$$ (1.6)

وتهدف هذه المذكرة إلى توسيع نتائج [6, 13] إلى معادلة شرودنغر شبه الخطية الحرجة في البعد 2-D. لذلك ننظر في مسألة القيم الابتدائية

$$\{\begin{array}{c}i{\partial }_{t}u+\mathrm{\Delta }u=\theta (\omega t)u\left(e^{4\pi {|u|}^2}-1\right);\\ u(0)=u_0\in H^1({ℝ}^2),\end{array}$$ (1.7)

حيث إن $\omega \in ℝ$ و$\theta :ℝ\to ℝ$ دالة تحقق

$$\theta \text{is}\tau -\text{periodic for some}\tau >0;$$ (1.8)

$$I(\theta )\ge 0.$$ (1.9)

تقرأ الصيغة التكاملية المكافئة لـ (1.7) كما يأتي

$u(t)=e^{it\mathrm{\Delta }}{u}_0+i{\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}\theta (\omega s)u(s)\left(e^{4\pi {|u(s)|}^2}-1\right)𝑑s,$ (1.10)

حيث إن ${\left(e^{it\mathrm{\Delta }}\right)}_{t\in ℝ}$ هي زمرة شرودنغر. وتحقق حلول (1.7) صوريا انحفاظ الكتلة.

وبملاحظة أن الدالة محدودة بانتظام، فإننا لا نأخذ إلا معيارها في عند تقدير اللاخطية. ومن ثم، وباستعمال حجج مشابهة لما في [10]، يمكننا إثبات حسن الوضع المحلي لـ (1.7) في فضاء الطاقة.

قضية 1.5

لكل بحيث ، يوجد حل -أعظمي وحيد لـ (1.7) مع . علاوة على ذلك، $u_{\omega }\in L_{loc}^q((-T_{\ast },T^{\ast }),W^{1,r}({ℝ}^2))$ لكل الأزواج المقبولة انظر (2.5).

هدفنا الرئيس هو دراسة سلوك عندما . ومن الطبيعي أن نتوقع أن يسلك سلوك الحل لمسألة كوشي الآتية عندما يؤول إلى اللانهاية.

$$\{\begin{array}{c}i{\partial }_{t}U+\mathrm{\Delta }U=I(\theta )U\left(e^{4\pi {|U|}^2}-1\right);\\ U(0)=u_0\in H^1({ℝ}^2),\end{array}$$ (1.11)

أو بصورة مكافئة

$$U(t)=e^{it\mathrm{\Delta }}{u}_0+iI(\theta ){\int }_0^t{e}^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}U(s)\left(e^{4\pi {|U(s)|}^2}-1\right)𝑑s.$$ (1.12)

من أجل معطى ابتدائي بحيث ، تكون مسألة كوشي (1.11) حسنة الوضع محليا، وينتمي حلها الأعظمي إلى $C([0,S);H^1({ℝ}^2))\bigcap L_{loc}^q((0,S);W^{1,r}({ℝ}^2))$ من أجل بعض ولكل الأزواج المقبولة . علاوة على ذلك، تصح قوانين الانحفاظ الآتية:

$$M(U(t)):={\Vert U(t)\Vert }_{L^2}^2=M(u_0),$$ (1.13)

و

$$H(U(t)):={\Vert \nabla U(t)\Vert }_{L^2}^2+\frac{I(\theta )}{4\pi }{\Vert e^{4\pi {|U(t)|}^2}-1-4\pi {|U(t)|}^2\Vert }_{L^1({ℝ}^2)}=H(u_0)$$ (1.14)

نلاحظ أنه بما أن موجب، فإنه لأي معطى ابتدائي مع ، تكون مسألة كوشي (1.11) حسنة الوضع شاملا (انظر [10] للبرهان). وتقرأ النتيجة الرئيسة لهذه الورقة كما يأتي.

مبرهنة 1.6

لتكن $u_0\in H^1({ℝ}^2)$ بحيث . ولندل بـ على الحل الأعظمي لـ (1.7) وبـ $U\in C(ℝ;H^1)$ على الحل الشامل لـ (1.11).

• من أجل أي ، يوجد الحل على عندما يكون كبيرا بما يكفي.

• افترض أنه من أجل ، توجد ثابتة بحيث

  $$\underset{t\in [0,T]}{sup}{\Vert \nabla u_{\omega }(t)\Vert }_{L^2}⩽A(T),$$ (1.15)

  عندما يكون كبيرا بما يكفي. عندئذ، في عندما لكل الأزواج المقبولة ولأي . وبوجه خاص، يحدث التقارب في $C([0,T];H^1({ℝ}^2))$.

ملاحظات 1.7

• نلاحظ أن الحل لـ (1.7) يُحصل عليه بتطبيق حجة النقطة الثابتة كما في [10]. ومن ثم فإن الفرضية (1.15) تصح على الأقل من أجل الصغيرة.

• افترض أن ولتكن $u_0\in H^1({ℝ}^2)$ بحيث إن الحل لـ (1.11) ينفجر في زمن منته (مثل هذه المعطيات الابتدائية موجودة). لا نعرف هل ينفجر الحل لـ (1.7) في زمن منته عندما يكون كبيرا بما يكفي أم لا.

• لا تقول المبرهنة شيئا عما يحدث للحل إذا غيرت الدالة إشارتها (لاحظ أنه عندما تكون موجبة، يكون متوسطها موجبا أيضا؛ ومن ثم يحقق الأخير الفرضيات). وبوجه خاص، قد تتغير طبيعة الحل (شامل أو منفجر) تبعا لـ و. سيُنظر في ذلك في ورقة لاحقة.

ينتظم باقي الورقة كما يأتي. يخصص القسم 2 لتقديم بعض الأدوات المفيدة اللازمة في البراهين. وفي القسم 3، نقدم بعض النتائج التمهيدية التي تهيئ برهان مبرهنتنا الرئيسة. ويُنجز برهان المبرهنة 1.6 في القسم 4. وأخيرا، نورد في الملحق تقديرا من نوع غرونوول مستعملا في برهان المبرهنة 1.6.

2 أدوات مفيدة

نجمع في هذا القسم بعض التقديرات المعروفة والمفيدة.

قضية 2.1 (متباينة موزر-ترودنغر [1])

لتكن . توجد ثابتة بحيث

$${\Vert \exp (\alpha {|u|}^2)-1\Vert }_{L^1({ℝ}^2)}\le c_{\alpha }{\Vert u\Vert }_{L^2({ℝ}^2)}^2$$ (2.1)

لكل في $H^1({ℝ}^2)$ بحيث ${\Vert \nabla u\Vert }_{L^2({ℝ}^2)}\le 1$. وعلاوة على ذلك، إذا كان ، فإن (2.1) غير صحيحة.

ملاحظة 2.2

نشير إلى أن تصبح مقبولة في (2.1) إذا اشترطنا ${\Vert u\Vert }_{H^1({ℝ}^2)}\le 1$ بدلا من ${\Vert \nabla u\Vert }_{L^2({ℝ}^2)}\le 1$. وعلى وجه الدقة، لدينا

(2.2)

وهذا غير صحيح من أجل . انظر [22] لمزيد من التفاصيل.

التقدير الآتي هو متباينة لوغاريتمية في تمكننا من إقامة الصلة بين ${\Vert e^{4\pi {|u|}^2}-1\Vert }_{L_T^1(L^2({ℝ}^2))}$ وخواص التشتت لحلول معادلة شرودنغر الخطية.

قضية 2.3 (تقدير لوغاريتمي [15])

لتكن . من أجل أي وأي ، توجد ثابتة بحيث، من أجل أي دالة $u\in H^1({ℝ}^2)\cap {𝒞}^{\beta }({ℝ}^2)$، لدينا

$${\Vert u\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}^2\le \lambda {\Vert u\Vert }_{\mu }^2\log \left(C_{\lambda }+{\left(\frac{8}{\mu }\right)}^{\beta }\frac{{\Vert u\Vert }_{{𝒞}^{\beta }}}{{\Vert u\Vert }_{\mu }}\right),$$ (2.3)

حيث نضع

$${\Vert u\Vert }_{\mu }^2:={\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\mu }^2{\Vert u\Vert }_{L^2}^2.$$ (2.4)

نستذكر أن ${𝒞}^{\beta }({ℝ}^2)$ يرمز إلى فضاء الدوال المستمرة هولدر من الرتبة والمزودة بالمعيار

$${\Vert u\Vert }_{{𝒞}^{\beta }({ℝ}^2)}:={\Vert u\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^2)}+\underset{x\ne y}{sup}\frac{|u(x)-u(y)|}{{|x-y|}^{\beta }}.$$

ونحيل إلى [15] من أجل برهان هذه القضية ومزيد من التفاصيل. ونشير فقط إلى أن الشرط في (2.3) أمثل.

ومن أجل إقامة تقدير طاقي، ينبغي النظر إلى اللاخطية على أنها حد مصدري في (1.7)، ولذلك نحتاج إلى تقديرها في معيار . وللقيام بذلك، نستعمل (2.1) مع ما يسمى تقدير ستريخارتز.

قضية 2.4 (تقديرات ستريخارتز [8])

لتكن دالة في $H^1({ℝ}^2)$ ولتكن $F\in L^1(ℝ,H^1({ℝ}^2))$. ولندل بـ على حل مسألة شرودنغر الخطية غير المتجانسة

عندئذ توجد ثابتة بحيث من أجل أي وأي أزواج مقبولة من أسس ستريخارتز أي

(2.5)

ينتج

$${\Vert v\Vert }_{L^q([0,T],W^{1,r}({ℝ}^2))}\le C\left[{\Vert v_0\Vert }_{H^1({ℝ}^2)}+{\Vert F\Vert }_{L^1([0,T],H^1({ℝ}^2))}\right].$$ (2.6)

وبوجه خاص، نلاحظ أن زوج مقبول لستريخارتز و

$$W^{1,4}({ℝ}^2)\hookrightarrow {𝒞}^{1/2}({ℝ}^2).$$

3 نتائج تمهيدية

من أجل برهان المبرهنة 1.6، نحتاج إلى اللمّة الآتية

لمّة 3.1

ثبت قيمة ابتدائية $u_0\in H^1({ℝ}^2)$ مع . عند إعطاء $\omega \in ℝ$، لندل بـ على الحل الأعظمي لـ (1.7). ولتكن الحل الشامل الوحيد لـ (1.11). ثبت وافترض أيضا أن تحقق

(3.1)

وكذلك، من أجل كبير بما يكفي،

(3.2)

عندئذ، لكل الأزواج المقبولة لدينا

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((0,l),W^{1,r}({ℝ}^2))}\underset{|\omega |\to \mathrm{\infty }}{⟶}0,$

يعتمد برهان اللمّة 3.1 على تقدير ستريخارتز، والمتباينات اللوغاريتمية ومتباينات موزر-ترودنغر، وعلى حقيقة أنه عندما يقترب من اللانهاية، يقترب من متوسطه. وتصاغ هذه الملاحظة الأخيرة بصورة أدق كما يأتي.

لمّة 3.2

ليكن زوجا مقبولا وثبت زمنا . عند إعطاء $f\in L^{{\gamma }^{\prime }}(ℝ,L^{{\rho }^{\prime }}({ℝ}^2))$، لدينا

$${\int }_{t_0}^t\theta (\omega s)e^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}f(s)𝑑s\underset{|\omega |\to \mathrm{\infty }}{⟶}I(\theta ){\int }_{t_0}^t{e}^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}f(s)𝑑s\text{in}{L}^q(ℝ,L^r({ℝ}^2)),$$

لكل زوج مقبول .

برهان انظر [6]. ستستعمل اللمّة الآتية أيضا فيما يلي.

لمّة 3.3

ضع عندئذ، من أجل أي ، توجد ثابتة بحيث

$$|f(u)-f(v)|\le C_{\epsilon }|u-v|\left({\mathrm{e}}^{4\pi (1+\epsilon ){|u|}^2}-1+{\mathrm{e}}^{4\pi (1+\epsilon ){|v|}^2}-1\right);$$ (3.3)

و

$|(Df)(u)-(Df)(v)|$ $\le$ $C_{\epsilon }|u-v|\left(|u|+{\mathrm{e}}^{4\pi (1+\epsilon ){|u|}^2}-1+|v|+{\mathrm{e}}^{4\pi (1+\epsilon ){|v|}^2}-1\right).$ (3.4)

برهان انظر [10]. من أجل برهان المبرهنة 1.6، سنحتاج لاحقا إلى التقديرات المكررة الآتية.

قضية 3.4

افترض أن تحقق (3.2)، ولتكن فترة جزئية من . عندئذ

و

حيث إن تعتمد على .

ملاحظة 3.5

نلاحظ أنه من تقدير ستريخارتز، إذا وُجد على فإنه ينتمي إلى الفضاء .

برهان

نبدأ بتقدير . وباستعمال متباينة هولدر في المكان والزمن نحصل على

حيث سيُختار على نحو مناسب.
إن الفرضية على ، ومتباينة موزر-ترودنغر، وانحفاظ الكتلة تعطينا

والآن، نكتب

${\Vert e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\Vert }_{L^{\frac{2}{\gamma }}(a,b)}^{\frac{2}{\gamma }}$ $=$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\left(e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\gamma }}𝑑t$

$+$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}}{\left(e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\gamma }}𝑑t$

$⩽$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\left(e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\gamma }}𝑑t$

$+$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}}{\left(e^{2\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}\right)}^{\frac{4}{\gamma }}𝑑t$

ومن السهل إثبات أن

في الواقع، ليكن بحيث . لدينا

$$e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1=\psi ({\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}})-\psi (0)\le \left\{\underset{s\in [0,{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}]}{\text{sup}}|{\psi }^{\prime }(s)|\right\}{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2,$$

حيث . نلاحظ أنه، لكل ، يكون $0\le {\psi }^{\prime }(s)\le 4\pi e^{4\pi }:=C$. ومن ثم

وبما أن و، نحصل على

${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\left(e^{4\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\gamma }}𝑑t$ $\le$ $C^{\frac{2}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{C^{\frac{1}{2}}}^2𝑑t$

$\le$ $C^{\frac{2}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^l}{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{C^{\frac{1}{2}}}^2𝑑t.$

ونستنتج باستعمال متباينة كوشي-شفارتز.

ليكن (سيُختار لاحقا). لدينا

يسمح لنا التقدير اللوغاريتمي والفرضية على بإيجاد ثابتة كما هو مطلوب بحيث

في الواقع، ليكن بحيث . نكتب التقدير اللوغاريتمي مع و و (وسنختار المعلمتين الأخيرتين لاحقا)

$${\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}^2\le \lambda {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{\mu }^2\log \left(C_{\lambda }+{\left(\frac{8}{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}}{{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{\mu }}\right).$$

وبما أن ، يمكن اختيار (مستقلا عن ) بحيث . ومن ثم

$${\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{\mu }\le A^{\prime }(l,\mu ).$$ (3.5)

والآن يبقى أن نختار على نحو مناسب. نلاحظ أنه من أجل و ثابتين، تكون الدالة $x\mapsto x^2\log \left(C_{\lambda }+{\left(\frac{8}{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}}{x}\right)$ المعرفة من أجل متزايدة، ومن ثم من (3.5) نحصل على

$${\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}^2\le \lambda A^{\prime }{(l,\mu )}^2\log \left(C_{\lambda }+{\left(\frac{8}{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}}{A^{\prime }(l,\mu )}\right),$$

ثم

$e^{2\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}$ $\le$ ${\left(C_{\lambda }+{\left({\displaystyle \frac{8}{\mu }}\right)}^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}}{A^{\prime }(l,\mu )}}\right)}^{2\pi (1+ϵ)\lambda A^{\prime }{(l,\mu )}^2}$

$\le$ $C{(\lambda ,\mu ,l)}^{2\pi (1+ϵ)\lambda A^{\prime }{(l,\mu )}^2}{\left(1+{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}\right)}^{2\pi (1+ϵ)\lambda A^{\prime }{(l,\mu )}^2}.$ (3.6)

وبما أن يمكن اختيار بحيث و بحيث . وبعد تثبيت جميع المعلمات، نضع $\gamma :=2\pi (1+ϵ)\lambda A^{\prime }{(l,\mu )}^2$. نلاحظ أن كما ادعينا. ويمكن إعادة كتابة التقدير (3) كما يأتي

$$e^{2\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}\le C(l){\left(1+{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}\right)}^{\gamma }.$$

وبتكامل المتباينة أعلاه نحصل على

$${\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}{\left(e^{2\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}\right)}^{\frac{4}{\gamma }}𝑑t⩽C(l,\gamma ){\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}{\left(1+{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}\right)}^4𝑑t.$$

ونستنتج باستعمال حقيقة أن ${\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{{𝒞}^{\frac{1}{2}}}\ge {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1$.

وفي النهاية، نحصل على

نلاحظ أنه عندما ، يختزل التقدير أعلاه إلى

ومن ثم،

ويتمم تضمين سوبوليف برهان التقدير الأول.

لنثبت تقديرا مماثلا لـ .
وقبل ذلك، يعطي حساب مباشر

إن متباينة هولدر، والهوية أعلاه، وانحفاظ الكتلة لـ تعطينا

${\Vert \nabla \left(u_{\omega }(e^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}-1)\right)\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}((a,b),L^{\frac{4}{3}})}$ $\lesssim$ ${\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L^4((a,b),L^4)}{\Vert e^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}-1\Vert }_{L^2((a,b),L^2)}$

$+{\Vert |\nabla u_{\omega }|{|u_{\omega }|}^2{e}^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}((a,b),L^{\frac{4}{3}})}$

وسنتعامل فقط مع الحد الثاني، أما الحد الآخر فقد عولج أعلاه.

نستذكر أنه من أجل أي و

إذن

${\Vert |\nabla u_{\omega }|{|u_{\omega }|}^2{e}^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}\Vert }_{L_x^{\frac{4}{3}}}$ $⩽$ $C(ϵ){\Vert |\nabla u_{\omega }|\left(e^{4\pi (1+ϵ){|u_{\omega }|}^2}-1\right)\Vert }_{L_x^{\frac{4}{3}}}$

$⩽$ $C(ϵ){\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L_x^4}{\Vert e^{4\pi (1+ϵ){|u_{\omega }|}^2}-1\Vert }_{L_x^2}$

$⩽$ $C(ϵ){\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L_x^4}{\left(e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{1}{2}}{\Vert e^{4\pi (1+ϵ){|u_{\omega }|}^2}-1\Vert }_{L_x^1}^{\frac{1}{2}}$

$⩽$ $C(ϵ){\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L_x^4}{\left(e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{1}{2}}C(ϵ,A){\Vert u_0\Vert }_{L^2}$

حيث استعملنا في السطر الأخير متباينة موزر-ترودنغر من أجل بحيث (شرط قبلي على ). ومن ثم

${\Vert |\nabla u_{\omega }|{|u_{\omega }|}^2{e}^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}\Vert }_{L_{t,x}^{\frac{4}{3}}}$ $⩽$ $C(ϵ,A){\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L^4((a,b),L^4)}{\Vert e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\Vert }_{L^1(a,b)}^{\frac{1}{2}}.$

ليكن (سيُختار لاحقا). تعطي متباينة هولدر في الزمن

${\Vert |\nabla u_{\omega }|{|u_{\omega }|}^2{e}^{4\pi {|u_{\omega }|}^2}\Vert }_{L_x^{\frac{4}{3}}}$ $⩽$ $C(ϵ,A)l^{\frac{2-\delta }{4}}{\Vert \nabla u_{\omega }\Vert }_{L^4((a,b),L^4)}{\Vert e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\Vert }_{L^{\frac{2}{\delta }}(a,b)}^{\frac{1}{2}}$

والآن، نكتب

${\Vert e^{4(1+ϵ)\pi {\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\Vert }_{L^{\frac{2}{\delta }}(a,b)}^{\frac{2}{\delta }}$ $=$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\left(e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\delta }}𝑑t$

$+$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}}{\left(e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\delta }}𝑑t$

$⩽$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}⩽1\}}}{\left(e^{4\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}-1\right)}^{\frac{2}{\delta }}𝑑t$

$+$ ${\displaystyle {\int }_{\{t\in [a,b];{\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}>1\}}}{\left(e^{2\pi (1+ϵ){\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{L_x^{\mathrm{\infty }}}^2}\right)}^{\frac{4}{\delta }}𝑑t.$

وبالمحاجة كما سبق، نحصل على

باستعمال التقنية نفسها كما في برهان القضية 3.4 نثبت التقديرات الآتية.

قضية 3.6

تحت الفرضيات نفسها للّمة 3.1، لتكن فترة جزئية من . عندئذ

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

هنا تحقق عددا منتهيا من شروط الصغر، و و ثابتتان موجبتان تعتمدان على و.

ملاحظة 3.7

يبقى التقديران الأول والأخير صحيحين أيضا من أجل تحت فرضيات اللمّة 3.1.

برهان اللمّة 3.1

عرّف الدالة وقسّم الفترة إلى عدد منته من الفترات الجزئية ، حيث و. وتقرأ الصيغ التكاملية لـ و كما يأتي

و

هدفنا هو تقدير . وباستخدام الصيغ التكاملية أعلاه، نكتب

حيث

$I_1$ $:=$ ${\displaystyle {\int }_{t_j}^t}\theta (\omega s)e^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}(f(u_{\omega }(s))-f(U(s)))𝑑s$

و

$I_2$ $:=$ ${\displaystyle {\int }_{t_j}^t}(\theta (\omega s)-I(\theta ))e^{i(t-s)\mathrm{\Delta }}f(U(s))𝑑s$

وباستخدام تقدير ستريخارتز نحصل على

حيث

${ϵ}_{\omega ,j}(q,r):={\Vert I_2\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),L^r)}.$ (3.11)

ومن اللمّة 3.2، نستنتج

ولتقدير الحد ، نستعمل (3.3) من أجل (سيُختار لاحقا على نحو مناسب)

${\Vert f(u_{\omega })-f(U)\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}((t_j,t_{j+1}),L^{\frac{4}{3}})}$ $⩽$ $C_{\epsilon }{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_j,t_{j+1}),L^4)}{X}_{\omega ,j}$

حيث .
وفي النهاية نصل إلى

ونفعل الأمر نفسه من أجل .
يعطي حساب مباشر

حيث

$$(Df)(u):=\left(\begin{array}{c}{e}^{4\pi {|u|}^2}-1+4\pi {|u|}^2{e}^{4\pi {|u|}^2}\\ 4\pi {|u|}^2{e}^{4\pi {|u|}^2}\end{array}\right)$$

و

$$Du:=\left(\begin{array}{c}\nabla u\\ \nabla \overline{u}\end{array}\right).$$

وباستخدام الصيغ التكاملية نحصل على

حيث

و

وباستخدام تقدير ستريخارتز نحصل على

${\Vert \nabla \left(u_{\omega }-U\right)\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),L^r)}$ $\lesssim$ ${\Vert \nabla \left(u_{\omega }(t_j)-U(t_j)\right)\Vert }_{L_x^2}+{\Vert (Df)(u_{\omega })\cdot (D{u}_{\omega }-DU)\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}((t_j,t_{j+1}),L^{\frac{4}{3}})}$

$+$ ${\Vert [(Df)(u_{\omega })-(Df)(U)]\cdot DU\Vert }_{L^1((t_j,t_{j+1}),L^2)}+{\widetilde{ϵ}}_{\omega ,j}(q,r)$

حيث

${\widetilde{ϵ}}_{\omega ,j}(q,r):={\Vert J_3\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),L^r)}.$ (3.12)

ومن اللمّة 3.2، نستنتج

من جهة، لدينا

هنا .
ومن جهة أخرى، يعطي التقدير (3.4)

حيث

$Z_{\omega ,j}$ $:=$ $(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4((t_j,t_{j+1}),H^1)}+\parallel U{\parallel }_{L^4((t_j,t_{j+1}),H^1)}+\parallel e^{4\pi (1+ϵ){|u_{\omega }|}^2}-1{\parallel }_{L^{\frac{4}{3}}((t_j,t_{j+1}),L_x^{4(1+ϵ)})}$

$+\parallel e^{4\pi (1+ϵ){|U|}^2}-1{\parallel }_{L^{\frac{4}{3}}((t_j,t_{j+1}),L_x^{4(1+ϵ)})})\parallel \nabla U\parallel {}_{L^4((t_j,t_{j+1}),L^4)},$

و سيُختاران على نحو مناسب. وهنا استعملنا تضمين سوبوليف والتضمين . علاوة على ذلك

${\Vert \nabla \left(u_{\omega }-U\right)\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),L^r)}$ $\lesssim$ ${\Vert \nabla \left(u_{\omega }(t_j)-U(t_j)\right)\Vert }_{L_x^2}+{\Vert \nabla u_{\omega }-\nabla U\Vert }_{L^4((t_j,t_{j+1}),L^4)}{Y}_{\omega ,j}$

$+$ $C_{\epsilon }{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_j,t_{j+1}),H^1)}{Z}_{\omega ,j}+{\widetilde{ϵ}}_{\omega ,j}(q,r).$

وبجمع المتباينات نحصل على

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\Vert u_{\omega }(t_j)-U(t_j)\Vert }_{H_x^1}+C_{\epsilon }{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_j,t_{j+1}),W^{1,4})}{Y}_{\omega ,j}$

$+$ ${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_j,t_{j+1}),H^1)}(X_{\omega ,j}+Z_{\omega ,j})+\left({ϵ}_{\omega ,j}(q,r)+{\widetilde{ϵ}}_{\omega ,j}(q,r)\right).$

والآن سنستعمل القضية 3.6 لتقدير الكميتين و على التوالي.
ضع

$Z_{\omega }$ $:=$ $(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4((0,l),H^1)}+\parallel U{\parallel }_{L^4((0,l),H^1)}+\parallel e^{4\pi (1+ϵ){|u_{\omega }|}^2}-1{\parallel }_{L^{\frac{4}{3}}((0,l),L_x^{4(1+ϵ)})}$

$+\parallel e^{4\pi (1+ϵ){|U|}^2}-1{\parallel }_{L^{\frac{4}{3}}((0,l),L_x^{4(1+ϵ)})})\parallel \nabla U\parallel {}_{L^4((0,l),L^4)};$

لدينا

$$X_{\omega }⩽C(l)\left\{{\left({\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\alpha }+{\left({\Vert U\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert U\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\tilde{\alpha }}\right\},$$

$$Y_{\omega }⩽C(l)\left\{{\left({\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\beta }+{\left({\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\gamma }\right\},$$

و

$Z_{\omega }$ $⩽$ $C(l)\{\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4((0,l),H^1)}+\parallel U{\parallel }_{L^4((0,l),H^1)}+{(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+\parallel u_{\omega }{\parallel }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4)}^{\delta }$

$+{(\parallel U{\parallel }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^2+\parallel U{\parallel }_{{}_{L^4((0,l),C^{\frac{1}{2}})}}^4)}^{\tilde{\delta }}\}\parallel \nabla U\parallel {}_{L^4((0,l),L^4)},$

حيث اختير وفق القضية 3.6.

تسمح لنا الفرضية على و بتطبيق اللمّة 5.1 وبقسمة الفترة إلى عدد منته من الفترات الجزئية ، حيث ، و، و عدد صحيح موجب أصغر من ثابت مستقل عن ، وبحيث من أجل كبير بما يكفي ولكل

لنورد هنا بعض التفاصيل. سننظر فقط في تقدير ، إذ يمكن إنجاز التقدير الآخر على نحو مماثل.
ليكن بحيث $C(l)\{{\left(ϵ+{ϵ}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\beta }+{\left(ϵ+{ϵ}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\gamma }\}⩽\frac{1}{6}$.
بما أن ، توجد ، بحيث لكل ولكل

$${\Vert u_{\omega }\Vert }_{L^4(0,l),C^{\frac{1}{2}}({ℝ}^2))}\le \underset{|\omega |\to \mathrm{\infty }}{\text{lim sup}}{\Vert u_{\omega }\Vert }_{L^4(0,l),C^{\frac{1}{2}}({ℝ}^2))}+1.$$

ثبت بحيث وضع $h(t):={\Vert u_{\omega }(t,\cdot )\Vert }_{C^{\frac{1}{2}}({ℝ}^2)}^4$ و$M:={\left(\underset{|\omega |\to \mathrm{\infty }}{\text{lim sup}}{\Vert u_{\omega }\Vert }_{L^4(0,l),C^{\frac{1}{2}}({ℝ}^2))}+1\right)}^4$. ويمكن إعادة صياغة الدعوى السابقة كما يأتي

ومن اللمّة 5.1، توجد تجزئة منتهية للفترة إلى عائلة من الفترات الجزئية ، حيث ، و، و عدد صحيح موجب أصغر من ، وبحيث لكل

نستنتج أنه، لكل

$Y_{\omega ,j}$ $⩽C(l)\left\{{\left({\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((t_j,t_{j+1}),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((t_j,t_{j+1}),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\beta }+{\left({\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((t_j,t_{j+1}),C^{\frac{1}{2}})}}^2+{\Vert u_{\omega }\Vert }_{{}_{L^4((t_j,t_{j+1}),C^{\frac{1}{2}})}}^4\right)}^{\gamma }\right\}$

$⩽C(l)\left\{{\left(ϵ+{ϵ}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\beta }+{\left(ϵ+{ϵ}^{\frac{1}{2}}\right)}^{\gamma }\right\}⩽{\displaystyle \frac{1}{6}}.$

وهذا ينجز برهان التقدير المدعى على .
نلاحظ أنه، قبليا، قد يعتمد العدد الصحيح وكذلك الأعداد الحقيقية على .
وفيما يلي سنرمز إلى بـ . ولدينا، لكل

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\Vert u_{\omega }(t_j)-U(t_j)\Vert }_{H_x^1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_j,t_{j+1}),W^{1,4})}$

$+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_j,t_{j+1}),H^1)}+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

ونحاجج كما يأتي. بتمرير ، نحصل على

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_0,t_1),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_0,t_1),W^{1,4})}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_0,t_1),H^1)}+$

$+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

وبتمرير ، نرى أن

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_0,t_1),H^1)}$ $\lesssim$ $2\{{\displaystyle \frac{1}{6}}\Vert u_{\omega }-{U\parallel }_{L^4((t_0,t_1),W^{1,4})}+{\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)\}.$

ومن ثم

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_0,t_1),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_0,t_1),W^{1,4})}+{\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

وبتمرير ، نحصل على

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_0,t_1),W^{1,4})}$ $\lesssim$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}\left({\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+{\alpha }_{\omega }(4,4)\right),$

وبالتالي،

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_0,t_1),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}{\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

وتسمح لنا حجة استقرائية بإثبات أنه، لكل ولكل الأزواج المقبولة

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ $a_j{\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+b_j{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\alpha }_{\omega }(q,r).$ (3.13)

حيث تُعرّف و كما يأتي

$$a_j:=\frac{3^{j+1}}{2}+\frac{3^{j+2}}{4}-\frac{9}{4},j\in \{0,\mathrm{\cdots },J-1\},$$

و

$$b_j:=\frac{3^j}{2}+\frac{3^j-1}{4},j\in \{0,\mathrm{\cdots },J-1\}.$$

في الواقع، إذا كان ، فإن القيمة الوحيدة التي يمكن أن يأخذها هي . وقد عولجت هذه الحالة أعلاه. والآن، افترض أن ، ولنبين التقدير المدعى بحجة استقرائية.
من أجل ، لا شيء يبرهن. افترض أن التقدير (3.13) صحيح إلى حد ما من أجل ، ولنثبت صحته من أجل . لدينا

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\Vert u_{\omega }(t_{j+1})-U(t_{j+1})\Vert }_{H_x^1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,4})}$

$+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_{j+1},t_{j+2}),H^1)}+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

يعطي التقدير (3.13) من أجل

${\Vert u_{\omega }(t_{j+1})-U(t_{j+1})\Vert }_{H_x^1}$ $\lesssim$ $(a_j+1){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+b_j{\alpha }_{\omega }(4,4).$

ومن ثم

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ $(a_j+1){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+b_j{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\displaystyle \frac{1}{6}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,4})}$

$+$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_{j+1},t_{j+2}),H^1)}+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

وبتمرير في التقدير الأخير نحصل على

${\displaystyle \frac{1}{2}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}((t_{j+1},t_{j+2}),H^1)}$ $\lesssim$ $(a_j+2){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+b_j{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\displaystyle \frac{1}{6}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,4})}.$

ومن ثم

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ $(2a_j+3){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+2b_j{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,4})}$

$+$ ${\alpha }_{\omega }(q,r).$

والآن لندع في المتباينة أعلاه. فنحصل على

${\displaystyle \frac{1}{3}}{\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^4((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,4})}$ $\lesssim$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\{(2a_j+3){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+(2b_j+1){\alpha }_{\omega }(4,4)\},$

ومن ثم

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_{j+1},t_{j+2}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ $(3a_j+{\displaystyle \frac{9}{2}}){\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+(3b_j+{\displaystyle \frac{1}{2}}){\alpha }_{\omega }(4,4)+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

ونستنتج بملاحظة أن و.

وبما أن أصغر من ثابت مستقل عن ، يمكننا أن نحد و من الأعلى بثابت مستقل عن . ومن ثم، لكل

${\Vert u_{\omega }-U\Vert }_{L^q((t_j,t_{j+1}),W^{1,r})}$ $\lesssim$ ${\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\alpha }_{\omega }(q,r).$

إن حقيقة أن

$$\{{\alpha }_{\omega }(\mathrm{\infty },2)+{\alpha }_{\omega }(4,4)+{\alpha }_{\omega }(q,r)\}\underset{|\omega |\to \mathrm{\infty }}{⟶}0,$$

تستلزم (بعد الجمع على وحد مرة أخرى على نحو مستقل عن )

وهذا ينجز برهان اللمّة 3.1.

4 برهان النتيجة الرئيسة

أصبحنا الآن في وضع يتيح لنا برهان المبرهنة 1.6. ثبت زمنا . ضع . يمكننا تقسيم الفترة إلى عدد منته من الفترات الجزئية ، من أجل بعض بحيث، لكل

هنا سيُختار ويعتمد على ، و، و وعلى بعض الثوابت من تقديرات ستريخارتز ومتباينة هولدر.
وباستخدام الصيغة التكاملية لـ على كل فترة زمنية ، وتقدير ستريخارتز، والقضية 3.6 من أجل ، نحصل على

${\Vert e^{i(\cdot -t_j)\mathrm{\Delta }}U(t_j)\Vert }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4}({ℝ}^2))}$ $⩽$ ${\Vert U\Vert }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4}({ℝ}^2))}$

$$+C(T)N\parallel U{\parallel }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4})}\{{(\parallel U{\parallel }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4})}^2+\parallel U{\parallel }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4})}^4)}^{\mu }$$

$$+{(\parallel U{\parallel }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4})}^2+\parallel U{\parallel }_{L^4([t_j,t_{j+1}],W^{1,4})}^4)}^{\nu }\},$$

حيث تعتمد على . ونرى أنه من أجل صغير بما يكفي

ومن أجل ، نحصل باستعمال تقدير ستريخارتز على

${\Vert u_{\omega }\Vert }_{L^4([t_0,t],W^{1,4}({ℝ}^2))}$ $⩽$ ${\Vert e^{i\tau \mathrm{\Delta }}{u}_0\Vert }_{L^4([t_0,t_1],W^{1,4})}$

$+$ $C(T)N\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_0,t],W^{1,4})}\{{(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_0,t],W^{1,4})}^2+\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_0,t],W^{1,4})}^4)}^{\alpha }$

$+$ ${(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_0,t],W^{1,4})}^2+\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_0,t],W^{1,4})}^4)}^{\beta }\}.$

هنا تعتمد و على . وتسمح لنا حجة الاستمرارية (انظر الملحق) بأن نستنتج أنه، لكل

في الواقع، ضع ، و. ويمكن التحقق، باستعمال مبرهنة التقارب المسيطر للبغ، من أن الدالة غير السالبة مستمرة على وتحقق

$$X(t)⩽2ϵ+C(T)NX(t)\{{(X{(t)}^2+X{(t)}^4)}^{\alpha }+{(X{(t)}^2+X{(t)}^4)}^{\beta }\}.$$

نفترض، من دون فقدان للعمومية، أن . للدالة $x\mapsto 2ϵ+C(T)Nx\{{(x^2+x^4)}^{\alpha }+{(x^2+x^4)}^{\beta }\}$ السلوك نفسه للدالة في جوار ، والسلوك نفسه للدالة في جوار . ولذلك يمكن إجراء البرهان نفسه كما في اللمّة 5.2 لاستنتاج أنه، لاختيار مناسب لـ ، لدينا

لكل . هنا ثابتة ما تعتمد على و. ويعطي تضمين سوبوليف

ومن ثم، من النظرية المحلية، يوجد على من أجل كبير بما يكفي. وتسمح لنا اللمّة 3.1 بأن نستنتج خصوصا أن

وعلى ، نحصل بالمحاجة كما سبق على

${\Vert u_{\omega }\Vert }_{L^4([t_1,t],W^{1,4}({ℝ}^2))}$ $⩽$ ${\Vert u_{\omega }(t_1)-U(t_1)\Vert }_{H^1}+{\Vert e^{i(\cdot -t_1)\mathrm{\Delta }}U(t_1)\Vert }_{L^4([t_1,t_2],W^{1,4})}$

$+$ $C(T)N\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_1,t],W^{1,4})}\{{(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_1,t],W^{1,4})}^2+\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_1,t],W^{1,4})}^4)}^{\alpha }$

$+$ ${(\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_1,t],W^{1,4})}^2+\parallel u_{\omega }{\parallel }_{L^4([t_1,t],W^{1,4})}^4)}^{\beta }\}.$

وتضمن حجة الاستمرارية مرة أخرى أن

ولذلك، يوجد على من أجل كبير بما يكفي، وتعطي اللمّة 3.1

وتنجز حجة استقرائية برهان المبرهنة 1.6.

5 الملحق

لمّة 5.1

لتكن . افترض أن $f:[0,\mathrm{\ell }]\to {ℝ}^{+}$ دالة قابلة للتكامل وموجبة تحقق

عندئذ، لكل ، توجد تجزئة منتهية لـ إلى عائلة من الفترات الجزئية ، حيث ، و، و عدد صحيح موجب أصغر من بحيث، لكل

$${\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f(t)𝑑t⩽ϵ.$$

هنا يرمز $[x]$ إلى الجزء الصحيح من العدد الحقيقي $x$.

برهان ضع $\varphi (x):={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)𝑑t$، و$0⩽x⩽\mathrm{\ell }$. من الواضح أن $\varphi$ مستمرة ومتزايدة. نميز حالتين.
$(i)$ $M⩽ϵ$:
في هذه الحالة يكفي أن نأخذ ، و، و.
$(ii)$ $M>ϵ$:
ضع $N:=[\frac{M}{ϵ}]$ الجزء الصحيح من $\frac{M}{ϵ}$.

• إذا كان . ضع $n:=[\frac{\varphi (\mathrm{\ell })}{ϵ}]\in \{0,\mathrm{\cdots },N-1\}$. لدينا

  $$\varphi (\mathrm{\ell })\in [nϵ,(n+1)ϵ[.$$

  تضمن مبرهنة القيمة المتوسطة ما يأتي:
  لكل $j\in \{0,\mathrm{\cdots },n\}$، توجد $x_j\in [0,\mathrm{\ell }]$ $(x_0=0)$ بحيث

  $$\varphi (x_j)=jϵ$$

  يكفي الآن أن نأخذ ، و$t_1=x_1$، و$\mathrm{\cdots }$، و$t_{J-1}=x_n$، و$t_J=\mathrm{\ell }$.
  ونرى أنه، في هذه الحالة، $J=n+1⩽N⩽[\frac{M}{ϵ}]+1$.

• إذا كان $Nϵ⩽\varphi (\mathrm{\ell })$، نحاجج على نحو مماثل.

$\mathrm{\square }$

لمّة 5.2 (حجة الاستمرارية)

لتكن $X:[0,T]\to ℝ$ دالة غير سالبة ومستمرة، بحيث، لكل $0⩽t⩽T$،

$$X(t)⩽a+bX{(t)}^{\theta },$$

حيث إن $a,b>0$ و$\theta >1$ ثابتتان بحيث

عندئذ، لكل $0⩽t⩽T$، لدينا

$$X(t)⩽\frac{\theta }{\theta -1}a.$$

برهان نوجز البرهان تيسيرا للقارئ.
الدالة $f:x⟼b{x}^{\theta }-x+a$ متناقصة على $[0,{(\theta b)}^{1/(1-\theta )}]$ ومتزايدة على $[{(\theta b)}^{1/(1-\theta )},\mathrm{\infty }[$. وتستلزم الفرضيات على $a$ و$X(0)$ أن . وبما أن $f(X(t))⩾0,f(0)>0$ و$X(0)⩽\frac{1}{{(\theta b)}^{1/(\theta -1)}}$، نستنتج النتيجة المطلوبة. $\mathrm{\square }$