الأفعال الطوبولوجية عبر تغايرات معيارية للبنى الأعلى

الملخص

نقدم في هذه الملاحظة منظورا جديدا إلى الأجزاء الطوبولوجية لعدة دوال فعلية في نظرية الأوتار ونظرية M. ونبين أن هذه الأجزاء يمكن، على المستوى النسبي، أن تنظر إليها بوصفها تحويلات معيارية كبيرة تقابل تغايرات في بنى أعلى، مثل بنى String وFivebrane وNinebrane.

I مقدمة

إن صياغة ديراك للسبينورات تقرر أن الفضاء المماس مع زمرة دورانه (في الوضع الإقليدي) أو زمرة لورنتز (في حالة مينكوفسكي) لا يكفيان لتفسير سلوكها وخواصها. والصياغة الملائمة تكون بالرفع إلى زمرة Spin، وهي الغطاء المزدوج للزمرة المتعامدة. ومن وجهة نظر طوبولوجية، يطلب أن يقبل متشعب الزمكان $M^n$ بنية Spin، يمكن إثبات وجودها على مستوى فضاء التصنيف $\mathrm{BSpin}(n)$ وتتطلب انعدام صنف ستيفل-ويتني الثاني $w_2$ لـ $M^n$. ولو لم تكن زمرة Spin معروفة أصلا، لأمكن كذلك تعريف زمرة Spin بأنها فضاء حلقات ملائم لـ BSpin$(n)$.

وبالتعميم من الجسيمات النقطية إلى الأوتار، يدرك المرء أن بنية Spin لم تعد قادرة على تفسير الشذوذات تفسيرا كاملا، وأن الصياغة الملائمة تتطلب الرفع إلى بنية String Kil . ولا يزال هذا يتيح استعمال مؤثرات ديراك والامتداد إلى خلفيات أخرى، مثل الأوربيفولدات PW . ولإدخال التواقيع الأخرى، بما فيها اللورنتزية، شيدت في SS نظائر شبه ريمانية لبنى String. ومن وجهة نظر الزمر (العليا)، نحصل على زمرة String بوصفها فضاء الحلقات لفضاء التصنيف BString$(n)$ لهذه البنى. وتنطبق حجج مشابهة، ولكنها أدق، جزئيا على التعميم إلى الخمسة-غشاء SSS2 SSS3 والتسعة-غشاء 9brane ، حيث يمكن أيضا الرفع إلى زمر (بمعنى هوموتوبي أعم) هي فضاءات حلقات لفضاءات التصنيف المقابلة BFivebrane$(n)$ وBNinebrane$(n)$، على الترتيب. وترتبط البنى عبر أصناف بونترياغن

وتقع البنى أعلاه ضمن روح المقاربات الجبرية العليا لأغشية M BL Gu ABJM ، ولكن من جهة طوبولوجية أكثر. وبكشف مثل هذه البنى (انظر T لمثال حديث آخر)، يؤمل أن يكتسب المرء فهما أعمق للطبيعة الأساسية لنظرية M وعلاقتها بنظرية الأوتار. مبدئيا، توجد عدة دقاق عند النظر في البنى الأعلى المذكورة؛ وأبرزها وجود الفتل في الكوهومولوجيا والحاجة إلى استعمال تعميمات أعلى للحزم، أي الجيربات العليا أو حزم $n$. ومع أن مثل هذه الصياغات طبقت بطرائق مفيدة، مثلا على نظريات حجم العالم لأغشية M (انظر tcu mem Sa5 FSS1 SSc لمقاربات متنوعة)، يمكن تنحية هاتين الصعوبتين معا بتنسيب البنى، أي بأخذ الكوهومولوجيا المقابلة على الأعداد النسبية (أو الحقيقية). وتكون النتيجة حلا لكلتا الدقيقتين بالوسيلة نفسها: فلا يجري فقط تجنب الفتل، بل تصبح البنى الأعلى نفسها قابلة الآن للوصف بصياغة لا تستعمل إلا بنى Spin الأكثر ألفة والحزم المقابلة، وهو ما يكفي في نهاية المطاف لأغراض كثيرة في الفيزياء.

وبالفعل، عرفنا وميزنا في SW1 هذه البنى النسبية Spin-String وSpin-Fivebrane وSpin-Ninebrane. وغايتنا هنا هي تطبيقها لوصف الكيفية التي يمكن بها تفسير دوال الفعل الطوبولوجية في نظرية M ونظرية الأوتار بوصفها تحويلات معيارية كلية تقابل تغايرات في مثل هذه البنى. وقد اقترحت في top وجهة نظر كهذه في الأفعال عبر تغايرات البنى، حيث أبرزت تغايرات التأطير (وهو أساسا تواز، أي مع تبسيط للحزمة المماسة). ووصفنا الحالي تعميم للحالة التي تكون فيها البنية غير تافهة طوبولوجيا (إلى حد كبير).

ننظر في أنظمة تنشأ من نظرية الأوتار ونظرية M عبر دوال فعلية تسمح لنا، إلى حد ما، بوصف ديناميات النظام وصفا كلاسيكيا. إلا أننا نهتم بالنظر في “الحدود الطوبولوجية” المستقلة عن المترية على المتشعب الأساسي. وتمتاز هذه الحدود بأنها موثوقة إلى حد ما عند استكشاف النظام الكمي. ومن ثم فإن التركيز على الحدود الطوبولوجية يسمح، على الأقل، بإعداد نقطة انطلاق لبناء نظري حقلي كمي مقابل، أعني دالة التقسيم $Z$ (انظر Fr FM SSS2 لمعالجات مفصلة مرتبطة بهذه المسألة). ومن الطبيعي أن نسأل هل تعتمد الكيانات الفيزيائية، مثل دالة الفعل ودالة التقسيم، على البنى الهندسية والطوبولوجية الأساسية المفروضة على الزمكان. فمثلا يؤدي الاعتماد أو عدم الاعتماد على البنية الملساء الأساسية دورا مهما في الشذوذات العالمية Wi . وبالمثل، فإن الاعتماد على بنية Spin سؤال كلاسيكي في نظرية الأوتار SW . ويمكن أيضا طرح سؤال ذي صلة: كيف تتصرف الكيانات الفيزيائية تحت تغاير بنية مقابلة؟ ومع أننا لا نسعى هنا إلى معالجة كاملة وعامة، فإننا نصف الصلة في إطار نظرية M ونظرية الأوتار: لحالة بنى Spin-Fivebrane فيما يتصل بفعل NS5/M5-brane، ثم لبنى Spin-Ninebrane بالنسبة إلى شذوذ غرين-شوارتز وثنويه، وكذلك بالنسبة إلى حدي تشيرن-سايمونز والحلقة الواحدة في نظرية M.

إن تفسير جداءات الكأس الواردة في SW1 بوصفها لاغرانجيات طوبولوجية لنماذج سيغما للأغشية يعني النظر إلى هذه الأغشية بوصفها تنتشر لا على الزمكان M، بل على الفضاء الكلي لحزمة Spin $Q$، أي إن لدينا نماذج سيغما على زمكانات “موسعة”. وبالفعل، يصف المؤلفون في DS الوتر الهيتروتي لا بوصفه CFT معرفا جبريا، بل بوصفه نموذج سيغما هندسيا على حزمة Spin $Q$ للزمكان $M$. وفي “نموذج WZW المليف $(0,2)$” هذا، ينظر إلى حقل $B$ الملتوي بغرين-شوارتز بوصفه جيربا حزميا على $Q$ يقيد على كل ليف إلى الجيرب الحزمي القانوني على Spin، ومن ثم إلى الحد الطوبولوجي لنموذج WZW على الألياف. ويعني هذا، على وجه الخصوص، أن صنف الدرجة الثالثة للجيرب الحزمي على Q يقيد على كل ليف إلى صيغة 3 القانونية على Spin. ونفسر ذلك هنا بوصفه بنية String $𝒮$ (انظر أدناه).

وبما أن الفعل على الألياف هو نموذج WZW، فإن درجات الحرية الإضافية على الألياف هي بالضبط ما يتوقع أن يمنح درجات حرية جبر التيارات الإضافية المشاهدة في الوتر الهيتروتي، وغير المشاهدة في نموذج سيغما هندسي عادي على الزمكان $M$ DS . ويمكن عندئذ النظر إلى مقاربتنا بوصفها تمديدا لهذه الحالة إلى أوضاع أخرى في نظرية M ونظرية الأوتار، وتحديدا لفعل نظرية M ولفعل NS5/M5-brane، وإن كان ذلك على المستوى النسبي. ومن جهة أخرى، وبمعنى ثنوي، ننظر هنا إلى نسخة الأغشية الأعلى من نماذج سيغما للوتر الهيتروتي عند ديستلر-شارب على $Q$ (بدلا من $M$) DS ، بوصفها نسخة “مليفة” مماثلة من نموذج سيغما الهيتروتي NS5-brane. وتنسجم هذه الرؤية الهيتروتية جيدا مع الإطار العام، إذ إن بنى Fivebrane SSS2 SSS3 تحفزها الشذوذات المشاهدة تحديدا لـ NS5-brane الهيتروتي في صياغة “الثنوي المغناطيسي” لنظرية الأوتار الهيتروتية. ويمكن العثور على أمثلة أخرى للزمكان الموسع في T والمراجع الواردة فيه.

II تغايرات البنى بوصفها تحويلات معيارية عالمية

عموما، إن الإصرار على أن تكون دالة التقسيم $Z$ للجزء الطوبولوجي من دالة الفعل $S$ معرفة ومحكمة التعريف بوصفها دالة على فضاء مودولي الحقول يفرض شروطا على المتشعبات والحزم الأساسية عليها، في صورة قيود على أصناف مميزة أولية (وربما ثانوية). ومثال كلاسيكي جدا، ذكر أعلاه، هو نظرية ديراك في الفرميونات، إذ تتطلب رفع حزمة Spin للحزمة المماسة، أي إن الزمكان الأساسي $M$ يجب أن يمتلك صنف ستيفل-ويتني ثانيا منعدما، $w_2(M)=0$. وتنشأ حالات أخرى في نظرية الأوتار ونظرية M، حيث تدعو الحاجة إلى الرفع إلى أحد الأغطية المتصلة الأعلى التي نوقشت سابقا (انظر SSS2 SSS3 9brane ).

ومن الطبيعي أن نسأل هل تعتمد الكيانات الفيزيائية، مثل $S$ أو $Z$، على البنى الهندسية والطوبولوجية الأساسية على الزمكان: كيف تتصرف الكيانات الفيزيائية تحت تغاير بنية مقابلة؟ فمثلا، في نظرية تشيرن-سايمونز، درس تغاير بنية Spin في J ، حيث تختلف بنيتا Spin أساسا بحزمة خطية حقيقية ما. ومن ثم، متى تحقق $w_2(M)=0$، فإننا نبحث عن اعتماد ممكن على العناصر في $H^1(M;{\mathbb{Z}}_2)$ أو، على نحو مكافئ، على الحزم الخطية الحقيقية. وعند الانتقال إلى بنى أعلى، درس في tcu اعتماد دالة التقسيم M2-brane على بنية String الأساسية المفروضة عبر الجيربات، بوصفها عناصر في $H^3(M;\mathbb{Z})$. وبما أن حجم عالم M2-brane ذو بعد 3، فإنه يقبل تلقائيا بنية String. والنقطة الرئيسة في tcu هي تعيين دالة الفعل بوصفها تغايرا لبنية String، باستعمال الإنشاءات في Red . وما نقصده هنا فعلا بتغاير بنية $𝒪$ هو

$$\text{Variation of }𝒪\text{-structure}=\delta 𝒪=𝒪-{𝒪}^{\prime },$$ (1)

فرق عنصرين في فضاء بنى $𝒪$. وعندما يعين حقل معين $\varphi$ مع بنية $𝒪$ (مسحوبة إلى الزمكان أو حجم العالم)، فإننا ننظر إلى (1) بوصفها تحويلا معياريا عالميا أو كبيرا لـ $\varphi$.

في السياق الحالي، فضاء مثل هذه البنى هو زمرة الكوهومولوجيا في الدرجة الأقل بواحدة من درجة العائق للبنى المعطاة، أي $H^3(M;\mathbb{Z})$ و$H^7(M;\mathbb{Z})$ و$H^{11}(M;\mathbb{Z})$، لبنى String وFivebrane وNinebrane، على الترتيب. ونحن ننسب البنى، بحيث تأخذ زمر الكوهومولوجيا هذه معاملات نسبية. وفضلا عن ذلك، فإن “فضاءات المودولي” هذه فضاءات متجهية، ولذلك لا يوجد عائق أمام الحركة في ذلك الفضاء، أي أمام تكوين التغايرات (1). وسنرى أوضاعا يكون فيها الطرف الأيسر فرقا بين بنيتين نسبيتين من نوع Fivebrane $ℱ-{ℱ}^{\prime }$ أو بنيتين نسبيتين من نوع Ninebrane $𝒩-{𝒩}^{\prime }$، على الترتيب. وستعطى هذه، في الجوهر، ببنى أدنى مقابلة على الأطراف اليمنى، أي ببنية String وبنية Fivebrane.

وقد دعي إلى تغيير البنى الطوبولوجية الأساسية في top في حالة المتشعبات المؤطرة، حيث فسرت الأجزاء الطوبولوجية من دوال الفعل لنظريتي حجم العالم للغشاء (M2-brane) والخمسة-غشاء (M5-brane) عبر صيغة تغيير التأطير، بروح مبدأ التغاير. وينطبق نقاش مماثل على NS5-brane NS5 . وهنا نعتمد وجهة النظر تلك، بما يقودنا إلى تفسير دوال الفعل الطوبولوجية كتغايرات لبنى أعلى. وكوننا في الإطار النسبي يجعل التعيين أكثر مباشرة وشفافية. ونؤكد أننا، وإن بدأنا بتعابير دي رهام، سنهتم باللاغرانجيات ودوال الفعل المرفوعة (صراحة أو ضمنا) إلى مستوى الكوهومولوجيا، كما في Wi2 DFM tcu top . وتتضمن دوال الفعل أصنافا على الفضاءات الكلية للحزم الرئيسة، لكننا ننظر في تعابير على الزمكان القاعدي. ويمكن فعل ذلك إما بافتراض مقطع، كما هي الحال في نظرية تشيرن-سايمونز، أو عبر عملية أكثر تفصيلا مثل استعمال تحليل هودج كما في Red . وسيكون هذا ضمنيا فيما يلي، وبذلك لا نرمي إلى الحالة الأكثر عمومية.

إن الإنشاءات والنتائج في SW1 مثبتة للأعداد النسبية، لكنها تمتد بسهولة إلى الحقيقية، ولا سيما للمتشعبات الملساء كما ننظر فيها هنا. ولاحظ أننا لا ننظر إلا في الحدود الطوبولوجية وأن تعابيرنا كوهومولوجية، ومن ثم فنحن في إطار قريب من إطار نظرية حقل طوبولوجية. ونعني بالتغاير تحويلات معيارية كبيرة لا يتوقع أن تصح محليا، ولذلك لا تتغير المعلمات تغيرا أملس.

III تغايرات في أصناف Fivebrane النسبية

نبين هنا أن الفعل الطوبولوجي المرتبط بـ NS5-brane وبـ M5-brane يمكن تفسيره عبر تغايرات في أصناف Fivebrane. وبالبدء من زمرة String بوصفها زمرة بنية، فإن حزمة $\mathrm{String}$-رئيسة ${\pi }_{{}_{\mathrm{String}}}:P\to M$ تمتلك بنية Fivebrane نسبية إذا وجد رفع لخريطة التصنيف المنسوبة $f:M\to B{\mathrm{String}}_{\mathbb{Q}}$ إلى الليف الهوموتوبي (لكسر) من صنف بونترياغن النسبي الثاني $p_2^{\mathbb{Q}}$ (لاحظ أنه بما أننا نعمل نسبيا، فالكسر غير جوهري). أما صنف بنية Fivebrane النسبية فهو صنف كوهومولوجي $ℱ\in H^7(P;\mathbb{Q})$ بحيث ${\iota }_x^{\ast }ℱ=a_7\in H^7(\mathrm{String};\mathbb{Q})$ لكل تضمين ليفي ${\iota }_x:\mathrm{String}\to P$. وقد أعيدت صياغة مثل هذه البنى الأعلى (بعد Spin) باستعمال بنى Spin. وقد بينا في SW1 أن

1. لكل صنف Spin-Fivebrane نسبي $ℱ\in H^7(Q;\mathbb{Q})$، يكون السحب ${\rho }^{\ast }ℱ$ صنفا نسبيا من نوع Fivebrane.

2. لكل بنية $\mathrm{Fivebrane}$ نسبية $ℱ\in H^7(P;\mathbb{Q})$ يوجد صنف Spin-Fivebrane $\widetilde{ℱ}\in H^7(Q;\mathbb{Q})$ بحيث ${\rho }^{\ast }\widetilde{ℱ}=ℱ$.

3. يعطي الصنفان $ℱ$ و${ℱ}^{\prime }\in H^7(Q;\mathbb{Q})$ بنية Fivebrane نفسها إذا كان $ℱ-{ℱ}^{\prime }=𝒮\cdot {\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_4$، حيث $𝒮\in H^3(Q;\mathbb{Q})$ هو صنف بنية String و${\varphi }_4\in H^4(M;\mathbb{Q})$ صنف كوهومولوجي نسبي.

ومن ثم فإن بنيتي Fivebrane تتعينان نسبيا إذا كان فرقهما يقابل صنفا فتليا في $H^7(M;\mathbb{Z})$. ويقول هذا إن جميع المعلومات المتعلقة ببنى Fivebrane، نسبيا، مشفرة في الجوهر في حزم Spin الأساسية.

مثال 1: فعل M5/NS5-brane وتغاير بنى Spin-Fivebrane. لننظر في M5/NS5-brane على حجم عالم موسع، وهو متشعب Spin سباعي الأبعاد $X^7$، كما في W Wi3 . وقد درست دالة فعل الخمسة-أغشية في tcu Sa5 FSS1 من وجهة نظر حزم String ذات اتصالات String. وعلى مستوى الصيغ التفاضلية، يعطى الجزء الطوبولوجي على الصورة

$$S_{{}_{\mathrm{M5}/\mathrm{NS5}}}={\int }_{X^7}{C}_3\wedge G_4,$$ (1)

حيث إن $C_3$ و$G_4$ لهما المعنى المعتاد في نظرية M بالنسبة إلى M5-brane، وهما مختلفان بالنسبة إلى NS5-brane (انظر Le حيث يدرس الحد 6-الأبعادي المقابل). وبالانتقال إلى الكوهومولوجيا، ننظر في اقتران الأصناف الكوهومولوجية المقابلة مع صنف الهومولوجيا الأساسي للمتشعب

$$S_{{}_{\mathrm{M5}/\mathrm{NS5}}}^{\mathrm{coh}}=⟨[C_3]\cup [G_4],[X^7]⟩,$$ (2)

مع $G_4=$غير تام $+d{C}_3$، بحيث نستطيع أن نأخذ كلا من $C_3$ و$G_4$ مغلقين (انظر DFM ). وتتلاءم الرؤية الهيتروتية ذات الهدف $Q$ المذكورة في المقدمة والمبنية على DS هنا طبيعيا، إذ بفضل غرين-شوارتز فإن $C_3=H_3+C{S}_3$ تحتوي صيغة 3-مغلقة بوصفها حدا مباشرا، من دون أن تكون هي نفسها مغلقة، بسبب حد تشيرن-سايمونز. وبالفعل، فقد درس فعل NS5-brane الهيتروتي من منظور الفضاء الفائق في Le . وتمتد بعض جوانب هذا، ولكن في وضع مقيد، إلى نظرية M في الحالة المسطحة، بسبب شرط التكميم Wi2 ، أو بدلا من ذلك عند العمل في نظرية M الهيتروتية HW .

لاحظ أن صنف $C_3$ أو $H_3$ يمكن تفسيره tcu (حتى إزاحة) بوصفه بنية String $𝒮$. وعندئذ يقابل المكامل الصنف $𝒮\cup \varphi$، حيث إن $\varphi =[G_4]$ صنف كوهومولوجي نسبي من الدرجة الرابعة. وبالفعل، فإن $[G_4]$ يحقق تكامليا شرط التكميم (انظر Wi2 ) $G_4+\frac{1}{2}\lambda \in H^4(Y^{11};\mathbb{Z})$، حيث $Y^{11}$ هو الزمكان المحيط الذي يرسل إليه $X^7$ (وفضاؤه الحدي). وعندما ننسب، فإن شرط قابلية صنف Spin المميز الأول $\lambda =\frac{1}{2}{p}_1$ للقسمة على اثنين (أي قبول $Y^{11}$ “بنية غشائية” mem ) يتحقق تلقائيا، وفي هذه الحالة $[G_4]\in H^4(Y^{11};\mathbb{Q})$. ولذلك فإننا نعين المكامل، أي اللاغرانجي على مستوى الكوهومولوجيا، بوصفه فرقا بين بنيتين نسبيتين من نوع Spin-Fivebrane على $Y^{11}$. أي إن

$${ℒ}_{{}_{M5}}^{\mathrm{coh}}={ℱ}_{\mathbb{Q}}-{ℱ}_{\mathbb{Q}}^{\prime }.$$ (3)

وهذا يعني أنه بالنسبة إلى فعل M5/NS5-brane توجد بنيتان من نوع Spin-Fivebrane بحيث يكون فرقهما ذلك الجزء من اللاغرانجي. وكما في حالة حجم عالم 3-الأبعادي لـ M2-brane الذي يقبل بنية String tcu ، فإن حجم عالم M5/NS5-brane الموسع يقبل تلقائيا بنية Fivebrane بفضل كونه ذا بعد 7.

لاحظ أنه إذا كان $H^4(M;\mathbb{Q})$ فتليا، فإن مجموعة أصناف Fivebrane وأصناف Spin-Fivebrane تتطابق SW1 . وتشمل متشعبات التصغير التي يحدث فيها ذلك المتشعبات الآتية كما في قائمة كالويسا-كلاين الواقعية Wi-81 .

أمثلة:

(i) متشعبات ويتن $M_{k,\mathrm{\ell }}$، وهي حزم $S^1$ فوق حاصل ضرب الفضاءات الإسقاطية المركبة $ℂP^2\times ℂP^1$، مصنفة في KS بحسب عددين صحيحين $k$ و$\mathrm{\ell }$. ولها $H^4(M_{k,\mathrm{\ell }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/{\mathrm{\ell }}^2$.

(ii) تعرف متشعبات ويتن المعممة $N_{kl}$ بأنها الفضاءات الكلية لحزم ليفية ليفها فضاء العدسة $L_k({\mathrm{\ell }}_2,{\mathrm{\ell }}_2)$ وزمرة بنيتها $S^1$. ولها $H^4(N_{kl};\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}_{|{\mathrm{\ell }}_1{\mathrm{\ell }}_2|}$ E .

(iii) حزم الخطوط الرباعية $E$ فوق متشعبات Spin مغلقة ذات بعد $4k-1$ مع كون $c_2(E)\in H^4(M)$ فتليا، وقد درست في CG عبر تعميمات لثوابت كريك-شتولتز.

IV تغايرات في أصناف Ninebrane النسبية

نمدد الآن نتائج القسم السابق إلى الغطاء المتصل الأعلى التالي للزمرة المتعامدة $\mathrm{O}$ في المتتالية الواردة في المقدمة. ويتيح هذا وصف الحدود في إلغاء شذوذ غرين-شوارتز وثنويه، وكذلك الحدود الطوبولوجية في نظرية M. لاحظ أن الأمور هنا تصبح دقيقة بعض الشيء، إذ توجد بنيتان واقعتان بين Fivebrane وNinebrane، يرمز إليهما بـ 2Orient و$2\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}$، على الترتيب 9brane . غير أن هاتين تعرفان عبر عوائق بترديد 2، بحيث إن التنسيب سيجعلهما مكافئتين لبنية Fivebrane. ولذلك، وكي نسير على نهج بنى $\mathrm{Fivebrane}$ النسبية، يمكننا تعريف بنى $\mathrm{Ninebrane}$ نسبية SW1 .

• تقبل حزمة $\mathrm{Fivebrane}$-رئيسة ${\pi }_{{}_{\mathrm{Fivebrane}}}:T\to M$ بنية Ninebrane نسبية إذا وجد رفع لخريطة التصنيف النسبية $f:M\to B{\mathrm{Fivebrane}}_{\mathbb{Q}}$ إلى الليف الهوموتوبي $F{(\frac{1}{240}{p}_3)}^{\mathbb{Q}}$.

• أما صنف Ninebrane النسبي فهو صنف كوهومولوجي ${𝒩}_{\mathbb{Q}}\in H^{11}(T;\mathbb{Q})$ بحيث إن ${\iota }_x^{\ast }𝒩=a_{11}\in H^{11}(\mathrm{Fivebrane};\mathbb{Q})$ لكل تضمين ${\iota }_x:\mathrm{Fivebrane}\to T.$

والآن، مثلما فعلنا في حالة بنى Fivebrane، يمكننا أن نربط هذه الأصناف بأصناف على حزمة Spin الأساسية. ولأجل ذلك، وكما قارنا الكوهومولوجيا النسبية من الدرجة 7 بين Spin وString، نحتاج إلى مقارنة الكوهومولوجيا النسبية من الدرجة 11 لـ Spin وFivebrane. وتولد الخريطة $\rho :\mathrm{Fivebrane}\to \mathrm{Spin}$ تماثلا ${\rho }^{\ast }:H^{11}(\mathrm{Spin};\mathbb{Q})\stackrel{\cong }{\to }{H}^{11}(\mathrm{Fivebrane};\mathbb{Q})$ SW1 ، وقد استعمل ذلك لربط أصناف Ninebrane النسبية بأصناف على حزمة Spin الأساسية. وعندئذ يكون صنف Spin-Ninebrane النسبي صنفا كوهومولوجيا ${𝒩}_{\mathbb{Q}}$ في $H^{11}(Q;\mathbb{Q})$ بحيث إن ${\iota }_x^{\ast }{𝒩}_{\mathbb{Q}}={\tilde{a}}_{11}\in H^{11}(\mathrm{Spin};\mathbb{Q})$ لكل $x\in M$. وفي هذه الحالة، بينا في SW1 :

1. لكل صنف Spin-Ninebrane نسبي ${𝒩}_{\mathbb{Q}}\in H^{11}(Q;\mathbb{Q})$، يكون السحب ${\rho }^{\ast }{𝒩}_{\mathbb{Q}}$ صنفا نسبيا من نوع Ninebrane.

2. يمكن وصف أي بنية Ninebrane نسبية ${𝒩}_{\mathbb{Q}}\in H^{11}(T;\mathbb{Q})$ بصنف في $H^{11}(Q;\mathbb{Q})$.

3. يعطي صنفان ${𝒩}_{\mathbb{Q}},{𝒩}_{\mathbb{Q}}^{\prime }\in H^{11}(Q;\mathbb{Q})$ بنية Ninebrane النسبية نفسها إذا كان

   $${𝒩}_{\mathbb{Q}}-{𝒩}_{\mathbb{Q}}^{\prime }=𝒮\cdot {\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_8+ℱ\cdot {\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_4,$$ (1)

   حيث إن $𝒮\in H^3(Q;\mathbb{Q})$ هو صنف بنية String، و$ℱ\in H^7(Q;\mathbb{Q})$ هو صنف بنية Fivebrane، في حين أن ${\psi }_8\in H^8(M;\mathbb{Q})$ و${\varphi }_4\in H^4(M;\mathbb{Q})$ صنفان كوهومولوجيان نسبيان.

ننظر الآن، في الدرجة المناسبة، في مثال أساسي في نظرية M، هو الجزء الطوبولوجي من الجاذبية الفائقة 11-الأبعادية CJS مع حد الحلقة الواحدة DLM . وقد درست التحويلات المعيارية الكبيرة في نظرية M من منظور هندسي في KaS ، في حين شرحت التناظرات الكاملة للحقل C في DFM FSS2 .

مثال 2: فعل نظرية M وتغاير بنى Spin-Ninebrane. ننظر الآن في نظرية M على متشعب String $Y^{11}$، كما في E8 . وتعطى دالة الفعل الطوبولوجية المعروفة لنظرية M على الصورة

$${\int }_{Y^{11}}\left(\frac{1}{6}{G}_4\wedge G_4\wedge C_3-I_8\wedge C_3\right)$$ (2)

حيث يسمى $I_8$ متعددة حدود الحلقة الواحدة، وصنفها الكوهومولوجي المقابل هو $\frac{1}{48}(p_2-{\lambda }^2)$. ومن وجهة نظر كوهومولوجية، فإن الوصف السليم للفعل ودالة التقسيم المقابلة (أو تكامل المسارات) أمر دقيق بسبب وجود فتل خفي (انظر FM ). غير أننا سنتجنب مرة أخرى مثل هذه القضايا الدقيقة عند التنسيب. وبما أننا امتلكنا سلفا تفسير $[C_3]$ بوصفه صنف String $𝒮$، فإننا نفسر الآن $[\frac{1}{6}{G}_4\wedge G_4-I_8]$ بوصفه صنفا كوهومولوجيا نسبيا $y_8\in H^8(Y^{11};\mathbb{Q})$، مع تنسيب التفسير على المستوى التكاملي في DFM SSS2 SSS3 . وبالتالي فإن اللاغرانجي، مرة أخرى على مستوى الكوهومولوجيا النسبية، هو تغاير لصنف Spin-Ninebrane نسبي

$${ℒ}_{{}_M}^{\mathrm{coh}}={𝒩}_{\mathbb{Q}}-{𝒩}_{\mathbb{Q}}^{\prime },$$ (3)

حيث نعين $y_8$ مع ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_8$، وحيث نأخذ ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_4$ مساويا للصفر. ولأسباب بعدية، نحصل الآن تلقائيا على بنية Ninebrane على $Y^{11}$، ولذلك فإن دالة الفعل تلتقط تبسيط تلك البنية في صورة بنية Spin-Ninebrane. وهذا مشابه لامتلاك بنية String على M2-brane بفضل البعد tcu .

يتناول المثالان التاليان إلغاء شذوذ غرين-شوارتز، وهو أحد أبرز معالم نظرية الأوتار GS . وسننظر أولا في الآلية المعتادة حيث نجري المطابقة مع التعبير (1) باستعمال ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_4=0$، ثم ننظر في الثنوي لصياغة غرين-شوارتز (بمعنى Fr SSS3 ) بأخذ ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_8=0$.

مثال 3: آلية إلغاء شذوذ غرين-شوارتز وتغاير بنى Spin-Ninebrane. ينشأ إلغاء هذا الشذوذ في نظرية الأوتار الهيتروتية (أو الجاذبية الفائقة من النمط I). ويتضمن النظام متشعبا عشري الأبعاد $M^{10}$ مع حزمة Spin الطبيعية له، وحزمة Yang-Mills $E$، وصيغة 3-مغلقة $H_3$، مع صنفها الكوهومولوجي المقابل $[H_3]$. وتدخل الحزمة $E$ في التعابير عبر شخصية تشيرن الخاصة بها $\mathrm{ch}(E)$، في حين تؤخذ الحزم الطبيعية في الحسبان عبر أصناف بونترياغن $p_i(T{M}^{10})$. وتتضمن دالة الفعل المقابلة الحد

$${ℒ}_{{}_{\mathrm{GS}}}=H_3\wedge J_8,$$ (4)

حيث إن $J_8$ صيغة 8-مغلقة ذات صنف كوهومولوجي $-{\mathrm{ch}}_4(E)+\frac{1}{48}{p}_1(M){\mathrm{ch}}_2(E)-\frac{1}{64}{p}_1{(M)}^2+\frac{1}{48}{p}_2(TM)$. وبتعيين الصنف $[H_3]$ مع صنف String $𝒮$، يكون التعبير على مستوى الكوهومولوجيا على الصورة ${ℒ}_{{}_{\mathrm{GS}}}^{\mathrm{coh}}=𝒮\cdot {\psi }_8$، حيث عينّا أيضا الصنف الكوهومولوجي النسبي ${\psi }_8$ مع $[J_8]$. وهذا يعطي حالة خاصة من تغاير بنى Spin-Ninebrane النسبية

$${ℒ}_{{}_{\mathrm{GS}}}^{\mathrm{coh}}={𝒩}_{\mathbb{Q}}-{𝒩}_{\mathbb{Q}}^{\prime }.$$ (5)

لاحظ أن قيودا كبيرة ستكون لازمة لضمان أن $[J_8]$ صنف تكاملي (انظر SSS2 لنقاش متى تكون هذه هي الحال). وتبرز هنا أيضا ميزة العمل نسبيا في تجنب هذه التعقيدات.

مثال 4: شذوذ غرين-شوارتز الثنوي وتغاير بنى Spin-Fivebrane. ينشأ إلغاء شذوذ غرين-شوارتز الثنوي في نظرية الأوتار الهيتروتية (أو الجاذبية الفائقة من النمط I). ولا يزال النظام يتضمن متشعبا عشري الأبعاد $M^{10}$ مع حزمة Spin الطبيعية له، وحزمة Yang-Mills $E$، إلا أن لدينا الآن الصيغة المغلقة (ثنائية هودج) $H_7$، مع صنفها الكوهومولوجي المقابل $[H_7]$، من الدرجة السابعة. وتتضمن دالة الفعل حدا من الصورة

$${ℒ}_{{}_{\mathrm{dual}\mathrm{GS}}}=H_7\wedge J_4,$$ (6)

حيث إن $J_4$ صيغة من الدرجة 4 ذات صنف كوهومولوجي $p_1(T{M}^{10})-{\mathrm{ch}}_2(E)$. وعندئذ يعطى الصنف الكوهومولوجي المقابل لهذه الدالة الفعلية على أنه الفرق

$${ℒ}_{{}_{\mathrm{dual}\mathrm{GS}}}^{\mathrm{coh}}={𝒩}_{\mathbb{Q}}-{𝒩}_{\mathbb{Q}}^{\prime },$$ (7)

حيث نعين $[H_7]$ مع صنف Spin-Fivebrane $ℱ$، و$[J_4]$ مع الصيغة ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_4$، وحيث نأخذ ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_8$ مساويا للصفر.

نسبيا، يوجد تماثل $H^{12}(B\mathrm{Spin};\mathbb{Q})/(p_1^{\mathbb{Q}},p_2^{\mathbb{Q}})\cong H^{12}(B\mathrm{Fivebrane};\mathbb{Q})$. وإذا كان $H^4(M;\mathbb{Z})$ و$H^8(M;\mathbb{Z})$ فتليين صرفين، فإن مجموعة أصناف Ninebrane وأصناف Spin-Ninebrane تتطابق.

مثال: يمكننا إعطاء مثال غير تافه لمتشعب زمكان $X$ يمتلك $H^4(X;\mathbb{Z})$ فتليا، و$H^8(X;\mathbb{Z})$ منعدما و$H^{12}(X;\mathbb{Z})$ غير فتلي. وكما في Sing ، لتكن $\mathrm{SU}(2)$ الزمرة الجزئية من $\mathrm{SU}(4)$ المؤلفة من كل المصفوفات القطرية الكتلية $\mathrm{diag}(A,A)$ حيث $A\in \mathrm{SU}(2)$. عندئذ فإن خارج القسمة 12-الأبعادي $X=\mathrm{SU}(4)/\mathrm{SU}(2)$، منظورا إليه بوصفه قاعدة لحزمة $S^3$، قابل للتوازي المستقر مع $H^4(X;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}_2$، $H^8(X;\mathbb{Z})=0$ و$H^{12}(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$.

ملاحظات

تمتد الصياغة أعلاه إلى نظريات أخرى أيضا:

1. تقبل نظرية أوتار أخرى، وهي النمط I، صياغة متناظرة ثنويا، حيث تستعمل الصياغة الثنوية $H_7$ المعطاة في Cham . وتصح صلة مشابهة بالبنى الأعلى أعلاه في هذه الحالة.

2. من الممكن أيضا النظر في فعل نظرية M المتناظر ثنويا BBS بإضافة الثنوي (انظر Fre ) إلى الفعل ليصبح (2) حيث يكون كل من ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_4$ و ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_8$ غير صفريين عموما. ومن ثم فإن هذا سيشمل تغايرات في بنيتي Spin-Fivebrane وSpin-Ninebrane كلتيهما.

3. وبالمثل، فإن الفعل الهيتروتي المتناظر ثنويا GN Fr (بجمع المثالين 3 و4 سيشمل كلا من ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\psi }_4$ و ${\pi }_{\mathrm{Spin}}^{\ast }{\varphi }_8$، ومن ثم يقود أيضا إلى تغاير كلتا البنيتين.

4. مع التفسير الملائم والشروط المناسبة على الأصناف، يمكن أيضا جعل نظريات أخرى مثل الجاذبية (الفائقة) الطوبولوجية Ch ، وجاذبية تشيرن-سايمونز (الفائقة) Z ، ونظريات تشيرن-سايمونز العليا BG FSS منسجمة مع الوصف أعلاه.

نجد من الجدير بالملاحظة أن الأجزاء الطوبولوجية من دوال الفعل الثلاث الرئيسة في نظرية M، أي تلك الخاصة بـ M2-brane وM5/NS5-brane وبنظرية M الكلاسيكية، وكذلك شذوذ غرين-شوارتز وثنويه، يمكن تفسيرها بوصفها تبسيطات لعوائق أعلى مع قدرة بنى Spin-Fivebrane وSpin-Ninebrane النسبية على تفسير صورة الأفعال وتركيبها في آن واحد. ويمكن تلخيص النقاش أعلاه في الجدول التخطيطي الآتي، حيث يعرض العمود الأخير التفسير الجديد بوصفه تغايرا لبنية أعلى.

System	Existing structure	Variation of
Chern-Simons	Riemannian	Spin
M2-brane	Spin	String
M5/NS5-brane	String	Spin-Fivebrane
M-theory, (dual) GS	String/Fivebrane	Spin-Ninebrane

يتبع الصف الأول J tcu Red ، في حين تبدأ الصفوف الثلاثة الأخرى من أوصاف قائمة، كما عرضت في SSS2 tcu SSS3 9brane ، ثم تقدم وصفا بديلا، كما في الأمثلة أعلاه. وبصورة أصرح، يعطى الوصف الجديد لنظرية NS5/M5-brane في المثال 1 أما وصف نظرية M ففي المثال 2، كما أن شذوذ غرين-شوارتز وثنويه يعطيان في المثالين 3 و4، على الترتيب.

ما قدمناه أعلاه ليس إلا لمحات عن صلات، ونعتقد أن هذا يمثل نقطة انطلاق لإنشاءات مثيرة للاهتمام تستحق أن تفصل بتوسع كبير. وعلى وجه الخصوص، ينبغي أن يكون النقاش الأعمق في تغايرات البنى ضمن سياق دوال التقسيم، لا ضمن دوال الفعل وحدها. وسيكون هذا عملا كبيرا، لأنه يتطلب المفهومين اللذين نحّيناهما، أعني الفتل والحزم الأعلى، وسيتجاوز بكثير نطاق هذه الملاحظة، لكننا نعتزم تناوله في موضع آخر.

شكر وتقدير. يشكر المؤلفون أورس شرايبر والمحكمين المجهولين لهذه الملاحظة ولـ SW1 على تعليقاتهم واقتراحاتهم المفيدة.