etretr evvev

جبور لي (الفائقة) البسيطة المقيدة في الخاصية $3$

الملخص

نقدم صيغا صريحة تثبت خاصية التقييد لجبور لي (الفائقة) الآتية: جبور لي (الفائقة) الاتجاهية البسيطة الاستثنائية المعروفة في الخاصية 3، وجبور لي (الفائقة) المشوهة ذات مصفوفة كارتان غير قابلة للتفكيك، وكذلك، في شروط معينة، خارجاتها الفرعية البسيطة فوق حقل مغلق جبريا ذي خاصية 3، فضلا عن نمط واحد من جبور لي الفائقة المشوهة الخالية من التباعد بعدد اعتباطي من المجاهيل وفي أي خاصية.

مقدمة نذكر أن جبر لي $\mathfrak{g}$ فوق حقل $\mathbb{K}$ ذي خاصية $p>0$ يسمى مقيدا أو مزودا ببنية $p$ $x\mapsto x^{[p]}$، إذا كان لكل $x\in \mathfrak{g}$ لدينا ${({\mathrm{ad}}_x)}^p={\mathrm{ad}}_{x^{[p]}}$ من أجل بعض $x^{[p]}\in \mathfrak{g}$. وتسمى الوحدة $M$ فوق جبر لي مقيد $\mathfrak{g}$، وكذلك التمثيل $\rho$ الذي يعرّف $M$، مقيدين إذا تحقق $\rho (x^{[p]})=\rho {(x)}^p$. ويكون جبر لي الفائق $\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}_{\mathrm{ev}}\oplus {\mathfrak{g}}_{\mathrm{od}}$ مقيدا إذا كان ${\mathfrak{g}}_{\mathrm{ev}}$ مقيدا وكان $\mathfrak{g}$ وحدة ${\mathfrak{g}}_{\mathrm{ev}}$-مقيدة. وبفضل التربيع، أي التطبيق $x\mapsto x^2(=\frac{1}{2}[x,x]$ إذا كان $p\ne 2$) لكل $x\in {\mathfrak{g}}_{\mathrm{od}}$، فإن لكل جبر لي فائق مقيد بنية $2p$، أي تطبيقا $x\mapsto x^{[2p]}$ لكل $x\in {\mathfrak{g}}_{\mathrm{od}}$.

في ملحقه بـ [LL]، نصحنا P. Deligne بأن نبحث أولا وقبل كل شيء جبور لي (الفائقة) المقيدة ووحداتها المقيدة لصلتها بالهندسة ومن ثم لأهميتها. وهذه المذكرة ملحق بـ [BLLS]، حيث صيغت عدة عبارات عامة عن خاصية التقييد صالحة لأي $p>0$، وبـ [BGL2]، حيث عرّفت مصفوفات كارتان ومولدات شيفالي لجبور لي الفائقة المعيارية، وبـ [BGL1, GL3, BGLLS, BGLLS1] الذي يصف جبور لي (الفائقة) المدروسة هنا. تتناول النتيجة الرئيسة في [BLLS] الحالة $p=2$؛ أما هنا فنقدم أمثلة من أجل $p\ne 2$، وبخاصة من أجل $p=3$. والحقل الأساسي مغلق جبريا.

إن التصنيف [BW] ضمني: فلكي نعرّف صراحة بنية $p|2p$ على جبر لي فائق بسيط $\mathfrak{g}$ يكفي إعطاء تعابير $w^{[p]}$ (على التوالي $w^{[2p]}$) لكل العناصر الزوجية (على التوالي الفردية) في أي أساس لـ $\mathfrak{g}$. ونقدم أخيرا الجواب الصريح في حالة ${\mathfrak{svect}}_{(1+\overline{u})}(m;|2s)$، انظر (جبور لي (الفائقة) البسيطة المقيدة في الخاصية $3$)؛ أما تشوهات السلسلة $\mathfrak{h}$ فستدرس في موضع آخر.

لا يتوافر بعد أي تصنيف لجبور لي الفائقة البسيطة لأي $p>0$، ولا لجبور لي البسيطة من أجل $p=3$ و$2$، باستثناء جبور لي (الفائقة) ذات مصفوفة كارتان غير قابلة للتفكيك وخارجاتها الفرعية البسيطة، انظر [BGL2]، التي تعطى بنيتها $p|2p$ صراحة إن وجدت. هذه الجبور “متماثلة”، أي إن لها جملة جذور متماثلة. ولتصنيف التشوهات الحقيقية، أي نتائج التشوهات التي ليست بدهيّة ولا شبه بدهيّة، لجبور لي (الفائقة) المتماثلة التي نثبت هنا خاصية تقييدها، انظر [BLW, BGL3].

وننظر أيضا في جبور لي (الفائقة) المتجهية. واقتداء ببورباكي نستعمل الخط القوطي لجبور لي (الفائقة)؛ ويمثل $:=(1,\mathrm{\dots },1)$ متجه القص ذي أصغر ارتفاعات للقوى المقسومة. أما براهين اللمّات، والحقيقة (3)، والصيغتان (1) و(جبور لي (الفائقة) البسيطة المقيدة في الخاصية $3$) فقد حُصل عليها بمساعدة برنامج SuperLie، انظر [Gr].

تشوهات جبور لي (الفائقة) ذات مصفوفة كارتان غير قابلة للتفكيك في اللمتين جبور لي (الفائقة) البسيطة المقيدة في الخاصية $3$ وجبور لي (الفائقة) البسيطة المقيدة في الخاصية $3$، تعطى الدورات المشتركة $c_k$ وعناصر أساس شيفالي $x_i$ (على التوالي $y_i$) الموافقة للجذور الموجبة (على التوالي السالبة) من أجل مصفوفة كارتان المعطاة في [BGL3]؛ ولْتكن $h_j:=[x_j,y_j]$ عناصر الطارة العظمى.

تشوهات $\mathfrak{o}(5)$ من أجل $p=3$ نذكر أن قوس التماس لقوتين مقسومتين $f,g\in \mathcal{O}(p,q,t;\underset{¯}{N})$ يعرّف بأنه

$${\{f,g\}}_{k.b.}=\mathrm{△}f\cdot {\partial }_{t}g-{\partial }_{t}f\cdot \mathrm{△}g+{\partial }_{p}f\cdot {\partial }_{q}g-{\partial }_{q}f\cdot {\partial }_{p}g\text{ with }\mathrm{△}f=2f-p{\partial }_{p}f-q{\partial }_{q}f\text{.}$$

ويعبّر عن أساس لـ $𝔏(\epsilon ,0,0)$ بدلالة الدوال المولدة لـ $𝔨(3;)$ ومتجهات الجذور لـ $\mathfrak{o}(5)$ كما يأتي، انظر [BLW, Prop. 3.2]

والقيم غير الصفرية للقوس المشوه ذي المعلمتين $\delta$ و$\rho$ هي كما يأتي:

وكما ثبت في [Kos]، لا تمثل في العائلة $𝔏(\epsilon ,\delta ,\rho )$ سوى $𝔏(2,0,2)$ وجبور Brown $𝔟𝔯(2;\epsilon ):=𝔏(\epsilon ,0,0)$ من أجل $\epsilon \ne 0$ أصنافا لجبور لي غير متشاكلة حتى التشاكلات $𝔟𝔯(2;\epsilon )\simeq 𝔟𝔯(2;{\epsilon }^{\prime })$ إذا وفقط إذا كان $\epsilon {\epsilon }^{\prime }=1$ من أجل $\epsilon \ne {\epsilon }^{\prime }$؛ ولاحظ أن $𝔟𝔯(2;-1)\simeq \mathfrak{o}(5)\simeq \mathfrak{sp}(4)$.

Lemma تعطى بنية $3$ على $𝔏(\epsilon ,\delta ,\rho )$ بالصيغ

(1) $$\begin{array}{c}{h}_1^{[3]}=h_1,h_2^{[3]}={\epsilon }^2{h}_2,y_2^{[3]}=\delta (1+2{\epsilon }^2)h_1+\frac{\delta }{\epsilon }(1+2{\epsilon }^2)h_2,y_3^{[3]}=\frac{\rho }{\epsilon }{h}_2,\hfill \\ y_4^{[3]}=\epsilon \delta \rho (2+{\epsilon }^2)y_1,y_1^{[3]}=x_1^{[3]}=x_2^{[3]}=x_3^{[3]}=x_4^{[3]}=0.\hfill \end{array}$$

في [Kos]، ورد اقتباس لزعم Rudakov «إن $𝔏(\epsilon ,\delta ,\rho )$ مقيد»، غير أن الصيغ الصريحة (1) لم تنشر قط على حد علمنا.

Lemma لتكن ${\mathfrak{g}}_{c_k}$ التشوه ذا المعلمة الزوجية $\lambda$ الموافق للدورة المشتركة $c_k$ لـ $\mathfrak{g}=𝔟𝔯(3)$ أو $𝔟𝔯𝔧(2;3)$. إن جبور لي (الفائقة) ${\mathfrak{g}}_{c_k}$، وتلك المتماثلة معها ($x⟷y$)، مقيدة. ولكل $k$، تنعدم تطبيقات $p|2p$ على جميع متجهات الوزن، باستثناء الآتية: $h_i^{[3]}=h_i$ لكل $i$ و $x_3^{[3]}=-\lambda h_3$ من أجل $𝔟𝔯{(3)}_{c_{-3}}$، وكذلك $x_5^{[3]}=\lambda (h_2+h_3)$ من أجل $𝔟𝔯{(3)}_{c_{-6}}$؛ و$x_6^{[3]}=-\lambda (h_1+h_2+h_3)$ من أجل $𝔟𝔯{(3)}_{c_{-9}}$؛ و$x_{10}^{[3]}=\lambda (h_1-h_2)$ من أجل $𝔟𝔯{(3)}_{c_{-18}}$. وعلاوة على ذلك، من أجل $𝔟𝔯𝔧{(2;3)}_{c_{-12}}$ لدينا $x_6^{[3]}=2\lambda h_1$، ومن أجل $𝔟𝔯𝔧{(2;3)}_{c_{-6}}$ لدينا $x_3^{[3]}=\lambda (h_1-h_2)$.

Lemma لتكن ${\mathfrak{g}}_{c_k}$ التشوه ذا المعلمة الفردية $\tau$ الموافق للدورة المشتركة $c_k$ لـ $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(1,6)$ أو $\mathfrak{g}(4,3)$ أو $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(2,3)$. إن جبور لي الفائقة ${\mathfrak{g}}_{c_k}$، الموافقة للدورات المشتركة $c_k$، وتلك المتماثلة معها ($x⟷y$)، مقيدة. ولكل $k$، تنعدم تطبيقات $p|2p$ على جميع متجهات الوزن، باستثناء الآتية: $h_i^{[3]}=h_i$ لكل $i$ من أجل $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(1,6)$ و$\mathfrak{g}(4,3)$، وكذلك $d^{[3]}=d$ من أجل $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(2,3)$ بترديد العنصر المركزي  $c=h_1-h_2$.

حقيقة لتكن ${\mathfrak{g}}_0$ جبر لي (فائق) مقيدا، ولتكن ${\mathfrak{g}}_{-1}$ وحدة ${\mathfrak{g}}_0$-مقيدة غير قابلة للاختزال تولد جبر لي الفائق . وليكن جبر لي (الفائق) المتجهي $\mathfrak{g}(;\underset{¯}{N})$، حيث $$ هو البعد الفائق لـ ${\mathfrak{g}}_{-}$، هو الامتداد، أي نتيجة تمديد كارتان المعمم، انظر [Shch]، للزوج $({\mathfrak{g}}_{-},{\mathfrak{g}}_0)$. ومن السهل أن نرى أن جبر لي الفائق $\mathfrak{g}(;\underset{¯}{N})$ غير مقيد إذا كان $\underset{¯}{N}\ne \underset{}{¯}$، انظر [BLLS]؛ وقد نشر برهان هذه العبارة لجبور لي أول مرة في [KfiD, Th.2].

حقيقة. إذا كان جبر لي (الفائق) المتجهي المتدرج بـ $\mathbb{Z}$ وهو $\mathfrak{g}:=\mathfrak{g}(;)$، أي تمديد كارتان المعمم لمركباته غير الموجبة، انظر [Shch]، مقيدا، وكان الجبر (الفائق) المشتق ذو الرتبة $i$، وهو ${\mathfrak{g}}^{(i)}$ من $\mathfrak{g}$، يحتوي على طارة عظمى لـ $\mathfrak{g}$، فإن ${\mathfrak{g}}^{(i)}$ يكون مقيدا

(2) (a) ${\mathfrak{h}}^{[p]}\subset \mathfrak{h}$؛ فضلا عن ذلك، إذا كانت ثوابت البنية تنتمي إلى $\mathbb{Z}/p$، فإن $h_i^{[p]}=h_i$ من أجل عناصر الأساس $h_i$ لـ $\mathfrak{h}$; (b) $w^{[p]}=0$ (على التوالي $w^{[2p]}=0$) من أجل عناصر الوزن الزوجية الأخرى (على التوالي الفردية) $w$ في أساس $\mathfrak{g}$ ذات الأوزان بالنسبة إلى طارة عظمى لـ $\mathfrak{der}\mathfrak{g}$.

بالنسبة إلى الجبر (الفائق) المشتق البسيط لكل جبر لي (فائق) متجهي $\mathfrak{g}$ نعرفه من أجل $p=3$، تعطى بنية $3$ بواسطة التعابير (2)، حيث $\mathfrak{h}$ طارة عظمى لـ ${\mathfrak{g}}_0$؛ أما من أجل $p>3$، فانظر [S, Th.7.2.2].

أمثلة جديدة يبين العمود الأيسر في (3) الموضع الذي توصف فيه جبور لي (الفائقة) البسيطة الواردة في العمود الأيمن من أجل أي $\underset{¯}{N}$؛ وبالنسبة إليها تتحقق المعادلات (2):

(3)

صيغ جديدة لم تصنف تشوهات الجبور الفائقة المشتقة البسيطة لجبور لي الفائقة التي هي من الشكل $\mathfrak{g}(;\underset{¯}{N})$؛ لذلك لا ننظر إلا في مثال واحد. لتكن $\mathfrak{svect}(m;\underset{¯}{N}|2s)$ جبر لي الفائق الذي يحفظ عنصر الحجم $$ في المجاهيل الزوجية $u_1,\mathrm{\dots },u_m$ والمجاهيل الفردية $u_{m+1},\mathrm{\dots },u_{m+2s}$، ولتكن $\overline{u}=u_1^{(p^{{\underset{¯}{N}}_1}-1)}\mathrm{\cdots }{u}_m^{(p^{{\underset{¯}{N}}_m}-1)}{u}_{m+1}\mathrm{\cdots }{u}_{m+2s}$ و${\mathfrak{svect}}_{(1+\overline{u})}(m;\underset{¯}{N}|2s)$ التشوه الذي يحفظ $(1+\overline{u})$. من أجل ${\mathfrak{svect}}_{(1+\overline{u})}(m;|2s)$ و${\mathfrak{svect}}_{(1+\overline{u})}^{(1)}(m;|2s)$ في الخاصية $p>0$، لدينا (ولا تعطى إلا الفروق مع (2)): ((1 - ¯ u )∂_i)^[p] = - (∂_i^p-1 ¯ u ) ∂_i,   حيث ${\partial }_i$ زوجي.