إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية

الملخص

ندرس في هذه المذكرة نظام الحرارة شبه الخطي

$${\partial }_{t}u=\mathrm{\Delta }u+f(v),{\partial }_{t}v=\mu \mathrm{\Delta }v+g(u),\mu >0,$$

حيث لا تمتلك اللاخطية بنية تدرجية، وتتخذ الصورة الخاصة

$$f(v)=v{|v|}^{p-1}\text{and}g(u)=u{|u|}^{q-1}\text{with}p,q>1,$$

أو

$$f(v)=e^{pv}\text{and}g(u)=e^{qu}\text{with}p,q>0.$$

نبرهن وجود حلول انفجارية من النمط I لهذا النظام، ونقدم وصفا دقيقا لملامح انفجارها. وتعتمد الطريقة على إجراء من خطوتين: اختزال المسألة إلى مسألة منتهية البعد عبر تحليل طيفي، ثم حل المسألة المنتهية البعد بحجة طوبولوجية كلاسيكية مبنية على نظرية الدليل. وكنتيجة لتقنيتنا، تكون الحلول المنشأة مستقرة إزاء اضطراب صغير في المعطيات الابتدائية. ويمكن العثور على النتائج والحجج الرئيسية المعروضة في هذه المذكرة في بحثينا [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag].

Tej-Eddine Ghoul^†, Van Tien Nguyen^† و Hatem Zaag^∗

^†New York University in Abu Dhabi, P.O. Box 129188, Abu Dhabi, United Arab Emirates.

^∗Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité, LAGA, CNRS (UMR 7539), F-93430, Villetaneuse, France.

1. المقدمة.

في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag]، ندرس النظام القطع المكافئ شبه الخطي

(1.1)

مع $N\ge 1$، و$\mu >0$ و$(u(0),v(0))=(u_0,v_0)$، حيث $(u,v)(t):x\in {ℝ}^N\to {ℝ}^2$ ولا تمتلك اللاخطية بنية تدرجية، وتتخذ الصورة الخاصة

$$f(v)=v{|v|}^{p-1}\text{and}g(u)=u{|u|}^{q-1}\text{with}p,q>1,$$ (1.2)

أو

$$f(v)=e^{pv}\text{and}g(u)=e^{qu}\text{with}p,q>0.$$ (1.3)

يمثل النظام (1.1) نموذجا بسيطا لنظام تفاعل-انتشار يصف انتشار الحرارة في مزيج قابل للاحتراق ذي مكونين، ولذلك كان موضوعا لدراسة مكثفة خلال العقدين الماضيين (انظر [Souplet(2005)]، و[Zheng et al.(2002)Zheng, Zhao, and Chen] والمراجع الواردة فيهما). نهتم هنا أساسا بإثبات وجود حلول انفجارية في زمن منته واستقرارها، مع تحقق سلوك تقاربي محدد سلفا. ونقصد بالانفجار في زمن منته أن $T=T(u_0,v_0)$، زمن الوجود الأعظمي للحل الكلاسيكي $(u,v)$ للمسألة (1.1)، منته، وأن الحل ينفجر في الزمن المنتهي $T$ بالمعنى الآتي:

$$\underset{t\to T}{lim}\left({\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}+{\Vert v(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\right)=+\mathrm{\infty }.$$

فضلا عن ذلك، يسمى حل الانفجار المنتهي $(u,v)$ للنظام (1.1) حلا من النمط I إذا وجدت ثابتة موجبة $C$ بحيث

$${\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le C\overline{u}(t),{\Vert v(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le C\overline{v}(t),$$ (1.4)

حيث إن $(\overline{u},\overline{v})(t)$ هو حل الانفجار الموجب الوحيد للنظام التفاضلي العادي المرتبط بـ (1.1)، أي إن

$\overline{u}(t)=\mathrm{\Gamma }{(T-t)}^{-\alpha },\overline{v}(t)=\gamma {(T-t)}^{-\beta }$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E2" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.2</span></a>}\text{)},$

$\overline{u}(t)=\ln \left[{\left(p(T-t)\right)}^{\frac{-1}{q}}\right],\overline{v}(t)=\ln \left[{\left(q(T-t)\right)}^{\frac{-1}{p}}\right]$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E3" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.3</span></a>}\text{)},$

حيث يحدد $(\mathrm{\Gamma },\gamma )$ بواسطة

$${\gamma }^p=\alpha \mathrm{\Gamma },{\mathrm{\Gamma }}^q=\gamma \beta ,\alpha =\frac{p+1}{pq-1},\beta =\frac{q+1}{pq-1}.$$ (1.5)

وخلاف ذلك، يكون حل الانفجار من النمط II.

أما بالنسبة إلى النظام (1.1)-(1.2) مع $\mu =1$، فقد اشتق فريدمان-غيغا [Friedman and Giga(1987)] وإسكوبيدو-هيريرو [Escobedo and Herrero(1991a)] وجود حلول انفجارية في زمن منته (انظر أيضا [Escobedo and Herrero(1991b)]، و[Escobedo and Herrero(1993)]، إلخ). ومن عمل أندروتشي-هيريرو-فيلاسكيز [Andreucci et al.(1997)Andreucci, Herrero, and Velázquez]، نعلم أن التقدير (1.4) صحيح إذا كان

انظر أيضا كاريستي-ميتيدييري [Caristi and Mitidieri(1994)]، ودنغ [Deng(1996)]، وفيلا-سوبليه [Fila and Souplet(2001)] لمزيد من النتائج المتعلقة بالتقدير (1.4). وبمعرفة أن الحل يبدي انفجارا من النمط I، تمكن مؤلفو [Andreucci et al.(1997)Andreucci, Herrero, and Velázquez] من الحصول على معلومات أدق عن السلوك التقاربي للحل قرب المفردة. ثم حسّن زاغ [Zaag(2001)] نتائجهم لاحقا. وعندما $\mu \ne 1$، عرفت نتائج أقل بكثير، باستثناء محمودي-سوبليه-تاياشي [Mahmoudi et al.(2015)Mahmoudi, Souplet, and Tayachi] الذي يثبت نتيجة انفجار عند نقطة وحيدة تحسن النتيجة المحصل عليها في [Friedman and Giga(1987)]. أما بالنسبة إلى النظام (1.1) المقترن باللاخطية (1.3)، فالنتيجة الوحيدة المعروفة ترجع إلى سوبليه-تاياشي [Souplet and Tayachi(2016)]، إذ كيّفا التقنية المطورة في [Mahmoudi et al.(2015)Mahmoudi, Souplet, and Tayachi] للحصول على نتيجة الانفجار عند نقطة وحيدة لصنف من الحلول المتناقصة شعاعيا. وعلى حد علمنا، لا توجد نتائج تتعلق بالسلوك التقاربي، حتى في حالة تساوي الانتشار، أي $\mu =1$. ونذكّر أيضا بأن دراسة النظام القطع المكافئ غير متساوي الانتشار (1.1) (قد يساوي $\mu$ أو لا يساوي $1$) هي، بوجه خاص، أشد تعقيدا بكثير، سواء من حيث سلوك الحلول أو على المستوى التقني.

في هذه المذكرة نبرهن وجود حلول انفجارية من النمط I للنظام (1.1)، ونقدم أول وصف كامل لسلوكها التقاربي. وبصورة أدق، نثبت في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag] المبرهنة الآتية.

مبرهنة 1.1 (حلول انفجارية من النمط I لـ (1.1)-(1.2) وسلوكها التقاربي، [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag]).

لتكن $a\in {ℝ}^N$ و$T>0$. توجد معطيات ابتدائية $(u_0,v_0)\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\times L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$ يكون من أجلها للنظام (1.1)-(1.2) الحل الوحيد $(u,v)$ المعرف على ${ℝ}^N\times [0,T)$ بحيث

• ينفجر الحل $(u,v)$ في زمن منته $T$ عند النقطة الوحيدة $a$.

• (الملمح التقاربي) يتحقق لكل $t\in [0,T)$ أن

  $${\Vert {(T-t)}^{\alpha }u(x,t)-{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(z)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}+{\Vert {(T-t)}^{\beta }v(x,t)-{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(z)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{C}{\sqrt{(T-t)}},$$ (1.6)

  حيث $z=\frac{x-a}{\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}}$ والملمحان ${\mathrm{\Phi }}_0$ و${\mathrm{\Psi }}_0$ يعطيان صراحة كما يأتي:

  $$\forall z\in {ℝ}^N,{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(z)=\mathrm{\Gamma }{\left(1+b{|z|}^2\right)}^{-\alpha },{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(z)=\gamma {\left(1+b{|z|}^2\right)}^{-\beta },$$ (1.7)

  مع كون $\mathrm{\Gamma },\gamma ,\alpha ,\beta$ معرفا في (1.5)، ومع

  $$b=b(\mu ,p,q)=\frac{(pq-1)(2pq+p+q)}{4pq(p+1)(q+1)(\mu +1)}>0.$$ (1.8)

• (ملمح الانفجار النهائي) لكل $x\ne a$، لدينا $(u(x,t),v(x,t))\to (u^{\ast }(x),v^{\ast }(x))\in {\left[{𝒞}^2\left({ℝ}^N\setminus \{0\}\right)\right]}^2$ مع

  $$u^{\ast }(x)\sim \mathrm{\Gamma }{\left(\frac{b{|x-a|}^2}{2\left|\log |x-a|\right|}\right)}^{-\frac{p+1}{pq-1}},v^{\ast }(x)\sim \gamma {\left(\frac{b{|x-a|}^2}{2\left|\log |x-a|\right|}\right)}^{-\frac{q+1}{pq-1}}$$ (1.9)

  عندما $|x-a|\to 0$.

ملاحظة 1.2.

الملمح التقاربي المعرف في (1.7) مع $\mu =1$ هو أحد الملامح ضمن نتيجة التصنيف المثبتة في [Andreucci et al.(1997)Andreucci, Herrero, and Velázquez] (انظر أيضا [Zaag(2001)]). وهذا يعني أننا نستطيع إنشاء حلول انفجارية من النمط I لـ (1.1)-(1.2) تحقق الملامح التقاربية الأخرى الموصوفة كما في [Andreucci et al.(1997)Andreucci, Herrero, and Velázquez]. غير أن تلك الإنشاءات ستكون أبسط من الحالة التي ندرسها (1.6)، إذ تتضمن تصحيحا لوغاريتميا لمتغير الانفجار.

ملاحظة 1.3.

التقدير (1.9) حاد بالمقارنة مع النتيجة المثبتة في [Mahmoudi et al.(2015)Mahmoudi, Souplet, and Tayachi] (انظر المبرهنة 1.3)، حيث لم يتمكن المؤلفون إلا من الحصول على تقديرات نقطية سفلية من دون التصحيح اللوغاريتمي.

أما بالنسبة إلى النظام (1.1) المقترن باللاخطية (1.3)، فإننا ندرسه في الفضاء التآلفي الخاص ${\mathscr{H}}_{\alpha }$ من أجل ثابتة موجبة ما $\alpha$،

$${\mathscr{H}}_{\alpha }=\left\{(u,v)\in (\overline{\varphi },\overline{\psi })+L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\times L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\text{where}q\overline{\varphi }(x)=p\overline{\psi }(x)=-\ln (1+\alpha {|x|}^2)\right\},$$

ونثبت في [Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag] النتيجة الآتية:

مبرهنة 1.4 (حلول انفجارية من النمط I لـ (1.1)-(1.3) وسلوكها التقاربي، [Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag]).

لتكن $a\in {ℝ}^N$ و$T>0$. توجد معطيات ابتدائية $(u_0,v_0)\in {\mathscr{H}}_{\alpha }$ يكون من أجلها للنظام (1.1)-(1.3) الحل الوحيد $(u,v)$ المعرف على ${ℝ}^N\times [0,T)$ بحيث

• تنفجر الدالة $(e^{qu},e^{pv})$ في زمن منته $T$ عند النقطة الوحيدة $a$.

• (الملمح التقاربي) يتحقق لكل $t\in [0,T)$ أن

  $${\Vert (T-t)e^{qu(x,t)}-{\mathrm{\Phi }}_{\ast }(z)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}+{\Vert (T-t)e^{pv(x,t)}-{\mathrm{\Psi }}_{\ast }(z)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{C}{\sqrt{(T-t)}},$$ (1.10)

  حيث $z=\frac{x-a}{\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}}$ والملمحان ${\mathrm{\Phi }}_{\ast }$ و${\mathrm{\Psi }}_{\ast }$ يعطيان صراحة كما يأتي:

  $$\forall z\in {ℝ}^N,p{\mathrm{\Phi }}_{\ast }(z)=q{\mathrm{\Psi }}_{\ast }(z)=\frac{1}{1+b{|z|}^2}\text{with}b=\frac{1}{2(\mu +1)}.$$ (1.11)

• (ملمح الانفجار النهائي) لكل $x\ne a$، لدينا $(u(x,t),v(x,t))\to (u_{\ast }(x),v_{\ast }(x))\in {\left[{𝒞}^2\left({ℝ}^N\setminus \{0\}\right)\right]}^2$ مع

  $$u_{\ast }(x)\sim \frac{1}{q}\ln \left(\frac{2b}{p}\frac{\left|\log |x-a|\right|}{{|x-a|}^2}\right),v_{\ast }(x)\sim \frac{1}{p}\ln \left(\frac{2b}{q}\frac{\left|\log |x-a|\right|}{{|x-a|}^2}\right)\text{as}|x-a|\to 0.$$ (1.12)

ملاحظة 1.5.

نستطيع إنشاء حلول انفجارية من النمط I لـ (1.1)-(1.3) تحقق ملامح انفجار مختلفة لا تتضمن تصحيحا لوغاريتميا لمتغير الانفجار الموصوف كما في (1.10). وهذا يعني أنه يمكننا الحصول على نتيجة تصنيف مماثلة للحلول الانفجارية من النمط I لـ (1.1)-(1.3) بتكييف تقنية [Andreucci et al.(1997)Andreucci, Herrero, and Velázquez] مع بعض الصعوبات التقنية الإضافية.

يعتمد برهان المبرهنة 1.1 والمبرهنة 1.4 على إجراء من خطوتين:

• اختزال مسألة لا نهائية البعد إلى مسألة منتهية البعد، إما عبر التحليل الطيفي للمؤثر الخطي حول الملمح المتوقع، أو عبر تقدير من نمط الطاقة باشتقاق دالية ليابونوف مناسبة. ونلاحظ أن طريقة نمط الطاقة تنهار في مسألتنا بسبب البنية غير التدرجية للاخطية.

• التحكم في المسألة المنتهية البعد بفضل حجة طوبولوجية كلاسيكية مبنية على نظرية الدليل.

لقد طبق هذا الإجراء ذو الخطوتين بنجاح على معادلات تطور لاخطية متنوعة لإنشاء حلول انفجارية من النمطين I وII. وكان ذلك في حالة معادلة الحرارة شبه الخطية المعالجة في [Bricmont and Kupiainen(1994)]، و[Merle and Zaag(1997)]، و[Nguyen and Zaag(2017)] (انظر أيضا [Nguyen and Zaag(2016)]، و[Duong et al.(2018)Duong, Nguyen, and Zaag] لحالة الاضطرابات اللوغاريتمية، و[Bressan(1990)]، و[Bressan(1992)] و[Ghoul et al.(2017)Ghoul, Nguyen, and Zaag] للمصدر الأسي، و[Nouaili and Zaag(2015)] للحالة ذات القيم العقدية)، ومعادلة Ginzburg-Landau في [Masmoudi and Zaag(2008)]، و[Nouaili and Zaag(2018)] (انظر أيضا [Zaag(1998)] لعمل سابق). كما ظهر في معادلة Schrödinger اللاخطية في حالتي حرج الكتلة [Merle and Raphael(2003), Merle and Raphael(2004), Merle and Raphael(2005a), Merle and Raphael(2005b)] وفوق حرج الكتلة [Merle et al.(2015)Merle, Raphaël, and Rodnianski]؛ ومعادلة الموجة ذات الطاقة الحرجة [Duyckaerts et al.(2013)Duyckaerts, Kenig, and Merle]، و[Hillairet and Raphaël(2012)] وفوق الحرجة [C.(2016b)]؛ ومعادلة gKdV ذات الكتلة الحرجة [Martel et al.(2014)Martel, Merle, and Raphaël, Martel et al.(2015a)Martel, Merle, and Raphaël, Martel et al.(2015b)Martel, Merle, and Raphaël]؛ ونموذج Keller-Segel ثنائي البعد [Raphaël and Schweyer(2014b)]؛ والمعادلات الهندسية ذات الطاقة الحرجة وفوق الحرجة: خرائط الموجة [Raphaël and Rodnianski(2012)] و[Ghoul et al.(2018b)Ghoul, Ibrahim, and Nguyen]، وخرائط Schrödinger [Merle et al.(2013)Merle, Raphaël, and Rodnianski] وتدفق الحرارة التوافقي [Raphaël and Schweyer(2013), Raphaël and Schweyer(2014a)] و[Ghoul et al.(2018a)Ghoul, Ibrahim, and Nguyen]؛ ومعادلة الحرارة شبه الخطية في حالتي الطاقة الحرجة [Schweyer(2012)] وفوق الحرجة [C.(2016a)].

وكنتيجة لتقنيتنا، حصلنا على نتيجة الاستقرار الآتية.

مبرهنة 1.6.

الحلول المنشأة الموصوفة في المبرهنة 1.1 والمبرهنة 1.4 مستقرة بالنسبة إلى المعطيات الابتدائية.

ملاحظة 1.7.

يمكن فهم الفكرة الكامنة وراء نتيجة الاستقرار صوريا من ثبات المسألة تحت انتقال المكان-الزمان وتغيير القياس على النحو الآتي: للمؤثر الخطي حول الملمح المتوقع قيمتان ذاتيتان موجبتان ${\lambda }_0=1,{\lambda }_1=\frac{1}{2}$، وقيمة ذاتية صفرية ${\lambda }_2=0$، ثم طيف سالب متقطع لا نهائي. ومن تحليل استقرار مسائل الانفجار، فإن المركبة الموافقة لـ ${\lambda }_0=1$ لها نمو أسي $e^s$، ويمكن إلغاؤه بتغيير زمن الانفجار؛ وبالمثل بالنسبة إلى النمط ${\lambda }_1=\frac{1}{2}$ عبر إزاحة نقطة الانفجار؛ أما النمط الحيادي ${\lambda }_2=0$ فله عادة نمو كثير حدودي، ويمكن إلغاؤه باستعمال ثبات المسألة تحت تغيير القياس. وبما أن الأنماط المتبقية للمؤثر الخطي، الموافقة للطيف السالب، تضمحل أسيا، فإن المرء يستنتج استقرار الحلول المنشأة الموصوفة في المبرهنة 1.1 والمبرهنة 1.4. ومن نتيجة الاستقرار نتوقع أن ملامح الانفجار (1.7) و(1.11) عامة، أي إن ملامح الانفجار الأخرى غير مستقرة. وفي رأينا، هذه مسألة مفتوحة صعبة أعطى هيريرو-فيلاسكيز [Herrero and Velázquez(1992)] جوابا جزئيا خاصا عليها في حالة معادلة الحرارة شبه الخطية أحادية البعد.

2. حساب صوري لملمح الانفجار.

نستذكر بإيجاز في هذا القسم المقاربات الصورية في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag] لإنشاء ملمح انفجار تقريبي مناسب للنظام (1.1). ويمكن العثور على مقاربات مشابهة في [Tayachi and Zaag(2015), Tayachi and Zaag(2016)]، و[Ghoul et al.(2017)Ghoul, Nguyen, and Zaag]، و[Nouaili and Zaag(2018)] والمراجع الواردة فيها. وتعتمد الطريقة على التوسيعات التقاربية المتطابقة التي ترتكز أساسا على الخواص الطيفية للمؤثر الخطي حول ملمح متوقع.

متغيرات التشابه:

نجري تغيير المتغيرات المعروف

$\mathrm{\Phi }(y,s)={(T-t)}^{\alpha }u(x,t),\mathrm{\Psi }(y,s)={(T-t)}^{\beta }v(x,t)$ $\text{for}(\text{<a class="ltx\_ref ltx\_font\_italic" href="\#S1.E2" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.2</span></a>}),$ (2.1)

$\mathrm{\Phi }(y,s)=(T-t)e^{qu(x,t)},\mathrm{\Psi }(y,s)=(T-t)e^{pv(x,t)}$ $\text{for}(\text{<a class="ltx\_ref ltx\_font\_italic" href="\#S1.E3" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.3</span></a>}),$ (2.2)

حيث أدخلت $\alpha ,\beta$ في (1.5) و

$$y=\frac{x}{\sqrt{T-t}},s=-\log (T-t).$$

وبهذه الطريقة، تحقق $(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi })$ النظام الجديد

for (1.2), (2.5)

$\{\begin{array}{c}{\partial }_s\mathrm{\Phi }={ℒ}_1\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Phi }-{\displaystyle \frac{{|\nabla \mathrm{\Phi }|}^2}{\mathrm{\Phi }}}+q\mathrm{\Phi }\mathrm{\Psi },\hfill \\ {\partial }_s\mathrm{\Psi }={ℒ}_{\mu }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }-\mu {\displaystyle \frac{{|\nabla \mathrm{\Psi }|}^2}{\mathrm{\Psi }}}+p\mathrm{\Phi }\mathrm{\Psi },\hfill \end{array}$ for (1.3), (2.8)

حيث

$${ℒ}_{\eta }f=\eta \mathrm{\Delta }f-\frac{y}{2}\cdot \nabla f=\frac{\eta }{{\rho }_{\eta }}\nabla \cdot \left({\rho }_{\eta }\nabla f\right)\text{with}\eta \in \{1,\mu \},$$ (2.9)

هو المؤثر ذاتي المرافقة بالنسبة إلى فضاء هيلبرت $L_{{\rho }_{\eta }}^2({ℝ}^N,ℝ)$ المجهز بالجداء الداخلي

المسألة الخطية والخواص الطيفية للمؤثر الخطي المرتبط بها:

نلاحظ أن الحلول الثابتة غير الصفرية للنظامين (2.5) و(2.8) هي $(\mathrm{\Gamma },\gamma )$ و$(1/p,1/q)$ على الترتيب. وهذا يقترح التخطية

$$(\overline{\mathrm{\Phi }},\overline{\mathrm{\Psi }})=(\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Psi }-\gamma )\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E2" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.2</span></a>}\text{)}\text{and}(\overline{\mathrm{\Phi }},\overline{\mathrm{\Psi }})=(\mathrm{\Phi }-1/p,\mathrm{\Psi }-1/q)\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E3" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.3</span></a>}\text{)},$$ (2.10)

حيث تحل $(\overline{\mathrm{\Phi }},\overline{\mathrm{\Psi }})$ النظام

$$i=1,2,{\partial }_s\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\overline{\mathrm{\Phi }}}{\overline{\mathrm{\Psi }}}\right)=\left(\mathscr{H}+M{c}_i\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\overline{\mathrm{\Phi }}}{\overline{\mathrm{\Psi }}}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{Q_{i,1}}{Q_{i,2}}\right),$$ (2.11)

حيث ترمز $i=1$ إلى اللاخطية كثيرة الحدود (1.2)، وترمز $i=2$ إلى الحالة الأسية (1.3)؛ كما تبنى $Q_{i,1}$ و$Q_{i,2}$ لتكونا تربيعيتين، ويعرف المؤثر الخطي $\mathscr{H}$ والمصفوفات $M{c}_i$ كما يأتي:

(2.12)

تعطي اللمّة الآتية الخواص الطيفية لـ $\mathscr{H}+M{c}_i$.

لمّة 2.1 (قطرنة $\mathscr{H}+M{c}_i$).

لكل $n\in \mathbb{N}$، توجد كثيرتا حدود $f_n,g_n,{\tilde{f}}_n$ و${\tilde{g}}_n$ من الدرجة $n$ بحيث

$$\left(\mathscr{H}+M{c}_i\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_n}{g_n}\right)=\left(1-\frac{n}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_n}{g_n}\right),\left(\mathscr{H}+M{c}_i\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\tilde{f}}_n}{{\tilde{g}}_n}\right)={\lambda }_{i,n}^{-}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\tilde{f}}_n}{{\tilde{g}}_n}\right),$$ (2.13)

حيث

$${\lambda }_{1,n}^{-}=-\left(\frac{n}{2}+\frac{(p+1)(q+1)}{pq-1}\right),{\lambda }_{2,n}^{-}=-\left(1+\frac{n}{2}\right).$$

Proof.

انظر اللمّة 3.2 في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag] للحالة كثيرة الحدود (1.2)، واللمّة 2.2 في [Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag] للحالة الأسية (1.3). وندعو القارئ إلى الاطلاع على الصيغ الدقيقة للدوال الذاتية، وكذلك على تعريف مناسب للإسقاط وفق هذه الأنماط الذاتية في هذين البحثين. ∎

التوسع الداخلي:

من اللمّة 2.1، نعلم أن ${\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_n}{g_n}\right)}_{n\ge 3}$ و${\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\tilde{f}}_n}{{\tilde{g}}_n}\right)}_{n\ge 0}$ توافقان قيما ذاتية سالبة لـ $\mathscr{H}+M{c}_i$؛ لذلك يمكننا، تحت فرضية التناظر الشعاعي للحل، اعتبار التوسع الصوري الآتي:

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\overline{\mathrm{\Phi }}}{\overline{\mathrm{\Psi }}}\right)(y,s)=a_0(s)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_0}{g_0}\right)(y)+a_2(s)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_2}{g_2}\right),$$ (2.14)

حيث $|a_0(s)|+|a_2(s)|\to 0$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$. وبإدخال هذه الفرضية الشكلية في (2.11) ثم الإسقاط على $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_k}{g_k}\right),k=0,2$ نحصل على النظام التفاضلي العادي

(2.15)

حيث

$$c_{\ast }=\frac{2pq+p+q}{4pq(p+1)(q+1)(\mu +1)}\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E2" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.2</span></a>}\text{)}\text{and}{c}_{\ast }=2pq(\mu +1)\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S1.E3" title="In 1. المقدمة. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">1.3</span></a>}\text{)}.$$

وبافتراض أن $|a_0(s)|=o(|a_2(s)|)$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، نحصل على

$$a_2(s)=-\frac{1}{c_{\ast }s}+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)\text{and}|a_0(s)|=𝒪\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

ومن (2.14)، و(2.10) وتعريف الدالة الذاتية $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_2}{g_2}\right)$، ننتهي إلى السلوك التقاربي

for (2.5), (2.18)

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(y,s)=\frac{1}{p}\left[1-\frac{pq}{c_{\ast }}\frac{{|y|}^2}{s}+\frac{2\mu pq}{c_{\ast }s}\right]+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right),\hfill \\ \mathrm{\Psi }(y,s)=\frac{1}{q}\left[1-\frac{pq}{c_{\ast }}\frac{|y^2|}{s}+\frac{2pq}{c_{\ast }s}\right]+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right),\hfill \end{array}$ for (2.8), (2.21)

حيث يحدث التقارب في $L_{{\rho }_1}^2({ℝ}^N)\times L_{{\rho }_{\mu }}^2({ℝ}^N)$ وكذلك بانتظام على المجموعات المتراصة بفعل الانتظام القطع المكافئ القياسي.

التوسع الخارجي:

توفر التوسعات التقاربية أعلاه متغير انفجار ملائما

$$z=\frac{y}{\sqrt{s}}=\frac{x}{\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}}.$$

ثم نحاول البحث عن حل تقريبي لـ (2.5) (على الترتيب (2.8)) من الشكل

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Psi }}\right)(y,s)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{\Phi }}_0}{{\mathrm{\Psi }}_0}\right)(z)+\frac{1}{s}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{\Phi }}_1}{{\mathrm{\Phi }}_1}\right)(z)+\mathrm{\cdots },$$ (2.22)

وبإدخال هذه الفرضية الشكلية في (2.5) (على الترتيب (2.8)) نحصل على النظام من الرتبة الرئيسية

$-{\displaystyle \frac{z}{2}}{\mathrm{\Phi }}_0^{\prime }-\alpha {\mathrm{\Phi }}_0+{\mathrm{\Phi }}_0^p=0,-{\displaystyle \frac{z}{2}}{\mathrm{\Psi }}_0^{\prime }-\beta {\mathrm{\Psi }}_0+{\mathrm{\Psi }}_0^q=0,$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E5" title="In متغيرات التشابه: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.5</span></a>}\text{)},$ (2.23)

$-{\displaystyle \frac{z}{2}}{\mathrm{\Phi }}_0^{\prime }-{\mathrm{\Phi }}_0+q{\mathrm{\Phi }}_0{\mathrm{\Psi }}_0=0,-{\displaystyle \frac{z}{2}}{\mathrm{\Psi }}_0^{\prime }-{\mathrm{\Psi }}_0+p{\mathrm{\Phi }}_0{\mathrm{\Psi }}_0=0,$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E8" title="In متغيرات التشابه: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.8</span></a>}\text{)},$ (2.24)

خاضعا للشرط الابتدائي

$$({\mathrm{\Phi }}_0,{\mathrm{\Psi }}_0)(0)=(\mathrm{\Gamma },\gamma )\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E18" title="In التوسع الداخلي: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.18</span></a>}\text{)}\text{and}({\mathrm{\Phi }}_0,{\mathrm{\Psi }}_0)(0)=(1/p,1/q)\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E21" title="In التوسع الداخلي: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.21</span></a>}\text{)}.$$

وتعطى حلول هذا النظام صراحة بواسطة

${\mathrm{\Phi }}_0(z)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }}{{(1+b{|z|}^2)}^{\alpha }}},{\mathrm{\Psi }}_0(z)={\displaystyle \frac{\gamma }{{(1+b{|z|}^2)}^{\beta }}}$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E23" title="In التوسع الخارجي: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.23</span></a>}\text{)},$ (2.25)

${\mathrm{\Phi }}_0(z)={\displaystyle \frac{1}{p(1+b{|z|}^2)}},{\mathrm{\Psi }}_0(z)={\displaystyle \frac{1}{q(1+b{|z|}^2)}}$ $\text{for (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E24" title="In التوسع الخارجي: ‣ 2. حساب صوري لملمح الانفجار. ‣ إنشاء واستقرار حلول انفجارية من النمط I لأنظمة قطع مكافئة شبه خطية غير تغايرية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.24</span></a>}\text{)},$ (2.26)

حيث $b>0$ ثابت تكامل. وبمطابقة التوسعات التقاربية (2.25) مع (2.18)، و(2.26) مع (2.21)، نحصل بدقة على قيمة الثابت $b$ كما ورد في المبرهنتين 1.1 و1.4 على الترتيب.

وخلاصة القول أننا اشتققنا صوريا ملمح الانفجار التقريبي الآتي:

for (2.5), (2.29)

for (2.8). (2.32)

3. برهان الوجود من دون تفاصيل تقنية.

نعرض الحجج الرئيسية كلها لبرهان الوجود من دون تفاصيل تقنية، ونحيل القارئ المهتم بشأنها إلى بحثينا [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag]. نعالج أولا الحالة كثيرة الحدود (1.2)، أي برهان المبرهنة 1.1، ثم الحالة الأسية (1.3)، أي برهان المبرهنة 1.4، وهي أدق بسبب وجود الحدين $\frac{{|\nabla \mathrm{\Phi }|}^2}{\mathrm{\Phi }}$ و$\frac{{|\nabla \mathrm{\Psi }|}^2}{\mathrm{\Psi }}$ في صياغة متغيرات التشابه (انظر (2.8)).

3.1. الحالة كثيرة الحدود (1.2).

يكرس هذا القسم الفرعي لبرهان الجزء $(ii)$ من المبرهنة 1.1. والجزآن $(i)$ و$(iii)$ نتيجتان للجزء $(ii)$. ويمكن للقارئ أن يجد جميع تفاصيل البرهان في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag].

صياغة المسألة:

بالنظر إلى متغيرات التشابه (2.1)، نرى أن إنشاء حلول انفجارية لـ (1.1) المقترنة بـ (1.2) وتحقق السلوك التقاربي (1.6) يكافئ، من أجل (2.5)، إنشاء حل عام في الزمن $(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi })$ بحيث

$$\underset{y\in {ℝ}^N}{sup}\left(\left|\mathrm{\Phi }(y,s)-{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(y/\sqrt{s})\right|+\left|\mathrm{\Psi }(y,s)-{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(y/\sqrt{s})\right|\right)\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (3.1)

حيث ${\mathrm{\Phi }}^{\ast }$ و${\mathrm{\Psi }}^{\ast }$ هما الملمحان المعرفان في المبرهنة 1.1. وانطلاقا من الحساب الصوري لملمح انفجار تقريبي المعروض في القسم السابق، نقوم بتخطية (2.5) حول $(\phi ,\psi )$ المعرف في (2.29) بدلا من $({\mathrm{\Phi }}^{\ast },{\mathrm{\Psi }}^{\ast })$، أي إننا ندخل

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Psi }}\right)-\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\phi }{\psi }\right),$$ (3.2)

مما يؤدي إلى النظام الخطي

$${\partial }_s\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)=\left(\mathscr{H}+M{c}_1+V(y,s)\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{F_1(\mathrm{{\rm Y}},y,s)}{F_2(\mathrm{\Lambda },y,s)}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{R_1(y,s)}{R_2(y,s)}\right),$$ (3.3)

حيث تعرف $\mathscr{H}$ و$M{c}_1$ في (2.12)،

(3.4)

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{F_1(\mathrm{{\rm Y}},y,s)}{F_2(\mathrm{\Lambda },y,s)}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{|\mathrm{{\rm Y}}+\psi |}^{p-1}(\mathrm{{\rm Y}}+\psi )-{\psi }^p-p{\psi }^{p-1}\mathrm{{\rm Y}}}{{|\mathrm{\Lambda }+\phi |}^{q-1}(\mathrm{\Lambda }+\phi )-{\phi }^q-q{\phi }^{q-1}\mathrm{\Lambda }}\right),$$ (3.5)

و

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{R_1(y,s)}{R_2(y,s)}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-{\partial }_s\phi +\mathrm{\Delta }\phi -\frac{1}{2}y\cdot \nabla \phi -\left(\frac{p+1}{pq-1}\right)\phi +{\psi }^p}{-{\partial }_s\psi +\mu \mathrm{\Delta }\psi -\frac{1}{2}y\cdot \nabla \psi -\left(\frac{q+1}{pq-1}\right)\psi +{\phi }^q}\right).$$ (3.6)

ويصبح هدفنا إنشاء، للنظام (3.3)، حل عام في الزمن $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})$ يحقق

$$\underset{y\in {ℝ}^N}{sup}\left(\left|\mathrm{\Lambda }(y,s)\right|+\left|\mathrm{{\rm Y}}(y,s)\right|\right)\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (3.7)

وبما أن الحل $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})$ يؤول إلى الصفر عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، وأن الحد اللاخطي $(F_1,F_2)$ بني ليكون تربيعيا وأن حد الخطأ $(R_1,R_2)$ من الحجم $s^{-1}$، نرى أن ديناميات (3.3) تتأثر بقوة بالجزء الخطي $\mathscr{H}+M{c}_1+V$. وهنا يتصرف الكمون $V$ على نحو مختلف كما يأتي:
- المنطقة الخارجية، أي $|y|\gtrsim \sqrt{s}$: لكل $ϵ>0$، يوجد $K_{ϵ}>0$ و$s_{ϵ}>0$ بحيث

$$\underset{|y|\ge K_{ϵ}\sqrt{s},s\ge s_{ϵ}}{sup}|V(y,s)|\le ϵ.$$

من اللمّة 2.1، نرى أن المؤثر الخطي $\mathscr{H}+M{c}_1+V$ يتصرف كمؤثر ذي طيف سالب تماما في المنطقة الخارجية، مما يجعل التحليل في هذه المنطقة أبسط.
- المنطقة الداخلية، أي $|y|\lesssim \sqrt{s}$: يعد الكمون $V$ اضطرابا للجزء الخطي $\mathscr{H}+M{c}_1$.

وبما أن سلوك $V$ في المنطقتين الداخلية والخارجية مختلف، فهذا يقترح النظر في ديناميات (3.3) من أجل $|y|\lesssim \sqrt{s}$ و$|y|\gtrsim \sqrt{s}$ على حدة. ولهذه الغاية، ندخل دالة القطع

(3.8)

حيث $K$ ثابت موجب سيختار كبيرا بما يكفي. ثم نعرف

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{\Lambda }}_e}{{\mathrm{{\rm Y}}}_e}\right)=\left(1-\chi (y,s)\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$$ (3.9)

ونعتبر التفكيك

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)(y,s)=\sum _{n\le M}\left[{\theta }_n(s)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_n}{g_n}\right)+{\tilde{\theta }}_n\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\tilde{f}}_n}{{\tilde{g}}_n}\right)\right]+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{\Lambda }}_{-}}{{\mathrm{{\rm Y}}}_{-}}\right)(y,s),$$ (3.10)

حيث ${\theta }_n={\mathrm{\Pi }}_n\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$ و${\tilde{\theta }}_n={\tilde{\mathrm{\Pi }}}_n\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$ مع كون ${\mathrm{\Pi }}_n$ و${\tilde{\mathrm{\Pi }}}_n$ الإسقاطين على النمطين $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_n}{g_n}\right)$ و$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\tilde{f}}_n}{{\tilde{g}}_n}\right)$ على الترتيب، ويسمى $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{{\mathrm{\Lambda }}_{-}}{{\mathrm{{\rm Y}}}_{-}}\right)={\mathrm{\Pi }}_{-,M}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$ الجزء اللا نهائي البعد، مع كون ${\mathrm{\Pi }}_{-,M}$ المسقط على الفضاء الذاتي الجزئي الموافق لطيف $\mathscr{H}$ الأدنى من $\frac{1-M}{2}$. ونلاحظ أن التفكيك 3.10 وحيد.

تحضير المعطيات الابتدائية وتعريف المجموعة المتقلصة:

بالنظر إلى $A>1$ و$s_0\ge e$، نعتبر المعطيات الابتدائية للنظام (3.3) من الشكل

$${\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)}_{A,s_0,d_0,d_1}(y)=\frac{A}{s_0^2}\left[d_0\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_0}{g_0}\right)+d_1\cdot \left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_1}{g_1}\right)\right]\chi (y,s_0),$$ (3.11)

حيث $d_0\in ℝ$ و$d_1\in {ℝ}^N$ معلمتان للمسألة. وهدفنا أن نبين أنه من أجل ثابت كبير مثبت $A$، ثم يثبت $s_0=s_0(A)$ كبيرا أيضا، توجد $(d_0,d_1)\in {ℝ}^{1+N}$ بحيث إن النظام (3.3) ذا المعطيات الابتدائية عند $s=s_0$ المعطاة بـ (3.11) له الحل الوحيد $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})$ الذي يحقق (3.7). وبصورة أدق، سنبرهن أن الحل $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})$ ينتمي إلى المجموعة المتقلصة الآتية:

تعريف 3.1 (تعريف مجموعة متقلصة).

لكل $A\ge 1$ و$s\ge e$، نعرف ${𝒱}_A(s)$ على أنها مجموعة كل $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\times L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$ بحيث

$$|{\theta }_0(s)|\le \frac{A}{s^2},|{\theta }_1(s)|\le \frac{A}{s^2},|{\theta }_2(s)|\le \frac{A^4\log s}{s^2},$$

$$|{\theta }_j(s)|\le \frac{A^j}{s^{\frac{j+1}{2}}},|{\tilde{\theta }}_j(s)|\le \frac{A^j}{s^{\frac{j+1}{2}}}\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}3}\le j\le M,|{\tilde{\theta }}_i(s)|\le \frac{A^2}{s^2}\text{for}i=0,1,2,$$

$${\Vert \frac{{\mathrm{\Lambda }}_{-}(y,s)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{A^{M+1}}{s^{\frac{M+2}{2}}},{\Vert \frac{{\mathrm{{\rm Y}}}_{-}(y,s)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{A^{M+1}}{s^{\frac{M+2}{2}}},$$

$${\Vert {\mathrm{\Lambda }}_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{A^{M+2}}{\sqrt{s}},{\Vert {\mathrm{{\rm Y}}}_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\le \frac{A^{M+2}}{\sqrt{s}},$$

حيث تعرف ${\mathrm{\Lambda }}_e,{\mathrm{{\rm Y}}}_e$ بواسطة (3.9)، وتعرف ${\mathrm{\Lambda }}_{-},{\mathrm{{\rm Y}}}_{-}$، و${\theta }_n$، و${\tilde{\theta }}_n$ كما في التفكيك (3.10).

ملاحظة 3.2.

يمكننا التحقق من أنه إذا كان $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)\in {𝒱}_A(s)$ من أجل $s\ge e$، فعندئذ

$${\Vert \mathrm{\Lambda }(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+{\Vert \mathrm{{\rm Y}}(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le \frac{C{A}^{M+2}}{\sqrt{s}},$$ (3.12)

من أجل ثابت موجب ما $C$، ومن ثم يثبت التقدير (3.7).

فيما يأتي نتأكد من أن المعطيات الابتدائية (3.11) تنتمي إلى ${𝒱}_A(s_0)$.

قضية 3.3 (خواص المعطيات الابتدائية (3.11)).

لكل $A\gg 1$، توجد $s_0(A)\gg 1$ ومتوازي مستطيلات ${𝒟}_{s_0}\subset {[-A,A]}^{1+N}$ بحيث تتحقق الخواص الآتية لكل $(d_0,d_1)\in {𝒟}_{s_0}$:

• تنتمي المعطيات الابتدائية (3.11) إلى ${𝒱}_A(s_0)$ مع متراجحات صارمة، باستثناء تقديري ${\theta }_0(s_0)$ و${\theta }_1(s_0)$.

• التطبيق $\mathrm{\Theta }:{𝒟}_{s_0}\to {ℝ}^{1+N}$، المعرف بـ $\mathrm{\Theta }(d_0,d_1)=({\theta }_0(s_0),{\theta }_1(s_0))$، خطي وواحد لواحد من ${𝒟}_{s_0}$ إلى ${[-A{s}_0^{-2},A{s}_0^{-2}]}^{1+N}$، ويرسل $\partial {𝒟}_{s_0}$ إلى $\partial \left({[-A{s}_0^{-2},A{s}_0^{-2}]}^{1+N}\right)$. إضافة إلى ذلك، فإن درجة $\mathrm{\Theta }$ على الحد مختلفة عن الصفر.

Proof.

انظر القضية 3.3 في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag]. ∎

وجود حل لـ (3.3) محصور في ${𝒱}_A(s)$:

من الملاحظة 3.2، نهدف إلى إثبات الآتي.

قضية 3.4 (وجود حل لـ (3.3) محصور في ${𝒱}_A(s)$).

يوجد $A_1$ بحيث إنه لكل $A\ge A_1$، يوجد $s_{0,1}(A)$ بحيث إنه لكل $s_0\ge s_{0,1}$، يوجد $(d_0,d_1)$ بحيث إذا كان $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$ هو حل (3.3) بالمعطيات الابتدائية عند $s_0$ المعطاة بـ (3.11)، فعندئذ $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s)}{\mathrm{{\rm Y}}(s)}\right)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\ge s_0$.

Proof.

من أجل ثابت مثبت $A\gg 1$ و$s_0(A)\gg 1$، نلاحظ من مسألة كوشي المحلية للنظام (1.1)-(1.2) في $L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\times L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$ أن لكل معطيات ابتدائية (3.11)، يملك النظام (3.3) حلا وحيدا يبقى في ${𝒱}_A(s)$ حتى زمن أعظمي ما $s_{\ast }=s_{\ast }(d_0,d_1)$. فإذا كان $s_{\ast }(d_0,d_1)=+\mathrm{\infty }$ من أجل $(d_0,d_1)\in {𝒟}_{s_0}$ ما، اكتمل البرهان. وإلا فإننا نبرهن بالخلف ونفترض أن لأي $(d_0,d_1)\in {𝒟}_{s_0}$. وبالاستمرارية وتعريف $s_{\ast }$، نلاحظ أن الحل عند الزمن $s_{\ast }$ يقع على حد ${𝒱}_A(s_{\ast })$. ومن ثم، تكون واحدة على الأقل من المتراجحات في تعريف ${𝒱}_A(s_{\ast })$ مساواة. وفي القضية الآتية، نبين أن هذا لا يمكن أن يحدث إلا للمركبتين ${\theta }_0(s_{\ast })$ و${\theta }_1(s_{\ast })$.

قضية 3.5 (الاختزال إلى مسألة منتهية البعد).

افترض أن $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)$ حل لـ (3.3) بالمعطيات الابتدائية عند $s=s_0$ المعطاة بـ (3.11) مع $(d_0,d_1)\in {𝒟}_{s_0}$، وأن $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s)}{\mathrm{{\rm Y}}(s)}\right)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\in [s_0,s_1]$ من أجل بعض $s_1\ge s_0$ و$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s_1)}{\mathrm{{\rm Y}}(s_1)}\right)\in \partial {𝒱}_A(s_1)$. عندئذ

• $({\theta }_0(s_1),{\theta }_1(s_1))\in \partial {\left([-\frac{A}{s_1^2},\frac{A}{s_1^2}]\right)}^{1+N}$.

• يوجد ${\nu }_0>0$ بحيث

  $$\forall \nu \in (0,{\nu }_0),\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s_1+\nu )}{\mathrm{{\rm Y}}(s_1+\nu )}\right)\notin {𝒱}_A(s_1+\nu ).$$

Proof.

برهان القضية 3.5 نتيجة مباشرة لديناميات النظام (3.3). والفكرة هي إسقاط النظام (3.3) على المركبات المختلفة للتفكيكين (3.10) و(3.9). ولجميع تفاصيل البرهان، انظر القسم 5.2 في [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag]. ∎

من الجزء $(i)$ من القضية 3.5، نرى أن

$$({\theta }_0(s_{\ast }),{\theta }_1(s_{\ast }))\in \partial {\left([-\frac{A}{s_{\ast }^2},\frac{A}{s_{\ast }^2}]\right)}^{1+N}.$$

ومن ثم، يمكننا تعريف التدفق المعاد قياسه $\mathrm{\Theta }$ عند $s=s_{\ast }$ كما يأتي:

$\mathrm{\Theta }:{𝒟}_{s_0}$ $\to \partial \left({[-1,1]}^{1+N}\right)$

$(d_0,d_1)$ $\mapsto {\displaystyle \frac{s_{\ast }^2}{A}}{({\theta }_0,{\theta }_1)}_{d_0,d_1}(s_{\ast }),$

وهو مستمر بفضل الجزء $(ii)$ من القضية 3.5. ومن جهة أخرى، من القضية 3.3، لدينا متراجحات صارمة للمركبات الأخرى من أجل $(d_0,d_1)\in \partial {𝒟}_{s_0}$. وبتطبيق الجزء $(ii)$ من القضية 3.5، نرى أن $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s)}{\mathrm{{\rm Y}}(s)}\right)$ لا بد أن يغادر ${𝒱}_A(s)$ عند $s=s_0$، ومن ثم $s_{\ast }(d_0,d_1)=s_0$. وباستحضار الجزء $(ii)$ من القضية 3.3، فإن درجة $\mathrm{\Theta }$ على الحد مختلفة عن الصفر. ثم ينتج تناقض من نظرية الدليل. وهذا يثبت أنه لا بد من وجود $(d_0,d_1)\in {𝒟}_{s_0}$ بحيث لكل $s\ge s_0$، $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s)}{\mathrm{{\rm Y}}(s)}\right)\in {𝒱}_A(s)$. وبهذا يكتمل برهان القضية 3.4 وكذلك الجزء $(ii)$ من المبرهنة 1.1. ∎

تكافؤ ملمح الانفجار النهائي:

نعرض الحجة الرئيسية لبرهان الجزء $(iii)$ من المبرهنة 1.1. ولكل $x_0\ne 0$ مع $|x_0|\ll 1$، ندخل لكل $(\xi ,\tau )\in ℝ\times [-\frac{t_0(x_0)}{T-t_0(x_0)},1)$ الدوال المساعدة

$$g(x_0,\xi ,\tau )={(T-t_0(x_0))}^{\alpha }u(x,t),h(x_0,\xi ,\tau )={(T-t_0(x_0))}^{\beta }v(x,t),$$

حيث

$$x=x_0+\xi \sqrt{T-t_0(x_0)},t=t_0(x_0)+\tau (T-t_0(x_0)),$$ (3.13)

و$t_0(x_0)$ يحدد وحيدا بواسطة

$$|x_0|=K\sqrt{(T-t_0(x_0))|\log (T-t_0(x_0))|}\text{for a fixed constant }K\gg 1\text{.}$$ (3.14)

ومن ثبات النظام (1.1)-(1.2) تحت تغيير القياس، تحقق $(g(x_0,\xi ,\tau ),h(x_0,\xi ,\tau ))$ أيضا (1.1)-(1.2). ومن (3.13)، و(3.13) والسلوك التقاربي (1.6)، لدينا

$$\underset{|\xi |\le 2{|\log (T-t_0(x_0))|}^{1/4}}{sup}\left|g(x_0,\xi ,0)-{\mathrm{\Phi }}^{\ast }(K)\right|\le \frac{C}{{|\log (T-t_0(x_0))|}^{1/4}}\to 0,$$

و

$$\underset{|\xi |\le 2{|\log (T-t_0(x_0))|}^{1/4}}{sup}\left|h(x_0,\xi ,0)-{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(K)\right|\le \frac{C}{{|\log (T-t_0(x_0))|}^{1/4}}\to 0,$$

عندما $|x_0|\to 0$. ومن الاستمرارية بالنسبة إلى المعطيات الابتدائية للنظام (1.1)-(1.2)، المقترنة بتموضع مكاني في الكرة ، يمكننا أن نبين أن

و

عندما $x_0\to 0$، حيث

$${\widehat{g}}_K(\tau )=\mathrm{\Gamma }{(1-\tau +b{K}^2)}^{-\alpha },{\widehat{h}}_K(\tau )=\gamma {(1-\tau +b{K}^2)}^{-\beta },$$

هو حل النظام (1.1)-(1.2) بالمعطيات الابتدائية الثابتة $({\mathrm{\Phi }}^{\ast }(K),{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(K))$.

وبأخذ $\tau \to 1$ واستعمال (3.13) نحصل على

$u^{\ast }(x_0)$ $=\underset{t\to T}{lim}u(x,t)={(T-t_0(x_0))}^{-\alpha }\underset{\tau \to 1}{lim}g(x_0,0,\tau )\sim {(T-t_0(x_0))}^{-\alpha }{\widehat{g}}_K(1),$

$v^{\ast }(x_0)$ $=\underset{t\to T}{lim}v(x,t)={(T-t_0(x_0))}^{-\beta }\underset{\tau \to 1}{lim}h(x_0,0,\tau )\sim {(T-t_0(x_0))}^{-\beta }{\widehat{h}}_K(1),$

عندما $|x_0|\to 0$. وباستعمال العلاقة (3.14)، نحصل على

$$|\log (T-t_0(x_0))|\sim 2\log |x_0|,T-t_0(x_0)\sim \frac{{|x_0|}^2}{2K^2|\log |x_0||}\text{as}|x_0|\to 0,$$

ومن ثم

$$u^{\ast }(x_0)\sim \mathrm{\Gamma }{\left(\frac{b{|x_0|}^2}{2|\log |x_0||}\right)}^{-\alpha },v^{\ast }(x_0)\sim \gamma {\left(\frac{b{|x_0|}^2}{2|\log |x_0||}\right)}^{-\beta },$$

عندما $|x_0|\to 0$. وهذا يختتم برهان الجزء $(iii)$ من المبرهنة 1.1. ونلاحظ أن الجزء $(iii)$ يعطي مباشرة الانفجار عند نقطة وحيدة، وهو خلاصة الجزء $(i)$. وبهذا يكتمل برهان المبرهنة 1.1. أما برهان المبرهنة 1.4، فنحيل إلى [Ghoul et al.(2018c)Ghoul, Nguyen, and Zaag].

3.2. الحالة الأسية (1.3).

في هذا القسم سنوجز تلك التنويعات على الحجج السابقة المطلوبة لبرهان المبرهنة 1.4. ويمكن العثور على جميع تفاصيل البرهان في [Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag]. والفرق الرئيسي بين الحالتين هو وجود حدي التدرج اللاخطيين $\frac{{|\nabla \mathrm{\Phi }|}^2}{\mathrm{\Phi }}$ و$\frac{{|\nabla \mathrm{\Psi }|}^2}{\mathrm{\Psi }}$ في (2.8) بعد إجراء تغيير المتغيرات (2.2). وبالنظر إلى الملمح التقريبي (2.32)، فإن التحكم في هذين الحدين دقيق، ولا سيما عندما يؤول الحل إلى الصفر في المنطقة المتوسطة. ولمعالجتهما، ندخل تحكما دقيقا جدا في الحل داخل مجموعة متقلصة ذات 3 طبقات، معرفة كما يأتي: من أجل $K_0>0$، و${ϵ}_0>0$ و$t\in [0,T)$، نضع

${𝒟}_1(t)$ $=\left\{x\right||x|\le K_0\sqrt{|\ln (T-t)|(T-t)}\}$

$\equiv \left\{x\right||y|\le K_0\sqrt{s}\}\equiv \left\{x\right||z|\le K_0\},$

${𝒟}_2(t)$ $=\left\{x\right|{\displaystyle \frac{K_0}{4}}\sqrt{|\ln (T-t)|(T-t)}\le |x|\le {ϵ}_0\}$

$\equiv \left\{x\right|{\displaystyle \frac{K_0}{4}}\sqrt{s}\le |y|\le {ϵ}_0{e}^{\frac{s}{2}}\}\equiv \left\{x\right|{\displaystyle \frac{K_0}{4}}\le |z|\le {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{\sqrt{s}}}{e}^{\frac{s}{2}}\},$

${𝒟}_3(t)$ $=\left\{x\right||x|\ge {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{4}}\}\equiv \left\{x\right||y|\ge {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{4}}{e}^{\frac{s}{2}}\}\equiv \left\{x\right||z|\ge {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{4\sqrt{s}}}{e}^{\frac{s}{2}}\}.$

- في منطقة الانفجار ${𝒟}_1$، نخطّي (2.21) حول الملمح التقريبي (2.32)، أي إن $(\mathrm{\Lambda },\mathrm{{\rm Y}})=(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi })-(\phi ,\psi )$ يحل النظام

$${\partial }_s\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)=\left(\mathscr{H}+M{c}_2+V(y,s)\right)\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }}{\mathrm{{\rm Y}}}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{q}{p}\right)\mathrm{\Lambda }\mathrm{{\rm Y}}+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{R_1}{R_2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{G_1}{G_2}\right),$$ (3.15)

حيث تعرف $\mathscr{H}$ و$M{c}_2$ بواسطة (2.12)،

(3.16)

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{G_1}{G_2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-{|\nabla (\mathrm{\Lambda }+\varphi )|}^2{(\mathrm{\Lambda }+\varphi )}^{-1}+{|\nabla \varphi |}^2{\varphi }^{-1}}{-\mu {|\nabla (\mathrm{{\rm Y}}+\psi )|}^2{(\mathrm{{\rm Y}}+\psi )}^{-1}+\mu {|\nabla \psi |}^2{\psi }^{-1}}\right),$$ (3.17)

و

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{R_1}{R_2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{-{\partial }_s\varphi +\mathrm{\Delta }\varphi -\frac{1}{2}y\cdot \nabla \varphi -\varphi +q\varphi \psi -{|\nabla \varphi |}^2{\varphi }^{-1}}{-{\partial }_s\psi +\mu \mathrm{\Delta }\psi -\frac{1}{2}y\cdot \nabla \psi -\psi +p\varphi \psi -\mu {|\nabla \psi |}^2{\psi }^{-1}}\right).$$ (3.18)

والتحليل مشابه للحالة كثيرة الحدود وفق التفكيك (3.10) والتعريف (3.9).

- في المنطقة المتوسطة ${𝒟}_2$، نتحكم في $(u,v)$ بإدخال الدوال المساعدة الآتية $(\tilde{u},\tilde{v})$ المعرفة من أجل $x\ne 0$،

$$\{\begin{array}{c}\tilde{u}(x,\xi ,\tau )=\frac{1}{q}\ln \sigma (x)+u(x+\xi \sqrt{\sigma (x)},t(x)+\tau \sigma (x)),\hfill \\ \tilde{v}(x,\xi ,\tau )=\frac{1}{p}\ln \sigma (x)+v(x+\xi \sqrt{\sigma (x)},t(x)+\tau \sigma (x)),\hfill \end{array}$$ (3.19)

حيث يعرف $t(x)$ وحيدا من أجل $|x|$ صغير بما يكفي بواسطة

$$|x|=\frac{K_0}{4}\sqrt{\sigma (x)|\ln \sigma (x)|}\text{with}\sigma (x)=T-t(x).$$ (3.20)

وبثبات المسألة تحت تغيير القياس، نرى أن $(\tilde{u},\tilde{v})$ تحقق أيضا النظام (1.1)-(1.3). ونثبت أن $(\tilde{u},\tilde{v})$ تتصرف من أجل

$$|\xi |\le {\alpha }_0\sqrt{|\ln \sigma (x)|}\text{and}\tau \in [\frac{t_0-t(x)}{\sigma (x)},1)$$

من أجل بعض و${\alpha }_0>0$، مثل حل النظام التفاضلي العادي

$${\partial }_{\tau }\widehat{u}=e^{p\widehat{v}},{\partial }_{\tau }\widehat{v}=e^{q\widehat{u}},$$ (3.21)

الخاضع للمعطيات الابتدائية

$$\widehat{u}(0)=-\frac{1}{q}\ln \left[p\left(1+\frac{K_0^2/16}{2(\mu +1)}\right)\right],\widehat{v}(0)=-\frac{1}{p}\ln \left[q\left(1+\frac{K_0^2/16}{2(\mu +1)}\right)\right].$$

ويعطى الحل الصريح بواسطة

$$\widehat{u}(\tau )=-\frac{1}{q}\ln \left[p\left(1-\tau +\frac{K_0^2/16}{2(\mu +1)}\right)\right],\widehat{v}(\tau )=-\frac{1}{p}\ln \left[q\left(1-\tau +\frac{K_0^2/16}{2(\mu +1)}\right)\right].$$ (3.22)

والتحليل في ${𝒟}_2$ يعطي مباشرة خلاصة الجزء $(iii)$ من المبرهنة 1.4.

- في ${𝒟}_3$، نتحكم مباشرة في $(u,v)$ باستعمال سلامة الطرح المحلية في الزمن لمسألة كوشي للنظام (1.1).

تعريف المجموعة المتقلصة الآتي لحصر الحل هو الفرق الجوهري بالمقارنة مع برهان الوجود في الحالة كثيرة الحدود.

تعريف 3.6 (تعريف مجموعة متقلصة).

لكل ، و$K_0>0$، و${ϵ}_0>0$، و${\alpha }_0>0$، و$A>0$، و${\delta }_0>0$، و${\eta }_0>0$، و$C_0>0$، ولكل $t\in [t_0,T)$، نعرف $𝒮(t_0,K_0,{ϵ}_0,{\alpha }_0,A,{\delta }_0,{\eta }_0,C_0,t)$ بأنها مجموعة كل الدوال $(u,v)$ بحيث

• (التحكم في ${𝒟}_1$) $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{\mathrm{\Lambda }(s)}{\mathrm{{\rm Y}}(s)}\right)\in {𝒱}_A(s)$، حيث أدخلت ${𝒱}_A(s)$ في التعريف 3.1.

• (التحكم في ${𝒟}_2$) لكل $|x|\in [\frac{K_0}{4}\sqrt{|\ln (T-t)|(T-t)},{ϵ}_0]$، و$\tau =\tau (x,t)=\frac{t-t(x)}{\sigma (x)}$ و$|\xi |\le {\alpha }_0\sqrt{\ln \sigma (x)}$،

  $\left|\tilde{u}(x,\xi ,\tau )-\widehat{u}(\tau )\right|\le {\delta }_0,|{\nabla }_{\xi }\tilde{u}(x,\xi ,\tau )|\le {\displaystyle \frac{C_0}{\sqrt{|\ln \sigma (x)|}}},$

  $\left|\tilde{v}(x,\xi ,\tau )-\widehat{v}(\tau )\right|\le {\delta }_0,|{\nabla }_{\xi }\tilde{v}(x,\xi ,\tau )|\le {\displaystyle \frac{C_0}{\sqrt{|\ln \sigma (x)|}}},$

  حيث تعرف $\tilde{u},\tilde{v}$، و$\widehat{u}$، و$\widehat{v}$، و$t(x)$ و$\sigma (x)$ في (3.19)، و(3.22) و(3.20) على الترتيب.

• (التحكم في ${𝒟}_3$) لكل $|x|\ge \frac{{ϵ}_0}{4}$،

  $|{\nabla }_x^{i}u(x,t)-{\nabla }_x^{i}u(x,t_0)|\le {\eta }_0\text{and}|{\nabla }_x^{i}v(x,t)-{\nabla }_x^{i}v(x,t_0)|\le {\eta }_0\text{for}i=0,1.$

ملاحظة 3.7.

بالمقارنة مع التعريف 3.1، تملك المجموعة المتقلصة $𝒮$ تقديرات إضافية في المجالين ${𝒟}_2$ و${𝒟}_3$. وهذه التقديرات لازمة بصورة حاسمة لتحقيق التحكم في حد التدرج اللاخطي $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{G_1}{G_2}\right)$ الظاهر في (3.15).

بعد تعريف المجموعة المتقلصة $𝒮$ لحصر الحل، نحتاج إلى معطيات ابتدائية مناسبة لـ (3.15) بحيث ينتمي الحل الموافق تدريجيا إلى $𝒮(t)$ لكل $t\in [t_0,T)$. ولهذه الغاية، نعتبر الدوال الآتية المعتمدة على $(N+1)$ معلمات $(d_0,d_1)\in {ℝ}^{1+N}$:

${\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{qu}{pv}}\right)}_{d_0,d_1}(x,t_0)$ $=\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{{\widehat{u}}_{\ast }(x)}{{\widehat{v}}_{\ast }(x)}}\right)\left(1-{\chi }_1(x,t_0)\right)+\left\{\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{1}}\right)s_0+\ln \left[\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{\varphi }{\psi }}\right)(y_0,s_0)\right]\right\}{\chi }_1(x,t_0)$

$+\ln \left\{(d_0\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{f_0(y_0)}{g_0(y_0)}}\right)+d_1.\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{f_1(y_0)}{g_1(y_0)}}\right)){\displaystyle \frac{A^2}{s_0^2}}\chi (16y_0,s_0)\right\}{\chi }_1(x,t_0),$ (3.23)

حيث تعرف $s_0=-\ln (T-t_0)$، و$y_0=x{e}^{\frac{s_0}{2}}$، و$\varphi$ و$\psi$ بواسطة (2.32)، و$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_0}{g_0}\right)$ و$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{f_1}{g_1}\right)$ هي الدوال الذاتية المدخلة في اللمّة 2.1، و$\chi$ هي دالة القطع المعرفة بواسطة (3.8)،

$${\chi }_1(x,t_0)={\chi }_0\left(\frac{|x|}{|\ln (T-t_0)|\sqrt{T-t_0}}\right)={\chi }_0\left(\frac{y_0}{s_0}\right),$$

و$({\widehat{u}}_{\ast },{\widehat{v}}_{\ast })\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N\{0\})\times {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N\setminus \{0\})$ تعرف بواسطة

بعد الحصول على تعريف مناسب للمعطيات الابتدائية والمجموعة المتقلصة، تبقى الخطوة الأخيرة هي أن نبين وجود $(d_0,d_1)\in {ℝ}^{1+N}$ بحيث إن للنظام (1.1)-(1.3) ذي المعطيات الابتدائية (3.23) حلا وحيدا $(u,v)\in 𝒮(t)$ لكل $t\in [t_0,T)$. والحجة الرئيسية في هذه الخطوة هي نفسها تماما كما في الحالة كثيرة الحدود، أي برهان القضية 3.4. ونحيل القارئ المهتم بالاختزال إلى مسألة منتهية البعد إلى القسم 4 في [Ghoul et al.(2018d)Ghoul, Nguyen, and Zaag] لجميع التفاصيل. وهذا يختتم برهان المبرهنة 1.4.