إنشاء حلول انفجار من النوع I لمعادلة مكافئية شبه خطية من رتبة أعلى

الملخص

ندرس المعادلة المكافئية شبه الخطية من رتبة أعلى

$${\partial }_{t}u=-{(-\mathrm{\Delta })}^{m}u+u{|u|}^{p-1},$$

في الفضاء كله ${ℝ}^N$، حيث $p>1$ و$m\ge 1$ عدد صحيح فردي. نعرض حلولا غير ذاتية التشابه من النوع I تنفجر لهذه المعادلة، ونحصل على وصف حاد لسلوكها التقاربي. وتعتمد طريقة الإنشاء على التحليل الطيفي للمؤثر الخطي الناتج عن الخطية، وهو غير ذاتي المرافقة، في إطار مناسب من المتغيرات المحجّمة. وبالنظر إلى الخواص الطيفية والقطاعية المعروفة للمؤثر الخطي الناتج عن الخطية التي حصل عليها Galaktionov [Galaktionov(2001)]، نعيد تناول التقنية التي طورها Merle-Zaag [Merle and Zaag(1997)] في الحالة الكلاسيكية $m=1$، والتي تتألف من خطوتين: اختزال المسألة إلى مسألة منتهية الأبعاد، ثم حل المسألة منتهية الأبعاد بحجة طوبولوجية كلاسيكية قائمة على نظرية الدرجة. ويقدم تحليلنا تبريرا صارما لنتيجة صورية في [Galaktionov(2001)].

Tej-Eddine Ghoul^†, Van Tien Nguyen^† and Hatem Zaag^∗

^†New York University in Abu Dhabi, P.O. Box 129188, Abu Dhabi, United Arab Emirates.

^∗Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité, LAGA, CNRS (UMR 7539), F-93430, Villetaneuse, France.

1. المقدمة.

نهتم بالمعادلة المكافئية شبه الخطية

(1.1)

حيث $u(t):{ℝ}^N\to ℝ$ مع $N\ge 1$، ويرمز $\mathrm{\Delta }$ إلى مؤثر لابلاس القياسي في ${ℝ}^N$، أما الأسّان $p$ و$m$ فثابتان،

$$p>1\text{and}m\in \mathbb{N},m\ge 1\text{odd}.$$

إن المعادلة المكافئية شبه الخطية من رتبة أعلى (1.1) هي تعميم طبيعي لمعادلة الحرارة شبه الخطية الكلاسيكية $(m=1)$. وتظهر في كثير من التطبيقات الفيزيائية مثل نظرية الأغشية الرقيقة، والتشحيم، والحمل-الانفجار، وانتقال الطور، أو التطبيقات في الميكانيكا الإنشائية (انظر كتاب Petetier-Troy [Peletier and Troy(2001)] والمراجع الواردة فيه).

بواسطة النتائج القياسية يمكن حل مسألة كوشي المحلية للمعادلة (1.1) في $L^1\cap L^{\mathrm{\infty }}$ بفضل التمثيل التكاملي

$$u(t)={𝒦}_m(t)\ast u_0+{\int }_0^t{𝒦}_m(t-s)\ast u(s){|u(s)|}^{p-1}𝑑s,$$ (1.2)

حيث إن ${𝒦}_m(t)$ هو الحل الأساسي للمعادلة المكافئية الخطية ${\partial }_t{𝒦}_m={𝐀}_m{𝒦}_m$، والمعرّف عن طريق تحويل فورييه العكسي

$${𝒦}_m(x,t)=\frac{1}{{(2\pi )}^N}{\int }_{{ℝ}^N}{e}^{-{|\xi |}^{2m}t-ı(\xi \cdot x)}𝑑\xi ,{𝒦}_m(x,0)=\delta (x).$$

من Fujita [Fujita(1966)] ($m=1$) وGalaktionov-Pohozaev [Galaktionov and Pohozaev(2002)] ($m>1$)، نعلم أن

$$p_F\triangleq 1+\frac{2m}{N},$$

هو أس فوجيتا الحرج للمسألة بالمعنى الآتي. إذا كان $p>p_F$، فإنه من أجل أي معطى ابتدائي صغير بما يكفي $u_0\in L^1({ℝ}^N)\cap L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$، تقبل مسألة كوشي (1.1) حلا عالميا يحقق $u(t)\to 0$ عندما $t\to +\mathrm{\infty }$ بانتظام في ${ℝ}^N$. وإذا كان $p\in (1,p_F]$ وكانت المعطيات الابتدائية $u_0\not\equiv 0,{\int }_{{ℝ}^N}{u}_0𝑑x\ge 0$ من أجل $m>1$ أو $u_0\ge 0$ من أجل $m=1$، فإن الحل الموافق للمسألة (1.1) ينفجر في زمن منته ما $T>0$، أي إن

$$\underset{t\to T}{lim}{\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}=+\mathrm{\infty }.$$

هنا يسمى $T$ زمن الانفجار، وتسمى النقطة $a\in {ℝ}^N$ نقطة انفجار إذا وفقط إذا وجدت متتالية $(a_n,t_n)\to (a,T)$ بحيث $|u(a_n,t_n)|\to +\mathrm{\infty }$ عندما $n\to +\mathrm{\infty }$. ويسمى حل (1.1) انفجارا من النوع I إذا حقق

$$c{(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}}\le {\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}},$$ (1.3)

وإلا فهو انفجار من النوع II. إضافة إلى ذلك، نسمي حل انفجار ذاتي التشابه إذا كان من الشكل

$$u(x,t)={(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}}\mathrm{\Phi }(y),y=\frac{x}{{(T-t)}^{\frac{1}{2m}}},$$ (1.4)

حيث إن $\mathrm{\Phi }$ ليس ثابتا على نحو مطابق. ومن الواضح أن حل الانفجار ذاتي التشابه هو من النوع I.

عندما يكون $m=1$، تختزل المسألة (1.1) إلى معادلة الحرارة شبه الخطية الكلاسيكية

$${\partial }_{t}u=\mathrm{\Delta }u+u{|u|}^{p-1},$$ (1.5)

التي دُرست على نطاق واسع في العقود الأربعة الأخيرة، ولا يمكن لأي مراجعة أن تكون مستوعبة. وبالنظر إلى اهتمامنا بإنشاء حلول ذات سلوك انفجار موصوف، نذكر فقط الأعمال السابقة في هذا الاتجاه. فقد أعطى Bricmont-Kupiainen [Bricmont and Kupiainen(1994)] أول نتيجة بنائية، إذ أثبت وجود حل انفجار من النوع I للمعادلة (1.5) وفق الدينامية التقاربية

$$\underset{x\in {ℝ}^N}{sup}\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t)-\kappa {\left(1+\frac{(p-1)}{4p}\frac{{|x|}^2}{(T-t)|\log (T-t)|}\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\right|\to 0\text{as}t\to T,$$ (1.6)

لبعض ثابت كوني موجب $\kappa =\kappa (p)$. نلاحظ أن مؤلفي [Bricmont and Kupiainen(1994)] عرضوا أيضا حلولا تنفجر في زمن منته وتحقق سلوكيات تقاربية أخرى يُتوقع أن تكون غير مستقرة. ونلاحظ أيضا أن Bressan [Bressan(1990), Bressan(1992)] أنجز بناء مماثلا في حالة لاخطية أسية. لاحقا، اقترح Merle-Zaag [Merle and Zaag(1997)] تعديلا لحجة [Bricmont and Kupiainen(1994)] وحصل على استقرار الحل المنشأ الذي يحقق (1.6) تحت اضطرابات صغيرة للمعطيات الابتدائية. وقد لوحظ استقرار السلوك التقاربي (1.6) عدديا بواسطة Berger-Kohn [Berger and Kohn(1988)] (انظر أيضا Nguyen [Nguyen(2017)] لتحليلات عددية أخرى). وبوجه خاص، أثبت Herrero-Velázquez [Herrero and Velázquez(1992)] أن دينامية الانفجار (1.6) نموذجية في الحالة أحادية البعد، وأعلنا الأمر نفسه للحالة ذات الأبعاد الأعلى (لكنهما لم ينشراه قط).

تعتمد طريقة [Bricmont and Kupiainen(1994)] و[Merle and Zaag(1997)] على فهم الخاصية الطيفية للمؤثر الخطي الناتج عن الخطية حول ملف متوقع في إطار متغيرات التشابه. وبصورة تقريبية، يملك المؤثر الخطي عددا منتهيا من القيم الذاتية الموجبة، وقيمة ذاتية صفرية، وطيفا سالبا؛ ثم يسيرون في خطوتين:

• اختزال مسألة لا نهائية الأبعاد إلى مسألة منتهية الأبعاد، بمعنى أن ضبط الخطأ يختزل إلى ضبط المركبات الموافقة للقيم الذاتية الموجبة.

• حل المسألة منتهية الأبعاد بفضل حجة طوبولوجية كلاسيكية قائمة على نظرية الدرجة.

وقد مُدّد هذا الإجراء العام ذو الخطوتين إلى أوضاع متعددة، مثل حالة معادلة Ginzgburg-Landau المركبة بواسطة Masmoudi-Zaag [Masmoudi and Zaag(2008)] وNouaili-Zaag [Nouaili and Zaag(2018)] (انظر أيضا Zaag [Zaag(1998)] لعمل سابق)؛ ومعادلة الحرارة شبه الخطية المركبة التي لا تملك بنية تغيرية بواسطة Duong [Duong()] وNouaili-Zaag [Nouaili and Zaag(2015)]؛ ومعادلات الحرارة شبه الخطية غير الثابتة بالتحجيم بواسطة Ebde-Zaag [Ebde and Zaag(2011)] وNguyen-Zaag [Nguyen and Zaag(2016)] وDuong-Nguyen-Zaag [Duong et al.(2018)Duong, Nguyen, and Zaag]. ونذكر أيضا عمل Tayachi-Zaag [Tayachi and Zaag(2015), Tayachi and Zaag(2016)] وGhoul-Nguyen-Zaag [Ghoul et al.(2017)Ghoul, Nguyen, and Zaag] الذي يتناول معادلة حرارة لاخطية ذات مصدر مزدوج يعتمد على الحل وعلى تدرجه في إطار حرج ما. في [Ghoul et al.(2018a)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018b)Ghoul, Nguyen, and Zaag]، وفقنا في تكييف الطريقة لإنشاء حل انفجار مستقر لنظام مكافئي شبه خطي غير تغيري.

أما في البحث الحالي، فنهدف إلى توسيع الطريقة المذكورة أعلاه لإنشاء حلول للمسألة (1.1) تنفجر في زمن منته وتحقق سلوكا تقاربيا موصوفا. وعلى الرغم من أن الفكرة العامة هي نفسها في الحالة الكلاسيكية (1.5)، فإننا نود التأكيد على أن الاستراتيجية المذكورة أعلاه ثقيلة وأن تنفيذها ليس مباشرا أبدا؛ فالسياق والصعوبات يختلفان من مسألة محددة إلى أخرى. وكخطوة إلى الأمام نحو فهم أفضل لديناميات الانفجار في (1.1)، نحصل على النتيجة الآتية.

مبرهنة 1.1 (حلول انفجار من النوع I للمعادلة (1.1) ذات سلوك موصوف).

ليكن $m\ge 1$ عددا صحيحا فرديا. توجد معطيات ابتدائية $u_0\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$ بحيث إن الحل الموافق $u(t)$ للمعادلة (1.1) يحقق
$(i)$ ينفجر $u(t)$ في زمن منته $T=T(u_0)$ عند الأصل فقط.
$(ii)$ (السلوك التقاربي)

$$\underset{x\in {ℝ}^N}{sup}\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{x}{{\left[(T-t)|\log (T-t)|\right]}^{\frac{1}{2m}}}\right)\right|\le \frac{C}{{|\log (T-t)|}^{\frac{1}{2m}}},$$ (1.7)

حيث

$$\mathrm{\Phi }(\xi )=\kappa {\left(1+B_{m,p}{|\xi |}^{2m}\right)}^{-\frac{1}{p-1}},$$ (1.8)

مع

$$\kappa ={(p-1)}^{-\frac{1}{p-1}},B_{m,p}={(-1)}^{m+1}\frac{2(p-1)(2m)!}{p((4m)!-2{[(2m)!]}^2)}.$$ (1.9)

$(iii)$ (ملف الانفجار النهائي) يوجد $u^{\ast }\in 𝒞({ℝ}^N\backslash \{0\},ℝ)$ بحيث إن $u(x,t)\to u^{\ast }(x)$ عندما $t\to T$ بانتظام على المجموعات المدمجة من ${ℝ}^N\backslash \{0\}$، حيث

$$u^{\ast }(x)\sim \kappa {\left(\frac{B_{m,p}{|x|}^{2m}}{2m|\log |x||}\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\text{as}|x|\to 0.$$ (1.10)

ملاحظة 1.2.

نعتقد أن ملف انفجار كهذا (1.8) موجود لكل $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. ونلاحظ أن الثابت عندما يكون $m$ زوجيا (انظر (1.9))، ومن ثم فإن الملف $\mathrm{\Phi }$ ينفجر على الواجهة المنتهية $|\xi |={\xi }_{\ast }={\left(-B_{m,p}\right)}^{-\frac{1}{2m}}$. وهذا يعني أن الحالة التي يكون فيها $m$ زوجيا ستؤدي إلى حلول انفجار من النوع II بالمعنى الوارد في (1.3). وعلى الرغم من أن الأفكار الرئيسة للتبرير الكامل لمثل هذا السلوك الانفجاري عندما يكون $m$ زوجيا تبقى هي نفسها، فإن البرهان سيكون دقيقا للغاية وسنعالجه في عمل مستقل.

ملاحظة 1.3.

حل الانفجار الموصوف في المبرهنة 1.1 ليس ذاتي التشابه بالمعنى الوارد في (1.4). نلاحظ أنه، خلافا لحلول الانفجار في معادلة الحرارة شبه الخطية الكلاسيكية من الرتبة الثانية (1.5)، خمّن Budd-Galaktionov-Williams [Budd et al.(2004)Budd, Galaktionov, and Williams]، من خلال حسابات عددية وتقاربية، وجود ما لا يقل عن $2\lfloor \frac{m}{2}\rfloor$ حلول انفجار ذاتية التشابه غير تافهة للمعادلة (1.1)، وأن الملفات ذات القيمة العظمى الوحيدة تقابل حلولا ذاتية التشابه مستقرة (نموذجية) للانفجار.

ملاحظة 1.4.

يتضمن برهان المبرهنة 1.1 (في البعد $N=1$ تبسيطا) وصفا مفصلا لمجموعة المعطيات الابتدائية التي تؤدي إلى الدينامية التقاربية (1.7). وبوجه خاص، تكون معطياتنا الابتدائية تقريبا من الشكل (انظر الصيغة (3.13) أدناه)

$$u_0(x)=e^{-s_0}\left[\mathrm{\Phi }\left(x{e}^{s_0/2m}\right)+\frac{A}{s_0^2}\chi (2x{e}^{s_0/2m},s_0)\sum _{k=1}^{2m-1}{d}_k{\psi }_k(x{e}^{s_0/2m})\right],$$

حيث إن $A$ و$s_0$ ثابتان كبيران مثبتان، و$\mathrm{\Phi }$ هو الملف المعرف بواسطة (1.8)، و$\chi$ دالة قطع ملساء ما، و$(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {ℝ}^{2m}$ معاملات حرة، و${\psi }_k,0\le k\le 2m-1$ هي الدوال الذاتية للمؤثر الخطي (انظر القضية 2.1 لتعريف دقيق) الموافقة للقيمة الذاتية الموجبة ${\lambda }_k=1-\frac{k}{2m}$. ومن خلال حجة طوبولوجية، نثبت أنه توجد صيغة ملائمة للمعاملات $(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})$ بحيث إن حل المعادلة (1.1) ذي المعطى الابتدائي $u_0$ يحقق خلاصة المبرهنة 1.1. وبمعنى ما، فإن الحل الذي أنشأناه مستقر بترافق $2(m-1)$ بالمعنى الآتي. إن المركبات $2m$ من الحل الخطي الموافقة لـ ${\lambda }_k=1-\frac{k}{2m}$ لها نمو أسي $e^{{\lambda }_{k}s}$. غير أن النمطين الأولين الموافقين لـ ${\lambda }_0$ و${\lambda }_1$ يمكن إزالتهما باستعمال ثبات المسألة تحت ترجمتي الزمن والفضاء. ومن ثم، بتثبيت الاتجاهات $2(m-1)$ ${\psi }_2,\mathrm{\cdots },{\psi }_{2m-1}$ واضطراب المركبات الباقية (في $L^{\mathrm{\infty }}$)، ما زلنا نحصل على الدينامية التقاربية نفسها (1.7) للحل المضطرب. ويتطلب برهان الاستقرار بترافق $2(m-1)$ بعض انتظام Lipschitz لمجموعة المعطيات الابتدائية المعتبرة، وسيعالج ذلك على حدة في عمل آخر.

ملاحظة 1.5.

وفقا لإنشائنا، تقع الدينامية التقاربية (1.7) على المتشعب المركزي المولد بالدوال الذاتية الموافقة للقيمة الذاتية الصفرية ${\lambda }_{2m}=0$. ويمكن توسيع تحليلنا لإنشاء حل للمعادلة (1.1) ينفجر في زمن منته ويمتلك دينامية تقاربية مختلفة عن (1.7). وتمتلك مثل هذه الحلول على وجه الخصوص ديناميات تقاربية واقعة على المتشعب المستقر المولد بالدوال الذاتية الموافقة للقيمة الذاتية السالبة مع $k\ge 2m+1$. وكما سيُشرح في الملاحظة 1.4، فإن المعطيات الابتدائية الموافقة التي تؤدي إلى مثل هذه الحلول ستتضمن $k$ معاملات مع $k\ge 2m+1$ (اعتبر $N=1$)، بحيث تُسند حجة طوبولوجية لضبط المركبات $k$ الأولى الموافقة للمتجهات الذاتية ${\psi }_j$ من أجل $0\le j\le k-1$. وعلى الرغم من أن طريقة الإنشاء متشابهة في جميع الحالات، فإننا نقرر أن نتناول فقط حالة المتشعب المركزي، لأن برهانها هو الأدق بمعنى أنه يتطلب تحليلا أكثر تنقيحا في منطقة الانفجار، مؤديا إلى تصحيح لوغاريتمي ما لمتغير الانفجار كما يظهر في (1.7).

استراتيجية البرهان.

لنوجز الأفكار الرئيسة في برهان المبرهنة 1.1.

- متغيرات التشابه والمسألة الخطية. وفقا لثبات المسألة (1.1) تحت التحجيم، ندخل متغيرات التشابه

$$u(x,t)={(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}}w(y,s),y=\frac{x}{{(T-t)}^{\frac{1}{2m}}},s=-\ln (T-t),$$ (1.11)

مما يؤدي إلى المعادلة الجديدة

${\partial }_{s}w$ $={𝐀}_{m}w-{\displaystyle \frac{1}{2m}}y\cdot \nabla w-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}w+w{|w|}^{p-1}$

$\equiv {ℒ}_{m}w-{\displaystyle \frac{p}{p-1}}w+w{|w|}^{p-1},$ (1.12)

حيث يعطى المؤثر الخطي ${ℒ}_m$ بواسطة

$${ℒ}_m={𝐀}_m-\frac{1}{2m}y\cdot \nabla +\text{Id}.$$ (1.13)

نلاحظ أن تغيير المتغيرات (1.11) يسمح لنا باختزال مسألة الانفجار في زمن منته إلى مسألة سلوك طويل الأمد، وذلك على حساب حد تحجيم إضافي في المعادلة الجديدة (1.12). في الإطار (1.11)، يكون إثبات الدينامية التقاربية (1.7) مكافئا لإثبات أن

$$\underset{y\in {ℝ}^N}{sup}\left|w(y,s)-\mathrm{\Phi }\left(y{s}^{-\frac{1}{2m}}\right)\right|\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (1.14)

ومن الطبيعي بعد ذلك خطية المعادلة (1.12) حول الملف المتوقع $\mathrm{\Phi }$ بإدخال

$$q=w-\mathrm{\Phi }.$$

مما يؤدي إلى معادلة من الشكل

$${\partial }_{s}q=\left({ℒ}_m+V(y,s)\right)q+B(q)+R(y,s),$$ (1.15)

حيث يُبنى $B(q)$ ليكون تربيعيا، ويقيس $R$ الخطأ المتولد عن $\mathrm{\Phi }$ ويكون محدودا بانتظام بـ $𝒪(s^{-1})$، و$V$ هو الجهد المعرف كما يأتي

$$V(y,s)=p\left({\mathrm{\Phi }}^{p-1}-{\kappa }^{p-1}\right).$$

هدفنا هو أن ننشئ للمعادلة (1.15) حلا $q$ معرفا لكل $(y,s)\in {ℝ}^N\times [s_0,+\mathrm{\infty })$ بحيث

$$\underset{y\in {ℝ}^N}{sup}|q(y,s)|\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

- خواص المؤثر الخطي. بالنظر إلى المعادلة (1.15)، نرى أن الحد التربيعي اللاخطي وحد الخطأ صغيران ويمكن إهمالهما مقارنة بالحد الخطي. وبصورة تقريبية، سيؤدي الجزء الخطي دورا مهما في دينامية الحل. ومن الضروري تحديد الطيف والدوال الذاتية الموافقة لكل من ${ℒ}_m$ ومرافقه ${ℒ}_m^{\ast }$. ووفقا لـ [Galaktionov(2001)]، يتألف طيف المؤثر الخطي ${ℒ}_m$ من قيم ذاتية حقيقية بسيطة فقط،

$$\text{spec}({ℒ}_m)=\{{\lambda }_{\beta }=1-\frac{|\beta |}{2m},\beta =({\beta }_1,\mathrm{\cdots },{\beta }_n)\in {\mathbb{N}}^n,|\beta |={\beta }_1+\mathrm{\cdots }+{\beta }_n\},$$

والدالة الذاتية الموافقة ${\psi }_{\beta }$ مع $|\beta |=n$ هي كثيرة حدود من الرتبة $n$ (انظر القضية 2.1 أدناه). علاوة على ذلك، تشكل عائلة الدوال الذاتية ${\{{\psi }_{\beta }\}}_{\beta \in {\mathbb{N}}^n}$ جزءا كاملا في $L_{\rho }^2({ℝ}^N)$ حيث $\rho$ دالة وزن متناقصة أسيا.

اعتمادا على السلوك التقاربي للجهد $V$، نلاحظ أن

• داخل منطقة الانفجار، $|y|\le K{s}^{\frac{1}{2m}}$ لبعض $K$ كبير، يعد تأثير $V$ اضطرابا لـ ${ℒ}_m$.

• خارج منطقة الانفجار، $|y|\ge K{s}^{\frac{1}{2m}}$، يتصرف الجزء الخطي الكامل ${ℒ}_m+V$ مثل ${ℒ}_m-\frac{p}{p-1}$، وهو يملك طيفا سالبا صرفا. لذلك يكون ضبط الحل في هذه المنطقة بسيطا.

- تفكيك الحل والاختزال إلى مسألة منتهية الأبعاد. وفقا لطيف ${ℒ}_m$، نفكك

$$q(y,s)=\sum _{|\beta |=0}^{2m}{q}_{\beta }(s){\psi }_{\beta }(y)+q_{-}(y,s),$$

حيث إن $q_{-}$ هو إسقاط $q$ على الفضاء الجزئي لـ ${ℒ}_m$ الموافق للقيم الذاتية السالبة تماما. وبما أن طيف الجزء الخطي من المعادلة التي يحققها $q_{-}$ سالب، فإنه قابل للضبط إلى الصفر. ونود أن ننبه إلى أننا لا نستعمل تمثيل Feymann-Kac كما في الحالة $m=1$ المعالجة في [Merle and Zaag(1997)]، وذلك بسبب تعقيد تطبيقه في حالات الرتب الأعلى $m\ge 2$. ولتفادي مثل هذه الصيغة، نفكك كذلك

$$q_{-}(y,s)=\sum _{|\beta |=2m+1}^M{q}_{\beta }(s){\psi }_{\beta }+q_{{}_{M,\perp }}(y,s),$$

لبعض $M$ كبير بما يكفي (نموذجيا $M\ge 4{\Vert V\Vert }_{L_{y,s}^{\mathrm{\infty }}}$). ويعطي الإسقاط المباشر

$$q_{\beta }^{\prime }=\left(1-\frac{|\beta |}{2m}\right)q_{\beta }+𝒪\left(s^{-\frac{|\beta |+2}{2m}}\right),|\beta |=2m+1,\mathrm{\cdots },M,$$

ومنها نحصل على التقدير الخشن $|{\theta }_{\beta }(s)|=𝒪(s^{-\frac{|\beta |+2}{2m}})$ من أجل $|\beta |=2m+1,\mathrm{\cdots },M$. أما بالنسبة إلى الجزء اللانهائي $q_{{}_{M,\perp }}$، فنستكشف خواص شبه الزمرة $e^{s{ℒ}_m}$ ومتباينة Gronwall قياسية لإغلاق التقدير لهذا الجزء.

إن ضبط النمط الصفري $q_{2m}$ دقيق، إذ إن للجهد حجما حرجا، بمعنى ما، في تحليلنا. وبوجه خاص، نحتاج إلى تنقيح حذر للسلوك التقاربي لـ $V$ لاشتقاق المعادلة التفاضلية العادية الحادة

$$q_{\beta }^{\prime }=-\frac{2}{s}{q}_{\beta }+𝒪\left(\frac{1}{s^3}\right)\text{for}|\beta |=2m,$$

التي تُظهر طيفا سالبا بعد تغيير المتغير $\tau =\ln s$، ومن ثم التقدير الخشن $|q_{\beta }(s)|=𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)$ من أجل $|\beta |=2m$. وهنا تكون القيمة الدقيقة لـ $B_{m,p}$ المعطاة في (1.9) حاسمة في كثير من الهويات الجبرية لاشتقاق هذه المعادلة التفاضلية العادية الحادة. وفي هذه المرحلة، نختزل المسألة اللانهائية الأبعاد إلى مسألة منتهية الأبعاد بمعنى أنه يبقى ضبط عدد منته من الأنماط الموجبة $q_{\beta }$ من أجل $|\beta |\le 2m-1$. ويتم ذلك عبر حجة طوبولوجية كلاسيكية قائمة على نظرية الدرجة.

ينظم باقي البحث كما يأتي: في القسم 2 نستذكر الخواص الطيفية الأساسية للمؤثر الخطي $ℒ$ ومرافقه ${ℒ}^{\ast }$، ثم نجري تحليلا طيفيا صوريا لاشتقاق ملف انفجار تقريبي يخدم تحليلنا لاحقا. في القسم 3 نقدم جميع حجج برهان المبرهنة 1.1 من دون الخوض في التفاصيل التقنية (يمكن للقارئ غير المهتم بالتفاصيل التقنية أن يتوقف عند هذا القسم). أما القسم 4 فهو قلب تحليلنا: إذ يكرس لدراسة دينامية المسألة الخطية التي نختزل منها المسألة إلى مسألة منتهية الأبعاد.

2. مقاربة صورية عبر التحليل الطيفي.

في هذا القسم نستذكر أولا الخواص الطيفية الأساسية للمؤثر الخطي، ثم نقدم مقاربة صورية قائمة على تحليل طيفي لاشتقاق ملف الانفجار المعطى في المبرهنة 1.1.

2.1. الخواص الطيفية للمؤثر الخطي.

في هذا القسم الفرعي، نستذكر من [Galaktionov(2001)] الخواص الطيفية الأساسية للمؤثر الخطي ${ℒ}_m$ ومرافقه ${ℒ}_m^{\ast }$. إن الحالة $m=1$ معروفة جيدا، إذ يمكننا إعادة كتابة

$${ℒ}_1=\frac{1}{{\rho }_1}\nabla .({\rho }_1\nabla )+\text{Id}\text{with}{\rho }_1(y)={(4\pi )}^{-\frac{N}{2}}{e}^{-\frac{{|y|}^2}{4}},$$

وهو مؤثر ذاتي المرافق في فضاء Hilbert الموزون $L^2(e^{-{|y|}^2/4}dy)$ ذي المجال $𝒟(ℒ)=H^2(e^{-{|y|}^2/4}dy)$. وله طيف حقيقي متقطع، وتشتق الدوال الذاتية الموافقة من كثيرات حدود Hermite.

بالنسبة إلى $m\ge 2$، فإن المؤثر ${ℒ}_m$ ليس متناظرا ولا يقبل امتدادا ذاتي المرافق. لذلك نرمز بـ ${ℒ}_m^{\ast }$ إلى المرافق الصوري لـ ${ℒ}_m$ كما يأتي

$${ℒ}_m^{\ast }f={𝐀}_{m}f+\frac{1}{2m}\nabla .(yf)+f,$$ (2.1)

بمعنى أن

(2.2)

من [Èĭ del^′man(1969)] و[Fedorjuk(1977)]، نعلم أن المعادلة الإهليلجية الآتية

$${𝐀}_{m}F+\frac{1}{2m}\nabla .(yF)=0\text{in}{ℝ}^N\text{with}{\int }_{{ℝ}^N}F(y)𝑑y=1.$$ (2.3)

لها حل شعاعي وحيد يعطى بالصيغة الصريحة

$$F(y)={(2\pi )}^{-\frac{N}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s^{2m}}{s}^{\frac{N}{2}}{J}_{\frac{N-2}{2}}(s|y|)𝑑s,$$ (2.4)

حيث إن $J_{\nu }$ هي دالة Bessel. وبوجه خاص، يحقق $F$ التقدير

(2.5)

لبعض الثوابت الموجبة $D$ و$d$ المعتمدة على $m$ و$N$.
ندخل دوال الوزن

$${\rho }^{\ast }={\rho }^{-1},\rho (y)=e^{-a{|y|}^{\nu }},$$ (2.6)

حيث إن $a=a(m,N)\in (0,d]$ ثابت صغير، و$d$ و$\nu$ معرفان في (2.5).

قضية 2.1 (الخواص الطيفية لـ ${ℒ}_m$ و${ℒ}_m^{\ast }$، [Galaktionov(2001)]).

ليكن $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، لدينا
$(i)$ إن ${ℒ}_m:H_{\rho }^{2m}({ℝ}^N)\to L_{\rho }^2({ℝ}^N)$ مؤثر خطي محدود طيفه

$$\text{spec}({ℒ}_m)=\{{\lambda }_{\beta }=1-\frac{|\beta |}{2m},\beta =({\beta }_1,\mathrm{\cdots },{\beta }_N)\in {\mathbb{N}}^N,|\beta |=0,1,2,\mathrm{\cdots }\}.$$ (2.7)

ومجموعة الدوال الذاتية ${\{{\psi }_{\beta }\}}_{|\beta |\ge 0}$ كاملة في $L_{\rho }^2({ℝ}^N)$، حيث يملك ${\psi }_{\beta }$ التفكيك القابل للفصل

$${\psi }_{\beta }(y)={\psi }_{{\beta }_1}(y_1)\mathrm{\cdots }{\psi }_{{\beta }_N}(y_N)\text{with}{\psi }_k(\xi )=\frac{1}{\sqrt{k!}}\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{k}{2m}\rfloor }\frac{{(-1)}^{jm}}{j!}{\partial }_{\xi }^{2jm}{\xi }^k.$$ (2.8)

$(ii)$ إن ${ℒ}_m^{\ast }:H_{{\rho }^{\ast }}^{2m}({ℝ}^N)\to L_{{\rho }^{\ast }}^2({ℝ}^N)$ مؤثر خطي محدود طيفه

$$\text{spec}({ℒ}_m^{\ast })=\{{\lambda }_{\beta }^{\ast }=1-\frac{|\beta |}{2m},\beta =({\beta }_1,\mathrm{\cdots },{\beta }_N)\in {\mathbb{N}}^N,|\beta |=0,1,2,\mathrm{\cdots }\}.$$ (2.9)

ومجموعة الدوال الذاتية ${\{{\psi }_{\beta }^{\ast }\}}_{|\beta |\ge 0}$ كاملة في $L_{{\rho }^{\ast }}^2({ℝ}^N)$، حيث تعطى ${\psi }_{\beta }^{\ast }$ كما يأتي

$${\psi }_{\beta }^{\ast }(y)=\frac{{(-1)}^{|\beta |}}{\sqrt{\beta !}}{\partial }_y^{\beta }F(y),$$ (2.10)

حيث $\beta !={\beta }_1!\mathrm{\cdots }{\beta }_N!$، و${\partial }_y^{\beta }=\frac{{\partial }^{{\beta }_1}}{\partial y_1}\mathrm{\cdots }\frac{{\partial }^{{\beta }_N}}{\partial y_N}$ والدالة $F$ معرفة بواسطة (2.4).

$(iii)$ (التعامد)

(2.11)

حيث ${\delta }_{\beta ,\gamma }$ هو دلتا Kronecker.

ملاحظة 2.2.

نلاحظ من التعامد (2.11) ومن تعريف ${\psi }_k$ أنه لكل كثيرة حدود $P_n(y)$ من الدرجة ، لدينا .

من أجل $N=1$، لدينا

${\psi }_k(y)$

${\psi }_{2mj}(y)$ $={\displaystyle \sum _{i=0}^j}{c}_{2mi}{y}^{2mi}\text{and}{y}^{2mj}={\displaystyle \sum _{i=0}^j}{c}_{2mi}^{\prime }{\psi }_{2mi}(y)\text{for}j\in \mathbb{N}.$

نختم هذا القسم الفرعي باستذكار خواص أساسية لشبه الزمرة $e^{s{ℒ}_m}$ من أجل $s>0$.

لمّة 2.3 (خواص شبه الزمرة $e^{s{ℒ}_m}$).

تعطى نواة شبه الزمرة $e^{s{ℒ}_m}$ بواسطة

$$e^{s{ℒ}_m}(y,x)=\frac{e^s}{{\left[(1-e^{-s})\right]}^{\frac{N}{2m}}}F\left(\frac{y{e}^{-\frac{s}{2m}}-x}{{\left[2m(1-e^{-s})\right]}^{\frac{1}{2m}}}\right),\forall s>0,$$ (2.12)

حيث يعرف $F$ كما في (2.4). ويعرف فعل $e^{s{ℒ}_m}$ بواسطة

$$e^{s{ℒ}_m}g(y)={\int }_{{ℝ}^N}{e}^{s{ℒ}_m}(y,x)g(x)𝑑x.$$ (2.13)

ولدينا أيضا التقديرات الآتية:
$(i)$ ${\Vert e^{s{ℒ}_m}g\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{e}^s{\Vert g\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$ لكل $g\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$.
$(ii)$ ${\Vert e^{s{ℒ}_m}\text{div}(g)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{e}^s{(1-e^{-s})}^{-\frac{1}{2m}}{\Vert g\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$ لكل $g\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$.
$(iii)$ إذا كان $|f(x)|\le \eta (1+{|x|}^{M+1})$ لكل $x\in {ℝ}^N$، فعندئذ

$$\left|e^{s{ℒ}_m}{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}f(y)\right|\le C\eta e^{-\frac{Ms}{2m}}(1+{|y|}^{M+1}),\forall y\in {ℝ}^N,$$ (2.14)

حيث يعرف ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}$ كما في (3.10).

Proof.

يمكن التحقق من الصيغة (2.12) بحساب مباشر بفضل المعادلة (2.3). أما التقديرات $(i)$-$(iii)$ فهي مباشرة من التعريفين (2.12) و(2.13). ∎

2.2. ملف انفجار تقريبي.

في هذا القسم الفرعي نستذكر المقاربة الصورية في [Galaktionov(2009)] (انظر أيضا [Budd et al.(2004)Budd, Galaktionov, and Williams]) لاستخلاص ملف انفجار ملائم لتحليلنا لاحقا. وقد استعملت هذه المقاربة في مسائل عدة تتضمن لابلاسيان من الرتبة الثانية، انظر مثلا [Bricmont and Kupiainen(1994)] و[Tayachi and Zaag(2016)] و[Ghoul et al.(2017)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018a)Ghoul, Nguyen, and Zaag, Ghoul et al.(2018b)Ghoul, Nguyen, and Zaag]. وتعتمد الحجة على أساس الخواص الطيفية المعروفة للمؤثر المعاد تحجيمه ${ℒ}_m$ ومرافقه ${ℒ}_m^{\ast }$ المعطاة في القسم الفرعي السابق. وللتبسيط، نعتبر الحالة أحادية البعد والحلول الموجبة المتناظرة.

لندخل

$$\overline{w}=w-\kappa ,$$

حيث إن $\kappa ={(p-1)}^{-\frac{1}{p-1}}$ هو توازن ثابت للمعادلة (1.12). وهذا يعطي المعادلة المضطربة الآتية

$${\partial }_s\overline{w}={ℒ}_m\overline{w}+\frac{p}{2\kappa }{\overline{w}}^2+R(\overline{w}),$$ (2.15)

حيث $|R(\overline{w})|\le C{|\overline{w}|}^3$ من أجل $\overline{w}\ll 1$.
من القضية 2.1، نعلم أن ${\psi }_n$ مع $n\ge 2m+1$ تقابل قيما ذاتية سالبة لـ ${ℒ}_m$. لذلك يمكن أن نعتبر

$$\overline{w}(y,s)=\sum _{i=0}^m{\overline{w}}_{2i}(s){\psi }_{2i}(y),$$ (2.16)

حيث ${\sum }_{i=0}^m|{\overline{w}}_{2i}(s)|\to 0$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$. وبإدخال هذه الفرضية في المعادلة (2.15)، وأخذ الجداء السلمي مع ${\psi }_{2j}^{\ast }$، واستعمال القضية 2.1، نجد أنه من أجل $0\le j\le m$،

(2.17)

وبافتراض أن ${\overline{w}}_{2m}$ هو الحد المهيمن، أي

$$\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}0}\le j\le m-1,|{\overline{w}}_{2j}(s)|\ll |{\overline{w}}_{2m}(s)|\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (2.18)

فإن النظام (2.17) يختزل إلى

${\overline{w}}_{2j}^{\prime }(s)$ $=\left(1-{\displaystyle \frac{j}{m}}\right)w_{2j}(s)+𝒪({|{\overline{w}}_{2m}(s)|}^2)\text{for}0\le j\le m-1,$

${\overline{w}}_{2m}^{\prime }(s)$

وحل هذا النظام يعطي

$${\overline{w}}_{2m}(s)=-\frac{2\kappa }{p{\overline{\mu }}_{2m}}\frac{1}{s}+𝒪\left(\frac{{\ln }^{2}s}{s}\right),\sum _{i=0}^{m-1}|{\overline{w}}_{2i}(s)|=𝒪\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$

وهو متوافق مع الفرضية (2.18).
ومن ثم، من (2.16) وتعريف ${\psi }_{2m}$، نستنتج السلوك التقاربي الآتي

$$w(y,s)=\kappa -\frac{2\kappa }{p{\overline{\mu }}_{2m}s}\left(\frac{y^{2m}+{(-1)}^m(2m)!}{\sqrt{(2m)!}}\right)+𝒪\left(\frac{\ln s}{s^2}\right),$$ (2.19)

حيث يحدث التقارب في $L_{\rho }^2(ℝ)$ وكذلك بانتظام على المجموعات المدمجة بفعل الانتظام المكافئي القياسي.

يوفر التوسع (2.19) متغيرا ملائما للانفجار، هو $z=y{s}^{-\frac{1}{2m}}$، يتحكم في السلوك في المنطقة المتوسطة. وبوجه خاص، نحاول صوريا البحث عن حل $w$ للمعادلة (1.12) من الشكل

$$w(y,s)=\mathrm{\Phi }(z)+\frac{{(-1)}^{m+1}2\kappa \sqrt{(2m)!}}{p{\overline{\mu }}_{2m}s}+𝒪\left(\frac{1}{s^{1+ϵ}}\right),$$ (2.20)

لبعض $ϵ>0$، مع شرط الحد $\mathrm{\Phi }(0)=\kappa$.
وبإدخال هذه الفرضية في المعادلة (1.12) ومقارنة الحدود الرئيسة، نصل إلى

$$-\frac{z}{2m}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }-\frac{1}{p-1}\mathrm{\Phi }+{\mathrm{\Phi }}^p=0,\mathrm{\Phi }(0)=\kappa .$$ (2.21)

وحل هذه المعادلة التفاضلية العادية يعطي

$$\mathrm{\Phi }(z)=\kappa {\left(1+B_{m,p}{z}^{2m}\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\text{for some }{B}_{m,p}\in ℝ.$$

وبمطابقة التوسعين (2.19) و(2.20)، نجد أن

لنحسب ${\overline{\mu }}_{2m}$ فيما يأتي. باستعمال (2.8)، نكتب

${\psi }_{2m}(y)$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(2m)!}}}\left(y^{2m}+{(-1)}^m(2m)!\right),$

${\psi }_{4m}(y)$ $={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(4m)!}}}\left(y^{4m}+{(-1)}^m{\displaystyle \frac{(4m)!}{(2m)!}}{y}^{2m}+(4m)!\right),$

${\psi }_{2m}^2(y)$ $={\displaystyle \frac{1}{(2m)!}}\left[\sqrt{(4m)!}{\psi }_{4m}+{(-1)}^{m+1}\sqrt{(2m)!}\left({\displaystyle \frac{(4m)!}{(2m)!}}-2(2m)!\right){\psi }_{2m}+c_0(m){\psi }_0\right].$

وباستخدام علاقة التعامد (2.11)، والتعريف (2.10) لـ ${\psi }_{2m}^{\ast }$، وحقيقة أن ${\int }_{ℝ}F(y)𝑑y=1$، نحسب بالتكامل بالأجزاء

${\overline{\mu }}_{2m}$ $={\displaystyle \frac{{(-1)}^{m+1}}{\sqrt{(2m)!}}}\left({\displaystyle \frac{(4m)!}{(2m)!}}-2(2m)!\right){\displaystyle {\int }_{ℝ}}{\psi }_{2m}(y){\psi }_{2m}^{\ast }(y)𝑑y$

$={\displaystyle \frac{{(-1)}^{m+1}}{\sqrt{(2m)!}}}\left({\displaystyle \frac{(4m)!}{{\left[(2m)!\right]}^2}}-2\right){\displaystyle {\int }_{ℝ}}(y^{2m}+c_{2m,0}){\partial }_y^{2m}F(y)dy$

$={(-1)}^{m+1}{\displaystyle \frac{(2m)}{\sqrt{(2m)!}}}\left({\displaystyle \frac{(4m)!}{{\left[(2m)!\right]}^2}}-2\right){\displaystyle {\int }_{ℝ}}F(y)𝑑y$

$={(-1)}^{m+1}\sqrt{(2m)!}\left({\displaystyle \frac{(4m)!}{{[(2m)!]}^2}}-2\right).$ (2.22)

وخلاصة ذلك أننا اشتققنا المرشح الآتي لملف الانفجار في متغيرات التشابه:

$$w(y,s)\sim \phi (y,s):=\kappa {\left(1+B_{m,p}\frac{y^{2m}}{s}\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+\frac{A_{m,p}}{s},$$ (2.23)

حيث

$$B_{m,p}=\frac{2(p-1)}{p{\overline{\mu }}_{2m}\sqrt{(2m)!}},A_{m,p}=\frac{{(-1)}^{m+1}2\kappa \sqrt{(2m)!}}{p{\overline{\mu }}_{2m}}.$$ (2.24)

وبما أننا نريد الملف $\phi$ محدودا، فإن هذا يتطلب $B_{m,p}>0$ أو ${\overline{\mu }}_{2m}>0$، ولا يحدث ذلك إلا عندما يكون $m$ فرديا.

3. برهان المبرهنة 1.1 دون تفاصيل تقنية.

في هذا القسم نقدم جميع حجج برهان المبرهنة 1.1. ونعالج فقط الحالة أحادية البعد $N=1$ تبسيطا، إذ إن التحليل للحالات ذات الأبعاد الأعلى $N\ge 2$ هو نفسه تماما، باستثناء بعض الحسابات المعقدة لإسقاط (1.15) على الفضاءات الذاتية لـ ${ℒ}_m$. ويكتمل برهان المبرهنة 1.1 في ثلاثة أجزاء:

• في الجزء الأول نصوغ المسألة بخطية المعادلة المعاد تحجيمها (1.12) حول الملف التقريبي $\phi$ المعطى بواسطة (2.23). كما ندخل مجموعة متقلصة يُحبس فيها الحل المنشأ للمعادلة الخطية.

• في الجزء الثاني نعرض صيغة صريحة للمعطيات الابتدائية ونثبت أن الحل الموافق ينتمي إلى المجموعة المتقلصة. وبوجه خاص، يستطيع القارئ أن يرى كيف تختزل المسألة إلى مسألة منتهية الأبعاد (تُترك جميع التفاصيل التقنية للقسم التالي) وكيف تستعمل حجة طوبولوجية قائمة على نظرية الدرجة للوصول إلى الخلاصة.

• يخصص الجزء الأخير لبرهان البندين $(i)$ و$(iii)$ من المبرهنة 1.1. وعلى الرغم من أن حجة البرهان تكاد تكون هي نفسها في الحالة الكلاسيكية $m=1$، فإننا نرغب في إيجاز الأفكار الرئيسة تسهيلا على القارئ.

3.1. صياغة المسألة.

وفقا للتحليل الصوري المعطى في القسم 2.2، ندخل

$$q(y,s)=w(y,s)-\phi (y,s),$$ (3.1)

ونكتب من (1.12) المعادلة التي يقودها $q$،

$${\partial }_{s}q=\left({ℒ}_m+V(y,s)\right)q+B(q)+R(y,s),$$ (3.2)

حيث إن ${ℒ}_m$ هو المؤثر الخطي المعرف بواسطة (1.13) و

$V(y,s)$ $=p\left({\phi }^{p-1}-{\kappa }^{p-1}\right),$ (3.3)

$B(q)$ $=(q+\phi ){|q+\phi |}^{p-1}-{\phi }^p-p{\phi }^{p-1}q,$ (3.4)

$R(y,s)$ $=-{\partial }_s\phi +{𝐀}_m\phi -{\displaystyle \frac{1}{2m}}y\cdot \nabla \phi -{\displaystyle \frac{\phi }{p-1}}+{\phi }^p.$ (3.5)

لتكن ${\chi }_0\in {𝒞}_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}_{+})$ دالة قطع مع $\text{supp}({\chi }_0)\subset [0,2]$ و${\chi }_0\equiv 1$ على $[0,1]$. ندخل

$$\chi (y,s)={\chi }_0\left(\frac{|y|}{K{s}^{\frac{1}{2m}}}\right)\text{with}K\gg 1\text{fixed},$$ (3.6)

ونعرّف

$$q_e(y,s)=q(y,s)(1-\chi (y,s)).$$ (3.7)

نفكك

$$q(y,s)=\sum _{k=0}^M{q}_k(s){\psi }_k(y)+q_{{}_{M,\perp }}(y,s),$$ (3.8)

حيث

• $q_k={\mathrm{\Pi }}_k(q)$ هو إسقاط $q$ على النمط الذاتي الموافق للقيمة الذاتية ${\lambda }_k=1-\frac{k}{2m}$، ويعرف كما يأتي

  (3.9)

• يسمى $q_{{}_{M,\perp }}={\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(q)$ الجزء اللانهائي الأبعاد من $q$، حيث ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(q)$ هو إسقاط $q$ على الفضاء الجزئي الذاتي الذي يكون فيه طيف ${ℒ}_m$ أصغر من $\frac{1-M}{2m}$. نلاحظ أن لدينا التعامد

  (3.10)

• إن $M$ ثابت كبير عادة

  $$M=4mN\text{with}N\in {\mathbb{N}}^{\ast },N\ge {\Vert V\Vert }_{L_{y,s}^{\mathrm{\infty }}}.$$ (3.11)

  وهو ما يسمح لنا بتطبيق متباينة Gronwall قياسية بنجاح لضبط الجزء اللانهائي الأبعاد $q_{{}_{M,\perp }}$.

نهدف إلى أن ننشئ للمعادلة (1.15) حلا عالميا في الزمن $q$ بحيث

$${\Vert q(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (3.12)

ووفقا للتفكيك (3.8)، يكفي أن نثبت وجود حل $q$ ينتمي إلى المجموعة الآتية.

تعريف 3.1 (مجموعة متقلصة لحبس الحلول).

لكل $A>0$، ولكل $s>0$، نرمز بـ ${𝒱}_A(s)$ إلى مجموعة جميع الدوال $q(y,s)$ في $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ التي تحقق

$|q_k(s)|\le {\displaystyle \frac{A}{s^2}}\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}0}\le k\le 2m-1,|q_{2m}(s)|\le {\displaystyle \frac{A^2\log s}{s^2}},$

$|q_k(s)|\le A^k{s}^{-\frac{k+1}{2m}}\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}2}m+1\le k\le M,{\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le A^{M+2}{s}^{-\frac{1}{2m}},$

$\forall y\in ℝ,|q_{{}_{M,\perp }}(y,s)|\le A^{M+1}{s}^{-\frac{M+2}{2m}}({|y|}^{M+1}+1),$

حيث إن $q_k$ و$q_{{}_{M,\perp }}$ و$q_e$ معرفة كما في التفكيك (3.8) و(3.7).

ملاحظة 3.2.

من التعريف، نرى أنه إذا كان $q(s)\in {𝒱}_A(s)$، فإن الحد الآتي صحيح

$|q(y,s)|$ $\le C{A}^{M+1}\left({\displaystyle \sum _{k=0}^{M+1}}({|y|}^k+1)s^{-\frac{k+1}{2m}}\right){\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\le 2K{s}^{\frac{1}{2m}}\}}+{\Vert q_e\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)}$

$\le C{A}^{M+2}{s}^{-\frac{1}{2m}}\text{for all}y\in ℝ.$

ومن ثم يختزل هدفنا (3.12) إلى أن ننشئ للمعادلة (1.15) حلا $q(s)$ ينتمي إلى المجموعة المتقلصة ${𝒱}_A(s)$ لكل $s\in [s_0,+\mathrm{\infty })$.

3.2. وجود حلول محبوسة في ${𝒱}_A$.

في هذه الخطوة نهدف إلى إثبات أنه توجد فعلا معطيات ابتدائية $\varphi (y)=q(y,s_0)$ بحيث إن الحل الموافق $q(y,s)$ لـ (1.15) ينتمي إلى المجموعة المتقلصة ${𝒱}_A(s)$. وبإعطاء $A\ge 1$ و$s_0\ge e$، نعتبر معطيات ابتدائية من الشكل

$${\varphi }_{A,s_0,𝐝}(y)=\frac{A}{s_0^2}\chi (2y,s_0)\sum _{k=0}^{2m-1}{d}_k{\psi }_k(y),$$ (3.13)

حيث إن $𝐝=(d_1,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {ℝ}^{2m}$ معاملات حقيقية ستحدد لاحقا، و$\chi$ معرف في (3.6). وبوجه خاص، تنتمي المعطيات الابتدائية (3.13) إلى ${𝒱}_A(s_0)$ كما تبين القضية الآتية.

قضية 3.3 (خواص المعطيات الابتدائية (3.13)).

لكل $A\gg 1$، يوجد $s_0=s_0(A)\gg 1$ ومتوازي مستطيلات ${𝒟}_{s_0}\subset {[-A,A]}^{2m}$ بحيث تتحقق الخواص الآتية لكل $(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {𝒟}_{s_0}$:

• تنتمي المعطيات الابتدائية ${\varphi }_{A,s_0,𝐝}$ المعرفة في (3.13) إلى ${𝒱}_A(s_0)$ مع متباينات صارمة، باستثناء الأنماط الموجبة ${\varphi }_k$ مع $0\le k\le 2m-1$، حيث ${\varphi }_k={\mathrm{\Pi }}_k({\varphi }_{A,s_0,𝐝})$.

• التطبيق $\mathrm{\Gamma }:{𝒟}_{s_0}\to {ℝ}^{2m}$، المعرف كما في $\mathrm{\Gamma }(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})=({\varphi }_0,\mathrm{\cdots },{\varphi }_{2m-1})$، خطي وواحد لواحد من ${𝒟}_{s_0}$ إلى ${[-A{s}_0^{-2},A{s}_0^{-2}]}^{2m}$، ويصور $\partial {𝒟}_{s_0}$ في $\partial \left({[-A{s}_0^{-2},A{s}_0^{-2}]}^{2m}\right)$. علاوة على ذلك، فإن درجة $\mathrm{\Gamma }$ على الحد تختلف عن الصفر.

Proof.

يتبع البرهان مباشرة من تعريف الإسقاط ${\mathrm{\Pi }}_k({\varphi }_{A,s_0,𝐝})$، وهو مباشر، لذلك نحذفه هنا. ∎

انطلاقا من معطيات ابتدائية ${\varphi }_{A,s_0,𝐝}$ تنتمي إلى ${𝒱}_A(s_0)$، ندعي أنه يمكننا ضبط المعاملات $(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {𝒟}_{s_0}$ بدقة بحيث يبقى الحل الموافق $q(s)$ للمعادلة (1.15) في ${𝒱}_A(s)$ لكل $s\ge s_0$. وبصورة أدق، ندعي ما يأتي.

قضية 3.4 (وجود حلول محبوسة في ${𝒱}_A(s)$).

توجد $A\gg 1$ و$s_0=s_0(A)\gg 1$ و$(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {𝒟}_{s_0}$ بحيث إذا كان $q(s)$ هو حل المعادلة (1.15) ذي المعطيات الابتدائية (3.13)، فعندئذ $q(s)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\ge s_0(A)$.

Proof.

من مسألة كوشي المحلية لـ (1.1) في $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$، نرى أنه لكل معطيات ابتدائية ${\varphi }_{A,s_0,𝐝}\in {𝒱}_A(s_0)$، تملك المعادلة (1.15) حلا وحيدا $q(s)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\in [s_0,s_{\ast })$ مع $s_{\ast }=s_{\ast }(𝐝)$. فإذا كان $s_{\ast }=+\mathrm{\infty }$ لبعض $𝐝=(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {𝒟}_{s_0}$، فقد انتهينا. وإلا فإننا نسير بالمناقضة ونفترض أن لكل $𝐝\in {𝒟}_{s_0}$. بالاستمرارية وتعريف $s_{\ast }$، نلاحظ أن $q(s_{\ast })\in \partial {𝒱}_A(s_{\ast })$. وندعي الآتي.

قضية 3.5 (اختزال منته الأبعاد).

توجد $A\gg 1$ و$s_0=s_0(A)\gg 1$ و$(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in {𝒟}_{s_0}$ بحيث تتحقق الخواص الآتية: إذا كان $q(s)$ هو حل المعادلة (1.15) ذي المعطيات الابتدائية (3.13) وكان $q(s)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\in [s_0,s_1]$ و$q(s_1)\in \partial {𝒱}_A(s_1)$، فعندئذ

• (الاختزال إلى مسألة منتهية الأبعاد) $(q_0,\mathrm{\cdots },q_{2m-1})(s_1)\in \partial \left({[-A{s}_1^{-2},A{s}_1^{-2}]}^{2m}\right)$.

• (التقاطعية) يوجد ${\mu }_0>0$ بحيث $q(s_1+\mu )\notin {𝒱}_A(s_1+\mu )$ لكل $\mu \in (0,{\mu }_0)$.

لنؤجل برهان القضية 3.5 إلى القسم التالي، ونواصل حجتنا. من $(i)$ في القضية 3.5، نحصل على $(q_0,\mathrm{\cdots },q_{2m-1})(s_{\ast })\in \partial \left({[-A{s}_{\ast }^{-2},A{s}_{\ast }^{-2}]}^{2m}\right)$، ويكون التطبيق الآتي معرفا تعريفا جيدا

$\mathrm{\Theta }:{𝒟}_{s_0}$ $\to \partial \left({[-1,1]}^{2m}\right)$

$(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})$ $\mapsto {\displaystyle \frac{s_{\ast }^2}{A}}(q_0,\mathrm{\cdots },q_{2m-1})(s_{\ast }).$

ومن التقاطعية المعطاة في البند $(ii)$ من القضية 3.5، فإن $(q_0,\mathrm{\cdots },q_{2m-1})$ يقطع حده فعلا عند $s=s_{\ast }$، مما يؤدي إلى استمرارية $s_{\ast }$ و$\mathrm{\Theta }$. وباستعمال التقاطعية مرة أخرى، نرى أنه إذا كان $(d_0,\mathrm{\cdots },d_{2m-1})\in \partial {𝒟}_{s_0}$، فإن $q(s)$ يغادر ${𝒱}_A(s)$ عند $s=s_0$، ومن ثم $s_{\ast }=s_0$ و${\mathrm{\Theta }}_{|\partial {𝒟}_{s_0}}=\mathrm{\Gamma }$، وهو التطبيق المعرف في البند $(ii)$ من القضية 3.3. وباستعمال ذلك البند، نرى أن درجة $\mathrm{\Theta }$ لا تساوي الصفر. وبما أن $\mathrm{\Theta }$ مستمر، فهذا تناقض. وهذا ينهي برهان القضية 3.4، على افتراض صحة القضية 3.5. ∎

3.3. خاتمة برهان المبرهنة 1.1.

من القضية 3.4، يوجد حل $q$ للمعادلة (1.15) بحيث $q(s)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\ge s_0$. ومن الملاحظة 3.2، نستنتج أن ${\Vert q(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le C(A)s^{-\frac{1}{2m}}$ لكل $s\ge s_0$. ثم تتبع خلاصة البند $(ii)$ من (1.11) و(3.1). أما البند $(i)$ من المبرهنة 1.1 فهو نتيجة مباشرة للبندين $(ii)$ و$(iii)$. وبما أن برهان البند $(iii)$ مماثل للحالة الكلاسيكية $m=1$، فإننا نكتفي بإيجاز الأفكار الرئيسة تسهيلا على القارئ. ويتبع وجود ملف الانفجار النهائي $u^{\ast }\in 𝒞(ℝ\setminus \{0\})$ من تقنية Merle [Merle(1992)]. وهنا نركز على وصف دقيق لملف الانفجار النهائي $u^{\ast }$ في جوار المفردة. وللقيام بذلك، نتبع تقنية Herrero-Velázquez [Herrero and Velázquez(1993)] (انظر أيضا Bebernes-Bricher [Bebernes and Bricher(1992)] وZaag [Zaag(1998)] لمقاربة مشابهة) بإدخال الدالة المساعدة

$$h(\xi ,\tau ;x_0)={(T-t_0(x_0))}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t),$$ (3.14)

حيث

$$\xi =\frac{x-x_0}{{[T-t_0(x_0)]}^{\frac{1}{2m}}},\tau =\frac{t-t_0(x_0)}{T-t_0(x_0)},$$

و$t_0(x_0)$ يحدد وحيدا بواسطة

$$|x_0|=K{\left[(T-t_0(x_0))|\log (T-t_0(x_0))|\right]}^{\frac{1}{2m}},K\gg 1\text{fixed}.$$ (3.15)

نلاحظ أن $h(\xi ,\tau ;x_0)$ هو أيضا حل لـ (1.1) بسبب ثبات (1.1) تحت التمددات. ومن (1.7)، لدينا

$$\underset{|\xi |\le {|\log (T-t_0(x_0))|}^{\frac{1}{4m}}}{sup}\left|h(\xi ,0,x_0)-\mathrm{\Phi }(K)\right|\le \frac{C}{{(T-t_0(x_0))}^{\frac{1}{2m}}}\to 0\text{as}|x_0|\to 0.$$

ليكن ${\widehat{h}}_K(\tau )$ حل (1.1) ذي المعطى الابتدائي الثابت $\mathrm{\Phi }(K)$، المعرف كما يأتي

$${\widehat{h}}_K(\tau )=\kappa {\left(1-\tau +B_{m,p}{K}^{2m}\right)}^{-\frac{1}{p-1}},\tau \in [0,1).$$

وبالاستمرارية بالنسبة إلى المعطيات الابتدائية للمعادلة (1.1)، يمكن إثبات أن

وبتمرير $\tau \to 1$ إلى النهاية نحصل على

$$u^{\ast }(x_0)={(T-t_0(x_0))}^{-\frac{1}{p-1}}\underset{\tau \to 1}{lim}h(0,\tau ;x_0)\sim {(T-t_0(x_0))}^{-\frac{1}{p-1}}{\widehat{h}}_K(1).$$

ومن التعريف (3.15)، نحسب

$$\left|\log (T-t_0(x_0))\right|\sim 2m\left|\log |x_0|\right|,T-t_0(x_0)\sim \frac{{|x_0|}^{2m}}{2m{K}^{2m}|\log |x_0||}\text{as}|x_0|\to 0,$$

ومن ذلك نحصل على السلوك التقاربي

$$u^{\ast }(x_0)\sim \kappa {\left(\frac{B_{m,p}{|x_0|}^{2m}}{2m|\log |x_0||}\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\text{as}|x_0|\to 0.$$

وهذا ينهي برهان المبرهنة 1.1، على افتراض صحة القضية 3.5.

4. الاختزال إلى مسألة منتهية الأبعاد.

هذا القسم هو الجزء المركزي في تحليلنا، حيث نقدم جميع تفاصيل برهان القضية 3.5، وبذلك نكمل برهان المبرهنة 1.1. والفكرة الجوهرية هي إسقاط المعادلة (1.15) على مركبات مختلفة وفقا للتفكيك (3.8). وبوجه خاص، ندعي أن القضية 3.5 نتيجة مباشرة لما يأتي.

قضية 4.1 (ديناميات المعادلة (1.15)).

لكل $A\gg 1$، يوجد $s_0=s_0(A)\gg 1$ بحيث إذا كان $q(s)\in {𝒱}_A(s)$ لكل $s\in [\tau ,{\tau }_1]$ مع ${\tau }_1\ge \tau \ge s_0$، فإن التقديرات الآتية تتحقق لكل $s\in [\tau ,{\tau }_1]$:

• (ضبط الجزء منتهي الأبعاد)

  $\left|q_k^{\prime }(s)-\left(1-{\displaystyle \frac{k}{2m}}\right)q_k\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^2}}\text{for}0\le k\le 2m-1.$ (4.1)

  $\left|q_{2m}^{\prime }(s)+{\displaystyle \frac{2}{s}}{q}_{2m}\right|\le {\displaystyle \frac{C{A}^3}{s^3}},$ (4.2)

  $|q_j(s)|\le C{e}^{-\left(\frac{j}{2m}-1\right)(s-\tau )}|q_j(\tau )|+{\displaystyle \frac{C{A}^{j-1}}{s^{\frac{j+1}{2m}}}}\text{for}2m+1\le j\le M.$ (4.3)

• (ضبط الجزأين اللانهائي الأبعاد والخارجي)

  ${\Vert {\displaystyle \frac{q_{{}_{M,\perp }}(y,s)}{1+{|y|}^{M+1}}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le C{e}^{-\frac{M(s-\tau )}{2m}}{\Vert {\displaystyle \frac{q_{{}_{M,\perp }}(y,\tau )}{1+{|y|}^{M+1}}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+{\displaystyle \frac{C{A}^M}{s^{\frac{M+2}{2}}}}.$ (4.4)

  ${\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le C{e}^{-\frac{(s-\tau )}{2(p-1)}}{\Vert q_e(\tau )\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+{\displaystyle \frac{C{A}^{M+1}}{s^{\frac{1}{2m}}}}(1+s-\tau ).$ (4.5)

ملاحظة 4.2.

نلاحظ أن المعادلة التفاضلية العادية الحادة (4.2) تأتي من الاختيار الدقيق للثابت $B_{m,p}$ الظاهر في الملف $\mathrm{\Phi }$ المعرف في (1.8). أما الاختيارات الأخرى فتعطي خطأ من الحجم $𝒪\left(\frac{1}{s^2}\right)$، وهو كبير جدا لإغلاق التقدير لـ $q_{2m}$.

لنؤجل برهان القضية 4.1 ونشرع في برهان القضية 3.5.

برهان القضية 3.5 بافتراض القضية 4.1.

بما أن حجة البرهان مشابهة لما أُنجز في [Merle and Zaag(1997)]، فإننا نوجز البرهان فقط تسهيلا على القارئ. نذكر من الفرض أن

$$q(s)\in {𝒱}_A(s)\text{for all}s\in [s_0,s_1]\text{and}q(s_1)\in \partial {𝒱}_A(s_1).$$ (4.6)

ومن ثم يثبت الجزء $(i)$ من القضية 3.5 إذا أثبتنا أن جميع الحدود المعطاة في التعريف 3.1 يمكن تحسينها، باستثناء أول $2m$ مركبة $q_k$ مع $0\le k\le 2m-1$، وذلك بمعنى أنه لكل $s\in [s_0,s_1]$:

(4.7)

(4.8)

نعالج أولا $q_{2m}$. نجادل بالمناقضة مفترضين وجود $s_{\ast }\in [s_0,s_1]$ بحيث لكل $s\in [s_0,s_{\ast })$،

(لاحظ أن وجود $s_{\ast }$ مضمون بالبند $(i)$ من القضية 3.3). وباعتبار $q_{2m}(s_{\ast })>0$ واستعمال خاصية الأصغرية (الحالة مشابهة)، لدينا من جهة

$$q_{2m}^{\prime }(s_{\ast })\ge A^2\frac{d}{ds}\left(\frac{\log s_{\ast }}{s_{\ast }^2}\right)=\frac{A^2}{s_{\ast }^3}-\frac{2A^2\log s_{\ast }}{s_{\ast }^3},$$

وهذا صحيح بفضل (4.6). ومن جهة أخرى، نحصل من المعادلة التفاضلية العادية (4.2) على

$$q_{2m}^{\prime }(s_{\ast })\le \frac{-2A^2\log s_{\ast }}{s_{\ast }^3}+\frac{CA}{s_{\ast }^3},$$

وينتج التناقض إذا كان $A\ge 2C+1$.
أما بالنسبة إلى $q_j$ مع $2m+1\le j\le M$ و$q_{{}_{M,\perp }}$ و$q_e$، فنجادل كما يأتي: لتكن $\lambda =\log A$ ولنفرض أن $s_0\ge \lambda$ بحيث لكل $\tau \ge s_0$ و$s\in [\tau ,\tau +\lambda ]$ لدينا

$$\tau \le s\le \tau +\lambda \le \tau +s_0\le 2\tau ,\text{hence,}\frac{1}{\tau }\sim \frac{1}{s}.$$

نميز بين حالتين:
- من أجل $s-s_0\le \lambda$، نستعمل التقديرات (4.3) و(4.4) و(4.5) مع $\tau =s_0$ مع القضية 3.3 لنجد أن

من أجل $A$ كبير بما يكفي. ومن ثم، فإن التقديرين (4.7) و(4.8) يتحققان من أجل $s-s_0\le \lambda$.
- من أجل $s-s_0>\lambda$، نستعمل التقديرات (4.3) و(4.4) و(4.5) مع $\tau =s-\lambda >s_0$ مع (4.6) لنكتب (تذكر أن $s\ge \lambda /2$)

لذلك فإن التقديرين (4.7) و(4.8) يتحققان لكل $s\in [s_0,s_1]$، ومن ثم تتبع خلاصة الجزء $(i)$ من القضية 3.5.

أما الجزء $(ii)$ من القضية 3.5 فهو نتيجة مباشرة لديناميات $q_k$ المعطاة في (4.1) و(4.6). فعلا، من الجزء $(i)$ من القضية 4.1، نعلم أن $q_k(s_1)=ϵ\frac{A}{s_1^2}$ لبعض $k\in \{0,\mathrm{\cdots },2m-1\}$ و$ϵ=\pm 1$. وباستعمال التقدير (4.1) نحصل على

$$ϵq_k^{\prime }(s_1)\ge \left(1-\frac{k}{2m}\right)ϵq_k(s_1)-\frac{C}{s_1^2}\ge \left((1-\frac{k}{2m})A-C\right)\frac{1}{s_1^2}.$$

إذن، من أجل $0\le k\le \frac{k}{2m}$ و$A$ كبيرين بما يكفي، لدينا $ϵq_k^{\prime }(s_1)>0$. ومن ثم يكون $q_k$ خارجا عرضيا على منحنى الحد $s\mapsto ϵA{s}^{-2}$ عند $s=s_1$. وهذا ينهي برهان القضية 3.5، على افتراض صحة القضية 4.1. ∎

نقدم الآن برهان القضية 4.1 لإكمال برهان القضية 3.5. نقسم البرهان إلى قسمين فرعيين وفقا لجزأي القضية 4.1.

4.1. ضبط الجزء منتهي الأبعاد.

نثبت في هذا الجزء البند $(i)$ من القضية 4.1. إن إسقاطا مباشرا للمعادلة (1.15) على الدالة الذاتية ${\psi }_k$ من أجل $0\le k\le M$ يعطي

$$q_k^{\prime }(s)-\left(1-\frac{k}{2m}\right)q_k(s)={\mathrm{\Pi }}_k\left(Vq+B(q)+R\right).$$ (4.9)

تقدير ${\mathrm{\Pi }}_k(Vq)$.

ندعي ما يأتي.

لمّة 4.3 (توسع $V$).

إن الجهد $V$ المعرف بواسطة (3.3) يحقق التقدير

$$|V(y,s)|\le \frac{C(1+{|y|}^{2m})}{s},\forall y\in ℝ,s\ge 1,$$ (4.10)

ويقبل التوسع المنتظم الآتي لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$،

$$V(y,s)=\sum _{j=1}^n\frac{1}{s^j}{V}_j(y)+𝒪\left(\frac{1+{|y|}^{2m(n+1)}}{s^{n+1}}\right),\forall |y|\le s^{\frac{1}{2m}},s>1,$$ (4.11)

حيث إن $V_j$ كثيرات حدود زوجية من الدرجة $2mj$. وبصورة أدق، لدينا

(4.12)

Proof.

التقدير (4.10) بديهي. ويتبع التقدير (4.11) من توسع Taylor في المتغير $z=\frac{{|y|}^{2m}}{s}$. أما الصيغة (4.12) فتأتي من التعريفين (2.23) و(2.8) لـ $\phi$ و${\psi }_{2m}$. ∎

من اللمّة 4.3، نحصل على التقدير الآتي لـ ${\mathrm{\Pi }}_k(Vq)$.

لمّة 4.4 (تقدير ${\mathrm{\Pi }}_k(Vq)$).

تحت فرضية القضية 4.1، لدينا

$\left|{\mathrm{\Pi }}_k(Vq)\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^2}}\text{for}0\le k\le 2m-1,$

$\left|{\mathrm{\Pi }}_{2m}(Vq)+{\displaystyle \frac{2}{s}}{q}_{2m}\right|\le {\displaystyle \frac{CA}{s^3}},$

$\left|{\mathrm{\Pi }}_k(Vq)\right|\le {\displaystyle \frac{C{A}^{k-2}}{s^{\frac{k+1}{2m}}}}\text{for}2m+1\le k\le M.$

Proof.

بالتعريف 3.1، لدينا

$$|q(y,s)|\le \frac{C{A}^{M+1}}{s^{1+\frac{1}{m}}}(1+{|y|}^{M+1})\text{for all}y\in ℝ.$$ (4.13)

وباستخدام هذا، والتقدير (4.10)، وملاحظة من التعريفين (2.10) و(2.5) أن ${\psi }_k^{\ast }$ متناقصة أسيا، نحصل من أجل $0\le k\le 2m-1$ على

$\left|{\mathrm{\Pi }}_k(Vq)\right|\le {\displaystyle \frac{C{A}^{M+1}}{s^{2+\frac{1}{m}}}}{\displaystyle {\int }_{ℝ}}(1+{|y|}^{M+1+2m}){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\le {\displaystyle \frac{C}{s^2}}.$

من أجل $2m+1\le k\le M$، نكتب من التفكيك (3.8)،

${\mathrm{\Pi }}_k(Vq)={\displaystyle \sum _{i=0}^M}{q}_i(s){\displaystyle {\int }_{ℝ}}V(y,s){\psi }_i(y){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y+{\displaystyle {\int }_{ℝ}}V(y,s)q_{{}_{M,\perp }}(y,s){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y.$

وباستخدام (4.10) والحد المعطى لـ $q_{{}_{M,\perp }}$ في التعريف 3.1 نحصل على

$$\left|{\int }_{ℝ}V(y,s)q_{{}_{M,\perp }}(y,s){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\right|\le \frac{C{A}^{M+1}}{s^{1+\frac{M+1}{2m}}}{\int }_{ℝ}(1+{|y|}^{M+1+2m}){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\le \frac{C{A}^{M+1}}{s^{1+\frac{M+1}{2m}}}.$$

ومن التعامد (2.11)، نلاحظ أن لكل كثيرة حدود $P_n$ من الدرجة $n\le k-1$. ثم نستعمل (4.11) و(4.13) لتقدير

${\displaystyle \sum _{i=0}^M}{q}_i(s){\displaystyle {\int }_{ℝ}}V(y,s){\psi }_i(y){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y$ $={\displaystyle \sum _{i=0}^M}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{q_i(s)}{s^j}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{V}_j(y){\psi }_i(y){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y$

$+𝒪\left({\displaystyle \frac{A^{M+1}}{s^{n+1+\frac{1}{m}}}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}(1+{|y|}^{2m(n+1)+M+1})|{\psi }_k^{\ast }(y)|𝑑y\right)$

$+𝒪\left({\displaystyle \frac{A^{M+1}}{s^{2+\frac{1}{m}}}}{\displaystyle {\int }_{|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}}}(1+{|y|}^{2m+M+1})|{\psi }_k^{\ast }(y)|𝑑y\right).$

والحد الأخير محدود بـ $𝒪(e^{-cs})$ بسبب التناقص الأسي لـ ${\psi }_k^{\ast }$. وبأخذ $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ بحيث $n+1+\frac{1}{m}\ge \frac{k+2}{2m}$، يكون الحد الثاني محدودا بـ $𝒪\left(A^{M+1}{s}^{-\frac{k+2}{2m}}\right)$. وباستعمال حقيقة أن $V_j{\psi }_i$ كثيرة حدود من الدرجة $2mj+i$، نرى أن من أجل $2mj+i\le k-1$. وبدمج هذا مع حدود $q_i$ المعطاة في التعريف 3.1 لـ ${𝒱}_A$، نحصل على التقدير الخشن

$\left|{\displaystyle \sum _{i=0}^M}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{q_i(s)}{s^j}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{V}_j(y){\psi }_i(y){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\right|\le {\displaystyle \sum _{i=0}^M}{\displaystyle \sum _{j=1,2jm+i\ge k}^n}{\displaystyle \frac{C{A}^i}{s^{j+\frac{i+1}{2m}}}}$

$\le {\displaystyle \frac{C{A}^{k-2}}{s^{\frac{k+1}{2m}}}}+{\displaystyle \sum _{i=k-1}^M}{\displaystyle \frac{C{A}^M}{s^{1+\frac{i+1}{2m}}}}\le {\displaystyle \frac{C{A}^{k-2}}{s^{\frac{k+1}{2m}}}}.$

أما بالنسبة إلى $k=2m$، فنحتاج إلى استعمال التعريف الدقيق (4.12) لـ $V_1$ والعمل على نحو مماثل لما فعلناه من أجل $k\ge 2m+1$. فعلا، من التفكيك (3.8) والتوسع (4.11) مع $n=2$، لدينا

${\mathrm{\Pi }}_{2m}(Vq)-{\displaystyle \frac{q_{2m}}{s}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{V}_1(y){\psi }_{2m}{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y={\displaystyle \sum _{i=0,i\ne 2m}^M}{\displaystyle \frac{q_i(s)}{s}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{V}_1{\psi }_i{\psi }_{2m}^{\ast }+𝒪\left({\displaystyle \frac{A^{M+1}}{s^{3+\frac{1}{m}}}}\right).$

وباستخدام التعريف (4.12) لـ $V_1$، والحد المعطى لـ $q_i$ في التعريف 3.1، والحقيقة الآتية من التعريف (2.8) لـ ${\psi }_{\beta }$ ومن التعامد (2.11) وهي أن

$${\int }_{ℝ}{\psi }_{2m}{\psi }_i{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y={\int }_{ℝ}\left(c_0{\psi }_{2m+i}+c_1{\psi }_i+c_2{\psi }_{i-2m}\right){\psi }_{2m}^{\ast }=0\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}2}m+1\le i\le 4m-1,$$

نصل إلى

$$\left|{\mathrm{\Pi }}_{2m}(Vq)+\frac{2}{s}{q}_{2m}\right|\le \sum _{i=0}^{2m-1}\frac{CA}{s^3}+\sum _{4m}^M\frac{C{A}^M}{s^{1+\frac{i+1}{2m}}}+\frac{C{A}^{M+1}}{s^{3+\frac{1}{m}}}\le \frac{CA}{s^3}.$$

وهذا ينهي برهان اللمّة 4.4. ∎

ننتقل الآن إلى تقدير المساهمة الرئيسة للحد اللاخطي $B(q)$ تحت الإسقاط ${\mathrm{\Pi }}_k$. نبدأ بالتوسع الآتي.

لمّة 4.5 (توسع $B(q)$).

لكل و$s\ge s_0\gg 1$ و$|y|\le s^{\frac{1}{2m}}$، تقبل الدالة $B(q)$ المعرفة بواسطة (3.4) التوسع المنتظم

$$\left|B(q)-\sum _{j=2}^{M+1}{q}^j\sum _{l=0}^M\frac{1}{s^l}\left(B_{j,l}(y{s}^{-\frac{1}{2m}})+{\tilde{B}}_{j,l}(y,s)\right)\right|\le C{|q|}^{M+2}+\frac{C}{s^{M+1}},$$ (4.14)

حيث إن $B_{j,l}(z)$ كثيرات حدود زوجية من الدرجة $l$ و

$$|{\tilde{B}}_{j,l}(y,s)|\le \frac{C(1+{|y|}^{M+1})}{s^{\frac{M+1}{2m}}}.$$

وفضلا عن ذلك، لدينا التقدير لكل $y\in ℝ$ و$s\ge 1$،

$$|B(q)|\le C{|q|}^{\overline{p}}\text{with}\overline{p}=\min \{2,p\}.$$ (4.15)

Proof.

نلاحظ أولا من التعريف (2.23) لـ $\phi$ أن هناك ثابتين موجبين $c_0,C_0$ بحيث $c_0\le \phi (y,s)\le C_0$ من أجل $|y|\le s^{\frac{1}{2m}}$. لذلك يعطي توسع Taylor لـ $B(q,\phi )$ بدلالة $q$ ما يأتي

$$\left|B(q)-\sum _{j=2}^{M+1}{B}_j(\phi )q^j\right|\le C{|q|}^{M+1},$$

حيث تقبل $B_j(\phi )$ التوسع الآتي بدلالة $\frac{1}{s}$،

$$\left|B_j(\phi )-\sum _{l=0}^M\frac{1}{s^l}{B}_{j,l}(\mathrm{\Phi })\right|\le \frac{C}{s^{M+1}}.$$

والآن، يعطي توسع Taylor لـ $B_{j,l}(\mathrm{\Phi })$ بدلالة المتغير $z=y{s}^{-\frac{1}{2m}}$ النتيجة المطلوبة. وهذا ينهي برهان اللمّة 4.5. ∎

ومع اللمّة 4.5، نقدر المساهمة الرئيسة لـ $B(q)$ تحت الإسقاط ${\mathrm{\Pi }}_k$. ندعي الآتي.

لمّة 4.6 (تقدير لـ ${\mathrm{\Pi }}_k\left(B(q)\right)$).

تحت فرضية القضية 4.1، لدينا

$\left|{\mathrm{\Pi }}_k(B(q))\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^2}}\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}0}\le k\le 2m-1,\left|{\mathrm{\Pi }}_{2m}(B(q))\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^3}},$

$\left|{\mathrm{\Pi }}_k(B(q))\right|\le {\displaystyle \frac{C{A}^k}{s^{\frac{k+2}{2m}}}}\text{for}\mathrm{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}2}m+1\le k\le M.$

Proof.

من (4.14)، والتناقص الأسي لـ ${\psi }_k^{\ast }$ و(4.13)، لدينا

${\mathrm{\Pi }}_k(B(q))={\displaystyle \sum _{j=2}^{M+1}}{\displaystyle \sum _{l=0}^M}{\displaystyle \frac{1}{s^l}}{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{q}^j{B}_{j,l}{\psi }_k^{\ast }𝑑y+𝒪\left({\displaystyle \frac{A^{M+1}}{s^{2(1+1/m)+\frac{M+1}{2m}}}}\right)+𝒪(e^{-cs}).$

ومن التفكيك (3.8)، نكتب

ومن التعريف 3.1 لـ ${𝒱}_A$ والحدودية المنتظمة لـ $q$، نحصل على الحد الآتي لـ $j\ge 2$،

لذلك،

نعالج فقط الحالة $k=2m$، وهي الأدق. أما الحالة $k\ne 2m$ فيمكن معالجتها على نحو مماثل، فنحذفها. من (4.13)، لدينا

ويبقى ضبط الحد . وبحسب تعريف ، نوسع

$={\left({\displaystyle \sum _{i=0}^{2m}}{q}_i{\psi }_i\right)}^2+2\left({\displaystyle \sum _{i=0}^{2m}}{q}_i{\psi }_i\right)\left({\displaystyle \sum _{i^{\prime }=2m+1}^M}{q}_{i^{\prime }}{\psi }_{i^{\prime }}\right)+{\left({\displaystyle \sum _{i^{\prime }=2m+1}^M}{q}_{i^{\prime }}{\psi }_{i^{\prime }}\right)}^2$

$=I_1+I_2+I_3.$

ومن التعريف 3.1، لدينا $|I_1|\le \frac{C{A}^4{\log }^2}{s^4}(1+{|y|}^{4m})$ و$|I_2|\le \frac{C{A}^{M+4}\log s}{s^{3+1/m}}(1+{|y|}^{M+2m})$. ومن ثم،

$${\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}\left|(I_1+I_2){\psi }_{2m}^{\ast }dy\right|\le \frac{C{A}^4{\log }^2}{s^4}+\frac{C{A}^{M+4}\log s}{s^{3+1/m}}\le \frac{1}{s^3}.$$

لاحظ من علاقة التعامد (2.11) أنه إذا كان $i^{\prime }+l^{\prime }\ne J2m$ من أجل $J\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، فلدينا

لذلك نقدر

${\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}{I}_3{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y$ $={\displaystyle \sum _{i^{\prime },l^{\prime }=2m+1}^M}{c}_{i^{\prime },l^{\prime }}{q}_{i^{\prime }}(s)q_{l^{\prime }}(s){\displaystyle {\int }_{ℝ}}{\psi }_{i^{\prime }}{\psi }_{l^{\prime }}{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y+𝒪(e^{-cs})$

$={\displaystyle \sum _{i^{\prime },l^{\prime }=2m+1,i^{\prime }+l^{\prime }=J2m}^M}{c}_{i^{\prime },l^{\prime }}{q}_{i^{\prime }}(s)q_{l^{\prime }}(s){\displaystyle {\int }_{ℝ}}{\psi }_{i^{\prime }}{\psi }_{l^{\prime }}{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y+𝒪(e^{-cs}).$

من أجل $J\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. وبما أن $i^{\prime }+l^{\prime }\ge 4m+2$، فإنه ينتج أن $J\ge 3$. ومن التعريف 3.1، لدينا الحد $|q_{i^{\prime }}{q}_{l^{\prime }}|\le \frac{A^{i^{\prime }+l^{\prime }}}{s^{\frac{i^{\prime }+l^{\prime }+2}{2m}}}\le \frac{A^{i^{\prime }+l^{\prime }}}{s^{3+\frac{1}{m}}}\le \frac{1}{s^3}$. لذلك $\left|{\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}{I}_3{\psi }_{2m}^{\ast }𝑑y\right|\le \frac{1}{s^3}$. وهذا ينهي برهان اللمّة 4.6. ∎

ننتقل الآن إلى حد الخطأ المتولد $R$. نبدأ بالتوسع الآتي.

لمّة 4.7 (توسع $R$).

تحقق الدالة $R$ المعرفة بواسطة (3.5) ما يأتي

$${\Vert R(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{C}{s},$$

وتقبل التوسع الآتي: لكل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ و$|y|\le s^{\frac{1}{2m}}$ و$s\ge 1$:

$$\left|R(y,s)-\sum _{j=1}^{n-1}\frac{1}{s^{j+1}}{R}_j(y)\right|\le \frac{C(1+{|y|}^{2mn})}{s^{n+1}},$$ (4.16)

حيث إن $R_j$ كثيرات حدود من الدرجة $2mj$ من الشكل $R_j(y)={\sum }_{i=0}^j{d}_i{y}^{2mi}$. علاوة على ذلك، فإن معامل الدرجة $2m$ في $R_1$ منعدم مطابقيا، ومن ثم .

Proof.

ليكن $z=y{s}^{-\frac{1}{2m}}$، ولاحظ أن $\mathrm{\Phi }(z)$ يحقق المعادلة (2.21). لذلك نعيد كتابة (3.5) كما يأتي:

$$R(y,s)=\frac{z}{2ms}\cdot \nabla \mathrm{\Phi }+\frac{A_{m,p}}{s^2}+\frac{1}{s}{𝐀}_m\mathrm{\Phi }-\frac{A_{m,p}}{(p-1)s}+Q\left(\mathrm{\Phi }+\frac{A_{m,p}}{s}\right)-Q(\mathrm{\Phi }),$$ (4.17)

حيث $Q(h)=h^p$. وبما أن $c_0\le \mathrm{\Phi }(z)\le C_0$ لكل $|z|\le 1$ مع $c_0,C_0$ ثوابت موجبة ما، فإن لدينا التوسع الآتي لـ $Q$،

$$\left|Q\left(\mathrm{\Phi }+\frac{A_{m,p}}{s}\right)-Q(\mathrm{\Phi })-\sum _{j=1}^J\frac{1}{s^j}{Q}_j(\mathrm{\Phi })\right|\le \frac{C}{s^{J+1}}\text{for}J\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

ثم نوسع $Q_j$ وجميع الحدود المتبقية في (4.17) في متسلسلات قوى لـ $Z=z^{2m}$ لنحصل على النتيجة المطلوبة. نلاحظ أن معامل $\frac{1}{s}$ في توسع $R$ (بعد حساب أولي) يعطى بـ

$$A_{m,p}-\frac{(2m)!\kappa B_{m,p}}{p-1}=0,$$

حيث استعملنا (2.24). علاوة على ذلك، $R_1(y)=C_1{y}^{2m}+C_2$، حيث $C_2=C_2(p,m)$ و

$$C_1=\frac{\kappa B_{m,p}}{p-1}\left(\frac{(4m)!}{(2m)!}\frac{p{B}_{m,p}}{2(p-1)}-\frac{p{A}_{m,p}}{\kappa }-1\right)=0.$$

ومرة أخرى، تكون القيم الدقيقة لـ $B_{m,p}$ و$A_{m,p}$ المعطاة في (2.24) حاسمة لاستنتاج أن $C_1$ منعدم مطابقيا. لذلك تعطي علاقة التعامد (2.11) أن . وهذا ينهي برهان اللمّة 4.7. ∎

وكنتيجة مباشرة للّمة 4.7، لدينا ما يأتي.

لمّة 4.8 (تقدير ${\mathrm{\Pi }}_k(R)$).

تحت فرضية القضية 4.1، لدينا

${\mathrm{\Pi }}_k(R)=𝒪(s^{-M})\text{for}(k\text{mod}\mathrm{\hspace{0.33em}2}m)\ne 0,$

$\left|{\mathrm{\Pi }}_0(R)\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^2}},\left|{\mathrm{\Pi }}_{2m}(R)\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^3}},\left|{\mathrm{\Pi }}_{2mi}(R)\right|\le {\displaystyle \frac{C}{s^{i+1}}}\text{for}i\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$

Proof.

يتبع البرهان مباشرة من التوسع (4.16) ومن حقيقة أن

ومن أجل $k\in \mathbb{N}$ مع $(k\text{mod}\mathrm{\hspace{0.33em}2}m)\ne 0$، نستعمل التوسع (4.16) مع $n=M-1$ (يمكننا أن نستبدل $M$ بأي عدد صحيح موجب $L\gg 1$) ونكتب

$|{\mathrm{\Pi }}_k(R)|$ $=\left|{\displaystyle {\int }_{ℝ}}R(y,s){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}}R(y,s){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y+{\displaystyle {\int }_{|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}}}R(y,s){\psi }_k^{\ast }(y)𝑑y\right|$

$\le {\displaystyle \sum _{j=1}^{M-2}}{\displaystyle {\int }_{|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}}}{\displaystyle \frac{|R_j(y)|}{s^{j+1}}}|{\psi }_k^{\ast }(y)|𝑑y+{\displaystyle \frac{C}{s^M}}{\displaystyle {\int }_{ℝ}}(1+{|y|}^{2m(M-1)})|{\psi }_k^{\ast }(y)|𝑑y$

$+{\displaystyle \frac{C}{s}}{\displaystyle {\int }_{|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}}}|{\psi }_k^{\ast }(y)|𝑑y\le {\displaystyle \frac{C}{s^M}}+C{e}^{-cs}\le {\displaystyle \frac{C}{s^M}}.$

ومن أجل $(k\text{mod}\mathrm{\hspace{0.33em}2}m)\ne 0$، أي $k=2mi$ لبعض $i\in \mathbb{N}$، نستعمل (4.16) مع $n=i+1$ للحصول على الخلاصة. وهذا ينهي برهان اللمّة 4.8. ∎

إن جمع كل التقديرات المعطاة في اللمّات 4.4 و4.6 و4.8 والمعادلة (4.9) يعطي خلاصة الجزء $(i)$ من القضية 4.1.

4.2. ضبط الجزأين اللانهائي الأبعاد والخارجي.

نثبت في هذا الجزء البند $(ii)$ من القضية. نعالج أولا الجزء اللانهائي الأبعاد $q_{{}_{M,\perp }}$، ثم الجزء الخارجي $q_e$.

ضبط $q_{{}_{M,\perp }}$:

بتطبيق ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}$ على المعادلة (1.15) واستعمال حقيقة أن ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}{\psi }_n=0$ لكل $n\le M$ (انظر (3.10))، نحصل على

$${\partial }_s{q}_{{}_{M,\perp }}={ℒ}_m{q}_{{}_{M,\perp }}+{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(Vq+B(q)+R\right).$$ (4.18)

وبالتعريف، لدينا ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(y^k)=0$ لكل $k\le M$. وباستعمال الحد المنتظم ${\Vert R(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{C}{s}$ والتوسع (4.16) مع $n=\frac{M}{2m}$ (انظر (3.11) لتعريف $M$)، وملاحظة أن ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(R_j)=0$ من أجل $j\le \frac{M}{2m}$، نحصل على

$\left|{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(R)\right|$ $\le {\displaystyle \frac{C(1+{|y|}^{M+2m})}{s^{\frac{M}{2m}+2}}}{\mathrm{𝟏}}_{|y|\le s^{\frac{1}{2m}}}+|R(y,s)|{\mathrm{𝟏}}_{|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}}\le {\displaystyle \frac{C(1+{|y|}^{M+1})}{s^{\frac{M+1}{2m}+1}}}.$ (4.19)

أما تقدير ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(Vq)$، فندعي ما يأتي.

لمّة 4.9 (تقدير ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(Vq)$).

تحت فرضية القضية 4.1، لدينا

$${\Vert \frac{{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(Vq)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le \left({\Vert V(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+\frac{C}{s}\right){\Vert \frac{q_{{}_{M,\perp }}}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+\frac{C{A}^M}{s^{\frac{M+2}{2m}}}.$$ (4.20)

Proof.

بالتعريف، نكتب

حيث . وباستعمال التقدير (4.10)، نستنتج

أما ضبط ، فنحاجج كما يأتي:
- إذا كان $M-i=0\text{mod}\mathrm{\hspace{0.33em}2}m$، نأخذ $n=\frac{M-i}{2m}$ في التوسع (4.11) ونكتب

${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(V{q}_i{\psi }_i\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{q_i}{s^j}}{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(V_j{\psi }_i\right)+{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left({\tilde{V}}_n{q}_i{\psi }_i\right),$

حيث $|{\tilde{V}}_n(y,s)|\le \frac{C(1+{|y|}^{2m(n+1)})}{s^{n+1}}$. وباستعمال حقيقة أن ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(y^n)=0$ من أجل $n\le M$، نحصل على ${\sum }_{j=1}^n{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(V_j{q}_i)=0$. ومن ثم،

$$\left|{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(V{q}_i{\psi }_i\right)\right|\le \frac{C|q_i|}{s^{\frac{M-i}{2m}+1}}\le \frac{C{A}^M}{s^{\frac{M+2}{2m}}}.$$

- إذا كان $M-i=l\text{mod}\mathrm{\hspace{0.33em}2}m$ لبعض $l\in (1,2m)$، نأخذ $n=\frac{M-i-l}{2m}$ في التوسع (4.11) لنستنتج أن

$$\left|{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(V{q}_i{\psi }_i\right)\right|\le \frac{C|q_i|}{s^{\frac{M-i-l}{2m}+1}}\le \frac{C{A}^M}{s^{\frac{M+2}{2m}}}.$$

وهذا ينهي برهان اللمّة 4.9. ∎

وبخصوص ضبط ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(B(q))$، ندعي الآتي.

لمّة 4.10 (تقدير ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(B(q))$).

تحت فرضية القضية 4.1، لدينا

$${\Vert \frac{{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(B(q))}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le \frac{C{A}^{{(M+2)}^2}}{s^{\frac{M+1+\overline{p}}{2m}}}\text{with}\overline{p}=\min \{2,p\}.$$ (4.21)

Proof.

لتكن $B_M$ معرفة بواسطة

(4.22)

حيث إن و$B_{j,l}$ معرفة في اللمّة 4.5. ثم ندعي الآتي: لكل $y\in ℝ$ و$s\ge 1$،

$$\left|B(q)-B_M\right|\le \frac{C{A}^{{(M+2)}^2}}{s^{\frac{M+1+\overline{p}}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1}).$$ (4.23)

يتبع التقدير (4.21) ببساطة من (4.23) لأن ${\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}(B_M)=0$. لنثبت (4.23). في المنطقة $|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}$، نستعمل (4.15) والحدود المعطاة في التعريف 3.1 لتقدير

$$|B(q)|\le \frac{C{A}^{\overline{p}(M+2)}}{s^{\frac{\overline{p}}{2m}}}\le \frac{C{A}^{\overline{p}(M+2)}}{s^{\frac{M+1+\overline{p}}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1})\text{for}|y|\ge s^{\frac{1}{2m}}.$$

وفي المنطقة $|y|\le s^{\frac{1}{2m}}$، نكتب من اللمّة 4.5 التوسع

$\le \left|{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left({\displaystyle \sum _{j=2}^{M+1}}{q}^j{\displaystyle \sum _{l=0}^M}{\displaystyle \frac{1}{s^l}}{B}_{j,l}(y{s}^{-\frac{1}{2m}})\right)\right|+\left|{\displaystyle \sum _{j=2}^{M+1}}{q}^j{\displaystyle \sum _{l=0}^M}{\displaystyle \frac{1}{s^l}}{\tilde{B}}_{j,l}(y,s)\right|+{|q|}^{M+2}+{\displaystyle \frac{C}{s^{M+1}}}.$

وتبين حجة مماثلة لما في برهان اللمّة 4.6 أن معامل الدرجة $k\ge M+1$ في كثيرة الحدود ${\sum }_{j=0}^{M+1}{q}^j{\sum }_{l=0}^M\frac{1}{s^l}{B}_{j,l}(y{s}^{-\frac{1}{2m}})$ محدود بـ $\frac{A^k}{s^{\frac{k+2}{2m}}}$، ومن ثم

$$\left|{\mathrm{\Pi }}_{{}_{M,\perp }}\left(\sum _{j=2}^{M+1}{q}^j\sum _{l=0}^M\frac{1}{s^l}{B}_{j,l}(y{s}^{-\frac{1}{2m}})\right)\right|\le \frac{C{A}^{2(M+1)}}{s^{\frac{M+3}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1}),\forall |y|\le s^{\frac{1}{2m}}.$$

ومن (4.13) والملاحظة 3.2، نحصل على

$$\left|\sum _{j=2}^{M+1}{q}^j\sum _{l=0}^M\frac{1}{s^l}{\tilde{B}}_{j,l}(y,s)\right|\le \frac{C{A}^{(M+2)(M+1)}}{s^{\frac{1}{m}+\frac{M+1}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1})\le \frac{C{A}^{{(M+2)}^2}}{s^{\frac{M+1+\overline{p}}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1}),$$

و

$${|q|}^{M+2}\le C{\left(\frac{A^{M+2}}{s^{\frac{1}{2m}}}\right)}^{M+1}\frac{A^{M+2}}{s^{1+\frac{1}{m}}}(1+{|y|}^{m+1})\le \frac{C{A}^{{(M+2)}^2}}{s^{\frac{M+1+\overline{p}}{2m}}}(1+{|y|}^{M+1}).$$

وهذا يكمل برهان (4.23) وكذلك برهان اللمّة 4.10. ∎

بإدخال (4.19) و(4.20) و(4.21) في المعادلة (4.18) نحصل على

$${\partial }_s{q}_{{}_{M,\perp }}={ℒ}_m{q}_{{}_{M,\perp }}+G_{{}_{M,\perp }},$$

حيث يحقق $G_{{}_{M,\perp }}$، من أجل $s$ كبير بما يكفي،

$${\Vert \frac{G_{{}_{M,\perp }}(y,s)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\le {\Vert V(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}{\Vert \frac{q_{{}_{M,\perp }}(y,s)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}+\frac{C{A}^M}{s^{\frac{M+2}{2m}}}.$$

وباستخدام تمثيل شبه الزمرة بواسطة ${ℒ}_m$، نكتب لكل $s\in [\tau ,{\tau }_1]$،

$$q_{{}_{M,\perp }}(s)=e^{(s-\tau ){ℒ}_m}{q}_{{}_{M,\perp }}(\tau )+{\int }_{\tau }^s{e}^{(s-s^{\prime }){ℒ}_m}{G}_{{}_{M,\perp }}(s^{\prime })𝑑s^{\prime },$$

حيث يعرف $e^{s{ℒ}_m}$ في اللمّة 2.3. وبأخذ $\lambda (s)={\Vert \frac{q_{{}_{M,\perp }}(s)}{1+{|y|}^{M+1}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}$ واستعمال $(iii)$ من اللمّة (2.3)، لدينا

$\lambda (s)$ $\le e^{-\frac{M}{2m}(s-\tau )}\lambda (\tau )+{\displaystyle {\int }_{\tau }^s}{e}^{-\frac{M}{2m}(s-s^{\prime })}{\Vert {\displaystyle \frac{G_{{}_{M,\perp }}(s^{\prime })}{1+{|y|}^{M+1}}}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}𝑑s^{\prime }$

$\le e^{-\frac{M}{2m}(s-\tau )}\lambda (\tau )+{\displaystyle {\int }_{\tau }^s}{e}^{-\frac{M}{2m}(s-s^{\prime })}\left({\Vert V(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)}\lambda (s^{\prime })+{\displaystyle \frac{C{A}^M}{s^{\prime \frac{M+2}{2m}}}}\right)𝑑s^{\prime }.$

وبما أننا ثبتنا $M$ كبيرا بحيث ${\Vert V\Vert }_{L_{y,s}^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{M}{4m}$ (انظر (3.11))، فإن حجة Gronwall قياسية مطبقة على الدالة $e^{\frac{Ms}{2m}}\lambda (s)$ تعطي

$$e^{\frac{Ms}{2m}}\lambda (s)\le e^{\frac{M(s-\tau )}{4m}}{e}^{\frac{M\tau }{2m}}\lambda (\tau )+C{e}^{\frac{Ms}{2m}}\frac{A^M}{s^{\frac{M+2}{2}}},$$

ومنها نستنتج برهان (4.4).

ضبط $q_e$.

نكتب من (1.15) المعادلة التي يحققها $q_e=(1-\chi (y,s))q$،

${\partial }_s{q}_e$ $=\left({ℒ}_m-{\displaystyle \frac{p}{p-1}}\right)q_e+(1-\chi )(Q+R)+E_1+E_2,$

حيث يعرف $R$ بواسطة (3.5)،

$Q$ $={|q+\phi |}^{p-1}(q+\phi )-{\phi }^p,E_1=-q\left({\partial }_s\chi +{𝐀}_m\chi +{\displaystyle \frac{1}{2m}}y\cdot \nabla \chi \right),$

$E_2$ $={𝐀}_m(\chi q)+q{𝐀}_m\chi -\chi {𝐀}_{m}q={\displaystyle \sum _{j=1}^{2m-1}}{c}_j{\nabla }^j\left(q{\nabla }^{2m-j}\chi \right).$

وباستخدام تمثيل شبه الزمرة بواسطة ${ℒ}_m$ والبنود $(i)-(ii)$ من اللمّة 2.3، نكتب لكل $s\in [\tau ,{\tau }_1]$،

${\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$ $\le e^{-\frac{s-\tau }{p-1}}{\Vert q_e(\tau )\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}+{\displaystyle {\int }_{\tau }^s}{e}^{-\frac{s-s^{\prime }}{p-1}}{\Vert (1-\chi )(Q(s^{\prime })+R(s^{\prime }))+E_1(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}𝑑s^{\prime }$

$+C{\displaystyle \sum _{j=1}^{2m-1}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^s}{e}^{-\frac{s-s^{\prime }}{p-1}}{\left(1-e^{(s-s^{\prime })}\right)}^{-\frac{j}{2m}}{\Vert q(s^{\prime }){\nabla }^{2m-j}\chi (s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}𝑑s^{\prime }.$

ومن أجل $K$ كبير بما يكفي، لدينا

$${\Vert (1-\chi (y,s^{\prime })Q(s^{\prime }))\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{\Vert \phi (s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}^{p-1}{\Vert q_e(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{1}{2(p-1)}{\Vert q_e(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}.$$

نذكر من اللمّة 4.7 أن ${\Vert R(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{C}{s^{\prime }}$. أما بالنسبة إلى $E_1$، فنستعمل تعريف $\chi$ المعطى في (3.6) والحدود المعطاة في التعريف 3.1 للحصول على التقدير

$${\Vert E_1(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{\Vert q(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}\left(K{s}^{\prime \frac{1}{2m}}\le |y|\le 2K{s}^{\prime \frac{1}{2m}}\right)}\le \frac{C{A}^{M+1}}{s^{\prime \frac{1}{2m}}}.$$

وبما أن ${\Vert {\nabla }^{2m-j}\chi (s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C{s}^{\prime -\frac{2m-j}{2m}}$، وباستعمال حقيقة أن ${\nabla }^{2m-j}\chi$ ذات حامل مدمج، نقدر

$$\sum _{j=1}^{2m-1}{\Vert q(s^{\prime }){\nabla }^{2m-j}\chi (s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{C{A}^{M+1}}{s^{\prime \frac{1}{m}}}.$$

ويعطي جمع التقديرات أعلاه

${\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$ $\le e^{-\frac{s-\tau }{p-1}}{\Vert q_e(\tau )\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$

$+{\displaystyle {\int }_{\tau }^s}{e}^{-\frac{s-s^{\prime }}{p-1}}\left({\displaystyle \frac{1}{2(p-1)}}{\Vert q_e(s^{\prime })\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}+{\displaystyle \frac{C{A}^{M+1}}{s^{\prime \frac{1}{2m}}}}+{\displaystyle \frac{C{A}^{M+1}}{{\left[s^{\prime }\sqrt{1-e^{(s-s^{\prime })}}\right]}^{\frac{1}{m}}}}\right)𝑑s^{\prime }.$

وبتطبيق متباينة Gronwall القياسية على الدالة $e^{\frac{s}{p-1}}{\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$ نحصل على

$$e^{\frac{s}{p-1}}{\Vert q_e(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le e^{\frac{s-\tau }{2(p-1)}}{e}^{\frac{\tau }{p-1}}\lambda (\tau )+\frac{C{A}^{M+1}}{s^{\frac{1}{2m}}}(s-\tau +1),$$

ومنها يتبع التقدير (4.5). وهذا يكمل برهان القضية 4.1. $\mathrm{\square }$