date11042018

متباينات ارتباط العناقيد العشوائية لحقول غيبس

نثبت في هذه المذكرة متباينة ارتباط للمتغيرات المحلية في حقل غيبس، مبنية على الاتصال بواسطة الروابط الفائقة النشطة في تمثيل عنقودي عشوائي لتوزيع تشكيلات عدم التطابق لنسختين مستقلتين من الحقل.

ونتيجة لذلك، نبيّن أن غياب ترشيح الروابط الزرقاء بمعنى Machta-Newman-Stein يستلزم وحدانية توزيع غيبس في زجاجات السبين EA. وفي البعد الثاني قد يشكل ذلك خطوة نحو برهان أن درجة الحرارة الحرجة تساوي الصفر.

1 مقدمة

يسمح تمثيل FK الكلاسيكي [FK72] بالتعبير عن ارتباط السبين-السبين للمغناطيسات الحديدية من نوع آيزنغ بدلالة اتصال الروابط المشغولة وفق FK في تمثيل العناقيد العشوائية لنموذج آيزنغ. ولا تتوافر تعبيرات أو حدود مماثلة لارتباط ملاحظات أعم، أو حتى لارتباطات السبين في نماذج غيبس العامة.

في هذه الورقة نقدم متباينة ارتباط عامة من هذا النوع بأخذ نسختين من حقل غيبس. وبصورة محددة، يحد ارتباط أي ملاحظتين محليتين من الأعلى اتصال الروابط الفائقة النشطة (وهو تعميم للروابط المشغولة) في تمثيل عنقودي عشوائي (معمم) لتوزيع تشكيلات عدم التطابق بين نسختين مستقلتين من حقل غيبس (وتسمى «طيّات» في [BG13])، حيث يؤخذ متوسط الاتصال على توزيع تشكيلات التطابق. وهو، حسب علم المؤلف، أول نتيجة من هذا النوع بهذا الطيف الواسع من قابلية التطبيق.

تستحصل توزيعات تشكيلات التطابق وعدم التطابق في نسختين مستقلتين، بالنسبة إلى مقياس غيبس عام، بتثبيت قيمة مجموع السبينات المتناظرة عند كل رأس: نعلن وجود تطابق إذا كان هناك زوج واحد فقط من قيم السبين، واحد من كل نسخة، يكون مجموعه مساويا للمجموع الموصوف، ونعلن عدم التطابق عندما توجد إمكانات أكثر. في الحالة الخاصة التي لا تأخذ فيها السبينات إلا القيم $\pm 1$، كما في نموذج آيزنغ أو زجاجات السبين، يكون لدينا تطابق عندما يتفق السبنان، وعدم تطابق عندما يختلفان، بما يوافق المصطلح المعياري حول التطابق في نظرية زجاج السبين [MNS08].

يعود استعمال مجموع (وفرق) السبينات في نسختين مستقلتين من نموذج آيزنغ إلى Percus وLebowitz [L74]، وتوزيع تشكيلات عدم التطابق أساسي في [R00]. ويظهر تمثيل عنقودي عشوائي معمم (RCR) في [BG13]، ويجري هنا تعميمه أكثر. كما يظهر استعمال مقياس الضرب لإثبات المتباينات في [G18].

تستخلص بعد ذلك في الورقة بعض نتائج المتباينة الرئيسية؛ وهي تشمل معيارا للتطرف في توزيع غيبس، يسمح باستعادة النقطة الحرجة لوحدانية سلاسل ماركوف في نموذج آيزنغ حديدي مغناطيسي على شجرة ثنائية؛ ومعيارا لوحدانية توزيع غيبس، يقارن لاحقا بمعيار Dobrushin وترشيح الاختلاف (انظر القسم $4$).

ثم نربط نتائجنا، في القسم $4.5$، بتمثيل MNS لزجاجات السبين $\pm J$ [MNS08]؛ وتتمثل نتيجتنا النهائية في أن غياب ترشيح الروابط الزرقاء MNS (في منطقة عدم التطابق، ومن ثم غياب هذا الترشيح على الإطلاق) لأي شرط حدي يستلزم وحدانية توزيع غيبس تقريبا في كل مكان. ومن المتصور عندئذ أن القيود الهندسية ثنائية البعد تمنع تكوّن ترشيح للروابط الزرقاء MNS عند أي درجة حرارة منتهية، مما يعطي برهانا على الحدسية القديمة القائلة إن الانتقال الطوري يحدث عند درجة الحرارة الصفرية في نموذج EA ثنائي البعد (انظر [NS13]، الصفحة 84، أو [TTC17]، الصفحة 48).

يود المؤلف أن يشكر J. van den Berg وC. Newman وD. Stein على مناقشات قيمة جدا.

2 تمهيدات

2.1 توزيعات تشكيلات التطابق وعدم التطابق

نعتبر بيانا غير منته $𝒢=(V,E)$، وعائلة محلية الانتهاء من الروابط الفائقة $ℬ=\{b\subset V,b\text{ finite}\}$؛ يشير $\mathrm{\Lambda }$ إلى المجموعات الجزئية المنتهية من $V$، و$\delta \mathrm{\Lambda }$ هو مجموعة الرؤوس $v\in V$ بحيث يوجد $b\in ℬ$ مع $v\in b,b\cap \mathrm{\Lambda }\ne \mathrm{\varnothing },b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c\ne \mathrm{\varnothing }$.

ثم نأخذ $\mathrm{\Omega }=F^V$، حيث $F$ أبجدية منتهية؛ ولكل $\mathrm{\Lambda }\subset V$، يكون ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}=F^{\mathrm{\Lambda }}$. وتدل على التشكيلات المركبة بمجاورة الرموز، ولذلك، من أجل $C_1,C_2$ المتباعدة، يكون ${\omega }_{C_1}{\omega }_{C_2}$ هو تشكيل ${\mathrm{\Omega }}_{C_1\cup C_2}$ المتحصل من ${\omega }_{C_1}$ و${\omega }_{C_2}$.

نعتبر بعد ذلك تآثرا $\varphi$ معرفا على ${\cup }_{b\in ℬ}{\mathrm{\Omega }}_b$؛ ولإدراج القيود الممكنة نسمح بأن $\varphi =\mathrm{\infty }$؛ وعلى الرغم من أن استعمال مجموعة مختلفة من الروابط الفائقة عن $ℬ$ للقيود الممكنة سيكون أكثر تعبيرا (انظر [GL16])، فإن هذا التمييز غير لازم لأغراضنا هنا.

إن $ℬ$-مقياس غيبس على $\mathrm{\Lambda }$ بتآثرات $\varphi$ وشروط حدية ${\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}$ هو

$${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\omega }_{\mathrm{\Lambda }})=\frac{1}{Z}{e}^{{\sum }_{b\in \mathrm{\Lambda }}\varphi ({\omega }_b)+{\sum }_{b:b\cap \mathrm{\Lambda }\ne \mathrm{\varnothing },b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c\ne \mathrm{\varnothing }}\varphi ({\omega }_{b\cap \mathrm{\Lambda }}{\tilde{\omega }}_{b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c})}.$$

وتدل الحدود الثرموديناميكية في $\mathrm{\Lambda }$ لـ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ بـ ${\mu }_{\varphi }={\mu }_{\varphi ,\tilde{\omega }}$، حيث يدل $\tilde{\omega }$ على متتالية من الشروط الحدية.

ننظر بعد ذلك في نسختين ${\mathrm{\Lambda }}^{(1)},{\mathrm{\Lambda }}^{(2)}$ من $\mathrm{\Lambda }$، وفي فضاء الضرب ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }={\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^{(1)}}\times {\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^{(2)}}$ مع مقياس الضرب ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)}$، حيث ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(\mathrm{\ell })}{=}^d{\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$، أي إننا ندرس نسختين مستقلتين من النموذج.

نهتم بالتكييف على قيم دوال محلية ذات قدر من القابلية للعكس. وهناك اختيارات ممكنة كثيرة، وللتبسيط نقتصر على مجموع السبينات، أي على ${\sigma }_i={\omega }_i^{(1)}+{\omega }_i^{(2)}$، حيث ${\omega }^{(\mathrm{\ell })}\in {\mathrm{\Omega }}^{(\mathrm{\ell })}$. وعندئذ، $\sigma ={\{{\sigma }_i\}}_{i\in \mathrm{\Lambda }}\in \mathrm{\Sigma }={\prod }_{i\in \mathrm{\Lambda }}\tilde{F}$ مع $\tilde{F}=\{a:a=a_1+a_2,a_{\mathrm{\ell }}\in F\}$. عند إعطاء $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$ و$\omega \in \mathrm{\Omega }$، ندل بـ $\sigma -\omega$ على التشكيل الذي يحقق ${(\sigma -\omega )}_i={\sigma }_i-{\omega }_i$. وعند إعطاء $\sigma$، تسمى احتمالية $\mu$ على $\mathrm{\Omega }$ $\sigma$-متناظرة إذا كان $\mu (\omega )=\mu (\sigma -\omega )$ لجميع $\omega$.

عند إعطاء $\sigma$، لنضع $W_{\sigma }=\{({\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)}):{\omega }_i^{(1)}+{\omega }_i^{(2)}={\sigma }_i\text{ for all }i\in \mathrm{\Lambda }\}$. إن المجموعة ${\{W_{\sigma }\}}_{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}$ تشكل تجزئة لـ ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$، ونعرف توزيع تشكيلات التطابق

$${\rho }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )=({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)})(W_{\sigma }),$$

وكذلك توزيع تشكيلات عدم التطابق

$${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(\omega )=({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)})((\omega ,\sigma -\omega )|\sigma ).$$

وبحسب التعريف، من أجل حدث $A\subseteq \mathrm{\Omega }$،

${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(A)$ $=$ $({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)})(A\times \mathrm{\Omega })$ (1)

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}{\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(A){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma ).$

في الحالة الخاصة التي يكون فيها $\mathrm{\Omega }={\{-1,1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، يكون ${\sigma }_i\in \{-2,0,2\}$؛ وعلاوة على ذلك، بشرط ${\sigma }_i$، يساوي ${\sigma }_i-{\omega }_i$ المقدار $-{\omega }_i$ إذا كان ${\sigma }_i=0$، و$+{\omega }_i$ خلاف ذلك. وتكون منطقة التطابق حيث ${\sigma }_i\ne 0$، إذ لا يكون عندئذ مقبولا إلا الزوج $({\omega }_i^{(1)},{\omega }_i^{(2)})$ مع ${\omega }_i^{(j)}={\sigma }_i/2$ لكلا $j$؛ وتكون منطقة عدم التطابق حيث ${\sigma }_i=0$، وفي هذه الحالة يكون زوجان مقبولين. ويبرر هذا المثال الإحالة إلى التطابق في أسماء التوزيعين أعلاه.

عند إعطاء $\sigma$، لنضع $\mathrm{\Omega }(\sigma )={\prod }_{i\in \mathrm{\Lambda }}F({\sigma }_i)\subseteq \mathrm{\Omega }$، حيث $F({\sigma }_i)=\{a\in F:\exists b\in F\text{ with }a+b={\sigma }_i\}$. إن المنطقة $K(\sigma )=\{i:|F({\sigma }_i)|=1\}$ هي منطقة التطابق، وتوزيع عدم التطابق هو، في الواقع، توزيع على $K^c(\sigma )$: في [BG13] يسمى هذا التوزيع «طيا» لـ $\mu$، وتشكل الطيات مجموعة من التوزيعات مفهرسة بتشكيلة التطابق $\sigma$. إذا كان التوزيع الابتدائي غيبسيا، فإن توزيع عدم التطابق يكون غيبسيا متماثلا:

لمّة 2.1.

عند إعطاء توزيع غيبس-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ على $\mathrm{\Omega }$ بتآثرات $\varphi$، وعند إعطاء $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$، فإن توزيع تشكيلات عدم التطابق ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$ هو توزيع غيبس-$\sigma$ متناظر بالنسبة إلى $ℬ(\mathrm{\Lambda })$ على $\mathrm{\Omega }(\sigma )$ بتآثرات ${\varphi }^{\prime }({\omega }_b)=\varphi ({\omega }_b)+\varphi ({\sigma }_b-{\omega }_b)$ وشروط حدية ${\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}$.

Proof.

عند إعطاء $\sigma$، من أجل $\omega \in \mathrm{\Omega }(\sigma )$ نحصل على

${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(\omega )$ $=$ $({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)})((\omega ,\sigma -\omega )|\sigma )$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z^{\prime }}}\exp ({\displaystyle \sum _{b\in \mathrm{\Lambda }}}(\varphi ({\omega }_b)+\varphi ({\sigma }_b-{\omega }_b))$

$+{\displaystyle \sum _{b:b\cap \mathrm{\Lambda }\ne \mathrm{\varnothing },b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c\ne \mathrm{\varnothing }}}\varphi ({\omega }_{b\cap \mathrm{\Lambda }}{\tilde{\omega }}_{b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c})+\varphi ({\sigma }_b-{\omega }_{b\cap \mathrm{\Lambda }}{\tilde{\omega }}_{b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c})$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z^{\prime }}}\exp ({\displaystyle \sum _{b\in \mathrm{\Lambda }}}{\varphi }^{\prime }({\omega }_b)$

$+{\displaystyle \sum _{b:b\cap \mathrm{\Lambda }\ne \mathrm{\varnothing },b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c\ne \mathrm{\varnothing }}}{\varphi }^{\prime }({\omega }_{b\cap \mathrm{\Lambda }}{\tilde{\omega }}_{b\cap {\mathrm{\Lambda }}^c})$

$=$ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(\sigma -\omega ).$

ومن الواضح أن $({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(1)}\times {\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{(2)})((\omega ,\sigma -\omega ))=0$ من أجل $\omega \notin \mathrm{\Omega }(\sigma )$.

∎

2.2 تمثيلات العناقيد العشوائية RCR

إن تمثيل العناقيد العشوائية-$ℬ$ أو RCR-$ℬ$ لاحتمال $\mu$ على ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$ هو طريقة للتعبير عن $\mu$ باستعمال احتمال أساس $\nu$ على التشكيلات $\eta \in H={\prod }_{b\in ℬ}𝒫({\mathrm{\Omega }}_b)$، حيث يشير $𝒫({\mathrm{\Omega }}_b)$ إلى مجموعة كل المجموعات الجزئية من ${\mathrm{\Omega }}_b$، وذلك كما يلي: لكل $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$

$\mu (\omega )={\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H}}\nu (\eta ){\displaystyle \prod _{b\in ℬ}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b}={\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H,\eta \sim \omega }}\nu (\eta ),$ (2)

حيث إن $Z_1$ عامل تطبيع. وتسمى التشكيلات في $H$، أي وصف مجموعات من تشكيلات السبين المحلية، متغيرات روابط فائقة، أو ببساطة متغيرات روابط عندما لا تتدخل إلا أزواج من السبينات.

لاحظ أن RCR-$ℬ$ ليس وحيدا. ولاحظ أيضا أن (6) يمكن استعماله لتعريف احتمالات جديدة $\mu$ حالما يعطى $H$ و$\nu$.

إذا كان $\mu ={\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ توزيع غيبس-$ℬ$، مع قيود لب صلب ممكنة، فإن الإجراء الآتي ينتج طائفة من RCR-$ℬ$ يكون فيها $\nu ={\prod }_{b\in ℬ}{\nu }_b$ برنوليا. لكل $b$، نعتبر مستويات «الطاقة» ${\{e^{\varphi ({\omega }_b)}\}}_{{\omega }_b\in {\mathrm{\Omega }}_b}=\{e^{{\varphi }_1},\mathrm{\dots },e^{{\varphi }_k}\}$، ${\varphi }_1>\mathrm{\cdots }>{\varphi }_k$، و مجموعة من $k$ مجموعات جزئية ${\eta }_b^{(1)},\mathrm{\dots },{\eta }_b^{(k)}$ من ${\mathrm{\Omega }}_b$ لا تقسم، للتبسيط، مستويات الطاقة، أي إن ${\omega }_b\in {\eta }_b^{(i)}$ و$\varphi ({\omega }_b)=\varphi ({\omega }_b^{\prime })$ يستلزمان ${\omega }_b^{\prime }\in {\eta }_b^{(i)}$ (لاحظ أنه، للملاءمة الرياضية، توجد إشارة زائد في الأس). ثم ليكن $A=[a_{i,j}]$ مصفوفة $k\times k$ $0$-$1$ مع كون $a_{i,j}$ مؤشر أن ${\eta }_b^{(j)}$ يحتوي كل التشكيلات ذات مستوى الطاقة ${\varphi }_i$. إذا أمكن، لكل $b$، حل المسألة

$A\overrightarrow{p}=c_b[e^{{\varphi }_i}]\text{ for some }{c}_b\in ℝ,{\displaystyle \sum _{j=1}^k}{p}_j=1,p_j\ge 0,$ (3)

حيث إن $\overrightarrow{p}$ هو المتجه ذو المركبات $p_j^{\prime }s$، فيمكننا حينئذ أن نأخذ ${\nu }_b({\eta }_b^{(j)}):=p_j$ ويكون $\nu$ أساس RCR-$ℬ$ لـ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$.

وصف في [BG13] حالة خاصة من الآلية أعلاه، حيث تؤخذ ${\eta }_b^{(i)}$ رتيبة، أي إن ${\omega }_b\in {\eta }_b^{(i)}$ إذا وفقط إذا $\varphi ({\omega }_b)\ge {\varphi }_i$. في تلك الحالة، تكون $A$ علوية مثلثية من النمط $0$-$1$؛ وبما أن المتجه $[e^{{\varphi }_i}]$ رتيب تناقصيا، توجد حل غير سالب للمسألة أعلاه، يمكن تطبيعه ليعطي ${\nu }_b({\eta }_b^{(i)})=\frac{e^{{\varphi }_i}-e^{{\varphi }_{i+1}}}{e^{{\varphi }_1}}$، مع ${\varphi }_{k+1}=-\mathrm{\infty }$.

2.3 RCR المطبوع وروابط MNS الزرقاء والحمراء

لتحقيق قدرة تعبيرية إضافية، يمكن أيضا إدخال RCR مطبوع، تستعمل فيه أنواع مختلفة من تشكيلات الروابط الفائقة. ولإبقاء الأمور بسيطة، نناقش حالة نوعين فقط. يعطى RCR-$ℬ$ ذو نوعين لاحتمال $\mu$ بزوج من الاحتمالات ${\nu }^{(a)}$ على $H^{(\alpha )}=H$ و${\nu }^{(\beta )}$ على $H^{(b)}=H$ بحيث إنه لكل $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$

$\mu (\omega )={\displaystyle \frac{1}{Z_2}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H}}{\nu }^{(\alpha )}(\eta ){\nu }^{(\beta )}(\eta ){\displaystyle \prod _{b\in ℬ}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b^{(\alpha )}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b^{(\beta )}},$ (4)

حيث إن $Z_2$ عامل تطبيع؛ ويدخل التعريف أعلاه بعض المستجدات عندما تفرض قيود على القيم الممكنة لـ ${\eta }^{(\alpha )}$ و${\eta }^{(\beta )}$. وتصبح المسألة الخطية المقيدة (3) عندئذ

${[A^{(\alpha )}{\overrightarrow{p}}^{(\alpha )}]}_k{[A^{(\beta )}{\overrightarrow{p}}^{(\beta )}]}_k=c_b[e^{-{\varphi }_k}]\text{ for some constant }{c}_b,$

${\displaystyle \sum _{j=1}^k}{p}_j^{(\alpha )}={\displaystyle \sum _{j=1}^k}{p}_j^{(\beta )}=1;p_j^{(\alpha )},p_j^{(\beta )}\ge 0,$ (5)

مع قيود إضافية ممكنة على مداخل $p^{(1)}$ و$p^{(2)}$.

يظهر مثال على RCR مطبوع في [MNS08]، بمصطلحات مختلفة، للتوزيع المخمد لنسختين مستقلتين من زجاجات السبين EA. في كل نسخة، $V={\mathbb{Z}}^d$، تتكون $ℬ(V)$ من أزواج رؤوس أقرب الجيران، ${\{-1,1\}}^V$ و

${\mu }_{𝐉,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\omega }_{\mathrm{\Lambda }})={\displaystyle \frac{1}{Z}}{e}^{{\sum }_{\{i,j\}}{J}_{i,j}{\omega }_i{\omega }_j+{\sum }_{\{i,j\},i\in \mathrm{\Lambda },j\notin \mathrm{\Lambda }}{J}_{i,j}{\omega }_i{\tilde{\omega }}_j},$ (6)

حيث إن $J_{i,j}$ متغيرات عشوائية مستقلة ومتماثلة التوزيع ومتناظرة تأخذ قيما في $\pm J$، من أجل بعض $J>0$ الثابت. والنموذج مخمد، بمعنى أن قيمة ثابتة لـ $𝐉={\{J_{i,j}\}}_{\{i,j\}\in ℬ(V)}$ تؤخذ، ثم يؤخذ المتوسط لاحقا على $𝐉$. نعتبر إذن نسختين من الفضاء: $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}^{(1)}\times {\mathrm{\Lambda }}^{(2)}$، نسختان متماثلتان؛ ${\omega }_{\mathrm{\Lambda }}={\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}^{(1)}}\times {\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}^{(2)}}$، حاصل ضرب أي زوج من تشكيلات ليست بالضرورة متماثلة؛ $b=b^{(1)}\times b^{(2)}=\{i,j\}\times \{i,j\}$، نسختان من الرابط نفسه؛ و

$$\varphi ({\omega }_b)=J_{i,j}({\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(1)}+{\omega }_i^{(2)}\cdot {\omega }_j^{(2)}),$$

حيث أشرنا بنقطة إلى حواصل الضرب الفعلية لقيم تشكيلتي السبين.

بالنسبة إلى فضاء الضرب أعلاه، يمكن إنتاج RCR أحادي النوع من مستويات الطاقة كما يلي. مستويات الطاقة هي ${\varphi }_1=2J_{i,j},{\varphi }_2=0,{\varphi }_3=-2J_{i,j}$؛ فإذا كان ${\mathrm{\Omega }}_{{\varphi }_i}=\{{\omega }_b:\varphi ({\omega }_b)={\varphi }_i\}$، فإن ${\eta }_b$ يمكن أن يأخذ إحدى القيمتين ${\mathrm{\Omega }}_{{\varphi }_1},{\mathrm{\Omega }}_{{\varphi }_1}\cup {\mathrm{\Omega }}_{{\varphi }_2}$ أو ${\mathrm{\Omega }}_b$؛ و

من جهة أخرى، يمكن الحصول على RCR ذي نوعين بتقييد ${\nu }^{(\alpha )}$ كي يفرز فقط مستويات الطاقة المناظرة لتشكيلتين ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}^{(1)}}$ و${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}^{(2)}}$ تتفقان مع الاقتران في كلتا النسختين، أي بحيث $J_{i,j}{\omega }_i^{(1)}{\omega }_j^{(1)}=J_{i,j}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(2)}=1$؛ وبتقييد ${\nu }^{(\beta )}$ كي يفرز فقط مستوى الطاقة المناظر للاتفاق مع الاقتران في نسخة واحدة بالضبط من النسختين، أي بحيث أي إن ${\omega }_i^{(1)}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(1)}{\omega }_j^{(2)}=-1$. في هذه الحالة، و؛ وتصبح (2.3)

$$\left[\begin{array}{c}(p_1^{(\alpha )}(i,j)+p_2^{(\alpha )}(i,j))p_2^{(\beta )}(i,j)\\ p_2^{(\alpha )}(i,j)(p_1^{(\beta )}(i,j)+p_2^{(\beta )}(i,j))\\ p_2^{(\alpha )}(i,j)p_2^{(\beta )}(i,j)\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}{e}^{2J_{i,j}}\\ 0\\ e^{-2J_{i,j}}\end{array}\right]$$

والحل الوحيد هو $p_1^{(\alpha )}(i,j)=1-e^{-4J_{i,j}},p_1^{(\beta )}(i,j)=1-e^{-2J_{i,j}}$، كما أشير إليه في [MNS08]؛ ويسمى المتغيران هناك روابط زرقاء وروابط حمراء، على الترتيب، ويكون كل منهما حاضرا باحتمال $p_1^{(\alpha )}$ و $p_1^{(\beta )}$، على الترتيب. هذا RCR ذو نوعين لتوزيع غيبس-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$ لتشكيلتي زجاج سبين EA مخمدتين مستقلتين، إذ من أجل ${𝕀}^{(\alpha )}={𝕀}_{J_{i,j}{\omega }_i^{(1)}{\omega }_j^{(1)}=1}{𝕀}_{J_{i,j}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(2)}=1}$ و${𝕀}^{(\beta )}={𝕀}_{{\omega }_i^{(1)}{\omega }_j^{(1)}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(2)}=-1}$ لدينا، من دون شروط حدية،

${\displaystyle \sum _{({\eta }^{(\alpha )},{\eta }^{(\beta )})\sim ({\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)})}}{\nu }^{(\alpha )}({\eta }^{(\alpha )}){\nu }^{(\beta )}({\eta }^{(\beta )})$

$={\displaystyle \frac{1}{Z}}{\displaystyle \prod _{\{i,j\}\in ℬ(\mathrm{\Lambda })}}{p}_2^{(\alpha )}(i,j)(1-{𝕀}^{(\alpha )})p_2^{(\beta )}(i,j)(1-{𝕀}^{(\beta )})$

$={\displaystyle \frac{1}{Z}}{e}^{-4{\sum }_{\{i,j\}:{𝕀}^{(\alpha )}=1}{J}_{i,j}-2{\sum }_{\{i,j\}:{𝕀}^{(\beta )}=1}{J}_{i,j}}$

$={\displaystyle \frac{1}{Z}}{e}^{{\sum }_{\{i,j\}\in ℬ(\mathrm{\Lambda })}{J}_{i,j}{\omega }_i^{(1)}{\omega }_j^{(1)}+J_{i,j}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(2)}}$

$=({\mu }_{𝐉,\mathrm{\Lambda }}\times {\mu }_{𝐉,\mathrm{\Lambda }})({\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(1)},{\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(1)})$

حيث تتحصل المساواة السابقة للأخيرة بإخراج ${\prod }_{\{i,j\}\in ℬ(\mathrm{\Lambda })}2J_{i,j}$ عاملا مشتركا. ويمكن إدراج الشروط الحدية بسهولة.

تسمى متغيرات الروابط ${\eta }^{(\alpha )}$ روابط زرقاء، وتسمى ${\eta }^{(\beta )}$ روابط حمراء، في تمثيل MNS.

2.4 اتصال الروابط الفائقة النشطة

في RCR، يدل على التوزيع المشترك على متغيرات السبين والروابط الفائقة بـ

$Q_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\omega ,\eta )={\displaystyle \frac{1}{Z_1}}\nu (\eta ){\displaystyle \prod _{b\in ℬ}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b}={\displaystyle \frac{1}{Z_1}}\nu (\eta ){𝕀}_{\omega \sim \eta }.$ (7)

ثم يكون احتمال العناقيد العشوائية $P=P_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ هو الهامشي على متغيرات الروابط الفائقة: $P_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\eta )={\sum }_{\omega \in \mathrm{\Omega }}{Q}_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\omega ,\eta ).$ لاحظ أن احتمال العناقيد العشوائية مطلق الاستمرارية بالنسبة إلى $\nu$، مع مشتقة رادون-نيكوديم قابلة للحساب، من حيث المبدأ، بدلالة السمات الهندسية التي يمكن وصفها بدلالة $\eta$ (وهنا يظهر العامل $2^{\text{ number of clusters }}$ في توزيع FK الأصلي).

السمة الأكثر صلة لتشكيل الروابط الفائقة ${\eta }_b$ عند $b$ هي ما إذا كان يضع بعض القيود على التشكيلات المتوافقة ${\omega }_b$ أم لا. عند إعطاء $\eta \in H$، تسمى الروابط الفائقة $b$ التي من أجلها ${\eta }_b\ne {\mathrm{\Omega }}_b$ نشطة. نقول إن رابطين فائقين $b(1),b(2)$ متصلان مباشرة إذا كان $b(1)\cap b(2)\ne \mathrm{\varnothing }$؛ ونقول إن مجموعتين من الرؤوس ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$ متصلتان بواسطة روابط فائقة نشطة إذا وُجدت سلسلة من الروابط الفائقة النشطة المتصلة مباشرة على التوالي، اثنتان منها لهما تقاطعان غير خاليين مع $M_1,M_2$. ونشير إلى هذا الحدث بـ ${\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B$. وتشكل الروابط الفائقة النشطة المتصلة عناقيد، وهو أصل تسمية تمثيل «العناقيد العشوائية».

في تمثيل $FK$ الأصلي لنموذج آيزنغ الحديدي المغناطيسي، فإن الاتصال بواسطة الروابط النشطة (أو «المشغولة» في الصياغة الأصلية) هو في الواقع ما يكافئ ارتباطات السبين-السبين. وبمزيد من الدقة، في نموذج آيزنغ الحديدي المغناطيسي من دون حقل خارجي،

$⟨{\omega }_i{\omega }_j⟩-⟨{\omega }_i⟩⟨{\omega }_j⟩=P(i\stackrel{act}{\leftrightarrow }j).$ (8)

قد يأمل المرء بالحصول على نتائج مماثلة، أو على الأقل حد علوي للارتباط بدلالة الاتصال، في عمومية أكبر. وللأسف، بالنسبة إلى توزيعات غيبس أخرى (حتى تلك التي تقبل نسخة موسعة مباشرة من تمثيل FK) أو بالنسبة إلى أحداث $A,B$ تعتمد على أكثر من سبين واحد، فإن الحد المناظر للتغايرات لا يصح عموما. وفيما يلي نجري بعض الحسابات الصريحة على مثال بسيط جدا: نموذج تآثر أقرب الجيران ثنائي الجسم على ثلاثة سبينات ثنائية مصطفة؛ في المثال، تفضل الاقترانات السبينات السالبة إلى اليسار، والسبينات الموجبة إلى اليمين، مع كون الاقترانين يشتملان على السبين الأوسط؛ لذلك، لا يكون في RCR طبيعي أي روابط نشطة متوافقة، ويكون اتصال الروابط النشطة صفرا؛ ومن جهة أخرى، تبقى التغايرات بين السبينات الطرفية غير صفرية.

مثال 1.

خذ $\mathrm{\Lambda }=\{1,2,3\}$، $\mathrm{\Omega }={\{-1,1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، وتوزيع غيبس ثنائي التآثر $\mu$ بتآثر $\varphi$ معرف بواسطة $\varphi ({\omega }_{\{1,2\}})=J_{12}{𝕀}_{{\omega }_1={\omega }_2=-1}$ و$\varphi ({\omega }_{\{2,3\}})=J_{23}{𝕀}_{{\omega }_2={\omega }_3=1}$. لدينا

$\mathrm{\Delta }\mu =\mu ({\omega }_1={\omega }_3=1)-\mu ({\omega }_1=1)\mu ({\omega }_3=1)$ $=$ ${\displaystyle \frac{(1-e^{J_{12}})(1-e^{J_{23}})}{{(2(2+e^{J_{12}}+e^{J_{23}}))}^2}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{(1-e^{J_{12}})(1-e^{J_{23}})}{Z^2}}>0$

و$Cov({\omega }_1,{\omega }_3)=4\mathrm{\Delta }\mu$.

لتمثيل RCR أساس $\nu ={\nu }_{12}\times {\nu }_{23}$، مع ${\nu }_{ij}$ متركزا على $\{{\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}},{\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{\ast }\}$ حيث ${\mathrm{\Omega }}_{\{1,2\}}^{\ast }=\{{\omega }_{\{1,2\}}:{\omega }_1={\omega }_2=-1\}$ و${\mathrm{\Omega }}_{\{2,3\}}^{\ast }=\{{\omega }_{\{2,3\}}:{\omega }_2={\omega }_3=1\}$؛ وعلاوة على ذلك، ${\nu }_{ij}({\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{\ast })=1-e^{-J_{ij}}$. وبالفعل، من أجل $\omega \in \mathrm{\Omega }$

${\displaystyle \sum _{\eta :\eta \sim \omega }}{\displaystyle \frac{\nu (\eta )}{{\sum }_{{\omega }^{\prime },{\eta }^{\prime }}\nu ({\eta }^{\prime }){𝕀}_{{\eta }^{\prime }\sim {\omega }^{\prime }}}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{e^{-J_{12}{𝕀}_{{({\omega }_1={\omega }_2=-1)}^c}-J_{23}{𝕀}_{({\omega }_2={\omega }_3=1}){}^c}}{Z_{\nu }}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{e^{J_{12}{𝕀}_{({\omega }_1={\omega }_2=-1)}+J_{23}{𝕀}_{({\omega }_2={\omega }_3=1)}}}{Z}}=\mu (\omega ).$

ومن جهة أخرى

$P(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)$ $=$ ${\displaystyle \sum _{\eta :1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3\text{ in }\eta }}\nu (\eta )n_{\eta }$

$=$ $\nu ({\mathrm{\Omega }}_{\{1,2\}}^{\ast },{\mathrm{\Omega }}_{\{2,3\}}^{\ast })n_{\eta }=0$

بما أن $n_{\eta }=|\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\omega \sim \eta \}|=0$ لأن ${\mathrm{\Omega }}_{\{1,2\}}^{\ast }\cap {\mathrm{\Omega }}_{\{2,3\}}^{\ast }=\mathrm{\varnothing }$. ومن ثم، $|Cov({\omega }_1,{\omega }_3)|>|\mathrm{\Delta }\mu |>0=P(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)$ ولا يوجد حد علوي للارتباطات بدلالة الاتصال.

من الواضح أنه قد توجد RCRات أخرى للنموذج نفسه يصح لها حد، لكن المثال يبين أن ذلك لا يحدث عموما؛ وعلى وجه الخصوص، يبين المثال أيضا أن انعدام الارتباط، بل وحتى الاستقلال، لا ينتج من انعدام اتصال الروابط (الفائقة) النشطة. وهذه مسألة في نظرية زجاجات السبين، على سبيل المثال، حيث إن انعدام اتصال روابط FK لا يستلزم وحدانية طور غيبس كما هي الحال في نظيره الحديدي المغناطيسي (انظر [N94]).

2.5 RCR لتوزيع تشكيلات عدم التطابق وتوزيع العناقيد العشوائية المتكامل للروابط الفائقة النشطة

لهذه الأسباب، نلجأ إلى توزيعات تشكيلات عدم التطابق ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$، وإلى RCRاتها الخاصة. وبما أن ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$ هو توزيع غيبس-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$، فإن توزيعات تشكيلات عدم التطابق ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$ هي غيبسية-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$ على $\mathrm{\Omega }(\sigma )$ بموجب اللمّة 2.1؛ لذلك فإن الطرق المعروضة أعلاه تنتج RCRات لكل ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$. نحصل على مجموعة من أسس RCR ${\nu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$، وهوامشها المرتبطة $P_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$ على متغيرات الروابط الفائقة $\eta \in H^{\sigma }={\prod }_{b\in ℬ}{\mathrm{\Omega }}_b(\sigma )$، حيث ${\mathrm{\Omega }}_b(\sigma )={\prod }_{i\in b}F({\sigma }_i).$

لاحظ أنه، بموجب اللمّة 2.1، فإن ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$ متناظر بالنسبة إلى $\sigma$. ومن ثم يمكن أيضا أخذ RCRات متناظرة بالنسبة إلى $\sigma$، بمعنى أنه إذا كان ${\omega }_b\in {\eta }_b$ فإن $({\sigma }_b-{\omega }_b)\in {\eta }_b$ أيضا؛ وبالفعل، إذا كان $\nu$ أساس RCR لـ ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$، فإن ${\nu }^{\prime }$ المعرف بواسطة ${\nu }^{\prime }({\eta }_b)=(\nu ({\eta }_b)+\nu (\sigma -{\eta }_b))/2$، حيث من أجل مجموعة من التشكيلات $A\subseteq {\mathrm{\Omega }}_b$، يكون ${\eta }_b-A=\{{\omega }_b:{\omega }_b={\eta }_b-{\omega }_b^{\prime }\text{ for some }{\omega }_b^{\prime }\in {\mathrm{\Omega }}_b\}$، هو أيضا RCR لـ ${\mu }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }$.

لما كان التركيز على الروابط الفائقة النشطة وغير النشطة، فإننا ندخل الآن $H^{\prime }={\prod }_{b\in ℬ(\mathrm{\Lambda })}\{0,1\}$، حيث يشير $1$ إلى «نشط»، ونعتبر التطبيق $𝒜:H\to H^{\prime }$ بحيث ${(𝒜(\eta ))}_b={𝕀}_{({\eta }_b\text{ is active})}$. ويصف المقياس $𝒜(P_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma })$ الروابط الفائقة النشطة من أجل $\sigma$ المعطى، ونعتبر توزيع العناقيد العشوائية المتكامل على الروابط الفائقة النشطة

${\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\eta }^{\prime })=E_{{\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}}(𝒜(P_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }))({\eta }^{\prime })={\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}𝒜(P_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma })({\eta }^{\prime }){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )$ (10)

المعرف على $H^{\prime }$.

تعريف ${\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ موضوع بحيث إذا كان رابط فائق $b$ محتوى كليا في منطقة التطابق $K(\sigma )$ (حيث لا يوجد إلا زوج واحد من قيم السبين يحقق القيود)، فإن $b$ يكون تلقائيا غير نشط؛ وهذا يعني أن (10) يعزز دور الروابط الفائقة غير النشطة، ومن ثم يجعل تقديرات القسم التالي أكثر فعالية.

3 النتائج الرئيسية

3.1 متباينة الارتباط

نتيجتنا الرئيسية هي متباينة ارتباط مبنية على اتصال الروابط الفائقة النشطة الموزع وفق احتمال العناقيد العشوائية المتكامل ${\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$. لدينا

مبرهنة 3.1.

لكل $\mathrm{\Lambda },ℬ\subseteq 𝒫(\mathrm{\Lambda })$، واحتمال غيبس $\mu ={\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$، وأي مجموعة من RCRات برنولية-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$ ${\{{\nu }^{\sigma }\}}_{K\subseteq \mathrm{\Lambda },\alpha \in {\mathrm{\Omega }}_K}$، وأي حدثين $A,B\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega })$ بدعامتين ${\mathrm{\Lambda }}_A,{\mathrm{\Lambda }}_B$، على الترتيب، لدينا

$|\mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)|\le {\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B).$ (11)

وبالكلمات، فإن الارتباط بين أي زوج من الأحداث المحلية $A,B$ يحده من الأعلى اتصال الروابط الفائقة النشطة في RCRات توزيعات تشكيلات عدم التطابق، بعد أخذ المتوسط على تشكيلة التطابق.

Proof.

نبدأ بحجة تمهيدية حول ${\mu }^{\sigma }$، أي توزيع تشكيلات عدم التطابق المرتبط بـ $\mu ={\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$. وبموجب اللمّة 2.1، فإن ${\mu }^{\sigma }$ غيبسي-$ℬ(\mathrm{\Lambda })$ لكل $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$؛ وبحسب القسم $2.2$ و[BG13]، فإنه يقبل RCRات برنولية، ولذلك تكون الفرضيات ذات معنى.

عند إعطاء تشكيل $\eta$ ورأس $i\in V$، نجعل العنقود $C(i)$ مجموعة الرؤوس المتصلة بـ $i$ بواسطة روابط فائقة نشطة (انظر القسم $2.3$)، وقد يتكون كل منها من رأس واحد فقط. وندل على هذه العناقيد بـ $C_1(\eta ),\mathrm{\dots },C_{t(\eta )}(\eta )$، مع ${\cup }_{j=1}^{t(\eta )}{C}_j(\eta )=\mathrm{\Lambda }$.

افترض أن $\eta$ بحيث ${\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B$، حيث إن ${\mathrm{\Lambda }}_A$ و${\mathrm{\Lambda }}_B$ هما دعامتا $A$ و$B$ المعطيين؛ وعندئذ، لكل $j$، يكون $C_j(\eta )$ متصلا إما بـ ${\mathrm{\Lambda }}_A$ أو بـ ${\mathrm{\Lambda }}_B$، ولكن ليس بكليهما. افترض إذن أن $C_j(\eta )$ متصل بـ ${\mathrm{\Lambda }}_A$ من أجل $j=1,\mathrm{\dots },k$، وبـ ${\mathrm{\Lambda }}_B$ من أجل $j=k+1,\mathrm{\dots },t(\eta )$، وليشر $Cl(A)=C_1(\eta )\cup \mathrm{\dots }{C}_k(\eta )$ و $Cl(B)=C_{k+1}(\eta )\cup \mathrm{\dots }{C}_t(\eta )(\eta )$ إلى عنقود $A$، وعنقود $B$، على الترتيب. عندئذ ${𝕀}_{\omega \in A\cap B}={𝕀}_{({\omega }_{Cl(A)}\in A)}{𝕀}_{({\omega }_{Cl(B)}\in B)}$.

إضافة إلى ذلك، لا توجد $b$ نشطة بحيث $b\cap Cl(A)\ne \mathrm{\varnothing }$ و$b\cap Cl(B)\ne \mathrm{\varnothing }$، ولذلك، لكل $b$ من هذا النوع، يكون ${𝕀}_{({\omega }_b\in {\eta }_b)}=1$. وهذا يبرر المساواة الثالثة في الصيغة التالية.

بعد ذلك، تذكر أنه بتناظر RCR، ${\omega }_b\in {\eta }_b$ إذا وفقط إذا $\sigma -{\omega }_b\in {\eta }_b$. وهذا يبرر المساواة الرابعة أدناه.

ومن ثم نحصل على

${\mu }^{\sigma }(A\cap B)$ $=$ ${\displaystyle \sum _{\omega \in A\cap B}}{\mu }^{\sigma }(\omega )$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\omega \in A\cap B}}{\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){𝕀}_{\eta \sim \omega }$

$\le$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_1}}({\displaystyle \sum _{\eta \in H^{\sigma }:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}}}{𝕀}_{\eta \sim \omega }{𝕀}_{\omega \in A\cap B}$

$+{\displaystyle \sum _{\eta \in H:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}{\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){𝕀}_{\eta \sim \omega })$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H^{\sigma }:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){\displaystyle \sum _{\omega \in {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}}}({\displaystyle \prod _{b\subseteq Cl(A)}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b}{𝕀}_{{\omega }_{Cl(A)}\in A}$

${\displaystyle \prod _{b\subseteq Cl(B)}}{𝕀}_{{\omega }_b\in {\eta }_b}{𝕀}_{{\omega }_{Cl(B)}\in B})$

$+{\displaystyle \sum _{\eta \in H:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}P(\eta )$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H^{\sigma }:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){\displaystyle \sum _{\omega \in A\cap (\sigma -B)}}{𝕀}_{\eta \sim \omega }+{\displaystyle \sum _{{\eta }^{\prime }\in H^{\prime }:{\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B}}𝒜(P)({\eta }^{\prime })$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\omega \in A\cap (\sigma -B)}}{\displaystyle \frac{1}{Z_1}}{\displaystyle \sum _{\eta \in H}}{\nu }^{\sigma }(\eta ){𝕀}_{\eta \sim \omega }+𝒜(P)({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

$=$ ${\mu }^{\sigma }(A\cap (\sigma -B))+𝒜(P)({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

بعد ذلك، بكتابة $\mu ={\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$، نحصل على

$\mu (A\cap B)$ $=$ $(\mu \times \mu )((A\cap B)\times {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }})$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}(\mu \times \mu )((A\cap B)\times \mathrm{\Omega }|W_{\sigma }){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}{\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(A\cap B){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )$

$\le$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}({\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}^{\sigma }(A\cap (\sigma -B))+𝒜(P)({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}(\mu \times \mu )((A\cap (\sigma -B))\times \mathrm{\Omega }|W_{\sigma }){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )+{\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}}(\mu \times \mu )(A\times B|W_{\sigma }){\rho }_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}(\sigma )+{\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

$=$ $\mu (A)\mu (B)+{\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

وتبقى العلاقة نفسها صحيحة عندما يستبدل $B$ بـ $B^c$، وهذا يثبت (11).

∎

ملاحظة 1.

لاحظ أنه ينبغي اتخاذ عدد كبير من الاختيارات عند انتقاء RCR برنولي لـ ${\mu }^{\sigma }$ لكل $\sigma$، وأن جودة الحد تعتمد على هذه الاختيارات كلها. ومن الواضح أن المرء يستطيع الحصول على حدود أفضل باختيار RCRات تستعمل روابط فائقة ذات حجم صغير (انظر المثال 2 أدناه)، أو تعطي احتمالا عاليا لمتغيرات الروابط الفائقة غير النشطة.

ملاحظة 2.

لاحظ أيضا أن المتباينة في (3.1) تعتمد على إزالة الشرط القائل إن $\omega \in A\cap B$ عندما لا يكون ${\mathrm{\Lambda }}_A$ متصلا نشاطيا بـ ${\mathrm{\Lambda }}_B$ في $\eta$. إن الإبقاء على ذلك الشرط سيعطي تعبيرا دقيقا لتغاير $A$ و$B$، لكن حدث الاتصال لن يكون قابلا للقياس بعد ذلك بالنسبة إلى المتغيرات $\eta$ (انظر المثال 2 أدناه).

يمكن الحصول على حد لتغاير متغيرين عشوائيين محليين ببساطة بجمع النتيجة السابقة على كل زوج من التشكيلات المحلية:

نتيجة 3.2.

مع فرضيات المبرهنة 3.1، ومتغيرين عشوائيين $X$، $Y$، يستبدلان الحدثين $A$ و$B$، ويعتمدان على مجموعتين منتهيتين متباعدتين ${\mathrm{\Lambda }}_X$ و${\mathrm{\Lambda }}_Y$، على الترتيب، يكون لدينا

$$|Cov(X,Y)|\le {(|F|)}^{|{\mathrm{\Lambda }}_X|+|{\mathrm{\Lambda }}_Y|}{\overline{P}}_{\varphi .\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\mathrm{\Lambda }}_X\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_Y)$$

مثال 2.

استكمالا للمثال 1. نطبق المبرهنة 3.1 بالتكييف على $\sigma \in \mathrm{\Sigma }={\{-2,0,2\}}^{\{1,2,3\}}$.

إذا كان ${\sigma }_i\ne 0$ من أجل $i\in \{1,2,3\}$ واحد بالضبط، فإن $|\mathrm{\Omega }(\sigma )|=4$؛ غير أن ${\mu }^{\sigma }$ متناظر تحت قلب السبينات الباقية، أي الواقعة عند $j$ و$k$، مع $j\ne k$، $j\ne i\ne k$، ولذلك لا يلزم إلا معلمان، أحدهما لـ ${\omega }_j={\omega }_k$ والآخر للحالة ${\omega }_j=-{\omega }_k$.

أما إذا كان $\sigma =(0,2,0)$، فإن ${\mu }^{\sigma }(\omega )=\frac{1}{Z}{e}^{J_{23}({\omega }_3^{(1)}+{\omega }_3^{(2)})}=\frac{1}{Z}$. لذلك يلزم معلم واحد فقط؛ ويمكن تحقيق ذلك بـ RCR له حد حقلي فقط (أي روابط ذات حجم $1$)، و$P^{\sigma }(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)=0$. ويحدث الأمر نفسه من أجل $\sigma =(0,-2,0)$.

إذا كان $\sigma =(2,0,0)$، فإن RCR لـ ${\mu }^{\sigma }$ له رابط نشط ${\eta }_{2,3}$، لكن ذلك لا يصل $1$ و$3$، ولذلك مرة أخرى $P^{\sigma }(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)=0$. ويحدث الأمر نفسه إذا كان $\{i:{\sigma }_i\ne 0\}=\{1\}$ أو $\{3\}$.

إذا كان ${\sigma }_i\ne 0$ من أجل أكثر من $i$ واحد، فلا حاجة إلى أي رابط نشط، لأن ${\mu }^{\sigma }$ ثنائي ومتناظر.

لا تبقى إذن إلا حالة واحدة مثيرة للاهتمام، وهي التشكيل $\tilde{\sigma }$ بحيث ${\tilde{\sigma }}_i\equiv 0$. في هذه الحالة، من أجل $\omega ={\omega }^{(1)}$، لدينا

${\mu }^{\tilde{\sigma }}(\omega )$ $=$ $\mu \times \mu (({\omega }^{(1)},-{\omega }^{(1)})|W_{\tilde{\sigma }})$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}{e}^{J_{12}({𝕀}_{({\omega }_1^{(1)}={\omega }_2^{(1)}=-1)}+{𝕀}_{({\omega }_1^{(2)}={\omega }_2^{(2)}=-1)})+J_{23}({𝕀}_{({\omega }_2^{(1)}={\omega }_3^{(1)}=1)}+{𝕀}_{({\omega }_2^{(2)}={\omega }_3^{(2)}=1)})}$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}{e}^{J_{12}{𝕀}_{({\omega }_1^{(1)}={\omega }_2^{(1)})}+J_{23}{𝕀}_{({\omega }_2^{(1)}={\omega }_3^{(1)})},}$

و $\rho (W_{\tilde{\sigma }})=\frac{2(e^{J_{12}+J_{23}}+e^{J_{12}}+e^{J_{23}}+1)}{Z^2}=\frac{Z_{\tilde{\sigma }}}{Z^2}$. يمكن الآن الحصول على RCR برنولي لـ ${\mu }^{\tilde{\sigma }}$ بأخذ أساس ${\nu }^{\tilde{\sigma }}={\nu }_{12}^{\tilde{\sigma }}\times {\nu }_{23}^{\tilde{\sigma }}$، مع ${\nu }_{ij}^{\tilde{\sigma }}$ متركزا على $\{{\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}},{\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{\ast }\}$ حيث ${\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{\ast }=\{{\omega }_{\{i,j\}}:{\omega }_i={\omega }_j\}$، و علاوة على ذلك، ${\nu }_{ij}^{\tilde{\sigma }}({\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{\ast })=1-e^{-J_{ij}}$. وبالفعل، من أجل $\omega \in \mathrm{\Omega }(\tilde{\sigma })$

${\displaystyle \sum _{\eta :\eta \sim \omega }}{\displaystyle \frac{{\nu }^{\tilde{\sigma }}(\eta )}{{\sum }_{{\omega }^{\prime },{\eta }^{\prime }}{\nu }^{\tilde{\sigma }}({\eta }^{\prime }){𝕀}_{{\eta }^{\prime }\sim {\omega }^{\prime }}}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{e^{-J_{12}{𝕀}_{({\omega }_1\ne {\omega }_2)}-J_{23}{𝕀}_{({\omega }_2\ne {\omega }_3)}}}{Z_{{\nu }^{\tilde{\sigma }}}}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{e^{J_{12}{𝕀}_{({\omega }_1={\omega }_2)}+J_{23}{𝕀}_{({\omega }_2={\omega }_3)}}}{Z_{\tilde{\sigma }}}}={\mu }^{\tilde{\sigma }}(\omega ),$

بما أن $Z_{{\nu }^{\tilde{\sigma }}}=Z_{\tilde{\sigma }}/e^{J_{12}+J_{23}}$. لاحظ أن هذا يكاد يكون التمثيل نفسه كما في حالة النسخة الواحدة في المثال 1، لكن التآثر أصبح الآن متماثلا.

لدينا الآن

$P^{\tilde{\sigma }}(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}{\displaystyle \sum _{\eta :1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3\text{ in }\eta }}{\nu }^{\tilde{\sigma }}(\eta )|\{\omega :\omega \sim \eta \}|$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}2{\nu }_{12}^{\tilde{\sigma }}({\mathrm{\Omega }}_{1,2}^{\ast }){\nu }_{23}^{\tilde{\sigma }}({\mathrm{\Omega }}_{2,3}^{\ast })$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}2(1-e^{-J_{12}})(1-e^{-J_{23}}).$

وأخيرا، باستخدام قيمة $\mathrm{\Delta }(\mu )\mu ({\omega }_1={\omega }_3=1)-\mu ({\omega }_1=1)\mu ({\omega }_3=1)$ المحسوبة في المثال 1،

$\overline{P}(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)$ $=$ $P^{\tilde{\sigma }}(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3)\rho (W_{\tilde{\sigma }})$

$=$ $e^{J_{12}+J_{23}}{\displaystyle \frac{1}{Z_{\tilde{\sigma }}}}2(1-e^{-J_{12}})(1-e^{-J_{23}}){\displaystyle \frac{Z_{\tilde{\sigma }}}{Z^2}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{2(1-e^{-J_{12}})(1-e^{-J_{23}})}{Z^2}}=2|\mathrm{\Delta }(\mu )|,$

وهي متباينة المبرهنة 3.1.

وباستخدام تغاير السبين-السبين المحسوب بعد ذلك في المثال 1، نحصل على

$$|Cov({\omega }_1,{\omega }_3)|=4|\mathrm{\Delta }(\mu )|\le 4P^{\tilde{\sigma }}(1\stackrel{act}{\leftrightarrow }3),$$

وهو الحد الموصوف في النتيجة 3.2.

ليست الحدود أعلاه حادة للأسباب المذكورة في الملاحظة 2، وكانت ستصبح مساويات لو أُبقيت الشروط على ${\omega }_1={\omega }_3=1$.

3.2 شروط التطرف ووحدانية أطوار غيبس

نتيجة 3.3.

افترض أنه، من أجل متتالية من الشروط الحدية ${\{{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}\}}_{\mathrm{\Lambda }}$، بحيث تتقارب مقاييس غيبس ذات الحجم المنتهي ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ تقاربا ضعيفا عندما يتباعد $\mathrm{\Lambda }$ على طول متتالية معينة، يحدث ما يلي: لكل ${\mathrm{\Lambda }}_0\subset V$ و$ϵ>0$ توجد ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$ بحيث

$(a){\overline{P}}_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\le ϵ$ (14)

أو، بدلا من ذلك،

$(b)p_{ϵ}={\rho }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}(P_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}^{\sigma }({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\le ϵ)\ge 1-ϵ$ (15)

لكل ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$ في متتالية $\mathrm{\Lambda }$. عندئذ يكون الحد الضعيف $\mu$ لـ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ متطرفا.

Proof.

(أ) اعتبر الحد الضعيف $\mu$ لـ ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$. خذ حدثا $A$ ذا دعامة منتهية ${\mathrm{\Lambda }}_A={\mathrm{\Lambda }}_0$ واختر $ϵ>0$، و${\mathrm{\Lambda }}_1$ و${\mathrm{\Lambda }}_2$ كما في الفرضية؛ عندئذ من أجل أي حدث $B$ ذي دعامة ${\mathrm{\Lambda }}_B={\mathrm{\Lambda }}_4\subseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$ بحيث ${\mathrm{\Lambda }}_4\cap {\mathrm{\Lambda }}_1=\mathrm{\varnothing }$ لدينا

$|\mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)|$ $\le$ ${\overline{P}}_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }{\mathrm{\Lambda }}_B)$

$\le$ ${\overline{P}}_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\le ϵ$

لكل ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$. ومن ثم يكون جبر $\sigma$ عند اللانهائية تافها، مما يستلزم تطرف $\mu$ في المجموعة $K_{\varphi }$ من حالات غيبس لـ $\varphi$ (انظر مثلا المبرهنة 1.11 في [Ru04]). في الحالة (ب)، ${\overline{P}}_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)=E_{{\rho }_{\varphi .{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}}(P_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}^{\sigma }({\mathrm{\Lambda }}_A\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))\le (ϵp_{ϵ}+(1-p_{ϵ}))\le 2ϵ,$ فتنطبق الحالة (أ). ∎

ونحصل أيضا على شرط لوحدانية حالة غيبس إذا تحقق الشرط أعلاه لكل متتاليات الشروط الحدية الممكنة، لأن $K_{\varphi }$ محدبة و كل عنصر من $K_{\varphi }$ سيكون عندئذ متطرفا. وهكذا لدينا

نتيجة 3.4.

إذا تحققت شروط النتيجة 3.3 لكل متتاليات الشروط الحدية ${\{{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}\}}_{\mathrm{\Lambda }}$، فإن حالة غيبس وحيدة.

لتجنب التقنيات، صيغت النتائج أعلاه بدلالة توزيعات ذات حجم منته، لكن صياغاتها المقابلة في الحجم غير المنتهي ستكون أن غياب ترشيح الروابط الفائقة النشطة في RCR ضمن توزيع تشكيلات عدم التطابق باحتمال واحد بالنسبة إلى توزيع تشكيلة التطابق يستلزم وحدانية حالة غيبس. وعندما تعبّر الشروط الكافية لمثل هذا الغياب عن نفسها محليا، فإن شرطنا الحالي يشبه كثيرا شروطا أخرى موجودة في الأدبيات. يناقش القسم 4 هذه الصلات. وأحد الشروط المحلية هو الآتي:

نتيجة 3.5.

اعتبر الحقل $X_b^{(\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c})},b\in ℬ$ المعطى بواسطة $X_b^{(\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c})}(\eta )={𝕀}_{({\eta }_b\text{ is active})}$ عندما يكون $\eta$ موزعا وفق ${\overline{P}}_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ على $\{b:b\cap \mathrm{\Lambda }\ne \mathrm{\varnothing }\}$. إذا، من أجل متتالية من الشروط الحدية ${\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}$ ولكل حد ضعيف في $\mathrm{\Lambda }\to V$، كان الحقل $X_b^{(\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c})}$ مهيمنا عليه عشوائيا بواسطة متغيرات إشغال روابط فائقة موزعة وفق احتمال برنولي $\tilde{P}$ على جبر بورل $\sigma$ لـ ${\prod }_{b\in ℬ}\{0,1\}$، ولم يوجد ترشيح للروابط الفائقة المشغولة بالنسبة إلى $\tilde{P}$، فإن كل حد ضعيف لمتتاليات ${\mu }_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ يكون متطرفا.

إذا حدث ذلك لكل الشروط الحدية فإن توزيع غيبس يكون وحيدا.

شرط كاف للهيمنة أعلاه هو أن يكون

$p_b=\underset{{\eta }_{ℬ\setminus b}}{sup}{\overline{P}}_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\eta }_b\text{ active }|{\eta }_{ℬ\setminus b})$ (16)

بحيث لا يوجد ترشيح للروابط الفائقة المشغولة عندما تختار مستقلا باحتمال $p_b$.

Proof.

إذا لم يوجد ترشيح في $\tilde{P}$ فإن $\tilde{P}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{occupied}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\to 0$ عندما يتباعد ${\mathrm{\Lambda }}_1$. وبالهيمنة العشوائية، $\tilde{P}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\to 0$ وبذلك يتحقق (17)، وتستلزم النتيجتان 3.3 و3.4 البيانين الأولين.

أما البيان الأخير فيتبع من حجج معيارية في نظرية الترشيح (انظر مثلا [B93]، النتيجة 1)، إذ إن (14) يستلزم هيمنة عشوائية لـ ${\overline{P}}_{\varphi ,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}$ بواسطة احتمال $\tilde{P}$ تختار فيه الروابط الفائقة المشغولة مستقلا باحتمال $p_b$.

∎

4 تطبيقات وأعمال ذات صلة

4.1 ترشيح الاختلاف ومعايير وحدانية أخرى

قدّم Dobrushin [D68] معيارا لوحدانية توزيع غيبس (انظر أيضا [S79, DS85])، وهو وثيق الصلة بالشرط الكافي في النتيجة 3.5؛ وفي بعض الحالات تعمل طريقتنا على نحو أفضل (انظر أدناه).

دُرست نسختان في الأعمال المتعلقة بترشيح الاختلاف في [B93, BM94, BS94]. وفي الورقة الأخيرة توجد أيضا متباينة ارتباط مبنية على نسختين (انظر المبرهنة 2.4 في [BS94])، لكنها تتضمن ترشيح مواقع ولا تصح إلا لنموذج اللب الصلب (انظر أدناه).

ومع ذلك، من المفيد ربط عملنا بترشيح الاختلاف بمزيد من التفصيل. في نسخته الأولى [B93]، اختيرت تشكيلتان مستقلتان، ويركز المرء على ترشيح مناطق الاختلاف أو، بصورة مكافئة، عدم التطابق. والنتيجة الرئيسية في [B93] هي أن غياب ترشيح الاختلاف بالنسبة إلى مقياسي غيبس يستلزم أنهما متطابقان. وكما يثبت في اللمّة التالية، فإن غياب ترشيح الاختلاف يستلزم وجود اتصال متلاش بواسطة روابط RCR الفائقة النشطة في منطقة عدم التطابق من أجل أي تشكيلة تطابق، إذ لا يوجد أصلا اتصال بواسطة مناطق عدم التطابق؛ ومن ثم تستلزم النتيجة 3.4 وحدانية طور غيبس: وبهذا المعنى تحسن نتائجنا بصورة منتظمة على النسخة الأولى من ترشيح الاختلاف.

لمّة 4.1.

إذا، لكل زوجين من مقاييس غيبس $\mu$ و${\mu }^{\prime }$ في $K_{\varphi }$، كان الاحتمال $\mu \times {\mu }^{\prime }((\omega ,{\omega }^{\prime })$: توجد مسار لا نهائي من الاختلاف$)=0$، فإن الشرط $(b)$ من النتيجة 3.3 يتحقق لكل متتاليات الشروط الحدية ${\{{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}\}}_{\mathrm{\Lambda }}$، ومن ثم يكون توزيع غيبس وحيدا.

Proof.

إذا لم يتحقق الشرط $(b)$ من النتيجة 3.3، فهناك متتالية من الشروط الحدية ${\{{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}\}}_{\mathrm{\Lambda }}$، ومجموعة ${\mathrm{\Lambda }}_0\subset V$، و$ϵ>0$ بحيث، لكل ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$ و${\mathrm{\Lambda }}_1\subseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$،

$p_{ϵ}={\rho }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}(P_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}^{\sigma }({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)\ge ϵ)\ge ϵ$ (17)

لبعض ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$.

لاحظ أنه إذا، لبعض $\sigma$، كان ${\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1$ في بعض $\eta$، فلا بد أن يوجد مسار اختلاف بين ${\mathrm{\Lambda }}_0$ و$\delta {\mathrm{\Lambda }}_1$ في جميع التشكيلات $({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{\prime })\in W_{\sigma }$ المتوافقة مع $\eta$. ولتكن

$$D({\mathrm{\Lambda }}_0,\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)=\{\text{there is a path of disagreement between }{\mathrm{\Lambda }}_0\text{ and }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1\},$$

عندئذ

$({\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}\times {\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}})(D({\mathrm{\Lambda }}_0,\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))$ $=$ $E_{{\rho }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}}({\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}^{\sigma }(D({\mathrm{\Lambda }}_0,\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))$ (18)

$\ge$ $E_{{\rho }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}}(P_{{\mathrm{\Lambda }}_3,\varphi }^{\sigma }({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))$

$\ge$ ${ϵ}^2.$

بعد ذلك، اعتبر التشكيلات ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}$، ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}^{\prime }$ والشرطين الحديين ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}$ و ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}^{\prime }{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}$ لتوزيعات غيبس في ${\mathrm{\Lambda }}_1$، واعتبر ${\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}\times {\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}^{\prime }{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}$. إذا كان

فعندئذ بصيغة غيبس

$${\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}}{\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}{\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_3,{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}(d{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1})$$

يكون لدينا أن

مما يخالف (18).

لذلك، توجد تشكيلات ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}$، ${\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}^{\prime }$ بحيث

$$({\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}\times {\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}^{\prime }{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}})(D({\mathrm{\Lambda }}_0,\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))>ϵ$$

لبعض ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$ لكل ${\mathrm{\Lambda }}_2$. وبالانضغاط وحجة قطرية، يوجد لمتتالية جزئية من ${\mathrm{\Lambda }}_2$ متتاليتان ${\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}$ و ${\mu }_{\varphi ,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_1}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}_3^c}}$ تتقاربان في الوقت نفسه في $K_{\varphi }$ لكل ${\mathrm{\Lambda }}_1$، ومن ثم يتقارب حاصلهما إلى حاصل ضرب ما لمقاييس غيبس $\mu \times {\mu }^{\prime }$، بحيث $(\mu \times {\mu }^{\prime })(D({\mathrm{\Lambda }}_0,\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))>{ϵ}^2>0$ لكل ${\mathrm{\Lambda }}_1$. وبالتالي،

$$\mu \times {\mu }^{\prime }((\omega ,{\omega }^{\prime }):\text{ there is an infinite path of disagreement })>{ϵ}^2,$$

مما يناقض الفرضيات.

∎

من الجدير بالملاحظة أن ترشيح الاختلاف يقوم على مقارنة شروط حدية متمايزة، في حين تستعمل طريقتنا الشروط الحدية نفسها في النسختين.

حُسنت النسخة الأولى من ترشيح الاختلاف باستعمال اقترانات مثلى بالنسبة إلى المسافة التغايرية، بدلا من الاقتران المستقل، [BM94]: لا توجد علاقة واضحة بين طريقة RCR الحالية وهذه النسخة المحسنة من ترشيح الاختلاف، لكن طريقة RCR المقدمة هنا لها تفسير هندسي أكثر صراحة، وهي في الواقع تقدم أيضا حدا صريحا للارتباط.

4.2 نماذج اللب الصلب والمضادات المغناطيسية الكاملة

تناقش نماذج اللب الصلب في [BM94]؛ وهي تتكون من مقياس غيبس على ${\{0,1\}}^V$ معطى بواسطة

$${\mu }_{a,\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\omega }_{\mathrm{\Lambda }})=\frac{1}{Z}{a}^{{\omega }_i}\prod _{⟨i,j⟩}{𝕀}_{{\omega }_i{\omega }_j=0}\prod _{⟨i,j⟩,i\in \mathrm{\Lambda },j\notin \mathrm{\Lambda }}{𝕀}_{{\omega }_i{\tilde{\omega }}_j=0},$$

أي إن قيم $1$ لا يمكن أن تكون متجاورة. لنفترض أن $V$ ثنائي التقسيم إلى $V_1,V_2$. عندئذ، من أجل أي تشكيلة تطابق $\sigma$، لا بد أن يكون لدينا لكل مكون متصل $C$ من $\mathrm{\Lambda }\setminus K$، ${\omega }_i=1\text{ for all }i\in V_1\cap C,\text{ and }{\omega }_i=0\text{ for all }i\in V_2\cap C$ أو بالعكس. إذن، $P^{\sigma }$ متركز على تشكيلتين، وكل رابط من البيان هو (على الأقل جزء من) رابط فائق نشط. وبالتالي فإن الاتصال بواسطة الروابط الفائقة النشطة مكافئ في هذه الحالة للاتصال بواسطة ترشيح الاختلاف في $\mathrm{\Lambda }\setminus K$؛ ومعيارنا في النتيجة 3.4 مكافئ لمعيار [BS94] (انظر قضيتهم 3.3 ومبرهنتهم 3.4)، وهو أيضا مكافئ للاقتِران الأمثل [BM94] لهذا النموذج. وعلى وجه الخصوص، فإنها جميعا تستلزم وحدانية طور غيبس إذا كان ، حيث $p_c$ هي النقطة الحرجة لترشيح المواقع على البيان. وهذا التقدير أفضل من التقدير المتحصل بطريقة Dobrushin Shlossman، ولذلك فإن طريقتنا الحالية تتفوق أيضا على DS في هذه الحالة.

بالنسبة إلى المضاد المغناطيسي الكامل على $V={\mathbb{Z}}^d$، قدم ترشيح الاختلاف المبني على اقتران الضرب بعض التحسن على تقديرات سابقة [B93]. وحقق استعمال الاقتران الأمثل تحسنا إضافيا [BM94]، وكذلك تفعل طريقة RCR المتكامل الحالية، التي تتطلب أيضا ترشيح روابط نشطة في مناطق الاختلاف أو عدم التطابق. ومع ذلك، لا يغير كل من الاقتران الأمثل وRCR المتكامل تقديرات درجة الحرارة الصفرية، لأن المضاد المغناطيسي الكامل يؤول إلى نموذج اللب الصلب عندما تؤول درجة الحرارة إلى الصفر، وهناك تتطابق جميع التقديرات، كما نوقش أعلاه.

4.3 نموذج آيزنغ الحديدي المغناطيسي على شجرة كايلي الثنائية

نموذج آيزنغ الحديدي المغناطيسي على شجرة كايلي الثنائية $(V,E)=T$ باقترانات $J\ge 0$ وحقل خارجي $h$، والمعالج هنا مثالا توضيحيا للحسابات التفصيلية، له تشكيلات ${\{-1,1\}}^V$ و

$${\mu }_{(J,h),\mathrm{\Lambda },{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}}({\omega }_{\mathrm{\Lambda }})=\frac{1}{Z}{e}^{{\sum }_{⟨i,j⟩}J{\omega }_i{\omega }_j+{\sum }_{i\in \mathrm{\Lambda }}h{\omega }_i+{\sum }_{⟨i,j⟩,i\in \mathrm{\Lambda },j\notin \mathrm{\Lambda }}J{\omega }_i{\tilde{\omega }}_j}.$$

يوجد وصف مفصل لمخطط الطور في [Ge88]، الفصل 12. من أجل $h(J)=ma{x}_{t\ge 0}(\log (\frac{\cosh t+J}{\cosh t-J})-t)$، إذا كان $J\le \log 3/2$ و$h=h(J)=0$، أو $J>\log 3/2$ و$|h|>h(J)$، فيوجد طور غيبس وحيد. وندل بـ FK-RCR على RCR البرنولي الذي يقابل تمثيل FK الأصلي.

بعض توزيعات غيبس $\mu$ على شجرة كايلي هي سلاسل ماركوف، بمعنى أنه إذا كان $(i,j)$ هو الرابط الموجه بين رأسي أقرب جيران $i,j\in T$، وكان ${ℱ}_{(-\mathrm{\infty },i)}$ هو جبر $\sigma$ المتولد بالرؤوس السابقة لـ $i$ في الترتيب المستحث بـ $(i,j)$، فإن $\mu ({\omega }_j|{ℱ}_{(-\mathrm{\infty },i)})=\mu ({\omega }_j|{\omega }_i)$ (انظر [Ge88]).

نتيجة 4.2.

لا يوجد ترشيح للروابط النشطة في FK-RCR للروابط النشطة في منطقة عدم التطابق لنسختين مستقلتين من سلاسل ماركوف على شجرة كايلي الثنائية إذا وفقط إذا كانت جميع سلاسل ماركوف متطرفة.

Proof.

عند $J,h$ معطى، تفهرس سلاسل ماركوف على شجرة كايلي الثنائية بحلول $t=h+\log (\frac{\cosh t+J}{\cosh t-J})$ ولها مصفوفة انتقال

من أجل $k,\mathrm{\ell }=0,1$ [Ge88] القضية 12.24.

إن شروط التطرف في النتيجة 3.3، عند فرضها على سلاسل ماركوف، تعطي الحساب الدقيق لخط حد الطور (على الرغم من أنها عموما ليست إلا شروطا كافية للوحدانية). وبالفعل، يبين حساب بسيط أن هامش FK-RCR لنموذج آيزنغ ذي الحقل $h=0$ على شجرة، على متغيرات الروابط النشطة، هو فقط توزيع برنولي، يكون فيه الرابط حاضرا باحتمال $p_J=\frac{(1-e^{-2J})/2}{(1-e^{-2J})/2+e^{-2J}}=\tanh 2J$؛ ويظهر الاستقلال نفسه بالنسبة إلى RCR في منطقة عدم التطابق، لكن $J$ يتضاعف الآن، ولذلك يكون الرابط نشطا باحتمال $p_J^{NO}=\tanh 4J$. إذا شرطنا على أن منطقة في الماضي متصلة بالرأس $i$ في RCR لمنطقة عدم التطابق، فإن ${\omega }_i\ne {\omega }_i^{\prime }$ في النسختين، والعملية الأمامية مستقلة عن الماضي، معطاة هذه المعلومة. ولكي يكون الرابط $(i,j)$ نشطا في RCR لمنطقة عدم التطابق، يلزم أيضا أن يكون ${\omega }_j\ne {\omega }_j^{\prime }$، وأن يكون الرابط نشطا، وهو ما يحدث باحتمال $p_J^{NO}$.

ومن ثم، لأي ${\mathrm{\Lambda }}_0$ في ماضي $(i,j)$

$$\overline{p}(J,h)=\overline{P}({\eta }_{i,j}\text{ is active }|{\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }i)=(a_{0,0}{a}_{11}-a_{1,0}{a}_{0,1})\tanh 4J,$$

حيث $a_{i,j}\in A$. ويستحصل شرط لتطرف جميع سلاسل ماركوف، باتباع النتيجة 3.5، بالمقارنة مع النقطة الحرجة للترشيح المستقل على الشجرة الثنائية: $\overline{p}(J,h)\le 1/2$. وتبين بعض الحسابات الجبرية أن هذا يحدث بالضبط عندما $t=\arg ma{x}_{t\ge 0}(\log (\frac{\cosh t+J}{\cosh t-J})-t)$، ومن ثم عند قيمة $t$ التي تقابل خط حد الطور في $h$. ∎

4.4 زجاجات السبين

يعرف نموذج زجاج السبين Edwards Anderson كما في (6). يناقش RCR (لنسخة واحدة من) نموذج زجاج السبين EA في [N94]، ويتكون من $b=\{i,j\}$ من أجل أقرب الجيران $i,j$؛ $H=\{\{-1,1\},{\mathrm{\Omega }}_b\}$؛ و $\nu ({\eta }_{\{i,j\}}\text{ active })=p=1-e^{-2J_{i,j}}$. وتظهر شروط عدم الإحباط في التعبير عن الهامش $P$ على الروابط النشطة.

وبما أنه، لكل تطابق ثابت، يكون توزيع تشكيلات عدم التطابق غيبسيا أيضا من نوع زجاج السبين نفسه، فإن التمثيل أعلاه صحيح أيضا لعدم التطابق، مع اقتران مضاعف. وقد نوقشت تمثيلات إضافية لنسختين مستقلتين مخمدتين من زجاجات السبين EA في القسم 2.3؛ وبوجه خاص، رأينا أن تمثيل الروابط الزرقاء والحمراء MNS هو RCR مطبوع. ونرى الآن أن هذا التمثيل يمكن التعبير عنه أيضا بدلالة تشكيلات التطابق، وأن الروابط الزرقاء إما في منطقة التطابق، أو في منطقة عدم التطابق، وأن الروابط الحمراء تقع بينهما، فاصلة بين الاثنين.

تشير حجج رقمية جزئية في [MNS08] إلى تشكل عنقودين أزرقين كبيرين (أحدهما في منطقة التطابق والآخر في منطقة عدم التطابق) وإلى أن تعدد حالة غيبس (باحتمال واحد بالنسبة إلى الاقترانات) ينبغي أن يظهر عندما تكون للعنقودين الأزرقين كثافتان مختلفتان.

قد يأتي بعض تفسير هذا السلوك من النتيجة الآتية لنتيجتنا الرئيسية. اعتبر التوزيع المشترك لـ RCR ذي النوعين (الأزرق والأحمر في نموذج MNS) لزجاج السبين EA المخمد

$$Q_{𝐉,\varphi ,𝚲,{\tilde{\omega }}_{{𝚲}^{𝐜}}}({\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\alpha )},{\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\beta )},{\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(1)},{\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(2)})=\frac{1}{Z}{\nu }^{(\alpha )}({\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\alpha )}){\nu }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\beta )}({\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\beta )}){𝕀}_{({\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(1)}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c},{\omega }_{\mathrm{\Lambda }}^{(2)}{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c})\sim {\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\alpha )}{\eta }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\beta )}}$$

ومن أجل متتالية ${\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}$، الحدود (الجزئية) $Q_{𝐉,\varphi }$ عندما $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$. لتكن $A=(\text{there is percolation of }{\eta }^{(\alpha )}\text{ active bonds }\{i,j\},\text{ s.t. }{\omega }_i^{(1)}=-{\omega }_i^{(2)},{\omega }_j^{(1)}=-{\omega }_j^{(2)})$؛ $A$ يقابل حدث وجود ترشيح لروابط MNS الزرقاء في منطقة عدم التطابق لزوج من تشكيلات زجاج السبين.

مبرهنة 4.3.

إذا، باحتمال واحد بالنسبة إلى الاقتران $𝐉$، لم يوجد لكل المتتاليات ${\{{\tilde{\omega }}_{{\mathrm{\Lambda }}^c}\}}_{\mathrm{\Lambda }}$ أي روابط زرقاء MNS في منطقة عدم التطابق، أي إن $Q_{𝐉,\varphi }(A)=0$، فإن حالة غيبس لزجاج السبين تكون وحيدة لمجموعة من $𝐉$ ذات احتمال واحد.

Proof.

ثبت أي مجموعة منتهية من الرؤوس ${\mathrm{\Lambda }}_0$. إذا كان $Q_{𝐉,\varphi }(A)>0$، فثمة إجراء معياري في نظرية الترشيح لاختيار تشكيلات مناسبة حول ${\mathrm{\Lambda }}_0$ بحيث يحدث ترشيح لـ روابط ${\eta }^{(1)}$ النشطة في منطقة عدم التطابق انطلاقا من ${\mathrm{\Lambda }}_0$ باحتمال موجب. ومن ثم نفترض أن احتمال $Q_{𝐉,\varphi }$ لمثل هذا الترشيح من ${\mathrm{\Lambda }}_0$ يساوي صفرا لجميع $𝐉$ تقريبا. عندئذ، لكل $𝐉$ من هذا القبيل، ولكل $ϵ>0$، توجد ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$ بحيث

لكل ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$ في المتتالية التي تعرف $Q_{𝐉,\varphi }$.

الآن، اعتبر التطبيق $\psi$ الذي يحول المتغيرات الممثلة لروابط MNS الزرقاء داخل ${\mathrm{\Lambda }}_1$ في منطقة عدم التطابق لتشكيلتين، أي $({\eta }^{(\alpha )},{\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)})$ كما عرّف في القسم 2.3، إلى روابط نشطة في RCR البرنولي لتوزيع تشكيلات عدم التطابق، المعرف كما يلي. لتكن $\{i,j\}=b\subseteq {\mathrm{\Lambda }}_1$؛ مع ${\eta }_{i,j}^{(\alpha )}$ ذات قيم إما ${\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{(1)}\times {\mathrm{\Omega }}_{\{i,j\}}^{(2)}$ أو المجموعة $\{({\omega }^{(1)},{\omega }^{(1)}):J_{i,j}{\omega }_i^{(1)}{\omega }_j^{(1)}=1,J_{i,j}{\omega }_i^{(2)}{\omega }_j^{(2)}=1\}$، فعندئذ

نبيّن فيما يلي أن

$$Q_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)})={\overline{P}}_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}(\psi ({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)})).$$

وعندئذ،

$ϵ$ $\ge$ $Q_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)$

$=$ ${\overline{P}}_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}(\psi ({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1))$

$=$ ${\overline{P}}_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}({\mathrm{\Lambda }}_0\stackrel{act}{\leftrightarrow }\delta {\mathrm{\Lambda }}_1)$

لكل ${\mathrm{\Lambda }}_3\supseteq {\mathrm{\Lambda }}_2$، ومن ثم، بالجزء $(a)$ من النتيجة (3.3)، تكون حالة غيبس وحيدة.

للاختتام، لدينا الآتي. من أجل $\sigma$ معطى لتكن ${\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }=\{i:{\sigma }_1=0\}$ و $\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }=ℬ(\mathrm{\Lambda })\setminus ℬ({\mathrm{\Lambda }}_{\sigma })$

$Q_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}({\overline{\eta }}_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)})$

${\displaystyle \sum _{{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\alpha )},{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\beta )}:{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )}={\overline{\eta }}_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )}}}$

${\displaystyle \sum _{{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)}:{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)}=-{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)}}}{Q}_{𝐉,\varphi ,{𝚲}_{\mathrm{𝟑}},{\tilde{\omega }}_{{𝚲}_{\mathrm{𝟑}}^{𝐜}}}({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\alpha )},{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\beta )},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)})$

$=$ ${\displaystyle \sum _{{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\alpha )},{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\beta )}:{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )}={\overline{\eta }}_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(\alpha )}}}$

${\displaystyle \sum _{({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)})\sim ({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\alpha )},{\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\beta )}):{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)}=-{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)}}}{\displaystyle \frac{1}{Z}}{\nu }^{(\alpha )}({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\alpha )}){\nu }_{\mathrm{\Lambda }}^{(\beta )}({\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(\beta )})$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma :{\sigma }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}\equiv 0}}{\displaystyle \frac{1}{Z}}{\displaystyle \prod _{\{i,j\}\subseteq {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}}(1-e^{-4J_{i,j}}){𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is active)}}+e^{-4J_{i,j}}{𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is not active)}}$

${\displaystyle \sum _{{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(\alpha )},{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(\beta )}}}{\displaystyle \prod _{\{(i,j\}⊈{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma },{\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_i^{(2)}={\omega }_j^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(2)}}}(1-e^{-4J_{i,j}}){𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is active)}}+e^{-4J_{i,j}}{𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is not active)}}$

${\displaystyle \prod _{\{(i,j\}⊈{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma },{\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_i^{(2)}=-{\omega }_j^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(2)}}}(1-e^{-2J_{i,j}}){𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is active)}}+e^{-2J_{i,j}}{𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is not active)}}$

$\times |\{({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)}):({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)})\sim {\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(1)},{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(1)},{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(2)}\}|$

$=$ ${\displaystyle \sum _{\sigma :{\sigma }_{{\mathrm{\Lambda }}_1\equiv 0}}}{\displaystyle \frac{1}{Z}}{\displaystyle \prod _{\{i,j\}\subseteq {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}}(1-e^{-4J_{i,j}}){𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is active)}}+e^{-4J_{i,j}}{𝕀}_{{\overline{\eta }}_{i,j}\text{(is not active)}}$

$\times |\{({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)}):({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)})\sim {\eta }_{{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(1)},{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(1)},{\eta }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(2)}\}|$

$\times \rho (({\omega }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(1)},{\omega }_{\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }}^{(2)}):{\omega }_i^{(1)}={\omega }_i^{(2)}\text{ for all }i\in {\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma })$

$=$ $E_{\rho }({\nu }^{\rho }(\psi ({\overline{\eta }}_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)}))$

$=$ $\overline{P}(\psi ({\overline{\eta }}_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_1}^{(2)});$

وتتبع المساواة الثالثة من أن المجموع مستقل عن $({\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(1)},{\omega }_{{\mathrm{\Lambda }}_3}^{(2)})$، لأن التآثرات المتقاطعة بين تشكيلة عدم التطابق في ${\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$ و تشكيلة التطابق في ${\mathrm{\Lambda }}_3\setminus {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$ تساوي صفرا دائما، إذ من أجل $i\in {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$ و$j\notin {\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }$ لدينا $J_{i,j}({\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(1)}+{\omega }_i^{(2)}\cdot {\omega }_j^{(2)})=J_{i,j}({\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(1)}-{\omega }_i^{(1)}\cdot {\omega }_j^{(1)})=0$.

وهذا ينهي البرهان.

∎

توحي المبرهنة الأخيرة بأن عدم التوازن المرصود في كثافات العنقود الأزرق عند الانتقال الطوري قد ينجم عن بداية الترشيح للعنقود الأزرق في منطقة عدم التطابق. وعند الاقتصار على البعد $2$، من المتصور أن القيود الهندسية المستوية تمنع تشكل عنقود أزرق راشح في منطقة عدم التطابق، وقد يؤدي ذلك إلى برهان غياب الانتقال الطوري عند أي درجة حرارة منتهية في زجاجات السبين EA ثنائية البعد.

عنوان الاتصال: NYU Abu Dhabi Saadiyat Island P.O Box 129188 Abu Dhabi, UAE

البريد الإلكتروني: ag189@nyu.edu