ملاحظة حول الاضمحلال الأسي في
نموذج إيزنغ ذي المجال العشوائي

الملخص

نثبت، لنموذج إيزنغ ذي المجال العشوائي ثنائي البعد (RFIM) مع مجال خارجي ثنائي النمط (أي ثنائي القيمة)، الاضمحلال الأسي للارتباطات إما (i) عندما تكون درجة الحرارة أكبر من درجة الحرارة الحرجة لنموذج إيزنغ بلا مجال خارجي وتكون شدة المجال المغناطيسي صغيرة، أو (ii) عند أي درجة حرارة عندما تكون شدة المجال المغناطيسي كبيرة بما فيه الكفاية. وخلافا للأعمال السابقة حول الاضمحلال الأسي، لا يعتمد منهجنا على توسيعات العناقيد، بل على طرائق يمكن القول إنها أبسط؛ إذ تجمع هذه الطرائق بين تحليل خط Kertész واقتران مقاييس إيزنغ (وكذلك تمثيلاتها بالعناقيد العشوائية) ذات الشروط الحدودية المختلفة. ونبين أيضا نتائج مماثلة ولكن أضعف لنموذج RFIM ذي توزيع مجال عام وفي أي بعد.

1. المقدمة والنتائج ثنائية البعد

1.1. نظرة عامة

قدّم Imry وMa [17] نموذج إيزنغ ذي المجال العشوائي بوصفه نموذجا لنظام غير منتظم. وقد تنبآ بأن RFIM يملك انتقال طور إذا وفقط إذا كان البعد $d\ge 3$. وأثبت Bricmont وKupiainen [6] وجود انتقال طور عندما $d\ge 3$، كما أثبت Aizenman وWehr [1]، عند أي درجة حرارة، وحدانية حالة غيبس عندما $d=2$.

أُثبت الاضمحلال الأسي للارتباطات في RFIM عندما $d\ge 2$ في حالتي (i) درجة الحرارة العالية و(ii) أي درجة حرارة مع شدة مجال مغناطيسي كبيرة بما فيه الكفاية في [12, 3, 9] باستخدام طرائق توسيع العناقيد. كما أُثبت معدل اضمحلال (لوغاريتم متكرر في المسافة) لنموذج RFIM عندما $d=2$ عند جميع درجات الحرارة في [7]. ولا تقدم النتائج في [12, 3, 9] أي معلومات كمية عن مناطق الاضمحلال الأسي (من حيث درجة الحرارة وشدة المجال المغناطيسي). في هذه الورقة (انظر المبرهنتين 1-6 أدناه)، نثبت الاضمحلال الأسي في مناطق محددة استنادا إلى تحليل خط Kertész [18, 5, 21] وباستخدام اقترانات مقاييس عناقيد إيزنغ العشوائية. وإضافة إلى تقديم معلومات أكثر تفصيلا عن موضع مناطق الاضمحلال الأسي، فإن الإسهام الرئيس الآخر لهذه الورقة هو أنها تقدم برهانا مختلفا (ويمكن القول إنه أبسط) للاضمحلال الأسي مقارنة بالأعمال السابقة.

يُعرَّف خط Kertész (أو منحناه) تبعا لوجود عنقود لا نهائي أو عدم وجوده على ${\mathbb{Z}}^d$ في تمثيل العناقيد العشوائية لنموذج إيزنغ أو نموذج بوتس ذي $q$ حالة. عندما $d=2$ و$q=2$، نبيّن (انظر الجزء (i) من المبرهنة 8 أدناه) أن هذا الخط يقع عند شدة مجال مغناطيسي موجبة تماما عندما تكون درجة الحرارة أكبر تماما من درجة الحرارة الحرجة. وعندما $d\ge 1$ و$q\ge 2$، نبيّن (انظر المبرهنة 7 أو الجزء (ii) من المبرهنة 8 أدناه) الموجبية الصارمة عندما تكون درجة الحرارة كبيرة. ونحيل إلى [5, 21] والمراجع الواردة فيه لمزيد من المعلومات عن خط Kertész.

لنذكر أن مسألة مفتوحة كبرى في RFIM هي تحديد معدل الاضمحلال الحقيقي عندما تكون كل من درجة الحرارة وشدة المجال المغناطيسي منخفضتين. وبخاصة عندما $d=2$، يبدو أن هناك تنبؤات متنافسة بين الاضمحلال كثير الحدود والاضمحلال الأسي؛ انظر المناقشة قرب نهاية القسم 1 من [7].

ينتظم البحث على النحو الآتي. في بقية هذا القسم نقدم بعض التعريفات ونعرض نتائجنا الرئيسة ثنائية البعد. في القسم 2، نصرح بنتائجنا للبعد العام ونناقش الأفكار الرئيسة وراء البراهين. في القسم 3، نعطي بعض النتائج حول موضع خط Kertész (انظر المبرهنتين 7 و8 هناك). وتُخصَّص الأقسام 4 و5 لبراهين نتائجنا الرئيسة، أي المبرهنات 2-6 والنتيجة 1 أدناه.

1.2. تعريفات

لتكن $\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ مجموعة جزئية منتهية، ولنرمز بـ ${\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }$ إلى مجموعة الرؤوس في ${\mathbb{Z}}^d\setminus \mathrm{\Lambda }$ التي لها جار أقرب في $\mathrm{\Lambda }$. يُعرَّف نموذج إيزنغ الكلاسيكي على $\mathrm{\Lambda }$ عند درجة الحرارة العكسية $\beta$ مع الشرط الحدودي $\eta \in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}$ والمجال الخارجي $\overrightarrow{\mathscr{H}}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$ بمقياس الاحتمال $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta }^{\overrightarrow{\mathscr{H}}}$ على ${\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$ بحيث لكل $\sigma \in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$،

$$P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta }^{\overrightarrow{\mathscr{H}}}(\sigma )=\frac{1}{Z_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta }^{\overrightarrow{\mathscr{H}}}}\exp \left[\beta \sum _{\{u,v\}}{\sigma }_u{\sigma }_v+\beta \sum _{\{u,v\}:u\in \mathrm{\Lambda },v\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{\sigma }_u{\eta }_v+\sum _{u\in \mathrm{\Lambda }}{\mathscr{H}}_u{\sigma }_u\right],$$ (1)

حيث يمتد المجموع الأول على جميع أزواج الجيران الأقرب في $\mathrm{\Lambda }$، و$Z_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta }^{\overrightarrow{\mathscr{H}}}$ هي دالة التقسيم التي تجعل (1) مقياس احتمال.

افترض أن $\overrightarrow{\mathscr{H}}:=\{H{H}_u,u\in \mathrm{\Lambda }\}$ حيث إن $H_u$ متغيرات عشوائية مستقلة ومتماثلة التوزيع ذات توزيع مشترك $\nu$ بمتوسط $0$ وتباين $1$، وأن $H\ge 0$. إن $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta }^{\overrightarrow{\mathscr{H}}}$ الناتج، الذي نرمز إليه الآن بـ $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{H}}$، هو مقياس احتمال عشوائي. ويُعرف هذا باسم نموذج إيزنغ ذي المجال العشوائي. ندرس في هذه الورقة أساسا الحالتين الخاصتين: المجال ثنائي النمط (أي $Prob(H_u=+1)=Prob(H_u=-1)=1/2$) والمجال الغاوسي (أي $H_u\stackrel{𝑑}{=}N(0,1)$). كما ندرس أحيانا RFIM بتوزيع مشترك أكثر عمومية $\nu$ للمتغيرات $H_u$ (انظر الملاحظة 2 التالية للمبرهنة 6 أدناه). في بقية الورقة، يرمز $\overrightarrow{H}$ إلى المجال العشوائي بينما يرمز $\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$ إلى تهيئة مجال ثابتة؛ وغالبا ما يسمى $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ التوزيع المخمّد. نرمز بـ ${⟨\cdot ⟩}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ إلى التوقع بالنسبة إلى $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$. ولتكن ${\beta }_c(d)$ درجة الحرارة العكسية الحرجة لنموذج إيزنغ على ${\mathbb{Z}}^d$ من دون مجال خارجي (أي مع $H=0$). نعرّف ${\beta }_P(d)$ بواسطة

$$1-e^{-2{\beta }_P(d)}=p_c^b(d),$$ (2)

حيث $p_c^b(d)$ هو الاحتمال الحرج لترشيح الحواف البرنولي المستقل على ${\mathbb{Z}}^d$. وليرمز $TV(\cdot ,\cdot )$ إلى مسافة التباين الكلي بين مقاييس الاحتمال. ونرمز بـ $|\cdot |$ إلى المسافة الإقليدية، وليرمز $d(U,V):={inf}_{x\in U,y\in V}|x-y|$ إلى المسافة بين مجموعتين $U,V\subseteq {ℝ}^d$. ولتكن ${\mathrm{\Lambda }}_L:={[-L,L]}^d$ الصندوق ذا طول الضلع $2L$ والمتمركز عند الأصل.

1.3. نتائج ثنائية البعد

إحدى النتائج الرئيسة في بعدين هي:

مبرهنة 1.

لننظر في RFIM ذي المجال ثنائي النمط ومع $d=2$. لكل ، يوجد $H_1(\beta )>0$ بحيث لكل $H\in [0,H_1(\beta ))$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}{\mathrm{\Lambda }}_L}}{sup}\left[{⟨{\sigma }_0⟩}_{{\mathrm{\Lambda }}_L,\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}-{⟨{\sigma }_0⟩}_{{\mathrm{\Lambda }}_L,{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}\right]\le C_2(\beta ,H)e^{-C_1(\beta ,H)L}$$ (3)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، حيث تعتمد $C_1(\beta ,H),C_2(\beta ,H)\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $\beta ,H$. وهنا

(4)

بالنسبة إلى $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ و$\sigma \in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، نرمز بـ ${\sigma }_{\mathrm{\Delta }}$ إلى قصر $\sigma$ على $\mathrm{\Delta }$. وسنثبت في الواقع النتيجة الأقوى الآتية (التي تكون المبرهنة 1 حالة خاصة منها):

مبرهنة 2.

لننظر في RFIM ذي المجال ثنائي النمط ومع $d=2$. لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^2$. لكل ، ولكل $H\in [0,H_1(\beta ))$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le \sum _{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Delta },y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{e}^{-C_1(\beta ,H)|x-y|}$$ (5)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، حيث إن $H_1(\beta )$ كما في المبرهنة 1.

تسمى المعادلة (5) عادة خاصية الخلط الضعيف (انظر [2]). ومن السهل رؤية أن خاصية شبكة FKG وخاصية الخلط الضعيف معا تقتضيان وجود حد حجمي لا نهائي وحيد لـ $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ عندما $\mathrm{\Lambda }\to {\mathbb{Z}}^d$ لا يعتمد على اختيار $\eta$. ونرمز إلى هذا الحد الحجمي اللانهائي بـ $P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$، ولتكن ${⟨\cdot ⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ توقعه. في [2]، تُعرَّف أيضا خاصية خلط ضعيف لمثل هذه المقاييس ذات الحجم اللانهائي؛ وتقول المبرهنة 2 إن $P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ يملك خاصية الخلط الضعيف هذه من أجل $(\beta ,H)$ في المنطقة الموصوفة في المبرهنة. ونتيجة أخرى للمبرهنة 2 هي الاضمحلال الأسي الآتي للدالة الثنائية النقطية المبتورة. ونلاحظ أن اضمحلالا أسيا مماثلا يحدث لنماذج RFIM ومناطق $(\beta ,H)$ الموصوفة في المبرهنات 3-6 (والملاحظة 2) أدناه.

نتيجة 1.

لننظر في RFIM ذي المجال ثنائي النمط ومع $d=2$. لكل ، يوجد $H_1(\beta )>0$ بحيث لكل $H\in [0,H_1(\beta ))$،

$$0\le {⟨{\sigma }_x{\sigma }_y⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}-{⟨{\sigma }_x⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}{⟨{\sigma }_y⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}\le C_7(\beta ,H)e^{-C_1(\beta ,H)|x-y|/2},\forall x,y\in {\mathbb{Z}}^d$$ (6)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{{\mathbb{Z}}^d}$، حيث تعتمد $C_7(\beta ,H)\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $\beta ,H$.

2. نتائج للبعد العام

2.1. نتائج للبعد العام

بالنسبة إلى RFIM ذي المجال ثنائي النمط و$d$ عام، لدينا:

مبرهنة 3.

لننظر في RFIM ذي المجال ثنائي النمط ومع $d\ge 1$. لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. من أجل قيم معينة لـ $\beta \in [0,{\beta }_c(d))$، كما هو مبين أدناه، يوجد ${\tilde{H}}_1(\beta )>0$ بحيث لكل $H\in [0,{\tilde{H}}_1(\beta ))$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le \sum _{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Delta },y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{e}^{-C_1(\beta ,H)|x-y|}$$ (7)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، حيث تعتمد $C_1(\beta ,H)\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $\beta ,H$ (وعلى $d$). وهنا

(8)

حيث ${ϵ}_d>0$.

بالنسبة إلى RFIM ذي المجال الغاوسي (أو غيره) و$\beta \in [0,{\beta }_P(d))$، لدينا:

مبرهنة 4.

لننظر في RFIM ذي المجال الغاوسي (أو ذي أي توزيع مشترك $\nu$) ومع $d\ge 1$. لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. لكل و$H>0$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le \sum _{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Delta },y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{e}^{-C_3(\beta )|x-y|}$$ (9)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$، حيث تعتمد $C_3(\beta )\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $\beta$ (وعلى $d$).

ملاحظة 1.

تمتد المبرهنة 4 (بالبرهان نفسه) إلى أي $\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$ حتمية.

بالنسبة إلى RFIM مع $\beta \ge 0$ و$H$ كبير، لدينا المبرهنتان الآتيتان.

مبرهنة 5.

لننظر في RFIM ذي المجال ثنائي النمط ومع $d\ge 1$. لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. لكل ، يوجد $H_2(\beta )>0$ بحيث لكل $H>H_2(\beta )$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le \sum _{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Delta },y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{e}^{-C_4|x-y|}$$ (10)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$، حيث إن $C_4\in (0,\mathrm{\infty })$ ثابت (يعتمد فقط على $d$).

مبرهنة 6.

لننظر في RFIM ذي المجال الغاوسي ومع $d\ge 1$. لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. لكل ، يوجد $H_3(\beta )>0$ بحيث لكل $H>H_3(\beta )$،

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le \sum _{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Delta },y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{C}_6(x,\overrightarrow{h})e^{-C_5|x-y|}$$ (11)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{{\mathbb{Z}}^d}$ تقريبا من $\overrightarrow{H}$، حيث تعتمد $C_6(x,\overrightarrow{h})\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $x$ و$\overrightarrow{h}$ (وعلى $d$)، و$C_5\in (0,\mathrm{\infty })$ ثابت (يعتمد فقط على $d$).

ملاحظة 2.

تمتد المبرهنة 6 (ببرهان مطابق تقريبا) إلى RFIM ذي توزيع مشترك عام $\nu$ يحقق

(12)

حيث إن $p_c^s(d)$ هو الاحتمال الحرج لترشيح المواقع البرنولي المستقل على ${\mathbb{Z}}^d$.

ملاحظة 3.

تُظهر براهين المبرهنة 5 (انظر اللمّة 5) والمبرهنة 6 (انظر (69) و(70)) ما يلي: يمكن أن تكون $H_2(\beta )$ أي عدد يحقق

(13)

ويمكن أن تكون $H_3(\beta )$ أي عدد بحيث لبعض $\delta >0$

(14)

2.2. أفكار البراهين

تعتمد براهين المبرهنات 1-4 أولا على عدم تفاهة خط Kertész لترشيح FK عندما (انظر المبرهنة 8)، وثانيا على الاضمحلال الأسي في نموذج إيزنغ المتجانس ذي المجال المغناطيسي الثابت تحت خط Kertész (انظر المبرهنة 9). والفكرة الرئيسة في براهين المبرهنات 5-6 هي أن كل لف إيزنغ سيتبع، باحتمال عال، إشارة مجاله الخارجي عندما تكون شدة المجال كبيرة. ويؤدي اقتران مقاييس إيزنغ (وتمثيلاتها بالعناقيد العشوائية) ذات الشروط الحدودية المختلفة دورا مهما أيضا؛ انظر اللمّات 2 و4 و5.

3. موضع خط Kertész

في هذا القسم، ندرس نموذج بوتس ذي $q$ حالة ونماذج العناقيد العشوائية. لاحظ أن نماذج بوتس تعميمات لنموذج إيزنغ. ونبين أن خط Kertész يقع عند شدة مجال مغناطيسي موجبة تماما عندما (i) تكون درجة الحرارة أكبر من درجة الحرارة الحرجة في حالة $d=q=2$، وعندما (ii) تكون درجة الحرارة كبيرة بما فيه الكفاية من أجل $d\ge 1$ و$q>1$ عامين.

لأي $q\in \{2,3,\mathrm{\dots }\}$ و$\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ منتهية، يُعرَّف نموذج بوتس عند درجة الحرارة العكسية $\beta$ على $\mathrm{\Lambda }$ مع الشرط الحدودي $\eta \in {\{1,2,\mathrm{\dots },q\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}$ والمجال الخارجي $H\ge 0$ بمقياس الاحتمال $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}$ على ${\{1,2,\mathrm{\dots },q\}}^{\mathrm{\Lambda }}$ بحيث لكل $\sigma \in {\{1,2,\mathrm{\dots },q\}}^{\mathrm{\Lambda }}$،

$$P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}(\sigma )=\frac{1}{Z_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}}\exp \left[2\beta \sum _{\{u,v\}}{\delta }_{{\sigma }_u,{\sigma }_v}+2\beta \sum _{e=\{u,v\}:u\in \mathrm{\Lambda },v\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}{\delta }_{{\sigma }_u,{\eta }_v}+2H\sum _{u\in \mathrm{\Lambda }}{\delta }_{{\sigma }_u,1}\right],$$ (15)

حيث يمتد المجموع الأول على جميع أزواج الجيران الأقرب في $\mathrm{\Lambda }$، و$Z_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}$ هي دالة التقسيم، و${\delta }_{i,j}$ هي دلتا كرونكر. لاحظ أن بارامتريتنا تختلف عن المعتادة (انظر مثلا القسم 1.3 من [15]) بعامل $2$ لكل من $\beta$ و$H$؛ ومع هذا الاختيار، يقابل نموذج بوتس مع $q=2$ نموذج إيزنغ بدرجة حرارة عكسية $\beta$ ومجال خارجي ثابت $H$. في هذا القسم لا ندرس إلا المجال الخارجي الثابت، أي إن لكل رأس المجال الخارجي نفسه ذي الشدة $H$.

قبل تعريف نموذج العناقيد العشوائية، نحتاج إلى بعض الترميز. مع مجموعة الرؤوس ${\mathbb{Z}}^d$، نكتب ${𝔼}^d$ لمجموعة حواف الجيران الأقرب في ${\mathbb{Z}}^d$. ومن أجل $\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$، عرّف ${\mathrm{\Lambda }}^C:={\mathbb{Z}}^d\setminus \mathrm{\Lambda }$،

$${\partial }_{in}\mathrm{\Lambda }:=\{z\in {\mathbb{Z}}^d:z\in \mathrm{\Lambda },z\text{ has a nearest neighbor in }{\mathrm{\Lambda }}^C\},$$ (16)

$${\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }:=\{z\in {\mathbb{Z}}^d:z\notin \mathrm{\Lambda },z\text{ has a nearest neighbor in }\mathrm{\Lambda }\},$$ (17)

$$\overline{\mathrm{\Lambda }}:=\mathrm{\Lambda }\cup {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }.$$ (18)

ندع $ℬ(\mathrm{\Lambda })$ تكون مجموعة كل $\{z,w\}\in {𝔼}^d$ التي تحقق $z,w\in \mathrm{\Lambda }$، و$\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$ تكون مجموعة كل $\{z,w\}$ التي تحقق $z$ أو $w\in \mathrm{\Lambda }$. وسندرس الرسم الموسع $G=(V,E)$ حيث $V={\mathbb{Z}}^d\cup \{g\}$ (تسمى $g$ عادة الرأس الشبحي [13])، و$E$ هي المجموعة ${𝔼}^d\cup \{\{z,g\}:z\in {\mathbb{Z}}^d\}$. تسمى الحواف في ${𝔼}^d$ الحواف الداخلية، في حين تسمى الحواف في $\{\{z,g\}:z\in {\mathbb{Z}}^d\}$ الحواف الخارجية. وندع $ℰ(\mathrm{\Lambda })$ تكون مجموعة كل الحواف الخارجية ذات طرف في $\mathrm{\Lambda }$، أي

$$ℰ(\mathrm{\Lambda }):=\{\{z,g\}:z\in \mathrm{\Lambda }\}.$$

يُعرَّف نموذج العناقيد العشوائية عند درجة الحرارة العكسية $\beta$ على $\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ مع الشرط الحدودي $\rho \in {\{0,1\}}^{ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup ℰ({\mathrm{\Lambda }}^C)}$ والمجال الخارجي $H\ge 0$ بمقياس الاحتمال ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}$ على ${\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup ℰ(\mathrm{\Lambda })}$ بحيث لأي $\omega \in {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup ℰ(\mathrm{\Lambda })}$،

${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}(\omega )={\displaystyle \frac{q^{𝒦(\mathrm{\Lambda },{(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }})}}{{\widehat{Z}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}}}{\displaystyle \prod _{e\in \overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2\beta })}^{{\omega }_e}{(e^{-2\beta })}^{1-{\omega }_e}{\displaystyle \prod _{e\in ℰ(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2H})}^{{\omega }_e}{(e^{-2H})}^{1-{\omega }_e},$ (19)

حيث يرمز ${(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }}$ إلى التهيئة التي تطابق $\omega$ على $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup ℰ(\mathrm{\Lambda })$ وتطابق $\rho$ على $ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup ℰ({\mathrm{\Lambda }}^C)$، ويرمز $𝒦(\mathrm{\Lambda },{(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }})$ إلى عدد العناقيد في ${(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }}$ التي تقاطع $\mathrm{\Lambda }$ ولا تحتوي $g$، و${\widehat{Z}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}$ هي دالة التقسيم. يقال إن الحافة $e$ مفتوحة إذا كان ${\omega }_e=1$، وإلا فيقال إنها مغلقة. ويرمز ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },f,\beta ,H}$ (على التوالي ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}$) إلى مقياس الاحتمال ذي الشروط الحدودية الحرة (على التوالي الموصلة)، أي $\rho \equiv 0$ (على التوالي $\rho \equiv 1$) في (19).

ترتبط نماذج بوتس ونماذج العناقيد العشوائية باقتران Edwards-Sokal [11]؛ انظر أيضا القسمين 1.4 و4.6 من [15]. وبما أننا نهتم أساسا في هذه الورقة بالحالة $q=2$ (نموذج إيزنغ)، فإننا نحذف الإشارة الصريحة إلى $q$ في هذا القسم.

لأي $u,v\in {\mathbb{Z}}^d\cup \{g\}$، نكتب $u⟷v$ للحدث الذي يوجد فيه مسار من الحواف المفتوحة يصل بين $u$ و$v$، أي مسار $u=z_0,z_1,\mathrm{\dots },z_n=v$ مع $e_i=\{z_i,z_{i+1}\}\in E$ و$\omega (e_i)=1$ لكل . ولأي $u,v\in {\mathbb{Z}}^d$، نكتب $u\stackrel{𝑊}{⟷}v$ إذا كان $u⟷v$ وكان كل رأس على هذا المسار في $W\subseteq {\mathbb{Z}}^d\cup \{g\}$. ولأي $A,B\subseteq {\mathbb{Z}}^d\cup \{g\}$، نكتب $A⟷B$ إذا وجد $u\in A$ و$v\in B$ بحيث $u⟷v$. ويرمز $A⟷B$ إلى متممة $A⟷B$.

بفعل خاصية شبكة FKG، فإن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}$ (مع الشروط الحدودية الموصلة) له حد حجمي لا نهائي وحيد عندما $\mathrm{\Lambda }\to {\mathbb{Z}}^d$، نرمز إليه بـ ${\mathbb{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,w,\beta ,H}$. ولتكن $\theta (\beta ,H)$ احتمال الترشيح،

$$\theta (\beta ,H):={\mathbb{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,w,\beta ,H}(0\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}\mathrm{\infty }),$$ (20)

حيث $\{0\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}\mathrm{\infty }\}$ هو حدث كون الأصل في عنقود مفتوح لا نهائي في ${\mathbb{Z}}^d$ (أي باستخدام الحواف الداخلية فقط). وتُعرَّف درجة الحرارة العكسية الحرجة (مع $H$=0) بواسطة

$${\beta }_c(d):=sup\{\beta \ge 0:\theta (\beta ,0)=0\}.$$ (21)

خط Kertész (انظر [18, 5, 21]) هو الدالة

$$H_K(\beta ):=sup\{H\ge 0:\theta (\beta ,H)=0\}.$$ (22)

لاحظ أن ${\mathbb{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,w,\beta ,H}$ متزايد تصادفيا في $\beta$ و$H$ (أي بمعنى FKG)، ولذلك فإن $H_K(\beta )$ متناقصة في $\beta$. ومن الواضح أن $H_K(\beta )=0$ لكل $\beta >{\beta }_c(d)$. ومن السهل أيضا رؤية أن $H_K(\beta )=\mathrm{\infty }$ إذا كان حيث

$$1-e^{-2{\beta }_P(d)}=p_c^b(d)$$ (23)

و$p_c^b(d)$ هو الاحتمال الحرج لترشيح الحواف البرنولي المستقل على ${\mathbb{Z}}^d$. وينتج من المبرهنة 1.4 في [8] ومن اقتران Edwards-Sokal أن $H_K({\beta }_P(d))=\mathrm{\infty }$ و لكل $\beta >{\beta }_P(d)$؛ ولرؤية ذلك، لاحظ أن ترشيح الحالة $1$ في نموذج بوتس ذي $q$ حالة مع $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$ ومجال خارجي $H\in [0,\mathrm{\infty })$ مطبق على الحالة $1$ يخضع لهيمنة تصادفية من ترشيح مواقع برنولي مستقل على ${\mathbb{Z}}^d$ مع (وعلى التوالي، يهيمن تصادفيا على ترشيح مواقع برنولي مستقل مع حيث $\tilde{p}(H)\to 1$ عندما $H\to \mathrm{\infty }$). وتدل حجة مماثلة أيضا على أن (انظر أيضا المبرهنة 3.1 في [14]). وباستخدام حجج شبيهة بتلك المطورة في [4]، سنثبت المبرهنة الآتية حول خط Kertész.

مبرهنة 7.

افترض أن $d\ge 1$ و$q\in \{2,3,\mathrm{\dots }\}$. لدينا

$$H_K({\beta }_c(d))=0.$$ (24)

وفوق ذلك، يوجد ${ϵ}_d\in (0,{\beta }_c(d)-{\beta }_P(d))$ بحيث

$$H_K({\beta }_P(d)+{ϵ}_d)\in (0,\mathrm{\infty }).$$ (25)

تذكّر أن ${\mathrm{\Lambda }}_n:={[-n,n]}^d$. ولتكن $\overrightarrow{p}=(p_1,p_2):=(1-e^{-2\beta },1-e^{-2H})$. عرّف

$${\theta }_n(\overrightarrow{p}):={\mathbb{P}}_{{\mathrm{\Lambda }}_n,w,\beta ,H}(0\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{in}{\mathrm{\Lambda }}_n).$$ (26)

لإثبات المبرهنة 7، سنستخدم القضيتين الآتيتين.

قضية 1.

افترض أن $d\ge 1$ و$q>1$. توجد دالتان مستمرتان $\alpha ,\gamma :{(0,1)}^2\to (0,\mathrm{\infty })$ و$N>0$ بحيث

$$\alpha (\overrightarrow{p})\frac{\partial {\theta }_n}{\partial p_1}\le \frac{\partial {\theta }_n}{\partial p_2}\le \gamma (\overrightarrow{p})\frac{\partial {\theta }_n}{\partial p_1}$$ (27)

لكل $\overrightarrow{p}\in {(0,1)}^2$، ولكل $n\ge N$.

Proof.

يشبه البرهان برهان المبرهنة 1 في [4]؛ وهنا لا نشرح إلا التعديلات اللازمة لإطارنا. لتكن $𝐩:=(p_e,e\in ℬ({\mathrm{\Lambda }}_n)\cup ℰ({\mathrm{\Lambda }}_n))$. ولتكن ${\tilde{\mathbb{P}}}_{{\mathrm{\Lambda }}_n,\overline{w},𝐩}$ مقياس العناقيد العشوائية المعمم، أي مع استبدال $e^{-2\beta }$ و$e^{-2H}$ بـ $1-p_e$ في (19). لكل $e=\{u,v\}\in \overline{ℬ}({\mathrm{\Lambda }}_n)$ بحيث إما $u$ أو $v\in {\mathrm{\Lambda }}_n$، لتكن $f:=\{u,g\}$ إذا كان $u\in {\mathrm{\Lambda }}_n$، وضع $f:=\{v,g\}$ خلاف ذلك. هدفنا هو إثبات

$$\frac{\partial {\theta }_n}{\partial p_e}\le \tilde{\alpha }(𝐩)\frac{\partial {\theta }_n}{\partial p_f}$$ (28)

لبعض الدوال المستمرة $\tilde{\alpha }:{(0,1)}^{\overline{ℬ}({\mathrm{\Lambda }}_n)\cup ℰ({\mathrm{\Lambda }}_n)}\to (0,\mathrm{\infty })$. ولتكن

$$⟨B_u⟩:=\left(ℬ(u+{\mathrm{\Lambda }}_2)\cap ℬ({\mathrm{\Lambda }}_n)\right)\cup \left(ℰ(u+{\mathrm{\Lambda }}_2)\cap ℰ({\mathrm{\Lambda }}_n)\right).$$ (29)

نعدّل الأحداث $V^i,i=1,2,3$ في [4] على النحو الآتي. لتكن $f^{\prime }:=\{v,g\}$ إذا كان $u\in {\mathrm{\Lambda }}_n$، و$f^{\prime }:=\{u,g\}$ خلاف ذلك.

1. $V^1$ هو الحدث الذي تُزال فيه، خلال الفاصل الزمني $(t,t+1]$، كل الحواف في $⟨B_u⟩$ الموجودة في $X_t$، ولا تضاف أي حواف في $⟨B_u⟩$ إلى $X$؛ وتبقى $e$ موجودة في Y.

2. $V^2$ هو الحدث الذي تضاف فيه، خلال $(t+1,t+2]$، الحافتان $f$ و$f^{\prime }$ إلى $X$، ولا تضاف أي حواف أخرى في $⟨B_u⟩$ إلى $X$؛ وتبقى e موجودة في Y.

3. $V^3$ هو الحدث الذي تُزال فيه، خلال $(t+2,t+3]$، الحافة $f$ من $X$ ولكن ليس من $Y$.

باقي البرهان مطابق لبرهان المبرهنة 1 في [4]. ∎

يعطي البرهان نفسه كما في المبرهنة 2 من [4] القضية الآتية. لاحظ أن تلك المبرهنة تصح لكل $𝐩\in {(0,1)}^K$، كما عُرّف في [4]. ولتكن $U:=\{\overrightarrow{e}\in {ℝ}^2:|\overrightarrow{e}|=1\}$. تسمى مجموعة جزئية مفتوحة $V$ من $U$ تامة إذا كان $\{(x_1,x_2)\in U:x_1>0\text{ or }{x}_2>0\}\subseteq V$.

قضية 2.

افترض أن $d\ge 1$ و$q>1$. لأي $\overrightarrow{p}\in {(0,1)}^2$، توجد $c_1,c_2,{ϵ}_0\in (0,\mathrm{\infty })$، ومجموعة جزئية تامة $V$ من $U$، بحيث

$$\theta (\overrightarrow{p}+c_1ϵ\overrightarrow{e})\le \theta (\overrightarrow{p}+ϵ\overrightarrow{f})\le \theta (\overrightarrow{p}+c_2ϵ\overrightarrow{e})$$ (30)

لكل و$\overrightarrow{e},\overrightarrow{f}\in V$.

نحن الآن مستعدون لإثبات المبرهنة 7.

برهان المبرهنة 7.

نثبت المبرهنة بالتناقض. افترض أن $H_K({\beta }_c(d))>0$. عندئذ لكل $H_0\in [0,H_K({\beta }_c(d)))$ لدينا $\theta ({\beta }_c(d),H_0)=0$. وتقتضي القضية 2 أن

$$\theta ({\beta }_c(d)+{ϵ}_1,{\tilde{H}}_0)=0\text{ for some }{ϵ}_1,{\tilde{H}}_0>0,$$ (31)

وهذا يناقض حقيقة أن $\theta ({\beta }_c(d)+{ϵ}_1,0)>0$. أما برهان الجزء الثاني من المبرهنة فهو حجة مشابهة بالتناقض، كما يلي. نفترض أن

$$H_K({\beta }_P(d)+ϵ)=0\text{ for all }ϵ>0.$$ (32)

أي إن

$$\theta ({\beta }_P(d)+ϵ,H)>0\text{ for all }ϵ>0,H>0.$$ (33)

ثم نحصل على تناقض بواسطة القضية 2 و$H_K({\beta }_P(d))=\mathrm{\infty }$. وأخيرا، نلاحظ أن تأكيد (25) بأن ينتج من الحجة المعطاة أعلاه بعد (23). ∎

نلخص نتائجنا حول خط Kertész في المبرهنة الآتية (التي تتضمن نتائج المبرهنة 7).

مبرهنة 8.

1. من أجل $d=2$ و$q=2$، لدينا

   (34)

2. من أجل $d\ge 1$ و$q\in \{2,3,\mathrm{\dots }\}$، يوجد ${ϵ}_d>0$ بحيث

   (35)

ملاحظة 4.

من الطبيعي حدس أن $H_K(\beta )>0$ إذا كان $\beta \in ({\beta }_P(d),{\beta }_c(d))$.

برهان المبرهنة 8.

بموجب المبرهنة 1 في [16]، يوجد لكل $\beta \in [0,{\beta }_c(2))$ عدد $H_{Hig}(\beta )>0$ بحيث لا يوجد عنقود $+$ لا نهائي لنموذج إيزنغ على ${\mathbb{Z}}^2$ عند درجة الحرارة العكسية $\beta$ مع المجال الخارجي $H\in [0,H_{Hig}(\beta ))$. وبحسب اقتران Edwards-Sokal، فإن وجود عنقود مفتوح لا نهائي في نموذج العناقيد العشوائية يقتضي وجود عنقود $+$ أو $-$ لا نهائي في نموذج إيزنغ الموافق. لذلك، $\theta (\beta ,H)=0$ لأي $\beta \in [0,{\beta }_c(2))$ و$H\in [0,H_{Hig}(\beta ))$. وهذا، مع المبرهنة 7 والحجة قرب (23)، يتمم برهان الجزء الأول من المبرهنة. أما الجزء الثاني من المبرهنة فينتج من المبرهنة 7 والحجة قرب (23). ∎

نتيجتنا التالية هي الاضمحلال الأسي لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}$ من أجل $(\beta ,H)$ تحت خط Kertész أو على يساره. وبشكل أدق،

مبرهنة 9.

افترض أن $d\ge 1$ و$q>1$. لأي $\beta \in [0,{\beta }_c(d))$ و$H\in [0,H_K(\beta ))$، يوجد $C_8(\beta ,H)\in (0,\mathrm{\infty })$ بحيث لكل $L\ge 0$،

$${\mathbb{P}}_{{\mathrm{\Lambda }}_L,w,\beta ,H}(0\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{in}{\mathrm{\Lambda }}_L)\le e^{-C_8(\beta ,H)L}.$$ (36)

Proof.

لاحظ أن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}$ يملك خاصية شبكة FKG وخاصية ماركوف على المجال. لذلك فإن برهان المبرهنة 1.2 في [10] ينطبق على ${\mathbb{P}}_{{\mathrm{\Lambda }}_L,w,\beta ,H}$ (وعلى ${\mathbb{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,w,\beta ,H}$). ∎

4. خاصية الخلط الضعيف

في هذا القسم، نثبت المبرهنات 2-6.

4.1. نموذج العناقيد العشوائية المعمم

نعمم أولا نموذج العناقيد العشوائية ذي المجال الخارجي الثابت في (19) إلى مجال خارجي أكثر عمومية. لتكن $\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ منتهية و$\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$. انظر إلى الرسم الموسع $(V,E)$ حيث $V=\mathrm{\Lambda }\cup \{g^{+},g^{-}\}$، حيث تمثل $g^{+}$ و$g^{-}$ شبحي $+$ و$-$ على التوالي، و$E={𝔼}^d\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })$ مع

$${ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda }):=\{\{z,g^{+}\}:z\in \mathrm{\Lambda }\text{ and }{h}_z>0\},$$ (37)

(38)

لتكن ${ℰ}_{+}({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup {ℰ}_{-}({\mathrm{\Lambda }}^C)$ مجموعة الحواف الخارجية ذات طرف في ${\mathrm{\Lambda }}^C$ وطرف آخر في $\{g^{+},g^{-}\}$ (وسيتضح من السياق هل هو $g^{+}$ أم $g^{-}$). يُعرَّف نموذج العناقيد العشوائية عند $\beta$ على $\mathrm{\Lambda }\subseteq {\mathbb{Z}}^d$ مع الشرط الحدودي $\rho \in {\{0,1\}}^{ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup {ℰ}_{+}({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup {ℰ}_{-}({\mathrm{\Lambda }}^C)}$ والمجال الخارجي $H\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{\mathrm{\Lambda }}$ بمقياس الاحتمال ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ على ${\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$ بحيث لأي $\omega \in {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$،

${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(\omega )=$ ${\displaystyle \frac{q^{𝒦(\mathrm{\Lambda },{(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }})}}{{\widehat{Z}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}}}{1}_{\{g^{+}⟷g^{-}\}}(\omega ){\displaystyle \prod _{e\in \overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2\beta })}^{{\omega }_e}{(e^{-2\beta })}^{1-{\omega }_e}$

$\times {\displaystyle \prod _{e\in {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2H|h_e|})}^{{\omega }_e}{(e^{-2H|h_e|})}^{1-{\omega }_e},$ (39)

حيث يرمز $𝒦(\mathrm{\Lambda },{(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }})$ إلى عدد العناقيد في ${(\omega \rho )}_{\mathrm{\Lambda }}$ التي تقاطع $\mathrm{\Lambda }$ ولا تحتوي أيا من $g^{+}$ أو $g^{-}$، و$h_e:=h_z$ لكل حافة خارجية $e=\{z,g^{+}\}$ أو $\{z,g^{-}\}$، ويرمز $1_{\{\cdot \}}$ إلى دالة المؤشر، أما باقي الترميز فمماثل لما في (19). نعرّف الآن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ على الرسم نفسه حيث يعيش ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$، وذلك باستخدام الطرف الأيمن من (4.1) لكن مع حذف دالة المؤشر. ونلاحظ أن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ ليس تماما مثل استبدال كل $h_z$ بـ $|h_z|$ في ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$، غير أن هذين المقياسين لهما الهامش نفسه على $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$ لأن تعريفنا لـ $𝒦(\mathrm{\Lambda },\cdot )$ يقتضي أن $g^{+}$ و$g^{-}$ موصلان في ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$. وملاحظة سهلة هي أن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ يخضع لهيمنة تصادفية من ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$.

لمّة 1.

لأي حدث متزايد $A\subseteq {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$، لدينا

$${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(A)\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}(A).$$ (40)

Proof.

لاحظ أن مشتقة Radon-Nikodym

$$\frac{d{\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}}{d{\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}}(\omega )=C(\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H,\overrightarrow{h})1_{\{g^{+}⟷g^{-}\}}(\omega )$$ (41)

هي دالة متناقصة (بمعنى FKG)، حيث $C(\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H,\overrightarrow{h})$ ثابت يعتمد فقط على $\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H,\overrightarrow{h}$. وبما أن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ يحقق متباينة FKG، فإن خلاصة اللمّة تتبع. ∎

بعد ذلك، نحدّ مسافة التباين الكلي بين ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot )$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot )$ باحتمال اتصال.

لمّة 2.

لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. عندئذ

$\underset{\rho ,{\rho }^{\prime }\in {\{0,1\}}^{ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup {ℰ}_{+}({\mathrm{\Lambda }}^C)\cup {ℰ}_{-}({\mathrm{\Lambda }}^C)}}{sup}TV({\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),{\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))$

$\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\partial }_{in}\mathrm{\Delta }\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }),$ (42)

حيث يشير $w$ في الرمز السفلي إلى الشرط الحدودي الموصل.

Proof.

يستخدم البرهان اقترانات مماثلة لتلك الواردة في براهين المبرهنة 3.11 من [20] واللمّة 2.3 من [2]، وفي المناقشة في ص. 827 من [19]. ومن أجل الاكتمال، نعرض التفاصيل هنا. لاحظ أن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ يهيمن تصادفيا على ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$، ومن ثم أيضا على ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ بحسب اللمّة 1. وهدفنا هو إيجاد اقتران بين ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$، بحيث تتطابق التهيئات الثلاث من مقاييس الاحتمال الثلاثة تلك داخل العنقود الحدودي لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$.

نتابع كما يلي. نرتب مجموعة الحواف في $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })$ بحيث تسبق $e_1$ الحافة $e_2$ في الترتيب إذا كان ، حيث ${\tilde{e}}_1$ هي المجموعة $\{x,y\}$ إذا كان $e_1=\{x,y\}$ مع $x,y\in {\mathbb{Z}}^d$، و${\tilde{e}}_1:=\{z\}$ إذا كان $e_1=\{z,g^{+}\}$ أو $\{z,g^{-}\}$ مع $z\in {\mathbb{Z}}^d$. نستكشف تدريجيا، بخطوات زمنية وحدية، العنقود المفتوح الحدودي للتهيئة ${\omega }^w$ في حامل ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$. نرمز بـ $G_t$ إلى مجموعة الحواف التي كُشفت حتى الزمن الصحيح $t$ (مع شموله)، ولتكن $E_t$ مجموعة الحواف المفتوحة في $G_t\cap \overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$، حيث نستخدم العملية الآتية لكشف الحواف.

• $G_0=\mathrm{\varnothing }$ و$E_0=\mathrm{\varnothing }$.

• لكل $t\ge 0$، اكشف أصغر حافة غير مستكشفة $e$ (وفقا للترتيب أعلاه) مجاورة لـ $E_t\cup ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)$، واضبط قيمتها في ${\omega }^w$ عبر متغير عشوائي مستقل $[0,1]$ موزع بانتظام $U_e$:

  $${\omega }_e^w:=1\{U_e\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^w)\}.$$ (43)

  ونستكشف أيضا التهيئات في المقياسين الآخرين كما يلي:

  ${\omega }_e^{\rho }:=1\{U_e\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{\rho })\},$ (44)

  ${\omega }_e^{{\rho }^{\prime }}:=1\{U_e\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{{\rho }^{\prime }})\}.$ (45)

  لتكن $G_{t+1}:=G_t\cup \{e\}$، ولتكن

  (46)

• لتكن $\tau$ أول زمن $t$ لا توجد عنده حافة غير مستكشفة $e\in \overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$ مجاورة لـ $E_t\cup ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)$.

يمكن أن يثبت بالاستقراء أن ${\omega }_{G_t}^{\rho }\le {\omega }_{G_t}^w$ و${\omega }_{G_t}^{{\rho }^{\prime }}\le {\omega }_{G_t}^w$ لكل $t\in [0,\tau ]$ (نثبت فقط ${\omega }_{G_t}^{\rho }\le {\omega }_{G_t}^w$ لأن البرهان الآخر مطابق): افترض أن ${\omega }_{G_t}^{\rho }\le {\omega }_{G_t}^w$، ولتكن $e$ الحافة التي ستُستكشف عند الزمن $t+1$؛ عندئذ، بحسب اللمّة 1،

$${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{\rho })\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{\rho }).$$ (47)

وبحسب فرضية الاستقراء وخاصية شبكة FKG لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\cdot ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$،

${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{\rho }))$ $\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^{\rho })$

$\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\omega }_e=1|{\omega }_{G_t}={\omega }_{G_t}^w).$ (48)

بعد الزمن $\tau$، يمكننا كشف الحواف الباقية وفق ترتيبها مع اتباع العملية نفسها الموصوفة أعلاه. ومن السهل رؤية أن ${\omega }_e^{\rho }={\omega }_e^{{\rho }^{\prime }}$ لتلك الحواف الباقية، لأن الحواف المغلقة في $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$ المجاورة لـ $E_{\tau }$ تعمل كشروط حدودية مشتركة لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\rho }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$. لذلك، تحت هذا الاقتران

$${\omega }_{\mathrm{\Delta }}^{\rho }\ne {\omega }_{\mathrm{\Delta }}^{{\rho }^{\prime }}\text{ if and only if }{\partial }_{in}\mathrm{\Delta }\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }\text{ in }{\omega }^w,$$ (49)

وهذا يتمم برهان اللمّة. ∎

4.2. اقتران Edwards-Sokal لنموذج RFIM

اقتران Edwards-Sokal [11] هو مقياس احتمال على فضاء احتمال مشترك لنموذجي العناقيد العشوائية وإيزنغ. سنقصر الاهتمام على الحالة التي يوجد فيها شرط حدودي $\eta \in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}$ لمتغيرات إيزنغ فقط. وبصورة أدق، لتكن ${\widehat{\mathbb{P}}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ مقياس الاحتمال الآتي على ${\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}\times {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$. لكل $(\sigma ,\omega )\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}\times {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$،

${\widehat{\mathbb{P}}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(\sigma ,\omega )\propto$ $1_{F(\mathrm{\Lambda },\eta )}(\sigma ,\omega ){\displaystyle \prod _{e\in \overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2\beta })}^{{\omega }_e}{(e^{-2\beta })}^{1-{\omega }_e}$

$\times {\displaystyle \prod _{e\in {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}}{(1-e^{-2H|h_e|})}^{{\omega }_e}{(e^{-2H|h_e|})}^{1-{\omega }_e}.$ (50)

هنا، $F(\mathrm{\Lambda },\eta )$ هو الحدث

$$\{(\sigma ,\omega )\in {\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}\times {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}:{(\sigma \eta )}_{\mathrm{\Lambda }}(x)={(\sigma \eta )}_{\mathrm{\Lambda }}(y)\text{ for each }{\omega }_{\{x,y\}}=1\}$$

(حيث ${(\sigma \eta )}_{\mathrm{\Lambda }}$ هي التهيئة التي تطابق $\sigma$ على $\mathrm{\Lambda }$ وتطابق $\eta$ على ${\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }$، ونسند $+1$ إلى $g^{+}$ و$-1$ إلى $g^{-}$)؛ ويُختار ثابت التناسب بحيث

$$\sum _{(\sigma ,\omega )}{\widehat{\mathbb{P}}}_{\mathrm{\Lambda },\rho ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(\sigma ,\omega )=1.$$ (51)

هامش ${\widehat{\mathbb{P}}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ على ${\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$ هو $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$. والهامش على ${\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$ هو ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(\cdot ):={\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}(\cdot |E(\mathrm{\Lambda },\eta ))$، حيث يمكن تفسير $w$ على أنه يضع حافة خارجية مفتوحة بين كل رأس في $\{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }:{\eta }_x=+1\}$ (على التوالي $\{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }:{\eta }_x=-1\}$) و$g^{+}$ (على التوالي $g^{-}$)، وتكون كل الحواف الأخرى في $ℬ({\mathrm{\Lambda }}^C)$ مغلقة؛ و$E(\mathrm{\Lambda },\eta )$ هو الحدث

$$\{\omega \in {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}:x\stackrel{\overline{\mathrm{\Lambda }}\cup \{g^{+},g^{-}\}}{⟷}y\text{ for any }x,y\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }\cup \{g^{+},g^{-}\}\text{ with }{\eta }_x\ne {\eta }_y\}.$$

اللمّة الآتية واضحة ولكنها ستكون مفيدة.

لمّة 3.

لأي حدث متزايد $A\subseteq {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$، لدينا

$${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(A)={\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}(A|E(\mathrm{\Lambda },\eta ))\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}(A).$$ (52)

Proof.

ينتج ذلك من متباينة FKG لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ (لاحظ أن $E(\mathrm{\Lambda },\eta )$ حدث متناقص). ∎

من أجل $\omega \in {\{0,1\}}^{\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{+}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })\cup {ℰ}_{-}^{\overrightarrow{h}}(\mathrm{\Lambda })}$، يتحقق المقياس الشرطي ${\widehat{\mathbb{P}}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}(\cdot |\omega )$ على ${\{-1,+1\}}^{\mathrm{\Lambda }}$ برمي عملات عادلة مستقلة؛ عملة واحدة لكل عنقود مفتوح لا يحتوي $g^{+}$ أو $g^{-}$؛ ثم نضع ${\sigma }_x=+1$ لكل الرؤوس $x$ في عنقود ذي وجه، و$-1$ للظهر. ومن أجل $x$ في عنقود $g^{+}$ (على التوالي $g^{-}$)، يكون ${\sigma }_x=+1$ (على التوالي ${\sigma }_x=-1$).

4.3. خاصية الخلط الضعيف لمجال صغير

ندرس أولا $\beta \in [0,{\beta }_c(d))$ و$H$ صغيرا. الاقتران الآتي بين نماذج RFIM ذات الشروط الحدودية المختلفة مهم جدا.

لمّة 4.

لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. عندئذ

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le {\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}({\partial }_{in}\mathrm{\Delta }\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }).$$ (53)

Proof.

حجتنا مشابهة لتلك المستخدمة في اللمّة 6.2 في [2]. فبرهان شبيه ببرهان اللمّة 2 أعلاه يعطي اقترانا بين المقاييس الثلاثة ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },+,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ (آخر هذه الثلاثة هو نفسه ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$) بحيث إن ${\omega }^{\eta }$ المأخوذ من ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\omega }^{{\eta }^{\prime }}$ المأخوذ من ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ يتفقان على $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda }\setminus C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+})\cup ℰ(\mathrm{\Lambda }\setminus C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+})$ حيث

$$C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+}:=\{x\in \mathrm{\Lambda }:x\stackrel{{\mathbb{Z}}^d}{⟷}{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }\text{ in }{\omega }^{+}\text{ from }{\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },+,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}\}.$$ (54)

للحصول على تهيئة ${\sigma }^{\eta }$ من $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$، بحسب اقتران Edwards-Sokal في القسم الفرعي 4.2، تُسنَد $+1$ أو $-1$ باحتمالين متساويين لكل عنقود مفتوح من ${\omega }^{\eta }$ منفصل عن $C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+}$ وعن عناقيد $g^{+},g^{-}$. ويمكن إجراء هذا الإسناد بصورة متطابقة لعناقيد ${\omega }^{\eta }$ و${\omega }^{{\eta }^{\prime }}$ المنفصلة عن $C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+}$، مما يعطي اقترانا بين $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و$P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ بحيث تتفق التهيئات المناظرة $({\sigma }^{\eta },{\sigma }^{{\eta }^{\prime }})$ على $\mathrm{\Lambda }\setminus C_{{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }}^{+}$. وهذا يتمم برهان اللمّة. ∎

نحن مستعدون لإثبات المبرهنات 2-4.

برهان المبرهنتين 2 و3.

في هذه الحالة، لدينا $|h_x|=1$ لكل $x\in {\mathbb{Z}}^d$. لذلك فإن الهامش على $\overline{ℬ}(\mathrm{\Lambda })$ لـ ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ هو نفسه هامش ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}$ المعرف في (19). ومن ثم تتبع هاتان المبرهنتان من اللمّة 4 والمبرهنتين 8 و9. ∎

برهان المبرهنة 4.

في هذه الحالة، يخضع ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,H}^{|\overrightarrow{h}|}$ لهيمنة تصادفية من ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,\mathrm{\infty }}$. لاحظ أنه عندما $\beta \in [0,{\beta }_P(d))$، فإن ${\mathbb{P}}_{\mathrm{\Lambda },w,\beta ,\mathrm{\infty }}$ هو ترشيح حواف برنولي مستقل باحتمال ، وهو دون حرج. لذلك تتبع المبرهنة من اللمّة 4. ∎

4.4. خاصية الخلط الضعيف لمجال كبير

في هذا القسم الفرعي، ندرس الحالة التي يكون فيها $H$ كبيرا. والفكرة هي إيجاد مجموعة من الرؤوس (مثل دائرة *-ية عندما $d=2$) في الحلقة $\mathrm{\Lambda }\setminus \mathrm{\Delta }$ تعمل موضعا لشرط حدودي مشترك لـ $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و$P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$. والبرهان مشابه إلى حد ما لبرهان اللمّة 2. وفيما يلي التفاصيل.

نرتب رؤوس $\mathrm{\Lambda }=\{x_1,x_2,\mathrm{\dots }\}$ بحيث يسبق $x$ الرأس $y$ في الترتيب إذا كان . نستكشف رؤوس التهيئة ${\sigma }^{\eta }$ من $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و${\sigma }^{{\eta }^{\prime }}$ من $P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ المتصلة بمسار مفتوح إلى ${\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }$ في عملية ترشيح مواقع معينة (نوشك على إنشائها). سنرمز إلى ترشيح المواقع هذا على $\mathrm{\Lambda }$ بـ $𝐒=\{S_x:x\in \mathrm{\Lambda }\}$ مع الشرط الحدودي المعرف بواسطة

$$S_x=1\{{\eta }_x\ne {\eta }_x^{\prime }\},x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }.$$ (55)

لنرمز بـ $W_t$ إلى مجموعة المواقع المستكشفة حتى الزمن الصحيح $t$ (مع شموله)، ولتكن $V_t:=\{x\in W_t:S_x=1\}$ مجموعة المواقع ذات القيمة المستكشفة $1$ في $𝐒$ حتى الزمن $t$.

• لتكن $W_0:={\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }$ و$V_0:=\{x\in {\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }:S_x=1\}$.

• لكل $t\ge 0$، اكشف أصغر موقع غير مستكشف $x$ (وفقا للترتيب أعلاه) مجاور لـ $V_t$، واضبط قيمته في $𝐒$ عبر متغير عشوائي مستقل $[0,1]$ موزع بانتظام $U_x$:

  (56)

  (57)

  $S_x=1\{{\sigma }_x^{\eta }\ne {\sigma }_x^{{\eta }^{\prime }}\}.$ (58)

  لتكن $W_{t+1}:=W_t\cup \{x\}$، و

  (59)

• لتكن $\tau$ أصغر $t$ لا يوجد عنده أي موقع غير مستكشف $x$ مجاور لـ $V_t$.

عندئذ تكون $V_{\tau }$ اتحاد العناقيد الحدودية المفتوحة لـ $𝐒$. ومن الواضح أن

$${\sigma }_x^{\eta }={\sigma }_x^{{\eta }^{\prime }}\text{ for each }x\in ({\partial }_{ex}{V}_{\tau })\cap \overline{\mathrm{\Lambda }}.$$ (60)

بعد زمن الاستكشاف $\tau$، يمكننا كشف الرؤوس الباقية لـ ${\sigma }^{\eta }$ و${\sigma }^{{\eta }^{\prime }}$ باستخدام الإجراء كما في (56) و(57). ومن السهل رؤية أن ${\sigma }_x^{\eta }={\sigma }_x^{{\eta }^{\prime }}$ لكل تلك الرؤوس الباقية، لأن $({\partial }_{ex}{V}_{\tau })\cap \overline{\mathrm{\Lambda }}$ يعمل كشرط حدودي مشترك لـ $P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$ و$P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$.

لتكن $sgn(h_x)$ إشارة $h_x$. لاحظ أنه إذا كان $\overrightarrow{H}$ هو المجال ثنائي النمط أو المجال الغاوسي، فإن $h_x\ne 0$ لكل $x\in \mathrm{\Lambda }$ تقريبا بالتأكيد. وبالتحليل في أسوأ حالة، أي بالنظر إلى الحالة التي يكون فيها كل جيران $2d$ للرأس $x$ ذوي إشارة مختلفة عن $h_x$، لدينا

$$P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x^{\eta }=sgn(h_x))\ge a(\beta ,H,|h_x|):=\frac{e^{-2d\beta +H|h_x|}}{e^{-2d\beta +H|h_x|}+e^{2d\beta -H|h_x|}},$$ (61)

حيث إن الطرف الأيمن مستقل عن $\mathrm{\Lambda }$ و$\eta$. لذلك يخضع $𝐒$ لهيمنة تصادفية من ترشيح مواقع مستقل غير متجانس ${𝐓}^{\overrightarrow{h}}$ (بالشرط الحدودي نفسه كما في $𝐒$) باحتمالات

$$p_x=p_x(\beta ,H,h_x):=1-a^2(\beta ,H,|h_x|),x\in \mathrm{\Lambda }.$$ (62)

نؤكد أن $p_x$ لا يعتمد إلا على $\beta ,H$ و$h_x$ ولا يعتمد على أي شيء آخر. وليرمز $P_{\mathrm{\Lambda },\overrightarrow{h}}^{in}$ إلى توزيع الاحتمال لـ ${𝐓}^{\overrightarrow{h}}$. لاحظ أنه إذا كان $\overrightarrow{h}\in {ℝ}^{{\mathbb{Z}}^d}$، فيمكن استخدام (62) لتعريف $P_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{h}}^{in}$. لقد أثبتنا للتو:

لمّة 5.

لتكن $\mathrm{\Delta }\subseteq \mathrm{\Lambda }$ مجموعات جزئية منتهية من ${\mathbb{Z}}^d$. عندئذ

$$\underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{\partial \mathrm{\Lambda }}}{sup}TV(P_{\mathrm{\Lambda },\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ),P_{\mathrm{\Lambda },{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_{\mathrm{\Delta }}\in \cdot ))\le P_{\mathrm{\Lambda },\overrightarrow{h}}^{in}({\partial }_{ex}\mathrm{\Delta }⟷{\partial }_{ex}\mathrm{\Lambda }).$$ (63)

برهان المبرهنة 5.

في هذه الحالة، لدينا $|h_x|=1$ لكل $x\in {\mathbb{Z}}^d$. لذلك، لكل $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$، وبحسب (61) و(62)، نستطيع اختيار $H_2(\beta )$ بحيث لكل $H>H_2(\beta )$

(64)

حيث إن $p_c^s(d)$ هو الاحتمال الحرج لترشيح المواقع البرنولي المستقل على ${\mathbb{Z}}^d$. عندئذ يخضع $P_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{h}}^{in}$ لهيمنة تصادفية من ترشيح مواقع برنولي مستقل باحتمال $p_c^s(d)/2$. وبخاصة، يوجد $C_4\in (0,\mathrm{\infty })$ بحيث

$$P_{{\mathbb{Z}}^d,p}^{in}(x⟷y)\le e^{-C_4|x-y|}\text{ for all }x,y\in {\mathbb{Z}}^d.$$ (65)

وتتبع المبرهنة الآن من (65) واللمّة 5. ∎

نثبت بعد ذلك المبرهنة 6. البرهان أكثر تعقيدا من برهان المبرهنة 5. نفترض أن $H_x\stackrel{𝑑}{=}N(0,1)$ لكل $x\in {\mathbb{Z}}^d$ في بقية هذا القسم الفرعي. لذلك نستطيع اختيار $\delta >0$ بحيث

(66)

ننظر في المقياس المتوسط ${\overline{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{H}}^{in}$ لترشيح المواقع ${𝐓}^{\overrightarrow{H}}$ ذي المجال العشوائي $\overrightarrow{H}$ والاحتمالات العشوائية المعطاة بواسطة

$$p_x(\beta ,H,H_x):=1-a^2(\beta ,H,|H_x|),x\in \mathrm{\Lambda }.$$ (67)

أي إن

$${\overline{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{H}}^{in}(\cdot )={\int }_{{ℝ}^{{\mathbb{Z}}^d}}{P}_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{h}}^{in}(\cdot )Prob(d\overrightarrow{h}).$$ (68)

وعندئذ لدينا

(69)

وهذا، مع (66) و(61)، يقتضي أنه لكل $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$ يوجد $H_3(\beta )$ بحيث لكل $H>H_3(\beta )$

(70)

لذا يخضع ${\overline{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{H}}^{in}$ لهيمنة تصادفية من ترشيح مواقع برنولي مستقل باحتمال $p_c^s(d)/2$. وبذلك أثبتنا:

لمّة 6.

لكل $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$ يوجد $H_3(\beta )$ بحيث لكل $H>H_3(\beta )$،

$${\overline{P}}_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{H}}^{in}(x⟷y)\le e^{-2C_5|x-y|}\text{ for any }x,y\in {\mathbb{Z}}^d,$$ (71)

حيث تعتمد $C_5\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $d$.

نثبت بعد ذلك أن الاضمحلال الأسي يصح أيضا للمقياس المخمّد $P_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{h}}^{in}$.

لمّة 7.

لكل $\beta \in [0,\mathrm{\infty })$ يوجد $H_3(\beta )$ بحيث لكل $H>H_3(\beta )$،

$$P_{{\mathbb{Z}}^d,\overrightarrow{h}}^{in}(x⟷y)\le C_6(x,\overrightarrow{h})e^{-C_5|x-y|}\text{ for any }x,y\in {\mathbb{Z}}^d$$ (72)

لكل تحقق $\overrightarrow{h}\in {\{-1,+1\}}^{{\mathbb{Z}}^d}$ تقريبا من $\overrightarrow{H}$، حيث تعتمد $C_6(x,\overrightarrow{h})\in (0,\mathrm{\infty })$ فقط على $x$ و$\overrightarrow{h}$ (وعلى $d$).

Proof.

تقتضي اللمّة 6 أن

(73)

وبمبرهنة Fubini-Tonelli،

(74)

مما يقتضي

(75)

لذلك، يوجد $C_6(x,\overrightarrow{h})\in (0,\mathrm{\infty })$ بحيث، لكل $\overrightarrow{h}$ تقريبا،

(76)

وهذا يتمم البرهان. ∎

برهان المبرهنة 6.

ينتج هذا مباشرة من اللمّتين 5 و7. ∎

5. برهان النتيجة 1

في هذا القسم، نثبت النتيجة 1.

برهان النتيجة 1.

ينتج الحد السفلي من متباينة FKG لـ $P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}$. وللحد العلوي، نكتب أولا

${⟨{\sigma }_x{\sigma }_y⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}-{⟨{\sigma }_x⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}{⟨{\sigma }_y⟩}_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}=P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x={\sigma }_y=+1)+P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x={\sigma }_y=-1)$

$-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=+1,{\sigma }_y=-1)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=-1,{\sigma }_y=+1)$

$-[P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=+1)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=-1)][P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_y=+1)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_y=-1)].$ (77)

لذا يكفي إثبات الاضمحلال الأسي لـ

$$|P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1,{\sigma }_y=s_2)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1)P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_2)|$$ (78)

لكل $s_1,s_2\in \{-1,+1\}$. لتكن $L:=|x-y|/2$ و${\mathrm{\Lambda }}_L(x):=x+{\mathrm{\Lambda }}_L$. عندئذ لدينا

$|P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1,{\sigma }_y=s_2)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1)P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_2)|$

$\le |P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1|{\sigma }_y=s_2)-P_{{\mathbb{Z}}^d,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1)|$

$\le \underset{\eta ,{\eta }^{\prime }\in {\{-1,+1\}}^{{\partial }_{ex}{\mathrm{\Lambda }}_L(x)}}{sup}|P_{{\mathrm{\Lambda }}_L(x),\eta ,\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1)-P_{{\mathrm{\Lambda }}_L(x),{\eta }^{\prime },\beta ,H}^{\overrightarrow{h}}({\sigma }_x=s_1)|$ (79)

بفضل خاصية ماركوف المكانية لنموذج إيزنغ. وتتبع النتيجة 1 الآن من (77) و(79) والمبرهنة 2. ∎

شكر وتقدير

دُعم بحث JJ جزئيا بمنحة STCSM رقم 17YF1413300، ودُعم بحث CMN بمنحة US-NSF رقم DMS-1507019. يشكر المؤلفون Dan Stein وJanek Wehr على مناقشات مفيدة. كما يشكرون معهد الرياضيات التطبيقية التابع للأكاديمية الصينية للعلوم، حيث أُنجز بعض العمل المبلغ عنه هنا.