يضع تطبيق التفكيك الطيفي دالة مصفوفية قابلة للتكامل وموجبة التعريف ، ذات لوغاريتم قابل للتكامل للمحدد، في تقابل مع دالة مصفوفية تحليلية خارجية بحيث $F=F^{+}{(F^{+})}^{\ast }$ تقريبا في كل مكان. والسؤال الرئيس المطروح هنا هو إلى أي مدى تكون مضبوطة بواسطة و.

1. المقدمة

لتكن صنف كثافات طيفية مصفوفية من الرتبة ذات لوغاريتمات قابلة للتكامل للمحدد؛ أي إن إذا وفقط إذا كانت دالة مصفوفية موجبة التعريف (تقريبا في كل مكان على ) من الرتبة ذات عناصر قابلة للتكامل، ، بحيث يتحقق شرط بالي-فينر

(1) $$\log detF\in L_1(𝕋)$$

تؤكد نظرية التفكيك الطيفي المصفوفي [21]، [13] أنه إذا كان ، فإن تقبل تفكيكا

(2) $$F(t)=F^{+}(t){\left(F^{+}(t)\right)}^{\ast },$$

حيث يمكن مد إلى داخل لتكون دالة مصفوفية تحليلية خارجية من الرتبة ذات عناصر من فضاء هاردي ، . وفي هذا الموضع وما يليه، ترمز $M^{\ast }$ إلى المرافق الهرميتي لأي مصفوفة . ويكون العامل الطيفي وحيدا حتى الضرب من اليمين في مصفوفة وحدوية ثابتة، ومن ثم يكون وحيدا إذا افترضنا أن . لذلك نفترض دائما تحقق الشرط الأخير بحيث يكون معرفا على نحو وحيد.

في الحالة العددية ()، يعطى العامل الطيفي بالصيغة الآتية

(3) $$f^{+}(z)=\exp \left(\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\log f(e^{i\theta })𝑑\theta \right),f\in {𝒮}_1(𝕋).$$

غير أنه لا توجد صيغة صريحة لـ في الحالة المصفوفية.

تؤدي التمثيلة (2) دورا حاسما في دراسة أنظمة المعادلات التكاملية الشاذة [12]، [3]، وفي التقدير الخطي [14]، والتحكم التربيعي وتحكم [1]، [11]، [3]، والاتصالات [10]، وتصميم المرشحات [4]، [19]، وغير ذلك. ومؤخرا أصبح التفكيك الطيفي المصفوفي خطوة مهمة في التقديرات اللامعلمية لسببية غرانجر المستخدمة في علم الأعصاب [6]،[20]. وفي كثير من هذه التطبيقات، تبنى دالة الكثافة الطيفية عادة بصورة تجريبية، ومن ثم تكون دائما عرضة للضجيج وأخطاء القياس. لذلك من المهم معرفة مدى بقاء قريبة من عندما نقرب بواسطة . وبحسب علمنا، لم تدرس هذه المسألة حتى الآن إلا في الحالة العددية (انظر [9] والمراجع الواردة فيه)، وهذه هي المحاولة الأولى في الحالة المصفوفية لتقدير معيار بدلالة و.

من بين عدة خيارات متكافئة لاختيار المعيار المستخدم في قياس القرب، نتعامل مع معيار المؤثر للمصفوفات:

(4)

حيث و هو المعيار الإقليدي في ، أما للدوال المصفوفية القابلة للقياس فنستعمل المعيار

(5) $${\Vert F\Vert }_{L_p}={\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\Vert F(e^{i\theta })\Vert }^p𝑑\theta \right)}^{1/p},p\ge 1,$$

مع الاصطلاح القياسي من أجل : . وسيرمز إلى صنف الدوال المصفوفية من الرتبة ذات معيار منته بـ . ونفترض أن ، وهو فضاء هاردي للدوال المصفوفية التحليلية، مضمّن إيزومتريا في .

من المعروف أن التفكيك الطيفي ليس مستقرا في معيار بمعنى أن التقارب لا يضمن . ومع ذلك، وكما ثبت في [2] و[7]، فإن التقارب الأخير يتحقق إذا اشترطنا إضافة إلى ذلك أن . وبناء على ذلك، من المعقول البحث عن تقديرات لـ بدلالة و.

حصلت النتائج الآتية في هذا الاتجاه للحالة العددية (انظر [9] لبيانات أدق).

نظرية 1.1.

[9, p. 520] لا توجد دالة بحيث والتي يتحقق لها التقدير

(6)

لكل مع .

ومن جهة أخرى، إذا سمح للدالة أعلاه بأن تعتمد على ، يصبح ممكنا إثبات التقدير (6) بدالة معبر عنها بدلالة دوال أورليتش التي يكون من أجلها (وبصورة أدق، بدلالة الدالة المتممة للدالة ، أي الدالة ؛ انظر التعاريف في القسم 2 والنظرية 2.3 أدناه). وتأخذ هذه التقديرات شكلا أوضح في الحالة :

نظرية 1.2.

[9, Corollary 1] لكل ،

(7) $${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+C(p){\Vert f\Vert }_{L_p}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}^{\frac{p-1}{p}},$$

حيث .

اعتمد برهان النتيجة الرئيسة في [9] (المصاغة في القسم 2 بوصفها النظرية 2.3) على فحص دقيق لخواص مؤثر الاقتران التوافقي (تحويل هيلبرت) مع نظرية فضاءات أورليتش.

من الواضح أن نظيرا للنظرية 1 صحيح تلقائيا في الحالة المصفوفية، وهذا يقود طبيعيا إلى السؤال عما إذا كان تقدير من الشكل

(8)

يتحقق في الحالة المصفوفية حيث، كما في الحالة العددية، يعبر عن بدلالة دوال أورليتش التي يكون من أجلها .

في هذه الورقة، وبمواصلة تطوير أفكار [9] والاعتماد على برهان نظرية التقارب المذكورة آنفا والمقدمة في [2]، نقدم جوابا إيجابيا عن هذا السؤال (انظر الملاحظة بعد النظرية 3.1)، مما يعطي تقديرات مشابهة لـ (7) في الحالة المصفوفية. وبما أن المسألة أصعب في الحالة المصفوفية، فإن التقديرات المحصل عليها أكثر تعقيدا.

في جميع أنحاء الورقة، يرمز إلى أفضل ثابت في متباينة كولموغوروف من النوع الضعيف

$$\left|\{\vartheta \in [-\pi ,\pi ):|\tilde{\psi }(\vartheta )|\ge \lambda \}\right|\le \frac{K}{\lambda }{\int }_{-\pi }^{\pi }|\psi (\vartheta )|d\vartheta ,\lambda >0,\psi \in L_1[-\pi ,\pi ),$$

و

(9) $$K_0:=\frac{K}{2}{\int }_0^{\pi }\frac{\sin \lambda }{\lambda }𝑑\lambda .$$

ومن المعروف أن (انظر [5])، وبالتالي .

من أجل ، نقدم دالتين

(10)

حيث (لاحظ أن تقريبا في كل مكان)، و

(11)

ونقدم تقديرين يمكن استعمالهما عندما تتوافر معلومات عن حجم أو .

نظرية 1.3.

لنفترض أن ، و، وأن ، ، . عندئذ، من أجل أي ، يتحقق التقدير الآتي

(12) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}+2q_0^{\frac{1}{q_0}}\left({\Vert F\Vert }_{L_{p_0}}+1\right)$$

$$\times [c(p_0)\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1}^{\frac{1}{q_0}}+2{(2p_0)}^{\frac{1}{p_0}}(3n\parallel G-F{\parallel }_{L_1}^{1-\alpha }$$

$${+2(n+1){\alpha }^{1-p_1}{p}_1\parallel {\mathrm{\ell }}_F{\parallel }_{L_{p_1}}^{p_1}|\log \parallel G-F{\parallel }_{L_1}{|}^{1-p_1}+\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1})}^{\frac{1}{q_0}}],$$

حيث

(13)

وفضلا عن ذلك، إذا كان إضافة إلى ذلك ، فيمكن تعديل المتباينة أعلاه إلى الصورة

(14) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}+4\max \{{\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}},1\}$$

$$\times (K_0\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1}+3n\parallel G-F{\parallel }_{L_1}^{1-\alpha }$$

$$+2(n+1){\alpha }^{1-p_1}{p}_1\parallel {\mathrm{\ell }}_F{\parallel }_{L_{p_1}}^{p_1}|\log \parallel G-F{\parallel }_{L_1}{|}^{1-p_1}+\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1}).$$

يبين المثال 5.1 في القسم 5 أنه لا يمكن التخلص تماما من الحد في التقديرات في النظرية 1.3، بل ولا تحسين القوة إلى ما يتجاوز ؛ انظر (80). وسيكون من المهم إيجاد القوة المثلى في هذا الحد.

نظرية 1.4.

لنفترض أن ، و، وأن ، . إذا كان ${\Vert F-G\Vert }_{L_1}\le e^{-4}$، فعندئذ

(15) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}$$

$$+2q_0^{\frac{1}{q_0}}(\parallel F{\parallel }_{L_{p_0}}+1)[c(p_0)\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1}^{\frac{1}{q_0}}+2{(2p_0)}^{\frac{1}{p_0}}$$

$$\times {((3n+\frac{4(n+1){\Vert Q_F\Vert }_{L_{p_1}}^{2p_1}}{p_1+1}|\log \parallel G-F{\parallel }_{L_1}\left|\right)\parallel G-F{\parallel }_{L_1}^{\frac{p_1}{p_1+1}}+\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1})}^{\frac{1}{q_0}}],$$

حيث تعرف و بواسطة (13).

وفضلا عن ذلك، إذا كان إضافة إلى ذلك ، فيمكن تعديل المتباينة أعلاه إلى الصورة

$$\parallel G^{+}-F^{+}{\parallel }_{H_2}^2\le 4\parallel G-F{\parallel }_{L_1}+4\max \{\parallel F{\parallel }_{L_{\mathrm{\infty }}},1\}[K_0\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1}$$

$$+(3n+\frac{4(n+1){\Vert Q_F\Vert }_{L_{p_1}}^{2p_1}}{p_1+1}|\log \parallel G-F{\parallel }_{L_1}\left|\right)\parallel G-F{\parallel }_{L_1}^{\frac{p_1}{p_1+1}}+\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1}].$$

يبين المثال 5.2 في القسم 5 أن القوة المثلى في الحد

في النظرية 1.4 لا يمكن أن تكون أكبر من (انظر (85)). وسيكون من المهم معرفة مقدار ما يمكن تحسين الأس في هذا الحد.

التقديرات التي تقدمها النظريتان 1.4 و1.5 أعقد بالطبع من نظائرها في الحالة العددية المعطاة في النظرية 1.2. غير أنه ينبغي ملاحظة أن الحدين و${\Vert {\log }_{+}\Vert G\Vert -{\log }_{+}\Vert F\Vert \Vert }_{L_1}$ يناظران و${\Vert {\log }_{+}G-{\log }_{+}F\Vert }_{L_1}\le {\Vert \log G-\log F\Vert }_{L_1}$ في الحالة العددية. ويمكن كذلك تقدير الحد ${\Vert {\log }_{+}\Vert G\Vert -{\log }_{+}\Vert F\Vert \Vert }_{L_1}$ بواسطة (انظر (47) أدناه). وبما أن عندما لأي و، فإن الفرق الرئيس عن الحالة العددية هو الحد الذي يحتوي على . وتبين الأمثلة 5.1 و5.2 ضرورة وجود هذا الحد، بل وقرب صورته من الشكل الأمثل.

تتبسط التقديرات أعلاه بصورة ملحوظة عندما تكون الدالة المصفوفية ، وكذلك معكوسها ، محدودتين.

نظرية 1.5.

لتكن و . عندئذ

(16) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le {\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\left(n{e}^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\Vert G-F\Vert }_{L_1}+{\Vert \log \frac{detG}{detF}\Vert }_{L_1}\right).$$

تنتج النظريات 1.3-1.5 من نتائج أعم تثبت في القسم 3 في سياق فضاءات أورليتش (انظر النظريات 3.1-3.3).

في نهاية الورقة، نعود إلى الحالة العددية ونبين أن الأس في التقدير (7) أمثل حتى إذا سمحنا للثابت بأن يعتمد على :

نظرية 1.6.

لتكن . ولكل ، توجد دوال ، ، بحيث

بينما

(17)

2. ترميز ونتائج مساعدة

لتكن ، ولتكن ، ، فضاء هاردي للدوال التحليلية:

تسمى الدالة خارجية (ونرمز إلى ذلك بـ ) إذا كان

$$f(z)=c\cdot \exp \left(\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\log \left|f(e^{i\theta })\right|d\theta \right),|c|=1,z\in 𝔻.$$

وتسمى الدالة المصفوفية خارجية إذا كان (انظر، مثلا، [8]). وبما أن التفكيك (2) يقتضي أن ، وأن العامل الطيفي خارجي مع موجب التعريف، فإن لدينا (انظر، مثلا، [17, Th.17.17])

(18) $$\log det{F}^{+}(0)={\int }_{𝕋}\log |det{F}^{+}(t)|dm=\frac{1}{2}{\int }_{𝕋}\log detF(t)dm,$$

حيث هو قياس لبيغ المعياري على .

تعرف معايير المصفوفات والدوال المصفوفية كما في (4) و(5). لأي مصفوفة ، يرمز إلى الجذر التربيعي غير السالب لـ $A{A}^{\ast }$، أي إن موجبة شبه التعريف، و، و${|A|}^2=A{A}^{\ast }$. وتعني العلاقة أن . وبتعميم إلى المصفوفات ذاتية المرافقة ، نعرّف

$$A\vee B:=\frac{1}{2}(A+B+|A-B|),$$

وهو الحد الأعلى الأصغري لـ و، أي: i) و ii) إذا كان فإن (انظر، مثلا، [2, §4]). لاحظ أنه إذا كان

(19) $$A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{\ast }\text{ with }\mathrm{\Lambda }=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)$$

تحليلا طيفيا لـ (ومن الواضح عندئذ أن المعيار المعرف بـ (4) يساوي ) وكان ، فإن $A\vee \eta :=A\vee \eta I_n=U(\mathrm{\Lambda }\vee \eta )U^{\ast }$، حيث .

من أجل مصفوفة موجبة التعريف تماما ، تعرف المصفوفة باستعمال الحساب الدالي المعتاد، أي إذا كان على الصورة (19)، فإن $\log A=Udiag(\log {\lambda }_1,\mathrm{\dots },\log {\lambda }_n)U^{\ast }$ و. وبما أن من أجل ، فإن لدينا لأي (انظر [2, p. 776])

ولذلك

(20)

سنستعمل النتيجة الآتية في التفكيك الطيفي المصفوفي، المثبتة في [2]:

قضية 2.1.

(انظر [2, Lemma 5.2]) لتكن ، ولتكن ثوابت معطاة. لنفترض أن تقريبا في كل مكان، ولتكن الدالة ذات القيم الإسقاطية المعرفة بواسطة الحساب الدالي على أنها ، حيث هي الدالة المميزة لمجموعة . عندئذ يتحقق التقدير الآتي

(21)

ملاحظة. لاحظ أن الطرف الأيمن في (21) يختلف قليلا عن التعبير المناظر في اللمّة 5.2 من [2]. والسبب في ذلك أن معيار المصفوفات المستعمل في [2] يختلف عن (4).

نحتاج إلى بعض الترميز من نظرية فضاءات أورليتش (انظر [15]، [16]). لتكن و دوال متتامّة، أي

حيث دالة متصلة من اليمين وغير متناقصة وتحقق و، وتعرف بالمساواة . ليكن فضاء قياس، ولتكن ، فضاءات أورليتش المناظرة، أي إن هي مجموعة الدوال القابلة للقياس على التي يكون أي من المعيارين الآتيين

$$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\Phi }}=sup\left\{\right|{\int }_{\mathrm{\Omega }}fgd\mu |:{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }(g)d\mu \le 1\}$$

و

(22) $${\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}=inf\{\kappa >0:{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Phi }\left(\frac{f}{\kappa }\right)𝑑\mu \le 1\}$$

منتهيا لها. لاحظ أن هذين المعيارين متكافئان، وتحديدا (انظر، مثلا، [15, (9.24)] أو [16, §3.3, (14)])

$${\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Phi }}\le 2{\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })},\forall f\in L_{\mathrm{\Phi }}(\mathrm{\Omega }).$$

وسنستعمل متباينة هولدر (انظر، مثلا، [15, (9.27)] أو [16, §3.3, (16)])

(23) $$\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}fg𝑑\mu \right|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\Vert g\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}$$

وكذلك العلاقات الآتية

(24) ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(x_1+x_2)\le {\mathrm{\Phi }}^{-1}(x_1)+{\mathrm{\Phi }}^{-1}(x_2)\text{ for }{x}_1,x_2\ge 0;$

(25)

(26)

(27) ${\Vert {\chi }_E\Vert }_{\mathrm{\Phi }}=\mu (E)\cdot {\mathrm{\Psi }}^{-1}(1/\mu (E)),$

(28) ${\Vert {\chi }_E\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}(1/\mu (E))}}\text{ for }E\in 𝕊;$

(29) ${\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le \max \{1,{\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}}\mathrm{\Phi }(f)𝑑\mu \};$

التي تتبع بصورة مباشرة تقريبا من تعاريف زوج الدوال ومعايير أورليتش المناظرة (انظر [15, formulas (1.20), (1.18), (2.10), (9.11), and (9.23)]، و[18, formula (6)]، على التوالي).

بالنسبة إلى دالة مصفوفية معرفة على ، يعني الشرط أن الدالة تنتمي إلى . وبشيء من التساهل في الترميز نفترض أن هو معيار لهذه الدالة.

لتكن دوال متتامّة، وعرّف الدالتين

(30) $${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s):=inf\{\xi >0:\frac{1}{\xi }{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(\frac{1}{\xi }\right)\le \frac{1}{s}\},s>0.$$

و

(31)

نستعمل الدالتين و في الأقسام التالية. وفي حالة خاصة مهمة هي (60)، المدروسة في القسم 4، تعطى هاتان الدالتان بصيغة صريحة (62). وهنا نثبت فقط أن هاتين الدالتين من الرتبة نفسها من حيث المقدار، وأنهما تتقاربان إلى عندما تميل الحجة إلى من اليمين.

في الواقع، لدينا ${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s)\le \frac{1}{\tau }\iff \tau {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\tau )\le \frac{1}{s}$. ومن السهل أن نرى أن

(32)

ومن ثم، بأخذ $\tau =\frac{1}{2}{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)$ في (32)، نحصل على

$${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s)\le \frac{2}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)},s>0,$$

وبالتالي

(33)

ومن جهة أخرى،

$$\tau {\mathrm{\Phi }}^{\prime }(\tau )\ge {\int }_0^{\tau }{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)𝑑x=\mathrm{\Phi }(\tau )$$

ومن ثم

$${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s)\ge \frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)},s>0.$$

وباستخدام (24) و(26)، نحصل على

$$R_{\mathrm{\Psi }}(\tau )\le 4\tau {\mathrm{\Psi }}^{-1}\left(\frac{1}{\tau }\right)\le \frac{8}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{\tau }\right)}\le 8{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(\tau ),$$

$$R_{\mathrm{\Psi }}(\tau )\ge \tau {\mathrm{\Psi }}^{-1}\left(\frac{1}{\tau }\right)>\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{\tau }\right)}\ge \frac{1}{2}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(\tau ).$$

ومن ثم

(34)

وبالتالي،

(35)

ستستعمل اللمّة الآتية فيما يلي.

لمّة 2.2.

ليكن زوجا من دوال المتتامّة. عندئذ، من أجل أي ،

$${\Vert u\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le {\Vert u\Vert }_{L_1}{\mathrm{\Psi }}^{-1}\left(\frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\Vert u\Vert }_{L_1}}\right).$$

Proof.

لتكن . وبما أن الدالة محدبة و ، فإن لدينا ، من أجل . ولذلك

$$\mathrm{\Phi }\left(\frac{|u(t)|}{\kappa }\right)\le \frac{|u(t)|}{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}\mathrm{\Phi }\left(\frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\kappa }\right).$$

ومن ثم

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{|u(e^{i\theta })|}{\kappa }}\right)𝑑\theta$ $\le$ ${\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_1}}{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}}\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\kappa }}\right)$

وإذا كان الطرف الأيمن أصغر من 1، فإن بسبب التعريف (22). وبالتالي

${\Vert u\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le inf\{\kappa >0:\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\kappa }}\right)\le {\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\Vert u\Vert }_{L_1}}}\}$

$=inf\{\kappa >0:{\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\kappa }}\le {\mathrm{\Phi }}^{-1}\left({\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\Vert u\Vert }_{L_1}}}\right)\}$

$={\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\Vert u\Vert }_{L_1}}\right)}}\le {\Vert u\Vert }_{L_1}{\mathrm{\Psi }}^{-1}\left({\displaystyle \frac{{\Vert u\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{{\Vert u\Vert }_{L_1}}}\right),$

وتتبع المتباينة الأخيرة من (26). ∎

أثبتت النظريتان الآتيتان في [9] من أجل التفكيك الطيفي العددي:

نظرية 2.3.

([9, Theorem 3]) لتكن . لكل زوج و من دوال المتتامّة، يتحقق التقدير الآتي

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+4{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}\left(\frac{K_0}{2}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}\right),$$

حيث تعرف بواسطة (9).

نظرية 2.4.

([9, Corollary 2]) لتكن و. عندئذ

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+2K_0{\Vert f\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}.$$

3. تقديرات بدلالة معايير أورليتش

في هذا القسم، نقدم تقديرات علوية لـ تتضمن معايير أورليتش. وسنحصل على النظريتين 1.3-1.5 بوصفهما نتيجتين للنظريتين 3.1-3.3 المثبتتين في هذا القسم. ونذكر أن الدالتين و الواردتين في بيانات هذه النظريات معرفتان بواسطة (30) و.

نظرية 3.1.

لتكن ، ولتكن و زوجين من دوال المتتامّة بحيث

(36)

عندئذ، من أجل أي دالة غير متناقصة تحقق

(37)

يتحقق التقدير الآتي

(38) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}$$

$$+2(\parallel F{\parallel }_{{\mathrm{\Psi }}_0}+{\mathrm{\Phi }}_0^{-1}(1))[4{\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}(\frac{K_0}{2}\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1})$$

$$+R_{{\mathrm{\Psi }}_0}(\frac{6n{\Vert G-F\Vert }_{L_1}}{\nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)}+\frac{4(n+1)|\log \nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)|}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)|}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)}+2\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1})].$$

ملاحظة. بما أن كل دالة قابلة للتكامل تنتمي إلى فضاء أورليتش ما (انظر [15, §8])، فإنه لكل ، توجد دوال متتامّة و بحيث يتحقق (36). ثم يتبع من (33)، و(35)، ومن الخاصية عندما ، أن النظرية 3.1 تثبت وجود تقدير من الشكل (8) لكل .

Proof.

لنضع

(39)

ومن الواضح أن (انظر (10))

(40) $$0\le F_1\le 1\text{ and }{\mathrm{\ell }}_F=\log det{F}_1\le 0.$$

لنفترض أن . وباتباع [2, Section 6]، اعتبر . لتكن

$$0\le {\lambda }_1(t)\le {\lambda }_2(t)\le \mathrm{\cdots }\le {\lambda }_n(t)\le 1$$

القيم الذاتية لـ . عندئذ

(41) $$|{\mathrm{\ell }}_F(t)|=|\log det{F}_1(t)|=|\log {\lambda }_1(t)+\mathrm{\cdots }+\log {\lambda }_n(t)|\ge |\log {\lambda }_1(t)|.$$

لتكن

عندئذ ، و(انظر (41) و(28))

(42) $$|\log \eta |\parallel {\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}{\parallel }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}\le \parallel \log {\lambda }_1{\parallel }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}⟹\frac{1}{{\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left(\frac{1}{m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })}\right)}\le \frac{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}{|\log \eta |}$$

$$⟹\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\le {\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left(\frac{1}{m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })}\right)⟹m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })\le {\left({\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)\right)}^{-1}.$$

وبالتالي، باستعمال متباينة هولدر (23) لفضاءات أورليتش والمساواة (27)، نحصل على

(43) $${\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m={\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1){\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}𝑑m$$

$$\le -{\int }_{𝕋}\log det{F}_1{\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}dm={\int }_{𝕋}\left|{\mathrm{\ell }}_F\right|{\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}𝑑m\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}{\Vert {\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}\Vert }_{{\mathrm{\Phi }}_1}=$$

$${\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}m({\mathrm{\Omega }}_{\eta }){\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left(\frac{1}{m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })}\right)\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}\frac{1}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)}\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}=\frac{|\log \eta |}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)}.$$

وتحصل المتباينة الأخيرة أعلاه بأخذ ، و في (25)، وتطبيق المتباينة (42).

وبما أن

(44) $$-\log x\ge n\left(1-x^{1/n}\right)\text{ for all }x\in (0,1],$$

فإنه يتبع من القضية 2.1 (لاحظ أنه في حالتنا يكون هو مؤثر الهوية، ويمكن أخذ في (21) لأن تقريبا في كل مكان)، ومن (20)، و(18) أن

$${\Vert {\tilde{F}}_1^{+}-F_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le \frac{n{\Vert {\tilde{F}}_1-F_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+2n\left[1-{\left(\frac{det{F}_1^{+}(0)}{det{\tilde{F}}_1^{+}(0)}\right)}^{1/n}\right]$$

$$\le n{\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m+2\left|\log \left(\frac{det{F}_1^{+}(0)}{det{\tilde{F}}_1^{+}(0)}\right)\right|$$

$$=(n+1){\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m$$

و

(45) $${\Vert {\tilde{F}}_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le \frac{n{\Vert {\tilde{F}}_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+2n\left[1-{\left(\frac{det{G}_1^{+}(0)}{det{\tilde{F}}_1^{+}(0)}\right)}^{1/n}\right]$$

$$\le \frac{n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+\frac{n{\Vert {\tilde{F}}_1-F_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+2\left|\log \left(\frac{det{G}_1^{+}(0)}{det{\tilde{F}}_1^{+}(0)}\right)\right|\le \frac{n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+$$

$$n{\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m+\left|{\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{G}_1)𝑑m\right|\le \frac{n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }$$

$$+(n+1){\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m+\left|{\int }_{𝕋}(\log det{F}_1-\log det{G}_1)𝑑m\right|.$$

ومن ثم فإن (43) يقتضي

(46) $${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert {\tilde{F}}_1^{+}-F_1^{+}\Vert }_{H_2}^2+2{\Vert {\tilde{F}}_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le \frac{2n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }$$

$$+4(n+1){\int }_{𝕋}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m+2\left|{\int }_{𝕋}(\log det{F}_1-\log det{G}_1)𝑑m\right|$$

$$\le \frac{2n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}}{\eta }+\frac{4(n+1)|\log \eta |}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \eta |}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)}+2\left|{\int }_{𝕋}(\log det{F}_1-\log det{G}_1)𝑑m\right|.$$

إن المتباينات الأولية لأي

(47) $\left|\max \{1,a\}-\max \{1,b\}\right|\le |a-b|,|{\log }_{+}a-{\log }_{+}b|\le |a-b|,$

والتقديرات (انظر (39)) تقتضي

$${\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}={\Vert \frac{1}{M_F}F-\frac{1}{M_G}G\Vert }_{L_1}={\Vert \frac{M_G-M_F}{M_G}\frac{1}{M_F}F+\frac{1}{M_G}(F-G)\Vert }_{L_1}$$

(48) $$\le {\Vert M_G-M_F\Vert }_{L_1}+{\Vert F-G\Vert }_{L_1}\le 2{\Vert F-G\Vert }_{L_1}$$

و(انظر (10) و(40))

(49) $${\Vert \log det{F}_1-\log det{G}_1\Vert }_{L_1}\le {\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}$$

$$+n{\Vert {\log }_{+}\Vert F\Vert -{\log }_{+}\Vert G\Vert \Vert }_{L_1}\le {\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+n{\Vert \Vert F\Vert -\Vert G\Vert \Vert }_{L_1}$$

$$\le {\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}.$$

وبأخذ في (46) وتطبيق (48) و(49)، نحصل على

(50) $${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le \frac{4n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}}{\nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)}+\frac{4(n+1)|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)}$$

$$+2{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+2n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}.$$

لاحظ أن

$$\Vert F_1^{+}(t)\Vert ={\Vert F_1(t)\Vert }^{1/2}\le 1$$

وكذلك الأمر بالنسبة إلى . ومن ثم

$$u(t):={\Vert F_1^{+}(t)-G_1^{+}(t)\Vert }^2\le {\left(\Vert F_1^{+}(t)\Vert +\Vert G_1^{+}(t)\Vert \right)}^2\le 4,{\Vert u\Vert }_{L_1}={\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2,$$

ومع أخذ اللمّة 2.2 والتعريف (31) في الحسبان، نحصل على

(51) $${\Vert {\Vert F_1^{+}(\cdot )-G_1^{+}(\cdot )\Vert }^2\Vert }_{({\mathrm{\Phi }}_0)}\le R_{{\mathrm{\Psi }}_0}\left({\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\right).$$

بتطبيق متباينة هولدر (23)، والتقدير (51)، والنظرية 2.3، والخواص (47)، نحصل على

(52) $${\Vert F^{+}-G^{+}\Vert }_{H_2}^2={\Vert M_F^{+}{F}_1^{+}-M_G^{+}{G}_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert M_F^{+}(F_1^{+}-G_1^{+})\Vert }_{H_2}^2$$

$$+2{\Vert (M_F^{+}-M_G^{+})G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert M_F{\Vert F_1^{+}(\cdot )-G_1^{+}(\cdot )\Vert }^2\Vert }_{L_1}+2{\Vert M_F^{+}-M_G^{+}\Vert }_{H_2}^2$$

$$\le 2{\Vert M_F\Vert }_{{\mathrm{\Psi }}_0}{R}_{{\mathrm{\Psi }}_0}\left({\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\right)+4{\Vert M_F-M_G\Vert }_{L_1}$$

$$+8{\Vert M_F\Vert }_{{\mathrm{\Psi }}_0}{\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}\left(\frac{K_0}{2}{\Vert \log M_F-\log M_G\Vert }_{L_1}\right)$$

$$\le 2(\parallel F{\parallel }_{{\mathrm{\Psi }}_0}+\parallel 1{\parallel }_{{\mathrm{\Psi }}_0})[R_{{\mathrm{\Psi }}_0}(\parallel F_1^{+}-G_1^{+}{\parallel }_{H_2}^2)$$

$$+4{\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}(\frac{K_0}{2}\parallel {\log }_{+}\parallel F\parallel -{\log }_{+}\parallel G\parallel {\parallel }_{L_1})]+4\parallel F-G\parallel {}_{L_1}.$$

ويبقى الآن تطبيق (50) و(27) للحصول على (38). ∎

لنفترض أن و. إذا كانت لا تحقق شرط ، ، ، فعندئذ قد لا يتحقق

(53)

(انظر [15, §4 and Theorem 8.2]). وإذا تحقق الشرط الأخير، فلدينا الصيغة الآتية من النظرية 3.1.

نظرية 3.2.

لتكن ، ولتكن و زوجين من دوال المتتامّة بحيث يكون و (53) متحققين. لنفترض أن

(54)

عندئذ، من أجل أي دالة غير متناقصة تحقق (37)، يتحقق التقدير الآتي

(55) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}+2\left({\Vert F\Vert }_{{\mathrm{\Psi }}_0}+{\mathrm{\Phi }}_0^{-1}(1)\right)$$

$$\times [4{\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}(\frac{K_0}{2}\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1})+R_{{\mathrm{\Psi }}_0}(\frac{6n{\Vert G-F\Vert }_{L_1}}{\nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)}$$

$$+\frac{4(n+1){\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Psi }}_1}({\mathrm{\ell }}_F)|\log \nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)|}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(|\log \nu \left({\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right)|\right)}+2\parallel \log \frac{detG}{detF}{\parallel }_{L_1})].$$

البرهان. ينبغي إجراء التغييرات الآتية في برهان النظرية 3.1. يستبدل التقدير (42) بـ

(56) $$|\log \eta |{\chi }_{{\mathrm{\Omega }}_{\eta }}\le \left|\log {\lambda }_1\right|\Rightarrow {\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })\le {\int }_{𝕋}{\mathrm{\Psi }}_1(|{\mathrm{\ell }}_F|)dm\Rightarrow m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })\le \frac{\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)}{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}.$$

وباستخدام هذا مع الحقائق أن دالة مقعرة تحقق ، مما يقتضي أن من أجل ، وأن دالة متناقصة من أجل ، نحصل على النظير الآتي لـ (43):

(57) ${\displaystyle {\int }_{𝕋}}(\log det{\tilde{F}}_1-\log det{F}_1)𝑑m\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}m({\mathrm{\Omega }}_{\eta }){\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{m({\mathrm{\Omega }}_{\eta })}}\right)$

$\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}{\displaystyle \frac{\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)}{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}}{\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}{\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)$

$\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}{\displaystyle \frac{\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)}{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}}{\displaystyle \frac{1}{\min \{1,\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)\}}}{\mathrm{\Psi }}_1^{-1}\left({\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)\right)$

$={\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}\max \{1,\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)\}{\displaystyle \frac{|\log \eta |}{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}}={\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Psi }}_1}({\mathrm{\ell }}_F){\displaystyle \frac{|\log \eta |}{{\mathrm{\Psi }}_1(|\log \eta |)}}.$

وبقية البرهان هي نفسها كما في النظرية 3.1. وبوجه خاص، تأخذ المتباينة (50) الصورة

${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le {\displaystyle \frac{4n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}}{\nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)}}+{\displaystyle \frac{4(n+1){\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Psi }}_1}({\mathrm{\ell }}_F)|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|}{{\mathrm{\Psi }}_1\left(|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|\right)}}$

(58) $+2{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+2n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}.\mathrm{\square }$

بعد ذلك ندرس الحالة التي يكون فيها . ويتحقق ذلك، على وجه الخصوص، عندما .

نظرية 3.3.

لتكن ، ولتكن زوجا من دوال المتتامّة. لنفترض أن و . عندئذ

${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4{\Vert G-F\Vert }_{L_1}$

$+2(\parallel F{\parallel }_{{\mathrm{\Psi }}_0}+{\mathrm{\Phi }}_0^{-1}(1))[4{\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}({\displaystyle \frac{K_0}{2}}\parallel {\log }_{+}\parallel G\parallel -{\log }_{+}\parallel F\parallel {\parallel }_{L_1})$

$+R_{{\mathrm{\Psi }}_0}((2e^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}+1)n\parallel G-F{\parallel }_{L_1}+\parallel \log {\displaystyle \frac{detG}{detF}}{\parallel }_{L_1})].$

Proof.

ينبغي إجراء التغييرات الآتية في برهان النظرية 3.1. يتبع من (41) أن

(59) $$|\log {\lambda }_1(t)|\le {\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}⟹\log {\lambda }_1(t)\ge -{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$$

$$⟹{\lambda }_1(t)\ge e^{-{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}⟹F_1\ge e^{-{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}.$$

وبأخذ في برهان النظرية 3.1، نحصل على ، وبفضل (45)، و(18)، و(48)، و(49)، نحصل على

${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2={\Vert {\tilde{F}}_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le {\displaystyle \frac{n}{\eta }}{\Vert {\tilde{F}}_1-G_1\Vert }_{L_1}+2\left|\log \left({\displaystyle \frac{det{G}_1^{+}(0)}{det{\tilde{F}}_1^{+}(0)}}\right)\right|$

$=n{\Vert F_1-G_1\Vert }_{L_1}{e}^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}+\left|{\displaystyle {\int }_{𝕋}}(\log det{F}_1-\log det{G}_1)𝑑m\right|$

$\le 2n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}{e}^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}+{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}$

$=\left(2e^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}+1\right)n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}+{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}.$

وبقية البرهان هي نفسها كما في برهان النظرية 3.1. ∎

4. براهين النظريات 1.3-1.5

في هذا القسم، نستنتج النظريات المصاغة في المقدمة بوصفها نتائج مباشرة من التقديرات المناظرة المحصل عليها في القسم السابق.

برهان النظرية 1.3. بالنسبة إلى العبارة الأولى، ينبغي أخذ

(60)

في النظرية 3.1. عندئذ من السهل أن نرى أن ، . وعلى وجه الخصوص،

(61) $${\mathrm{\Phi }}_0^{-1}(1)=q_0^{\frac{1}{q_0}},$$

و(انظر (30) و(31))

(62) $${\mathrm{\Lambda }}_{{\mathrm{\Phi }}_0}(s)=s^{1/q_0}\text{ and }{R}_{{\mathrm{\Psi }}_0}(s)={(4p_0)}^{\frac{1}{p_0}}{s}^{\frac{p_0-1}{p_0}}={(4p_0)}^{\frac{1}{p_0}}{s}^{\frac{1}{q_0}},$$

بينما

(63)

انظر [15, (9.7)]. لذلك ينتج (12) من (38) باستعمال المساويات الآتية: ، (62)، (63)، و(61).

ولإثبات العبارة الثانية، ينبغي استعمال التقدير

(64) $${\Vert M_F{\Vert F_1^{+}(\cdot )-G_1^{+}(\cdot )\Vert }^2\Vert }_{L_1}\le {\Vert M_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2=\max \{{\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}},1\}{\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2,$$

بينما يعطى التقدير

(65) $${\Vert M_F^{+}-M_G^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert M_F-M_G\Vert }_{L_1}+2K_0{\Vert M_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert \log M_F-\log M_G\Vert }_{L_1}$$

بالنظرية 2.4. ولدينا (انظر (39))، و

$$|M_F-M_G|=|\max (1,\Vert F\Vert )-\max (1,\Vert G\Vert )|\le \left|\Vert F\Vert -\Vert G\Vert \right|\le \Vert F-G\Vert$$

(انظر (47)). لذلك يمكن إعادة كتابة (65) على الصورة

(66) $${\Vert M_F^{+}-M_G^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert F-G\Vert }_{L_1}+2K_0\max ({\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}},1){\Vert {\log }_{+}\Vert F\Vert -{\log }_{+}\Vert G\Vert \Vert }_{L_1}.$$

تأخذ المتباينة (50) الصورة

(67) $${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 4n\Vert F-G\Vert _{L_1}^{}{}_{}{}^{1-\alpha }+4(n+1){\alpha }^{1-p_1}{p}_1{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{p_1}}^{p_1}$$

$$\times {\left|\log \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)\right|}^{1-p_1}+2{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+2n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}$$

بعد التعويض المناظر عن

$${\mathrm{\Psi }}_1\left(\frac{|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}}\right)=\frac{1}{p_1}{\left(\frac{\alpha |\log \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|}{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{p_1}}}\right)}^{p_1}.$$

ويتبع من (3)، و(64)، و(66) أن

(68) $${\Vert F^{+}-G^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert M_F{\Vert F_1^{+}(\cdot )-G_1^{+}(\cdot )\Vert }^2\Vert }_{L_1}+2{\Vert M_F^{+}-M_G^{+}\Vert }_{H_2}^2\le$$

$$2\max \{{\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}},1\}\left({\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2+2K_0{\Vert {\log }_{+}\Vert F\Vert -{\log }_{+}\Vert G\Vert \Vert }_{L_1}\right)+4{\Vert F-G\Vert }_{L_1}$$

ومن ثم ينتج (14) الآن من (68) و(67).

برهان النظرية 1.4. بالنسبة إلى العبارة الأولى، ينبغي أخذ و كما هما في (60)، ، حيث ، و

(69)

في النظرية 3.2. وبما أن

$$\frac{p_1}{p_1+1}\left|\log {\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right|\ge \frac{4p_1}{p_1+1}\ge 2,$$

فإنه يتبع من المتباينة

$$𝒜(\tau )\ge \frac{1}{2}{e}^{\tau },\tau \in [2,\mathrm{\infty }),$$

أن

(70) $${\mathrm{\Psi }}_1\left(|\log \nu \left({\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right)|\right)=𝒜\left(\frac{p_1}{p_1+1}\left|\log {\Vert F-G\Vert }_{L_1}\right|\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert F-G\Vert }_{L_1}^{-\frac{p_1}{p_1+1}}.$$

علاوة على ذلك (انظر (53) و(11))،

$$\max \{1,\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)\}\le {\int }_{𝕋}{e}^{p_1|{\mathrm{\ell }}_F|}𝑑m={\int }_{𝕋}{(Q_F)}^{p_1}𝑑m={\Vert Q_F\Vert }_{L_{p_1}}^{p_1}.$$

ومن ثم (انظر (54)، (29))

(71) $${\mathrm{\Pi }}_{{\mathrm{\Psi }}_1}({\mathrm{\ell }}_F)=\parallel {\mathrm{\ell }}_F{\parallel }_{({\mathrm{\Psi }}_1)}\max \{1,\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)\}\le \max {\{1,\varrho ({\mathrm{\ell }}_F;{\mathrm{\Psi }}_1)\}}^2\le \parallel Q_F{\parallel }_{L_{p_1}}^{2p_1}.$$

لذلك ينتج (15) من (55) باستعمال (61)، و(69)، و(62)، و(63)، و(70)، و(71).

يمكن إثبات الجزء الثاني من العبارة بالطريقة نفسها كما في برهان النظرية 1.3. وعلى وجه الخصوص، تأخذ (3) الصورة

$${\Vert F_1^{+}-G_1^{+}\Vert }_{H_2}^2\le \left(4n+\frac{8(n+1){\Vert Q_F\Vert }_{L_{p_1}}^{2p_1}}{p_1+1}\left|\log {\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right|\right){\Vert G-F\Vert }_{L_1}^{\frac{p_1}{p_1+1}}$$

$$+2{\Vert \log detF-\log detG\Vert }_{L_1}+2n{\Vert F-G\Vert }_{L_1}$$

بعد التعويض عن (70) و(71)، وتبقى الخطوات المتبقية هي نفسها تماما.

برهان النظرية 1.5. يتبع من المتباينة الأخيرة في (59) في برهان النظرية 3.3 أن

$$F(\vartheta )=\max \{1,\Vert F(\vartheta )\Vert \}{F}_1(\vartheta )\ge e^{-{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}.$$

وبأخذ مرة أخرى كما في ذلك البرهان، نحصل على . إذا كان ، فإن الإسقاط في القضية 2.1 يساوي مؤثر الهوية. ولذلك،

$${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\le {\Vert F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}\left(n{e}^{{\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}}{\Vert G-F\Vert }_{L_1}+2n\left[1-{\left(\frac{det{G}^{+}(0)}{det{F}^{+}(0)}\right)}^{1/n}\right]\right),$$

وينتج (16) من (44) و(18).

5. أمثلة

في هذا القسم نبني أمثلة محددة تبين إلى أي مدى يمكن تحسين التقديرات المحصل عليها في النظريتين 1.3 و1.4.

أولا نبين أن الأس للحد في النظرية 1.3 لا يمكن تحسينه إلى ما يتجاوز .

مثال 5.1.

لتكن ،  ، ولتكن ، دالتين خارجيتين بحيث و

لتكن

(76)

هذه المصفوفات هي العوامل الطيفية لـ

و

لدينا

(77)

وفضلا عن ذلك،

$2\pi {\Vert {|{\lambda }_1|}^2-{|{\lambda }_0|}^2\Vert }_{L_1}={\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{2\epsilon }}\exp \left(-2{\vartheta }^{-1/p_1}\right)𝑑\vartheta +{\displaystyle {\int }_{\vartheta \in [-\pi ,\pi )\setminus [\epsilon ,2\epsilon ]}}{\displaystyle \frac{{\delta }^2}{1-{\delta }^2}}𝑑\vartheta$

$\le \epsilon \exp \left(-2^{1-1/p_1}{\epsilon }^{-1/p_1}\right)+{\displaystyle \frac{2\pi {\delta }^2}{1-{\delta }^2}},$

و

$2\pi {\Vert {\lambda }_1\overline{{\lambda }_3}\Vert }_{L_1}={\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{2\epsilon }}\exp \left(-{\vartheta }^{-1/p_1}\right)𝑑\vartheta +{\displaystyle {\int }_{\vartheta \in [-\pi ,\pi )\setminus [\epsilon ,2\epsilon ]}}{\displaystyle \frac{\delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}𝑑\vartheta$

$\le \epsilon \exp \left(-2^{-1/p_1}{\epsilon }^{-1/p_1}\right)+{\displaystyle \frac{2\pi \delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}.$

لذلك، بأخذ في المتباينات أعلاه، نحصل، من أجل صغير بما فيه الكفاية، على

$$2\pi {\Vert G-F\Vert }_{L_1}\le 4\epsilon \exp \left(-2^{-1/p_1}{\epsilon }^{-1/p_1}\right)\le \exp \left(-{(2\epsilon )}^{-1/p_1}\right).$$

ومن ثم

(78) $$\epsilon \ge \frac{{\left|\log {\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right|}^{-p_1}}{2}.$$

ومن جهة أخرى (انظر (76))،

(79) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge {\Vert {\lambda }_3\Vert }_{H_2}^2\ge \frac{\epsilon }{4\pi }.$$

وعليه، يتبع من (78) و(79) أن

(80) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge \frac{{\left|\log {\Vert G-F\Vert }_{L_1}\right|}^{-p_1}}{8\pi },$$

وهذا يثبت ادعاءنا.

لاحظ أن ، و$0\le F\le 1$، و

${\Vert {\mathrm{\ell }}_F\Vert }_{L_{p_1}}={\Vert \log detF\Vert }_{L_{p_1}}={\Vert \log {|{\lambda }_0|}^2\Vert }_{L_{p_1}}={\left({\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{2\epsilon }}{2}^{p_1}{\vartheta }^{-1}𝑑\vartheta \right)}^{1/p_1}=2{\left({\displaystyle \frac{\log 2}{2\pi }}\right)}^{1/p_1}.$

بعد ذلك نبين أن الأس للحد في النظرية 1.4 لا يمكن تغييره إلى قيمة أكبر من .

مثال 5.2.

نغير فقط تعريفي الدالتين و في (76):

لدينا

$2\pi {\Vert {|{\lambda }_1|}^2-{|{\lambda }_0|}^2\Vert }_{L_1}={\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{2\epsilon }}{\vartheta }^{1/p_1}𝑑\vartheta +{\displaystyle {\int }_{\vartheta \in [-\pi ,\pi )\setminus [\epsilon ,2\epsilon ]}}{\displaystyle \frac{{\delta }^2}{1-{\delta }^2}}𝑑\vartheta$

$\le {\displaystyle \frac{p_1}{p_1+1}}\left(2^{\frac{p_1+1}{p_1}}-1\right){\epsilon }^{\frac{p_1+1}{p_1}}+{\displaystyle \frac{2\pi {\delta }^2}{1-{\delta }^2}},$

$2\pi {\Vert {\lambda }_1\overline{{\lambda }_3}\Vert }_{L_1}={\displaystyle {\int }_{\epsilon }^{2\epsilon }}{\vartheta }^{\frac{1}{2p_1}}𝑑\vartheta +{\displaystyle {\int }_{\vartheta \in [-\pi ,\pi )\setminus [\epsilon ,2\epsilon ]}}{\displaystyle \frac{\delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}𝑑\vartheta$

$\le {\displaystyle \frac{2p_1}{2p_1+1}}\left(2^{\frac{2p_1+1}{2p_1}}-1\right){\epsilon }^{\frac{2p_1+1}{2p_1}}+{\displaystyle \frac{2\pi \delta }{\sqrt{1-{\delta }^2}}}.$

وبأخذ ، نحصل، من أجل صغير بما فيه الكفاية، على

$${\Vert G-F\Vert }_{L_1}\le C_{p_1}{\epsilon }^{\frac{2p_1+1}{2p_1}}$$

مع ثابت يعتمد فقط على . ومن ثم

(83) $$\epsilon \ge {\left(\frac{{\Vert G-F\Vert }_{L_1}}{C_{p_1}}\right)}^{\frac{2p_1}{2p_1+1}}.$$

ومن جهة أخرى،

(84) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge {\Vert {\lambda }_3\Vert }_{H_2}^2\ge \frac{\epsilon }{4\pi }.$$

لذلك، يتبع من (83) و(84) أن

(85) $${\Vert G^{+}-F^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge \text{const }{\Vert G-F\Vert }_{L_1}^{\frac{2p_1}{2p_1+1}}$$

ويثبت ادعاء المثال.

لاحظ أن ، و$0\le F\le 1$، كما في المثال 5.1، و

${\Vert Q_F\Vert }_{L_{p_1}}={\Vert {(detF)}^{-1}\Vert }_{L_{p_1}}={\Vert {|{\lambda }_0|}^{-2}\Vert }_{L_{p_1}}\le {\left({\displaystyle \frac{\log 2}{2\pi }}\right)}^{1/p_1}+1.$

6. الحالة العددية

في هذا القسم الأخير، نعود إلى مناقشة التفكيك الطيفي العددي ونبرهن أن القوة في التقدير (7) أمثلية. وهذا هو بالضبط ادعاء النظرية 1.6، ويأتي برهانها كما يلي.

خذ أي (ومن دون فقدان للعمومية، افترض أن ) واختر صغيرا بحيث

(86) $${\gamma }_0\ge \frac{p-1+\beta }{(1-\alpha )(p+\beta )}.$$

إن الدالة

تصور قرص الوحدة تصويرا مطابقا على نصف المستوى العلوي، ، ولدينا المساواة $\omega (e^{i\vartheta })=\tan \frac{\vartheta }{2}$ للقيم الحدية.

اعتبر الفرع الرئيس لدالة

التحليلية في نصف المستوى العلوي والموجبة على نصف المستقيم الموجب. ومن السهل أن نرى أن الدالة

تنتمي إلى فضاء هاردي ، وأن

(90)

وبوجه خاص

(91)

ثم

حيث

لتكن

(92)

حيث وسيط صغير. يبين حساب يسير أنه إذا كان

(93)

فإن ، ومن ثم

(94) $$\cos \left(\frac{1}{2}\widetilde{h_{\epsilon }}\left(e^{i\vartheta }\right)\right)\le 0\text{ for arbitrary }\vartheta \in I_{\epsilon }.$$

لاحظ أن

(95) $$|I_{\epsilon }|\ge C_{\alpha }{\epsilon }^{\frac{1}{1-\alpha }}$$

من أجل صغير بما فيه الكفاية وثابت مناسب ، لأن

(96)

خذ كبيرا بما فيه الكفاية بحيث

(97)

ولتكن

(98)

عندئذ

لنفترض أن

(99)

حيث تعرف بواسطة (92). تتطابق الدالتان و من أجل (انظر التعريفين (92) و(90))، و(انظر (91))

(100)

لتكن . عندئذ، بتطبيق المتباينة ، و(90)، و(96)، نحصل على

$$2\pi {\Vert f-g_{\epsilon }\Vert }_{L_1}={\int }_{-\pi }^0{|\vartheta |}^{\tau }\left(1-\exp \left(\epsilon \text{Re}w\right)\right)𝑑\vartheta \le {\pi }^{\tau }{\int }_{-\pi }^{-{\epsilon }^{\rho }}\epsilon \left|\text{Re}w\right|𝑑\vartheta +{\int }_{-{\epsilon }^{\rho }}^0{|\vartheta |}^{\tau }𝑑\vartheta$$

(101) $$\le {\pi }^{\tau +1}\epsilon {\left(\tan \frac{{\epsilon }^{\rho }}{2}\right)}^{\alpha -1}\sin (\pi \alpha )+\frac{1}{\tau +1}{\epsilon }^{\rho (\tau +1)}\le C_{\tau }{\epsilon }^{\frac{\tau +1}{\tau +2-\alpha }}.$$

ثم، بفضل (99)، و(93)، و(94)، و(98)، و(95)، و(86)، يكون لدينا

(102) $${\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(e^{i\vartheta }\right)\left(1-\cos \left(\frac{1}{2}\left(\widetilde{\log f}\left(e^{i\vartheta }\right)-{\widetilde{\log g}}_{\epsilon }\left(e^{i\vartheta }\right)\right)\right)\right)𝑑\vartheta$$

$$={\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(e^{i\vartheta }\right)\left(1-\cos \left(\frac{1}{2}\widetilde{h_{\epsilon }}\left(e^{i\vartheta }\right)\right)\right)𝑑\vartheta \ge {\int }_{I_{\epsilon }}f\left(e^{i\vartheta }\right)𝑑\vartheta \ge \underset{\vartheta \in I_{\epsilon }}{\min }f\left(e^{i\vartheta }\right)\cdot |I_{\epsilon }|$$

$$={\vartheta }_2^{-\frac{1}{p+\beta }}|I_{\epsilon }|\ge C_{p,\alpha }{\epsilon }^{-\frac{1}{(1-\alpha )(p+\beta )}}{\epsilon }^{\frac{1}{1-\alpha }}=C_{p,\alpha }{\epsilon }^{\frac{p-1+\beta }{(1-\alpha )(p+\beta )}}\ge C_{p,\alpha }{\epsilon }^{{\gamma }_0}$$

من أجل صغير بما فيه الكفاية وثابت مناسب .

المتباينة

$${\Vert f^{+}-g_{\epsilon }^{+}\Vert }_{H_2}^2$$

$$\ge \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(e^{i\vartheta }\right)\left(1-\cos \left(\frac{1}{2}\left(\widetilde{\log f}\left(e^{i\vartheta }\right)-\widetilde{\log g_{\epsilon }}\left(e^{i\vartheta }\right)\right)\right)\right)𝑑\vartheta -4{\Vert f-g_{\epsilon }\Vert }_{L_1}$$

حصل عليها في برهان النظرية 1 في [9]. ومن ثم يتبع من (101)، و(102)، و(97)، و(100) أن

$${\Vert f^{+}-g_{\epsilon }^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge \frac{1}{\pi }{C}_{p,\alpha }{\epsilon }^{{\gamma }_0}-\frac{2}{\pi }{C}_{\tau }{\epsilon }^{\frac{\tau +1}{\tau +2-\alpha }}=C_{p,\alpha ,\tau }{\epsilon }^{{\gamma }_0}\ge \frac{C_{p,\alpha ,\tau }}{C^{{\gamma }_0}}{\Vert \log f-\log g_{\epsilon }\Vert }_{L_1}^{{\gamma }_0}$$

من أجل صغير بما فيه الكفاية.

إذا أخذنا الآن متتالية من الأعداد الموجبة تتقارب إلى وافترضنا أن ، فإننا نحصل على (17) بما أن .

7. شكر وتقدير

دعم المؤلف الثالث جزئيا بتمويل أبحاث هيئة التدريس من Division of Science and Mathematics, New York University Abu Dhabi.