ملاحظة حول تفكيك
بعض الدوال المصفوفية ذات البنية الخاصة

الملخص

لتكن $G$ دالة مصفوفية كتلية تكون فيها إحدى الكتل القطرية $A$ موجبة التعريف، وتكون الكتل الخارجة عن القطر مرافقات مركبة بعضها لبعض. تُستخلص شروط تجعل $G$ قابلة للتفكيك (وبوجه خاص ذات مؤشرات جزئية صفرية) بدلالة متمم شور لـ $A$.

1. نتائج تمهيدية

لتكن $𝕃$ منحنى بسيطاً مغلقاً في المستوي المركب $ℂ$. ولنرمز إلى مجاليه الداخلي والخارجي بـ $D^{+}$ و$D^{-}(\ni \mathrm{\infty })$ على الترتيب. وتتمثل مسألة القيم الحدية لريمان-هيلبرت في إيجاد دوال ${\varphi }^{\pm }$ تحليلية في $D^{\pm }$ تحقق الشرط

$${\varphi }^{+}(t)=G(t){\varphi }^{-}(t)+g(t),t\in 𝕃,$$ (1)

المفروض على قيمها الحدية. هنا $G$ و$g$ دالتان معلومتان معرفتان على $𝕃$.

في الصيغة المتجهية لـ (1)، تكون ${\varphi }^{\pm }$ و$g$ دوالاً متجهية، ولتكن مثلاً ذات $n$ مركبة، في حين تكون $G$ دالة مصفوفية من الرتبة $n$ في $n$.

نهتم بإطار $L_p$ الخاص بـ (1). وهذا يعني أن $g\in L_p(𝕃)$، و${\varphi }^{\pm }\in E_p^{\pm }:=E_p(D^{\pm })$، و$G\in L_{\mathrm{\infty }}(𝕃)$ (وتفهم جميع علاقات الانتماء لدوال المتجهات والمصفوفات هنا وفيما يلي عنصراً بعنصر). نستخدم الترميز $E_p(A)$ لفئات سميرنوف في المجالين $A$ و. انظر مثلاً [3] من أجل تعريف هذه الفئات وخصائصها. ولاحظ على وجه الخصوص أنه، في حالة كون $𝕃$ دائرة الوحدة $𝕋$، فإن $E_p^{\pm }$ تصبح فضاءات هاردي الكلاسيكية $H_p^{\pm }$.

من المعروف (انظر مثلاً [5, 8]) أنه بالنسبة إلى مسألة $p\in (1,\mathrm{\infty })$ معطاة، تكون (1) فريدهولمية إذا وفقط إذا كانت $G$ تقبل تمثيلاً

$$G=G_{+}\mathrm{\Lambda }{G}_{-},$$ (2)

حيث

$$G_{+}\in E_p^{+},G_{-}\in E_q^{-},G_{+}^{-1}\in E_q^{+},G_{-}^{-1}\in E_p^{-},q=p/(p-1),$$

$\mathrm{\Lambda }(t)=\mathrm{diag}[{(t-z_0)}^{{\kappa }_1},\mathrm{\dots },{(t-z_0)}^{{\kappa }_n}]$، ${\kappa }_1,\mathrm{\dots },{\kappa }_n\in \mathbb{Z}$، و$z_0$ نقطة مثبتة اعتباطياً من $D^{+}$، كما أن $G_{-}^{-1}\mathrm{\Lambda }S{G}_{+}^{-1}$، حيث يرمز $S$ إلى المؤثر التكاملي المفرد ذي نواة كوشي، مؤثر محدود على $L_p(𝕃)$. ويسمى التمثيل (2) الذي يحقق هذه الشروط كلها أحياناً تفكيكاً من النمط $L_p$ لـ $G$.

لاحظ دور المؤشرات الجزئية ${\kappa }_1,\mathrm{\dots },{\kappa }_n$: فالعدد $\lambda$ للحلول المستقلة خطياً للمسألة المتجانسة ($g=0$) (1) هو مجموع ${\kappa }_j$ الموجبة، في حين أن العدد $\eta$ للقيود الخطية على $g$ التي تقبل المسألة غير المتجانسة تحتها حلاً هو معاكس مجموع ${\kappa }_j$ السالبة. وبوجه خاص، فإن مؤشر المسألة (1)، أي الفرق $\lambda -\eta$، يساوي المؤشر الكلي $\kappa ={\sum }_{j=1}^n{\kappa }_j$ للتفكيك (2).

وهذا يبرر الاهتمام المتواصل بإيجاد معايير صريحة للتفكيك، وكذلك صيغ للمؤشرات الجزئية، لفئات متنوعة من الدوال المصفوفية. ولوصف نتيجة واحدة في هذا الاتجاه، ذات صلة بمضمون هذه الملاحظة القصيرة، نحتاج إلى استذكار بضعة مفاهيم أخرى.

يعرف المجال العددي $W(A)$ (ويسمى أيضاً مجال القيم أو مجموعة هاوسدورف) لمصفوفة مربعة $A$ ويرمز إليه كما يأتي:

$$W(A)=\{x^{\ast }Ax:x^{\ast }x=1\},$$ (3)

انظر مثلاً [4] أو [7].

تسمى دالة مصفوفية $G$ ذات قطاعية من النمط $\alpha$ على مجموعة جزئية $X$ من مجال تعريفها إذا وجد قطاع $𝒮$ رأسه عند الأصل وزاويته $\alpha$ بحيث يكون $W(G(t))\subset 𝒮$ تقريباً في كل مكان على $X$. وبدوره، يكون $G$ ذا قطاعية محلية من النمط $\alpha$ على $X$ إذا كان لكل $t\in X$ جوار لـ $t$ تكون عليه $G$ ذات قطاعية من النمط $\alpha$. وقد يعتمد القطاع المعني ${𝒮}_t$ مبدئياً على $t$.

ومن الواضح أن دالة مصفوفية $G$ معرفة على $𝕃$ تكون ذات قطاعية محلية من النمط $\alpha$ إذا وفقط إذا كانت على الصورة

$$G=\chi G_0,$$ (4)

حيث تكون $\chi$ دالة مستمرة على $𝕃$ وقابلة للعكس، في حين تكون $G_0$ ذات قطاعية من النمط $\alpha$ على $𝕃$. وعلى الرغم من أن التمثيل (4) ليس وحيداً، فإن عدد اللف $\mathrm{Ind}\chi$ للدالة $\chi$ يعرف على نحو وحيد. وسنسميه عدد لف W(G)، ونرمز إليه بـ $\mathrm{Ind}G$.

تم الحصول في [12] على شرط القابلية للتفكيك الآتي بدلالة سلوك المجال العددي، وانظر أيضاً [5, Section 3] من أجل نتائج أخرى ذات صلة وتاريخ الموضوع.

مبرهنة 1.

لتكن $G$ دالة مصفوفية قابلة للعكس في $L_{\mathrm{\infty }}$، من الرتبة $n$ في $n$ وذات قطاعية محلية من النمط $\alpha$، معرفة على منحنى أملس بسيط مغلق $𝕃$. عندئذ تقبل $G$ تمثيلاً (2) يعطي تفكيكاً من النمط $L_p$ لـ $G$ لكل

$$p\in (\frac{2\pi }{2\pi -\alpha },\frac{2\pi }{\alpha }).$$ (5)

علاوة على ذلك، فإن المؤشر الكلي $\kappa$ لـ (2) يساوي $n\mathrm{Ind}G$، بينما إذا كانت $𝕃$ دائرة فإن لدينا أيضاً

$${\kappa }_1=\mathrm{\cdots }={\kappa }_n=\mathrm{Ind}G.$$ (6)

نتيجة 1.

إذا كان لدينا في حالة الدائرة، إضافة إلى ذلك، $\mathrm{Ind}G=0$، فإن التفكيك $L_p$ من النمط (2) لـ $G$ من أجل $p$ المحقق لـ (5) يكون قانونياً، أي ${\kappa }_j=0,j=1,\mathrm{\dots },n$.

2. البيان الرئيسي

لتكن $G$ ذات البنية الخاصة

(7)

حيث تكون $A$ دالة مصفوفية من الرتبة $m$ في $m$، موجبة التعريف وقابلة للعكس في $L_{\mathrm{\infty }}$، في حين أن $B,D$ من الرتبتين $k$ في $m$ و$k$ في $k$، على الترتيب.

ويضطلع متمم شور $\mathrm{\Gamma }$ للكتلة العلوية اليسرى $A$ في $G$ بدور مهم فيما يلي:

$$\mathrm{\Gamma }=D-B{A}^{-1}{B}^{\ast }.$$ (8)

مبرهنة 2.

لتكن $G$ دالة مصفوفية قابلة للعكس من $L_{\mathrm{\infty }}$ معطاة بـ (7) ومعرفة على منحنى أملس بسيط مغلق $𝕃$. إذا كانت الدالة المصفوفية المناظرة $\mathrm{\Gamma }$ ذات قطاعية محلية من النمط $\alpha$، مع احتواء جميع القطاعات ${𝒮}_t$ الداخلة في المسألة على الشعاع الموجب، فإن $G$ تقبل تفكيكاً من النمط $L_p$ (2) ذا مؤشر كلي صفري، لكل $p$ كما في (5). وإذا كانت $𝕃$، إضافة إلى ذلك، دائرة، فإن التفكيك (2) يكون قانونياً.

Proof.

تفيد الهوية

أن المصفوفتين $G(t)$ و$\mathrm{diag}[I,\mathrm{\Gamma }(t)]$ متكافئتان بالتطابق لكل $t\in 𝕃$. ولذلك فإن أصغر قطاع رأسه عند الأصل ويحتوي $W(G(t))$ و$W(\mathrm{diag}[I,\mathrm{\Gamma }(t)])$ هو نفسه. وبما أن المجال العددي الأخير هو ببساطة الغلاف المحدب لـ $W(\mathrm{\Gamma }(t))$ وللنقطة واحد، فإن لدينا $W(G(\tau ))\subset {𝒮}_t$ من أجل $\tau$ من جوار ما لـ $t$. وبعبارة أخرى، فإن الدالة المصفوفية $G$ تحقق شروط المبرهنة 1. وهذا يضمن قابلية $L_p$ للتفكيك من النمط $G$ لكل $p$ يحقق (5). علاوة على ذلك، بما أن القطاعات ${𝒮}_t$ كلها تحتوي الشعاع الموجب، فإنها تتجنب الشعاع السالب، مما يفضي إلى $\mathrm{Ind}G=0$. ∎

وتظل هذه النتيجة غير بديهية حتى عندما تكون الكتلة اليمنى السفلى $D$ من (7) أحادية البعد، أي في حالة دالة ذات قيم سلمية $\mathrm{\Gamma }$ حين يفرض شرط القطاعية $\alpha$ (المحلي) على قيمها فحسب.

ويظهر تبسيط آخر عندما تكون $\mathrm{\Gamma }$ مستمرة.

نتيجة 2.

لتكن $G$ دالة مصفوفية قابلة للعكس من $L_{\mathrm{\infty }}$ معطاة بـ (7)، ومعرفة على منحنى أملس بسيط مغلق $𝕃$، وبحيث تكون الدالة المصفوفية المناظرة $\mathrm{\Gamma }$ مستمرة على $𝕃$. افترض أنه من أجل بعض ولكل $t\in 𝕃$، يقع المجال العددي لـ $\mathrm{\Gamma }(t)$ والشعاع الموجب كلاهما في القطاع نفسه ${𝒮}_t$ (المعتمد على $t$) ذي الرأس عند الأصل والزاوية $\alpha$. عندئذ تقبل $G$ تفكيكاً من النمط $L_p$ (2) ذا مؤشر كلي صفري، لكل $p$ كما في (5). وإذا كانت $𝕃$، إضافة إلى ذلك، دائرة، فإن التفكيك (2) يكون قانونياً.

وبالطبع، تكون $\mathrm{\Gamma }$ مستمرة إذا كانت $G$ نفسها مستمرة. غير أنه في هذه الحالة تُضمن قابلية $L_p$ للتفكيك من النمط $G$ لكل $p\in (1,\mathrm{\infty })$ بمجرد قابلية $G$ للعكس، ويكون المؤشر الكلي $\kappa$ ببساطة عدد لف $detG$. لذلك، فالجانب الوحيد المثير للاهتمام في المبرهنة 2 في هذا الإطار يتعلق بقيم المؤشرات الجزئية عندما تكون $𝕃$ دائرية.

مبرهنة 3.

لتكن $G$ دالة مصفوفية مستمرة من الصورة (7) معرفة على دائرة. افترض أن

$$\{x\in ℝ:x\le 0\}\cap W(\mathrm{\Gamma }(t))=\mathrm{\varnothing }\text{ لكل }t\in 𝕋.$$ (9)

عندئذ تكون المؤشرات الجزئية لـ $G$ كلها مساوية للصفر.

Proof.

بما أن المجال العددي محدب ومتراص، فإن الشرط (9) يقتضي أن $W(\mathrm{\Gamma }(t))$ يقع في قطاع ما ${𝒮}_t$ زاويته أصغر من $\pi$ ومنعدم التقاطع مع الشعاع السالب. وبتوسيع الزاوية عند الحاجة، يمكننا إبقاؤها دون $\pi$ مع جعل الشعاع الموجب مشمولاً بها. إضافة إلى ذلك، تكون $\mathrm{\Gamma }(t)$ قابلة للعكس لكل $t$ لأن $0\notin W(\mathrm{\Gamma }(t))$، مما يفضي إلى قابلية $G$ للعكس. وبموجب النتيجة 2، تقبل $G$ تفكيكاً قانونياً من النمط $L_2$. ويصلح هذا الأخير بعد ذلك بوصفه تفكيكاً قانونياً من النمط $L_p$ لـ $G$ لكل $p\in (1,\mathrm{\infty })$. ∎

3. تعليقات إضافية

إن الشروط الكافية التي تقدمها المبرهنة 2 بعيدة جداً عن أن تكون ضرورية، حتى في الحالة الخاصة $A=I$:

(10)

ومن أجل $p=2$، بوجه خاص، يتحقق أيضاً الشرط الكافي الآتي “المنفصل”. نذكر أن $E_{\mathrm{\infty }}^{\pm }+C$ (وهو المجموع الجبري لـ $E_{\mathrm{\infty }}^{\pm }$ مع الفئة $C$ لجميع الدوال المستمرة على $𝕃$) مغلق في $L_{\mathrm{\infty }}(𝕃)$، ومن ثم فهو جبر جزئي من $L_{\mathrm{\infty }}(𝕃)$.

مبرهنة 4.

لتكن $G$ دالة مصفوفية من $L_{\mathrm{\infty }}$ معطاة بـ (10)، بحيث إن $\mathrm{\Gamma }=D-B{B}^{\ast }$، ومعرفة على منحنى أملس بسيط مغلق $𝕃$.

(i) إذا وجدت، من أجل دالة مصفوفية من الرتبة $k$ في $m$ هي $B_1$ بحيث إن $B-B_1\in E_{\mathrm{\infty }}^{+}+C$، دالة مصفوفية $\mathrm{Re}\mathrm{\Gamma }+B_1{B}_1^{\ast }$ سالبة بانتظام على $𝕃$، فإن $G$ قابلة للتفكيك من النمط $L_2$.

(ii) إذا كانت $𝕃$، إضافة إلى ذلك، دائرة وكان $B-B_1\in E_{\mathrm{\infty }}^{+}$، فإن جميع المؤشرات الجزئية لـ $G$ تساوي صفراً.

Proof.

لاحظ أن خاصية القابلية للتفكيك من النمط $L_p$ محفوظة عند الضرب من اليسار أو اليمين بدالة مصفوفية قابلة للعكس في $E_{\mathrm{\infty }}^{\pm }+C$. علاوة على ذلك، إذا كانت هذه العوامل ومقلوباتها في الواقع في $E_{\mathrm{\infty }}^{\pm }$، فإن قيم المؤشرات الجزئية محفوظة أيضاً.

وبوضع $B_1-B=X$، نستنتج إذن أن $G$ و

(11)

تكونان قابلتين للتفكيك من النمط $L_p$ معاً فقط في الإطار (i)، ولهما إضافة إلى ذلك مجموعات المؤشرات الجزئية نفسها في الإطار (ii). لكن الجزء الحقيقي لـ (11) هو $\mathrm{diag}[I,-(\mathrm{Re}\mathrm{\Gamma }+B_1{B}_1^{\ast })]$، ومن ثم فهو موجب بانتظام تحت الشرط المفروض. وتنطبق حالة خاصة من المبرهنة 1 (تقابل القطاع الثابت الواقع في النصف الأيمن من المستوي، وتعود إلى المقالة الكلاسيكية [6]). ∎

وبالطبع، عند تطبيق المبرهنة 4 يكون من المنطقي اختيار $X$ كأفضل تقريب لـ $B$ في $E_{\mathrm{\infty }}^{+}+C$ في الإطار (i)، و $E_{\mathrm{\infty }}^{+}$ في الإطار (ii)؛ انظر [11, Chapter 13] للمناقشة ذات الصلة.

نتيجة 3.

لنفترض في (10) أن $k=1$، أي $B=[b_1,\mathrm{\dots },b_m]$، و$𝕃=𝕋$، وأن الدالة $D$ ذات القيم السلمية تحقق

عندئذ تقبل $G$ تفكيكاً قانونياً من النمط $L_2$.

ولوضع الأمور في سياقها، لننظر في الحالة التي تكون فيها $𝕃$ دائرة، ولا تعتمد $D=B{B}^{\ast }+\gamma I$, $\gamma \in ℂ$. Then $\mathrm{\Gamma }=\gamma I$ على $t$ وتكون مضاعفاً سلمياً لمصفوفة الهوية. عندئذ تقتضي النتيجة 2 أن $G$ تقبل تفكيكاً قانونياً من النمط $L_p$ إذا كان . وبوجه خاص، فإن تفكيكها من النمط $L_2$ موجود وقانوني إذا لم تكن $\gamma$ عدداً حقيقياً غير موجب. ومن ناحية أخرى، تقتضي المبرهنة 4 ضمان تفكيك قانوني من النمط $L_2$ لـ $G$ إذا كانت $\gamma$ سالبة وأصغر من $-\Vert H_B\Vert$، حيث $H_B$ هو مؤثر هانكل ذو الرمز المصفوفي $B$. (نذكر أن $H_B=P_{-}B{P}_{+}$، حيث $P_{\pm }=\frac{1}{2}(I\pm S)$ هما الإسقاطان المتعامدان المتتامان المرتبطان بالتعاكس الذاتي المرافق $S$ والعاملان عنصراً بعنصر، وأن $\mathrm{dist}(B,H_{\mathrm{\infty }}^{+})=\Vert H_B\Vert$.) غير أن حقيقة الأمر هي أن مثل هذه $G$ تكون قابلة للتفكيك من النمط $L_2$ إذا وفقط إذا كانت $-\gamma$ لا تنتمي إلى الطيف الجوهري لـ $H_B{H}_B^{\ast }$، ويكون هذا التفكيك قانونياً ما لم يكن $-\gamma \in \sigma (H_B{H}_B^{\ast })$. وقد أُثبتت هذه النتيجة (من أجل $k=m$) في [1]، وسبقتها صيغتها السلمية ($k=m=1$) في [2]. لاحظ أن الحالة الأخيرة من أجل $\gamma =-1$ (التي تغطي بالتحجيم جميع ) تعود إلى [9, 10].