حساسية القياسات الشمسية الزلزالية لاقتران الأنماط العادية إزاء التدفقات واضطرابات سرعة الصوت

الملخص

نشتق في هذه المقالة ونحسب حساسية قياسات الاقتران بين أنماط التذبذب العادية في الشمس للتدفقات الكامنة. تستند النظرية إلى نظرية اضطراب بورن من الرتبة الأولى، ويُجرى التحليل باستعمال الصياغة التي وصفها Lavely & Ritzwoller (1992). وعلى الرغم من طول الاشتقاق، فإننا نفصّله ونحسب حساسية أزواج محددة من الأنماط العادية المقترنة للشذوذات في الداخل. وهذه الأنوية، في الواقع، أساسية للاستدلال الدقيق على سعات التدفقات الحملية والدورانات واسعة النطاق في باطن الشمس. نعالج بعض أوجه عدم الاتساق في اشتقاق Lavely & Ritzwoller (1992) ونعيد صياغة شرط استمرارية المائع. كما نشتق ونحسب أنوية سرعة الصوت، ممهدين الطريق لعكس الشذوذات الحرارية إلى جانب التدفقات.

1 مقدمة

لاستخدام ترابطات حقل الموجات في استنتاج البنية الداخلية تاريخ طويل في علم الزلازل (مثلًا Dahlen, 1968; Woodhouse, 1980; Lavely & Ritzwoller, 1992; Dahlen & Tromp, 1998; Woodard, 2006, 2014, 2016). تُحسب أنماط التذبذب العادية عادة بالنسبة إلى نموذج معيّن للشمس (غالبًا غير مغناطيسي وغير دوّار ومتناظر كرويًا، وإن لم يكن ذلك شرطًا لازمًا)، وفي هذه الحالة تُعدّ الأنماط “غير مقترنة”. غير أن معرفتنا بباطن الشمس غير مكتملة، ومن ثم ستوجد انحرافات بين نموذجنا والواقع، مما يؤدي إلى اقتران الأنماط. وبالنسبة إلى اضطراب ساكن زمنيًا في نموذج معيّن، لا يمكن أن يحدث التشتت إلا عبر عدد الموجة، فيعيد توزيع قدرة الأنماط بطريقة تعتمد على نوع الاضطراب. وتُكمَّم القدرة المعاد توزيعها بترابط الأنماط (أي سلاسل زمنية للتوافقيات الكروية مرشحة حول التردد الرنيني الموافق) وربط الاقتران بالبنية الداخلية.

تُعد دراسة التدفقات الحملية في باطن الشمس موضوعًا ذا أهمية كبرى في علم الشمس الزلزالي المعاصر. فقد أشارت قياسات حديثة باستعمال علم الشمس الزلزالي بالمسافة الزمنية (Duvall et al., 1993) إلى أن سعات التدفقات الحملية أضعف بكثير مما تتنبأ به النظرية والمحاكاة العددية (Hanasoge et al., 2012). غير أن Greer et al. (2015)، خلافًا لهذه النتائج، قاسوا سرعات حملية كبيرة باستعمال تحليل المخططات الحلقية (Hill, 1988)، بما يتفق مع محاكاة الحمل (ASH, Miesch et al., 2008). وعلى وجه الخصوص، استخدم Woodard (2016) نظرية اقتران الأنماط لتفسير ترابطات بيانات Michelson Doppler Imager (MDI; Scherrer et al., 1995) لسلاسل زمنية من التوافقيات الكروية عبر رتب سمتية مختلفة $m$ عند الدرجات التوافقية نفسها $\mathrm{\ell }$. وكانت خلاصة دراسة Woodard (2016) أن السعات أكبر بمرتبة مقدار واحدة من تلك التي حصل عليها Hanasoge et al. (2012). وبالإضافة إلى فهم فيزياء النقل الحراري الشمسي، فإن حل مسألة سعات التدفقات الحملية هذه ضروري للتقدم في مجالات ذات صلة مثل نقل الزخم الزاوي والدينامو الشمسي (مثلًا Hanasoge et al., 2016).

إن بساطة إجراء معالجة البيانات وأناقة النظرية التفسيرية الكامنة تجعل تحليل اقتران الأنماط تقنية جذابة جدًا لدراسة مسألة استدلال التدفق هذه. ففي دراسة Woodard (2016)، كان استنتاج مقدار سرعة التدفق تجريبيًا، ولم تُجر عمليات عكس للحصول على مقادير التدفق. ولهذه الغاية، تهدف هذه المخطوطة إلى بناء النظرية اللازمة لإجراء عمليات العكس باستخدام هذه الترابطات.

على الرغم من أن Lavely & Ritzwoller (1992) عرضوا هذه الصياغة، فإن أخطاءً مطبعية تظهر في تعابير الأنوية، ولا سيما غياب الاتساق بين نواة التدفق الحلقي في معادلتيهم (D20) و(C34)، وبدرجة أقل عامل مفقود $i$ في معادلتهم (C27). وعلاوة على ذلك، ينبغي لشرط حفظ التدفق أن يحد عدد الدوال القياسية الحرة إلى اثنتين (بدلًا من ثلاث)، لكن Lavely & Ritzwoller (1992) يكتبون مسألة العكس بدلالة ثلاث دوال قياسية. ولاختبار التعابير الخاصة بجميع الأنوية ومعالجة مسألة حفظ التدفق، نشرع هنا في اشتقاقها في سياق قياسات الأنماط العادية المتاحة حاليًا من مهمتي Helioseismic and Magnetic Imager (HMI; Schou et al., 2012) وMDI.

2 تعريفات وقياسات شمسية زلزالية

تخضع دالة الإزاحة اللاغرانجية الذاتية ${𝝃}_k$ لنموذج شمسي غير دوّار وغير مخمّد وغير مغناطيسي ومتناظر كرويًا للعلاقة (مثلًا Christensen–Dalsgaard, 2003)

$$-\rho {\omega }_k^2{𝝃}_k-\mathbf{\nabla }(\rho c^2\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k-\rho g{𝝃}_k\cdot \widehat{𝐫})-g\widehat{𝐫}\mathbf{\nabla }\cdot (\rho {𝝃}_k)=0,$$ (1)

حيث إن ${\omega }_k$ هو التردد الرنيني الحقيقي، و$\rho$ الكثافة، و$c$ سرعة الصوت، و$\widehat{𝐫}$ متجه الوحدة المتجه شعاعيًا إلى الخارج، و$g$ الجاذبية. في التحليل الآتي، نفترض أن الكثافة دالة في نصف القطر فقط وأنها محددة بالكامل (ومن ثم ليست دالة في الإحداثي الأفقي أو في الزمن). لقد استعملنا تقريب Cowling (مثلًا Christensen–Dalsgaard, 2003)، الذي تُهمَل بموجبه اضطرابات جهد الجاذبية الشمسية التي تستحثها الموجات. وهذا مبرر لأن اهتمامنا ينصب أساسًا على الموجات التي تنتشر في منطقة الحمل، وهي موصوفة جيدًا في حد Cowling (فقط الأنماط ذات الدرجة المنخفضة جدًا، التي تعبر الجزء الداخلي الإشعاعي واللب، تحدث اضطرابًا ملحوظًا في جهد الجاذبية). ومع ذلك، يمكن أيضًا توسيع المعالجة الحالية إلى معادلات التذبذب الكاملة، مثلًا Lavely & Ritzwoller (1992). المؤثر (1) هرميتي (مثلًا Lynden-Bell & Ostriker, 1967)، ولذلك فإن الترددات الذاتية والدوال الذاتية لهذا المؤثر حقيقية. نلاحظ أنه، توخيًا للتيسير الرمزي، يُستخدم $k=(\mathrm{\ell },m,n)$ للدلالة على نمط محدد، يُصنَّف عادة بثلاثة أعداد كمية: درجة التوافق الكروي $\mathrm{\ell }$، والرتبة السمتية $m$، والرتبة الشعاعية $n$. وعلى الرغم من أن الأنماط في النماذج غير الدوارة والمتناظرة كرويًا تكون منحلّة في $m$، أي ${\omega }_{\mathrm{\ell },m,n}={\omega }_{\mathrm{\ell },0,n}$، فإننا نُبقي الاعتماد على $m$ هنا من أجل الاكتمال. نعيد كتابة المعادلة (1) اختصارًا على الصورة

$$(-\rho {\omega }_k^2+{ℒ}_0){𝝃}_k=0.$$ (2)

تُحقق الدوال الذاتية ${𝝃}_k$ علاقة التعامد والتطبيع الآتية

$${\int }_{\odot }𝑑𝐫\rho {𝝃}_k^{\ast }\cdot {𝝃}_{k^{\prime }}={\delta }_{k{k}^{\prime }},$$ (3)

حيث إن $d𝐫=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$ عنصر حجم متناهي الصغر، و$r$ نصف القطر، و$\theta$ العرض المتمم، و$\varphi$ الطول. هذه خاصية مهمة للتحليل اللاحق.

لأن الدوال الذاتية تشكل مجموعة كاملة (مع اضطراب ضغط لاغرانجي معدوم عند الحد الخارجي، مثلًا Christensen–Dalsgaard, 2003)، يمكن كتابة حقل موجي عام $𝝃(𝐫,\omega )$ على النحو الآتي

$$𝝃(𝐫,\omega )=\sum _q{a}_q(\omega ){𝝃}_q(𝐫)=\sum _q{a}_q^{\omega }{𝝃}_q(𝐫),$$ (4)

حيث $\omega$ هو التردد الزمني، و$a_q$ معاملات تمثل طور وسعة النمط رقم $q$، ونكتب $a_q^{\omega }=a_q(\omega )$ توخيًا للتيسير الرمزي. تُعطى المعادلة الحاكمة للتذبذبات المدفوعة غير المخمدة بالصيغة

$$(-\rho {\omega }^2+{ℒ}_0)𝝃=𝐉,$$ (5)

حيث إن $𝐉$ هو المصدر غير المضطرب، و$𝝃$ حقل الموجات من الرتبة الصفرية، و${ℒ}_0$ المؤثر غير المضطرب (الذي تُشتق خصائصه من نموذج شمسي أساسي مثل النموذج S; Christensen-Dalsgaard et al., 1996) كما عُرّف في المعادلة (2). نلاحظ أن مهمتي MDI وHMI توفران سلاسل زمنية لمعاملات التوافقيات الكروية للتذبذبات، أي $a_k(\omega )$، مقيسة عند الغلاف الضوئي الشمسي. عمليًا، لأننا لا نرصد إلا الجانب المواجه لنا من الشمس، لا يمكن تحليل إشارات التذبذب المقيسة مكانيًا بدقة إلى توافقيات كروية منفردة. تؤدي هذه الرؤية الجزئية إلى تسرّب بين الأنماط عبر $\mathrm{\ell }$، مما يُدخل أخطاء منهجية في الاستدلالات النهائية (مثلًا Larson & Schou, 2015; Woodard, 2016). فضلًا عن ذلك، عند تردد معطى (مثلًا بين الحيود)، تسهم رتب شعاعية مختلفة كثيرة، مما يضعف القدرة على التمييز بينها. وتؤدي الفجوات الزمنية في الرصد، الناجمة عن أسباب آلية أو غيرها، إلى خلط عبر الترددات الزمنية (ومن ثم الرتب الشعاعية)، الأمر الذي يفاقم هذه المسألة. وللتخفيف من مشكلة تسرّب الرتبة الشعاعية، نستخدم قياسات عند ترددات تقع ضمن عرض خطي واحد من الرنين، بما يضمن أن الرتبة الشعاعية المرتبطة تسهم بجزء مهيمن من قدرة النمط المرصودة. ومع ذلك، فإن التسرب عبر الرتب الشعاعية ودرجات التوافقيات الكروية سيؤثر منهجيًا في نتائج تحليلات اقتران الأنماط، وينبغي النظر فيه بعناية.

2.1 نظرية الاضطراب

تُنمذج آثار الدوران والتدفقات والحقول المغناطيسية أو اللاتماثلات الحرارية بإضافة اضطراب إلى المؤثر $\delta ℒ$ إلى ${ℒ}_0$ في المعادلة (5)، مما يؤدي بدوره إلى اضطراب في حقل الموجات، $\delta 𝝃$. وبإهمال اضطرابات المصدر $𝐉$، نحصل على

$(-\rho {\omega }^2+{ℒ}_0+\delta ℒ)(𝝃+\delta 𝝃)=𝐉,$ (6)

لحقل الموجات في شمس مضطربة. أما في الاضطرابات المتغيرة زمنيًا، فإن $\delta ℒ$ يتصرف كمؤثر التفاف. ولذلك، إلى الرتبة الأولى، لدينا

$(-\rho {\omega }^2+{ℒ}_0)\delta 𝝃=-{\displaystyle \int 𝑑{\omega }^{\prime }\delta {ℒ}_{\omega -{\omega }^{\prime }}𝝃(𝐫,{\omega }^{\prime })},$ (7)

حيث يلتقط الالتفاف على التردد تغير المؤثر الاضطرابي $\delta ℒ$ زمنيًا (المعادلة [85] من الملحق D). بإحداث اضطراب في المعادلة (4)، مع افتراض أن الدوال الذاتية لا تتعدل بالاضطراب، يمكننا التعبير عن التغير في حقل الموجات كمزيج خطي من المجموعة الأصلية للدوال الذاتية،

$$\delta 𝝃=\sum _j\delta a_j^{\omega }{𝝃}_j.$$ (8)

باستخدام المعادلة (2)، يمكن تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة (6) على النحو الآتي

$$(-\rho {\omega }^2+{ℒ}_0)\delta 𝝃=\rho \sum _j({\omega }_j^2-{\omega }^2)\delta a_j^{\omega }{𝝃}_j.$$ (9)

تتعرض الأنماط الشمسية لمقدار صغير من التخميد ${\gamma }_k\ll {\omega }_k$ يضطرب بسببه كل من الدوال الذاتية والترددات الذاتية (المحصلة من المعادلة [1]) عبر إدخال مركبات تخيلية صغيرة. غير أنه، لأن حد التخميد أصغر عمومًا بكثير من التردد الرنيني، فإننا نعدّه فقط اضطرابًا في التردد الرنيني ونهمل التغيرات في الدوال الذاتية. إن إدراج التخميد مدفوع إلى حد كبير بالرغبة في تطبيق النموذج النظري على تحليل بيانات التذبذب. لذلك نستبدل ${\omega }_k$ بـ${\overline{\omega }}_k={\omega }_k-i{\gamma }_k/2$ ونواصل معاملة ${𝝃}_k$ ككمية حقيقية. تكون إشارة حد التخميد سالبة بسبب اصطلاح فورييه الذي نعتمده (الملحق D). بأخذ الضرب النقطي لطرفي المعادلة (7) مع ${𝝃}_k^{\ast }$، وباستخدام المعادلة (9) والتكامل على الحجم الشمسي، نحصل على

$$\sum _j\delta a_j^{\omega }({\overline{\omega }}_j^2-{\omega }^2){\int }_{\odot }𝑑𝐫\rho {𝝃}_k^{\ast }\cdot {𝝃}_j=-\sum _{k^{\prime }}{\int }_{\odot }𝑑𝐫\int 𝑑{\omega }^{\prime }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }}{𝝃}_k^{\ast }\cdot \delta {ℒ}_{\omega -{\omega }^{\prime }}{𝝃}_{k^{\prime }}.$$ (10)

يعطينا هذا الاقتران بين الأنماط $k$ وجميع $k^{\prime }$،

$$\delta a_k^{\omega }=-\frac{1}{({\overline{\omega }}_k^2-{\omega }^2)}\sum _{k^{\prime }}\int 𝑑{\omega }^{\prime }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }}{\int }_{\odot }𝑑𝐫{𝝃}_k^{\ast }\cdot \delta {ℒ}_{\omega -{\omega }^{\prime }}{𝝃}_{k^{\prime }}.$$ (11)

نكمّم المظهر الطيفي للنمط على النحو الآتي،

$$R_k^{\omega }=\frac{1}{{\overline{\omega }}_k^2-{\omega }^2}.$$ (12)

يشير الحد في مقام المعادلة (12) إلى أن الاقتران يكون أقوى ما يمكن عندما يكون التردد الزمني $\omega$ قريبًا جدًا من تردد النمط الرنيني، وينخفض سريعًا مع ازدياد فرق التردد. إن تعديل التردد بإدخال مركبة تخيلية صغيرة (كما وصفنا أعلاه) يزيل التفرد المرتبط بالنقطة $\omega ={\omega }_k$ في المعادلة (12). يُعرّف تكامل الاقتران بين الحالتين الذاتيتين $k$ و$k^{\prime }$ على النحو الآتي،

$${\mathrm{\Lambda }}_{k^{\prime }}^k(\sigma )=-{\int }_{\odot }𝑑𝐫{𝝃}_k^{\ast }\cdot \delta {ℒ}_{\sigma }{𝝃}_{k^{\prime }}.$$ (13)

ومن ثم يمكن كتابة المعادلة (11) على الصورة

$$\delta a_k^{\omega }=R_k^{\omega }\sum _{k^{\prime }}\int 𝑑{\omega }^{\prime }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }}{\mathrm{\Lambda }}_{k^{\prime }}^k(\omega -{\omega }^{\prime })=R_k^{\omega }\sum _{k^{\prime }}\int 𝑑{\omega }^{\prime }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }}{\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }\ast }({\omega }^{\prime }-\omega ),$$ (14)

حيث إنه بالنسبة إلى مؤثرات الاضطراب موضع الاهتمام هنا، أي سرعة الصوت والتدفقات، يبيّن الملحق C أن ${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }\ast }({\omega }^{\prime }-\omega )={\mathrm{\Lambda }}_{k^{\prime }}^k(\omega -{\omega }^{\prime })$. لذلك ننظر في المرافق العقدي للمعادلة (14)

$$\delta a_k^{{\omega }^{\ast }}=R_k^{\omega \ast }\sum _{k^{\prime }}\int 𝑑{\omega }^{\prime }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }\ast }{\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}({\omega }^{\prime }-\omega ).$$ (15)

نضرب الآن طرفي المعادلة (15) في $a_q^{\omega +\sigma }$، ونأخذ المتوسط التجميعي، ونلاحظ أن إثارة الموجات في الشمس تُقارب جيدًا باعتبارها غير مترابطة عبر الأنماط (مثلًا Woodard, 2007). لدينا $⟨a_q^{\omega +\sigma }{a}_k^{{\omega }^{\prime }\ast }⟩=N_q{|R_q^{{\omega }^{\prime }}|}^2\delta (\omega +\sigma -{\omega }^{\prime }){\delta }_{qk}$، حيث تشير الأقواس الزاوية إلى المتوسط التجميعي، و$N_j$ هو تطبيع سعة النمط. تُبسّط المعادلة (15) على النحو الآتي

$$⟨a_q^{\omega +\sigma }\delta a_k^{\omega \ast }⟩=R_k^{\omega \ast }\sum _{k^{\prime }}\int 𝑑{\omega }^{\prime }⟨a_q^{\omega +\sigma }{a}_{k^{\prime }}^{{\omega }^{\prime }\ast }⟩{\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}({\omega }^{\prime }-\omega )=N_q{R}_k^{\omega \ast }{|R_q^{\omega +\sigma }|}^2{\mathrm{\Lambda }}_k^q(\sigma ).$$ (16)

وبالمثل،

$$⟨\delta a_q^{\omega +\sigma }{a}_k^{\omega \ast }⟩=N_k{R}_q^{(\omega +\sigma )}{|R_k^{\omega }|}^2{\mathrm{\Lambda }}_q^{k\ast }(-\sigma ),$$ (17)

وباستخدام المعادلتين (16) و (17)، ننمذج القيمة المتوقعة لإشارة الترابط الطيفي المتبادل،

$$⟨a_q^{\omega +\sigma }\delta a_k^{\omega \ast }+\delta a_q^{\omega +\sigma }{a}_k^{\omega \ast }⟩=(N_q{R}_k^{\omega \ast }{|R_q^{\omega +\sigma }|}^2+N_k{R}_q^{(\omega +\sigma )}{|R_k^{\omega }|}^2){\mathrm{\Lambda }}_k^q(\sigma )=H{\mathrm{\Lambda }}_k^q(\sigma ),$$ (18)

حيث

$$H(k,q,\sigma )=N_q{R}_k^{\omega \ast }{|R_q^{\omega +\sigma }|}^2+N_k{R}_q^{(\omega +\sigma )}{|R_k^{\omega }|}^2.$$ (19)

تُعرّف المعادلتان (18) و (19) جوهر مسألة اقتران الأنماط العادية في علم الشمس الزلزالي. وفي الجزء المتبقي من هذه المقالة، نركز على حساب حد الاقتران ${\mathrm{\Lambda }}_k^q$ والتعبير عنه بدلالة الاضطرابات الكامنة.

2.2 توسيع الاضطرابات والدوال الذاتية على أساس

باستخدام المصطلحات التي وضعها أصلًا Lavely & Ritzwoller (1992)، نعرّف أولًا التوافقيات الكروية $Y_{\mathrm{\ell }}^m(\theta ,\varphi )$، وهي مجموعة الأساس التي تُسقَط عليها الدوال الذاتية. وسيؤدي التوافق الكروي المعمم $Y_{\mathrm{\ell }}^{Nm}=D_{Nm}^{\mathrm{\ell }}(\varphi ,\theta ,0)$، حيث إن $D_{Nm}^{\mathrm{\ell }}$ مصفوفة دوران Wigner التي تربط التوافقيات الكروية في الأطر المدارة، دورًا مهمًا أيضًا في التحليل.

يمكن كتابة الدالة الذاتية للنمط، التي تصف التذبذبات في نموذج شمسي غير دوّار وغير ممغنط ومتناظر كرويًا، باستخدام التوافقيات الكروانية على النحو ${𝝃}_k=U(r)Y_{\mathrm{\ell }}^m\widehat{𝐫}+V(r){\mathbf{\nabla }}_h{Y}_{\mathrm{\ell }}^m$، حيث يدل $k=(\mathrm{\ell },m,n)$ على نمط محدد، و${\mathbf{\nabla }}_h$ هو المشتق التغايري الأفقي (مثلًا Lavely & Ritzwoller, 1992; Christensen–Dalsgaard, 2003). وبإعادة كتابة الدالة الذاتية بدلالة التوافقيات الكروية المعممة وتبسيطها (انظر الملحق A، المعادلة [76] والمعادلة [LABEL:specuse])، نحصل على تعابير للمركبات الثلاث $(r,\theta ,\varphi )$ للدالة الذاتية،

${\xi }_{k,r}$ $=$ ${\gamma }_{\mathrm{\ell }}U(r)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m},$

${\xi }_{k,\theta }={\gamma }_{\mathrm{\ell }}V(r){\partial }_{\theta }{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}V(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

${\xi }_{k,\varphi }={\gamma }_{\mathrm{\ell }}V(r){\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}{\partial }_{\varphi }{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}$ $=$ $-i{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}V(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$ (20)

حيث إن $U(r)$ و$V(r)$ دالتان في نصف القطر فقط. وباستخدام التوافقيات الكروية المتجهة، يمكن كتابة تدفق عام متغير زمنيًا (ومن ثم معتمد على التردد) ${𝐮}_0(𝐫,\omega )$ في كرة على النحو

${𝐮}_0$ $=$ ${\displaystyle \sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{t=-s}^s}{u}_s^t(r,\omega )Y_s^t\widehat{𝐫}+v_s^t(r,\omega ){\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t-w_s^t(r,\omega )\widehat{𝐫}\times {\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t,$ (21)

$=$ ${\displaystyle \sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{t=-s}^s}{\gamma }_s[u_s^t{Y}_s^{0t}\widehat{𝐫}+v_s^t{\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^{0t}-w_s^t\widehat{𝐫}\times {\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^{0t}],$

حيث إن $s$ هو الدرجة و$t$ الرتبة السمتية. يلتقط الحدان الأولان التدفقات القطبيانية، ويمثل الحد المتبقي التدفق الحلقي. في مسألة العكس لتحديد التدفقات، يكون الهدف هو استنتاج معاملات أفضل مطابقة $u_s^t(r,\omega ),v_s^t(r,\omega ),w_s^t(r,\omega )$. تعطينا التناظرات المرتبطة بكون ${𝐮}_0$ حقيقيًا في المجال المكاني الزمني العلاقات الآتية للمعاملات،

$$u_s^{-t}(r,\omega )={(-1)}^t{[u_s^t(r,-\omega )]}^{\ast },v_s^{-t}(r,\omega )={(-1)}^t{[v_s^t(r,-\omega )]}^{\ast },w_s^{-t}(r,\omega )={(-1)}^t{[w_s^t(r,-\omega )]}^{\ast }.$$ (22)

مركبات التدفق الثلاث هي (بتطبيق المعادلتين [76] و [LABEL:specuse])،

$u_r$ $=$ ${\gamma }_s{u}_s^t{Y}_s^{0t},$ (23)

$u_{\theta }$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\gamma }_s}{\sqrt{2}}}{\mathrm{\Omega }}_0^s\left[(Y_s^{-1t}-Y_s^{1t})v_s^t-i{w}_s^t(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})\right],$ (24)

$u_{\varphi }$ $=$ $-{\displaystyle \frac{{\gamma }_s}{\sqrt{2}}}{\mathrm{\Omega }}_0^s\left[(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})i{v}_s^t+w_s^t(Y_s^{-1t}-Y_s^{1t})\right].$ (25)

باستدعاء المعادلة (18)، نسعى إلى كتابة مسألة عكس (وكذلك المسألة الأمامية) على الصورة

$\delta ⟨a_{k^{\prime }}^{\omega +\sigma }{a}_k^{\omega \ast }⟩=H(k,k^{\prime },\sigma ){\displaystyle \sum _{s=0}^{s_{\max }}}{\displaystyle \sum _{t=-s}^s}{\displaystyle {\int }_{\odot }}dr[i{u}_s^t(r,\sigma ){𝒦}_u^{st}(r;k,k^{\prime })$

$+$ $i{v}_s^t(r,\sigma ){𝒦}_v^{st}(r;k,k^{\prime })+w_s^t(r,\sigma ){𝒦}_w^{st}(r;k,k^{\prime })],$

حيث تربط الأنوية $𝒦$ حساسية معاملات التدفق $u,v,$ و$w$ بالقياسات الطيفية المتبادلة، وكان $H(k,k^{\prime },\sigma )$ قد عُرّف في المعادلة (19). تعرض المعادلة (2.2) مسألة العكس للقياسات الطيفية المتبادلة (انظر أيضًا المعادلة 35 في Woodard, 2014).

3 اقتران الأنماط الناجم عن التدفقات

نحلل الآن تكامل الاقتران الخاص بالتدفقات الذي يظهر في المعادلة (18)، أي حيث $\delta ℒ=-2i\omega \rho {𝐮}_0\cdot \mathbf{\nabla }$ (وهو ملائم في حد التدفقات عديمة المرونة، Gough, 1969)، والذي يجب تقييمه لحساب الأنوية $𝒦$،

$${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}(\sigma )=-\int 𝑑𝐫{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot \delta {ℒ}_{\sigma }{𝝃}_k=2i\omega {\int }_{\odot }𝑑𝐫\rho {𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot [{𝐮}_0(𝐫,\sigma )\cdot \mathbf{\nabla }]{𝝃}_k,$$ (27)

حيث كنا قد عرّفنا ${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}$ في المعادلة (13). يُرى أن مؤثر الاضطراب للتدفقات $\delta ℒ=-2i\omega \rho {𝐮}_0(𝐫,\sigma )\cdot \mathbf{\nabla }$ يعتمد على ترددين، $\omega$ و$\sigma$. وبما أن الأنماط لا تقترن إلا عندما تكون تردداتها متشابهة جدًا (انظر المعادلة [12] والنقاش اللاحق)، فإننا نستعمل التقريب $\omega \approx {\omega }_{\mathrm{ref}}$، حيث ${\omega }_{\mathrm{ref}}$ تردد مرجعي قريب من ترددي النمطين المقترنين. نلاحظ أن هذا التقريب ينطبق لأن درجة اقتران الأنماط تضعف سريعًا مع ازدياد الفرق بين الترددين الرنينيين. أما الأخير، $\sigma$، فهو التردد الزمني الذي يتطور عنده التدفق، أي ${𝐮}_0={𝐮}_0(𝐫,\sigma )$. وتتغير التدفقات عديمة المرونة، أي $\mathbf{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$، على مقاييس زمنية طويلة (Gough, 1969)، مما يعني أن $\sigma \ll {\omega }_{\mathrm{ref}}$.تتلقى مصفوفة الاقتران ${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}$ إسهامات من التدفقات القطبيانية $(u,v)$ والحلقية $w$. لذلك نقسم المصفوفة إلى ثلاث مركبات لتيسير حساب الأنوية،

$${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}={\mathrm{\Lambda }}^u+{\mathrm{\Lambda }}^v+{\mathrm{\Lambda }}^w,$$ (28)

حيث لا تُذكر الاعتمادات على $k$ و$k^{\prime }$ صراحة في الطرف الأيمن.

بتعريف الموتر $𝐓=\mathbf{\nabla }{𝝃}_k$ واستخدام التعابير من (78) إلى جانب تعريفات الدوال الذاتية للأنماط (20)، نحصل على المعادلة (LABEL:Tsimple). وباستخدام علاقات العودية (76)، نبسّط المعادلة (LABEL:Tsimple) أكثر،

$T_{rr}$ $=$ ${\gamma }_{\mathrm{\ell }}\dot{U}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m},$

$T_{r\theta }$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\dot{V}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1m}),$

$T_{r\varphi }$ $=$ $-i{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\dot{V}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m}),$

$T_{\theta r}$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}(U-V)(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1m}),$

$T_{\theta \theta }$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[(U-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}+V{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}}{2}}\right],$

$T_{\theta \varphi }$ $=$ $-i{r}^{-1}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}}V{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}),$

$T_{\varphi r}$ $=$ $-i{r}^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}(U-V)(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m}),$

$T_{\varphi \theta }$ $=$ $i{r}^{-1}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}}V{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}\left(Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}\right),$

$T_{\varphi \varphi }$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[(U-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}-V{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}}{2}}\right],$ (29)

حيث تشير النقطة فوق الرمز إلى مشتقه الشعاعي، أي $\dot{V}={\partial }_{r}V(r)$.

4 نواة التدفق القطبياني (معاملات $u_s^t$)

إن الجبر اللازم لحساب كل من هذه المعاملات طويل، لذلك نقصر النقاش في متن النص على معاملين، $u_s^t$ و$w_s^t$. ويتبع اشتقاق النواة الخاصة بـ$v_s^t$ الإجراء نفسه المتبع لـ$w_s^t$. ولحساب ${𝒦}_u$، ننظر في التدفقات الشعاعية في المعادلة (27)،

$${\mathrm{\Lambda }}^u=2i{\omega }_{\mathrm{ref}}{\int }_{\odot }𝑑𝐫\rho u_r(𝐫,\sigma )({\xi }_{k^{\prime },r}^{\ast }{T}_{rr}+{\xi }_{k^{\prime },\theta }^{\ast }{T}_{r\theta }+{\xi }_{k^{\prime },\varphi }^{\ast }{T}_{r\varphi }),$$ (30)

حيث وُصفت المركبات ${\xi }_{k^{\prime },}$ في المعادلة (20). وبما أن الدوال الذاتية حقيقية (يُفترض أن التخميد لا يؤثر إلا في التردد الرنيني)، نتوقف عن إظهار رموز المرافق صراحة على دوال $U$ و$V$ (المعادلة [20]). بالتعويض بتعابير الدالة الذاتية (المعادلة [20]) والموتر $T$ (المعادلة [29]) والتوسيع،

$2i{\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\displaystyle {\int }_{\odot }}d𝐫u_s^t\rho [\dot{U}{U}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{0m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}$ (31)

$+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}\dot{V}{V}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}-Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})$

$+{\displaystyle \frac{1}{2}}\dot{V}{V}^{\prime }{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}+Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})],$

$=$ $2i{\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\displaystyle {\int }_{\odot }}d𝐫u_s^t\rho \{\dot{U}{U}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{0m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}+{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}\dot{V}{V}^{\prime }[{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{1m}$

$+{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{-1m}]\},$

حيث تنتمي $U^{\prime },V^{\prime }$ إلى الدالة الذاتية ${𝝃}_{k^{\prime }}$. يكون معامل Wigner 3-$j$ مع $N=0$ معدومًا ما لم يكن ${\mathrm{\ell }}^{\prime }+s+\mathrm{\ell }$ زوجيًا، وهو ما يبرر ظهور الحد $1+{(-1)}^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }+s+\mathrm{\ell }}$ في تعريف معامل $B$ (انظر الملحق A).

${\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫u_s^t\rho \dot{U}{U}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{0m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}=$ (32)

$=$

بعد ذلك نبسّط الحدود الآتية كما يلي

${\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫u_s^t\rho \dot{V}{V}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{1m}$

$=$

و

${\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫u_s^t\rho \dot{V}{V}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{0t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{-1m}$

$=$

$=$

حيث استخدمنا في المعادلة (LABEL:maniple) معالجة قياسية لرمز Wigner (انظر، على سبيل المثال، الملحق C، القسم d من Lavely & Ritzwoller, 1992). ويعطي مجموع هذه الحدود التعبير عن نواة $u_s^t$،

(35)

وتكون مسألة العكس لمعاملات $u$، استنادًا إلى المعادلتين (18) و (28)، هي

$${\mathrm{\Lambda }}^u=\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\int }_{\odot }𝑑ri{u}_s^t(r,\sigma ){𝒦}_u^{st}(r;k,k^{\prime }),$$ (36)

حيث إن ${\mathrm{\Lambda }}^u$ هو إسهام التدفقات الشعاعية في القياس الطيفي المتبادل بين النمطين $k,k^{\prime }$. وهذا هو الحد الأول من التعبير (2.2) الذي كنا نسعى إليه.

5 نواة التدفق القطبياني (معاملات $v_s^t$)

لا نشتق النواة هنا، بل نوردها من أجل الاكتمال. نلاحظ أنها مطابقة لما اشتقه Lavely & Ritzwoller (1992) في معادلتهم (C33)،

(37)

ومسألة العكس مشابهة لتلك المعروضة في المعادلات (18)، (28) و (36)

$${\mathrm{\Lambda }}^v=\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\int }_{\odot }𝑑ri{v}_s^t(r,\sigma ){𝒦}_v^{st}(r;k,k^{\prime }).$$ (38)

وهذا هو الحد الثاني في التعبير الهدف (2.2).

6 نواة التدفق الحلقي (معاملات $w_s^t$)

نجمع الإسهامات من مجموعتين من الحدود

${\mathrm{\Lambda }}^w(\sigma )=2i{\omega }_{\mathrm{ref}}{\displaystyle \int 𝑑𝐫\rho [u_{\theta }(𝐫,\sigma )T_{\theta r}{\xi }_{k^{\prime },r}^{\ast }+u_{\theta }(𝐫,\sigma )T_{\theta \theta }{\xi }_{k^{\prime },\theta }^{\ast }+u_{\theta }(𝐫,\sigma )T_{\theta \varphi }{\xi }_{k^{\prime },\varphi }^{\ast }]}$

$+2i{\omega }_{\mathrm{ref}}{\displaystyle \int 𝑑𝐫\rho [u_{\varphi }(𝐫,\sigma )T_{\varphi r}{\xi }_{k^{\prime },r}^{\ast }+u_{\varphi }(𝐫,\sigma )T_{\varphi \theta }{\xi }_{k^{\prime },\theta }^{\ast }+u_{\varphi }(𝐫,\sigma )T_{\varphi \varphi }{\xi }_{k^{\prime },\varphi }^{\ast }]}.$ (39)

ندرس بعض الحدود هنا.

6.1 تحليل $u_{\theta }{T}_{\theta r}{\xi }_{k^{\prime },r}^{\ast }$

ندرس الحد الأول في التكامل في المعادلة (39)،

$$2{\omega }_{\mathrm{ref}}\frac{{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}{\int }_{\odot }𝑑𝐫\rho w_s^t{r}^{-1}(U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime }){\mathrm{\Omega }}_0^s{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{0m^{\prime }})}^{\ast }(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})$$ (40)

$=$ $-2{\omega }_{\mathrm{ref}}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}}{\displaystyle {\int }_{\odot }}dr\rho w_s^t{r}^2\mathrm{\hspace{0.17em}4}\pi {(-1)}^{m^{\prime }}{r}^{-1}(U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime }){\mathrm{\Omega }}_0^s{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}\times$

$=$ $-2{\omega }_{\mathrm{ref}}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}}{\displaystyle {\int }_{\odot }}dr\rho w_s^t{r}^2\mathrm{\hspace{0.17em}4}\pi {(-1)}^{m^{\prime }}{r}^{-1}(U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime }){\mathrm{\Omega }}_0^s{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}\times$

(41)

6.2 تحليل $u_{\theta }{T}_{\theta \theta }{\xi }_{k^{\prime },\theta }^{\ast }$

نركز الآن على الحد الثاني في التكامل في المعادلة (39)،

$2{\omega }_{\mathrm{ref}}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{2}}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\mathrm{\Omega }}_0^s{\displaystyle {\int }_{\odot }}d𝐫\rho w_s^t{r}^{-1}{V}^{\prime }{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}-Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})\times$ (42)

$\left[(U-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}+V{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}}{2}}\right]$

$=$ $2{\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\displaystyle {\int }_{\odot }}d𝐫\rho w_s^t{r}^{-1}\{{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\mathrm{\Omega }}_0^s}{2}}(U{V}^{\prime }-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V{V}^{\prime }){(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}-Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}$

$+V{V}^{\prime }{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\mathrm{\Omega }}_0^s{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}-Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t}){\displaystyle \frac{Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}}{4}}\}$

$=$ $-2{\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{\displaystyle {\int }_{\odot }}d𝐫\rho w_s^t{r}^{-1}\{-{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\mathrm{\Omega }}_0^s}{2}}(U{V}^{\prime }-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V{V}^{\prime }){(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }}-Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }(Y_s^{-1t}+Y_s^{1t})Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}$

$-{\displaystyle \frac{V{V}^{\prime }}{4}}{\mathrm{\Omega }}_0^{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\mathrm{\Omega }}_0^s{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}[{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{-1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{1t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{-2m}-{(Y_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{1m^{\prime }})}^{\ast }{Y}_s^{-1t}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{2m}]\}$

$=$

$=$

$=$

6.3 المجموع الكلي

على الرغم من طول هذا التحليل، يمكن تطبيقه على الحدود المتبقية في المعادلة (39). بجمع جميع الحدود معًا، نحصل على

${\mathrm{\Lambda }}^w=8\pi {\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{(-1)}^{m^{\prime }}{\displaystyle {\int }_{\odot }}dr\rho w_s^{t}r\{-(U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime })B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)-}+(U{V}^{\prime }-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V{V}^{\prime })B_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)-}$

(43)

تُعطى نواة معاملات $w$ بالصيغة

${𝒦}_w^{st}=8\pi {\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{(-1)}^{m^{\prime }}\rho r\{-(U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime })B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)-}+(U{V}^{\prime }-{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}V{V}^{\prime })B_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)-}$

(44)

ومسألة العكس مشابهة لتلك المعروضة في المعادلات (18)، (28)، (36) و (38)

$${\mathrm{\Lambda }}^w(\sigma )=\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\int }_{\odot }𝑑r{w}_s^t(r,\sigma ){𝒦}_w^{st}(r;k,k^{\prime }).$$ (45)

نلاحظ اختلاف الإشارة في حد $U{U}^{\prime }-V{U}^{\prime }$ لنواة $w_s^t$ المعطاة في المعادلة (44) والمعادلة (C34) من Lavely & Ritzwoller (1992)؛ ويبدو أن هؤلاء ارتكبوا أخطاءً مطبعية. المعادلة (45) هي الحد الثالث من مسألة العكس المطروحة في (2.2).

7 أنوية التدفقات عديمة المرونة

ينطبق شرط انعدام المرونة على التدفقات (Gough, 1969)، $\mathbf{\nabla }\cdot [\rho {𝐮}_0(𝐫,\sigma )]=0$، على التدفقات ذات عدد Mach صغير في البيئات المتطبقة، وهو ملائم للتدفق الحملي في باطن الشمس (بعيدًا عن الطبقات السطحية). من حيث المبدأ، سيجعل التدفق المتغير زمنيًا معادلة الاستمرارية تحتوي أيضًا على مشتقة زمنية للكثافة. نهمل ذلك على أساس أن الإشارات الزلزالية تتأثر بالحد الأدنى بتغيرات الكثافة. ويترتب على شرط اللادوّامية على $\rho {𝐮}_0$ النتائج الآتية

$\mathbf{\nabla }\cdot (\rho {𝐓}_s^t)=-\mathbf{\nabla }\cdot (\rho (r)w_s^t(r)\widehat{𝐫}\times {\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t)$

$=-{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{\partial }_r(r^2\rho w_s^t)\widehat{𝐫}\cdot (\widehat{𝐫}\times {\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t)-\rho w_s^t(r){\mathbf{\nabla }}_h\cdot (\widehat{𝐫}\times {\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t)=0,$

$\mathbf{\nabla }\cdot (\rho {𝐏}_s^t)=\mathbf{\nabla }\cdot (\rho u_s^t(r)Y_s^t\widehat{𝐫}+\rho v_s^t(r){\mathbf{\nabla }}_h{Y}_s^t)=\left[{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{\partial }_r(r^2\rho u_s^t)-{\displaystyle \frac{s(s+1)}{r}}\rho v_s^t\right]Y_s^t=0,$ (46)

حيث إن ${𝐓}_s^t$ و${𝐏}_s^t$ هما المركبتان الحلقية والقطبيانية للتدفق.

لننظر في نواة معاملات $u_s^t$، أي ${𝒦}_u$ (المعادلة [35]). نُدخل الرمز $ℱ$ الذي يتضمن جميع العوامل غير المعتمدة على $r$ بحيث

$${𝒦}_u^{st}(r)=\rho r^2{u}_s^t(U^{\prime }\dot{U}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }\dot{V}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+})ℱ.$$ (47)

والآن تكون مسألة العكس، المعطاة في المعادلة (36)، هي

$iℱ{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r\rho r^2{u}_s^t(U^{\prime }\dot{U}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }\dot{V}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+})=$

$iℱ{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r{\displaystyle \frac{\rho r^2{u}_s^t}{2}}[(U^{\prime }\dot{U}+U{\dot{U}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+(V^{\prime }\dot{V}+V{\dot{V}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}]$ (48)

$+iℱ{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r{\displaystyle \frac{\rho r^2{u}_s^t}{2}}[(U^{\prime }\dot{U}-U{\dot{U}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+(V^{\prime }\dot{V}-V{\dot{V}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}].$ (49)

الحد (48) متناظر بين الدالتين الذاتيتين ذات الشرطة ومن دونها، في حين أن الحد (49) مضاد للتناظر. ومع ذلك، فإن وجود $i$ مضروبًا مسبقًا في كلا الحدين يشير إلى أن الحدين هرميتي (49) ومضاد هرميتي (48) على الترتيب. إن نواة التدفق عديم المرونة المعدلة لـ$u$، المشار إليها بـ${\widetilde{𝒦}}_u^{st}$، ستحتوي فقط على الحد الهرميتي، وتُعطى بالصيغة

(50)

المعادلة (50)، وهي نواة التدفق عديم المرونة لـ$u$، مطابقة للتعبير (D18) في Lavely & Ritzwoller (1992). يُزال الحد المضاد للهرميتية بالتكامل بالأجزاء،

$iℱ{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r{\displaystyle \frac{\rho r^2{u}_s^t}{2}}[(U^{\prime }\dot{U}+U{\dot{U}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+(V^{\prime }\dot{V}+V{\dot{V}}^{\prime })B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}]=$

$iℱ{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r\left[{\partial }_r\left(\rho r^2{u}_s^t{\displaystyle \frac{U^{\prime }U{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }V{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{U^{\prime }U{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }V{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}}{2}}{\partial }_r(\rho r^2{u}_s^t)\right]$ (51)

$=-iℱ{\displaystyle \frac{s(s+1)}{2}}{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑r\rho r{v}_s^t(U^{\prime }U{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }V{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}),$ (52)

حيث افترضنا أن $u_s^t$ يساوي صفرًا عند الحدود (مما يجعل حد المشتق الكلي يسقط)، وحيث نستخدم شرط انعدام التباعد (46). لذلك يسهم الحد المتناظر، أي المعادلة (48)، في نواة معاملات $v$. والآن، لتصحيح ${𝒦}_v^{st}$ بغية أخذ الحد (52) في الحسبان، نُدخل أولًا العلاقات الآتية (انظر الملحق D، المعادلة D7 من Lavely & Ritzwoller, 1992)،

(53)

لننظر في تعريف $B_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)+}$ (الملحق A)،

في معادلة ${𝒦}_v$ في المعادلة (37)، نعالج زوج الحدود

$-{\displaystyle \frac{V^{\prime }V}{2}}\{{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)-s(s+1)-\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)\}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}={\displaystyle \frac{V^{\prime }V}{2}}\{s(s+1)+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)\}{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}.$ (54)

بالتعويض بالتعبير (54) في المعادلة (37)، وإضافة الحد (52)، نحصل على تعبير للصيغة عديمة المرونة لنواة $v$، المشار إليها بـ${\widetilde{𝒦}}_v$،

$+{\displaystyle \frac{V^{\prime }V}{2}}[s(s+1)+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)]B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}+U{V}^{\prime }{B}_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)+}-V{U}^{\prime }{B}_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)+}\}.$ (55)

بتطبيق العلاقة $B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)+}=\frac{1}{2}[s(s+1)+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)]B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(0)+}$ و$B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(0)+}=B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}$ (المعادلتان C45 وC46 من Lavely & Ritzwoller, 1992)، نبسّط المعادلة (55) أكثر لنحصل على النواة عديمة المرونة لـ$v$،

$\left\{{\displaystyle \frac{U{U}^{\prime }{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(0)+}+V^{\prime }V{B}_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)+}}{2}}[\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)]+U{V}^{\prime }{B}_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)+}-V{U}^{\prime }{B}_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)+}\right\}.$ (56)

المعادلة (56)، وهي نواة التدفق عديم المرونة لـ$v$، مطابقة للتعبير (D19) في Lavely & Ritzwoller (1992). نلاحظ أن $B_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)+}=B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }s}^{(1)+}$ و$B_{s{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }}^{(1)+}=B_{\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }s}^{(1)+}$ يتحققان دائمًا.

بعد ذلك، نعالج الحدود التي تتضمن $V{V}^{\prime }$ في التعبير عن ${𝒦}_w$ في المعادلة (44)،

(57)

نستخدم الهويات $B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)-}=B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }\mathrm{\ell }s}^{(1)-}=B_{s\mathrm{\ell }{\mathrm{\ell }}^{\prime }}^{(1)-}$ (مثلًا، المعادلة 46 من Lavely & Ritzwoller, 1992, والمراجع الواردة فيها) و

${\displaystyle \frac{1}{2}}[{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)-\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-s(s+1)]B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)-},$ (58)

فنحصل على العلاقة الآتية

${\displaystyle \frac{1}{2}}[{\mathrm{\ell }}^{\prime }({\mathrm{\ell }}^{\prime }+1)+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)-s(s+1)]B_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }s\mathrm{\ell }}^{(1)-}.$ (59)

بإعادة ترتيب المعادلة (44)، نحصل على تعبير مبسط لنواة معاملات $w$، المشار إليها بـ${\widetilde{𝒦}}_w^{st}$،

${\widetilde{𝒦}}_w^{st}=8\pi {\omega }_{\mathrm{ref}}{\gamma }_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}{\gamma }_s{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{(-1)}^{m^{\prime }}\rho r\{-U{U}^{\prime }+V{U}^{\prime }+U{V}^{\prime }$

(60)

المعادلتان (60) و (44) متطابقتان بالضرورة، لأن التدفقات الحلقية تحقق الاستمرارية تلقائيًا. والنواة عديمة المرونة (60) مطابقة للتعبير (D20) في Lavely & Ritzwoller (1992) في موضعين؛ ويبدو بالفعل أن الخطأ المطبعي لم ينتقل من معادلتهم (C34). وأخيرًا، مع الملاحظة مرة أخرى من معادلة الاستمرارية أن

$$\rho v_s^t=\frac{r{\partial }_r(\rho u_s^t)+2\rho u_s^t}{s(s+1)},$$ (61)

نعوض بالتعبير (61) عن $v_s^t$ لنحصل على مسألة العكس المقيدة الآتية للتدفقات عديمة المرونة التي لا تحتوي إلا على معلمتين قياسيتين،

$$\delta ⟨a_{k^{\prime }}^{\omega +\sigma }{a}_k^{\omega \ast }⟩=H(k,k^{\prime },\sigma )\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\int }_{\odot }𝑑ri{u}_s^t(r){\overline{𝒦}}_u^{st}(r;k,k^{\prime })+w_s^t(r){\widetilde{𝒦}}_w^{st}(r;k,k^{\prime }),$$ (62)

حيث نفترض أن الدالة $u_s^t{\widetilde{𝒦}}_v$ تنعدم عند الحد وأن

$${\overline{𝒦}}_u^{st}={\widetilde{𝒦}}_u^{st}+\frac{{\partial }_r(r\ln \rho ){\widetilde{𝒦}}_v^{st}-r{\partial }_r{\widetilde{𝒦}}_v^{st}}{s(s+1)}.$$ (63)

نلاحظ أن صياغتنا لمسألة العكس تختلف عن صياغة Lavely & Ritzwoller (1992) من حيث إننا نعكس لدالتين قياسيتين فقط، إحداهما مركبة قطبيانية $u_s^t$ والأخرى المركبة الحلقية، $w_s^t$. ومن $u_s^t$، نحصل على المركبة القطبيانية الأخرى $v_s^t$ باستخدام معادلة الاستمرارية، أي تحديدًا المعادلة (61). ويمثل حساب رموز Wigner-3$j$ للدرجات والرتب العالية (أي $\mathrm{\ell }>80$ مثلًا) تحديًا غير يسير. ونستخدم في هذه الحسابات تنفيذًا لخوارزمية وصفها Schulten & Gordon (1975)، جرى تنزيله من مكتبة SLATEC. في الشكلين 1 و 3، نعرض رسومًا لأنوية مقيدة بالاستمرارية لـ$u_s^t$ و$w_s^t$ على الترتيب.

Figure 1: أمثلة على ${\overline{𝒦}}_u(r)$ المقيدة بالاستمرارية (المعادلة [63]) لتفسير القياسات الطيفية المتبادلة بين مجموعة متنوعة من الرتب الشعاعية $n,n^{\prime }$ و$\mathrm{\ell }=120$، ${\mathrm{\ell }}^{\prime }=121$ و$s=21$. يشير الحدان $B^{(0)+}$ و$B^{(1)+}$ في تعبير النواة إلى أنها لا تكون غير معدومة إلا لـ$\mathrm{\ell }+s+{\mathrm{\ell }}^{\prime }$ الزوجية ولـ$(\mathrm{\ell },n)\ne ({\mathrm{\ell }}^{\prime },n^{\prime })$. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (63)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل سعة النواة وإشارتها الكلية. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1).

Figure 2: أمثلة على ${\widetilde{𝒦}}_w(r)$ ذات الاقتران الذاتي (المعادلة [60]) مع $s=21$، و$\mathrm{\ell }=120={\mathrm{\ell }}^{\prime }$ و$n^{\prime }=n$. يشير الحد $B^{(1)-}$ في تعبير النواة إلى أنها لا تكون غير معدومة إلا لـ$\mathrm{\ell }+s+{\mathrm{\ell }}^{\prime }$ الفردية. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (60)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل سعة النواة وإشارتها الكلية. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1). لا تُظهر نواة النمط $n=0$ أو النمط $f$ أي عقد في نصف القطر، في حين أن أنوية $n$ الأعلى لها $n$ عقد شعاعية.

Figure 3: أمثلة على ${\widetilde{𝒦}}_w(r)$ ذات الاقتران المتبادل (المعادلة [60]) مع $s=21$، $\mathrm{\ell }=121={\mathrm{\ell }}^{\prime }$. يساوي عدد العقد في نصف القطر لنواة الطيف المتبادل العدد الأقصى لعقد الدوال الذاتية المكوِّنة. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (60)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل سعة النواة وإشارتها الكلية. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1).

يعرض الشكل 4 أنوية التدفقات القطبيانية عديمة المرونة المستندة إلى المعادلة (63)، والتي نسميها “عديمة المرونة بالكامل” لأنها تختزل الاستدلال إلى عكس ذي حد واحد، مقارنة بالتعبيرين (50) و (56)، اللذين يؤديان إلى مسألة عكس ذات حدين (زائدة) لـ$u_s^t$ و$v_s^t$ (موصوفة أيضًا في Lavely & Ritzwoller, 1992).

Figure 4: أمثلة على أنوية الاقتران الطيفي المتبادل ${\widetilde{𝒦}}_u(r)$ (المعادلة [50])، و${\widetilde{𝒦}}_v(r)$ (المعادلة [56]) و${\overline{𝒦}}_u(r)$ (المعادلة [63]) مع $s=21$. عُدّلت النواتان ${\widetilde{𝒦}}_u$ و${\widetilde{𝒦}}_v$ لأخذ معادلة الاستمرارية في الحسبان. غير أن Lavely & Ritzwoller (1992) يبدو أنهم أغفلوا أن التدفقات عديمة المرونة لا تتطلب إلا واحدًا من معاملي التوسيع. وباستيعاب هذا الشرط، نحصل على مسألة عكس للتدفقات القطبيانية تحتوي على حد واحد فقط، ${\overline{𝒦}}_u(r)$. في الحالات المعروضة هنا، تختلف النواة عديمة المرونة ذات الحد الواحد (المعادلة [50]) بوضوح عن أجزائها المكوِّنة. إن رموز Wigner-3$j$ في تعابير الأنوية في المعادلات (50)، و (56) و (63)، التي ترمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا تعمل في هذا الرسم إلا على تعديل السعة والإشارة الكلية للأنوية. لذلك نهملها هنا (بجعلها مساوية لـ1).

في الأشكال 5 إلى  7، نقارن أنوية التدفق القطبياني المحسوبة باستخدام المعادلة (56)، وأنوية التدفقات الحلقية باستخدام المعادلة (60)، بالتعابير التقاربية الموافقة (انظر المعادلات 43 إلى 47 في Woodard, 2014)،

$$K_v^{\mathrm{asymp}}={(-1)}^{\mathrm{\ell }}irg(s,{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell })\rho {\mathrm{\ell }}^{\frac{3}{2}}[U_{n\mathrm{\ell }}^2+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)V_{n\mathrm{\ell }}^2],$$ (64)

و

$$K_w^{\mathrm{asymp}}={(-1)}^{\mathrm{\ell }}{r}^{2}f(s,{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell })\rho {\mathrm{\ell }}^{\frac{3}{2}}[U_{n\mathrm{\ell }}^2+\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)V_{n\mathrm{\ell }}^2],$$ (65)

حيث إن المعادلتين (64) و (65) أنوية تقاربية حساسة لمركبتي التدفق القطبياني والحلقي $v$ و$w$ على الترتيب، و$f$ و$g$ تعابير تقاربية لرموز Wigner-3$j$ في الحد $s\ll \mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }$ (Vorontsov, 2011; Dahlen & Tromp, 1998) و$|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|\ll s$. تفترض هذه التعابير أيضًا $|\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\prime }|\ll \mathrm{\ell }$ و$n=n^{\prime }$، مما يتيح التقريب $U\approx U^{\prime }$ و$V\approx V^{\prime }$. وبما أن دوالًا ذاتية لنمط $(n,\mathrm{\ell })$ واحد فقط تظهر في التعبير، فلا يمكن لهذه الأنوية التقاربية أن تأخذ في الحسبان الاقتران المتقاطع في $\mathrm{\ell },n$. وتتفق التقاربات جيدًا مع التعابير الدقيقة حتى في الحالات التي يكون فيها $s$ قابلًا للمقارنة مع $\mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }$ و$|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|$.

Figure 5: مقارنة بين التعبير الدقيق لنواة مركبة التدفق القطبياني $v_s^t$ (المعادلة [56]) والتقاربات (انظر المعادلة 64 و Woodard, 2014) للرتب الشعاعية $n=2=n^{\prime }$. طُبّعت الأنوية بقيمها العظمى الموافقة لتيسير المقارنة. ولكي تكون النواة غير معدومة، نحتاج إلى $|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|\le s$. ويُرى أنه عندما يكون الفرق بين $|\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\prime }|\ll s$ و$s\ll \mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }$، تعيد التعابير التقاربية إنتاج النواة الدقيقة بدقة. وعندما يصبح $|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|$ قابلًا للمقارنة مع $s$، تبدأ التقاربات بالانحراف قليلًا عن الأنوية الدقيقة. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (56)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل سعة النواة وإشارتها الكلية. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1).

Figure 6: مقارنة بين التعبير الدقيق لنواة مركبة التدفق الحلقي $w_s^t$ (المعادلة [60]) والتقاربات (انظر المعادلة 65 و Woodard, 2014) للرتب الشعاعية $n=2=n^{\prime }$. طُبّعت الأنوية بقيمها العظمى الموافقة لتيسير المقارنة. ولكي تكون النواة غير معدومة، نحتاج إلى $|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|\le s$. ويُرى أنه عندما يكون الفرق بين $|\mathrm{\ell }-{\mathrm{\ell }}^{\prime }|\ll s$ و$s\ll \mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }$، تعيد التعابير التقاربية إنتاج النواة الدقيقة بدقة. وعندما يصبح $|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|$ قابلًا للمقارنة مع $s$، تبدأ التقاربات بالانحراف قليلًا عن الأنوية الدقيقة. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (60)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل السعة والإشارة الكلية في هذا الرسم. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1).

Figure 7: مقارنة بين التعبير الدقيق لنواة مركبة التدفق الحلقي $w_s^t$ (المعادلة [60]) والتقاربات (انظر المعادلة 65 و Woodard, 2014) للرتب الشعاعية $n=4=n^{\prime }$. طُبّعت الأنوية بقيمها العظمى الموافقة لتيسير المقارنة. ولكي تكون النواة غير معدومة، نحتاج إلى $|{\mathrm{\ell }}^{\prime }-\mathrm{\ell }|\le s$. على الرغم من أن $s$ قابل للمقارنة مع $\mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }$، فإن التعابير التقاربية تعيد إنتاج النواة الدقيقة بدقة نسبية، وإن بدا أن ثمة عدم تطابق عند نقطة الانعطاف السفلى. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (60)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل السعة والإشارة الكلية في هذا الرسم. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1).

8 أنوية اضطرابات سرعة الصوت

باستدعاء معادلة الموجة (1)، تؤثر شذوذات سرعة الصوت في حقل الموجات عبر مؤثر الاضطراب $\delta {ℒ}_{\omega }=-\mathbf{\nabla }[\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot ]$، حيث قد يكون $c=c(𝐫,\omega )$ متغيرًا زمنيًا. وتكامل الاقتران الناتج عن هذا الاضطراب، المعطى بالمعادلة (13)، هو

$${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}(\sigma )={\int }_{\odot }𝑑𝐫{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot \mathbf{\nabla }(\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k)=-2{\int }_{\odot }𝑑𝐫\delta (\ln c)\rho c^2\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k,$$ (66)

حيث تكون سرعة الصوت موجبة التعريف ومتغيرة زمنيًا، وحيث أهملنا حدود الحافة (أي بافتراض أن $\delta c=0$ عند الحد الخارجي). نوسّع الآن $\delta \ln c$ في التوافقيات الكروية،

$$\delta \ln c=\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{c}_s^t(r,\sigma )Y_s^t=\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\gamma }_s{c}_s^t{Y}_s^{0t},$$ (67)

حيث إنه، لأن $c$ حقيقي في المجال المكاني الزمني، فإن $c_s^{-t}(r,\sigma )={(-1)}^t{[c_s^t(r,-\sigma )]}^{\ast }$، و

$$\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k=Tr(𝐓)=\left[\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^{2}U)-\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{r}V\right]Y_{\mathrm{\ell }}^m=\left[\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^{2}U)-\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{r}V\right]{\gamma }_{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m},$$ (68)

حيث عُرّف الموتر $𝐓$ في المعادلة (29)، ويمكن حساب الأثر على الصورة $Tr(𝐓)=T_{rr}+T_{\theta \theta }+T_{\varphi \varphi }$. باستخدام المعادلة (29) لحساب الأثر، والتعويض به في المعادلة (66) والتبسيط، نحصل على التعبير الآتي لنواة لوغاريتم سرعة الصوت،

$\left[{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{\partial }_r(r^{2}U)-{\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{r}}V\right]$

(69)

نلاحظ أنه يمكننا أخذ التغيرات الزمنية لشذوذات سرعة الصوت في الحسبان بالطريقة نفسها تمامًا كما فعلنا مع التدفقات (انظر المعادلة [18]). ومن ثم يمكن كتابة مسألة العكس على الصورة

$$\delta ⟨a_{k^{\prime }}^{\omega +\sigma }{a}_k^{\omega \ast }⟩=H(k,k^{\prime },\sigma )\sum _{s=0}^{s_{\max }}\sum _{t=-s}^s{\int }_{\odot }𝑑r{𝒦}_c^{st}{c}_s^t(r,\sigma ),$$ (70)

حيث يمثل $c_s^t(r,\sigma )$ المعامل المرتبط بشذوذ سرعة الصوت المرشح زمنيًا عند التردد $\sigma$. نعيد بناء سرعة الصوت على النحو الآتي

$$c(𝐫,\sigma )=c_0(r)\exp \left(\sum _{s,t}{c}_s^t(r,\sigma )Y_s^t\right),$$ (71)

حيث إن $c_0(r)$ سرعة الصوت المرجعية للنموذج الشمسي المتناظر كرويًا الذي حُسبت له الدوال الذاتية. وتُعرض أمثلة على أنوية اضطرابات سرعة الصوت في الشكل 8.

Figure 8: أمثلة على ${𝒦}_c(r)$ ذات الاقتران الذاتي (المعادلة [69]) مع $s=22$، و$\mathrm{\ell }=120={\mathrm{\ell }}^{\prime }$ و$n^{\prime }=n$. يشير الحد $B^{(0)+}$ في تعبير النواة إلى أنها لا تكون غير معدومة إلا لـ$\mathrm{\ell }+s+{\mathrm{\ell }}^{\prime }$ الزوجية. إن رمز Wigner-3$j$ في تعبير النواة في المعادلة (60)، الذي يرمّز الاعتمادات على $m,m^{\prime }$ و$t$، لا يعمل إلا على تعديل سعة النواة وإشارتها الكلية. لذلك نهمله هنا (بجعله مساويًا لـ1). تكون أنماط $p$ في المقام الأول حساسة لاضطرابات سرعة الصوت. ولأنوية الأنماط ذات الرتبة الشعاعية $n$ عدد $n$ من العقد في نصف القطر.

9 مناقشة

يمثل استخدام قياسات الأنماط العادية الطيفية المتبادلة في علم الشمس الزلزالي مسارًا واعدًا لدراسة بنية التدفقات الحملية، والدورانات واسعة النطاق، والشذوذات الحرارية في باطن الشمس. ويمكن العثور على وصف لعملية القياس المطبقة للحصول على الأطياف المتبادلة، على سبيل المثال، في Woodard (2016). في هذه المقالة، اشتققنا وحسبنا أنوية للتدفقات واضطرابات سرعة الصوت. كما عالجنا أوجه عدم اتساق طفيفة في نظرية اقتران الأنماط في علم الشمس الزلزالي التي وضعها Lavely & Ritzwoller (1992). ومع أخذ القيد الذي تفرضه معادلة الاستمرارية على التدفقات في الحسبان، نعيد أيضًا صياغة مسألة العكس لدالتين قياسيتين. وباختصار، تُعطى مسألة العكس للتدفقات الحافظة للاستمرارية في المعادلة (62)، حيث تُعرّف الأنوية والكميات المرتبطة بها في المعادلات (63)، و (50)، و (56)، و (60). وتُوصف رموز أخرى ذات صلة ووسيلة لإعادة حساب حقل التدفق في المجال المكاني في المعادلات (61)، و (19)، و (21). وتُوصف مسألة العكس الخاصة باضطرابات سرعة الصوت في المعادلة (70)، كما تُوصف التعابير المرتبطة للأنوية وإعادة بناء سرعة الصوت في المجال المكاني في المعادلات (69)، و (19) و (71).

يمكن استخدام الأنوية المحسوبة هنا لدراسة طائفة من بنى التدفق المتغيرة زمنيًا، مثل التحبب الفائق والحمل واسع النطاق، والتدفق الزوالي واضطرابات سرعة الصوت المرتبطة به (إن أمكن قياسها). كما يمكن اعتماد الصياغة هنا لنموذج ابتدائي ذي دوران تفاضلي باستخدام نظرية الاضطراب المبينة، مثلًا، في Gough (1990). والواقع أن النظرية يمكن أن تمتد لاستنتاج المغناطيسية الداخلية، وإن كانت النظرية تتعقد بسبب أن هذه القياسات لا تتحسس المجال المغناطيسي مباشرة، بل موتر إجهاد Lorentz. ويتمثل أحد سبل المضي قدمًا في إعادة صياغة المغناطوهيدروديناميكا الخطية كمسألة مرونة ديناميكية مناظرة، واستخدام الأدبيات الجيوفيزيائية للحصول على تعابير أنوية الحساسية لموتر سرعة الموجة من الرتبة الرابعة (مثلًا Woodhouse, 1980; Dahlen & Tromp, 1998).

الشكر والتقدير

يشكر SMH وLG وKRS NYUAD’s Center for Space Science. ويقر SMH بالدعم من برنامج مجموعة الشراكة Max-Planck وزمالة Ramanujan SB/S2/RJN-73. ويقر MFW بالدعم من منحة NASA رقم NNX14AH84G.

Appendix A قائمة الرموز

${\gamma }_{\mathrm{\ell }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\mathrm{\ell }+1}{4\pi }}},$ (72)

${\mathrm{\Omega }}_N^{\mathrm{\ell }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{\ell }+N)(\mathrm{\ell }-N+1)}.$ (73)

نلاحظ أن ${\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}={\mathrm{\Omega }}_1^{\mathrm{\ell }}$، و${\mathrm{\Omega }}_{-1}^{\mathrm{\ell }}={\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}.$

هوية مفيدة تتضمن رموز Wigner-3$j$ هي

(74)

لرمز Wigner-3$j$ عدد من خواص التناظر، ويجب أن تحقق المعلمات المكوّنة له ($N,\mathrm{\ell }$ وغيرها) طائفة من الشروط لكي يكون غير معدوم. لا نصف هذه الشروط هنا، بل نحيل القارئ إلى، مثلًا، الملحق C، القسم d من Lavely & Ritzwoller (1992) للاطلاع على قائمة مفصلة بالخواص. يرمز معامل $B$، الذي يستعمله Woodhouse (1980) وLavely & Ritzwoller (1992)، إلى اختزال كبير في العبء الرمزي، لذلك نعرّفه ونطبقه في تحليلنا،

(75)

Appendix B علاقات مفيدة

$Y_{\mathrm{\ell }}^{Nm}(\theta ,\varphi )$ $=$ $D_{Nm}^{\mathrm{\ell }}(\varphi ,\theta ,0)=d_{Nm}^{\mathrm{\ell }}(\theta )e^{im\varphi },$

$Y_{\mathrm{\ell }}^m(\theta ,\varphi )$ $=$ ${\gamma }_{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}(\theta ,\varphi ),$

${\displaystyle \frac{\partial Y_{\mathrm{\ell }}^{Nm}}{\partial \theta }}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}({\mathrm{\Omega }}_N^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{N-1,m}-{\mathrm{\Omega }}_{N+1}^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{N+1,m}),$

${\displaystyle \frac{(N\cos \theta -m)}{\sin \theta }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{Nm}$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}({\mathrm{\Omega }}_N^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{N-1,m}+{\mathrm{\Omega }}_{N+1}^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{N+1,m}).$ (76)

العلاقات الآتية مفيدة على نحو خاص

${\displaystyle \frac{\partial Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}}{\partial \theta }}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

$-m\mathrm{cosec}\theta Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

${\partial }_{\theta }(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left[{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{2m})-2{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}\right]$

${\partial }_{\theta }(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\left(Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}\right),$

$m\mathrm{cosec}\theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})+\cot \theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})$ $=$ ${\displaystyle \frac{\cos \theta -m}{\sin \theta }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{1m}-{\displaystyle \frac{-\cos \theta -m}{\sin \theta }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{-1m},$

$=$ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\left(Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m}\right),$

$\cot \theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})+m\mathrm{cosec}\theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})$ $=$ $-{\displaystyle \frac{-\cos \theta -m}{\sin \theta }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{-1m}-{\displaystyle \frac{\cos \theta -m}{\sin \theta }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{1m}$

$=$ $-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left[{\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{2m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{-2m})+2{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}\right].$

نلاحظ العلاقات الآتية،

${\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝐫}}{\partial r}}$ $=$ $0,{\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝐫}}{\partial \theta }}=\widehat{𝜽},{\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝐫}}{\partial \varphi }}=\widehat{\mathit{\varphi }}\sin \theta ,$

${\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝜽}}{\partial r}}$ $=$ $0,{\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝜽}}{\partial \theta }}=-\widehat{𝐫},{\displaystyle \frac{\partial \widehat{𝜽}}{\partial \varphi }}=\widehat{\mathit{\varphi }}\cos \theta ,$

${\displaystyle \frac{\partial \widehat{\mathit{\varphi }}}{\partial r}}$ $=$ $0,{\displaystyle \frac{\partial \widehat{\mathit{\varphi }}}{\partial \theta }}=0,{\displaystyle \frac{\partial \widehat{\mathit{\varphi }}}{\partial \varphi }}=-\widehat{𝐫}\sin \theta -\widehat{𝜽}\cos \theta .$ (78)

يتيح لنا هذا كتابة الموتر $𝐓=\mathbf{\nabla }{𝝃}_k$ على النحو

$T_{rr}$ $=$ ${\gamma }_{\mathrm{\ell }}\dot{U}(r)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m},$

$T_{r\theta }$ $=$ ${\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\dot{V}(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

$T_{r\varphi }$ $=$ $-i{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}\dot{V}(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

$T_{\theta r}$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[U(r){\partial }_{\theta }{Y}_{\mathrm{\ell }}^{0m}-{\displaystyle \frac{V(r)}{\sqrt{2}}}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})\right],$

$T_{\theta \theta }$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[U(r)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}+{\displaystyle \frac{V(r)}{\sqrt{2}}}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\partial }_{\theta }(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})\right],$

$T_{\theta \varphi }$ $=$ $-i{r}^{-1}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}V(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\partial }_{\theta }(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m}),$

$T_{\varphi r}$ $=$ $i{r}^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[mU(r)\mathrm{cosec}\theta Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}+{\displaystyle \frac{V(r)}{\sqrt{2}}}{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}(Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})\right],$

$T_{\varphi \theta }$ $=$ $i{r}^{-1}{\displaystyle \frac{{\gamma }_{\mathrm{\ell }}}{\sqrt{2}}}V(r){\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}\left[m\mathrm{cosec}\theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})+\cot \theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1m})\right],$

$T_{\varphi \varphi }$ $=$ $r^{-1}{\gamma }_{\mathrm{\ell }}\left[U(r)Y_{\mathrm{\ell }}^{0m}+{\mathrm{\Omega }}_0^{\mathrm{\ell }}{\displaystyle \frac{V(r)}{\sqrt{2}}}[\cot \theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}-Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})+m\mathrm{cosec}\theta (Y_{\mathrm{\ell }}^{-1,m}+Y_{\mathrm{\ell }}^{1,m})]\right].$

Appendix C خواص المؤثرات المرافقة

لننظر في مؤثر التدفق $\delta ℒ=-2i\omega 𝐮\cdot \mathbf{\nabla }$، مع الأخذ في الاعتبار أنه، لأن $𝐮$ حقيقي في المجال المكاني الزمني، فإن ${𝐮}^{\ast }(\omega )=𝐮(-\omega )$. يتيح لنا انعدام المرونة (Gough, 1969) كتابة $\mathbf{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$. وباستدعاء التعريف من المعادلة (13)، يكون لدينا من أجل ${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}(\omega )$،

${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}(\omega )=2{\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫i\omega \rho {𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot 𝐮\cdot \mathbf{\nabla }{𝝃}_k={\displaystyle {\int }_{\odot }}[2\mathbf{\nabla }\cdot (i\omega \rho 𝐮{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot {𝝃}_k)-2i\omega \rho {𝝃}_k\cdot 𝐮\cdot \mathbf{\nabla }{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }]𝑑𝐫,$

$={\left[{\displaystyle {\int }_{\odot }}\mathrm{\hspace{0.17em}2}i\omega \rho {𝝃}_k^{\ast }\cdot ({𝐮}^{\ast }\cdot \mathbf{\nabla }){𝝃}_{k^{\prime }}𝑑𝐫\right]}^{\ast }={\mathrm{\Lambda }}_{k^{\prime }}^{k\ast }(-\omega ).$ (80)

وبالمثل، بالنسبة إلى التشتت الناجم عن الشذوذات الحرارية، حيث $\delta ℒ=-\mathbf{\nabla }[\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot ]$، ومع الأخذ في الاعتبار أن $c(𝐫,-\omega )=c^{\ast }(𝐫,\omega )$، لدينا

${\mathrm{\Lambda }}_k^{k^{\prime }}(\omega )={\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\cdot \mathbf{\nabla }[\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k]={\displaystyle {\int }_{\odot }}\{\mathbf{\nabla }\cdot [{𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k]-\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_k\}𝑑𝐫$

$={\displaystyle {\int }_{\odot }}𝑑𝐫{𝝃}_k\cdot \mathbf{\nabla }[\delta (\rho c^2)\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_{k^{\prime }}^{\ast }]={\left\{{\displaystyle {\int }_{\odot }}{𝝃}_k^{\ast }\cdot \mathbf{\nabla }[\delta {(\rho c^2)}^{\ast }\mathbf{\nabla }\cdot {𝝃}_{k^{\prime }}]d𝐫\right\}}^{\ast }={\mathrm{\Lambda }}_{k^{\prime }}^{k\ast }(-\omega ).$ (81)

Appendix D اصطلاح فورييه

تربط التحويلات الأمامية والعكسية الآتية الدالة $f(t)$ بتحويل فورييه الخاص بها $\widehat{f}(\omega )$،

$$\widehat{f}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int 𝑑tf(t)e^{i\omega t},$$ (82)

و

$$f(t)=\int 𝑑\omega \widehat{f}(\omega )e^{-i\omega t}.$$ (83)

تُعرّف دالة $\delta$ على النحو الآتي،

$$\int 𝑑t{e}^{i\omega t}=2\pi \delta (\omega ).$$ (84)

يتحول حاصل ضرب في المجال الزمني $h(t)=f(t)g(t)$ إلى الالتفاف الآتي في مجال فورييه،

$$\widehat{h}(\omega )=\int 𝑑{\omega }^{\prime }\widehat{f}({\omega }^{\prime })\widehat{g}(\omega -{\omega }^{\prime }).$$ (85)