انتظام أدق لمجموعة الانفجار مرتبط بسلوك تقاربي دقيق لمعادلة الحرارة شبه الخطية

الملخص

نحن نعتبر $u(x,t)$، حل ${\partial }_{t}u=\mathrm{\Delta }u+{|u|}^{p-1}u$ الذي ينفجر في وقت ما $T>0$، حيث $u:{ℝ}^N\times [0,T)\to ℝ$، $p>1$ و. حدد $S\subset {ℝ}^N$ لتكون مجموعة الانفجار لـ $u$، وهي مجموعة جميع نقاط الانفجار. في ظل ظروف عدم الانحطاط المناسبة، نوضح أنه إذا كان $S$ يحتوي على سلسلة متصلة ذات أبعاد $(N-\mathrm{\ell })$ لبعض $\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\dots },N-1\}$، فإن $S$ هو في الواقع مشعب ${𝒞}^2$. الخطوة الحاسمة هي استخلاص السلوك المقارب الدقيق لـ $u$ بالقرب من الانفجار. من أجل الحصول على مثل هذا السلوك الدقيق، علينا أن نتخلى عن دالة الشكل التقاربي الصريح كتقريب من الدرجة الأولى ونأخذ دالة غير صريحة كوصف من الدرجة الأولى للسلوك المفرد. بهذه الطريقة نهرب من المقاييس اللوغاريتمية للمتغير $(T-t)$ ونصل إلى حدود صغيرة مهمة في ترتيب كثير الحدود ${(T-t)}^{\mu }$ لبعض $\mu >0$. يؤدي السلوك المقارب الدقيق إلى قيود هندسية لمجموعة الانفجار، مما يؤدي إلى مزيد من الانتظام على $S$.

Tej-Eddine Ghoul^†, Van Tien Nguyen^† and Hatem Zaag^∗

^†New York University in Abu Dhabi, P.O. Box 129188, Abu Dhabi, United Arab Emirates.

^∗Université Paris 13, Sorbonne Paris Cité, LAGA, CNRS (UMR 7539), F-93430, Villetaneuse, France.

1. مقدمة.

نحن مهتمون بالمعادلة الحرارية شبه الخطية التالية:

(1.1)

حيث $u(t):x\in {ℝ}^N\to u(x,t)\in ℝ$، يشير $\mathrm{\Delta }$ إلى مؤثر لابلاس في ${ℝ}^N$، و$p>1$ أو إذا كان $N\ge 3$.

ومن المعروف أنه لكل بيانات أولية $u_0$ مسألة كوشي (1.1) لها حل فريد $u\in 𝒞([0,T),L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N))$ لبعض ، وأن إما $T=+\mathrm{\infty }$ أو

وفي الحالة الأخيرة نقول أن الحل ينفجر في زمن منته، ويسمى $T$ بزمن الانفجار. في مثل هذه الحالة الانفجارية، تسمى النقطة $\widehat{a}\in {ℝ}^N$ بنقطة الانفجار إذا لم يكن $u(x,t)$ محددًا محليًا في بعض أحياء $(\widehat{a},T)$، فهذا يعني أن هناك $(x_n,t_n)\to (\widehat{a},T)$ مثل $|u(x_n,t_n)|\to +\mathrm{\infty }$ عندما $n\to +\mathrm{\infty }$. نشير بـ $S$ إلى مجموعة الانفجار، وهي مجموعة جميع نقاط الانفجار لـ $u$.

بالنظر إلى $\widehat{a}\in S$، فإننا نعرف من Velázquez [Vel92] (انظر أيضًا Filippas وKohn [FK92] وFilippas وLiu [FL93] وHerrero وVelázquez [HV93] وMerle وZaag [MZ00]) أن ما يصل إلى استبدال $u$ بـ $-u$، أحد تحدث الحالتين التاليتين:

- الحالة 1 (معدل الانفجار غير المتدهور): بالنسبة لجميع $K_0>0$، هناك مصفوفة $(N\times N)$ متعامدة $Q_{\widehat{a}}$ و${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\in \{1,\mathrm{\dots },N\}$ بحيث

$$\underset{|\xi |\le K_0}{sup}\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(\widehat{a}+Q_{\widehat{a}}\xi \sqrt{(T-t)|\log (T-t)|},t)-f_{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}}(\xi )\right|\to 0\text{as}t\to T,$$ (1.2)

حيث

$$f_{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}}(\xi )={\left(p-1+\frac{{(p-1)}^2}{4p}\sum _{i=1}^{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}}{\xi }_i^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}.$$ (1.3)

- الحالة 2 (معدل الانفجار المنحل): بالنسبة لجميع $K_0\ge 0$، يوجد عدد صحيح زوجي $m\ge 4$ بحيث

$$\underset{|\xi |\le K_0}{sup}\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(\widehat{a}+\xi {(T-t)}^{\frac{1}{m}},t)-{\left(p-1+\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\right|\to 0\text{as}t\to T,$$ (1.4)

حيث ${\xi }^{\alpha }=\prod _{i=1}^N{\xi }_i^{{\alpha }_i}$، $|\alpha |=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i$ إذا $\alpha =({\alpha }_1,\mathrm{\dots },{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^N$ و$\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\ge 0$ لجميع $\xi \in {ℝ}^N$.

وفقًا لـ Velázquez [Vel92]، إذا حدثت الحالة 1 مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$ أو الحالة 2 مع ${\sum }_{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }>0$ لجميع $\xi \ne 0$، فإن $\widehat{a}$ هي نقطة انفجار معزولة. أثبت Herrero وVelázquez [HV92b] و[HV92a] أن الشكل التقاربي (1.3) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$ عام في الحالة $N=1$، وأعلنوا نفس الشيء بالنسبة لـ $N\ge 2$، لكنهم لم ينشروه مطلقًا. يُظهر Bricmont وKupiainen [BK94] وMerle وZaag [MZ97] وجود بيانات أولية لـ (1.1) بحيث تنفجر الحلول المقابلة في زمن منته $T$ عند نقطة انفجار واحدة فقط ($\widehat{a}$) وتتحقق من السلوك (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$. توفر طريقة [MZ97] أيضًا استقرار الشكل التقاربي (1.3) (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$) فيما يتعلق بالاضطرابات في البيانات الأولية (انظر أيضًا Fermanian وMerle وZaag [FMZ00] و[FZ00] للحصول على براهين أخرى على الاستقرار). في [EZ11] و[NZ16a]، أثبت المؤلفون استقرار الشكل التقاربي (1.3) (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$) فيما يتعلق بالاضطرابات في البيانات الأولية وأيضًا في اللاخطية، في صنف يسمح بشروط ذات ترتيب أقل في الحل وأيضًا في التدرج. يُشتبه في أن جميع السلوكات المقاربة الأخرى غير مستقرة.

عندما

$${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\le N-1$$

في (1.2)، لا نعرف ما إذا كان $\widehat{a}$ معزولًا أم لا، أو ما إذا كان $S$ مستمرًا بالقرب من $\widehat{a}$. في هذا البحث، نفترض أن $\widehat{a}$ هي نقطة انفجار غير معزولة وأن $S$ مستمر محليًا بالقرب من $\widehat{a}$، بمعنى أننا سنحدده بدقة لاحقًا. شاغلنا الرئيسي هو انتظام $S$ بالقرب من $\widehat{a}$. النتيجة الأولى ذات الصلة ترجع إلى Velázquez [Vel93] حيث أظهر المؤلف أن تحجيم هاوسدورف لـ $S$ أقل أو يساوي $N-1$. لم تكن هناك نتائج أخرى حول وصف $S$ معروفة حتى مساهمات Zaag [Zaa02a] و[Zaa02b] و[Zaa06] (انظر أيضًا [Zaa02c] للحصول على ملاحظة ملخصة). في [Zaa02a]، أثبت المؤلف أنه إذا كان $S$ مستمرًا محليًا، فإن $S$ هو مشعب ${𝒞}^1$. حصل أيضًا على أول وصف للتفرد بالقرب من $\widehat{a}$. بتعبير أدق، يوضح أنه (انظر نظريات 3 و4 في [Zaa02a]) لبعض و$\delta >0$، لجميع $K_0>0$ و$t\in [t_0,T)$ و$x\in B(\widehat{a},2\delta )$ مثل $d(x,S)\le K_0\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}$،

$$\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t)-f_1\left(\frac{d(x,S)}{\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}}\right)\right|\le C(K_0)\frac{\log |\log (T-t)|}{|\log (T-t)|},$$ (1.5)

حيث يتم تعريف $f_1$ في (1.3) (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$). علاوة على ذلك، بالنسبة لجميع $x\in {ℝ}^N\setminus S$ و$u(x,t)\to u^{\ast }(x)$ عندما $t\to T$ مع

$$u^{\ast }(x)\sim U(d(x,S))={\left(\frac{8p}{{(p-1)}^2}\frac{|\log d(x,S)|}{d^2(x,S)}\right)}^{\frac{1}{p-1}}\text{as}d(x,S)\to 0\text{and}x\in B(\widehat{a},2\delta ).$$ (1.6)

إذا

$${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1,$$

يقوم Zaag في [Zaa02b] على تحسين السلوك المقارب (1.5) ويصل إلى حدود الخطأ في ترتيب ${(T-t)}^{\mu }$ لبعض $\mu >0$. بهذه الطريقة، يحصل على مزيد من الانتظام في مجموعة الانفجار $S$. الفكرة الأساسية هي استبدال الشكل التقاربي الصريح $f_1$ في (1.5) بدالة غير صريحة، على سبيل المثال $\tilde{u}(x_1,t)$، ثم تجاوز جميع المقاييس اللوغاريتمية من خلال القياس والمطابقة. في الواقع، بالنسبة لـ $\tilde{u}(x_1,t)$، يأخذ Zaag حلاً متماثلًا وحيد البعد لـ (1.1) والذي ينفجر في نفس الوقت $T$ عند الأصل فقط، ويتصرف مثل (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$. بتعبير أدق، يتخلى عن دالة الشكل التقاربي الصريحة $f_1$ في (1.5) ويختار دالة غير صريحة ${\tilde{u}}_{\sigma }(d(x,S),t)$ كوصف من الدرجة الأولى للسلوك المفرد، حيث يتم تعريف ${\tilde{u}}_{\sigma }$ بواسطة

$${\tilde{u}}_{\sigma }(x_1,t)=e^{-\frac{\sigma }{p-1}}\tilde{u}(e^{-\frac{\sigma }{2}}{x}_1,T-e^{-\sigma }(T-t)).$$ (1.7)

لقد أظهر أنه لكل نقطة انفجار $a$ بالقرب من $\widehat{a}$، هناك معلمة تحجيم مثالية $\sigma =\sigma (a)$ بحيث يكون الفرق ${(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}\left(u(x,t)-{\tilde{u}}_{\sigma (a)}(d(x,S),t)\right)$ على طول الاتجاه العمودي إلى $S$ عند $a$ هو أصغريًا. وبالتالي، إذا تم اختيار الدالة ${\tilde{u}}_{\sigma (a)}(d(x,S),t)$ كوصف من الدرجة الأولى لـ $u(x,t)$ بالقرب من $(a,T)$، فإننا نهرب من المقاييس اللوغاريتمية. بتعبير أدق، بالنسبة لجميع $t\in [t_0,T)$ و$x\in B(\widehat{a},2\delta )$ مثل $d(x,S)\le K_0\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}$،

$${(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}\left|u(x,t)-{\tilde{u}}_{\sigma (a)}(d(x,S),t)\right|\le C{(T-t)}^{\mu },$$ (1.8)

لبعض $\mu >0$. لاحظ أن أي قيمة أخرى لـ $\sigma \ne \sigma (a)$ في (1.8) تعطي خطأ في الترتيب اللوغاريتمي للمتغير $(T-t)$ (كما هو الحال في (1.5)). يؤدي استغلال التقدير (1.8) إلى ظهور قيود هندسية على $S$ والتي تتضمن انتظام ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لـ $S$ لجميع $\eta >0$. يؤدي التحسين الإضافي لـ (1.8) الوارد في [Zaa06] إلى تقديرات أفضل في توسع $u(x,t)$ بالقرب من $(a,T)$. علاوة على ذلك، تحتوي بعض المصطلحات التالية في توسيع $u(x,t)$ بالقرب من $(a,T)$ على أوصاف هندسية لـ $S$، مما يؤدي إلى مزيد من انتظام $S$، أي انتظام ${𝒞}^2$.

في هذا العمل، نريد أن نعرف ما إذا كان انتظام ${𝒞}^2$ بالقرب من $\widehat{a}$ المثبت في [Zaa06] لـ ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$ سيصمد في الحالة التي يتصرف فيها $u$ مثل (1.2) بالقرب من $(\widehat{a},T)$ مع

$${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\in \{2,\mathrm{\dots },N-1\}.$$ (1.9)

نظرًا لأن المؤلف في [Zaa02a] و[Zaa06] يحصل على النتيجة فقط عندما ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$، فإن هذا يتوافق مع مجموعة الانفجار ذات الأبعاد $(N-1)$ (البعد المرافق لمجموعة الانفجار هو واحد، وفقًا لـ [Zaa02a]). في رأينا، في تلك الأوراق، تكمن العقبة الرئيسية أمام قضية (1.9) في حقيقة أن المؤلف لم يتمكن من تحسين السلوك المقارب (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\in \{2,\mathrm{\dots },N-1\}$ لتجاوز جميع المقاييس اللوغاريتمية والحصول على مصطلح خطأ أصغر في رتب كثيرة الحدود للمتغير $(T-t)$. ويحدث أن Fermanian وZaag واجهوا بالفعل صعوبة مماثلة في [FZ00]، عندما أرادوا العثور على شكل تقاربي حاد في الحالة (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N$، والذي يتوافق مع نقطة انفجار معزولة، كما أشرنا مباشرةً بعد التقدير (1.4). لا يمكن الحصول على مثل هذا الشكل التقاربي الحاد في [FZ00] إلا عندما يكون $N=1$ (الذي يتوافق أيضًا مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$): ليس من المستغرب أن يكون ${\tilde{u}}_{\sigma }(x_1,t)$، الصيغة الموسعة من $\tilde{u}(x_1,t)$، وهو حل الانفجار وحيد البعد المذكور بين التقديرات (1.6) و(1.7). في واقع الأمر، تم استخدام $\tilde{u}(x_1,t)$ لأول مرة في [FZ00] لنقطة الانفجار المعزولة في بعد فضائي واحد ($N=1$ و${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$)، ثم لاحقًا في أبعاد أعلى مع سطح انفجار ذي أبعاد $(N-1)$ ($N\ge 2$ وما زال ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=1$) في [Zaa02b].

تكمن فائدة $\tilde{u}(x_1,t)$ في أنها توفر مجموعة من حلول الانفجار ذات معلمة واحدة، وذلك بفضل معلمة التحجيم في (1.7)، والتي تمكن من الحصول على شكل تقاربي حاد عن طريق اختيار المعلمة بشكل مناسب.

التعامل مع الحالة ظلت ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\ge 2$ مفتوحة، سواء بالنسبة لحالة النقطة المعزولة (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N\ge 2$) أو نقطة الانفجار غير المعزولة (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=2,\mathrm{\cdots },N-1$). من تحسين التوسيع حول الشكل التقاربي الصريح في $f_{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}}$ في (1.2)، يبدو أن المرء يحتاج إلى عائلة $\frac{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}({\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}+1)}{2}$ من حلول الانفجار التي تطيع (1.2).

تم إنشاء هذه العائلة بواسطة Nguyen وZaag في [NZ16b]، وتم استخدامها بنجاح لاشتقاق شكل تقاربي حاد في حالة نقطة انفجار معزولة (${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=N\ge 2$)، من خلال الضبط الدقيق لمعلمات $\frac{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}({\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}+1)}{2}=\frac{N(N+1)}{2}$.

في هذا البحث، نهدف إلى استخدام تلك العائلة للتعامل مع حالة نقطة الانفجار غير المعزولة ($N\ge 2$ و${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=2,\mathrm{\cdots },N-1$)، من أجل تعميم نتائج Zaag في [Zaa02a] و[Zaa02b] و[Zaa06]، مما يثبت بشكل خاص انتظام $C^2$ لمجموعة الانفجار، في ظل مجرد فرضية أنها مستمرة.

والنتيجة الرئيسية في هذه الورقة هي ما يلي.

نظرية 1.1 (انتظام ${𝒞}^2$ لمجموعة الانفجار بافتراض انتظام ${𝒞}^1$).

خذ $N\ge 2$ و$\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$. اعتبر $u$ حلاً لـ (1.1) ينفجر في زمن منته $T$ على مجموعة $S$ وخذ $\widehat{a}\in S$ حيث يتصرف $u$ محليًا كما هو مذكور في (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=\mathrm{\ell }$. إذا كان $S$ محليًا عبارة عن مشعب ${𝒞}^1$ ذي البعد $N-\mathrm{\ell }$، فهو ${𝒞}^2$ محليًا.

ملاحظة 1.2.

تم بالفعل إثبات النظرية 1.1 بواسطة Zaag [Zaa06] فقط عندما $\mathrm{\ell }=1$. وهكذا، فإن حداثة مساهمتنا تكمن في حالتي $\mathrm{\ell }\in \{2,\mathrm{\dots },N-1\}$ و$N\ge 3$.

في ظل فرضيات نظرية 1.1، أثبت Zaag [Zaa02a] بالفعل أن $S$ هو مشعب ${𝒞}^1$ بالقرب من $\widehat{a}$، على افتراض أن $S$ مستمر. ولذلك، يمكن إعادة صياغة نظرية 1.1 في ظل افتراض أضعف. قبل ذكر هذه الصيغة الأقوى، دعونا أولاً نصف فرضياتنا بوضوح ونقدم بعض المصطلحات المستعارة من [Zaa02a] (انظر أيضًا [Zaa02b] و[Zaa06]). وفقًا لـ Velázquez [Vel92] (راجع نظرية 2، صفحة 1571)، نعلم أنه بالنسبة لجميع $ϵ>0$، يوجد $\delta (ϵ)>0$ بحيث

$$S\cap B(\widehat{a},2\delta )\subset {\mathrm{\Omega }}_{\widehat{a},ϵ}\equiv \left\{x\in {ℝ}^N,\left|P_{\widehat{a}}(x-\widehat{a})\right|\ge (1-ϵ)|x-\widehat{a}|\right\},$$

حيث $P_{\widehat{a}}$ هو الإسقاط المتعامد على ${\pi }_{\widehat{a}}$، حيث

$${\pi }_{\widehat{a}}=\widehat{a}+\text{span}\{Q_{\widehat{a}}^T{e}_{{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}+1},\mathrm{\cdots },Q_{\widehat{a}}^T{e}_N\}$$

هو ما يسمى بمستوي المماس ”الضعيف” لـ $S$ عند $\widehat{a}$. بشكل تقريبي، ${\mathrm{\Omega }}_{\widehat{a},ϵ}$ هو مخروط ذو قمة $\widehat{a}$ ويتقلص إلى ${\pi }_{\widehat{a}}$ عندما $ϵ\to 0$. في بعض المعنى ”الضعيف”، $S$ هو $(N-{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}})$ الأبعاد. في الواقع، هنا تأتي فرضيتنا الثانية: نفترض أن هناك $\mathrm{\Gamma }\in 𝒞({(-1,1)}^{N-{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}},{ℝ}^N)$ مثل $\mathrm{\Gamma }(0)=\widehat{a}$ و$Im\mathrm{\Gamma }\subset S$، حيث $Im\mathrm{\Gamma }$ له على الأقل $(N-{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}})$ بعد، بمعنى أن

(1.10)

تعني فرضية (1.10) أن $b$ غير معزول فعليًا في اتجاهات $(N-{\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}})$ المستقلة. نفترض بالإضافة إلى ذلك أن $\widehat{a}$ ليس نقطة نهاية في $Im\mathrm{\Gamma }$ بمعنى أن

(1.11)

هذه هي الصيغة الأقوى من نتائجنا:

النظرية 1.1’. خذ $N\ge 2$ و$\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$. اعتبر $u$ حلاً لـ (1.1) ينفجر في زمن منته $T$ على مجموعة $S$ وخذ $\widehat{a}\in S$حيث $u$يتصرف محليًا كما هو مذكور في (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=\mathrm{\ell }$. اعتبر $\mathrm{\Gamma }\in 𝒞({(-1,1)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^N)$ بحيث $\widehat{a}=\mathrm{\Gamma }(0)\in Im\mathrm{\Gamma }\subset S$ و$Im\mathrm{\Gamma }$على الأقل$(N-\mathrm{\ell })$-الأبعاد (بمعنى(1.10)). لو$\widehat{a}$ليست نقطة نهاية (بمعنى(1.11))، فإنه توجد $\delta >0$, ${\delta }_1>0$و$\gamma \in {𝒞}^2({(-{\delta }_1,{\delta }_1)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})$مثل هذا

$$S_{\delta }=S\cap B(\widehat{a},2\delta )=graph(\gamma )\cap B(\widehat{a},2\delta )=Im\mathrm{\Gamma }\cap B(\widehat{a},2\delta ),$$

ومجموعة الانفجار $S$ عبارة عن سطح فوقي ${𝒞}^2$ محليًا بالقرب من $\widehat{a}$.

دعونا الآن نعطي بإيجاز الأفكار الرئيسية لإثبات نظرية 1.1. يعتمد الإثبات على التقنيات التي طورتها Zaag في [Zaa02b] و[Zaa06] للحالة التي يتصرف فيها حل المعادلة (1.1) مثل (1.2) مع $\mathrm{\ell }=1$. كما هو الحال في [Zaa02b] و[Zaa06]، يعتمد البرهان على وسيطتين:

• اشتقاق شكل تقاربي انفجار حاد لـ $u(x,t)$ بالقرب من التفرد، بمعنى أن الفرق بين الحل $u(x,t)$ وهذا الشكل التقاربي الحاد يتجاوز جميع المقاييس اللوغاريتمية للمتغيرات $(T-t)$. وهذا ممكن بفضل النتيجة الأخيرة في [NZ16b].

• اشتقاق شكل تقاربي مقارب دقيق لـ $u(x,t)$ بالقرب من التفرد المرتبط بالقيود الهندسية على مجموعة الانفجار. في الواقع، نحن نشتق ملفًا مقاربًا لـ $u(x,t)$ في كل كرة $B(a,K_0\sqrt{T-t})$ لبعض $K_0>0$ و$a$ نقطة انفجار قريبة من $\widehat{a}$. علاوة على ذلك، فإن هذا التشكيل مستمر في $a$ وسرعة تقارب $u$ لكل واحد في الكرة $B(a,K_0\sqrt{T-t})$ موحدة بالنسبة إلى $a$. إذا كانت $a$ و$b$ موجودة في $S$ و، فإن الكرات $B(a,K_0\sqrt{T-t})$ و$B(b,K_0\sqrt{T-t})$ تتقاطع مع بعضها البعض، مما يؤدي إلى ملفات تعريف مختلفة لـ $u(x,t)$ في التقاطع. ومع ذلك، يجب أن تتطابق هذه الشكل التقاربيات الشخصية، حتى حدود الخطأ. وهذا يشكل قيدًا هندسيًا يعطي مزيدًا من الانتظام لمجموعة الانفجار بالقرب من $\widehat{a}$.

دعونا نشرح الصعوبة التي أثيرت في [Zaa02b] و[Zaa06] بالنسبة للحالة $\mathrm{\ell }\ge 2$. خذ بعين الاعتبار $a\in S\cap B(\widehat{a},2\delta )$ لبعض $\delta >0$ وقم بتقديم المتغيرات المتشابهة ذاتيًا التالية:

$$W_a(y,s)={(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t),y=\frac{x-a}{\sqrt{T-t}},s=-\log (T-t).$$ (1.12)

ثم نرى من (1.1) أنه بالنسبة لجميع $(y,s)\in {ℝ}^N\times [-\log T,+\mathrm{\infty })$،

$$\frac{\partial W_a}{\partial s}=\mathrm{\Delta }{W}_a-\frac{1}{2}y\cdot \nabla W_a-\frac{W_a}{p-1}+{|W_a|}^{p-1}{W}_a.$$ (1.13)

في ظل الفرضيات المذكورة في نظرية 1.1، أثبت Zaag [Zaa02a] في القضية 3.1، صفحة 513 وفي القسم 6.1، صفحات 530-533 أنه بالنسبة لجميع $a\in S_{\delta }\equiv S\cap B(\widehat{a},2\delta )$ لبعض $\delta >0$ و$s\ge -\log T$، توجد مصفوفة متعامدة $(N\times N)$ $Q_a$ من هذا القبيل

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-\left\{\kappa +\frac{\kappa }{2ps}\left(\mathrm{\ell }-\frac{{|\overline{y}|}^2}{2}\right)\right\}\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2},$$ (1.14)

حيث $\kappa ={(p-1)}^{-\frac{1}{p-1}}$، $\overline{y}=(y_1,\mathrm{\cdots },y_{{\mathrm{\ell }}_a})$، $Q_a$ مستمر من حيث $a$ بحيث يمتد $\{Q_a^T{e}_j|j=\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\dots },N\}$ على المستوي المماس ${\pi }_a$ إلى $S$ عند $a$ و$Q_a^T{e}_i,i=1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }$ هي الاتجاهات العادية إلى $S$ عند $a$، $L_{\rho }^2$ هو المرجح مساحة $L^2$ المرتبطة بالوزن $\rho ={\displaystyle \frac{1}{{(4\pi )}^{N/2}}}{e}^{-\frac{{|y|}^2}{4}}$. لاحظ أن التقدير (1.14) يتضمن (1.5) (انظر الملحق C في [Zaa02a]).

عندما $\mathrm{\ell }=1$، من أجل تحسين تقدير (1.14)، يطرح المؤلف في [Zaa02b] من $W_a$ حلاً ذو أبعاد 1 بنفس الشكل التقاربي. دعونا نفعل الأمر نفسه عند $\mathrm{\ell }=2,\mathrm{\cdots },N-1$، ونشرح كيف نجح المؤلف في تسليم الحالة $\mathrm{\ell }=1$ ويتعثر عند $\mathrm{\ell }\ge 2$. تحقيقًا لهذه الغاية، فإننا نعتبر $\widehat{u}(\overline{x},t)$ مع $\overline{x}=(x_1,\mathrm{\cdots },x_{\mathrm{\ell }})$ حلاً متماثلًا شعاعيًا لـ (1.1) في ${ℝ}^{\mathrm{\ell }}$ والذي ينفجر في الوقت $T$ فقط في الأصل مع الشكل التقاربي (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}=\mathrm{\ell }$ (انظر الملحق A.1 في [NZ16b] لوجود مثل هذا الحل). إذا تم اعتبار حل $\mathrm{\ell }$ ذو الأبعاد $\widehat{u}$ في ${ℝ}^N$، فإنه ينفجر على مساحة المتجهات $(N-\mathrm{\ell })$ $\{\overline{x}=0\}$ في ${ℝ}^N$. على وجه الخصوص، إذا قدمنا

$$\widehat{w}(\overline{y},s)={(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}\widehat{u}(\overline{x},t),\overline{y}=\frac{\overline{x}}{\sqrt{T-t}},s=-\log (T-t),$$ (1.15)

إذن، $\widehat{w}$ هو حل متماثل شعاعيًا لـ (1.13) والذي يرضي

$${\Vert \widehat{w}(\overline{y},s)-\left\{\kappa +\frac{\kappa }{2ps}\left(\mathrm{\ell }-\frac{{|\overline{y}|}^2}{2}\right)\right\}\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2}.$$ (1.16)

مع ملاحظة أن $\widehat{u}$ و$\widehat{w}$ يمكن اعتبارهما حلولاً محددة لجميع $y\in {ℝ}^N$ (ومستقلة عن $y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },y_N$)، وبالنظر إلى أن $\widehat{w}(\overline{y},s)$ و$W_a(Q_{a}y,s)$ لهما نفس السلوك حتى الترتيب الأول (انظر (1.14) و(1.16))، فقد نحاول استخدام $\widehat{w}$ كشكل تقاربي أكثر وضوحًا (رغم أنه غير صريح) لـ $W_a(Q_{a}y,s)$. في الواقع، لدينا التصنيف التالي (انظر النتيجة الطبيعية 2.2 أدناه):

- الحالة 1: توجد مصفوفة ${\mathrm{\ell }}_a\times {\mathrm{\ell }}_a$ حقيقية ومتماثلة $ℬ=ℬ(a)\ne 0$ بحيث

$$W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(\overline{y},s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^Tℬ\overline{y}-tr(ℬ)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }\text{in}{L}_{\rho }^2.$$ (1.17)

- الحالة 2: يوجد ثابت موجب $C_0$ هكذا

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (1.18)

إذا كان $\mathrm{\ell }=1$ ($ℬ(a)\in ℝ$)، فقد لاحظ المؤلف في [Zaa02b] الخاصية التالية

$$\widehat{w}(y_1,s+{\sigma }_0)-\widehat{w}(y_1,s)=\frac{2\kappa {\sigma }_0}{p{s}^2}\left(\frac{1}{2}{y}_1^2-1\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{in}{L}_{\rho }^2.$$ (1.19)

لذلك، باختيار ${\sigma }_0(a)$ مثل $\frac{2\kappa {\sigma }_0}{p}=ℬ(a)$، نرى من (1.17) و(1.19) أن

$$W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(y_1,s+{\sigma }_0(a))=o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }\text{in}{L}_{\rho }^2.$$

من التصنيف الوارد في (1.17) و(1.18)، (1.18) فقط يحمل و

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(y_1,s+{\sigma }_0(a))\Vert }_{L_{\rho }^2}=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (1.20)

إذا عدنا إلى المتغيرات الأصلية $u(x,t)$ و$\widehat{u}(x_1,t)$ حتى (1.12) و(1.15)، فإن (1.8) يتبع التحويل (1.7) مع التقدير (1.20) (انظر الملحق C في [Zaa02b]). بمعنى آخر، $\widehat{w}(y_1,s+{\sigma }_0(a))$ بمثابة شكل تقاربي حاد (وإن كان غير صريح) لـ $W_a(Q_{a}y,s)$ بمعنى (1.20). باستخدام التقدير (1.20) مع بعض الحجج الهندسية، نحن قادرون على إثبات انتظام ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لمجموعة الانفجار، لأي $\eta >0$. بعد ذلك، يؤدي إجراء تحسين إضافي لـ (1.20) حتى ترتيب $\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}$ مع قيد هندسي على مجموعة الانفجار $S$ إلى مزيد من الانتظام لـ $S$، مما ينتج عنه انتظام ${𝒞}^2$.

إذا كان $\mathrm{\ell }\ge 2$، فإن المصفوفة $ℬ(a)$ في (1.17) تحتوي على معلمات $\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{2}$ الحقيقية. ولذلك، فإن تطبيق خدعة [Zaa02b] (انظر (1.19) أعلاه) يسمح فقط بإدارة معلمة واحدة؛ لا تزال هناك معلمات حقيقية $\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{2}-1$ يتعين التعامل معها. هذا هو السبب الرئيسي الذي يمنع المؤلف في [Zaa02b] و[Zaa06] من استخلاص تقدير مماثل لـ (1.20)، ومن ثم الانتظام الدقيق لمجموعة الانفجار. لحسن الحظ، تمكنا من التغلب على هذه العقبة بفضل النتيجة الأخيرة التي توصل إليها Nguyen وZaag [NZ16b] (انظر القضية 2.4 أدناه) حيث يوضح المؤلفون أنه بالنسبة لجميع مصفوفات $\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell }$ الحقيقية والمتماثلة $𝒜$، يوجد حل $w_{𝒜}$ للمعادلة (1.13) في ${ℝ}^{\mathrm{\ell }}$ بحيث

$$w_{𝒜}(\overline{y},s)-\widehat{w}(\overline{y},s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^T𝒜\overline{y}-tr(𝒜)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }\text{in}{L}_{\rho }^2.$$ (1.21)

ومن ثم، باختيار $𝒜=ℬ(a)$، نرى من (1.21) و(1.17) و(1.18) أن

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0},\text{for }s\text{ large enough}.$$ (1.22)

من خلال استغلال التقدير (1.22) وتكييف الوسيطات المقدمة في [Zaa02b] و[Zaa06]، نحن قادرون على إثبات انتظام ${𝒞}^2$ لمجموعة الانفجار.

توضح النتيجة التالية كيف يرتبط انتظام ${𝒞}^2$ بالسلوك المقارب الدقيق لـ $W_a$. بتعبير أدق، نربط في النظرية التالية تحسين السلوك المقارب لـ $W_a$ بالشكل الأساسي الثاني لمجموعة الانفجار عند $a$.

نظرية 1.3 (السلوكات المقاربة المنقحة المرتبطة بالوصف الهندسي لمجموعة الانفجار).

بموجب فرضيات نظرية 1.1، يوجد ${\tilde{s}}_0\ge -\log T$ و$\delta >0$ بحيث أنه بالنسبة لجميع $a\in S_{\delta }=S\cap B(\widehat{a},2\delta )$، توجد مصفوفة متماثلة $(\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell })$ مستمرة $ℬ(a)$ بحيث بالنسبة لجميع $s\ge {\tilde{s}}_0$،

${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)-{\displaystyle \frac{\kappa e^{-\frac{s}{2}}}{2ps}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{y}_i{\displaystyle \sum _{k,j=\mathrm{\ell }+1}^N}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Lambda }}_{k,j}^{(i)}(a)}{1+{\delta }_{k,j}}}(y_k{y}_j-2{\delta }_{k,j})\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{\displaystyle \frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s^{\frac{3}{2}-\nu }}},$ (1.23)

بالنسبة لبعض $\nu \in (0,\frac{1}{2})$، حيث $a\to {\{{\mathrm{\Lambda }}_{k,j}^{(i)}(a)\}}_{\mathrm{\ell }+1\le j,k\le N}$ عبارة عن مصفوفة متماثلة مستمرة تمثل الشكل الأساسي الثاني لمجموعة الانفجار عند نقطة الانفجار $a$ على طول المتجه الطبيعي الوحدوي $Q_a^T{e}_i$. علاوة على ذلك،

$${\mathrm{\Lambda }}_{k,j}^{(i)}(a)=\frac{p}{4\kappa }\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}s{e}^{\frac{s}{2}}{\int }_{{ℝ}^N}{W}_a(Q_{a}y,s)y_i(y_k{y}_j-2{\delta }_{k,j})\rho (y)𝑑y.$$ (1.24)

في القسم 2، نقدم الخطوات الرئيسية لإثبات النظريتين 1.1 و1.3. نترك جميع البراهين الطويلة والتقنية للقسم 3.

2. إعداد المسألة واستراتيجية برهان انتظام مجموعة الانفجار من الصنف ${𝒞}^2$.

نقدم في هذا القسم الخطوات الرئيسية لإثبات النظريتين 1.1 و1.3. سيتم ترك جميع البراهين الطويلة والتقنية إلى القسم التالي. ننتقل إلى أجزاء 3 المقابلة للأقسام الفرعية المنفصلة 3. وللتسهيل على القارئ، نعرض هذه الأجزاء بإيجاز على النحو التالي:

• الجزء 1: نشتق سلوك الانفجار الحاد لحلول المعادلة (1.1) التي لها الشكل التقاربي (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$ بحيث يتجاوز الفرق بين الحل وسلوك الانفجار الحاد هذا جميع المقاييس اللوغاريتمية للمتغير $T-t$. تم ذكر النتيجة الرئيسية في هذه الخطوة في القضية 2.5.

• الجزء 2: من خلال تقديم مخطط محلي، نعطي قيدًا هندسيًا على توسيع الحل المرتبط بالسلوك المقارب (انظر القضية 2.7 أدناه). يعد هذا القيد الهندسي نقطة حاسمة وهي الجسر بين السلوك المقارب وانتظام مجموعة الانفجار.

• الجزء 3: باستخدام سلوك الانفجار الحاد المشتق في الجزء 1، نحصل أولاً على انتظام ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لمجموعة الانفجار $S$ (انظر القضية 2.8 أدناه)، ثم مع القيد الهندسي، نحقق انتظام ${𝒞}^{1,1-\eta }$ لـ $S$ (انظر القضية 2.9 أدناه). مع هذا الانتظام الأفضل والقيود الهندسية، نقوم بتحسين السلوك المقارب (انظر القضية 2.10 أدناه) ونستخدم مرة أخرى القيد الهندسي للحصول على ${𝒞}^2$ - انتظام $S$، مما يؤدي إلى استنتاج نظريتي 1.1 و1.3.

يجب أن يلاحظ القارئ أن الجزأين 1 و2 مستقلان، في حين أن الجزء 3 عبارة عن مزيج من الجزأين الأولين. خلال هذا البحث، نعمل وفق فرضيات نظرية 1.1. نظرًا لأن $S$ يقع محليًا بالقرب من $\widehat{a}$ متعدد الأبعاد $N-\mathrm{\ell }$، فقد نفترض أن هناك دالة ${𝒞}^1$ $\gamma$ بحيث

$$S_{\delta }\equiv S\cap B(\widehat{a},2\delta )=\text{graph}(\gamma )\cap B(\widehat{a},2\delta ),$$ (2.1)

لبعض $\delta >0$ و$\gamma \in {𝒞}^1({(-{\delta }_1,{\delta }_1)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})$ مع ${\delta }_1>0$.

فيما يلي، $\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$ ثابت، ولكل $z=(z_1,\mathrm{\cdots },z_N)\in {ℝ}^N$، نشير بـ $\overline{z}$ إلى إحداثيات $\mathrm{\ell }$ الأولى لـ $z$، وهي $\overline{z}=(z_1,\mathrm{\cdots },z_{\mathrm{\ell }})$، وبـ $\tilde{z}$ آخر إحداثيات $(N-\mathrm{\ell })$ لـ $z$، وهي $\tilde{z}=(z_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },z_N)$. نستخدم عادةً المؤشرات $i$ و$m$ للنطاق $1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }$ والمؤشرات $j$ و$k$ و$n$ للنطاق $\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N$.

2.1. الجزء 1: سلوك الانفجار فيما وراء جميع المقاييس اللوغاريتمية للمتغير $(T-t)$.

في هذا القسم الفرعي، نستخدم الأفكار المقدمة من Fermanian وZaag [FZ00] مع نتيجة حديثة بواسطة Nguyen وZaag في [NZ16b] من أجل استخلاص شكل تقاربي حاد (وإن كان غير صريح) لحلول الانفجار لـ (1.1) بمعنى أن الترتيب الأول في توسيع الحل حول هذا الشكل التقاربي الحاد يتجاوز كل اللوغاريتمات مقاييس $(T-t)$ وتصل إلى مقاييس متعددة الحدود $(T-t)$. في الواقع، نحن نستبدل معلمة التحجيم 1 $\sigma$ في (1.8) بعائلة معلمات $\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }+1)}{2}$، والتي تولد بديلاً لـ ${\tilde{u}}_{\sigma }$ (1.7) وتعمل كشكل تقاربي حاد للحلول التي لها السلوك (1.2) مع ${\mathrm{\ell }}_{\widehat{a}}\in \{1,\mathrm{\dots },N-1\}$. النتيجة الرئيسية في هذا الجزء هي القضية 2.5 أدناه.

النظر في $a\in S_{\delta }$. إذا تم تعريف $W_a(y,s)$ و$\widehat{w}(\overline{y},s)$ كما هو الحال في (1.12) و(1.15)، فإننا نعرف من [Zaa02a] أن

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-\left\{\kappa +\frac{\kappa }{2ps}\left(\mathrm{\ell }-\frac{{|\overline{y}|}^2}{2}\right)\right\}\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2},$$ (2.2)

و

$${\Vert \widehat{w}(\overline{y},s)-\left\{\kappa +\frac{\kappa }{2ps}\left(\mathrm{\ell }-\frac{{|\overline{y}|}^2}{2}\right)\right\}\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2}.$$ (2.3)

الخطوة الأولى هي تصنيف جميع السلوكات المقاربة المحتملة لـ $W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(\overline{y},s)$ حيث ينتقل $s$ إلى ما لا نهاية. وللقيام بذلك، سنستخدم النتيجة التالية المستوحاة من Fermanian وZaag [FZ00]:

قضية 2.1 (تصنيف الفرق بين حلين لـ (1.13) لهما نفس الشكل التقاربي).

افترض أن $W_1$ و$W_2$ هما حلان للتحقق من (1.13)

$$i=1,2,{\Vert W_i(y,s)-\left\{\kappa +\frac{\kappa }{2ps}\left(\mathrm{\ell }-\frac{{|\overline{y}|}^2}{2}\right)\right\}\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2},$$ (2.4)

حيث $\overline{y}=(y_1,\mathrm{\cdots },y_{\mathrm{\ell }})$ لبعض $\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$. ثم تحدث إحدى الحالتين التاليتين:
- الحالة 1: توجد مصفوفة $(\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell })$ حقيقية ومتماثلة $ℬ\ne 0$ بحيث

$$W_1(y,s)-W_2(y,s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^Tℬ\overline{y}-tr(ℬ)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }\text{in}{L}_{\rho }^2.$$ (2.5)

- الحالة 2: يوجد $C_0>0$ من هذا القبيل

$${\Vert W_1(y,s)-W_2(y,s)\Vert }_{L_{\rho }^2}=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (2.6)

Proof.

يأتي البرهان من الاستراتيجية الواردة في [FZ00] للفرق بين حلين مع الشكل التقاربي الشعاعي $(\mathrm{\ell }=N)$. لاحظ أن الحالة التي تمت فيها معالجة $\mathrm{\ell }=1$ في [Zaa02b]. نظرًا لأن بعض التفاصيل الفنية واضحة ومباشرةً، فإننا نقدم بإيجاز الخطوات الرئيسية للإثبات في القسم 3.1 ونركز فقط على المستجدات. ∎

يؤدي تطبيق القضية 2.1 مع $W_1(y,s)=W_a(Q_{a}y,s)$ و$W_2(y,s)=\widehat{w}(\overline{y},s)$ إلى النتيجة الطبيعية التالية مباشرةً:

نتيجة 2.2.

عندما ينتقل $s$ إلى ما لا نهاية، تحدث إحدى الحالتين التاليتين:
- الحالة 1: توجد مصفوفة $(\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell })$ حقيقية ومتماثلة $ℬ=ℬ(a)\ne 0$ مستمرة كدالة لـ $a$ بحيث

$$W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(\overline{y},s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^Tℬ\overline{y}-tr(ℬ)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{in}{L}_{\rho }^2.$$ (2.7)

- الحالة 2: يوجد $C_0>0$ من هذا القبيل

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-\widehat{w}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\right).$$ (2.8)

ملاحظة 2.3.

لاحظ أن استمرارية $ℬ$ تأتي من استمرارية $W_a$ بالنسبة إلى $a$، حيث يتصرف $W_a$ كما في (2.2). على وجه الخصوص، أظهر Zaag [Zaa02a] ثبات سلوك الانفجار (2.2) فيما يتعلق بنقاط الانفجار (انظر القضية 3.1 والقسم 6.1 في [Zaa02a]).

في الخطوة التالية، نتذكر النتيجة الأخيرة لـ Nguyen وZaag [NZ16b]، والتي تعطي بناء حلول للمعادلة (1.13) مع بعض السلوكات الموصوفة.

قضية 2.4 (إنشاء حلول لـ (1.13) مع بعض السلوكات الموصوفة).

خذ بعين الاعتبار $\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$. بالنسبة لجميع $𝒜\in {𝕄}_{\mathrm{\ell }}(ℝ)$، حيث ${𝕄}_{\mathrm{\ell }}(ℝ)$ هي مجموعة مصفوفات $(\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell })$ الحقيقية المتماثلة، يوجد حل $w_{𝒜}(y,s)$ لـ (1.13) محدد في ${ℝ}^N\times [s_0(𝒜),+\mathrm{\infty })$ بحيث

$$w_{𝒜}(\overline{y},s)-\widehat{w}(\overline{y},s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^T𝒜\overline{y}-tr(𝒜)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }\text{in}{L}_{\rho }^2,$$ (2.9)

حيث $\widehat{w}$ هو الحل المتماثل شعاعيًا، $\mathrm{\ell }$ الأبعاد لـ (1.13) الذي يرضي (2.3).

Proof.

راجع نظرية 3 في [NZ16b]. على الرغم من أن هذه النتيجة مذكورة في الحالة $\mathrm{\ell }=N$، إلا أنه يمكننا توسيعها لتشمل الحالة $\mathrm{\ell }\le N-1$ من خلال اعتبار حلول (1.13) بمثابة حلول ذات أبعاد $\mathrm{\ell }$، تلك التي تم إنشاؤها بشكل مصطنع عن طريق إضافة متغيرات مساحة غير ذات صلة $(y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },y_N)$ إلى مجال تعريف الحلول. ∎

النتيجة التالية هي نتيجة مباشرةً للنتيجة الطبيعية 2.2 والقضية 2.4:

قضية 2.5 (شكل تقاربي حاد (غير صريح) لحلول (1.1) ذات السلوك (1.2) مع $\mathrm{\ell }\le N-1$).

يوجد $s_0>0$ ومصفوفة مستمرة $ℬ:S_{\delta }\to M_{\mathrm{\ell }}(ℝ)$، بحيث إنه بالنسبة إلى جميع $a\in S_{\delta }$ و$s\ge s_0$،

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0},$$ (2.10)

حيث $w_{ℬ}$ هو الحل الذي تم إنشاؤه كما في القضية 2.4، $C_0>0$ مذكور في القضية 2.1. وعلاوة على ذلك، لدينا
$(i)$ لجميع $s\ge s_0+1$،

$$\underset{|y|\le K\sqrt{s}}{sup}\left|W_a(y,s)-w_{ℬ(a)}({\overline{y}}_a,s)\right|\le C(K)e^{-\frac{s}{2}}{s}^{\frac{3}{2}+C_0},$$ (2.11)

حيث ${\overline{y}}_a=(y\cdot Q_a{e}_1,\mathrm{\cdots },y\cdot Q_a{e}_{\mathrm{\ell }})$.
$(ii)$ لجميع $t\in [T-e^{-s_0-1},T)$،

$\underset{|x-a|\le K\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}}{sup}$ $\left|{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t)-w_{ℬ(a)}({\overline{y}}_{a,x},-\log (T-t))\right|$

$\le C(K){(T-t)}^{\frac{1}{2}}{|\log (T-t)|}^{\frac{3}{2}+C_0},$ (2.12)

حيث ${\overline{y}}_{a,x}=\frac{1}{\sqrt{T-t}}((x-a)\cdot Q_a{e}_1,\mathrm{\cdots },(x-a)\cdot Q_a{e}_{\mathrm{\ell }})$.

Proof.

من (2.7) و(2.9)، لدينا لأي مصفوفة متماثلة $\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell }$ $𝒜$،

$$W_a(Q_{a}y,s)-w_{𝒜}(\overline{y},s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^T(ℬ-𝒜)\overline{y}-tr(ℬ-𝒜)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right)\text{in}{L}_{\rho }^2.$$

اختيار $𝒜=ℬ(a)$، نحصل عليها

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}=o\left(\frac{1}{s^2}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (2.13)

لاحظ أن التطبيق البديل للمقترح 2.1 مع $W_1=W_a$ و$W_2=w_{ℬ(a)}$ ينتج إما (2.7) أو (2.8). ومع ذلك، تم استبعاد الحالة (2.7) بواسطة (2.13). وبالتالي، يتبع (2.10). وبما أننا أظهرنا في النتيجة الطبيعية 2.2 أن $a\mapsto ℬ(a)$ مستمر، فإن الأمر نفسه ينطبق على $a\mapsto 𝒜(a)$.

أما بالنسبة لـ (2.11)، فهو نتيجة مباشرةً للمعادلة التالية التي تسمح لنا بحمل تقدير (2.10) من المجموعات المدمجة $|y|\le K$ إلى المجموعات $|y|\le K\sqrt{s}$:

لمّة 2.6 (امتداد التقارب من المجموعات المدمجة إلى المجموعات $|y|\le K\sqrt{s}$).

افترض أن $Z$ يرضي

$${\partial }_{s}Z\le \mathrm{\Delta }Z-\frac{1}{2}y\cdot \nabla Z+Z+\frac{C_1}{s}Z,0\le Z(y,s)\le C_1,\forall (y,s)\in {ℝ}^N\times [\widehat{s},+\mathrm{\infty }),$$ (2.14)

لبعض $C_1>0$. ثم بالنسبة لجميع $s^{\prime }\ge \widehat{s}$ و$s\ge s^{\prime }+1$ مثل $e^{\frac{s-s^{\prime }}{2}}=\sqrt{s}$، لدينا

$$\underset{|y|\le K\sqrt{s}}{sup}Z(y,s)\le C(C_1,K)e^{s-s^{\prime }}{\Vert Z(s^{\prime })\Vert }_{L_{\rho }^2}.$$

Proof.

هذه الفكرة هي نتيجة طبيعية للقضية 2.1 في Velázquez [Vel92] وتم إثباتها في سياق إثبات القضية 2.13 في [FZ00] (على وجه الخصوص، الصفحات 1203-1205). ∎

دعونا نشتق (2.11) من اللمّة 2.6. إذا قمنا بتعريف $G(y,s)=W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)$، فإن الحسابات المباشرةً تعتمد على إنتاجية (1.13)

$${\partial }_{s}G=\mathrm{\Delta }G-\frac{1}{2}y\cdot \nabla G+G+\alpha G,\forall (y,s)\in {ℝ}^N\times [-\log T,+\mathrm{\infty }),$$ (2.15)

حيث

$$\alpha (y,s)=\frac{{|W_a|}^{p-1}{W}_a-{|w_{ℬ}|}^{p-1}{w}_{ℬ}}{W_a-w_{ℬ}}-\frac{p}{p-1}=p{|\tilde{w}(y,s)|}^{p-1}-\frac{p}{p-1}\text{if}{W}_a\ne w_{ℬ},$$

لبعض $\tilde{w}(y,s)\in (W_a(Q_{a}y,s),w_{ℬ(a)}(\overline{y},s))$.

من Merle وZaag [MZ98] (نظرية 1)، نعلم أن $s$ كبير بدرجة كافية،

$${\Vert \tilde{w}(s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \kappa +\frac{C}{s},$$

الذي يلي

$$\alpha (y,s)\le p{\left(\kappa +\frac{C}{s}\right)}^{p-1}-\frac{p}{p-1}\le \frac{C_1}{s}.$$ (2.16)

إذا كانت $Z=|G|$، فإننا نستخدم متباينة Kato $\mathrm{\Delta }G\cdot \text{sgn}(G)\le \mathrm{\Delta }(|G|)$ لاشتقاق المعادلة (2.14) من (2.15) و(2.16). تطبيق اللمّة 2.6 مع تقدير إنتاجية (2.10) لجميع $s^{\prime }\ge s_1$ و$s\ge s^{\prime }+1$ لبعض $s_1>0$ الكبيرة مثل $e^{\frac{s-s^{\prime }}{2}}=\sqrt{s}$،

$$\underset{|y|\le K\sqrt{s}}{sup}Z(y,s)\le C{e}^{s-s^{\prime }}{e}^{-\frac{s^{\prime }}{2}}{(s^{\prime })}^{C_0}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\frac{3}{2}+C_0},$$

الذي ينتج (2.11). التقدير (2.12) يتبع مباشرةً من (2.11) عن طريق التحويل (1.12). بهذا ينتهي إثبات القضية 2.5. ∎

2.2. الجزء 2: قيد هندسي مرتبط بالسلوكات التقاربية.

في هذا القسم الفرعي، نتبع فكرة [Zaa06] لتقديم مخططات ${𝒞}^{1,{\alpha }^{\ast }}$ المحلية لمجموعة الانفجار، والحصول على آلية قيد هندسية لمجموعة الانفجار (انظر القضية 2.7 أدناه) والتي تعد خطوة حاسمة في ربط السلوكات المقاربة الدقيقة للحل بالأوصاف الهندسية لمجموعة الانفجار.

بالنظر إلى $a\in S_{\delta }$ و$\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$، نقدم مخطط ${𝒞}^{1,{\alpha }^{\ast }}$ المحلي لمجموعة الانفجار عند النقطة $a$ على النحو التالي:

${ℝ}^{N-\mathrm{\ell }}$ $\to {ℝ}^N$

$\tilde{\xi }$ $\mapsto ({\gamma }_{a,1}(\tilde{\xi }),\mathrm{\cdots },{\gamma }_{a,\mathrm{\ell }}(\tilde{\xi }),\tilde{\xi }),$

حيث $\tilde{\xi }=({\xi }_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },{\xi }_N)$ و${\gamma }_{a,i}\in {𝒞}^{1,{\alpha }^{\ast }}({(-{ϵ}_a,{ϵ}_a)}^{N-\mathrm{\ell }})$ لبعض ${\alpha }^{\ast }\in (0,\frac{1}{2})$ و${ϵ}_a>0$، فإن المجموعة $S_{\delta }$ تكون محليًا بالقرب من $a$ المحددة بواسطة

(2.17)

حيث ${\eta }_1(a),\mathrm{\cdots },{\eta }_{\mathrm{\ell }}(a)$ و${\tau }_{\mathrm{\ell }+1}(a),\mathrm{\cdots },{\tau }_N(a)$ هما من المعيار 1، وعلى التوالي، طبيعيان ومماسان لـ $S_{\delta }$ عند $a$. بحكم التعريف، لدينا

$${\gamma }_{a,i}(0)=0\text{and}\nabla {\gamma }_{a,i}(0)=0,\forall i=1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }.$$

دع $Q_a$ تكون المصفوفة المتعامدة التي أعمدتها هي ${\eta }_i(a)$ و${\tau }_j(a)$، أي أن

$${\eta }_i(a)=Q_a{e}_i\text{and}{\tau }_j(a)=Q_a{e}_j,$$ (2.18)

وتحديد

$$w_a(y,s)={(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t),y=Q_a^T\left(\frac{x-a}{\sqrt{T-t}}\right),s=-\log (T-t),$$ (2.19)

ثم نرى من (1.12) أن $w_a$ يرضي (1.13) و

$$w_a(y,s)=W_a(Q_{a}y,s),\forall (y,s)\in {ℝ}^N\times [-\log T,+\mathrm{\infty }).$$ (2.20)

لاحظ من (2.18) أن النقطة $(y,s)$ في مجال $w_a$ تصبح النقطة $(x,t)$ في مجال $u$، حيث

$$x=a+e^{-\frac{s}{2}}{Q}_{a}y=a+e^{-\frac{s}{2}}\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{y}_i{\eta }_i(a)+\sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N{y}_j{\tau }_j(a)\right),t=T-e^{-s}.$$

الآن، قم بإصلاح $a\in S_{\delta }$ وفكر في $b\in S_{\delta }$ التعسفي. من (2.19)، لدينا

$$w_a(y,s)=w_b(Y,s),\text{where}Y=Q_b^T\left(Q_{a}y+e^{\frac{s}{2}}(a-b)\right).$$ (2.21)

إذا قمنا بتمييز (2.21) بالنسبة إلى $y_k$ مع $k\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$، فسنحصل على

${(T-t)}^{\frac{1}{p-1}+\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial {\tau }_k(a)}}(x,t)$

$={\displaystyle \frac{\partial w_a}{\partial y_k}}(y,s)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{\tau }_k(a)\cdot {\eta }_i(b){\displaystyle \frac{\partial w_b}{\partial y_i}}(Y,s)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N}{\tau }_k(a)\cdot {\tau }_j(b){\displaystyle \frac{\partial w_b}{\partial y_j}}(Y,s).$ (2.22)

إذا قمنا بإصلاح $b$ باعتباره إسقاط $x=a+e^{-\frac{s}{2}}{Q}_{a}y$ على مجموعة الانفجار في الاتجاه المتعامد لمساحة المماس لمجموعة الانفجار عند $a$، فإن $b$ لديه نفس المكونات في مساحة المماس الممتدة بواسطة $\{{\tau }_{\mathrm{\ell }+1}(a),\mathrm{\cdots },{\tau }_N(a)\}$ مثل $x$. بخاصة،

$$b=b(a,y,s)=a+\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y}){\eta }_i(a)+\sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N{e}^{-\frac{s}{2}}{y}_j{\tau }_j(a),\tilde{y}=(y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },y_N).$$ (2.23)

يعطي القضية التالي قيدًا هندسيًا على توسع $w_a$، وهو الجسر الذي يربط السلوك المقارب الدقيق بالانتظام الدقيق لمجموعة الانفجار.

قضية 2.7 (قيد هندسي على توسعة $w_a$).

افترض أن

$${\gamma }_a\in {𝒞}^{1,{\alpha }^{\ast }}({(-{ϵ}_a,{ϵ}_a)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})\text{for some}{\alpha }^{\ast }\in (0,\frac{1}{2})\text{and}{ϵ}_a>0.$$

بعد ذلك، يوجد $s_1\ge \max \{-\log T,s_0\}$ (تم تقديم $s_0$ في القضية 2.5) بحيث بالنسبة لجميع $a\in S_{\delta }$ و$|y|\le 1$ و$s\ge s_1$ و$k=\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N$، فإنه ينص على ذلك

$\left|{\displaystyle \frac{\partial w_a}{\partial y_k}}(y,s)-\left\{{\displaystyle \frac{\partial w_b}{\partial y_k}}(\overline{y},0,\mathrm{\cdots },0,s)+{\displaystyle \frac{\kappa }{2ps}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})y_i\right\}\right|$

$\le C{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}\left|{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|\left[|\overline{y}|{\displaystyle \frac{\log s}{s^2}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}{e}^{-\frac{{\alpha }^{\ast }s}{2}}+e^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\right]+C{e}^{-\frac{(1+{\alpha }^{\ast })s}{2}}{s}^{C_0},$ (2.24)

حيث يتم تعريف $\overline{y}=(y_1,\mathrm{\cdots },y_{\mathrm{\ell }})$ و$\tilde{y}=(y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },y_N)$ و$b$ بواسطة (2.23).

Proof.

لاحظ أن إثبات القضية 2.7 تم تقديمه في [Zaa06] فقط عند $\mathrm{\ell }=1$. وبطبيعة الحال، يمتد هذا البرهان بشكل طبيعي إلى حالة $\mathrm{\ell }\in \{2,\mathrm{\cdots },N-1\}$. نظرًا لأن ورقتنا ذات صلة فقط عندما يقدم $\mathrm{\ell }\ge 2$ والقضية 2.7 رابطًا أساسيًا بين السلوك المقارب للحل والقيود الهندسية لمجموعة الانفجار، فقد شعرنا أنه يجب علينا تقديم برهان على هذا القضية من أجل الاكتمال ومن أجل راحة القارئ. كما ذكرنا سابقًا، يقدم هذا القسم فقط الخطوات الرئيسية لإثبات نظرية 1.1، ولأن الإثبات طويل وتقني، نترك الأمر للقسم 3.3. ∎

2.3. الجزء 3: الانتظام الدقيق لمجموعة الانفجار وخاتمة برهان النظرية 1.1.

في هذا القسم الفرعي، نقدم برهاناً على انتظام ${𝒞}^2$ لمجموعة الانفجار (نظريتي 1.1 و1.3). نمضي في خطوات 2:

• الخطوة 1: نستنتج من القضية 2.5 أن ${\gamma }_a$ هو ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لجميع $\eta >0$. ثم نطبق القضية 2.7 مع ${\alpha }^{\ast }=\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ لتحسين انتظام ${\gamma }_a$ الذي يصل إلى ${𝒞}^{1,1-\eta }$ لجميع $\eta >0$.

• الخطوة 2: باستخدام انتظام ${𝒞}^{1,1-\eta }$ والقيود الهندسية في القضية 2.7، نقوم بتحسين السلوك المقارب الوارد في القضية 2.5، والذي يتضمن شروط الترتيب $\frac{1}{s}{e}^{-\frac{s}{2}}$. وباستغلال هذا السلوك المقارب الدقيق مع القيد الهندسي (2.24)، نستنتج أن ${\gamma }_a$ ينتمي إلى الصنف ${𝒞}^2$، وهو استنتاج نظرية 1.1. من المعلومات التي تم الحصول عليها عن انتظام ${𝒞}^2$، قمنا بحساب الشكل الأساسي الثاني لمجموعة الانفجار، والذي يخلص إلى إثبات نظرية 1.3.

الخطوة 1: استنتاج انتظام مجموعة الانفجار من الصنف ${𝒞}^{1,1-\eta }$.

نستنتج أولاً انتظام ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لمجموعة الانفجار لجميع $\eta >0$ من القضية 2.5. ثم نطبق القضية 2.7 مع ${\alpha }^{\ast }=\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ للحصول على انتظام ${𝒞}^{1,1-\eta }$ لجميع $\eta >0$. ونطالب على وجه الخصوص بما يلي:

قضية 2.8 ($C^{1,\frac{1}{2}-\eta }$-انتظام لـ $S$).

في ظل فرضيات نظرية 1.1، $S$ هو الرسم البياني لدالة متجهة $\gamma \in {𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }({(-{\delta }_1,{\delta }_1)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})$ لأي $\eta >0$، محليًا بالقرب من $\widehat{a}$. بتعبير أدق، هناك $h_0>0$ بحيث أنه بالنسبة لجميع و مثل ، لدينا لجميع $i\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$،

$$|{\gamma }_i(\tilde{\xi }+\tilde{h})-{\gamma }_i(\tilde{\xi })-\tilde{h}\cdot \nabla {\gamma }_i(\tilde{\xi })|\le C{|\tilde{h}|}^{\frac{3}{2}}{|\log |\tilde{h}||}^{\frac{1}{2}+\frac{C_0}{2}}.$$ (2.25)

Proof.

يعتمد الإثبات بشكل أساسي على اشتقاق الشكل التقاربي الحاد الوارد في القضية 2.5. في الواقع، نحن نستغل التقدير (2.12) لمعرفة قيد هندسي على مجموعة الانفجار $S$، مما يعني المزيد من الانتظام على $S$. نظرًا لأن الحجة تتبع نفس الأسطر كما في القسم 4، [Zaa02b] للحالة $\mathrm{\ell }=1$، ولا توجد حاجة إلى أفكار جديدة للحالة $\mathrm{\ell }\ge 2$، فسنقوم فقط برسم البرهان من خلال دعم الجوانب الأكثر صلة في القسم 3.2 من أجل القارئ. ∎

يوضح القضية التالي انتظام ${𝒞}^{1,1-\eta }$ لمجموعة الانفجار.

قضية 2.9 ($C^{1,1-\eta }$-انتظام لـ $S_{\delta }$).

يوجد ${\xi }_0>0$ بحيث أنه بالنسبة لكل $a\in S_{\delta }$، فإن المخطط المحلي المحدد في (2.17) يرضي جميع $k=\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N$ و،

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(\tilde{\xi })\right|\le C|\tilde{\xi }|{|\log |\tilde{\xi }||}^{1+\mu }\text{for some}\mu >0.$$

Proof.

لاحظ أن الحالة $\mathrm{\ell }=1$ قد تم إثباتها بالفعل في [Zaa06] (راجع اللمّة 3.4، صفحة 516). هنا نستخدم مرة أخرى وسيطة [Zaa06] للحالة $\mathrm{\ell }\ge 2$. باستخدام التقدير الوارد في القضية 2.5 وانتظام القطع المكافئ، نرى أنه بالنسبة لجميع $k\ge \mathrm{\ell }+1$ و$s\ge s_0+1$،

خذ بعين الاعتبار $a\in S_{\delta }$ و$y=(\overline{y},\tilde{y})$، حيث $\overline{y}=(y_1,\mathrm{\cdots },y_{\mathrm{\ell }})$ هو أن $y_{i_{\ast }}=1$ لبعض $i_{\ast }\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، و$y_j=0$ لـ $1\le j\ne i_{\ast }\le \mathrm{\ell }$، و$\tilde{y}=(y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },y_N)$ عشوائي في $\partial B_{N-\mathrm{\ell }}(0,1)$. بالنسبة لـ $s\ge \max \{s_0+1,s_1\}$، فإننا نعتبر $b=b(a,y,s)$ محددًا كما هو الحال في (2.23). بما أن ${\gamma }_a$ هو ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$ لأي $\eta >0$، فإننا نستخدم (2.24) مع ${\alpha }^{\ast }=\alpha \in (0,\frac{1}{2})$ للكتابة لـ $k\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$،

$$\frac{\kappa }{2ps}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i_{\ast }}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|\le C\frac{\log s}{s^2}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|+C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu }.$$

نظرًا لأن $i_{\ast }$ تعسفي في $\{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، فقد حصلنا على ذلك

$$\frac{\kappa }{2ps}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|\le C\frac{\log s}{s^2}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|+C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu },$$

الذي يعطي

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{1+\mu }.$$

إذا كان $\tilde{\xi }=e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y}$، ثم $|\tilde{\xi }|=e^{-\frac{s}{2}}$ و$|\log |\tilde{\xi }||=\frac{s}{2}$ منذ $|\tilde{y}|=1$. لذلك،

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|\le C|\tilde{\xi }|{|\log |\tilde{\xi }||}^{1+\mu }.$$

نظرًا لأن $\tilde{y}$ تعسفي في $\partial B_{N-\mathrm{\ell }}(0,1)$، فإن $\tilde{\xi }=e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y}$ يغطي حيًا كاملاً من $0$، أي $B(0,{\xi }_0)$ حيث ${\xi }_0=e^{-\frac{1}{2}\max \{s_0+1,s_1\}}$، ووبذلك يكتمل إثبات القضية 2.9. ∎

الخطوة 2: سلوك تقاربي أدق واستنتاج انتظام من الصنف ${𝒞}^2$ لـ $S$.

في هذا الجزء، سوف نستخدم انتظام ${𝒞}^{1,1-\eta }$ لمجموعة الانفجار مع القيد الهندسي (2.24) من أجل تحسين السلوك المقارب (2.10) بشكل أكبر. ونطالب على وجه الخصوص بما يلي:

قضية 2.10 (مزيد من السلوك المقارب الدقيق(2.10)).

هناك$s_2>0$, $d\in (0,\frac{1}{2})$والوظائف المستمرة$a\to {\lambda }_{\beta }(a)$للجميع$\beta \in {\mathbb{N}}^N$مع $|\beta |=3$و$|\overline{\beta }|=1$، حيث $\overline{\beta }=({\beta }_1,\mathrm{\cdots },{\beta }_{\mathrm{\ell }})$, $|\overline{\beta }|=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i$، بحيث يكون ذلك للجميع$a\in S_{\delta }$و$s\ge s_2$,

$${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)-\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}\sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=1}{\lambda }_{\beta }(a)h_{\beta }(y)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}},$$ (2.26)

حيث يتم تعريف $h_{\beta }$ في (3.4).

Proof.

يعتمد إثبات هذا القضية على أفكار [Zaa06] حيث تمت معالجة الحالة $\mathrm{\ell }=1$. كما هو الحال في [Zaa06]، يلعب القيد الهندسي الوارد في القضية 2.7 دورًا مهمًا في اشتقاق (2.26). وبما أن البرهان طويل وتقني، فإننا نترك الأمر للقسم 3.4. ∎

دعونا نشتق نظرية 1.1 من المقترحات 2.10 و2.7. على وجه الخصوص، تعتبر نظرية 1.1 نتيجة مباشرةً لما يلي:

قضية 2.11.

لجميع $a\in S_{\delta }$، لدينا لجميع $i\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، $j,k\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$،

$${\mathrm{\Lambda }}_{j,k}^{(i)}(a)=\frac{{\partial }^2{\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_j{\xi }_k}(0)=\frac{2p}{\kappa }(1+{\delta }_{j,k}){\lambda }_{e_i+e_j+e_k}(a),$$

حيث تم تقديم $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ في القضية 2.10، $e_i$ هو المتجه $i$ للقاعدة الأساسية لـ ${ℝ}^N$، و${\delta }_{i,k}$ هو الرمز Kronecker.

Proof.

من (2.20) و(2.26) وحقيقة أن التقدير (2.26) ينطبق أيضًا على من خلال انتظام القطع المكافئ، فإننا نشتق لجميع $k\ge \mathrm{\ell }+1$ و$s\ge s_2+1$،

(2.27)

لبعض $d\in (0,\frac{1}{2})$.
لاحظ أنه إذا كان $|\overline{\beta }|=1$، فهناك فهرس فريد $i^{\ast }\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$ مثل ${\beta }_{i^{\ast }}=1$ و${\beta }_m=0$ لـ $m\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، $m\ne i^{\ast }$. لاحظ أيضًا من تعريف $h_{\beta }$ (انظر (3.4) أدناه) أن

$$\frac{\partial h_{\beta }}{\partial y_k}(y)={\beta }_k{h}_{{\beta }_k-1}(y_k)\prod _{j=1,j\ne k}^N{h}_{{\beta }_j}(y_j),$$

وأن $h_0=1$. ولذلك، ينتج (2.27)

$$\left|\frac{\partial w_a}{\partial y_k}(y,s)-\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\sum _{|\beta |=3,{\beta }_i=1}{\lambda }_{\beta }(a)h_1(y_i){\beta }_k{h}_{{\beta }_k-1}(y_k)\prod _{j={\mathrm{\ell }}_a+1,j\ne k}{h}_{{\beta }_j}(y_j)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}.$$

خذ $i^{\ast }\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$ بشكل تعسفي و$y=e_{i^{\ast }}+ϵe_j$ حيث $ϵ=\pm 1$ و$j\ge \mathrm{\ell }+1$، ولاحظ أن $h_m(0)=0$ إذا كان $m$ فرديًا، وإذا كان $|\beta |=3,{\beta }_{i^{\ast }}=1$، فإما $\beta =e_{i^{\ast }}+e_{j^{\ast }}+e_{k^{\ast }}$ أو $\beta =e_{i^{\ast }}+2e_{j^{\ast }}$ لبعض $j^{\ast },k^{\ast }\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$، فإن الهوية المذكورة أعلاه تنتج

$$\left|\frac{\partial w_a}{\partial y_k}(e_{i^{\ast }}+ϵe_j,s)-ϵ\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}(1+{\delta }_{k,j}){\lambda }_{e_{i^{\ast }}+e_k+e_j}(a)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}.$$ (2.28)

وبالمثل، لدينا

$$\left|\frac{\partial w_a}{\partial y_k}(e_{i^{\ast }},s)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}.$$ (2.29)

الآن باستخدام القضية 2.7، نكتب لـ $y=e_{i^{\ast }}+ϵe_j$ و$s\ge \max \{s_2+1,s_1\}$،

$\left|{\displaystyle \frac{\partial w_a}{\partial y_k}}(e_{i^{\ast }}+ϵe_j,s)-{\displaystyle \frac{\partial w_a}{\partial y_k}}(e_{i^{\ast }},s)-{\displaystyle \frac{\kappa }{2ps}}{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i^{\ast }}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)\right|$

$\le C{\displaystyle \frac{\log s}{s^2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}\left|{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)\right|+C{e}^{-\frac{(1+{\alpha }^{\ast })s}{2}}{s}^{C_0}+C{e}^{-s}{s}^{C_0+1}.$

وباستخدام هذا التقدير مع (2.28) و(2.29)، نحصل على

$\left|ϵe^{-\frac{s}{2}}(1+{\delta }_{k,j}){\lambda }_{e_{i^{\ast }}+e_k+e_j}(a)-{\displaystyle \frac{\kappa }{2p}}{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i^{\ast }}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)\right|$

$\le C{\displaystyle \frac{\log s}{s}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}\left|{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)\right|+C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{1}{2}}.$ (2.30)

من القضية 2.10، نرى ذلك

$$\forall s\ge s_2,{\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{s}^{-1}{e}^{-\frac{s}{2}}.$$

باستخدام هذا التقدير وملاحظة أن نفس إثبات القضية 2.9 ينطبق على $\mu =-1$، فإننا نستنتج

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left|\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}.$$

وبوضع هذا التقدير في (2.30) ولاحظ أن $\frac{\partial {\gamma }_{a,i^{\ast }}}{\partial {\xi }_k}(0)=0$ نجد ذلك

$$\frac{{\partial }^2{\gamma }_{a,i^{\ast }}}{\partial {\xi }_k\partial {\xi }_j}(0)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\partial {\gamma }_{a,i^{\ast }}}{\partial {\xi }_k}(e^{-\frac{s}{2}}ϵe_j)}{ϵe^{-\frac{s}{2}}}=\frac{2p}{\kappa }(1+{\delta }_{k,j}){\lambda }_{e_{i^{\ast }}+e_k+e_j}(a).$$ (2.31)

نظرًا لأن $i^{\ast }$ ينتمي بشكل تعسفي إلى $\{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، فإن الهوية (2.31) تحمل جميع $i^{\ast }\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$. بهذا نختتم إثبات القضية 2.11. ∎

إثبات نظرية 1.1.

من تعريف الرسم البياني المحلي (2.17)، لدينا لجميع $i\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$، ${\gamma }_{a,i}(0)=\nabla {\gamma }_{a,i}(0)=0$. ومن ثم، نستنتج من (2.31) التعبير عن الشكل الأساسي الثاني للانفجار المحدد عند النقطة $a$ على طول المتجه الأساسي الواحدي $Q_a^T{e}_i$: بالنسبة لجميع $k,j\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$،

$${\mathrm{\Lambda }}_{k,j}^{(i)}(a)=\frac{{\partial }^2{\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k\partial {\xi }_j}(0)=\frac{2p}{\kappa }(1+{\delta }_{k,j}){\lambda }_{e_i+e_k+e_j}(a).$$ (2.32)

بالإضافة إلى ذلك، بما أن $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ مستمر، فإننا نستنتج أن مجموعة الانفجار هي من فئة ${𝒞}^2$. هذا يكمل إثبات نظرية 1.1. ∎

إثبات نظرية 1.3.

التقدير (1.23) يتبع مباشرةً من المقترحات 2.10 و2.11. في الواقع، يمكن فهرسة المبلغ في تقدير (2.26) كما

$$\{\beta \in {\mathbb{N}}^N,|\beta |=3,|\overline{\beta }|=1\}=\{e_i+e_j+e_k,1\le i\le \mathrm{\ell },\mathrm{\ell }+1\le j,k\le N\},$$

حيث $e_k$ هو ناقل الأساس المعياري $k$ لـ ${ℝ}^N$. من (2.32) وتعريف $h_{\beta }$ (انظر (3.4) أدناه)، نكتب

${\displaystyle \sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=1}}{\lambda }_{\beta }(a)h_{\beta }(y)$ $={\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{\displaystyle \sum _{j,k=\mathrm{\ell }+1}^N}{\lambda }_{e_i+e_j+e_k}{h}_{e_i+e_j+e_k}(y)$

$={\displaystyle \frac{\kappa }{2p}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{y}_i{\displaystyle \sum _{j,k=\mathrm{\ell }+1}^N}{\displaystyle \frac{{\mathrm{\Lambda }}_{j,k}^{(i)}(a)}{1+{\delta }_{j,k}}}(y_j{y}_k-2{\delta }_{j,k}),$

الذي ينتج (1.23).

أما بالنسبة إلى (1.24)، نلاحظ من (2.26) أنه بالنسبة لجميع $|\beta |=3$ مع $|\overline{\beta }|=1$ (تذكر أن $g_a(y,s)=W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)$)،

$$\left|g_{a,\beta }(s)-\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}{\lambda }_{\beta }(s)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}.$$

ومن ثم نكتب من (2.32)،

${\mathrm{\Lambda }}_{j,k}^{(i)}(a)$ $={\displaystyle \frac{2p}{\kappa }}(1+{\delta }_{j,k}){\lambda }_{e_i+e_j+e_k}(a)$

$={\displaystyle \frac{2p}{\kappa }}(1+{\delta }_{j,k})\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}s{e}^{\frac{s}{2}}{g}_{a,e_i+e_j+e_k}(s)$

$={\displaystyle \frac{2p}{\kappa }}(1+{\delta }_{j,k})\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}s{e}^{\frac{s}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{g}_a(y,s){\displaystyle \frac{h_{e_i+e_j+e_k}(y)}{{\Vert h_{e_i+e_j+e_k}\Vert }_{L_{\rho }^2}^2}}\rho (y)𝑑y$

باستخدام تعريف $h_{\beta }$ مرة أخرى (انظر (3.4) أدناه)، نرى أن $h_{e_i+e_j+e_k}=y_i(y_j{y}_k-{\delta }_{j,k})$ و${\Vert h_{e_i+e_j+e_k}\Vert }_{L_{\rho }^2}^2=8(1+{\delta }_{j,k})$. تذكر أن $w_{𝒜}$ لا يعتمد على $y_j$ لـ $j\ge \mathrm{\ell }+1$. وبالتالي، بالنسبة لجميع $j,k\ge \mathrm{\ell }+1$،

$${\mathrm{\Lambda }}_{j,k}^{(i)}(a)=\frac{p}{4\kappa }\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}s{e}^{\frac{s}{2}}{\int }_{{ℝ}^N}{W}_a(Q_{a}y,s)y_i(y_j{y}_k-2{\delta }_{j,k})\rho (y)𝑑y,$$

وهو (1.24). بهذا ننتهي من إثبات نظرية 1.3. ∎

3. برهان القضايا 2.1 و2.7 و2.8 و2.10.

3.1. تصنيف فرق حلين للمعادلة (1.13) لهما السلوك التقاربي نفسه.

في هذا القسم الفرعي، نقدم برهاناً على القضية 2.1. الصيغة هي نفسها الواردة في [FZ00] للفرق بين حلين مع الشكل التقاربي الشعاعي ($\mathrm{\ell }=N$). لذلك، نرسم البرهان ونركز فقط على المستجدات. لاحظ أيضًا أنه تمت معالجة الحالة $\mathrm{\ell }=1$ في [Zaa02b].

دعونا نحدد

$$g(y,s)=W_1(y,s)-W_2(y,s),$$ (3.1)

حيث $W_i,i=1,2$ هي حلول المعادلة (1.13) وتتصرف مثل (2.4). نرى من (1.13) و(2.4) أنه بالنسبة لجميع $(y,s)\in {ℝ}^N\times [-\log T,+\mathrm{\infty })$،

$$\{\begin{array}{c}{\partial }_{s}g=ℒg+\alpha g,\hfill \\ {\Vert g(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C\frac{\log s}{s^2},\hfill \end{array}$$ (3.2)

حيث

$$ℒ=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{2}y\cdot \nabla +1,$$

و

$$\alpha (y,s)=\frac{{|W_1|}^{p-1}{W}_1-{|W_2|}^{p-1}{W}_2}{W_1-W_2}-\frac{p}{p-1}\text{if}{W}_1\ne W_2,$$

بخاصة،

$$\alpha (y,s)=p{|W_0(y,s)|}^{p-1}-\frac{p}{p-1},\text{for some}{W}_0(y,s)\in (W_1(y,s),W_2(y,s)).$$ (3.3)

المشغل $ℒ$ هو ذاتي التوصيل في $𝒟(ℒ)\subset L_{\rho }^2({ℝ}^N)$. ويتكون طيفها من القيم الذاتية

$$spec(ℒ)=\left\{{\lambda }_n=1-\frac{n}{2},n\in \mathbb{N}\right\}.$$

الوظائف الذاتية المقابلة لـ $1-\frac{n}{2}$ هي

$$h_{\beta }(y)=h_{{\beta }_1}(y_1)\mathrm{\cdots }{h}_{{\beta }_N}(y_N),{\beta }_1+\mathrm{\cdots }+{\beta }_N=|\beta |=n,$$ (3.4)

حيث

$$h_m(\xi )=\sum _{i=0}^{[m/2]}\frac{m!}{i!(m-2i)!}{(-1)}^i{\xi }^{m-2i}\text{for}m\in \mathbb{N},$$

إرضاء

$${\int }_{ℝ}{h}_m(\xi )h_n(\xi )\rho (\xi )𝑑\xi =2^{m}m!{\delta }_{m,n}.$$

يتم إعطاء مكون $g$ على $h_{\beta }$ بواسطة

$$g_{\beta }(s)={\int }_{{ℝ}^N}{k}_{\beta }(y)g(y,s)\rho (y)𝑑y,\text{where}{k}_{\beta }(y)=\frac{h_{\beta }(y)}{{\Vert h_{\beta }\Vert }_{L_{\rho }^2}^2}.$$

إذا أشرنا بواسطة $P_n$ إلى جهاز العرض المتعامد لـ $L_{\rho }^2$ عبر الفضاء الذاتي لـ $ℒ$ المطابق للقيمة الذاتية $1-\frac{n}{2}$، إذن

$$P_{n}g(y,s)=\sum _{|\beta |=n}{g}_{\beta }(s)h_{\beta }(y).$$

نظرًا لأن الوظائف الذاتية لـ $ℒ$ تمتد إلى كامل مساحة $L_{\rho }^2$، فيمكننا الكتابة

$$g(y,s)=\sum _{n\in N}{P}_{n}g(y,s)=\sum _{\beta \in {\mathbb{N}}^N}{g}_{\beta }(s)h_{\beta }(y)=\sum _{\beta \in {\mathbb{N}}^N,|\beta |\le k}{g}_{\beta }(s)h_{\beta }(y)+R_{k+1}g(y,s),$$

حيث $R_{k}g=\sum _{n\ge k}{P}_{n}g$. ونشير أيضًا

$$I{(s)}^2={\Vert g(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}^2=\sum _{n\in \mathbb{N}}{l}_n^2(s)=\sum _{n\le k}{l}_n^2(s)+r_{k+1}^2(s),$$ (3.5)

حيث

$$l_n(s)={\Vert P_{n}g(s)\Vert }_{L_{\rho }^2},r_k(s)={\Vert R_{k}g(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}.$$ (3.6)

أما بالنسبة لـ $\alpha$، فلدينا التقديرات التالية:

لمّة 3.1 (تقديرات على $\alpha$).

بالنسبة لجميع $y\in {ℝ}^N$ و$s\ge -\log T$، لدينا

$$\alpha (y,s)\le \frac{C}{s},|\alpha (y,s)|\le \frac{C}{s}(1+{|y|}^2),$$

و

$$\left|\alpha (y,s)+\frac{1}{4s}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{h}_2(y_i)\right|\le \frac{C}{s^{\frac{3}{2}}}(1+{|y|}^3).$$ (3.7)

Proof.

يتبع الإثبات نفس الأسطر مثل إثبات اللمّة 2.5 في [FZ00] حيث تمت معالجة الحالة $\mathrm{\ell }=N$. ∎

في الدرس التالي، نقوم بإسقاط المعادلة (3.2) على الأوضاع المختلفة للحصول على تقديرات لـ $I(s)$ و$l_n(s)$ و$r_n(s)$. وبتعبير أدق، فإننا نطالب بما يلي:

لمّة 3.2 (تطور $I(s)$ و$l_n(s)$ و$r_n(s)$).

يوجد $s_3\ge -\log T$ و$s_{\ast }>0$ بحيث أنه بالنسبة لجميع $s\ge s_3$ و$n\in \mathbb{N}$ و$\beta \in {\mathbb{N}}^N$، لدينا

• $\left|l_n^{\prime }(s)+\left(\frac{n}{2}-1\right)l_n(s)\right|\le C(n){\displaystyle \frac{I(s)}{s}}$.

• $I^{\prime }(s)\le \left(1-\frac{n+1}{2}+\frac{C_0}{s}\right)I(s)+\sum _{k=0}^n\frac{1}{2}(n+1-k)l_k(s)$.

• $\left|g_{\beta }^{\prime }(s)+\left(-1+\frac{|\beta |}{2}+\frac{1}{s}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i\right)g_{\beta }(s)\right|\le C(\beta )\left({\displaystyle \frac{1}{s^{\frac{3}{2}}}}I(s)+{\displaystyle \frac{1}{s}}\left(l_{|\beta |-2}(s)+l_{|\beta |+2}\right)\right)$.

• $r_n^{\prime }(s)\le \left(1-\frac{n}{2}\right)r_n(s)+\frac{C}{s}I(s-s_{\ast })$.

Proof.

بالنسبة إلى $(i)$ و$(ii)$، راجع اللمّة 2.7، صفحة 1197 في [FZ00]. بالنسبة إلى $(iii)$، راجع الملحق B.1، صفحة 545 في [Zaa02b] للحصول على حسابات مماثلة. بالنسبة لـ $(iv)$، راجع صفحة 523 في [Zaa06]، حيث يعتمد الحساب بشكل أساسي على خاصية التنظيم التالية للمعادلة (3.2) بواسطة Herrero وVelázquez [HV93] (التحكم في معيار $L_{\rho }^4$ بواسطة معيار $L_{\rho }^2$ حتى بعض التأخير في الوقت، راجع اللمّة 2.3 في [HV93]):

$${\left(\int g^4(y,s)\rho 𝑑y\right)}^{1/4}\le C{\left(\int g^2(y,s-s_{\ast })\rho 𝑑y\right)}^{\frac{1}{2}}\text{for some}{s}_{\ast }>0.$$

بهذا ينتهي إثبات اللمّة 3.2. ∎

في الخطوة التالية، نستخدم اللمّة 3.2 لإظهار أن الوضع الفارغ أو الوضع السلبي لـ $ℒ$ سيهيمن على أنه $s\to +\mathrm{\infty }$. وعلى وجه الخصوص، لدينا ما يلي:

قضية 3.3 (هيمنة الوضع ووصفه).

لدينا
$i)$ إما لجميع $n\in \mathbb{N}$ و $l_n(s)=𝒪\left({\displaystyle \frac{I(s)}{s}}\right)$ ويوجد ${\sigma }_n$ و $C_n>0$ و $C_n^{\prime }>0$ بحيث

$$\forall s\ge {\sigma }_n,I(s)\le C_n{s}^{C_n^{\prime }}exp\left((1-n/2)s\right).$$

$ii)$ أو أن هناك $n_0\ge 2$ من هذا القبيل

$$I(s)\sim l_{n_0}(s)\text{and}\forall n\ne n_0,l_n(s)=𝒪\left(\frac{I(s)}{s}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (3.8)

علاوة على ذلك،

• إذا كان $n_0=2$، أي $I(s)\sim l_2(s)$، إذن

  (3.9)

• إذا كان $n_0=3$، أي $I(s)\sim l_3(s)$، إذن

  $$I(s)\le C_0{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}\text{for some}{C}_0>0.$$ (3.10)

Proof.

راجع القضية 2.6، صفحة 1196 في [FZ00] لوجود مكون مهيمن، حيث يعتمد البرهان على $(i)$ و$(ii)$ من اللمّة 3.2. إذا حدثت الحالة $(ii)$ مع $n_0=2$، نكتب من $(iii)$ من اللمّة 3.2: لجميع $\beta \in {\mathbb{N}}^N$ مع $|\beta |=2$،

$$\left|g_{\beta }^{\prime }(s)+\frac{g_{\beta }}{s}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i\right|\le C(\beta )\left(\frac{I(s)}{s^{\frac{3}{2}}}+\frac{l_0(s)+l_4(s)}{s}\right)\le C(\beta )\frac{I(s)}{s^{\frac{3}{2}}}\le C(\beta )\frac{\log s}{s^{7/2}},$$

حيث استخدمنا (3.8) و (3.2) ومنها $l_0(s)+l_4(s)=𝒪\left(\frac{I(s)}{s}\right)$ و $I(s)=𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)$. نظرًا لأن $\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i$ يساوي $0,1$ أو $2$ فقط إذا كان $|\beta |=2$، فإن التقدير (3.9) يتبع بعد التكامل. تقدير (3.10) يتبع مباشرةً $(i)$ لـ اللمّة 3.2. بهذا ينتهي إثبات القضية 3.3. ∎

دعونا الآن نشتق القضية 2.1 من القضية 3.3. في الواقع، نرى من القضية 3.3 أنه في حالة حدوث الحالة $i)$، فلدينا بالفعل اضمحلال أسي لـ $I(s)$. إذا حدثت الحالة $(ii)$ مع $n_0\ge 3$، نكتب من الجزء $(i)$ من اللمّة 3.2،

$$\left|l_{n_0}^{\prime }(s)+\left(\frac{n_0}{2}-1\right)l_{n_0}\right|\le \frac{C}{s}{l}_{n_0}.$$

منذ $l_{n_0}\ne 0$ في حي اللانهاية، وهذا يعطي

$$l_{n_0}(s)\le C_0{s}^{C_0}{e}^{\left(1-\frac{n_0}{2}\right)s}\le C_0{s}^{C_0}{e}^{-\frac{s}{2}},$$

الذي ينتج (2.8). إذا حدثت الحالة $(ii)$ مع $n_0=2$، حسب تعريف $P_2$، فإننا نستنتج من (3.9) أن هناك مصفوفة $(\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell })$ حقيقية ومتماثلة $ℬ$ بحيث

$$P_{2}g(y,s)=\frac{1}{s^2}\left(\frac{1}{2}{\overline{y}}^Tℬ\overline{y}-tr(ℬ)\right)+o\left(\frac{1}{s^2}\right),$$

وهو (2.7). وبهذا ينتهي إثبات القضية 2.1. $\mathrm{\square }$

3.2. انتظام مجموعة الانفجار من الصنف ${𝒞}^{1,\frac{1}{2}-\eta }$.

نقدم برهاناً على القضية 2.8 في هذا القسم. يستخدم البرهان الوسيطة الواردة في [Zaa02b] التي تمت معالجتها للحالة $\mathrm{\ell }=1$. هنا يجب علينا استغلال التقدير الدقيق (2.12) للحصول على قيد هندسي على مجموعة الانفجار. بدون فقدان العمومية، نفترض $\widehat{a}=0$ و$Q_{\widehat{a}}=Id$. في ظل فرضيات القضية 2.8، نعلم أن $\gamma \in {𝒞}^1({(-{\delta }_1,{\delta }_1)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})$ مع $\mathrm{\ell }\in \{1,\mathrm{\cdots },N-1\}$. إذا قدمنا

$$\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})=({\gamma }_1(\tilde{x}),\mathrm{\cdots },{\gamma }_{\mathrm{\ell }}(\tilde{x}),\tilde{x}),\tilde{x}=(x_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },x_N),$$

ثم

$$\text{Im}\mathrm{\Gamma }\cap B(0,2\delta )=\text{graph}(\gamma )\cap B(0,2\delta )=S_{\delta }.$$

خذ بعين الاعتبار $\tilde{x}$ و$\tilde{h}$ في ${ℝ}^{N-\mathrm{\ell }}$ بحيث يكون $\tilde{x}$ وكذلك $\tilde{x}+\tilde{h}$ موجودين في $B(0,{\delta }_1)$ و$\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})$ بالإضافة إلى $\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})$ موجودين في $S_{\delta }$. بالنسبة لجميع $t\in [T-e^{-s_0-1},T)$ مثل $|\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})-\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})|\le \sqrt{(T-t)|\log (T-t)|}$، نستخدم (2.12) مع $x=a=\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})$، ثم مع $x=\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})$ و$a=\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})$) للعثور على ذلك

(3.11)

حيث يتم تعريف ${\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),s}$ على أنه

$${\overline{y}}_{a_1,a_2,s}=e^{\frac{s}{2}}((a_1-a_2)\cdot Q_{a_1}{e}_1,\mathrm{\cdots },(a_1-a_2)\cdot Q_{a_1}{e}_{\mathrm{\ell }}).$$ (3.12)

وبما أن $\mathrm{\Gamma }$ هو ${𝒞}^1$، فلدينا

$$|\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})-\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})|\le C|\tilde{h}|.$$

دعونا نصلح $t=\tilde{t}(\tilde{x},\tilde{h})$ بهذه الطريقة

$$|\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})-\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})|=\sqrt{(T-\tilde{t})|\log (T-\tilde{t})|},$$ (3.13)

ونأخذ $\tilde{h}\in B_{N-\mathrm{\ell }}(0,h_1(s_0))$ لبعض $h_1(s_0)>0$، ثم لدينا $\tilde{t}\ge T-e^{-s_0-1}$. وبالتالي، إذا كان $\tilde{s}=-\log (T-\tilde{t})$، لدينا (3.11)،

$$\left|w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}({\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\tilde{s}},\tilde{s})\right|\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}+C_0}.$$ (3.14)

وبالمثل، من خلال تغيير أدوار $\tilde{x}$ و$\tilde{x}+\tilde{h}$، نحصل على

$$\left|w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}({\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\tilde{s}},\tilde{s})\right|\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}+C_0},$$ (3.15)

حيث يتم تعريف ${\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\tilde{s}}$ كما في (3.12).

من توسع تايلور لـ $w_{ℬ}(\overline{y},\tilde{s})$ بالقرب من $\overline{y}=0$، نكتب

$$w_{ℬ}(\overline{y},\tilde{s})=w_{ℬ}(0,\tilde{s})+\overline{y}\cdot \nabla w_{ℬ}(0,\tilde{s})+\frac{1}{2}{\overline{y}}^T{\nabla }^2{w}_{ℬ}(0,\tilde{s})\overline{y}+𝒪\left({|\overline{y}|}^3|{\nabla }^3{w}_{ℬ}(z,\tilde{s})|\right),$$ (3.16)

لبعض $z$ بين $0$ و$\overline{y}$.

نظرًا لأن (2.3) و(2.9) يثبتان أيضًا في ${𝒞}_{loc}^k$ من خلال انتظام القطع المكافئ، فإننا نستنتج ذلك

$$|\nabla w_{ℬ}(0,\tilde{s})|=𝒪\left(\frac{\log \tilde{s}}{{\tilde{s}}^2}\right),{\nabla }^2{w}_{ℬ}(0,\tilde{s})=-\frac{\kappa }{4p\tilde{s}}{I}_{\mathrm{\ell }\times \mathrm{\ell }}+𝒪\left(\frac{\log \tilde{s}}{{\tilde{s}}^2}\right).$$

من [MZ98] (انظر نظرية 1)، نعلم أن ${\Vert {\nabla }^3{w}_{ℬ}(\tilde{s})\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\le \frac{C_3}{{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}}}$. استبدال كل هذه التقديرات المذكورة أعلاه في عوائد (3.16)

$$w_{ℬ}(\overline{y},\tilde{s})\le w_{ℬ}(0,\tilde{s})-\frac{\kappa }{8p\tilde{s}}{|\overline{y}|}^2+\frac{C_3{|\overline{y}|}^3}{6{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}}}+\frac{C\log \tilde{s}}{{\tilde{s}}^2}.$$

لذلك، لدينا

$$\forall |\overline{y}|\le \frac{3\kappa }{8C_{3}p}\sqrt{\tilde{s}},w_{ℬ}(\overline{y},\tilde{s})\le w_{ℬ}(0,\tilde{s})-\frac{\kappa }{16p\tilde{s}}{|\overline{y}|}^2.$$ (3.17)

نطالب من (3.14) و(3.15) و(3.17) بما يلي:

$$\left|w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}(0,\tilde{s})\right|\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}+C_0},$$ (3.18)

في الواقع، إذا كان $w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}(0,\tilde{s})\ge 0$، فلدينا (3.17) و(3.15)،

$0$ $\le w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}(0,\tilde{s})$

$\le w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}({\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\tilde{s}},\tilde{s})\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}+C_0}.$

إذا كان $w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}))}(0,\tilde{s})\le 0$، فإننا نفعل ما ورد أعلاه ونستخدم (3.14) بدلاً من (3.15) للحصول على (3.18).
من (3.18)، (3.14) و(3.17)، نحصل على

$$\frac{\kappa }{16p\tilde{s}}{|{\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\tilde{s}}|}^2\le w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}(0,\tilde{s})-w_{ℬ(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}))}({\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\tilde{s}},\tilde{s})\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{3}{2}+C_0}.$$

وبالتالي نحصل على

$${|{\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\tilde{s}}|}^2\le C{e}^{-\frac{\tilde{s}}{2}}{\tilde{s}}^{\frac{5}{2}+C_0}.$$ (3.19)

من تعريف (3.12)، لدينا

$$|{\overline{y}}_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h}),\tilde{s}}|=e^{\frac{\tilde{s}}{2}}d(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),{\pi }_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})}),$$ (3.20)

حيث نتذكر أن ${\pi }_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})}$ هي المستوي المماس لـ $S$ عند $\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})$. ومن ناحية أخرى، فإننا ندعي ذلك

$$d(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),T_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})})\ge \frac{|{\gamma }_i(\tilde{x}+\tilde{h})-{\gamma }_i(\tilde{x})-\tilde{h}\cdot \nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}{\sqrt{1+{|\nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}^2}},$$ (3.21)

حيث $S_i$ هو سطح المعادلة $x_i={\gamma }_i(\tilde{x})$، $T_{i,\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})}$ هو مخطط المماس لـ $S_i$ عند $\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})$. وبالفعل نلاحظ ذلك

$$d(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),T_{i,\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})})=\frac{|{\gamma }_i(\tilde{x}+\tilde{h})-{\gamma }_i(\tilde{x})-\tilde{h}\cdot \nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}{\sqrt{1+{|\nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}^2}},$$

و $Im\mathrm{\Gamma }\subset S_i$، وبالتالي، (3.21) يتبع من $d(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),T_{\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})})\ge d(\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}),T_{i,\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})})$.

الجمع بين (3.19) و(3.20) و(3.21) مع العلاقة $\tilde{s}=-\log (T-\tilde{t})$

$${|{\gamma }_i(\tilde{x}+\tilde{h})-{\gamma }_i(\tilde{x})-\tilde{h}\cdot \nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}^2\le C{(T-\tilde{t})}^{\frac{3}{2}}{|\log (T-\tilde{t})|}^{\frac{5}{2}+C_0}.$$

إذا كنا نشير إلى $A=|\mathrm{\Gamma }(\tilde{x}+\tilde{h})-\mathrm{\Gamma }(\tilde{x})|\le C|\tilde{h}|$، فلدينا بالعلاقة (3.13)،

$$|\log (T-\tilde{t})|\sim 2|\log A|,T-\tilde{t}\sim \frac{A^2}{2|\log A|}\text{as}A\to 0.$$

لذلك،

$${|{\gamma }_i(\tilde{x}+\tilde{h})-{\gamma }_i(\tilde{x})-\tilde{h}\cdot \nabla {\gamma }_i(\tilde{x})|}^2\le C{A}^3{|\log A|}^{1+C_0}\le C{|\tilde{h}|}^3{|\log |\tilde{h}||}^{1+C_0},$$

الذي ينتج (2.25). وبهذا ينتهي إثبات القضية 2.8. $\mathrm{\square }$

3.3. قيد هندسي يربط سلوك انفجار الحل بانتظام مجموعة الانفجار.

هذا القسم مخصص لإثبات القضية 2.7. يتبع البرهان الأفكار الواردة في [Zaa06]. تذكر من الفرضية القائلة بأن ${\gamma }_a\in {𝒞}^{1,{\alpha }^{\ast }}({(-{ϵ}_a,{ϵ}_a)}^{N-\mathrm{\ell }},{ℝ}^{\mathrm{\ell }})$ لبعض ${\alpha }^{\ast }\in (0,\frac{1}{2})$ و${ϵ}_a>0$، وأن ${\gamma }_{a,i}(0)=\nabla {\gamma }_{a,i}(0)=0$، لدينا لجميع ،

$$|{\gamma }_{a,i}(\tilde{\xi })|\le C{|\tilde{\xi }|}^{1+{\alpha }^{\ast }}\text{and}|\nabla {\gamma }_{a,i}(\tilde{\xi })|\le C{|\tilde{\xi }|}^{{\alpha }^{\ast }}.$$ (3.22)

فيما يلي، تم إصلاح $k\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$، ونستخدم الفهارس $i$ و$m$ للنطاق $1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }$، والفهرس $j$ للنطاق $\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N$.

نستخدم الآن (3.22) لتقريب جميع المصطلحات التي تظهر في (2.22).

مصطلح $(a)$ ${\tau }_k(a)\cdot {\eta }_i(b)$. من الإحداثيات المحلية (2.23)، لدينا

$${\eta }_i(b)=\frac{1}{\sqrt{1+{|\nabla {\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})|}^2}}\left({\eta }_i(a)-\sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N\frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_j}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y}){\tau }_j(a)\right).$$

باستخدام (3.22) وحقيقة أن ${\tau }_k(a)\cdot {\eta }_i(a)=0$ و${\tau }_k(a)\cdot {\tau }_j(a)={\delta }_{k,j}$، نحصل على

$\left|{\tau }_k(a)\cdot {\eta }_i(b)+{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|$ $=\left|\left(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{|\nabla {\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})|}^2}}}\right){\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|$

$\le \left|{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|{|\nabla {\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})|}^2$

$\le \left|{\displaystyle \frac{\partial {\gamma }_{a,i}}{\partial {\xi }_k}}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|e^{-{\alpha }^{\ast }s}.$ (3.23)

مصطلح $(b)$ ${\tau }_k(a)\cdot {\tau }_j(b)$. من (2.23) و(3.22)، لدينا

$$|b-a|\le \left|\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right|+e^{-\frac{s}{2}}|\tilde{y}|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}.$$

نظرًا لأن ${\eta }_i$ و${\tau }_j$ هما ${𝒞}^{{\alpha }^{\ast }}$، فإنه ينص على ذلك

$$|{\eta }_i(a)-{\eta }_i(b)|+|{\tau }_j(a)-{\tau }_j(b)|\le C{|a-b|}^{{\alpha }^{\ast }}\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}.$$

وهذا يتبع ذلك

$$\begin{array}{c}|{\eta }_i(a)\cdot {\eta }_m(b)-{\delta }_{i,m}|+|{\tau }_k(a)\cdot {\tau }_j(b)-{\delta }_{k,j}|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}},\\ |{\eta }_i(a)\cdot {\tau }_j(b)|+|{\eta }_i(b)\cdot {\tau }_j(a)|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}.\end{array}$$ (3.24)

$(c)$ النقطة $Y(a,y,s)$. باستخدام (2.18)، (2.21) و(2.23)، نكتب

$Y_m$ $=Y\cdot e_m=\left(Q_{a}y+e^{\frac{s}{2}}(a-b)\right)\cdot Q_b{e}_m$

$=\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{y}_i{\eta }_i(a)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N}{y}_j{\tau }_j(a)-e^{\frac{s}{2}}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y}){\eta }_i(a)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{\ell }+1}^N}{e}^{-\frac{s}{2}}{y}_j{\tau }_j(a)\right]\right\}\cdot Q_b{e}_m$

$=\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}}\left[y_i-e^{\frac{s}{2}}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right]{\eta }_i(a)\right\}\cdot Q_b{e}_m.$

من (2.18)، نكتب لـ $m\in \{1,\mathrm{\cdots },\mathrm{\ell }\}$،

$Y_m-y_m$ $=\left\{\left(y_m-e^{\frac{s}{2}}{\gamma }_{a,m}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right){\eta }_m(a)\cdot {\eta }_m(b)-y_m{\eta }_m(a)\cdot {\eta }_m(a)\right\}$

$+{\displaystyle \sum _{i=1,i\ne m}^{\mathrm{\ell }}}\left(y_i-e^{\frac{s}{2}}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right){\eta }_i(a)\cdot {\eta }_m(b),$

و $n\in \{\mathrm{\ell }+1,\mathrm{\cdots },N\}$،

$$Y_n=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left(y_i-e^{\frac{s}{2}}{\gamma }_{a,i}(e^{-\frac{s}{2}}\tilde{y})\right){\eta }_i(a)\cdot {\tau }_n(b).$$

باستخدام عوائد (3.24)

$$|Y_m-y_m|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}\text{and}|Y_k|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}.$$

وبالتالي إذا كتبنا

$$\overline{Y}=(Y_1,\mathrm{\cdots },Y_{\mathrm{\ell }})\text{and}\tilde{Y}=(Y_{\mathrm{\ell }+1},\mathrm{\cdots },Y_N),$$

ثم

$$|\overline{y}-\overline{Y}|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}\text{and}|\tilde{Y}|\le C{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}.$$ (3.25)

مصطلح $(d)$ $\frac{\partial w_b}{\partial y_i}(Y,s)$. من القضية 2.5 وانتظام القطع المكافئ، لدينا ذلك

(3.26)

وهذا يعني

$\left|{\displaystyle \frac{\partial w_b}{\partial y_i}}(Y,s)-{\displaystyle \frac{\partial w_{ℬ(b)}}{\partial y_i}}(\overline{y},s)\right|+{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{\ell }+1}^N}\left|{\displaystyle \frac{\partial w_b}{\partial y_m}}(Y,s)\right|$

(3.27)

وبالمثل، من (2.2) و(2.20)،

(3.28)

من (3.26) و(3.28)، نستنتج ذلك

(3.29)

باستخدام (3.29)، لدينا لـ $|z|\le 2$،

$$\left|\frac{{\partial }^2{w}_{ℬ(b)}}{\partial y_i^2}(z,s)+\frac{\kappa }{2ps}\right|\le C\frac{\log s}{s^2}\text{and}\left|\frac{{\partial }^2{w}_{ℬ(b)}}{\partial y_i\partial y_m}(z,s)\right|\le C\frac{\log s}{s^2},m\ne i.$$

لاحظ أنه $\frac{\partial w_{ℬ(b)}}{\partial y_i}(0,s)=0$، فإننا نأخذ بعد ذلك تمديد تايلور لـ $\frac{\partial w_{ℬ(b)}}{\partial y_i}(\overline{y},s)$ بالقرب من $\overline{y}=0$ حتى الترتيب الأول للحصول عليه

$$\left|\frac{\partial w_{ℬ(b)}}{\partial y_i}(\overline{y},s)+Y_i\frac{\kappa }{2ps}\right|\le C|\overline{y}|\frac{\log s}{s^2}.$$

باستخدام (3.27) و(3.25) العوائد

$$\left|\frac{\partial w_b}{\partial y_i}(Y,s)+y_i\frac{\kappa }{2ps}\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{C_0}+C|\overline{y}|\frac{\log s}{s^2}+\frac{C}{s}{e}^{-{\alpha }^{\ast }\frac{s}{2}}.$$ (3.30)

مصطلح $(e)$ $\frac{\partial w_b}{\partial y_j}(Y,s)$. نحن فقط نستخدم (3.27) و(3.25) للحصول على

$$\left|\frac{\partial w_b}{\partial y_j}(Y,s)-\frac{\partial w_b}{\partial y_j}(\overline{y},0,\mathrm{\cdots },0,s)\right|\le C{e}^{-(1+{\alpha }^{\ast })\frac{s}{2}}.$$ (3.31)

ثم يتبع ذلك تقدير (2.24) عن طريق استبدال (3.31) و(3.30) و(3.27) و(3.23) و(3.24) في (2.22). وبهذا ينتهي إثبات القضية 2.7. $\mathrm{\square }$

3.4. سلوك تقاربي أدق.

نثبت القضية 2.10 في هذا القسم الفرعي. نقوم أولاً بتحسين التقدير (2.10) ونجد المصطلحات التالية في التوسيع الذي هو من الترتيب $e^{-\frac{s}{2}}$. باستخدام القيد الهندسي، نوضح أن جميع شروط الترتيب $e^{-\frac{s}{2}}$ يجب أن تكون صفرًا متماثلًا، مما يعطي تقديرًا أفضل لـ ${\Vert W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s)\Vert }_{L_{\rho }^2}$. ثم نكرر العملية ونستخدم مرة أخرى القضية 2.7 للحصول على شرط الأمر $\frac{1}{s}{e}^{-\frac{s}{2}}$ وإتمام إثبات القضية 2.10.

دعونا نحدد

$$g_a(y,s)=W_a(Q_{a}y,s)-w_{ℬ(a)}(\overline{y},s),$$ (3.32)

و تدل على

$$I_a{(s)}^2={\Vert g_a(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}^2,l_{a,n}(s)={\Vert P_n{g}_a(s)\Vert }_{L_{\rho }^2},r_{a,k}(s)={\Vert \sum _{n\ge k}{P}_n{g}_a(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}.$$

من (2.10)، لدينا

$$I_a(s)=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu }\right)\text{for some}\mu >0.$$ (3.33)

لاحظ أن اللمّة 3.2 ينطبق أيضًا على $W_1=W_a$ و$W_2=w_{ℬ}$. ونطالب بما يلي:

لمّة 3.4.

افترض أن $I_a(s)=𝒪\left(e^{-\frac{s}{2}}{s}^{{\mu }_0}\right)$ لبعض ${\mu }_0\in ℝ$. يوجد $s_4>0$ بحيث أنه بالنسبة لجميع $s\ge s_4$،

$$\sum _{n=0}^2{l}_{a,n}(s)+r_{a,4}(s)\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{{\mu }_0-1},$$ (3.34)

و

$$\forall \beta \in {\mathbb{N}}^N,|\beta |=3,\left|\frac{d}{ds}\left(g_{a,\beta }(s)e^{\frac{s}{2}}{s}^{|\overline{\beta }|}\right)\right|\le C{s}^{|\overline{\beta }|+{\mu }_0-\frac{3}{2}},$$ (3.35)

حيث $\overline{\beta }=({\beta }_1,\mathrm{\cdots },{\beta }_{\mathrm{\ell }})$، $|\overline{\beta }|=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i$.

Proof.

من $(i)$ و$(iv)$ من اللمّة 3.2، نكتب لجميع $s\ge s_3$،

$$n=0,1,2,\left|\frac{d}{ds}\left(l_{a,n}(s)e^{(n/2-1)s}\right)\right|\le C{e}^{(n/2-\frac{3}{2})s}{s}^{{\mu }_0-1},$$

و

$$\left|\frac{d}{ds}\left(r_{a,4}(s)e^s\right)\right|\le C{e}^{\frac{s}{2}}{s}^{{\mu }_0-1}.$$

ومن ثم يأتي التقدير (3.34) بعد تكامل المتباينات المذكورة أعلاه. أما بالنسبة لـ (3.35)، فنحن نستخدم فقط الجزء $(iii)$ من اللمّة 3.2 و(3.34) (لاحظ أن $l_{a,5}\le r_{a,4}$ حسب التعريف (3.6)). بهذا ينتهي إثبات اللمّة 3.4. ∎

باستخدام (3.33) وتطبيق اللمّة 3.4 بعدد محدود من الخطوات، نحصل على ما يلي:

لمّة 3.5.

توجد $s_5>0$ ووظائف مستمرة $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ لجميع $\beta \in {\mathbb{N}}^N$ مع $|\beta |=3$ و$|\overline{\beta }|=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i=0$ بحيث تكون لجميع $a\in S_{\delta }$ و$s\ge s_5$،

$${\Vert g_a(y,s)-e^{-\frac{s}{2}}\sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0}{\lambda }_{\beta }(a)h_{\beta }(y)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{1}{2}},$$

بالنسبة لبعض $d\in (0,\frac{1}{2})$، حيث يتم تعريف $h_{\beta }$ بواسطة (3.4).

Proof.

نظهر أولاً أن هناك $s_5>0$ من هذا القبيل

$$\forall s\ge s_5,I_a(s)\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^d\text{for some }d\in (0,\frac{1}{2}).$$ (3.36)

من (3.33)، إذا $\mu \in (0,\frac{1}{2})$، فقد انتهينا. إذا كان $\mu \ge \frac{1}{2}$، فإننا نطبق اللمّة 3.4 مع ${\mu }_0=\mu$ للحصول على

$$\sum _{n=0}^2{l}_{a,n}(s)+r_{a,4}(s)\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu -1},$$

و

$$\forall |\beta |=3,|g_{a,\beta }(s)|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu -\frac{1}{2}}.$$

لذلك،

$$I_a(s)\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{\mu -\frac{1}{2}}.$$

تقدير (3.36) ثم يلي ذلك تكرار هذه العملية لعدد محدود من الخطوات.

الآن باستخدام (3.36) واللمّة 3.4 مع ${\mu }_0=d$،
- إذا كان $|\beta |=3$ و$|\overline{\beta }|\ge 1$، فإننا ندمج (3.35) على $[s,+\mathrm{\infty })$ للاشتقاق

$$\forall |\beta |=3,|\overline{\beta }|\ge 1,|g_{a,\beta }(s)|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{1}{2}},$$

- إذا كان $|\beta |=3$ و$|\overline{\beta }|=0$، من خلال دمج (3.35) على $[s_5,s]$، فإننا نستنتج أن هناك وظائف مستمرة $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ بحيث

$$\forall |\beta |=3,|\overline{\beta }|=0,|g_{a,\beta }(s)-{\lambda }_{\beta }(a)e^{-\frac{s}{2}}|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{1}{2}}.$$

بهذا نختتم إثبات اللمّة 3.5. ∎

الآن سوف نستخدم القيد الهندسي على السلوك المقارب للحل الواردة في القضية 2.7 لإظهار أن جميع المعاملات ${\lambda }_{\beta }(a)$ مع $|\beta |=3$ و$\overline{\beta }=0$ في اللمّة 3.5 يجب أن تكون صفرًا متطابقًا. ونطالب على وجه الخصوص بما يلي:

لمّة 3.6.

يوجد $s_6>0$ بحيث يكون لجميع $s\ge s_6$،

$$\forall a\in S_{\delta },{\Vert g_a(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{1}{2}}\text{for some }d\in (0,\frac{1}{2}).$$

Proof.

فكر في $a\in S_{\delta }$، ونحن نهدف إلى إثبات ذلك

$$\forall \beta \in {\mathbb{N}}^N,|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0,{\lambda }_{\beta }(a)=0,$$

حيث تم تقديم ${\lambda }_{\beta }(a)$ في اللمّة 3.5 و$|\overline{\beta }|={\sum }_{i=1}^{\mathrm{\ell }}{\beta }_i$.

من (2.20)، (3.32) وحقيقة أن التقدير الوارد في اللمّة 3.5 ينطبق أيضًا على من خلال انتظام القطع المكافئ، نكتب لجميع $k\ge \mathrm{\ell }+1$ و$s\ge s_5+1$،

(3.37)

خذ $y=(\overline{y},\tilde{y})$، حيث $\overline{y}=(y_1,\mathrm{\cdots },y_{\mathrm{\ell }})=(0,\mathrm{\cdots },0)$ و$\tilde{y}\in B_{N-\mathrm{\ell }}(0,1)$، ثم استخدم القضية 2.9 و(2.24)، نحصل على

$$\left|\frac{\partial w_a}{\partial y_k}(y,s)-\frac{\partial w_b}{\partial y_k}(0,s)\right|\le C{e}^{-(1+{\alpha }^{\ast })\frac{s}{2}}{s}^{C_0}+C{e}^{-s}{s}^{C_0+1},$$ (3.38)

لبعض ${\alpha }^{\ast }\in (0,\frac{1}{2})$.

من (3.37) و(3.38)، نحصل على

$$\left|\sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0}{\lambda }_{\beta }(a)\frac{\partial h_{\beta }}{\partial y_k}(y)-\sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0}{\lambda }_{\beta }(b)\frac{\partial h_{\beta }}{\partial y_k}(0)\right|\le C{s}^{d-\frac{1}{2}}.$$ (3.39)

من (2.23) والقضية 2.9، نرى أن $b\to a$ هو $s\to +\mathrm{\infty }$. بما أن $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ مستمر، $d\in (0,\frac{1}{2})$، $h_{{\beta }_1}(0)=\mathrm{\cdots }=h_{{\beta }_{\mathrm{\ell }}}(0)=h_0(0)=1$ من التعريف (3.4)، و

$$\frac{\partial h_{\beta }}{\partial y_k}(y)={\beta }_k{h}_{{\beta }_k-1}(y_k)\prod _{j=1,j\ne k}^N{h}_{{\beta }_j}(y_j),$$

نشتق بالتمرير إلى الحد الأقصى في (3.39)،

${\displaystyle \sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0}}{\lambda }_{\beta }(a){\beta }_k{h}_{{\beta }_k-1}(y_k){\displaystyle \prod _{j=\mathrm{\ell }+1,j\ne k}^N}{h}_{{\beta }_j}(y_j)$

$={\displaystyle \sum _{|\beta |=3,|\overline{\beta }|=0}}{\lambda }_{\beta }(a){\beta }_k{h}_{{\beta }_k-1}(0){\displaystyle \prod _{j=\mathrm{\ell }+1,j\ne k}^N}{h}_{{\beta }_j}(0).$

من خلال تعامد كثيرات الحدود $h_i$، ينتج عن ذلك

$${\beta }_k{\lambda }_{\beta }(a)=0,\forall k\ge \mathrm{\ell }+1,\forall |\beta |=3\text{with}|\overline{\beta }|=0.$$

خذ $\beta$ بشكل تعسفي مع $|\beta |=3$ و$|\overline{\beta }|=0$، ثم يوجد $k\ge \mathrm{\ell }+1$ مثل ${\beta }_k\ge 1$، مما يعني أن ${\lambda }_{\beta }(a)=0$. بهذا ينتهي إثبات اللمّة 3.6. ∎

دعونا الآن نقدم برهاناً على القضية 2.10 من اللمّات 3.6 و3.4.

إثبات القضية 2.10.

من اللمّات 3.6 و3.4، نرى أنه بالنسبة لجميع $s\ge s_7=\max \{s_4,s_5,s_6\}$،

$$\sum _{n=0}^2{l}_{a,n}(s)+r_{a,4}(s)\le C{s}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}},$$

و

$$\forall |\beta |=3,\left|\frac{d}{ds}\left(g_{a,\beta }(s)s^{\frac{s}{2}}{s}^{|\overline{\beta }|}\right)\right|\le C{e}^{|\overline{\beta }|+d-2},$$

لبعض $d\in (0,\frac{1}{2})$. بدمج هذه المعادلة بين $s$ و$+\mathrm{\infty }$ إذا $|\overline{\beta }|=0$ وبين $s_7$ و$s$ إذا $|\overline{\beta }|\ge 1$، نحصل على

$$\forall |\beta |=3,|g_{a,\beta }(s)|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-1}.$$

لذلك،

$$\forall s\ge s_7,I_a(s)={\Vert g_a(s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-1}.$$

مع هذا التقدير الجديد، نستخدم مرة أخرى اللمّة 3.4 مع ${\mu }_0=d-1$ لإظهار وجود $s_8>0$ بحيث يكون لجميع $s\ge s_8$،

$$\sum _{n=0}^2{l}_{a,n}(s)+r_{a,4}(s)\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-2},$$

و

$$\forall |\beta |=3,\left|\frac{d}{ds}\left(g_{a,\beta }(s)e^{\frac{s}{2}}{s}^{|\overline{\beta }|}\right)\right|\le C{s}^{|\overline{\beta }|+d-\frac{5}{2}}.$$

تشير هذه المعادلة الجديدة إلى أنه بالنسبة لجميع $|\beta |=3$ و$s\ge s_8$،
- إذا كان $|\overline{\beta }|=0$ أو $|\overline{\beta }|\ge 2$، لدينا $|g_{a,\beta }(s)|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}$،
- إذا كان $|\overline{\beta }|=1$ نحصل على وجود دوال مستمرة $a\to {\lambda }_{\beta }(a)$ هكذا

$$\left|g_{a,\beta }(s)-\frac{e^{-\frac{s}{2}}}{s}{\lambda }_{\beta }(a)\right|\le C{e}^{-\frac{s}{2}}{s}^{d-\frac{3}{2}}.$$ (3.40)

بهذا نختتم إثبات القضية 2.10. ∎