احتمال أن يمتلك حاصل ضرب المصفوفات العشوائية الحقيقية جميع قيمه الذاتية حقيقية يئول إلى 1.

Tulasi Ram Reddy ¹¹ 1 Research supported in part by UGC (under SAP-DSA Phase IV). Research supported in part by ISF-UGC post-doctoral fellowship. Contents of this article are based on the author’s PhD Thesis [10].
Indian Statistical Institute, Bangalore
tulasi_vs@isibang.ac.in

الملخص

في هذه المقالة ندرس حواصل ضرب مصفوفات عشوائية حقيقية ذات حجم ثابت. لتكن $A_{1},A_{2},\dots$ مصفوفات حقيقية $k\times k$ مستقلة ومتماثلة التوزيع، عناصرها مستقلة ومتماثلة التوزيع وفق المقياس الاحتمالي $\mu$ . ولتكن $X_{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ . عندئذ يُحدس أن

\mathbb{P}(X_{n}\text{ has all real eigenvalues})\rightarrow 1\text{ as }n% \rightarrow\infty.

ونبيّن أن هذه الحدسية صحيحة عندما يكون للمقياس $\mu$ ذرة.

المقدمة والنتائج

بدأت دراسة حواصل ضرب المصفوفات العشوائية على يد Furstenberg وKesten في [5]، حيث درسا أسس ليابونوف لحاصل ضرب مصفوفات عشوائية مستقلة ومتماثلة التوزيع ذات حجم ثابت. ومنذ ذلك الحين نشأ اهتمام كبير بدراسة حواصل ضرب المصفوفات العشوائية. وللنتائج والتطبيقات المفصلة نحيل القارئ إلى [2] و[1] و[7]. ولا يعرف الكثير عن فهم الطيف لحواصل ضرب المصفوفات العشوائية الحقيقية.

في [8]، لاحظ Lakshminarayan ظاهرة مثيرة للاهتمام لحواصل ضرب $k\times k$ مصفوفات مستقلة ومتماثلة التوزيع ذات عناصر غاوسية حقيقية مستقلة ومتماثلة التوزيع في سياق التشابك الكمومي. لتكن $p_{n}^{(k)}$ احتمال أن يكون لحاصل ضرب $n$ من هذه المصفوفات جميع قيمه الذاتية حقيقية. واستنادا إلى حسابات عددية، حُدس في [8] أن $p^{(k)}_{n}$ يتزايد إلى $1$ مع حجم حاصل الضرب.

أثبت Forrester، في [3]، هذه النتيجة بإعطاء صيغة صريحة لـ $p_{n}^{(k)}$ ، ومنها استنتج أن هذا الاحتمال يتزايد إلى $1$ بمعدل أسي. وأُثبتت النتيجة نفسها في [9] باتباع مقاربة مختلفة. ونورد أدناه تعميما لهذه النتيجة في صورة حدسية.

حدسية 1.

لتكن $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$ مصفوفات مستقلة ومتماثلة التوزيع من الحجم $k\times k$ ، عناصرها متغيرات عشوائية حقيقية مستقلة ومتماثلة التوزيع وفق المقياس الاحتمالي $\mu$ ، ولتكن $A_{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}$ . عندئذ،

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real % eigenvalues})=1.

تشير المحاكاة العددية إلى أن الحدسية أعلاه صحيحة لأي مقياس احتمالي $\mu$ . وفي [6] عُرض دليل عددي على الحدسية أعلاه لعدة مقاييس احتمالية $\mu$ لها كثافة مستمرة. وفي [4] أُجري حساب مشابه لحواصل ضرب المصفوفات المتعامدة المقتطعة.

في هذه الملحوظة القصيرة نثبت الحدسية في حالة خاصة، عندما يكون للمقياس الاحتمالي $\mu$ ذرة، أي يوجد عدد حقيقي $x$ بحيث $\mu(\{x\})>0$ . نعرض النتيجة في المبرهنة 0.1 ونبين الحالة الخاصة من الحدسية كنتيجة.

مبرهنة 0.1.

لتكن $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$ مصفوفات عشوائية مستقلة ومتماثلة التوزيع من الحجم $k\times k$ ، موزعة وفق مقياس احتمالي $\nu$ بحيث $\mathbb{P}(X_{1}\text{ has rank }1)>0$ و $A_{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}$ . عندئذ،

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real real % eigenvalues})=1.

وكحالة خاصة، إذا افترضنا أن جميع عناصر المصفوفات العشوائية متغيرات عشوائية مستقلة ومتماثلة التوزيع وفق المقياس الاحتمالي $\mu$ ، وكان للمقياس $\mu$ ذرة، فإن هذه المصفوفات العشوائية تحقق الفرضية أعلاه وتحسم الحدسية 1 عندما يكون للمقياس $\mu$ ذرة. ونورد ذلك في صورة النتيجة الآتية.

نتيجة 0.2.

لتكن $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$ مصفوفات مستقلة ومتماثلة التوزيع من الحجم $k\times k$ ، عناصرها متغيرات عشوائية حقيقية مستقلة ومتماثلة التوزيع وفق مقياس احتمالي $\mu$ له ذرة، ولتكن $A_{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}$ . عندئذ،

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real real % eigenvalues})=1.

كل مقياس احتمالي $\mu$ ذي حامل متقطع يحقق فرضية المبرهنة أعلاه. فعلى سبيل المثال، إذا كانت عناصر المصفوفات متغيرات عشوائية بتوزيع Rademacher (تأخذ القيمتين $\pm 1$ باحتمالين متساويين)، فإن المبرهنة تؤكد أن حاصل ضرب مثل هذه المصفوفات يمتلك طيفا حقيقيا خالصا باحتمال عال أسيا.

برهان المبرهنة 0.1 أولي، ويستند إلى ملاحظة بسيطة مفادها أن رتبة حاصل ضرب المصفوفات لا تتجاوز أصغر رتب المصفوفات المكوِّنة. وفي الوضع المعطى، تكون رتبة كل مصفوفة على حدة على الأكثر $1$ باحتمال غير صفري. وإذا كانت رتبة مصفوفة حقيقية على الأكثر $1$ ، فإن جميع قيمها الذاتية حقيقية (وهي $0$ وأثر المصفوفة).

برهان المبرهنة 0.1.

	$\displaystyle\mathbb{P}(A_{n}\text{ has rank at most }1)$	$\displaystyle\geq\mathbb{P}(\text{at least one of }X_{1},X_{2},\dots,X_{n}% \text{ has rank at most }1),$
		$\displaystyle\geq 1-(1-\mathbb{P}(X_{1}\text{ has rank }1))^{n}.$		(0.1)

نعلم أن المصفوفات الحقيقية ذات الرتبة التي لا تتجاوز $1$ لها جميع قيمها الذاتية حقيقية. ومن ثم،

\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real eigenvalues})\geq\mathbb{P}(A_{n}\text{ % has rank at most }1).

لذلك، مما سبق ومن (0.1) نحصل على

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real % eigenvalues})=1.

∎

نبيّن الآن حدا سفليا، بعيدا عن $0$ ، لاحتمال أن يكون لحاصل ضرب $2\times 2$ مصفوفات عشوائية حقيقية مستقلة ومتماثلة التوزيع كلتا القيمتين الذاتيتين حقيقيتين.

قضية 0.3.

لتكن $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$ مصفوفات مستقلة ومتماثلة التوزيع من الحجم $2\times 2$ ، عناصرها متغيرات عشوائية حقيقية مستقلة ومتماثلة التوزيع وفق المقياس الاحتمالي $\mu$ ، ولتكن $A_{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}$ . عندئذ،

\mathbb{P}(A_{n}\text{ has all real eigenvalues})\geq\frac{1}{2}.

لاحظ أن صفوف حاصل ضرب المصفوفات العشوائية المستقلة ومتماثلة التوزيع قابلة للتبادل. ونبرهن الحد للمصفوفات التي تكون صفوفها قابلة للتبادل في اللمّة الآتية 0.4. ومن ثم يتبع برهان القضية 0.3 من اللمّة 0.4.

لمّة 0.4.

لتكن $M=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\right]$ ، حيث $(a,b)$ و $(c,d)$ متغيرات عشوائية حقيقية قابلة للتبادل. عندئذ،

\mathbb{P}(M\text{ has both real eigenvalues})\geq\frac{1}{2}.

Proof.

كثير الحدود المميز للمصفوفة $M$ هو $P_{M}(x)=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)$ . وللمصفوفة $M$ جميع قيمها الذاتية حقيقية إذا وفقط إذا كان مميز كثير الحدود المميز،

(a+d)^{2}-4(ad-bc)\geq 0.

بما أن $(a,c)$ و $(b,d)$ قابلتان للتبادل، فإن لدينا

\mathbb{P}((a+d)^{2}-4(ad-bc)\geq 0)=\mathbb{P}((b+c)^{2}-4(bc-bd)\geq 0).

ومن ثم،

$\displaystyle\mathbb{P}(M\text{ has both}$	$\displaystyle\text{ real eigenvalues})$
	$\displaystyle=\frac{1}{2}(\mathbb{P}((a+d)^{2}-4(ad-bc)\geq 0)+\mathbb{P}((b+c% )^{2}-4(bc-bd)\geq 0)),$
	$\displaystyle\geq\frac{1}{2}\mathbb{P}((a+d)^{2}-4(ad-bc)\geq 0\text{ or }(b+c% )^{2}-4(bc-bd)\geq 0).$	(0.2)

وبما أن $(a+d)^{2}-4(ad-bc)+(b+c)^{2}-4(bc-bd)\geq 0$ ، فإن واحدا على الأقل من $(a+d)^{2}-4(ad-bc)$ و $(b+c)^{2}-4(bc-bd)$ غير سالب. لذلك،

\mathbb{P}((a+d)^{2}-4(ad-bc)\geq 0\text{ or }(b+c)^{2}-4(bc-bd)\geq 0)=1.

وبجمع ما سبق مع (0.2) نحصل على $\mathbb{P}(M\text{ has both real eigenvalues})\geq\frac{1}{2}.$ ∎

الشكر

يود المؤلف أن يشكر M. Krishnapur على توجيهه نحو هذه المسألة وعلى المناقشات المفيدة حولها. كما يود أن يشكر S. Athreya على تقديم ملاحظات قيّمة على هذه المسودة.

References

[1] P. Bougerol and J. Lacroix, Products of random matrices with applications to Schrödinger operators, ch. The Pure Point Spectrum, pp. 237–251, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1985.
[2] J.E. Cohen, H. Kesten, and C.M. Newman, Random matrices and their applications: Proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint summer research conference June 17-23, 1984, Contemporary mathematics, American Mathematical Society, 1986.
[3] Peter J Forrester, Probability of all eigenvalues real for products of standard gaussian matrices, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 47 (2014), no. 6, 065202.
[4] P.J. Forrester and S. Kumar, The probability that all eigenvalues are real for products of truncated real orthogonal random matrices, arXiv:1606.03670 [math-ph] (2016).
[5] H. Furstenberg and H. Kesten, Products of random matrices, Ann. Math. Statist. 31 (1960), 457–469. MR 0121828
[6] S. Hameed, K. Jain, and A. Lakshminarayan, Real eigenvalues of non-gaussian random matrices and their products, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 48 (2015), no. 38, 385204.
[7] G. Högnäs and A. Mukherjea, Probability measures on semigroups: Convolution products, random walks and random matrices, Probability and Its Applications, Springer US, 2010.
[8] Arul Lakshminarayan, On the number of real eigenvalues of products of random matrices and an application to quantum entanglement, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 46 (2013), no. 15, 152003.
[9] Nanda Kishore Reddy, Equality of Lyapunov and stability exponents for products of isotropic random matrices, arXiv:1601.02888 [math.PR] (2016).
[10] Tulasi Ram Reddy, On critical points of random polynomials and spectrum of certain products of random matrices, Ph.D. thesis, Indian Institute of Science, Bangalore, 2016, arXiv:1602.05298 [math.PR].