في الحالة العددية، يضع تطبيق التفكيك الطيفي دالة غير سالبة قابلة للتكامل ذات لوغاريتم قابل للتكامل في تقابل مع دالة تحليلية خارجية بحيث إن تقريبًا في كل مكان. والسؤال الرئيس المطروح هنا هو إلى أي مدى يمكن التحكم في بواسطة و.

1. مقدمة

لتكن دالة غير سالبة قابلة للتكامل على دائرة الوحدة في المستوي المركب، ، وتحقق شرط Paley-Wiener

(1)

عندئذ تقبل تفكيكًا طيفيًا

(2)

حيث إن دالة تحليلية داخل دائرة الوحدة، ، و تحليلية خارج دائرة الوحدة بما في ذلك نقطة اللانهاية، . وبصورة أدق، تنتمي إلى فضاء Hardy ، ومن ثم فإن قيمها الحدية موجودة تقريبًا في كل مكان، وتتحقق المعادلة (2) لهذه القيم الحدية. ونلاحظ أيضًا أن تقريبًا في كل مكان على ، ولذلك فإن (2) مكافئ لـ

الشرط (1) ضروري لوجود التفكيك (2). وله أيضًا دور مهم في نظرية التنبؤ الخطي للعمليات العشوائية المستقرة، وهي إحدى أولى التطبيقات التاريخية للتفكيك الطيفي (انظر [21]، [16]). وبالتحديد، لتكن عملية عشوائية مستقرة ذات قياس طيفي . وبلغة مختلفة ولكن مكافئة، تكون متتالية في فضاء Hilbert و$⟨X_n,X_k⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{𝕋}{e}^{i(n-k)\theta }𝑑\mu (\theta )$. تكون العملية حتمية إذا أمكن تمثيل بوصفها نهاية لتوافيق خطية من متجهات من ، أي . وكما يتبين (انظر مثلًا [16])، فإن الشرط (1) ضروري وكافٍ لكي تكون العملية غير حتمية.

بدءًا من التطبيقات الأصلية في نظرية التنبؤ بالعمليات العشوائية، ظهر إجراء التفكيك الطيفي في مجالات تبدو متباعدة، مثل معادلات التكامل المفرد [13]، [4]، والتقدير الخطي [15]، والتحكم التربيعي وتحكم [2]، [12]، [4]، والاتصالات [11]، وتصميم المرشحات [8]، [19]، [20]، وغيرها.

إذا اشترطنا أن تكون دالة تحليلية خارجية، فإن التفكيك (2) يكون وحيدًا حتى عامل ثابت ذي قيمة مطلقة 1، . ويمكن كتابة العامل الطيفي الوحيد الموجب عند الأصل، مسبقًا، على الصورة

(3) $$f^{+}(z)=\exp \left(\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}\log f(e^{i\theta })𝑑\theta \right).$$

في معظم التطبيقات، لا يُطلب صراحةً من العامل الطيفي في (2) أن يكون خارجيًا، بل يخضع لشروط تطرفية معينة تُسمى، في أعمال مختلفة، الطور الأدنى أو الطاقة العظمى أو الأمثل، وما إلى ذلك. غير أنها، من الناحية الرياضية، تعني أن دالة خارجية، ولذلك يكون البحث عن الحل (3) أمرًا طبيعيًا.

من الناحية العملية، من المهم دراسة خصائص الاستمرارية لتطبيق التفكيك الطيفي

(4)

المعرّف بـ (3). وبالتحديد، نهتم بمعرفة مقدار قرب من عندما تكون كثافة طيفية قريبة من . والسبب في دراستنا هذا السؤال هو أن دالة الكثافة الطيفية المقدَّرة التي يجري التعامل معها عادةً تُنشأ تجريبيًا من المشاهدات، ولا تكون إلا تقريبًا للكثافة الطيفية الموجودة نظريًا . لذلك نحتاج إلى معرفة مدى بقاء قريبًا من تحت مثل هذا التقريب.

تعتمد إجابة السؤال أعلاه على النظيمات التي نستعملها لقياس الدقة في فضاءات الدوال وفضاءات عواملها الطيفية. وبما أن القيم الحدية للدالة (3) يمكن التعبير عنها على الصورة

حيث ترمز ^∼ إلى مؤثر المرافقة التوافقية

والمرافقة ليست مؤثرًا محدودًا على أو ، فليس مستغربًا أن التطبيق (4) غير مستمر في هذه الفضاءات [1]. علاوة على ذلك، بُيِّن في [5] أن كل دالة مستمرة على هي نقطة عدم استمرارية لتطبيق التفكيك الطيفي في النظيم المنتظم، في حين بُيِّن في [14] أن تطبيق التفكيك الطيفي مستمر على صنف واسع من فضاءات الدوال (ما يسمى جبرات Banach المتحللة).

إن التفكيك الطيفي لكثير حدود مثلثي

(5)

غير سالب على ، يكون على الصورة

أي إن العامل الطيفي كثير حدود من الدرجة نفسها . وتُعرف هذه النتيجة باسم لمّة Fejér-Riesz (انظر، مثلًا، [8]). ويمكن أيضًا التعبير عن العامل الطيفي بدلالة أصفار كثير الحدود (5)، ولذلك يكون التطبيق (4) مستمرًا على ، وهي مجموعة جميع الدوال من الصورة (5). وتُكرَّس الورقتان [6]، [7] لتقدير الثابت في المتباينة

وقد بُيِّن فيهما أن تقاربيًا، تحت الشرط القائل إن قيم الدالتين و مفصولة عن .

بالانتقال إلى فضاءات Lebesgue، لا يكون التطبيق (4) مستمرًا عمومًا في نظيم ، إذ إن تغيرًا صغيرًا في قيم الدالة ، إذا كانت هذه القيم قريبة من ، قد يسبب تغيرًا كبيرًا في . ومع ذلك،

(6)

يمكن العثور على برهان لنظير (6) في الحالة المصفوفية الأعم في [3] أو [10]. في هذه الورقة، نناقش تقديرات كمية لمعدل التقارب أعلاه. أولًا، نبحث عن تقديرات لـ بدلالة و . ويتبين أنه، بوجه عام، لا يوجد مثل هذا التقدير. وبالتحديد، لا توجد دالة بحيث وتكون لها المتباينة

صحيحة لكل مع .

مبرهنة 1.

توجد دوال $f_n,g_n\ge 0$، ، بحيث

$${\Vert f_n\Vert }_{L_1},{\Vert g_n\Vert }_{L_1}\le 1,{\Vert g_n-f_n\Vert }_{L_1}\le \frac{1}{n},{\Vert \log g_n-\log f_n\Vert }_{L_1}\le \frac{1}{n},$$

لكن ${\Vert g_n^{+}-f_n^{+}\Vert }_{H_2}\ge 2-1/n$.

ومع ذلك، لا يزال من الممكن الحصول على تقدير لـ إذا أُخذ في الحسبان أنه لكل يوجد فضاء Orlicz بحيث إن (انظر، مثلًا، [17, $\mathrm{\S }$8]). ويمكن إثبات أن هناك دالة بحيث إن و

(7) $${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{\Psi }}\left({\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}\right)$$

(انظر المبرهنة 3 أدناه). ويصبح التقدير بسيطًا بوجه خاص إذا كان .

مبرهنة 2.

لتكن و كثافتين طيفيتين اعتباطيتين توجد لهما و. عندئذ

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+2.5{\Vert f\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}.$$

تُنظَّم الورقة كما يلي. في القسم 2، نبرهن (7) والمبرهنة 2. وتُبرهَن المبرهنة 1 في القسم 3.

تمثل هذه الورقة خطوة أولية نحو بحث مسائل مشابهة في الحالة المصفوفية الأكثر تعقيدًا، وهو ما سيكون موضوع ورقة لاحقة.

2. النتائج الإيجابية

ليكن أفضل ثابت في متباينة Kolmogorov من النمط الضعيف

$$m\{\vartheta \in [-\pi ,\pi ):|\tilde{\psi }(\vartheta )|\ge \lambda \}\le \frac{K}{\lambda }{\int }_{-\pi }^{\pi }|\psi (\vartheta )|𝑑\vartheta ,\lambda >0,\psi \in L_1[-\pi ,\pi ),$$

حيث ترمز إلى قياس Lebesgue على الخط الحقيقي. ومن المعروف أن (انظر [9]).

لمّة 1.

لتكن دالة محدودة ومطلقة الاستمرارية تبلغ قيمتها العظمى عند النقطة وربما في مواضع أخرى وتكون غير متناقصة على . افترض أن و

عندئذ

$${\int }_{-\pi }^{\pi }G\left(\left|\tilde{\psi }(\vartheta )\right|\right)𝑑\vartheta \le KI(G){\Vert \psi \Vert }_{L_1}.$$

Proof.

لنضع

$${\mu }_{\psi }(\lambda ):=\left|\{\vartheta \in [-\pi ,\pi ]:\left|\tilde{\psi }(\vartheta )\right|\ge \lambda \}\right|.$$

باستخدام تقدير Kolmogorov من النمط الضعيف (1، 1) بالثابت ، نحصل على

$={\displaystyle {\int }_0^a}{G}^{\prime }(\lambda )({\mu }_{\psi }(\lambda )-{\mu }_{\psi }(a))𝑑\lambda +G(a){\mu }_{\psi }(a)$

$={\displaystyle {\int }_0^a}{G}^{\prime }(\lambda ){\mu }_{\psi }(\lambda )𝑑\lambda -G(a){\mu }_{\psi }(a)+G(a){\mu }_{\psi }(a)$

$={\displaystyle {\int }_0^a}{G}^{\prime }(\lambda ){\mu }_{\psi }(\lambda )𝑑\lambda \le K{\Vert \psi \Vert }_{L_1}{\displaystyle {\int }_0^a}{G}^{\prime }(\lambda ){\displaystyle \frac{d\lambda }{\lambda }}=KI(G){\Vert \psi \Vert }_{L_1}.$

∎

نحتاج إلى بعض الترميز من نظرية فضاءات Orlicz (انظر [17]، [18]). لتكن و دالتين متكاملتين تبادليًا، أي

حيث إن دالة مستمرة من اليمين وغير متناقصة وتحقق و، وتُعرَّف بالمساواة . ليكن فضاء قياس، ولتكن ، فضاءات Orlicz المقابلة، أي إن هي مجموعة الدوال القابلة للقياس على التي يكون أي من النظيمين الآتيين لها

$$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\Phi }}=sup\left\{\right|{\int }_{\mathrm{\Omega }}fgd\mu |:{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Psi }(g)d\mu \le 1\}$$

و

$${\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}=inf\{\kappa >0:{\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\Phi }\left(\frac{f}{\kappa }\right)𝑑\mu \le 1\}$$

منتهيًا. لاحظ أن هذين النظيمين متكافئان، وبالتحديد (انظر، مثلًا، [17, (9.24)] أو [18, §3.3, (14)])

$${\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Phi }}\le 2{\Vert f\Vert }_{(\mathrm{\Phi })},\forall f\in L_{\mathrm{\Phi }}(\mathrm{\Omega }).$$

سنستخدم متباينة Hölder الآتية (انظر، مثلًا، [17, (9.27)] أو [18, §3.3, (16)])

(8) $$\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}fg𝑑\mu \right|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\Vert g\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}.$$

لدالة -ية ، لنعرّف

(9) $${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s):=inf\{t>0:\frac{1}{t}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\le \frac{1}{s}\},s>0.$$

إذا كانت ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ مستمرة، فيمكن إعادة كتابة التعريف أعلاه لـ بدلالة الدوال العكسية، لأن ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ غير متناقصة. ولأي دالة -ية ، لدينا

ومن ثم

$${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}(s)\le \frac{2}{{\mathrm{\Phi }}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)},s>0.$$

ومن الواضح أن

(10)

وكذلك،

(11)

لمّة 2.

لكل دالة -ية ، يتحقق التقدير الآتي

(12) $${\Vert 1-\cos \tilde{\psi }\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}\le 2{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}\left(K_0{\Vert \psi \Vert }_{L_1}\right),\forall \psi \in L_1,$$

حيث إن

(13)

و هو نفسه الوارد في اللمّة 1.

Proof.

سنستخدم اللمّة 1 مع

و. لدينا

$I(G)={\displaystyle \frac{1}{\kappa }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1-\cos \lambda }{\kappa }}\right)\sin \lambda {\displaystyle \frac{d\lambda }{\lambda }}\le {\displaystyle \frac{1}{\kappa }}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left({\displaystyle \frac{2}{\kappa }}\right){\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\sin \lambda }{\lambda }}𝑑\lambda .$

ومن ثم

(14) $${\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{\Phi }\left(\frac{1-\cos \tilde{\psi }(\vartheta )}{\kappa }\right)𝑑\vartheta \le \frac{2}{\kappa }{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(\frac{2}{\kappa }\right)\frac{K}{2}{\int }_0^{\pi }\frac{\sin \lambda }{\lambda }𝑑\lambda {\Vert \psi \Vert }_{L_1}.$$

بأخذ ، نلاحظ أن الطرف الأيمن من المتباينة (14) لا يتجاوز 1 بمقتضى التعريف (9). وهكذا تنتج (12). ∎

لمّة 3.

(15) $${\Vert 1-\cos \tilde{\psi }\Vert }_{L_1}\le 2K_0{\Vert \psi \Vert }_{L_1},\forall \psi \in L_1,$$

حيث تُعرَّف بواسطة (13).

Proof.

سنستخدم اللمّة 1 مع

و. لدينا

$I(G)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{\sin \lambda }{\lambda }}𝑑\lambda$

و

$${\Vert 1-\cos \tilde{\psi }\Vert }_{L_1}={\int }_{-\pi }^{\pi }\left(1-\cos \tilde{\psi }(\vartheta )\right)𝑑\vartheta \le K{\int }_0^{\pi }\frac{\sin \lambda }{\lambda }𝑑\lambda {\Vert \psi \Vert }_{L_1},$$

مما يستلزم (15). ∎

مبرهنة 3.

لكل زوج و من الدوال المتكاملة تبادليًا، يتحقق التقدير الآتي

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+4{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\Phi }}\left(\frac{K_0}{2}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}\right),$$

حيث إن هو نفسه الوارد في اللمّة 2.

Proof.

${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2={\Vert f^{+}\Vert }_{H_2}^2+{\Vert g^{+}\Vert }_{H_2}^2$

$-2\mathrm{Re}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )g^{1/2}(\vartheta )\exp \left({\displaystyle \frac{i}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)𝑑\vartheta$

$={\Vert f^{1/2}\Vert }_{L_2}^2+{\Vert g^{1/2}\Vert }_{L_2}^2-2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )g^{1/2}(\vartheta )𝑑\vartheta$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )g^{1/2}(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$={\Vert {(f^{1/2}-g^{1/2})}^2\Vert }_{L_1}$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )\left(g^{1/2}(\vartheta )-f^{1/2}(\vartheta )\right)\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$\le {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\left(g^{1/2}(\vartheta )-f^{1/2}(\vartheta )\right)}^2𝑑\vartheta$

$+4{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta ){\left(g^{1/2}(\vartheta )-f^{1/2}(\vartheta )\right)}_{+}𝑑\vartheta$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta .$

هنا وفيما يلي، من أجل ، نعرّف .

باستخدام متباينة Hölder (8) والمتباينة الأولية

$${\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)}^2+2b^{1/2}{\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)}_{+}\le |a-b|,\forall a,b\ge 0,$$

التي تُبرهَن بسهولة بالنظر في الحالتين $a\ge b$ و كلًّا على حدة، نحصل على

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+2{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\Psi }}{\Vert 1-\cos \left(\frac{1}{2}{(\log f-\log g)}^{\sim }\right)\Vert }_{(\mathrm{\Phi })}.$$

ويبقى الآن تطبيق اللمّة 2 مع ∎

بما أن كل دالة قابلة للتكامل تنتمي إلى فضاء Orlicz ملائم (انظر [17, §8])، فإن المبرهنة 3، مع زوج مناسب و من الدوال المتكاملة تبادليًا، تنطبق على أي دالة غير سالبة قابلة للتكامل ذات لوغاريتم قابل للتكامل. كما أن الشرط (10) متحقق أيضًا.

نتيجة لازمة 1.

لكل ، يوجد ثابت بحيث إن

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+C(p){\Vert f\Vert }_{L_p}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}^{\frac{p-1}{p}}.$$

ويمكن أخذ ، حيث تُعرَّف بواسطة (13).

Proof.

يكفي أخذ ، ، ،  في المبرهنة 3 ثم تطبيق (11) و[17, (9.7)]. ∎

نتيجة لازمة 2.

يوجد ثابت بحيث إن

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+C{\Vert f\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert \log f-\log g\Vert }_{L_1}.$$

ويمكن أخذ ، حيث تُعرَّف بواسطة (13).

Proof.

ينتج من برهان المبرهنة 3 أن

$${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2\le 2{\Vert f-g\Vert }_{L_1}+2{\Vert f\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}{\Vert 1-\cos \left(\frac{1}{2}{(\log f-\log g)}^{\sim }\right)\Vert }_{L_1}.$$

ويبقى الآن تطبيق اللمّة 3. ∎

3. النتائج السلبية

في هذا القسم نبرهن المبرهنة 1.

Proof.

ينتج من برهان المبرهنة 3 أنه لأي لدينا

${\Vert f^{+}-g^{+}\Vert }_{H_2}^2={\Vert {(f^{1/2}-g^{1/2})}^2\Vert }_{L_1}$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )\left(g^{1/2}(\vartheta )-f^{1/2}(\vartheta )\right)\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$\ge -4{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}^{1/2}(\vartheta )\left|g^{1/2}(\vartheta )-f^{1/2}(\vartheta )\right|𝑑\vartheta$

$+2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$\ge 2{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log f(\vartheta )-\log g(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta -4{\Vert f-g\Vert }_{L_1}.$

لتكن تصويرًا مطابقًا من قرص الوحدة على القطع الناقص ذي المحاور

بحيث إن ، حيث ${\epsilon }_n=\frac{1}{2\pi n}$. لنضع . عندئذ ومن ثم .

بسبب اعتبارات الازدواجية، توجد $f_n^0\ge 0$ بحيث إن و

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}_n^0(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log h_n(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$\ge \left(1-{\displaystyle \frac{{\epsilon }_n}{2}}\right){\Vert 1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log h_n)}^{\sim }\right)\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}.$

إذا كان ، فإننا نأخذ . وإلا فإننا نعرّف . عندئذ ، و يستلزم

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}_n(\vartheta )\left(1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log h_n(\vartheta ))}^{\sim }\right)\right)𝑑\vartheta$

$\ge \left(1-{\epsilon }_n\right){\Vert 1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log h_n)}^{\sim }\right)\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}.$

أخيرًا، لنضع . عندئذ $0\le g_n\le f_n$، ${\Vert g_n\Vert }_{L_1}\le 1$،

${\Vert \log f_n-\log g_n\Vert }_{L_1}={\Vert \log h_n\Vert }_{L_1}\le 2\pi {\Vert \log h_n\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}=2\pi {\epsilon }_n={\displaystyle \frac{1}{n}},$

و

${\Vert f_n^{+}-g_n^{+}\Vert }_{H_2}^2\ge 2(1-{\epsilon }_n){\Vert 1-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log h_n)}^{\sim }\right)\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}-4{\Vert f-g\Vert }_{L_1}$

$>4(1-{\epsilon }_n)-{\displaystyle \frac{2}{n}}>4\left(1-{\displaystyle \frac{1}{4n}}\right)-{\displaystyle \frac{2}{n}}\ge {\left(2-{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^2.$

∎

ملاحظة.  قد لا يكون النظيمان و محدودين في المبرهنة 1. لتكن الدالة الواردة في البرهان أعلاه. وبتغيير تعريف في البرهان إلى ، يمكن تغيير التقديرات ${\Vert f_n\Vert }_{L_1},{\Vert g_n\Vert }_{L_1}\le 1$ في المبرهنة إلى ، ${\Vert g_n\Vert }_{L_1}\le 2\pi +1$، ${\Vert \log f_n\Vert }_{L_1}\le 1$.