التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$

Sofiane Bouarroudj Division of Science and Mathematics, New York University Abu Dhabi, Po Box 129188, Abu Dhabi, United Arab Emirates. sofiane.bouarroudj@nyu.edu and Guowu Meng Department of Mathematics, Hong Kong Univ. of Sci. and Tech., Clear Water Bay, Kowloon, Hong Kong. mameng@ust.hk

(Date: May 1, 2026)

الملخص

بالنسبة إلى جبر جوردان للمصفوفات الهرميتية من الرتبة $n\geq 2$ ، لنرمز بـ $X$ إلى تحت المتشعب منه المؤلف من العناصر ذات الرتبة الواحدة وشبه موجبة التعريف. إن تركيب خريطة حزمة التمام $\pi_{X}$ : $T^{*}X\to X$ مع الخريطة القانونية $X\to\mathbb{C}P^{n-1}$ (أي الخريطة التي ترسل مصفوفة هرمتيّة إلى فضاء أعمدتها)، يسحب شكل كالر لمترية فوبيني-ستادي على $\mathbb{C}P^{n-1}$ إلى شكل تفاضلي حقيقية مغلقة ثنائية $\omega_{K}$ على $T^{*}X$ . لتكن $\omega_{X}$ الشكل السمبلكتي القانونية على $T^{*}X$ ، ولتكن $\mu$ عددا حقيقيا. تقول حقيقة معيارية إن $\omega_{\mu}:=\omega_{X}+2\mu\,\omega_{K}$ تجعل $T^{*}X$ متشعبا سمبلكتيا، ومن ثم متشعب بواسون ذا قوس بواسون $\{\,,\,\}_{\mu}$ .

في هذه المقالة نعرض تحققا بواسونيا لجبر لي الحقيقي البسيط $\mathfrak{su}(n,n)$ على متشعب بواسون $(T^{*}X,\{\,,\,\}_{\mu})$ ، أي تشاكلا لجبر لي من $\mathfrak{su}(n,n)$ إلى $\left(C^{\infty}(T^{*}X,\mathbb{R}),\{\,,\,\}_{\mu}\right)$ . وبناء على ذلك نحصل على متجه لابلاس-رونغه-لنتز لمسألة كبلر الكلاسيكية من النمط $\mathrm{U}(1)$ ذات المستوى $n$ والشحنة المغناطيسية $\mu$ . وبما أن مسائل ماكنتوش-سيسنيروس-زوانزيغر-كبلر (مسائل MICZ-Kepler) هي مسائل $\mathrm{U}(1)$ -كبلر ذات المستوى $2$ ، فإن العمل المعروض هنا هو تعميم مباشر لعمل A. Barut و G. Bornzin [ J. Math. Phys. 12 (1971)، 841-843] حول التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل MICZ-Kepler.

الكلمات المفتاحية. مسألة كبلر، جبر جوردان، التناظر الديناميكي، متجه لابلاس-رونغه-لنتز.

The authors were supported by the Hong Hong Research Grants Council under RGC Project No. 16304014; SB was also supported by the grant NYUAD-065.

1. مقدمة

ليكن $\mathfrak{g}$ جبر لي حقيقيا. إن التحقق البواسوني لـ $\mathfrak{g}$ على متشعب بواسون $M$ هو تشاكل لجبر لي من $\mathfrak{g}$ إلى $\left(C^{\infty}(M,\mathbb{R}),\{\,,\,\}\right)$ . وقد عُرف منذ أكثر من 40 سنة أن $\mathfrak{so}(2,4)$ له تحقق بواسوني على $M=T^{*}\mathbb{R}^{3}_{*}$ يمكن منه إعادة إنتاج مسألة كبلر، وهي النموذج الرياضي لأبسط نظام شمسي. هنا يكون $\mathbb{R}^{3}_{*}:=\mathbb{R}^{3}\setminus\{\mathbf{0}\}$ فضاء التهيئة لمسألة كبلر. وعلى حد علمنا، فإن هذا التحقق البواسوني، وبصورة أدق صيغته المكممة، اكتُشف أولا ¹¹ 1 يمكن الرجوع، من أجل السوابق التاريخية لهذا الاكتشاف المهم المتعلق بمسألة كبلر، إلى الحاشية 2 في المرجع [1]. على يد A.O. Barut و H. Kleinert [1] في سنة 1967.

يفيد اكتشاف قام به H. McIntosh و A. Cisneros [2]، وباستقلال قام به D. Zwanziger [3]، بأن مسألة كبلر تنتمي إلى عائلة من النماذج الديناميكية التي تشترك في السمة المميزة لمسألة كبلر، مثل وجود نظير لمتجه لابلاس-رونغه-لنتز. وهذه النماذج، المشار إليها في الأدبيات باسم مسائل MICZ-Kepler (أو مسائل MIC-Kepler)، مفهرسة بمعلمة حقيقية $\mu$ (يسمى الشحنة المغناطيسية)، وتقابل مسألة كبلر الحالة $\mu=0$ .

وبعد اكتشاف مسائل MICZ-Kepler بوقت قصير، تبيّن أن التحقق البواسوني المذكور آنفا لـ $\mathfrak{so}(2,4)$ على فضاء الطور لمسألة كبلر له نظير لكل مسألة من مسائل MICZ-Kepler. وفي الواقع، تُعطى صيغة مكممة صريحة لهذه التحققات البواسونية في المعادلتين (A1) و (A14) من المرجع [4].

يشار في الأدبيات إلى كل تحقق بواسوني فردي من هذا القبيل لـ $\mathfrak{so}(2,4)$ باسم التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسألة MICZ-Kepler المقابلة. وصوريا، إذا أُعطيت مسألة ديناميكية $P$ فضاء طورها هو متشعب بواسون $M$ ، فإن تحققا بواسونيا $\mathcal{R}$ لجبر لي حقيقي معين $\mathfrak{g}$ على $M$ ، إن وجد، يسمى التناظر الديناميكي الكلاسيكي لـ $P$ بشرط أن يكون بالإمكان اشتقاق $P$ وحلوله اشتقاقا كاملا من $\mathcal{R}$ . وبهذا المعنى، فإن التناظر الديناميكي الكلاسيكي للمذبذب المتناحي في البعد $n$ ، مع $\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb{R})$ ، معروف أيضا في الأدبيات. ومؤخرا أكثر، أُعطي التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر الممغنطة في البعد الفردي $n=2k+1$ ، مع $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2,2k+2)$ ، صراحة في المرجع [5].

أدخل المؤلف الثاني حديثا جدا مسائل كبلر الكلاسيكية من النمط $\mathrm{U}(1)$ [6]، مع تحليل مساراتها عبر فكرة منشؤها Levi-Civita [7]. وتفهرس هذه العائلة من النماذج بمعلمتين: معلمة صحيحة $n\geq 2$ ومعلمة حقيقية $\mu$ ، وتحت عائلتها عند $n=2$ هي بالضبط عائلة مسائل MICZ-Kepler. لذلك فمن الطبيعي أن نمد تحليل التناظر الديناميكي الكلاسيكي من مسائل MICZ-Kepler إلى مسائل $\mathrm{U}(1)$ -كبلر.

في القسم 2 سنقدم مراجعة موجزة لجبر جوردان الإقليدية [8]. تستند هذه المراجعة أساسا إلى كتاب J. Faraut و A. Korányi [9]. في القسم 3 يُعطى التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر المعممة القائمة على جبر جوردان وغير الممغنطة [10]. ومن حيث المبدأ يمكن استنتاج هذا التناظر الديناميكي الكلاسيكي من نسخته المكممة في المرجع [10]، لكننا سنعطي تحققا مباشرا له. في القسم 4 نقدم عائلة من التحققات البواسونية لـ $\mathfrak{su}(n,n)$ ، ملخصة في المبرهنة 2. وبرهان هذه المبرهنة طويل جدا، لذلك يخصص له القسم 5 وحده. ونتيجة لهذه المبرهنة نحصل على متجه لابلاس-رونغه-لنتز لأي مسألة $\mathrm{U}(1)$ -كبلر. في القسم الأخير نصف ونبرهن بعض العلاقات التربيعية المتعلقة بهذه العائلة من التحققات البواسونية، ملخصة في المبرهنة 3. ونتيجة للمبرهنة الأخيرة، نستنتج، لكل مسألة $\mathrm{U}(1)$ -كبلر، صيغة تربط الهاملتوني بالعزم الزاوي ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز، معممة الصيغة المعطاة بالمعادلة (2.8) من المرجع [11].

2. جبر جوردان الإقليدية

ليكن $V$ جبر جوردان إقليديا بسيطا، ويعني ذلك أن $V$ هو في الوقت نفسه جبر جوردان بسيط وفضاء متجهي إقليدي بحيث يكون ضرب جوردان بأي عنصر $u\in V$ ، وهو تشاكل ذاتي على $V$ يرمز إليه بـ $L_{u}$ ، ذاتي المرافق بالنسبة إلى جدائه الداخلي $\langle\,|\,\rangle$ . وفي اصطلاحنا يفترض أن عنصر الوحدة $e$ في $V$ متجه وحدة، ومن ثم

\langle u|v\rangle={1\over\rho}\mathrm{tr}\,(uv)

حيث إن $\rho$ هي رتبة $V$ ، و $u v$ هو ضرب جوردان لـ $u$ في $v$ ، و $\mathrm{tr}\,$ تعني الأثر. والقول إن $V$ جبر جوردان يعني أن التطبيق الثنائي الخطي $(u,v)\mapsto uv$ متناظر ويحقق هوية جوردان: $L_{u}\circ L_{u^{2}}=L_{u^{2}}\circ L_{u}$ لكل $u\in V$ .

فيما يلي سنماهي $V$ مع $V^{*}$ بواسطة هذه الخريطة:

u\in V\mapsto\langle u|\,\rangle:V\to\mathbb{R}.

سنستعمل $S_{uv}$ للدلالة على التشاكل الذاتي $[L_{u},L_{v}]+L_{uv}$ لكل $u,v\in V$ . لاحظ أن $S_{ue}=S_{eu}=L_{u}$ . ولنرمز إلى $S_{uv}(w)$ بـ $\{uvw\}$ ، فنحصل على

[S_{uv},S_{zw}]=S_{\{uvz\}w}-S_{z\{vzw\}},

وبذلك تولد هذه $S_{uv}$ جبرا حقيقيا للي، يشار إليه باسم جبر البنية لـ $V$ ، ويرمز إليه بـ $\mathfrak{str}(V)$ . أما الجبر المطابق لـ $V$ ، ويرمز إليه بـ $\mathfrak{co}(V)$ ، فهو امتداد لجبر البنية $\mathfrak{str}(V)$ . وبوصفه فضاء متجهيا حقيقيا، لدينا

\mathfrak{co}(V)=V\oplus\mathfrak{str}(V)\oplus V^{*}.

بكتابة $z\in V$ على صورة $X_{z}$ ، و $\langle w\mid\;\rangle\in V^{*}$ على صورة $Y_{w}$ ، يمكن كتابة علاقات التبادل على $\mathfrak{co}(V)$ كما يلي: من أجل $u$ ، $v$ ، $z$ ، $w$ في $V$ ،

\displaystyle\left\{\begin{matrix}[X_{u},X_{v}]=0,\quad[Y_{u},Y_{v}]=0,\quad[X% _{u},Y_{v}]=-2S_{uv},\cr\\ [S_{uv},X_{z}]=X_{\{uvz\}},\quad[S_{uv},Y_{z}]=-Y_{\{vuz\}},\cr\\ [S_{uv},S_{zw}]=S_{\{uvz\}w}-S_{z\{vuw\}}.\end{matrix}\right.

لاحظ أنه عندما يكون جبر جوردان هو $\Gamma(3)$ : $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{3}$ (وهو تحت فضاء خطي من جبر كليفورد الحقيقي $\mathrm{Cl}(\mathbb{R}^{3},\mbox{dot product})$ ) مع كون الضرب هو ضرب كليفورد المناظر، فإن لدينا $\mathfrak{co}(V)=\mathfrak{so}(2,4)$ ، وهو الجبر المطابق لفضاء منكوفسكي، و $\mathfrak{str}(V)=\mathfrak{so}(1,3)\oplus\mathbb{R}$ . وفي الحالة التي تعنينا، $V=\mathrm{H}_{n}(\mathbb{C})$ و $\mathfrak{co}(V)=\mathfrak{su}(n,n)$ . وبما أن $\mathrm{H}_{2}(\mathbb{C})\cong\Gamma(3)$ بصفته جبر جوردان، فليس من المستغرب أن $\mathfrak{su}(2,2)\cong\mathfrak{so}(2,4)$ بصفته جبر لي.

3. التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر المعممة غير الممغنطة

في المرجع [10] أدخل المؤلف الثاني مسائل كبلر المعممة القائمة على جبر جوردان وغير الممغنطة، بنماذجها الكمومية والكلاسيكية. وفي حين دُرست في ذلك المرجع بضعة جوانب من النماذج الكمومية، مثل مسألة الحالات المقيدة والتناظر الديناميكي الكمومي، لم يدرس فيه أي جانب من النماذج الكلاسيكية. في هذا القسم سنكرس اهتمامنا للتناظر الديناميكي الكلاسيكي. وهذا جانب يسير في النماذج الكلاسيكية لأنه يمكن استنتاجه بسرعة من نظيره الكمومي، غير أن الغرض الرئيس هنا هو تهيئة الإطار لدراسة التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$ وكذلك لمسائل كبلر العامة الممغنطة مستقبلا.

3.1. مخاريط كبلر

كما سبق، يرمز $V$ إلى جبر جوردان إقليدي بسيط رتبته $\rho$ . وسنعد أيضا $V$ فضاء إقليديا، أي فضاء أملسا (أي متشعبا) مزودا بالمترية الريمانية

(3.1)

\displaystyle\mathrm{d}s^{2}=\langle\mathrm{d}x\mid\mathrm{d}x\rangle.

هنا $x$ هي خريطة الهوية على $V$ ، لكنها تُنظر إليها كخريطة من الفضاء الأملس $V$ إلى الفضاء المتجهي $V$ بحيث تكون $\mathrm{d}x$ ، بوصفها التفاضل الكلي لهذه الدالة الملساء ذات القيم المتجهية، شكل تفاضلي واحدية ذات قيم متجهية على الفضاء الأملس $V$ .

لكل عدد صحيح موجب $k$ لا يتجاوز $\rho$ ، لنجعل $\mathcal{C}_{k}(V)$ ، أو اختصارا $\mathcal{C}_{k}$ ، مجموعة العناصر شبه الموجبة ذات الرتبة $k$ في $V$ . ومن الحقائق [10] أن $\mathcal{C}_{k}$ تحت متشعب من $V$ وأن الفضاء المماسي لـ $\mathcal{C}_{k}$ عند نقطة $x$ هو

\{x\}\times\mathrm{Im}L_{x}

حيث يرمز $\mathrm{Im}L_{x}$ إلى صورة الخريطة الخطية $L_{x}$ . وعلاوة على ذلك، تؤثر زمرة البنية لـ $V$ على $\mathcal{C}_{k}$ تأثيرا متجانسا، ويكون رفعها إلى حزمة التمام فعلا سمبلكتيا على $T^{*}\mathcal{C}_{k}$ . وهذا يعني أن لدينا تحققا بواسونيا لجبر البنية $\mathfrak{str}$ على متشعب بواسون $T^{*}\mathcal{C}_{k}$ . والمفاجأة أن هذا التحقق البواسوني لـ $\mathfrak{str}$ يمكن مده إلى تحقق بواسوني للجبر المطابق $\mathfrak{co}$ .

قبل عرض هذا التحقق البواسوني لـ $\mathfrak{co}$ على $T^{*}\mathcal{C}_{k}$ ، نحتاج إلى بعض التمهيدات. أولا، ستماهى $T^{*}\mathcal{C}_{k}$ مع $T\mathcal{C}_{k}$ بواسطة المترية الريمانية (3.1). ومع فهم هذه المماهاة، تصبح $T\mathcal{C}_{k}$ متشعب بواسون. بعد ذلك، نكتب خريطة الاحتواء

T\mathcal{C}_{k}\hookrightarrow TV=V\times V

على صورة $(x,\pi)$ ، وننظر إلى كل من $x$ و $\pi$ بوصفهما دالتين ملساوين ذواتي قيم متجهية على $T\mathcal{C}_{k}$ . لاحظ أنه عند أي نقطة $Q$ من $T\mathcal{C}_{k}$ ، لدينا $x(Q)\in\mathcal{C}_{k}$ و $\pi(Q)\in\mathrm{Im}L_{x(Q)}$ .

نستعمل $q^{i}$ للدلالة على نظام إحداثيات محلي على $\mathcal{C}_{k}$ ، و $\partial_{q^{i}}$ للدلالة على الإطار المماسي المحلي الناتج، ولنجعل

g_{ij}:=\langle\partial_{q^{i}}|\partial_{q^{i}}\rangle,\quad g:=[g_{ij}],% \quad g^{ij}:=(g^{-1})_{ij},\quad E^{i}=g^{ij}\partial_{q^{i}}.

وبموجب مماهاة $T^{*}\mathcal{C}_{k}$ مع $T\mathcal{C}_{k}$ المذكورة سابقا، يمكن أن نرى أن إطار التمام المحلي $(\mathrm{d}q^{1},\mathrm{d}q^{2},\ldots)$ يصبح الإطار المماسي المحلي $(E^{1},E^{2},\ldots)$ ، وبدلالته نستطيع كتابة

\pi=p_{i}E^{i}.

كذلك، في ظل المماهاة الطبيعية لـ $T_{x}V$ مع $V$ ، لدينا $\partial_{q^{i}}=\frac{\partial x}{\partial q^{i}}$ . وبما أن $\langle E^{j}|\partial_{q^{i}}\rangle=\mathrm{d}q^{j}(\partial_{q^{i}})=\delta% ^{j}_{i}$ ، نعلم أن $\langle E^{i}|v\rangle\partial_{q^{i}}|_{x}$ هو الإسقاط المتعامد لـ $v$ على $\mathrm{Im}L_{x}$ . لذلك، إذا رمزنا بـ $\bar{v}$ إلى الدالة التي ترسل $x\in\mathcal{C}_{k}$ إلى الإسقاط المتعامد لـ $v$ على $\mathrm{Im}L_{x}$ ، فحينئذ

(3.2)

\displaystyle\langle u|\partial_{q^{i}}\rangle\langle E^{i}|v\rangle=\langle u% |\bar{v}\rangle.

ومن أجل سلامة الترميز، نستعمل الرمز نفسه لكل من دالة محلية على $\mathcal{C}_{k}$ وسحبها العكسي بواسطة خريطة حزمة المماس $\tau$ : $T\mathcal{C}_{k}\to\mathcal{C}_{k}$ . فمثلا، يرمز $q^{i}$ إلى دالة محلية على $\mathcal{C}_{k}$ وإلى سحبها العكسي إلى $T\mathcal{C}_{k}$ في آن واحد.

لمّة 3.1.

لأي متجهات $u,v\in V$ ، منظورا إليها كدوال ثابتة ذات قيم متجهية على $T\mathcal{C}_{k}$ ، لدينا

(3.8)

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\{\langle u|x\rangle,\langle v|x% \rangle\}&=&0,\\ \\ \{\langle u|x\rangle,\langle v|\pi\rangle\}&=&\langle u|\bar{v}\rangle,\\ \\ \{\langle u|\pi\rangle,\langle v|\pi\rangle\}&=&p_{i}g^{il}\left\langle\bar{% \bar{u}}\left|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{l}}}\right.{\partial^{2}x% \over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle\langle v|E^{j}\rangle-\langle u% \leftrightarrow v\rangle\end{array}\right.

حيث $\bar{\bar{u}}=u-\bar{u}$ ، ويدل $\langle u\leftrightarrow v\rangle$ على الحد السابق بعد تبديل $u$ و $v$ . وبناء على ذلك، بالنسبة إلى الدوال $\tilde{u},\tilde{v}$ على $\mathcal{C}_{k}$ التي تكون قيمتها عند $x\in\mathcal{C}_{1}$ داخل $\mbox{Im}L_{x}$ ، نحصل على

(3.9)

\displaystyle\left\{\langle\tilde{u}|\pi\rangle,\langle\tilde{v}|\pi\rangle% \right\}=0.

هنا يعني $\pi\cdots\pi$ أن قوس بواسون بين $\pi$ فقط هو الذي يؤخذ في الحسبان.

Proof.

يعتمد التحقق من علاقات قوس بواسون في المعادلة (3.8) على علاقات قوس بواسون القانونية المحلية:

(3.10)

\displaystyle\{q^{i},q^{j}\}=0,\quad\{q^{i},p_{j}\}=\delta^{i}_{j},\quad\{p_{i% },p_{j}\}=0.

بما أن $x$ يعتمد على $q$ فقط، فإن لدينا

\{\langle u|x\rangle,\langle v|x\rangle\}=0.

بعد ذلك، لدينا

(3.11)	$\displaystyle\{\langle u\|x\rangle,\langle v\|\pi\rangle\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle u\|x\rangle,p_{i}\langle v\|E^{i}\rangle\}$
(3.12)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle u\|x\rangle,p_{i}\}\langle v\|E^{i}\rangle\quad\mbox{both% $x$ and $E_{i}$ depend on $q$ only}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle u\|\partial_{q^{i}}\rangle\langle E^{i}\|v\rangle\quad\mbox% {using Eq. \eqref{canonicalP}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle u\|\bar{v}\rangle\quad\mbox{using Eq. \eqref{projection}.}$

وبالمثل، لدينا

(3.14)	$\displaystyle\{\langle u\|\pi\rangle,\langle v\|\pi\rangle\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle u\|p_{i}E^{i}\rangle,\langle v\|p_{j}E^{j}\rangle\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}\{\langle u\|E^{i}\rangle,p_{j}\}\langle v\|E^{j}\rangle+% \langle u\|E^{i}\rangle\{p_{i},\langle v\|E^{j}\rangle\}p_{j}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}\{\langle u\|E^{i}\rangle,p_{j}\}\langle v\|E^{j}\rangle-% \langle u\leftrightarrow v\rangle.$

وبما أن

(3.16)	$\displaystyle\{\langle u\|E^{i}\rangle,p_{j}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle u\|g^{il}\partial_{q^{l}}\rangle,p_{j}\}$
(3.18)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\left\{g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over% \partial q^{l}}}\right.{\partial x\over\partial q^{l}}\right\rangle,p_{j}\right\}$
(3.20)		$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{% l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle+{% \partial g^{il}\over\partial q^{j}}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x% \over\partial q^{l}}}\right.{\partial x\over\partial q^{l}}\right\rangle$
(3.22)		$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{% l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle-g^{im% }g^{nl}{\partial g_{mn}\over\partial q^{j}}\left\langle u\left\|\vphantom{{% \partial x\over\partial q^{l}}}\right.{\partial x\over\partial q^{l}}\right\rangle$
(3.24)		$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{% l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle-g^{im% }{\partial g_{mn}\over\partial q^{j}}\langle u\|E^{n}\rangle$
(3.26)		$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{% l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle-g^{im% }\partial_{q^{j}}\left(\left\langle{\partial x\over\partial q^{m}}\left\|% \vphantom{{\partial x\over\partial q^{m}}}\right.{\partial x\over\partial q^{n% }}\right\rangle\right)\langle u\|E^{n}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle u\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{% l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right\rangle-g^{im% }\left\langle{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{m}}\left\|\vphantom{{% \partial x\over\partial q^{m}}}\right.\bar{u}\right\rangle-\left\langle E^{i}% \left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{m}}}\right.{\partial^{2}x\over% \partial q^{j}\partial q^{n}}\right\rangle\langle u\|E^{n}\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle g^{il}\left\langle\bar{\bar{u}}\left\|\vphantom{{\partial x\over% \partial q^{l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}\right% \rangle-\left\langle E^{i}\left\|\vphantom{{\partial x\over\partial q^{m}}}% \right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{n}}\right\rangle\langle u\|% E^{n}\rangle,$

فنحصل على

(3.30)	$\displaystyle\{\langle u\|\pi\rangle,\langle v\|\pi\rangle\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}\{\langle u\|E^{i}\rangle,p_{j}\}\langle v\|E^{j}\rangle-% \langle u\leftrightarrow v\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}\left(g^{il}\left\langle\bar{\bar{u}}\left\|\vphantom{{% \partial x\over\partial q^{l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}% \partial q^{l}}\right\rangle-\left\langle E^{i}\left\|\vphantom{{\partial x% \over\partial q^{m}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{n}}% \right\rangle\langle u\|E^{n}\rangle\right)\langle v\|E^{j}\rangle-\langle u% \leftrightarrow v\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle p_{i}g^{il}\left\langle\bar{\bar{u}}\left\|\vphantom{{\partial x% \over\partial q^{l}}}\right.{\partial^{2}x\over\partial q^{j}\partial q^{l}}% \right\rangle\langle v\|E^{j}\rangle-\langle u\leftrightarrow v\rangle.$

∎

3.2. التناظر الديناميكي الكلاسيكي

نحن الآن مستعدون لصوغ التحقق البواسوني للجبر المطابق $\mathfrak{co}$ على $T\mathcal{C}_{k}$ ، وهو التناظر الديناميكي لمسألة كبلر المعممة ذات فضاء التهيئة $\mathcal{C}_{k}$ .

مبرهنة 1.

لأي متجهين $u$ ، $v$ في $V$ ، عرّف الدوال

(3.32)

\displaystyle\mathcal{X}_{u}:=\langle x|\{\pi u\pi\}\rangle,\quad\mathcal{S}_{% uv}:=\langle S_{uv}(x)|\pi\rangle,\quad\mathcal{Y}_{v}:=\langle v|x\rangle

على $T\mathcal{C}_{k}$ . عندئذ، لأي متجهات $u$ ، $v$ ، $z$ ، $w$ في $V$ ، تتحقق علاقات قوس بواسون الآتية:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{v}\}=0,\quad% \{\mathcal{Y}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}=0,\quad\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}% =-2\mathcal{S}_{uv},\cr\\ \{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{X}_{z}\}=\mathcal{X}_{\{uvz\}},\quad\{\mathcal{S}_% {uv},\mathcal{Y}_{z}\}=-\mathcal{Y}_{\{vuz\}},\cr\\ \{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{S}_{zw}\}=\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{% vuw\}}.\end{matrix}\right.

Proof.

البرهان حساب مباشر قائم على علاقات قوس بواسون في المعادلة (3.8). وبسبب علاقة قوس بواسون في المعادلة (3.9)، فإن هذا البرهان هو في الحقيقة نسخة حرفية من برهان المبرهنة 3.1 في [10]، لذلك نحذفه هنا. ∎

ملاحظة 3.1.

إن مسألة كبلر المعممة المقابلة للتحقق البواسوني في المبرهنة 1 هي النظام الهاملتوني ذو فضاء الطور $T\mathcal{C}_{k}$ ، والهاملتوني

H={1\over 2}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}-{1\over\mathcal{Y}_{e}},

ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز

\mathcal{A}_{u}={1\over 2}\left(\mathcal{X}_{u}-\mathcal{Y}_{u}{\mathcal{X}_{e% }\over\mathcal{Y}_{e}}\right)+{\mathcal{Y}_{u}\over\mathcal{Y}_{e}}.

ويمكن للقراء المهتمين الرجوع إلى المرجع [12] لمزيد من التفاصيل حول هذه النقطة.

تقدم الفقرة الفرعية الآتية عرضا مفصلا لهذه الملاحظة في حالة مسألة كبلر.

3.3. مثال: مسألة كبلر ومخروط الضوء المستقبلي

الغرض هنا هو أن نبيّن صراحة ادعاء سبق أن طرحه المؤلف 2: إذا كان $V=\Gamma(3):=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{3}$ ، و $k=1$ ، فإن مسألة كبلر المعممة هي بالضبط مسألة كبلر. وبدلالة متجهات الأساس القياسي $\vec{e}_{0},\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}$ ، يمكن تحديد ضرب جوردان بالقواعد الآتية: $\vec{e}_{0}$ هو عنصر الهوية، و

\vec{e}_{i}\vec{e}_{j}=\delta_{ij}\vec{e}_{0}

من أجل $i,j>0$ . ويعطى الأثر $\mathrm{tr}\,$ : $V\to\mathbb{R}$ بالقواعد الآتية:

\mathrm{tr}\,\vec{e}_{0}=2,\quad\mathrm{tr}\,\vec{e}_{i}=0.

ومن ثم فإن الجداء الداخلي على $V$ هو ذلك الذي يجعل الأساس القياسي أساسا متعامدا معياريا. وبما أن $V$ له رتبة اثنان، فإن محدد $x=x^{\mu}\vec{e}_{\mu}$ هو

\det x={1\over 2}((\mathrm{tr}\,x)^{2}-\mathrm{tr}\,x^{2})=(x^{0})^{2}-(x^{1})% ^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}.

ولذلك، فإن

\mathcal{C}_{1}=\{x\in V\left|\vphantom{}\right.\det x=0,\mathrm{tr}\,x>0\}

هو على وجه الدقة مخروط الضوء المستقبلي في فضاء منكوفسكي. ويتبين أن لـ $\mathcal{C}_{1}$ إحداثيا عالميا $q=(q^{1},q^{2},q^{3})$ مع $q^{i}(x)=x^{i}$ . وبما أن $x(q)=r\vec{e}_{0}+\vec{r}$ حيث $\vec{r}=q^{i}\vec{e}_{i}$ و $r$ هو طول $\vec{r}$ ، فإن لدينا

\partial_{q^{i}}=\vec{e}_{i}+{q^{i}\over r}\vec{e}_{0},\quad g_{ij}=\delta_{ij% }+{q^{i}q^{j}\over r^{2}},\quad g^{ij}=\delta_{ij}-{q^{i}q^{j}\over 2r^{2}},% \quad E^{j}=\vec{e}_{j}-{q^{j}\over 2r^{2}}\vec{r}+{q^{j}\over 2r}\vec{e}_{0}.

هنا تُفهم الهويتان الأولى والأخيرة مع وضع المماهاة الطبيعية لـ $T_{x}\mathcal{C}_{1}$ مع $\mathrm{Im}L_{x}$ في الاعتبار.

لتكن $\vec{p}=\sum_{i}p_{i}\vec{e}_{i}$ و $|\vec{p}|^{2}=\vec{p}\cdot\vec{p}$ . وبما أن $\pi=p_{i}E^{i}=\vec{p}-\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{2r^{2}}\vec{r}+\frac{\vec{p}% \cdot\vec{r}}{2r}\vec{e}_{0}$ ، إذن $x\pi=(\vec{p}\cdot\vec{r})\vec{e}_{0}+r\vec{p}$ ، ولذلك

(3.33)	$\displaystyle\mathcal{X}_{e}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle x\|\pi^{2}\rangle=\langle x\pi\|\pi\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\left\langle(\vec{p}\cdot\vec{r})\vec{e}_{0}+r\vec{p}\left\|% \vphantom{\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{2r}}\right.\vec{p}-\frac{\vec{p}\cdot\vec% {r}}{2r^{2}}\vec{r}+\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{2r}\vec{e}_{0}\right\rangle$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle r\|\vec{p}\|^{2}.$

وبما أن $\mathcal{Y}_{e}=r$ ، فإن الهاملتوني هو

H={1\over 2}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}-{1\over\mathcal{Y}_{e}}={1% \over 2}|\vec{p}|^{2}-{1\over r}.

وبالمثل، يمكن حساب $\mathcal{X}_{\vec{e}_{i}}=\langle x|\{\pi\vec{e}_{i}\pi\}\rangle$ و $\mathcal{Y}_{\vec{e}_{i}}=\langle x|\vec{e}_{i}\rangle$ والوصول إلى

\sum_{i}\mathcal{X}_{\vec{e}_{i}}\vec{e}_{i}=2(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}-% \vec{r}|\vec{p}|^{2},\quad\sum_{i}\mathcal{Y}_{\vec{e}_{i}}\vec{e}_{i}=\vec{r}.

ثم نصل إلى متجه لابلاس-رونغه-لنتز المعتاد لمسألة كبلر:

	$\displaystyle\vec{A}$	$\displaystyle:=$	$\displaystyle\sum_{i}A_{\vec{e}_{i}}\vec{e}_{i}=\sum_{i}\left({1\over 2}\left(% \mathcal{X}_{\vec{e}_{i}}-\mathcal{Y}_{\vec{e}_{i}}{\mathcal{X}_{e}\over% \mathcal{Y}_{e}}\right)+{\mathcal{Y}_{\vec{e}_{i}}\over\mathcal{Y}_{e}}\right)% \vec{e}_{i}$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle(\vec{r}\times\vec{p})\times\vec{p}+{\vec{r}\over r}.$

ملاحظة 3.2.

وعلى حد علمنا، فإن حقيقة أن متجه لابلاس-رونغه-لنتز يدين بوجوده للتناظر الديناميكي قد أشار إليها المؤلف الثاني أولا في الفقرة الفرعية 7.1 من المرجع [13].

4. التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$

في بقية هذه المقالة، يفترض أن جبر جوردان الإقليدي البسيط $V$ هو $\mathrm{H}_{n}(\mathbb{C})$ ، أي جبر جوردان للمصفوفات الهرميتية العقدية من الرتبة $n\geq 2$ ، ويفترض أن $\mu$ عدد حقيقي.

في هذه الحالة يكون $\mathcal{C}_{1}$ مكافئا هوموتوبيا لـ $\mathbb{C}P^{n-1}$ ، ويمكن اختيار مولد لـ $H^{2}(\mathcal{C}_{1},\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ ليكون صنف الكوهومولوجيا للصورة التفاضلية الحقيقية المغلقة الثنائية $\omega_{K}\over 2\pi$ حيث

(4.1)

\displaystyle\omega_{K}:=-\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x\;\mathrm{d}x\wedge\mathrm% {d}x)\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}

وتسمى شكل كبلر في المرجع [6]. وعلى رقعة إحداثية طوبولوجيا تافهة، توجد شكل تفاضلي حقيقية واحدية $A=A_{i}\mathrm{d}q^{i}$ بحيث

\omega_{K}=\mathrm{d}A.

وسنستعمل أيضا $\omega_{K}$ للدلالة على السحب العكسي لـ $\omega_{K}$ بواسطة خريطة إسقاط حزمة التمام $T^{*}{\mathcal{C}_{1}}\to\mathcal{C}_{1}$ . لتكن $\omega_{\mathcal{C}_{1}}$ الشكل السمبلكتي القانونية على $T^{*}\mathcal{C}_{1}$ و

\omega_{\mu}:=\omega_{\mathcal{C}_{1}}+2\mu\,\omega_{K}.

وعلى رقعة إحداثية طوبولوجيا تافهة لدينا

\omega_{\mu}=\mathrm{d}p_{i}\wedge\mathrm{d}q^{i}+2\mu\,\mathrm{d}A=\mathrm{d}% (p_{i}+2\mu A_{i})\wedge\mathrm{d}q^{i},

فنستنتج أن $\omega_{\mu}$ شكل سمبلكتي على $T^{*}\mathcal{C}_{1}$ . وكما سبق سنماهي $T^{*}\mathcal{C}_{1}$ مع $T\mathcal{C}_{1}$ بواسطة الجداء الداخلي على $V$ . في هذه الحالة تكون العناصر في $V$ مصفوفات هرمتيّة، ولذلك، لأي $u,v\in V$ ، لدينا ضرب المصفوفات $u\cdot v$ ، وبدلالته لدينا المبدل $[u,v]=u\cdot v-v\cdot u$ وضرب جوردان $uv={1\over 2}(u\cdot v+v\cdot u)$ .

لمّة 4.1.

افترض أن $x\in\mathcal{C}_{1}$ . لتكن $u,v\in\mathrm{H}_{n}(\mathbb{C})$ و $L_{u,v}=[L_{u},L_{v}]$ .

(i)

لدينا $x^{2}=\mathrm{tr}\,x\,x$ ، ومن ثم

$[x,ux]={\mathrm{tr}\,x\over 2}[x,u],\quad\mathrm{tr}\,(x[ux,v])={1\over 2}% \mathrm{tr}\,x\;\mathrm{tr}\,(x[u,v]).$
(ii)

تتحقق الهويات الآتية:

$\mathrm{i}[u,x]\in\mbox{Im}L_{x},\quad x\cdot u\cdot x=\mathrm{tr}\,(xu)\;x,% \quad L_{u,v}x={1\over 4}[[u,v],x].$

وبناء على ذلك، لدينا

(4.2) $\displaystyle{1\over 2}[x,[x,u]]=(\mathrm{tr}\,x)xu-\mathrm{tr}\,(xu)x.$
(iii)

تتحقق علاقات قوس بواسون الآتية على المتشعب السمبلكتي $(T\mathcal{C}_{1},\omega_{\mu})$ :

$\{\langle u|x\rangle,\langle v|x\rangle\}=0,\quad\{\langle u|x\rangle,\langle v% |\pi\rangle\}=\langle u|\bar{v}\rangle,$

و

$\left\{\langle\tilde{u}|\pi\rangle,\langle\tilde{v}|\pi\rangle\right\}=-2\mu% \mathrm{i}{\mathrm{tr}\,\left(x[\tilde{u},\tilde{v})]\right)\over(\mathrm{tr}% \,x)^{3}}$

بشرط أن تكون $\tilde{u},\tilde{v}$ دوالا على $\mathcal{C}_{1}$ تكون قيمتها عند $x\in\mathcal{C}_{1}$ داخل $\mbox{Im}L_{x}$ .

Proof.

(i)

بما أن $x$ له رتبة $1$ وقابل للقطرية، فمن الواضح أن $x^{2}=\mathrm{tr}\,xx$ . ثم

	$\displaystyle[x,ux]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}(x\cdot(u\cdot x+x\cdot u)-(u\cdot x+x\cdot u)\cdot x)$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}(x^{2}\cdot u-u\cdot x^{2})=\frac{\mathrm{tr}\,x}{2}[x% ,u]$

(4.4)	$\displaystyle\mathrm{tr}\,(x[ux,v])$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,(x\cdot(u\cdot x\cdot v+x\cdot u\cdot v-v% \cdot x\cdot u-v\cdot u\cdot x))$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,(x^{2}\cdot u\cdot v-x^{2}\cdot v\cdot u)% \quad\mbox{using the fact that $\mathrm{tr}\,$ is cyclic}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 2}\mathrm{tr}\,x\;\mathrm{tr}\,(x[u,v]).$

(ii)

يمكننا أن نفترض أن $x$ هي المصفوفة التي يكون مدخلها $(1,1)$ مساويا لـ $1$ وجميع المداخل الأخرى صفرا. عندئذ يكون $\mbox{Im}L_{x}$ هو المجموعة المؤلفة من المصفوفات الهرميتية التي يكون مدخلها $(i,j)$ صفرا إذا كان $i,j>1$ . ومن الواضح عندئذ أن المصفوفة الهرميتية $\mathrm{i}[u,x]$ عنصر في $\mbox{Im}L_{x}$ .

من الواضح أن $x\cdot u\cdot x$ هي المصفوفة التي يكون مدخلها $(1,1)$ مساويا لـ $u_{11}$ (مدخل $(1,1)$ من $u$ ) وجميع المداخل الأخرى صفرا. وبما أن $\mathrm{tr}\,(xu)=u_{11}$ ، فإن $x\cdot u\cdot x=\mathrm{tr}\,(xu)\;x$ . وبناء على ذلك

(4.6)	$\displaystyle\frac{1}{2}[x,[x,u]]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}\bigl{(}x\cdot(x\cdot u-u\cdot x)-(x\cdot u-u\cdot x)% \cdot x\bigr{)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle x^{2}u-x\cdot u\cdot x$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle(\mathrm{tr}\,x)xu-\mathrm{tr}\,(xu)x.$

إن الهوية $L_{u,v}x={1\over 4}[[u,v],x]$ تتحقق في الواقع لأي $x, u, v$ :

(4.8)	$\displaystyle L_{u,v}x$	$\displaystyle=$	$\displaystyle u(vx)-<u\leftrightarrow v>$
(4.9)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{4}\left(u\cdot(v\cdot x+x\cdot v)+(v\cdot x+x\cdot v)% \cdot u-<u\leftrightarrow v>\right)$
(4.10)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{4}\left(u\cdot v\cdot x+u\cdot x\cdot v+v\cdot x\cdot u+% x\cdot v\cdot u-<u\leftrightarrow v>\right)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{4}\left([u,v]\cdot x+x\cdot[v,u]\right)$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 4}[[u,v],x].$

(iii)

البرهان مشابه لبرهان اللمّة 3.1. لاحظ أن علاقات بواسون القانونية المحلية (3.10) قد تغيرت الآن إلى

\{q^{i},q^{j}\}=0,\quad\{q^{i},p_{j}\}=\delta^{i}_{j},\quad\{p_{i},p_{j}\}=-2% \mu\mathrm{i}\frac{\mathrm{tr}\,\left(x\left[\frac{\partial x}{\partial q^{i}}% ,\frac{\partial x}{\partial q^{j}}\right]\right)}{(\mathrm{tr}\,x)^{3}}.

لذلك فإن برهان الهويتين $\{\langle u|x\rangle,\langle v|x\rangle\}=0$ و $\{\langle u|x\rangle,\langle v|\pi\rangle\}=\langle u|\bar{v}\rangle$ هو كما كان من قبل.

برهان الهوية $\left\{\langle\tilde{u}|\pi\rangle,\langle\tilde{v}|\pi\rangle\right\}=-2\mu% \mathrm{i}{\mathrm{tr}\,\left(x[\tilde{u},\tilde{v}]\right)\over(\mathrm{tr}\,% x)^{3}}$ .

(4.12)	$\displaystyle LHS$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle\tilde{u}\|E^{i}\rangle\langle\tilde{v}\|E^{j}\rangle\{p_{i}% ,p_{j}\}+\mbox{other terms}$
(4.13)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle\tilde{u}\|E^{i}\rangle\langle\tilde{v}\|E^{j}\rangle\{p_{i}% ,p_{j}\}+0\quad\mbox{using Eq. \eqref{SpecialP}}$
(4.14)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle\tilde{u}\|E^{i}\rangle\langle\tilde{v}\|E^{j}\rangle(-2\mu% \mathrm{i})\frac{\mathrm{tr}\,\left(x\left[\frac{\partial x}{\partial q^{i}},% \frac{\partial x}{\partial q^{j}}\right]\right)}{(\mathrm{tr}\,x)^{3}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[\tilde{u},\tilde{v}])\over(% \mathrm{tr}\,x)^{3}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle RHS.$

∎

مبرهنة 2.

لأي متجهين $u$ ، $v$ في $V:=\mathrm{H}_{n}(\mathbb{C})$ ، عرّف الدوال

(4.19)

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\mathcal{X}_{u}&:=&\langle x|\{\pi u% \pi\}\rangle+{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(xu)-\mu\mathrm{i% }{\mathrm{tr}\,(x[u,\pi])\over\mathrm{tr}\,x}\\ \mathcal{Y}_{v}&:=&\langle v|x\rangle\\ \mathcal{S}_{uv}&:=&\langle S_{uv}(x)|\pi\rangle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x% [u,v])\over 2\,\mathrm{tr}\,x}\end{array}\right.

على $T\mathcal{C}_{1}$ . عندئذ، لأي متجهات $u$ ، $v$ ، $z$ ، $w$ في $V$ ، تتحقق علاقات قوس بواسون الآتية:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{v}\}=0,\quad% \{\mathcal{Y}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}=0,\quad\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}% =-2\mathcal{S}_{uv},\cr\\ \{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{X}_{z}\}=\mathcal{X}_{\{uvz\}},\quad\{\mathcal{S}_% {uv},\mathcal{Y}_{z}\}=-\mathcal{Y}_{\{vuz\}},\cr\\ \{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{S}_{zw}\}=\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{% vuw\}}.\end{matrix}\right.

برهان هذه المبرهنة معقد بعض الشيء، لذلك نؤجله إلى القسم التالي.

ملاحظة 4.1.

بالنظر إلى المرجع [12]، فإن المبرهنة 2 تعني أن مسألة كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$ المقابلة هي النظام الهاملتوني ذو فضاء الطور $T\mathcal{C}_{1}$ ، والهاملتوني

H={1\over 2}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}-{1\over\mathcal{Y}_{e}}

ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز

\mathcal{A}_{u}={1\over 2}\left(\mathcal{X}_{u}-\mathcal{Y}_{u}{\mathcal{X}_{e% }\over\mathcal{Y}_{e}}\right)+{\mathcal{Y}_{u}\over\mathcal{Y}_{e}}.

يعطي حساب بسيط $H=\frac{\langle x|\pi^{2}\rangle}{2r}+{n^{2}\mu^{2}\over 2(\mathrm{tr}\,x)^{2}% }-\frac{n}{\mathrm{tr}\,x}$ ، أي الهاملتوني في التعريف 1.1 من المرجع [6].

5. برهان المبرهنة 2

يعتمد البرهان اعتمادا كبيرا على اللمّة 4.1. تقول المبرهنة 1 إن هذه الهويات تتحقق للحدود الثابتة في $\mu$ ، لذلك لا نحتاج إلا إلى التحقق منها عند حدود الرتب الأعلى في $\mu$ . الخطوة صفر: من الواضح أن $\{\mathcal{Y}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}=0$ . الخطوة الأولى: نتحقق من أن $\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{Y}_{z}\}=-\mathcal{Y}_{\{vuz\}}$ . وهذا يسير:

(5.1)	$\displaystyle\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{Y}_{z}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,v]% )\over 2\,\mathrm{tr}\,x},\langle z\|x\rangle\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle,\langle z\|x\rangle\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\mathcal{Y}_{\{vuz\}}\quad\mbox{no higher order terms in $\mu$ % involved here}.$

الخطوة الثانية: نتحقق من أن $\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}=-2\mathcal{S}_{uv}$ .

(5.3)	$\displaystyle\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{Y}_{v}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle x\|\{\pi u\pi\}\rangle+{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2% }}\mathrm{tr}\,(xu)-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,\pi])\over\mathrm{tr}\,x},% \langle v\|x\rangle\}$
(5.4)		$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle-{\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}% \{\mathrm{tr}\,(x[u,\pi]),\langle v\|x\rangle\}$
(5.5)		$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle+{\mu\over\mathrm{tr}\,x}\{\langle v% \|x\rangle,\mathrm{tr}\,(\mathrm{i}[x,u]\pi)\}$
(5.6)		$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle+{\mu\over\mathrm{tr}\,x}\mathrm{tr% }\,(\mathrm{i}[x,u]v)\quad\mbox{using Lemma \ref{LemmaKey}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\langle S_{uv}(x)\|\pi\rangle+\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,v]% )\over\mathrm{tr}\,x}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\mathcal{S}_{uv}.$

الخطوة الثالثة: نتحقق من أن $\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{S}_{zw}\}=\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{% vuw\}}$ . وهذا يتطلب بعض التفصيل.

لتكن $\mathcal{L}_{u}:=\mathcal{S}_{ue}$ و $\mathcal{L}_{u,v}:={1\over 2}(\mathcal{S}_{uv}-\mathcal{S}_{vu})$ . عندئذ

\mathcal{L}_{u}=\langle ux|\pi\rangle,\quad\mathcal{L}_{u,v}=\langle L_{u,v}x|% \pi\rangle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,v])\over 2\,\mathrm{tr}\,x},\quad% \mathcal{S}_{uv}=\mathcal{L}_{u,v}+\mathcal{L}_{uv}.

ندّعي أن

(5.8)

\displaystyle\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{L}_{v}\}=\mathcal{L}_{u,v},\quad\{% \mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{z}\}=\mathcal{L}_{L_{u,v}z}.

برهان أن $\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{L}_{v}\}=\mathcal{L}_{u,v}$ :

(5.9)	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{L}_{v}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle ux\|\pi\rangle,\langle vx\|\pi\rangle\}$
(5.10)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle L_{u,v}x\|\pi\rangle+\{\langle ux\|\pi\rangle,\langle vx\|% \pi\rangle\}$
(5.11)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle L_{u,v}x\|\pi\rangle-2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[ux,vx]% )\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle L_{u,v}x\|\pi\rangle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,v])% \over 2\mathrm{tr}\,x}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{u,v}.$

برهان أن $\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{z}\}=\mathcal{L}_{L_{u,v}z}$ :

(5.13)	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{z}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\langle L_{u,v}x\|\pi\rangle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,v])% \over 2\mathrm{tr}\,x},\langle zx\|\pi\rangle\}$
(5.14)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{L_{u,v}z}+\mu\mathrm{i}\{\langle zx\|\pi\rangle,{% \mathrm{tr}\,(x[u,v])\over 2\mathrm{tr}\,x}\}+\{\langle L_{u,v}x\|\pi\rangle,% \langle zx\|\pi\rangle\}$
(5.15)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{L_{u,v}z}+\mu\mathrm{i}\{\langle zx\|\pi\rangle,{% \mathrm{tr}\,(x[u,v])\over 2\mathrm{tr}\,x}\}-2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[L% _{u,v}x,zx])\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{L_{u,v}z}+\mu\mathrm{i}\left(-{\mathrm{tr}\,((zx)[u,% v])\over 2\mathrm{tr}\,x}+{\mathrm{tr}\,(x[u,v])\over 2(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% \mathrm{tr}\,(zx)\right)$
		$\displaystyle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[L_{u,v}x,z])\over(\mathrm{tr}\,x)^% {2}}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{L_{u,v}z}$

بشرط أن

-\mathrm{tr}\,((zx)[u,v])\mathrm{tr}\,x+\mathrm{tr}\,(x[u,v])\mathrm{tr}\,(zx)% -2\mathrm{tr}\,(x[L_{u,v}x,z])=0,

أو

-(\mathrm{tr}\,x)x[u,v]+\mathrm{tr}\,(x[u,v])x=2[x,L_{u,v}x],

وهو ما تستلزمه الهويات الآتية

L_{u,v}x={1\over 4}[[u,v],x],\quad{1\over 2}[x,[x,u]]=(\mathrm{tr}\,x)xu-% \mathrm{tr}\,(xu)x

في الجزء (ii) من اللمّة 4.1.

نحن الآن مستعدون لبرهان أن $\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{S}_{zw}\}=\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{% vuw\}}$ : بما أن $\mathcal{S}_{uv}=\mathcal{L}_{u,v}+\mathcal{L}_{uv}$ و $\mathcal{S}_{zw}=\mathcal{L}_{z,w}+\mathcal{L}_{zw}$ ، فإن لدينا

(5.18)	$\displaystyle\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{S}_{zw}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{z,w}\}+\{\mathcal{L}_{u,v},% \mathcal{L}_{zw}\}+\{\mathcal{L}_{uv},\mathcal{L}_{z,w}\}+\{\mathcal{L}_{uv},% \mathcal{L}_{zw}\}$
(5.20)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{u,v},\{\mathcal{L}_{z},\mathcal{L}_{w}\}\}+% \mathcal{L}_{L_{u,v}(zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}+\mathcal{L}_{uv,zw}$
(5.22)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{z}\},\mathcal{L}_{w}\}+\{% \mathcal{L}_{z},\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{L}_{w}\}\}+\mathcal{L}_{L_{u,v}(% zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}+\mathcal{L}_{uv,zw}$
(5.24)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{L_{u,v}z},\mathcal{L}_{w}\}+\{\mathcal{L}_{z},% \mathcal{L}_{L_{u,v}w}\}+\mathcal{L}_{L_{u,v}(zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}+% \mathcal{L}_{uv,zw}$
(5.26)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{L_{u,v}z,w}+\mathcal{L}_{z,L_{u,v}w}+\mathcal{L}_{L_% {u,v}(zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}+\mathcal{L}_{uv,zw}$
(5.29)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{L}_{\{uvz\},w}-\mathcal{L}_{(uv)z,w}-\mathcal{L}_{z,\{% vuw\}}+\mathcal{L}_{z,(uv)w}$
(5.29)			$\displaystyle+\mathcal{L}_{L_{u,v}(zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}+\mathcal{L}_% {uv,zw}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{vuw\}}-\mathcal{L}_{(uv)z,% w}+\mathcal{L}_{z,(uv)w}+\mathcal{L}_{uv,zw}$
		$\displaystyle-\mathcal{L}_{\{uvz\}w}+\mathcal{L}_{z\{vuw\}}+\mathcal{L}_{L_{u,% v}(zw)}-\mathcal{L}_{L_{z,w}(uv)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{S}_{\{uvz\}w}-\mathcal{S}_{z\{vuw\}}$

بشرط أن

\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[(uv)z,w])\over 2\,\mathrm{tr}\,x}-\mu\mathrm{i}{% \mathrm{tr}\,(x[z,(uv)w])\over 2\,\mathrm{tr}\,x}-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(% x[uv,zw])\over 2\,\mathrm{tr}\,x}=0

أو

\mathrm{tr}\,(x[(uv)z,w])-\mathrm{tr}\,(x[z,(uv)w])-\mathrm{tr}\,(x[uv,zw])=0

أو

[x,(uv)z]=[x,z](uv)+[x,uv]z

وهذا صحيح بوضوح لأن $[x,]$ اشتقاق. الخطوة الرابعة: نتحقق من أن $\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{X}_{z}\}=\mathcal{X}_{\{uvz\}}$ . يكفي أن نتحقق من أن $\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{X}_{v}\}=\mathcal{X}_{uv}$ :

(5.34)	$\displaystyle\{\mathcal{S}_{uv},\mathcal{X}_{z}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\mathcal{L}_{u,v},\mathcal{X}_{z}\}+\{\mathcal{L}_{uv},\mathcal% {X}_{z}\}$
(5.35)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{L}_{v}\},\mathcal{X}_{z}\}+\{% \mathcal{L}_{uv},\mathcal{X}_{z}\}$
(5.36)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{X}_{z}\},\mathcal{L}_{v}\}+\{% \mathcal{L}_{u},\{\mathcal{L}_{v},\mathcal{X}_{z}\}\}+\mathcal{X}_{(uv)z}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\mathcal{X}_{v(uz)}+\mathcal{X}_{u(vz)}+\mathcal{X}_{(uv)z}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\mathcal{X}_{\{uvz\}}.$

برهان أن $\{\mathcal{L}_{u},\mathcal{X}_{v}\}=\mathcal{X}_{uv}$ ، أي إن

\left\{\langle ux|\pi\rangle,\langle x|\{\pi v\pi\}\rangle+{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(xv)-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])% \over\mathrm{tr}\,x}\right\}

يساوي

\langle x|\{\pi(uv)\pi\}\rangle+{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}% \,(x(uv))-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[uv,\pi])\over\mathrm{tr}\,x}

وهي تتضمن حدودا حتى الدرجة الثانية في $\mu$ . لاحظ أنه لا حاجة إلى التحقق من ذلك للحدود الثابتة في $\mu$ بسبب المبرهنة 1.

بالنسبة إلى الحدود التربيعية في $\mu$ ، يجب أن نتحقق من أن

\left\{\langle ux|\pi\rangle,{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(% xv)\right\}-{\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\left\{\langle ux|\pi\rangle,% \mathrm{tr}\,(x[v,\pi]\right\}={n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}% \,(x(uv)),

أي

-{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,((ux)v)+2{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(ux)-{n\mu\mathrm{i}\over% \mathrm{tr}\,x}\left\{\langle ux|\pi\rangle,\langle[x,v]|\pi\rangle)\right\}={% n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(x(uv))

أو

-{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,((ux)v)+2{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(ux)-{2n\mu^{2}\over\mathrm{% tr}\,x}{\mathrm{tr}\,(x[ux,[x,v]])\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}={n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(x(uv))

أو

-{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,((ux)v)+2{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(ux)-{n\mu^{2}\over(\mathrm{% tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(x[u,[x,v]])={n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% \mathrm{tr}\,(x(uv))

أو

(5.38)

\displaystyle-\mathrm{tr}\,(v(ux))+{2\over\mathrm{tr}\,x}\mathrm{tr}\,(vx)% \mathrm{tr}\,(ux)-{\mathrm{tr}\,(x[u,[x,v]])\over\mathrm{tr}\,x}=\mathrm{tr}\,% (x(uv))

أو

(5.39)

\displaystyle-vx+{2\over\mathrm{tr}\,x}\mathrm{tr}\,(vx)x-{1\over\mathrm{tr}\,% x}[[x,v],x]=xv

وهي في جوهرها الهوية (4.2).

بالنسبة إلى الحدود الخطية في $\mu$ ، يجب أن نتحقق من أن

2\left\{\langle ux|\pi\rangle,\langle x|\{\pi v\pi\}\rangle\right\}-\mu\mathrm% {i}\left\{\langle ux|\pi\rangle,{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\over\mathrm{tr}\,x}% \right\}\left|\vphantom{1\over 2}\right._{\mbox{no $\pi\pi$ contraction}}=-\mu% \mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[uv,\pi])\over\mathrm{tr}\,x},

أي

	$\displaystyle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[(uv),\pi])\over\mathrm{tr}\,x}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-4\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[ux,S_{v\pi}(x)])\over(\mathrm{tr}% \,x)^{3}}-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,((u\pi)[x,v])\over\mathrm{tr}\,x}$
			$\displaystyle+\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,((ux)[v,\pi])\over\mathrm{tr}\,x}-\mu% \mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(ux)$

أو

	$\displaystyle-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[(uv),\pi])\over\mathrm{tr}\,x}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[u,S_{v\pi}(x)])\over(\mathrm{tr}% \,x)^{2}}-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,((u\pi)[x,v])\over\mathrm{tr}\,x}$
			$\displaystyle+\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,((ux)[v,\pi])\over\mathrm{tr}\,x}-\mu% \mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(ux)$

أو

	$\displaystyle 2\mathrm{tr}\,(x[u,S_{v\pi}(x)])$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\mathrm{tr}\,((u\pi)[x,v])\mathrm{tr}\,x+\mathrm{tr}\,((ux)[v,% \pi])\mathrm{tr}\,x$
			$\displaystyle-\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\mathrm{tr}\,(ux)+\mathrm{tr}\,(x[uv,\pi]% )\mathrm{tr}\,x$

أو

\displaystyle 2[S_{v\pi}(x),x]

\displaystyle=

\displaystyle-\pi[x,v]\mathrm{tr}\,x+x[v,\pi]\mathrm{tr}\,x-\mathrm{tr}\,(x[v,% \pi])x+v[\pi,x]\mathrm{tr}\,x.

وبتوسيع الحد في الطرف الأيسر وضم الحد 1 والأخير في الطرف الأيمن، نصل إلى الهوية

\displaystyle 2[v(\pi x),x]+2[(v\pi)x,x]-2[\pi(vx),x]=[\pi v,x]\mathrm{tr}\,x+% x[v,\pi]\mathrm{tr}\,x-\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])x.

وبما أن $2[(v\pi)x,x]=[v\pi,x]\mathrm{tr}\,x$ ، تصبح الهوية السابقة

\displaystyle 2[L_{v,\pi}x,x]=x[v,\pi]\mathrm{tr}\,x-\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])x

أو

\displaystyle{1\over 2}[x,[x,[v,\pi]]]=x[v,\pi]\mathrm{tr}\,x-\mathrm{tr}\,(x[% v,\pi])x

وهو ما تستلزمه الهويات الآتية

L_{u,v}x={1\over 4}[[u,v],x],\quad{1\over 2}[x,[x,u]]=(\mathrm{tr}\,x)xu-% \mathrm{tr}\,(xu)x

في الجزء (ii) من اللمّة 4.1.

الخطوة الخامسة: نتحقق من أن $\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{v}\}=0$ . يكفي أن نتحقق من أن $\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{e}\}=0$ :

(5.43)	$\displaystyle\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{v}\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\mathcal{X}_{u},\{\mathcal{L}_{v},\mathcal{X}_{e}\}\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\{\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{L}_{v}\},\mathcal{X}_{e}\}+\{% \mathcal{L}_{v},\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{e}\}\}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\{\mathcal{X}_{uv},\mathcal{X}_{e}\}=0.$

برهان أن $\{\mathcal{X}_{u},\mathcal{X}_{e}\}=0$ ، أي

\left\{\langle x|\{\pi v\pi\}\rangle+{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% \mathrm{tr}\,(xv)-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\over\mathrm{tr}\,x},% \langle x|\pi^{2}\rangle+{n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}\right\}=0.

تحتوي هذه الهوية على حدود حتى الدرجة الرابعة في $\mu$ . ومرة أخرى لا حاجة إلى التحقق من حدود الدرجة الصفرية في $\mu$ .

بالنسبة إلى الحدود الخطية في $\mu$ ، يجب أن نتحقق من أن

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 4\{\langle S_{v\pi}x\|\pi\rangle,\langle\pi x\|\pi\rangle\}$
		$\displaystyle-{\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi),% \langle\pi^{2}\|x\rangle\}-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([% x,v]\pi),\langle\pi x\|\pi\rangle\}$
		$\displaystyle+2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi)\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% \{\mathrm{tr}\,x,\langle\pi x\|\pi\rangle\}$

أي

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-8\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[S_{v\pi}x,\pi x])\over(\mathrm{tr% }\,x)^{3}}+{n\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\langle\pi^{2}\|[x,v]\rangle$
			$\displaystyle-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\mathrm{tr}\,([\pi x,v]\pi])+% 2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi)\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(% \pi x)$

أو

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-4\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[S_{v\pi}x,\pi])\over(\mathrm{tr}% \,x)^{2}}+{n\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\langle\pi^{2}\|[x,v]\rangle$
			$\displaystyle-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\mathrm{tr}\,([\pi x,v]\pi])+% 2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi)\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(% \pi x)$

أو

-2\mathrm{tr}\,(x[S_{v\pi}x,\pi])+{1\over 2}\mathrm{tr}\,x\;\mathrm{tr}\,(\pi^% {2}[x,v])-\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,([\pi x,v]\pi)+\mathrm{tr}\,([x,v]\pi])% \mathrm{tr}\,(\pi x)=0

أو

-2\mathrm{tr}\,(x[S_{x\pi}v,\pi])+{1\over 2}\mathrm{tr}\,x\;\mathrm{tr}\,([\pi% ^{2},x]v)-\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,([\pi x,v]\pi)+\mathrm{tr}\,([x,v]\pi)% \mathrm{tr}\,(\pi x)=0

أو

-2S_{\pi x}([\pi,x])+{1\over 2}\mathrm{tr}\,x[\pi^{2},x]-\mathrm{tr}\,x[\pi,% \pi x]+\mathrm{tr}\,(\pi x)[\pi,x]=0.

وبما أن $2\pi x=\mathrm{tr}\,x\pi+\mathrm{tr}\,\pi x$ ، فإن لدينا

-2S_{\pi x}([\pi,x])+{1\over 2}\mathrm{tr}\,x[\pi^{2},x]+{1\over 2}\mathrm{tr}% \,\pi\;\mathrm{tr}\,x[\pi,x]=0.

لذلك نحتاج إلى التحقق من أن

S_{\pi x}([\pi,x])={1\over 4}\mathrm{tr}\,x[\pi^{2},x]+{1\over 4}\mathrm{tr}\,% \pi\;\mathrm{tr}\,x[\pi,x]

ويمكن بالفعل التحقق من ذلك:

(5.49)	$\displaystyle S_{\pi x}([\pi,x])$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\pi(x[\pi,x])-x(\pi[\pi,x])+(\pi x)[\pi,x]$
(5.50)		$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 2}\pi[\pi,x^{2}]-{1\over 2}x[\pi^{2},x]+(\pi x)[\pi,x]$
(5.51)		$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 4}[\pi^{2},x^{2}]-{1\over 4}[\pi^{2},x^{2}]+(\pi x)[\pi,x]$
(5.52)		$\displaystyle=$	$\displaystyle(\pi x)[\pi,x]$
(5.53)		$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 2}(\mathrm{tr}\,x\;\pi+\mathrm{tr}\,\pi\;x)[\pi,x]\quad% \mbox{$\because\pi$ is a tangent vector}$
(5.54)		$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 2}\mathrm{tr}\,x\;\pi[\pi,x]+{1\over 2}\mathrm{tr}\,\pi\;% x[\pi,x]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 4}\mathrm{tr}\,x\;[\pi^{2},x]+{1\over 4}\mathrm{tr}\,\pi% \;[\pi,x^{2}]$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle{1\over 4}\mathrm{tr}\,x\;[\pi^{2},x]+{1\over 4}\mathrm{tr}\,\pi% \;\mathrm{tr}\,x[\pi,x].$

بالنسبة إلى الحدود التربيعية في $\mu$ ، يجب أن نتحقق من أن

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2\{\langle S_{v\pi}x\|\pi\rangle,-\mathrm{tr}\,x\}{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{2}}$
		$\displaystyle+2\left\{{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(xv),% \langle\pi x\|\pi\rangle\right\}-4{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr% }\,(xv)\left\{\mathrm{tr}\,x,\langle\pi x\|\pi\rangle\right\}$
		$\displaystyle-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi]),% \langle\pi x\|\pi\rangle\},$

أي

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2\mathrm{tr}\,(S_{v\pi}x){n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}$
		$\displaystyle+2{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,((\pi x)v)-4{n% \mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)$
		$\displaystyle-{4n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}{\mathrm{tr}\,(x[[x,v],\pi x])% \over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}$

أو

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2\mathrm{tr}\,(S_{v\pi}x){n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}$
		$\displaystyle+2{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,((\pi x)v)-4{n% \mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)$
		$\displaystyle-{2n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}{\mathrm{tr}\,(x[[x,v],\pi])\over(% \mathrm{tr}\,x)^{2}}$

أو

\mathrm{tr}\,(S_{v\pi}x)\mathrm{tr}\,x+\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,((\pi x)v)-2% \mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)-\mathrm{tr}\,(x[[x,v],\pi])=0

أو

\mathrm{tr}\,((v\pi)x)\mathrm{tr}\,x+\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,((\pi x)v)=2% \mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)+\mathrm{tr}\,(x[[x,v],\pi])

أو

2\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,((\pi x)v)=2\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)+% \mathrm{tr}\,([x,[x,v]]\pi).

وبما أن ${1\over 2}[x,[x,v]]=\mathrm{tr}\,x(xv)-\mathrm{tr}\,(xv)x$ ، تصبح الهوية السابقة

2\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,((\pi x)v)=2\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)+% 2\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,((xv)\pi)-2\mathrm{tr}\,(xv)\mathrm{tr}\,(\pi x)

وهي صحيحة على نحو بديهي.

بالنسبة إلى الحدود التكعيبية في $\mu$ ، يجب أن نتحقق من أن

0=\left\{-\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,(x[v,\pi])\over\mathrm{tr}\,x},{n\mu^{2}% \over\mathrm{tr}\,x}\right\}\quad\mbox{or}\quad\left\{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi),% \mathrm{tr}\,x\right\}=0

أو

0=\mathrm{tr}\,([x,v])

وهي صحيحة على نحو بديهي.

لا توجد حدود أعلى من التكعيبية.

6. العلاقات التربيعية

الغرض الرئيس من هذا القسم هو أن نبيّن أنه، في التحقق البواسوني للجبر المطابق لـ ${\mathrm{H}}_{n}(\mathbb{C})$ الذي برهناه في القسم السابق، تحقق مولدات الجبر المطابق

\mathcal{S}_{u,v},\quad\mathcal{X}_{z},\quad\mathcal{Y}_{w}

بعض العلاقات التربيعية. وعلاوة على ذلك، فإن هذه العلاقات التربيعية هي نتيجة علاقة واحدة ستسمى العلاقة التربيعية الأولية. ونتيجة لذلك، نحصل، بالنسبة إلى مسألة كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$ المقابلة، على صيغة تربط الهاملتوني بالعزم الزاوي ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز. وهذه الصيغة تعمم الصيغة المعطاة بالمعادلة (2.8) من المرجع [11].

مبرهنة 3.

لتكن $e_{\alpha}$ أساسا متعامدا معياريا لـ ${\mathrm{H}}_{n}(\mathbb{C})$ . وفيما يلي سنخفي علامة الجمع على $\alpha$ أو $\beta$ . بالنسبة إلى التحقق البواسوني المعطى بالمعادلة (4.19)، لدينا الآتي

(i)

العلاقة التربيعية الأولية

(6.1) $\displaystyle{2\over n}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}^{2}-\mathcal{L}_{e}^{2}-% \mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{e}=-\mu^{2}$

والعلاقات التربيعية الثانوية
(ii)

$\mathcal{X}_{e_{\alpha}}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}=n\mathcal{X}_{e}\mathcal{L}_{e}$ ، $\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}=n\mathcal{Y}_{e}\mathcal{L}_{e}$ ،
(iii)

${4\over n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},u}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}=-\mathcal{X}_{u}% \mathcal{Y}_{e}+\mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{u}$ ،
(iv)

$\mathcal{X}_{e_{\alpha}}^{2}=n\mathcal{X}_{e}^{2}$ ، $\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}^{2}=n\mathcal{Y}_{e}^{2}$ ،
(v)

${2\over n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},u}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}=-\mathcal{X}_{u}% \mathcal{L}_{e}+\mathcal{L}_{u}\mathcal{X}_{e}$ ، ${2\over n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},u}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}=\mathcal{Y}_{u}% \mathcal{L}_{e}-\mathcal{L}_{u}\mathcal{Y}_{e}$ ،
(vi)

$\mathcal{X}_{e_{\alpha}}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}=n(\mathcal{L}_{e}^{2}+\mu^{2}),$
(vii)

$\frac{4}{n^{3}}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}=\mathcal{X}_{e}\mathcal{% Y}_{e}-\mathcal{L}_{e}^{2}+\frac{n-2}{n}\mu^{2}$ .

Proof.

(i)

بما أن $\mathcal{L}_{u}=\langle ux|\pi\rangle$ ، فإن لدينا

(6.2)	$\displaystyle\frac{2}{n}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{2}{n}\langle e_{\alpha}x\|\pi\rangle^{2}=\frac{2}{n}\langle e% _{\alpha}\|x\pi\rangle^{2}=\frac{2}{n}\langle\pi x\|\pi x\rangle$
(6.3)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2n}\|\|\mathrm{tr}\,x\pi+\mathrm{tr}\,\pi x\|\|^{2}$
(6.4)		$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2n}\bigl{(}(\mathrm{tr}\,x)^{2}\|\|\pi\|\|^{2}+(\mathrm{tr}% \,\pi)^{2}\|\|x\|\|^{2}+2\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,\pi\langle x\mid\pi\rangle% \bigr{)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2n^{2}}\bigl{(}(\mathrm{tr}\,x)^{2}\mathrm{tr}\,\pi^{2}+% (\mathrm{tr}\,\pi)^{2}\mathrm{tr}\,x^{2}+2\mathrm{tr}\,x\mathrm{tr}\,\pi% \mathrm{tr}\,(\pi x)\bigr{)}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{(\mathrm{tr}\,x)^{2}}{2n^{2}}\bigl{(}\mathrm{tr}\,\pi^{2}+3% (\mathrm{tr}\,\pi)^{2}\bigr{)}.$

وبما أن $\mathcal{L}_{e}=\langle x|\pi\rangle=\frac{1}{n}\mathrm{tr}\,\pi\mathrm{tr}\,x$ ،

(6.6)	$\displaystyle\mathcal{X}_{e}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\langle x\mid\pi^{2}\rangle+{n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}=\langle% \pi x\mid\pi\rangle+{n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{1}{2}\langle\mathrm{tr}\,\pi x+\mathrm{tr}\,x\pi\mid\pi% \rangle+{n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\mathrm{tr}\,x}{2n}(\mathrm{tr}\,\pi^{2}+(\mathrm{tr}\,\pi)% ^{2})+{n\mu^{2}\over\mathrm{tr}\,x}$

و $\mathcal{Y}_{e}=\langle e\mid x\rangle=\frac{1}{n}\mathrm{tr}\,x$ ، ومن ثم

\mathcal{L}_{e}^{2}+\mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{e}=\frac{(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% {2n^{2}}\bigl{(}\mathrm{tr}\,\pi^{2}+3(\mathrm{tr}\,\pi)^{2}\bigr{)}+\mu^{2}.

فتغدو العلاقة التربيعية الأولية واضحة.

(ii)

يمكن الحصول على الهويتين بأخذ قوس بواسون للعلاقة التربيعية الأولية مع $\mathcal{X}_{e}$ و $\mathcal{Y}_{e}$ على التوالي. فمثلا، بما أن

${2\over n}\sum\{\mathcal{L}_{e_{\alpha}}^{2},\mathcal{X}_{e}\}-\{\mathcal{L}_{% e}^{2},\mathcal{X}_{e}\}-\{\mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{e},\mathcal{X}_{e}\}=0,$

فإن لدينا

${4\over n}\mathcal{L}_{e_{\alpha}}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}-2\mathcal{L}_{e}% \mathcal{X}_{e}-\mathcal{X}_{e}\cdot 2\mathcal{L}_{e}=0$

أو $\mathcal{L}_{e_{\alpha}}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}=n\mathcal{X}_{e}\mathcal{L}_{e}$ .
(iii)

يمكن الحصول على الهوية بأخذ قوس بواسون للعلاقة التربيعية الأولية مع $\mathcal{L}_{u}$ .
(iv)

بأخذ قوس بواسون لـ $\mathcal{L}_{e_{\alpha}}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}=n\mathcal{X}_{e}\mathcal{L}_{e}$ مع $\mathcal{X}_{e}$ ، نحصل على $\mathcal{X}_{e_{\alpha}}^{2}=n\mathcal{X}_{e}^{2}$ . وبالمثل، يمكننا برهان $\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}^{2}=n\mathcal{Y}_{e}^{2}$ .
(v)

يمكن الحصول على الهويتين بأخذ قوس بواسون للهوية في (iii) مع $\mathcal{X}_{e}$ و $\mathcal{Y}_{e}$ على التوالي.
(vi)

يمكن الحصول على الهوية بأخذ قوس بواسون للهوية الأولى في (ii) مع $\mathcal{Y}_{e}$ ثم استعمال العلاقة التربيعية الأولية.
(vii)

بأخذ قوس بواسون للهوية الأولى في (v) مع $\mathcal{Y}_{u}$ ثم أخذ $u=e_{\beta}$ والجمع على $\beta$ ، نحصل على

$\frac{2}{n}\bigl{(}\mathcal{Y}_{L_{e_{\alpha},e_{\beta}}(e_{\beta})}\mathcal{X% }_{e_{\alpha}}-2\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}\bigr{)}=2\mathcal{L}_{e% _{\beta}^{2}}\mathcal{L}_{e}+\mathcal{X}_{e_{\beta}}\mathcal{Y}_{e_{\beta}}-% \mathcal{Y}_{e_{\beta}^{2}}\mathcal{X}_{e}-2\mathcal{L}_{e_{\beta}}^{2}$

أو

$\frac{2}{n}\bigl{(}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}e_{\beta}^{2}-L_{e_{\beta}}^{2}e_{% \alpha}}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}-2\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}\bigr{% )}=2n^{2}\mathcal{L}_{e}^{2}+\mathcal{X}_{e_{\beta}}\mathcal{Y}_{e_{\beta}}-n^% {2}\mathcal{Y}_{e}\mathcal{X}_{e}-2\mathcal{L}_{e_{\beta}}^{2}$

وبما أن $e_{\alpha}^{2}=n^{2}e$ و $L_{e_{\beta}}^{2}=\frac{n^{2}}{2}(L_{e}+|e\rangle\langle e|)$ (انظر السطر 13 بعد المعادلة (6.23) من المرجع [13])، فإن لدينا $e_{\alpha}e_{\beta}^{2}-L_{e_{\beta}}^{2}e_{\alpha}=\frac{n^{2}}{2}(e_{\alpha}% -\langle e|e_{\alpha}\rangle e)$ ، ولذلك، في المعادلة السابقة،

$LHS=n\bigl{(}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}-\mathcal{X}_{e}% \mathcal{Y}_{e}\bigr{)}-\frac{4}{n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}.$

ومن ثم، لدينا

$-\frac{4}{n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}=2n^{2}\mathcal{L}_{e}^{2}+(% 1-n)\mathcal{X}_{e_{\alpha}}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}+n(1-n)\mathcal{Y}_{e}% \mathcal{X}_{e}-2\mathcal{L}_{e_{\alpha}}^{2}.$

وباستخدام الهويات في (i) و (vi)، تصبح الهوية السابقة

$-\frac{4}{n}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}=2n^{2}\mathcal{L}_{e}^{2}+(% 1-n)n(\mathcal{L}_{e}^{2}+\mu^{2})+n(1-n)\mathcal{Y}_{e}\mathcal{X}_{e}-n(% \mathcal{L}_{e}^{2}+\mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{e}-\mu^{2})$

أو

$\frac{4}{n^{3}}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}=-\mathcal{L}_{e}^{2}+% \mathcal{X}_{e}\mathcal{Y}_{e}+\frac{n-2}{n}\mu^{2}.$

∎

ملاحظة 6.1.

في المرجع [13] عولجت النسخة الكمومية من هذه العلاقات التربيعية لمسائل كبلر المعممة غير الممغنطة المرتبطة بجبر جوردان إقليدي بسيط اعتباطي. وعلى حد علمنا، ظهرت النسخة الكمومية من هذه العلاقات التربيعية لمسائل MICZ-Kepler أولا في المرجع [14]. أما حقيقة أن هذه العلاقات التربيعية هي نتائج لعلاقة تربيعية واحدة فقد لوحظت أولا في المرجع [13]. يرجى أيضا المقارنة مع الجزء ذي الصلة في المراجع [15, 16, 17, 5, 18].

وكنتيجة لهذه العلاقات التربيعية، لنستنتج صيغة تربط الهاملتوني بالعزم الزاوي ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز. من المرجع [12] نعلم أن الهاملتوني هو

H={1\over 2}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}-{1\over\mathcal{Y}_{e}},

والعزم الزاوي هو $\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}$ ، ومتجه لابلاس-رونغه-لنتز هو

\mathcal{A}_{e_{\alpha}}={1\over 2}\left(\mathcal{X}_{e_{\alpha}}-\mathcal{Y}_% {e_{\alpha}}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}\right)+{\mathcal{Y}_{e_{% \alpha}}\over\mathcal{Y}_{e}}.

نتيجة 1.

لتكن $e_{\alpha}$ أساسا متعامدا معياريا لـ ${\mathrm{H}}_{n}(\mathbb{C})$ ، و $L^{2}={1\over 2}\sum_{\alpha,\beta}\mathcal{L}_{e_{\alpha},e_{\beta}}^{2}$ ، و $A^{2}=-1+\sum_{\alpha}\mathcal{A}_{e_{\alpha}}^{2}$ . عندئذ يحقق الهاملتوني $H$ العلاقة

(6.8)

\displaystyle-2H\left(L^{2}-\frac{n^{2}(n-1)}{4}\mu^{2}\right)=\left(\frac{n}{% 2}\right)^{2}(n-1-A^{2}).

Proof.

للتبسيط، سنخفي علامة الجمع $\Sigma$ في البرهان أدناه. وبما أن $\mathcal{A}_{e_{\alpha}}={1\over 2}\left(\mathcal{X}_{e_{\alpha}}-\mathcal{Y}_% {e_{\alpha}}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}\right)+{\mathcal{Y}_{e_{% \alpha}}\over\mathcal{Y}_{e}}$ ، فباستخدام العلاقات التربيعية في المبرهنة السابقة نحصل على

(6.9)	$\displaystyle\mathcal{A}_{e_{\alpha}}^{2}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle n+{1\over 4}\mathcal{X}_{e_{\alpha}}^{2}-{1\over 2}\mathcal{X}_{% e_{\alpha}}\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}{\mathcal{X}_{e}\over\mathcal{Y}_{e}}+{n% \over 4}\mathcal{X}_{e}^{2}+\mathcal{X}_{e_{\alpha}}{\mathcal{Y}_{e_{\alpha}}% \over\mathcal{Y}_{e}}-n\mathcal{X}_{e}\quad\mbox{using $\mathcal{Y}_{e_{\alpha% }}^{2}=n\mathcal{Y}_{e}$}$
(6.10)		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+{n\over 2}\mathcal{X}_{e}^{2}+\mathcal{X}_{e_{\alpha}}\mathcal% {Y}_{e_{\alpha}}\bigl{(}-{\mathcal{X}_{e}\over 2\mathcal{Y}_{e}}+\frac{1}{% \mathcal{Y}_{e}}\bigr{)}-n\mathcal{X}_{e}\quad\mbox{using $\mathcal{X}_{e_{% \alpha}}^{2}=n\mathcal{X}_{e}^{2}$}$
(6.11)		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+(n\mathcal{Y}_{e}\mathcal{X}_{e}-\mathcal{X}_{e_{\alpha}}% \mathcal{Y}_{e_{\alpha}})H\quad\mbox{using $H=\frac{\mathcal{X}_{e}}{2\mathcal% {Y}_{e}}-\frac{1}{\mathcal{Y}_{e}}$}$
(6.12)		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+n(\mathcal{Y}_{e}\mathcal{X}_{e}-\mathcal{L}_{e}^{2}-\mu^{2})H% \quad\mbox{using identity (vi) in Theorem \ref{QRelations}}$
(6.13)		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+n\left(\frac{8}{n^{3}}L^{2}-\frac{2(n-1)}{n}\mu^{2}\right)H% \quad\mbox{using identity (vii) in Theorem \ref{QRelations}}$
(6.14)		$\displaystyle=$	$\displaystyle n+\frac{8}{n^{2}}H\left(L^{2}-\frac{n^{2}(n-1)}{4}\mu^{2}\right)$

وبما أن $A^{2}=-1+\sum\mathcal{A}_{e_{\alpha}}^{2}$ ، فقد انتهى البرهان. ∎

ملاحظة 6.2.

إذا كان $n=2$ ، فإن المعادلة (6.8) تصبح

-2H\left(L^{2}-\mu^{2}\right)=(1-A^{2}),

أي الصيغة المعطاة بالمعادلة (2.8) من المرجع [11]. يرجى أيضا المقارنة مع المعادلة (6.10) في المرجع [5].

References

[1] A. O. Barut and H. Kleinert, Transition Probabilities of the H-Atom from Noncompact Dynamical Groups, Phys. Rev. 156 (1967), 1541-1545.
[2] H. McIntosh and A. Cisneros, Degeneracy in the presence of a magnetic monopole, J. Math. Phys. 11 (1970), 896-916.
[3] D. Zwanziger, Exactly soluble nonrelativistic model of particles with both electric and magnetic charges, Phys. Rev. 176 (1968), 1480-1488.
[4] A. O. Barut and G. Bornzin, $\mathrm{SO}(4,2)$ -Formulation of the Symmetry Breaking in Relativistic Kepler Problems with or without Magnetic Charges, J. Math. Phys. 12 (1971), 841-843.
[5] G. W. Meng, The Poisson Realization of so(2, 2k+2) on Magnetic Leaves and and generalized MICZ-Kepler problems, J. Math. Phys. 54 (2013), 052902.
[6] G. W. Meng, On the trajectories of $\mathrm{U}(1)$ -Kepler Problems, In: Geometry, Integrability and Quantization, I. Mladenov, A. Ludu and A. Yoshioka (Eds), Avangard Prima, Sofia 2015, pp 219 - 230.
[7] T. Levi-Civita, Sur la régularisation du problème des trois corps, Acta Math. 42 (1920), no. 1, 99-144.
[8] P. Jordan, Über die Multiplikation quantenmechanischer Größen, Z. Phys. 80 (1933), 285-291.
[9] J. Faraut and A. Korányi, Analysis on Symmetric Cones, Oxford Mathematical Monographs, 1994.
[10] G. W. Meng, Generalized Kepler Problems I: Without Magnetic Charge, J. Math. Phys. 54, 012109(2013).
[11] G. W. Meng, Lorentz group and oriented McIntosh-Cisneros-Zwanziger-Kepler orbits, J. Math. Phys. 53, 052901 (2012).
[12] G. W. Meng, The Universal Kepler Problems, J. Geom. Symm. Phys. 36 (2014) 47-57
[13] G. W. Meng, Euclidean Jordan Algebras, Hidden Actions, and J-Kepler Problems, J. Math. Phys. 52, 112104 (2011)
[14] A. O. Barut and A. Böhm, Reduction of a class of $\mathrm{O}(4,2)$ representations with respect to $\mathrm{SO}(4,1)$ and $\mathrm{SO}(3,2)$ , J. Math. Phys. 11, 2938 (1970).
[15] G. W. Meng and R. B. Zhang, Generalized MICZ-Kepler Problems and Unitary Highest Weight Modules, J. Math. Phys. 52, 042106 (2011).
[16] G. W. Meng, Generalized MICZ-Kepler Problems and Unitary Highest Weight Modules – II, J. London Math. Soc. 81 (2010), No. 3, 663-678.
[17] G. W. Meng, The Representation Aspect of the Generalized Hydrogen Atoms, Journal of Lie Theory 18 (2008), No. 3, 697-715.
[18] Z. Q. Bai, A characterization of the unitary highest weight modules by Euclidean Jordan algebras, Journal of Lie Theory 23 (2013), No. 3, 747-778.

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 4\{\langle S_{v\pi}x\|\pi\rangle,\langle\pi x\|\pi\rangle\}$
		$\displaystyle-{\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi),% \langle\pi^{2}\|x\rangle\}-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([% x,v]\pi),\langle\pi x\|\pi\rangle\}$
		$\displaystyle+2\mu\mathrm{i}{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi)\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}% \{\mathrm{tr}\,x,\langle\pi x\|\pi\rangle\}$

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 2\{\langle S_{v\pi}x\|\pi\rangle,-\mathrm{tr}\,x\}{n\mu^{2}\over(% \mathrm{tr}\,x)^{2}}$
		$\displaystyle+2\left\{{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{2}}\mathrm{tr}\,(xv),% \langle\pi x\|\pi\rangle\right\}-4{n\mu^{2}\over(\mathrm{tr}\,x)^{3}}\mathrm{tr% }\,(xv)\left\{\mathrm{tr}\,x,\langle\pi x\|\pi\rangle\right\}$
		$\displaystyle-{2\mu\mathrm{i}\over\mathrm{tr}\,x}\{\mathrm{tr}\,([x,v]\pi]),% \langle\pi x\|\pi\rangle\},$

التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط U⁢(1)

الملخص

1. مقدمة

2. جبر جوردان الإقليدية

3. التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر المعممة غير الممغنطة

3.1. مخاريط كبلر

لمّة 3.1.

Proof.

3.2. التناظر الديناميكي الكلاسيكي

مبرهنة 1.

Proof.

ملاحظة 3.1.

3.3. مثال: مسألة كبلر ومخروط الضوء المستقبلي

ملاحظة 3.2.

4. التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط U⁢(1)

لمّة 4.1.

Proof.

مبرهنة 2.

ملاحظة 4.1.

5. برهان المبرهنة 2

6. العلاقات التربيعية

مبرهنة 3.

Proof.

ملاحظة 6.1.

نتيجة 1.

Proof.

ملاحظة 6.2.

References

التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$

4. التناظر الديناميكي الكلاسيكي لمسائل كبلر من النمط $\mathrm{U}(1)$