جبور لي $n$ لشحنات BPS

Hisham Sati and Urs Schreiber University of Pittsburgh, Pittsburgh, PA 15260, USA, and New York University, Abu Dhabi, UAEMathematics Institute of the Academy, Žitna 25, 115 67 Praha 1, Czech Republic

الملخص

نكشف عن بنى جبرية عليا على تيارات نوثر وشحنات BPS. ومن المعروف أن أصناف التكافؤ للتيارات المحفوظة تكوّن جبراً من نوع لي. نبيّن أن ذلك، على الأقل بالنسبة إلى تناظرات فضاء الهدف في نماذج سيغما العليا ذات المعلمات من نمط WZW، يرتفع طبيعياً إلى بنية جبر لي $(p+1)$ على تيارات نوثر نفسها. وعند تطبيق ذلك على دوال الفعل من نمط Green-Schwarz لنماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ ينتج عن ذلك تنقيحات بجبر لي فائق $(p+1)$ لامتدادات شحنات برانات BPS التقليدية في جبور التناظر الفائق. ونناقش هذا ضمن عمومية الهندسة التفاضلية العليا، حيث ينطبق أيضاً على البرانات ذات حقول معيارية عليا على حجم عالمها. وعند تطبيقه على نموذج سيغما للبرانة M5 نستعيد، ونعمّم عالمياً على النحو الصحيح، امتداد جبر لي الفائق لنظرية M للتساويات الفائقة ذات 11 بعداً بواسطة شحنات 2-برانية و5-برانية. وعند تجاوز نظرية لي المتناهية الصغر نجد تصحيحات تماثلية مشتركة لهذه الشحنات على نحو أعلى مماثل للتصحيحات المألوفة لشحنات D-برانية عند رفعها من التماثل المشترك العادي إلى نظرية K الملتوية. وهذا يدعم المقترح القائل إن شحنات M-برانية تعيش في نظرية تماثل مشترك ملتوية.

تصنيف موضوعات الرياضيات: 70S10، 81T30، 83E50

الكلمات المفتاحية: تيارات نوثر، شحنات BPS، البرانات الفائقة p، جبر $L_\infty$

1 مقدمة

إن المطابقة بين التناظرات المتناهية الصغر لشكل لاغرانجي محلي وبين التيارات المحفوظة لمعادلات أويلر-لاغرانج المستحثة، أي مبرهنة نوثر التغايرية الأولى، هي أحد أركان نظرية الحقول الرياضية. وإذا كان اللاگرانجي قيد النظر محفوظاً فقط حتى حد تام، كما هي الحال في نماذج سيغما من نمط Wess-Zumino-Witten (WZW)، فإن جبر لي للتيارات المحفوظة يكون امتداداً لجبر التناظر (انظر مثلاً [3, section 8] لمراجعة من منظور سيكون مفيداً هنا). وفوق ذلك فإن الامتدادات الناشئة بهذه الطريقة مثيرة للاهتمام بما يكفي لأن تكتسب حياة مستقلة في الرياضيات الصرفة: ففي نموذج WZW ذي البعد 2 تنتقل عابراً إلى جبور التيارات في نظرية جبور لي الأفينية (انظر مثلاً [28] لمسح عام).

من الأمثلة الأساسية على نماذج WZW العليا الأبعاد نماذج سيغما من نمط Green-Schwarz التي تصف نظرية حجم العالم لكل البرانات الفائقة $p$ [23, 13, 21]. وقد جرى الدفع في [2] بأن جبور التيارات الممتدة فيها تنتج امتدادات لجبور التساوي الفائق للأزمنة الفائقة المنحنية بواسطة شحنات البرانات [41, 24]. وهذه هي ما يميّز حالات BPS في الجاذبية الفائقة، ومن ثم في نظريات الحقول فائقة التناظر (مثلاً [12]).

غير أن الإنشاءات التقليدية لا تنظر إلى قوس لي إلا على أصناف تكافؤ أشكال التيار بترديد الأشكال التامة، أي قوس Dickey [14]، [8, section 3]. وكلما كنا في وضع توجد فيه بنية جبرية على التماثل لمركب سلسلي، فمن الطبيعي أن نسأل عما إذا كان يمكن أن يوجد تنقيح هوموتوبي للبنية الجبرية على المركب السلسلي نفسه، حيث قد لا تصح الشروط الجبرية مثل هويات جاكوبي إلا حتى هوموتوبيات عليا متماسكة. وفي حالة جبور لي يعني ذلك الرفع إلى جبور $L_\infty$ (انظر [36, 17] للمراجعة والمراجع)، وتسمى جبور لي $(p+1)$ عندما يكون المركب السلسلي الكامن متركزاً في الدرجات من 0 حتى $p$ .

وفي حالة جبور لي لتيارات نوثر المحفوظة، كانت استراتيجية الرفع إلى جبر $L_\infty$ قد اقتُرحت في [7, 27]. لكن الإنشاء هناك لا ينطبق إلا عندما تنعدم كل زمر التماثل المشترك العليا ذات الصلة، فينتج عنه جبر $L_\infty$ يكون في الواقع شبه متساوي التشاكل مع جبر لي العادي لتيارات نوثر. ولذلك بقي السؤال العام مفتوحاً.

ما نفعله هنا لنظريات الحقول من النمط الأعلى بعداً وذي المعلمات من نوع WZW هو الآتي:

1.

نحدّد جبر التيارات الأعلى الصحيح للاغرانجيات العليا من نمط WZW بوصفه جبر $L_\infty$ لقوس بواسون الأعلى للمرصودات المحلية المدروسة في [32]، وذلك من أجل الشكل قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي المعطى بشكل انحناء WZW الأعلى على الزمكان الهدف. وفي الواقع نجد جبرين مختلفين، لكن شبه متساويي التشاكل، من نوع $L_\infty$ لتيارات نوثر العليا من نمط WZW، تبعاً لـ [17]، يقابلان التجسيدين المختلفين لقوس Dickey الملاحظين في [8, (3.10)-(3.11)].
2.

نبيّن أن امتداد $L_\infty$ -Heisenberg-Kostant-Souriau لـ [17, theorem 3.3.1] هو الرفع الهوموتوبي للامتداد المركزي للتناظرات المتناهية الصغر عبر تيارات نوثر بواسطة أصناف تماثل دي رام المشترك (“التيارات الطوبولوجية”) كما في [42, p. 203].
3.

ونشير إلى كيفية تعميم امتداد Heisenberg-Kostant-Souriau الرصي الأعلى لـ [16] لهذا الأمر إلى نماذج WZW العليا المعيّرة (مثل نموذج سيغما من نمط Green-Schwarz للبرانة M5) وإنتاجه تصحيحات تماثلية مشتركة لشحنات البرانات الساذجة.

شكر وتقدير نشكر Domenico Fiorenza على مناقشة اقتطاع امتدادات جبر $L_\infty$ في القسم 3، ونشكر Jim Stasheff على تعليقاته على النص. يشكر U.S. Igor Khavkine على مناقشة جبور شحنات WZW العليا في الحساب التغايري التقليدي؛ وثمة عرض مشترك مكرس لهذا الجانب قيد الإعداد. وقد دُعم U.S. بواسطة RVO:67985840.

نراجع بعض المواد الخلفية في سياق المرصودات المحلية في القسم 2. والجبور التي نناقشها في هذه الرسالة تشكل هرماً من الشكل الآتي (انظر [36, 17] للمناقشة والمراجع).

•

جبور $L_\infty$ $\in L_\infty{\rm Alg}$ . لهذه الجبور أقواس $k$ -ية لكل $k \in \mathbb{N}$ ، $k \geq 2$ على مركب سلسلي؛
•

جبور تفاضلية متدرجة $\in {\rm dgLieAlg} \hookrightarrow L_\infty{\rm Alg}$ . هذه هي جبور $L_\infty$ ذات أقواس ثنائية على الأكثر، ومن ثم فهي جبور لي في فئة المركبات السلسلية؛
•

جبور لي $n$ $\in \mathrm{Lie}_n\mathrm{Alg} \hookrightarrow L_\infty{\rm Alg}$ . هذه هي جبور $L_\infty$ التي يكون مركبها السلسلي الكامن متركزاً في الدرجات من 0 إلى $(n-1)$ ، وتسمى أيضاً جبور $n$ -حدية من نوع $L_\infty$ ؛
•

جبور لي $\in \mathrm{LieAlg} = \mathrm{Lie}_1\mathrm{Alg}$ . هذه هي جبور لي المعتادة، أي جبور لي 1، منظورة بوصفها جبور $L_\infty$ أو جبور لي تفاضلية متدرجة يكون مركبها السلسلي الكامن متركزاً في الدرجة 0.

إن مفهوم جبور لي $n$ بالمعنى الهوموتوبي لجبور $n$ -حدية من نوع $L_\infty$ ، العائد أصلاً إلى Stasheff [25]، يختلف عن تعريف مشابه على نحو فضفاض يرجع إلى Filippov وصار معروفاً باسم جبور لي- $n$ . لكن جبور لي-3 بالمعنى Filippov الموجودة على حجم عالم برانات M2 المتطابقة هي حالة خاصة من جبور $L_\infty$ مترية [31, section 2.5]. لاحظ أن جبور $L_\infty$ (الفائقة) تؤدي دوراً في الجاذبية الفائقة ونماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ منذ [1]، حيث تظهر في صورتها المزدوجة المكافئة، أي جبور Chevalley-Eilenberg التفاضلية المتدرجة (“FDA”s)، كما يوضح [36].

الدافع الأساسي لإيجاد جبر $L_\infty$ للتيارات هو أنه يحتفظ بمعلومات محلية أكثر عن النظام المدروس. وهذا يقع ضمن الروح العامة لتنقيح نظريات الحقول إلى ما يسمى نظريات حقول “ممتدة” أو “متعددة الطبقات”؛ ونحيل القارئ إلى مقدمات [20, 17] للمزيد عن هذه الخلفية العامة. وتصبح الحاجة إلى تنقيح جبور لي 1 للتناظرات المتناهية الصغر إلى جبور $L_\infty$ أوضح كلما هدف المرء إلى الانتقال من التناظرات المتناهية الصغر إلى التناظرات المنتهية. ففي مثال نظريات الحقول من نمط WZW، لا يكون اللاگرانجي شكلاً تفاضلياً معرفاً عالمياً، بل يكون اتصالاً على حزمة عليا (جيرب أعلى) على فضاء الحقول. وهنا تكون الطريقة الوحيدة حتى لرؤية البنية الكاملة للتناظرات المنتهية هي العمل في نظرية الهوموتوبي.

بعد أن نكون قد ميّزنا الجبور العليا كما سبق، سنصف طريقتين للعودة إلى جبور “أدنى” (بالمعنى الفئوي)، بما في ذلك جبور لي العادية:

1.

الاقتطاع: في القسم 3 ننظر في اقتطاعات ملائمة للجبور العليا إلى بنى أكثر كلاسيكية، وذلك بالتحكم في طول المركب السلسلي المقابل. فمعطاة أي بنية عليا هوموتوبية، ومن ثم نمط $n$ هوموتوبي، يوجد اقتطاعها “نزولاً” إلى نمط 0، ويحصل عليه بقسمة كل التناظرات. وهذه العملية تنسى عموماً كثيراً من البنية المهمة، لكن الشيء الناتج يكون أحياناً أسهل تعرّفاً ومقارنة بالمفاهيم التقليدية. نميّز جبر التيارات المقابل الناتج عن اقتطاع جبور بواسون العليا.
2.

النقل العابر: نشرح في القسم 4 كيف أن جبر $L_\infty$ الكامل للتيارات المحفوظة يقبل تطبيقات إلى جميع انتقالاته العابرة، ومن ثم إلى نتائج تقييم التيارات المحفوظة على دورات من أي بعد. فمثلاً، ينتقل جبر لي 2 للتيارات في نموذج WZW ذي البعد 2 إلى جبر لي الحلقي الممتد مركزياً “الأفيني” للتيارات بتكامل التيارات على دائرة. وقد جرى إبراز مسألة الحصول على بنية فضاءات الحلقات من نوع 1 انطلاقاً من بنية 2 (رصية، جيربية) على الفضاءات القاعدية الأصلية عبر النقل العابر بوضوح في [11, p. 249].

ثم في القسم 5 نناقش تطبيق الإنشاء السابق على نماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ .

•

إن التطبيق على دوال الفعل من نمط Green-Schwarz لنماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ ينتج تنقيحات بجبر لي فائق $(p+1)$ لامتدادات شحنات برانات BPS المركزية التقليدية لجبور التناظر الفائق. ونناقش ذلك في عمومية الهندسة العليا حيث ينطبق أيضاً على البرانات ذات الحقول المعيارية العليا على حجم عالمها.
•

وعلى وجه التحديد، فإن التطبيق على نموذج سيغما للبرانة M5 يستعيد امتداد جبر لي الفائق لنظرية M للتساويات الفائقة ذات 11 بعداً بواسطة شحنات 2-برانية و5-برانية.
•

وعند تجاوز نظرية لي المتناهية الصغر نجد تصحيحات تماثلية مشتركة للشحنات أعلاه على نحو أعلى مماثل للتصحيحات المألوفة لشحنات D-برانية عند رفعها من التماثل المشترك العادي إلى نظرية K الملتوية. وهذا يدعم المقترح القائل إن شحنات M-برانية تعيش في نظرية تماثل مشترك ملتوية [33, 34, 35] ويدعمه أيضاً التحليل المصاحب في [22].

2 جبور لي $n$ لقوس بواسون

نبدأ بمراجعة موجزة للمفاهيم والنتائج الملائمة من [17] بطريقة تجعل علاقتها بالتيارات المحفوظة ظاهرة. ولرؤية أصل التناظر الأعلى في جبور التيارات بشفافية كاملة، من المفيد اعتماد المنظور العام الآتي.

تقليدياً، يُنظر إلى لاغرانجي محلي لنظرية حقلية ذات بعد $(p+1)$ بوصفه شكلاً تفاضلياً مناسباً من الدرجة $(p+1)$ $\mathbf{L}$ على حزمة النفاثات لحزمة الحقول في النظرية. (إذا اختير شكل حجم مرجعي $\mathbf{vol}$ على الزمكان/حجم العالم، فإن $\mathbf{L}$ يكون متناسباً مع ذلك الشكل، $\mathbf{L} = L \mathbf{vol}$ ، وتكون الدالة المعاملية $L$ هي ما يعدّ في كثير من الكتب الدراسية اللاگرانجي.) غير أنه معروف جيداً، وإن لم يكن مقدّراً على نطاق واسع، أن بعض نظريات الحقول الأساسية موضع الاهتمام (النظريات التغايرية محلياً [15]) لا يكون اللاگرانجي فيها في الحقيقة شكلاً تفاضلياً $(p+1)$ عالمياً. بل يكون كذلك محلياً فقط، أما عالمياً فهو اتصال بشكل $(p+1)$ على “حزمة $(p+1)$ ” أو “جيرب $p$ ”. وهذا هو الحال خصوصاً في نظريات الحقول من نمط Wess-Zumino-Witten؛ انظر [21] لمراجعة هذه الحقيقة ولإحالات إلى الأدبيات.

حتى إذا صادف أن $\mathbf{L}$ معطى بشكل $(p+1)$ تفاضلي معرف عالمياً، فإن من المفيد مع ذلك عدّه شكل الاتصال $(p+1)$ على حزمة $(p+1)$ تافهة فوق فضاء الحقول، لأن هذا المنظور هو ما يجعل واضحاً فوراً أن هناك تناظرات-للتناظرات عليا، وكيف تظهر.

ولالتقاط هذا الوضع رياضياً، من المفيد النظر إلى كائن بسيط ذي اسم طموح: رصة الموديولي الملساء الكلية لاتصالات $(p+1)$ ، ونرمز إليها بـ $\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}$ . يمكن للقارئ أن يجد عرضاً ومقدمة لهذه الكائنات في سياق نظرية الحقول في [20]، لكن هذا الكائن يوصف ويفهم بسهولة أصلاً من خلال خاصيته الكلية التعريفية. أي إن كونه رصة موديولي ملساء كلية للاتصالات العليا يعني بالضبط أنه فضاء أملس معمم من نوع ما، له الخواص المميزة الآتية: لأي $X$ متشعب أملس، فإن

1.

الدوال الملساء $\nabla \colon X \longrightarrow \mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}$ تقابل تكافئياً اتصالات بأشكال $(p+1)$ على $X$ ؛
2.

الهوموتوبيات الملساء بين هذه الدوال تقابل تكافئياً التحويلات المعيارية بين اتصالين كهذين $\nabla_1$ و $\nabla_2$ ؛
3.

الهوموتوبيات بين الهوموتوبيات تقابل تحويلات معيارية-للمعيارية، وهكذا، حتى هوموتوبيات-لهوموتوبيات مطبقة $p$ مرة.

عندما تكون الاتصالات $\nabla_i$ معطاة بأشكال تفاضلية $(p+1)$ معرفة عالمياً $\theta_i$ ، فإن التحويل المعياري بينها ليس إلا شكلاً $p$ $\Delta$ بحيث $\theta_2 = \theta_1 + \mathbf{d} \Delta$ ، حيث يدل $\mathbf{d}$ على تفاضل دي رام. وبناءً على ذلك يكون التحويل المعياري-للمعيارية شكلاً من الدرجة $(p-1)$ ، إلخ، حتى التحويل المعياري-للمعيارية من الرتبة $p$ الذي يكون (ليس شكلاً من الدرجة 0 بل) دالة ذات قيم في $U(1)$ .

ملاحظة 2.1.

(i) من المزايا الفورية لـ “تمثيل” الاتصالات والأشكال التفاضلية بخرائط إلى كائن مثل $\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}$ أنه يجعل “تغايرها العكسي” ظاهراً مع تتبع التحويلات المعيارية العليا. تحديداً، إذا أُعطي اتصال بشكل $(p+1)$ $\nabla$ على $X$ وأُعطيت خريطة $\phi : Y \longrightarrow X$ بين فضاءات، فإن الاتصال المسحوب $\phi^\ast \nabla$ هو ببساطة الاتصال الممثل بالخريطة المركبة

\phi^{\ast}\nabla:Y\stackrel{{\scriptstyle\phi}}{{\longrightarrow}}X\stackrel{% {\scriptstyle\nabla}}{{\longrightarrow}}\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}\,.

(ii) لنفترض إذن أن $X$ فضاء حقول لنظرية حقلية ما، وغالباً هو حزمة النفاثات لحزمة الحقل. عندئذ يتضح ما ينبغي أن يكون عليه تناظر لهذا $\nabla$ : أي تشاكل تفاضلي

لفضاء الحقول، بحيث يكون $\nabla$ محفوظاً به حتى تحويل معياري محدد $\mathbf{\eta}:\phi^{\ast}\nabla\stackrel{{\scriptstyle\simeq}}{{% \longrightarrow}}\nabla$ .

(ii) في اللغة البيانية التي أنشأناها، يعني ذلك فقط أن التناظر هو زوج $(\phi,\mathbf{\eta})$ يسم مخططاً من الشكل

وهذا مكافئ للقول إنه إذا صادف أن $\nabla$ معطى بشكل $(p+1)$ معرف عالمياً $\theta$ ، فإن الهوموتوبي يُعطى بشكل $p$ $\eta$ بحيث

$\phi^\ast \theta - \theta = \mathbf{d}\eta \,.$

وعلاوة على ذلك، إذا كان لدينا تدفق أملس ذو وسيط 1 $t \mapsto (\phi(t), \mathbf{\Delta}(t))$ لهذه التناظرات، فإن اشتقاق هذه العلاقة بالنسبة إلى $t$ يعطي تعبير تناظر متناهٍ في الصغر لـ $\nabla$ :

$\mathcal{L}_v \theta = \mathbf{d}\Delta_v\;,$

حيث $v$ هو حقل المتجهات للتدفق $t\mapsto \phi(t)$ ، و $\mathcal{L}_v$ هو مشتق لي الخاص به، وحيث $\Delta_v = \frac{d}{dt}\eta$ . لاحظ أنه إذا فكر المرء في $\theta = \mathbf{L}$ بوصفه الشكل اللاگرانجي لنظرية حقلية، فإن هذا هو بالضبط التعبير عن تناظر “ضعيف” للاغرانجي، أي تحويل يترك اللاگرانجي ثابتاً حتى إضافة حد تام $\mathbf{d}\Delta_v$ .

من المفيد إعادة كتابة ذلك مكافئاً كما يأتي: ليكن $\omega = F_{\nabla}$ دالاً على شكل الانحناء $(p+2)$ للاتصال ذي الشكل $(p+1)$ . فإذا كان الاتصال معطى بشكل تفاضلي $(p+1)$ معرف عالمياً $\theta$ ، فإن هذا ببساطة هو $\omega = \mathbf{d}\theta$ . وتعطي صيغة كارتان عندئذ أن التقلص تام

$\iota_v \omega = -\mathbf{d}J_v$

مع

$J_v := \iota_v \theta - \Delta_v$

بوصفه نوعاً من تحويل ليجندر لحد التضعيف.

إذا كنا نعد $\mathbf{L} = \theta$ لاغرانجياً محلياً من نمط WZW، فإن التعبير $J_v = \iota_v \theta - \Delta_v$ هو شحنة نوثر المحفوظة المستحثة من التناظر $v$ . وهذا هو التأويل الذي يهمنا هنا، لأنه ما يربط بتصور شحنات BPS من تيارات نوثر لحدود WZW العليا في [2].

(على نحو أعم، عندما لا يكون $\mathbf{L}$ مجرد حد WZW، يجب تنقيح المناقشة، وأخذ $X$ أعلاه ليكون حزمة نفاثات وإدماج التحليل الأفقي/الرأسي للمركب التغايري الثنائي للأشكال على تلك الحزمة. وستناقش هذه العمومية الإضافية في مكان آخر؛ أما هنا فنركز على الحدود الطوبولوجية من نمط WZW الأعلى.)

من أجل $p = 0$ تكون العلاقات أعلاه معروفة جيداً من الهندسة السمبلكتية، في الحالة التي يكون فيها $\omega$ شكلاً (قبل-)سمبلكتياً. وبما أن هذه هي المشابهة الصحيحة، فإننا نقول أيضاً إن شكلاً مغلقاً من الدرجة $(p+2)$ $\omega$ هو شكل متعدد السمبلكتية من الدرجة $(p+2)$ أو شكل $(p+1)$ -بلكتيكي [32]. وفي ضوء ذلك، من المعقول الاتفاق على المصطلحات الآتية، المصوغة مباشرة على غرار الحالة التقليدية المعطاة بـ $p = 0$ .

تعريف 2.2.

(i) يسمى الشكل المغلق $(p+2)$ $\omega$ على متشعب $X$ أيضاً شكلاً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً، ويسمى الزوج $(X,\omega)$ متشعباً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً.

(ii) إذا أعطي مثل ذلك، فإن حقل متجهات $v$ بحيث $\mathcal{L}_v \omega = 0$ يسمى حقل متجهات قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي.

(iii) وإذا وُجد، فوق ذلك، شكل $p$ $J$ مع $\iota_v \omega = - \mathbf{d}J$ فإن $v$ يسمى حقل متجهات هاميلتوني ويسمى $J$ شكلاً هاميلتونياً لـ $v$ . ويكون الزوج $(v,J)$ عندئذ زوجاً هاميلتونياً.

(iv) إذا كان $\omega$ غير منحط بمعنى أن نواة التقلص $\iota_{(-)}\omega : \mathrm{Vect}(X) \to \Omega^{p+1}(X)$ تنعدم، فإن $v$ يكون محدداً وحيداً بتياره $J$ ؛ وفي هذه الحالة نسمي $\omega$ $(p+1)$ -بلكتيكياً (بدلاً من مجرد قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي).

وهذه هي الحالة التي كثيراً ما يقتصر عليها في الأدبيات، لكن النظرية كلها تسري في الحالة قبل البلكتيكية باستعمال هذه الأزواج الهاميلتونية بدلاً من الأشكال الهاميلتونية فقط.

تعريف 2.3.

(i) نكتب

$\Omega^{p}_{\omega}(X) := \left\{ \left( v, J \right) \in \mathrm{Vect}(X)\oplus \Omega^{p}(X) \;|\; \iota_v \omega = - \mathbf{d}J \right\}$

للفضاء الخطي للأزواج أعلاه، ونتحدث عن مرصودات هاميلتونية محلية.

(ii) ونكتب

$\mathrm{Vec}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega) \hookrightarrow \mathrm{Vect}_{\mathrm{Symp}}(X,\omega) \hookrightarrow \mathrm{Vect}(X)$

للفضاءات الجزئية لحقول المتجهات السمبلكتية والهاميلتونية.

لاحظ أن كلا الاحتواءين أعلاه جبران جزئيان من نوع لي تحت قوس لي القانوني لحقول المتجهات. وعند النظر إلى $\theta = \mathbf{L}$ بوصفه لاغرانجياً محلياً، يجد المرء عندئذ أن التقلص $\iota_{\cdots}\omega$ ينعدم على المماسات لمسارات الحقل التي تحل معادلات الحركة المقابلة. ونتيجة لذلك يكون $J_v$ تياراً محفوظاً على الغلاف، مستحثاً من التناظر المعطى. وهذه حالة خاصة من مبرهنة نوثر $(p+1)$ -البلكتيكية العامة [38].

بعد ذلك، تشكل التناظرات كما سبق زمرة بطريقة بينة، حيث تكون عملية التركيب هي لصق المخططات

\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 7.53471pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&&&&\\&&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-7.53471pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 38.49779pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.% 75pt\hbox{$\scriptstyle{\phi_{1}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 76.8817pt\raise-3.0pt\hbox{{}\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.% 0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 81.6317pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule% }}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 36.078pt% \raise-24.88443pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\scriptstyle{\nabla}$}}}\kern 3.% 0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 41.91133pt\raise-% 16.49277pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 62.56096pt\raise-27.34778pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{% \hbox{\kern 31.53471pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 81.6317pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces{\hbox{\kern 86.24974pt\raise-19.49277pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise-2.39166pt\hbox{$\scriptstyle{\nabla}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 89.16641pt\raise-19.49277% pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 89.16641pt\raise-27.34778pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 127.6642pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$% \scriptstyle{\phi_{2}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 128.99962pt\raise-3.0pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 17% 0.79811pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{% \kern 140.79811pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 170.79811pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}% }}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 13% 0.4215pt\raise-24.88443pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\scriptstyle{\nabla}$% }}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 115.78323pt\raise-27.34778pt% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{% \hbox{\kern 31.53471pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 61.% 53471pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3% .0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.3599pt\raise-0.933pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.3599pt\raise 0.933pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 60.6164pt\raise-14.93387pt% \hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise-0.8264pt\hbox{$\scriptstyle{\eta_{1}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces{\hbox{\kern 51.41133pt\raise-14.66049pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1.5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.3599pt\raise-0.933pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}% \hbox{\kern-0.3599pt\raise 0.933pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces{% \hbox{\hbox{\kern 0.3599pt\raise-0.933pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.% 3599pt\raise 0.933pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.38257pt\raise-0.% 92393pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.38257pt\raise 0.92393pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 110.47% 101pt\raise-16.43387pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3% .0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.8264pt\hbox{$\scriptstyle{\eta_{2}}$}}}% \kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 98.66641pt\raise-17.52597pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1.5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.38257pt\raise-0.92393pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.38257pt\raise 0.92393pt\hbox{\lx@xy@drawline@}% }}}\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.38257pt\raise-0.92393pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.38257pt\raise 0.92393pt\hbox{\lx@xy@drawline@}% }}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces\,.

(1)

وبحساب قوس لي لهذه الزمرة الليّة يجد المرء (كحالة خاصة مما يرد عموماً في التعريف 2.6 أدناه) أن القوس على هذه الأزواج الهاميلتونية $(v,\Delta_v)$ (من التعريف 2.2) يعطى بـ

$[(v_1,\Delta_{v_1}), (v_2,\Delta_{v_2}) ] = ([v_1,v_2], \; \mathcal{L}_{v_1} \Delta_{v_2} - \mathcal{L}_{v_2} \Delta_{v_1} ) \,.$

ملاحظة 2.4.

في الحالة التي يكون فيها $\nabla$ معطى بشكل معرف عالمياً $\theta$ ونفكر فيه بوصفه لاغرانجياً محلياً كما سبق، بحيث تكون $\Delta$ هي تيارات نوثر المحفوظة له، فإنه بعد الانتقال إلى أصناف تماثل دي رام المشترك، يمكن تعريف القوس أعلاه بما يعرف باسم قوس Dickey على تيارات نوثر [14] [8, (3.10)]. نعمم ذلك إلى الحالة التي لا يفترض فيها أن $\omega$ تام عالمياً أدناه في القضية 3.6.

وعلاوة على ذلك، عندما يختار كمون ثابت $\Delta_{[v_1,v_2]}$ داخل في تعريف $J_{[v_1,v_2]}$ من صنف تكافئه، يصبح القوس أعلاه بدلالته

$[(v_1,\Delta_{v_1}), (v_2,\Delta_{v_2}) ] = ([v_1, v_2], \Delta_{[v_1,v_2]}) + (0, \mathcal{L}_{v_1} \Delta_{v_2} - \mathcal{L}_{v_2} \Delta_{v_1} - \Delta_{[v_1,v_2]})\;.$

وهذا يمكن تعريفه بالقوس على تيارات نوثر كما عُرض في [2, (13), (14)] في حالة نماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ . وسنعود إلى هذا المثال أدناه في القسم 5.

لذلك وجدنا جبور التيارات التقليدية من حساب بياني لتناظرات الاتصالات العليا.

ملاحظة 2.5.

وهذا يبرز نقطتين يبدو أنهما لم تعالجا صراحة في الأدبيات التقليدية:

1.

الزمر العليا: عندما $p > 0$ ، تكون زمرة التناظرات زمرة عليا (رصة زمرة عليا) من تناظرات-للتناظرات ذات رتبة أعلى. تحديداً، قد تكون للهوموتوبيات $\eta$ في المخطط (1) نفسها هوموتوبيات-بين-الهوموتوبيات

تقابل تحويلات معيارية-للمعيارية. ومن ثم، بعد اشتقاق لي، وفوق قوس لي للتيارات المحفوظة أعلاه، توجد تحويلات معيارية ذات رتبة أعلى بين هذه التيارات. ويمكن فهم هذه التحويلات على نحو مباشر من حقيقة أن اختيار $\Delta_v$ أعلاه ليس وحيداً بوضوح إلا حتى إضافة حدود تامة، وتكون كموناتها بدورها غير وحيدة إلا حتى حدود تامة، وهكذا. ونتيجة لذلك لا نجد مجرد جبر لي، بل جبر لي تفاضلياً متدرجاً للتيارات، يكون تفاضله هو تفاضل دي رام المؤثر في أشكال التيار ذات الرتبة الأعلى.
2.

التماثل المشترك المنقح والأشكال العليا: في كامل العمومية، ينبغي إجراء المناقشة أعلاه ليس فقط لـ $\theta$ معرفة عالمياً، بل لما قبل التكميم الأعلى $\overline{\theta}$ المعطى بسنن Čech-Deligne ذات انحناء هو شكل $(d+1)$ $\omega$ . وهذا يتيح إدراج المعطيات الهندسية عبر التماثل المشترك التفاضلي.

وبإدماج هذه الأمور يكون جبر لي التفاضلي المتدرج الناتج هو المعطى في [17, Def./Prop. 4.2.1]:

ليكن $X$ متشعباً أملس، و $\omega \in \Omega^{p+2}_{\mathrm{cl}}(X)$ شكلاً تفاضلياً مغلقاً من الدرجة $(p+2)$ ، مع النظر إلى $(X,\omega)$ بوصفه متشعباً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً. وليكن $\overline{\theta}$ ما قبل تكميم أعلى لـ $\omega$ معطى بسنن Čech-Deligne بالنسبة إلى غطاء $\mathcal{U}$ لـ $X$ . اكتب $\mathrm{Tot}^\bullet(\mathcal{U},\Omega^\bullet)$ لمركب Čech-de Rham للغطاء، ولاحظ أن مشتقات لي لـ $\overline{\theta}$ تُعد طبيعياً ذات قيم في هذا المركب. عندئذ لدينا:

تعريف 2.6.

إن جبر لي التفاضلي المتدرج لقوس بواسون

$\mathfrak{Pois}_{\mathrm{dg}}(X,\overline{\theta}) \in \mathrm{dgLieAlg} \hookrightarrow L_\infty\mathrm{Alg}$

هو جبر لي التفاضلي المتدرج الذي يكون مركبه السلسلي الكامن ذا المركبات

	$\displaystyle\mathfrak{Pois}_{\mathrm{dg}}(X,\overline{\theta})^{0}$	$\displaystyle:=$	$\displaystyle\left\{(v,\overline{\Delta})\in\mathrm{Vect}(X)\oplus\mathrm{Tot}% ^{p}(\mathcal{U},\Omega^{\bullet})\|\mathcal{L}_{v}\overline{\theta}=\mathbf{d}% _{\mathrm{Tot}}\overline{\Delta}\right\}\;,$
	$\displaystyle\mathfrak{Pois}_{\mathrm{dg}}(X,\overline{\theta})^{i\geq 1}$	$\displaystyle:=$	$\displaystyle\mathrm{Tot}^{p-i}(\mathcal{U},\Omega^{\bullet})\;,$

مع التفاضل $\mathbf{d}_{\mathrm{Tot}}$ ، وتكون أقواس لي غير المنعدمة فيه هي

	$\displaystyle[(v_{1},\overline{\Delta}_{1}),(v_{2},\overline{\Delta}_{2})]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\left([v_{1},v_{2}],\;\mathcal{L}_{v_{1}}\overline{\Delta}_{2}-% \mathcal{L}_{v_{2}}\overline{\Delta}_{1}\right)\;,$
	$\displaystyle\left[(v,\overline{\Delta}),\overline{\eta}\right]$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-[\overline{\eta},(v,\overline{\Delta})]=\mathcal{L}_{v}\overline% {\eta}\;.$

يتبين أن هناك تجسيداً مختلف المظهر جداً لكنه مكافئ لهذا الجبر $L_\infty$ ، وقد دُرس أصلاً في [32]:

تعريف 2.7 (قوس بواسون الأعلى للمرصودات المحلية).

عند إعطاء متشعب قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي $(X,\omega)$ ،

(i) نقول إن مركب دي رام المقتطع المنتهي بالأزواج الهاميلتونية من التعريف 2.3 هو مركب المرصودات المحلية لـ $(X,\omega)$ ، ويرمز إليه بـ

\Omega^{\bullet}_{\omega}(X):=\left(C^{\infty}(X)\stackrel{{\scriptstyle% \mathbf{d}}}{{\longrightarrow}}\Omega^{1}(X)\stackrel{{\scriptstyle\mathbf{d}}% }{{\longrightarrow}}\cdots\stackrel{{\scriptstyle\mathbf{d}}}{{\longrightarrow% }}\Omega^{n-2}(X)\stackrel{{\scriptstyle(0,\mathbf{d})}}{{\longrightarrow}}% \Omega^{p}_{\omega}(X)\right)\,,

مع $\Omega^{p}_\omega(X)$ في الدرجة صفر.

(ii) إن قوس بواسون الأعلى الثنائي على المرصودات الهاميلتونية المحلية هو التطبيق الخطي

$\{-,-\} \;:\; \Omega^{p}_\omega(X) \otimes \Omega^{p}_\omega(X) \longrightarrow \Omega^{p}_\omega(X)$

المعطى بالصيغة

$\begin{equation}\label{eq.Lie-bracket} \left[ \left(v_1, J_1\right), \left(v_2, J_1\right) \right] := \left[ \left( \left[v_1, v_2\right], \, \iota_{v_1 \wedge v_2}\omega \right) \right] \,; \end{equation}$

(2)

(iii) ومن أجل $k \geq 3$ يكون قوس بواسون الأعلى $k$ -ي هو التطبيق الخطي

$\{-,\cdots, -\} \;:\; \left( \Omega^{p}_\omega(X)\right)^{\otimes^k} \longrightarrow \Omega^{p+2-k}(X)$

المعطى بالصيغة

$\left[ \left(v_1, J_1\right),\, \cdots, \left(v_k, J_k\right) \right] := (-1)^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor} \iota_{v_1 \wedge \cdots \wedge v_k} \omega \,.$

(iv) يسمى المركب السلسلي للمرصودات المحلية المجهز بهذه التطبيقات الخطية لكل $k$ جبر $L_\infty$ لقوس بواسون الأعلى لـ $(X,\omega)$ ، ويرمز إليه بـ

$\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega) := \left( \Omega^\bullet_\omega(X),\mathbf{d}, \left\{-,-\right\}, \left\{-,-,-\right\}, \cdots \right) \,.$

ملاحظة 2.8.

من [17, Theorem 4.2.2] توجد مكافأة لجبور $L_\infty$

\mathfrak{Pois}_{\infty}(X,\omega)\stackrel{{\scriptstyle\simeq}}{{% \longrightarrow}}\mathfrak{Pois}_{\mathrm{dg}}(X,\omega)

بين تلك الموجودة في التعريف 2.6 والتعريف 2.7.

نود أن نكتسب فهماً إضافياً لهذه الجبور $L_\infty$ . الفكرة هي أننا، بدءاً من ${\mathbb{R}}$ ، نستطيع النظر إليه كمركب سلسلي بوضعه في درجات مختلفة مع جعل الدرجات المتبقية صفراً. وينتج عن إزاحة الدرجات صعوداً ونزولاً نظائر رصية للمؤثر المصنِّف ${\bf B}$ . وعندما تكون الرصة الناتجة منبسطة، نرمز إلى ذلك برمز موسيقي $\flat$ .

تعريف 2.9.

من أجل $X$ متشعب أملس، نرمز بـ

1.

إلى $\mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R})$ جبر لي $(p+1)$ أبلي معطى بالمركب السلسلي

$\Omega^0(X)\!\xrightarrow{\mathbf{d}}\Omega^1(X)\!\xrightarrow{\mathbf{d}}\cdots \!\xrightarrow{\mathbf{d}}\Omega^{p}(X)\;,$

حيث $\Omega^p(X)$ في الدرجة 0؛
2.

وبـ $\mathbf{B}\mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R})$ إلى جبر لي $(p+1)$ أبلي معطى بالمركب السلسلي، مع إدراج حد إضافي واحد،

$\Omega^0(X)\!\xrightarrow{\mathbf{d}}\Omega^1(X)\!\xrightarrow{\mathbf{d}}\cdots \!\xrightarrow{\mathbf{d}}\Omega^{p}(X)\!\xrightarrow{\mathbf{d}}\mathbf{d}\Omega^{p}(X)\;,$

حيث $\mathbf{d}\Omega^{p}(X)$ في الدرجة صفر.

نبدأ بربط الأخير بحقول المتجهات الهاميلتونية.

ملاحظة 2.10.

من [17, Proposition 3.2.3] توجد النتيجة الآتية. من أجل $(X,\omega)$ متشعب قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي، فإن التطبيقات متعددة الخطية

$\displaystyle\omega_{[1]}$	$\displaystyle:$	$\displaystyle v\mapsto-\iota_{v}\omega;$
$\displaystyle\omega_{[2]}$	$\displaystyle:$	$\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\mapsto\iota_{v_{1}\wedge v_{2}}\omega;$
$\displaystyle\vdots$
$\displaystyle\omega_{[p+2]}$	$\displaystyle:$	$\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge\cdots v_{p+2}\mapsto-(-1)^{\binom{p+2}{2% }}\iota_{v_{1}\wedge v_{2}\wedge\cdots\wedge v_{p+2}}\omega$

تعرف مورفزماً من نوع $L_\infty$ $\omega_{[\bullet]} : \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X)\xrightarrow{} \mathbf{B} \mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R})\,.$ وهذا هو السنن الأعلى من نمط Kirillov-Kostant-Souriau لجبر $L_\infty$ -لي، سنن $(p+2)$ ، على جبر لي لحقول المتجهات الهاميلتونية، ذي القيم في جبر $(p+2)$ الأبلي $\mathbf{B} \mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R})$ المرتبط بالمتشعب قبل- $(p+1)$ -بلكتيكي $(X,\omega)$ .

تتميّز جبور $L_\infty$ في الملاحظة 2.8 كما يأتي.

ملاحظة 2.11.

من [17, Theorem 3.3.1]، إن جبر لي $(p+1)$ لقوس بواسون $\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega)$ هو امتداد لجبر لي لحقول المتجهات الهاميلتونية، التعريف 2.2، بواسطة جبر لي $(p+1)$ الأبلي $\mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R})$ المستحث من سنن جبر $L_\infty$ -لي من نمط Kirillov-Kostant-Souriau، سنن $(p+2)$ ، $\omega_{[\bullet]}$ . أي إن هناك متتالية ألياف هوموتوبية لجبور $L_\infty$ من الشكل

هنا يأتي التشاكل الرأسي من الإسقاط $\Omega^{p}_\omega(X)\to \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X)$ (من الأزواج الهاميلتونية إلى حقول المتجهات الهاميلتونية، التعريف 2.3) الذي يستحث مورفزماً خطياً غامراً لجبور $L_\infty$ .

3 الاقتطاع إلى جبور لي عادية

نود النظر في اقتطاعات ملائمة نزولاً إلى بنى أكثر كلاسيكية. ويتحكم في ذلك ضبط “حجم” المركب السلسلي المقابل. فمعطاة أي بنية عليا هوموتوبية، ومن ثم نمط $n$ هوموتوبي، يوجد اقتطاعها “نزولاً” إلى نمط 0، ويحصل عليه بقسمة كل التناظرات. وهذه العملية تنسى عموماً كثيراً من البنية المهمة، لكن الشيء الناتج يكون أحياناً أسهل تعرّفاً ومقارنة بالمفاهيم التقليدية.

في الحالة الخاصة البسيطة للمركبات السلسلية لفضاءات متجهية في درجات غير سالبة (وفق اصطلاحات الدرجات الهومولوجية)، يكون اقتطاع 0 هو المؤثر

$\tau_{\leq 0} : \mathrm{Ch}_\bullet \longrightarrow \mathrm{Vect}$

الذي يرسل مركباً سلسلياً $(\cdots V_{2}\stackrel{{\scriptstyle\partial_{1}}}{{\to}}V_{1}\stackrel{{% \scriptstyle\partial_{0}}}{{\to}}V_{0})$ إلى زمرة تماثله من الدرجة 0

$\tau_{\leq 0} V_\bullet = V_0/ \mathrm{im}(\partial_0) = H_0(V_\bullet) \,.$

نناقش الآن اقتطاع 0 هذا لجبور لي $(p+1)$ للتيارات المحفوظة التي نوقشت في القسم السابق، القسم 2.

لمّة 3.1.

إن مؤثر اقتطاع 0 $\tau{\leq 0}$ على المركبات السلسلية يستحث مؤثراً

$\tau_{\leq 0}\colon L_\infty\text{-}\mathrm{alg}_{\geq 0}\to \mathrm{Lie}$

حيث يدل $L_\infty\text{-}\mathrm{alg}_{\geq 0}$ على فئة جبور $L_\infty$ المتركزة في الدرجات غير السالبة، مع مورفزمات $L_\infty$ كمورفزمات، ويدل $\mathrm{Lie}$ على فئة جبور لي مع مورفزمات جبور لي. وبصورة أوضح، يرسل $\tau_{\leq 0}$ جبر $L_\infty$ $(\mathfrak{g},\mathbf{d}, \left\{-,-\right\}, \left\{-,-,-\right\}, \cdots )$ متركزاً في الدرجات غير الموجبة إلى جبر لي $(H_0(\mathfrak{g}), \left\{-,-\right\})$ ، ويرسل مورفزم $L_\infty$ $f\colon \mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$ إلى مورفزم جبر لي $H_0(f_1)\colon H_0(\mathfrak{g})\to H_0(\mathfrak{h})$ ، حيث $f_1$ هو المركب الخطي لـ $f$ . وعلاوة على ذلك، فإن المورفزم الطبيعي للمركبات السلسلية $\mathfrak{g}\to \tau_{\leq 0}\mathfrak{g}$ هو مورفزم $L_\infty$ خطي طبيعي وغامر

(\mathfrak{g},\mathbf{d},\left\{-,-\right\},\left\{-,-,-\right\},\cdots)\to(H_% {0}(\mathfrak{g}),\left\{-,-\right\})\;.

(3)

البرهان. بما أن المركب السلسلي $\mathfrak{g}$ متركز في الدرجات غير السالبة، فإن المركب السلسلي $\tau_{\leq 0}\mathfrak{g}$ يتكون من الفضاء المتجهي $H_0(\mathfrak{g})$ متركزاً في الدرجة صفر. ومن ثم تتبع كل عبارات اللمّة مباشرة من ذلك. $\Box$

ملاحظة 3.2.

تعني طبيعية مورفزم $L_\infty$ الخطي (3) أن لدينا، لأي مورفزم $L_\infty$ $f\colon \mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$ بين جبور $L_\infty$ متركزة في درجات غير سالبة، مخططاً تبديلياً لمورفزمات $L_\infty$

ننظر الآن إلى اقتطاع 0 لجبور بواسون المقابلة.

تعريف 3.3.

ليكن $(X,\omega)$ متشعباً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً. اكتب

$\mathfrak{Pois}(X,\omega) := \tau_{\leq 0}\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega)$

لاقتطاع 0 لـ $\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega)\simeq \mathfrak{Pois}_{\mathrm{dg}}(X,\omega)$ .

لاحظ أنه باستعمال التعريف 2.6، والتعريف 2.7، والملاحظة 2.8، وعن طريق اللمّة 3.1، يكون هذا هو خارج $\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega) \to H_0\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega)$ بواسطة أشكال التيار التامة من الدرجة $p$ . ونميّز الآن اقتطاع 0 هذا.

قضية 3.4.

ليكن $(X,\omega)$ متشعباً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً. عندئذ يكون جبر لي 1 للتيارات، التعريف 3.3، امتداداً مركزياً لحقول المتجهات الهاميلتونية بواسطة جبر لي الأبلي $H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$ لأشكال دي رام من الدرجة $p$ . وبعبارة أخرى، إذا كتبنا $\mathfrak{Pois}(X,\omega)$ من أجل $H_0\mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega)$ ، فهناك متتالية قصيرة تامة من جبور لي

$0 \to H^{p}_{\mathrm{dR}}(X) \longrightarrow \mathfrak{Pois}(X,\omega) \longrightarrow \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega) \to 0 \,,$

و $H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$ مركزي في $\mathfrak{Pois}(X,\omega)$ .

البرهان. من المتتالية القصيرة التامة للمركبات السلسلية المعطاة بالقضية 2.11

$0\to \mathbf{H}(X,\flat\mathbf{B}^{p}\mathbb{R} )\to \mathfrak{Pois}_\infty(X,\omega) \to \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega) \to 0\;,$

نحصل على المتتالية الطويلة التامة في التماثل

$0 \to H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)\to \mathfrak{Pois}(X,\omega) \to \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega) \to 0$

وبحسب اللمّة 3.1، تكون هذه متتالية قصيرة تامة من جبور لي. أما حقيقة أن $H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$ مركزي في $\mathfrak{Pois}(X,\omega)$ فهي مباشرة من المعادلة (2). $\Box$

ملاحظة 3.5.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها $X$ حزمة النفاثات لحزمة حقل، وعندما تكون تفاضلات دي رام الظاهرة في كل مكان مقيدة بأن تكون التفاضلات الأفقية المقابلة، وتحت الفرضية القائلة إن تماثل مركب دي رام الأفقي هذا متركز في الدرجة 0، فقد أنشئت بنية $L_\infty$ أخرى على مركب دي رام المقتطع الظاهر في التعريف 2.7 في [7]. ويبين فحص الإنشاء حول المبرهنة 7 هناك أن جبر $L_\infty$ هذا مكافئ، بمعنى $L_\infty$ ، لاقتطاعه 0 $\mathfrak{Pois}(X,\omega)$ ، والذي يكون تحت هذه الفرضيات هو جبر Dickey [14]؛ انظر التعليقات أعلاه في القسم 2. ومن ثم فإن الجبر في [7]، لكل أغراض نظرية الهوموتوبي، هو هذا الاقتطاع 0.

ومن أجل مقارنة القضية 3.4 أكثر بالأدبيات القائمة، ننظر الآن في اختيار أشكال تيار هاميلتونية لكل مولد تناظر. والعبارة الآتية هي للتعريف 2.7 ما كانت الملاحظة 2.4 للتعريف 2.6.

قضية 3.6.

تحت اختيار شطر خطي $J\colon v \mapsto (v,J_v )$ للإسقاط الطبيعي $\Omega_\omega^{p}(X)\to \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega)$ من التعريف 2.2، يكون قوس لي على أصناف تماثل دي رام المشترك للتيارات في $\mathfrak{Pois}(X,\omega)$ ، القضية 3.4، متساوي التشاكل مع

$\{v+[\alpha],w+[\beta]\}=[v,w]+[J_{[v,w]}-\frac{1}{2}(\mathcal{L}_vJ_w-\mathcal{L}_wJ_v)] \,.$

وعندما يكون أيضاً $\omega$ تاماً عالمياً عبر $\mathbf{d}\theta=\omega$ ، فإن ذلك يختزل بدلالة التيارات $\Delta_v := i_v\theta-J_v$ إلى

$\{v+[\alpha],w+[\beta]\}=[v,w]+[\mathcal{L}_v\Delta_w-\mathcal{L}_w\Delta_v-\Delta_{[v,w]}]$

كما في الملاحظة 2.4.

البرهان. يستحث الشطر تماثل تشاكل خطياً من الشكل

	$\displaystyle\mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega)\oplus H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$	$\displaystyle\xrightarrow{\sim}\mathfrak{Pois}(X,\omega)$
	$\displaystyle v+[\alpha]$	$\displaystyle\mapsto(v,J_{v}-\alpha)$

وبهذا يقرأ قوس لي على $\mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega)\oplus H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$ على النحو الآتي

$\{v+[\alpha],w+[\beta]\}=[v,w]+[J_{[v,w]}-\iota_{v \wedge w}\omega]\;.$

وبما أن $\iota_v\omega=-\mathbf{d}J_v$ ، فإن لدينا

$\begin{equation*} \iota_{v \wedge w}\omega=-\iota_w\mathbf{d}J_v=-\mathcal{L}_wJ_v+\mathbf{d}\iota_wJ_v \end{equation*}$

وكذلك

$\begin{equation*} \iota_{v \wedge w}\omega=-\iota_{w \wedge v}\omega=\iota_v\mathbf{d}J_w=\mathcal{L}_vJ_w-\mathbf{d}\iota_vJ_w\;. \end{equation*}$

ومن ثم، بالجمع، نستطيع أن نكتب

$\iota_{v \wedge w}\omega=\frac{1}{2}(\mathcal{L}_vJ_w-\mathcal{L}_wJ_v)-\frac{1}{2}\mathbf{d}(\iota_vJ_w-\iota_wJ_v)$

ولذلك

$\{v+[\alpha],w+[\beta]\}=[v,w]+[J_{[v,w]}-\frac{1}{2}(\mathcal{L}_vJ_w-\mathcal{L}_wJ_v)]\;.$

إذا أعطي، علاوة على ذلك، كمون عالمي $\theta$ للشكل قبل- $n$ -بلكتيكي $\omega$ ، أي إذا كان لدينا شكل $p$ $\theta$ مع $\mathbf{d}\theta=\omega$ ، فعند كتابة $J_v=i_v\theta-\Delta_v$ نجد

	$\displaystyle J_{[v,w]}-\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{v}J_{w}-\mathcal{L}_{w}J_{v})$	$\displaystyle=-\Delta_{[v,w]}+\iota_{[v,w]}\theta-\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{v}% \iota_{w}\theta-\mathcal{L}_{w}\iota_{v}\theta)+\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{v}% \Delta_{w}-\mathcal{L}_{w}\Delta_{v})$
		$\displaystyle=-\Delta_{[v,w]}+\underset{=0}{\underbrace{\iota_{[v,w]}\theta-% \frac{1}{2}(\iota_{[v,w]}\theta-\iota_{[w,v]}\theta)}}-\frac{1}{2}(\iota_{w}% \mathcal{L}_{v}\theta-\iota_{v}\mathcal{L}_{w}\theta)+\frac{1}{2}(\mathcal{L}_% {v}\Delta_{w}-\mathcal{L}_{w}\Delta_{v})$
		$\displaystyle=-\Delta_{[v,w]}-\frac{1}{2}(\iota_{w}\mathbf{d}\Delta_{v}-\iota_% {v}\mathbf{d}\Delta_{w})+\frac{1}{2}(\mathcal{L}_{v}\Delta_{w}-\mathcal{L}_{w}% \Delta_{v})$
		$\displaystyle=-\Delta_{[v,w]}+\mathcal{L}_{v}\Delta_{w}-\mathcal{L}_{w}\Delta_% {v}+\text{$\mathbf{d}$-exact terms}\;.$

لذلك نحصل في النهاية على التعبير المطلوب

$\{v+[\alpha],w+[\beta]\}=[v,w]+[\mathcal{L}_v\Delta_w-\mathcal{L}_w\Delta_v-\Delta_{[v,w]}]\;.$

$\Box$

4 النقل العابر إلى جبور لي عادية

سننظر الآن في عملية أخرى للحصول على جبور لي عادية بدءاً من جبورنا العليا. فبينما اقتطاع 0 الذي نظرنا فيه في القسم 3 يكتفي بقسمة التحويلات المعيارية العليا ونسيانها للحصول على جبر لي 1 عادي للتيارات، توجد طريقة أخرى لتحويل جبر لي $(p+1)$ أعلى للتيارات إلى جبر لي $k$ من أجل $k \leq p$ يحتفظ بمعلومات أكثر: رياضياً هذا هو النقل العابر، أما فيزيائياً فيقابل العملية الطبيعية المتمثلة في تكامل التيارات المحلية على متشعبات جزئية ذات ترميز بعدي معين. ومن الأمثلة البارزة أن يتم ذلك على سطوح كوشي، بغية تحويلها إلى مرصودات عادية (أي دوال على تشكيلات الحقول).

إن تصور الزمر العليا للتيارات كما أشير إليه في القسم 2، عبر الأوتومورفيات المقطوعة فوق رصة موديولي تفاضلية عليا، يهيئ صورة واضحة لعملية النقل العابر للتيارات العليا كما يأتي.

نلاحظ أولاً أن النقل العابر للأشكال التفاضلية العادية له الصياغة الحزمية الأنيقة الآتية. اكتب $\mathbf{\Omega}^{p+1}$ من أجل حزمة الأشكال التفاضلية الملساء ذات الدرجة $(p+1)$ (على موقع كل المتشعبات الملساء). عندئذ، بلمّة يونيدا، يكون الشكل التفاضلي الملس $(p+1)$ $\omega \in \Omega^{p+1}(X)$ على متشعب أملس ما $X$ مكافئاً لمورفزم في فئة الحزم من الشكل

$\omega : X \longrightarrow \mathbf{\Omega}^{p+1} \,.$

والآن، إذا أعطي متشعب أملس مغلق وموجه $\Sigma$ ذو بعد $k \leq p+1$ ، فاكتب $[\Sigma,\mathbf{\Omega}^{p+1}]$ لفضاء التطبيقات، وهو الحزمة التي ترسل متشعب اختبار إلى مجموعة مورفزمات الحزم $U \times \Sigma \to \mathbf{\Omega}^{p+1}$ ، ومن ثم إلى مجموعة الأشكال التفاضلية الملساء $(p+1)$ على $U \times \Sigma$ . ومن الفوري عندئذ أن تكامل الألياف العادي للأشكال التفاضلية على الإسقاطات $\Sigma\times U \to U$ ، لكل $U$ ممكن، يتجسد في مورفزم واحد للحزم من الشكل

$\int_\Sigma \;:\; [\Sigma,\mathbf{\Omega}^{p+1}] \longrightarrow \mathbf{\Omega}^{p+1-k} \,.$

والآن، فإن تكوين حزمة التطبيقات الخارجة من $\Sigma$ عملية مؤثرية، ومن ثم نحصل من المكونات أعلاه على ما يأتي

قضية 4.1.

ثمة مورفزم مركب من الشكل

\int_{\Sigma}[\Sigma,\omega]\;:\;[\Sigma,X]\stackrel{{\scriptstyle[\Sigma,% \omega]}}{{\xrightarrow{\hskip 28.45274pt}}}[\Sigma,\mathbf{\Omega}^{p+1}]% \stackrel{{\scriptstyle\int_{\Sigma}}}{{\longrightarrow}}\mathbf{\Omega}^{p+1-% k}\;,

يمثل شكلاً تفاضلياً $(p+1-k)$ على فضاء التطبيقات الملس $[\Sigma,X]$ .

النقطة الآن هي أنه، عند بسط كل التعريفات، يجد المرء

نتيجة 4.2.

أن الشكل التفاضلي $(p+1-k)$ $\int_\Sigma [\Sigma,\omega]$ هو النقل العابر لـ $\omega$ إلى فضاء التطبيقات أعلاه، أي هو الشكل $\int_\Sigma \mathrm{ev}_\Sigma^\ast \omega$ ، حيث

$\mathrm{ev}_\Sigma \;:\; [\Sigma,X]\times \Sigma \longrightarrow X$

خريطة التقييم.

مع أن هذه هي الصياغة التقليدية للنقل العابر، فإن إعادة الصياغة أعلاه عبر حزم التطبيقات لها ميزة أنها تعمم بأناقة من الأشكال التفاضلية $n$ $\omega$ إلى ما قبل تكميمها بواسطة اتصالات $(p+1)$ $\nabla$ ، التي نظرنا فيها في القسم 2.

تذكر أن تكامل الألياف للأشكال التفاضلية، منظوراً إليه كعملية على كل $\Sigma\times U$ ممكنة عندما يتغير $U$ ، يمكن تلخيصه في مورفزم واحد للحزم كما سبق. وبالمثل فإن تكامل الألياف لاتصالات $n$ ، ومن ثم تكامل الألياف للسنن في التماثل المشترك التفاضلي العادي من الدرجة $(p+2)$ ، يُشفَّر تكافئياً في [18] في مورفزم للرُّصص العليا الملساء من الشكل

$\int_\Sigma : [\Sigma, \mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}] \longrightarrow \mathbf{B}^{p+1-k}U(1)_{\mathrm{conn}} \,.$

وبامتلاك هذا نحصل مباشرة على

قضية 4.3.

(i) يوجد تشاكل طبيعي من زمرة $(p+1)$ الملساء للتيارات المحفوظة كما في القسم 2، إلى زمرة $(p+1-k)$ لـ نقلها العابر إلى فضاء التطبيقات الخارج من $\Sigma$ .

(ii) ويتم ذلك ببساطة بتطبيق المؤثر $\infty$ $[\Sigma,-]$ على مخططات القطع التعريفية، ثم إتباع القطع بالتركيب اللاحق مع $\int_X$ ، كما هو مبين هنا:

\left(\raisebox{20.0pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 7.53471pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-7.53471pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 54.081pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.% 75pt\hbox{$\scriptstyle{\phi}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 54.41641pt\raise-3.0pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 11% 0.79811pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 19.76062% pt\raise-24.88443pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\scriptstyle{\nabla}$}}}\kern 3% .0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 34.88347pt\raise% -21.04556pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 41.51659pt\raise-27.34778pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{% \hbox{\kern 56.16641pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 110.79811% pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}% }}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 86% .72733pt\raise-24.88443pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.39166pt\hbox{$\scriptstyle{\nabla}$% }}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 76.8276pt\raise-27.34778pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{% \hbox{\kern 31.53471pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{% \mathrm{conn}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \hbox{\kern 0.67857pt\raise-0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.678% 57pt\raise 0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 48.96408pt\raise-16.64589pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.62312pt% \hbox{$\scriptstyle{\simeq}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 40.28514pt\raise-6.83528pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.8264pt\hbox% {$\scriptstyle{\mathbf{\eta}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 42% .87956pt\raise-18.04556pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1% .5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.67857pt% \raise-0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.67857pt\raise 0.73453pt% \hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.67857pt\raise-0.73% 453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.67857pt\raise 0.73453pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces}\right)\;\;\;\mapsto\;\;\;% \left(\raisebox{38.0pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 16.14581pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&&\\&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-16.14581pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{[\Sigma,X]\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 65.02545pt\raise 6.5pt% \hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{[\Sigma,\phi]}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 70.80531pt\raise-3.0pt% \hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 134.96481pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0% .0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 20.31438pt\raise-26.78444pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle% {[\Sigma,\nabla]}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 46.4091pt\raise-23.09207pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{% \ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 53.89363pt% \raise-28.93112pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern 72.55531pt\raise 0.0pt\hbox% {\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 134.96481pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0% pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{[\Sigma,X]% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}% }\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 108.07404pt\raise-26.7844% 4pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{[\Sigma,\nabla]}$}}}\kern 3.0pt}}}% }}}\ignorespaces{\hbox{\kern 97.22835pt\raise-28.93112pt\hbox{\hbox{\kern 0.0% pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% {\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern-3.% 0pt\raise-40.56888pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt% \raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 40.14581pt\raise-40.56888% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{% $\textstyle{[\Sigma,\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{\mathrm{conn}}]\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 75.55531pt\raise-61.17274pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.74722pt% \hbox{$\scriptstyle{\int_{\Sigma}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{% \kern 75.55531pt\raise-69.99887pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule% }}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-81.77663pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 45.44444% pt\raise-81.77663pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt% \raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{B}^{p+1-k}U(1)_{\mathrm{conn}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.635% 57pt\raise-0.77203pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.63557pt\raise 0.7720% 3pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \kern 62.34018pt\raise-17.66914pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.62312pt\hbox{$\scriptstyle{% \simeq}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \kern 44.78249pt\raise-6.54604pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{[% \Sigma,\eta]}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 54.8007pt\raise-20% .09207pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1.5}\lx@xy@tip{-1.% 5}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.63557pt\raise-0.77203pt% \hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.63557pt\raise 0.77203pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.63557pt\raise-0.77203pt% \hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.63557pt\raise 0.77203pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces}\right)\,.

ملاحظة 4.4.

إن العملية أعلاه تنقل عابراً الآن لا اتصال $(p+1)$ $\nabla$ فقط، الذي هو في حالتنا لاغرانجي النظرية الحقلية المعطاة، بل تنقل عابراً أيضاً كل التيارات المتجسدة في التكافؤات الموسومة بـ $\eta$ . وعلى وجه التحديد، إذا صادف أن $\nabla$ معطى بشكل تفاضلي $(p+1)$ معرف عالمياً $\theta = \mathbf{L}$ ، فإن $\eta$ يعطى، على المستوى المتناهي في الصغر، بتيار شكلي من الدرجة $p$ $J$ ، وتأخذ العملية أعلاه ذلك إلى شكل نقله العابر $\int_\Sigma \mathrm{ev}^\ast J$ .

1.

عندما $k = p$ ، يكون هذا الشكل المنقول عابراً شكلاً من الدرجة 0، ومن ثم دالة، وله تأويل المرصود الفعلي المستحث من التيار $J$ .
2.

وعموماً، من أجل $k = p$ تنعدم عند الطرف الأيمن كل الهوموتوبيات العليا، بسبب التركيب مع $\int_\Sigma$ الذي ينتهي في الرصة 1 $\mathbf{B}U(1)_{\mathrm{conn}}$ ، ومن ثم، في هذه الحالة، تتعامل خريطة الاقتطاع عبر اقتطاع 0 للزمرة على الطرف الأيسر، الذي ناقشناه للتو أعلاه. وبهذه الطريقة يرسم اقتطاع 0 لجبر لي $(p+1)$ للتيارات إلى جبر لي الأفيني المعمم للتيارات، لكن الأخير قد يكون عموماً أكبر.

مثال 4.5.

يعطى المثال النموذجي لهذه العملية بحالة نموذج WZW ثنائي البعد 3 على زمرة لي مدمجة $G$ . في هذه الحالة يكون $\nabla$ أعلاه هو جيرب WZW $\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}} : G \longrightarrow \mathbf{B}^2 U(1)_{\mathrm{conn}}$ على الزمرة، ويكون نقله العابر $\int_{S^1} [S^1, \mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}] : [S^1, G] \to \mathbf{B}U(1)_{\mathrm{conn}}$ حزمة مزودة باتصال على زمرة الحلقات. وبحسب نتائج [16] تكون زمرة التيارات المستحثة من ذلك، كما نوقش أعلاه، هي “زمرة الكوانتومورفيزمات” لهذه الحزمة منظورة بوصفها حزمة خطية قبل كمية في معنى Souriau. ومن الحقائق الشهيرة [30] (انظر [37, around Prop. 42]) أن هذه هي الامتداد المركزي Kac-Moody لزمرة حلقات $G$ ، وجبر لي الخاص بها هو جبر لي الأفيني المقابل لـ $G$ . وهذا هو جبر التيارات “المعهود” كما يظهر في معظم الأدبيات الرياضية.

نرى هنا أن زمرة حلقات Kac-Moody هذه ليست إلا النقل العابر لزمرة 2 الملساء لتيارات نموذج WZW، والتي هي، بحسب [16, 2.6.1]، ما يسمى زمرة String 2 لـ $G$ ، وأن جبر لي الأفيني للتيارات ليس إلا النقل العابر لجبر لي 2 المقابل، وهو جبر لي $\mathfrak{string}$ 2 [6].

ملاحظة 4.6.

ثمة صورتان من النقل العابر لهما صلة بالفيزياء:

1.

عندما يكون فضاء الهدف جداءً $X \times \Sigma$ ، توجد مورفزم قانوني $X \longrightarrow [\Sigma, X \times \Sigma]$ . والنقل العابر متبوعاً بالتركيب القبلي مع هذا الاحتواء

$(X\times\Sigma\stackrel{{\scriptstyle\nabla}}{{\longrightarrow}}\mathbf{B}^{p+% 1}U(1)_{\mathrm{conn}})\;\;\mapsto\;\;(X\to[\Sigma,X\times\Sigma]\stackrel{{% \scriptstyle\int_{\Sigma}[\Sigma,\nabla]}}{{\xrightarrow{\hskip 34.14322pt}}}% \mathbf{B}^{p+1-\mathrm{dim}(\Sigma)}U(1)_{\mathrm{conn}})$

هو الاختزال البعدي المزدوج.
2.

وعلاوة على ذلك، عندما يكون $\Sigma$ مزوداً بنقطة أساس $s_0 : \ast \to \Sigma$ ، توجد أيضاً عملية التقييد المستحثة

$(X\times\Sigma\stackrel{{\scriptstyle\nabla}}{{\longrightarrow}}\mathbf{B}^{p+% 1}U(1)_{\mathrm{conn}})\;\;\mapsto\;\;(X\to[\Sigma,X\times\Sigma]\stackrel{{% \scriptstyle|_{s_{0}}}}{{\xrightarrow{\hskip 14.22636pt}}}X\times\Sigma% \stackrel{{\scriptstyle\nabla}}{{\longrightarrow}}\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{% \mathrm{conn}})\,.$

مثال 4.7.

تحدث حالة الجداء كثيراً في حزمة دائرة نظرية M فوق زمكان ذي 10 أبعاد $X$ . إن تركيب الاختزال البعدي المزدوج مع التقييد هو، على سبيل المثال، ما يأخذ حقل C للجاذبية الفائقة ذات 11 بعداً إلى حقل B وشكل Ramonf-Ramond (RR) في 10 أبعاد. وتتيح لنا العملية أعلاه أن نفعل ذلك على مستوى الرصص، حيث تُحمل كل البنى الهندسية والمعيارية العليا معاً. ويمكن العثور على منظور رصي لهذا في [19].

5 تطبيق على شحنات البرانات

نناقش الآن كيف تقود الإنشاءات أعلاه إلى تطبيقات مثيرة للاهتمام في النماذج الفيزيائية (فائقة التناظر). نلاحظ أن كل المناقشة السابقة تعمم مباشرة إلى وضع الجبر الفائق والهندسة الفائقة، حيث تعمم كل المتشعبات إلى متشعبات فائقة، والأشكال التفاضلية إلى أشكال تفاضلية فائقة، وحيث تعمم جبور لي $n$ إلى جبور لي فائقة $n$ (انظر [21] للتفاصيل والإحالات إلى الأدبيات). وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق النتائج السابقة على المتشعبات الفائقة $X$ كما تظهر في نظرية الجاذبية الفائقة العليا، حيث تحمل أشكالاً فائقة $(p+2)$ خاصة تؤدي دور انحناءات حدود WZW لنماذج سيغما للبرانات الفائقة $p$ من نمط Green-Schwarz، ذات فضاء الهدف $X$ .

ننظر في ذلك تفصيلاً. من أجل $N$ تمثيل سبيني حقيقي لـ $\mathrm{Spin}(d-1,1)$ ، ليكن $\mathbb{R}^{d-1,1|N}$ هو زمكان Minkowski الفائق المقابل، منظوراً إليه بوصفه زمرة لي فائقة للانتقالات. والشكل القانوني اليساري الثابت من الدرجة 1 على $\mathbb{R}^{d-1,1|N}$ يرمز إليه تقليدياً بـ $E = (E^a, \psi^\alpha)_{a,\alpha}$ ، حيث يمتد $a$ على عناصر أساس خطية لـ $\mathbb{R}^d$ ويمتد $\alpha$ على أساس لفضاء التمثيل الخطي $N$ . ولجعل العبارات دقيقة، ليكن إذن $(d,N,p)$ بنداً في مسح البرانات القديم، أي ليكن $p \in \mathbb{N}$ بحيث إن

$\omega_{\mathrm{WZW}} := \overline{\psi} \wedge \Gamma_{a_1 \cdots a_p} \psi \wedge E^{a_1} \wedge \cdots \wedge E^{a_p} \in \Omega^{p+2}_{\mathrm{cl}}(\mathbb{R}^{d-1,1|N})$

سنن لجبر لي فائق من الشكل المعطى (انظر [21] للمراجعة والتفاصيل). وهذا هو حد انحناء WZW لنموذج سيغما Green-Schwarz للبرانات الفائقة $p$ المنتشرة على $\mathbb{R}^{d-1,1|N}$ .

فمثلاً من أجل $d = 10$ و $p = 1$ و $N = (2,0) = \mathbf{16} + \mathbf{16}$ يوجد سنن كهذا، وهو يشكل شكل الانحناء 3 لحد WZW ذي تناظر $\kappa$ للوتر الفائق من النمط IIB على خلفية Minkowski. وبصورة أعم، ليكن $X$ متشعباً فائقاً أعم ممثلاً محلياً على $\mathbb{R}^{d-1,1|N}$ ومزوداً بحقل vielbein فائق (شكل تلحيم فائق) $E$ وحقول أخرى ذات صلة، بما في ذلك شكل فائق $(p+2)$ $\omega$ . عندئذ تقيّد معادلات الحركة للجاذبية الفائقة $d$ -الأبعادية ذات التناظر الفائق $N$ حقل vielbein بحيث يكون الجزء الفرميوني $\omega^X_{\mathrm{WZW}}$ من $\omega^X$ هو السحب الخلفي لـ $\omega_{\mathrm{WZW}}$ عبر $E$ [9, 10].

وباتباع مصطلحات مألوفة من نظرية متشعبات $G_2$ ، يمكننا التعبير عن ذلك بالقول إن $\omega^X_{\mathrm{WZW}}$ هو شكل محدد، معرِّف على $\omega_{\mathrm{WZW}}$ . ويمكننا النظر إلى الزوج $(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})$ بوصفه متشعباً فائقاً قبل- $(p+1)$ -بلكتيكياً وفق التعريف 2.2. وبهذه الصفة يستحث جبر لي الفائق $(p+1)$ لقوس بواسون الأعلى $\mathfrak{Pois}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})$ ، كما في التعريف 2.6، والتعريف 2.7، والملاحظة 2.8.

إن حقيقة أن معادلات حركة الجاذبية الفائقة تفرض أن يكون $\omega^X_{\mathrm{WZW}}$ محدداً على $\omega_{\mathrm{WZW}}$ تعني أن تساويات $X$ تحفظ $\omega^X_{\mathrm{WZW}}$ ، ومن ثم فإن حقول متجهاتها ‘الفائقة’ (متجهات Killing وسبينورات Killing) هي حقول متجهات $(p+1)$ -بلكتيكية بالمعنى الوارد في التعريف 2.2. ولا يوجد ضمان بأن كل تساوٍ بالنسبة إلى حقل vielbein المعطى يحفظ $\theta$ حتى تحويل معياري؛ أما تلك التي تفعل ذلك فهي بالضبط التساويات الهاميلتونية بالمعنى الوارد في التعريف 2.2. اكتب

$\mathfrak{Isom}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}}) \hookrightarrow \mathrm{Vect}_{\mathrm{Ham}}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})$

لاحتواء هذه في كل حقول المتجهات الهاميلتونية

تعريف 5.1.

واكتب $\mathfrak{BPS}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})$ لتقييد جبر لي $(p+1)$ للتيارات $\mathfrak{Pois}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})$ (التعريف 2.6، التعريف 2.7، الملاحظة 2.8) لـ $\omega^X_{\mathrm{WZW}}$ على التساويات، أي للجبر الفائق $L_\infty$ في مخطط السحب الخلفي الهوموتوبي

ما يأتي يعيد إنتاج النتيجة في [2, p.8] ويعممها.

قضية 5.2.

إن اقتطاع 0 إلى جبر لي فائق $\tau_0 \mathfrak{BPS}(X,\omega)$ هو الامتداد المركزي لجبر التناظر الفائق لـ $X$ بواسطة شحنات البرانات $p$ التي تلتف حول دورات غير تافهة.

البرهان. ينتج هذا، عبر الملاحظة 3.6، من القضية 3.4، التي تعطي امتداداً

$H^{p}_{dR}(X) \to \tau_0 \mathfrak{BPS}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})\to \mathfrak{Isom}(X,\omega^X_{\mathrm{WZW}})\;,$

مصنفاً بواسطة $\omega^X_{\mathrm{WZW}}(-,-)$ . والعناصر في $H^{p}_{\mathrm{dR}}(X)$ هي شحنات البرانات $p$ . $\Box$

ومن ثم تكون لدينا الصورة الآتية

\left\{\raisebox{20.0pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 7.53471pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-7.53471pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 54.081pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.% 75pt\hbox{$\scriptstyle{\phi}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 54.41641pt\raise-3.0pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 11% 0.79811pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 12.11697% pt\raise-25.56776pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.70833pt\hbox{$\scriptstyle{\mathbf{L}_{% \mathrm{WZW}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{% \hbox{\kern 34.88347pt\raise-21.04556pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{% \ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 41.51659pt% \raise-27.34778pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern 56.16641pt\raise 0.0pt\hbox% {\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 110.79811pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0% pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{X% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}% }\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 85.15364pt\raise-25.56776% pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise-1.70833pt\hbox{$\scriptstyle{\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}}$}}}% \kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 76.8276pt\raise-27.34778pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{% \hbox{\kern 31.53471pt\raise-38.98553pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{B}^{p+1}U(1)_{% \mathrm{conn}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \hbox{\kern 0.67857pt\raise-0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.678% 57pt\raise 0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 48.96408pt\raise-16.64589pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.62312pt% \hbox{$\scriptstyle{\simeq}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 40.28514pt\raise-6.83528pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.8264pt\hbox% {$\scriptstyle{\mathbf{\eta}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 42% .87956pt\raise-18.04556pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1% .5}\lx@xy@tip{-1.5}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.67857pt% \raise-0.73453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.67857pt\raise 0.73453pt% \hbox{\lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces{\hbox{\hbox{\kern 0.67857pt\raise-0.73% 453pt\hbox{\lx@xy@drawline@}}\hbox{\kern-0.67857pt\raise 0.73453pt\hbox{% \lx@xy@drawline@}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces}\;,\hskip 14.22636pt\omega_% {\mathrm{WZW}}^{X}=F_{\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}}\right\}\,\stackrel{{% \scriptstyle\mathrm{Lie}}}{{\mapsto}}\raisebox{42.0pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 38.62999pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr\\\\\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-19.60277pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{H_{\rm dR}^{p}(X)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{% \hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-29.76942pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-38.62999pt\raise-40.2694% 2pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox% {$\textstyle{\tau_{0}{\mathfrak{Poiss}}(X,\omega_{\mathrm{WZW}}^{X})% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% {\hbox{\kern 0.0pt\raise-69.76942pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule% }}{\hbox{\kern-34.39145pt\raise-80.26942pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathfrak{Isom}(X,\omega_% {\mathrm{WZW}}^{X})}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces}

هذه هي امتدادات التناظر الفائق المستحثة من نوع براني واحد، كما درست أصلاً في [2]. لكن من المفترض أن ينشأ “جبر النمط II” و“جبر نظرية M” [41, 24] من النظر ليس فقط في الأوتار والأغشية، بل أيضاً في البرانات التي قد تنتهي عليها هذه، أي برانات D والبرانة M5، على الترتيب. وبصورة لافتة، يعطى جبر التناظر الفائق لنظرية M على المولدات الفرميونية في التدوين المحلي التقليدي بالمركبات على صورة [41, 4]

\{Q_{\alpha},Q_{\beta}\}=(C\Gamma^{M})_{\alpha\beta}P_{M}+(C\Gamma_{MN})_{% \alpha\beta}Z_{2}^{MN}+(C\Gamma_{MNPQR})_{\alpha\beta}Z_{5}^{MNPQR}\;,

(4)

حيث $C$ هي مصفوفة اقتران الشحنة و $\Gamma$ هي مصفوفات Dirac. والحدود الثلاثة في الطرف الأيمن تقابل شحنة شكل عزم الغرافيتون 1، وشحنة شكل الغشاء 2، وشحنة شكل البرانة الخماسية 5. لاحظ مرة أخرى أن هذا التعبير التقليدي لا ينطبق إلا محلياً، على رقع من الزمكان متشاكلة تفاضلياً مع زمكان Minkowski الفائق.

أما التحليل العالمي الصحيح لـ [2, p.8] وللقضية 5.2 فلا ينتج قط إلا امتدادات بواسطة شحنات نوع براني واحد بلا حقول معيارية عليا على حجم عالمه. لكننا أوضحنا في [21, 22, 39] أن نماذج سيغما من نمط WZW للبرانات الفائقة $p_2$ ذات الحقول المعيارية العليا على حجم عالمها والتي قد تنتهي عليها البرانات الفائقة $p_1$ ، لا تُعرّف عالمياً على الزمكان الفائق الهدف $X$ نفسه، بل على الفضاء الكلي $\widetilde{\hat{X}}$ لامتداد رصة فائقة $p_1$ $\widetilde{\hat{X}}\to X$ للزمكان الفائق، وهو نفسه تنقيح تفاضلي للجيرب $p_1$ $\hat{X}$ الكامن وراء حد WZW للبرانات $p_1$ . وعلاوة على ذلك، بينّا في [16] أن امتدادات Heisenberg-Kostant-Souriau العليا في الملاحظة 2.11 تتعمم إلى فضاءات قاعدية رصية عليا كهذه. ويتبع ذلك تخطيطياً من الصورة الآتية، والتفاصيل الكاملة في [38, 39]:

\left\{\raisebox{60.0pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 22.03783pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&&\\&&\\&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-5.7777% 9pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt% \raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hat{X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% {\hbox{\kern 0.0pt\raise-27.19446pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule% }}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}% {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{}\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{% }{}{{}}{{}{}{}}{}}}}\ignorespaces{}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern-22.03783pt\raise-77.75717pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.13889pt% \hbox{$\scriptstyle{\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}^{p_{2}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 31.54062pt% \raise-105.78229pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{}{% }{{}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}\ignorespaces{}\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{}{{}}{{}{}{}}{}}}}\ignorespaces{}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 54.24419pt\raise 4.62312pt\hbox{{}\hbox% {\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1% .62312pt\hbox{$\scriptstyle{\simeq}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{% \kern 114.15504pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule% }}{\hbox{\kern 56.96642pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{% \hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 114.15504% pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{\hat{X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% }$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 119.93283pt\raise-27.19446pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{}% \ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{}{{}}{{}{}{}}{}}}}% \ignorespaces{}\ignorespaces{}{}{}{{}{}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 1% 20.92897pt\raise-77.75717pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{% \kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.13889pt\hbox{$\scriptstyle{\mathbf{% L}_{\mathrm{WZW}}^{p_{2}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{}{}{}{{}{}{}{}{}{% }{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{\hbox{\kern 88.39232pt\raise-105.78229pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{}{}{{}}{{}{}{}\lx@xy@spline@}{}}}}% \ignorespaces{}\ignorespaces\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{{}{}{{}}{% {}{}{}}{}}}}\ignorespaces{}{\hbox{\kern-7.53471pt\raise-37.02777pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{X% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 54.24419pt\raise-32.40465pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.62312pt% \hbox{$\scriptstyle{\simeq}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\kern 55.21642pt\raise-40.02777pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 11% 2.39812pt\raise-37.02777pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{% 1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{% \lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\kern 22.46236pt\raise-56.52054pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise-2.13889pt\hbox{$\scriptstyle{\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}% ^{p_{1}}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}% \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 35.38754pt\raise-58.10428% pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\scriptstyle{\ }$}}}\kern 3.0pt}}}}}}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 42.07791pt\raise-64.37555pt\hbox{\hbox{% \kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{% \hbox{\kern 56.96642pt\raise-37.02777pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt% \hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 112% .39812pt\raise-37.02777pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3% .0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}% \ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\kern 8% 5.95589pt\raise-56.52054pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.13889pt\hbox{$% \scriptstyle{\mathbf{L}^{p_{1}}_{\mathrm{WZW}}}$}}}}}\ignorespaces% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\kern 77.86627pt% \raise-64.37555pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}% \lx@xy@tip{-1}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}% \ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-76.0133pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 31.53471pt\raise-76.0133pt\hbox{\hbox{\kern 0% .0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{B% }^{p_{1}+1}U(1)_{\mathrm{conn}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{% \hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 59.96642pt\raise-105.5133pt% \hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{% \hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-3.0pt\raise-117.15% 106pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt% \hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern 31.53471pt\raise-117.15106pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$% \textstyle{\mathbf{B}^{p_{2}+1}U(1)_{\mathrm{conn}}}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}% \ignorespaces}\right\}\stackrel{{\scriptstyle\simeq}}{{\mapsto}}\raisebox{48.0% pt}{ \lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 36.33028pt\hbox{\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{% \entry@#!@&&\entry@@#!@\cr\\\\\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-16.43793pt% \raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0% .0pt\hbox{$\textstyle{H^{p_{2}}(\widetilde{\hat{X}})\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2% 9.49998pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}% }}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-36.33028pt% \raise-40.53885pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt% \raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\tau_{0}\mathfrak{Poiss}(\widetilde{\hat{X}},% \mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}^{p_{2}})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces% \ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{% \hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-70.03883pt\hbox{% \hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{% \lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-32.09174pt\raise-81.0777% pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{% $\textstyle{\mathfrak{Isom}(\widetilde{\hat{X}},\mathbf{L}_{\mathrm{WZW}}^{p_{% 2}})}$}}}}}}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces}\,.

(كل الخلايا 2 على اليسار مملوءة بهوموتوبيات للرُّصص العليا. ونحذفها من التدوين لمجرد الملاءمة وسهولة القراءة.)

هنا يكون التنقيح التفاضلي $\widetilde{\hat{X}}$ لـ $\hat{X}$ هو ما يجعل حقل نموذج سيغما $\Sigma_{p_{2}}\longrightarrow\widetilde{\hat{X}}$ زوجاً يتكون من تطبيق عادي إلى الزمكان الهدف $\Sigma_{p_2} \longrightarrow X$ مع حقل معياري شكلي $p_1$ ملتوي على $\Sigma_6$ . وهذا هو النموذج العالمي للبرانات الفائقة $p$ ذات حقول معيارية عليا من مضاعف التنسور على حجم عالمها.

ومع أن هذا ضروري للصورة الكاملة، فإن زمرة التساويات والتماثل المشترك لـ $\widetilde{\hat{X}}$ يصعب حسابهما. لكن توجد خريطة نسيان قانونية $\widetilde{\hat{X}}\to{\hat{X}}$ إلى التحقق الهندسي لهذه الرصة التفاضلية (منظوراً إليه نفسه كرصة ثابتة محلياً، انظر [38] للتفاصيل). وبدمج نتائج [38] و[29]، يجد المرء في الحالة قيد النظر أن $\hat{X}$ هو النمط الهوموتوبي لحزمة الألياف $K(\mathbb{Z},p_1+1)$ فوق الزمكان $X$ المصنفة بواسطة الصنف الصحيح لحقل الخلفية الخاص بالبرانة $p_1$ . نحسب الآن التماثل المشترك لذلك التحقق الهندسي. وفي نقاش كامل سيتعين على المرء سحب نتيجة الحساب الآتي إلى الخلف على طول الخريطة أعلاه إلى $\widetilde{\hat{X}}$ ، وقد تعطي نواة وخارج نواة خريطة السحب هذه تصحيحات إضافية أخرى لشحنات البرانات.

نتخصص في الحالة $p_1 = 2$ و $p_2 = 5$ الموافقة لبرانات M5 المنتشرة في مكثف برانات M2 [21]. أولاً، لننظر في التماثل المشترك للّيف $K({\mathbb{Z}},3)$ . على المستوى الصحيح، هذا معروف لكنه ذو بنية معقدة. وبدلاً من ذلك سننظر في التماثل المشترك النسبي المقابل، وهو أيسر تناولاً بكثير. وبالفعل، ينتج مباشرة من مبرهنة Hurewicz ومبرهنة المعامل الكلي أن

H^{k}(K({\mathbb{Z}},3);{\mathbb{Q}})=\left\{\begin{array}[]{ll}{\mathbb{Q}}&{% \rm for}~{}k=0,3\;,\\ 0&\mbox{otherwise}\;.\end{array}\right.

عند إعطاء متتالية الألياف الهوموتوبية

تأخذ متتالية Serre الطيفية للتماثل المشترك الشكل

E_{2}^{p,q}=H^{p}(X);H^{q}(K({\mathbb{Z}},3))\Rightarrow H^{p+q}(\hat{X})\;.

ومن التماثل المشترك للّيف المحدد أعلاه، نرى أن $q$ يجب أن يكون إما 0 أو 3 كي يساهم. التفاضل الملائم $d_{r}:E_{2}^{p,q}\to E_{2}^{p+r,q-r+1}$ هو إذن $d_{4}$ ، وهو يرفع درجة التماثل المشترك بمقدار 4.

لذلك فإن امتداد شحنات البرانات للتساويات الفائقة ذات 11 بعداً يكون، نسبياً، بواسطة $H^{5}(\hat{X})$ ، وبحسب متتالية Serre الطيفية يكون هذا هو التماثل المشترك الأوسط لـ

H^{1}(X)\stackrel{{\scriptstyle(0,d_{4})}}{{\longrightarrow}}H^{2}(X)\oplus H^% {5}(X)\stackrel{{\scriptstyle(d_{4},0)}}{{\longrightarrow}}H^{6}(X)\,,

(5)

حيث $d_{4}=[G_{4}]\cup(-)$ هو الجداء الكأسي مع الصنف ذي الدرجة 4 لحقل C. وبالنسبة إلى حقول C الالتوائية فإن هذا ينعدم نسبياً، ومن ثم يصل المرء إلى نتيجة أن امتداد جبر لي الفائق لنظرية M يكون بواسطة شحنات برانية في $H^{2}(X)\oplus H^{5}(X)$ ، موافقاً لنتيجة الحجة في [40]. أما بالنسبة إلى حقول C غير الالتوائية، أو عند النظر لا نسبياً فقط، فتوجد تصحيحات على هذه العبارة بواسطة نواة وخارج نواة $d_{4}$ . لاحظ أن هذه التصحيحات تماثل مباشرة التصحيح بواسطة نواة وخارج نواة تفاضل $d_{3}$ في متتالية Atiyah-Hiruebruch الطيفية، الذي يظهر عند تنقيح شحنات D-برانية من التماثل المشترك العادي إلى نظرية K الملتوية [26, (3.2), (3.6)]. وإن القول بأن شحنات البرانات 5 ينبغي أن تكون بهذه الطريقة في نظرية تماثل مشترك ملتوية من الدرجة 4 قد اقتُرح سابقاً في [35, section 8] ونوقش ذلك أكثر في [22].

References

1 R. D’Auria and P. Fré, Geometric supergravity in $D=11$ and its hidden supergroup, Nucl. Phys. B 201 (1982), 101–140, ncatlab.org/nlab/files/GeometricSupergravity.pdf
2 J. A. de Azcárraga, J. Gauntlett, J. Izquierdo, and P. Townsend, Topological extensions of the supersymmetry algebra for extended objects, Phys. Rev. Lett. 63 (1989), 2443, inspirehep.net/record/26393
3 J. A. de Azcárraga, J. Izqierdo, Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and Some Applications in Physics, Cambridge Monographs of Mathematical Physics, (1995)
4 D. Alekseevsky, V. Cortés, C. Devchand, A. Van Proeyen, Polyvector Super-Poincaré Algebras, Commun. Math. Phys. 253 (2004) 385–422, arXiv:hep-th/0311107
5 M. F. Atiyah. G. Segal, Twisted K-theory and cohomology, arXiv:math/0510674
6 J. Baez, C. Rogers, Categorified symplectic geometry and the string Lie 2-algebra, Homology Homotopy Appl. 12 (2010), 221–236, arXiv:0901.4721
7 G. Barnich, R. Fulp, T. Lada, J. Stasheff, The sh Lie structure of Poisson brackets in field theory, Commun. Math. Phys. 191 (1998), 585–601, arXiv:hep-th/9702176
8 G. Barnich, M. Henneaux, Isomorphisms between the Batalin-Vilkovisky antibracket and the Poisson bracket, J. Math. Phys. 37 (1996), 5273–5296, arXiv:hep-th/9601124
9 E. Bergshoeff, E.Sezgin, P. Townsend, Superstring actions in $D=3,4,6,10$ curved superspace, Phys. Lett. B169 (1986), 191–196.
10 E. Bergshoeff, E.Sezgin, P. Townsend, Supermembranes and eleven dimensional supergravity, Phys. Lett. B189 (1987), 75–78, streaming.ictp.trieste.it/preprints/P/87/010.pdf
11 J.-L. Brylinski, Loop spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization, Birkhäuser (1993).
12 A. Callister, D.Smith, Topological BPS charges in 10 and 11-dimensional supergravity, Phys. Rev. D78 (2008), 065042, arXiv:0712.3235
13 C. Chryssomalakos, J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo, J. C. Peŕez Bueno, The geometry of branes and extended superspaces, Nucl. Phys. B 567(2000), 293–330, arXiv:hep-th/9904137
14 L. Dickey, Soliton equations and Hamiltonian systems, Advanced Series in Mathematical Physics, Vol. 12, World Scientific (1991).
15 M. Ferraris, M. Palese, E. Winterroth, Local variational problems and conservation laws Differential Geometry and its Applications 29 (2011) S80-S85
16 D. Fiorenza, C. L. Rogers, U. Schreiber, Higher $U(1)$ -gerbe connections in geometric prequantization, Rev. in Math. Phys., Volume 28, Issue 06, July 2016 arXiv:1304.0236
17 D. Fiorenza, C. L. Rogers, U. Schreiber, $L_\infty$ -algebras of local observables from higher prequantum bundles, Homology, Homotopy and Applications, 16 (2014), 107–142, arXiv:1304.6292
18 D. Fiorenza, H. Sati, U. Schreiber, Extended higher cup-product Chern-Simons theories, J. Geom. Phys. 74 (2013), 130–163, arXiv:1207.5449
19 D. Fiorenza, H. Sati, U. Schreiber, The $E_{8}$ moduli 3-stack of the C-field in M-theory, Commun. Math. Phys. 333, 1 (2015),117-151, [arXiv:1202.2455].
20 D. Fiorenza, H. Sati, U. Schreiber, A higher stacky perspective on Chern-Simons theory, in Damien Calaque et al. (eds.) Mathematical Aspects of Quantum Field Theories Springer 2014, arXiv:1301.2580
21 D. Fiorenza, H. Sati, U. Schreiber, Super Lie $n$ -algebra extensions, higher WZW models and super p-branes with tensor multiplet fields, Intern. J. Geometric Methods Mod. Phys. 12 (2015) 1550018, arXiv:1308.5264
22 D. Fiorenza, H. Sati, U. Schreiber, The WZW term of the M5-brane and differential cohomotopy, J. Math. Phys. 56, 102301 (2015) arXiv:1506.07557
23 M. Henneaux, L. Mezincescu, A Sigma model interpretation of Green-Schwarz covariant superstring action, Phys. Lett. B152 (1985) 340–342, inspirehep.net/record/15922
24 C. Hull, Gravitational duality, branes and charges, Nucl. Phys. B509 (1998) 216–251, arXiv:hep-th/9705162
25 T. Lada, J. Stasheff, Introduction to sh Lie algebras for physicists, Int. J. Theo. Phys. 32 (1993) arXiv:hep-th/9209099
26 J. Maldacena, G. Moore, N. Seiberg, D-Brane instantons and K-theory charges, JHEP 0111 (2001) 062, arXiv:hep-th/0108100
27 M. Markl, S. Shnider, Differential operator endomorphisms of an Euler-Lagrange complex, Contemporary Mathematics, Volume 231, 1999
28 J. Mickelsson, Current Algebras and Groups, Springer, 1989.
29 D. Pavlov, D. Berwick-Evans and P. Boavida de Brito Concordance theory for homotopy sheaves in preparation
30 A. Pressley, G. Segal, Loop groups, Oxford University Press (1988).
31 P. Ritter, C. Saemann, Lie 2-algebra models, JHEP 04 (2014) 066 arXiv:1308.4892
32 C. Rogers, $L_\infty$ -algebras from multisymplectic geometry, Lett. Math. Phys. 100 (2012), 29–50, arXiv:1005.2230.
33 H. Sati, Duality symmetry and the form fields of M-theory, J. High Energy Phys. 0606 (2006) 062, arXiv:hep-th/0509046
34 H. Sati, An approach to anomalies in M-theory via KSpin, J. Geom. Phys. 58 (2008), 387--401, arXiv:0705.3484
35 H. Sati, Geometric and topological structures related to M-branes, part I, Proc. Symp. Pure Math. 81 (2010), 181--236, arXiv:1001.5020
36 H. Sati, U. Schreiber, J. Stasheff, L_∞-algebra connections and applications to String- and Chern-Simons $n$ -transport, In Recent developments in QFT, 303--424, Birkhäuser (2009), arXiv:0801.3480
37 G. Segal, Loop groups, people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/BFb0084581/chapter08.pdf
38 U. Schreiber, Differential cohomology in a cohesive topos, arXiv:1310.7930,
ncatlab.org/schreiber/show/differential+cohomology+in+a+cohesive+topos
39 U. Schreiber, Structure theory for higher WZW terms, lecture notes accompanying a minicourse at: H. Sati (org.) Flavors of cohomology, Pittsburgh, June 2015
ncatlab.org/schreiber/show/Structure+Theory+for+Higher+WZW+Terms
40 D. Sorokin, P. Townsend, M-theory superalgebra from the M-5-brane, Phys. Lett. B412 (1997) 265--273, arXiv:hep-th/9708003
41 P. Townsend, $p$ -Brane democracy, in Particles, Strings and Cosmology, eds. J. Bagger, G. Domokos, A Falk and S. Kovesi-Domokos , pp.271-285, World Scientific, 1996, arXiv:hep-th/9507048
42 A. Vinogradov, J. Krasilshchik et al, Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, vol. 182 of Translations of Mathematical Monographs, AMS (1999)

جبور لي لشحنات BPS