حساء الحلقات غير المرتدة والميكانيكا الإحصائية على شبكات اللف

الملخص

نقدّم وندرس حقلاً ماركوفياً على حواف رسم بياني $𝒢$ في البعد $d\ge 2$ تكون تشكيلاته شبكات لف. ينشأ هذا الحقل طبيعياً بوصفه حقل إشغال الحواف لنموذج بواسوني (حساء) من الحلقات والمسيرات غير المرتدة المتّسم بخاصية ماركوفية مكانية مفادها أنه، شرطياً على قيمة حقل إشغال الحواف على مجموعة حدية، تكون توزيعات الحلقات والأقواس على جانبي الحد مستقلة بعضها عن بعض. للحقل توزيع غيبس بهاملتوني معطى بمجموع حدود لا تتضمن إلا الحواف الواقعة على الرأس نفسه. ويمكن حساب كثافة طاقته الحرة وكميات أخرى حساباً مضبوطاً، وتحليل سلوكها الحرج، في أي بعد.

1. مقدمة

كثافة الطاقة الحرة أداة مهمة وأحد موضوعات الدراسة الرئيسة في الميكانيكا الإحصائية، إذ يمكن التعبير عن الدوال الثرموديناميكية بدلالة مشتقاتها. وبناءً على ذلك، أدت النماذج التي يمكن حساب كثافة طاقتها الحرة حساباً مضبوطاً دوراً حاسماً في تطور الميكانيكا الإحصائية. ولعل المثال الرئيس هو نموذج آيزنغ ثنائي البعد، الذي اشتق أونساغر كثافة طاقته الحرة على نحو شهير. غير أن هذه الحالة نادرة ومحصورة عادة في البعدين واحد واثنين، كما في حالة نموذج آيزنغ.

في هذه الورقة، نعرّف وندرس حقلاً ماركوفياً يمكن حساب كثافة طاقته الحرة حساباً مضبوطاً في أي بعد. ينشأ الحقل طبيعياً بوصفه حقل إشغال الحواف لنموذج عشوائي من الحلقات والمسيرات غير المرتدة، غير أنه لا يبدو أنه دُرس من قبل. ظهرت مثل هذه النماذج الحلقية العشوائية أولاً في عمل سيمانزيك [Sym1971] حول نظرية الحقول الإقليدية، ويمكن استخدامها لإثبات «تفاهة» (أي الطبيعة الغاوسية) الحقول الإقليدية في البعد الخامس وما فوق [Aizenman1981]. وتظهر نسخة شبكية في عمل Brydges وFröhlich وSpencer [BFS]، حيث يطورون تمثيلاً بالسير العشوائي لأنظمة اللف، ويستخدمونه لإثبات متباينات الارتباط. ويسمح للحلقات التي تظهر في عمل Brydges وFröhlich وSpencer بالارتداد.

مثال نموذجي لنموذج في الميكانيكا الإحصائية تتطابق دالة تقسيمه مع دالة تقسيم نموذج حلقي هو حقل غاوس الحر المتقطع، إذ يمكن التعبير عن دالة تقسيمه بسهولة بوصفها دالة التقسيم العظمى القانونية لغاز شبكي «مثالي» من الحلقات، أي لتجميع بواسوني من الحلقات الشبكية. وهذه حالة خاصة من تمثيل السير العشوائي لدى Brydges وFröhlich وSpencer [BFS]. وفي هذه الحالة، تنعكس التفاهة الواضحة لحقل غاوس الحر في الطبيعة البواسونية لتجميع الحلقات. وبوجه عام، فإن تجميعات المسارات والحلقات العشوائية التي تظهر في عمل Brydges وFröhlich وSpencer ليست بواسونية: إذ «يمال» توزيع بواسون الأساسي بواسطة كمون هو دالة في حقل الإشغال الذي تولده الحلقات والمسارات العشوائية على رؤوس الشبكة. وهذا يوحي بأن حقل الإشغال لتجميع بواسوني من الحلقات موضوع جدير بالدراسة. ومثل هذا الحقل هو موضوع الاهتمام الرئيس في هذه الورقة، وإن كنا ننظر إلى إشغال الحواف وتملك حلقاتنا شرطاً بعدم الارتداد غير موجود في عمل Brydges وFröhlich وSpencer.

أعيد اكتشاف التجميع البواسوني للحلقات الضمني في عمل سيمانزيك على يد Lawler وWerner [LawWer] في صلة بالثبات المطابق وتطور Schramm-Loewner (SLE)، وسُمّي حساء الحلقات البراونية. وقد قدم Lawler وTrujillo Ferreras نسخة متقطعة، تُسمّى حساء حلقات السير العشوائي [LawTru]، ودرسها Le Jan دراسة واسعة [Lej10, lejan11]، فاكتشف صلة بين حقل إشغال الرؤوس في حساء الحلقات وبين مربع حقل غاوس الحر المتقطع. ولقيمة معينة لشدة عملية بواسون، يكون حساء حلقات السير العشوائي بالضبط نموذج الحلقات الشبكي المذكور أعلاه، الذي تتطابق دالة تقسيمه مع دالة تقسيم حقل غاوس الحر المتقطع (حتى ثابت ضربي).

في هذه الورقة، نضيف مكوّناً خاصاً إلى وصفة حساء الحلقات: شرط عدم الارتداد على الحلقات. ويتبيّن أن دالة تقسيم حساء الحلقات غير المرتدة لا تزال قابلة للربط بدالة تقسيم حقل غاوس الحر، غير أن الرابط أقل مباشرة في هذه الحالة، ويستخدم البرهان صلة بدالة زيتا لإيهارا (الحافية) [Hashimoto1989, Ihara1966, ST1996, WaFu2009], كما يوضح القسم 4.

نبيّن أن حساء الحلقات غير المرتدة يتمتع بـ خاصية ماركوفية مكانية، تُناقش في القسم التالي. ونتيجة لهذه الخاصية، يستحث حساء الحلقات حقل إشغال ماركوفياً على حواف الشبكة أو الرسم البياني الذي يُعرّف عليه، وهذا بدوره يقتضي أن للحقل توزيع غيبس. وبصورة لافتة، يمكن كتابة الهاملتوني صراحة ويظهر أنه مجموع حدود محلية، كما يمكن حساب دالة التقسيم وكثافة الطاقة الحرة لحقل الإشغال كلها حساباً مضبوطاً في أي بعد. تعتمد هذه الحسابات على حقيقة أنه، في هذا الحساء كما في أي حساء حلقات، يمكن كتابة دالة التقسيم بدلالة محدد. وفي الحالة الثابتة بالانتقال، يمكن حساب المحدد ذي الصلة، وكتابة كثافة الطاقة الحرة للحقل بصيغة مغلقة على الطارة ذات البعد $d$ من أجل أي $d$، كما ذُكر في بداية هذه المقدمة.

وعلى الرغم من اختلاف ثابت الانتشار، فإن السير العشوائي غير المرتد يحقق مبرهنة حد مركزي دالية مثل السير العشوائي البسيط [FH2013]. لذلك، في بعدين، ينبغي أن يكون نموذج الحلقات غير المرتدة في حد القياس مرتبطاً بحساء الحلقات البراونية لـ Lawler وWerner، ومن ثم بـ SLE. غير أنه، بالنظر إلى الدور الذي أدته النماذج القابلة للحل ضبطاً في بعد واحد وبعدين، قد يكون النموذج الذي نقدمه في هذه الورقة أكثر إثارة للاهتمام في الأبعاد الأعلى، إذ قد يقدّم بعض البصيرة في السلوك الحرج في ثلاثة وأربعة أبعاد، حيث لا يؤدي الثبات المطابق الدور نفسه الذي يؤديه في بعدين.

ومن الجدير أيضاً ذكر الصلة المثيرة بـ شبكات اللف، وهو مفهوم أدخله R. Penrose [Pen71] وله تطبيقات في الجاذبية الكمية [RovSmo] ويظهر أيضاً في نظرية الحقول الكمية المطابقة والطوبولوجية (انظر، مثلاً، [Crane1991243, crane1991]). إن حساء الحلقات غير المرتدة المدروس في هذه الورقة يولّد تشكيلات شبكات لف ذات توزيع غيبس معين، ولذلك يمكن حقاً النظر إليه كنموذج في الميكانيكا الإحصائية على شبكات اللف.

2. مناقشة النتائج الرئيسة

نعرّف وندرس نموذجاً بواسونياً للحلقات والأقواس غير المرتدة على رسوم بيانية في البعد $d\ge 2$، وحقل إشغال الحواف المرافق، المعطى بعدد الزيارات إلى كل حافة من قبل مجموعة الحلقات والأقواس. وباعتماد لغة [LawWer] و[LawlerLimic]، نشير إلى هذا النموذج باسم حساء الحلقات، على الرغم من أن «الحساء» يحتوي عموماً على حلقات وأقواس تبدأ وتنتهي عند حواف حدية. وللتبسيط، نركز في هذا القسم على الحلقات فقط؛ وترد التعريفات الدقيقة والأعم في القسم التالي.

لننظر في رسم بياني بسيط متصل $𝒢=(V,E)$ ولنقرن وزناً موجباً $x_e$ بكل حافة $e\in E$. الحلقة (غير المرتدة) $\mathrm{\ell }$ هي سير مغلق على حواف $𝒢$ منظور إليه حتى الإزاحات الدورية والعكس. يقال إن للحلقة تعددية $m_{\mathrm{\ell }}$ إذا أمكن الحصول عليها بوصفها تسلسلاً لعدد $m_{\mathrm{\ell }}$ من نسخ الحلقة نفسها، وكانت $m_{\mathrm{\ell }}$ هي أكبر عدد من هذا القبيل. وتُعطى حلقة $\mathrm{\ell }$ ذات تعددية $m_{\mathrm{\ell }}$ الوزن $\mu (\mathrm{\ell })=\frac{1}{m_{\mathrm{\ell }}}\prod x_e$، حيث يؤخذ الجداء على جميع الحواف التي تجتازها $\mathrm{\ell }$. حساء الحلقات $ℒ$ المدروس في هذه الورقة هو عملية بواسون نقطية على فضاء الحلقات غير المرتدة ذات قياس شدة $\mu$. وحقل إشغال الحواف $N_{ℒ}={(N_{𝒮}(e))}_{e\in E}$ الذي يستحثه حساء الحلقات معطى بالعدد الكلي لزيارات الحلقات إلى كل حافة من $𝒢$.

تتعلق نتائجنا الرئيسة بكل من حساء الحلقات نفسه وحقل إشغال الحواف المستحث.

1. يمتلك حساء الحلقات خاصية ماركوفية مكانية مفادها أنه، شرطياً على قيمة حقل إشغال الحواف على مجموعة حدية، تكون توزيعات الحلقات والأقواس على جانبي الحد مستقلة بعضها عن بعض (المبرهنة 3.3).

2. يمتلك حقل إشغال الحواف توزيع غيبس (المبرهنة 3.1) يمكن كتابة هاملتونيه صراحة (المعادلة (3.1)) ويمكن التعبير عن دالة تقسيمه على النحو

   $Z={\displaystyle \sum _N}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{C}_v{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}},$

   حيث يمتد المجموع على جميع تشكيلات شبكات اللف [Pen71] ‏$N$ وتكون $C_v=C_v(N)$ دالة مناسبة في ${(N(e))}_{e\ni v}$.

3. يمكن التعبير عن دالة التقسيم بمحدد وربطها بدالة زيتا لإيهارا وبدالة تقسيم حقل غاوس الحر المتقطع (القسم 4).

4. في الحالة المتجانسة، $x_e\equiv x$، على رسم بياني $d$-منتظم منته، تكون إذا وتتباعد $Z$ من أجل $x=1/(d-1)$ (النتيجة 4.4).

في حالة الأوزان الثابتة بالانتقال $x_e$ على الطارة ذات البعد $d$، لدينا النتائج المضبوطة الآتية.

1. يمكن حساب دالة تقسيم حقل الإشغال صراحة في أي بعد $d\ge 2$ (النتيجة 5.2).

2. يمكن حساب كثافة الطاقة الحرة $f$ لحقل الإشغال على ${\mathbb{Z}}^d$ صراحة من أجل أي بعد $d\ge 2$ بوصفها الحد الثرموديناميكي لكثافة الطاقة الحرة على الطارة ذات البعد $d$ (النتيجة 5.3).

في الحالة المتجانسة، $x_e=x\forall e\in E$، لدينا النتائج المضبوطة الآتية على ${\mathbb{Z}}^d$.

1. تكون كثافة الطاقة الحرة ذات البعد $d$، وهي $f(x)$، منتهية من أجل ، ولها شذوذ عندما $x\nearrow 1/(2d-1)$ يعتمد على البعد $d$ (النتيجة 5.4).

2. تتناقص دالة النقطتين المبتورة أسياً من أجل (النتيجة 7.3).

تبيّن النقطتان (7) و(8) أن حقل إشغال الحواف يخضع لانتقال طوري حاد وأن النقطة الحرجة يمكن حسابها صراحة وتحليل السلوك الحرج للرسوم البيانية والشبكات الدورية. ويتم ذلك بدراسة كثافة الطاقة الحرة في الحد الثرموديناميكي وباشتقاق صيغ لدالة النقطتين المبتورة.

إضافة إلى النتائج المذكورة أعلاه، يحتوي القسمان 6 و7 على مزيد من النتائج حول توزيع حقل الإشغال ودالة النقطتين له، على التوالي.

في القسم الأخير من الورقة، نستخدم حساء الحلقات لتعريف نموذج لف على رؤوس الرسم البياني الثنائي. ويمكن إثبات إيجابية الانعكاس لنموذج اللف باستخدام الطبيعة الماركوفية لحقل إشغال الحواف. وفي بعدين، نخمن أن حد القياس لحقل اللف هو أحد الحقول المطابقة التي أُدخلت في [CGK] (انظر أيضاً [CamLis]). ونلاحظ أن نموذج اللف نفسه المتولد عن حساء حلقات عادي قد أُدخل بواسطة Le Jan [lejan11] وهو أيضاً موجب الانعكاس.

3. حساء الحلقات غير المرتدة

ليكن $𝒢=(V,E)$ رسماً بيانياً بسيطاً متصلاً، ولتكن $\overrightarrow{E}$ مجموعة حوافه الموجهة. ولحافة موجهة $\overrightarrow{e}=(t_{\overrightarrow{e}},h_{\overrightarrow{e}})\in E$، تكون $-\overrightarrow{e}=(h_{\overrightarrow{e}},t_{\overrightarrow{e}})\in E$ هي عكسها، و$e=\{t_{\overrightarrow{e}},h_{\overrightarrow{e}}\}\in E$ هي نسختها غير الموجهة. نفترض أن الرسم البياني مزود بوزن حافة موجب $x_e$ لكل $e\in E$. وبـ $\partial 𝒢$ نرمز إلى حد $𝒢$، أي مجموعة الحواف (التي قد تكون خالية) الواقعة على رأس درجته واحد.

إن السير (غير المرتد) $\overrightarrow{\omega }$ بطول $|\overrightarrow{\omega }|=n\ge 1$ هو متتالية من الحواف الموجهة $\overrightarrow{\omega }=({\overrightarrow{\omega }}_1,\mathrm{\dots },{\overrightarrow{\omega }}_{n+1})$ بحيث $t_{{\overrightarrow{\omega }}_{i+1}}=h_{{\overrightarrow{\omega }}_i}$ و${\overrightarrow{\omega }}_{i+1}\ne -{\overrightarrow{\omega }}_i$ من أجل $1\le i\le n$. لاحظ أن طول السير هو عدد الخطوات التي يقوم بها السير بين الحواف لا عدد الحواف نفسها. وبـ ${\overrightarrow{\omega }}^{-1}=(-{\overrightarrow{\omega }}_{|\overrightarrow{\omega }|+1},\mathrm{\dots },-{\overrightarrow{\omega }}_1)$ نرمز إلى عكسه، ولأي سيرين $\overrightarrow{\omega }$، ${\overrightarrow{\omega }}^{\prime }$ بحيث ${\overrightarrow{\omega }}_{|\overrightarrow{\omega }|+1}={\overrightarrow{\omega }}_1^{\prime }$، نعرّف التسلسل

$$\overrightarrow{\omega }\oplus {\overrightarrow{\omega }}^{\prime }=({\overrightarrow{\omega }}_1,\mathrm{\dots },{\overrightarrow{\omega }}_{|\overrightarrow{\omega }|+1},{\overrightarrow{\omega }}_2^{\prime },\mathrm{\dots },\overrightarrow{\omega }_{}^{\prime }{}_{|{\overrightarrow{\omega }}^{\prime }|+1}{}^{}).$$

الحلقات المجذرة هي مسيرات تبدأ وتنتهي عند الحافة الموجهة نفسها. وتعددية حلقة مجذرة $\overrightarrow{\omega }$، ويرمز إليها بـ $m_{\overrightarrow{\omega }}$، هي أكبر عدد $m$ بحيث تكون $\overrightarrow{\omega }$ تسلسلاً ذا $m$ أضعاف لحلقة مجذرة ما ${\overrightarrow{\omega }}^{\prime }$ مع نفسها. أما السير غير الموجه فهو سير بلا اتجاه اجتياز محدد، أي صنف تكافؤ ذي عنصرين تحت العلاقة $\overrightarrow{\omega }\sim {\overrightarrow{\omega }}^{-1}$. والقوس هو سير غير موجه يبدأ وينتهي على $\partial G$. وسنرمز إلى الأقواس بـ $\alpha$. الحلقات غير المجذرة هي أصناف تكافؤ من الحلقات تحت علاقة الإزاحة الدورية $\overrightarrow{\omega }\sim ({\overrightarrow{\omega }}_i,{\overrightarrow{\omega }}_{i+1},\mathrm{\dots },{\overrightarrow{\omega }}_{|\overrightarrow{\omega }|+1},{\overrightarrow{\omega }}_1,{\overrightarrow{\omega }}_2,\mathrm{\dots }{\overrightarrow{\omega }}_{i-1})$. وسنشير إلى الحلقات غير المجذرة وغير الموجهة ببساطة باسم الحلقات ونرمز إليها بـ $\mathrm{\ell }$.

مع شيء من تجاوز الاصطلاح، إذا كانت دالة $f$ معرفة على المسيرات وثابتة تحت العكس، فإن $f(\alpha )$ هو تقييم $f$ عند أي من ممثلي القوس $\alpha$ الاثنين. وبالمثل، إذا كانت دالة $g$ معرفة على الحلقات المجذرة وثابتة تحت العكس والإزاحة الدورية، فإن $g(\mathrm{\ell })$ هو تقييم $g$ عند أي ممثل لـ $\mathrm{\ell }$. ووزن سير $\overrightarrow{\omega }$ هو

$$x(\overrightarrow{\omega })=\prod _{i=1}^{|\overrightarrow{\omega }|}\sqrt{x_{{\omega }_i}{x}_{{\omega }_{i+1}}}.$$

وتُعطى قياسات الحلقات والأقواس بـ

$$\mu (\mathrm{\ell })=\frac{x(\mathrm{\ell })}{m_{\mathrm{\ell }}}\text{and}{\mu }_{\partial }(\alpha )=x(\alpha ).$$

وبـ $ℒ$ سنرمز إلى تحقق لعملية بواسون نقطية ذات قياس شدة $\mu$، وبـ $𝒜$ إلى تحقق لعملية بواسون نقطية ذات قياس شدة ${\mu }_{\partial }$. سنكتب $𝒮=ℒ\cup 𝒜$، حيث $ℒ$ و$𝒜$ مستقلان. دالة تقسيم $ℒ$ هي

$$Z_{ℒ}=\sum _{L}w(L)=\sum _L\prod _{\mathrm{\ell }\in L}\frac{\mu {(\mathrm{\ell })}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!},$$

حيث يؤخذ المجموع على جميع المجموعات المتعددة $L$ من الحلقات، وتُسمّى تشكيلات حلقية، وحيث إن $\mathrm{\#}\mathrm{\ell }$ هو عدد مرات ظهور $\mathrm{\ell }$ في $L$. وبالمثل، فإن دالة تقسيم $𝒜$ هي

$$Z_{𝒜}=\sum _{A}w(A)=\sum _A\prod _{\alpha \in A}\frac{{\mu }_{\partial }{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }}{(\mathrm{\#}\alpha )!},$$

حيث يؤخذ المجموع على جميع المجموعات المتعددة من الأقواس $A$، وتُسمّى تشكيلات قوسية. وتُعطى دالة تقسيم $𝒮$ بـ $Z_{𝒮}=Z_{ℒ}{Z}_{𝒜}$. سننظر فقط في الحالات التي يكون فيها . وستُسمّى المجموعة المتعددة من الحلقات والأقواس تشكيلة حساء أو ببساطة تشكيلة. وعلى وجه الخصوص، فإن التشكيلات الحلقية والقوسية هي تشكيلات حساء.

لتشكيلة حساء $S$، نعرّف $N_S={(N_S(e))}_{e\in E}$ بأنه الشبكة (أو حقل إشغال الحواف) التي تستحثها $S$، أي العدد الكلي لزيارات المسيرات من $S$ إلى كل حافة من $𝒢$. إن $N_S$ شبكة لف بالمعنى الذي قصده Penrose [Pen71]، أي إنه إذا كانت الحواف الواقعة على الرأس $v$ هي $e_1,\mathrm{\dots },e_k$، فلا بد أن يكون ${\sum }_{i=1}^k{N}_S(e_i)$ زوجياً، كما لا يمكن أن يكون أصغر من $2{\max }_{i=1,\mathrm{\dots },k}{N}_S(e_i)$.

إحدى النتائج الرئيسة في هذه الورقة هي أن توزيع الشبكة العشوائية $N_{𝒮}$ ذات الشروط الحدية المحددة $\xi ={(N(e))}_{e\in \partial 𝒢}$ (ولا سيما توزيع $N_{ℒ}$ للشرط الحدي الصفري) يعطى بتوزيع غيبس ذي هاملتوني محلي.

وبصورة أدق، افترض أن $e_1,\mathrm{\dots },e_k$ هي جميع الحواف الواقعة على الرأس $v$، وتخيل استبدال الحافة $e_i$ بـ $N_S(e_i)$ حواف متميزة ملوّنة. افترض أن لكل حافة ملوّنة واقعة على $v$ لوناً فريداً، ولتكن $C_v$ عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها وصل تلك الحواف بحيث تكون كل حافة ملوّنة مناظرة لـ $e_i$ موصولة بحافة ملوّنة مناظرة لـ $e_j$ لبعض $j\ne i$. (من الواضح أنه يمكن دائماً وصل جميع الحواف الملوّنة بهذه الطريقة لأن $N_S(e_i)$ هو، في نهاية المطاف، عدد الزيارات إلى الحافة $e_i$ من قبل حلقات وأقواس الحساء.) وإذا كان $𝒢=(V,E)$ منتهياً، فيمكننا تعريف الهاملتوني $\mathscr{H}=\mathscr{H}(N_S)={\sum }_{v\in V}{H}_v$ حيث، لكل رأس $v$ ذي حواف $e_1,\mathrm{\dots },e_k$ واقعة عليه،

(3.1) $$H_v=-\log \left(\frac{C_v}{\sqrt{{\prod }_{i=1}^k{N}_S(e_i)!}}\prod _{i=1}^k{x}_{e_i}^{N_S(e_i)/2}\right).$$

مبرهنة 3.1 (توزيع غيبس).

إذا كان الرسم البياني $𝒢$ منتهياً وكانت $𝒮$ حساءً من الحلقات والأقواس في $𝒢$ بحيث ، فإن التوزيع الذي تستحثه $𝒮$ على حقل إشغال الحواف هو نفسه توزيع غيبس ذي هاملتوني $\mathscr{H}$. أي إن لتشكيلة إشغال الحواف $N_S$ احتمالاً

$$\frac{1}{Z}{e}^{-\mathscr{H}(N_S)},$$

حيث

(3.2) $Z={\displaystyle \sum _N}{e}^{-\mathscr{H}(N)}={\displaystyle \sum _N}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{C}_v{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}}=Z_{𝒮}$

مع امتداد المجاميع على جميع تشكيلات الشبكات $N$.

نلاحظ أن دالة التقسيم (3.2) تذكّر بتمثيل التيار العشوائي المستخدم لدى Aizenman [Aizenman1981, Aizenman1982] (انظر أيضاً [Aizenman2014] لتطبيق أحدث).

إذا كان $𝒢$ رسماً بيانياً ثلاثي التكافؤ، فإن التوافقات بسيطة ويمكن للمرء أن يحسب $C_v$ بسهولة. (يستخدم R. Penrose الرسوم البيانية ثلاثية التكافؤ لتعريف شبكات اللف تحديداً لهذا السبب، مع أن المفهوم أعم–انظر [Pen71].) لتكن $e_1,e_2,e_3$ الحواف الواقعة على رأس ما $v$ من $𝒢$، بقيم إشغال $N(e_1)$ و$N(e_2)$ و$N(e_3)$، وعرّف $N_{12}=\frac{N(e_1)+N(e_2)-N(e_3)}{2}$، $N_{13}=\frac{N(e_1)+N(e_3)-N(e_2)}{2}$، $N_{23}=\frac{N(e_2)+N(e_3)-N(e_1)}{2}$. (هذه هي الحلول الوحيدة لنظام المعادلات الخطية $N_{12}+N_{13}=N(e_1)$، $N_{12}+N_{23}=N(e_2)$، $N_{13}+N_{23}=N(e_3)$.) ومن السهل رؤية أن $C_v=\frac{N(e_1)!N(e_2)!N(e_3)!}{N_{12}!N_{13}!N_{23}!}$ ومن ثم

$$H_v=-\log \left(\frac{\sqrt{N(e_1)!N(e_2)!N(e_3)!}}{N_{12}!N_{13}!N_{23}!}{x}_{e_1}^{N(e_1)/2}{x}_{e_2}^{N(e_2)/2}{x}_{e_3}^{N(e_3)/2}\right).$$

المبرهنة 3.1 نتيجة لـ خاصية التفكيك الشرطي لقانون $𝒮$، التي تقتضي أن الحساء يتمتع بـ خاصية ماركوفية مكانية. وبعبارة أخرى، فإن حقل إشغال الحواف هو حقل ماركوفي. والطريقة الطبيعية للتعبير عن هذه الخاصية هي قطع الحلقات إلى أقواس، وسنوضح الآن بدقة ما نعنيه بذلك. افترض أننا نثبت مجموعة من الحواف $H\subset E$. وبـ ${𝒢}_H$ نرمز إلى الرسم البياني المعدّل $𝒢$ حيث تُقطع الحواف من $H$ إلى نصفين، أي لكل $e=\{u,v\}\in H$، نزيل $e$ من مجموعة الحواف، ونضيف حافتين جديدتين، تسميان نصفي حافة، $\{u,u^{\prime }\}$ و$\{v^{\prime },v\}$ مع $u^{\prime }\ne v^{\prime }$، و$u^{\prime },v^{\prime }\notin V$. ويكون وزن كل نصف حافة مساوياً لوزن الحافة المزاحة التي يحل محلها. لاحظ أن نصفي الحافة ينتميان إلى $\partial {𝒢}_H$. كل حلقة أو قوس في $𝒢$ يزور $H$، عندما يُقطع على طول $H$، ينتج مجموعة متعددة من الأقواس في ${𝒢}_H$، تقابل مسيراته الجزئية العظمى التي تزور فقط حوافاً من $E\setminus H$، مع الاستثناء المحتمل عند النهايتين. (هذه الأقواس هي رحلات تقوم بها المسيرات خارج $H$.) وإذا كان سير لا يزور $H$، فلا يتأثر حين تقطع حواف $H$ إلى قسمين. ومعطاةً تشكيلة $S$ في $𝒢$، نعرّف $S_{{𝒢}_H}$ بأنها التشكيلة في ${𝒢}_H$ الناتجة من قطع المسيرات من $S$ (مأخوذةً بتعددياتها) على طول $H$.

لمّة 3.2 (التفكيك الشرطي).

من أجل مجموعة حواف $H$، وتشكيلة $S$،

$$\sum _{T:T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}}w(T)=w(S_{{𝒢}_H})\prod _{e\in H}{N}_S(e)!$$

Proof.

لاحظ أن جميع $T$ التي تحقق $T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}$ تختلف فقط في الطريقة التي توصل بها أقواس $T_{{𝒢}_H}$ بعضها ببعض على طول الحواف في $H$. يكفي النظر في الحالة التي تزور فيها جميع المسيرات في $S$ المجموعة $H$ ومن ثم تتكون $S_{{𝒢}_H}$ من أقواس فقط. وذلك لأن مساهمة الحلقات من $T\cap T_{{𝒢}_H}$ في $w(T)$ هي نفسها لجميع $T$ التي تحقق $T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}$ وتساوي المساهمة الحلقية الكلية في $w(S_{{𝒢}_H})$.

سنثبت النتيجة بإظهار أن كلاً من الطرف الأيسر والطرف الأيمن للمساواة يتناسبان مع عدد الطرق التي يمكن بها إسناد ألوان إلى زيارات مسيرات تشكيلة ما إلى حواف $H$. ولعدّ هذا العدد، لتكن ${𝒢}_H^{\prime }$ الرسم البياني الموسع ${𝒢}_H$، حيث لكل $e\in H$ نوصل الرؤوس ذات الدرجة واحد لنصفي الحافة المقابلين في ${𝒢}_H$ بعدد $N_S(e)$ من الحواف المتوازية القابلة للتمييز (انظر الشكل 1). يمكننا أن نفكر في الحواف الجديدة بوصفها ملوّنة بـ $N_S(e)$ ألوان مختلفة.

Figure 1. الرسوم البيانية $𝒢$ مع $H=\{e_1,e_2,e_3\}$، ${𝒢}_H$، و${𝒢}_H^{\prime }$ من أجل $S$ مع $N_S(e_1)=2$، $N_S(e_2)=0$، $N_S(e_1)=2$

لننظر في التشكيلات في ${𝒢}_H^{\prime }$ التي تزور كل حافة من الحواف الملوّنة مرة واحدة بالضبط. تُصوَّر كل تشكيلة من هذا القبيل إلى تشكيلة في $𝒢$ بنسيان الألوان، أي بتعيين الحواف الملوّنة لكل $e\in H$ بعضها ببعض. لاحظ أن التشكيلة الناتجة $T$ في $𝒢$ تحقق ${N_T|}_H={N_S|}_H$. وهذا التصوير متعدد إلى واحد، وكاردينالية الصورة العكسية لكل تشكيلة $T$ في $G$ تتناسب مع $w(T)$. سنبرر الآن هذه العبارة. ثبّت تشكيلة $T$ في $𝒢$ بحيث $T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}$. وانظر في مجموعة $\tilde{T}$ تُجعل فيها كل حلقة أو قوس مكرر في $T$ قابلاً للتمييز بإضافة علامات إضافية، وفوق ذلك نختار لكل حلقة جذراً واتجاهاً. في هذه الحالة، بما أن جميع خطوات المسيرات في $\tilde{T}$ قابلة للتمييز، فلدينا $N_S(e)!$ طريقة مختلفة لإسناد الألوان إلى زيارات المسيرات في $\tilde{T}$ إلى $e\in H$. وما يتبقى فعله هو احتساب التعدديات الناشئة من تعيين الحلقات الموسومة المناظرة للحلقة غير الموسومة نفسها، والحلقات المجذرة الموجهة المناظرة للحلقة غير المجذرة وغير الموجهة نفسها. وهذا يعطي

(3.3) ${\displaystyle \frac{{\prod }_{e\in H}{N}_S(e)!}{{\prod }_{\alpha \in T}(\mathrm{\#}\alpha )!{\prod }_{\mathrm{\ell }\in T}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}}={\displaystyle \frac{{\prod }_{e\in H}{N}_S(e)!}{{\prod }_{\mathrm{\ell }\in T}x{(\mathrm{\ell })}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}{\prod }_{\alpha \in T}x{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }}}w(T)$

تلوينات مختلفة للزيارات إلى $H$ للمسيرات في التشكيلة $T$. لاحظ أننا استخدمنا هنا حقيقة أن لكل سير غير مرتد نسختين موجهتين متميزتين.

لذلك، يمكن كتابة عدد الطرق التي يمكن بها إسناد ألوان إلى زيارات مسيرات تشكيلة ما إلى حواف $H$ على الصورة

(3.4) ${\displaystyle \sum _{T:T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}}}{\displaystyle \frac{w(T)}{{\prod }_{\mathrm{\ell }\in T}x{(\mathrm{\ell })}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}{\prod }_{\alpha \in T}x{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }}}{\displaystyle \prod _{e\in H}}{N}_S(e)!$

لنشتق الآن تعبيراً مختلفاً عن هذا العدد، وذلك بعدّ عدد الطرق التي يمكن بها وصل الأقواس من $S_{{𝒢}_H}$ في حلقات في ${𝒢}_H^{\prime }$ بحيث تُستعمل كل حافة ملوّنة مرة واحدة فقط. ولهذه الغاية، خذ حافة $e=\{u,v\}$ من $H$ وانظر في نصفي الحافة الموجهين المقابلين ${\overrightarrow{e}}_1=(v^{\prime },v)$، ${\overrightarrow{e}}_2=(u^{\prime },u)$، وفي $N_S(e)$ حافة ملوّنة في ${𝒢}_H^{\prime }$. ولغرض هذا البرهان سننظر في الأقواس الموجهة. ومرة أخرى، فإن خاصية المسيرات غير المرتدة التي نستخدمها هي أن لكل سير غير موجه نسختين موجهتين متميزتين. لتكن ${\overrightarrow{S}}_{{𝒢}_H}$ المجموعة المتعددة لجميع النسخ الموجهة من الأقواس في $S_{{𝒢}_H}$، ولتكن $\overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_i)$ المجموعة المتعددة من الأقواس الموجهة في ${\overrightarrow{S}}_{{𝒢}_H}$ التي تبدأ عند ${\overrightarrow{e}}_i$، $i=1,2$. لدينا

$$\sum _{\overrightarrow{\alpha }\in \overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_i)}\mathrm{\#}\overrightarrow{\alpha }=N_S(e)\text{for}i=1,2,$$

حيث إن $\mathrm{\#}\overrightarrow{\alpha }$ هي تعددية القوس الموجه $\overrightarrow{\alpha }$ في $\overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_i)$ (وهي تساوي تعددية نسخته غير الموجهة $\alpha$ في $S_{{𝒢}_H}$). نوزع الآن الألوان $N_S(e)$ بين الأقواس الموجهة في $\overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_i)$، $i=1,2$. وبما أن للأقواس تعدديات، فهناك بالضبط

$$\frac{N_S(e)!}{{\prod }_{{\overrightarrow{\alpha }}_1\in \overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_1)}(\mathrm{\#}{\overrightarrow{\alpha }}_1)!}\times \frac{N_S(e)!}{{\prod }_{{\overrightarrow{\alpha }}_2\in \overrightarrow{A}({\overrightarrow{e}}_2)}(\mathrm{\#}{\overrightarrow{\alpha }}_2)!}$$

من هذه الإسنادات. وإذا أخذنا الجداء على $H$ واستخدمنا حقيقة أن لكل قوس نسختين موجهتين، وصلنا إلى

$$\frac{{\prod }_{e\in H}{N}_S{(e)!}^2}{{\prod }_{\alpha \in S_{{𝒢}_H}}{(\mathrm{\#}\alpha )!}^2},$$

حيث إن $\mathrm{\#}\alpha$ هي تعددية $\alpha$ في $S_{{𝒢}_H}$. وهذا هو عدد جميع الإسنادات الممكنة للألوان إلى الأقواس الموجهة. نريد الآن نسيان اتجاه الأقواس، ولذلك، لكل قوس $\alpha$، نحتاج إلى قرن القوسين الملوّنين الموجهين المتعاكسين $\overrightarrow{\alpha }$ و${\overrightarrow{\alpha }}^{-1}$. وبما أننا نستطيع قرن أي قوس ملوّن $\overrightarrow{\alpha }$ بأي قوس ملوّن ${\overrightarrow{\alpha }}^{-1}$، فلدينا $(\mathrm{\#}\alpha )!$ أزواج مختلفة. ومن ثم،

(3.5) ${\displaystyle \frac{{\prod }_{e\in H}{N}_S{(e)!}^2}{{\prod }_{\alpha \in S_{{𝒢}_H}}(\mathrm{\#}\alpha )!}}={\displaystyle \frac{w(S_{{𝒢}_H})}{{\prod }_{\alpha \in S_{{𝒢}_H}}x{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }}}{\displaystyle \prod _{e\in H}}{N}_S{(e)!}^2$

هو عدد جميع الطرق الممكنة لوصل الأقواس من $S_H$ بحيث تُستخدم كل حافة ملوّنة مرة واحدة، وهذا يعطينا تعبيراً آخر عن (3.4).

نذكّر القارئ بأننا لا نحتاج إلا إلى النظر في الحالة التي تزور فيها جميع المسيرات في $S$ المجموعة $H$ ومن ثم تتكون $S_{{𝒢}_H}$ من أقواس فقط، ونلاحظ أنه، لكل $T$ بحيث $T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}$، لدينا الهوية

$$\prod _{\mathrm{\ell }\in T}x{(\mathrm{\ell })}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}\prod _{\alpha \in T}x{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }=\prod _{\alpha \in S_{{𝒢}_H}}x{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }.$$

وباستخدام هذه الهوية ومقارنة (3.4) بـ (3.5) يكتمل برهان اللمّة. ∎

معطىً رسم بياني جزئي ${𝒢}_1$ من ${𝒢}_H$ يكون اتحاداً لعدد من المركبات المتصلة لـ ${𝒢}_H$، نعرّف $S_{{𝒢}_1}$ بأنه $S_{{𝒢}_H}$ مقيَّد بالمسيرات في ${𝒢}_1$. وإذا كانت $\xi :\partial 𝒢\to {\mathbb{N}}_{\ge 0}$ شروطاً حدية، فإننا نكتب ${\mathbb{P}}_{𝒢,\xi }$ لقياس الاحتمال الحاكم لـ $𝒮$ المعرف على $G$ والمشروط بأن يحقق ${N_{𝒮}|}_{\partial 𝒢}=\xi$.

مبرهنة 3.3 (الخاصية الماركوفية المكانية).

لتكن $H$ مجموعة جزئية من حواف $𝒢$، ولتكن ${𝒢}_1$ إحدى المركبات المتصلة لـ ${𝒢}_H$. ولتكن $S$ تشكيلة في $𝒢$. عندئذ، لكل الشروط الحدية $\xi ={(N(e))}_{e\in \partial 𝒢}$ على $\partial 𝒢$،

${\mathbb{P}}_{𝒢,\xi }\left({𝒮}_{{𝒢}_1}=S_{{𝒢}_1}|{𝒮}_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}=S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}\right)$

$={\mathbb{P}}_{𝒢,\xi }\left({𝒮}_{{𝒢}_1}=S_{{𝒢}_1}{|N_{𝒮}|}_{\partial {𝒢}_1}={N_S|}_{\partial {𝒢}_1}\right)$

$={\mathbb{P}}_{{𝒢}_1,{\xi }_1}(𝒮=S_{{𝒢}_1}),$

حيث إن ${\xi }_1$ شروط حدية على $\partial {𝒢}_1$ معطاة بـ

Proof.

من اللمّة 3.2 وخاصية تفكيك أوزان عملية بواسون النقطية، ينتج أن

${\mathbb{P}}_{𝒢,\xi }\left({𝒮}_{{𝒢}_1}=S_{{𝒢}_1}|{𝒮}_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}=S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}\right)$

$={\mathbb{P}}_{G,\xi }\left({𝒮}_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}\right)/{\mathbb{P}}_{G,\xi }\left({𝒮}_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}=S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}\right)$

$={\displaystyle \sum _{T:T_{{𝒢}_H}=S_{{𝒢}_H}}}w(T)/{\displaystyle \sum _{T:T_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}=S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1}}}w(T)$

$=w(S_{{𝒢}_1}\cup S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1})/{\displaystyle \sum _{T_1:{N_{T_1}|}_{\partial {𝒢}_1}={N_S|}_{\partial {𝒢}_1}}}w(T_1\cup S_{{𝒢}_H\setminus {𝒢}_1})$

$=w(S_{{𝒢}_1})/{\displaystyle \sum _{T_1:{N_{T_1}|}_{\partial {𝒢}_1}={N_S|}_{\partial {𝒢}_1}}}w(T_1)={\mathbb{P}}_{{𝒢}_1,{\xi }_1}(𝒮=S_{{𝒢}_1}),$

حيث ترمز $T_1$ إلى تشكيلة في ${𝒢}_1$. ∎

نختتم هذا القسم ببرهان المبرهنة 3.1.

برهان المبرهنة 3.1.

لتكن $N={\{N(e)\}}_{e\in E}$ مجموعة من الأعداد في ${\mathbb{N}}_{\ge 0}$ مفهرسة بمجموعة الحواف $E$ للرسم البياني $𝒢$. نكتب $S\sim N$ إذا كانت تشكيلة الحساء $S$ تستحث حقل الإشغال $N$ (أي إذا كان $N_S=N$) ونعرّف $𝒮(N)=\{S:S\sim N\}=\{S:N_S=N\}$. لتكن ${𝒢}^{\prime }$ الرسم البياني الموسع $𝒢$ حيث تستبدل كل $e\in E$ بـ $N_S(e)$ حافة متوازية قابلة للتمييز. يمكننا أن نفكر في الحواف الجديدة بوصفها ملوّنة بـ $N_S(e)$ ألوان مختلفة. انظر في التشكيلات الملوّنة $S^{\ast }$ في ${𝒢}^{\prime }$ التي تزور كل حافة ملوّنة مرة واحدة بالضبط. نكتب ${𝒮}^{\ast }(N)$ من أجل مجموعة هذه التشكيلات الملوّنة و$|{𝒮}^{\ast }(N)|$ من أجل كاردينالية ${𝒮}^{\ast }(N)$.

وبهذا الترميز، يمكن كتابة دالة تقسيم الحساء على النحو

$Z_{𝒮}$ $=$ $\left({\displaystyle \sum _L}{\displaystyle \prod _{\mathrm{\ell }\in L}}{\displaystyle \frac{\mu {(\mathrm{\ell })}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!}}\right)\left({\displaystyle \sum _A}{\displaystyle \prod _{\alpha \in A}}{\displaystyle \frac{{\mu }_{\partial }{(\alpha )}^{\mathrm{\#}\alpha }}{(\mathrm{\#}\alpha )!}}\right)$

$=$ ${\displaystyle \sum _S}{\displaystyle \prod _{\mathrm{\ell }\in S}}{\displaystyle \frac{x(\mathrm{\ell })}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}}{\displaystyle \prod _{\alpha \in S}}{\displaystyle \frac{x(\alpha )}{(\mathrm{\#}\alpha )!}}$

$=$ ${\displaystyle \sum _N}{\displaystyle \prod _{e\in E}}{x}_e^{N(e)}{\displaystyle \sum _{S\sim N}}{\displaystyle \prod _{\mathrm{\ell }\in S}}{\displaystyle \frac{1}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}}{\displaystyle \prod _{\alpha \in S}}{\displaystyle \frac{1}{(\mathrm{\#}\alpha )!}}$

$=$ ${\displaystyle \sum _N}|{𝒮}^{\ast }(N)|{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}}={\displaystyle \sum _N}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{C}_v{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}}$

$=$ ${\displaystyle \sum _N}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{e}^{-H_v}={\displaystyle \sum _N}{e}^{-\mathscr{H}(N)}=Z,$

حيث استخدمنا الهوية الواضحة $|{𝒮}^{\ast }(N)|={\prod }_{v\in V}{C}_v$ والهوية غير البديهية

$$\sum _{S\sim N}\prod _{\mathrm{\ell }\in S}\frac{1}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}\prod _{\alpha \in S}\frac{1}{(\mathrm{\#}\alpha )!}=|{𝒮}^{\ast }(N)|\prod _{e\in E}\frac{1}{N(e)!}.$$

ويمكن اشتقاق الهوية الأخيرة باستخدام حجج مشابهة لتلك الواردة في النقاش السابق لـ (3.3)، كما توضح اللمّة أدناه.

ولإتمام البرهان، نكتب

${\displaystyle \sum _{S\sim N}}{\mathbb{P}}_{𝒢}(S)$ $=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z_{𝒮}}}{\displaystyle \sum _{S\sim N}}{\displaystyle \prod _{\mathrm{\ell }\in S}}{\displaystyle \frac{x(\mathrm{\ell })}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}}{\displaystyle \prod _{\alpha \in S}}{\displaystyle \frac{x(\alpha )}{(\mathrm{\#}\alpha )!}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z}}|{𝒮}^{\ast }(N)|{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}}$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z}}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{C}_v{\displaystyle \prod _{e\in E}}{\displaystyle \frac{x_e^{N(e)}}{N(e)!}}={\displaystyle \frac{1}{Z}}{\displaystyle \prod _{v\in V}}{e}^{-H_v}$

$=$ ${\displaystyle \frac{1}{Z}}{e}^{-\mathscr{H}(N)}.\mathit{∎}$

لمّة 3.4.

مع الترميز المدخل في برهان المبرهنة 3.1، تصح الهوية الآتية:

$$|{𝒮}^{\ast }(N)|=\prod _{e\in E}N(e)!\sum _{S\sim N}\prod _{\mathrm{\ell }\in S}\frac{1}{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}\prod _{\alpha \in S}\frac{1}{(\mathrm{\#}\alpha )!}.$$

Proof.

سنثبت النتيجة بعدّ عدد الطرق التي يمكن بها إسناد ألوان إلى زيارات مسيرات تشكيلة ما إلى حواف $𝒢$. ولهذه الغاية، لتكن من جديد ${𝒢}^{\prime }$ الرسم البياني الموسع $𝒢$ حيث تستبدل كل $e\in E$ بـ $N_S(e)$ حافة متوازية قابلة للتمييز. ويمكننا أن نفكر في الحواف الجديدة بوصفها ملوّنة بـ $N_S(e)$ ألوان مختلفة.

انظر في التشكيلات في ${𝒢}^{\prime }$ التي تزور كل حافة من الحواف الملوّنة مرة واحدة بالضبط. كل تشكيلة ملوّنة من هذا القبيل $S^{\ast }$ تُصوَّر إلى تشكيلة $S$ في $𝒢$ بنسيان الألوان، أي بتعيين الحواف الملوّنة لكل $e\in E$ بعضها ببعض. لاحظ أن التشكيلة الناتجة $S$ في $𝒢$ تحقق $N_S=N$، وأن التصوير متعدد إلى واحد. ونريد تحديد كاردينالية الصورة العكسية لكل تشكيلة $S$ في $G$.

ثبّت تشكيلة $S$ في $𝒢$ بحيث $N_S=N$. وانظر في مجموعة $\tilde{S}$ تُجعل فيها كل حلقة أو قوس مكرر في $S$ قابلاً للتمييز بإضافة بعض العلامات الإضافية، وفوق ذلك نختار لكل حلقة جذراً واتجاهاً. في هذه الحالة، بما أن جميع خطوات المسيرات في $\tilde{S}$ قابلة للتمييز، فلدينا $N_S(e)!$ طريقة مختلفة لإسناد الألوان إلى زيارات المسيرات في $\tilde{S}$ إلى $e\in E$. وما يتبقى فعله هو احتساب التعدديات الناشئة من تعيين الحلقات الموسومة المناظرة للحلقة غير الموسومة نفسها والحلقات المجذرة الموجهة المناظرة للحلقة غير المجذرة وغير الموجهة نفسها. وهذا يعطي

(3.6) ${\displaystyle \frac{{\prod }_{e\in E}{N}_S(e)!}{{\prod }_{\alpha \in S}(\mathrm{\#}\alpha )!{\prod }_{\mathrm{\ell }\in S}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })!m_{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\#}\mathrm{\ell }}}}$

لكاردينالية الصورة العكسية لـ $S$. وقد استخدمنا هنا من جديد أن لكل حلقة غير مرتدة نسختين موجهتين متميزتين. (لاحظ أن العد لا يعمل للحلقات العادية من دون شرط عدم الارتداد لأن المرء قد يملك في تلك الحالة حلقات لها نسخة موجهة واحدة بدلاً من نسختين–فكر في حلقة تتكون من حافة واحدة تُجتاز مرتين.) وبالجمع على جميع التشكيلات $S\in 𝒮(N)$ يكتمل البرهان. ∎

4. صيغ محددية لدالة التقسيم

في هذا القسم نعبّر عن دالة تقسيم نموذجنا بدلالة محددات مصفوفتين مختلفتين، وهما، لقيم معينة من أوزان الحواف، تتضمنان مصفوفات انتقال لبعض عمليات ماركوف. العملية الداخلة في الصيغة المحددية الأولى هي سير عشوائي غير متناظر على الحواف الموجهة لـ $𝒢$، والعملية الداخلة في الصيغة الثانية هي سير عشوائي على رؤوس $𝒢$. ونتيجة للصيغة المحددية الثانية، نستنتج علاقة بين دالة تقسيم نموذجنا وتلك الخاصة بحقل غاوس الحر المتقطع. وفي الطريق نكشف أيضاً عن صلة بين دالة تقسيم نموذجنا ودالة زيتا لإيهارا. في القسم التالي سنستخدم الصيغ المحددية الأولى لإجراء حسابات مضبوطة.

نفترض أن $𝒢$ منتهٍ ومتصل ولا يحوي رأساً درجته 1. من أجل $\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}\in \overrightarrow{E}$، لتكن

(4.1)

ولتكن $\rho (\mathrm{\Lambda })$ نصف القطر الطيفي لـ $\mathrm{\Lambda }$. الملاحظة التالية، وهي نتيجة معروفة جيداً، حاسمة وتسمح بحل مضبوط لنموذجنا.

لمّة 4.1.

تكون دالة التقسيم $Z_{ℒ}$ منتهية إذا وفقط إذا ، وفي هذه الحالة

$Z_{ℒ}=\stackrel{-\frac{1}{2}}{det}(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda }),$

حيث إن $\mathrm{Id}$ هي مصفوفة الهوية المفهرسة بـ $\overrightarrow{E}$.

Proof.

لتكن ${\lambda }_i$، $i=1,2,\mathrm{\dots },|\overrightarrow{E}|$، القيم الذاتية لـ $\mathrm{\Lambda }$، ولتكن ${𝒲}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^n$ مجموعة جميع المسيرات الموجهة ذات الطول $n$ التي تبدأ وتنتهي عند الحافة الموجهة $\overrightarrow{e}$. وباستخدام تعريف قياس الحلقات، لدينا أنه لكل $n$،

$$\sum _{\mathrm{\ell }:|\mathrm{\ell }|=n}\mu (\mathrm{\ell })=\sum _{\mathrm{\ell }:|\mathrm{\ell }|=n}\frac{x(\mathrm{\ell })}{m_{\mathrm{\ell }}}=\sum _{\overrightarrow{e}\in \overrightarrow{E}}\sum _{\overrightarrow{\omega }\in {𝒲}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^n}\frac{x(\overrightarrow{\omega })}{2n}=\frac{\mathrm{Tr}{\mathrm{\Lambda }}^n}{2n}=\sum _{i=1}^{|\overrightarrow{E}|}\frac{{\lambda }_i^n}{2n}.$$

وينتج أن التعبير الأول قابل للجمع على $n$ إذا وفقط إذا . ومن تعريف دالة التقسيم، لدينا

(4.2) $Z_{ℒ}=\exp \left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:|\mathrm{\ell }|=n}}\mu (\mathrm{\ell })\right),$

ومن ثم يتبع الجزء الأول من اللمّة. ولإنهاء البرهان، نلاحظ أن

$$-2\ln Z_{ℒ}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i=1}^{|\overrightarrow{E}|}\frac{{\lambda }_i^n}{n}=\sum _{i=1}^{|\overrightarrow{E}|}\ln (1-{\lambda }_i)=\ln \prod _{i=1}^{|\overrightarrow{E}|}(1-{\lambda }_i)=\ln det(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda }).\mathit{∎}$$

في القسم التالي سنستخدم اللمّة 4.1 لإجراء حسابات مضبوطة. أولاً، مع ذلك، نصف هوية مثيرة توفر تمثيلاً محددياً مختلفاً لدالة التقسيم. وقد أُدخل مثل هذا التمثيل المحددي في صلة بـ دالة زيتا لإيهارا (الحافية) [Hashimoto1989, Ihara1966, ST1996]، التي تُعرّف بوصفها الجداء اللانهائي

$$\zeta (𝐱)=\prod _{\overrightarrow{\omega }\in 𝒫}{(1-x(\overrightarrow{\omega }))}^{-1},$$

حيث ترمز $𝐱={(x_e)}_{e\in E}$ إلى متجه أوزان الحواف، و$𝒫$ هي مجموعة جميع الحلقات الموجهة غير المجذرة غير المرتدة ذات التعددية 1. لاحظ أن في التعريف العام لدالة زيتا لإيهارا، يمكن أن تكون الأوزان $x_e$ عقدية ويمكن أن تختلف للاتجاهين المتعاكسين للحافة غير الموجهة. وبتجميع الحلقات في (4.2) التي هي مضاعفات للحلقة نفسها $\overrightarrow{\omega }\in 𝒫$، نحصل بسهولة على $Z_{ℒ}={\zeta }^{\frac{1}{2}}(𝐱)$، ومن ثم باللمّة 4.1، ${\zeta }^{-1}(𝐱)=det(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })$. (وهذا هو مضمون المبرهنة 3 من [ST1996] والمبرهنة 3.3 من [HST2006].)

لصياغة الصيغة المحددية البديلة، نحتاج أولاً إلى تعريف مصفوفتين مفهرستين برؤوس $𝒢$. إذا كان ، فلتكن $D$ مصفوفة قطرية ذات مدخلات

$$D_{v,v}=\sum _{e\ni v}\frac{x_e^2}{1-x_e^2},$$

ولتكن

مصفوفة مجاورة موزونة.

لمّة 4.2.

من أجل ${\Vert 𝐱\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ صغيرة بما يكفي،

$$Z_{ℒ}=\stackrel{-1/2}{det}(\mathrm{Id}+D-A)\prod _{e\in E}{(1-x_e^2)}^{-1/2},$$

حيث إن $\mathrm{Id}$ هي مصفوفة الهوية المفهرسة بـ $V$.

Proof.

تنتج هذه النتيجة من المبرهنة 2 في [WaFu2009] واللمّة 4.1. ∎

سنستخدم اللمّة 4.2 لربط دالة تقسيم نموذجنا بدالة تقسيم حقل غاوس الحر المتقطع. ولهذه الغاية، أرفق وزناً $c_e\ge 0$ بكل حافة $e\in E$ ومعدل قتل $k_v\ge 0$ بكل رأس $v\in V$، ولتكن ${\lambda }_v={\sum }_{e\ni v}{c}_e+k_v$. تستحث الأوزان ومعدلات القتل مصفوفة انتقال دون ماركوفية $P$ على رؤوس $𝒢$ باحتمالات انتقال $p_{v,u}=\frac{c_e}{{\lambda }_v}$ إذا $e=\{v,u\}\in E$، و$0$ خلاف ذلك. ومصفوفة الانتقال $\lambda$-متناظرة، بمعنى أن ${\lambda }_v{p}_{v,u}={\lambda }_u{p}_{u,v}$. ويمكن إدخال حالة «مقبرة» $\mathrm{\Delta }$ وتمديد $P$ إلى مصفوفة انتقال ماركوفية $\overline{P}$ على $V\cup \mathrm{\Delta }$ بوضع $p_{v,\mathrm{\Delta }}=\frac{k_v}{{\lambda }_v}$ و$p_{\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }}=1$. نفترض أن دالة غرين $G_{\overline{P}}(v,u)$ لسلسلة ماركوف المرتبطة بـ $\overline{P}$ (أي العدد المتوقع للزيارات إلى $u$ للسلسلة التي تبدأ عند $v$) منتهية. وهذا الشرط مكافئ للقول إن أو إن سلسلة ماركوف تُمتص دائماً في $\mathrm{\Delta }$.

إن حقل غاوس الحر المتقطع على $𝒢$ المرتبط بمصفوفة الانتقال $\overline{P}$ هو مجموعة ${({\varphi }_v)}_{v\in V}$ من متغيرات عشوائية غاوسية ذات متوسط صفري وتغاير $𝔼({\varphi }_v{\varphi }_u)=G_{\overline{P}}(v,u)$. وله توزيع غيبس $e^{-H_{\overline{P}}^{GFF}}/Z_{\overline{P}}^{GFF}$ بهاملتوني

$$H_{\overline{P}}^{GFF}(\phi )=\frac{1}{2}\sum _{\{v,u\}\in E}{c}_{\{v,u\}}{({\phi }_v-{\phi }_u)}^2+\frac{1}{2}\sum _{v\in V}{k}_v{\phi }_v^2,$$

ومنه ينتج أن دالة تقسيمه، $Z_{\overline{P}}^{GFF}$، تُعطى بتكامل غاوسي، ومن ثم يمكن تمثيلها بدلالة محدد، كما يلي:

(4.3) $$Z_{\overline{P}}^{GFF}=\prod _{v\in V}{\left(\frac{2\pi }{{\lambda }_v}\right)}^{1/2}\stackrel{-\frac{1}{2}}{det}(\mathrm{Id}-P)$$

حيث إن $\mathrm{Id}$ هي مصفوفة الهوية المفهرسة بـ $V$.

مبرهنة 4.3.

ليكن $𝐱$ متجهاً لأوزان الحواف بحيث و

(4.4) ${\displaystyle \sum _{e\ni v}}{\displaystyle \frac{x_e}{1+x_e}}\le 1\forall v\in V.$

ومن أجل $v\in V$، لتكن

$${\lambda }_v^{\ast }=1+\sum _{e\ni v}\frac{x_e^2}{1-x_e^2}.$$

عندئذ، تكون المصفوفة

مصفوفة انتقال ${\lambda }^{\ast }$-متناظرة دون ماركوفية على $V$. علاوة على ذلك، إذا كان ،

(4.5) $$Z_{ℒ}={(2\pi )}^{-|V|/2}\prod _{e\in E}{(1-x_e^2)}^{-1/2}{Z}_{{\overline{P}}^{\ast }}^{GFF},$$

حيث إن ${\overline{P}}^{\ast }$ هو التمديد الماركوفـي لـ $P^{\ast }$.

Proof.

من الواضح أن المصفوفة $P^{\ast }$ هي ${\lambda }^{\ast }$-متناظرة، ويبين حساب سهل أن المتباينات

$$\sum _{e\ni v}\frac{x_e}{1+x_e}\le 1\text{and}\sum _{e\ni v}\frac{1}{{\lambda }_v^{\ast }}\frac{x_e}{1-x_e^2}\le 1$$

متكافئة. ومن ثم يضمن الشرط (4.4) أن $P^{\ast }$ دون ماركوفية. وباستخدام اللمّة 4.2، من أجل ${\Vert 𝐱\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ صغير بما يكفي، نحصل على

${(Z_{ℒ})}^{-2}$ $={\displaystyle \prod _{e\in E}}(1-x_e^2)det(\mathrm{Id}+D-A)$

$={\displaystyle \prod _{e\in E}}(1-x_e^2){\displaystyle \prod _{v\in V}}\left(1+{\displaystyle \sum _{e\ni v}}{\displaystyle \frac{x_e^2}{1-x_e^2}}\right)det(\mathrm{Id}-P^{\ast }).$

وباللمّة 4.1، فإن الطرف الأيسر والطرف الأيمن كلاهما كثيرتا حدود، لذا فهما متساويان لكل $𝐱$. ومن ثم،

$$Z_{ℒ}=\prod _{e\in E}{(1-x_e^2)}^{-1/2}\prod _{v\in V}{\left(1+\sum _{e\ni v}\frac{x_e^2}{1-x_e^2}\right)}^{-1/2}\stackrel{-\frac{1}{2}}{det}(\mathrm{Id}-P^{\ast })$$

لكل $𝐱$ بحيث . وباستخدام تعريف ${\lambda }_v^{\ast }$ والصيغة المحددية 4.3 يكتمل البرهان.

∎

نتيجة 4.4.

ليكن $𝐱$ متجهاً لأوزان الحواف بحيث و

$$\sum _{e\ni v}\frac{x_e}{1+x_e}\le 1\forall v\in V.$$

إذا كان $\exists v\in V$ بحيث

فعندئذ وتصح المعادلة (4.5). وإذا كان

$$\sum _{e\ni v}\frac{x_e}{1+x_e}=1\forall v\in V,$$

فإن $Z_{ℒ}$ تتباعد.

وبخاصة، في الحالة المتجانسة، $x_e\equiv x$، على رسم بياني $d$-منتظم، تكون إذا و تتباعد $Z_{ℒ}$ إذا $x=1/(d-1)$.

Proof.

من السهل التحقق من أنه، إذا ${\sum }_{e\ni v}\frac{x_e}{1+x_e}\le 1$ لكل $v\in V$ وفضلاً عن ذلك لواحد على الأقل $v\in V$، فإن و. وإذا، إضافة إلى ذلك، ، فإن المبرهنة 4.3 والصيغة المحددية (4.3) تصحان. ومن السهل أيضاً التحقق من أنه، إذا ${\sum }_{e\ni v}\frac{x_e}{1+x_e}=1$ لكل $v\in V$، فإن مصفوفة الانتقال $P^{\ast }$ ماركوفية و$Z_{ℒ}$ تتباعد. ∎

ملاحظة 4.5.

طريقة مباشرة لإثبات نتيجة الحالة المتجانسة هي عدّ جميع المسيرات غير المرتدة الممكنة على الرسم البياني، أو ملاحظة أن $\rho (\mathrm{\Lambda })\le {\Vert \mathrm{\Lambda }\Vert }_1=x(d-1)$ واستخدام اللمّة 4.1. وبالمثل، لأي رسم بياني له رؤوس بدرجة $d_v\ge 2$، يمكن إظهار أن شرطاً كافياً لضمان أن هو: لكل $v\in V$ ولكل $e\ni v$.

نختتم هذا القسم بملاحظة مثيرة. كما ذكرنا في المقدمة، يمكن التعبير بسهولة عن دالة تقسيم حقل غاوس الحر بالصيغة (4.3) بدلالة دالة تقسيم حساء حلقات سير عشوائي «عادي»، أي بلا شرط عدم الارتداد. (وبرهان هذه الحقيقة مماثل تماماً لبرهان اللمّة 4.1. نحيل القارئ المهتم إلى برهان اللمّة 1.2 من [BFS].) وهذا يوفر رابطاً بين دالة تقسيم حساء الحلقات غير المرتدة ذي احتمالات الانتقال المعطاة بـ $\mathrm{\Lambda }$ وحساء حلقات السير العشوائي ذي احتمالات الانتقال المعطاة بـ $P^{\ast }$. ومن الممكن أن تكون الصلة بين هذين الحساءين الحلقيين وحقلي إشغالهما متحققة على مستوى أعمق من مستوى دوال التقسيم. ومثل هذه الصلة الأعمق، إن وجدت، قد يكشفها تحليل الصيغة المحددية لدالة زيتا لإيهارا الواردة في المبرهنة 2 من [WaFu2009].

5. حسابات مضبوطة

في هذا القسم سنحسب صراحة كثافة الطاقة الحرة للنماذج الثابتة بالانتقال ودالة النقطة الواحدة للنماذج المتجانسة على الطارة ${\mathbb{Z}}^d/{(n\mathbb{Z})}^d$ لأي $n\ge 1$، و$d\ge 1$، ومن ثم، بعد أخذ الحد الثرموديناميكي، على جميع الشبكات فوق المكعبة ${\mathbb{Z}}^d$، $d\ge 1$. وسنثبت أيضاً التناقص الأسي لدالة النقطتين في النظام دون الحرج. والسبب في توافر حل مضبوط هو أن دالة تقسيم النموذج تُعطى بالجذر التربيعي لمحدد مصفوفة (وهو وضع مشابه لوضع نموذجي آيزنغ والديمر، وكذلك حقل غاوس الحر المتقطع). وينتج أن الكميات ذات الصلة تُعبّر بدلالة القيم الذاتية ويمكن حسابها للرسوم البيانية الدورية باستخدام تحويل فورييه. وبخلاف حالتي نموذجي آيزنغ والديمر، تكون الصيغ المحددية صحيحة في جميع الأبعاد، كما في حالة حقل غاوس الحر المتقطع.

5.1. دالة التقسيم وكثافة الطاقة الحرة

لتكن ${𝒢}_n^d={\mathbb{Z}}^d/{(n\mathbb{Z})}^d$ طارة ذات بعد $d$ وحجم $n^d$. لرأس $𝐤=(k_1,k_2,\mathrm{\dots },k_n)\in {𝒢}_n^d$، ومتجه اتجاه وحدي $𝐯=(v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n)$ بحيث $v_j=\pm 1$ لبعض $j$، و$v_i=0$ من أجل $i\ne j$، سنكتب $(𝐤,𝐯)$ للحافة الموجهة $\overrightarrow{e}$ ذات $t_{\overrightarrow{e}}=𝐤$ و$h_{\overrightarrow{e}}=𝐤+𝐯$. ننظر في متجه أوزان ثابت بالانتقال $𝐱=(x_1,\mathrm{\dots },x_d)$ يسند الوزن $x_j$ إلى النسخ غير الموجهة لجميع الحواف من الشكل $(𝐤,𝐯)$، حيث إن $𝐯$ متجه وحدي في الاتجاه $j$. وفي هذه الحالة، تُعطى مصفوفة الانتقال (4.1) بـ

(5.1)

لننظر في تحويل فورييه لها

$${[{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d]}_{(𝐩,𝐯),(𝐪,𝐮)}=\frac{1}{n^d}\sum _{𝐤,𝐥\in {𝒢}_n^d}{e}^{-\frac{2\pi i}{n}(𝐩\cdot 𝐤-𝐪\cdot 𝐥)}{[{\mathrm{\Lambda }}_n^d]}_{(𝐤,𝐯),(𝐥,𝐮)}.$$

ومن السهل أن نرى أن

لاحظ أن ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$ كتلية قطرية بكتل مفهرسة بالرؤوس $𝐩\in {𝒢}_n^d$ التي تقابل صفوفها وأعمدتها الحواف الموجهة $\overrightarrow{e}$ التي تحقق $t_{\overrightarrow{e}}=𝐩$. ولتكن ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$ الكتلة $2d\times 2d$ المقابلة لـ $𝐩\in {𝒢}_n^d$. وبما أن ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d$ مشابهة لـ ${\mathrm{\Lambda }}_n^d$، فلدينا

(5.2) $det(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_n^d)=det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d)={\displaystyle \prod _{𝐩\in {𝒢}_n^d}}det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)),$

حيث إن $\mathrm{Id}$ هي هوية البعد $2d$. ويمكن حساب هذه المحددات صراحة، كما هو مبين أدناه.

لمّة 5.1.

لدينا

$det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩))=\left[1+2{\displaystyle \sum _{i=1}^d}{\displaystyle \frac{x_i\left(x_i-\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)\right)}{1-x_i^2}}\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^d}(1-x_i^2).$

Proof.

البرهان بالاستقراء على $d$. لتكن $z_j=e^{\frac{2\pi i}{n}{p}_j}$. من أجل $d=1$،

وتكون العبارة صحيحة. افترض أنها صحيحة من أجل $d\le k$، وانظر في المصفوفة ${\mathrm{\Lambda }}_n^{k+1}(𝐩)$ من أجل $𝐩\in {𝒢}_n^{k+1}$. لتكن ${𝐩}^{\prime }=(p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_k)\in {𝒢}_n^k$ تقييد $𝐩$ على الإحداثيات $k$ الأولى. ولعدد $a$، سنكتب $\underset{¯}{a}$ لمتجه صفي أو عمودي كل مدخلاته مساوية لـ $a$. لتكن $M_n^d(𝐩)$ المصفوفة $\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$ حيث يقسم كل صف مناظر لحافة موجهة $(𝐩,𝐯)$ على $-x_j{e}^{\frac{2\pi i}{n}𝐩\cdot 𝐯}$، حيث إن $𝐩\cdot 𝐯$ إما $p_j$ أو $-p_j$. لاحظ أن $det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩))=det{M}_n^d(𝐩){\prod }_{i=1}^d{x}_i^2$. وباستخدام خطية المحدد، لدينا

$det$

لتكن ${\overline{M}}_n^k({𝐩}^{\prime })$ المصفوفة $M_n^k({𝐩}^{\prime })$، حيث نطرح من كل مدخل $1$. إنها مصفوفة كتلية قطرية بكتل ذات حجم $2$:

من أجل $1\le i\le k$، التي تقابل صفوفها وأعمدتها أزواج الحواف الموجهة $({𝐩}^{\prime },\pm 𝐯)$. ومن ثم،

لذلك، بفرضية الاستقراء،

$det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^{k+1}(𝐩))$

$=2x_{k+1}\left[x_{k+1}-\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}{p}_{k+1}\right)\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^k}(1-x_i^2)+(1-x_{k+1}^2)det(\mathrm{Id}-{\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^k(𝐩))$

$=\left[1+2{\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}}{\displaystyle \frac{x_i\left(x_i-\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)\right)}{1-x_i^2}}\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^{k+1}}(1-x_i^2).\mathit{∎}$

من كل هذه الاعتبارات نحصل على صيغة مضبوطة لدالة تقسيم النموذج على الطارة.

نتيجة 5.2.

دالة تقسيم النموذج على ${𝒢}_n^d$ بأوزان ثابتة بالانتقال $𝐱=(x_1,\mathrm{\dots },x_d)$ تحقق

(5.3)

هي

$$Z_{ℒ}=\prod _{𝐩\in {𝒢}_n^d}{\left[1+2\sum _{i=1}^d\frac{x_i\left(x_i-\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)\right)}{1-x_i^2}\right]}^{-\frac{1}{2}}\prod _{i=1}^d{(1-x_i^2)}^{-\frac{n^d}{2}}.$$

Proof.

نستخدم (5.1) واللمّة 5.1، ونلاحظ أن محددات جميع الكتل موجبة متى كان (5.3) صحيحاً. ∎

تُعرّف كثافة الطاقة الحرة للنموذج بأنها سالب لوغاريتم دالة التقسيم مقسوماً على «الحجم» (عدد الحواف):

$$f(𝐱)=-\frac{\log Z_{ℒ}}{|E|}.$$

وكنتيجة سهلة للنتيجة أعلاه، نحصل على أن كثافة الطاقة الحرة الحدية عندما تقترب ${𝒢}_n^d$ من ${\mathbb{Z}}^d$ تُعطى بصيغة صريحة.

نتيجة 5.3.

كثافة الطاقة الحرة للنموذج على ${𝒢}_n^d$ بأوزان ثابتة بالانتقال $𝐱$ تحقق (5.3) في الحد الثرموديناميكي ${𝒢}_n^d\nearrow {\mathbb{Z}}^d$ تُعطى بـ

$f(𝐱)\cdot 2d={\displaystyle \sum _{i=1}^d}\log (1-x_i^2)+{\displaystyle \frac{1}{{(2\pi )}^d}}{\displaystyle {\int }_{{[0,2\pi ]}^d}}\log \left[1+2{\displaystyle \sum _{i=1}^d}{\displaystyle \frac{x_i\left(x_i-\cos {\alpha }_i\right)}{1-x_i^2}}\right]𝑑\alpha .$

لاحظ أن اللوغاريتم في التكامل يتباعد عندما $\alpha \to 0$ على السطح الحرج

$$\sum _{i=1}^d\frac{x_i}{1+x_i}=\frac{1}{2}.$$

من الآن فصاعداً، سنبسّط الإطار بالنظر فقط في النماذج المتجانسة ذات معامل واحد $x$ بحيث $𝐱=(x,\mathrm{\dots },x)$. في هذه الحالة، تكون النقطة الحرجة $x_c=1/(2d-1)$. نحلل الآن سلوك الجزء الشاذ من كثافة الطاقة الحرة عندما $x\nearrow x_c$. سنكتب $A(x)\sim B(x)$ إذا كان $c_{1}B(x)+c_2\le A(x)\le C_{1}B(x)+C_2$، لبعض الثوابت $c_1,c_2,C_1,C_2$ (المعتمدة على $d$) عندما $x\nearrow x_c$.

نتيجة 5.4.

لتكن $\delta =d/2$ إذا كان $d$ زوجياً و$\delta =(d+1)/2$ إذا كان $d$ فردياً. إذا كان ، فإن $d^{n}f(x)/d{x}^n$ تبقى منتهية عندما $x\nearrow x_c$. وإذا كان $d$ زوجياً، فإن $d^{\delta }f(x)/d{x}^{\delta }\sim \log (x_c-x)$، و إذا كان $d$ فردياً، فإن $d^{\delta }f(x)/d{x}^{\delta }\sim {(x_c-x)}^{-1/2}$ عندما $x\nearrow x_c$.

Proof.

بوضع $2xp(x)=(2d-1)x^2-2dx+1$ (بحيث $p(x_c)=0$ و$\frac{p(x)}{x_c-x}\to const\ne 0$ عندما $x\nearrow x_c$)، يمكن، حتى ثوابت، كتابة الجزء الشاذ من $f$ كما يلي:

${\displaystyle {\int }_{{[0,2\pi ]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}(1-\cos {\alpha }_i)\right]𝑑\alpha$

$=$ $2{\displaystyle {\int }_{{[0,\pi ]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}(1-\cos {\alpha }_i)\right]𝑑\alpha$

$\sim$ ${\displaystyle {\int }_{{[0,\pi /2]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}(1-\cos {\alpha }_i)\right]𝑑\alpha$

$=$ ${\displaystyle {\int }_{{[0,1]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}{y}_i\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^d}{\displaystyle \frac{d{y}_i}{\sqrt{y_i(2-y_i)}}}$

$\sim$ ${\displaystyle {\int }_{{[0,1]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}{y}_i\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^d}{y}_i^{-1/2}d{y}_i$

$=$ $2^d{\displaystyle {\int }_{{[0,1]}^d}}\log \left[p(x)+{\displaystyle \sum _{i=1}^d}{z}_i^2\right]{\displaystyle \prod _{i=1}^d}d{z}_i$

$\sim$ $2^d{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{d}}}\log \left[p(x)+r^2\right]r^{d-1}𝑑r$

$=$ $2^d{d}^{d/2-1}\log [p(x)+d]-{\displaystyle \frac{2^{d+2}x}{d}}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{d}}}{\displaystyle \frac{r^{d+1}}{p(x)+r^2}}𝑑r.$

نرى أن التكامل متقارب عند $x=x_c$ لكل $d\ge 2$. غير أن أخذ $n$ مشتقات من $f$ يولد حداً يحتوي التكامل

$${\int }_0^{\sqrt{d}}\frac{r^{d-1}dr}{{(p(x)+r^2)}^n}.$$

وعند $x=x_c$، يكون هذا التكامل متقارباً إذا ومتباعداً إذا $2n\ge d$.

بكتابة $p=p(x)$، ومن أجل $x$ قريب بما يكفي من $x_c$، لدينا

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{d}}}{\displaystyle \frac{r^{d-1}dr}{{(p+r^2)}^n}}={\displaystyle {\int }_{\sqrt{p}}^{\sqrt{d+p}}}{\displaystyle \frac{{(s^2-p)}^{\frac{d}{2}-1}}{s^{2n-1}}}𝑑s\le {\displaystyle {\int }_{\sqrt{p}}^{\sqrt{d+p}}}{s}^{d-1-2n}𝑑s$

و

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{d}}}{\displaystyle \frac{r^{d-1}dr}{{(p+r^2)}^n}}$ $={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{p}}}{\displaystyle \frac{r^{d-1}dr}{{(p+r^2)}^n}}+{\displaystyle {\int }_{\sqrt{p}}^{\sqrt{d}}}{\displaystyle \frac{r^{d-1}dr}{{(p+r^2)}^n}}$

$\ge {\displaystyle \frac{1}{{(2p)}^n}}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{p}}}{r}^{d-1}𝑑r+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}{\displaystyle {\int }_{\sqrt{p}}^{\sqrt{d}}}{r}^{d-1-2n}𝑑r$

$={\displaystyle \frac{1}{d{2}^n}}{p}^{d/2-n}+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}{\displaystyle {\int }_{\sqrt{p}}^{\sqrt{d}}}{r}^{d-1-2n}𝑑r.$

وتنتج العبارة الأخيرة من اللمّة بأخذ $n=\delta$. ∎

5.2. دالة النقطة الواحدة

في هذا القسم نحسب دالة النقطة الواحدة للنموذج المتجانس على ${𝒢}_n^d$ و${\mathbb{Z}}^d$. نبدأ بلمّة تعبّر عنها بدلالة دالة غرين. وتُبرهن النتيجة بالتعبير عن الكمية المطلوبة بدلالة كائن مشابه في حساء الحلقات الموجهة، ثم بتكرار برهان كلاسيكي لعبارة مماثلة لحساءات الحلقات العامة [lejan11]. لتكن

$$G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}={[{(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}^{-1}]}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}$$

دالة غرين للسير العشوائي غير المرتد. إذا كانت $X$ متغيراً عشوائياً، فسنكتب $⟨X⟩$ لتوقعه.

لمّة 5.5.

لأي حافة $e$،

$$⟨N_{ℒ}(e)⟩=G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}-1,$$

حيث إن $\overrightarrow{e}$ هي أي من النسختين الموجهتين لـ $e$. ونتيجة لذلك،

$$⟨\frac{1}{|E|}\sum _{e\in E}{N}_{ℒ}(e)⟩=\frac{1}{2|E|}\mathrm{Tr}{(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}^{-1}-1$$

Proof.

لتكن $\overrightarrow{ℒ}$ حساء الحلقات غير المجذرة لكنها موجهة ذو الشدة $\frac{1}{2}$، أي عملية بواسون نقطية ذات قياس شدة $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mu }$، حيث $\overrightarrow{\mu }(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})=\mu (\mathrm{\ell })$، وحيث $\overrightarrow{\mathrm{\ell }}$ نسخة موجهة من $\mathrm{\ell }$. لحافة موجهة $\overrightarrow{e}$، لتكن $N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})$ عدد المرات التي تزور فيها $\overrightarrow{ℒ}$ الحافة $\overrightarrow{e}$. لدينا

$$N_{ℒ}(e)\stackrel{d}{=}{N}_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})+N_{\overrightarrow{ℒ}}(-\overrightarrow{e}),$$

وبما أن توزيع $\overrightarrow{ℒ}$ ثابت تحت عكس جميع الحلقات،

$$N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})\stackrel{d}{=}{N}_{\overrightarrow{ℒ}}(-\overrightarrow{e}).$$

ومن ثم $⟨N_{ℒ}(e)⟩=2⟨N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})⟩$.

ثبّت حافة موجهة $\overrightarrow{e}$. ومن أجل $|t|\le 1$، لتكن

ولتكن $Z_t$ دالة تقسيم حساء الحلقات الموافق. وباستخدام التعبير (3.2) لدالة التقسيم واللمّة 4.1، نرى أن

$⟨N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})⟩$ $={{\displaystyle \frac{d}{dt}}\log Z_t|}_{t=1}$

$={\displaystyle \frac{{\frac{d}{dt}{det}^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_t)|}_{t=1}}{{det}^{-\frac{1}{2}}(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{{\frac{d}{dt}det(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_t)|}_{t=1}}{det(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}}$

$={{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Tr}\left[{(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}^{-1}{\displaystyle \frac{d}{dt}}{\mathrm{\Lambda }}_t\right]|}_{t=1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Tr}\left[{(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}^{-1}{I}_{\overrightarrow{e}}\mathrm{\Lambda }\right]$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Tr}\left[I_{\overrightarrow{e}}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}}{\mathrm{\Lambda }}^n\right]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Tr}\left[I_{\overrightarrow{e}}\left({(\mathrm{Id}-\mathrm{\Lambda })}^{-1}-\mathrm{Id}\right)\right]$

$={\displaystyle \frac{1}{2}}(G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}-1),$

حيث تنتج الهوية الرابعة من صيغة جاكوبي لمشتقة المحدد، وحيث ${[I_{\overrightarrow{e}}]}_{{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2}={\mathrm{𝟙}}_{\{{\overrightarrow{e}}_1={\overrightarrow{e}}_2=\overrightarrow{e}\}}$. ∎

كما في حالة دالة التقسيم، يمكن، باستخدام النتيجة أعلاه التي تربط دالة النقطة الواحدة بالمصفوفة الكامنة، إجراء حسابات مضبوطة للنموذج المتجانس.

لمّة 5.6.

القيم الذاتية لـ ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$ هي $\pm x$ بتعددية $d-1$، و

$$x\frac{2d-1}{a_{𝐩}\pm \sqrt{a_{𝐩}^2-2d+1}}$$

بتعددية $1$، حيث $a_{𝐩}={\sum }_{i=1}^d\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)$.

Proof.

تنتج النتيجة من اللمّة 5.1. ∎

لاحظ أنه ينتج أن نصف القطر الطيفي لـ ${\mathrm{\Lambda }}_n^d$ يساوي $(2d-1)x$ ويتحقق بإحدى القيم الذاتية ذات التعددية واحد لـ ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$ من أجل $𝐩=(0,\mathrm{\dots },0)$.

نتيجة 5.7.

لأي حافة $e$ من ${𝒢}_n^d$،

$$⟨N_{ℒ}(e)⟩=\frac{1}{d{n}^d}\sum _{𝐩\in {𝒢}_n^d}\frac{1-x{\sum }_{i=1}^d\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)}{1+(2d-1)x^2-2x{\sum }_{i=1}^d\cos \left(\frac{2\pi }{n}{p}_i\right)}+A(x),$$

ومن ثم، في الحد الثرموديناميكي،

$\underset{{𝒢}_n^d\nearrow {\mathbb{Z}}^d}{lim}⟨N_{ℒ}(e)⟩$ $={\displaystyle \frac{1}{d{(2\pi )}^d}}{\displaystyle {\int }_{{[0,2\pi ]}^d}}{\displaystyle \frac{1-x{\sum }_{i=1}^d\cos {\alpha }_i}{1+(2d-1)x^2-2x{\sum }_{i=1}^d\cos {\alpha }_i}}𝑑\alpha +A(x),$

حيث إن $A(x)=\frac{d-1}{d}{(1-x^2)}^{-1}-1$ ملساء على $(0,1)$.

Proof.

لتكن ${\sigma }_n^d(𝐩)$ طيف ${\widehat{\mathrm{\Lambda }}}_n^d(𝐩)$. وباستخدام اللمّتين 5.5 و 5.6، لدينا

$⟨N_{ℒ}(e)⟩+1$ $=⟨{\displaystyle \frac{1}{|E|}}{\displaystyle \sum _{e^{\prime }\in E}}{N}_{ℒ}(e^{\prime })⟩+1={\displaystyle \frac{1}{2|E|}}\mathrm{Tr}{(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{-1}$

$={\displaystyle \frac{1}{2d{n}^d}}{\displaystyle \sum _{𝐩\in {𝒢}_n^d}}{\displaystyle \sum _{\lambda \in {\sigma }_n^d(𝐩)}}{(1-\lambda )}^{-1}$

$={\displaystyle \frac{d-1}{d}}{(1-x^2)}^{-1}+{\displaystyle \frac{1}{d{n}^d}}{\displaystyle \sum _{𝐩\in {𝒢}_n^d}}{\displaystyle \frac{1-x{a}_{𝐩}}{1+(2d-1)x^2-2x{a}_{𝐩}}}.\mathit{∎}$

نتيجة 5.8.

عندما $x\nearrow x_c=1/(2d-1)$، تبقى ${lim}_{{𝒢}_n^d\nearrow {\mathbb{Z}}^d}⟨N_{ℒ}(e)⟩$ محدودة من أجل $d\ge 3$، وتتباعد لوغاريتمياً من أجل $d=2$.

Proof.

تعطي النتيجة 5.7 وحساب مماثل لذلك الوارد في برهان النتيجة 5.4

$$\underset{{𝒢}_n^d\nearrow {\mathbb{Z}}^d}{lim}⟨N_{ℒ}(e)⟩\sim 2^d{\int }_0^{\sqrt{d}}{\left[p(x)+r^2\right]}^{-1}{r}^{d-1}𝑑r.$$

والتكامل متقارب لكل $d\ge 3$؛ ومن أجل $d=2$، لدينا

$$4{\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{rdr}{[p(x)+r^2]}=2\log \left(\frac{p(x)+2}{p(x)}\right),$$

وهو يتباعد لوغاريتمياً عندما $x\nearrow x_c$. ∎

6. توزيع $N_{ℒ}(e)$

في هذا القسم نحسب الدالة المولدة لاحتمال $N_{ℒ}(e)$ ثم نستخدم النتيجة لإثبات مبرهنة حدية لحقل إشغال الحواف ثنائي البعد.

من أجل $|z|\le 1$، لتكن

$$p_e(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(N_{ℒ}(e)=n)z^n$$

هي الدالة المولدة لاحتمال $N_{ℒ}(e)$. ولحافة موجهة $\overrightarrow{e}$، لتكن $F_{\overrightarrow{e}}$ دالة تقسيم الحلقات الموجهة $\overrightarrow{\omega }$ المجذرة عند $\overrightarrow{e}$ التي لا تزور $-\overrightarrow{e}$ وبحيث ${\overrightarrow{\omega }}_i=\overrightarrow{e}$ فقط من أجل $i=1$ و$i=|\overrightarrow{\omega }|+1$ (أي مجموع أوزان جميع هذه الحلقات). ولتكن $F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }$ دالة تقسيم المسيرات $\overrightarrow{\omega }$ المجذرة عند $\overrightarrow{e}$ بحيث ${\overrightarrow{\omega }}_i=\overrightarrow{e}$ فقط من أجل $i=1$ و${\overrightarrow{\omega }}_i=-\overrightarrow{e}$ فقط من أجل $i=|\overrightarrow{\omega }|+1$.

لمّة 6.1.

$$p_e(z)={\left(\frac{1-z{F}_{-\overrightarrow{e}}-z^2{F}_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }}{1-F_{-\overrightarrow{e}}-F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }}\right)}^{-1/2}$$

Proof.

لتكن $Z_z$ دالة تقسيم حساء الحلقات الموجهة ذي قياس الشدة $\frac{1}{2}{\overrightarrow{\mu }}_z$، حيث ${\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})=\mu (\mathrm{\ell })z^{N_{\mathrm{\ell }}(e)}$. لدينا

$$p_e(z)=\frac{Z_z}{Z_1}=\exp \left(\frac{1}{2}\sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:e\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}{\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})\right)/\exp \left(\frac{1}{2}\sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:e\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}{\overrightarrow{\mu }}_1(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})\right).$$

وباستخدام الهوية

$$\sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:e\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}{\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})=\sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:\overrightarrow{e}\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}{\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})+\sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:-\overrightarrow{e}\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }},\overrightarrow{e}\notin \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}{\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})$$

وحقيقة معروفة جيداً (انظر، على سبيل المثال، اللمّة 9.3.2 في [LawlerLimic] أو اللمّة 4 في [Lis] لبرهان في حالة عدم الارتداد)، يحصل المرء على

(6.1) $\exp \left({\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}:e\in \overrightarrow{\mathrm{\ell }}}}{\overrightarrow{\mu }}_z(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})\right)={(1-{\tilde{G}}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^z)}^{-1/2}{(1-z{F}_{-\overrightarrow{e}})}^{-1/2},$

حيث إن ${\tilde{G}}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^z$ هي دالة تقسيم الحلقات الموجهة $\overrightarrow{\omega }$ المجذرة عند $\overrightarrow{e}$ بحيث ${\overrightarrow{\omega }}_i=\overrightarrow{e}$ فقط من أجل $i=1$ و$i=|\overrightarrow{\omega }|+1$، موزونة بالوزن $x^z(\overrightarrow{\omega })=x(\overrightarrow{\omega })z^{N_{\overrightarrow{\omega }}(e)}$. وبتقسيم هذه الحلقات بحسب أول وآخر زيارة لها إلى $-\overrightarrow{e}$، لدينا

$${\tilde{G}}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^z=z{F}_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{(1-z{F}_{-\overrightarrow{e}})}^{-1}z{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime },$$

وهذا مع (6.1) ينهي البرهان. ∎

خلافاً للبعد الثالث وما فوق، لا يكون حقل إشغال الحواف في بعدين معرفاً عند النقطة الحرجة (انظر، مثلاً، النتيجة 5.8). ومع ذلك، في ${𝒢}_n^2$ لأي $n$، بما في ذلك $n=\mathrm{\infty }$، يمكن استخدام المبرهنة 6.1 والنتيجة التالية لإثبات مبرهنة حدية، عندما $x\nearrow 1/3$، للحقل المطبّع بتوقعه.

نتيجة 6.2.

$$⟨N_{ℒ}(e)⟩=\frac{1}{2}\frac{F_{-\overrightarrow{e}}+2F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }}{1-F_{-\overrightarrow{e}}-F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }}$$

Proof.

نستخدم حقيقة أن $⟨N_{ℒ}(e)⟩={\frac{d}{dz}{p}_e(z)|}_{z=1}$ واللمّة 6.1. ∎

مبرهنة 6.3.

ثبّت $n$ (وربما $n=\mathrm{\infty }$) وانظر في حساء الحلقات $ℒ$ في ${𝒢}_n^2$. عندئذ، لأي حافة $e$، عندما $x\nearrow 1/3$، يتقارب $N_{ℒ}(e)/⟨N_{ℒ}(e)⟩$ في التوزيع إلى مربع التوزيع الطبيعي المعياري.

Proof.

سنستخدم مبرهنة الاستمرارية لـ Lévy. لتكن $\phi (t)$ الدالة المميزة لـ $N_{ℒ}(e)/⟨N_{ℒ}(e)⟩$، ولتكن $\epsilon =1-F_{\overrightarrow{e}}-F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }$ و$C=F_{-\overrightarrow{e}}+2F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }$. من النتيجتين 5.7 و 6.2، نستنتج أنه، عندما $x\nearrow 1/3$، فإن $\epsilon \to 0$ و$F_{-\overrightarrow{e}}$، بينما تبقى $F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }$ و$F_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }$ محدودة. ومن ثم، باللمّة 6.1 والنتيجة 6.2،

$\underset{x\nearrow 1/3}{lim}\phi (t)$ $=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\left(1-{\displaystyle \frac{(e^{2it\epsilon /C}-1)F_{-\overrightarrow{e}}+(e^{4it\epsilon /C}-1)F_{\overrightarrow{e}}^{\prime }{F}_{-\overrightarrow{e}}^{\prime }}{\epsilon }}\right)}^{-1/2}$

$={(1-2it)}^{-1/2},$

وهي الدالة المميزة لمربع التوزيع الطبيعي المعياري. ∎

7. دالة النقطتين

في هذا القسم نبيّن وجود نظام دون حرج تتناقص فيه الارتباطات أسياً. ندع

$${\overline{N}}_{ℒ}(e)=N_{ℒ}(e)-⟨N_{ℒ}(e)⟩$$

تكون دالة النقطتين المبتورة. ونرمز بـ $N_{\mathrm{\ell }}(e)$ إلى عدد زيارات الحلقة $\mathrm{\ell }$ إلى $e\in E$، ونكتب $e\in \mathrm{\ell }$ إذا كانت $\mathrm{\ell }$ تزور $e$ مرة واحدة على الأقل.

لمّة 7.1.

لأي زوج من الحواف $e,g$، لدينا

$$⟨{\overline{N}}_{ℒ}(e){\overline{N}}_{ℒ}(g)⟩=\sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}{N}_{\mathrm{\ell }}(e)N_{\mathrm{\ell }}(g)\mu (\mathrm{\ell }).$$

Proof.

سنستخدم الهوية الواضحة

$$N_{ℒ}(e)=\sum _{\mathrm{\ell }:e\in \mathrm{\ell },g\notin \mathrm{\ell }}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(e)+\sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(e),$$

حيث إن $\mathrm{\#}\mathrm{\ell }$ هي تعددية $\mathrm{\ell }$ في $ℒ$. وباستخدام حقيقة أن $ℒ$ عملية بواسون نقطية، نحصل على

$⟨{\overline{N}}_{ℒ}(e){\overline{N}}_{ℒ}(g)⟩=⟨N_{ℒ}(e)N_{ℒ}(g)⟩-⟨N_{ℒ}(e)⟩⟨N_{ℒ}(g)⟩$

$=⟨\left({\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(e)\right)\left({\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(g)\right)⟩$

$-⟨{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(e)⟩⟨{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })N_{\mathrm{\ell }}(g)⟩$

$={\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }:e,g\in \mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }}}{N}_{\mathrm{\ell }}(e)N_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}(g)⟨(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })(\mathrm{\#}{\mathrm{\ell }}^{\prime })⟩-{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }:e,g\in \mathrm{\ell },{\mathrm{\ell }}^{\prime }}}{N}_{\mathrm{\ell }}(e)N_{{\mathrm{\ell }}^{\prime }}(g)⟨\mathrm{\#}\mathrm{\ell }⟩⟨\mathrm{\#}{\mathrm{\ell }}^{\prime }⟩$

$={\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}{N}_{\mathrm{\ell }}(e)N_{\mathrm{\ell }}(g)\left(⟨{(\mathrm{\#}\mathrm{\ell })}^2⟩-{⟨\mathrm{\#}\mathrm{\ell }⟩}^2\right)={\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }:e,g\in \mathrm{\ell }}}{N}_{\mathrm{\ell }}(e)N_{\mathrm{\ell }}(g)\mu (\mathrm{\ell }).\mathit{∎}$

على شبكة منتظمة يكون لكل رأس فيها $2d$ جاراً أقرب، يكون عدد المسيرات المجذرة غير المرتدة ذات الطول $k$ محدوداً من الأعلى بـ ${(2d-1)}^k$. وتجعل اللمّة 7.1 واضحاً عندئذ أنه من أجل ينبغي للمرء أن يتوقع تناقصاً أسياً لدالة النقطتين المبتورة، مما يحدد بوصفه النظام دون الحرج و$x=1/(2d-1)$ بوصفه النقطة الحرجة.

نعبّر الآن عن دالة النقطتين المبتورة بدلالة دالة غرين، ونستخدم التعبير لإعطاء برهان للتناقص الأسي في النظام دون الحرج.

لمّة 7.2.

لأي زوج من الحواف $e,g$، لدينا

$$2⟨{\overline{N}}_{ℒ}(e){\overline{N}}_{ℒ}(g)⟩=G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}{G}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{e}}+G_{-\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}{G}_{\overrightarrow{g},-\overrightarrow{e}}+G_{-\overrightarrow{e},-\overrightarrow{g}}{G}_{-\overrightarrow{g},-\overrightarrow{e}}+G_{\overrightarrow{e},-\overrightarrow{g}}{G}_{-\overrightarrow{g},\overrightarrow{e}}.$$

Proof.

كما في دالة النقطة الواحدة، ننظر في حساء الحلقات الموجهة $\overrightarrow{ℒ}$. لدينا

$$⟨N_{ℒ}(e)N_{ℒ}(g)⟩=⟨\left(N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})+N_{\overrightarrow{ℒ}}(-\overrightarrow{e})\right)\left(N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{g})+N_{\overrightarrow{ℒ}}(-\overrightarrow{g})\right)⟩.$$

لنحسب $⟨N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{g})⟩$. من أجل $|s|,|t|\le 1$، لتكن $Z_{s,t}$ دالة تقسيم حساء الحلقات الموجهة ذي قياس الشدة $\frac{1}{2}{\overrightarrow{\mu }}_{s,t}$، حيث

$${\overrightarrow{\mu }}_{s,t}(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})=\overrightarrow{\mu }(\overrightarrow{\mathrm{\ell }})s^{N_{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}}(\overrightarrow{e})}{t}^{N_{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}}(\overrightarrow{g})},$$

مع كون $N_{\overrightarrow{\mathrm{\ell }}}(\overrightarrow{e})$ عدد زيارات $\overrightarrow{\mathrm{\ell }}$ إلى $\overrightarrow{e}$. وباستخدام شكل دالة التقسيم (انظر (3.2))، لدينا

$⟨N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{e})N_{\overrightarrow{ℒ}}(\overrightarrow{g})⟩={\displaystyle \frac{{\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial }{\partial t}{Z}_{s,t}|}_{s,t=1}}{Z_{1,1}}}={\displaystyle \frac{{\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial }{\partial t}\exp (\log Z_{s,t})|}_{s=t=1}}{Z_{1,1}}}$

$={{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}\log Z_{s,t}|}_{s,t=1}+{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}\log Z_{s,t}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}\log Z_{s,t}|}_{s,t=1}$

$={{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}{G}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}(s)|}_{s=1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}⟨N_{ℒ}(e)⟩⟨N_{ℒ}(g)⟩,$

حيث استخدمنا اللمّة 5.5، وحيث $G^s$ هي دالة غرين للسير غير المرتد ذي الوزن $x_s(\overrightarrow{\omega })=x(\overrightarrow{\omega })s^{N_{\overrightarrow{\omega }}(\overrightarrow{g})}$. لتكن ${\tilde{G}}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}}$ دالة تقسيم الحلقات الموجهة $\overrightarrow{\omega }$ المجذرة عند $\overrightarrow{g}$ بحيث ${\overrightarrow{\omega }}_i=\overrightarrow{g}$ فقط من أجل $i=1$ و$i=|\overrightarrow{\omega }|+1$ (أي مجموع أوزان جميع هذه الحلقات). وبتقسيم الحلقات التي تزور $\overrightarrow{g}$ مرات متعددة إلى حلقات تزور $\overrightarrow{g}$ مرة واحدة فقط، يمكن أن نرى أن $G_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}}^s={(1-s{\tilde{G}}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}})}^{-1}-1$، ومن ثم $G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^s=Cs{(1-s{\tilde{G}}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}})}^{-1}$، حيث إن $C$ لا يعتمد على $s$ (ويأتي العامل الإضافي $s$ من أول زيارة للسير إلى $\overrightarrow{g}$). لاحظ أن الحلقات التي تزور $\overrightarrow{g}$ وحدها تبقى بعد التفاضل $\frac{\partial }{\partial s}$، وأن

$${\frac{\partial }{\partial s}s{(1-s{\tilde{G}}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}})}^{-1}|}_{s=1}={(1-{\tilde{G}}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}})}^{-2}=G_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{g}}^2.$$

وبتفكيك الحلقات المجذرة التي تبدأ عند $\overrightarrow{e}$ بحسب أول وآخر زيارة لها إلى $\overrightarrow{g}$ واستخدام الهوية أعلاه نحصل على أن ${\frac{\partial }{\partial s}{G}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{e}}^s|}_{s=1}=G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}{G}_{\overrightarrow{g},\overrightarrow{e}}$، وهذا ينهي البرهان. ∎

نتيجة 7.3 (التناقص الأسي).

للنموذج المتجانس على الطارة ${𝒢}_n^d$ مع ، لدينا

$$⟨{\overline{N}}_{ℒ}(e){\overline{N}}_{ℒ}(g)⟩\le 2\frac{{(x(2d-1))}^{2d(e,g)}}{{(1-x(2d-1))}^2},$$

حيث إن $d(e,g)$ هي مسافة الرسم البياني بين $e$ و$g$.

Proof.

باللمّة 7.2، يكفي أن نثبت أن $G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}\le \frac{{(x(2d-1))}^{d(e,g)}}{1-x(2d-1)}$. المعيار $L^1$ المستحث لمصفوفة الانتقال هو ${\Vert {\mathrm{\Lambda }}_n^d\Vert }_1=x(2d-1)$. ومن ثم،

$G_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}$ $={[{(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{-1}]}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}={[{({\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{d(e,g)}{(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{-1}]}_{\overrightarrow{e},\overrightarrow{g}}$

$\le {\Vert {({\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{d(e,g)}{(\mathrm{Id}-{\mathrm{\Lambda }}_n^d)}^{-1}\Vert }_1\le {\Vert {\mathrm{\Lambda }}_n^d\Vert }_1^{d(e,g)}{(1-{\Vert {\mathrm{\Lambda }}_n^d\Vert }_1)}^{-1}.\mathit{∎}$

8. نموذج لف موجب الانعكاس

في هذا القسم ننظر في حساء الحلقات على الشبكة المربعة، المعرف بوصفه الرسم البياني ذي الرؤوس ${\mathbb{Z}}^2$ والحواف بين الرؤوس المتجاورة الأقرب. والرسم البياني الثنائي ${({\mathbb{Z}}^2)}^{\ast }$ هو أيضاً شبكة مربعة. ونقرن بكل رأس $v^{\ast }$ من الرسم البياني الثنائي ${({\mathbb{Z}}^2)}^{\ast }$ متغيراً $(\pm 1)$-القيم (لفياً) ${\sigma }_{v^{\ast }}$.

نعرّف نموذج لف على رؤوس ${({\mathbb{Z}}^2)}^{\ast }$ بأخذ حساء حلقات $ℒ$ في ${\mathbb{Z}}^2$ وإسناد، إلى كل رأس ثنائي $v^{\ast }$، اللف

(8.1) ${\sigma }_{v^{\ast }}=\exp \left({\displaystyle \frac{i}{2}}{\displaystyle \sum _{\mathrm{\ell }\in ℒ}}{\theta }_{\mathrm{\ell }}(v^{\ast })\right),$

حيث إن ${\theta }_{\mathrm{\ell }}(v^{\ast })$ هي زاوية اللف (مضاعف لـ $\pm 2\pi$) للحلقة $\mathrm{\ell }$ حول $v^{\ast }$ (وترمز $i$ هنا إلى الوحدة التخيلية). ونفترض هنا أنه لا يوجد إلا عدد منته من الحلقات المحيطة بأي رأس ثنائي. وهذا صحيح لأي .

سنبيّن الآن أن نموذج اللف هذا موجب الانعكاس. (انظر [Biskup] لمزيد من المعلومات حول مفهوم إيجابية الانعكاس واستخدامه في سياق نماذج اللف الشبكية. وتُعالَج مسألة إيجابية الانعكاس في سياق حساء الحلقات في الفصل 9 من [lejan11].) لـ ${\mathbb{Z}}^2$ تناظر انعكاسي طبيعي على طول أي مستقيم $l$ يمر بمجموعة من الرؤوس الثنائية. يقسم مثل هذا المستقيم ${\mathbb{Z}}^2$ إلى نصفين، ${\mathbb{Z}}_{+}^2$ و${\mathbb{Z}}_{-}^2$. ونقسم أيضاً الرسم البياني الثنائي ${({\mathbb{Z}}^2)}^{\ast }$ تبعاً لذلك إلى نصفين، ${({\mathbb{Z}}_{+}^2)}^{\ast }$ و${({\mathbb{Z}}_{-}^2)}^{\ast }$، بحيث ${({\mathbb{Z}}_{+}^2)}^{\ast }\cap {({\mathbb{Z}}_{-}^2)}^{\ast }=V_l^{\ast }$، حيث إن $V_l^{\ast }$ هي مجموعة رؤوس ${({\mathbb{Z}}^2)}^{\ast }$ الواقعة على $l$.

لتكن ${ℱ}^{+}$ (على التوالي، ${ℱ}^{-}$) مجموعة جميع دوال متغيرات اللف ${({\sigma }_{v^{\ast }})}_{v^{\ast }\in {({\mathbb{Z}}_{+}^2)}^{\ast }}$ (على التوالي، ${({\sigma }_{v^{\ast }})}_{v^{\ast }\in {({\mathbb{Z}}_{-}^2)}^{\ast }}$). ولتكن $\vartheta$ مؤثر الانعكاس، $\vartheta :{ℱ}^{\pm }\to {ℱ}^{\mp }$، الذي يُعطى فعله على اللفات بـ $\vartheta ({\sigma }_{v^{\ast }})={\sigma }_{\vartheta (v^{\ast })}$، ولترمز $𝔼$ إلى التوقع بالنسبة إلى حساء الحلقات.

لمّة 8.1 (إيجابية الانعكاس).

لكل الدوال $f,g\in {ℱ}^{+}$، $𝔼(f\vartheta g)=𝔼(g\vartheta f)$ و$𝔼(f\vartheta f)\ge 0$.

Proof.

خذ $v^{\ast }\in {({\mathbb{Z}}_{\pm }^2)}^{\ast }$ وارسم مساراً في ${({\mathbb{Z}}_{\pm }^2)}^{\ast }$ من $v^{\ast }$ إلى اللانهاية. ولتكن $n_{v^{\ast }}$ عدد حلقات وأقواس الحساء في ${\mathbb{Z}}_{\pm }^2$ التي تعبر المسار عدداً فردياً من المرات. ويمكن أن نرى أن ${\sigma }_{v^{\ast }}={(-1)}^{n_{v^{\ast }}}$، ومن ثم فإن نموذج اللف في ${({\mathbb{Z}}_{\pm }^2)}^{\ast }$ هو دالة في الحساء المقيد بـ ${\mathbb{Z}}_{\pm }^2$.

لتكن $E_l$ حواف ${\mathbb{Z}}^2$ التي يقطعها خط الانعكاس $l$. ومن ثم تقتضي المبرهنة 3.3 أن $f$ و$\vartheta g$ مستقلان شرطياً على ${N_S|}_{E_l}$. وباستخدام تناظر الانعكاس، يعطي هذا $𝔼(f\vartheta g{|N_S|}_{E_l})=𝔼(f{|N_S|}_{E_l})𝔼(\vartheta g{|N_S|}_{E_l})$. وينتج برهان اللمّة فوراً من قانون التوقع الكلي. ∎

تعريف نموذج اللف على الشبكة المربعة ملائم للتعبير عن إيجابية الانعكاس، لكن يمكن بالطبع تعريف النموذج نفسه على رسوم بيانية ثنائية البعد أخرى. انظر، مثلاً، في نموذج اللف المعرف بواسطة (8.1) على مجموعة جزئية منتهية من الشبكة المربعة أو السداسية ذات شرط حدي صفري $\xi$ وأوزان حواف متساوية $x_e=x\forall e\in E$. نعرّف حقل المغنطة (غير المطبّع) بأنه ${\sum }_{v^{\ast }}{\sigma }_{v^{\ast }}{\delta }_{v^{\ast }}$، حيث ترمز ${\delta }_{v^{\ast }}$ إلى دلتا ديراك عند $v^{\ast }$. نخمن أنه، إذا $x=1/3$ في حالة الشبكة المربعة أو $x=1/2$ في حالة الشبكة السداسية، فإن حقل المغنطة، عندما يعاد قياسه على نحو مناسب، يملك حداً استمراري القياس يفضي إلى أحد الحقول المطابقة المناقشة في [CGK] و[CamLis]، أي حقل اللف مع $\lambda =1/2$ و$\beta =\pi$ بلغة [CGK]. (لاحظ أنه، إذا على الشبكة المربعة أو على الشبكة السداسية، يمكن إظهار أن دالة النقطتين المبتورة تتناقص أسياً بسهولة بحجج مشابهة لتلك الواردة في برهان اللمّة 7.1.)

تأتي بعض الأدلة المؤيدة لهذا التخمين من [BJVL]. في تلك الورقة، ينظر المؤلفون في حد القياس لكمية يمكن تفسيرها بوصفها دالة النقطة الواحدة لنموذج لف معرف بواسطة (8.1)، لكن باستخدام مسيرات بلا شرط عدم الارتداد. ويعبرون عن الحد بدلالة حساء الحلقات البراونية [LawWer] بطريقة تتسق مع تخميننا. ونتوقع أن شرط عدم الارتداد لا يغيّر حد القياس لحساء الحلقات، ومن ثم ينبغي أن ينطبق الحساب نفسه على دالة النقطة الواحدة لنموذج اللف لدينا.

يوحي تخميننا واللمّة 8.1 بأن حقل اللف في [CGK] و[CamLis] مع $\lambda =1/2$ و$\beta =\pi$ موجب الانعكاس ويحقق بديهيات Osterwalder-Schrader لنظرية الحقول الإقليدية [osterwalder1973].

ونخمن أيضاً أنه، في حالة الشبكة المربعة مع $x=1/3$ وفي حالة الشبكة السداسية مع $x=1/2$ على حد سواء، في حد القياس الاستمراري، تتقارب مجموعة حدود عناقيد اللف إلى CLE₄، أي مجموعة الحلقات المطابقة ذات المعامل $\kappa =4$.

شكر وتقدير. يقر المؤلف الأول بدعم منحة VIDI رقم 639.032.916 المقدمة من المنظمة الهولندية للبحث العلمي. كما يشكر Chuck Newman وRoberto Fernandez على اقتراحات مفيدة. أُنجز جزء من البحث بينما كان المؤلف الثاني في Brown University. ويشكر المؤلف الثاني أيضاً VU University Amsterdam على ضيافتها خلال زيارتين أثناء إنجاز الورقة. ويعرب المؤلفان كلاهما عن امتنانهما لـ Yves Le Jan على محادثات وملاحظات مفيدة عدة حول مسودة سابقة من الورقة، وعلى لفت انتباههما إلى المرجعين [lejan15] و[lejan16]، وإلى دالة زيتا لإيهارا. كما يشكران Wendelin Werner على نقاش مفيد حول الخاصية الماركوفية المكانية لحساءات الحلقات.