نتائج الانفجار لمعادلة حرارة شبه خطية مضطربة بشدة: تحليل نظري وطريقة عددية

الملخص

نبحث حلا انفجاريا لمعادلة حرارة شبه خطية مضطربة بشدة ذات لاخطية قوى دون حرجة بمعنى سوبوليف. وضمن إطار متغيرات التشابه، نجد دالة ليابونوف للمسألة. وباستعمال دالة ليابونوف هذه، نستنتج معدل الانفجار وحد الانفجار للحل. كما نصنف جميع السلوكيات التقاربية للحل عند المتفردة، ونعطي بدقة ملامح الانفجار الموافقة لهذه السلوكيات. وأخيرا، نحصل عدديا على ملمح الانفجار، بفضل خوارزمية جديدة لتنقيح الشبكة مستوحاة من طريقة إعادة القياس لـ Berger and Kohn [5]. ونلاحظ أن طريقتنا قابلة للتطبيق على معادلات أكثر عمومية، ولا سيما تلك التي لا تملك ثباتا قياسيا.

الكلمات المفتاحية: الانفجار، دالة ليابونوف، السلوك التقاربي، ملمح الانفجار، معادلة الحرارة شبه الخطية، حد من رتبة أدنى.

1 مقدمة

نهتم في هذا البحث بظواهر الانفجار الناشئة في مسألة الحرارة اللاخطية الآتية:

(1)

حيث $u(t):x\in {ℝ}^n\to u(x,t)\in ℝ$ ويمثل $\mathrm{\Delta }$ مؤثر لابلاس في ${ℝ}^n$. والأس $p>1$ دون حرج (أي إن إذا كان $n\ge 3$)، و$h$ معطى بـ

$$h(z)=\mu \frac{{|z|}^{p-1}z}{{\log }^a(2+z^2)},\text{with}a>0,\mu \in ℝ.$$ (2)

بحسب النتائج المعيارية، تملك المسألة (1) حلا كلاسيكيا وحيدا $u(x,t)$ في $L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$، يوجد على الأقل للأزمنة الصغيرة. وقد يطور الحل $u(x,t)$ متفردات في زمن منته. نقول إن $u(x,t)$ ينفجر في زمن منته $T$ إذا كان $u(x,t)$ يحقق (1) في ${ℝ}^b\times [0,T)$ و

$$\underset{t\to T}{lim}{\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}=+\mathrm{\infty }.$$

يسمى $T$ زمن انفجار $u(x,t)$. وفي حالة الانفجار هذه، تسمى النقطة $b\in {ℝ}^n$ نقطة انفجار للحل $u(x,t)$ إذا وفقط إذا وُجدت $(x_n,t_n)\to (b,T)$ بحيث إن $|u(x_n,t_n)|\to +\mathrm{\infty }$ عندما $n\to +\mathrm{\infty }$.

في الحالة $\mu =0$، تكون المعادلة (1) هي معادلة الحرارة شبه الخطية،

$$u_t=\mathrm{\Delta }u+{|u|}^{p-1}u.$$ (3)

وقد دُرست المسألة (3) بطرائق مختلفة في الأدبيات. وقد أثبت عدة مؤلفين وجود حلول انفجارية (انظر Fujita [12]، وLevine [27]، وBall [3]). لنعتبر $u(x,t)$ حلا للمعادلة (3) ينفجر عند زمن $T$. إن أول سؤال ينبغي الإجابة عنه هو معدل الانفجار، أي توجد ثوابت موجبة $C_1,C_2$ بحيث

$$C_1{(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}}\le {\Vert u(t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}\le C_2{(T-t)}^{-\frac{1}{p-1}},\forall t\in (0,T).$$ (4)

ينتج الحد الأدنى في (4) من حجة بسيطة قائمة على صيغة Duhamel (انظر Weissler [36]). أما بالنسبة إلى الحد الأعلى، فقد أثبت Giga and Kohn (4) في [13] من أجل أو من أجل معطيات ابتدائية غير سالبة مع $p$ دون حرج. ثم عُممت هذه النتيجة إلى جميع القيم دون الحرجة لـ $p$ من غير افتراض عدم السلبية للمعطيات الابتدائية $u_0$ بواسطة Giga, Matsui and Sasayama في [15]. ويعد التقدير (4) خطوة أساسية للحصول على معلومات أدق عن السلوك التقاربي للانفجار، محليا قرب نقطة انفجار معطاة $\widehat{b}$. وقد بين Giga and Kohn في [14] أنه من أجل نقطة انفجار معطاة $\widehat{b}\in {ℝ}^n$،

$$\underset{t\to T}{lim}{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(\widehat{b}+y\sqrt{T-t},t)=\pm \kappa ,$$

حيث $\kappa ={(p-1)}^{-\frac{1}{p-1}}$، بانتظام على المجموعات المدمجة من ${ℝ}^n$.
وقد صيغت هذه النتيجة على نحو أدق بواسطة Filippas and Liu [11] (انظر أيضا Filippas and Kohn [10]) وVelázquez [34]، [35] (انظر أيضا Herrero and Velázquez [22]، [24]، [21]). وباستعمال نظرية إعادة التطبيع، أثبت Bricmont and Kupiainen في [6] وجود حل للمعادلة (3) بحيث

$${\Vert {(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(\widehat{b}+z\sqrt{(T-t)|\log (T-t)|},t)-f_0(z)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}\to 0\text{as}t\to T,$$ (5)

حيث

$$f_0(z)=\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4p}{|z|}^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}.$$ (6)

وحصل Merle and Zaag في [29] على النتيجة نفسها عبر اختزال إلى مسألة منتهية الأبعاد. وعلاوة على ذلك، أثبتا أن الملمح (6) مستقر تحت اضطرابات المعطيات الابتدائية (انظر أيضا [8]، [9] و[28]).

في الحالة التي تحقق فيها الدالة $h$

$$j=0,1,|h^{(j)}(z)|\le M\left(\frac{{|z|}^{p-j}}{{\log }^a(2+z^2)}+1\right),|h^{\prime \prime }(z)|\le M\frac{{|z|}^{p-2}}{{\log }^a(2+z^2)},$$ (7)

مع $a>1$ و$M>0$، أثبتنا في [32] وجود دالة ليابونوف في متغيرات التشابه للمسألة (1)، وهي خطوة حاسمة في اشتقاق التقدير (4). كما قدمنا تصنيفا للسلوكيات الانفجارية الممكنة للحل عندما يقترب من المتفردة. وفي [33]، أنشأنا حلا انفجاريا للمسألة (1) يحقق السلوك الموصوف في (5) في الحالة التي يحقق فيها $h$ التقدير الأول في (7) أو يكون $h$ معطى بـ (2).

نهدف في هذا البحث إلى توسيع نتائج [32] إلى الحالة $a\in (0,1]$. وكما ذكرنا أعلاه، فإن الخطوة الأولى هي اشتقاق معدل انفجار الحل الانفجاري. وكما في [15] و[32]، تتمثل الخطوة الأساسية في إيجاد دالة ليابونوف في متغيرات التشابه للمعادلة (1). وبصورة أدق، نُدخل لكل $b\in {ℝ}^n$ (قد تكون $b$ نقطة انفجار لـ $u$ أو لا تكون) متغيرات التشابه الآتية:

$$y=\frac{x-b}{\sqrt{T-t}},s=-\log (T-t),w_{b,T}={(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(x,t).$$ (8)

ومن ثم فإن $w_{b,T}$ يحقق لكل $s\ge -\log T$ ولكل $y\in {ℝ}^n$:

$${\partial }_s{w}_{b,T}=\frac{1}{\rho }\text{div}(\rho \nabla w_{b,T})-\frac{w_{b,T}}{p-1}+{|w_{b,T}|}^{p-1}{w}_{b,T}+e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}{w}_{b,T}\right),$$ (9)

حيث

$$\rho (y)={\left(\frac{1}{4\pi }\right)}^{n/2}{e}^{-\frac{{|y|}^2}{4}}.$$ (10)

واتباعا للطريقة التي قدمها Hamza and Zaag في [19]، [20] للاضطرابات في معادلة الموجة شبه الخطية، نُدخل

$${𝒥}_a[w](s)=ℰ[w](s)e^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}+\theta s^{-a},$$ (11)

حيث إن $\gamma$ و$\theta$ ثابتان موجبان يعتمدان فقط على $p$ و$a$ و$\mu$ و$n$، وسيُحددان لاحقا، و

$$ℰ[w]={ℰ}_0[w]+ℐ[w],$$ (12)

حيث

$${ℰ}_0[w](s)={\int }_{{ℝ}^n}\left(\frac{1}{2}{|\nabla w|}^2+\frac{1}{2(p-1)}{|w|}^2-\frac{1}{p+1}{|w|}^{p+1}\right)\rho 𝑑y,$$ (13)

و

$$ℐ[w](s)=-e^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\int }_{{ℝ}^n}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y,H(z)={\int }_0^{z}h(\xi )𝑑\xi .$$ (14)

تكمن الجدة الرئيسة في هذا البحث في السماح بقيم $a$ في $(0,1]$، وهذا ممكن على حساب أخذ الشكل الخاص (2) للاضطراب $h$. ونسعى إلى ما يأتي:

مبرهنة 1 (وجود دالة ليابونوف للمعادلة (9)).

لتكن $a,p,n,\mu$ مثبتة، ولنعتبر $w$ حلا للمعادلة (9). عندئذ توجد ${\widehat{s}}_0={\widehat{s}}_0(a,p,n,\mu )\ge s_0$ و${\widehat{\theta }}_0={\widehat{\theta }}_0(a,p,n,\mu )$ و$\gamma =\gamma (a,p,n,\mu )$ بحيث إذا كان $\theta \ge {\widehat{\theta }}_0$، فإن ${𝒥}_a$ يحقق المتباينة الآتية، لكل $s_2>s_1\ge \max \{{\widehat{s}}_0,-\log T\}$،

$${𝒥}_a[w](s_2)-{𝒥}_a[w](s_1)\le -\frac{1}{2}{\int }_{s_1}^{s_2}{\int }_{{ℝ}^n}{({\partial }_{s}w)}^2\rho 𝑑y𝑑s.$$ (15)

كما في [15] و[32]، يعد وجود دالة ليابونوف خطوة حاسمة لاشتقاق معدل الانفجار (4) ثم حد الانفجار. وبوجه خاص، لدينا ما يأتي:

مبرهنة 2.

لتكن $a,p,n,\mu$ مثبتة، وليكن $u$ حلا انفجاريا للمعادلة (1) بزمن انفجار $T$.
$(i)$ (معدل الانفجار) يوجد ${\widehat{s}}_1={\widehat{s}}_1(a,p,n,\mu )\ge {\widehat{s}}_0$ بحيث لكل $s\ge s^{\prime }=\max \{{\widehat{s}}_1,-\log T\}$،

$${\Vert w_{b,T}(y,s)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)}\le C,$$ (16)

حيث إن $w_{b,T}$ معرّف في (8) و$C$ ثابت موجب يعتمد فقط على $n,p,\mu$ وعلى حد لـ ${\Vert w_{b,T}({\widehat{s}}_0)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$.
$(ii)$ (حد الانفجار) إذا كانت $\widehat{a}$ نقطة انفجار، فإن

$$\underset{t\to T}{lim}{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}u(\widehat{a}+y\sqrt{T-t},t)=\underset{s\to +\mathrm{\infty }}{lim}{w}_{\widehat{a},T}(y,s)=\pm \kappa ,$$ (17)

يتحقق في $L_{\rho }^2$ (حيث إن $L_{\rho }^2$ هو فضاء $L^2$ الموزون المرتبط بالوزن $\rho$ (10))، وكذلك بانتظام على كل مجموعة مدمجة من ${ℝ}^n$.

ملاحظة 1.

لن نقدم برهان المبرهنة 2 لأن برهانها ينتج من المبرهنة 1 كما في [32]. ومن ثم نكتفي ببرهان المبرهنة 1، ونحيل القارئ إلى القسم 2 في [32] لبراهين (16) و(17) على التوالي.

تتمثل الخطوة التالية في الحصول على حد إضافي في التوسع التقاربي المعطى في $(ii)$ من المبرهنة 2. إذا أعطيت $b$ نقطة انفجار لـ $u(x,t)$، وبعد تغيير $u_0$ إلى $-u_0$ و$h$ إلى $-h$ عند اللزوم، يمكننا افتراض أن $w_{b,T}\to \kappa$ في $L_{\rho }^2$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$. وكما في [32]، نخطّي $w_{b,T}$ حول $\varphi$، حيث إن $\varphi$ هو الحل الموجب للمعادلة التفاضلية العادية المرتبطة بـ (9)،

$${\varphi }_s=-\frac{\varphi }{p-1}+{\varphi }^p+e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right)$$ (18)

بحيث

$$\varphi (s)\to \kappa \text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (19)

(انظر اللمّة A.3 في [32] لوجود $\varphi$، ولاحظ أن $\varphi$ وحيد. ولتيسير الأمر على القارئ، نعطي في اللمّة A.1 توسع $\varphi$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$).

لنُدخل $v_{b,T}=w_{b,T}-\varphi (s)$، عندئذ ${\Vert v_{b,T}(y,s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\to 0$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$ و$v_{b,T}$ (أو $v$ اختصارا) يحقق المعادلة الآتية:

$${\partial }_{s}v=(ℒ+\omega (s))v+F(v)+H(v,s),\forall y\in {ℝ}^n,\forall s\in [-\log T,+\mathrm{\infty }),$$

حيث إن $ℒ=\mathrm{\Delta }-\frac{y}{2}\cdot \nabla +1$ و$\omega$ و$F$ و$H$ تحقق

$$\omega (s)=𝒪(\frac{1}{s^{a+1}})\text{and}|F(v)|+|H(v,s)|=𝒪({|v|}^2)\text{as }s\to +\mathrm{\infty },$$

(انظر بداية القسم 3 للتعريفات الملائمة لـ $\omega$ و$F$ و$G$).
من المعروف جيدا أن المؤثر $ℒ$ ذاتي المرافق في $L_{\rho }^2({ℝ}^n)$. وطيفه معطى بـ

$$spec(ℒ)=\{1-\frac{m}{2},m\in \mathbb{N}\},$$

ويتكون من قيم ذاتية. وتُشتق الدوال الذاتية لـ $ℒ$ من كثيرات حدود هرميت:
- من أجل $n=1$، تكون الدالة الذاتية الموافقة لـ $1-\frac{m}{2}$ هي

$$h_m(y)=\sum _{k=0}^{\left[\frac{m}{2}\right]}\frac{m!}{k!(m-2k)!}{(-1)}^k{y}^{m-2k},$$ (20)

- من أجل $n\ge 2$: نكتب طيف $ℒ$ على الصورة

$$spec(ℒ)=\{1-\frac{|m|}{2},|m|=m_1+\mathrm{\cdots }+m_n,(m_1,\mathrm{\dots },m_n)\in {\mathbb{N}}^n\}.$$

من أجل $m=(m_1,\mathrm{\dots },m_n)\in {\mathbb{N}}^n$، تكون الدالة الذاتية الموافقة لـ $1-\frac{|m|}{2}$ هي

$$H_m(y)=h_{m_1}(y_1)\mathrm{\dots }{h}_{m_n}(y_n),$$ (21)

حيث إن $h_m$ معرّف في (20).
ونرمز أيضا بـ $c_m=c_{m_1}{c}_{m_2}\mathrm{\dots }{c}_{m_n}$ و$y^m=y_1^{m_1}{y}_2^{m_2}\mathrm{\dots }{y}_n^{m_n}$ لأي $m=(m_1,\mathrm{\dots },m_n)\in {\mathbb{N}}^n$ و$y=(y_1,\mathrm{\dots },y_n)\in {ℝ}^n$.
وبهذه الطريقة، نستنتج السلوكيات التقاربية الآتية لـ $w_{b,T}(y,s)$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$:

مبرهنة 3 (تصنيف سلوك $w_{b,T}$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$).

لنعتبر $u(t)$ حلا للمعادلة (1) ينفجر عند الزمن $T$، ولتكن $b$ نقطة انفجار. ولتكن $w_{b,T}(y,s)$ حلا للمعادلة (9). عندئذ تحدث إحدى الإمكانات الآتية:
$i)$ $w_{b,T}(y,s)\equiv \varphi (s)$،
$ii)$ يوجد $l\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ بحيث، بعد تحويل متعامد للإحداثيات عند اللزوم، لدينا

$$w_{b,T}(y,s)=\varphi (s)-\frac{\kappa }{4ps}\left(\sum _{j=1}^l{y}_j^2-2l\right)+𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$

$iii)$ يوجد عدد صحيح $m\ge 3$ وثوابت $c_{\alpha }$ ليست كلها صفرا بحيث

$$w_{b,T}(y,s)=\varphi (s)-e^{-\left(\frac{m}{2}-1\right)s}\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{H}_{\alpha }(y)+o\left(e^{-\left(\frac{m}{2}-1\right)s}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

ويحدث التقارب في $L_{\rho }^2$ وكذلك في ${𝒞}_{loc}^{k,\gamma }$ لأي $k\ge 1$ وبعض $\gamma \in (0,1)$.

ملاحظة 2.

في بحثنا السابق [32]، لم نتمكن من الحصول على هذه النتيجة في الحالة التي يحقق فيها $h$ الشرط (7) مع $a\in (0,1]$. أما هنا، فبأخذ الشكل الخاص للاضطراب (انظر (2))، نستطيع تجاوز الصعوبات التقنية من أجل استنتاج النتيجة.

ملاحظة 3.

من $ii)$ في المبرهنة 2، من الطبيعي أن نحاول إيجاد مكافئ لـ $w-\kappa$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$. وبالنظر اللاحق إلى نتائجنا في المبرهنة 3، نرى أنه في جميع الحالات ${\Vert w-\kappa \Vert }_{L_{\rho }^2}\sim \frac{C}{s^{a^{\prime }}}$ مع $a^{\prime }=\max \{a,1\}$. وهذه بالفعل ظاهرة جديدة تُلاحظ في معادلتنا (1)، وهي مختلفة عن حالة معادلة الحرارة شبه الخطية غير المضطربة، حيث إما $w-\kappa \equiv 0$، أو ${\Vert w-\kappa \Vert }_{L_{\rho }^2}\sim \frac{C}{s}$ أو ${\Vert w-\kappa \Vert }_{L_{\rho }^2}\sim C{e}^{(1-m/2)s}$ لبعض $m\ge 4$ الزوجية. وهذا يبين أصالة بحثنا. في حالتنا، كان التخطيط حول $\kappa$ سيبقينا محصورين في مقياس $\frac{1}{s}$. ومن أجل الإفلات من ذلك المقياس، نغفل الدالة الصريحة $\kappa$ التي ليست حلا للمعادلة (9)، ونخطّي بدلا من ذلك حول الدالة غير الصريحة $\varphi$، التي يتبين أنها حل دقيق لـ (9). وبهذه الطريقة نغادر مقياس $\frac{1}{s}$ ونبلغ رتبة متناقصة أسيا.

باستعمال المعلومات المحصلة في المبرهنة 3، يمكننا توسيع السلوك التقاربي لـ $w_{b,T}$ إلى مناطق أكبر. وبخاصة، لدينا ما يأتي:

مبرهنة 4 (تمديد تقارب $w_{b,T}$ إلى مناطق أكبر).

لكل $K_0>0$،
$i)$ إذا حدثت $ii)$ من المبرهنة 3، فإن

$$\underset{|\xi |\le K_0}{sup}\left|w_{b,T}(\xi \sqrt{s},s)-f_l(\xi )\right|=𝒪\left(\frac{1}{s^a}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (22)

حيث

$$\forall \xi \in {ℝ}^n,f_l(\xi )=\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4p}\sum _{j=1}^l{\xi }_j^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}},$$ (23)

مع $l$ المعطى في $ii)$ من المبرهنة 3.
$ii)$ إذا حدثت $iii)$ من المبرهنة 3، فإن $m\ge 4$ زوجي، و

$$\underset{|\xi |\le K_0}{sup}\left|w_{b,T}\left(\xi e^{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{m}\right)s}\right)-{\psi }_m(\xi )\right|\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (24)

حيث

$$\forall \xi \in {ℝ}^n,{\psi }_m(\xi )=\kappa {\left(1+{\kappa }^{-p}\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }\right)}^{-\frac{1}{p-1}},$$ (25)

مع $c_{\alpha }$ كما هو في المبرهنة 3، والمتعدد الخطي من أجل ${\sum }_{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{\xi }^{\alpha }$ غير سالب.

ملاحظة 4.

كما في الحالة غير المضطربة ($h\equiv 0$)، نتوقع أن (22) مستقر (انظر الملاحظات السابقة، ولا سيما الفقرة التي تلي (5))، وأن (24) ينبغي أن تقابل سلوكيات غير مستقرة (وقد أُثبت عدم استقرار (24) فقط في بعد فضائي واحد بواسطة Herrero and Velázquez في [23] و[25]). وعند ملاحظة المحاكاة العددية للمعادلة (1) في بعد فضائي واحد (انظر القسم 4.2 أدناه)، نرى أن الحلول العددية لا تُظهر إلا السلوك (22)، ولم نتمكن قط من الحصول على السلوك (24). ومن المرجح أن يعود ذلك إلى أن السلوك (24) غير مستقر.

في نهاية هذا العمل، نقدم تأكيدات عددية للملمح التقاربي الموصوف في المبرهنة 4. ولهذا الغرض، نقترح طريقة جديدة لتنقيح الشبكة مستوحاة من خوارزمية إعادة القياس لـ Berger and Kohn [5]. ونلاحظ أن طريقتهم نجحت في حل مسائل انفجارية ثابتة تحت التحويل الآتي،

$$\forall \gamma >0,\gamma \mapsto u_{\gamma }(\xi ,\tau )={\gamma }^{\frac{2}{p-1}}u(\gamma \xi ,{\gamma }^2\tau ).$$ (26)

غير أن هناك كثيرا من المعادلات التي تنفجر حلولها في زمن منته بينما لا تحقق المعادلة الخاصية (26)، ومن بينها المعادلة (1) بسبب وجود حد الاضطراب $h$. ومع أن طريقتنا قريبة جدا في روحها من خوارزمية Berger and Kohn، فإنها أفضل من حيث إنها قابلة للتطبيق على فئة أوسع من المسائل الانفجارية التي لا تحقق خاصية إعادة القياس (26). وبحسب علمنا، ليست هناك أعمال كثيرة حول ملمح الانفجار العددي، باستثناء بحث Berger and Kohn [5] (انظر أيضا [31])، اللذين حصلا سابقا على نتائج عددية للمعادلة (1) من دون حد الاضطراب. أما الجوانب العددية الأخرى، فهناك عدة دراسات لـ (1) في الحالة غير المضطربة؛ انظر مثلا Abia, López-Marcos and Martínez في [2]، [1]، Groisman and Rossi [17]،[18]، [16]، N’gohisse and Boni [30]، Kyza and Makridakis [26]، Cangiani et al. [7] والمراجع الواردة فيها. وهناك أيضا عمل Baruch et al. [4] الذي يدرس حلول الحلقات الساكنة.

تنتظم هذه الورقة على النحو الآتي: يخصص القسم 2 لبرهان المبرهنة 1. وتنتج المبرهنة 2 من المبرهنة 1. وبما أن جميع الحجج المعروضة في [32] تبقى صالحة للحالة (7)، باستثناء وجود دالة ليابونوف للمعادلة (9) (المبرهنة 1)، فإننا نحيل القارئ إلى القسمين 2.3 و2.4 في [32] لتفاصيل البرهان. ويتناول القسم 3 نتائج السلوكيات التقاربية (المبرهنة 3 والمبرهنة 4). وفي القسم 4، نصف طريقة تنقيح الشبكة الجديدة ونقدم بعض المسوغات العددية للنتائج النظرية.

شكر وتقدير: يشكر المؤلفون M. A. Hamza على عدة مناقشات مفيدة متصلة بهذا العمل، ولا سيما على تقديم فكرة برهان المبرهنة 1 في هذا البحث.

2 وجود دالة ليابونوف للمعادلة (9)

نهدف في هذا القسم أساسا إلى إثبات أن الدالة ${𝒥}_a$ المعرفة في (11) هي دالة ليابونوف للمعادلة (9) (المبرهنة 1). ونلاحظ أن هذه الدالة بعيدة عن أن تكون بديهية، وهي تمثل مساهمتنا الرئيسة.

فيما يأتي، نرمز بـ $C$ إلى ثابت عام يعتمد فقط على $a$ و$p$ و$n$ و$\mu$. ونقدم أولا التقديرات الآتية لحد الاضطراب الظاهر في المعادلة (9):

لمّة 5.

لتكن $h$ الدالة المعرفة في (2). لكل $ϵ\in (0,p]$، يوجد $C_0=C_0(a,\mu ,p,ϵ)>0$ و${\overline{s}}_0={\overline{s}}_0(a,p,ϵ)>0$ كبير بما يكفي بحيث لكل $s\ge {\overline{s}}_0$،
$i)$

$\left|e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}z\right)\right|$ $\le {\displaystyle \frac{C_0}{s^a}}({|z|}^p+{|z|}^{p-ϵ}),$

$\text{and}\left|e^{-\frac{(p+1)s}{p-1}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}z\right)\right|$ $\le {\displaystyle \frac{C_0}{s^a}}({|z|}^{p+1}+1),$

حيث إن $H$ معرف في (14).
$ii)$

$$\left|(p+1)e^{-\frac{(p+1)s}{p-1}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}z\right)-e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}z\right)z\right|\le \frac{C_0}{s^{a+1}}({|z|}^{p+1}+1).$$

Proof.

نلاحظ أن $i)$ ينتج بوضوح من التقدير الآتي،

$$\forall q>0,b>0,\frac{{|z|}^q}{{\log }^b(2+e^{\frac{2s}{p-1}}{z}^2)}\le \frac{C}{s^b}({|z|}^q+1),\forall s\ge {\overline{s}}_0,$$ (27)

حيث $C=C(b,q)>0$ و${\overline{s}}_0={\overline{s}}_0(b,q)>0$.
ولاستنتاج التقدير (27)، إذا نظرنا أولا في الحالة $z^2{e}^{\frac{s}{p-1}}\ge 4$ ثم في الحالة $z^2{e}^{\frac{s}{p-1}}\le 4$، نحصل على (27).
وينتج $ii)$ مباشرة من تكامل بالأجزاء ومن التقدير (27). وبالفعل، لدينا

$H(\xi )$ $={\displaystyle {\int }_0^{\xi }}h(x)𝑑x=\mu {\displaystyle {\int }_0^{\xi }}{\displaystyle \frac{{|x|}^{p-1}x}{{\log }^a(2+x^2)}}𝑑x$

$={\displaystyle \frac{\mu {|\xi |}^{p+1}}{(p+1){\log }^a(2+{\xi }^2)}}+{\displaystyle \frac{2a\mu }{p+1}}{\displaystyle {\int }_0^{\xi }}{\displaystyle \frac{{|x|}^{p+1}x}{(2+x^2){\log }^{a+1}(2+x^2)}}𝑑x.$

وبتعويض $\xi$ بـ $e^{\frac{s}{p-1}}z$ واستخدام (27)، نستنتج $ii)$. وهذا ينهي برهان اللمّة 5. ∎

نؤكد أن المبرهنة 1 نتيجة مباشرة للّمة الآتية:

لمّة 6.

لتكن $a,p,n,\mu$ مثبتة، وليكن $w$ حلا للمعادلة (9). يوجد ${\tilde{s}}_0={\tilde{s}}_0(a,p,n,\mu )\ge s_0$ بحيث إن دالة $ℰ$ المعرفة في (12) تحقق المتباينة الآتية، لكل $s\ge \max \{{\tilde{s}}_0,-\log T\}$،

$$\frac{d}{ds}ℰ[w](s)\le -\frac{1}{2}{\int }_{{ℝ}^n}{w}_s^2\rho 𝑑y+\gamma s^{-(a+1)}ℰ[w](s)+C{s}^{-(a+1)},$$ (28)

حيث إن $\gamma =\frac{4C_0(p+1)}{{(p-1)}^2}$ و$C_0$ معطيان في اللمّة 5.

لنستنتج أولا المبرهنة 1 من اللمّة 6، وسنبرهنها لاحقا.

برهان المبرهنة 1 مع افتراض اللمّة 6.

باشتقاق الدالة $𝒥$ المعرفة في (11)، نحصل على

${\displaystyle \frac{d}{ds}}{𝒥}_a[w](s)$ $={\displaystyle \frac{d}{ds}}\left\{ℰ[w](s)e^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}+\theta s^{-a}\right\}$

$={\displaystyle \frac{d}{ds}}ℰ[w](s)e^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}-\gamma s^{-(a+1)}ℰ[w](s)e^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}-a\theta s^{-(a+1)}$

$\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{w}_s^2\rho 𝑑y+\left[C{e}^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}-a\theta \right]s^{-(a+1)}\text{(use (}\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.E28" title="In لمّة 6. ‣ 2 وجود دالة ليابونوف للمعادلة (9) ‣ نتائج الانفجار لمعادلة حرارة شبه خطية مضطربة بشدة: تحليل نظري وطريقة عددية"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">28</span></a>}\text{)).}$

وباختيار $\theta$ كبيرا بما يكفي بحيث $C{e}^{\frac{\gamma }{a}\tilde{s}_0^{}{}_{}{}^{-a}}-a\theta \le 0$، وملاحظة أن $e^{\frac{\gamma }{a}{s}^{-a}}\ge 1$ لكل $s>0$، نستنتج

$$\frac{d}{ds}{𝒥}_a[w](s)\le -\frac{1}{2}{\int }_{{ℝ}^n}{w}_s^2\rho 𝑑y,\forall s\ge {\tilde{s}}_0.$$

وهذا يقتضي المتباينة (15) وينهي برهان المبرهنة 1، بافتراض صحة اللمّة 6. ∎

يبقى إثبات اللمّة 6 من أجل إتمام برهان المبرهنة 1.

برهان اللمّة 6 .

نضرب المعادلة (9) في $w_s\rho$ ونكامل بالأجزاء:

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w_s|}^2\rho =-{\displaystyle \frac{d}{ds}}\left\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}{|\nabla w|}^2+{\displaystyle \frac{1}{2(p-1)}}{|w|}^2-{\displaystyle \frac{1}{p+1}}{|w|}^{p+1}\right)\rho 𝑑y\right\}$

$+e^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w_s\rho 𝑑y$ .

بالنسبة إلى الحد الأخير في التعبير أعلاه، نكتب ما يأتي:

$e^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w_s\rho 𝑑y=e^{-\frac{(p+1)s}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\left(e^{\frac{s}{p-1}}{w}_s+{\displaystyle \frac{e^{\frac{s}{p-1}}}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y$

$-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}{e}^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y$

$=e^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle \frac{d}{ds}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}{e}^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y$ .

ومن ثم نحصل على

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w_s|}^2\rho 𝑑y=-{\displaystyle \frac{d}{ds}}\left\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}{|\nabla w|}^2+{\displaystyle \frac{1}{2(p-1)}}{|w|}^2-{\displaystyle \frac{1}{p+1}}{|w|}^{p+1}\right)\rho 𝑑y\right\}$

$+{\displaystyle \frac{d}{ds}}\left\{e^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y\right\}$

$+{\displaystyle \frac{p+1}{p-1}}{e}^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y$

$-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}{e}^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y$ .

ومن تعريف الدالة $ℰ$ المعطى في (12)، نستنتج هوية أولى كما يأتي:

${\displaystyle \frac{d}{ds}}ℰ[w](s)=-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w_s|}^2\rho 𝑑y+{\displaystyle \frac{p+1}{p-1}}{e}^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y$

$-{\displaystyle \frac{1}{p-1}}{e}^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y$ . (29)

وتُستخلص هوية ثانية بضرب المعادلة (9) في $w\rho$ والتكامل بالأجزاء:

${\displaystyle \frac{d}{ds}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}|w{|}^2\rho dy=-4\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}({\displaystyle \frac{1}{2}}|\nabla w{|}^2+{\displaystyle \frac{1}{2(p-1)}}|w{|}^2-{\displaystyle \frac{1}{p+1}}|w{|}^{p+1})\rho dy$

$-e^{-\frac{(p+1)s}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho dy\}$

$+\left(2-{\displaystyle \frac{4}{p+1}}\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y-4e^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y$

$+2e^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y$ .

وباستخدام تعريف $ℰ$ المعطى في (12) مرة أخرى، نعيد كتابة الهوية الثانية على النحو الآتي:

${\displaystyle \frac{d}{ds}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^2\rho 𝑑y$ $=-4ℰ[w](s)+2{\displaystyle \frac{p-1}{p+1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y$

$-4e^{-\frac{p+1}{p-1}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\rho 𝑑y+2e^{-\frac{ps}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\rho 𝑑y.$ (30)

ومن (29)، نقدّر

${\displaystyle \frac{d}{ds}}ℰ[w](s)$ $\le -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w_s|}^2\rho 𝑑y$

$+{\displaystyle \frac{1}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left\{\left|(p+1)e^{-\frac{(p+1)s}{p-1}}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)-e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\right|\right\}\rho 𝑑y.$

وباستخدام $ii)$ من اللمّة 5، لدينا لكل $s\ge {\overline{s}}_0$،

$$\frac{d}{ds}ℰ[w](s)\le -{\int }_{{ℝ}^n}{|w_s|}^2\rho 𝑑y+\frac{C_0{s}^{-(a+1)}}{p-1}{\int }_{{ℝ}^n}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y+C{s}^{-(a+1)}.$$ (31)

ومن جهة أخرى، لدينا بفعل (30)،

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y$ $\le {\displaystyle \frac{2(p+1)}{p-1}}ℰ[w](s)+{\displaystyle \frac{p+1}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}|w_{s}w|\rho 𝑑y$

$+{\displaystyle \frac{2(p+1)}{p-1}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}\left(\left|e^{-\frac{p+1}{p-1}s}H\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)\right|+\left|e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}w\right)w\right|\rho dy\right).$

وباستخدام حقيقة أن $|w_{s}w|\le ϵ({|w_s|}^2+{|w|}^{p+1})+C(ϵ)$ لكل $ϵ>0$ و$i)$ من اللمّة 5، نحصل على

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y$ $\le {\displaystyle \frac{2(p+1)}{p-1}}ℰ[w](s)+ϵ{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w_s|}^2\rho 𝑑y$

$+\left(ϵ+C{s}^{-a}\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y+C.$

وباختيار $ϵ=\frac{1}{4}$ و$s_1$ كبيرين بما يكفي بحيث $C{s}^{-a}\le \frac{1}{4}$ لكل $s\ge s_1$، لدينا

$${\int }_{{ℝ}^n}{|w|}^{p+1}\rho 𝑑y\le \frac{4(p+1)}{p-1}ℰ[w](s)+\frac{1}{2}{\int }_{{ℝ}^n}{|w_s|}^2\rho 𝑑y+C,\forall s>s_1.$$ (32)

إن تعويض (32) في (31) يعطي (28) مع ${\tilde{s}}_0=\max \{{\overline{s}}_0,s_1\}$. وهذا ينهي برهان اللمّة 6 وكذلك المبرهنة 1. ∎

3 سلوك الانفجار

يخصص هذا القسم لبرهان المبرهنة 3 والمبرهنة 4. لنعتبر $b$ نقطة انفجار، ولنكتب $w$ بدلا من $w_{b,T}$ اختصارا. ومن $(ii)$ من المبرهنة 2، وبعد تغيير إشارتي $w$ و$h$ عند اللزوم، يمكننا افتراض أن ${\Vert w(y,s)-\kappa \Vert }_{L_{\rho }^2}\to 0$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، بانتظام على المجموعات المدمجة من ${ℝ}^n$. وكما ذُكر في المقدمة، بوضع $v(y,s)=w(y,s)-\varphi (s)$ (حيث إن $\varphi$ هو الحل الموجب لـ (18) بحيث $\varphi (s)\to \kappa$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$)، نرى أن ${\Vert v(y,s)\Vert }_{L_{\rho }^2}\to 0$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$ وأن $v$ يحل المعادلة الآتية:

$${\partial }_{s}v=(ℒ+\omega (s))v+F(v)+G(v,s),\forall y\in {ℝ}^n,\forall s\in [-\log T,+\mathrm{\infty }),$$ (33)

حيث إن $ℒ=\mathrm{\Delta }-\frac{y}{2}\cdot \nabla +1$ و$\omega$ و$F$ و$G$ معطاة بـ

$\omega (s)=p\left({\varphi }^{p-1}-{\kappa }^{p-1}\right)+e^{-s}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right),$

$F(v)={|v+\varphi |}^{p-1}(v+\varphi )-{\varphi }^p-p{\varphi }^{p-1}v,$

$G(v,s)=e^{-\frac{ps}{p-1}}\left[h\left(e^{\frac{s}{p-1}}(v+\varphi )\right)-h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right)-e^{\frac{s}{p-1}}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right)v\right].$

وبحساب مباشر، يمكننا أن نبرهن أن

$$|\omega (s)|=𝒪(\frac{1}{s^{a+1}}),\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$ (34)

(انظر اللمّة B.1 لبرهان هذه الحقيقة، ولاحظ أيضا أنه في الحالة التي يكون فيها $h$ معطى بـ (7) ومعالجا في [32]، لا نحصل إلا على $|\omega (s)|=𝒪(s^{-a})$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، وكان ذلك سببا رئيسا منعنا من استنتاج النتيجة في الحالة $a\in (0,1]$) في [32].
والآن، بإدخال

$$V(y,s)=\beta (s)v(y,s),\text{where}\beta (s)=exp\left(-{\int }_s^{+\mathrm{\infty }}\omega (\tau )𝑑\tau \right),$$ (35)

فإن $V$ يحقق

$${\partial }_{s}V=ℒV+\overline{F}(V,s),$$ (36)

حيث $\overline{F}(V,s)=\beta (s)(F(V)+G(V,s))$ تحقق

$$\left|\overline{F}(V,s)-\frac{p}{2\kappa }{V}^2\right|=𝒪\left(\frac{V^2}{s^a}\right)+𝒪({|V|}^3),\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (37)

(انظر اللمّة C.1 في [32] لبرهان هذه الحقيقة، ولاحظ أنه في الحالة التي يكون فيها $h$ معطى بـ (7)، يكون الحد الأول في الطرف الأيمن من (37) هو $𝒪\left(\frac{V^2}{s^{a-1}}\right)$).

بما أن $\beta (s)\to 1$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، فإن كل مكافئ لـ $V$ هو أيضا مكافئ لـ $v$. لذلك يكفي أن ندرس السلوك التقاربي لـ $V$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$. وبصورة أدق، ندعي ما يأتي:

قضية 7 (تصنيف سلوك $V$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$).

تحدث إحدى الإمكانات الآتية:
$i)$ $V(y,s)\equiv 0$،
$ii)$ يوجد $l\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ بحيث، بعد تحويل متعامد للإحداثيات عند اللزوم، لدينا

$$V(y,s)=-\frac{\kappa }{4ps}\left(\sum _{j=1}^l{y}_j^2-2l\right)+𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

$iii)$ يوجد عدد صحيح $m\ge 3$ وثوابت $c_{\alpha }$ ليست كلها صفرا بحيث

$$V(y,s)=-e^{\left(1-\frac{m}{2}\right)s}\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{H}_{\alpha }(y)+o\left(e^{\left(1-\frac{m}{2}\right)s}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

ويحدث التقارب في $L_{\rho }^2$ وكذلك في ${𝒞}_{loc}^{k,\gamma }$ لأي $k\ge 1$ و$\gamma \in (0,1)$.

Proof.

بما أن لدينا المعادلة نفسها (36) وتقديرا مشابها (37) للحالة المعالجة في [32]، فإننا لا نقدم البرهان ونحيل القارئ إلى القسم 3 في [32]. ∎

لنستنتج المبرهنة 3 من القضية 7.

برهان المبرهنة 3.

من التعريف (35) لـ $V$، نرى أن $i)$ من القضية 7 يستلزم مباشرة $v(y,s)\equiv \varphi (s)$، وهو $i)$ من المبرهنة 3. وباستخدام $ii)$ من القضية 7 وحقيقة أن $\beta (s)=1+𝒪(\frac{1}{s^a})$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، نرى أنه عندما $s\to +\mathrm{\infty }$،

$w(y,s)$ $=\varphi (s)+V(y,s)\left(1+𝒪({\displaystyle \frac{1}{s^a}})\right)$

$=\varphi (s)-{\displaystyle \frac{\kappa }{4ps}}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^l}{y}_j^2-2l\right)+𝒪\left({\displaystyle \frac{1}{s^{a+1}}}\right)+𝒪\left({\displaystyle \frac{\log s}{s^2}}\right),$

وهذا يعطي $ii)$ من المبرهنة 3.
وباستخدام $iii)$ من القضية 7 وحقيقة أن $\beta (s)=1+𝒪(\frac{1}{s^a})$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$ مرة أخرى، نحصل على

$$w(y,s)=\varphi (s)-e^{\left(1-\frac{m}{2}\right)s}\sum _{|\alpha |=m}{c}_{\alpha }{H}_{\alpha }(y)+o\left(e^{\left(1-\frac{m}{2}\right)s}\right)\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

وهذا ينهي برهان المبرهنة 3. ∎

نقدم الآن برهان المبرهنة 4 انطلاقا من المبرهنة 3. ونلاحظ أن استنتاج المبرهنة 4 من المبرهنة 3 في الحالة غير المضطربة ($h\equiv 0$) أنجزه Velázquez في [34]. والفكرة في تمديد التقارب إلى مجموعات من النمط $\{|y|\le K_0\sqrt{s}\}$ أو $\{|y|\le K_0{e}^{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{m}\right)s}\}$ هي تقدير أثر الحد الحملي $-\frac{y}{2}\cdot \nabla w$ في المعادلة (9) في فضاءات $L_{\rho }^q$ مع $q>1$. وبما أن برهان المبرهنة 4 هو في جوهره بالطريقة المعطاة في [34]، فإن كل ما نحتاج إليه هو ضبط حد الاضطراب القوي في المعادلة (9). لذلك نقدم الخطوات الرئيسة للبرهان ونركز فقط على الحجج الجديدة. ونلاحظ أيضا أننا لا نقدم إلا برهان $ii)$ من المبرهنة 3 لأن برهان $iii)$ مطابق تماما لما كُتب في القضية 34 في [32].

لنعُد صياغة $i)$ من المبرهنة 4 في القضية الآتية:

قضية 8 (السلوك التقاربي في المتغير $\frac{y}{\sqrt{s}}$).

افترض أن $w$ حل للمعادلة (9) يحقق $ii)$ من المبرهنة 3. عندئذ، لكل $K>0$،

$$\underset{|\xi |\le K}{sup}\left|w(\xi \sqrt{s},s)-f_l(\xi )\right|=𝒪\left(\frac{1}{s^a}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$

حيث $f_l(\xi )=\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4p}{\sum }_{j=1}^l{\xi }_j^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}$.

Proof.

عرّف $q=w-\phi$، حيث

$$\phi (y,s)=\frac{\varphi (s)}{\kappa }\left[\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4ps}\sum _{j=1}^l{y}_j^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+\frac{\kappa l}{2ps}\right],$$ (38)

و$\varphi$ هو الحل الموجب الوحيد لـ (18) الذي يحقق (19).
نلاحظ أنه في [34] و[32]، أخذ المؤلفون $\phi (y,s)=\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4ps}{\sum }_{j=1}^l{y}_j^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+\frac{\kappa l}{2ps}$. غير أن هذا الاختيار لا يعمل إلا في الحالة التي يكون فيها $a>1$. وفي الحالة الخاصة (2)، نستعمل إضافة إلى ذلك العامل $\frac{\varphi (s)}{\kappa }$ الذي يتيح لنا تجاوز الرتبة $\frac{1}{s^a}$ الآتية من حد الاضطراب القوي بغية بلوغ $\frac{1}{s^{a+1}}$ في كثير من تقديرات البرهان.

باستعمال صيغة تايلور في (38) و$ii)$ من المبرهنة 3، نجد أن

$${\Vert q(y,s)\Vert }_{L_{\rho }^2}=𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (39)

وتؤدي حسابات مباشرة مبنية على المعادلة (9) إلى

$${\partial }_{s}q=(ℒ+\alpha )q+F(q)+G(q,s)+R(y,s),\forall (y,s)\in {ℝ}^n\times [-\log T,+\mathrm{\infty }),$$ (40)

حيث

$\alpha (y,s)$ $=p({\phi }^{p-1}-{\kappa }^{p-1})+e^{-s}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{s}{p-1}}\phi \right),$

$F(q)$ $={|q+\phi |}^{p-1}(q+\phi )-{\phi }^p-p{\phi }^{p-1}q,$

$G(q,s)$ $=e^{-\frac{ps}{p-1}}\left[h\left(e^{\frac{s}{p-1}}(q+\phi )\right)-h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\phi \right)-e^{\frac{s}{p-1}}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{s}{p-1}}\phi \right)q\right],$

$R(y,s)$ $=-{\partial }_s\phi +\mathrm{\Delta }\phi -{\displaystyle \frac{y}{2}}\cdot \nabla \phi -{\displaystyle \frac{\phi }{p-1}}+{\phi }^p+e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\phi \right).$

لتكن $K_0>0$ مثبتة. ننظر أولا في الحالة $|y|\ge 2K_0\sqrt{s}$ ثم في $|y|\le 2K_0\sqrt{s}$، وننجز توسعا تايلوريا لـ $\xi =\frac{y}{\sqrt{s}}$ عندما يكون محدودا. وفي الوقت نفسه، نحصل لكل $s\ge s_0$ على

$$\alpha (y,s)\le \frac{C_1}{s^{a^{\prime }}},$$

$$|F(q)|+|G(q,s)|\le C_1(q^2+{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{s}\}}),$$

$$|R(y,s)|\le C_1\left(\frac{{|y|}^2+1}{s^{1+a^{\prime }}}+{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{s}\}}\right),$$

حيث $a^{\prime }=\min \{1,a\}$ و$C_1=C_1(M_0,K_0)>0$ و$M_0$ هو حد $w$ في معيار $L^{\mathrm{\infty }}$. ونلاحظ أننا نحتاج بالإضافة إلى ذلك إلى استعمال حقيقة أن $\varphi$ يحقق المعادلة (18) لاشتقاق الحد الخاص بـ $R$ (انظر اللمّة B.2).
لتكن $Q=|q|$. نستخدم بعد ذلك التقديرات أعلاه ومتباينة كاتو، أي $\mathrm{\Delta }f\cdot \text{sign}(f)\le \mathrm{\Delta }(|f|)$، لاشتقاق الآتي من المعادلة (40): لكل $K_0>0$ مثبت، توجد $C_{\ast }=C_{\ast }(K_0,M_0)>0$ وزمن $s^{\prime }>0$ كبير بما يكفي بحيث لكل $s\ge s_{\ast }=\max \{s^{\prime },-\log T\}$،

$${\partial }_{s}Q\le \left(ℒ+\frac{C_{\ast }}{s^{a^{\prime }}}\right)Q+C_{\ast }\left(Q^2+\frac{({|y|}^2+1)}{s^{1+a^{\prime }}}+{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{s}\}}\right),\forall y\in {ℝ}^n.$$ (41)

وبما أن

$$\left|w(y,s)-f_l\left(\frac{y}{\sqrt{s}}\right)\right|\le Q+\frac{C}{s^{a^{\prime }}},$$

فإن نتيجة القضية 8 تنتج إذا أثبتنا أن

$$\forall K_0>0,\underset{|y|\le K_0\sqrt{s}}{sup}Q(y,s)\to 0\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$ (42)

لنركز الآن على برهان (42) من أجل إتمام القضية 8. ولهذا الغرض، نُدخل المعيار الآتي: من أجل $r\ge 0$ و$q>1$ و$f\in L_{loc}^q({ℝ}^n)$،

$$L_{\rho }^{q,r}(f)\equiv \underset{|\xi |\le r}{sup}{\left({\int }_{{ℝ}^n}{|f(y)|}^q\rho (y-\xi )𝑑y\right)}^{\frac{1}{q}}.$$

واتباعا للفكرة في [34]، سنجري تقديرات على حل (41) في معيار $L_{\rho }^{2,r(\tau )}$ حيث $r(\tau )=K_0{e}^{\frac{\tau -\overline{s}}{2}}\le K_0\sqrt{\tau }$. وبخاصة، لدينا ما يأتي:

لمّة 9.

لتكن $s$ كبيرة بما يكفي، ولتكن $\overline{s}$ معرفة بـ $e^{s-\overline{s}}=s$. عندئذ لكل $\tau \in [\overline{s},s]$ ولكل $K_0>0$، يتحقق أن

$$g(\tau )\le C_0\left(e^{\tau -\overline{s}}ϵ(\overline{s})+{\int }_{\overline{s}}^{{(\tau -2K_0)}_{+}}\frac{e^{(\tau -t-2K_0)}{g}^2(t)}{{\left(1-e^{-(\tau -t-2K_0)}\right)}^{1/20}}𝑑t\right)$$

حيث $g(\tau )=L_{\rho }^{2,r(K_0,\tau ,\overline{s})}(Q(\tau ))$ و$r(K_0,\tau ,\overline{s})=K_0{e}^{\frac{\tau -\overline{s}}{2}}$ و$ϵ(s)=𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s^2}\right)$ و$C_0=C_0(C_{\ast },M_0,K_0)$ و$z_{+}=\max \{z,0\}$.

Proof.

نضرب (41) في $\beta (\tau )=e^{{\int }_{\overline{s}}^{\tau }\frac{C_{\ast }}{t^{a^{\prime }}}}dt$، ثم نكتب $Q(y,\tau )$ لكل $(y,\tau )\in {ℝ}^n\times [\overline{s},s]$ في الصيغة التكاملية:

$Q(y,\tau )$ $=\beta (\tau )S_{ℒ}(\tau -\overline{s})Q(y,\overline{s})$

$+C_{\ast }{\displaystyle {\int }_{\overline{s}}^{\tau }}\beta (\tau )S_{ℒ}(\tau -t)\left(Q^2+{\displaystyle \frac{{|y|}^2}{t^{1+a^{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{t^{1+a^{\prime }}}}+{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{t}\}}\right)𝑑t,$

حيث إن $S_{ℒ}$ هو شبه الزمرة الخطي الموافق للمؤثر $ℒ$.
بعد ذلك، نأخذ معايير $L_{\rho }^{2,r(K_0,\tau ,\overline{s})}$ للطرفين من أجل الحصول على ما يأتي:

$g(\tau )$ $\le C_0{L}_{\rho }^{2,r}\left[S_{ℒ}(\tau -\overline{s})Q(\overline{s})\right]+C_0{\displaystyle {\int }_{\overline{s}}^{\tau }}{L}_{\rho }^{2,r}\left[S_{ℒ}(\tau -t)Q^2(t)\right]𝑑t$

$+C_0{\displaystyle {\int }_{\overline{s}}^{\tau }}{L}_{\rho }^{2,r}\left[S_{ℒ}(\tau -t)\left({\displaystyle \frac{{|y|}^2}{t^{1+a^{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{t^{1+a^{\prime }}}}\right)\right]𝑑t$

$+C_0{\displaystyle {\int }_{\overline{s}}^{\tau }}{L}_{\rho }^{2,r}\left[S_{ℒ}(\tau -t){\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{t}\}}\right]𝑑t\equiv J_1+J_2+J_3+J_4.$

وتعطي القضية 2.3 في [34]

$$|J_1|\le C_0{e}^{\tau -\overline{s}}{\Vert Q(\overline{s})\Vert }_{L_{\rho }^2}=e^{\tau -\overline{s}}𝒪(ϵ(\overline{s}))\text{as}\overline{s}\to +\mathrm{\infty },$$

$$|J_2|\le \frac{C_0}{{\overline{s}}^{1+a^{\prime }}}{e}^{\tau -\overline{s}}+C_0{\int }_{\overline{s}}^{{(\tau -2K_0)}_{+}}\frac{e^{(\tau -t-2K_0)}}{{\left(1-e^{-(\tau -t-2K_0)}\right)}^{1/20}}{\left[L_{\rho }^{2,r(K_0,t,\overline{s})}Q(t)\right]}^2𝑑t,$$

$$|J_3|\le \frac{C_0{e}^{\tau -\overline{s}}}{{\overline{s}}^{1+a^{\prime }}}(1+(\tau -\overline{s})),$$

$$|J_4|\le C_0{e}^{-\delta \overline{s}},\text{where}\delta =\delta (K_0)>0.$$

وبجمع التقديرات على $J_i,i=1,2,3,4$، نتم برهان اللمّة 9. ∎

نستخدم الآن لمّة Gronwall الآتية من Velázquez [34]:

لمّة 10 (Velázquez [34]).

لتكن $ϵ,C,R$ و$\delta$ ثابتين موجبين، و$\delta \in (0,1)$. افترض أن $H(\tau )$ عائلة من الدوال المستمرة تحقق

$$\mathscr{H}(\tau )\le ϵe^{\tau }+C{\int }_0^{{(\tau -R)}_{+}}\frac{e^{\tau -s}{\mathscr{H}}^2(s)}{{\left(1-e^{-(\tau -s-R)}\right)}^{\delta }}𝑑s,\text{for }\tau >0.$$

عندئذ توجد $\theta =\theta (\delta ,C,R)$ و${ϵ}_0={ϵ}_0(\delta ,C,R)$ بحيث لكل $ϵ\in (0,{ϵ}_0)$ ولكل $\tau$ يحقق $ϵe^{\tau }\le \theta$، لدينا

$$\mathscr{H}(\tau )\le 2ϵe^{\tau }.$$

بتطبيق اللمّة 10 مع $\mathscr{H}\equiv g$، نرى من اللمّة 9 أنه من أجل $s$ كبير بما يكفي،

$$g(\tau )\le 2C_0{e}^{\tau -\overline{s}}ϵ(\overline{s}),\forall \tau \in [\overline{s},s].$$

إذا كان $\tau =s$، فإن $e^{s-\overline{s}}=s$ و$r=K_0\sqrt{s}$ و

$$g(s)\equiv L_{\rho }^{2,K_0\sqrt{s}}\left(Q(s)\right)=𝒪\left(\frac{1}{s^a}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

وباستخدام آثار الانتظام لشبه الزمرة $S_{ℒ}$ (انظر القضية 2.3 في [34])، نحصل بعد ذلك على

$$\underset{|y|\le \frac{K_0\sqrt{s}}{2}}{sup}Q(y,s)\le C^{\prime }(C_{\ast },K_0,M_0)L_{\rho }^{2,K_0\sqrt{s}}(Q(s))=𝒪\left(\frac{1}{s^a}\right)+𝒪\left(\frac{\log s}{s}\right),$$

عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، وهذا ينهي برهان القضية 8. ∎

4 الطريقة العددية

نقدم في هذا القسم دراسة عددية لملمح انفجار المعادلة (1) في بعد واحد. ومع أن طريقتنا قريبة جدا في روحها من خوارزمية Berger and Kohn [5]، فإنها أفضل من حيث إنها قابلة للتطبيق على معادلات غير ثابتة تحت التحويل (26). وتختلف طريقتنا عن طريقة Berger and Kohn على النحو الآتي: ندفع الحل إلى الأمام حتى تبلغ قيمته العظمى مضروبة في قوة من مقاس شبكته عتبة محددة مسبقا، حيث يكون مقاس الشبكة والعتبة المحددة مسبقا مرتبطين؛ أما في خوارزمية إعادة القياس فيُدفع الحل إلى الأمام حتى تبلغ قيمته العظمى عتبة محددة مسبقا، ولا يلزم أن يكون مقاس الشبكة والعتبة المحددة مسبقا مرتبطين. وللمزيد من الوضوح، نعرض في القسم الفرعي التالي تقنية تنقيح الشبكة المطبقة على المعادلة (1)، ثم نقدم تجارب عددية متنوعة لتوضيح فاعلية طريقتنا لمسألة ملمح الانفجار العددي. ونلاحظ أن طريقتنا أعم من طريقة Berger and Kohn [5]، بمعنى أنها تنطبق على معادلات غير ثابتة قياسيا. غير أنها عندما تطبق على الحالة غير المضطربة $F(u)={|u|}^{p-1}u$، تعطي طريقتنا التقريب نفسه تماما كما في [5].

4.1 خوارزمية تنقيح الشبكة

في هذا القسم، نصف خوارزمية التنقيح لحل المسألة (1) عدديا مع المعطيات الابتدائية $\phi (x)>0$ و$\phi (x)=\phi (-x)$ و من أجل $x\ne 0$، وهو ما يعطي حلا موجبا متماثلا ومتناقصا شعاعيا. لنعد كتابة المسألة (1) (مع $\mu =1$) كما يأتي:

(43)

حيث $p>1$ و

$$F(u)=u^p+\frac{u^p}{{\log }^a(2+u^2)}\text{with}a>0.$$ (44)

لتكن $\mathrm{\hslash }$ و$\tau$ خطوتي المكان والزمن الابتدائيتين، ونعرّف $C_{\mathrm{\Delta }}=\frac{\tau }{{\mathrm{\hslash }}^2}$ و$x^i=i\mathrm{\hslash }$ و$t^n=n\tau$ و$I=\frac{1}{\mathrm{\hslash }}$ و$u^{i,n}$ بوصفها تقريبا لـ $u(x^i,t^n)$، حيث إن $u^{i,n}$ معرّف لكل $n\ge 0$، ولكل $i\in \{-I,\mathrm{\dots },I\}$ بواسطة

$u^{i,n+1}=u^{i,n}+C_{\mathrm{\Delta }}\left[u^{i-1,n}-2u^{i,n}+u^{i+1,n}\right]+\tau F\left(u^{i,n}\right),$ (45)

$u^{I,n}=u^{-I,n}=0,u^{i,0}={\phi }_i.$

نلاحظ أن هذه الصيغة من الرتبة الأولى دقة في الزمن ومن الرتبة الثانية في المكان، وتتطلب شرط الاستقرار $C_{\mathrm{\Delta }}=\frac{\tau }{{\mathrm{\hslash }}^2}\le \frac{1}{2}$.
تحتاج خوارزميتنا إلى تثبيت المعلمات الآتية:

• : عامل التنقيح مع كون ${\lambda }^{-1}$ عددا صحيحا صغيرا.

• $M$: العتبة لضبط سعة الحل،

• $\alpha$: المعلمة التي تضبط عرض المجال المراد تنقيحه.

ويجب أن تحقق المعلمتان $\lambda$ و$M$ العلاقة الآتية:

$$M={\lambda }^{-\frac{2}{p-1}}{M}_0,\text{where}{M}_0={\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert \phi \Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$ (46)

نلاحظ أن العلاقة (46) مهمة لجعل طريقتنا تعمل. وفي [5]، يكون الاختيار النموذجي $M_0={\Vert \phi \Vert }_{\mathrm{\infty }}$، ومن ثم $M={\lambda }^{-\frac{2}{p-1}}{\Vert \phi \Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

في الخطوة الابتدائية من الخوارزمية، نطبق ببساطة المخطط (45) حتى تبلغ ${\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,t^n)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ القيمة $M$ (نلاحظ أنه في [5] يُدفع الحل إلى الأمام حتى تبلغ ${\Vert u(\bullet ,t^n)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ القيمة $M$؛ وفي هذه الخطوة الأولى تكون عتبتا الطريقتين متماثلتين، غير أنهما ستفترقان بعد الخطوة الثانية؛ وبصورة تقريبية، سنستعمل للعتبة الكمية ${\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,t^n)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ في طريقتنا بدلا من ${\Vert u(\bullet ,t^n)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ في [5]). ثم نستعمل استيفاء خطيا في الزمن لإيجاد ${\tau }_0^{\ast }$ بحيث

$$t^n-\tau \le {\tau }_0^{\ast }\le t^n\text{and}{\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}\Vert u(\bullet ,{\tau }_0^{\ast })\Vert =M.$$

وبعد ذلك نحدد نقطتين شبكيتين $y_0^{-}$ و$y_0^{+}$ بحيث

(47)

نلاحظ أن $y_0^{-}=-y_0^{+}$ بسبب تناظر الحل. وبهذا تُختتم الخطوة الابتدائية.

لنبدأ خطوة التنقيح الأولى. عرّف

$$u_1(y_1,t_1)=u(y_1,{\tau }_0^{\ast }+t_1),y_1\in (y_0^{-},y_0^{+}),t_1\ge 0,$$ (48)

وبوضع $h_1=\lambda \mathrm{\hslash }$ و${\tau }_1={\lambda }^2\tau$ بوصفهما خطوتي المكان والزمن لتقريب $u_1$ (نلاحظ أن $\frac{{\tau }_1}{h_1^2}=\frac{\tau }{{\mathrm{\hslash }}^2}=C_{\mathrm{\Delta }}$ وهو ثابت)، و$y_1^i=i{h}_1$ و$t_1^n=n{\tau }_1$ و$I_1=\frac{y_0^{+}}{h_1}$ و$u_1^{i,n}$ بوصفها تقريبا لـ $u_1(y_1^i,t_1^n)$ (نلاحظ أنه في الحالة غير المضطربة، استعمل Berger and Kohn التحويل (26) لتعريف $u_1(y_1,t_1)={\lambda }^{\frac{2}{p-1}}u(\lambda y_1,{\tau }_0^{\ast }+{\lambda }^2{t}_1)$، ثم طبقا المخطط نفسه لـ $u$ على $u_1$. غير أننا لا نستطيع فعل الشيء نفسه لأن المعادلة (43) ليست في الواقع ثابتة تحت التحويل (26)). ثم بتطبيق المخطط (45) على $u_1$، نحصل على

$u_1^{i,n+1}=u_1^{i,n}+C_{\mathrm{\Delta }}\left[u_1^{i-1,n}-2u_1^{i,n}+u_1^{i+1,n}\right]+{\tau }_{1}F\left(u_1^{i,n}\right),$ (49)

لكل $n\ge 0$ ولكل $i\in \{-I_1+1,\mathrm{\dots },I_1-1\}$.
نلاحظ أن حساب $u_1$ يتطلب المعطيات الابتدائية وشرط الحد $u_1(y_1,0)$ و$u_1(y_0^{\pm },t_1)$. أما الشرط الابتدائي فيُحدد من $u(x,{\tau }_0^{\ast })$ باستعمال الاستيفاء في المكان للحصول على القيم عند النقاط الشبكية الجديدة. وبالنسبة إلى شرط الحد، بما أن ${\tau }_1={\lambda }^2\tau$، فإننا نحصل من (48) على

$$u_1(y_0^{\pm },n{\tau }_1)=u(y_0^{\pm },{\tau }_0^{\ast }+n{\lambda }^2\tau ).$$ (50)

وبما أن $u$ و$u_1$ سيُدفعان إلى الأمام، كل منهما على شبكته الخاصة ($u_1$ على $(y_0^{-},y_0^{+})$ بخطوتي المكان والزمن $h_1$ و${\tau }_1$، و$u$ على $(-1,1)$ بخطوتي المكان والزمن $\mathrm{\hslash }$ و$\tau$)، فإن العلاقة (50) ستزودنا بقيم الحد لـ $u_1$. ولنفهم كيفية عمل ذلك على نحو أفضل، لننظر في مثال مع $\lambda =\frac{1}{2}$. بعد إغلاق الطور الابتدائي، يُدفع الحلان $u_1$ و$u$ إلى الأمام بصورة مستقلة، كل على شبكته الخاصة، أي إن $u_1$ على $(y_0^{-},y_0^{+})$ بخطوتي المكان والزمن $h_1$ و${\tau }_1$، و$u$ على $(-1,1)$ بخطوتي المكان والزمن $\mathrm{\hslash }$ و$\tau$. ثم باستعمال الاستيفاء الخطي في الزمن لـ $u$، نحصل على قيم الحد لـ $u_1$ بواسطة (50). وبما أن ${\tau }_1={\lambda }^2\tau =\frac{1}{4}\tau$، فهذا يعني أن $u$ يُدفع إلى الأمام مرة واحدة كل 4 خطوات زمنية لـ $u_1$. وبعد 4 خطوة إلى الأمام لـ $u_1$، يجب تحديث قيم $u$ على المجال $(y_0^{-},y_0^{+})$ لتوافق حسابات $u_1$. وبعبارة أخرى، يُستعمل تقريب $u$ للمساعدة في حساب قيم الحد لـ $u_1$. وعند كل خطوة زمنية لاحقة لـ $u$، يجب تحديث قيم $u$ على المجال $(y_0^{-},y_0^{+})$ لجعلها توافق حل الشبكة الدقيقة الأكثر دقة $u_1$. وعندما تتجاوز $h_1^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_1(\bullet ,n{\tau }_1)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ أولا $M$، نستعمل استيفاء خطيا في الزمن لإيجاد ${\tau }_1^{\ast }\in [{\tau }_1^{n-1},{\tau }_1^n]$ بحيث $h_1^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_1(\bullet ,{\tau }_1^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M$. وعلى المجال الذي فيه $h_1^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_1(\bullet ,{\tau }_1^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}>\alpha M$، تُنقح الشبكة أكثر، وتكرر العملية كلها كما في $u_1$ لإنتاج $u_2$ وهكذا.

قبل الانتقال إلى خطوة عامة، نود التعليق على العلاقة (46). فعلا، عندما تبلغ ${\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,t)\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ العتبة المعطاة $M$ في الطور الابتدائي، أي عندما ${\mathrm{\hslash }}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,{\tau }_0^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M$، نريد تنقيح الشبكة بحيث تساوي القيمة العظمى لـ $h_1^{\frac{2}{p-1}}{u}_1(y_1,0)$ القيمة $M_0$. وبحسب (48)، يتحول هذا الطلب إلى $h_1^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,{\tau }_0^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M_0$. وبما أن $h_1=\lambda \mathrm{\hslash }$، ينتج أن $M={\lambda }^{-\frac{2}{p-1}}{M}_0$، وهو ما يعطي (46).

لتكن $k\ge 0$، نضع $h_{k+1}={\lambda }^{-1}{h}_k$ و${\tau }_{k+1}={\lambda }^2{\tau }_k$ (نلاحظ أن $\frac{{\tau }_{k+1}}{h_{k+1}^2}=\frac{{\tau }_k}{h_k^2}=C_{\mathrm{\Delta }}$ وهو ثابت)، و$y_{k+1}$ و$t_{k+1}$ بوصفهما متغيري $u_{k+1}$ و$y_k^i=i{h}_k$ و$t_k^n=n{\tau }_k$. ويعني المؤشر $k=0$ أن $u_0(y_0,t_0)\equiv u(x,t)$ و$h_0\equiv \mathrm{\hslash }$ و${\tau }_0\equiv \tau$. ويرتبط الحل $u_{k+1}$ بـ $u_k$ بواسطة

$$u_{k+1}(y_{k+1},t_{k+1})=u_k(y_{k+1},{\tau }_k^{\ast }+t_{k+1}),y_{k+1}\in (y_k^{-},y_k^{+}),t_{k+1}\ge 0.$$ (51)

هنا يحقق الزمن ${\tau }_k^{\ast }\in [t_k^{n-1},t_k^n]$ العلاقة $h_k^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_k(\cdot ,{\tau }_k^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M$، و$y_k^{-},y_k^{+}$ نقطتان شبكيتان تحددان بـ

(52)

ويستعمل تقريب $u_{k+1}(y_{k+1}^i,t_{k+1}^n)$ (المشار إليه بـ $u_{k+1}^{i,n}$) المخطط (45) بخطوة المكان $h_{k+1}$ وخطوة الزمن ${\tau }_{k+1}$، وهو يُكتب

$u_{k+1}^{i,n+1}$ $=u_{k+1}^{i,n}+C_{\mathrm{\Delta }}\left[u_{k+1}^{i-1,n}-2u_{k+1}^{i,n}+u_{k+1}^{i+1,n}\right]+{\tau }_{k+1}F\left(u_{k+1}^{i,n}\right),$ (53)

لكل $n\ge 1$ و$i\in \{-I_k+1,\mathrm{\cdots },I_k-1\}$ مع $I_k=\frac{y_k^{+}}{h_{k+1}}$ (لاحظ من المقدمة أن $I_k$ عدد صحيح لأن ${\lambda }^{-1}\in \mathbb{N}$).
وكما في تقريب $u_k$، يحتاج حساب $u_{k+1}^{i,n}$ إلى المعطيات الابتدائية وشرط الحد. ومن (51) وحقيقة أن ${\tau }_{k+1}={\lambda }^2{\tau }_k$، نرى أن

$$u_{k+1}(y_{k+1},0)=u_k(y_{k+1},{\tau }_k^{\ast })\text{and}{u}_{k+1}(y_k^{\pm },n{\tau }_{k+1})=u_k(y_k^{\pm },{\tau }_k^{\ast }+n{\lambda }^2{\tau }_k).$$ (54)

ومن ثم، من الهوية الأولى في (54)، تُحسب المعطيات الابتدائية ببساطة من $u_k(\cdot ,{\tau }_k^{\ast })$ باستعمال استيفاء خطي في المكان لإسناد القيم عند النقاط الشبكية الجديدة. والخطوة الجوهرية في طريقة تنقيح الشبكة الجديدة هذه هي تحديد شرط الحد عبر الهوية الثانية في (54). وهذا يعني بواسطة استيفاء خطي في الزمن لـ $u_k$. لذلك تُدفع الحلول السابقة $u_k$ و$u_{k-1}$ و$\mathrm{\cdots }$ إلى الأمام بصورة مستقلة، كل منها على شبكته الخاصة. وبصورة أدق، بما أن ${\tau }_{k+1}={\lambda }^2{\tau }_k={\lambda }^4{\tau }_{k-1}=\mathrm{\cdots }$، فإن $u_k$ يُدفع إلى الأمام مرة واحدة كل ${\lambda }^{-2}$ خطوات زمنية لـ $u_{k+1}$؛ و$u_{k-1}$ مرة واحدة كل ${\lambda }^{-4}$ خطوات زمنية لـ $u_{k+1}$، وهكذا. ومن جهة أخرى، يجب تحديث قيم $u_k$ و$u_{k-1}$، … لتوافق حساب $u_{k+1}$. وعندما $h_{k+1}^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_{k+1}(\bullet ,{\tau }_{k+1})\Vert }_{\mathrm{\infty }}>M$، يحين وقت طور التنقيح التالي.

نود التعليق على مخرجات خوارزمية التنقيح:

• ليكن ${\tau }_k^{\ast }$ الزمن الذي يحدث فيه التنقيح، عندئذ تكون النسبة $\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}$، التي تشير إلى عدد الخطوات الزمنية حتى تبلغ $h_k^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ العتبة المعطاة $M$، مستقلة عن $k$ وتميل إلى ثابت عندما $k\to \mathrm{\infty }$.

• ليكن $u_k(\cdot ,{\tau }_k^{\ast })$ هو الحل المنقح. إذا رسمنا $h_k^{\frac{2}{p-1}}{u}_k(\bullet ,{\tau }_k^{\ast })$ على $(-1,1)$، فإن رسومها البيانية تصبح في النهاية مستقلة عن $k$ وتتقارب عندما $k\to \mathrm{\infty }$.

• ليكن $(y_k^{-},y_k^{+})$ المجال المراد تنقيحه، عندئذ تتصرف الكمية ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ كدالة خطية في $k$.

ويمكن فهم هذه التأكيدات جيدا من خلال المبرهنة الآتية:

مبرهنة 11 (تحليل صوري).

ليكن $u$ حلا انفجاريا للمعادلة (43)، عندئذ تحقق مخرجات خوارزمية التنقيح ما يأتي:
$i)$ النسبة $\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}$ مستقلة عن $k$ وتميل إلى ثابت عندما $k\to \mathrm{\infty }$، أي

$$\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}\to \frac{({\lambda }^{-2}-1)M^{1-p}}{C_{\mathrm{\Delta }}(p-1)},\text{as}k\to +\mathrm{\infty }.$$ (55)

وافترض بالإضافة إلى ذلك أن $i)$ من المبرهنة 4 يتحقق،
$ii)$ بتعريف $v_k(z)=h_k^{\frac{2}{p-1}}{u}_k(z{y}_{k-1}^{+},{\tau }_k^{\ast })$ لكل $k\ge 1$، لدينا

(56)

$iii)$ تتصرف الكمية ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ كدالة خطية، أي

$${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2\sim \gamma k+B\text{as}k\to +\mathrm{\infty }.$$ (57)

حيث $\gamma =\frac{2M^{1-p}({\alpha }^{1-p}-1)|\log \lambda |}{c_p(p-1){\lambda }^2}$ و$B=-\frac{M^{1-p}({\alpha }^{1-p}-1)}{c_p(p-1){\lambda }^2}\log \left(\frac{M^{1-p}{\mathrm{\hslash }}^2}{p-1}\right)$ و$c_p=\frac{p-1}{4p}$.

ملاحظة 5.

نلاحظ أنه لا يوجد افتراض على قيمة $a$ في فرضية المبرهنة 11. ويُفهم ذلك بمعنى أن $u$ ينفجر في زمن منته وأن ملمحه موصوف في المبرهنة 4.

Proof.

كما سنرى في البرهان، فإن العبارة $i)$ تتعلق بحد الانفجار للحل، أما الثانية فترجع إلى ملمح الانفجار الوارد في المبرهنة 4.
$i)$ ليكن ${\sigma }_k$ هو الزمن الحقيقي الذي يحدث فيه التنقيح من $u_k$ إلى $u_{k+1}$. لدينا بحسب (51)،

$${\sigma }_k={\tau }_0^{\ast }+{\tau }_1^{\ast }+\mathrm{\cdots }+{\tau }_k^{\ast },$$

حيث إن ${\tau }_j^{\ast }$ بحيث $h_j^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_k(\cdot ,{\tau }_j^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M$. وهذا يعني أن

$$u_k(\cdot ,{\tau }_k^{\ast })=u(\cdot ,{\sigma }_k).$$ (58)

ومن جهة أخرى، من $i)$ من المبرهنة 4 والتعريف (23) لـ $f$، نرى أن

$$\underset{t\to T}{lim}{(T-t)}^{\frac{1}{p-1}}{\Vert u(\bullet ,t)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}=\kappa .$$ (59)

وبالجمع بين (59) و(58) نحصل على

$${(T-{\sigma }_k)}^{\frac{1}{p-1}}{\Vert u_k(\bullet ,{\tau }_k^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\kappa +o(1),$$ (60)

حيث يمثل $o(1)$ حدا يميل إلى $0$ عندما $k\to +\mathrm{\infty }$.
وبما أن ${\Vert u_k(\bullet ,{\tau }_k^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M{h}_k^{\frac{-2}{p-1}}$، نستنتج بعد ذلك

$$T-{\sigma }_k={\left(M^{-1}\kappa \right)}^{p-1}{h}_k^2+o(1).$$ (61)

ومن تعريف ${\sigma }_k$ و(58)، نستنتج أن ${\tau }_k^{\ast }={\sigma }_k-{\sigma }_{k-1}$ (يمكن أن نعد ${\tau }_k^{\ast }$ بمثابة زمن الحياة لـ $u_k$ في طور التنقيح $k$). ومن ثم،

${\displaystyle \frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}}={\displaystyle \frac{{\sigma }_k-{\sigma }_{k-1}}{{\tau }_k}}$ $={\displaystyle \frac{1}{{\tau }_k}}\left[(T-{\sigma }_{k-1})-(T-{\sigma }_k)\right]$

$={\displaystyle \frac{1}{{\tau }_k}}{\left(M^{-1}\kappa \right)}^{p-1}(h_{k-1}^2-h_k^2)+o(1)$

$={\displaystyle \frac{h_k^2}{{\tau }_k}}{\left(M^{-1}\kappa \right)}^{p-1}({\lambda }^{-2}-1)+o(1).$

وبما أن النسبة $\frac{{\tau }_k}{h_k^2}$ مثبتة دائما بالثابت $C_{\mathrm{\Delta }}$، نحصل أخيرا على

$$\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}=\frac{({\lambda }^{-2}-1)M^{1-p}}{C_{\mathrm{\Delta }}(p-1)},$$

وهذا ينهي برهان الجزء $i)$ من المبرهنة 11.

$ii)$ بما أن الحل متماثل، لدينا $y_{k-1}^{-}=y_{k-1}^{+}$. ننظر بعد ذلك في التطبيق الآتي: لكل $k\ge 1$،

$$\forall |z|\le 1,z\mapsto v_k(z),\text{where}{v}_k(z)=h_k^{\frac{2}{p-1}}{u}_k(z{y}_{k-1}^{+},{\tau }_k^{\ast }).$$

سنبرهن أن $v_k(z)$ مستقل عن $k$ ويتقارب عندما $k\to +\mathrm{\infty }$. ولهذا الغرض، نكتب أولا $u_k(y_k,{\tau }_k\ast )$ بدلالة $w(\xi ,s)$ بفضل (58) و(8)،

$$u_k(y_k,{\tau }_k^{\ast })=u(y_k,{\sigma }_k)={(T-{\sigma }_k)}^{-\frac{1}{p-1}}w({\xi }_k,s_k),$$ (62)

حيث ${\xi }_k=\frac{y_k}{\sqrt{T-{\sigma }_k}}$ و$s_k=-\log (T-{\sigma }_k)$.
إذا كتبنا $i)$ من المبرهنة 4 في المتغير $\frac{y}{\sqrt{s}}$ عبر (8)، فإن لدينا التكافؤ الآتي:

$${\Vert w(y,s)-f\left(\frac{y}{\sqrt{s}}\right)\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}\to 0\text{as }s\to +\mathrm{\infty },$$ (63)

حيث $f$ معطى في (23).
ومن (63) و(61) و(62)، نستنتج

$$u_k(y_k,{\tau }_k^{\ast })=M{\kappa }^{-1}{h}_k^{-\frac{2}{p-1}}f\left(\frac{y_k}{{(M^{-1}\kappa )}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k\sqrt{s_k}}\right)+o(1).$$

ثم بضرب الطرفين في $h_k^{\frac{2}{p-1}}$ وتعويض $y_k$ بـ $z{y}_{k-1}^{+}$، نحصل على

$$h_k^{\frac{2}{p-1}}{u}_k(z{y}_{k-1}^{+},{\tau }_k^{\ast })=M{\kappa }^{-1}f\left(\frac{z{y}_{k-1}^{+}}{{(M^{-1}\kappa )}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k\sqrt{s_k}}\right)+o(1).$$ (64)

ومن التعريف (52) لـ $y_{k-1}^{+}$، يمكننا افتراض أن

$$h_{k-1}^{\frac{2}{p-1}}{u}_{k-1}(y_{k-1}^{+},{\tau }_{k-1}^{\ast })=\alpha M.$$

وبالجمع بين هذا و(64)، نحصل على

$$\alpha ={\kappa }^{-1}f\left(\frac{y_{k-1}^{+}}{{(M^{-1}\kappa )}^{\frac{p-1}{2}}{h}_{k-1}\sqrt{s_{k-1}}}\right)+o(1).$$

وبما أن $s_k=-\log (T-{\sigma }_k)$ ومع حقيقة أن $h_k={\lambda }^k\mathrm{\hslash }$، نحصل من (61) على

$$s_k=2k|\log \lambda |-\log \left(\frac{M^{1-p}{\mathrm{\hslash }}^2}{p-1}\right)+o(1),$$ (65)

وهو ما يستلزم ${lim}_{k\to +\mathrm{\infty }}\frac{s_{k-1}}{s_k}=1$. لذلك من المعقول افتراض أن $\frac{y_{k-1}^{+}}{\sqrt{s_{k-1}}}$ و$\frac{y_{k-1}^{+}}{\sqrt{s_k}}$ يميلان إلى الجذر الموجب $\zeta$ عندما $k\to +\mathrm{\infty }$. ومن ثم،

$$\alpha ={\kappa }^{-1}f\left(\frac{\zeta }{{(M^{-1}\kappa )}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k{\lambda }^{-1}}\right)+o(1).$$

وباستخدام التعريف (23) لـ $f$، لدينا

$$\alpha ={\left(1+c_p{\left|\frac{\zeta }{{\left(M^{-1}\kappa \right)}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k}\right|}^2{\lambda }^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+o(1),$$

وهو ما يعطي

$${\left|\frac{\zeta }{{\left(M^{-1}\kappa \right)}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k}\right|}^2=\frac{1}{c_p}\left[({\alpha }^{1-p}-1){\lambda }^{-2}\right]+o(1),$$ (66)

حيث إن $c_p$ هو الثابت المعطى في التعريف (23) لـ $f$.
وبتعويض ذلك في (64) واستخدام التعريف (23) لـ $f$ مرة أخرى، نصل إلى

$v_k(z)$ $=M{\left(1+c_p{\left|{\displaystyle \frac{\zeta }{{\left(M^{-1}\kappa \right)}^{\frac{p-1}{2}}{h}_k}}\right|}^2{z}^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+o(1)$

$=M{\left(1+({\alpha }^{1-p}-1){\lambda }^{-2}{z}^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+o(1).$

لتكن $k\to +\mathrm{\infty }$، فنحصل على النتيجة $ii)$.

$iii)$ من (66) وحقيقة أن $\frac{y_k^{+}}{\sqrt{s_k}}\to \zeta$ عندما $k\to +\mathrm{\infty }$، لدينا

$${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2=\frac{({\alpha }^{1-p}-1)M^{1-p}}{c_p{\lambda }^2(p-1)}\log s_k+o(1).$$

وباستخدام (65)، نستنتج بعد ذلك

$${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2=\frac{2k|\log \lambda |({\alpha }^{1-p}-1)M^{1-p}}{c_p{\lambda }^2(p-1)}-\frac{({\alpha }^{1-p}-1)M^{1-p}}{c_p{\lambda }^2(p-1)}\log \left(\frac{M^{1-p}{\mathrm{\hslash }}^2}{p-1}\right)+o(1),$$

وهذا يعطي النتيجة $iii)$ ويتم برهان المبرهنة 11. ∎

4.2 النتائج العددية

يقدم هذا القسم الفرعي تأكيدات عددية متنوعة للادعاءات الواردة في القسم الفرعي السابق (المبرهنة 11). وقد استعملت جميع التجارب المعروضة هنا $\phi (x)=2(1+cos(\pi x))$ بوصفها معطيات ابتدائية، و$\alpha =0.6$ بوصفها المعلمة التي تضبط المجال المراد تنقيحه، و$\lambda =\frac{1}{2}$ بوصفه عامل التنقيح، و$C_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{4}$ بوصفه شرط الاستقرار للمخطط (45)، و$p=3$ و$a=0.1,1,10$ في اللاخطية $F$ المعطاة في (44). وتُختار العتبة $M$ بحيث تحقق الشرط (46). وفي الجدول 4.1، نعطي بعض قيم $M$ الموافقة للمعطيات الابتدائية ولخطوة المكان الابتدائية $\mathrm{\hslash }$.

$\mathrm{\hslash }$	0.040	0.020	0.010	0.005
$M$	0.320	0.160	0.080	0.040

Table 4.1: قيمة $M$ الموافقة للمعطيات الابتدائية ولخطوة المكان الابتدائية.

نوقف الحساب عادة بعد $40$ أطوار تنقيح. وبالفعل، بما أن $h_k^{\frac{2}{p-1}}{\Vert u_k(\bullet ,{\tau }_k^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=M$ وبحسب حقيقة أن $h_k=\lambda h_{k-1}$، فإن لدينا بالاستقراء

$${\Vert u_k(\bullet ,{\tau }_k^{\ast })\Vert }_{\mathrm{\infty }}=h_k^{-\frac{2}{p-1}}M={(\lambda h_{k-1})}^{-\frac{2}{p-1}}M=\mathrm{\cdots }={({\lambda }^k\mathrm{\hslash })}^{-\frac{2}{p-1}}M.$$

ومع هذه المعلمات، نرى أن السعة الموافقة لـ $u$ تقترب من ${10}^{12}$ بعد $40$ تكرارا.

$i)$ القيمة $\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}$ مستقلة عن $k$ وتميل إلى الثابت عندما $k\to +\mathrm{\infty }$.
من الملائم أن نرمز إلى القيمة المحسوبة لـ $\frac{{\tau }_k^{\ast }}{{\tau }_k}$ بـ $N_k$، وإلى القيمة المتنبأ بها المعطاة في العبارة $i)$ من المبرهنة 11 بـ $N_{pre}$. ونلاحظ أن قيم $N_{pre}$ لا تعتمد على $a$، لكنها تعتمد على $\mathrm{\hslash }$ بسبب العلاقة (46). وبصورة أدق،

$$N_{pre}(\mathrm{\hslash })=\frac{(1-{\lambda }^2){\Vert \phi \Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-p}}{C_{\mathrm{\Delta }}(p-1){\mathrm{\hslash }}^2}.$$

ثم بالنظر في الكمية $\frac{N_k}{N_{pre}}$، يُتوقع نظريا أن تتقارب إلى $1$ عندما تميل $k$ إلى اللانهاية. ويعرض الجدول 4.2 قيما محسوبة لـ $\frac{N_k}{N_{pre}}$ عند بعض الفهارس المختارة لـ $k$، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ وثلاث قيم مختلفة لـ $a$. ووفقا للنتائج العددية المعطاة في الجدول 4.2، تقترب القيم المحسوبة في الحالتين $a=10$ و$a=1.0$ من $1$ كما هو متوقع، مما يعطينا جوابا عدديا للعبارة (59). غير أن النتائج العددية في الحالة $a=0.1$ ليست جيدة بسبب أن سرعة التقارب إلى حد الانفجار (59) هي $\frac{1}{{|\log (T-t)|}^{a^{\prime }}}$ مع $a^{\prime }=\min \{a,1\}$ (انظر المبرهنة 3).

$k$	$a=10$	$a=1.0$	$a=0.1$
10	1.0325	0.9699	0.5853
15	1.0203	0.9771	0.5885
20	1.0149	0.9816	0.5923
25	1.0117	0.9845	0.5957
30	1.0096	0.9867	0.5989
35	1.0080	0.9885	0.6016
40	1.0072	0.9899	0.6043

Table 4.2: قيم $\frac{N_k}{N_{pre}}$ عند بعض الفهارس المختارة لـ $k$، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ وثلاث قيم مختلفة لـ $a$.

$ii)$ الدالة $v_k(z)$ المقدمة في الجزء $ii)$ من المبرهنة 11 تتقارب إلى ملمح متنبأ به عندما $k\to +\mathrm{\infty }$.
كما ورد في الجزء $ii)$ من المبرهنة 11، إذا رسمنا $v_k(z)$ على المجال الثابت $(-1,1)$، فإن منحنى $v_k$ يتقارب إلى المنحنى المتنبأ به. ويقدم الشكل 1 تأكيدا عدديا لهذه الحقيقة، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ و$a=10$. وبالنظر إلى الشكل 1، نرى أن منحنى $v_k$ يتقارب بوضوح إلى المنحنى المتنبأ به المعطى في الطرف الأيمن من (56) عندما تزداد $k$. ويبدو أن المنحنى الأخير $v_{40}$ يطابق التنبؤ. ويعرض الشكل 2 منحنى $v_{40}$ والملمح المتنبأ به لتجربة أخرى مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ و$a=0.1$. وهما يتطابقان ضمن دقة الرسم.

Figure 1: منحنى $v_k(z)$ عند بعض الفهارس المختارة لـ $k$، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ و$a=10$. وتتقارب هذه المنحنيات إلى الملمح المتنبأ به (الخط المتقطع) كما ورد في (56) عندما تزداد $k$.

Figure 2: منحنى $v_k(z)$ عند $k=40$ والملمح المتنبأ به المعطى في (56)، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ و$a=0.1$. ويتطابقان ضمن دقة الرسم.

في الجدول 4.3، نعطي الخطأ في $L^{\mathrm{\infty }}$ بين $v_k(z)$ عند الفهرس $k=40$ والملمح المتنبأ به المعطى في الطرف الأيمن من (56)، أي

$$e_{\mathrm{\hslash },a}=\underset{z\in (-1,1)}{sup}\left|v_{40}(z)-M{\left(1+({\alpha }^{1-p}-1){\lambda }^{-2}{z}^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}\right|.$$ (67)

وتعطينا هذه الحسابات العددية تأكيدا على أن الملامح المحسوبة $v_k$ تتقارب إلى الملمح المتنبأ به. وبما أن الخطأ $e_{\mathrm{\hslash },a}$ يميل إلى $0$ عندما تؤول $\mathrm{\hslash }$ إلى الصفر، فإن الحسابات العددية تجيب أيضا عن استقرار ملمح الانفجار الوارد في $i)$ من المبرهنة 4. وفي الواقع، يجعل الاستقرار الحل مرئيا في المحاكاة العددية.

$\mathrm{\hslash }$	$a=10$	$a=1.0$	$a=0.1$
0.04	0.002906	0.001769	0.002562
0.02	0.000789	0.000671	0.000687
0.01	0.000470	0.000359	0.000380
0.005	0.000238	0.000213	0.000235

Table 4.3: الخطأ في $L^{\mathrm{\infty }}$ بين الملامح المحسوبة والمتنبأ بها، حيث إن $e_{\mathrm{\hslash },a}$ معرف في (67).

$iii)$ تتصرف الكمية ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ كدالة خطية.
ولإجراء مقارنة كمية بين نتائجنا العددية والسلوك المتنبأ به كما ورد في $iii)$ من المبرهنة 11، نرسم منحنى ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ بدلالة $k$، ونرمز بـ ${\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}$ إلى ميل هذا المنحنى. ثم ننظر في النسبة $\frac{{\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}}{\gamma }$، حيث إن $\gamma$ معطى في الجزء $iii)$ من المبرهنة 11. وكما هو متوقع، ينبغي أن تقترب هذه النسبة $\frac{{\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}}{\gamma }$ من الواحد. ويعرض الشكل 3 الكمية ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ بوصفها دالة في $k$، للحساب مع خطوة المكان الابتدائية $\mathrm{\hslash }=0.005$ لقيم مختلفة لـ $a$. وبالنظر إلى الشكل 3، نرى أن المنحنيين الأوسطين الموافقين للحالتين $a=10$ و$a=1$ يتصرفان كالدالة الخطية المتنبأ بها (الخط العلوي)، في حين لا يصح ذلك في الحالة $a=0.1$ (المنحنى السفلي). ولتوضيح ذلك أكثر، لننظر إلى الجدول 4.4 الذي يسرد قيم $\frac{{\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}}{\gamma }$ للحساب مع قيم متنوعة من خطوة المكان الابتدائية $\mathrm{\hslash }$ لثلاث قيم مختلفة لـ $a$. وهنا تُحسب قيمة ${\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}$ من أجل $20\le k\le 40$. وكما يبين الجدول 4.4، فإن القيم العددية في الحالتين $a=10$ و$a=1$ توافق التنبؤ الوارد في $ii)$ من المبرهنة 11، بينما تكون القيم العددية في الحالة $a=0.1$ بعيدة عن القيمة المتنبأ بها.

Figure 3: منحنى ${(h_k^{-1}{y}_k^{+})}^2$ مقابل $k$، للحساب مع $\mathrm{\hslash }=0.005$ ولثلاث قيم مختلفة لـ $a$.

$\mathrm{\hslash }$	$a=10$	$a=1.0$	$a=0.1$
0.04	1.9514	1.9863	1.9538
0.02	1.1541	1.1436	0.8108
0.01	0.9991	1.0052	0.6417
0.005	0.9669	0.9682	0.5986

Table 4.4: قيم $\frac{{\gamma }_{\mathrm{\hslash },a}}{\gamma }$ للحساب مع قيم مختلفة لخطوة المكان الابتدائية $\mathrm{\hslash }$ ولثلاث قيم مختلفة لـ $a$.

Appendix A الملحق A

تعطي اللمّة الآتية من [32] توسع $\varphi (s)$، وهو الحل الوحيد للمعادلة (18) الذي يحقق (19):

لمّة A.1.

لتكن $\varphi$ حلا موجبا للمعادلة التفاضلية العادية الآتية:

$${\varphi }_s=-\frac{\varphi }{p-1}+{\varphi }^p+\frac{\mu {\varphi }^p}{{\log }^a(2+e^{\frac{2s}{p-1}}{\varphi }^2)}.$$

وباﻹضافة إلى ذلك، إذا افترضنا أن $\varphi (s)\to \kappa$ عندما $s\to +\mathrm{\infty }$، فإن $\varphi (s)$ يأخذ الشكل الآتي:

$$\varphi (s)=\kappa {(1+{\eta }_a(s))}^{-\frac{1}{p-1}}\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$

حيث

$${\eta }_a(s)\sim C_{\ast }{\int }_s^{+\mathrm{\infty }}\frac{e^{s-\tau }}{{\tau }^a}𝑑\tau =\frac{C_{\ast }}{s^a}\left(1+\sum _{j\ge 1}\frac{b_j}{s^j}\right),$$

مع $C_{\ast }=\mu {\left(\frac{p-1}{2}\right)}^a$ و$b_j={(-1)}^j{\prod }_{i=0}^{j-1}(a+i)$.

Proof.

انظر اللمّة A.3 في [32]. ∎

Appendix B الملحق B

نهدف إلى إثبات ما يأتي:

لمّة B.1 (تقدير $\omega (s)$).

لدينا

$$|\omega (s)|=𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty }.$$

Proof.

من اللمّة A.1، نكتب

$$p(\varphi {(s)}^{p-1}-{\kappa }^{p-1})=-\frac{p{\eta }_a(s)}{p-1}{(1+{\eta }_a(s))}^{-1}=-\frac{p{C}_{\ast }}{(p-1)s^a}{(1+{\eta }_a(s))}^{-1}+𝒪\left(\frac{1}{s^{a+1}}\right).$$

ويؤدي حساب مباشر إلى

$e^{-s}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{p}{p-1}}\varphi (s)\right)$ $={\displaystyle \frac{\mu p{\varphi }^{p-1}(s)}{{\log }^a(2+e^{\frac{2s}{p-1}}{\varphi }^2(s))}}-{\displaystyle \frac{2a\mu e^{\frac{2s}{p-1}}{\varphi }^{p+1}(s)}{(2+e^{\frac{2s}{p-1}}{\varphi }^2(s)){\log }^{a+1}(2+e^{\frac{2s}{p-1}}{\varphi }^2(s))}}$

$={\displaystyle \frac{p{C}_{\ast }}{(p-1)s^a}}{(1+{\eta }_a(s))}^{-1}+𝒪\left({\displaystyle \frac{1}{s^{a+1}}}\right).$

وبإضافة التقديرين أعلاه، نحصل على النتيجة المطلوبة. وهذا ينهي برهان اللمّة B.1. ∎

لمّة B.2 (تقدير $R(y,s)$).

لدينا

$$|R(y,s)|=𝒪\left(\frac{{|y|}^2+1}{s^{a^{\prime }+1}}\right),\text{as}s\to +\mathrm{\infty },$$

مع $a^{\prime }=\min \{1,a\}$.

Proof.

لنكتب $\phi (y,s)=\frac{\varphi (s)}{\kappa }\nu (y,s)$ حيث

$$\nu (y,s)=\kappa {\left(1+\frac{p-1}{4ps}\sum _{j=1}^l{y}_j^2\right)}^{-\frac{1}{p-1}}+\frac{\kappa l}{2ps}.$$

ثم نكتب $R(y,s)=\frac{\varphi (s)}{\kappa }{R}_1(y,s)+R_2(y,s)$ حيث

$R_1(y,s)$ $={\nu }_s-\mathrm{\Delta }\nu -{\displaystyle \frac{y}{2}}\cdot \nabla \nu -{\displaystyle \frac{\nu }{p-1}}+{\nu }^p,$

$R_2(y,s)$ $=-{\displaystyle \frac{{\varphi }^{\prime }}{\kappa }}\nu -{\displaystyle \frac{\varphi }{\kappa }}{\nu }^p+{\varphi }^p{\left({\displaystyle \frac{\nu }{\kappa }}\right)}^p+e^{-\frac{ps}{p-1}}{h}^{\prime }\left(e^{\frac{s}{p-1}}{\displaystyle \frac{\varphi \nu }{\kappa }}\right).$

أما الحد $R_1(y,s)$ فقد عولج سابقا في [34]، وهو محدود بـ

$$|R_1(y,s)|\le \frac{C({|y|}^2+1)}{s^2}+C{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{s}\}}.$$

ولحد $R_2$، نستعمل حقيقة أن $\varphi$ يحقق (19) لنكتب

$R_2(y,s)$ $={\displaystyle \frac{\nu \varphi }{{\kappa }^p}}({\kappa }^{p-1}-{\varphi }^{p-1})({\kappa }^{p-1}-{\nu }^{p-1})$

$+e^{-\frac{ps}{p-1}}\left[h\left(e^{\frac{s}{p-1}}{\displaystyle \frac{\varphi \nu }{\kappa }}\right)-h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right)\right]$

$+\left(1-{\displaystyle \frac{\nu }{\kappa }}\right)e^{-\frac{ps}{p-1}}h\left(e^{\frac{s}{p-1}}\varphi \right).$

وبملاحظة أن $\nu (y,s)=\kappa +\overline{\nu }(y,s)$ مع $|\overline{\nu }(y,s)|\le \frac{C}{s}({|y|}^2+1)$، بانتظام من أجل $y\in ℝ$ و$s\ge 1$، واستذكارا من اللمّة A.1 أن $\varphi (s)=\kappa {(1+{\eta }_a(s))}^{-\frac{1}{p-1}}$ حيث ${\eta }_a(s)=𝒪(s^{-a})$، ثم باستعمال توسع تايلور، نستنتج

$$|R_2(y,s)|\le C\left(\frac{{|y|}^2+1}{s^{a+1}}+{\mathrm{𝟏}}_{\{|y|\ge 2K_0\sqrt{s}\}}\right).$$

وهذا ينهي برهان اللمّة B.2. ∎