BRX-TH-671

EFI-13-31

شبه الاستقرار وعدم الاستقرار

في نظريات المقياس الهولوغرافية

Matthew Kleban¹, Albion Lawrence²,

Matthew M. Roberts³, and Stefano Storace¹

¹ Center for Cosmology and Particle Physics

Department of Physics, New York University

4 Washington Place, New York, NY 10003, and

New York University Abu Dhabi, United Arab Emirates

² Martin Fisher School of Physics, Brandeis University

MS 057, 415 South Street, Waltham, MA 02454

³ Kadanoff Center for Theoretical Physics and Enrico Fermi Institute,

The University of Chicago, 5640 South Ellis Ave., Chicago, IL 60637

نستعرض نتائج سابقة ونوسعها فيما يتعلق باستقرار وترموديناميك زمكان Anti-de Sitter (AdS) عند درجة حرارة منتهية. وباستخدام مزيج من التقنيات التحليلية والعددية، نحسب الطاقة ودرجة الحرارة والإنتروبيا لنجوم مائع كامل في زمكانات متقاربة حديا إلى AdS. ونجد أن هذه التشكيلات، عند درجة حرارة عالية كفاية (في المجموعة القانونية) أو طاقة عالية كفاية (في المجموعة الميكروكانية)، تطور لااستقرارات ديناميكية يفترض أنها تؤدي إلى تكون ثقب أسود. ونوسع تحليلنا إلى حالة تراصات المثبتة بالفيض (مثل تلك التي تظهر في الجاذبية الفائقة ونظرية الأوتار)، ونجد أن إدراج الكرة لا يغير هذه النتائج تغييرا جوهريا. ثم نرسم بنية الطور لهذه النظريات في المجموعتين القانونية والميكروكانية، مع الانتباه إلى عدم تكافؤ هاتين المجموعتين في فضاء Anti-de Sitter الكلي. وبحد تحجيمي معين، يمكن أن تكون درجة الحرارة الحرجة أخفض بارامترية من درجة حرارة الوتر، بحيث تصبح الجاذبية الفائقة وصفا جيدا عند نقطة عدم الاستقرار. ونعلق على دلالات ذلك بالنسبة إلى وحدوية الثقوب السوداء.

1 مقدمة

إن النظريات الموصوفة بجاذبية أينشتاين مضافا إليها عدد قليل من الحقول عديمة الكتلة (مثل تلك التي تظهر في الجاذبية الفائقة)، في زمكانات متقاربة حديا إلى anti-de Sitter، لها انتقال طور معروف من الرتبة الأولى عند درجات حرارة من رتبة معكوس نصف قطر انحناء زمكان AdS الخلفي [1]. وعند درجة حرارة “Hawking-Page” هذه ، تتبادل الحلول المقابلة لثقب أسود ذي انحناء بمقياس AdS ولغاز ساخن ذاتي التجاذب من جسيمات عديمة الكتلة الهيمنة في مشهد الطاقة الحرة. وعندما تظهر هذه النظريات كثنائيات هولوغرافية لنظريات مقياس قوية الاقتران وذات N كبير، فإنها تشير عادة إلى انتقال فك احتباس مع قفزة كبيرة في الإنتروبيا، وهو عادة انتقال فك احتباس [2, 3].

سواء كان المرء يدرس الجاذبية، أو نظرية المقياس، أو العلاقة بينهما، فإن المشهد الترموديناميكي في مجموعات مختلفة – أي القيم العظمى والصغرى ونقاط السرج للإنتروبيا وللطاقات الحرة المختلفة – يحتوي على معلومات إضافية مهمة. ففي انتقال من الرتبة الأولى، توفر الأطوار شبه المستقرة أطوارا وسيطة طويلة الزمن مهمة عند تبريد النظام، ويمكن أن تظهر كعابرات في الاستجابة طويلة الزمن لاضطراب. فعلى سبيل المثال، في نظريات المقياس الهولوغرافية، قيل إن مساهمة غاز الجاذبية الفائقة شبه المستقر في السلوك طويل الزمن لديناميات الحجم ذي درجة الحرارة المنتهية فوق انتقال Hawking-Page تمثل مفتاحا لفهم الوحدوية في الديناميات الكمومية للثقوب السوداء [4].

تشكيلة أخرى مثيرة للاهتمام هي الثقب الأسود ذو الأفق الأصغر من مقياس AdS، وله حرارة نوعية سالبة؛ فهو غير مستقر في المجموعة القانونية، لكنه قد يكون مستقرا في المجموعة الميكروكانية ضمن مجال من الكتل [1, 5]. وينبغي لمثل هذه الثقوب السوداء أن توفر مفتاحا لفهم الهولوغرافيا عند مقاييس دون AdS.

سنحاول في هذا العمل تقديم عرض موحد للمشهد الحراري لنظريات بسيطة للجاذبية المقترنة بجسيمات خفيفة، حيث نمثل الأخيرة بمائع ذاتي التجاذب. في §2 سندرس التشكيلات الساكنة بدلالة كثافة اللب، ونحسب طاقتها ، ودرجة حرارتها ، وإنتروبيتها ، وطاقة Helmholtz الحرة . وبالنسبة إلى الموائع في زمكانات متقاربة حديا إلى ، فقد وجدت هذه الكميات وحسبت الكميات الثلاث الأولى [6, 7, 8, 9]؛ وسنراجع تلك الحلول من أجل ونحسب إضافة إلى ذلك الطاقة الحرة والحرارة النوعية عند حجم ثابت . وسندرس الاستقرار تجاه الاضطرابات عند طاقة ودرجة حرارة ثابتتين. وبالنسبة إلى الغازات ذاتية التجاذب، عرفت اللااستقرارات للاضطرابات ثابتة الطاقة اعتمادا على فرضية أن الحلول التي كانت قيما عظمى محلية للإنتروبيا تكون مستقرة تجاه الاضطرابات المحلية في كثافة المائع [6, 8, 9]. وهذه مبرهنة مثبتة للزمكانات المتقاربة حديا إلى المسطحة [10]، لكنها ليست مثبتة للزمكانات المتقاربة حديا إلى AdS. وتتسق نتائجنا مع التخمين القائل إن هذه المبرهنة تمتد إلى الزمكانات المتقاربة حديا إلى AdS (وتشمل أعمالا أخرى عن استقرار النجوم في AdS [11, 12, 13]). وترتبط هذه القصة ارتباطا وثيقا بعمل حديث عن خصائص استقرار الثقوب السوداء [14, 15, 16, 17, 18]. أما النتائج عند درجة حرارة ثابتة فهي جديدة. وهي تعطي النتيجة غير المفاجئة أن عدم الاستقرار للاضطرابات الحافظة لدرجة الحرارة يبدأ عندما تصبح الحرارة النوعية سالبة، لكنها تبين أيضا أن عدم الاستقرار يستمر عند كثافة لب أعلى عندما تعود الحرارة النوعية إلى الإيجابية. وأخيرا، في حالتي و ندرس إدراج عاملي و في تراص Freund-Rubin للجاذبية الفائقة من النمط IIB، ونبين أن هذا لا يؤثر تأثيرا معتبرا في الفيزياء (على الرغم من أنه يجعل استخراج الحلول العددية أصعب). ويقتصر تحليلنا على التشكيلات المتجانسة على ، لكن للأسباب العامة الموضحة في Sec. 2.1 لا نتوقع أن تغير الحلول غير المتجانسة (إن وجدت) استنتاجاتنا الرئيسية.

في §3 سنجمع المشهد الغني للتشكيلات الساكنة في §2 مع مشهد حلول الثقوب السوداء، لمناقشة المشهد الترموديناميكي لنظريات المقياس ذات الثنائيات الهولوغرافية في AdS. ومن الدروس، التي ربما فهمها كثيرون لكنها لم تصغ بوضوح في الأدبيات، أن المشهد ونمط اللااستقرارات يختلفان في المجموعتين القانونية والميكروكانية. ومن المعروف أنه بالنسبة إلى النظريات الكمومية في حجم منته، وبالنسبة إلى النظريات ذات التآثرات بعيدة المدى كفاية، لا تكون المجموعتان القانونية والميكروكانية متكافئتين. وهذا يسمح بوجود تشكيلات مستقرة في المجموعة الميكروكانية – ثقوب سوداء صغيرة – ذات حرارة نوعية سالبة. وسنراجع قصة عدم تكافؤ المجموعات هذه، بما في ذلك نتائج حديثة نسبيا بشأن العلاقة بينهما [19]، ونناقش مخططات الطور الميكروكانية والقانونية لنظريات المقياس الهولوغرافية ضمن هذا الإطار.

وأخيرا، فإن دلالة عملنا هي وجود كتلة عظمى فوقها يتوقف غاز الإشعاع ذاتي التجاذب ببساطة عن كونه حلا. وفي حين كان معروفا أن ذلك يحدث عند درجات حرارة من رتبة مقياس الوتر [20]، نجد أنه في حد تحجيمي معين ذي N كبير يبدأ عدم الاستقرار عند درجات حرارة أخفض. وكما سنبين، فإن هذا يعني أن غاز أنماط الجاذبية الفائقة الخفيفة لا يستطيع تفسير السلوك طويل الزمن لدوال الارتباط عند درجة حرارة منتهية، خلافا للتخمين في [4].

2 غازات ساخنة ذاتية التجاذب في و

في هذا القسم سنصف التشكيلات الكلاسيكية الساكنة للموائع الساخنة المتجاذبة المقترنة بالجاذبية في خلفيات متقاربة حديا إلى ، وندرس خصائص استقرارها. وسيسمح لنا ذلك بإعطاء صورة أكمل للمشهد الترموديناميكي في §3. وسنجد، عبر حساب صريح في وفحوص عددية في ، أن الاضطرابات التي تثبت الطاقة تصبح غير مستقرة بالضبط عندما تكف الإنتروبيا بوصفها دالة في الكتلة الكلية (أو كثافة اللب) عن أن تكون قيمة عظمى محلية. ومن المعروف أن هذا صحيح في هندسات رباعية الأبعاد متقاربة حديا إلى المسطحة [10]. ومع أن [6, 9, 8] افترض أن هذه العلاقة بين التعظيم المحلي للإنتروبيا والاستقرار ستبقى صحيحة أيضا للزمكانات المتقاربة حديا إلى AdS، فإن نتائجنا، على حد علمنا، تقدم أول فحص لهذا الافتراض (الذي لا يزال بحاجة إلى برهان).

سنفحص أيضا حلول الموائع في و؛ وستكون النقطة الجوهرية أنه على الرغم من أن معادلات الحركة أصعب، فإن وجود الكرة لا يغير بصورة ملحوظة الحلول التي وجدناها في AdS الصرف. وسنقدم كذلك حجة تقريبية تشير إلى أن عدم الاستقرار الابتدائي للمائع الساخن ذاتي التجاذب متجانس على عامل في الزمكان. غير أن هذا لا يستبعد احتمال أن تكون نهاية عدم الاستقرار المتجانس تشكيلة شبه مستقرة متموضعة على . وحتى إن وجدت مثل هذه التشكيلات، فإننا نتوقع مع ذلك أن تصبح غير مستقرة عند درجة حرارة أعلى ما، للأسباب العامة المعطاة أدناه.

قبل دراسة الحل الكامل، سنراجع الحجة الكلاسيكية لعدم استقرار الأنظمة المتجاذبة عند درجة حرارة منتهية، ونقدم حدا بارامترية لبداية مثل هذا اللااستقرار في خلفيات متقاربة حديا إلى AdS.

2.1 الاستقرار والطاقة الذاتية للغرافيتون في الزمكانات الساخنة

قبل الدخول في تحليل كامل لحل معادلات أينشتاين، نستذكر عملا سابقا يتعلق باستقرار الزمكانات المسطحة والمتقاربة حديا إلى AdS في حضور مائع ذي كثافة أو ضغط مرتفعين كفاية. وعلى الرغم من أن إهمال الارتداد الخلفي ليس متسقا، فإن هذا التحليل يعطي الاعتماد البارامتري الصحيح لبداية عدم الاستقرار بدلالة الكثافة أو درجة الحرارة.

تعود الملاحظة الأولى لعدم استقرار المادة المنتظمة كفاية في الجاذبية النيوتنية إلى Jeans [21]. يجد المرء أن اضطرابات الكثافة الخطية تلبي معادلة موجية من الرتبة الثانية ذات كتلة “Jeans” تخيلية تعتمد على كثافة الخلفية. وتكون الاضطرابات ذات الأطوال الموجية الأطول من مقدار معكوس كتلة Jeans غير مستقرة وتنمو أسيا. ويبين التحليل البعدي أن كتلة Jeans لا بد أن تكون

$$M_J^2=-{\kappa }^2\rho$$ (2.1)

حيث إن هو ثابت نيوتن (المعروف أيضا باسم ).

قدم Gross وPerry وYaffe [22] صيغة نسبوية لهذه الحجة في دراستهم للفضاء المسطح الساخن. فقد أظهر المؤلفون أن المركبة من الغرافيتون (في الإطار الذي يكون فيه الحمام الحراري ساكنا) تكتسب حدا كتليا تاكيونيا عند حلقة واحدة،

$$\delta m^2(g_{00})\sim -{\kappa }^2\cdot T^D,$$ (2.2)

حيث هي درجة الحرارة، و هو الاقتران الثقالي (ببعد (طول)^D-2)، وقد عممنا النتيجة إلى أبعاد زمكانية. وهذا يتبع مرة أخرى أساسا من التحليل البعدي، ويتوافق مع النتيجة أعلاه إذا كان لبعض ثابت Stefan-Boltzmann .

ليس من السهل تعميم حساب [22] على خلفيات الفضاء المنحني التي تهمنا. علاوة على ذلك، فإن فيه عيبا خطيرا هو أن المائع الساخن في الفضاء المسطح ليس حلا لمعادلات أينشتاين، ولذلك سيظهر حد “شرغوف” في معادلات حركة الغرافيتون من الرتبة نفسها كالحد التاكيوني. وبصورة أعم، لا تكون المجموعة القانونية معرفة جيدا للأنظمة ذاتية التجاذب في الزمكانات المتقاربة حديا إلى المسطحة. ومع ذلك، فإنه يعطي الاعتماد البارامتري الصحيح لبداية عدم الاستقرار عندما يبدأ ذلك اللااستقرار عند طول موجي أصغر من نصف قطر انحناء الزمكان الصحيح.

سنكون مهتمين بخلفيات متقاربة حديا إلى anti-de Sitter، وهي توفر نوعا من “صندوق” ثقالي يمكن داخله جعل الترموديناميك للأنظمة المتجاذبة معقولا. يغير الانحناء الخلفي السالب الاستقرار، إذ إن عددا قياسيا ذا (كتلة)² سالبة يمكن أن يبقى مستقرا بشرط أن تكون الكتلة التربيعية أعلى من حد Breitenlohner-Freedman [23]:

$$m^2\ge -\frac{D^2}{4L^2},$$ (2.3)

حيث هو طول AdS. ويتفق الاعتماد البارامتري مع الاستنتاج المؤقت في عمل Gribosky وDonoghue وHolstein [24] الذين عمموا [22]، باستخدام الصياغة الزمنية الحقيقية لنظرية الحقل الكمومية عند درجة حرارة منتهية ومع أخذ الشرغوف المتولد من الارتداد الخلفي الثقالي الكلاسيكي في الحسبان، وذلك بالتوسع في قوى انحناء الزمكان. وكانت نتيجتهم أن هناك بالفعل طاقة ذاتية سالبة على الصورة (2.2)، وإن كان بمعامل مختلف عن معامل [22].

تشير المعادلة (2.3)، مع نتائج [22]، إلى أن عدم استقرار، إن وجد، ينبغي أن يحدث عند درجات حرارة من رتبة

$$T_J^D\sim \frac{1}{{\kappa }_D^2{L}^2}$$ (2.4)

وفي الحد الذي يكون فيه نصف قطر الانحناء أدنى من مقياس Planck، تكون هذه الدرجة أعلى بكثير من . لاحظ أنه بالنسبة إلى تراصات Freund-Rubin النموذجية على ، يكون نصف قطر انحناء كلا العاملين من الرتبة نفسها ، وينبغي أن نضع . وعلاوة على ذلك، إذا وجدت عوامل إضافية في هندسة التراص يكون نصف قطر انحنائها ، فإنها ستغير القصة أيضا.

تعطي حججنا أعلاه تحجيما خشنا؛ فهي لا تأخذ في الحسبان تفاصيل تأثيرات خلفية AdS في ملف كثافة المادة المثارة حراريا، ولا الارتداد الخلفي لتلك المادة على المترية. لذلك سنمضي إلى دراسة مباشرة للخلفية الزمكانية المقابلة لمائع ذاتي التجاذب. وفي حين أن التقدير أعلاه لدرجة الحرارة التي يبدأ عندها عدم الاستقرار صحيح، فإن القصة الكاملة أغنى بكثير.

2.2 معادلات عامة لخلفيات

2.2.1 الحلول الساكنة

عند درجة حرارة منتهية، يمتلئ الزمكان بغاز من الجسيمات في توازن حراري. ولذلك يوصف تطور نظام -بعدي ذي طول AdS بمعادلات أينشتاين المقترنة بموتر الإجهاد-الطاقة للمادة الحرارية:

$$R_{ab}-g_{ab}R/2-d(d-1)/2L^2{g}_{ab}={\kappa }^2{T}_{ab}^M,$$ (2.5)

مع الاصطلاحات المعتادة. نقرب الغاز بوصفه مائعا كاملا موصوفا بموتر إجهاد-طاقة من الشكل

$$T^{ab}=(\rho +p)u^a{u}^b+p{g}^{ab},$$ (2.6)

حيث إن و هما الكثافة والضغط، على الترتيب، و هو متجه جريان المائع. وسنتخصص في حلول متناظرة كرويا، مع ansatz مترية

$$d{s}^2=-f(r)e^{-\chi (r)}d{t}^2+d{r}^2/f(r)+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{d-1},$$ (2.7)

حيث إن هي مترية كرة -بعدية.

يتطلب التحديد الكامل للديناميات معادلة حالة . وكما في حالة الموائع الساكنة ذاتية التجاذب في الزمكانات المتقاربة حديا إلى المسطحة [25, 26]، تؤدي معادلات أينشتاين، مع حفظ الإجهاد-الطاقة ، إلى مجموعة من معادلات الحركة من الرتبة الأولى:

$$f{p}_{,\rho }{\rho }^{\prime }+(\rho +p)\left(\frac{dr}{2L^2}+\frac{{\kappa }^{2}r}{d-1}p+\frac{(d-2)(1-f)}{2r}\right)=0,$$ (2.8)

$$f^{\prime }+\frac{2-d}{r}-\frac{dr}{L^2}+\frac{(d-2)f}{r}+\frac{2{\kappa }^{2}r}{d-1}\rho =0,$$ (2.9)

$${\chi }^{\prime }+\frac{2{\kappa }^{2}r}{(d-1)f}\left(\rho +p\right)=0,$$ (2.10)

حيث تشير علامة الشرطة إلى الاشتقاق بالنسبة إلى . وينبغي أيضا أن ندرج معادلة الحالة ؛ ومن الآن فصاعدا، سنفترض معادلة حالة خطية . ونتوقع أن يكون هذا تقريبا جيدا ما دامت أنماط الجاذبية الفائقة عديمة الكتلة هي المكون المهيمن للمائع، إذ ينبغي لها أن تتصرف كإشعاع مع . علاوة على ذلك، فإن التآثرات الأولية ذات أبعاد، ومكبوتة بمقياس الوتر أو مقياس Planck. وبما أننا ندرس درجات حرارة وكثافات دون وترية، نتوقع أن تكون التآثرات المجهرية، ومن ثم التغيرات الناتجة في معادلة الحالة، صغيرة. وعند درجات حرارة عالية كفاية ستؤدي أنماط Kaluza-Klein على الكرة دورا، وقد ينهار هذا التقريب، وإن كان هذا على الأرجح يقابل ببساطة معادلة حالة إشعاعية في بعد أعلى. ومع ذلك سيكون من المثير دراسة أثر معادلات الحالة غير الخطية، وهو ما نتركه لعمل مستقبلي.

يبدو أن هناك حاجة إلى ثلاثة ثوابت حركة، لثلاث معادلات من الرتبة الأولى ذات مجاهيل . ونطلب أن يكون الحل متقاربا حديا إلى anti-de Sitter، بحيث عندما ، و. (لاحظ أن المشتقة الأولى فقط لـ تظهر، ولذلك لا تثبت هذه المعادلات حدا ثابتا؛ ويمكن إزاحته بإعادة تحجيم ، ومن ثم فهو ثابت غير فيزيائي). ونطلب الانتظام عند الأصل، مما يترك إما حد الكتلة عند اللانهاية (معامل ) أو “كثافة اللب” عند الأصل كثابت حركة.

في التطبيق العملي، سنختار كثافة اللب ، ونكامل انطلاقا من الأصل. ويمكن حساب كميات ترموديناميكية كلية مثل الطاقة ودرجة الحرارة كدوال في كثافة اللب. وهي ليست رتيبة عموما، بل تبلغ قيمة عظمى ثم تنخفض (بسبب الارتداد الخلفي الثقالي الكبير عند الكثافات العالية). ولإعطاء لمحة مسبقة، نرسم في الشكل 1، كحالة ممثلة، الطاقة ودرجة حرارة الحد بدلالة كثافة اللب لحالة غاز إشعاعي () في (وسنصف أدناه كيف نستخرج هذه الكميات)، اعتمادا على الحلول التحليلية في [27]. ولدرجة الحرارة والطاقة كلتاهما قيمة عظمى، وتحدث درجة الحرارة العظمى عند قيمة لـ أصغر من تلك الخاصة بالكتلة العظمى . وهكذا، من أجل تكون الحرارة النوعية ، مما يشير إلى عدم استقرار في المجموعة القانونية. ومن أجل يظهر نمط تاكيوني ويصبح النجم غير مستقر ديناميكيا. ونتوقع أن تستمر السمات النوعية نفسها على الأقل من أجل ولمجال من الأبعاد، وسنفحص ذلك صراحة للإشعاع في ، ، و.

Figure 1: الطاقة الكلية ودرجة الحرارة للنجوم الكروية في للإشعاع ()، بوصفهما دالتين في كثافة اللب .

2.2.2 الكميات الترموديناميكية

تقابل كل قيمة لكثافة اللب هندسة متميزة ذات طاقة وإنتروبيا في المجموعة الميكروكانية، أو طاقة حرة ودرجة حرارة في المجموعة القانونية. ويمكننا حذف واستخدام المنحنيين و لوصف الأطوار الميكروكانية والقانونية، على الترتيب. وعند فعل ذلك نحتاج إلى اختيار القيمة العظمى لـ أو القيمة الصغرى لـ ، في الحالات التي توجد فيها عدة حلول كلاسيكية لقيمة معطاة من أو ، كما يظهر في الشكل 1.

تعطى الطاقة بكتلة ADM [29]

$$E\equiv M_{ADM}=\frac{1}{2{\kappa }^2}{\int }_{S_{\mathrm{\infty }}}(g_{ij}{,}_j-g_{jj}{,}_i)d{n}^i,$$ (2.11)

حيث تشير المؤشرات اللاتينية إلى المركبات المكانية، وتجمع المؤشرات المتكررة، و كرة عند اللانهاية و متجه وحدة شعاعي يشير إلى خارج . وباستخدام هذه الصيغة، نستطيع حساب انطلاقا من ansatz. بعد حل المعادلات (2.8-2.9) لقيمة معطاة من ، يمكننا حينئذ إدخال القيم المحددة لـ ، و، و في ansatz (2.5)، ثم إدخال ذلك في (2.11) للحصول على .

لحساب نفترض تحقق التوازن الترموديناميكي، وهو ما يعني:

$$T_{loc}=\sqrt{-g^{tt}}T.$$ (2.12)

لثابت ، حيث إن هي “درجة الحرارة الخاصة” التي يقيسها ميزان حرارة فيزيائي. ونأخذ على أنها درجة الحرارة في نظرية الحقل الثنائية. وسندرس موائع ذات معادلة حالة خطية ؛ ومعطى ، يمكننا حينئذ حساب عبر التعميم الملائم لقانون Stefan-Boltzmann:

$$\rho =\sigma T_{loc}^{\frac{1+w}{w}}=\sigma {\left(-g_{tt}\right)}^{-\frac{1+w}{2w}}{T}^{\frac{1+w}{w}}.$$ (2.13)

عند نصف قطر كبير، تهبط الكثافة المحلية مثل $\rho \sim \mu /r^{\frac{1+w}{w}}$ لبعض ثابت . ومن ثم يمكننا استخراج درجة الحرارة الكلية:

$$T={(\mu /\sigma )}^{\frac{w}{1+w}}/L.$$ (2.14)

لحساب الإنتروبيا الميكروكانية ، نستخدم مرة أخرى التوازن الحراري المحلي لحساب كثافة إنتروبيا خشنة الحبيبات معطاة بـ ، و، و. والإنتروبيا الكلية هي التكامل على الفضاء لكثافة الإنتروبيا

$$s=\frac{p(\rho )+\rho }{T_{loc}}=(1+w){\sigma }^{\frac{w}{1+w}}{\rho }^{\frac{1}{1+w}}.$$ (2.15)

يمكن أن يبين المرء أنه بالنسبة إلى حلول (2.8-2.9)، مع تحديد بواسطة التوازن الحراري المحلي، تكون التعريفات أعلاه لـ متسقة مع القانون الأول . وأخيرا، فإن الطاقة الحرة لحل معطى هي .

2.2.3 الاستقرار الديناميكي

نرغب في فهم الاستقرار الميكانيكي لحلولنا تحت اضطرابات تحفظ إما الطاقة أو درجة الحرارة، وكيف يرتبط هذا الاستقرار بالخصائص الترموديناميكية لهذه الحلول.

نعتبر انحرافات صغيرة عن موتر الإجهاد-الطاقة (2.6) والمترية (2.7). وبالنسبة إلى حلول ذات اعتماد زمني توافقي لكل الحقول (في التقريب الخطي)، يوجد عدم استقرار ديناميكي عندما تكون في الطيف ترددات تخيلية. ويشير تناظر التشكيلة الابتدائية إلى أن أول عدم استقرار سيكون اضطراب s-wave، من الشكل و.

توجد المجموعة الكاملة لمعادلات هذه الاضطرابات في الملحق B. وهنا نعطي معادلات اضطرابات حقول المصدر و لحالة معادلة حالة خطية، حيث سرعة الصوت للاضطرابات ثابتة:

$\delta {\rho }^{\prime }(r)=$ $\left({\displaystyle \frac{i{\kappa }^2{r}^2{e}^{-\chi /2}{(p+\rho )}^2}{(d-1)f^{3/2}w}}\left\{{\displaystyle \frac{d}{L^2}}+{\displaystyle \frac{d-2}{r^2}}+{\displaystyle \frac{2{\kappa }^{2}p}{d-1}}\right\}+{\displaystyle \frac{i\omega e^{\chi /2}(p+\rho )}{w{f}^{3/2}}}\right)\delta u^r(r)$

$-\left({\displaystyle \frac{dr}{2L^{2}fw}}+{\displaystyle \frac{{\kappa }^{2}rp}{(d-1)fw}}+{\displaystyle \frac{r{\kappa }^2(2p+\rho )}{(d-1)f}}+{\displaystyle \frac{(d-2)(1-f)(1+w)}{2rfw}}+{\displaystyle \frac{dr}{2L^{2}f}}\right)\delta \rho (r)$ (2.16)

$\delta u_{}^r{}_{}{}^{\prime }(r)=$ $-\left({\displaystyle \frac{d-1}{r}}+{\displaystyle \frac{d-2}{2rw}}-{\displaystyle \frac{r}{2fw}}\left\{{\displaystyle \frac{d}{L^2}}+{\displaystyle \frac{d-2}{r^2}}+{\displaystyle \frac{2{\kappa }^{2}p}{d-1}}\right\}\right)\delta u^r(r)+{\displaystyle \frac{i\omega e^{\chi /2}}{\sqrt{f}(p+\rho )}}\delta \rho (r).$ (2.17)

يفرض التوافق مع المجموعة الميكروكانية أو القانونية شروطا حدية عند . وللحلول العامة في هذا الحد السلوك الحدي

$$\delta u^r\sim a/r^{d-1-1/w},\delta \rho \sim b/r^{\frac{1+w}{w}}.$$ (2.18)

في المجموعة الميكروكانية، حيث تحفظ الطاقة، نحتاج إلى اشتراط انعدام فيض الطاقة عبر الحد. وفيض الطاقة هو

$${\int }_t^{t+\mathrm{\Delta }t}𝑑t\int 𝑑{\mathrm{\Omega }}_{d-1}{T}_{ij}{({\partial }_t)}^i{n}^j\propto a,$$ (2.19)

حيث إن متجه وحدة خارجي متعامد مع سطح ، ومن ثم يفرض ثبات الطاقة الشرط . وفي المجموعة القانونية يجب حفظ درجة حرارة الحد. وبالنظر إلى التعبير (2.14)، نرى أن ثبات درجة الحرارة يتطلب . وبما أن لم تعد ثابتة، تبين المعادلة (2.19) أن الطاقة يمكن أن تدخل وتغادر الحد عند اللانهاية. ويمكننا تصور ذلك كتبادل للطاقة مع حمام حراري مقترن بالحد يحافظ على التوازن الحراري.

2.3 نجوم في

بالنسبة إلى الموائع ذاتية التجاذب في ، يمكن حل معادلات أينشتاين بالضبط في حالة معادلات الحالة الخطية ومتعددة الحدود [27].  سنستخدم ansatz مترية مختلفا عن (2.7). وفي الحالة مع ، يكون الحل:

$d{s}^2$ $=$ $-{\displaystyle \frac{r^2}{L^2}}d{t}^2+G{L}^{2}d{\varphi }^2+{\displaystyle \frac{d{r}^2}{G}}$

$G$ $=$ ${\displaystyle \frac{r^2}{L^2}}-C-{\displaystyle \frac{2{\kappa }^2{w}^2\mu }{(1-w)}}{r}^{\frac{w-1}{w}}$

$\rho$ $=$ $\mu /r^{\frac{1+w}{w}}$ (2.20)

سنفترض أن كثافة الطاقة موجبة، بحيث . وفي هذه الحالة، يمكن بيان أن $G^{\prime }>0$ لكل . وبذلك تكون جميع أصفار على المحور الحقيقي الموجب أصفارا بسيطة. افترض أن أكبر صفر من هذا النوع يقع عند ؛ يمكننا كتابة

$$C=\frac{r_0^2}{L^2}-\frac{2{\kappa }^2{w}^2\mu }{(1-w)}{r}_0^{\frac{w-1}{w}}$$ (2.21)

توجد فرادة إحداثية محتملة عند ، تقابل أصل الإحداثيات القطبية. ويتطلب السلاسة و

$$\mu =\frac{(L-r_0)r_0^{1/w}}{L^2{\kappa }^{2}w}.$$ (2.22)

ومن ثم تكون الكثافة المحلية في اللب

$${\rho }_0=\frac{L-r_0}{L^2{\kappa }^{2}w{r}_0}.$$ (2.23)

وتتطلب إيجابية كثافة الطاقة . وبما أن ، فإن ستزداد رتيبا مع ، وعندما ، يكون . ومن ثم يمكننا طلب ؛ وفي هذا المجال توجد عائلة ذات وسيط واحد من الزمكانات موسومة بـ . وعند ، يمكننا تعريف $r^2={\tilde{r}}^2+L^2$ لإظهار أن المترية هي ببساطة مترية فضاء anti-de Sitter في الإحداثيات الكلية. أما عند ، فإن المترية هي مترية ثقب BTZ الأسود ذي “الكتلة الصفرية” ودرجة الحرارة الصفرية.

يمكننا الآن حساب الخصائص الترموديناميكية وخصائص الاستقرار لهذه الحلول. الطاقة هي

$$E=\frac{\pi r_0(2wL-r_0(1+w))}{L^2{\kappa }^2(1-w)},$$ (2.24)

ويقابل زمكان AdS الكلي . وتأخذ الطاقة قيمتها العظمى عند ، وعند هذه القيمة

$$E_{max}=\frac{w^2}{1-w^2}\frac{\pi }{{\kappa }^2}>0$$ (2.25)

ولقيم الأصغر، تتناقص الكتلة حتى . ويوجد أيضا حل مع عند . وبالنسبة إلى الكتلة الموجبة، يوجد حلان. ودرجة الحرارة والإنتروبيا الكلية هما

$T$ $=$ ${\displaystyle \frac{{(r_0\sigma )}^{\frac{1}{1+w}}{(L-r_0)}^{\frac{w}{1+w}}}{L\sigma {(L^2{\kappa }^{2}w)}^{\frac{w}{1+w}}}}$

$S$ $=$ ${\displaystyle \frac{2\pi (1+w)L{(w{r}_0\sigma )}^{\frac{w}{1+w}}{(L-r_0)}^{\frac{1}{1+w}}}{(1-w){(L\kappa )}^{\frac{2}{1+w}}}}.$ (2.26)

ولدرجة الحرارة قيمة عظمى عند ؛ ويحدث ذلك عند طاقة أدنى من . ومن المثير للاهتمام أنه عند هذه القيمة لـ ، يكون ${\partial }_{r_0}\mu =0$، و${\partial }_{r_0}^{2}G=0$. وبخاصة، في توسع Taylor لـ حول ، يختفي الحد التربيعي. ونعتقد أن هذه نتيجة جديدة. وينبغي أن يكون هناك سبب فيزيائي لهذه المصادفة الظاهرة، لأنها تحدث لكل قيم ، لكننا لم نجد سببا.

رسمت المنحنيات ، و، و في الشكل 2. ومن أجل ، يكون ، ولا يوجد إلا حل واحد عند ثابت. ومن أجل ، يوجد فرعان من الحلول، يلتقيان عند . والفرع له إنتروبيا أعلى من الفرع . ومن ناحية أخرى، بوصفها دالة في درجة الحرارة، توجد دائما حلولان؛ أحد الفرعين يقابل ، وله أدنى طاقة حرة.

وهكذا، من أجل ، ، يكون الحل مفضلا ترموديناميكيا بين جميع الحلول المتناظرة كرويا الخالية من الآفاق، في كل من المجموعة القانونية والميكروكانية. ومن أجل ، تكون الحلول مفضلة في المجموعة الميكروكانية لكنها غير مفضلة في المجموعة القانونية. وأخيرا، من أجل ، لا تكون الحلول مفضلة في أي من المجموعتين.

Figure 2: منحنى الطاقة-الإنتروبيا، ودرجة الحرارة-الطاقة الحرة، ومنحنيات الطاقة-الضغط (معادلة الحالة الحدية) لنجوم الإشعاع في . والمنحنى الأسود المتصل مفضل إنتروبيا وترموديناميكيا، والجزء الأزرق المنقط مفضل إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل دائما.

يمكننا أيضا حساب الحرارة النوعية الميكروكانية ، وهي

$$c_V=\frac{2\pi {(w\sigma )}^{\frac{w}{1+w}}(1+w)}{(1-w)L^{\frac{1-w}{1+w}}{\kappa }^{\frac{2}{1+w}}}\frac{r_0^{\frac{w}{1+w}}{(L-r_0)}^{\frac{1}{1+w}}(Lw-r_0(1+w))}{L-(1+w)r_0}$$ (2.27)

وقد رسمناها بدلالة وبدلالة في الشكل 3. ويمكننا أن نرى بالفعل من المعادلة أعلاه أن تبدأ موجبة عند وتصبح سالبة عبر قطب من أجل ، وهو النظام الذي تبدأ فيه درجة الحرارة بالانخفاض بينما تستمر الكتلة في الازدياد، وفيه تكون التشكيلة هي الحل المفضل في المجموعة الميكروكانية لكنها غير مفضلة في المجموعة القانونية. ومن أجل ، تصبح موجبة مرة أخرى عبر صفر؛ وهذا هو النظام الذي لا يكون فيه الحل مفضلا في أي من المجموعتين.

Figure 3: الحرارة النوعية بوصفها دالة في الوسيط (الشكل الأيسر) والكتلة (الشكل الأيمن). وتغير الحرارة النوعية إشارتها عبر قطب عند حل درجة الحرارة العظمى، وتغير إشارتها عبر صفر عند نقطة الكتلة العظمى. وكما أعلاه، يكون المنحنى الأسود المتصل مفضلا إنتروبيا وترموديناميكيا، والمنحنى الأزرق المنقط مفضلا إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل قانونيا وميكروكانونيا.

2.3.1 الاستقرار الديناميكي

إن ansatz المترية (2.3) يقع في مقياس مختلف عن (2.7)، لكن تحت تغيير إحداثيات تعطي (2.17):

$\delta u_{}^r{}_{}{}^{\prime }$ $=$ ${\displaystyle \frac{1-w+2L^2{\kappa }^{2}w\rho }{wr(1+L^2{\kappa }^{2}w\rho )}}\delta u^r+{\displaystyle \frac{i\omega L}{r\rho (1+w)}}\delta \rho$

$\delta {\rho }^{\prime }$ $=$ $i\left({\displaystyle \frac{(1+w)\omega L\rho }{wrG}}+{\displaystyle \frac{2{\kappa }^{2}L{(1+w)}^2{\rho }^2}{\omega rw(1+L^2{\kappa }^{2}w\rho )}}\right)\delta u^r-{\displaystyle \frac{(1+w)(1+2L^2{\kappa }^{2}w\rho )}{rw(1+L^2{\kappa }^{2}w\rho )}}\delta \rho .$ (2.28)

وكما نوقش في القسم 2.2.3، يتطلب ثبات الكتلة أن يختفي الحد القائد في ، بينما يتطلب ثبات درجة الحرارة أن يختفي الحد القائد في . وبالنسبة إلى مجموعة معطاة من الشروط الحدية، يمكن النظر إلى المعادلة (2.28) كمعادلات قيمة ذاتية لـ .

نجد لااستقرارات لكل من و عند كثافة لب عالية كفاية. وفي الحالة ، المقابلة للاضطرابات في المجموعة الميكروكانية، لندع يدل على أدنى تردد متسق مع المعادلة (2.28). ويبدأ عدم الاستقرار عندما تصبح سالبة. وكما نرى في الشكل 4، يحدث هذا بالضبط عند الحل ذي الكتلة العظمى، . وهذا متسق مع التمديد إلى الزمكانات المتقاربة حديا إلى anti-de Sitter [31] لنتائج [32] في الفضاء المسطح: فظهور نقطة انعطاف في ، بوصفها دالة في وسيط ما يوسم الحلول (مثل كثافة اللب)، يشير إلى بداية عدم استقرار. لاحظ أيضا أن عدم الاستقرار هذا يبدأ بالضبط عندما يكف الحل عن أن يكون قيمة عظمى للإنتروبيا ، حتى مع تجاهل حلول الثقوب السوداء، كما نرى من الشكل 2. وهذا يذكر بنتائج [10] للزمكانات المتقاربة حديا إلى المسطحة. ففي ذلك العمل، ارتبط الاستقرار الميكانيكي بكون الإنتروبيا قيمة عظمى محلية بالنسبة إلى الاضطرابات المحلية. وقد وجدنا أنه عند بداية عدم الاستقرار، يوجد حل ذو إنتروبيا أعلى عند كتلة ثابتة.

في الحالة ، ليكن أدنى تردد متسق مع المعادلة (2.28). وكما يظهر في الشكل الشكل 4، يظهر عدم الاستقرار عندما تبلغ درجة الحرارة قيمة عظمى بوصفها دالة في كثافة اللب، بينما ما تزال الكتلة تنمو. وهذا يقابل بداية الحرارة النوعية السالبة. ويحدث ذلك عندما . ويبين تفحص الشكل 3 والشكل 4 أنه عند قيمة أعلى من كثافة اللب، تصبح الحرارة النوعية موجبة مرة أخرى، لكن عدم الاستقرار يستمر. وكما يظهر من الشكل 2، يكف الحل عن تصغير الطاقة الحرة حتى مع تجاهل حلول الثقوب السوداء عند درجة الحرارة نفسها؛ وحقيقة بقاء عدم الاستقرار تشير إلى أن الحل ليس حتى قيمة صغرى محلية للطاقة الحرة.

Figure 4: تردد أدنى نمط عادي في المجموعة الميكروكانية (الشكل الأيسر) والمجموعة القانونية (الشكل الأيمن)، لغاز إشعاع ذاتي التجاذب في خلفية متقاربة حديا إلى . وتذكر، تبعا للشكل 2، أن الخط الأسود المتصل مفضل ترموديناميكيا وإنتروبيا، والخط الأزرق المنقط مفضل إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل قانونيا وميكروكانونيا.

2.4 نجوم في

ننتقل الآن إلى دراسة الإشعاع في خلفيات متقاربة حديا إلى ( و)، وهي ذات صلة بفيزياء نظريات المقياس رباعية الأبعاد قوية الاقتران وذات N كبير. وبخاصة، تصف هذه الحلول طور “الاحتباس” لهذه النظريات، الذي يهيمن على الترموديناميك القانوني دون انتقال Hawking-Page/فك الاحتباس، ويكون شبه مستقر فوقه [2, 3]. ولسوء الحظ لا تتوفر حلول مضبوطة، ولذلك علينا اللجوء إلى التقريبات والحلول العددية.

يمكننا التمهيد بحساب دوال الإنتروبيا والطاقة الحرة اضطرابيا في القيمة الحدية للكثافة. وبكتابة ، نجد

$E$ $=$ ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{3L}}\mu +{\displaystyle \frac{{\pi }^2{\kappa }^2}{16L^4}}{\mu }^2+{\displaystyle \frac{7{\pi }^2{\kappa }^4(5040\log (2)-3487)}{2916L^7}}{\mu }^3+\mathrm{\dots }$

$S$ $=$ ${\sigma }^{1/5}{\mu }^{4/5}\left({\displaystyle \frac{5}{3}}+{\displaystyle \frac{5{\pi }^2{\kappa }^2}{72L^3}}\mu +{\displaystyle \frac{5{\pi }^2{\kappa }^4(5040\log (2)-3487}{1944L^6}}{\mu }^2+\mathrm{\dots }\right)$ (2.29)

لاحظ أن التوسع هو في قوى بالنسبة إلى الثنائية لنظرية super-Yang-Mills قوية الاقتران وذات N كبير [33]. ويمكننا جمع هذه النتائج للحصول على تصحيحات القائدة لتحجيم الطاقة-الإنتروبيا لغاز جسيمات ذاتي التجاذب.

$$S=\frac{5{\pi }^{2/5}{\sigma }^{1/5}}{2^{8/5}{3}^{1/5}}{E}^{4/5}\left(1+\frac{{\kappa }^{2}E}{320{\pi }^2{L}^2}+\mathrm{\dots }\right)$$ (2.30)

وكذلك تحجيم درجة الحرارة-الطاقة الحرة،

$$F=-\sigma \frac{L^4{\pi }^2}{3}{T}^5\left(1+\sigma L^2{\kappa }^2{T}^5/48+\mathrm{\dots }\right)$$ (2.31)

لاحظ أن التصحيحات إلى القائد تحدث في متسلسلة قوى في ، وأن التصحيحات إلى القائد هي متسلسلة قوى في . واتباعا لمناقشة اللااستقرارات في ، قد نتوقع أن تبدأ اللااستقرارات عندما يكون للإنتروبيا والطاقة الحرة سلوك غير تحليلي، حيث نتوقع أن تنهار متسلسلة القوى أعلاه؛ وينبغي أن يحدث ذلك عند و. وسنبين أدناه أن هذا التحجيم صحيح.

يمكننا أيضا إنشاء الحلول غير الخطية الكاملة عدديا. وتعرض نتائج الإنتروبيا ، والطاقة الحرة ، والضغط في 5. والبنية بالفعل شديدة الشبه بحالة . وتوجد فرعان بدلالة الكتلة أو درجة الحرارة؛ ويلتقي الفرعان عند إنتروبيا وطاقة عظميين من أجل وعند الطاقة الحرة الصغرى ودرجة الحرارة العظمى من أجل . ومرة أخرى، تحدث تشكيلة الإنتروبيا/الطاقة العظمى عند كثافة لب أعلى من تشكيلة الطاقة الحرة الصغرى/درجة الحرارة العظمى.

Figure 5: منحنى الطاقة-الإنتروبيا، ودرجة الحرارة-الطاقة الحرة، ومنحنيات الضغط الكلي-الطاقة (معادلة الحالة الحدية) للنجوم في . والمنحنى الأسود المتصل مفضل إنتروبيا وترموديناميكيا، والجزء الأزرق المنقط مفضل إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل دائما. والبنية هي نفسها كما في حالة ، الشكل 2، غير أننا نحتاج إلى التكبير لأن الجزء الأزرق المنقط أصغر بكثير.

يبين الشكل 6 الحرارة النوعية الميكروكانية بدلالة كثافة اللب والطاقة. كما تنقلب الحرارة النوعية إلى السالب عند كثافة اللب التي تكف عندها الطاقة الحرة عن أن تكون قيمة صغرى بين الحلول الساكنة ذات الإشعاع ذاتي التجاذب؛ وتصبح موجبة مرة أخرى عند كثافة اللب التي تكف عندها الإنتروبيا عن أن تكون قيمة عظمى.

Figure 6: الحرارة النوعية الميكروكانية بوصفها دالة في كثافة اللب (الشكل الأيسر) والطاقة (الشكل الأيمن).

2.4.1 الاستقرار الديناميكي

اتباعا لمناقشة القسمين 2.2.3 و2.3.1 يمكننا تحديد الاستقرار الديناميكي لهذه الحلول. وكما سبق، نرمز إلى مربع أدنى تردد للاضطرابات ثابتة الطاقة بـ وللاضطرابات ثابتة درجة الحرارة بـ ؛ وتبدأ اللااستقرارات عندما تصبح هذه سالبة. وتعرض النتائج العددية في الشكل 7 أدناه. وتشير حساباتنا العددية إلى أن النتائج مماثلة نوعيا لحالة . فتصبح سالبة، معلنة عن عدم استقرار في المجموعة الميكروكانية، عند كثافة اللب التي تكون عندها الطاقة والإنتروبيا كلتاهما عند قيمتهما العظمى في هذه العائلة من الحلول. وتصبح سالبة، معلنة عن عدم استقرار في المجموعة القانونية، عند كثافة اللب التي تصبح عندها الحرارة النوعية سالبة، وتكون الطاقة الحرة عند القيمة الصغرى في هذه العائلة من الحلول، وتكون درجة الحرارة هي العظمى في هذه العائلة من الحلول.

Figure 7: تردد أدنى نمط عادي في المجموعة الميكروكانية (يسارا) والقانونية (يمينا) لنجوم إشعاع . وكما سبق يكون الخط الأسود المتصل مفضلا ترموديناميكيا وإنتروبيا، والخط الأزرق المنقط مفضلا إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل قانونيا وميكروكانونيا. والبنية هي نفسها كما في حالة ، الشكل 4، غير أننا نحتاج إلى التكبير لأن الجزء الأزرق المنقط أصغر بكثير.

2.5 نجوم في

في تراصات نوع Freund-Rubin التي تظهر في ثنائية المقياس-الجاذبية، يتوازن الانحناء السالب لعامل مع الانحناء الموجب في عامل مضافا إليه الفيض. وفي عدة أمثلة معروفة يكون نصف قطر انحناء العاملين هو نفسه. والظواهر التي نهتم بها – أي درجة الحرارة والكتلة اللتان تصبح عندهما حلول مختلفة للإشعاع ذاتي التجاذب غير مستقرة – تحدث عند طاقات ودرجات حرارة أعلى كثيرا من نصف قطر الانحناء هذا، بعامل من رتبة . لذلك ينبغي أن نتحقق من أن إدراج هذه الطاقة الإضافية لا يغير الحلول التي شيدناها أعلاه تغيرا معتبرا. وسنركز على حالتي و.

التعقيد المحتمل هو أن الارتداد الخلفي للغاز الحراري يمكن أن يتداخل مع آلية تثبيت عامل . ولذلك سندرج على وجه التحديد نصف قطر في معادلات الحركة التي نكاملها. ومع ذلك، بافتراض تناظر نعلم أن هناك اقتطاع Kaluza-Klein إلى نظام مقترن بديلاتون كتلي وكذلك بالمائع (مع أن الاقتران بالمائع يعدله الديلاتون)، ولا نتوقع أن يغير حقل كتلي بنية الطور كثيرا.

2.5.1 نجوم

نبدأ باقتطاع الجاذبية الفائقة IIB إلى المترية وفيض الخماسي-الشكل ذاتي الثنائية؛ ولهذا الاقتطاع تراص Freund-Rubin إلى بوصفه حل الخلاء. معادلات الحركة هي [34, 35, 36]

$$R_{ab}=\frac{1}{6}{F}_{a{c}_1{c}_2{c}_3{c}_4}{F}_b{}_{}{}^{c_1{c}_2{c}_3{c}_4},F=\ast F,dF=0.$$ (2.32)

ويكون الكلي حلا مع ، ، حيث إن هو شكل الحجم على كرة خماسية وحدة (أي ). عندما نقرن النظرية بالمائع (2.6)، تصبح المعادلة (2.32)

$$R_{ab}=\frac{1}{6}{F}_{c_1{c}_2{c}_3{c}_{4}a}{F}_b{}_{}{}^{c_1{c}_2{c}_3{c}_4}+{\kappa }^2(T_{ab}-T^c{}_c{}^{}g_{ab}^{}/8).$$ (2.33)

أصبح ansatz المترية الآن هو (2.7) مضافا إليه كرة إضافية يكون حجمها معتمدا على الإحداثي الشعاعي لـ AdS، :

$$d{s}^2=d{s}_5^2+L^2{e}^{2C(r)}d{\mathrm{\Omega }}_5^2.$$ (2.34)

وبعد بعض إعادة الترتيب، تصبح معادلات الحركة:

$$\frac{(3+5r{C}^{\prime })p_{,\rho }}{p+\rho }{\rho }^{\prime }-5C^{\prime }(3+2r{C}^{\prime })-\frac{3(f-1)}{fr}+\frac{{\kappa }^{2}rp}{f}+\frac{2(5e^{8C}-2)r}{e^{10C}{L}^{2}f}=0,$$ (2.35)

$$(3+5r{C}^{\prime })f^{\prime }+\frac{2(f-1)(3+10r{C}^{\prime })}{r}+30rf{C}^{\prime 2}-\frac{40r^2{C}^{\prime }}{e^{10C}{L}^2}$$

$$+\frac{4(5e^{8C}-8)r}{e^{10C}{L}^2}-\frac{r{\kappa }^2}{4}\left[5r(p-\rho )C^{\prime }-(5p+3\rho )\right]=0,$$ (2.36)

$$(3+5r{C}^{\prime }){\chi }^{\prime }+\frac{80r\sinh (4C)}{L^{2}f{e}^{6C}}-10\left(1-r{C}^{\prime }+\frac{2}{f}+\frac{4r^2}{f{e}^{10C}{L}^2}\right)C^{\prime }$$

$$-\frac{{\kappa }^2}{4f}\left[5r^2(p-\rho )c^{\prime }-r(13p+3\rho )\right]=0,$$ (2.37)

$$rf{C}^{\prime \prime }+f{C}^{\prime }+\frac{4r}{e^{10C}{L}^2}(1-e^{8C})+2C^{\prime }\left(1+\frac{2r^2}{e^{10C}{L}^2}\right)-\frac{r{\kappa }^2}{8}(p-\rho )(1-r{C}^{\prime })=0.$$ (2.38)

لاحظ أن يدل على مقياس Planck العشري-الأبعاد في هذه المعادلات. وبعد استخدام معادلة الحالة لتحديد ، تكون لدينا ثلاث معادلات من الرتبة الأولى ومعادلة واحدة من الرتبة الثانية في أربعة مجاهيل و؛ وذلك لأننا استنفدنا كل القيود الناتجة من لا تغيرية تبدل الإحداثيات. وأخيرا، بما أننا سنهتم بطاقات ودرجات حرارة أعلى بكثير من المقياس ، سندرس معادلة الحالة ، المقابلة للإشعاع في عشرة أبعاد.

سنطلب أن يكون السلوك التقاربي عند لحلول (2.35) - (2.38) هو:

$$f=\frac{r^2}{L^2}+1-\frac{ϵ}{r^2}+\mathrm{\dots },\rho =\frac{\mu }{r^{10}}+\mathrm{\dots }\chi =\frac{{\chi }_0}{r^8}+\mathrm{\dots },C=\frac{{\chi }_0}{30r^8}+\mathrm{\dots },$$ (2.39)

بينما يكون السلوك عند الأصل:

$$f=1+𝒪(r^2),\rho ={\rho }_{core}+𝒪(r^2),\chi ={\chi }_{core}+𝒪(r^2),C=C_{core}+𝒪(r^2).$$ (2.40)

وهذا الطلب غير تافه بالنسبة إلى ؛ فهو حقل كتلي في ، ولذلك يوجد حل محتمل غير قابل للتطبيع يمكن أن ينمو بسرعة عند نصف قطر كبير، ويدمر ارتداده الخلفي بنية AdS التقاربية. وهذا يؤدي إلى مسألة تصويب حساسة عندما نثبت الشروط الحدية عند الأصل: فالخطأ الصغير يؤدي إلى مكون كبير غير قابل للتطبيع لـ عند نصف قطر كبير. وفي النهاية تبقى عائلة ذات وسيط واحد من حلول متقاربة حديا إلى ومتناظرة كرويا في كلا العاملين. نجد أن نصف قطر يتغير تغيرا ضعيفا فقط في . وإذا قسنا تغير الحجم بواسطة ، نرى أنه حتى عند كثافات لب تتجاوز نقطة عدم الاستقرار، لا يتغير نصف قطر إلا بنسبة بضعة في المئة (انظر الشكل 8).

Figure 8: رسم يبين التغير الصغير في حجم بسبب الارتداد الخلفي بوصفه دالة في كثافة اللب . لاحظ أن النجم يصبح غير مستقر ترموديناميكيا عند وغير مستقر ميكروكانونيا عند . ومن الواضح أن إدراج الكرة الخماسية لا يغير بنية الحل نوعيا.

نعرض منحنيي و في الشكل (9)، ونجد أن النتائج النوعية للقسم 2.4 تبقى صحيحة بالفعل. والفرق الوحيد هو تحجيم درجة الحرارة التي تصبح عندها المجموعة القانونية غير مستقرة: فهي تحدث عندما .

Figure 9: منحنى الطاقة-الإنتروبيا ومنحنيات درجة الحرارة-الطاقة الحرة للنجوم في . والمنحنى الأسود المتصل مفضل إنتروبيا وترموديناميكيا، والجزء الأزرق المنقط مفضل إنتروبيا لكنه غير مفضل ترموديناميكيا، والخط الأحمر المتقطع غير مفضل دائما. والبنية هي نفسها كما في حالتي و، الشكلين 2 و5. لاحظ أن هنا هو مقياس Planck العشري-الأبعاد.

لأن تحليلنا يقتصر على تشكيلات -wave على الكرة، يبقى سؤال مفتوح هو ما إذا كان نمط غير متجانس على الكرة يمكن أن يطور عدم استقرار قبل النمط المتجانس.

2.5.2 نجوم

بدءا من الجاذبية الفائقة من النمط II في 10 أبعاد وبالاختزال على ، يمكننا إجراء اقتطاع متسق إلى جاذبية فائقة ، لها مترية، وشدة حقل 3-شكل ذاتية الثنائية، وسبينور Weyl مركب يحقق [37, 38]. معادلات الحركة هي

$$R_{ab}=H_{acd}{H}_b{}_{}{}^{cd},H_{abc}=\frac{1}{3!}{ϵ}_{abcdef}{H}^{def}.$$ (2.41)

ومثلما في (2.34) تماما، نستخدم ansatz

$$d{s}^2=d{s}_3^2+L^2{e}^{2C}d{\mathrm{\Omega }}_3^2,F=L^2(1+\ast ){ϵ}_3.$$ (2.42)

وباستخدام الاقتران بمائعنا الكامل (2.6)، نحصل على

$$R_{ab}=H_{acd}{H}_b{}_{}{}^{cd}+{\kappa }_6^2\{T_{ab}-g_{ab}{T}^c{}_c{}^{}/4\},$$ (2.43)

وهذا، مع الحفظ، يعطي المعادلات الآتية

$$\frac{(2+3r{C}^{\prime })p_{,\rho }}{p+\rho }{\rho }^{\prime }-3C^{\prime }-\frac{3}{2}r{C}^{\prime 2}+\frac{2r}{f{L}^2}\left(3e^{-C}-2e^{-3C}+{\kappa }^2{L}^{2}p\right)=0,$$ (2.44)

$$(2+3r{C}^{\prime })f^{\prime }+6rf{C}^{\prime 2}-\frac{4r}{L^2}(4e^{-3C}-3e^{-C})+{\kappa }_6^{2}r(\rho +3p)+\frac{3r^2{\kappa }_6^2{C}^{\prime }}{2}\left(\rho -p-\frac{8e^{-3C}}{{\kappa }_6^2{L}^2}\right)=0,$$ (2.45)

$$(2+3r{C}^{\prime }){\chi }^{\prime }-6C^{\prime }+3r{C}^{\prime 2}-\frac{12r{e}^{-3C}}{L^{2}f}(2-2e^{2C}+r{C}^{\prime })+\frac{r{\kappa }_6^2}{2f}\left[p(14-3r{C}^{\prime })+\rho (2+3r{C}^{\prime })\right]=0,$$ (2.46)

$$C^{\prime \prime }-\frac{{\kappa }_6^2(p-\rho )}{2f}-\frac{4}{L^{2}f}(e^{-C}-e^{-3C})+\left(\frac{1}{r}+\frac{2r{e}^{-3C}}{L^{2}f}+\frac{{\kappa }_6^{2}r(p-\rho )}{4f}\right)C^{\prime }=0.$$ (2.47)

فيما يلي سنركز على حالة معادلات الحالة الخطية، ، وليس فقط لأسباب ستتضح بعد قليل. وعند نصف قطر كبير، لدينا

$$\rho =\frac{\mu }{r^{\frac{1+w}{w}}}+\mathrm{\dots },f=\frac{r^2}{L^2}-ϵ+\mathrm{\dots },\chi ={\chi }_0/r^4+\mathrm{\dots },C={\chi }_0/15r^4+\mathrm{\dots }.$$ (2.48)

Figure 10: مقارنة بين نجوم المشيدة عدديا والحلول التحليلية في . لاحظ أن الديلاتون لا يغير بنية الحلول إلا تغييرا طفيفا، على الرغم من أن الأثر أقوى بوضوح لقيم أصغر من . وفي حالة إشعاع 6D لا نستطيع عدديا العثور على نقطة انعطاف الكتلة، مع أننا نخمن وجودها.

لسوء الحظ، بسبب الديلاتون لا نستطيع إيجاد حلول تحليلية صريحة. وعند إنشاء الحلول عدديا (ومعاملة الديلاتون الكتلي بالطريقة نفسها التي اتبعناها في حالة ) نجد أن بنية الحلول قريبة نوعيا جدا من بنية نظام التحليلي. في الشكل 10 نرسم الطاقة مقابل درجة الحرارة من أجل و من أجل جنبا إلى جنب مع الحل التحليلي (2.24، 2.26). وعند دراسة حالة إشعاع 6D، لا نستطيع إيجاد نقطة انعطاف الكتلة لأنها تبدو كأنها تحدث عند كثافة لب عالية جدا نفقد عندها السيطرة العددية. غير أن الشكل شديد الشبه بحل . ونخمن أن نقطة انعطاف الكتلة ما تزال موجودة وأن مخطط الطور هو نفسه كما في . وفي حالة تحدث نقطة انعطاف الكتلة أبكر (أي عند كثافة لب أخفض) ونجد مرة أخرى اتفاقا نوعيا مع نظام ، ولذلك تظل نتائج القسم 2.3 صحيحة.

3 الترموديناميك والثنائي في نظرية المقياس

في هذا القسم نرسم المشهد الترموديناميكي للنظريات الثقالية في الزمكانات المتقاربة حديا إلى AdS، مع الاهتمام بدلالاته بالنسبة إلى الثنائيات في نظرية المقياس.

ركزنا في القسم السابق على الإشعاع ذاتي التجاذب، بما في ذلك إنتروبيا هذه الحلول وطاقتها الحرة. ومن المعروف أن هذه التشكيلات تهيمن على الترموديناميك عند درجات حرارة وطاقات منخفضة. أما الجاذبية عند الطاقات ودرجات الحرارة العالية في AdS فمن المعروف أنها تهيمن عليها الثقوب السوداء، ذات إنتروبيات كبيرة من رتبة لخلفيات [1]. وفي حد كتلة Planck الكبيرة، يوجد انتقال طور حاد من الرتبة الأولى عند درجة حرارة منتهية. وعندما توجد نظرية مقياس ثنائية، يمثل ذلك انتقال فك احتباس، بمشاركة عدد كبير من درجات الحرية في الترموديناميك [2, 3].

بالنسبة إلى الأنظمة ذات الحجم اللامتناهي والتآثرات قصيرة المدى كفاية، من المعروف أن المجموعتين القانونية والميكروكانية متكافئتان. غير أن الانتقال أعلاه يحدث عندما تكون نظرية المقياس في حجم منته، وتتهيمن عليه تشكيلات متناظرة كرويا. وفي مثل هذه الحالات من المعروف أن المجموعات غير متكافئة عموما. ومن علامات ذلك وجود ثقوب سوداء مستقرة ميكروكانونيا ذات حرارة نوعية سالبة [39, 5]. ومع ذلك، يمكن تعريف الأطوار الميكروكانية بنقاط توازن في المجموعة القانونية، وإن كانت هذه النقاط قد تكون شبه مستقرة أو غير مستقرة.

سنبدأ بمراجعة بعض الجوانب الأساسية للانتقالات من الرتبة الأولى في الأنظمة ذات المجموعات الميكروكانية والقانونية غير المتكافئة. وبعد ذلك، سنستكشف بالتفصيل مشهد تراصات و. وأخيرا، سنناقش دلالات هذا المشهد بالنسبة إلى ديناميات الاضطرابات الصغيرة عند درجة حرارة منتهية، وهي مسألة نوقشت بوصفها مشخصا لوحدوية تطور الثقوب السوداء [4].

3.1 مراجعة: الترموديناميك الميكروكاني في مقابل القانوني

بالنسبة إلى نظريات الحقل المحلية ذات القوى قصيرة المدى، تكون المجموعتان الميكروكانية والقانونية متكافئتين في الحد الترموديناميكي. وهذا يضمن أن تكون الحرارة النوعية عند حجم ثابت موجبة عند جميع درجات الحرارة والطاقات. وبالنسبة إلى نظريات من هذا النوع ذات انتقال طور من الرتبة الأولى، تظهر المنحنيات و في الشكل 11. وفي هذا الشكل تكون هي الطاقة والإنتروبيا لكل واحدة حجم، و$T={\left(\frac{\partial s}{\partial ϵ}\right)}^{-1}$. وفي الشكل 11(a)، يقابل المنحنى التشكيلات ذات الإنتروبيا العظمى عند طاقة ثابتة؛ وفي الشكل 11(b)، تقابل المنحنيات تشكيلات ذات طاقة حرة عظمى عند درجة حرارة ثابتة. والخط المستقيم في منحنى هو خط تعايش، حيث يتكون كسر $f_{high}=\frac{ϵ-{ϵ}_1}{{ϵ}_2-{ϵ}_1}$ من النظام الكلي من مجالات في طور الطاقة العالية ذات كثافة طاقة ${ϵ}_2$. وتسهم حدود المجالات بسبب التوتر السطحي، لكن مساهمتها دون ممتدة في الحد الترموديناميكي. وكل النقاط على هذا الخط لها درجة الحرارة نفسها. والنتيجة هي القفزة المفاجئة غير المستمرة في الطاقة في منحنى $T(ϵ)$، التي تشير إلى انتقال طور من الرتبة الأولى. لاحظ أيضا أن الحرارة النوعية $C_V=\partial E/\partial T$ لها هنا لااستمرارية على شكل دالة دلتا.

(a) منحنى الطور الميكروكاني

(b) منحنى الطور القانوني

Figure 11: منحنيات الطور لنظام ذي انتقال من الرتبة الأولى وتآثرات قصيرة المدى في الحد الترموديناميكي. الشكل (a): كثافة الإنتروبيا () بوصفها دالة في كثافة الطاقة () في المجموعة الميكروكانية. الشكل (b): كثافة الطاقة بوصفها دالة في درجة الحرارة في المجموعة القانونية

غير أن هناك حالات كثيرة يعرف فيها أن المجموعتين غير متكافئتين. ويحدث هذا عموما للأنظمة المنتهية بعيدا عن الحد الترموديناميكي؛ ويمكن أن يحدث أيضا للنظريات ذات القوى بعيدة المدى كفاية مثل نظريات الحقل المتوسط أو المجموعات المتجاذبة، حيث لا يعود التآثر بين مجالات الطور يحدث فعليا على طول حدود المجالات فقط. وفي هذه الحالات، يكون منحنى لنظرية ذات انتقال طور من الرتبة الأولى كما هو مبين في الشكل 12 [40]. فينحني خط التعايش إلى الداخل ويتضمن قطعة تعرف باسم “الدخيل المحدب”. والتفسير الحدسي لذلك في النظريات المحلية هو أنه عند حجم منته، يسهم التوتر السطحي بمقدار منته في طاقة تشكيلة معطاة من مجالات الطور [41, 42]. وهذه البنية مميزة لتوزيع احتمالي ذي قمتين متميزتين عند طاقتين مختلفتين [43]. وفي هذه الحالة، توجد منطقة تكون فيها التشكيلة المهيمنة إنتروبيا في المجموعة الميكروكانية ذات حرارة نوعية سالبة، وتقابل تشكيلة غير مستقرة ترموديناميكيا في المجموعة القانونية.

(a) منحنى الطور الميكروكاني

(b) منحنى الطور القانوني

Figure 12: منحنيات الطور لنظام ذي انتقال من الرتبة الأولى عندما لا تكون المجموعتان القانونية والميكروكانية متكافئتين. ويدل الشكل (a) على المنحنى في المجموعة الميكروكانية، أما الشكل (b) فهو الطاقة بوصفها دالة في درجة الحرارة الميكروكانية. والنطاق هو منطقة التعايش. والمناطق قيم صغرى محلية لا كلية للطاقة الحرة، ولها حرارة نوعية موجبة. أما النطاق (“الدخيل المحدب”) فله حرارة نوعية سالبة؛ وعندما توجد مجموعة من متغيرات الحالة العيانية لكل طاقة، فسيكون نقطة سرج أو قيمة عظمى محلية للطاقة الحرة. وأخيرا، تقابل النقاط الطورين عند درجة حرارة انتقال الطور $T_p={{(\partial S/\partial E)}^{-1}|}_{P_{L,H}}$.

عندما توجد مجموعة من المتغيرات العيانية التي تميز الطور عند كل قيمة من الطاقة، وتوجد طاقة Landau حرة جيدة يمكن كتابتها كدالة في ، فإن لكل جزء من منحنى $s(ϵ)$ تفسيرا في المجموعة القانونية حتى عندما تكون المجموعات غير متكافئة [19]. وفي الشكل 12 نعرض كلا من منحنى $s(ϵ)$ والمنحنى المقابل $ϵ(T)$ في هذه الحالة، حيث تعرف بأنها درجة الحرارة الميكروكانية. وتمثل المنطقة طور “درجة الحرارة المنخفضة” عندما يكون قيمة صغرى كلية للطاقة الحرة. والنقطتان ، اللتان لهما الميل نفسه (ومن ثم درجة الحرارة نفسها )، تقابلان الطورين عالي ومنخفض الحرارة عند انتقال الطور. وتمثل المنطقة طور “درجة الحرارة المنخفضة” عند درجة حرارة يكون فيها شبه مستقر في المجموعة القانونية. وتمثل المنطقة طور درجة الحرارة العالية عندما يكون قيمة صغرى كلية للطاقة الحرة. وتمثل المنطقة طور “درجة الحرارة العالية” عندما يكون قيمة صغرى محلية للطاقة الحرة، أي شبه مستقر في المجموعة القانونية. أما المنطقة C، ذات الحرارة النوعية السالبة، فتقابل القيمة العظمى المحلية للطاقة الحرة بين الطورين. وتقابل النقاط في المجموعة القانونية نقاط “spinodal” التي تتلاحم عندها القيم الصغرى المحلية شبه المستقرة للطاقة الحرة مع القيمة العظمى المحلية وتصبح غير مستقرة.

(a) $T=T_{spinodal,H}={\left(\frac{\partial s}{\partial ϵ}\right)|}_{{ϵ}_{S_H}}$

(b)

(c)

(d)

(e)

Figure 13: الطاقات الحرة القانونية بوصفها دالة في وسيط ترتيب ، عند تغيير درجة الحرارة عبر انتقال الطور من الرتبة الأولى. وتوسم نهايات الطاقة الحرة بالطور المقابل على المنحنى الميكروكاني، في الحالة التي لا تكون فيها المجموعات متكافئة.

بالنسبة إلى حالة متغير واحد ، يبين الشكل 13 منحنيات الطاقة الحرة القانونية عند درجات حرارة مختلفة بوصفها دالة في ، ويعرف نهاياتها بالأطوار الميكروكانية. وهذا يبين سيناريو بسيطا. وبصورة أعم قد توجد نقاط سرج إضافية أو قيم عظمى للطاقة الحرة القانونية، بوصفها دالة في الوسائط ، لا تقابل أي طور ميكروكاني. وبخاصة، سنحاجج أدناه بأن هذا يحدث لـ CFTs ذات ثنائيات ثقالية.

3.2 و، super-Yang Mills ذات وN كبير

نبدأ بدراسة نظرية الأوتار من النمط IIB ذات التناظر الفائق الأعظمي على ، مع كتابة عامل في إحداثيات كلية؛ وهذه ثنائية لنظرية super-Yang-Mills على ، ولها انتقال طور من الرتبة الأولى عند درجة حرارة منتهية [1]، وفوقه تصبح النظرية غير محتبسة [2, 3]. والقيم المحددة لدرجة الحرارة والطاقة عند انتقالات الطور معروفة بالطبع، وتراجع في الملحق A.

3.2.1 مراجعة بنية الطور

في حد التحجيم القياسي المستخدم في مراسلة AdS/CFT، الذي نأخذ فيه مع تثبيت وجعله كبيرا، نوقشت البنى الطورية الميكروكانية والقانونية في عدد من المنشورات [39, 5, 44, 45, 46].

الأطوار الميكروكانية المختلفة هي:

1. طور يتكون من غاز ساخن من أنماط الجاذبية الفائقة. وستكون له إنتروبيا لبعض ثابت متناسب مع ثابت Stefan-Boltzmann، من أجل . ولطاقات أعلى، ، وهو ما يميز غازا عشرى الأبعاد. وهذا يقابل الأطوار ، و، و في الشكل 12.

2. عندما يوجد طور “Hagedorn” تهيمن عليه وتر طويل [47, 48, 49]، بإنتروبيا $S=4\pi \sqrt{{\alpha }^{\prime }}E-a\ln E$. وهنا سيكون لـ اعتماد ضعيف على ، تبعا لحجم الوتر بالنسبة إلى مقياس AdS. لاحظ أن هذه الحالات لها حرارة نوعية سالبة بسبب الحد اللوغاريتمي؛ ومع ذلك يمكن أن تكون مستقرة في المجموعة الميكروكانية. ويقابل هذا الطور وجزءا من في الشكل 12.

3. لاحظ أنه في هذا المجال الطاقي، يبقى الغاز ذاتي التجاذب تشكيلة مستقرة ميكانيكيا، لكن بإنتروبيا دون مهيمنة “ثقوب سوداء صغيرة”، أي ثقوب Schwarzschild سوداء ذات حجم أفق أصغر من ، ومتموضعة على . وهذه لها حرارة نوعية سالبة، لكنها يمكن أن تكون مستقرة في المجموعة الميكروكانية، عندما تتوازن مع إشعاع Hawking الخاص بها. [1, 5]. وتعظم هذه الثقوب السوداء الإنتروبيا عندما [5]، وتقابل معظم المنطقة C في الشكل 12. ونقدر أن الطرف الأعلى لهذا المجال يقع عند ، وعندها تبدأ الثقوب السوداء 5d في الهيمنة على الترموديناميك. واستنادا إلى لااستقرارات شبيهة بـ Gregory-LaFlamme للثقب الأسود 5d [16]، نتوقع أن يمتد هذا الطور على الأقل حتى طاقات من رتبة . وقد يمتد إلى أبعد من ذلك، لكن من الصعب الجزم في غياب حل محدد. ونتوقع أيضا أن يستمر غاز الجاذبية الفائقة ذاتي التجاذب مستقرا إلى عمق هذا النظام، مع أنه دون مهيمن إنتروبيا.

4. “ثقوب سوداء صغيرة” (حلول ثقوب سوداء منتظمة على ) ذات نصف قطر أفق أصغر من وحرارة نوعية سالبة، تقابل الجزء الأعلى طاقة من الطور C في الشكل 12. وهي غير مستقرة ميكانيكيا تجاه الانهيار إلى ثقوب سوداء 10d عندما [16]؛ وتصبح حرارتها النوعية موجبة عندما ، عند النقطة . وفي الوقت نفسه، في المجال الطاقي نفسه، ينفتح فرع ثان من حلول الجاذبية الفائقة عند ، كما يمكن أن يرى من الشكل 5 في القسم السابق. ويلتقي الفرعان عند طاقات قريبة من نهاية طور الثقب الأسود الصغير.

5. “ثقوب سوداء كبيرة”، أي ثقوب سوداء 5d في AdS ذات حرارة نوعية موجبة. وتغطي هذه المناطق و. لاحظ أن درجة حرارة Hawking-Page تقابل معكوس ميل عند ، عندما .

نعود الآن إلى مخطط الطور القانوني. ويمكن تعريف اتجاه وسيط الترتيب في منحنيات الطور القانونية في الشكل 13 بمتغير شبيه بحلقة Polyakov، [46]. والأطوار القانونية هي:

1. دون درجة حرارة “spinodal” $T_{S_H}={{\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}^{-1}|}_{S_L}=(\sqrt{2}\pi )/L$، يكون غاز الجاذبية الفائقة ذاتي التجاذب، الموافق للمنطقة من منحنى الطور الميكروكاني، هو القيمة الصغرى الكلية ولا توجد قيم صغرى محلية أخرى معروفة للطاقة الحرة. وعند تظهر نقطة انعطاف أو “spinodal” تقابل ثقبا أسود ذا حرارة نوعية (كلاسيكيا) لا نهائية.

2. لدرجات حرارة ، ما يزال غاز الجاذبية الفائقة ذاتي التجاذب يصف القيمة الصغرى الكلية للطاقة الحرة؛ وفي الوقت نفسه، توجد قيمة صغرى شبه مستقرة للطاقة الحرة تقابل ثقبا أسود “كبيرا” في AdS ذا حرارة نوعية سالبة، وقيمة عظمى للطاقة الحرة تقابل ثقبا أسود “صغيرا” في AdS ذا حرارة نوعية سالبة. وهذا متسق مع نتائج [19]، التي تقول إن النظامين و في منحنى الطور الميكروكاني ينبغي أن يقابلا قيمة صغرى محلية شبه مستقرة وقيمة عظمى محلية، على الترتيب، للطاقة الحرة.

3. عند تتساوى الطاقات الحرة لغاز الجاذبية الفائقة والثقب الأسود “الكبير”، ويمر النظام بانتقال طور من الرتبة الأولى. وهذا يقابل على منحنى الطور الميكروكاني.

4. لدرجات حرارة ، يكون ثقب AdS الأسود الكبير – أي المنطقة على منحنى الطور الميكروكاني – قيمة صغرى كلية للطاقة الحرة؛ ويكون غاز الجاذبية الفائقة ذاتي التجاذب قيمة صغرى محلية شبه مستقرة للطاقة الحرة، تقابل المنطقة من منحنى الطور الميكروكاني، ويكون ثقب AdS الأسود “الصغير” قيمة عظمى محلية أو نقطة سرج للطاقة الحرة، تقابل المنطقة من منحنى الطور الميكروكاني. لاحظ أنه عند درجات حرارة أعلى قليلا من درجة حرارة Hawking-Page (نحو 4 في المئة)، سيبدأ الثقب الأسود 10d “الصغير” بالهيمنة. ومرة أخرى، تتسق هذه النتائج مع [19].

5. عند درجة الحرارة ، نصل إلى نقطة spinodal أخرى عندها يندمج غاز الجاذبية الفائقة الساخن وطور الوتر الطويل، الموافق لانتقال Hagedorn في فضاء AdS [44, 20]؛ وهذه هي “نقطة المطابقة” المناقشة في [50]. وعند درجات حرارة أعلى، لا يوجد طور جاذبية فائقة شبه مستقر.

سيكون من المثير إيجاد تفسير لطور الثقب الأسود الصغير بوصفه “طور تعايش” في نظرية المقياس الثنائية.

3.2.2 حد مختلف لـ N الكبير وظهور عدم استقرار Jeans

وجدنا في القسم السابق أنه لا توجد تشكيلة متناظرة كرويا من مادة ساخنة ذاتية التجاذب فوق طاقة حرجة من رتبة . وعند مثل هذه الطاقات، نتوقع أن تكون “درجة حرارة Jeans” هي . ولإيجاد الاعتماد الصحيح، لاحظ أنه إذا كان فعلينا أن نفكر في التشكيلة كمادة حارة عشرية الأبعاد. وفي هذه الحالة نتوقع ، أو .

إذا غيرنا عند تثبيت و، فإن غاز الجاذبية الفائقة الساخن يكف عن أن يكون تشكيلة شبه مستقرة في المجموعة القانونية عند درجات حرارة أدنى بكثير من تلك التي يصبح عندها غاز الجاذبية الفائقة ذا صلة. ويؤدي هذا إلى بنية الطور القانونية الموصوفة أعلاه. غير أنه إذا حجّمنا بحيث ، فإن غاز الجاذبية الفائقة يكف عن الوجود كتشكيلة عند طاقات أدنى بكثير من درجة حرارة Hagedorn هذه. ويتطلب هذا أن . ومن ثم يمكن إبقاء اقتران الوتر ضعيفا ومقياس Planck صغيرا. وفي هذا الحد تبقى الجاذبية الفائقة الكلاسيكية هي التقريب القائد عند N كبير، وتحليلنا متسق ذاتيا.

في حد التحجيم هذا، تبسط الأطوار الميكروكانية بعض الشيء، إذ يغيب طور Hagedorn تماما. وبدلا من ذلك، نتوقع أن تمتد المنطقة إلى طاقات من رتبة ، حيث يعظم الثقب الأسود 10d الصغير (في توازن مع إشعاع Hawking الخاص به) الإنتروبيا. ودرجة حرارة spinodal، التي يتلاحم عندها الثقب الأسود الصغير وغاز الجاذبية الفائقة ذاتي التجاذب، من رتبة . وفي المجموعة القانونية، عند درجات حرارة أدنى قليلا من ، نتوقع ظهور نقطة سرج محلية جديدة في الطاقة الحرة القانونية، تقابل الحل الثاني غير المستقر ترموديناميكيا وذي كثافة اللب الأعلى. ولا نملك وصفا جيدا لمتغير شبيه بوسيط ترتيب يستوفي إلى هذا الحل. وعند ، تتلاحم نقطة السرج هذه مع غاز الجاذبية الفائقة شبه المستقر؛ وفوق هذه الدرجة لا يبقى إلا الثقب الأسود الكبير شبه مستقرا أصلا.

3.3 وCFTs

ننتقل الآن إلى نظرية الأوتار على $Ad{S}_3\times S_3\times M_4$، حيث $M_4$ متشعب مدمج مسطح Ricci مثل أو K3. ويمكن أن ينشأ الحل كحد قريب من الأفق لحالة مرتبطة من NS5-branes وأوتار أساسية، أو حالة مرتبطة من D5 وD1 branes، وهكذا. وللتحديد سندرس $M_4=T^4$. وسنفترض أن حجم أصغر بكثير من نصف قطر AdS، وأننا نعمل عند درجات حرارة أدنى بكثير من معكوس نصف قطر $T^4$، بحيث تكون الفيزياء سداسية الأبعاد أساسا.

إذا كان لدينا أوتار أساسية و$k$ NS5-branes، فإن مقاييس الوتر وPlanck الحجمية هي [51, 52]:

${\displaystyle \frac{8\pi L}{{\kappa }_3^2}}$ $=$ $4pk={\displaystyle \frac{2}{3}}c$ (3.1)

${\displaystyle \frac{L}{{\mathrm{\ell }}_s}}$ $=$ $\sqrt{k}$ (3.2)

حيث ${\kappa }_3^2$ هو مقياس Planck 3-بعدي، و${\mathrm{\ell }}_s$ مقياس الوتر، و نصف قطر انحناء AdS، و$c=6kp$ هو الشحنة المركزية لـ CFT الثنائية. وبالمثل، من أجل D-strings و$k$ D5-branes تلتف حول $T^4$، لدينا:

${\displaystyle \frac{8\pi L}{{\kappa }_3^2}}$ $=$ $4pk={\displaystyle \frac{2}{3}}c$ (3.3)

${\displaystyle \frac{L}{{\mathrm{\ell }}_s}}$ $=$ ${\left({\displaystyle \frac{kp}{v}}\right)}^{1/4}={\left({\displaystyle \frac{c}{6v}}\right)}^{1/4}$ (3.4)

هنا $v=1/g_6^2$، حيث $g_6$ هو اقتران الوتر في ستة أبعاد؛ وفي CFT الثنائية لنظام D1-D5، هو معامل لم يعرف بعد في CFT.

3.3.1 مراجعة بنية الطور

إن CFT الثنائية على دائرة مكانية ذات حجم $R$ لها انتقال Hawking-Page من الرتبة الأولى عند درجة حرارة منتهية $TR=1/2\pi$. وفي المجموعة الميكروكانية، تشبه بنية الطور تلك الخاصة بـ . ويتمثل اختلاف واحد في عدم وجود ثقب أسود 3-بعدي ذي حرارة نوعية سالبة. ومرة أخرى، نعمل في الحد الذي فيه $c\to \mathrm{\infty }$ مع تثبيت $c/v$.

سنبدأ بسرد الأطوار الميكروكانية، مستخدمين وصف D1-D5 لمناقشة نظرية المقياس الثنائية. وهنا سنضع $\delta E=E+\frac{\pi }{{\kappa }_3^2}$، بحيث $\delta E=0$ لخلاء .

1. طور يحتوي على أنماط جاذبية فائقة (6d)، بإنتروبيا $S=\sigma {(\delta EL)}^{5/6}$. وسيصف هذا المناطق $A$، و، وجزءا من في مخطط الطور الميكروكاني.

2. عندما $\delta E\sim 1/{\mathrm{\ell }}_s$، $EL\sim {\left(\frac{c}{6v}\right)}^{1/4}$، يظهر طور “Hagedorn” تهيمن عليه مرة أخرى وتر طويل منفرد، مع $S=4\pi \sqrt{{\alpha }^{\prime }}\delta E-a\ln \delta E$، ويقابل وجزءا من المنطقة في مخطط الطور الميكروكاني. وفي هذا النظام، يستمر الفرع المستقر في الشكل 2 في الوجود، لكن إنتروبيته أدنى من إنتروبيا الوتر الطويل.

3. من أجل ، يوجد طور يقابل ثقبا أسود Schwarzschild 6d ذا نصف قطر أفق أصغر من . (سيشرح عامل $\mathrm{\Delta }$ في الفقرة التالية). والإنتروبيا هي

   $$S\sim {\left(\frac{9}{2c}\right)}^{2/3}{(EL)}^{4/3}$$ (3.5)

   والحرارة النوعية سالبة. وهذا يقابل جزءا من في مخطط الطور الميكروكاني، حتى النقطة ؛ ولا يوجد حل ثقب أسود 3d ذي حرارة نوعية سالبة. لاحظ أننا لا نملك حلولا جيدة لهذا الطور، ولا سيما قرب . وفي أحسن الأحوال نعرف أنها حلول ثقالية ذات إنتروبيا معتبرة. لاحظ أنه دون الطاقة $S_H$ بقليل، عند $\delta E=\frac{\pi }{{\kappa }_3^2}$، تنعطف الحرارة النوعية للتشكيلة المستقرة دون المهيمنة من الغرافيتونات الفائقة وتصبح سالبة، بينما تظهر تشكيلة ثانية غير مستقرة ميكانيكيا من الإشعاع ذاتي التجاذب، كما يظهر في الشكل 2، ذات حرارة نوعية موجبة ولكن إنتروبيا أدنى من النجم المستقر أو الثقب الأسود.

4. من أجل ، يوجد طور ثقب أسود 3d. وبالنسبة إلى التراصات ذات التناظر الفائق، تبنى هذه الثقوب السوداء على حالة Ramond الأرضية في CFT الثنائية. ويوجد ثقب أسود “صفري الكتلة”، بمساحة أفق منعدمة، عند طاقة $\delta EL=\frac{\pi L}{{\kappa }_3^2}=\frac{c}{12}$، حيث $G_N$ هو ثابت نيوتن 3d. وإنتروبيا الثقوب السوداء 3d هي:

   $$S=\frac{12{\pi }^{2}L}{{\kappa }_3^2}\sqrt{\frac{E{\kappa }_3^2}{\pi }-1}=\frac{\pi c}{6}\sqrt{\frac{12\delta EL}{c}-1}$$ (3.6)

   تبدأ هذه الإنتروبيا من الصفر، ولذلك يجب أن يبدأ طور الثقب الأسود 3d عند طاقة أعلى قليلا من $\frac{\pi }{{\kappa }^2}$، أي عند $\frac{\mathrm{\Delta }{\kappa }_3^2}{\pi }\sim 𝒪\left(\frac{{\kappa }_3^{4/3}}{L^{2/3}}\right)$. ودون هذه الطاقة، تبقى الثقوب السوداء 3d مستقرة، لكنها دون مهيمنة إنتروبيا فحسب. وتستمر كل من تشكيلتي الإشعاع ذاتي التجاذب المستقرة ديناميكيا وغير المستقرة ديناميكيا حتى $\delta E=\frac{1+\pi }{{\kappa }^2}$، وعندها يكون الثقب الأسود هو الحل المستقر الوحيد.

بالنسبة إلى نظام D1-D5، ينبغي أن نستطيع إنشاء وسيط ترتيب من مربع حلقة Polyakov مرة أخرى. وأطوار المجموعة القانونية هي:

1. من أجل ، تكون التشكيلة المهيمنة هي غاز الجاذبية الفائقة، الموافق للمنطقة من منحنى الطور الميكروكاني. لاحظ أن نقطة spinodal $S_H$ تحدث عند درجة حرارة صفرية: فعند هذه الدرجة، يظهر لأول مرة الثقب الأسود “صفري الكتلة”، ذو الطاقة $\delta E=\frac{\pi }{{\kappa }_3^2}$ والإنتروبيا المنعدمة، كحل. وعند طاقة منتهية دون انتقال Hawking-Page، نتوقع أن يفصل غاز الجاذبية ذاتية التجاذب عن ثقب BTZ الأسود نقطة سرج في الطاقة الحرة؛ ويقابل التشكيل الأخير شبه المستقر المنطقة على مخطط الطور الميكروكاني. وعند درجات حرارة منخفضة كيفما كانت، لا يوجد مرشح لثقب أسود “صغير”. غير أن تشكيلات التوازن غير المستقرة للإشعاع ذاتي التجاذب، المقابلة للخط المتقطع في الشكل 2، لها الرتبة الصحيحة من الطاقة الحرة (عند درجة حرارة صفرية، لها الطاقة الحرة نفسها كالثقب الأسود “صفري الكتلة”). ويبدو أن وسيط الترتيب ينعدم، كما يحدث للقيمة الصغرى المستقرة، لأن النظرية الحجمية لا تملك أفقا. غير أن تركيب وإنتروبيا التشكيلات يستطيع التمييز بين الحلول المختلفة. لاحظ أنه في هذه الحالة، لا تقابل نقطة السرج هذه في الطاقة الحرة طورا مستقرا ميكروكانونيا، ولا يوجد سبب يلزمها بذلك.

2. عند ، يخضع النظام لانتقال Hawking-Page، حيث تكون الطاقة الحرة لثقب BTZ الأسود وغاز الإشعاع ذاتي التجاذب متساوية.

3. من أجل $T>T_{HP}$، يصف ثقب BTZ الأسود القيمة الصغرى الكلية للطاقة الحرة. ويقابل الثقب الأسود المنطقة من مخطط الطور الميكروكاني، وتقابل التشكيلة المستقرة للإشعاع ذاتي التجاذب المنطقة . وعند درجة حرارة من هذه الرتبة، ينبغي أن يظهر الثقب الأسود المتموضع في ستة أبعاد كنقطة سرج ذات غير منعدم تفصل ثقب BTZ الأسود عن التشكيلة شبه المستقرة للإشعاع ذاتي التجاذب؛ وينبغي أن يقابل هذا المنطقة من مخطط الطور الميكروكاني.

4. عند $T=T_{S_L}\sim \frac{1}{{\mathrm{\ell }}_s}\sim {\left(\frac{c}{6v}\right)}^{1/4}\frac{1}{L}$، نصل إلى نقطة spinodal ، وعندها يمر الثقب الأسود 6d بنقطة المطابقة لـ [50] ويبدأ طور وتر طويل في الهيمنة على غاز الإشعاع ذاتي التجاذب. وعند هذه الدرجة، ينبغي أن تبقى التشكيلة غير المستقرة للإشعاع ذاتي التجاذب كنقطة سرج للطاقة الحرة. وعند درجات حرارة أعلى، لا يوجد طور جاذبية فائقة شبه مستقر.

3.3.2 حد مختلف لـ $c$ الكبير وظهور عدم استقرار Jeans

كما في حالة الإشعاع ذاتي التجاذب في ، وجدنا أن غازا من الغرافيتونات الفائقة يكف عن الوجود في للطاقات الأكبر من $ML=\alpha c$ لبعض ثابت $\alpha$. وتقابل هذه درجات حرارة من رتبة $T_{J}L\sim c^{1/6}\sim {\left(\mathrm{\ell }/{\mathrm{\ell }}_p\right)}^{1/6}$. ويمكننا أن نسأل مرة أخرى ما إذا كان هذا سيزعزع حل الجاذبية الفائقة شبه المستقر في المجموعة القانونية عند درجات حرارة دون درجة حرارة Hagedorn. وبالنسبة إلى نظام D1-D5، تكون درجة حرارة Hagedorn:

$$T_{H}L\sim \frac{L}{l_s}={\left(\frac{c}{6v}\right)}^{1/4}$$ (3.7)

لذلك $T_J\ll T_H$ عندما:

$$\frac{1}{g_6^2}=v\ll c^{1/3}$$ (3.8)

ويقابل اقتران الوتر 6d الصغير $g_6$ كون $v$ كبيرا، وهو حد اقتران قوي في CFT. ومع ذلك فمن الواضح أنه يمكن إبقاء $g_6$ صغيرا و$c$ كبيرا بما يتسق مع هذا الشرط، بحيث تكون الجاذبية الفائقة الحجمية تقريبا جيدا. وكما سبق، في هذا الحد سيختفي طور Hagedorn من مخطط الطور الميكروكاني؛ وسيمتد غاز SUGRA إلى النقطة $S_L$.

3.4 دلالات على الديناميات

كما رأينا، يصبح AdS الحراري غير مستقر عند درجة حرارة عالية كفاية – إما عند درجة حرارة Hagedorn الوترية [44, 20]، أو، مع حد تحجيمي مناسب، عند درجة حرارة أدنى بارامترية من درجة حرارة الوتر ومقياس Planck.

لهذه الحقيقة دلالات مثيرة للاهتمام بالنسبة إلى مسألة وحدوية الثقوب السوداء. ففي AdS، تكون الثقوب السوداء الكبيرة مستقرة ترموديناميكيا—فهي لا تتبخر. ومع ذلك، كما أشير في [4]، فإنها شبه كلاسيكيا ما تزال تبدو وكأنها تنتهك الوحدوية بمعنى دقيق جدا. فدوال الارتباط الحجمية المحسوبة في خلفيات الثقوب السوداء تتضاءل أسيا في الأزمنة المتأخرة. فعلى سبيل المثال، يكون السلوك النموذجي لدالة استجابة في الأزمنة المتأخرة هو

$$f(t)\equiv {|⟨O(0)O(t)⟩|}^2\sim e^{-at/\beta },$$ (3.9)

حيث ثابت عددي و$O$ مؤثر حجمي ما (منظم على نحو ملائم) [53, 54]. ويمكن فهم هذا الاضمحلال الأسي على أنه ناشئ من ميل الآفاق إلى ابتلاع كل ما يلقى إليها، باستجابة شبه عادية (أي إن للتردد جزءا تخيليا). ومن ثم تضيع كل آثار أي اضطراب ابتدائي بعد أزمنة حرارية قليلة.

وعلى النقيض، لا يستطيع نظام كمومي بدرجة حرارة منتهية وبإنتروبيا منتهية وتطور زمني وحدوي أن يتصرف هكذا. فالمتوسط الزمني الطويل لدوال الارتباط غير صفري:

$$\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}f(t)𝑑t\sim e^{-bS}$$ (3.10)

لبعض ثابت $b$ – وهو ما لا يتسق مع (3.9). وبالإضافة إلى ذلك توجد عودات Poincare، بمعنى أن $f(t)$ دالة شبه دورية في الزمن تعود قريبة كيفما كان من قيمتها الابتدائية مرات لا نهائية. [53, 54] وهذا التعارض نسخة دقيقة خصوصا من مفارقة معلومات الثقب الأسود.

في [4]، اقترح Maldacena أن المتوسط الزمني غير الصفري يمكن تفسيره بإدراج هندسات أخرى غير الثقب الأسود في حساب دوال الارتباط الحجمية. وعلى وجه التحديد، أشار إلى أن AdS الحراري عند درجة حرارة Hawking له التقاربات نفسها كالثقب الأسود، لكن الارتباطات المحسوبة فيه تتذبذب بدلا من أن تضمحل (بسبب افتقاره إلى أفق). وعلاوة على ذلك، في طور درجة الحرارة العالية حيث يكون الثقب الأسود مهيمنا ترموديناميكيا، ينبغي أن تكبت مساهمة AdS الحراري بعامل نسبي

$$e^{-\beta (F_{AdS}-F_{BH})}\sim e^{-cS},$$ (3.11)

حيث $c$ ثابت من . وبما أن الارتباطات في الثقب الأسود تضمحل أسيا، فإن المتوسط طويل الزمن سيأتي فقط من مساهمة AdS الحراري المتذبذبة، ومن ثم له الكبت الأسي الصحيح في . وستبقى مسألة أصل عودات Poincare قائمة [54]، لكن ربما ينشأ ذلك من التداخل الكمومي في التكامل على الهندسات.

غير أن عدم استقرار AdS الحراري إما عند درجة حرارة Hagedorn $T_H$ (في حد N الكبير/ c الكبير المعتاد) أو عند درجة حرارة Jeans يعني أن الاقتراح في [4] يفشل فوق هذه الدرجات حتى على مستوى المتوسط طويل الزمن [54]. وبخاصة، في الحدود الموصوفة في §3.2.2 و§3.3.2، يصبح AdS الحراري غير مستقر اضطرابيا عند درجة حرارة تبقى فيها الجاذبية وصفا جيدا، بحيث تصبح الطاقة الحرة في (3.11) تخيلية ولا يستطيع AdS الحراري بعد ذلك تفسير المتوسط الزمني غير الصفري في (3.10). وبالطبع يبقى من الممكن دائما أن تكون هناك هندسة أخرى أو حل وتري آخر لا يلتقطه تحليلنا ويمكنه أن يحل محل AdS عند درجات الحرارة العالية (مثلا حل نجمي غير متجانس على الكرة، أو حل ذو معادلة حالة غير خطية كفاية)، لكننا لا نعرف أي مرشح.

الشكر والتقدير

يسرنا أن نشكر Bulbul Chakraborty، وStanley Deser، وMatthew Headrick، وGary Horowitz، وMatthew Johnson، وWilliam Klein، وDon Marolf، وJohn McGreevy، وDhritiman Nandan، وMassimo Porrati، وNathaniel Reden، وStephen Shenker، وHugo Touchette، وRobert Wald، وAndrew Waldron على محادثات مفيدة (بعضها منذ سنوات عديدة). ويدعم عمل MK جزئيا NSF من خلال المنحة PHY-1214302، ودعم عمل MK وSS من مؤسسة John Templeton Foundation. ويدعم عمل Albion Lawrence جزئيا DOE عبر الجائزة DE-SC0009987. أما MMR فتدعمه Kadanoff Center for Theoretical Physics. والآراء المعبر عنها في هذا المنشور هي آراء المؤلفين ولا تعكس بالضرورة آراء John Templeton Foundation.

Appendix A حلول الثقوب السوداء والكميات الترموديناميكية

A.1 ثقوب سوداء

في هذا الملحق نستذكر حلول الثقوب السوداء في وطاقتها ودرجة حرارتها، معبرا عنها بدلالة وسائط الحجم وكذلك، في الحالة التي تكون فيها نظرية المقياس الثنائية هي super-Yang-Mills ذات N كبير، بدلالة وسائط نظرية المقياس.

ثقب Hawking-Page الأسود في خمسة أبعاد هو [1, 2, 3, 55]:

$d{s}^2$ $=$ $-f(r)d{t}^2+{\displaystyle \frac{d{r}^2}{f(r)}}+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_3^2$

$f(r)$ $=$ $1+{\displaystyle \frac{r^2}{L^2}}-{\displaystyle \frac{r_0^2}{r^2}}$ (A.1)

حيث $d{\mathrm{\Omega }}_3^2$ هو عنصر الحجم على الكرة الثلاثية الوحدة، و هو نصف قطر انحناء زمكان المحيط. وطاقة هذه التشكيلة، مقيسة بالنسبة إلى خلاء ، هي

$$E=\frac{3{\pi }^2{r}_0^2}{{\kappa }_5^2}=\frac{3}{4}{N}^2\frac{r_0^2}{L^3}$$ (A.2)

حيث ${\kappa }_5^2=8\pi G_{N,5}$ هو ثابت الاقتران الثقالي 5d، وتحدد رتبة $N$ لنظرية المقياس الثنائية بواسطة:

$$N^2=\frac{4{\pi }^2{L}^3}{{\kappa }_5^2}$$ (A.3)

ويحدث أفق الثقب الأسود عند أكبر صفر لـ $f(r)$، ويرمز إليه بـ $r_{+}$:

$$r_{+}^2=\frac{-L^2+\sqrt{L^4+4L^2{r}_0^2}}{2}$$ (A.4)

ودرجة الحرارة هي

$$T=\frac{r_{+}}{\pi L^2}+\frac{1}{2\pi r_{+}},$$ (A.5)

والإنتروبيا هي

$$S=\frac{4{\pi }^3{r}_{+}^3}{{\kappa }_5^2}=\pi N^2{\left(\frac{r_{+}}{L}\right)}^3$$ (A.6)

نلاحظ نقطتين مثيرتين للاهتمام خاصة في هذه العائلة من الحلول. انتقال Hawking-Page، الذي يهيمن فوقه الثقب الأسود على ترموديناميك نظرية الأوتار على ، يحدث عند $r_{+}=L$، $T=3/(2\pi L)$. وطاقة الثقب الأسود عند هذه النقطة هي $E_{HP}L=\frac{6{\pi }^2{L}^3}{{\kappa }_5^2}=\frac{3}{2}{N}^2$. وبعد ذلك، تحدث درجة الحرارة التي دونها تكون للثقب الأسود حرارة نوعية سالبة، والموافقة لنقطة spinodal $S_H$ في الشكل 12، عندما $r_{+}=\frac{L}{\sqrt{2}}$، $T_{S_H}=\frac{\sqrt{2}}{\pi L}$، $E_{S_H}L=\frac{9}{16}{N}^2$. وأخيرا، يعتقد أن عدم استقرار الثقب الأسود نحو التموضع على طول يبدأ عند $r_{+}\sim .4259L$، عند كتلة ودرجة حرارة أدنى من $E_{S_H}$، $T_{S_H}$.

A.2 ثقوب سوداء في ${ℝ}^{1,9}$

إن حلول الثقوب السوداء المتموضعة في عشرة أبعاد في غير معروفة. وسننظر هنا في ثقوب Schwarzschild السوداء 10d في فضاء مسطح في الحد الذي يكون فيه نصف قطر Schwarzschild لها أصغر بكثير من نصف قطر AdS، . الحل الكامل هو

$d{s}^2$ $=$ $-f(r)d{t}^2+{\displaystyle \frac{d{r}^2}{f(r)}}+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_8^2$

$f(r)$ $=$ $1-{\left({\displaystyle \frac{r_0}{r}}\right)}^7$ (A.7)

والطاقة هي

$$E=\frac{256{\pi }^4{r}_0^7}{105{\kappa }_1{0}^2}=\frac{64}{105}{N}^2\frac{r_0^7}{L^8}$$ (A.8)

حيث إن ${\kappa }_1{0}^2$ هو الاقتران الثقالي العشري الأبعاد. وفي خلفية الثنائية لـ super-Yang-Mills ، تكون رتبة زمرة المقياس الثنائية:

$$N^2=\frac{4{\pi }^4{L}^8}{{\kappa }_{10}^2}$$ (A.9)

وإنتروبيا الثقب الأسود 10d هي

$$S=\frac{64{\pi }^5{r}_0^8}{105{\kappa }_1{0}^2}=\frac{16\pi }{105}{N}^2{\left(\frac{r_0}{L}\right)}^8$$ (A.10)

وأخيرا، درجة الحرارة هي

$$T=\frac{7}{4\pi r_0}$$ (A.11)

A.3 ثقوب سوداء

مترية ثقب BTZ الأسود 3d هي [56, 57]:

$d{s}^2$ $=$ $-f(r)d{t}^2+{\displaystyle \frac{d{r}^2}{f(r)}}+r^{2}d{\varphi }^2$

$f(r)$ $=$ ${\displaystyle \frac{r^2-r_{+}^2}{L^2}}$ (A.12)

هنا $\varphi \equiv \varphi +2\pi$، و هو نصف قطر انحناء زمكان المحيط. لاحظ أنه عند $r_{+}=0$، يكون هذا الثقب الأسود تراصا لـ في إحداثيات Poincaré. وله فرادة عدمية على طول أفق Poincaré، $r=0$، ويقابل الثقب الأسود صفري درجة الحرارة. وفي $2+1$ أبعاد، تكون الحرارة النوعية لثقب BTZ الأسود موجبة دائما.

طاقة ثقب BTZ الأسود هي

$$E=\frac{\pi }{{\kappa }_3^2}\left(1+\frac{r_{+}^2}{L^2}\right)=\frac{c}{12L}\left(1+\frac{r_{+}^2}{L^2}\right)$$ (A.13)

بوحدات تكون فيها طاقة خلاء هي $-\pi /{\kappa }_3^2=-c/(12L)$. وعندما تكون للنظرية الثقالية الحجمية CFT ثنائية، تكون $c=12\pi L/{\kappa }_3^2$ هي الشحنة المركزية. والإنتروبيا هي

$$S=\frac{2{\pi }^2{r}_{+}^2}{{\kappa }_3^2}=\frac{\pi c{r}_{+}^2}{6L^2}$$ (A.14)

ودرجة الحرارة هي

$$T=\frac{r_{+}}{\pi L^2}$$ (A.15)

ويحدث انتقال Hawking-Page عند

$$r_{+}=\frac{L}{2}$$ (A.16)

أو عند $T=\frac{1}{2\pi L}$، $E=\frac{5c}{48L}$، $S=\frac{\pi c}{12}$.

A.4 ثقوب سوداء في ${ℝ}^{1,5}$

سنكون مهتمين بالثقوب السوداء المتموضعة في ستة أبعاد، في حالة تراصات . وكما في مناقشة الثقوب السوداء أعلاه، سننظر في ثقوب Schwarzschild سوداء في فضاء مسطح، مقربين الثقوب السوداء التي يكون نصف قطر أفقها أصغر من نصف قطر انحناء .

المترية هي

$d{s}^2$ $=$ $-f(r)d{t}^2+{\displaystyle \frac{d{r}^2}{f(r)}}+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_4^2$

$f(r)$ $=$ $1-{\left({\displaystyle \frac{r_0}{r}}\right)}^3$ (A.17)

حيث $d{\mathrm{\Omega }}_4$ هو عنصر الحجم للكرة $4$-الوحدة. وكتلة هذا الثقب الأسود هي

$$E=\frac{16{\pi }^2{r}_0^3}{3{\kappa }_6^2}=\frac{2}{9\pi }c\frac{r_0^3}{L^4}$$ (A.18)

حيث، عندما تكون للنظرية CFT ثنائية، تكون الشحنة المركزية

$$c=\frac{24{\pi }^3{L}^4}{{\kappa }_6^2}$$ (A.19)

والإنتروبيا هي

$$S=\frac{16{\pi }^3{r}_0^4}{3{\kappa }_6^2}=\frac{2}{9}c\frac{r_0^4}{L^4}$$ (A.20)

ودرجة الحرارة هي

$$T=\frac{3}{4\pi r_0}$$ (A.21)

Appendix B معادلات الاضطراب من أجل $Ad{S}_{d+1}$

في هذا الملحق نعطي النظام الكامل للمعادلات الخاصة باضطرابات s-wave لمائع في $Ad{S}_{d+1}$، من دون أي افتراض عن معادلة الحالة. وسنواصل العمل في المقياس حيث يقيس حجم $S_{d-1}$، بحيث $d{s}_{r,t\mathrm{const}.}^2=r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{d-1}$. وبما أننا لا ندرس إلا اضطرابات s-wave، ندرج الاضطرابات $\delta g_{tt},\delta g_{rr},\delta u^r,\delta u^t,\delta \rho \propto e^{-i\omega t}$. وتعريف $u^a$ بأنه سرعة المائع يعني أننا نحتاج إلى $u^2=-1+𝒪({\delta }^2)$، وهو ما يعطي قيدا جبريا

$$\delta u^t=\frac{e^{3\chi /2}}{2f^{3/2}}\delta g_{tt}.$$ (B.1)

يبقى لدينا بعد ذلك حفظ الاضطرابات ومعادلات أينشتاين. ونجد تراكيب خطية ملائمة للحل من أجل $\delta g_{rr},\delta g_{rr}^{\prime },\delta g_{tt}^{\prime },\delta g_{tt}^{\prime \prime },\delta u_{}^r{}_{}{}^{\prime },\delta {\rho }^{\prime }$. وقد أعطتنا تناظراتنا وقيود المقياس قيدا جبريا لـ $g_{rr}$ و،

$$\delta g_{rr}+\frac{2i{\kappa }^{2}r{e}^{\chi /2}(p+\rho )}{\omega f^{3/2}(d-1)}\delta u^r=0.$$ (B.2)

ومن المفيد استخدام هذا لإزالة $\delta g_{rr}$ من المعادلات الباقية. ونجد المعادلات الآتية لـ $\delta g_{tt}^{\prime },\delta u_{}^r{}_{}{}^{\prime },\delta {\rho }^{\prime }$:

$$\delta g_{tt}^{\prime }=-\frac{d-2}{r}\delta g_{tt}-\frac{2{\kappa }^{2}r{e}^{-\chi }{p}_{,\rho }}{d-1}\delta \rho$$

$$+\left(\frac{dr}{L^{2}f}+\frac{d-2}{rf}+\frac{2{\kappa }^{2}rp}{(d-1)f}\right)\left(\delta g_{tt}+\frac{2i{\kappa }^{2}r{e}^{-3\chi /2}\sqrt{f}(p+\rho )}{(d-1)\omega }\delta u^r\right)$$ (B.3)

$$\delta {\rho }^{\prime }=-(\frac{\frac{dr}{2L^{2}f}+\frac{{\kappa }^{2}rp}{(d-1)f}}{p_{,\rho }}+\frac{r{\kappa }^2(2p+\rho )}{(d-1)f}+\frac{(d-2)(1-f)(1+p_{,\rho })}{2rf{p}_{,\rho }}$$

$$+\frac{dr}{2L^{2}f}-\frac{p+\rho }{2L^{2}rf{p}_{,\rho }^2}\{d{r}^2+(d-2)L^2(1-f)+\frac{2{\kappa }^2{L}^2{r}^{2}p}{d-1}\}{p}_{,\rho \rho })\delta \rho$$

$$+\left(\frac{i{\kappa }^2{r}^2{e}^{-\chi /2}{(p+\rho )}^2}{(d-1)f^{3/2}{p}_{,\rho }}\left\{\frac{d}{L^2}+\frac{d-2}{r^2}+\frac{2{\kappa }^{2}p}{d-1}\right\}+\frac{i\omega e^{\chi /2}(p+\rho )}{p_{,\rho }{f}^{3/2}}\right)\delta u^r,$$ (B.4)

$$\delta v_{}^r{}_{}{}^{\prime }=\frac{i\omega e^{\chi /2}}{\sqrt{f}(p+\rho )}\delta \rho -\left(\frac{d-1}{r}+\frac{d-2}{2r{p}_{,\rho }}-\frac{r}{2f{p}_{,\rho }}\left\{\frac{d}{L^2}+\frac{d-2}{r^2}+\frac{2{\kappa }^{2}p}{d-1}\right\}\right)\delta u^r.$$ (B.5)

لاحظ أننا استخدمنا القيود لإزالة اضطرابات المترية من المعادلات الخاصة بـ $\delta \rho ,\delta u^r$.