Horizon Run 3: الطوبولوجيا بوصفها مسطرة معيارية

Robert Speare¹¹affiliation: New York University Abu Dhabi, PO Box 129188, Abu Dhabi, UAE, robert.speare@nyu.edu , J. Richard Gott²²affiliation: Department of Astrophysical Sciences, Peyton Hall, Princeton University, Princeton, NJ 08544-1001, USA , Juhan Kim³³affiliation: Center for Advanced Computation, Korea Institute for Advanced Study, Heogiro 85, Seoul 130-722, Korea , and Changbom Park⁴⁴affiliation: School of Physics, Korea Institute for Advanced Study, Heogiro 85, Seoul 130-722, Korea

الملخص

ندرس توزيع هالات المادة المظلمة الباردة المرتبطة ذاتيا فيزيائيا، الذي نقرنه بالمجرات الضخمة داخل Horizon Run 3، لتقدير الدقة في تحديد مقياس المسافة الكونية المقاس بالتحليل الطوبولوجي. نطبق الروتين “Contour 3D” على 108 مسح صوري يغطي $\pi$ ستراديان حتى انزياح أحمر z = 0.6، وهو ما يقابل فعليا مسح SDSS-III BOSS، ونقارن الطوبولوجيا بطوبولوجيا حقل غاوسي ذي أطوار عشوائية. نجد أنه، عند ثلاثة أطوال تنعيم منفصلة $\lambda =$ 15، و21، و34 $h^{-1}{\rm Mpc}$ ، فإن أفضل ملاءمة وفق أصغر $\chi^2$ للجنس لكل وحدة حجم g تعطي لايقينا كسريا قدره 1.7 % في طول التنعيم ومسافة القطر الزاوي إلى $z = 0.6$ . ويمثل ذلك تحسينا على المعايرات السابقة ويقدم تقديرا تنافسيا للخطأ مع تقنيات مقياس BAO المقبلة. كما نقدم رسوما ثلاثية الأبعاد لمسح Horizon Run 3 الكروي الصوري لإظهار ثراء البنى واسعة النطاق في الكون، وهي بنى تتنبأ بها مسوحات مثل BOSS.

Subject headings:

البنية واسعة النطاق للكون – علم الكونيات: عددي

1. مقدمة

النموذج الأكثر شيوعا لتوليد تقلبات الكثافة البدئية هو سيناريوهات التضخم (Guth, 1981; Linde, 1982; Albrecht & Steinhardt, 1982; Linde, 1983). يفترض هذا النموذج اضطرابات كثافة بدئية ذات أطوار عشوائية غاوسية، وقد تبين أن مثل هذه الشروط الابتدائية تنتج طوبولوجيا شبيهة بالإسفنج على المقاييس الكبيرة (Gott, Melott, & Dickinson, 1986, 1987). وعند هذه المقاييس، حيث لم يحوّل النمو غير الخطي طيف القدرة، تظل طوبولوجيا البنية في الكون المبكر محفوظة على نحو جيد، وتوفر الانحرافات الصغيرة عن تنبؤات الأطوار العشوائية معلومات مهمة عن اللاغاوسية البدئية، وتكوّن المجرات المتحيز، والتكتل غير الخطي (Matsubara, 1994; Park, et al., 2005a; Park et al., 2012; Park & Gott, 1991; Park et al., 1998).

تعد إحصائية الجنس محورية في هذه الدراسات، وهي الآن مقياس كمي مختبر جيدا (Gott, Melott, & Dickinson, 1986; Gott, Weinberg, & Melott, 1987; Hamilton, Gott, and Weinberg, 1986; Gott et al., 1989; Vogeley et al., 1994; Hikage et al., 2002, 2003; Choi et al., 2010; Park, et al., 2005a; Park et al., 2005b)، وقد طبقت على كل من عينة SDSS LRG (Gott et al., 2009; Strauss et al., 2002; Eisenstein et al., 2011)، وعلى CMB (Park et al., 1998). وتكمن فائدتها في وجود “منحنى الجنس”، وهو تعبير تحليلي للجنس بدلالة الكثافة، يتيح مقارنة الطوبولوجيا المرصودة بما يتوقع من نموذج قياسي للانفجار العظيم التضخمي (Hamilton, Gott, and Weinberg, 1986).

حتى الآن، كان ملاءمة منحنى الجنس ذي الأطوار العشوائية الغاوسية (ويشار إليه فيما يلي بـ GRP) للمسوحات الصورية ضمن كونية $\Lambda$ CDM ناجحا على نحو لافت. وقد اقتُرح الجنس الآن مسطرة كونية معيارية (Park & Kim, 2010) ووسيلة لسبر الطاقة المظلمة (Park & Kim, 2010; Zunckel, Gott, & Lunnan, 2011; Slepian, Gott, & Zinn, 2013). وتعد سمة التذبذب الصوتي الباريوني (BAO)، القابلة للكشف في طيف القدرة ودالة الارتباط النقطية الثنائية للمجرات، “المسطرة المعيارية” الراسخة (Anderson et al., 2012)، مع لايقين كسري مبلغ عنه في مسافة القطر الزاوي إلى $z=0.6$ قدره 1.1 % متوقع لمسح SLOAN عند اكتماله. والآن، مع إدخال عينات مجرية أكبر باطراد، مثل عينة CMASS Data Release 10 من مسح SDSS-III Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS)، أصبحت الطوبولوجيا تقنية جذابة أخرى لسبر تمدد الكون وتقييد معادلة حالة الطاقة المظلمة. نطبق الجنس على 108 مسحا صوريا لـ LRG، مشتقة من Horizon Run 3 محاكاة الأجسام $N$ (Kim et al., 2011)، بغية التحقق من الدقة الإحصائية لما يسمى “مقياس المسافة الطوبولوجي”.

2. إحصائية الجنس

قدم Gott, Melott, & Dickinson (1986) الجنس بوصفه وصفا موثوقا للطوبولوجيا. تقليديا، يأتي الجنس من مبرهنة غاوس-بونيه، التي تنص على أن تكامل الانحناء الغاوسي $K=1/({r_1r_2})$ (حيث إن $r_1$ و $r_2$ هما نصفا القطرين الرئيسيان) على سطح مدمج ثنائي الأبعاد يعطى بـ

$\begin{equation} \int KdA = 4\pi(1-G_b). \end{equation}$

(1)

نستخدم صيغة معدلة قليلا لجنس غاوس-بونيه، $G=G_b-1$ ، بحيث يكتسب معنى أكثر حدسية في علم الكونيات

G=(\rm{\#of\ doughnut\ holes})-(\rm{\#of\ isolated\ regions}).

(2)

انظر Park et al. (2013) للعلاقة مع خاصية أويلر وأعداد بيتي. وبهذا التعريف، يكون جنس الكرة $G=-1$ ؛ وجنس الطارة $G=0$ ؛ وجنس ثلاث كرات معزولة $G=-3$ ؛ وجنس كعكة بريتزل على هيئة الرقم 8 هو $G=1$ (ثقبان، وجسم معزول واحد). في جوهر الأمر، الجنس مقياس للترابطية. فالبنية ذات الترابطية العالية، مثل الإسفنج، تملك ثقوبا كثيرة وجسما واحدا، ومن ثم جنسا موجبا كبيرا. أما مصفوفة متخلخلة من الأجرام، أي طوبولوجيا “كرات اللحم” (Soneira & Peebles, 1978; Press & Schechter, 1974)، فلها مناطق معزولة كثيرة وثقوب قليلة نسبيا، ومن ثم جنس سالب. كما أن مصفوفة من الفراغات المعزولة تنتج أيضا جنسا سالبا.

لحساب الجنس ننعّم توزيع الهالات الفرعية المرتبطة ذاتيا فيزيائيا في Horizon Run 3 Kim et al. (2011) باستخدام كرة تنعيم غاوسية ذات نصف قطر $\lambda$ (المعادلة 8).

اخترنا أكثر الهالات الفرعية المرتبطة فيزيائيا كتلة لمطابقة الكثافة العددية لمجرات LRG المتوقعة لمسح SLOAN III عند اكتماله. إن Horizon Run 3 محاكاة للمادة المظلمة الباردة. ونتخذ الافتراض البسيط القائل إن أكثر المجرات الحمراء لمعانا ستتشكل في مراكز أكثر هالات المادة المظلمة الباردة كتلة. في المحاكاة، تحدد الهالات الفرعية الأكثر كتلة ( $>$ 30 جسيمات CDM) التي تكون مرتبطة فيزيائيا وغير قابلة للتفكك مديا بفعل بنى أكبر، وهذه هي التي نقرنها بمجرات LRG.

ثم ننشئ أسطح كنتور متساوية الكثافة لتوزيع الكثافة المنعّم، ونوسمها بـ $\nu$ ، المرتبط بالكسر الحجمي $f$ على جانب الكثافة العالية من الكنتور بالعلاقة

$\begin{equation} f = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\nu^{\infty}e^{-x^2/2}dx, \end{equation}$

(3)

حيث إن $x$ هو معامل الكثافة. تمثل القيمة $f=50\%$ كنتور الكسر الحجمي الوسيط ( $\nu=0$ ). وبالنسبة إلى الشروط الابتدائية ذات GRP يكون منحنى الجنس

$\begin{equation}\label{genuscurve} g_{rf}(\nu)=A(1-\nu^2)e^{-x^2/2}. \end{equation}$

(4)

حيث السعة $A=(1/2\pi^2) (\left<k^2\right>/3)^{3/2}$ ، و $\left<k^2 \right>$ هو القيمة المتوسطة لمربع متجه الموجة، $k^2$ في طيف القدرة المنعّم (Gott, Melott, & Dickinson, 1986)؛ أو ميل دالة الارتباط النقطية الثنائية.

يمكن توصيف شكل منحنى الجنس وانحرافه عن تنبؤ الأطوار العشوائية بعدة متغيرات. أولا، توجد سعة أفضل ملاءمة وفق $\chi^2$ ، وتقاس بملاءمة منحنى GRP ( المعادلة 4) مع المنحنى المرصود. وهذا يعطي معلومات عن طيف القدرة وترابط الأطوار لتقلب الكثافة. وثانيا، توجد ثلاثة متغيرات تميز الانحرافات عن GRF (Park, Gott, & da Costa, 1992):

$\displaystyle\Delta\nu$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\int_{-1}^{1}g(\nu)\nu d\nu}{\int_{-1}^{1}g_{\rm{rf}}(\nu)% \nu d\nu},$	(5)
$\displaystyle A_{V}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\int_{-2.2}^{-1.2}g(\nu)d\nu}{\int_{-2.2}^{-1.2}g_{\rm{rf}}% (\nu)\nu d\nu},$	(6)
$\displaystyle A_{C}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\int_{1.2}^{2.2}g(\nu)d\nu}{\int_{1.2}^{2.2}g_{\rm{rf}}(\nu% )\nu d\nu},$	(7)

حيث إن $g_{\rm{rf}}$ هو منحنى الأطوار العشوائية الأفضل ملاءمة (المعادلة 4). يقيس $\Delta \nu$ أي إزاحة في الجزء المركزي من منحنى الجنس. ولمنحنى GRP قيمة $\Delta \nu = 0$ . وتسمى القيمة السالبة لـ $\Delta \nu$ إزاحة كرات اللحم، وتنجم عن بروز أكبر للبنى العالية الكثافة المعزولة، ما يدفع منحنى الجنس إلى اليسار. ويقيس $A_V$ و $A_C$ العدد النسبي للفراغات والعناقيد مقارنة بتوقعات GRP.

3. محاكاة الأجسام $N$

توفر Horizon Runs، المقدمة من Korean Institute of Advanced Study (KIAS)، بعضا من أفضل المواد الخام لمعايرة الدراسة الطوبولوجية لمسوحات LRG (Park, et al., 2005a; Kim et al., 2011). وتعيد محاكاة الأجسام $N$ هذه إنتاج طوبولوجيا مجرات SDSS LRG بدقة فائقة (Gott et al., 2009; Eisenstein, et al., 2001). نستخدم حصريا مجموعة بيانات Horizon Run 3 (HR3)، التي تعتمد كونية مادة مظلمة باردة عديمة الضغط مع ثابت كوني صرف $w_\Lambda=-1$ . وقد ثُبتت معاملات HR3 الكونية الأساسية بواسطة بيانات WMAP5 (Spergel et al., 2003; Komatsu et al., 2011; Hinshaw et al., 2013) وحُسب طيف القدرة الخطي الابتدائي باستخدام شيفرة المصدر CAMB (Lewis & Bridle, 2002). والمحاكاة بأكملها مكعب من 374 مليار جسيم، يغطي حجما قدره $(10.815 {~ h^{-1}} {\rm{Gpc}})^3$ .¹¹ 1 للمقارنة، هذا الحجم أكبر من Millenium Run بمقدار 8800 مرة (Springel et al., 2005). كان الانزياح الأحمر الابتدائي $z=27$ واتُّخذت $N_{\rm step}=600$ خطوة زمنية متقطعة.

3.1. بناء مسح LRG الصوري

يستخدم اختيار هالات المادة المظلمة الباردة خوارزمية الأصدقاء-من-الأصدقاء (FoF)، حيث تكون مسافة القطع الفاصلة 20 % من متوسط مسافة الفصل. ولتحسين تحديد العناقيد، يبحث HR3 عن هالات فرعية مرتبطة ذاتيا فيزيائيا (PSB) تكون مرتبطة جاذبيا بذاتها وغير قابلة للتفكك مديا (Kim & Park, 2006). ويؤدي ذلك إلى زيادة كبيرة في التشابه بين المحاكاة والبيانات الرصدية، لأن هذه الهالات الفرعية من المادة المظلمة مواقع لتكوّن LRG.

لمحاكاة أبعاد مسح SDSS، يضع HR3 عدد 27 من الراصدين بانتظام داخل حجمه المكعب، ويسمح لكل راصد أن يرى حتى انزياح أحمر قدره $z < 0.7$ . وينشئ ذلك 27 منطقة كروية مستقلة غير متداخلة. وتحفظ المواضع والسرعات المرافقة لجميع جسيمات CDM عند عبورها مخروط الضوء الماضي الخاص بكل راصد، وتحدد هالات PSB الفرعية من هذه البيانات. واستعدادا لفهرس SDSS-III LRG، افترض أن عينة محدودة الحجم ستعطي كثافة عددية ثابتة مقدارها $3 \times 10^{-4} (h^{-1}{\rm Mpc})^3$ . ولمطابقة هذا التنبؤ، غُيّر حد الكتلة الأدنى لهالات PSB الفرعية مع الانزياح الأحمر، وضُبطت الحدود الدنيا المطلقة على $9.75 \times 10^{12}~{h^{-1}}{\rm M_{\odot}}$ . وبالنظر إلى هذه المعاملات، تتوافق الخصائص الفيزيائية لمسوحات HR3 الصورية توافقا جيدا جدا مع أحدث مسوحات LRG (Choi et al., 2010; Gott et al., 2009, 2008).

Refer to caption — Figure 1.— مسح صوري كروي من Horizon Run 3 حتى انزياح أحمر $z=0.7$ . نُعّمت أعداد هالات PSB الفرعية بكرة تنعيم غاوسية مقدارها $\lambda=34~h^{-1} \rm{Mpc}$ . انظر A للاطلاع على رسوم 3D لبيانات Horizon 3.

Figure 1.— مسح صوري كروي من Horizon Run 3 حتى انزياح أحمر $z=0.7$ . نُعّمت أعداد هالات PSB الفرعية بكرة تنعيم غاوسية مقدارها $\lambda=34~h^{-1} \rm{Mpc}$ . انظر A للاطلاع على رسوم 3D لبيانات Horizon 3.

4. الطرائق

4.1. التنعيم والتقطيع

ننعّم توزيعات هالات PSB الفرعية في مخاريط الضوء الماضية 27 باستخدام كرة تنعيم غاوسية

$\begin{equation}\label{smoothingball} W(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{-\frac{r^2}{2\lambda^2}}, \end{equation}$

(8)

ما يطمس البنى على مقاييس أصغر من $\lambda$ . وتوضع بيانات المسح الصوري في شبكة بكسلات ثلاثية الأبعاد لقيم الكثافة، ونختار $\lambda$ بحيث تكون دائما أكبر من $2.5$ أطوال أضلاع بكسلية $s$ . وبالنسبة إلى نماذج المادة المظلمة الباردة، يستعيد التنعيم بغاوسي طوبولوجيا حقل الكثافة الابتدائي، شريطة أن يكون طول التنعيم $\lambda$ أكبر بما يكفي من طول الارتباط $R_0$ وأن تُتجنب التأثيرات غير الخطية²² 2 $R_0$ يساوي تقريبا $5 ~h^{-1}\rm{Mpc}$ لـ LRG.

4.2. التحويل والاقتطاع

بعد الحصول على هذا المسح الصوري المنعّم، نحول من الإحداثيات الكروية المرافقة إلى إحداثيات الانزياح الأحمر، باستخدام صيغة مسافة خط النظر المرافقة (Hogg, 1999). وتحول السرعات الخاصة لهالات PSB الفرعية إلى تشوهات في الانزياح الأحمر بواسطة

$\begin{equation} \Delta z = \frac{\vec{v_{\rm{r}}}}{c} = \frac{\hat{r}\cdot \vec{v}_{\rm{pec}}}{c},\\ \end{equation}$

(9)

حيث إن $\vec{v}_r$ هي السرعة الشعاعية، و $\hat{r}$ هو متجه الوحدة الشعاعي، و $\vec{v}_{\rm pec}$ هي السرعة الخاصة الديكارتية للهالة الفرعية. بعد التحويل إلى الانزياح الأحمر والتصحيح، نحفظ أعداد هالات PSB الفرعية داخل شبكة أبعادها $650^3$ ، مع حجم بكسل مكعب قدره $s^3=(6 {~ h^{-1}}{\rm{Mpc}})^3$ . وتمتد الشبكة بأكملها على حجم قدره $(1950 {~ h^{-1}}{\rm{Mpc}})^3$ .

ثم نطبق قناعا زاويا، فنقسم المسوحات الصورية الكروية تماما 27 إلى أربعة أرباع، مساحة كل منها $\pi$ ستراديان ونصف قطرها $z=0.6$ ، وذلك لتقريب مساحة تغطية السماء وعمقها في مسح SLOAN III. ومع هذه المسوحات الصورية المنعّمة $4\times 27=108$ ، نحسب الجنس باستخدام مخطط تقريب مضلعي طوره Weinberg (1988); Hamilton, Gott, and Weinberg (1986) يسمى “Contour 3D”، ويجمع عيوب الزوايا عند رؤوس البكسلات.

5. استخدام الطوبولوجيا بوصفها مسطرة معيارية

من تطبيقات الطوبولوجيا الكمية على عينة SDSS LRG، إضافة إلى اختبار غاوسية تقلبات الكثافة الابتدائية، قياس المعاملات الكونية، مثل تلك التي تحكم تاريخ تمدد الكون. ويمكن القيام بذلك بقياس إحصائية الجنس ضمن حجم ثابت عند انزياحات حمراء مختلفة. في حالة محاكاة الأجسام $N$ ، يكون النموذج الكوني الصحيح معروفا، ومن ثم يكون التحويل الصحيح $r \to z$ معروفا. ينعّم المرء حقل الكثافة بطول تنعيم معروف $\lambda$ ، ثم يقيس جنس الكثافة الوسيطة داخل حجم $V$ . وينتج هذا $g=G/V$ ، أي الجنس لكل وحدة حجم، وهو ما يمكن استخدامه لقياس أي حجم فيزيائي بصورة غير مباشرة عن طريق عدّ البنى. وللتعبير على نحو أوضح عن الاعتماد على طول التنعيم، غالبا ما تستخدم الكمية اللا بعدية $g \lambda^3$ ، وهي ببساطة الجنس لكل طول تنعيم تكعيبي. ويمكن حساب هذه الكمية تحليليا من مجموعة كاملة من المعاملات الكونية وطيف قدرة خطي. وقد دُرست هذه الدالة $g \lambda^3 (\lambda)$ عن كثب لمعاملات WMAP3 وWMAP5 (انظر الشكل 1 من Park & Kim 2010 والشكل 1 من Zunckel, Gott, & Lunnan 2011، المرسوم بواسطة Y.R. Kim.)(انظر الشكل 2).

عمليا، لا نعرف النموذج الكوني الحقيقي. ولنوضح آثار تطبيق نموذج كوني غير صحيح على عينة مسحية. فإذا قللنا من تقدير معدل تمدد الكون $H_0$ ، فإن تحويلنا من الانزياح الأحمر إلى الفضاء المرافق سيضع الأجرام السماوية أبعد من الأرض مما ينبغي. ويسبب ذلك فرط تقدير لحجم المسح. وبالنسبة إلى مسح متجانس ومتناظر الخواص، يتناسب الجنس خطيا مع الحجم، ومن ثم فإن فرط تقدير $V$ سيدفع الجنس عند طول تنعيم معين إلى الارتفاع ( $G(\lambda) \uparrow$ ). وفي الوقت نفسه، نكون قد اعتمدنا أيضا طول تنعيم مرافقا $\lambda$ أكبر من المقصود. وسيغير ذلك المقياس الفعلي للدراسة ويمحو جميع البنى الواقعة تحت ذلك المقياس بالالتفاف، مخفضا الجنس ( $G(\lambda) \downarrow$ ). ولحسن الحظ، فإن الأثر الصافي قابل للكشف، لأن السعة $G$ لمنحنى الجنس تقيس فعليا ميل طيف القدرة عند المقياس $\lambda$ ، وهو ليس ثابتا مع المقياس (Park & Kim, 2010).

إجراؤنا لقياس مسافة القطر الزاوي المرافقة إلى $z=0.6$ مباشر. نفترض نموذجا كونيا مسطحا من نوع $\Lambda$ CDM. تأتي $\Omega_m$ و $h$ و $\Omega_\Lambda$ من ملاءمات CMB مع $l > 210$ ، وهي غير حساسة لـ $w_\Lambda$ لأن تأثير الطاقة المظلمة مهمل عند إعادة التركيب. وتستخدم هذه القيم لبناء طيف القدرة، ومنه $g\lambda^3(\lambda)$ (انظر الشكل 2). والآن نقيس $g\lambda^3$ ونحصل على قيمة؛ ثم ننظر في مخططنا التحليلي، الشكل 2، ونجد القيمة الحقيقية لـ $\lambda$ ، التي سنسميها $\lambda_{\rm{true}}$ . فإذا كانت هذه أصغر بنسبة 1% من القيمة الابتدائية لـ $\lambda$ التي استخدمت، فهذا يعني أن المسافة المرافقة حتى $z=0.6$ أصغر أيضا بنسبة 1% مما كان يعتقد سابقا. وبهذه الطريقة يمكن قياس المسافة المرافقة حتى $z=0.6$ . ومع هذه النقطة البيانية الواحدة يمكن ملاءمة نموذج كوني، مع ترك $w_\Lambda$ معاملا (Park & Kim, 2010).

إذا كان النموذج الكوني الابتدائي خاطئا قليلا (أي قد لا تكون $w_\Lambda$ مساوية تماما لـ $-1$ ، أو قد تتغير مع الزمن؛ Slepian, Gott, & Zinn 2013)، فإن ذلك غير مؤثر لأننا نقيس الطوبولوجيا فحسب، أي نعد العدد الكلي للبنى داخل $z=0.6$ . وإذا كانت المسافة الشعاعية المرافقة داخل هذا الحجم خاطئة بنسبة متناسبة، فلن يحدث ذلك فرقا، إذ سيشوه الأشكال والبنى قليلا فقط من دون تغيير عددها (انظر Zunckel, Gott, & Lunnan, 2011). وسيؤدي تباين كوني rms في الجنس الكلي $\sigma_g$ حتى $z=0.6$ في عينة مسحية إلى خطأ كسري rms قدره ${\sigma_g}/{g}$ في $g\lambda^3$ ؛ وبالنظر إلى ميل المنحنى، $(g\lambda^{3})^{\prime}$ عند $\lambda$ المطبقة، سيُدخل ذلك خطأ rms في $\lambda$ ومن ثم في المسافة المرافقة عند $z=0.6$ مقداره:

(g\lambda^{3})^{\prime}\frac{\sigma_{\lambda}}{\lambda}=\frac{\sigma_{g}}{g}.

(10)

Figure 2.— الجنس لكل طول تنعيم تكعيبي $g\lambda^3$ لمعاملات WMAP5 ( $\Omega_m=0.26$ ، $H_0=74$ )، بافتراض كونية مسطحة من نوع $\Lambda$ CDM (مأخوذ من الشكل 1 من Zunckel, Gott, & Lunnan, 2011, محسوب بواسطة Young Rae Kim).

5.1. اللايقينات في مثل هذه المسطرة

ندرس التباين الإحصائي للجنس لكل وحدة حجم $g$ في مسوحات Horizon Run 3 الصورية، وهو بعيد عن أن يكون قياسا “مثاليا”.

إن القياس “المثالي” لـ $g$ سيكون فحص حقل الكثافة الابتدائي في الفضاء المرافق. فإذا كانت الشروط الابتدائية من نوع GRP، لتوقع المرء توافقا ممتازا بين منحنى الجنس المرصود ومنحنى GRP النظري؛ غير أن حجم العينة المحدود، حتى عند هذا المستوى، يدخل خطأ بسبب غياب القدرة على المقاييس الكبيرة (أو الأكبر من حجم صندوق المحاكاة). والقياس الأفضل التالي لـ $g$ سيكون فحص الشروط النهائية لمحاكاة الأجسام $N$ بأكملها في الفضاء المرافق، وهو ما يمحو جزءا من التباين الكوني المرتبط بصغر حجم المسح، لكنه يخضع لتأثيرات السقوط الجذبي غير الخطي وتحيز تكوّن المجرات. ويتمثل مصدر خطأ لا مفر منه، سواء كان القياس “مثاليا” أم لا، في دقة البكسلات المحدودة، التي تطبق مقياس تنعيم على البيانات وتدمر البنى الأصغر من حجم البكسل $s$ .

إن رصد $g$ في الفضاء المرافق له مزايا واضحة على الرصد في فضاء الانزياح الأحمر، إذ إن لدى المرء معرفة كاملة بجميع مواضع وسرعات هالات PSB الفرعية. وقد وجد أن تصحيح الانزياح الأحمر للسرعة الخاصة يمثل أسوأ مصدر للخطأ في سعة أفضل ملاءمة وفق $\chi^2$ لمنحنى الجنس (Choi et al., 2010). وتطبيق تصحيحات الانزياح الأحمر للسرعات الخاصة هو في جوهره روتين تنعيم بحد ذاته، إذ إن بنى الفضاء الحقيقي تطمس شعاعيا بسبب تأثيرات “أصابع الإله”. ويرفع هذا التأثير فعليا معامل التنعيم المرصود $\lambda$ قليلا ويعطي سعة جنس أقل في أفضل ملاءمة وفق $\chi^2$ . كما أن اختيار حجم المسح، ولا سيما نسبة الحجم إلى المساحة السطحية، يخلق خطأ بسبب “تنعيم” البيانات إلى خارج منطقة المسح. وتمثل الحدود المعقدة لـ SDSS سببا للاهتمام؛ ولا سيما الأشرطة الرقيقة الثلاثة على طول الغطاء المجري الجنوبي، التي تهمل كليا أثناء تحليل الجنس.

يستخدم قياس SDSS لـ $g$ عينة محدودة في فضاء الانزياح الأحمر، حيث تنطبق مصادر الخطأ المذكورة آنفا: التباين الكوني المرتبط بصغر حجم المسح؛ والتكتل غير الخطي؛ وتأثيرات الحدود؛ وتشوه فضاء الانزياح الأحمر. يبدو الوضع شاقا، لكن بفضل حجمه يوفر Horizon Run 3 مجموعة من الاختبارات. نقسم المسوحات الصورية الكروية 27 لـ HR3 إلى أربعة أرباع، وبذلك نحصل على 108 “تجربة جنس” لطول تنعيم مختار $\lambda$ . وقد أبلغ Gott et al. (2009) عن سعة الجنس لـ SDSS LRG بدقة قدرها 5%. وبناء على نتائجنا (انظر الجدول 1)، نعتقد أن هذا اللايقين الكسري يمكن أن يخفض إلى 1%.

6. النتائج

قِسنا الجنس لكل طول تنعيم تكعيبي من أجل $\lambda=15$ ، و21، و34 $~h^{-1} \rm{Mpc}$ ، دارسين الخطأ العشوائي والمنهجي عبر 108 مسحا صوريا من HR3. وبالنسبة إلى $\lambda=15 ~ h^{-1}{\rm{Mpc}}$ ، كان اللايقين الكسري في الجنس لكل طول تنعيم تكعيبي أقل من واحد بالمئة، وهو ما يترجم إلى لايقين كسري في طول التنعيم، ومن ثم في مسافة القطر الزاوي، يقارب $2.1$ % (الجدول 1).

وبمعاملة التباين عند $\lambda=15$ ، و21، و34 $h^{-1}{\rm{Mpc}}$ على أنه مستقل إحصائيا، نظرا لأن HR3 يتبنى نموذجا ذا أطوار عشوائية وأن أحجام التنعيم مختلفة اختلافا كبيرا، نجمع أخطاء rms لأطوال التنعيم الثلاثة تربيعيا

$\begin{equation} \frac{1}{\sigma_{\rm{eq}}^2} = \frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2}+\frac{1}{\sigma_3^2}, \end{equation}$

(11)

فنحصل على لايقين كسري قدره $1.69$ % في طول التنعيم ومسافة القطر الزاوي حتى $z=0.6$ . وبجمع عينتي $21$ و $34~h^{-1}$ Mpc فقط، نحصل على لايقين كسري قدره $2.97$ % في طول التنعيم.

Table 1 $g\lambda^3$ هو متوسط الجنس بأفضل ملاءمة وفق $\chi^2$ لكل طول تنعيم تكعيبي، لجميع المسوحات الصورية 108، مضروبا في $10^3$ تسهيلا للقارئ. و $\lambda_{\rm{t}}$ هو طول التنعيم “الحقيقي” المقابل للجنس المرصود لكل طول تنعيم تكعيبي، كما نوقش في القسم 5. ويمثل $\sigma_{g\lambda^3}$ و $\sigma_\lambda$ التباين في جنس التنعيم لكل طول تنعيم تكعيبي وفي طول التنعيم. أما $({\lambda_t-\lambda})/{\lambda}$ فهو الخطأ المنهجي الكسري في طول التنعيم.

	$\lambda=15~{}{\rm{Mpc}}/h$	$\lambda=21~{}{\rm{Mpc}}/h$	$\lambda=34~{}{\rm{Mpc}}/h$
$g\lambda^{3}\times 10^{3}$	4.762	5.403	6.271
$\sigma_{g\lambda^{3}}\times 10^{3}$	0.04380	0.6732	1.358
$\frac{\sigma_{g\lambda^{3}}}{g\lambda^{3}}$	.919%	1.245%	2.166%
$\lambda_{\rm{t}}$	15.448	20.823	32.993
$\frac{\lambda_{\rm{t}}-\lambda}{\lambda}$	2.99%	-0.84%	-2.96%
$\frac{\sigma_{\lambda}}{\lambda}$	2.096%	3.215%	6.742%

ومع وجود عينات 108، فإن “لايقين اللايقين” الكسري لدينا هو $1/\sqrt{2(N-1)}=6.8\%$ . ومن الجدير بالملاحظة أن الأثر المنهجي لعينة $21 ~ h^{-1}$ Mpc كان صغيرا جدا، $-0.84$ %، وأن سعات الجنس ذات أفضل ملاءمة وفق $\chi^2$ نمذجت منحنى $g \lambda^3$ على نحو ممتاز (الشكل 3).

7. مناقشة

في ضوء هذه النتائج، من المهم مواصلة تنقيح الدراسة الطوبولوجية لعينة SDSS LRG باستخدام محاكاة الأجسام $N$ . وتتيح المكعبات الضخمة جدا مثل HR3 وصفا محكما للتباين الكوني في الجنس لكل وحدة حجم $g$ وفي طول التنعيم $\lambda$ . وتترجم هذه المعرفة الإحصائية مباشرة إلى قياس معاملات كونية مثل $w$ . ومن الامتدادات الممكنة لهذا العمل نمذجة مسح SDSS على نحو أدق باستخدام 108 أقنعة أقل “مثالية”. وثمة امتداد ممكن آخر هو قياس التباين في الجنس لكل طول تنعيم تكعيبي $g\lambda^3$ لعدد كبير من قيم $\lambda$ ، ربما بالتكرار من $15~h^{-1}{\rm Mpc}$ إلى $34~ h^{-1}{\rm Mpc}$ بزيادات صغيرة $\Delta \lambda < 0.2~h^{-1}{\rm Mpc}$ . ويمكن للمخططات الملساء لـ $\sigma_{g\lambda^3}$ و $\lambda - \lambda_{\rm true}$ بدلالة $\lambda$ أن تقدم معلومات مفيدة عن تطور الخطأ العشوائي والمنهجي مع المقياس.

نشكر Princeton Department of Astrophysical Sciences، في Princeton NJ، حيث أُنجز هذا العمل. ونشكر دعم Supercomputing Center/Korea Institute of Science and Technology Information بموارد الحوسبة الفائقة، بما في ذلك الدعم التقني (KSC–2011–G2–02) لـ Horizon Run 3. كما نشكر Korea Institute for Advanced Study على توفير موارد الحوسبة (KIAS Center for Advanced Computation Linux Cluster System).

Appendix A رسوم 3D لبيانات Horizon Run 3

Figure 5.— صورة نقشية حمراء-زرقاء لمسح صوري كروي من Horizon Run 3 حتى انزياح أحمر $z=0.7$ . نُعّمت أعداد هالات PSB الفرعية بكرة تنعيم غاوسية مقدارها $\lambda=34~h^{-1} \rm{Mpc}$ . وتتطلب نظارات بعدسات حمراء-سماوية للرؤية.

References

Albrecht & Steinhardt (1982) Albrecht H. & Steinhardt P. J. 1982, Phys. Rev. Lett. 48, 1220
Anderson et al. (2012) Anderson, et al. 2012, MNRAS, 427, 3435
Choi et al. (2010) Choi, Y.-Y, Park, C., Kim, J., Gott, J.R., Weinberg, D.H., Vogeley, M.S., Kim, S.S. 2010, ApJS, 190, 181
Eisenstein, et al. (2001) Eisenstein, D.J., Annis, J., Gunn, J.E., et al. 2001, AJ, 122, 2267
Eisenstein et al. (2011) Eisenstein, D.J., Weinberg, D.H., et al. 2011, AJ, 142, 72
Gott, Melott, & Dickinson (1986) Gott, J. R., Melott, A. L., & Dickinson, M. 1986, ApJ, 306, 341
Gott, Weinberg, & Melott (1987) Gott, J. R., Weinberg, D.N., & Melott, A.L. 1987, ApJ, 319, 1
Gott et al. (1989) Gott, J.R., et al. 1989, ApJ, 340, 625
Gott et al. (2008) Gott, J. R., et al. 2008, ApJ, 675, 16
Gott et al. (2009) Gott, J.R., et al. 2009, ApJ, 695, L45
Guth (1981) Guth, A.H. 1981, Phys. Rev. D, 23, 347
Hamilton, Gott, and Weinberg (1986) Hamilton, A. J. S., Gott, J. R., & Weinberg, D. W. 1986, ApJ, 309, 1
Hikage et al. (2002) Hikage, C., et al. (The SDSS Collaboration) 2002, PASJ, 54, 707
Hikage et al. (2003) Hikage, C., et al. 2003, PASJ, 55, 911
Hinshaw et al. (2013) Hinshaw, G., Larson, D., Komatsu, E., et al. 2013, arXiv1212.5226
Hogg (1999) Hogg, D. W. 1999 arXiv:astro-ph/9905116
Kim & Park (2006) Kim, J., & Park, C. 2006, ApJ, 639, 600
Kim et al. (2011) Kim, J., Park, C., Ross, G., Lee, S.M., & Gott, J.R. 2011, JKAS, 44. 217
Komatsu et al. (2011) Komatsu, E., Smith, K.M., & Dunkley, J., et al. 2011, ApJS, 192, 18
Linde (1982) Linde, A.D. 1982, Phys. Lett. B, 108, 389
Linde (1983) Linde, A.D. 1983, Phys. Lett. B, 129, 177
Lewis & Bridle (2002) Lewis, A., Bridle, S., 2002, Phys. Rev., D66 103511
Matsubara (1994) Matsubara, T. 1994, ApJ, 434, L43
Park & Gott (1991) Park, C., & Gott, J.R. 1991, ApJ, 378, 457
Park, Gott, & da Costa (1992) Park, C., Gott, J.R., & da Costa, L.N. 1992, ApJ, 392, L51]
Park et al. (1998) Park, C., Colley, W.N., Gott, J.R., Ratra, B., Spergel, D.N., & Sugiyama, N. 1998, ApJ, 506, 473
Park, et al. (2005a) Park, C., Kim, J., & Gott, J.R. 2005a, ApJ, 633, 1
Park et al. (2005b) Park, C., et al. (The SDSS Collaboration) 2005b, ApJ, 633, 11
Park & Kim (2010) Park, C., & Kim, Y.-R. 2010, ApJ, 715, L185
Park et al. (2012) Park, C., Choi, Y.-Y., Kim, J., Gott, J.R., Kim, S.S., & Kim, K.-S. 2012, ApJ, 759, L7
Park et al. (2013) Park, C., Pranav, P., Chingangbam, P., van de Weygaert, R., Jones, B., Vegter, G., Kim, I., Hidding, J. & Hellwing, W.A. 2013, JKAS, 46, 125
Press & Schechter (1974) Press, W.H., & Schechter, P. 1974, ApJ, 187, 425
Slepian, Gott, & Zinn (2013) Slepian, Z., Gott, J.R., & Zinn, J. 2013, arXiv1301.4611
Soneira & Peebles (1978) Soneira, R.M. and Peebles, P. J. E. 1978, A.J., 83, 845
Spergel et al. (2003) Spergel, D.N., et al. 2003, ApJS, 148, 175
Springel et al. (2005) Springel, V. 2005, Nature, 435, 629
Strauss et al. (2002) Strauss, M.A., et al. 2002, AJ, 124, 1810
Vogeley et al. (1994) Vogeley, M.S., Park, C., Geller, M.J., Huchra, J.P., & Gott, J.R. 1994, ApJ, 420, 525
Weinberg (1988) Weinberg, D. H. 1988, PASP, 100, 1373
Zunckel, Gott, & Lunnan (2011) Zunckel, C., Gott, J.R., & Lunnan, R. 2011, MNRAS, 412, 1401