الملخص

في [CGN12a]، برهنا أن حقول مغنطة إيزنغ الحرجة المعاد تطبيعها ${\mathrm{\Phi }}^a:=a^{15/8}{\sum }_{x\in a{\mathbb{Z}}^2}{\sigma }_x{\delta }_x$ تتقارب عندما $a\to 0$ إلى توزيع عشوائي رمزنا إليه بـ ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$. والغاية من هذه الورقة هي إثبات بعض الخصائص الأساسية التي تحققها هذه ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ والحقول شبه الحرجة ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty },h}$. وبصورة أدق، نحصل على النتائج الآتية.

• إذا كان $A\subset ℂ$ مجالا أملس محدودا، وإذا كان $m=m_A:=⟨{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }},1_A⟩$ يرمز إلى المغنطة المحددة المعاد تحجيمها في $A$، فإن هناك ثابتا $c=c_A>0$ بحيث

  $$\log \mathbb{P}\left[m>x\right]\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\sim }-c{x}^{16}.$$

  وبوجه خاص، يوفر هذا برهانا بديلا على أن الحقل ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ غير غاوسي (أما برهان آخر لهذه الحقيقة فيستعمل دوال الارتباط ذات $n$ نقاط المثبتة في [ChHI12]، وهي لا تحقق صيغة ويك).

• للمتغير العشوائي $m=m_A$ كثافة ملساء، وبصورة أدق لدينا الحد الآتي على تحويله الفورييه: $|𝔼\left[e^{itm}\right]|\le e^{-\tilde{c}{|t|}^{16/15}}$.

• توجد عائلة أحادية الوسيط ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty },h}$ من حدود التحجيم شبه الحرجة لحقل المغنطة في المستوي مع حقل مغناطيسي خارجي يتلاشى صغره.

1 مقدمة

1.1 لمحة عامة

في [CGN12a]، درسنا حد التحجيم لحقل المغنطة المعاد تطبيعه تطبيعا ملائما في نموذج إيزنغ حرج (أي عند $\beta ={\beta }_c$) على الشبكة $a{\mathbb{Z}}^2$ عندما تتقلص سعة الشبكة $a$ إلى الصفر. والموضوع الطبيعي للدراسة هو الحقل الآتي:

${\mathrm{\Phi }}^a:={\displaystyle \sum _{x\in a{\mathbb{Z}}^2}}{a}^{15/8}{\sigma }_x{\delta }_x,$ (1.1)

حيث إن ${\{{\sigma }_x\}}_{x\in a{\mathbb{Z}}^2}$ تحقيق لنموذج إيزنغ حرج على $a{\mathbb{Z}}^2$. لاحظ أن إعادة تطبيع $a^{15/8}$ تفترض مبرهنة وو في [Wu66]. انظر المقدمة في [CGN12a] من أجل مناقشة ذلك. وقد برهنت المبرهنة التالية في [CGN12a].

مبرهنة 1.1 ([CGN12a]).

عندما تكون سعة الشبكة $a\searrow 0$، يتقارب الحقل العشوائي ${\mathrm{\Phi }}^a$ في القانون إلى حقل عشوائي حدي ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ وفق طوبولوجيا فضاء سوبوليف ${\mathscr{H}}^{-3}(ℂ)$. انظر المبرهنة 1.2 والملحق A في [CGN12a] لمزيد من التفاصيل.

في حالة مجال أملس محدود ومتصل ببساطة $\mathrm{\Omega }$ مزود بشروط حدية $+,-$ أو $\mathrm{free}$ على طول $\partial \mathrm{\Omega }$، يحصل المرء أيضا على حقل مغنطة حدي ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$ يعتمد قانونه على اختيار الشروط الحدية المفروضة $\xi \in \{+,-,\mathrm{free}\}$. انظر المبرهنة 1.3 في [CGN12a].

يرد برهانان لهذه النتائج في [CGN12a]: يعتمد الأول على النتائج الاختراقية الحديثة من [ChHI12] حول دوال الارتباط ذات $n$ نقاط لنموذج إيزنغ الحرج. أما البرهان الثاني فهو أشد شرطية ويعتمد، مثلا، على العمل الجاري [CDH++13]. انظر القسم 2 في [CGN12a].

كان الهدف من [CGN12a] تحديد حد في القانون لهذه الحقول المغناطيسية (أي ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ و ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$). وباستثناء طبيعة التغاير المطابق لهذه الحقول (المبرهنة 1.8 في [CGN12a])، لم ندرس الخواص الدقيقة لهذه الحقول. وهذا ما نريد معالجته في هذه الورقة:

1. بادئ ذي بدء، سنركز على سلوك الذيل للحقل ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ (ونظيره في مجال محدود). لكل مجال أملس محدود $A$، نحصل على تقدير دقيق للذيل لمغنطة الكتلة $m=m_A=⟨{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }},1_A⟩$ الخاصة بـ $e^{-c{x}^{16}}$ حيث لا يعتمد الثابت $c>0$ على الشروط الحدية المفروضة على طول $\partial A$. انظر المبرهنة 1.2.

2. ثم نبحث هل للمتغير العشوائي $m_A$ المعرف أعلاه دالة كثافة أم لا، وإذا كان له ذلك فما انتظامها. نجيب عن هذا السؤال بدراسة ذيل دالته المميزة. وبالتحديد نثبت أن $|𝔼\left[e^{itm}\right]|\le e^{-\tilde{c}{|t|}^{16/15}}$. انظر المبرهنة 1.3.

3. وأخيرا، نعالج سؤالا ذا طابع مختلف: نثبت في المبرهنة 1.4 أن حقل المغنطة ${\mathrm{\Phi }}^{a,h}$ لنموذج إيزنغ شبه الحرج ذي الحقل الخارجي $h{a}^{15/8}$ له حد تحجيم نرمز إليه بـ ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty },h}$.

1.2 النتائج الرئيسية

في القسم 2 سنثبت النتيجة الآتية.

مبرهنة 1.2.

يوجد ثابت كوني $c>0$ بحيث إنه، لأي شروط حدية مفروضة $\xi \in \{+,-,\mathrm{free}\}$ حول المربع ${[0,1]}^2$، تحقق المغنطة (المتصلة) $m=m^{\xi }={\mathrm{\Phi }}^{\xi }({[0,1]}^2)$ في ${[0,1]}^2$، عندما $x\to \mathrm{\infty }$:

$$\log \mathbb{P}\left[m>x\right]\sim -c{x}^{16}.$$

تمتد هذه النتيجة إلى حالة حقل المستوي ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ عند اختباره على مجال أملس محدود $A$، أي ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}(1_A)$ (وفي هذه الحالة يعتمد الثابت $c$ على $A$)، أو إلى حالة الحقل الحدي ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$ لمجال أملس محدود $\mathrm{\Omega }$ عند اختباره على مجال جزئي أملس $A\subset \mathrm{\Omega }$.

في القسم 3، سنثبت:

مبرهنة 1.3.

لننظر إلى حد التحجيم $m=m^{\xi }$ للمغنطة في المربع ${[0,1]}^2$ مع شروط حدية مفروضة $\xi \in \{+,-,\mathrm{free}\}$. يوجد ثابت $\tilde{c}>0$ بحيث لكل $t\in ℝ$ يكون لدينا

$$|{𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right]|\le e^{-\tilde{c}{|t|}^{\frac{16}{15}}}.$$

وبوجه خاص، يمكن تمديد دالة الكثافة $f=f^{\xi }$ للمتغير العشوائي $m=m^{\xi }$ إلى دالة تامة على كامل المستوي العقدي $ℂ$ .

كما في المبرهنة 1.2، تمتد النتيجة إلى حقل المستوي كله ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ المختبر على المجالات $A$، وكذلك إلى الحقول ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$ للمجالات الملساء المحدودة $\mathrm{\Omega }$.

كما سنرى لاحقا في الملاحظة 3.2، ينبغي أن تمتد هذه المبرهنة بسهولة أيضا إلى شروط حدية أعم $\xi$، مثل تركيبات منتهية من أقواس $+,-,\mathrm{free}$. في هذه الحالة سيظل الثابت $c=c({[0,1]}^2)>0$ مستقلا عن الشرط الحدي $\xi$.

أخيرا، في القسم 4 سنثبت المبرهنة الآتية المتعلقة بحد التحجيم شبه الحرج (عندما $h\to 0$). وهناك مراجعتان حديثتان تناقشان أهمية هذه النماذج شبه الحرجة هما [BG11] و [MM12].

مبرهنة 1.4.

لنثبت ثابتا ما $h>0$. ننظر في نموذج إيزنغ على $a{\mathbb{Z}}^2$ عند $\beta ={\beta }_c$ ومع حقل مغناطيسي خارجي صغير متلاش يساوي $a^{15/8}h$. ليكن ${\mathrm{\Phi }}^{a,h}$ حقل المغنطة شبه الحرج في المستوي، معرفا كما في [CGN12a] (حيث $h=0$)، بواسطة

${\mathrm{\Phi }}^{a,h}:={\displaystyle \sum _{x\in a{\mathbb{Z}}^2}}{\delta }_x{\sigma }_x{a}^{15/8},$

حيث إن ${\{{\sigma }_x\}}_{x\in a{\mathbb{Z}}^2}$ تحقيق لنموذج إيزنغ أعلاه ذي الحقل المغناطيسي الخارجي المساوي لـ $h{a}^{15/8}$. عندئذ، عندما تكون سعة الشبكة $a\searrow 0$، يتقارب التوزيع العشوائي ${\mathrm{\Phi }}^{a,h}$ في القانون إلى حقل شبه حرج ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty },h}$ وفق طوبولوجيا ${\mathscr{H}}^{-3}$ في المستوي كله المعرفة في القسم A.2 من [CGN12a].

ويمكن صياغة العبارة المناظرة في حالة مجال أملس محدود كما يأتي.

قضية 1.5.

ليكن $\mathrm{\Omega }$ مجالا أملس محدودا في المستوي، بشروط حدية إما $+,-$ أو $\mathrm{free}$، وليكن $h>0$ ثابتا موجبا ما. عندئذ، وبالترميز الواضح، يتقارب ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{a,h}$ في القانون إلى حقل ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty },h}$ عندما $a\to 0$ وفق طوبولوجيا فضاء سوبوليف ${\mathscr{H}}^{-3}(\mathrm{\Omega })$.

تساق هذه النتيجة بوصفها قضية فقط، إذ كما سنرى في القسم 4، فهي تنتج تقريبا مباشرة من عملنا السابق [CGN12a]. ثم سنثبت المبرهنة 1.4 باستعمال هذه القضية عبر النظر في مجالات أكبر فأكبر ${\mathrm{\Lambda }}_L$ وبإظهار أن الحقول شبه الحرجة تستقر عندما $L\to \mathrm{\infty }$. وتناقش العلاقة بين ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty },h}$ و ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty },h}$ بـ ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ و ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$ في القسم 4.

1.3 موجز البراهين

• سيعتمد برهان سلوك الذيل المعطى في المبرهنة 1.2 على دراسة العزوم الأسية للمغنطة $m$، أي على $𝔼\left[e^{tm}\right]$، مع كون $t>0$ كبيرا. وستنتج المبرهنة 1.2 حينئذ من مبرهنة توبيرية مخصوصة لكاساهارا [Kas78]. إحدى المسائل في هذا البرنامج هي إظهار أن المتغير العشوائي $m$ يملك فعلا عزوما أسية. وقد أثبتت هذه الخاصية في الجزء الأول من هذه السلسلة من الأوراق، أي في [CGN12a]، واعتمد البرهان أساسا على متباينة GHS. وتتمثل الصعوبة الأخرى في تكييف الحجج الكلاسيكية التي تؤدي إلى وجود الطاقات الحرة مع وضعنا المتصل الحالي، حيث لا يستطيع المرء استعمال الحيلة المعيارية المتمثلة في تثبيت اللفّات على طول المربعات الثنائية من أجل استعمال تحت الجمع. ولتجاوز ذلك يعتمد المرء على RSW داخل أنابيب طويلة رفيعة.

• في دراستنا لـ $|{𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right]|$، نعتمد على تمثيل FK ونثبت أنه باحتمال عال جدا (من رتبة $1-e^{-c{|t|}^{16/15}}$)، يمكن إيجاد $O(1/{ϵ}^2)$ مربعات متوسطة القياس ذات حجم مختار بعناية $ϵ={ϵ}_t$ وتحتوي على عنقود FK ذي «كتلة» تقارب $1/t$.

• في برهان المبرهنة 1.4، ينجز معظم العمل غير البديهي في اللمّة 4.1 التي تهدف إلى إثبات أن قانون الحقل شبه الحرج على المستوي كله ${\mathrm{\Phi }}^{a,h}$ قريب جدا في ${\mathscr{H}}^{-3}$ من قانون الحقل شبه الحرج على مجال كبير ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{a,h}$. والتقنية المستعملة هنا حجة اقتران مشابهة لتلك المستعملة في القسم 2 من [CGN12a]، وتعتمد على مبرهنة RSW من [DCHN11].

الشكر. نود أن نشكر Hugo Duminil-Copin على أفكاره التي قادت إلى الملاحظة 3.2.

2 سلوك الذيل

في هذا القسم سنثبت المبرهنة 1.2.

2.1 وجود العزوم الأسية

سنحتاج إلى حقيقة أن للمغنطة (المتصلة) $m$ جميع العزوم الأسية. وقد أثبتت هذه الخاصية في [CGN12a]، ونورد أدناه العبارة المقابلة.

قضية 2.1 (القضية 3.5 والنتيجة 3.8 في [CGN12a]).

لأي شرط حدي $\xi$ (إما شروط حدية $+$ أو $-$ أو $\mathrm{free}$) حول ${[0,1]}^2$، ولأي $t\in ℝ$، إذا كانت $m=m^{\xi }$ هي المغنطة المتصلة لمربع الوحدة، فإن لدينا

• .

• علاوة على ذلك، عندما $a\to 0$، $𝔼\left[e^{t{m}^a}\right]\to 𝔼\left[e^{tm}\right]$.

انظر [CGN12a] لبرهان هذه القضية، وهو يعتمد أساسا على متباينة GHS من [GHS70].

2.2 السلوك التقاربي لدالة توليد العزوم وحجة التحجيم

بما أن العزوم الأسية ${𝔼}^{\xi }\left[e^{tm}\right]$ معرفة جيدا، فإن خطوتنا التالية هي دراسة سلوك دالة توليد العزوم عندما يكون $t$ كبيرا $t\mapsto {𝔼}^{\xi }\left[e^{tm}\right]$. سنثبت القضية الآتية.

قضية 2.2.

يوجد ثابت كوني $b>0$ لا يعتمد على الشروط الحدية $\xi$ حول ${[0,1]}^2$ بحيث عندما $t\to \mathrm{\infty }$:

$$\log {𝔼}^{\xi }\left[e^{tm}\right]\sim b{t}^{\frac{16}{15}}.$$

تنتج المبرهنة 1.2 من القضية أعلاه بفضل المبرهنة التوبيرية الآتية لكاساهارا.

مبرهنة 2.3 (النتيجة 1 في [Kas78] ).

لأي متغير عشوائي $X$ له جميع عزومه الأسية، إذا وجد أس $\alpha >1$ وثابت $b>0$ بحيث

$$\log 𝔼\left[e^{tX}\right]\sim b{t}^{\alpha },$$

عندما $t\to \mathrm{\infty }$، فإن الآتي يصح لبعض ثابت صريح $c=c(b,\alpha )>0$:

$$\log \mathbb{P}\left[X>x\right]\sim -c{x}^{\frac{1}{1-1/\alpha }},$$

عندما $x\to \mathrm{\infty }$.

ملاحظة 2.4.

في الواقع، تصاغ هذه النتيجة فقط للمتغيرات العشوائية الموجبة في [Kas78]، لكن من السهل جدا تمديدها إلى أي متغير عشوائي حقيقي القيم $X$. ولنرسم هنا حجة قصيرة. افترض أن لدينا

$$\log 𝔼\left[e^{tX}\right]\sim b{t}^{\alpha },$$ (2.1)

عندما $t\to \mathrm{\infty }$ لبعض $b>0$، فعندئذ يجب بالضرورة أن تكون $\mathbb{P}\left[X>0\right]$ موجبة تماما. والآن ليكن $Y$ المتغير العشوائي $X$ مشروطا بأن يكون موجبا. من السهل التحقق من أنه عندما $t\to \mathrm{\infty }$، $\log 𝔼\left[e^{tY}\right]\sim \log 𝔼\left[e^{tX}\right]$. ثم ننهي الحجة بملاحظة أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$، $\log \mathbb{P}\left[X>x\right]\sim \log \mathbb{P}\left[X>x|X>0\right]=\log \mathbb{P}\left[Y>x\right]$.

ملاحظة 2.5.

لاحظ أنه باستعمال مباشر لمتباينة تشيبيشيف الأسية، يمكن استرجاع الحدود العليا على ${\mathbb{P}}^{\xi }\left[m>x\right]$ مباشرة من القضية 2.2.

برهان القضية 2.2:

ستكون الأدوات الرئيسية لإثبات القضية هي خاصية تغاير التحجيم للمغنطة الكلية $m$ التي أثبتت في [CGN12a] (انظر القضية 2.6 أدناه)، وكذلك المبرهنة 2.7 أدناه، التي تعرف بمعنى ما طاقة حرة لحقل المغنطة الحدي لدينا. لنذكر أولا هاتين النتيجتين.

قضية 2.6 (تغاير التحجيم لـ $m$، النتيجة 5.2 في [CGN12a]).

ليكن $m=m^{\xi }$ حد التحجيم للمغنطة المعاد تطبيعها في المربع (أي $m=⟨{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }},1_{{[0,1]}^2}⟩$)، مع شروط حدية $\xi$ تكون إما $+,-$ أو $\mathrm{free}$. لأي $\lambda >0$، ليكن $m_{\lambda }=m_{\lambda }^{\xi }$ حد التحجيم للمغنطة المعاد تطبيعها في المربع ${[0,\lambda ]}^2$ مع الشروط الحدية نفسها $\xi$. عندئذ تكون لدينا الهوية الآتية في القانون:

$$m_{\lambda }\stackrel{(d)}{=}{\lambda }^{15/8}m.$$ (2.2)

مبرهنة 2.7 (وجود الطاقة الحرة).

لأي $L>0$ وأي شروط حدية $\xi$ (مؤلفة من عدد منته من أقواس $+$ أو $-$ أو $\mathrm{free}$) حول ${[0,L]}^2$، ليكن $f_L^{\xi }(t):=\frac{1}{L^2}\log {𝔼}^{\xi }\left[e^{t{m}_L}\right]$.

يوجد ثابت كوني $b>0$، لا يعتمد على الشروط الحدية $\xi$، بحيث لكل $t\in ℝ$

$$f_L^{\xi }(t):=\frac{1}{L^2}\log {𝔼}^{\xi }\left[e^{t{m}_L}\right]\underset{L\to \mathrm{\infty }}{⟶}b{|t|}^{16/15}.$$

بهذين المكونين، يسهل إنهاء برهان القضية 2.2. في الواقع إذا كان ${\lambda }_t:=t^{8/15}$، فإن لدينا:

$\log {𝔼}^{\pm }\left[e^{tm}\right]$ $=\log {𝔼}^{\pm }\left[e^{m_{{\lambda }_t}}\right]\text{ using Proposition }\text{<a class="ltx\_ref" href="\#S2.Thmtheorem6" title="قضية 2.6 (تغاير التحجيم لـ 𝑚، النتيجة 5.2 في [CGN12a]). ‣ 2.2 السلوك التقاربي لدالة توليد العزوم وحجة التحجيم ‣ 2 سلوك الذيل"><span class="ltx\_text ltx\_ref\_tag">2.6</span></a>}$ (2.3)

$=t^{16/15}\left({\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_t^2}}\log {𝔼}^{\pm }\left[e^{m_{{\lambda }_t}}\right]\right)$ (2.4)

$\sim t^{16/15}b,$ (2.5)

عندما $t\to \mathrm{\infty }$. وتعالج الشروط الحدية الأخرى بملاحظة أن ${𝔼}^{\xi }\left[e^{tm}\right]$ محصور بين حالتي $+$ و $-$ بمتباينات FKG. ∎

ملاحظة 2.8.

لاحظ أننا لم نحتج إلى القوة الكاملة للمبرهنة 2.7، بل إلى الحالة $t=1$ فقط. ومع ذلك، بما أن المبرهنة 2.7 مهمة في ذاتها، فإننا نثبتها لكل $t\in ℝ$ (وهذا سيؤدي إلى تكرار طفيف لحجة التحجيم أعلاه في برهان اللمّة 2.13).

ملاحظة 2.9.

من المغري مقارنة الطاقة الحرة أعلاه بالطاقة الحرة الكلاسيكية الآتية من النظام المتقطع، أي المعرفة بـ

$$F(t):=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N^2}{𝔼}^{+}\left[e^{t{\sum }_{x\in {\mathrm{\Lambda }}_N}{\sigma }_x}\right],$$ (2.6)

لكن من السهل رؤية أنهما يجب أن تكونا مختلفتين، إذ من الواضح أن $F(t)\le |t|$ لأي $t\in ℝ$. ومن جهة أخرى، فإنهما تتصرفان أساسا بالطريقة نفسها عندما يكون $t$ صغيرا كما ينتج من نتائج [CGN12b].

2.3 تقديرات الطاقة الحرة

الغرض من هذا القسم هو إثبات المبرهنة 2.7 حول الطاقة الحرة لـ ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$. وسيقسم برهان هذه المبرهنة إلى عدة خطوات كما يأتي. أولا، سنبين في اللمّة 2.10 أنه لأي $t\ge 0$، فإن $f_L^{+}(t)$ و $f_L^{-}(t)$ لهما حدود على المقاييس الثنائية $L_k=2^k$، ونرمز إليهما على التوالي بـ $f^{+}(t)$ و $f^{-}(t)$. ثم، في اللمّة 2.11، سنبين أن

وفي اللمّة 2.12، سنثبت أن $f^{+}(t)=f^{-}(t)=f(t)$ لأي $t\ge 0$. وأخيرا ستحدد اللمّة 2.13 الحد $f(t)$ بأنه بالضبط $b{|t|}^{16/15}$ لكل $t\in ℝ$، وبذلك تنهي برهان المبرهنة 2.7. وستكون الصعوبة الرئيسية في هذه اللمّة الأخيرة هي إظهار أن الثابت $b$ موجب.

سنورد أولا هذه اللمم، ثم نشرع في براهينها. ولنشر إلى أن بعض البراهين أدناه تتبع الحجج المعيارية لإثبات أن الطاقة الحرة معرفة جيدا. ومع ذلك، فهي تصبح هنا أكثر تعقيدا قليلا لأننا نعمل مع الحد المتصل، ومن ثم لم تعد كل الحجج الكلاسيكية القائمة، مثلا، على عد عدد مواقع الشبكة على الحد صالحة هنا. (وحده برهان اللمّة 2.10 يتبع المخطط الكلاسيكي تماما).

لمّة 2.10.

لأي $t\ge 0$، وأي $k\ge 1$،

$$\{\begin{array}{cc}{f}_{2^{k+1}}^{+}(t)\le f_{2^k}^{+}(t),\hfill & \\ f_{2^{k+1}}^{-}(t)\ge f_{2^k}^{-}(t).\hfill & \end{array}$$

وبوجه خاص، تتقارب المتتاليات $f_{2^k}^{\pm }(t)$ عندما $k\to \mathrm{\infty }$، وسنرمز إلى حدودها على التوالي بـ $f^{\pm }(t)$.

لمّة 2.11.

لأي $t\ge 0$، لدينا

لمّة 2.12.

لأي $t\ge 0$، لدينا

$$f^{+}(t)=f^{-}(t)=f(t).$$

لمّة 2.13.

يوجد ثابت كوني $b>0$ بحيث لأي شروط حدية $\xi$، لدينا

$$f(t):=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{L^2}{𝔼}^{\xi }\left[e^{t{m}_L}\right]=b{|t|}^{16/15},$$

لكل $t\in ℝ$.

برهان اللمّة 2.10: لننظر في حالة الشروط الحدية $+$؛ أما حالة $-$ فهي مشابهة. من القضية 2.1 (ii)، نعلم أنه لأي $L>0$،

$${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L}\right]=\underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L^a}\right].$$

والآن، لأي $k\in {\mathbb{N}}^{+}$، من السهل التحقق (بتقسيم المجال ${[0,2^{k+1}]}^2$ إلى $4$ مربعات ذات شروط حدية $+$ وباستعمال FKG) أنه لاختيارات ملائمة لسعة الشبكة $a$ (أي $a$ بحيث $2^k\in a\mathbb{Z}$)، عندئذ

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{2^{k+1}}^a}\right]$ $\le {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_{2^k}^a}\right]}^4.$

بأخذ الحد $a\to 0$، نحصل على

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{2^{k+1}}}\right]$ $\le {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_{2^k}}\right]}^4,$

وهذا يستلزم $f_{2^{k+1}}^{+}(t)\le f_{2^k}^{+}(t)$. وكما أشرنا أعلاه، يطابق هذا البرهان تماما البرهان المعياري في الإعداد المتقطع. ∎

برهان اللمّة 2.11:

ننظر فقط في حالة الشروط الحدية $+$ وسنثبت $t\ge 0$ ما (أما حالة الشروط الحدية السالبة فتعالج بالطريقة نفسها). ولنثبت أيضا عددا صحيحا ما $k_0\ge 1$. نريد أن نثبت أن ${lim\; sup}_{L\to \mathrm{\infty }}{f}_L^{+}(t)\le f_{2^{k_0}}^{+}(t)$.

Figure 2.1: الحلقة $A$ والمستطيلات $R_1,\mathrm{\dots },R_4$.

لـ $L>0$ كبير بما يكفي، ليكن $M\ge 1$ بحيث $L=M{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^{k_0}+2K$، مع $K\in [2^{k_0-1},2^{k_0})$. قسّم المجال ${[0,L]}^2$ إلى المربع الداخلي $Q:={[K,L-K]}^2$ والحلقة $A:={[0,L]}^2\setminus Q$. عندئذ، كما في برهان اللمّة أعلاه، لدينا

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L}\right]$ $\le {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_{2^{k_0}}}\right]}^{M^2}{𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_A}\right],$ (2.7)

حيث يرمز $m_A$ إلى المغنطة في الحلقة $A$ مع شروط حدية $+$ على حديها الداخلي والخارجي. يمكن تقسيم هذه الحلقة إلى عدد ($\le 4L/K$) من مربعات طول ضلعها $K$ إضافة، ربما، إلى 4 مستطيلات متطابقة (حتى دوران) أحد ضلعيها طوله $K$ والضلع الآخر أقصر وطوله $\tilde{K}$؛ انظر الشكل 2.1. لنسم $R_1,\mathrm{\dots },R_4$ هذه المستطيلات، وليكن $ℛ$ عائلة الأشكال الممكنة لها. عندئذ لدينا

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_A}\right]$ $\le {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_K}\right]}^{4L/K}\underset{R\in ℛ}{sup}{𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_R}\right]}^4$

$\le {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_K}\right]}^{8(M+1)}\underset{R\in ℛ}{sup}{𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_R}\right]}^4.$ (2.8)

والآن لأي مستطيل $R=[0,\tilde{K}]\times [0,K]$ مع ، لدينا

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_R}\right]$ $\le \underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_R^a}\right]$

$\le \underset{a\to 0}{lim}\exp \left(t{𝔼}^{+}\left[m_R^a\right]+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}{𝔼}^{+}\left[{(m_R^a-⟨m_R^a⟩)}^2\right]\right),$

باستعمال متباينة GHS (انظر المبرهنة 3.6 والنتيجة 3.7 من [CGN12a]). كما في الملحق B من [CGN12a]، من السهل التحقق من أن

وهذا يستلزم إذن

(2.9)

وبالطريقة نفسها، لدينا أن

(2.10)

بإدخال التقديرات السابقة في  (2.7)، نحصل على

${\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L}\right]$ $\le {\displaystyle \frac{M^2}{L^2}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{2^{k_0}}}\right]+{\displaystyle \frac{8M+8}{L^2}}\underset{K}{sup}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_K}\right]+{\displaystyle \frac{4}{L^2}}\underset{R\in ℛ}{sup}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_R}\right].$

بترك $L,M\to \mathrm{\infty }$، يميل الحدّان الأخيران إلى الصفر، بينما يتقارب الأول إلى $f_{2^{k_0}}^{+}(t)$، وهذا ينهي برهان اللمّة. ∎.

برهان اللمّة 2.12:

من الواضح، بالرتابة، أنه لأي $t\ge 0$، لدينا $f^{-}(t)\le f^{+}(t)$. لنثبت الآن المتباينة العكسية. سنقارن في الواقع الشروط الحدية الموجبة بالشروط الحدية الحرة، مبينين بالترميز الواضح أن $f^{\mathrm{free}}(t)\ge f^{+}(t)$. وبما أن البرهان نفسه يتيح لنا إثبات أن $f^{\mathrm{free}}(t)\le f^{-}(t)$، فإن هذا يكفي لإنهاء البرهان.

نريد أن نثبت أن

$f^{\mathrm{free}}(t):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{2}^{-2k}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{2^k}}\right]\ge f^{+}(t)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^{-2k}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{2^k}}\right].$

لاحظ أننا استعملنا $lim\; inf$ لتعريف $f^{\mathrm{free}}$ هنا لأننا لم نثبت (بعد) وجود الحد في حالة الشروط الحدية $\mathrm{free}$، ولأن $lim\; inf$ هي أسوأ حالة ممكنة هنا.

لنثبت $ϵ=2^{-k_0}>0$ ثنائيا صغيرا. لأي $L>10$، ليكن $R=R_{L,ϵ}$ الحدث القائل بوجود عنقود + في الحلقة $a{\mathbb{Z}}^2\cap {[0,L]}^2\setminus {[ϵL,(1-ϵ)L]}^2$. ومن مبرهنة RSW في [DCHN11]، لدينا

تذكر كذلك أنه لأي $L>10$:

$$\frac{1}{L^2}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_L}\right]=\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{L^2}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_L^a}\right].$$

لدينا أن

$\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_L}\right]$ $\ge \underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[1_R{e}^{t{m}_L^a}\right]$

$\ge \underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_L^a}\right|R]+\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log H$

$=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_L^a}\right|R]$

لكل $L=L_k=2^k>10$ ثنائي، لنقسم المربع ${[0,L]}^2$ إلى الحلقة $A=A_L={[0,L]}^2\setminus {[ϵL,(1-ϵ)L]}^2$ والمربع الداخلي $Q=Q_L={[ϵL,(1-ϵ)L]}^2$. وبذلك، وبالترميز الواضح، نحلل المغنطة $m_L^a$ إلى

$$m_L^a=m_A^a+m_Q^a.$$ (2.11)

علاوة على ذلك، سنرمز بـ ${ℱ}_Q$ إلى الترشيح المتولد من اللفّات في $a{\mathbb{Z}}^2\cap Q$. وبالاشتراط كذلك على ${ℱ}_Q$، نحصل على

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{\displaystyle \frac{1}{L_k^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]$ $\ge \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L_k^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_Q^a}{𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_A^a}\right|{ℱ}_Q,R]\right|R].$ (2.12)

لنثبت أولا اللمّة الآتية.

لمّة 2.14.

توجد دالة $\alpha =\alpha (ϵ)>0$ بحيث بانتظام في $L=2^k>10$ وعلى تشكيل اللفّات ${\sigma }_Q$ داخل $Q$، يكون لدينا

$$\underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_A^a}\right|{ℱ}_Q,R]\ge \alpha (ϵ).$$ (2.13)

برهان:

لإثبات اللمّة، لاحظ أنه باختيارنا لـ $ϵ$، يمكن تقسيم الحلقة $A$ إلى $4(2^{k_0}-1)$ مربعات تامة طول ضلعها $2^{k-k_0}$ (كما في الشكل 2.1، إلا أنه لا توجد هناك مستطيلات رفيعة) ولدينا الحد

$\underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_A^a}\right|{ℱ}_Q,R]$ $\ge \underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{-}{\left[e^{t{m}_{2^{k-k_0}}^a}\right]}^{4(2^{k_0}-1)}\text{ using FKG}$ (2.14)

$\ge \underset{a\to 0}{lim}{\mathbb{P}}^{-}{\left[m_{2^{k-k_0}}^a>0\right]}^{4(2^{k_0}-1)}$ (2.15)

$\ge {\mathbb{P}}^{-}{\left[m_{2^{k-k_0}}>0\right]}^{4(2^{k_0}-1)}$ (2.16)

$={\mathbb{P}}^{-}{\left[m_{{[0,1]}^2}>0\right]}^{4(2^{k_0}-1)}\ge {\mathbb{P}}^{-}{\left[m_{{[0,1]}^2}>0\right]}^{4/ϵ},$ (2.17)

حيث اعتمدنا في السطر الأخير على خاصية تغاير التحجيم المعطاة في القضية 2.6. ∎

ننهي برهان اللمّة 2.14 بالاعتماد على اللمّة السهلة الآتية.

لمّة 2.15.

يوجد ثابت $c>0$ بحيث

$${\mathbb{P}}^{-}\left[m_{{[0,1]}^2}>0\right]>c.$$

يمكن إثبات هذه اللمّة مثلا باستعمال تمثيل FK للحقل ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$ من [CGN12a] وحقيقة أن عناقيد FK الصغيرة لا تساهم إلا قليلا في المغنطة الكلية $m_{{[0,1]}^2}$ (انظر مثلا المعادلات (2.8)–(2.11) من [CGN12a]). ومن ثم ينتهي برهان اللمّة 2.14 مع $\alpha (ϵ):=c^{4/ϵ}$. ∎

إن إدخال (2.13) في  (2.12) يعطينا

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{\displaystyle \frac{1}{L_k^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]$ $\ge \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\underset{a\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L_k^2}}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_Q^a}\right|R].$ (2.18)

والآن، من FKG من الواضح أن

$\underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_Q^a}\right|R]$ $\ge \underset{a\to 0}{lim}{𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q^a}\right]$ (2.19)

$={𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right],$

حيث في التوقعات الأخيرة تكون الشروط الحدية $+$ حول ${[0,L_k]}^2$، ومن ثم فهي أبعد عن المجال $Q=Q_{L_k}$.

لإنهاء برهان اللمّة 2.12 ما زلنا نحتاج إلى مقارنة ${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right]$ بـ ${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L}\right]$. ويتم ذلك باللمّة الآتية.

لمّة 2.16.

توجد دالة $\eta (x)>0$ تحقق $\eta (x)\to 0$ عندما $x\to 0$، وبحيث لأي $ϵ=2^{-k_0}$، يكون لدينا، بالترميز أعلاه،

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right]\ge \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]-\eta (ϵ).$$ (2.20)

برهان:

كما في برهان اللمّة 2.11، وبتقسيم ${[0,L_k]}^2$ كما أعلاه، لدينا

${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]$ $={𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q+t{m}_A}\right]$ (2.21)

$\le {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right]{𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_{2^{k-k_0}}}\right]}^{4(2^{k_0}-1)},$ (2.22)

حيث، كما أعلاه، يقصد بالشروط الحدية في التوقع ${𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right]$ أن تكون حول المربع الأكبر ${[0,L_k]}^2$. والآن، لدينا

${\displaystyle \frac{1}{L_k^2}}\log {𝔼}^{+}{\left[e^{t{m}_{2^{k-k_0}}}\right]}^{4(2^{k_0}-1)}$ $={\displaystyle \frac{4(2^{k_0}-1)}{2^{2k_0}}}{\displaystyle \frac{1}{2^{2(k-k_0)}}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_{2^{k-k_0}}}\right]$ (2.23)

$\le 4ϵf_{L_{k-k_0}}^{+}(t).$ (2.24)

بترك $k\to \mathrm{\infty }$، نحصل على

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_Q}\right]\ge f^{+}(t)-4ϵf^{+}(t).$$ (2.25)

وهذا ينهي برهان اللمّة 2.16. ∎

لإنهاء برهان اللمّة 2.12، ندخل (2.25) في  (2.18) ونحصل، باستعمال (2.19)،

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]\ge f^{+}(t)-4ϵf^{+}(t),$$

لأي قيمة لـ $ϵ=2^{-k_0}>0$. ومن ثم لدينا أن

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]\ge f^{+}(t),$$ (2.26)

وهذا يستلزم إذن

$$f^{\mathrm{free}}(t)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{\mathrm{free}}\left[e^{t{m}_{L_k}}\right]=f^{+}(t).$$ (2.27)

∎

برهان اللمّة 2.13:

كما في برهان القضية 2.2، وباستعمال تغاير التحجيم المعطى في القضية 2.6، لدينا لأي $L>0$ وأي $t>0$، ولنفترض مثلا شروطا حدية $+$،

$$t{m}_L\stackrel{(d)}{=}{m}_{L{t}^{8/15}}.$$

وهذا يستلزم

$f(t)=f^{+}(t)$ $=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{t{m}_L}\right]$

$=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{L^2}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{m_{L{t}^{8/15}}}\right]$

$=t^{16/15}\underset{\overline{L}\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{{\overline{L}}^2}}\log {𝔼}^{+}\left[e^{m_{\overline{L}}}\right]$

$=f(1)t^{16/15}.$

لإنهاء برهان اللمّة عندما $t>0$، يبقى أن نثبت أن الكمية (مع $L_k=2^k$)

$$f(1)=f^{+}(1)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{L_k^2}\log {𝔼}^{+}\left[e^{m_{L_k}}\right]$$

موجبة تماما.

لرؤية ذلك، لنرمز أولا بـ $M_L$ إلى المغنطة ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}(1_{{[0,L]}^2})$ في ${[0,L]}^2$ للحقل على المستوي كله ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}$. وبحسب نتائج [CGN12a]، لأي $L\in (0,\mathrm{\infty })$، يكون لـ $M_L$ وسط صفري وتباين في $(0,\mathrm{\infty })$. ثم ببضع استعمالات لمتباينات FKG، لدينا

${𝔼}^{+}\left[e^{m_{2^k}}\right]$ $\ge {𝔼}^{}\left[e^{M_{2^k}}\right]$

$\ge {({𝔼}^{}\left[e^{M_1}\right])}^{L_k^2}$

$\ge {(1+{𝔼}^{}\left[M_1^{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}\right])}^{L_k^2},$

ومن ثم $f^{+}(1)\ge \log (1+{𝔼}^{}\left[M_1^{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}\right])>\mathrm{\hspace{0.17em}0}$. ∎

3 تحليلية دالة الكثافة الاحتمالية لـ $m$

في هذا القسم سنثبت المبرهنة 1.3. أولا، من التقارب في القانون لـ $m^a$ نحو $m$، لدينا عندما $a\to 0$:

${𝔼}^{\xi }\left[e^{it{m}^a}\right]\to {𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right].$ (3.1)

ومن ثم يكفي إثبات وجود ثابت $c>0$ بحيث، لأي $t\in ℝ$،

$$\underset{a\to 0}{lim\; sup}|{𝔼}^{\xi }\left[e^{it{m}^a}\right]|\le e^{-c{|t|}^{\frac{16}{15}}}.$$

لإثبات ذلك، سنعتمد على تمثيل FK لنموذج إيزنغ في $a{\mathbb{Z}}^2\cap {[0,1]}^2$ المزوّد بشروطه الحدية $\xi \in \{+,-,\mathrm{free}\}$. لنفترض أن $\xi =+$. (حالة الشروط الحدية الحرة أسهل حتى). نستطيع أن نكتب

$|{𝔼}^{+}\left[e^{it{m}^a}\right]|$ $=|{𝔼}^{\mathrm{FK}}\left[e^{it{𝒜}^{+}}{\displaystyle \prod _{C_i}}{\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{it{𝒜}_i}+e^{-it{𝒜}_i})\right]|$

$=|{𝔼}^{\mathrm{FK}}\left[e^{it{𝒜}^{+}}{\displaystyle \prod _{C_i}}\cos t{𝒜}_i\right]|,$ (3.2)

حيث يرمز ${\{C_i\}}_i$ إلى مجموعة العناقيد التي لا تقاطع الحد، و$C^{+}$ هو العنقود الذي يقاطع الحد. علاوة على ذلك، نجعل ${𝒜}_i={𝒜}_i^a={𝒜}_i^a(C_i)$ يدل على المساحات المعاد تطبيعها للعنقود $C_i$، و${𝒜}^{+}$ على المساحة المعاد تطبيعها للعنقود $C^{+}$. واستراتيجيتنا، للحصول على حد علوي لـ (3)، هي أن نثبت أنه باحتمال عال توجد عناقيد كثيرة في ${\{C_i\}}_i$ ذات مساحة معاد تطبيعها من رتبة $1/t$.

سنعتمد على اللمّة الآتية:

لمّة 3.1.

توجد ثوابت $c\in (0,1)$ و $M>1$ بحيث لأي وأي مربع $ϵ$- $Q$ داخل ${[0,1]}^2$، بانتظام عندما $a\to 0$، وبانتظام على تشكيل FK خارج $Q$، وباحتمال (شرطي) لا يقل عن $c>0$، يمكن إيجاد عنقود FK واحد على الأقل $C$ داخل $Q$ لا يقاطع $\partial Q$ وتكون مساحته المعاد تطبيعها واقعة في المجال $[{ϵ}^{15/8}/M,M{ϵ}^{15/8}]$.

برهان:

ليكن $Q$ مربعا من نوع $ϵ$ داخل ${[0,1]}^2$، ولتكن ${\omega }_a$ أي تشكيل FK خارج $Q$. لتكن $A_1$ هي الحلقة $Q\setminus 7/8Q$، و$A_2$ الحلقة $7/8Q\setminus 3/4Q$، و$A_3$ الحلقة $3/4Q\setminus 1/2Q$. لنعرّف الأحداث الآتية: ليكن $D_1$ الحدث القائل بوجود دارة ثنائية في الحلقة $A_1$، ولتكن $O_2$ و $O_3$ الحدثين القائلين بوجود دارة مفتوحة حول كل من الحلقتين $A_2$ و $A_3$. باستعمال مبرهنة RSW من [DCHN11] لشرط حدي حر، يوجد ثابت $b>0$ بحيث بانتظام على التشكيل الخارجي ${\omega }_a$، يكون لدينا

${\mathbb{P}}^{+}[D_1,O_2,O_3|{\omega }_a]>b.$ (3.3)

والآن ليكن $X=X_a$ عدد النقاط في $a{\mathbb{Z}}^2\cap 1/2Q$ المتصلة بواسطة ذراع مفتوحة إلى $\partial (\frac{3}{4}Q)$. وباستعمال حسابات مشابهة لما في القضية B.2 من [CGN12a] أو في اللمّة 3.1. في [CGN12b]، يمكن إيجاد ثابت $C>0$ بحيث

$\{\begin{array}{cc}{𝔼}^{+}\left[X_a\right|D_1,O_2,O_3,{\omega }_a]\ge {(ϵ/a)}^{15/8}/C\hfill & \\ {𝔼}^{+}\left[X_a^2\right|D_1,O_2,O_3,{\omega }_a]\le C{(ϵ/a)}^{15/4}.\hfill & \end{array}$ (3.4)

بحجة عزم ثان معيارية، وباستعمال حقيقة أن كل النقاط المعدودة في $X_a$ تنتمي إلى العنقود نفسه (بفضل $O_3$)، نحصل على أنه باحتمال شرطي موجب يمكن إيجاد عنقود $C$ لا يقاطع $\partial Q$ وتكون كتلته المعاد تطبيعها أكبر من $1/M{ϵ}^{15/8}$. (لاحظ أن الحدث $O_2$ موجود لضمان بعض المعلومات الموجبة داخل $3/4Q$.)

يبقى إثبات حد علوي. وبالطريقة نفسها التي يكون بها $X_a$ أصغر من العدد الفعلي للنقاط في العنقود المفتوح الذي نهتم به، يمكن أيضا تعريف ${\tilde{X}}_a$ بأنه عدد النقاط داخل المربع كله $Q$ المتصلة بالحد $\partial (3/4Q)$. هذا المتغير العشوائي يهيمن على حجم العنقود الذي نهتم به. ويكفي ضبط توقعه، ومن السهل أن نرى أنه، لثابت مختار بعناية $C>0$، لدينا

${𝔼}^{+}\left[{\tilde{X}}_a\right|{\omega }_a]$ $\le {𝔼}^{+}\left[{\tilde{X}}_a\right|\mathrm{wired}\partial Q]$

$\le C{(ϵ/a)}^{15/8}.$

بما أن ${\mathbb{P}}^{+}[D_1,O_2,O_3|{\omega }_a]>b$، فإن هذا يستلزم

${\mathbb{P}}^{+}[{\tilde{X}}_a\ge M{(ϵ/a)}^{15/8}|D_1,O_2,O_3,{\omega }_a]\le {\displaystyle \frac{1}{M}}{\displaystyle \frac{C}{b}}.$

وباختيار $M$ كبيرا بما يكفي (بحيث لا تجمع احتمالات الحدين الشرطية السفلى والعليا إلى مقدار أكبر من واحد)، ننهي برهان اللمّة. ∎

برهان المبرهنة 1.3:

لأي $|t|>100$، اختر $ϵ={ϵ}_t$ بحيث $M{ϵ}^{15/8}=\frac{1}{|t|}$ (نستعمل الثوابت من اللمّة 3.1). استعمل تبليطا للمربع ${[0,1]}^2$ بحيث تكون لدينا $\frac{1}{2}{ϵ}^{-2}$ مربعات $ϵ$- منفصلة $Q$. تذكر من تلك اللمّة أنه لكل مربع كهذا $Q$، فإن احتمال أن يكون لدينا عنقود داخل $Q$ بمساحة معاد تطبيعها في $[(1/M){ϵ}^{15/8},M{ϵ}^{15/8}]$ أكبر من $c>0$ بانتظام على ما قد يحدث خارج $Q$. ومن ثم نتوقع أن نحو $\frac{c}{2}{ϵ}^{-2}$ مربعات على الأقل $Q$ ستحتوي على عنقود من هذا النوع. ليكن $G$ الحدث القائل بأن ما لا يقل عن $\frac{c}{4}{ϵ}^{-2}$ مربعات $Q$ لها عنقود بمساحة معاد تطبيعها في $[(1/M){ϵ}^{15/8},M{ϵ}^{15/8}]$. عندئذ، بمتباينة هوفدنغ الكلاسيكية، لدينا أن

${\mathbb{P}}^{+}\left[G^c\right]\le e^{-d{ϵ}_t^{-2}}=e^{-d{M}^{16/15}{|t|}^{16/15}},$ (3.5)

لبعض ثابت كوني $d>0$. والآن، على الحدث $G$، لدينا

$|e^{it{𝒜}^{+}}{\displaystyle \prod _{C_i}}\cos t{𝒜}_i|$ $\le {[\cos 1/M^2]}^{(c/4){ϵ}_t^{-2}}$

$={[\cos 1/M^2]}^{(c/4)M^{16/15}{|t|}^{16/15}}$

$\le e^{-\tilde{c}{|t|}^{16/15}},$

لبعض ثابت مختار بعناية $\tilde{c}>0$. وبجمع التقدير أعلاه مع المعادلتين (3) و (3.5)، ننهي إذن برهان المبرهنة 1.3 بقيمة ربما أصغر لـ $\tilde{c}>0$ (بسبب ${\mathbb{P}}^{+}\left[G^c\right]$ وكذلك بسبب المنطقة $|t|\in [0,100]$). ∎

ملاحظة 3.2.

كما اقترح بعد المبرهنة 1.3، ينبغي أن يكون بالإمكان تمديد البرهان أعلاه إلى أي شروط حدية تقريبا $\xi$ (مع القيد الوحيد المتمثل في إمكانية إثبات نتيجة حد تحجيم لـ $m^a$ كما في [CGN12a]). فعلى سبيل المثال، إذا كان $\xi$ مؤلفا من تركيب منته من أقواس $+,-,\mathrm{free}$، فهذا يعالج في [CGN12a]. وفي هذه الحالة الأخيرة، يعتمد المرء على التمديد الآتي لـ (3):

$|{𝔼}^{\xi }\left[e^{it{m}^a}\right]|$ $=|{𝔼}^{\mathrm{FK},\xi }\left[{\displaystyle \prod _{C_i}}{\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{it{𝒜}_i}-e^{-it{𝒜}_i}){\displaystyle \prod _{C_k^{+}}}{e}^{it{𝒜}_k}{\displaystyle \prod _{C_l^{-}}}{e}^{-it{𝒜}_l}\right]|$

$\le {𝔼}^{\mathrm{FK},\xi }\left[{\displaystyle \prod _{C_i}}|\cos t{𝒜}_i|\right].$

تكمن الصعوبة الإضافية عندما يكون $\xi$ شرطا حديا عاما في تمثيل FK لنموذج إيزنغ المرتبط. ففي الواقع، تولد الشروط الحدية العامة معلومات سالبة في الحجم (بما أن تشكيل FK أصبح الآن مشروطا بفصل أقواس $+$ و $-$). لكن يمكن أن نرى من البرهان أعلاه أن المعلومات السالبة تجعل اللمّة 3.1 في الواقع أكثر احتمالا. فهي تجعل حدث $D_1$، أي وجود عبور ثنائي في الحلقة $A_1$، أكثر احتمالا.

ملاحظة 3.3.

نلاحظ أن $\log |{𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right]|$ لا يمكن أن يتصرف مثل $-{|t|}^{\frac{16}{15}}$ عندما $t\to \mathrm{\infty }$، لأنه، بمبرهنة لي-يانغ، فإن ${𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right]$، بوصفها دالة في $t$ عقدي، لها عدد لا نهائي من الأصفار، وكلها حقيقية صرفة. ومن ثم لا بد أن يتباعد $\log |{𝔼}^{\xi }\left[e^{itm}\right]|$ إلى $-\mathrm{\infty }$ عند متتالية لا نهائية من قيم $t$ حقيقية (أي عند الأصفار) تميل إلى $\mathrm{\infty }$.

4 حقول المغنطة شبه الحرجة

نبدأ بإثبات القضية 1.5.

برهان القضية 1.5:

لنفترض أن الشرط الحدي $\xi$ هو $+$ على طول $\partial \mathrm{\Omega }$ (وتعالج حالة الشروط الحدية الحرة بالطريقة نفسها). يمكن النظر إلى نموذج إيزنغ ذي الحقل الخارجي $h_a:=h{a}^{15/8}$ على أنه مجرد تغيير للقياس بالنسبة إلى نموذج إيزنغ بلا حقل خارجي. وبوجه خاص، لدينا لأي حقل $\mathrm{\Phi }$:

$\mathbb{P}\left[{\mathrm{\Phi }}^{a,h}=\mathrm{\Phi }\right]={\displaystyle \frac{e^{h⟨\mathrm{\Phi },1_{\mathrm{\Omega }}⟩}}{𝔼\left[e^{h⟨{\mathrm{\Phi }}^a,1_{\mathrm{\Omega }}⟩}\right]}}\mathbb{P}\left[{\mathrm{\Phi }}^{a,h=0}=\mathrm{\Phi }\right].$

أو، مكتوبا بدلالة مشتقة رادون-نيكوديم، لدينا

${\displaystyle \frac{d{\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{a,h}}{d{\mu }_{\mathrm{\Omega }}^a}}(\mathrm{\Phi })={\displaystyle \frac{e^{h⟨\mathrm{\Phi },1_{\mathrm{\Omega }}⟩}}{𝔼\left[e^{h⟨{\mathrm{\Phi }}^a,1_{\mathrm{\Omega }}⟩}\right]}}={\displaystyle \frac{e^{h⟨\mathrm{\Phi },1_{\mathrm{\Omega }}⟩}}{{\mu }_{\mathrm{\Omega }}^a\left[e^{h⟨\mathrm{\Phi },1_{\mathrm{\Omega }}⟩}\right]}},$

حيث يرمز ${\mu }^{a,h}$ و ${\mu }^a$ على التوالي إلى قانوني ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^{a,h}$ و ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{\Omega }}^a$. والآن ليس من الصعب التحقق، باستعمال حقيقة أن لـ ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }}\sim {\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$ عزوما أسية (القضية 2.1)، أن ${\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{a,h}$ يتقارب ضعيفا لطوبولوجيا ${\mathscr{H}}^{-3}(\mathrm{\Omega })$ إلى القياس ${\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty },h}$، وهو قياس مطلق الاستمرار بالنسبة إلى ${\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}$، وتعطى مشتقة رادون-نيكوديم له بـ

${\displaystyle \frac{d{\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty },h}}{d{\mu }_{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\infty }}}}(\mathrm{\Phi })={\displaystyle \frac{e^{h⟨\mathrm{\Phi },1_{\mathrm{\Omega }}⟩}}{𝔼\left[e^{h⟨{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\infty }},1_{\mathrm{\Omega }}⟩}\right]}}.$

نحيل إلى الملحق A من [CGN12a] للاطلاع على تفاصيل الإعداد الطوبولوجي المستعمل هنا (${\mathscr{H}}^{-3}$). ∎

نريد الآن إثبات المبرهنة 1.4. وهي مبنية على اللمّة أدناه مع القضية 1.5. فيما يأتي، لكل $L\in \mathbb{N}$، سنرمز بـ ${\mathrm{\Lambda }}_L$ إلى المجال ${[-2^L,2^L]}^2$.

لمّة 4.1.

لأي $\alpha >0$، يوجد $L=L(h,\alpha )\in \mathbb{N}$ كبير بما يكفي بحيث، بانتظام في ، يمكن إيجاد اقتران لـ ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{a,h}$ مع ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{a,h}$ يحقق

حيث يعرف $\parallel \cdot {\parallel }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}}$ بواسطة

${\Vert h\Vert }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}}:={\displaystyle \sum _{k\ge 1}}{\displaystyle \frac{1}{2^k}}\left({\Vert h_{|{\mathrm{\Lambda }}_k}\Vert }_{{\mathscr{H}}_{{\mathrm{\Lambda }}_k}^{-3}}\wedge 1\right).$

ملاحظة 4.2.

من السهل التحقق من أن المسافة المعرفة في اللمّة 4.1 تستحث الطوبولوجيا نفسها على ${\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}$ التي أدخلت في الملحق A من [CGN12a].

برهان اللمّة 4.1: ليكن $L_1\in \mathbb{N}$ بحيث (ستحدد قيمته لاحقا، وتعتمد أيضا على قيمة $h>0$). نريد إيجاد $L_2\gg L_1$ ما بحيث يمكن اقتران الحقلين ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_{L_2}}^{a,h}$ و ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{a,h}$ بطريقة تجعلهما، باحتمال لا يقل عن $1-\alpha$، متطابقين عند تقييدهما بالمجال الجزئي ${\mathrm{\Lambda }}_{L_1}$. وبتعريف $\parallel \cdot {\parallel }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}}$، سيستلزم هذا بوضوح نتيجتنا مع $L=L_2$.

سيبنى الاقتران على نحو مشابه لما في [GPS13] و [CGN12a]. وسنستعمل أيضا تمثيل FK برأس شبح كما استعمل في [CGN12b] (انظر أيضا مثلا [Gr67]). نحيل إلى [CGN12b] لمزيد من التفاصيل حول هذا التمثيل. وبما أن البرهان أدناه سيتبع عن كثب برهان الحد الأدنى المعطى في القسم 3 من [CGN12b]، فلن نعطي التفاصيل الكاملة هنا.

باتباع ترميز [CGN12b]، لتكن ${\overline{\omega }}_{ℂ}^{a,h}=({\omega }_{ℂ}^{a,h},{\tau }_{ℂ}^{a,h})$ و ${\overline{\omega }}_{L_2}^{a,h}=({\omega }_{L_2}^{a,h},{\tau }_{L_2}^{a,h})$ على التوالي تمثيلي FK لنموذج إيزنغ ذي الحقل الخارجي $h>0$ على $a{\mathbb{Z}}^2$ وعلى $a{\mathbb{Z}}^2\cap {\mathrm{\Lambda }}_{L_2}$ مع شروط حدية $+$. هذه التشكيلات هي تشكيلات ترشيح FK على البيان $a{\mathbb{Z}}^2\cup \{𝐠\}$، ويميز الترميز $\overline{\omega }=(\omega ,\tau )$ بين أضلاع أقرب الجيران في $a{\mathbb{Z}}^2$ ($\omega$) والأضلاع من النمط $⟨x,𝐠⟩$، مع $x\in a{\mathbb{Z}}^2$ ($\tau$). علاوة على ذلك، من السهل التحقق من أن ${\omega }_{L_2}^{a,h}$ تهيمن عشوائيا على ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$. لنقسم الحلقة $A_{L_1,L_2}$ إلى حلقات منفصلة بنسبة 4: أي $A_1:=A_{4^{-1}{L}_2,L_2},A_2:=A_{4^{-2}{L}_2,4^{-1}{L}_2}$ وهكذا. وبذلك يكون لدينا نحو ${\log }_4(L_2/L_1)$ حلقات. كما في [CGN12a]، سنستكشف التشكيلين «إلى الداخل» مع الحفاظ على الرتابة ${\omega }_{ℂ}\preccurlyeq {\omega }_{L_2}$ ومحاولة إيجاد دارة مطابقة $\gamma$ في كل حلقة باحتمال موجب. وكما في [CGN12a]، فإن المكون الرئيسي للاقتران هو مبرهنة RSW من [DCHN11]. والفرق في وضعنا الحالي هو أن على المرء أن يتعامل أيضا مع تأثير الرأس الشبح $𝐠$. وبوجه خاص، فإن إيجاد دارة مطابقة $\gamma$ لا يكفي إذا أراد المرء الادعاء بأن القانون الشرطي «داخل» $\gamma$ هو نفسه: إذ يجب أيضا التأكد من أن الدارة $\gamma$ متصلة في كلا التشكيلين بالرأس الشبح $𝐠$.

نتابع كما يأتي. افترض أننا لم ننجح في اقتران التشكيلين في الحلقات الأولى $i-1$، أي $A_1,\mathrm{\dots },A_{i-1}$، وانظر إلى الحلقة $i^{th}$ رقم $A_i=A_{4^{-i}{L}_2,4^{-(i-1)L_2}}$. عند هذه النقطة، تكون التشكيلات قد استكشفت في كل مكان باستثناء داخل الحد الخارجي لـ $A_i$، و${\omega }_{L_2}^{a,h}$ تهيمن على ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$. داخل الحلقة $A_i$، سنميز 3 حلقات جزئية: $B_1=A_{{3.4}^{-i},4^{-i+1}}$، $B_2=A_{{2.4}^{-i},{3.4}^{-i}}$ و$B_3=A_{4^{-i},{2.4}^{-i}}$. ومن مبرهنة RSW في [DCHN11]، توجد دارات مفتوحة في ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ (ومن ثم ${\omega }_{L_2}^{a,h})$) باحتمال موجب $c>0$ في كل من $B_1,B_2,B_3$. ويرجع ذلك إلى أن ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ تهيمن على تشكيل FK حرج ذي حقل مغناطيسي صفري وبشروط حدية موصولة على طول ${\partial }_1{A}_i$ (انظر القسم 3 في [CGN12b]). علاوة على ذلك، وبسبب المعلومات الموجبة داخل $B_2$ (بفضل الدارات المفتوحة في كل من $B_1$ و $B_3$)، من السهل تمديد التقنيات المستعملة لإثبات اللمّة 3.1. في [CGN12b] (أي حجة عزم ثان مناسبة) لإظهار أنه باحتمال موجب $c>0$، توجد على الأقل $c{(4^{-i}{L}_2/a)}^{15/8}$ نقطة داخل $B_2$ متصلة في ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ بالدارة المفتوحة «الخارجية القصوى» $\gamma$ للتشكيل ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ في الحلقة $B_3$. وبما أن ${(4^{-i}{L}_2)}^{15/8}\ge {(L_1)}^{15/8}$، فإن البرهان نفسه تماما كما في اللمّة 3.2 من [CGN12a] يبين أنه إذا اختير $L_1$ كبيرا بما يكفي (اعتمادا على $h$)، فعند الاشتراط على الحدث أعلاه المتمثل في وجود ما لا يقل عن $c{(4^{-i}{L}_2/a)}^{15/8}$ نقطة متصلة بـ $\gamma$، وباحتمال شرطي لا يقل عن 1/2، فإن العنقود المحتوي على $\gamma$ سيكون متصلا بالرأس الشبح $𝐠$ للتشكيل ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ (ومن ثم لـ ${\omega }_{L_2}^{a,h}$ أيضا). وما إن تكون لدى ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$ و${\omega }_{L_2}^{a,h}$ دارة مطابقة $\gamma$ متصلة بـ $𝐠$، حتى يمكن أخذ عينات من بقية التشكيلات بحيث تتطابق «داخل» الدارة $\gamma$. (كما في [CGN12a]، تقاد عملية الاستكشاف بواسطة ${\omega }_{ℂ}^{a,h}$.) وللختم، نختار $L_1$ بحيث يحقق القيدين اللذين نوقشا أعلاه (أي والقيد المتعلق بـ $h>0$). وهذا يعطينا احتمالا موجبا معينا $c>0$ لاقتران التشكيلين في أي حلقة $A_{4^{-1}L,L}$، $L\ge L_1$. ثم يكتمل البرهان باختيار $L=L(h,\alpha )=L_2$ بحيث . ∎

برهان المبرهنة 1.4:

بحسب القضية 1.5، لأي $L\in \mathbb{N}$، لدينا أن ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{a,h}$ يتقارب في القانون إلى ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{\mathrm{\infty },h}$ في ${\mathscr{H}}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{-3}$. ومن السهل التحقق من أن هذا التقارب في القانون يصح أيضا في الفضاء $({\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3},\parallel \cdot {\parallel }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}})$. وبما أن هذا الفضاء الأخير بولندي، فإنه لأي $\alpha >0$، يوجد $a_0=a_0(\alpha )>0$ بحيث، لأي ، يمكن اقتران ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{a,h}$ مع ${\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{\mathrm{\infty },h}$ بحيث

وباستخدام هذه الحقيقة مع اللمّة 4.1 وحقيقة أن $({\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3},\parallel \cdot {\parallel }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}})$ بولندي، نحصل بسهولة على أن ${\{{\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{\mathrm{\infty },h}\}}_{L\in \mathbb{N}}$ يتقارب في القانون في ${\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}$ عندما $L\to \mathrm{\infty }$ إلى حقل حدي ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{\mathrm{\infty },h}$. وبعد أن عرفنا حقلنا العشوائي الحدي، وللخلوص إلى تقارب ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{a,h}$ في القانون إلى هذا الحقل الحدي، نتبع الطريقة نفسها: لأي $ϵ>0$، يمكن إيجاد $a_0>0$ صغير بما يكفي بحيث لأي ، يوجد اقتران مشترك $({\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{a,h},{\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{a,h},{\mathrm{\Phi }}_{{\mathrm{\Lambda }}_L}^{\mathrm{\infty },h},{\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{\mathrm{\infty },h})$ تكون معه جميع الحقول قريبة بمقدار $ϵ$ بعضها من بعض (لـ $\parallel \cdot {\parallel }_{{\mathscr{H}}_{ℂ}^{-3}}$) باحتمال لا يقل عن $1-ϵ$. وهذا يثبت تقارب ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{a,h}$ في القانون إلى ${\mathrm{\Phi }}_{ℂ}^{\mathrm{\infty },h}$.

∎

Federico Camia
Department of Mathematics, Vrije Universiteit Amsterdam and NYU Abu Dhabi.
دعم البحث جزئيا بمنحة NWO Vidi رقم 639.032.916

Christophe Garban
ENS Lyon, CNRS
http://perso.ens-lyon.fr/christophe.garban/
مدعوم جزئيا بمنحة ANR MAC2 10-BLAN-0123

Charles M. Newman
Courant institute of Mathematical Sciences,
New York University, New York, NY 10012, USA
دعم البحث جزئيا بمنح NSF OISE-0730136 و MPS-1007524