الدوران الريماني في الهندسة التلامسية

الملخص

ندرس متشعباً تلامسياً مزوداً بمترية شبه ريمانية، ونعرّف حقلاً متجهياً تلامسياً مرتبطاً جوهرياً بهذا الزوج من البنى. ونسمي هذا الثابت التفاضلي الجديد الدوران الريماني التلامسي. على المتشعب الريماني، تكون حقول كيلينغ المتجهية هي الحقول التي تعدم المترية؛ وتُستحصل صيغة كيلينغ $1$ من حقل كيلينغ متجهي بخفض المؤشرات. نبيّن أن الدوران الريماني التلامسي ينعدم إذا كانت المترية ذات انحناء ثابت وكانت البنية التلامسية معرّفة بصيغة كيلينغ $1$. ونبيّن أيضاً أن للدوران الريماني التلامسي شبهاً قوياً بمشتقة شفارتز، إذ إنه يعتمد فقط على فئة التكافؤ الإسقاطي للمترية. أما بالنسبة إلى مؤثر لابلاس-بلترامي على متشعب تلامسي، فإن الدوران الريماني التلامسي يتناسب مع الرمز التحتي المعرّف في arXiv:1205.6562. ونبيّن كذلك أن الدوران الريماني التلامسي ينعدم على حزمة (تمام) المماس فوق متشعب ريماني. وهذا يقتضي أن الرمز التحتي المقابل لمؤثر لابلاس-بلترامي يساوي الصفر تماثلياً.

1. مقدمة

يرتبط الموضوع الرئيسي لهذه الورقة بمفهوم المؤثر التفاضلي الثابت، أي المؤثر الذي يتبادل مع فعل زمرة التشاكلات التفاضلية. ويُعد مفهوم الثابت التفاضلي من أقدم مفاهيم الهندسة التفاضلية. ولعل أشهر مثال عليه هو الانحناء بمختلف صيغه. وقد بدأ الموضوع الذي يندرج فيه هذا العمل على يد Veblen [Veb22]، إذ شرع في دراسة منهجية للمؤثرات التفاضلية الثابتة على المتشعبات الملساء. ودُرست النظرية بكثافة في 80 في سياق كوهومولوجيا Gelfand-Fuchs؛ انظر [Fu86, GLS02] والمراجع الواردة هناك.

ننظر في متشعب أملس $M$ مزود في آن واحد ببنية تلامسية ومترية شبه ريمانية. ونقدّم إنشاءً لحقل متجهي تلامسي يقابل هاتين البنيتين؛ ونسمي هذا الحقل المتجهي الدوران الريماني التلامسي. إن إنشاءنا مستقل عن الإحداثيات وثابت بالنسبة إلى فعل زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية، أي إن الدوران الريماني التلامسي ثابت تفاضلي. وفوق ذلك، فإن غايتنا هي تعريف هذا الثابت التفاضلي بطريقة «أكثر تناظراً»، بحيث يكون ثابتاً أيضاً بالنسبة إلى علاقات التكافؤ الطبيعية.

إحدى علاقات التكافؤ التي نأخذها في الاعتبار هي الآتية. تسمى متريتان متكافئتين إسقاطياً (أو متكافئتين جيوديسياً) إذا كان لهما الجيوديسيات نفسها غير المعلّمة. وبعبارة أخرى، تكون اتصالاهما من نوع ليفي-تشيفيتا متكافئين إسقاطياً. ويتبيّن أن الدوران الريماني التلامسي المنشأ يُحصَل عليه بانكماش المترية مع حقل تنسوري معيّن ثابت بالنسبة إلى علاقة التكافؤ هذه. ويقتضي ذلك، على وجه الخصوص، أن الدوران الريماني التلامسي للزوج (مترية ذات انحناء سلمي ثابت، وبنية تلامسية معرّفة بصيغة كيلينغ $1$) ينعدم. إن الثبات الإسقاطي يجعل مفهوم الدوران الريماني التلامسي قريباً جداً من مفهوم مشتقة شفارتز الكلاسيكية (وللتعميمات المتعددة الأبعاد المختلفة لمشتقة شفارتز انظر [BO00, OT05, B06, OT09] والمراجع الواردة هناك). وسندرس هذه العلاقة بمزيد من التفصيل.

ومن بين الخواص الأساسية للدوران الريماني التلامسي التي نبحثها علاقته بمؤثر لابلاس-بلترامي. فقد دُرست المؤثرات التفاضلية على المتشعبات التلامسية من وجهة نظر هندسية في عمل حديث [CO12]، حيث أُدخل مفهوم الرمز التحتي لمؤثر تفاضلي على متشعب تلامسي. والرمز التحتي لمؤثر تفاضلي هو حقل تنسوري درجته أدنى من درجة الرمز الرئيسي. ونلاحظ أن الرمز التحتي لا يكون معرّفاً تعريفاً حسناً على متشعب اعتباطي؛ إذ لا بد من وجود بنية تلامسية للحصول على تعريف ثابت. ولمؤثر تفاضلي معطى من الرتبة الثانية، يكون الرمز التحتي مجرد حقل متجهي تلامسي. في هذه الورقة، ندرس مؤثر لابلاس-بلترامي المرتبط بمترية اعتباطية على متشعب تلامسي ونحسب رمزه التحتي. ويتبيّن أن هذا الرمز التحتي يتناسب مع الدوران الريماني التلامسي.

كما نطبّق إنشاءنا العام على مثال ذي أهمية خاصة لمتشعب يملك بنى طبيعية تلامسية وريمانية، وهو حزمة التمامس الكروية (أو المسقطة) $S{T}^{\ast }M$ فوق متشعب ريماني $(M,g)$. ويكون المتشعب $S{T}^{\ast }M$ مزوداً بالرفع القانوني للمترية $g$. ونبيّن أن الدوران الريماني التلامسي، ومن ثم الرمز التحتي لمؤثر لابلاس-بلترامي، ينعدم تماثلياً في هذه الحالة. ونشير إلى أن إسقاط حزمة التمامس فوق متشعب ريماني $M$، وكذلك حزمة الكرات $S{T}^{\ast }M$، مثال على متشعب «حقيقي-مركب» أُدخلت ثوابته المحلية وحُسبت حديثاً في [BGLS12].

وفي نهاية الورقة، نقدّم عدة أمثلة ملموسة على الدورانات الريمانية التلامسية. فعلى سبيل المثال، نحسبه من أجل الإهليلج $3\mathrm{D}$ المزود بالمترية المطابقة للمسطحة التي أُدخلت في [Tab99] واستُعملت بكثافة في [MT01, DV11].

ونعتقد أن الثوابت التفاضلية للزوج (مترية ريمانية، بنية تلامسية) جديرة بدراسة منهجية.

2. الهندسة التلامسية والحقول التنسورية

الهندسة التلامسية موضوع كلاسيكي قديم، ويمكن النظر إليها بوصفها النسخة الفردية البعد من الهندسة السيمبلكتية. لتكن $M$ متشعباً تلامسياً ولتكن $dim(M)=2\mathrm{\ell }+1$؛ وسنفترض دائماً أن $\mathrm{\ell }\ge 1$. وخلافاً للبنية السيمبلكتية في الهندسة السيمبلكتية، فإن البنية التلامسية على $M$ تُعرّف بصيغة تفاضلية $1$ هي $\theta$، تسمى صيغة تلامسية، وتُحدد حتى الضرب بعامل (دالة)، وبحيث تكون $d\theta$ صيغة $2$ من الرتبة $2\mathrm{\ell }$. ومن المهم أن الصيغة التلامسية ليست مرتبطة جوهرياً بالبنية التلامسية.

التشاكل التفاضلي التلامسي (والحقل المتجهي التلامسي) هو تشاكل تفاضلي (وحقل متجهي) يحافظ على البنية التلامسية. وهو يحافظ على صيغة تلامسية معطاة حفظاً مطابقاً، أي حتى الضرب بعامل. ويمكن مطابقة فضاء جميع الحقول المتجهية التلامسية مع فضاء الدوال الملساء، غير أن هذه المطابقة تعتمد على اختيار صيغة تلامسية؛ انظر [Arn89].

في هذا القسم، نستذكر عدة حقائق معيارية من الهندسة التلامسية، هي حقائق البنية التلامسية والحقول المتجهية التلامسية، باستخدام ترميز غير مألوف إلى حد ما من [OT05, Ovs06]، وهو من مراجعنا الأساسية. ونبيّن أن البنية التلامسية يمكن أيضاً وصفها بحقل تنسوري خاص، هو صيغة تلامسية موزونة. والحقول المتجهية التلامسية تقابل تقابلاً واحداً لواحد الكثافات الموزونة ذات الوزن $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$.

2.1. الكثافات الموزونة

الكثافة الموزونة كائن معياري في الهندسة التفاضلية. ولجعل التعريفات جوهرية، نستذكر هذا المفهوم هنا.

ليكن $M$ متشعباً ذا بعد $n$. ولأي $\lambda \in ℝ$ نرمز بـ ${({\mathrm{\Lambda }}^n{T}^{\ast }M)}^{\otimes \lambda }$ إلى الحزمة الخطية للدوال المتجانسة ذات القيم العقدية والوزن $\lambda$ على حزمة المحدد ${\mathrm{\Lambda }}^{n}TM$. ويسمى الفضاء ${ℱ}_{\lambda }(M)$ للمقاطع الملساء من ${({\mathrm{\Lambda }}^n{T}^{\ast }M)}^{\otimes \lambda }$ ذات المعاملات العقدية فضاء الكثافات الموزونة ذات الوزن $\lambda$، (أو الكثافات من النوع $\lambda$ اختصاراً).

مثال 2.1.1.

إذا كان المتشعب $M$ قابلاً للتوجيه، وكانت $\omega$ صيغة حجم ذات معاملات ثابتة، فإن $\varphi {\omega }^{\lambda }$، حيث $\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}(M)$، كثافة من الوزن $\lambda$.

للفضاء ${ℱ}_{\lambda }(M)$ بنية موديول فوق جبر لي $\mathrm{Vect}(M)$ لجميع الحقول المتجهية الملساء على $M$. ونرمز بـ $\mathrm{Div}$ إلى مؤثر التباعد المرتبط بصيغة حجم $\omega$ على $M$. أي إن $L_X(\omega )=\mathrm{Div}(X)\omega$. ويُعطى فعل الحقول المتجهية كما يأتي:

(1) $$L_X(\varphi {\omega }^{\lambda })=\left(X(\varphi )+\lambda \mathrm{Div}(X)\varphi \right){\omega }^{\lambda },$$

لكل حقل متجهي $X$ ولكل $\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}(M)$.

2.2. المتشعبات التلامسية

يسمى المتشعب الأملس $M$ تلامسياً إذا زُوّد بتوزيع غير قابل للتكامل كلياً

$$𝒟\subset TM$$

ذي بُعد مرافق $1$. ويسمى التوزيع $𝒟$ توزيعاً تلامسياً؛ أما المستوي الفائق ${𝒟}_x\subset T_{x}M$ فيسمى مستوياً فائقاً تلامسياً عند كل نقطة $x\in M$. ولا توجد بنية تلامسية على $M$ إلا إذا كان $dimM=2\mathrm{\ell }+1>1$.

والطريقة المألوفة لتعريف بنية تلامسية هي اختيار صيغة تفاضلية $1$ معرّفة محلياً، هي $\theta$، على $M$ بحيث $𝒟=\ker \theta$. وتسمى مثل هذه الصيغة $1$ صيغة تلامسية. ويكافئ عدم قابلية التكامل الكلية للتوزيع $𝒟$ حقيقة أن

(2) $$\mathrm{vol}:=\theta \wedge {(d\theta )}^{\mathrm{\ell }}$$

صيغة حجم (معرّفة محلياً)؛ وبصورة مكافئة، تكون الصيغة 2 $d\theta$ غير منحلّة على المستويات الفائقة التلامسية ${𝒟}_x$ من $𝒟$. ومع ذلك، لا يوجد اختيار قانوني لصيغة تلامسية.

يكون التشاكل التفاضلي $f:M\to M$ تشاكلاً تفاضلياً تلامسياً إذا كان $f$ يحافظ على $𝒟$. وإذا كانت $\theta$ صيغة تلامسية تقابل التوزيع التلامسي $𝒟$ وكان $f$ تشاكلاً تفاضلياً تلامسياً، فإن $f$ لا يحافظ بالضرورة على $\theta$؛ وبدقة أكبر، $f^{\ast }\theta =F_f\theta$، حيث $F_f$ دالة.

ونحيل إلى [Arn89, Bla10] من أجل مراجع ممتازة في الهندسة التلامسية.

2.3. التنسور التلامسي

سنستخدم مفهوم الحقل التنسوري (المعمم) الذي اقترح في [BL81] ويعود إلى أفكار I. M. Gelfand. فإلى جانب الحقول التنسورية القياسية، أي مقاطع الحزم ${(TM)}^p\otimes {(T^{\ast }M)}^q$، يكون من المفيد غالباً النظر في حقول تنسورية موزونة هي مقاطع للحزم

$${(TM)}^p\otimes {(T^{\ast }M)}^q\otimes {({\mathrm{\Lambda }}^n{T}^{\ast }M)}^{\otimes \lambda }.$$

وتوجد أمثلة كثيرة على هذه الحقول التنسورية المعممة في [Fu86, OT05].

نحن الآن مستعدون لإدخال المفهوم الرئيس في هذا القسم.

تعريف 2.3.1.

إذا أعطيت صيغة تلامسية $\theta$، فليكن الحقل التنسوري التلامسي هو

(3) $$\mathrm{\Theta }:=\theta \otimes {\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}},$$

حيث إن $\mathrm{vol}$ كما في المعادلة (2).

قضية 2.3.2.

الحقل التنسوري $\mathrm{\Theta }$ معرّف عالمياً على المتشعب التلامسي $M$، وهو مستقل عن اختيار صيغة تلامسية، وثابت بالنسبة إلى التشاكلات التفاضلية التلامسية.

Proof.

لتكن $F$ دالة غير منعدمة، ولننظر في الصيغة التلامسية $F\theta$. صيغة الحجم المقابلة هي $F\theta \wedge {\left(d(F\theta )\right)}^{\mathrm{\ell }}=F^{\mathrm{\ell }+1}\theta \wedge {(d\theta )}^{\mathrm{\ell }}$. لذلك تتطابق الحقول التنسورية التلامسية المعرّفة بالمعادلة (3)، والمقابلة للصيغتين التلامسيتين $\theta$ و $F\theta$. ومن ثم فإن $\mathrm{\Theta }$ معرّف عالمياً وثابت بالنسبة إلى التشاكلات التفاضلية التلامسية. ∎

تُعرّف البنية التلامسية جوهرياً بالتنسور التلامسي المقابل.

مثال 2.3.3.

تسمى الإحداثيات المحلية $(x^1,\mathrm{\dots },x^{\mathrm{\ell }},y^1,\mathrm{\dots },y^{\mathrm{\ell }},z)$ على $M$ غالباً إحداثيات داربو إذا أمكن تمثيل البنية التلامسية بالصيغة 1

$${\theta }_{\mathrm{Dar}}=dz+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left(x^{i}d{y}^i-y^{i}d{x}^i\right).$$

وتكون صيغة الحجم المقابلة عندئذ الصيغة القياسية:

$$\mathrm{vol}={(-1)}^{\frac{\mathrm{\ell }(\mathrm{\ell }-1)}{2}}\mathrm{\ell }!d{x}^1\wedge \mathrm{\cdots }\wedge d{x}^{\mathrm{\ell }}\wedge d{y}^1\wedge \mathrm{\cdots }d{y}^{\mathrm{\ell }}\wedge dz.$$

ليست للبنية التلامسية ثوابت محلية؛ ولذلك توجد إحداثيات داربو دائماً في جوار كل نقطة؛ انظر [Arn89] (و [GL07] من أجل برهان جبري بسيط).

2.4. الحقول المتجهية التلامسية

الحقل المتجهي التلامسي على متشعب تلامسي $M$ هو حقل متجهي يحافظ على التوزيع التلامسي. ويُصاغ ذلك عادة بوساطة الصيغ التلامسية: يكون الحقل المتجهي $X$ تلامسياً إذا كانت، لكل صيغة تلامسية $\theta$، مشتقة لي $L_X\theta$ متناسبة مع $\theta$:

(4) $$L_X\theta =\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}Div(X)\theta .$$

وبدلالة التنسور التلامسي (3)، نحصل على النتيجة الآتية للقضية 2.3.2.

نتيجة 2.4.1.

يكون الحقل المتجهي $X$ تلامسياً إذا وفقط إذا حافظ على التنسور التلامسي:

$$L_X\mathrm{\Theta }=0.$$

ليرمز $𝒦(M)$ إلى فضاء جميع الحقول المتجهية التلامسية الملساء على $M$. ولهذا الفضاء بنية جبر لي، وهو أيضاً موديول فوق زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. ويمكن العثور على الملاحظة الآتية في [Ovs06, CO12].

قضية 2.4.2.

بوصفه موديولاً فوق زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية، يكون الفضاء $𝒦(M)$ متشاكلاً مع فضاء الكثافات الموزونة ${ℱ}_{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M)$.

Proof.

فضاء الصيغ التلامسية متشاكل مع ${ℱ}_{\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M)$. فهذا يتبع من القضية 2.3.2 ومن المعادلة (4). ثم ينتج الادعاء من وجود اقتران طبيعي ذي قيم في $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ بين فضاءي الحقول المتجهية التلامسية والصيغ التلامسية: $(X,\theta )\mapsto \theta (X).$ ∎

ملاحظة 2.4.3.

تعني القضية السابقة أنه، بخلاف الهندسة السيمبلكتية، ينبغي فهم مفهوم الدالة المولدة التلامسية (أو «الدالة الهاملتونية التلامسية») على أنه كثافة موزونة لا دالة عادية. غير أن التقابل في إحداثيات داربو بين عناصر $𝒦(M)$ و ${ℱ}_{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M)$ يصير التقابل المعتاد بين الحقول المتجهية التلامسية والدوال (انظر [Arn89]):

$$X_{\varphi {\omega }^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left({\partial }_{x^i}(\varphi ){\partial }_{y^i}-{\partial }_{y^i}(\varphi ){\partial }_{x^i}\right)+\frac{1}{2}{\partial }_z(\varphi )ℰ+\left(\varphi -\frac{1}{2}ℰ(\varphi )\right){\partial }_z,$$

حيث إن

$$ℰ=\sum _{i=1}^{\mathrm{\ell }}\left(x^i{\partial }_{x^i}+y^i{\partial }_{y^i}\right)$$

هو حقل أويلر المتجهي.

مثال 2.4.4.

إذا كان $dimM=3$، فإن الحقول المتجهية التلامسية تُطابق مع كثافات من الوزن $-\frac{1}{2}$؛ وإذا كان $dimM=5$، فإن $𝒦(M)\cong {ℱ}_{-\frac{1}{3}}(M)$، وهكذا. ونلاحظ أيضاً أنه في الحالة أحادية البعد يكون كل حقل متجهي تلامسياً، ومن ثم نحصل على $\mathrm{Vect}(M)\cong {ℱ}_{-1}(M)$.

2.5. تعريف آخر للكثافات الموزونة على المتشعبات التلامسية

في وجود بنية تلامسية معرّفة بصيغة تلامسية $\theta$، من الطبيعي التعبير عن عناصر أي حزمة من الرتبة 1، ومنها مثلاً الكثافات الموزونة، بدلالة قوى $\theta$:

$$\varphi {\mathrm{vol}}^{\frac{\lambda }{\mathrm{\ell }+1}}⟷\varphi {\theta }^{\lambda },$$

حيث إن $\varphi$، كما سبق، دالة ملساء. وقد اعتمد كثير من أعمال الفيزيائيين الترميز $\varphi {\theta }^{\lambda }$ (انظر أيضاً [Ovs90, GLS01]). وفي هذا الترميز تتبسط صيغ كثيرة. فعلى سبيل المثال، إذا كان $X$ حقلاً متجهياً تلامسياً، فإن الهاملتوني التلامسي المقابل هو $\varphi {\theta }^{-1}$، حيث إن الدالة $\varphi$ هي ببساطة قيمة الإقران $\varphi =\theta (X)$.

2.6. جبر بواسون للكثافات الموزونة

يمكن تزويد الفضاء $ℱ(M)={⨁}_{\lambda }{ℱ}_{\lambda }(M)$ لجميع الكثافات الموزونة على متشعب تلامسي $M$ ببنية جبر بواسون (انظر [Arn89, OT05, Ovs06]):

$$\{.,.\}:{ℱ}_{\lambda }(M)\times {ℱ}_{\mu }(M)\to {ℱ}_{\lambda +\mu +\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M).$$

والصيغة الصريحة في إحداثيات داربو هي كما يأتي:

$$\{\varphi {\omega }^{\lambda },\psi {\omega }^{\mu }\}=\left(\sum _{i=1}^n({\partial }_{x^i}\varphi {\partial }_{y^i}\psi -{\partial }_{x^i}\psi {\partial }_{y^i}\varphi )+{\partial }_z\varphi \left(\mu \psi +ℰ\psi \right)-{\partial }_z\psi \left(\lambda \varphi +ℰ\psi \right)\right){\omega }^{\lambda +\mu +\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}.$$

الفضاء الجزئي ${ℱ}_{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M)$ جبر لي جزئي من $ℱ$ متشاكل مع $𝒦(M)$. وقوس بواسون لكثافات الوزن $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$ يطابق بدقة مشتقة لي:

$$X_{\{\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }\}}=L_{X_{\mathrm{\Phi }}}\left(\mathrm{\Psi }\right),$$

حيث $\mathrm{\Phi }=\varphi {\omega }^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}},\mathrm{\Psi }=\psi {\omega }^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}$.

2.7. التفكيك الثابت

ينشطر الفضاء الكامل للحقول المتجهية $\mathrm{Vect}(M)$ إلى مجموع مباشر

$$\mathrm{Vect}(M)=𝒦(M)\oplus 𝒯an(M),$$

حيث إن $𝒯an(M)$ هو فضاء الحقول المتجهية المماسة للتوزيع التلامسي، أي إن $\theta (Y)=0$ لكل صيغة تلامسية $\theta$ ولكل $Y\in 𝒯an(M)$. وتسمى هذه الحقول المتجهية الحقول المتجهية المماسة. وخلافاً لـ $𝒦(M)$، فإن الفضاء $𝒯an(M)$ ليس جبر لي، بل هو موديول على $𝒦(M)$.

الانشطار أعلاه ثابت بالنسبة إلى زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. وعلى وجه الخصوص، يوجد إسقاط ثابت

(5) $$\pi :\mathrm{Vect}(M)\to 𝒦(M),$$

وسيكون هذا الإسقاط مفيداً جداً.

3. الدوران الريماني التلامسي وخواصه

في هذا القسم نُدخل مفهومنا الرئيس، وهو حقل متجهي تلامسي يقابل مترية وبنية تلامسية. كما ندرس خواصه الأساسية، مثل الثبات الإسقاطي وعلاقته بمشتقة شفارتز المتعددة الأبعاد.

3.1. المشتقة التغايرية

لنفترض الآن أن $M$ مزود بمترية شبه ريمانية $g$. نرمز إلى اتصال ليفي-تشيفيتا على $M$ بـ $\nabla$، وإلى رموز كريستوفل بـ ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$. أما المشتقة التغايرية، ويرمز إليها أيضاً بـ $\nabla$، فهي التطبيق الخطي الذي يمكن تعريفه لأي فضاء من الحقول التنسورية، $𝒯(M)$:

$$\nabla :𝒯(M)\to {\mathrm{\Omega }}^1(M)\otimes 𝒯(M),$$

بحيث $\nabla (fm)=df\otimes m+f\otimes \nabla (m)$ لأي $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ و $m\in T(M)$. وتكتب على الصورة $\nabla (t)={\nabla }_i(t)d{x}^i$، ومن ثم يكفي تعريف المشتقات الجزئية ${\nabla }_i$. وفيما يأتي يُفهم الجمع على المؤشرات المتكررة (أحدهما علوي والآخر سفلي) وفق اصطلاح أينشتاين؛ انظر [DNF92].

وتُعطى المشتقة التغايرية للحقول المتجهية وللصيغ التفاضلية $1$ في الإحداثيات المحلية بالصيغ المعروفة

$${\nabla }_i\left(V^j{\partial }_j\right)=\left({\partial }_i{V}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j{V}^k\right){\partial }_j,{\nabla }_i\left({\beta }_{j}d{x}^j\right)=\left({\partial }_i{\beta }_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\beta }_k\right)d{x}^j,$$

على الترتيب، حيث ${\partial }_i=\partial /\partial x^i$. ثم تُمدّد المشتقة التغايرية إلى كل حقل تنسوري بقاعدة لايبنتز.

فعلى سبيل المثال، تُعرّف المشتقة التغايرية للكثافات الموزونة في الإحداثيات المحلية بالصيغة الآتية:

$${\nabla }_i\left(\varphi {\omega }^{\lambda }\right)=\left({\partial }_i\varphi -\lambda {\mathrm{\Gamma }}_{ij}^j\varphi \right){\omega }^{\lambda },$$

وسنستخدمها بكثرة في هذه الورقة.

3.2. التعريف الرئيسي

لنُدخل المفهوم الرئيس في هذه الورقة. نذكّر بأن الحقل التنسوري التلامسي $\mathrm{\Theta }$ أُدخل في التعريف 2.3.1.

تعريف 3.2.1.

(a) لكل مترية شبه ريمانية $g$ على متشعب تلامسي $M$، نعرّف كثافة موزونة من الدرجة $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$:

(6) $$A_{g,\mathrm{\Theta }}:=⟨g,\nabla \mathrm{\Theta }⟩,$$

وفي الإحداثيات المحلية، $A_{g,\mathrm{\Theta }}:=g^{ij}{\nabla }_i{\mathrm{\Theta }}_j$.

(b) نسمي الحقل المتجهي التلامسي $X_{A_{g,\mathrm{\Theta }}}$ ذا الهاملتوني التلامسي $A_{g,\mathrm{\Theta }}$ الدوران الريماني التلامسي لـ $g$.

نلاحظ أن الكمية $A_{g,\mathrm{\Theta }}$ هي بالفعل كثافة موزونة من الدرجة $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$، ومن ثم فلها معنى هاملتوني تلامسي؛ انظر القضية 2.4.2.

ملاحظة 3.2.2.

الحقل التنسوري $\nabla \mathrm{\Theta }$ هو أيضاً ثابت تفاضلي (وهو في الواقع يحتوي معلومات أكثر من $A_{g,\mathrm{\Theta }}$). ويمكن الحصول من $\nabla \mathrm{\Theta }$ على كثافة من النوع $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$ بانكماشه مع مترية اعتباطية، لا بالضرورة مع $g$ نفسها.

سيكون من المفيد أن تكون لدينا صيغة صريحة لـ $A_{g,\mathrm{\Theta }}$ (وكذلك لـ $\nabla \mathrm{\Theta }$) في الإحداثيات المحلية.

قضية 3.2.3.

في إحداثيات محلية تحقق $\mathrm{\Theta }=\theta \otimes {\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}$، لدينا

(7) $$A_{g,\mathrm{\Theta }}=g^{ij}\left({\partial }_i{\theta }_j-\left({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k-\frac{1}{2(\mathrm{\ell }+1)}\left({\delta }_i^k{\mathrm{\Gamma }}_{jr}^r+{\delta }_j^k{\mathrm{\Gamma }}_{ir}^r\right)\right){\theta }_k\right){\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}},$$

حيث إن ${\delta }_i^k$ هو رمز كرونيكر.

Proof.

يمكن الحصول على ذلك مباشرة من التعريف 3.2.1 ومن صيغة المشتقة التغايرية لكثافة موزونة. ∎

ملاحظة 3.2.4.

ينتج من التعريف الجوهري (6) أن التعبير المحلي (7) ثابت في الواقع بالنسبة إلى فعل زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. وتبقى الصيغة (7) على حالها لأي اختيار للإحداثيات المحلية. وهي مستقلة أيضاً عن اختيار الصيغة التلامسية.

3.3. الثبات الإسقاطي لـ $\nabla \mathrm{\Theta }$

نستذكر مفهوماً أساسياً للاتصالات المتكافئة إسقاطياً يرجع إلى Cartan [Car24].

الاتصال الإسقاطي هو فئة تكافؤ من الاتصالات التآلفية المتناظرة التي تعطي الجيوديسيات نفسها غير المعلّمة. أما رمز الاتصال الإسقاطي فيُعطى بالتعبير

$${\mathrm{\Pi }}_{ij}^k:={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k-\frac{1}{n+1}\left({\delta }_i^k{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^l+{\delta }_j^k{\mathrm{\Gamma }}_{il}^l\right),$$

حيث إن $n$ هو البعد؛ انظر [KN64]. ونلاحظ أن $n=2\mathrm{\ell }+1$ في حالتنا.

وأبسط خواص الاتصال الإسقاطي هي الآتية.

1. يكون الاتصالان التآلفيان $\nabla$ و $\tilde{\nabla }$ متكافئين إسقاطياً إذا وفقط إذا كان ${\mathrm{\Pi }}_{ij}^k={\tilde{\mathrm{\Pi }}}_{ij}^k$.

2. وبصورة مكافئة، يكون $\nabla$ و $\tilde{\nabla }$ متكافئين إسقاطياً إذا وفقط إذا وُجدت صيغة 1 هي $\beta$ بحيث

   $${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^k={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k+{\delta }_j^k{\beta }_i+{\delta }_i^k{\beta }_j.$$

تجعل العبارة الآتية الدوران الريماني التلامسي شبيهاً إلى حد ما بمشتقة شفارتز.

مبرهنة 3.3.1.

إذا كانت $g$ و $\tilde{g}$ متريتين اتصالاهما من نوع ليفي-تشيفيتا متكافئان إسقاطياً، فإن $\nabla \mathrm{\Theta }=\tilde{\nabla }\mathrm{\Theta }$.

Proof.

يمكن كتابة الصيغة الإحداثية لـ $\nabla \mathrm{\Theta }$ كما يأتي:

$${\left(\nabla \mathrm{\Theta }\right)}_{ij}=\left({\partial }_i{\theta }_j-{\mathrm{\Pi }}_{ij}^k{\theta }_k\right){\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}},$$

انظر (7). يعتمد هذا التعبير فقط على الفئة الإسقاطية لاتصال ليفي-تشيفيتا، ومن ثم يقتضي الثبات الإسقاطي. ∎

لترمز $[g]$ إلى فئة المتريات المتكافئة جيوديسياً، ولترمز $[\nabla ]$ إلى الاتصال الإسقاطي المقابل. تعني النظرية أعلاه أن التنسور $\nabla \mathrm{\Theta }$ يعتمد في الحقيقة على $[g]$ فقط، لا على المترية نفسها.

ملاحظة 3.3.2.

المتريات المتكافئة جيوديسياً موضوع كلاسيكي جداً في الهندسة الريمانية يعود إلى Beltrami وLevi-Civita وWeyl وCartan. ونحيل إلى الكتاب الكلاسيكي [Eis97] من أجل عرض عام. ولا يزال هذا الموضوع نشطاً جداً؛ انظر [BKM09] والمراجع الواردة هناك.

3.4. الاتصالات المسطحة إسقاطياً، والمتريات ذات الانحناء الثابت، والصيغ التلامسية من نوع كيلينغ

من الطبيعي الآن أن ندرس الحالة المسطحة إسقاطياً.

يسمى الاتصال $\nabla$ على $M$ مسطحاً إسقاطياً إذا وُجدت، في جوار كل نقطة، إحداثيات محلية تسمى غالباً إحداثيات ملائمة، بحيث تكون الجيوديسيات خطوطاً مستقيمة في هذه الإحداثيات. وإذا كان الاتصال مسطحاً إسقاطياً، فإن ${\mathrm{\Pi }}_{ij}^k\equiv 0$ في أي نظام من الإحداثيات الملائمة.

ونلاحظ أيضاً أن الاتصالات المسطحة إسقاطياً تقبل فعلاً (محلياً) للزمرة $\mathrm{SL}(n+1,ℝ)$؛ وبعبارة أخرى، تقبل الإحداثيات الملائمة تحويلات خطية كسرية.

تنص مبرهنة Beltrami الكلاسيكية على أن اتصال ليفي-تشيفيتا لمترية ريمانية يكون مسطحاً إسقاطياً إذا وفقط إذا كانت المترية ذات انحناء مقطعي ثابت. وتتيح لنا هذه الحقيقة استنتاج نتيجة مهمة من المبرهنة 3.3.1.

نستذكر مفهوم الصيغ التفاضلية من نوع كيلينغ، وهو مفهوم يعود إلى Yano [Yan52]. تسمى الصيغة $1$، ولتكن $\beta ={\beta }_i(x)d{x}^i$، صيغة كيلينغ إذا كان

$${\nabla }_i{\beta }_j+{\nabla }_j{\beta }_i=0.$$

ونستذكر أيضاً المفهوم الأشهر لحقل كيلينغ المتجهي. يسمى الحقل المتجهي $V=V^i(x){\partial }_i$ حقل كيلينغ متجهياً إذا كان

$$L_{V}g=0$$

ويمكن الحصول على كل صيغة كيلينغ $1$ من حقل كيلينغ متجهي بخفض المؤشرات: $\beta =⟨g,V⟩$؛ أي إن ${\beta }_i=g_{ij}{V}^j$ في الإحداثيات المحلية.

نتيجة 3.4.1.

إذا كانت $g$ مترية ذات انحناء مقطعي ثابت، وكانت البنية التلامسية معرّفة بصيغة تلامسية $1$ هي $\theta$، وكانت هذه الصيغة صيغة كيلينغ بالنسبة إلى مترية من الفئة الإسقاطية $[g]$، فإن $A_{g,\mathrm{\Theta }}=0$.

Proof.

بما أن اتصال ليفي-تشيفيتا المقابل لـ $g$ مسطح إسقاطياً، توجد إحداثيات محلية يكون فيها ${\mathrm{\Pi }}_{ij}^k\equiv 0$، ومن ثم

$$A_{g,\mathrm{\Theta }}=g^{ij}{\partial }_i{\theta }_j.$$

وإذا كان، علاوة على ذلك، ${\partial }_i{\theta }_j+{\partial }_j{\theta }_i=0$ لكل $i,j$، فإن $A_{g,\mathrm{\Theta }}$ ينعدم تماثلياً لأن التنسور $g^{ij}$ متناظر. وتعني المعادلة ${\partial }_i{\theta }_j+{\partial }_j{\theta }_i=0$ أن $\theta$ صيغة كيلينغ بالنسبة إلى المترية المسطحة المكافئة إسقاطياً لـ $g$.

وتتبع النتيجة بعد ذلك من المبرهنة 3.3.1. ∎

مثال 3.4.2.

صيغة داربو في المثال 2.3.3 صيغة كيلينغ بالنسبة إلى المترية المسطحة. نلاحظ أن أعمالاً أخرى، ولا سيما في الميكانيكا التحليلية، تستعمل غالباً شكلاً معيارياً محلياً آخر للصيغة التلامسية: $dz+{\sum }_{1\le i\le \mathrm{\ell }}{x}^{i}d{y}^i$. (وفوق حقول ذات مميزة $2$ لا يمكن استعمال إلا هذا الشكل الأخير؛ انظر [Leb10].) غير أن هذا الشكل ليس صيغة كيلينغ بالنسبة إلى المترية المسطحة.

3.5. التكافؤ التلامسي

لننظر في فعل زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. ينتج مباشرة من التعريف الجوهري (أي الثابت) (6) لـ $A_{g,\mathrm{\Theta }}$ أن التطبيق $g\mapsto A_{g,\mathrm{\Theta }}$ من فضاء المتريات إلى فضاء الكثافات من النوع $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$ يتبادل مع هذا الفعل:

(8) $$A_{f^{\ast }g,\mathrm{\Theta }}=f^{\ast }\left(A_{g,\mathrm{\Theta }}\right).$$

ومن هذه الحقيقة ومن النتيجة 3.4.1 نستنتج العبارة الآتية.

نتيجة 3.5.1.

إذا كانت المترية $\tilde{g}$ تلامسياً مكافئة لمترية $g$ ذات انحناء مقطعي ثابت، وكانت البنية التلامسية معرّفة بصيغة تلامسية $1$ هي $\theta$ وتكون صيغة كيلينغ بالنسبة إلى $g$، فإن $A_{\tilde{g},\mathrm{\Theta }}=0$.

3.6. فعل زمرة التشاكلات التفاضلية كلها

لننظر الآن في فعل زمرة جميع التشاكلات التفاضلية. ويتبيّن أن هذا الفعل مرتبط بدورة $1$ ملحوظة جداً.

نذكّر بأن فضاء الاتصالات فضاء تآلفي مرتبط بفضاء الحقول التنسورية من النوع $(2,1)$، أي إنه إذا أعطي اتصالان $\nabla$ و $\tilde{\nabla }$ فإن الفرق $\nabla -\tilde{\nabla }$ حقل تنسوري من النوع $(2,1)$ معرّف تعريفاً حسناً. وهذا يسمح بتعريف دورة $1$ على زمرة جميع التشاكلات التفاضلية. فإذا كان $f$ تشاكلاً تفاضلياً اعتباطياً، غير تلامسي بالضرورة، وضعنا:

$$C(f):=f^{\ast }\nabla -\nabla ,$$

حيث إن $\nabla$ اتصال ثابت اعتباطي، واختياره يغيّر $C$ بحد مشترك.

لتكن $\nabla$ و $\tilde{\nabla }$ اتصالين على $M.$. يمكن فهم فرق فئتي التكافؤ الإسقاطي $[\nabla ]-[\tilde{\nabla }]$ على أنه حقل تنسوري عديم الأثر من النوع $(2,1)$. لذلك يؤدي الاتصال الإسقاطي على $M$ إلى دورة $1$ الآتية على زمرة جميع التشاكلات التفاضلية:

$$𝔗(f)=f^{\ast }[\nabla ]-[\nabla ]$$

وتنعدم هذه الدورة على التشاكلات التفاضلية الإسقاطية (محلياً). وفي الإحداثيات المحلية،

$$𝔗{(f)}_{ij}^k:=f^{\ast }{\mathrm{\Pi }}_{ij}^k-{\mathrm{\Pi }}_{ij}^k,$$

حيث إن ${\mathrm{\Pi }}_{ij}^k$ هي رموز كريستوفل الإسقاطية.

قضية 3.6.1.

إذا كان $f:M\to M$ تشاكلاً تفاضلياً اعتباطياً، فإن

(9) $$f^{\ast }\left(A_{g,\mathrm{\Theta }}\right)-A_{f^{\ast }g,\mathrm{\Theta }}=f^{\ast }⟨g,\nabla \mathrm{\Theta }⟩-⟨f^{\ast }g,\nabla \mathrm{\Theta }⟩+⟨f^{\ast }g\otimes \mathrm{\Theta },𝔗(f)⟩.$$

Proof.

لنوضح الترميز أولاً. بما أن $𝔗(f)$ حقل تنسوري من النوع $(2,1)$، فإن الاقتران $⟨g\otimes \mathrm{\Theta },𝔗(f)⟩$ معرّف تعريفاً حسناً. وفوق ذلك، وبأخذ وزن التنسور التلامسي $\mathrm{\Theta }$ في الحسبان، ينتج أن $⟨g\otimes \mathrm{\Theta },𝔗(f)⟩$ كثافة موزونة ذات وزن $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$.

وفي الإحداثيات المحلية، وباستخدام القضية 3.2.3، نحصل على

ويبقى أن نلاحظ أن $f^{\ast }\left(A_{g,\mathrm{\Theta }}\right)=f^{\ast }⟨g,\nabla \left(\mathrm{\Theta }\right)⟩$. وبذلك تثبت القضية 3.6.1. ∎

4. الرمز التحتي لمؤثر لابلاس-بلترامي

في هذا القسم نشرح صلة الدوران الريماني بمؤثر لابلاس-بلترامي الكلاسيكي. ونذكر أن دراسة المؤثرات التفاضلية على المتشعبات التلامسية موضوع كلاسيكي؛ انظر العمل الحديث [vE10] والمراجع الواردة فيه.

4.1. المؤثرات التفاضلية وفعل التشاكلات التفاضلية

ليكن $M$ متشعباً أملس اعتباطياً، ولتكن ${𝒟}_{\lambda ,\mu }(M)$ فضاء المؤثرات التفاضلية الخطية المؤثرة في فضاء الكثافات الموزونة:

$$T:{ℱ}_{\lambda }(M)\to {ℱ}_{\mu }(M).$$

ويكون الفضاء ${𝒟}_{\lambda ,\mu }(M)$ طبيعياً موديولاً فوق زمرة التشاكلات التفاضلية، وتعتمد بنية هذا الموديول على الوزنين $\lambda$ و $\mu$. ولـ $k\in \mathbb{N}$، ليكن ${𝒟}_{\lambda ,\mu }^k(M)$ فضاء المؤثرات التفاضلية الخطية من الرتبة $\le k$. وتعرّف الفضاءات ${𝒟}_{\lambda ,\mu }^k(M)$ ترشيحاً على ${𝒟}_{\lambda ,\mu }(M)$ ثابتاً بالنسبة إلى زمرة التشاكلات التفاضلية.

نستذكر المفهوم الكلاسيكي لـ الرمز (أو الرمز الرئيسي) لمؤثر تفاضلي من الرتبة $k$. ويُعرّف بأنه صورة الإسقاط

$$\sigma :{𝒟}_{\lambda ,\mu }(M)\to {𝒟}_{\lambda ,\mu }^k(M)/{𝒟}_{\lambda ,\mu }^{k-1}(M).$$

ونلاحظ أنه في الحالة الخاصة $\lambda =\mu$، يمكن مطابقة فضاء خارج القسمة ${𝒟}_{\lambda ,\lambda }^k(M)/{𝒟}_{\lambda ,\lambda }^{k-1}(M)$ مع فضاء الحقول التنسورية المتخالفة المتناظرة من الدرجة $k$ على $M$.

وسنهتم خصوصاً بالفضاء ${𝒟}_{\lambda ,\lambda }^2(M)$ لمؤثرات الرتبة $2$ المؤثرة في كثافات الوزن $\lambda$؛ وقد بدأت في [DO97] دراسة منهجية لهذا الفضاء بوصفه موديولاً فوق زمرة التشاكلات التفاضلية.

4.2. الرمز التحتي لمؤثر تفاضلي من الرتبة الثانية

في [CO12]، دُرس فضاء المؤثرات التفاضلية على متشعب تلامسي بوصفه موديولاً فوق زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. وقد بُرهن وجود مفهوم الرمز التحتي، وهو حقل تنسوري درجته أدنى من درجة الرمز الرئيسي.

ولمؤثر تفاضلي من الرتبة $2$، يكون الرمز التحتي مجرد حقل متجهي تلامسي. وبدقة أكبر، لكل $\lambda$ يوجد تطبيق خطي (فريد حتى الضرب بعامل ثابت)

$$\mathrm{s}\sigma :{𝒟}_{\lambda ,\lambda }^2(M)\to 𝒦(M),$$

ثابت بالنسبة إلى فعل زمرة التشاكلات التفاضلية التلامسية. وقد سميت الصورة $\mathrm{s}\sigma (T)$ الرمز التحتي للمؤثر $T$. وسنحتاج إلى الصيغة الصريحة للرمز التحتي لمؤثر تفاضلي معطى من الرتبة الثانية.

إذا كان $M$ متشعباً تلامسياً، فإن كل مؤثر $T\in {𝒟}_{\lambda ,\lambda }^2(M)$ يمكن أن يكتب (بعدة طرائق مختلفة) على الصورة:

(10) $$T=L_{X_{{\varphi }_1}}\circ L_{X_{{\varphi }_2}}+L_{X_{{\varphi }_3}}\circ L_{Y_1}+L_{Y_2}\circ L_{Y_3}+L_{X_{{\varphi }_4}}+L_{Y_4}+F,$$

حيث إن كل $Y_i$ حقل متجهي مماس للتوزيع التلامسي، و$X_{\varphi }$ هو الحقل المتجهي التلامسي ذو الهاملتوني التلامسي $\varphi \in {ℱ}_{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}}(M)$، وتُعرّف مشتقة لي $L$ بالمعادلة (1)، ويرمز $F$ إلى مؤثر الضرب بدالة.

والتعبير الصريح للرمز التحتي للمؤثر التفاضلي (10) هو كما يأتي (انظر [CO12]):

(11) $$\mathrm{s}\sigma (T)=\frac{1}{2}[X_{{\varphi }_1},X_{{\varphi }_2}]-\left(\frac{\mathrm{\ell }+1}{\mathrm{\ell }+2}\right)\left(\lambda -\frac{1}{2}\right)X_{L_{Y_1}({\varphi }_3)}+\frac{1}{2}\pi [Y_2,Y_3]+X_{{\varphi }_4},$$

حيث ترمز $L_Y(\varphi )$ إلى مشتقة لي لكثافة من الوزن $-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}$ هي $\varphi$ على طول الحقل المتجهي $Y$، وتعرّف $\pi :\mathrm{Vect}(M)\to 𝒦(M)$ في (5).

ملاحظة 4.2.1.

على الرغم من أن الأمر يبدو شبه مستحيل، فإن التطبيق $\mathrm{s}\sigma$ المعرّف بـ (11) معرّف تعريفاً حسناً. وبعبارة أخرى، فهو مستقل عن اختيار الحقول المتجهية في التمثيل (10) للمؤثر $T$. ويمكن التحقق من ذلك مباشرة بإعادة كتابته في الإحداثيات المحلية؛ انظر الصيغة (13) أدناه. وبما أن التعبير (11) مكتوب بمصطلحات ثابتة، فإنه يتبادل مع فعل التشاكلات التفاضلية التلامسية. ونلاحظ أيضاً أن وجود مثل هذا التطبيق خاص بالهندسة التلامسية. ولا يوجد تطبيق مماثل يتبادل مع زمرة التشاكلات التفاضلية كلها، باستثناء الرمز الرئيسي.

4.3. مؤثر لابلاس-بلترامي على فضاء الكثافات الموزونة

يُعرّف مؤثر لابلاس-بلترامي الكلاسيكي المؤثر في فضاء الدوال الملساء كما يأتي

$${\mathrm{\Delta }}_g(f)=d^{\ast }df.$$

وهذا المؤثر تحدده المترية $g$ تحديداً كاملاً.

سننتقل إلى إطار أعم، وننظر في مؤثر لابلاس-بلترامي المعمم المؤثر في فضاء الكثافات الموزونة:

$${\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda }:{ℱ}_{\lambda }(M)\to {ℱ}_{\lambda }(M).$$

وصيغته الصريحة هي كما يأتي:

$${\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda }(\varphi {\omega }^{\lambda })=\left(g^{ij}{\nabla }_i{\nabla }_j(\varphi )+\frac{n^2\lambda (\lambda -1)}{(n-1)(n+2)}R\varphi \right){\omega }^{\lambda },$$

حيث إن $R$ هو الانحناء السلمي (انظر [DO01]، القضية 5.2).

4.4. حساب الرمز التحتي لمؤثر لابلاس-بلترامي

نذكّر بأن $M$ متشعب تلامسي وأن $n=2\mathrm{\ell }+1$. ويتبيّن أن الدوران الريماني التلامسي لمترية معطاة $g$ يتناسب مع الرمز التحتي لمؤثر لابلاس-بلترامي المرتبط بـ $g$. ويمكن اعتبار هذه الخاصية تعريفاً مكافئاً للدوران الريماني التلامسي.

مبرهنة 4.4.1.

لدينا

(12) $$\mathrm{s}\sigma ({\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda })=\left(\frac{\mathrm{\ell }+1}{\mathrm{\ell }+2}\right)\left(2\lambda -1\right)X_{A_{g,\mathrm{\Theta }}}.$$

Proof.

البرهان في جوهره حساب مباشر.

لنختر إحداثيات داربو محلية. كل مؤثر تفاضلي من الرتبة الثانية يمكن أن يكتب في هذه الإحداثيات على الصورة:

وقد حُسبت الصيغة الإحداثية للرمز التحتي في [CO12]:

(13)

ويمكن التحقق من أن هذه هي بالضبط الصيغة نفسها (11).

وقد حُسب التعبير الإحداثي المحلي لمؤثر لابلاس-بلترامي المعمم ${\mathrm{\Delta }}^{\lambda }$ في [DO01]، والنتيجة هي:

$${\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda }=g^{ij}{\partial }_i{\partial }_j-(g^{jk}{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i+2\lambda g^{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k){\partial }_i+(0-\mathrm{th}\mathrm{order}\mathrm{coefficients}).$$

لنضم الصيغتين السابقتين. فنحصل على $\mathrm{s}\sigma ({\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda })=X_{\varphi }$، حيث إن $\varphi$ كثافة موزونة على الصورة

(14) $$\varphi =\left(\left(1-\frac{1+2\lambda (\mathrm{\ell }+1)}{\mathrm{\ell }+2}\right)g^{jk}{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^t{\theta }_t+\left(2\lambda -\frac{1+2\lambda (\mathrm{\ell }+1)}{\mathrm{\ell }+2}\right){\mathrm{\Gamma }}_{ij}^j{g}^{it}{\theta }_t\right){\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{\mathrm{\ell }+1}},$$

و$X_{\varphi }$ هو الحقل المتجهي التلامسي المقابل.

وأخيراً، بأخذ حقيقة أن $g^{ij}{\partial }_i({\theta }_j)=0$ في الحسبان، من أجل صيغة داربو $\theta$، يتطابق التعبير (14)، بعد جمع الحدود، مع $\left(\frac{\mathrm{\ell }+1}{\mathrm{\ell }+2}\right)\left(2\lambda -1\right)A_{g,\mathrm{\Theta }}$. ∎

نتيجة 4.4.2.

لمترية عامة، $\mathrm{s}\sigma ({\mathrm{\Delta }}_g^{\lambda })=0$ إذا وفقط إذا كان $\lambda =\frac{1}{2}$.

ملاحظة 4.4.3.

من المعروف في الهندسة التفاضلية أن فضاء أنصاف الكثافات وفضاء المؤثرات التفاضلية ${𝒟}_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(M)$ المؤثرة فيها يؤديان دوراً خاصاً جداً. وفي سياقنا يظهر فضاء أنصاف الكثافات ظهوراً طبيعياً.

5. الرفع إلى حزمة التمامس والرش الجيوديسي

في هذا القسم نحسب الدوران الريماني التلامسي على حزمة الكرة الوحدية $STM$ فوق متشعب ريماني $(M,g)$. والمتشعب $STM$ مثال كلاسيكي لمتشعب تلامسي، وهو، فضلاً عن ذلك، مزود بالرفع القانوني للمترية. ونبرهن أن الدوران الريماني التلامسي ينعدم في هذه الحالة.

نذكّر بأن الرش الجيوديسي الكلاسيكي هو الحقل المتجهي الهاملتوني على $TM$ ذي الهاملتوني $H(x,y)=g_{ij}(x)y^i{y}^j,$ حيث إن $y^i$ إحداثيات على الألياف؛ وقصر هذا الحقل المتجهي على $STM$ يعطي حقلاً متجهياً تلامسياً مُعرّفاً جوهرياً. وليس من المعقول توقع وجود حقل متجهي تلامسي آخر مستقل وثابت في هذه الحالة.

5.1. صياغة النتيجة الرئيسية

للمترية الريمانية $g$ على $M$ رفع قانوني إلى $STM$ سنرمز إليه بـ $\overline{g}$. والنتيجة الرئيسة في هذا القسم هي الآتية.

مبرهنة 5.1.1.

الدوران الريماني التلامسي على $(STM,\overline{g})$ منعدم تماثلياً.

ولإثبات هذه المبرهنة سنحتاج إلى صيغ صريحة للبنية التلامسية وللمترية الريمانية القانونية على $STM$.

5.2. الإحداثيات على $STM$

ليكن $(M,g)$ متشعباً ريمانياً اعتباطياً ذا بعد $n$. وقد دُرست الهندسة الريمانية لحزمة الكرات $STM$ في [Tah69]، وسنستخدم ترميز ذلك العمل.

لنرمز بـ $(x^1,\mathrm{\dots },x^n)$ إلى نظام إحداثيات محلي في $M$، وبـ $(y^1,\mathrm{\dots },y^n)$ إلى الإحداثيات الديكارتية في الفضاء المماس $T_{x}M$ عند النقطة $x$ من $M$. وتكون الإحداثيات $(x,y)$ إحداثيات محلية على حزمة المماس فوق $TM$. وحزمة الكرة الوحدية $STM$ سطح فائق في حزمة المماس $T(M)$، يحدده سطح المستوى لهاملتوني الرش الجيوديسي

$$H(x,y)=1$$

عند كل نقطة.

5.3. البنية التلامسية لحزمة الكرات $STM$

تمثل حزمة الكرات $STM$ بالمعادلات الوسيطية:

$$x^h=x^h,x^{\overline{h}}=y^h=y^h(x^i,u^{\kappa }),$$

حيث إن $u^{\kappa }$ إحداثيات محلية على الكرة. وتُعطى المتجهات المماسة $B_{\alpha }^A=\frac{\partial x^A}{\partial u^{\alpha }}$ لـ $STM$ في $T(M)$ بالصيغة

(15)

والمصفوفة المربعة $\left(\begin{array}{c}{B}_{\alpha }^A\\ C^A\end{array}\right)$، حيث $C^i=0$ و $C^{\overline{i}}=y^i$، قابلة للعكس عند كل نقطة $x$ من $M$. وسيكون معكوسها هو المصفوفة $(B_A^{\alpha },C_A)$ المعطاة بالمعادلات:

(16)

و $C_A=\left(\begin{array}{c}{C}_i\\ C_{\overline{i}}\end{array}\right)$، حيث $C_{\overline{i}}=g_{ih}{y}^h$ و $C_i={\mathrm{\Gamma }}_{rs}^h{g}_{hi}{y}^r{y}^s$. وتستنتج الصيغ التالية من المعادلتين (15) و(16)، وهي مفيدة فيما يلي:

تطابق المترية الريمانية حزمة المماس $T(M)$ مع حزمة التمامس $T^{\ast }(M),$، ومن ثم تستحث صيغة 1 هي $\theta$ على $T(M)$، تسمى صيغة ليوفيل، وتقرأ في الإحداثيات المحلية كما يأتي:

$$\theta =g_{ij}{y}^{j}d{x}^i,$$

ولنرمز بـ $\overline{\theta }$ إلى قصر الصيغة 1، أي $\theta$، على حزمة الكرات $STM$. وهو كما يأتي:

$${\overline{\theta }}_{\alpha }={\theta }_A{B}_{\alpha }^A.$$

وتقتضي المعادلة (15) أن ${\overline{\theta }}_i=g_{ij}{y}^j$ وأن ${\overline{\theta }}_{\kappa }=0$.

لِمّة 5.3.1.

تعرّف الصيغة $\overline{\theta }$ بنية تلامسية على $STM$. وتكتب صيغة الحجم المرتبطة بها (حتى الضرب بعامل) كما يأتي:

$$\mathrm{\Omega }d{x}^1\wedge \mathrm{\cdots }\wedge d{x}^n\wedge d{u}^{n+1}\wedge \mathrm{\dots }\wedge d{u}^{2n-1},$$

حيث $\mathrm{\Omega }=\det (B_{\alpha }^A,C^A)\det (g_{ij}).$

Proof.

هذا أمر معروف؛ انظر [Tah69]، ويمكن التحقق منه أيضاً بحساب مباشر. ∎

5.4. المترية الريمانية على $STM$

يمكن مد المترية الريمانية $g$ على $M$ إلى مترية ريمانية $\overline{g}$ على حزمة الكرات $STM$. وبصورة صريحة، تعطى $\overline{g}$ بـ (قارن [Tah69]):

ويعطى معكوس $\overline{g}$ بـ

أما رموز كريستوفل المرتبطة بهذه المترية فتُعطى بـ

5.5. برهان المبرهنة 5.1.1

نحن الآن مستعدون لإثبات النتيجة الرئيسة لهذا القسم.

لِمّة 5.5.1.

لدينا

(17)

Proof.

يتبع السطران الأول والثاني من (17) من حقيقة أن

$B_{\overline{k}}^{\lambda }{\partial }_{\mu }(B_{\lambda }^{\overline{j}})$ $=$ $-{\partial }_{\mu }(B_{\overline{k}}^{\lambda })B_{\lambda }^j-{\partial }_{\mu }(y^j{y}^m)g_{mk},$

$y^i{\partial }_i{B}_{\lambda }^{\overline{j}}$ $=$ $-y^i{B}_{\lambda }^{\overline{h}}{B}_{\kappa }^{\overline{j}}{\partial }_i(B_{\overline{h}}^{\kappa })-y^i{y}^j{y}^m{g}_{hm}{\mathrm{\Gamma }}_{il}^h{B}_{\lambda }^{\overline{l}},$

ومن خاصية المحدد. ويتبع السطر الثالث من (17) من حقيقة أن

$$B_{\lambda }^{\overline{h}}{B}_{\overline{i}}^{\lambda }+y^h{C}_{\overline{i}}={\delta }_i^h$$

ومن تطبيق المشتقة الجزئية ${\partial }_{\mu }$ عليها. أما السطر الرابع من (17) فيتبع عندما نعوض المشتقة التغايرية ${\nabla }_l{y}^h={\partial }_l{y}^h+{\mathrm{\Gamma }}_{li}^h{y}^i$ ونستعمل المعادلة الثالثة. ∎

بحسب التعريف،

$$A_{\overline{g},\mathrm{\Theta }}={\overline{g}}^{ih}{\overline{\nabla }}_i({\theta }_h{\mathrm{\Omega }}^{-\frac{1}{n}})+{\overline{g}}^{\lambda h}{\overline{\nabla }}_{\lambda }({\theta }_h{\mathrm{\Omega }}^{-\frac{1}{n}})+{\overline{g}}^{h\lambda }{\overline{\nabla }}_h({\theta }_{\lambda }{\mathrm{\Omega }}^{-\frac{1}{n}})+{\overline{g}}^{\lambda \kappa }{\overline{\nabla }}_{\lambda }({\theta }_{\kappa }{\mathrm{\Omega }}^{-\frac{1}{n}}).$$

ينعدم الحدّان الأخيران لأن ${\theta }_{\kappa }=0$. لنحسب الحدين الأولين كلّاً على حدة. بتطبيق المشتقة التغايرية $\overline{\nabla }$، نحصل على

وبالمثل،

وبجمع الحدود واستعمال اللمّة 5.5.1، نحصل أخيراً على:

$$A_{\overline{g},\mathrm{\Theta }}=-\frac{1}{2}\left(R_{ilsj}{y}^i{y}^l({\nabla }_h{y}^s)g^{jh}\right){\mathrm{vol}}^{-\frac{1}{n}}\equiv 0,$$

لأن موتر الانحناء $R_{ilsj}$ ضد متناظر في المؤشرين الأولين.

وبذلك تثبت المبرهنة 5.1.1.

6. أمثلة

نختم الورقة بأمثلة ملموسة على الدوران الريماني للكرة ذات البعد $3$ (مع متريتين طبيعيتين) وللإهليلج ذي البعد $3$ مع المترية القياسية.

6.1. الكرة $S^3$

لننظر في الكرة $S^3$ في الفضاء السيمبلكتي القياسي ${ℝ}^4$. وهي مزودة ببنية تلامسية طبيعية يمكن تعريفها بالصيغة التلامسية

$$\theta =dz+xdy-ydx,$$

حيث إن $x,y$ و $z$ إحداثيات تآلفية على $S^3$. وبدقة أكبر، إذا كانت $p_1,p_2,q^1,q^2$ إحداثيات داربو السيمبلكتية على ${ℝ}^4$، فإن $x=\frac{p_1}{q^2},y=\frac{q^1}{q^2},z=-\frac{p_2}{q^2}$.

إن قصر المترية الإقليدية على الكرة $S^3$ يأخذ الصورة الآتية:

حيث $F={\left(\frac{1}{(x^2+y^2+z^2+1)}\right)}^2$.

ولننظر أيضاً في مترية أخرى، مكافئة لها مطابقياً، على $S^3$:

$${\tilde{g}}_{S^3}:=\left(\frac{x^2+y^2+z^2+1}{\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}+1}\right)g_{S^3},$$

وقد ظهرت هذه المترية في سياق الأنظمة القابلة للتكامل في [Tab99, MT01]، وانظر أيضاً [DV11].

قضية 6.1.1.

تتحقق النتائج الآتية.

1. في حالة المترية «الدائرية» $g_{S^3}$، لدينا $A_{g_{S^3}}=0$؛

2. في حالة المترية ${\tilde{g}}_{S^3}$، لدينا $A_{{\tilde{g}}_{S^3}}=\frac{5}{2}\left(\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)xy+\left(\frac{1}{c}-1\right)z\right)$.

Proof.

ينتج الجزء (i) من النتيجة 3.4.1. أما الجزء (ii) فيُستحصل بحساب مباشر باستخدام المعادلة (14). ∎

6.2. حالة الإهليلج $E^3(a,b,c)$

لننظر في الإهليلج ذي البعد $3$ المزود بالمترية القياسية

حيث

قضية 6.2.1.

لدينا

Proof.

حساب مباشر باستخدام المعادلة (14). ∎

شكر وتقدير. نشكر Dimitry Leites و Christian Duval على اهتمامهما بهذا العمل وعلى قراءتهما المتأنية للنسخ الأولية منه. كما نشكر Charles Conley و Eugene Ferapontov و Serge Tabachnikov على عدد من المناقشات المثمرة. وقد دُعم المؤلف الأول جزئياً بالمنحة NYUAD 063. ودُعم المؤلف الثاني جزئياً بالمنحة PICS05974 “PENTAFRIZ”, من CNRS.