الديناميكا الكهربائية للشحنات عديمة الكتلة وتطبيقها على النجوم النابضة

Andrei Gruzinov New York University Abu Dhabi, near Sheikh Khalifa Mosque, Abu Dhabi, United Arab Emirates

الملخص

يشكل المجال الكهرومغناطيسي، مع الشحنات عديمة الكتلة المتحركة في هذا المجال، نظاما ديناميكيا شبه تبديديا حسن السلوك – هو الديناميكا الكهربائية للشحنات عديمة الكتلة (EMC). نعرض معادلات EMC، ونحاجج بأن EMC نظرية ملائمة لحساب الأغلفة المغناطيسية للنجوم النابضة، ونقدم حسابا عدديا إيضاحيا (يبين أن اللمعان البولومتري لدوار متراصف يساوي تقريبا نصف قدرة فقدان الدوران). وتبدو EMC جزءا من النظرية الكاملة للنجوم النابضة، وهو الجزء الذي سيحلل اللمعان البولومتري المحسوب سلفا إلى منحنيات ضوئية وأطياف.

1 الديناميكا الكهربائية للشحنات عديمة الكتلة (EMC)

تفترض EMC أن الشحنات الموجبة والسالبة تتحرك بسرعات وحدية، أي بسرعات تساوي سرعة الضوء:

$\begin{equation}\label{vel} {\bf v}_\pm={{\bf E}\times {\bf B}\pm(B_0{\bf B}+E_0{\bf E})\over B^2+E_0^2}. \end{equation}$

(1)

هنا $E_0$ و $B_0$ هما، على الترتيب، العدد القياسي للمجال الكهربائي الذاتي وشبه العدد القياسي للمجال المغناطيسي الذاتي، ويعرفان بـ

$\begin{equation}\label{e0b0} B_0^2-E_0^2=B^2-E^2,~~ B_0E_0={\bf B}\cdot {\bf E}, ~~E_0\geq 0. \end{equation}$

(2)

تعني المعادلتان (2) أن $E_0$ و $|B_0|$ هما مقدارا المجالين في الإطار الذي يكونان فيه متوازيين، مع كون إشارة $B_0$ سالبة عندما يكون المجالان متعاكسي الاتجاه.

تنتج الديناميكا «الأرسطية» (1)، التي تحدد فيها القوة سرعة الجسيم لا تسارعه، عن تخميد إشعاعي لا نهائي للشحنات عديمة الكتلة. وتعني المعادلة (1) أنه في الإطار الذي يكون فيه المجالان متوازيين، تتحرك الشحنات على امتداد الاتجاه المشترك للمجالين بسرعة الضوء. إن الحركة على امتداد المجالين تلغي حد التخميد الإشعاعي من الرتبة القائدة. وبسبب إشعاع الانحناء، تكون الديناميكا الموازية كذلك آنية، فتثبت السرعات عند (1)¹¹ 1 يعطى عامل لورنتز النهائي الناتج عن إشعاع الانحناء بـ $\gamma ^4\sim E_0R^2/e$ ، حيث إن $R$ هو نصف قطر انحناء المسار. إن شحناتنا عديمة الكتلة تتحرك في الواقع بسرعة أقل من سرعة الضوء. ولكن بما أن $\gamma$ يعطى بنسبة كميات عيانية إلى كميات مجهرية، فإن المرء يجد في جميع التطبيقات الممكنة لـ EMC أن $\gamma \gg 1$ ، مما يسمح بتقريب السرعة الفعلية بالصيغة (1)..

نظام معادلات EMC الكامل هو، في فصل 3+1،

$\begin{equation}\label{max1} \dot{{\bf B}}=-\nabla \times {\bf E}, \end{equation}$

(3)

$\begin{equation}\label{max2} \dot{{\bf E}}=\nabla \times {\bf B}-\rho _+{\bf v}_++\rho _-{\bf v}_-, \end{equation}$

(4)

$\begin{equation}\label{con} \dot{\rho_\pm }+\nabla\cdot(\rho_\pm{\bf v}_\pm )=Q. \end{equation}$

(5)

هنا تمثل $\rho_\pm$ كثافات الجسيمات (مضروبة في القيمة المطلقة للشحنة)، ويمثل المصدر $Q$ خلق الأزواج وفناءها. ويمكن اختيار المصدر $Q$ كيفما يشاء المرء. ويعود ذلك إلى أن جسيماتنا عديمة الكتلة لا تحمل طاقة ولا زخما (مرة أخرى بسبب التخميد الإشعاعي القوي)، ومن ثم يمكن خلق الأزواج وإفناؤها اعتباطيا. والشرط الوحيد هو أن $Q\geq 0$ إذا انعدمت إحدى الكثافتين $\rho_\pm$ – إذ لا يجوز وجود كثافات جسيمات سالبة.

ومن المفاجئ إلى حد ما أنه حتى في هذه الصيغة غير المكتملة، تبدو EMC مفيدة؛ إذ إن تنبؤات EMC تبقى عمليا دون تغير ضمن مدى واسع من المصادر المفترضة $Q$ ، وبوسع المرء فعلا اختيار $Q$ كما يشاء. في تطبيقات النجوم النابضة، لا يتيح $Q$ المختار اعتباطيا إلا حساب اللمعان البولومتري، أما الأطياف والمنحنيات الضوئية فيجب لحسابها استنتاج المصدر $Q$ من الحركية الفعلية للشحنات والفوتونات. وهذا يعني أن دالة توزيع الفوتونات ينبغي أن تضاف إلى نظام EMC. غير أن النقطة المهمة هي أنه حتى في هذه النظرية الكاملة للنجوم النابضة، تبقى ديناميكا المجال والشحنات معطاة بنظام EMC (3-5).

تتطلب قابلية تطبيق EMC على النجوم النابضة ديناميكا موازية آنية عند أسطوانة الضوء، مما يعطي

$\begin{equation}\label{app} L\gg L_e\left({R\over r_e}\right)^{2/3}, \end{equation}$

(6)

حيث إن $L$ هو لمعان فقدان الدوران، و $R$ هو نصف قطر أسطوانة الضوء، و $r_e={e^2\over mc^2}$ هو نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي، و $L_e={mc^3\over r_e}= 8.7\times 10^{16}$ erg/s هو «لمعان الإلكترون الكلاسيكي». وتعطي المعادلة (6)، لنجم نابض بفترة 30ms، القيمة $L\gg 6\times 10^{30}$ erg/s، وهي تتحقق بسهولة.

2 دوار متراصف في EMC

لتوضيح كيفية عمل EMC في تطبيقات النجوم النابضة (وهو التطبيق الوحيد الذي يعرفه المؤلف)، نفترض ببساطة أن $Q$ ، أيا كان، يخلق كمية محددة سلفا من بلازما عالية التعددية، أي

$\begin{equation}\label{ans} \rho_++\rho_-=|\rho| +f\rho_0, \end{equation}$

(7)

حيث إن $\rho =\rho_+-\rho_-$ هي كثافة الشحنة (Goldreich-Julian)، و $f$ هي التعددية، و $\rho_0\gtrsim |\rho |$ هي كثافة شحنة مرجعية أكبر من القيمة المطلقة لكثافة الشحنة الفعلية $|\rho|$ .

Refer to caption — Figure 1: خطوط تساو لكل من: (i) التدفق المغناطيسي البولودي – سوداء سميكة، (ii) الجهد الكهربائي – حمراء أرق، (iii) التيار البولودي – زرقاء رفيعة (تعرض أسفل خط الاستواء فقط من أجل وضوح الصورة).

نعرض في الشكل النتائج من أجل $f=10$ و $\rho_0 =\sqrt{B^2+E^2}/R$ ، حيث إن $R$ هو نصف القطر الكروي. وتمثل هذه $\rho_0$ ببساطة كثافة الشحنة القادرة على تغيير المجالات بعامل من رتبة الواحد. وتشبه تقنية المحاكاة ما استخدمناه عند محاكاة النجوم النابضة بوساطة الديناميكا الكهربائية للمجالات القوية (SFE) (Gruzinov 2011a). وتقع أسطوانة الضوء عند ضعف نصف قطر النجم.

نحصل على نسخة مطابقة تماما من الغلاف المغناطيسي للنجم النابض المحسوب في حد الناقلية العالية لـ SFE. وهذا يستدعي تفسيرا.

3 EMC وSFE

تتألف SFE من نظرية ماكسويل مضافة إليها صيغة لقانون أوم متغايرة لورنتزيا (Gruzinov 2011a والمراجع الواردة فيه)

$\begin{equation}\label{sfe} {\bf j}={\rho {\bf E}\times {\bf B}+\sqrt{\rho ^2+\gamma ^2\sigma ^2 E_0^2}(B_0{\bf B}+E_0{\bf E})\over B^2+E_0^2}, \end{equation}$

(8)

$\begin{equation} \gamma ^2\equiv {B^2+E_0^2\over B_0^2+E_0^2}. \end{equation}$

(9)

هنا $\sigma$ هي الناقلية، التي يفترض في SFE أنها عدد قياسي اعتباطي يعتمد على $E_0$ و $B_0$ . وقد فرض قانون أوم هذا انطلاقا فقط من شرط التغاير اللورنتزي.

يمكن اشتقاق SFE من EMC إذا افترض المرء حد المصدر اللامتغير لورنتزيا

$\begin{equation}\label{Q} Q=\kappa(\sigma ^2E_0^2-2j^\mu_+j_{\mu -}), \end{equation}$

(10)

حيث إن $j^\mu_\pm$ هي التيارات ذات 4 مكونات والمتغايرة لورنتزيا $j^\mu_\pm =\rho_\pm(1,{\bf v}_\pm)$ . في الحد $\kappa \rightarrow \infty$ ، وفي الإطار الذي يكون فيه المجالان متوازيين وتنعدم فيه كثافة الشحنة، تصبح كثافات الجسيمات $\rho_\pm=\sigma E_0/2$ ، وبذلك نحصل فعلا على التيار (8).

من المفيد معرفة أن SFE (وهي نظرية أبسط لكنها مفترضة) قابلة للاشتقاق من EMC (وهي نظرية مؤسسة على مبادئ أولى، لكنها تضم حقولا أكثر وليست معرفة تعريفا كاملا). غير أن ذلك لا يفسر لماذا تعطي بلازما عالية التعددية مختارة اعتباطيا في §2 الغلاف المغناطيسي نفسه الذي تعطيه SFE عالية الناقلية.

تتبع عمومية الغلاف المغناطيسي عالي الناقلية في SFE من تعبير التيار الكهربائي في EMC:

$\begin{equation}\label{nmcc} {\bf j}={\rho {\bf E}\times {\bf B}+(\rho_++\rho_-)(B_0{\bf B}+E_0{\bf E})\over B^2+E_0^2}. \end{equation}$

(11)

والآن، بمقارنة تيار EMC (11) بتيار SFE (8)، نرى أن حالة الاتزان للبلازما عالية التعددية في §2 مطابقة لاتزان SFE ذي ناقلية معينة (غريبة) تعتمد على الموضع – ولكن ما دامت الناقلية عالية في كل مكان، فإن قيمتها الفعلية غير ذات شأن.

يبدو القياس الآتي منصفا. يمكن حساب قفزة درجة الحرارة عند صدمة غاز مثالي في ديناميكا الغازات التبديدية بلزوجة اعتباطية لكنها صغيرة. وبالمثل، يمكن حساب مقدار تخميد غلاف مغناطيسي مثالي لنجم نابض في EMC بتعددية اعتباطية لكنها عالية، أو في SFE بناقلية اعتباطية لكنها عالية.

تعطي EMC وSFE نتائج متطابقة في حساب اللمعان البولومتري. لكن EMC وحدها تبدو جزءا من النظرية الكاملة للنجوم النابضة، لأنها تعطي وصفا أمينا لكثافة الجسيمات (باستثناء الخلق والفناء إن وجدا).

4 الخلاصة

إن EMC – الديناميكا الكهربائية للشحنات عديمة الكتلة – نظام ديناميكي حسن السلوك. وتحمل الشحنات طاقة-زخما معدوما وتخضع لديناميكا أرسطية. والنظام شبه تبديدي. ويمكن للطاقة الكهرومغناطيسية أن تتناقص، لكنها تحفظ بدقة في بعض تشكيلات المجالات.

بالنسبة إلى النجوم النابضة، في حد التعددية العالية، تعطي EMC تدفق بوانتنغ غير مخمد في كل مكان باستثناء طبقة التيار الاستوائية. وبما أن الشحنات لا تحمل طاقة، فيجب تفسير تخميد تدفق بوانتنغ الاستوائي على أنه اللمعان البولومتري. وفي حالة دوار متراصف، يحصل المرء على اللمعان البولومتري $\approx 50\%$ من قدرة فقدان الدوران (Gruzinov 2011b). أما عند زاوية ميل عامة، فلم يحسب اللمعان البولومتري بعد. ومن المرجح أن يكون اللمعان البولومتري عند ميل عام أصغر من 50% من قدرة فقدان الدوران، لأن طبقة التيار المفردة أضعف في الحالة المائلة (Spitkovsky 2006).

أشكر Matt Kleban على مناقشات مفيدة.

References

(1)
(2) Gruzinov, A., 2011a, Pulsar Magnetosphere, arXiv:1101.3100
(3)
(4) Gruzinov, A., 2011b, Ohmic Power of Ideal Pulsars, arXiv:1101.5844
(5)
(6) Spitkovsky, A., 2006, Time-dependent Force-free Pulsar Magnetospheres: Axisymmetric and Oblique Rotators, ApJ, 648, L51
(7)