مُلَخَّص

تشكِّل الثقوبُ السوداءُ البدائيّةُ الخفيفةُ جدًّا، التي تتبخر قبل بدء التخليق النووي، حالةً مستثناةً من القيود ما لم تخلِّف بقايا مُستقرّة. نُبيّن أن الغرافيتونات المُشعّة عبر إشعاع هوكينغ الصادر من هذه الثقوب تُشكِّل مصدرًا لخلفيةٍ عشوائيّةٍ قويّةٍ من الموجات الثِّقالِيّة عالية التردّد (\(10^{12}\) Hz أو أكثر) في الكون الراهن. قد تؤدّي هذه الثقوب إلى مرحلةٍ قصيرةٍ تهيمن فيها المادّة. في هذه الحالة، قد تتكوّن مؤقّتًا تجمّعاتٌ ضخمة من «نجوم هوكينغ»، ويُصبِح طيفُ الموجات الثِّقالِيّة الناتج مُستقلًّا عن الكثافةِ العدديّةِ الأوّليّة للثقوب السوداء البدائيّة.

مُقَدِّمَة

الثقوبُ السوداءُ البدائيّةُ (PBH) التي تشكّلت مباشرةً بعد الانفجار العظيم (Hawking:1971ei,Carr:1974nx) يمكنها أن تتحلّل عبر إصدار إشعاع هوكينغ (Hawking:1974sw,Hawking:1974rv). يتحدّد تعدادُ هذه الثقوبِ الأوّلي بطيفِ الاضطراباتِ البدائيّة. وتُترجم القيودُ على هذا التعداد إلى حدودٍ على نماذج التضخّم وسيناريوهات الكون المبكر الأخرى التي تُولِّد هذا الطيف (Green:1997sz,Leach:2000ea,Kohri:2007qn,Peiris:2008be). تستند هذه القيود إلى عدم وجود دليلٍ على الثقوب السوداء البدائيّة حاليًّا، ولِأنّ الثقوبَ المتحلِّلة تُعطِّل عمليّات التخليق النووي، وإعادة التركيب، وإعادة التأيُّن (Mack:2008nv). عند التكوّن، يجب أن يكون الثقبُ الأسودُ البدائي أصغرَ من أفق هابل، وتزدادُ كميّةُ المادّة داخل أفق هابل – وبالتالي الكتلة القصوى والعُمر – مع توسّع الكون. تتحلّل الثقوبُ السوداءُ البدائيّةُ الخفيفةُ جدًّا بالكامل قبل التخليق النووي، لذا لا تخضعُ لتلك القيود. يشعّ الثقبُ جميعَ الجسيمات التي كتلتُها الساكنة أقلّ بكثير من درجة حرارته، بما في ذلك الغرافيتونات. إذا أشعَّ جسيماتٍ ثقيلةً وطويلةَ العُمُر، نحصل على حدودٍ صارمةٍ على تعدادها الأوّلي (MacGibbon:1987my,Barrow:1992hq,Green:1999yh,Lemoine:2000sq,Khlopov:2004tn)، لكنّ هذه الحدود تعتمد على افتراضاتٍ في فيزياء الجسيمات والجاذبيّة الكموميّة، كما أن الجسيماتِ المُشَعّة الأخرى تصل إلى التوازن الحراري، ممّا يمحو أيَّ ذاكرةٍ لأصلها. ومع ذلك، فإن الغرافيتونات المُنبعثة أثناء تبخّر الثقب لا تُمكنها الوصول إلى التوازن، وستبقى حتى اليوم، ممّا يُولِّد خلفيّةً قويّةً من الموجات الثِّقالِيّة. علاوةً على ذلك، لبعض قيم المعاملات، يمرّ الكونُ المبكِّر بمرحلةِ هيمنةٍ مادّيّةٍ عابرة، يمكن خلالها تشكُّل تجمّعاتٍ كبيرةٍ من هذه الثقوب. في هذه الحالة، يُصبح طيفُ الموجات الثِّقالِيّة المُتولَّد مُستقلًّا عن النسبةِ الأوّليّة للثقوب السوداء البدائيّة.

نرمز إلى النِّسبة الكثافيّة للثقوب السوداء البدائيّة بـ \(\Omega_{BH}\). في البداية تكون \(\Omega_{BH} = \beta\) مع \(0 < \beta < 1\). نفترض أن المكوِّن المتبقّي غيرُ المُتكتِّل هو الإشعاع. تتكوّن الثقوب السوداء البدائيّة إذا كان \(\delta \rho/\rho \gtrsim 10^{-2}\) على مقاييس صغيرةٍ جدًّا، وتتوافر هذه الخاصّيّة في عدّة نماذج تضخّم (GarciaBellido:1996qt، Saito:2008jc والمراجع المذكورة فيهما). بعد تجاوز هذه العتبة، تقترب \(\beta\) سريعًا من الوحدة. تُولَّد خلفيّةُ الموجات الثِّقالِيّة التي نرصدها حتى لو كانت \(\beta\) صغيرةً جدًّا، لذا عند دراسة أيّ نموذجٍ يتنبّأ بإنتاج ثقوبٍ سوداءَ بدائيّةٍ صغيرة، تكون الإشارة التي نناقشها هنا عامّة.

لتبسيط التحليل، نفترض أن كتلة الثقب الأسود البدائي تُساوي طاقةَ الكتلة الموجودة داخل حجم هابل عند لحظة الانهيار. باستخدام \(H^2 = 8\pi \rho/(3M_p^2)\) وتعريف \(\rho = E_{init}^4\)، نحصل على \[ M_{BH} = \sqrt{\frac{3}{32 \pi}} \frac{M_p^3}{E_{init}^2} \] وهي كتلةُ المادة المحتواة داخل كرةٍ نصفُ قُطرِها \(1/H\). عند احتساب تأثير «الجِسم الرمادي» عبر \(\Gamma_{sl}\)، يُصدِر ثقبُ شوارزشِلد جسيماتٍ عديمةَ الكتلة بزخمٍ \(k\)، فتَتناقَص طاقته الإجماليّة كما يلي \[ \frac{dE}{dt\,dk} = -\frac{M_{BH}^2}{2\pi M_p^4}k\sum_{s,l}\frac{(2l+1)h(s)\Gamma_{sl}\left(\frac{kM_{BH}}{M_p^2}\right)}{\exp{\left(\frac{8\pi M_{BH}k}{M_p^2}\right)}\pm1} = -\frac{2g}{\pi}\frac{M_{BH}^2}{M_p^4}\frac{k^3}{e^{k/T}-1},\quad T=\frac{M_p^2}{8\pi M_{BH}} \]

حيث يقوم h(s) بِعَدِّ حالات الاستقطاب/الحلزونيّة لجسيم ذي دوران s (Page:1976df,FrolovBK). أمّا السطرُ الثاني فهو قانونُ الجِسم الأسود المثالي، ويمثّل g عدد الدرجات الفعّالة البوزونيّة بعد تصحيحات «الجسم الرمادي». تُكبَّح الانبعاثاتُ عند الدّورانات الأعلى، لذا يعتمد g على كلٍّ من مزيج حالات الدوران وإجمالي عدد درجات الحرّيّة الخفيفة. لكلّ حالة s=0,1/2,1,2، تكون مساهمة g على التوالي 7.18, 3.95, 1.62, 0.18، ولذلك فإن انبعاث الغرافيتون أقلّ كثيرًا من التقدير الساذج. نتجاهل دَوَران (الزَّخْم الزّاويّ) الثقب الأسود، الذي يُعزّز انبعاث الغرافيتونات (Page:1976ki). العددُ الموجي الفيزيائي k يُعطى بـ \(\tilde{k}/a(t)\)، حيث \(\tilde{k}\) هو العددُ الموجيّ المشترك وa(t) هو عاملُ المقياس. بالدمج نحصل على \[ \frac{dM_{BH}}{dt} = -\frac{g}{30720\pi}\frac{M_p^4}{M_{BH}^2} \] ومنها يُحسَب العُمر \[ \tau = \frac{10240\pi}{g}\frac{M_{BH}^3}{M_p^4} = \frac{240}{g}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\frac{M_p^5}{E_{init}^6} \]

ينحدر الحدّ الأعلى لـ E_{init} من مِقياس طاقة التضخّم، المُقيَّد بعدم رصد خلفية الموجات الثِّقالِيّة البدائيّة في إشعاع الخلفية الكونيّة الميكرويّة، والتي نفترض – على نحوٍ مُتساهِل – أنّها تصل إلى \(\sim10^{16}\) GeV. أمّا في الطرف الأدنى فنحن مهتمّون بالثقوب التي تتحلّل قبل التخليق النووي بزمنٍ كافٍ لإعادة التوازن الحراري، لذا نحتاج \(\tau\lesssim100\) ثانية. عند E_{init}=10^{12} GeV، نحصل على \(\tau\approx29/g\) ثانية، وتكون درجةُ الحرارة الابتدائيّة 18.8 TeV. تُعطي النماذجُ القياسيّةُ وحدها g\sim\mathcal{O}(10^2)، ولكن سنفترض (بحذر) أن g\ge10^3. إنقاصُ E_{init} قليلًا يضمن بقاءَ الثقب حتى ما بعد التخليق النووي، لذا نفترض E_{init}\ge10^{12} GeV.

خلفيّة الموجات الثِّقالِيّة: بالإشارة إلى كثافةِ عدد الثقوب السوداء البدائيّة بـ n(t)، تصبح كثافةُ الطاقة \(\rho_{BH}=n(t)M_{BH}(t)\). لذا نحلّ المعادلات

\[ \begin{aligned} \frac{d\rho_{BH}}{dt} &= \dot{n}(t)M_{BH} + n(t)\dot{M}_{BH} \\ &= -3\frac{\dot{a}}{a}\rho_{BH} + \rho_{BH}\frac{\dot{M}_{BH}}{M_{BH}} \\ \frac{d\rho_{rad}}{dt} &= -4\frac{\dot{a}}{a}\rho_{rad} - \rho_{BH}\frac{\dot{M}_{BH}}{M_{BH}} \\ \frac{\dot{a}}{a} &= \left[\frac{8\pi}{3M_p^2}(\rho_{BH}+\rho_{rad})\right]^{1/2} \end{aligned} \] بالاشتراك مع معادلة فقدان الكتلة أعلاه.

يُستخلص \(\Omega_{gw}\) عبر إعادة تحجيمٍ مناسبة. أخيرًا، نحسب كثافةَ الطاقة الطيفيّة الحاليّة للموجات الثِّقالِيّة (Easther:2006gt, Price:2008hq):

\[ \Omega_{gw}(f) = \frac{1}{\rho}\frac{d\rho_{gw}}{d\ln f} \] حيث \(\rho\) هي الكثافة الكلّيّة و\(\rho_{gw}\) كثافةُ الطاقة في الموجات الثِّقالِيّة.¹

يظهر الطيفُ الحاليّ لكثافة الطاقة في الموجات الثِّقالِيّة دالّةً في E_{init}. تكون إشارةُ الموجات الثِّقالِيّة قويّةً عند تردّداتٍ عاليةٍ للغاية. تقريبًا، تتناسب درجة حرارة الإشعاع عكسيًّا مع a(t). يكون الثقبُ الأسودُ المُتبخِّر أكثر حرارةً من الوسط المحيط، ولكن الموجاتُ الثِّقالِيّة المُنبعثة تخضع لنفس عامل التمدّد كغيرها من الإشعاع. ونتيجةً لذلك، فإن تردّداتها اليوم أعلى من تردّدات إشعاع الخلفيّة الكونيّة الميكرويّة. إنقاص E_{init} يُطيل عمرَ الثقب، ممّا يزيد من هذا الفارق ويدفع إشارة الموجة الثِّقالِيّة نحو تردّداتٍ أعلى. ويظهر الانخفاضُ في أعلى التردّدات لأن هذه الأطياف تنشأ فقط من ثقوبٍ سوداءَ صغيرة، وعددُها محدود. في المقابل، فإن زيادة g تُقلِّل نسبة الانبعاث في الموجات الثِّقالِيّة، ما يُخفِّض \(\Omega_{gw}\). وبما أنّ \(\tau\) يتناسب عكسيًّا مع g، تنبعث الموجاتُ الثِّقالِيّة في مراحل يكون فيها الكون أصغر، ممّا يزيد عامل الانزياح الأحمر ويُخفِّض تردّدها الحالي.

في الكون البدائي، يسود الإشعاع بينما يتصرّف الثقبُ الأسودُ البدائي كمادّة. في البداية يكون \(\Omega_{BH}\propto a(t)\) حتى تبلغ إمّا \(\Omega_{BH}\approx1\) أو يدخل الثقبُ مرحلةَ التبخّر الأخيرة فيبدأ \(\Omega_{rad}\) في الازدياد. ما إن يهيمن الثقبُ الأسودُ على الكون، يُصبح معظمُ الإشعاع «المتأخّر» صادرًا منه مع مساهمةٍ ضئيلةٍ من الإشعاع «الأولي». في هذه الحالة تكون \(\Omega_{gw}=0.36/g\) بعد انتهاء التبخّر. يُمثّل هذا الكسرَ الكلّي المُنبعث إلى الغرافيتونات، ويكون \(\Omega_{gw}(f)\) مُستقلًّا عن \(\beta\). إذا كانت \(\beta\) صغيرةً جدًّا أو كانت g كبيرةً جدًّا، يبقى الكونُ مهيمنًا بالإشعاع وتكون \(\Omega_{gw}<0.36/g\). بافتراض \(\rho_{rad}\approx E_{init}^4\)، تحدث مرحلةُ الهيمنة المادّيّة إذا

\[ \beta\gtrsim\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{15}}\frac{E_{init}^2}{M_p^2}\,. \] تذكّر أنّ \(H^2=\frac{1}{4t^2}\) في كونٍ مهيمنٍ عليه الإشعاع. وإن ظلّ الكونُ مُشِعًّا حتى تبخّر الثقب، فإن \(a(\tau+t_{init})\approx(\tau/t_{init})^{1/2}\) مع \(a(t_{init})\equiv1\). بالتالي، تقلّ \(\Omega_{gw}(f)\) مع \(\beta\) إذا لم تتحقّق تلك اللامساواة.

في كونٍ مهيمنٍ عليه الإشعاع، \(H(t)\sim a(t)^{-2}\). كما هو الحال دائمًا، يُحدّد \(1/H\) مقياسَ هابل الفيزيائي، بينما يكون الطولُ الهابلِيُّ المُشترَك \(1/(aH)\). عددُ الثقوب السوداء البدائيّة في كلّ حجمِ هابلٍ أوّلي هو \(\beta\)، وبالتالي قبل الهيمنةِ المادّيّة يصل هذا العدد إلى \(\beta\,a(t)^3\). قد يكون هذا هائلًا: فعلى سبيل المثال، عند \(\beta=10^{-8}\) و\(a(t)=10^8\) قبل الهيمنة، يُصبح هناك \(10^{16}\) ثقبًا أسودَ بدائيًّا في أفق هابل واحد. تنمو الاضطراباتُ في كونٍ تهيمن عليه المادّة، ويُصبح النطاقُ الداخلي للأفق الذي يتجاوز طولَ جينز غيرَ خطّي حيث \(\delta\propto\eta^2\) مع \(\eta=\int dt/a(t)\) (Peacock:1999ye). خلال الهيمنة المادّيّة، \(\delta\sim a(t)\)، فتدخل المقاييس الصغيرةُ إطارَ اللاحطيّة. ولضمان تشكُّل الثقوب البدائيّة، يُفترض أن تكون السعةُ الأوّليّة للاضطرابات أكبرَ بكثير من القيمة الفلكيّة القياسيّة \(10^{-5}\). قد تُصاحِب مرحلةُ الهيمنة بالثقوب السوداء نموَّ هياكلَ لاحطيّةٍ تحت الأفق، ممّا يؤدّي إلى تكوين تجمّعاتٍ ضخمة من الثقوب. يُذكّرنا هذا الوضع بالكون الحاضر، حيث تُشبه هذه التجمّعات «نجوم هوكينغ».

لقد نوقِش سابقًا احتمالُ أن تُسبِّب الثقوبُ السوداءُ البدائيّة مرحلةَ هيمنةٍ مادّيّة (Barrow:1990he)، وأن يؤدّي وجودُ كونٍ مهيمنٍ عليه بثقوبٍ مُتَبَخِّرة في حالة توازنٍ حراريّ إلى بيئةٍ محتملةٍ لتوليد الباريون (Sakharov:1967dj, Barrow:1990he, Baumann:2007yr). بشكلٍ حاسم، قد تُعزِّز الكثافاتُ الزائدةُ اللاحطيّة بشكلٍ كبير معدّلاتِ التلاقي/الاندماج بين الثقوب (Kotok:1998rp, Chisholm:2005vm). عند اندماج ثقبين بدائيّين، يعيشُ الناتج نحو ثماني مرّاتٍ عُمرَ الثقوب الأمّ. وإذا نجت بعضُ الثقوب من تبخُّرها حتى ما بعد التخليق النووي، فقد تُطرَح مشكلةُ الثقوبِ طويلةِ العُمر. وبما أنّ عُمر الثقب يتناسب بقوّةٍ مع الطاقة الابتدائيّة، تُظهِر المعادلة أنّ عامل 10 في \(\tau\) يمكن تعويضُه بزيادة E_{init} بمقدار \(10^{1/6}\approx1.5\)، لكنّ الحدّ الأدنى لـ E_{init} يبقى تقريبًا ثابتًا ما لم يحدث اندماجٌ واسعٌ للثقوب في أجسامٍ فرديّة.

لتقدير الحدّ الأدنى لمعدّل الاندماج، تذكّر أن ثقبًا بدائيًّا بكتلة الأفق له نصفُ قُطر شوارزشِلد \(r_s=2M/M_p^2\)، وهو يُعادِل طولَ هابل الابتدائي \(1/H\). افترض أن ثقبًا بدائيًّا مفصولًا بمسافةٍ مشتركة \(c\, r_s\) سيندمج، حيث c عددٌ من رتبة الوحدة. ضمن حجمٍ نصفُ قُطرِه \(c\, r_s\)، نتوقّع وجود ما يقارب \(c^3\beta\) ثقبًا، وبالتالي في الأحجام التي تحتوي على N ثقوب سيكون احتمالُها \((c^3\beta)^{(N-1)}\)، وهو أندرُ بكثيرٍ من الحالات التي تحوي ثُقبًا واحدًا. بالتالي، عند حدوث هيمنةٍ مادّيّة، تكون نسبةُ الكون المؤلَّف من ثقوبٍ كتلتُها \(N M_{BH}(t_{init})\) حوالي \((c^3\beta)^{(N-1)}\). ما لم تقترب \(\beta\) من الوحدة، فإن هذه المرحلةَ المُبكِّرة من الاندماج لا تُفضي إلى نشوء ثقوبٍ بدائيّةٍ طويلةِ العُمر.

المناقشة: نُبيّن أن الثقوبَ السوداءَ البدائيّة الخفيفة التي تتبخر قبل التخليق النووي تُولِّد خلفيّةً من الموجات الثِّقالِيّة بتردّدٍ عالٍ. في الوقت الراهن، تظلّ هذه الخلفيّة موضوعًا ذا اهتمامٍ نظري، إذ تقع تردّداتها أعلى بكثير من نطاق حساسيّة مراصد كمِرصد «ليغو» أو مقترحات مقاييس الفضاء مثل «ليزا»، وهي من أكثر التجارب حساسيّةً لموجات الجاذبيّة قيد التطوير. ومع ذلك، فإن إمكانيّة وجود خلفيّاتٍ عند تردّداتٍ عالية تُشجِّع على تطوير تقنيات رصدٍ جديدة. قد يتفوّق طيفُ كثافة الطاقة لهذه الخلفيّة على ذلك النّاتج عن التحوّلات الطوريّة أو اصطدامات الفقاعات (Kamionkowski:1993fg، Easther:2006gt). علاوةً على ذلك، قد تُحفِّز مجموعةُ الثقوب البدائيّة الخفيفة مرحلةً قصيرةً من الهيمنة المادّيّة قبل التخليق النووي، حيث يتشكّل ما يُشبه كَوْنًا باردًا تهيمن فيه تجمّعات «نجوم هوكينغ».

لقد حظيت الموجاتُ الثِّقالِيّة المُولَّدة خلال التسخين المُسبق أو الرنين البارامتريّ في نهاية التضخّم باهتمامٍ كبير مؤخرًا (Easther:2006gt، Easther:2006vd، Dufaux:2007pt). وبذلك، تُوفِّر الثقوبُ السوداءُ البدائيّة المُتحلِّلة آليّةً إضافيّةً لتوليد خلفيّة موجاتٍ ثِّقالِيّة عالية التردّد إذا أسفر التضخّم أوّلًا عن اضطراباتٍ تُكوِّن هذه الثقوب. لا تُنتِج النماذجُ الأبسطُ جدًّا للتضخّم ثقوبًا بدائيّة، وتكون \(\beta\equiv0\)، ولكن القيودَ الحاليّة على انحناء الطيف \(\alpha = d n_s/d\ln{k}\) تبقى متوافقةً مع إنتاج الثقوب البدائيّة (Peiris:2008be). علاوةً على ذلك، تُستمدّ هذه القيودُ من استقراء قدرات التضخّم في نطاقاتٍ فلكيّة أثناء توليد الاضطرابات، وهو ما يحدُّ من صلاحيّة النماذج التي ينتهي فيها التضخّم فجأة؛ إذ قد تؤدّي تلك السيناريوهات إلى إنتاجٍ وفيرٍ من الثقوب البدائيّة (GarciaBellido:1996qt)، رغم أنّ نماذجها غالبًا ما تتنبّأ بأن n_s>1 وهو ما يتعارض مع البيانات الراهنة. لذلك نتعامل مع \(\beta\) كمعلمةٍ حرّة، مع الإشارة إلى إمكان حسابها في سيناريو تضخّم محدّد. ومع ذلك، يُلاحَظ أنّه ليس شرطًا أن تكون كبيرةً – فالمرحلةُ المادّيّة المُطوَّلة ممكنةٌ حتى لو كانت \(\beta<10^{-10}\)، شرط أن تقع E_{init} في الطرف الأدنى من النطاق المسموح.

تشتمل التحليلاتُ هنا على عددٍ من الافتراضات المُبسَّطة. ومع ذلك، فإنّها لا تُقوِّض استنتاجَنا الرئيسي، وهو أنّ خلفيّة الموجات الثِّقالِيّة عاليةَ التردّد الناتجة عن إشعاع هوكينغ تُشكِّل البصمةَ الوحيدةَ الواضحةَ للثقوب السوداء البدائيّة التي تتبخّر سريعًا وتلازم آثارُها العصرَ الراهن.

الشُّكرُ والتَّقدير

نشكر دي-تشانغ داي، أندرو ليدل، دايسوكي ناغاي، دون بيج وديجان ستوجكوفيتش على المناقشات القيّمة. وقد حظي عملُ RE بدعمٍ جزئيّ من وزارة الطاقة الأمريكيّة (منحة DE-FG02-92ER-40704) ومن جائزة NSF Career Award PHY-0747868.