مُلخَّص

تُولِّد الحركة العرضية لمجرّات الأقزام الكروية القريبة مكوّنًا في سرعة خطّ البصر يزداد مع البعد الزاوي عن مراكز الأقزام، ما يُفضي إلى تدرّجات قابلة للرصد في السرعة (أو في الانزياح الطيفي). في غياب أي تدرّج داخلي في السرعة (مثل الدوران الحقيقي أو الجريان)، يرتبط التدرّج الملحوظ في إطار السكون الشمسي ببساطة بالحركة العرضية النظامية للقزم الكروي. لقد غدت عينات البيانات الحركية لألمع الأقزام الكروية التابعة لدرب التبانة كافية الآن لاستخدام سرعات خطّ البصر لنجوم الفروع العملاقة الحمراء في تقييد الحركات الخاصّة بمعزل عن القياسات الاسترومترية. تكشف بيانات منظومة الألياف Michigan/MIKE عن تدرّجات سرعة مهمّة في Carina وFornax وSculptor، فيما لا يظهر أي تدرّج معتدّ به في Sextans. بافتراض انعدام التدرّج الداخلي، توفّر هذه البيانات قيدًا محكمًا على الحركة الخاصّة لـFornax، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(+48 \pm 15,-25\pm 14)\) ملّي ثانية قوسيّة في القرن، وهو ما يتوافق مع القياسات الاسترومترية المنشورة. أما البيانات الأصغر حجمًا فتعطي قيودًا أضعف لبقيّة الأقزام؛ ومع ذلك فإن قياسنا لـCarina، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(+25\pm 36,+16\pm 43)\) ملّي ثانية قوسيّة في القرن، يتوافق أيضًا مع القيمة الاسترومترية المنشورة. بينما قياسنا لـSculptor، \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(-40 \pm 29,-69 \pm 47)\) ملّي ثانية قوسيّة في القرن، يختلف عن القياسات الاسترومترية إذا كان لـSculptor مكوّن دوّار كما ذكر battaglia08. وبالنسبة لـSextans، التي لا يتوفّر لها حتى الآن قياس استرومتري، نقيس \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(-26 \pm 41,+10 \pm 44)\) ملّي ثانية قوسيّة في القرن.

مُقَدِّمة

شهدت السنوات الأخيرة زيادة كبيرة في حجم البيانات الحركية المتاحة لنجوم منفردة في ألمع الأقزام الكروية ضمن المجموعة المحليّة (انظر مثلًا battaglia06,koch07,mateo08,walker08a). وقد صُمِّمت معظم المسوحات الكبيرة التي أفضت إلى هذه البيانات لقياس كمّية وتوزيع المادّة المظلمة في تلك الأنظمة، غير أنّ التحسينات الإحصائية أثبتت فائدتها أيضًا في دراسات أخرى. نعلم الآن أنّ ما كان يُعدّ سابقًا تجمّعات نجمية وحيدة الطابع في هذه الأقزام قد يحتوي فعليًا على مكوّنات متعدّدة متمايزة في العمر والتركيب الكيميائي والحركي (tolstoy04,battaglia08). وتُظهر بعض الأقزام الكروية إشارات إلى بُنى حركية محلّية (kleyna03,walker06b)، بينما يبدو أن بعضها الآخر يتعرّض لتيّارات مديّة في أجزائه الخارجية (munoz06,sohn07,mateo08). مجتمعةً، تُغني هذه النتائج نماذج تطوّر المجرّات على أصغر المقاييس.

في هذا العمل نستخدم مجموعات البيانات الحركية لغرض جديد: قياس الحركة العرضية النظامية للأقزام الكروية على نحو مستقلّ عن القياسات الاسترومترية. أشار kaplinghat08 حديثًا إلى إمكانية استخدام عينات سرعات خطّ البصر التي تضم أكثر من 1000 نجم لقياس الحركة الخاصّة بدقّة تضاهي قياسات تلسكوب هابل، في حين أن العينات التي تتجاوز 5000 نجم قد تتفوّق عليها بكثير. تعتمد التقنية على رصد ما يُسمّى «الدوران المنظوري»: عند أنصاف أقطار زاوية كبيرة يُصبح للمركّب العرضي لحركة القزم الكروي أثر ملموس على سرعة خطّ البصر، ما يؤدّي إلى انزياح طيفي نحو الأحمر على طول اتجاه الحركة العرضية ونحو الأزرق على الجهة المقابلة. في غياب أي تدرّج داخلي للسرعة (كالدوران الحقيقي أو الجريان)، يرتبط مقدار واتجاه التدرّج الملحوظ ببساطة بالحركة العرضية النظامية. وقد استُخدم هذا الأثر منذ زمن في دراسات حركة سُحُب ماجلان (feast61,vandermarel02)، ومؤخرًا لتقييد الحركة العرضية لمجرة أندروميدا انطلاقًا من سرعات أقمارها (vandermarel07).

نُطبِّق هنا تقنية المنظور للمرّة الأولى على عينات كبيرة من سرعات النجوم في الأقزام الكروية، ونقدّم القيود الناتجة على الحركة العرضية لكل من Carina وFornax وSculptor وSextans. تعتمد بياناتنا على ملاحظات باستخدام نظام الألياف المتعدِّدة MMFS على تلسكوب ماجلان حتى أغسطس 2008 (Walker08a قيد الإعداد). ونضيف إلى ذلك بيانات حركية لفورناكس من walker06a تشمل 155 نجمًا لم تُرصَد عبر MMFS. لم نُدمج بيانات منشورة أخرى، وقد تأكّدنا من أنّ ذلك — باستثناء اختلاف طفيف في التغطية المكانية (انظر مناقشة كارينا في القسم المناقشة) — لا يؤثّر جوهريًا في النتائج. تحتوي العينات على قياسات السرعة للأعداد الآتية من النجوم: Carina: 1982 نجمًا (774 عضوًا)؛ Fornax: 2793 نجمًا (2610 عضوًا)؛ Sculptor: 1541 نجمًا (1365 عضوًا)؛ Sextans: 947 نجمًا (441 عضوًا).

تدرّجات السرعة

نُبيّن أولًا أنّ البيانات الحركية المتاحة تُظهر تدرّجات سرعة ملحوظة على السماء.

لكل قزم كروي، تقدّم «الورقة الثانية» سرعات النجوم المقاسة على طول خطّ البصر، \(V\)، في إطار السكون الشمسي (HRF). بالسماح بتدرّج سرعة في HRF مقداره \(k\equiv dV/dR'\)، حيث \(R'\) هي المسافة الزاوية من مركز القزم الكروي في اتجاه التدرّج، تكون دالّة الاحتمال \[ \begin{aligned} L(\langle V\rangle,\sigma_{V_0},k)\propto \displaystyle\prod_{i=1}^N \biggl (\frac{1}{\sqrt{(\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)}}\\ \times \exp\biggl [-\frac{1}{2}\frac{(V_i-\langle V \rangle -kR_i\cos(\theta_i-\theta_{0}))^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2} \biggr ]\biggr ), \end{aligned} \] حيث \(\sigma_{V_i}\) هو خطأ القياس، و\(\sigma_{V_0}\) هو تشتّت السرعة الداخلي، و\(\theta_i\) و\(\theta_{0}\) هما زاويتا موضع النجم واتجاه التدرّج، على الترتيب. يقدّم walker08b خوارزمية تُقيم احتمالية العضوية، \(P_{M}\)، لكل نجم بالاستناد إلى سرعته ومؤشّر المغنيسيوم وموضعه. ومنح أوزان لنقاط البيانات وفق احتمالات العضوية يعطي متوقَّع اللوغاريتم للاتّساق \[ \begin{aligned} E(\ln L)=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N P_{M_i}\ln (\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)\\ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N P_{M_i} \biggl [\frac{(V_i-\langle V \rangle -kR_i\cos(\theta_i-\theta_{0}))^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2} \biggr ] +\mathrm{const}. \end{aligned} \]

لزوايا اتجاه معيّنة \(\theta_{0}\) تأخذ التقديرات \(\langle \hat{V}\rangle\) و\(\hat{\sigma}_{V_0}\) و\(\hat{k}\) القيم التي تُعظِّم \(E(\ln L)\). وباتباع walker08b نحصل على هذه التقديرات بجعل المشتقّات الجزئية لـ\(E(\ln L)\) بالنسبة إلى كلّ معلمة مساوية للصفر، ثم نحلّها تكراريًا. مثلًا، يُحسب \(\hat{k}\) في كل تكرار من: \[ \hat{k}=\frac{\sum_{i=1}^N\frac{\hat{P}_{M_i}[V_i-\langle \hat{V} \rangle]R_i\cos(\theta_i-\theta_0)}{1+\sigma_{V_i}^2/\hat{\sigma}_{V_0}^2}}{\sum_{i=1}^N\frac{\hat{P}_{M_i}[R_i\cos(\theta_i-\theta_0)]^2}{1+\sigma_{V_i}^2/\hat{\sigma}_{V_0}^2}}. \]

نفحص لكل قزم كروي زوايا محتملة لتدرّج السرعة \(\theta_{0}=\{0^{\circ},3^{\circ},6^{\circ},...,180^{\circ}\}\). ونُقيِّم أهميّة التدرّج الأقصى، \(\hat{k}_{max}\)، عبر محاكاة «مونتِ كارلو» بإعادة ترتيب البيانات الحقيقية \((V_i,\sigma_{V_i},R_i,\theta_i)\). في كلّ من \(1000\) تحقيق نُبدِّل ثلاثيات \((V_i,\sigma_{V_i},\hat{P}_{M_i})\) عشوائيًا بين أزواج \((R_i,\theta_i)\)، فتبقى المحاكاة محافظة على التوزيع المكاني والسرعات الإجمالية كما في البيانات الحقيقية، لكنها تُزيل أي ترابط بين السرعة والموضع. نُعرِّف أهميّة \(p_{\hat{k}_{max}}\) على أنها النسبة من المحاكاة التي يظهر فيها — عند أي زاوية موضع — تدرّج أعظم من التدرّج الأقصى المرصود في البيانات الحقيقية.

يسرد الجدول [tab:global] لكلّ قزم كروي القيم \(\hat{k}_{max}\) و\(p_{\hat{k}_{max}}\) عند الزاوية \(\theta_{0_{max}}\) التي تُنتج أكبر تدرّج سرعة. تُظهر Carina وFornax وSculptor تدرّجات سرعة مهمّة في HRF عند مستويات \(p_{\hat{k}_{max}}>0.973\)، بينما لا يُظهر Sextans تدرّجًا مهمًّا مع \(p_{\hat{k}_{max}}=0.753\). وعلى الرغم من أهميّة هذه التدرّجات، فإنها لا تُؤثّر في تقديرات تشتّت السرعة للجماعة؛ إذ تبقى \(\langle\hat{V}\rangle\) و\(\hat{\sigma}_{V_0}\) مطابقتين تقريبًا لما يرد في تحليل «الورقة الثالثة» عند افتراض انعدام تدرّج السرعة.

الحركة الخاصّة للأقزام الكروية

يمكن أن تنشأ التدرّجات الملحوظة في سرعة خطّ البصر من تأثير المنظور و/أو من وجود دوران جوهري أو حركات جريان داخلي. نفترض هنا أن الدوران والجريان الداخليّين ضئيلان؛ في هذه الحالة يعكس التدرّج بالكامل الحركة العرضية للنظام القزمي. لتكن \(v_{rel}(\alpha,\delta)\) إسقاط الحركة النسبية بين الشمس والقزم الكروي على طول خطّ البصر عند الإحداثيات الاستوائية \((\alpha,\delta)\). حينما نتحرّك مع القزم الكروي (في إطار سكون القزم DRF)، تكون سرعة النجم في هذا الإطار \[ V_{DRF}=V - v_{rel}(\alpha,\delta), \] حيث \(V\) هي سرعة HRF للنجم. في الملحق [app:drfgrf] نشتقّ التعبير عن \(v_{rel}(\alpha,\delta)\) بدلالة مركّبتي \((\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\) للحركة الخاصّة النظامية للقزم الكروي.

نفترض توزيعًا غاوسيًا لسرعات القزم الكروي في DRF بمتوسط \(\langle V\rangle_{DRF}=0\) وتباين \(\sigma_{V_0}^2\) من دون تدرّج داخلي. يكون التدرّج المرصود في HRF (القسم [sec:gradients]) انعكاسًا لتغيّر \(v_{rel}\) عبر جسم القزم، وعليه تكون دالّة الاحتمال \[ \begin{aligned} L(\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\propto \prod_{i=1}^N \biggl(\frac{1}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2}\\ \times \exp\biggl[-\frac{1}{2}\frac{[V_i - v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)]^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2}\biggr]\biggr). \end{aligned} \] ومجدّدًا نستخدم أوزان الاحتمالية لكل نجم \(P_{M_i}\)، فيكون متوقَّع اللوغاريتم للاحتامل: \[ \begin{aligned} E(\ln L)= -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N P_{M_i}\ln(\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2)\\ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N P_{M_i}\frac{[V_i - v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)]^2}{\sigma_{V_0}^2+\sigma_{V_i}^2} +\mathrm{const}. \end{aligned} \]

نقيس الحركة العرضية عبر تعظيم \(E(\ln L)\) بالنسبة إلى الزوج \((\mu_{\alpha},\mu_{\delta})\)، مُحدِّدين بذلك \(v_{rel}(\alpha_i,\delta_i)\) وفق المعادلات [eq:axayaz1]–[eq:vrelagain]. أثناء هذه العملية نُثبّت قيمة \(\sigma_{V_0}\) عند تلك التي قيّدت \(E(\ln L)\) في القسم [sec:gradients]، وهي: 6.6 كم/ث (Carina)، و11.6 كم/ث (Fornax)، و9.2 كم/ث (Sculptor)، و7.9 كم/ث (Sextans).

نحصل على أشدّ القيود إحكامًا للحركة العرضية في Fornax، حيث نجد \((\mu_{\alpha}^{HRF},\mu_{\delta}^{HRF})=(+48\pm15,-25\pm14)\) ملّي ثانية قوسيّة/قرن. تتقاطع منطقة الثقة 1σ في الشكل [fig:propermotion] مع قياسات dinescu04 وpiatek07. ومن المشجّع أنّ قياسنا يتوافق مع piatek07 ويماثل دقّة قياسات هابل لأقزام أخرى.

لا يتوافق قياسنا لـSculptor مع القياسات الاسترومترية المنشورة schweitzer95 وpiatek06، وهي أيضًا غير متوافقة فيما بينها. ومع ذلك، يُتوقَّع هذا اللاتوافق إذا صحّت هذه القياسات؛ فعند إزالة تأثير المنظور باستخدام أيٍّ منها تظهر تدرّجات قوية في DRF (\(\hat{k}\ge6.0\) كم/ث/درجة؛ \(\hat{p}_{\hat{k}_{max}}\ge0.994\)). لذلك، إنْ كانت أيٌّ من القياسات الاسترومترية صحيحة، فتُشير سرعاتنا إلى تدرّج داخلي قوي قد يعود إلى دوران أو جريان (انظر battaglia08)، وهو ما ينقض الفرض الذي اعتمدناه.

المناقشة

قدّمنا أوّل قيود على الحركة العرضية للأقزام الكروية مستخلصة من تدرّجات سرعات خطّ البصر. وبفضل حجم عيناتنا الحركية، استطعنا قياس الحركة العرضية بدقّة تقترب مما تنبّأت به المحاكاة (kaplinghat08). يعتمد نموذج kaplinghat08 على وصفٍ أكثر تعقيدًا للتوزيع الداخلي للسرعات، بينما يفترض عملُنا توزيعًا غاوسيًا بسيطًا يتماشى مع المنحنيات المسطّحة لتشتّت السرعة المرصودة (walker07b) ويُنتج قيودًا مماثلة.

استنتج battaglia08 وجود دوران في Sculptor من تدرّج سريع في سرعة خطّ البصر لدى أعضائها البعيدة. نرصد تدرّجًا مشابهًا، لكن يمكن تفسيره بالكامل بتأثير المنظور إذا اختلفت الحركة الاسترومترية عن القيم المنشورة. بالتالي، سواءٌ أكان الدوران حقيقيًا (كما يدّعي battaglia08) أم نتيجةً لجريان داخلي، فإنّ ذلك يخرم فرضية خلوّ القزم من التدرّجات الذاتية ويؤثّر في قياسنا.

تطرّق munoz06 إلى تدرّج سرعة ملحوظ في المناطق الخارجية لـCarina (عند \(R>1^\circ\)) خارج نطاق مسح MMFS. ولو دمجنا عينتهم الممتدّة لحصلنا على حركة عرضية \(\mu_{\alpha}=+56\pm29\)، \(\mu_{\delta}=-1\pm33\) ملّي ثانية قوسيّة/قرن، وهي أقلّ توافقًا مع القياسات الاسترومترية. يجزم munoz06 بأن المناطق البعيدة تتأثّر بتيّارات مديّة، ما قد يُربك قياس الحركة العرضية إذا شملناها؛ ومن المشجّع أنّ المناطق الداخلية الخالية من دلائل المدّ تُنتج قياسًا متوافقًا جيدًا مع الاسترومتريا. ويبرهن هذا على ضرورة التحفّظ عند استخدام هذا الأسلوب، إذ تتوقّف صحته على غياب أي تدرّج ذاتي. ويُعدّ توافق حركة Fornax مع القياسات الاسترومترية دليلًا قويًا على انعدام تدرّج داخلي ضمن النطاق العيّني المُعتمَد.

يشير أوّل قياس من نوعه لـSextans إلى أنه — على بُعد 86 كيلوبارسك — يتحرّك مبتعدًا عن الحضيض (\(r_{\text{peri}}=66_{-61}^{+17}\) كيلوبارسك) باتجاه الأوج (\(r_{\text{apo}}=129_{-33}^{+113}\) كيلوبارسك). ولدى الحركة العرضية المقاسة أخطاء كبيرة تسمح بمدارات ذوات لامركزيّة بين 0.25 و0.89 ضمن ثقة 95%. والمدارات الأكثر تَفَلُّطًا قد تُقرِّبه إلى نحو 5 كيلوبارسك من المركز. وإذا اعتُبر القياس الحركي الأكثر احتمالًا صحيحًا، فلا يبدو أنّ Sextans ينتمي إلى تيار معروف في هالة درب التبانة، إذ لا تتوافق حركته — ضمن الأخطاء — مع الارتباطات التي اقترحها lyndenbell95 مع Sculptor أو مع بال3/بال2/NGC 5824.

نشكر لويس ستريجاري على المناقشات المفيدة، وسلاومير بياتِك وتاد برايور لمشاركتهما الشيفرة المستخدمة لحساب المُعامِلات المدارية. ويعترف EO بدعم منح NSF AST-0205790، 0505711، و0807498. ويعترف MM بدعم منح NSF 0206081، 0507453، و0808043. ويشكر MGW الدعم من برنامج تكوين المجرّات وتطوّرها المموَّل من STFC في معهد الفلك بجامعة كامبريدج.

إطار سكون القزم (DRF)

لنفترض أنّ \(\mathbf{A}_{D}\) و\(\mathbf{A}_{*}\) هما متّجها الموضع ثلاثيا الأبعاد لقزم كروي ولنجمٍ منه، على التوالي، مُقاسان في جهاز إحداثيات مركزُه الشمس. إنّ إسقاط الحركة النسبية بين الشمس والقزم الكروي على طول خطّ الرؤية إلى النجم ذي الإحداثيات الاستوائية \((\alpha_*,\delta_*)\) يُعطى بالعلاقة \[ v_{rel}(\alpha_*,\delta_*)=\frac{\mathbf{A}_*}{A_*}\cdot(\dot{\mathbf{A}}_{D}), \] حيث \(\dot{\mathbf{A}} = d\mathbf{A}/dt\).

لتطبيق المعادلة [eq:vrel] نختار جهازًا ديكارتيًا بحيث تشير المحاور +x، و-y، و+z نحو \((\alpha,\delta)=(6^h,0^\circ)\)، ونحو \((0^h,0^\circ)\) (نقطة الاعتدال الربيعي)، ونحو القطب السماوي الشمالي، على الترتيب. يُعبَّر عن موضع النجم بالمتّجه \(\mathbf{A}_* = A_{*_x}\hat{x} + A_{*_y}\hat{y} + A_{*_z}\hat{z}\)، ويكون المتّجه الوحدوي \(\mathbf{B}_*=\mathbf{A}_*/A_*\) بمكوّناته \[ \begin{aligned} B_{*_x}=\cos\delta_*\,\sin\alpha_*;\\ B_{*_y}=-\cos\delta_*\,\cos\alpha_*;\\ B_{*_z}=\sin\delta_*. \end{aligned} \] وتكون حركية القزم الكروي (ثلاثية الأبعاد) على بُعد \(A_D\)، مع سرعة خطّ البصر HRF \(V_D=\dot{A}_D\) وحركة خاصّة \((\mu_\alpha,\mu_\delta)\)، مُعطاة بالمركّبات \[ \begin{aligned} \dot{A}_{D_x}=V_{D}\cos\delta_{D}\sin\alpha_{D} +A_{D}\mu_{\alpha}\cos\delta_{D}\cos\alpha_{D} -A_{D}\mu_{\delta}\sin\delta_{D}\sin\alpha_{D};\\ \dot{A}_{D_y}=-V_{D}\cos\delta_{D}\cos\alpha_{D} +A_{D}\mu_{\delta}\sin\delta_{D}\cos\alpha_{D} +A_{D}\mu_{\alpha}\cos\delta_{D}\sin\alpha_{D};\\ \dot{A}_{D_z}=V_{D}\sin\delta_{D}+A_{D}\mu_{\delta}\cos\delta_{D}. \end{aligned} \] وعندئذ يكون إسقاط الحركة النسبية على خطّ الرؤية إلى النجم \[ v_{rel}(\alpha_*,\delta_*)=\mathbf{B}_*\cdot\dot{\mathbf{A}}_{D} =B_{*_x}\dot{A}_{D_x}+B_{*_y}\dot{A}_{D_y}+B_{*_z}\dot{A}_{D_z}. \]