مُلخّص

نُقدِّم تقييماً لطيف الغلوبيونات المُستخلَص من التشكيلات المُولَّدة باستخدام فرميونات ديناميكية عند \(N_f=1\)، وذلك كدالّة للكتلة \(m_{\rm PCAC}\). استخلصنا كُتَل الحالات التي تنتمي إلى التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة دوران المكعّب عند ثوابت \(C\) (الترافق الشحني) و\(P\) (التكافؤ). ونظراً لانخفاض نسبة الإشارة إلى الضوضاء، أمكننا عمليّاً استخراج كُتل الحالات في التمثيلات \(R^{PC}=A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\) و\(A_1^{-+}\) فقط. استعملنا مشكلة القيمة الذاتية المُعمَّمة (GEVP) مع قاعدة مؤثِّرات غلونية فقط. يهدف هذا العمل إلى تقدير أثر الكواركات الديناميكية الخفيفة على طيف الغلوبيونات ومقارنته بالطيف الأدق إحصائياً لنظرية القياس النقيّة SU(3). اعتمدنا على عينات كبيرة بحجم \(\sim{\cal O}(10\,\mathrm{K})\) من التشكيلات. تُظهر نتائجنا أنّ الطبقة الدنيا في طيف الغلوبيونات السُلّمية والتنسورية، وكذلك الغلوبيون شبه-السُلّمي (pseudoscalar)، لا تتأثّر إلا بشكل ضئيل بإدراج فرميون ديناميكي واحد عند \(N_f=1\).

مُقدّمة

الغلوبيونات حالات رنينيّة مؤلَّفة حصراً من الغلوونات وتشكل حالات حياديّة لونيّاً في إطار ظاهرة الاحتجاز في الديناميكا اللونية الكمومية (QCD). وعلى الرغم من ظهور مُرشَّحين محتملين في البيانات التجريبية، فإن تحديد هويّتها الدقيقة ما يزال موضع نقاش، مما يجعلها واحدة من الألغاز غير المحسومة في طيف الهادرونات.

على مدى السنوات القليلة الماضية دخلت حيّز التشغيل تجارب جديدة مثل PANDA (Parganlija:2013xsa) وBESIII (Asner:2008nq)، مع توقّع انضمام تجارب أخرى قريباً. من المنتظر أن تزوّد هذه التطورات المجتمع البحثي ببيانات جديدة ورؤى تحليلية حول القنوات الغنيّة بالغلوونات. وبدورها ستضع هذه البيانات المناهج النظرية والنتائج المقترحة، سواء من النهج الشبكي أو التحليلي، أمام اختبارات دقيقة. يمكن الاطلاع على مراجعات حديثة لبحث الغلوبيونات في عرض الجمعية العامة للشبكة لعام 2022 بواسطة دافيده فاداكّينو (vadacchino_davide_2022_7338133)، وكذلك في مراجعة إي. كليمبت (Klempt:2022ipu).

أظهرت النتائج الأخيرة لطيف الغلوبيونات (Athenodorou:2023ntf) التي نُشرت باستخدام فرميونات ديناميكية عند \(N_f=4\) وجود حالة إضافية أخفّ تظهر في القناة السُلّمية (\(A_1^{++}\)). تبدو هذه الحالة مرتبطة بانحلال الغلوبيون إلى زوجين أو أربعة بيونات. لذا من المفيد تقصّي أثر الكواركات الخفيفة في نظرية تُقمع فيها مثل هذه الانحلالات، فيما قد تؤثّر الفرميونات الديناميكية على بُنية الطيف. من أمثلة ذلك QCD عند \(N_f=1\)، حيث لا توجد بيونات.

في هذه الدراسة نسعى إلى استكشاف أثر فرميون خفيف واحد على طيف الغلوبيونات. ولتحقيق ذلك، نستخدم تشكيلات مُولَّدة بفرميون كلوفر خفيف واحد (\(N_f=1\)) عبر مجموعة من الكتل العارية. نستخرج طيف الغلوبيونات ثم نقارنه بالطيف الناتج من تشكيلات حساب نظرية القياس النقيّة SU(3) المُحسَّنة على مستوى الشجرة عند قيمتين لمقياس تدفّق التدرّج. وبالنسبة للكواركات الديناميكية الثقيلة، نتوقّع، وفقاً لحُجج الفصل (decoupling)، أن يقترب طيف الغلوبيونات من طيف النظرية النقيّة. والسؤال هنا: ماذا يحدث عند إدخال فرميون ديناميكي خفيف؟

بوجه عام تُظهر دراستنا في QCD عند \(N_f=1\) أنّ الطيف، ضمن دقّة إحصائية تتوافق مع عينات حجمها \({\cal O}(10\,\mathrm{K})\)، يبدو منسجماً مع نتائج نظرية القياس النقيّة ومستقلاً عن كتلة الفرميون.

تُنظَّم هذه المخطوطة كما يلي: في تفاصيل المُحاكاة نعرض إعداد الشبكة المستخدم لتوليد التشكيلات في حالة \(N_f=1\)، إلى جانب إعدادات نظرية القياس النقيّة. ثم نوضح بإيجاز في كتل الغلوبيونات طريقة استخراج طيف الغلوبيونات الشبكي عبر مشكلة القيمة الذاتية المُعمَّمة (GEVP). في الشحنة التوبولوجية وضبط المقياس نصف حساب الشحنة التوبولوجية وعملية ضبط مقياس التدفق \(t_0\). بعد ذلك نعرض النتائج مع التركيز على القناة السُلّمية \(R^{PC}=A_1^{++}\)، والقناتين التنسوريتين \(E^{++}\) و\(T_2^{++}\)، وكذلك القناة شبه-السُلّمية \(A_1^{-+}\). وأخيراً نُوجِز في الاستنتاجات.

تفاصيل المُحاكاة

أُنتِجت التشكيلات الأولى باستخدام فعل قياس مُحسَّن على مستوى الشجرة مع مستوى واحد من تنعيم الروابط (smearing)، إلى جانب فعل فرميونات ويلسون القياسي. ولاحقاً، وُسِّع الإعداد ليشمل فعلاً لفرميونات مُحسَّناً بدقّة مستوى الشجرة من نوع كلوفر. في المرحلة الأولى استُخدمت خوارزمية مونتِ كارلو الهجينة (HMC) لتوليد التشكيلات، ثم استُبدلت لاحقاً بالخوارزمية الهجينة العقلانية مونتِ كارلو (RHMC) المتاحة ضمن حزمة برمجية حديثة.

حدّدنا سابقاً كتل الجسيمات \(\eta_S\) و\(\sigma_S\). وحتى الآن لم تُدرَس ظاهرة الخلط بين مؤثِّرات الميزونات والغلوبيونات إلا في دراسة أولية؛ لذا نعرض هنا تحديثاً لقطاع الغلوبيونات باستخدام فعل الفرميونات المُحسَّن. لاختباراتنا اخترنا تشكيلات عند \(\beta=4.2\) و\(\beta=4.4\). وللمقارنة أجرينا أيضاً محاكاة لنظرية القياس النقيّة SU(3) بفعل قياس مُحسَّن عند قيم \(\beta\) المتطابقة في المقياس، حيث تتوافق \(\beta=4.51\) و\(\beta=4.75\) مع مجموعتي \(N_f=1\) عند \(\beta=4.2\) و\(\beta=4.4\) بالتوالي.

كتل الغلوبيونات

تُستخرج كتل الغلوبيونات عبر تحليل طيفي لدوال الارتباط الإقليدية لمؤثِّر \(\phi(t)\). ترتكز الطريقة على تمثيل الحالات الفيزيائية ضمن إطار هاملتوني النظام \(H\) وحساب دوال الارتباط الزمنية:

\[ \begin{aligned} \langle \phi^\dagger(t=an_t)\phi(0) \rangle &= \langle \phi^\dagger e^{-Han_t} \phi \rangle \\ &= \sum_i |c_i|^2 e^{-aE_in_t} \;\xrightarrow{t\to \infty}\; |c_0|^2 e^{-aE_0n_t}\,, \end{aligned} \]

حيث \(E_0\) طاقة الحالة الأرضية، و\(c_i = \langle {\rm vac}|\phi^\dagger|i\rangle\) تمثّل معاملات التراكب. لاستخراج الحالات المُثارة نستخدم GEVP (Luscher:1984is, Luscher:1990ck, Berg:1982kp) على مصفوفة الارتباط \(C_{ij} = \langle \phi_i^{\dagger}(t)\phi_j(0)\rangle\)، حيث \(i,j=1,\dots,N_{\rm op}\).

لبناء مؤثِّرات الغلوبيونات نكوّن حلقات من روابط SU(3) ونحسب أثرها؛ إذ يرتبط الجزء الحقيقي بـ \(C=+\) والجزء التخيّلي بـ \(C=-\). ونضمن صفراً للزخم بجمع جميع الإزاحات المكانية وجميع الدورانات وإسقاطها على التمثيلات غير القابلة للاختزال \(R\) لمجموعة دوران المكعّب.

تمثيلات مجموعة دوران المكعّب \(A_1, A_2, E, T_1, T_2\) ترتبط في الحدّ المستمر بمحتوى دوراني محدّد: فعلى سبيل المثال \(A_1\to J=0\)، \(T_1\to J=1\)، \(E,T_2\to J=2\)، مع ظهور مُساهمات لدورات أعلى عند الطاقات الأعلى.

الشَّحنة التوبولوجية وضبط المقياس

في الحدّ المستمر تُعرَّف الشحنة التوبولوجية بالتكامل الرباعي لكثافة الشحنة:

\[ Q = \frac{1}{32\pi^2}\int d^4x\,\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\Tr[F_{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)]. \]

استخدمنا تعريف «البرسيم» (DiVecchia:1981aev) لمركّب الحقل \(F_{\mu\nu}\) مع تقنية تدفّق التدرّج (Luscher:2010iy) لتنعيم التقلبات وقياس \(Q\). كما استُخدم تعريف طاقة الحقل القائمة على فعل ويلسون لحساب كثافة الطاقة \(E(t)\) على الشبكة.

يوفّر تدفّق التدرّج أيضاً مقياساً فيزيائياً \(t_0\) معرّفاً بواسطة الدالة \(F(t)=t^2\langle E(t)\rangle\) بحيث \(F(t)\big|_{t=t_0}=c\)، مع اختيار \(c=0.3\) لتحقيق الشرط \(a\ll\sqrt{8t_0}\ll L\) وضمان دقّة عالية (Bergner:2014ska).

النتائج

استخرجنا طيف الحالات في التمثيلات غير القابلة للاختزال \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\)، بالإضافة إلى القناة شبه-السُلّمية \(A_1^{-+}\). لوحِظ تشكّل مبكّر لهِضاب الكتلة الفعّالة، على خلاف ما شوهد عند \(N_f=4\) حيث تظهر الهضاب لاحقاً. وتتراوح معاملات التراكب بين 80% و100%، على نحو مماثل للتقارب السريع في الطيف النقي لـ SU(3)، وربما يعكس ذلك قلّة الحالات المتاحة في فضاء هيلبرت لفراغ QCD عند \(N_f=1\).

في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_improved] عرضنا كتل الغلوبيونات بوحدات \(1/\sqrt{t_0}\) مقابل كتلة «البيون» في PQChPT لكل من: (i) الحالة الأرضية والمثارة لـ \(A_1^{++}\)، (ii) الحالة الأرضية لـ \(E^{++}\)، (iii) الحالة الأرضية لـ \(T_2^{++}\)، و(iv) الحالة الأرضية لـ \(A_1^{-+}\). تمثّل الأشرطة تقديرات الطيف النقي SU(3) عند \(\beta=4.75\)، الموافِق \(t_0/a^2\sim7.07\)، وهو ما يتطابق مع القيمة المستخدمة لـ \(N_f=1\) عند \(\beta=4.4\). التوافق بين النتائج ملحوظ ويؤكّد أن تأثيرات الفرميونات الديناميكية عند هذه الدقّة ضئيلة، ما يجعل كتل الغلوبيونات شبه مستقلّة عن كتلة الكوارك.

وعند إعادة فحص النظرية نفسها عند \(\beta=4.4\) من دون تحسين \({\cal O}(a)\) للفرميون، وجدنا نمطاً مماثلاً (الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved]). إلا أنّه بالنسبة للقناة شبه-السُلّمية \(A_1^{-+}\) لوحِظ انخفاض في الكتلة مع ازدياد كتلة الكوارك، وهو أثر يختفي عند استخدام الفعل المُحسَّن، ما يشير إلى أنه ناجم عن مُخلّفات الشبكة. كانت قيمة \(t_0/a^2\approx5.2\) في الحالة غير المُحسَّنة، ودلّت الأشرطة مرة أخرى على نتائج النظرية النقيّة عند \(\beta=4.75\).

الاستنتاجات

تشير النتائج إلى أنّ طيف ديناميكا اللّون الكمومية مع فرميون واحد (\(N_f=1\))، ضمن الدقّة الإحصائية المتاحة (\({\cal O}(10\,\mathrm{K})\) تشكيلات)، يتوافق مع طيف نظرية القياس النقيّة ويظلّ مستقلاً عن كتلة الفرميون، من دون ظهور حالات إضافية عند الطاقات المنخفضة. وقد أُكِّد ذلك عند قيمتين مختلفتين لمُعلمة \(\beta\)، وكذلك بالمقارنة بين تقريبات الفرميون المُحسَّنة وغير المُحسَّنة من الرتبة \({\cal O}(a)\). وهذا يشير إلى محدودية أثر فرميون ديناميكي واحد على طيف الغلوبيونات. في دراساتٍ لاحقة سنُدرج أيضاً مؤثِّرات الميزونات لفحص التداخُلات المحتملة بين الغلوبيونات والميزونات.

الشكر والتقدير

أُجرِيت الحسابات على نظام الحوسبة عالي الأداء Cyclone في معهد قبرص، وكذلك على نظام UBELIX في جامعة برن. تلقّى AA دعماً مالياً من مشروع EuroCC2 المموَّل من وزارة البحث والابتكار والسياسة الرقمية ومؤسسة قبرص للبحث والابتكار، بالإضافة إلى مشروع الحوسبة عالي الأداء الأوروبي المُشترك (JU)، بموجب اتفاقية المنحة رقم 101101903. ويعترف MT بالدعم المقدم من تعاون Simons المعنيّ بالاحتجاز وأوتار QCD.