مُلَخَّص

نقدّم تقييماً لطيف كُريات الغرّاء المُستخلَصة من التكوينات المولّدة باستخدام الفرميونات الديناميكية عند \(N_f=1\)، وذلك كدالة للكتلة \(m_{\rm PCAC}\). استخلصنا كتل الحالات التي تنتمي إلى التمثيلات غير القابلة للاختزال في مجموعة الدوران المكعب لمستويات الشحنة المترافقة \(C\) والتكافؤ \(P\). نظرًا لانخفاض نسبة الإشارة إلى الضوضاء، يمكننا عملياً استخراج كتل الحالات في التمثيلات \(R^{PC}=A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\) و\(A_1^{-+}\) فقط. استخدمنا مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP) مع قاعدة مشغل تضمّ مشغلات غلونية فقط. نهدف من هذا العمل إلى تقدير تأثير الكواركات الديناميكية الخفيفة على طيف كريات الغرّاء ومقارنته بالطيف الأكثر دقة إحصائياً لنظرية القياس النقية SU(3). اعتمدنا على عينات كبيرة من الحجم \(\sim{\cal O}(10\,\mathrm{K})\) من التكوينات. تُظهر نتائجنا أن الطبقة المنخفضة في طيف كريات الغرّاء القياسية والتنسورية، وكذلك كريات الغرّاء الزائفة، تتأثر بشكل ضئيل بإدراج الفرميونات الديناميكية عند \(N_f=1\).

مُقَدِّمَة

كُرَيّاتُ الغرّاء هي حالات رنين تتكوّن فقط من الغلوونات، وتشكل حالات محايدة لونيًا، وذلك في إطار ظاهرة الاحتجاز في الديناميكا اللونية الكمومية (QCD). بينما برزت بعض المرشحات المحتملة في البيانات التجريبية، لا يزال تحديد هويتها الدقيقة محلّ نقاش، مما يجعلها واحدة من الألغاز غير المحلولة في طيف الهادرونات.

على مدى السنوات القليلة الماضية، دخلت حيز التشغيل تجارب جديدة مثل PANDA (Parganlija:2013xsa) وBESIII (Asner:2008nq)، مع توقع انضمام تجارب أخرى قريبًا. من المتوقع أن تزود هذه التطورات المجتمع البحثي ببيانات جديدة ورؤى تحليلية حول القنوات الغنية بالغلوونات. بدورها، ستضع هذه البيانات المناهج النظرية الجديدة والنتائج المقترحة، سواءً من النهج الشبكي أو التحليلي، أمام تحديات دقيقة. يمكن الاطلاع على مراجعات حديثة للبحث عن كريات الغراء في عرض الجمعية العامة للشبكة لعام 2022 بواسطة دافيد فاداكينو (vadacchino_davide_2022_7338133)، وكذلك في المراجعة التي كتبها إي. كليمبت (Klempt:2022ipu).

أظهرت النتائج الأخيرة لطيف كُريّات الغرّاء (Athenodorou:2023ntf) التي نُشرت باستخدام فرميونات ديناميكية عند \(N_f=4\) وجود حالة إضافية أخفّ تظهر في القناة القياسية (\(A_1^{++}\)). تبدو هذه الحالة مرتبطة بتحلل كُرَيّات الغرّاء إلى زوجين أو أربعة بيونات. لذلك، من المفيد التحقيق في تأثير الكواركات الخفيفة في نظرية تُقمع فيها مثل هذه التحللات، فيما يمكن للفرميونات الديناميكية أن تؤثر على بنية الطيف. من أمثلة ذلك QCD عند \(N_f=1\)، حيث لا توجد بيونات.

في هذه الدراسة، نسعى إلى استكشاف أثر فرميون خفيف واحد على طيف كُرَيّات الغرّاء. لتحقيق ذلك، نستخدم التكوينات المولّدة بفرميون كلوفر خفيف واحد (\(N_f=1\)) عبر مجموعة من الكتل العارية. نستخرج طيف كُرَيّات الغرّاء ثم نقارنه بالطيف الناتج من تكوينات حساب نظرية القياس النقية SU(3) المُحسَّنة على مستوى الشجرة عند قيمتين من تدرج التدفق. بالنسبة للكواركات الديناميكية الثقيلة، نتوقع، وفقًا لحجج الفصل، أن يقترب طيف كُرَيّات الغرّاء من طيف النظرية النقية. والسؤال المهم هنا: ماذا يحدث عند إدخال الفرميونات الديناميكية الخفيفة؟

بصفة عامة، تُظهر دراستنا في QCD عند \(N_f=1\) أن الطيف، بدقة إحصائية تتوافق مع عينات حجمها \({\cal O}(10\,\mathrm{K})\)، يبدو متسقًا مع نتائج نظرية القياس النقية ومستقلًا عن كتلة الفرميون.

ينظم هذا المخطوط كما يلي. نبدأ في القسم [sec:simulation_details] بعرض تفاصيل إعداد الشبكة المستخدم لتوليد التكوينات في حالة \(N_f=1\)، إلى جانب الإعدادات الخاصة بنظرية القياس النقية. ننتقل إلى القسم [sec:glueball_masses] لشرح باختصار طريقة استخراج طيف كُرَيّات الغرّاء الشبكي عبر مشكلة القيمة الذاتية المعممة (GEVP). في القسم [الشحنة-التوبولوجيه-وضبط-المقياس] نصف حساب الشحنة التوبولوجية وعملية ضبط مقياس التدفق \(t_0\). بعد ذلك، نعرض النتائج مع التركيز على القناة القياسية \(R^{PC}=A_1^{++}\)، والقنوات التنسورية \(E^{++}\) و\(T_2^{++}\)، وكذلك القناة الزائفة \(A_1^{-+}\). أخيرًا، نخلص في القسم [sec:conclusions].

تفاصيل المُحاكاة

تمّ إنتاج التكوينات الأولى باستخدام فعل قياس محسن عند المستوى الشجري مع درجة واحدة من التلطيف القوي، إلى جانب فعل فرميونات ويلسون القياسي. وفيما بعد، تمّ توسيع هذا الإعداد ليشمل فعل فرميونات محسن بدقة شجرية. في المرحلة الأولى استُخدمت خوارزمية مونت كارلو الهجينة لتوليد التكوينات، ثم استُبدلت لاحقًا بالخوارزمية الهجينة العقلانية المتاحة ضمن حزمة برمجية حديثة.

حدّدنا كتل الجسيمات \(\eta_S\), \(\sigma_S\) في مراحل سابقة من المشروع. وحتى الآن، لم تُدرَس ظاهرة الخلط بين مشغلات الميزونات وكُرَيّات الغرّاء سوى في دراسة أولية، فنعرض هنا تحديثًا لقطاع كُرَيّات الغرّاء باستخدام فعل الفرميونات المحسّن. لاختباراتنا، اخترنا تكوينات عند \(\beta=4.2\) و\(\beta=4.4\). وللمقارنة، أجرينا أيضًا محاكاة لنظرية القياس النقية SU(3) بفعل قياس محسن عند نفس قيم \(\beta\)، حيث تتوافق \(\beta=4.51\) و\(\beta=4.75\) مع المجموعات العدديّة لـ \(N_f=1\) عند \(\beta=4.2\) و\(\beta=4.4\) بالتوالي.

حساب كتل الغلوبول

يمكن تحديد كتل الغلوبول باستخدام تقنية التحليل الطيفي المطبق على المراسل الإقليدي الذي نرمز له بـ \(\phi(t)\). تعتمد هذه الطريقة على تصوير الحالات الفيزيائية ضمن إطار هاميلتوني النظام \(H\) وحساب دوال الارتباط الزمنية:

\[ \begin{aligned} \langle \phi^\dagger(t=an_t)\phi(0) \rangle &= \langle \phi^\dagger e^{-Han_t} \phi \rangle \\ &= \sum_i |c_i|^2 e^{-aE_in_t} \;\xrightarrow{t\to \infty}\; |c_0|^2 e^{-aE_0n_t}\,, \end{aligned} \]

حيث \(E_0\) طاقة الحالة الأساسية، و\(c_i = \langle {\rm vac}|\phi^\dagger|i\rangle\) تمثّل التداخلات. لاستخراج الحالات المثارة نستخدم GEVP (Luscher:1984is,Luscher:1990ck,Berg:1982kp) على مصفوفة الترابط \(C_{ij} = \langle \phi_i^{\dagger}(t)\phi_j(0)\rangle\)، حيث \(i,j=1,\dots,N_{\rm op}\).

لإنشاء مشغل لحالة غلوبول، نبني حلقة من روابط SU(3) ونحسب أثرها، حيث يتصل الجزء الحقيقي بمترافقة الشحنة الموجبة (\(C=+\)) والجزء التخيلي بالسالبة (\(C=-\)). نضمن زخمًا صفريًا بجمع جميع الترجمات المكانية والدورانات منطقياً وفقاً للتمثيلات غير القابلة للاختزال \(R\) لمجموعة التماثل الدوراني المكعب.

تمثيلات مجموعة التماثل الدوراني المكعب \(A_1, A_2, E, T_1, T_2\) ترتبط بدورانات الانعدام (\(J=0\)) والأحادية والثنائية والثلاثية. عند الاقتراب من الحد المستمر، تتطابق هذه التمثيلات مع حالات الدوران المستمر \(J\) عبر التوزيع المعروف \(A_1\to J=0\), \(T_1\to J=1\), \(E,T_2\to J=2\).

الشَحْنَة التوبولوجية وضبط المقياس

في الحد المستمر، تُعرّف الشحنة التوبولوجية بالتكامل الرباعي لأرضية الشحنة:

\[ Q = \frac{1}{32\pi^2}\int d^4x\,\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\Tr[F_{\mu\nu}(x)F_{\rho\sigma}(x)]. \]

استخدمنا تعريف "البرسيم" (DiVecchia:1981aev) مع تقنية تدفق التدرج (Luscher:2010iy) لتنعيم التقلبات وقياس الشحنة عبر فعل ويلسون.

كما يوفر تدفق التدرج مقياسًا فيزيائيًا \(t_0\) معرفًا عبر الدالة \(F(t)=t^2\langle E(t)\rangle\) بحيث \(F(t)|_{t=t_0}=c\)، باختيار \(c=0.3\) لتحقيق الشرط \(a\ll\sqrt{8t_0}\ll L\) وضمان دقة عالية (Bergner:2014ska).

النتائج

استخرجنا طيف الحالات في التمثيلات غير القابلة للاختزال \(A_1^{++}\)، \(E^{++}\)، \(T_2^{++}\)، بالإضافة إلى القناة الزائفة \(A_1^{-+}\). لفت الانتباه التحضير المبكر لمستويات الكتلة الفعالة، على عكس ما لوحظ في \(N_f=4\) حيث تظهر المستويات لاحقًا. يترواح معامل التداخل بين 80% و100%، مشابهاً للتقارب السريع في الطيف النقي لـ SU(3)، مما قد يعكس انخفاض عدد الحالات المسموح بها في فضاء هيلبرت لفراغ QCD عند \(N_f=1\).

في الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_improved] عرضنا كتل الغلوبول بوحدات \(1/\sqrt{t_0}\) مقابل كتلة البيون في PQChPT لكل من: (i) الحالة الأرضية والمثارة لـ \(A_1^{++}\)، (ii) الحالة الأرضية لـ \(E^{++}\)، (iii) الحالة الأرضية لـ \(T_2^{++}\)، و(iv) الحالة الأرضية لـ \(A_1^{-+}\). تمثّل الأشرطة تقديرات الطيف النقي SU(3) عند \(\beta=4.75\)، الموافق \(t_0/a^2\sim7.07\)، وهو ما يتطابق مع القيمة المستخدمة لـ \(N_f=1\) عند \(β=4.4\). التوافق بين النتائج مذهل ويؤكد أن تأثيرات الفرميونات الديناميكية عند هذه الدقة ضئيلة، ما يجعل كتل الغلوبول مستقلة عن كتلة الكوارك.

عند إعادة التحقيق في النظرية نفسها عند \(\beta=4.4\) دون تحسين \({\cal O}(a)\) للفرميون، وجدنا نمطًا مماثلًا (الشكل [fig:plots_Nf1_beta_4.4_unimproved]). إلا أنه بالنسبة للقناة الزائفة \(A_1^{-+}\) لوحظ انخفاض في الكتلة مع زيادة كتلة الكوارك، وهو تأثير يختفي عند استخدام الفعل المحسّن، ما يشير إلى أنه ناجم عن مخلفات الشبكة. هنا كانت قيمة \(t_0/a^2\approx5.2\) في الحالة غير المحسنة، وأشارت الأشرطة مرة أخرى إلى نتائج النظرية النقية عند \(\beta=4.75\).

الاستنتاجات

تشير النتائج إلى أن طيف ديناميكا الكروم الكمومية مع فرميون واحد (\(N_f=1\))، بالدقة الإحصائية المتوافرة (\({\cal O}(10\,\mathrm{K})\) تكوينات)، يتوافق مع طيف نظرية القياس النقية ويظل مستقلاً عن كتلة الفرميون، مع عدم ظهور حالات إضافية عند الطاقات المنخفضة. أُكد ذلك عند قيمتين مختلفتين من معلمة \(\beta\)، وكذلك بالمقارنة بين تقريبات الفرميون المحسنة وغير المحسنة من الدرجة \({\cal O}(a)\). مما يشير إلى محدودية تأثير فرميون ديناميكي واحد على طيف كريات الغرّاء. في دراسات مستقبلية، سنتناول أيضًا مشغل الميزون لفحص التداخلات المحتملة بين كريات الغرّاء والميزونات.

الشكر والتقدير

أُجريت الحسابات على نظام الحوسبة عالي الأداء Cyclone في معهد قبرص، وكذلك على نظام UBELIX في جامعة برن. تلقي AA دعماً مالياً من مشروع EuroCC2 الممول من وزارة البحث والابتكار والسياسة الرقمية ومؤسسة قبرص للبحث والابتكار، بالإضافة إلى مشروع الحوسبة عالي الأداء الأوروبي المشترك (JU)، بموجب اتفاقية منحة رقم 101101903. يعترف MT بالدعم المقدم من تعاون Simons المختص بالحبس وأوتار QCD.