المعادلات الآتية مكتوبة بصيغة LaTeX.

مُلَخَّص

ندرس إعادة تطبيع ثابت الاقتران في نظريّات القياس التي تحتوي على مُتعدِّدات لا نهائيّة من الفرميونات، مستخدمين تنظيم دالّة زيتا لمعالجة المجاميع المُتباعدة لهذه الفرميونات. إذا كانت الزُّمرة \(K\) هي الزُّمرة الفرعيّة المُضغوطة العُظمى لزُّمرة بسيطة غير مُضغوطة \(G\)، فإنّ مثل هذه المُتعدِّدات اللامتناهية تنشأ طبيعيًّا بوصفها تفكُّكاتٍ عند تقييد التمثيلات الوحدويّة من السلسلة المنفصلة لـ \(G\) إلى \(K\). سندرس بالتفصيل المثال \(K=U(1)\subset SU(1,1)=G\). من المُلفت أنّ ثَمّة نظريّات قياس أبيلية حُرّةً تقاربيًّا ضمن مدى مُعيَّن، وأخرى مُنتهية في النطاق فوق البنفسجي.

مُقدِّمة

إنّ إشارات معامِلَي دالّة بيتا عند رتبة الحلقة الواحدة والحلقتين في نظريّات الحقل الكمومي (QFT) ذاتُ شأنٍ كبير. لقد أوضح اكتشاف أنّ المعامل الأوّل سالب — أي وجود الحُرّيّة التقاربيّة (AsympFreedom) — في الكروموديناميكا الكموميّة مع عددٍ قليلٍ من نكهات الكوارك تفسيرَ التشتّت غير المرن العميق. كما أنّ المعامل الثاني (CaswellJones) قد يكون سالبًا لبعض أنظمة الكروموديناميكا الكموميّة مع الإبقاء على الحُرّيّة التقاربيّة. وفوق ذلك، توجد مجموعة من القيم لـ \(N_{f}\) حيث يبقى المعامل الأوّل موجبًا بينما يصير الثاني سالبًا مع استمرار الحُرّيّة التقاربيّة؛ وهذا يؤدّي إلى نقطة ثابتة تحت‑حمراء تُعرَف غالبًا بـ (BanksZaks).

على النقيض من ذلك، يكون كلا المعاملين مُوجَبَيْن في الكهروديناميكا الكموميّة. لفرميون ديراك واحد ذي شحنةٍ وحديّة (كالإلكترون) تكون دالّة بيتا (QEDBetaFn)

والتفسير الفيزيائي هو أنّ استقطاب الفراغ يُحجِب الشحنة النقطيّة بأزواجٍ افتراضيّة؛ فكلّما اقتربنا من الشحنة ازدادت الشحنة الفعّالة. أمّا في النظريّات غير الأبيلية فتُساهِم تآثُرات الغلوونات الذاتيّة بأثرٍ مُضادّ للحجب (Polyakov).