ملخّص

تزداد الكثافة مع العمق في الكواكب بسبب قابليّة الانضغاط، ما يفضي إلى آثار واضحة على ديناميّات الحمل الحراري فيها. ولأخذ هذه الآثار في الحسبان، بما في ذلك وجود منحنى درجة حرارة شبه أديباتي ومصادر الإنتروبيا الناتجة عن التبدُّد، نُمثّل القابليّة للانضغاط عبر رقم التبدُّد \(\Di\)، وهو يتناسب مع حاصل ضرب الجاذبية في السُّمك المميز للغلاف الحَمْلي. في وشاح الأرض تكون آثار القابليّة للانضغاط متوسّطة، لكن في الكواكب الصخرية الكبيرة أو الكواكب السائلة (الكواكب الفائقة) قد يغدو رقم التبدُّد كبيرًا جدًّا. نستكشف هنا خصائص الحمل الحراري المُضغَط عندما يكون رقم التبدُّد مُهيمِنًا. نبدأ بمعادلة حالة مورناهان البسيطة التي تُجسِّد الخصائص الأساسية للمادّة المكثّفة في ظروف كوكبية. ثم نحلّل خصائص المنحنيات الأديباتية ونُبيّن أنّ نسبة درجتَي الحرارة الأديباتيتين عند القاع والقمة تبقى صغيرة نسبيًّا، وربّما أقل من 2. نفحص استقرار الأغلفة الحرارية المُضغَطة ونكشف أنّها قد تخضع للحمل سواء بأرقام رايلي فائق الأديباتية موجبة أو سالبة. وأخيرًا، نُجري محاكاة للحمل الحراري باستخدام المعادلات الصحيحة للميكانيكا مع إهمال العطالة (حالة رقم برانتل اللا نهائي)، ونبحث تبعات ذلك على ديناميّات الكواكب الفائقة.

الحالة الأديباتية داخل كوكب حَمْلي

من المعروف أنّ الحمل في وسط مُنضغِط وعند رقم رايلي مرتفع، يُقرِّب الملامح الشعاعية المتوسطة للكثافة ودرجة الحرارة والضغط من حالاتها الأديباتية والهيدروستاتيكية \((\rho_a, T_a, P_a)\)، وفقًا للمعادلات الأديباتية التالية:

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \ln{\rho_a}}{\mathrm{d} z} + \frac{\alpha_a \, g}{\Gamma_a \, C^{a}_{P}} &= 0, \\ \frac{\mathrm{d} \ln{T_a}}{\mathrm{d} z} + \frac{\alpha_a \, g}{C^{a}_{P}} &= 0, \\ \frac{\mathrm{d} P_a}{\mathrm{d} z} + \rho_a \, g &= 0. \end{aligned} \]

حيث \(z\) هي الإحداثية العمودية (مُوجّهة عكس الجاذبية \(\vec{g} = -\,g\, \vec{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) هو مُعامل التمدّد الحراري، و\(C_P\) السعة الحرارية عند ضغط ثابت، و\(\Gamma\) مُعامل غروينيزن. والحرف \(a\) يُشير إلى أنّ الكميات محسوبة على طول المنحنى الأديباتي ذاته.

معادلة الحالة المناسبة لمادّة كوكبية مكثّفة تعتمد على الملاحظة أنّ مُعامل غروينيزن دالّة في الأساس للكثافة (anderson79). نأخذ \(q \approx 1\) بحيث \(\Gamma(\rho) = \Gamma_0 \left(\dfrac{\rho_0}{\rho}\right)^{q}\)، حيث \(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) هما الكثافة ومُعامل غروينيزن في ظروف مرجعية نختارها عند سطح الكوكب. في المتوسّط يتراوح \(\Gamma\) بين 1 و2 في الوشاح (stacey04) كما في النواة (alfe). سنستخدم فيما يلي \(q=1\). عندئذ تصبح معادلة الحالة مناسبة للمواد المكثّفة: عند درجة الحرارة المرجعية \(T_0\) تُعطى علاقة الضغط بالكثافة بتعبير مورناهان (murnaghan51)، ويكون \(n \approx 3\text{–}4\) للسيليكات الصلبة أو السائلة وللمعادن. في هذه الصياغة تمثّل \(\alpha_0\) و\(K_T^0\) (عدم القابلية للانضغاط الآيزوثيرمي المرجعي) قيمًا مرجعية. ورغم أنّ المعادلة بسيطة وتجريبية، فإنها تُلخِّص خصائص نمطية للمواد الصلبة والسوائل وتُطابق بصورة جيّدة جدًّا الكثافة الشعاعية للأرض بافتراض الأديباتية، بعيدًا عن منطقة الانتقال (Ricard22). وتستتبع هذه المعادلة علاقات مباشرة بين التمدّد الحراري وعدم القابلية للانضغاط من جهة، والكثافة من جهة أخرى؛ وهذه التعبيرات تتوافق مع القياسات المخبرية. وبما أنّ مُعامل غروينيزن يعتمد على الكثافة فقط، تَنتج علاقة بسيطة بين درجة الحرارة والكثافة الأديباتيتين بدمج المعادلات أعلاه، حيث \(T_a^t\) و\(\rho_a^t\) هما القِيمتان الأديباتيتان عند السطح (\(t\) تعني الأعلى).

نعتمد تقديرين إضافيين لاشتقاق صيغ تحليلية للملامح الأديباتية (لن نستخدم هذين التقديرين في الحسابات العددية كي لا يُخِلّا بصحّتها):

نفترض أنّ السعتين الحراريتين عند الحجم الثابت \(C_V\) وعند الضغط الثابت \(C_P\) متساويتان وثابتتان. وهما بالفعل متقاربتان عندما \(\alpha T \ll 1\)، وهو حال المواد المكثّفة؛ وكلتاهما قريبتان من قيمة ديولونغ وپتي \(C_V \approx C_P \approx 3\mathcal{R}\) (J K\(^{-1}\) mol\(^{-1}\)) عند درجات حرارة عالية (dulongpetit).
قد تختلف درجة الحرارة الأديباتية السطحية عن درجة حرارة السطح، غير أنّه ما دام \(\alpha \,(T_a^t - T_0) \ll 1\) يمكن اعتبار الكثافة الأديباتية السطحية مساوية تقريبًا للكثافة المرجعية، \(\rho_a^t \approx \rho_0\) (أي إنّ كثافة الكواكب دالة للضغط أكثر منها لدرجة الحرارة).

سنتجاهل أيضًا تغيّر الجاذبية مع العمق للبساطة، وهو تقريب معقول في وشاح الأرض.

مع هذه الفرضيات يسهل حلّ الحالة الأديباتية في طبقة حيث تتغيّر \(z\) بين \(0\) و\(H\) (مثل وشاح بسماكة \(H\)، مع \(z=0\) عند حدّ النواة–الوشاح)، فنحصل على:

\[ \begin{aligned} \rho_a &= \rho_0 \left(1+\frac{H-z}{h} \right)^{1/(n-1)}, \\ P_a &= \frac{n-1}{n}\,\rho_0\, g\, h \left[ \left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)^{n} - 1 \right], \\ T_a &= T^t_a \;\exp \!\left[ \Gamma_0 \left( 1 - \frac{\rho_0}{\rho_a} \right) \right]. \end{aligned} \]

حيث \(h \equiv \dfrac{K_T^0}{\rho_0\, g}\) هو طول الضغط المرجعي. وفي التعبير الأخير قدّمنا رقم التبدُّد \(\Di\)، ونُعرِّفه بالقيمة السطحية على نحوٍ يعتمد فقط على كميات معروفة عند السطح:

\[ \Di \;\equiv\; \frac{\alpha_0\, g\, H}{C_V}. \]

في الأرض، يبلغ رقم التبدُّد نحو \(\Di_{\oplus} \approx 0.71\) في الوشاح ونحو \(0.56\) في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times 10^{-5}\) K\(^{-1}\)، \(H=2900\) كم، و\(C_V=1200\) J K\(^{-1}\) kg\(^{-1}\) في الوشاح؛ و\(\alpha_0=1.8\times 10^{-5}\) K\(^{-1}\) (murphy13)، \(H=2300\) كم، و\(C_V=715\) J K\(^{-1}\) kg\(^{-1}\) (gubbins) في النواة السائلة، مع \(g=9.8\) m s\(^{-2}\)).

في المراجع الجيوفيزيائية (schubert) يُعرَّف \(\Di\) أحيانًا باستخدام \(C_P\) في المقام؛ وهذا لا يُحدِث فرقًا عمليًّا كبيرًا إذ غالبًا ما يُهمَل الفارق بين \(C_P\) و\(C_V\) في الأدبيات. غير أنّنا نُفضِّل تعريف \(\Di\) بـ\(C_V\) اتساقًا مع تعريف مُعامل غروينيزن. ويجوز افتراض ثبات إحدى السعتين الحراريتين (نأخذ هنا \(C_V\) ثابتة)، أمّا افتراض ثبات كلتيهما فيؤدّي إلى تناقضات في حفظ الطاقة (albou13) لأن الفرق بينهما يرتبط مباشرةً بمعادلة الحالة عبر علاقة ماير.

المعادلات السابقة يمكن استخدامها لمناقشة الخصائص المحتملة للملامح الأديباتية في الكواكب الكبيرة. ومن تنوّع الكتل والأقطار للكواكب الخارجية المكتشفة، يبدو أنّ الكثير منها صخريّ حتى قطر يقارب مرّتين ونصف قطر الأرض (otegi20). وتزيد كتلتها المرصودة \(M\) تقريبًا كقوّة \(3.45\) من نصف القطر \(R\) (إذ ترفع الضغوط الداخلية الكبيرة كثافتها المتوسّطة كـ \(\approx R^{0.45}\)). سنستخدم هذه الملاحظة لتوسيع نطاق تحليلاتنا.

الجاذبية في معادلاتنا

تتناسب الجاذبية عند السطح مع \(g \propto M/R^2 \approx R^{1.5}\)، ونفترض أنّ سُمك طبقات الحمل الحراري يتناسب مع \(R\). ووفق هذه المقاييس يتغيّر رقم التبدُّد \(\Di\) مثل \(gH \propto R^{2.5}\). وبناءً على (otegi20) يمكن توقّع أرقام تبدُّد تصل إلى \(2.5^{2.5} \approx 10\) أضعاف رقم تبدُّد الأرض في كواكب صخرية شائعة نسبيًّا؛ وفيما يلي سنستكشف قيمًا حتى \(\Di = 10\). سنستخدم \(\Di = \Di_{\oplus}\,\big(R/R_{\oplus}\big)^{2.5}\) عندما نُعيد الصياغة بدلالة أنصاف الأقطار بدلًا من أرقام التبدُّد: فكوكب فائق الأرض بنصف قطر يساوي ضعفي نصف قطر الأرض (أو ثلاثة أضعافه) سيكون وشاحه عندئذٍ ذا رقم تبدُّد يقارب 4.0 (أو 11.1)، ونواته نحو 3.2 (أو 8.7).

الحالة الأديباتية في كوكب فائق الأرض

ملامح الكثافة ودرجة الحرارة الأديباتية

نظرًا لازدياد عدم القابلية للانضغاط مع الكثافة ومن ثمّ مع الضغط، فإن الكثافة ودرجة الحرارة الأديباتية تزدادان باعتدال فقط مع ازدياد نصف قطر الكوكب. نعرض أمثلة لِقِيَم \(\Di\): \(\Di=\Di_{\oplus}\approx 0.6\) (أسود)، \(\Di=2\) (أحمر)، \(\Di=10\) (أخضر).

نسبة الكثافة الأديباتية بين القاع والقمة في وشاحٍ حَمْلي تُستنتَج من العلاقة أعلاه، وتُرسَم عادةً مقابل \(\Di\) (المحور السفلي) ومقابل \(R\) (المحور العلوي، بافتراض \(\Di\propto R^{2.5}\)). يُشير رمز الأرض إلى موضع الأرض حيث تُقدَّر نسبة الكثافة الأديباتية عبر الوشاح بنحو 1.52 (بينما تُرصد عبر وشاح الأرض قيمة أقرب إلى 1.70 بسبب التحوّلات الطورية في منطقة الانتقال).

وتتحكّم هذه النسبة في نسبة درجة الحرارة الأديباتية وفق التعبير أعلاه أيضًا. بالنسبة إلى الأرض، يجب أن تكون هذه النسبة حوالى 1.41 عبر الوشاح (مشار إليها برمز الأرض؛ من 1600 K في الأعلى إلى 2256 K في الأسفل). أمّا درجة الحرارة القصوى في القاع \(T_a^b\) فهي مُقَيَّدة، عندما \(\rho_a \rightarrow \infty\)، بالعلاقة:

\[ T_a^b \;=\; T_a^t \,\exp(\Gamma_0). \]

وعليه، حتى في الكواكب الفائقة السيليكاتية الكبيرة جدًّا يجب أن تبقى درجة الحرارة الأديباتية عند القاع معتدلة، ونادرًا ما تتجاوز ضعف درجة الحرارة الأديباتية عند السطح.

تدفّق الحرارة في الحمل القابل للانضغاط

في الحمل القابل للانضغاط عند رقم برانتل لا نهائي، يرتبط تدفّق الحرارة فائق الأديباتية (تدفّق الحرارة السطحي \(Q\) مطروحًا منه التدفّق الأديباتي السطحي \(Q_a\)) ورقم رايلي فائق الأديباتية بالعلاقة \({\rm Nu}_{sa}\propto {\rm Ra}_{sa}^{1/3}\)، حيث \({\rm Nu}_{sa}\) هو رقم نوسلت فائق الأديباتية. (جرى لابُعدَة التدفقات الحرارية بالقسمة على \(k\,T_0/H\)، ودرجات الحرارة بالقسمة على \(T_0\).) وتتماشى هذه القاعدة التحجيمية مع ما وُجد في تقريب بوسينسك (malkus, GrLo01). يُقترَح هذا التعبير عادةً عندما تكون \(\Delta T_a\) أصغر — وغالبًا أصغر بكثير — من \(\Delta T\)، وهو ما لا يتحقّق بالضرورة عندما يكون \(\Di\) كبيرًا، إذ قد يحدث الحمل حتى عندما \(\Delta T_a \ge \Delta T\). لاحظ أيضًا أنه قد يكون التدفّق الأديباتي السطحي كبيرًا بحيث يغدو \(Q - Q_a\) سالبًا رغم أن \(\Delta T_a \le \Delta T\).

أمّا رقم نوسلت الأديباتي فيُعرَّف بـ \({\rm Nu}_a = Q_a / \Delta T_a = \Di\, T_a^t / \Delta T_a\) (انظر التعريف أعلاه)، وهو من رتبة \(\Di\) إذا كانت \(T_a^t / \Delta T_a \approx 1\). وعند \(\Di = 10\) يكون ذلك تدفّقًا حراريًّا كبيرًا يتطلّب رقم رايلي على رتبة \(10^{5}\text{–}10^{6}\) في حالة بوسينسك.