ملخص

تزداد الكثافة الشعاعية للكواكب مع العمق بسبب القابلية للانضغاط، مما يؤدي إلى تأثيرات على ديناميكيات الحمل الحراري فيها. لأخذ هذه التأثيرات في الاعتبار، بما في ذلك وجود منحنى درجة حرارة شبه أديباتي ومصادر الإنتروبيا الناتجة عن التبدد، يتم التعبير عن القابلية للانضغاط من خلال رقم التبدد، \(\Di\)، الذي يتناسب مع نصف قطر الكوكب وجاذبيته. في وشاح الأرض، تكون تأثيرات القابلية للانضغاط معتدلة، ولكن في الكواكب الصخرية الكبيرة أو الكواكب السائلة (الكواكب الفائقة)، يمكن أن يصبح رقم التبدد كبيرًا جدًا. يستكشف هذا البحث خصائص الحمل الحراري المضغوط عندما يكون رقم التبدد مهمًا. نبدأ بتحديد معادلة حالة مورناهان البسيطة التي تجسد الخصائص الأساسية للمادة المكثفة في ظروف الكواكب. بعد ذلك، نحلل خصائص المنحنيات الأديباتية ونوضح أن النسبة بين درجات الحرارة الأديباتية السفلية والعلوية صغيرة نسبيًا وربما أقل من 2. نفحص استقراري الحواف الهامشية للأغلفة الحرارية المضغوطة ونكشف أنها يمكن أن تخضع للحمل الحراري سواء بأرقام رايلي فوق أديباتية موجبة أو سالبة. أخيرًا، نغوص في محاكاة الحمل الحراري باستخدام المعادلات الدقيقة للميكانيكا، مع إهمال القصور الذاتي (حالة رقم برانتل اللانهائي)، ونفحص تبعاتها لديناميكيات الكواكب الفائقة.

الظروف اللاحرارية داخل كوكب حملي

من المعروف أن الحمل في السائل المضغوط عند رقم رايلي عالٍ يقرب الملامح الشعاعية المتوسطة للكثافة ودرجة الحرارة والضغط إلى قيمها الأديباتية والهيدروستاتيكية (\(\rho_a\), \(T_a\), \(P_a\)) وفقًا للمعادلات الأديباتية التالية:

\[ \begin{aligned} \frac{\dd \ln{\rho_a}}{\dd z} + \frac{\alpha_a g}{\Gamma_a C^a_{P}} &= 0, \\ \frac{\dd \ln{T_a}}{\dd z} + \frac{\alpha_a g}{C^a_{P}} &= 0, \\ \frac{\dd P_a}{\dd z} + \rho_a g &= 0 \end{aligned} \]

حيث \(z\) هي الإحداثية العمودية (موجهة عكس الجاذبية \(\vec{g} = -g \vec{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) هو معامل التمدد الحراري، \(C_P\) هو السعة الحرارية (أو الحرارة النوعية) عند ضغط ثابت و\(\Gamma\) هو معامل غرونيزن السفلي أو العلوي ’a’ في المعادلات -- يشير إلى أن الكميات المختلفة محسوبة على طول المنحنى الأديباتي نفسه.

معادلة الحالة المناسبة لكوكب مكثف تعتمد على الملاحظة أن معامل غرونيزن هو في الأساس دالة للكثافة (anderson79)، حيث \(q\) حوالي 1، \(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) هما الكثافة ومعامل غرونيزن في الظروف القياسية التي نختارها لتكون عند سطح الكوكب. في المتوسط، معامل غرونيزن بين 1 و2 في الوشاح (stacey04) أو في النواة (alfe). فيما يلي سنستخدم \(q=1\). في هذه الحالة، تصبح معادلة الحالة المناسبة للمواد المكثفة حيث في درجة الحرارة المرجعية \(T_0\)، تُعطى العلاقة بين الضغط والكثافة بواسطة تعبير مورناهان (murnaghan51) و\(n\approx 3-4\) للسيليكات الصلبة أو السائلة أو المعادن. في المعادلة، \(\alpha_0\) و\(K_T^0\) هما معامل التمدد الحراري وعدم القابلية للانضغاط الآيزوثيرمي في الظروف المرجعية. رغم أن معادلة الحالة بسيطة وتجريبية، إلا أنها تلخص الخصائص النموذجية للمواد الصلبة والسوائل وتعطي تطابقًا جيدًا جدًا للكثافة الشعاعية للأرض بافتراض أديباتيتها، بعيدًا عن منطقة الانتقال (Ricard22). تعني هذه المعادلة علاقات مباشرة بين التمدد الحراري وعدم القابلية للانضغاط مع الكثافة، وهي، ومرة أخرى، توفر هذه التعبيرات معًا تعبيرات واقعية للخصائص المقاسة في تجارب المختبر. بما أن معامل غرونيزن يعتمد على الكثافة فقط، يحصل المرء على علاقة بسيطة بين درجة الحرارة الأديباتية والكثافة الأديباتية من خلال الجمع بين المعادلتين أعلاه، حيث \(T^t_a\) و\(\rho_a^t\) هما درجة الحرارة الأديباتية والكثافة السطحية (\(t\) تعني الأعلى).

نقوم بتقديرين إضافيين عند استنتاج التعبيرات التحليلية للملامح الأديباتية (هذه التقديرات لن تُستخدم في الحسابات العددية لأنها ستبطلها).

نفترض أن السعات الحرارية عند الحجم ودرجة الحرارة الثابتين \(C_V\) و\(C_P\) متساويتان وثابتتان. السعات الحرارية فعلاً قريبة جدًا عندما \(\alpha T \ll 1\) وهو الحال للمواد المكثفة، وكلاهما قريب من قيم دولونج وبيتيت \(C_V\approx C_P\approx 3\mathcal{R}\) في J K^{-1} mol^{-1} (\(\mathcal{R}\) هو الثابت الغازي) عند درجات حرارة عالية (dulongpetit).
من المحتمل أن تكون درجة الحرارة الأديباتية السطحية مختلفة عن درجة الحرارة السطحية، ومع ذلك طالما \(\alpha (T_a^t-T_0)\ll 1\)، يمكن أيضًا اعتبار الكثافة الأديباتية السطحية والكثافة المرجعية متساويتين، \(\rho_a^0\approx \rho_0\) (بمعنى أن كثافة الكواكب دالة للضغط، لا لدرجة الحرارة).

أخيرًا، يُفترض تغير الجاذبية مع العمق في كوكب عام. من أجل البساطة، نفترض أن الجاذبية موحدة وهو الحال بشكل أساسي في وشاح الأرض.

مع هذه الفرضيات من السهل حل الظروف الأديباتية في طبقة حيث \(z\) يتغير بين \(0\) و\(H\) (على سبيل المثال، وشاح بسُمك \(H\)، \(z=0\) يكون عند حدود النواة-الوشاح)، ونحصل على

\[ \begin{aligned} \rho_a &= \rho_0 \left(1+\frac{H-z}{h} \right)^{1/(n-1)}, \\ P_a &= \frac{n-1}{n} \rho_0 g h \left[ \left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)^{n} -1\right], \\ T_a &= T^t_a \exp \left[ \Gamma_0 \left( 1-\frac{\rho_0}{\rho_a} \right) \right] \end{aligned} \]

حيث في المعادلة الأخيرة، قدمنا رقم الاستهلاك \(\Di\) المعرف برقم الاستهلاك السطحي هذا معبر عنه فقط من الكميات المعروفة على السطح، ويبدو أن هذا الاختيار هو الاختيار الوحيد الممكن عند استكشاف كوكب جديد. في الأرض، رقم الاستهلاك حوالي \(\Di_\Earth =0.71\) في الوشاح و0.56 في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times 10^{-5}\) K^{-1}, \(H=2900\) km و\(C_V=1200\) J K^{-1} kg^{-1} في الوشاح، \(\alpha_0=1.8 \times 10^{-5}\) K^{-1} (murphy13), \(H=2300\) km و\(C_V=715\) J K^{-1} kg^{-1} (gubbins) في النواة السائلة، مع \(g=9.8\) m s^{-2}).

في الكتب الجيوفيزيائية (schubert) يُعرف \(\Di\) باستخدام \(C_P\) في المقام، إذ لا يحدث فرقًا عمليًا كبيرًا حيث يتم دائمًا إهمال الفرق بينهما في الأدبيات الجيولوجية. ومع ذلك، نفضل تعريف الاستهلاك بـ \(C_V\) كما في تعريف معامل غرونيزن. نحن أحرار في افتراض أن إحدى السعتين الحراريتين ثابتة (هنا يتم اختيار \(C_V\) ثابتة)، ولكن افتراض ثبات كلتا السعتين الحراريتين يؤدي إلى تناقضات في حفظ الطاقة (albou13) لأن الفرق بينهما مرتبط مباشرة بمعادلة الحالة من خلال علاقة ماير.

المعادلات السابقة -- يمكن استخدامها لمناقشة الخصائص المحتملة للملامح الأديباتية للكواكب الكبيرة. من تنوع الكتل والأقطار للكواكب الخارجية التي تم اكتشافها، يبدو أن العديد منها صخري على الأقل حتى قطر حوالي 2.5 مرة قطر الأرض (otegi20). كتلتها الملحوظة \(M\) تزداد تقريبًا كقوة 3.45 من قطرها \(R\) (ضغوطها الداخلية الكبيرة تزيد من كثافتها المتوسطة كـ \(\approx R^{0.45}\)). سنستخدم هذه الملاحظة لتوسيع نطاق تحليلاتنا.

الجاذبية في معادلاتنا

تتناسب الجاذبية في معادلاتنا مع \(g\propto M/R^2 \approx R^{1.5}\) ونعتبر أن سمك طبقات الحمل الحراري يتناسب مع \(R\). مع هذه المقاييس، يتغير رقم الاستنزاف \(\Di\) مثل \(gH\propto R^{2.5}\). وبالتالي، وفقًا لـ(otegi20) يمكن توقع أرقام استنزاف تصل إلى \(2.5^{2.5}=10\) أضعاف رقم استنزاف الأرض في الكواكب الصخرية الشائعة نسبيًا، وفيما يلي سنستكشف أرقام استنزاف تصل إلى \(\Di=10\). سنستخدم \(\Di=\Di_\Earth (R/R_\Earth)^{2.5}\) عندما، لتوضيح الأفكار، نناقش من حيث أنصاف أقطار الكواكب بدلًا من أرقام الاستنزاف؛ كوكب فائق الأرض بنصف قطر يساوي ضعف نصف قطر الأرض (أو ثلاثة أضعاف) سيفترض بالتالي أن له وشاحًا برقم استنزاف حوالي 4.0 (أو 11.1) ونواة برقم استنزاف حوالي 3.2 (أو 8.7).

الشروط اللاحرارية في كوكب فائق الأرض

ملامح الكثافة ودرجة الحرارة الأديباتية

مع زيادة عدم القابلية للانضغاط بشكل كبير مع الكثافة وبالتالي مع الضغط، فإن الكثافة ودرجة الحرارة الأديباتية تزداد فقط بشكل معتدل كدالة لنصف قطر الكوكب. نستخدم \(\Di=\Di_\Earth=0.6\) (أسود)، \(\Di=2\) (أحمر)، \(\Di=10\) (أخضر).

نسبة الكثافة الأديباتية بين القاع والقمة لغلاف صهاري متحرك تكون وفقًا للعلاقة أعلاه وترسم هذه النسبة في الشكل [Ratio]a كدالة لـ \(\Di\) (المحور السفلي) وكدالة لـ \(R\) (المحور العلوي، بافتراض أن \(\Di\propto R^{2.5}\)). يشير رمز الأرض إلى موقع الأرض حيث يتوقع أن تكون نسبة الكثافة الأديباتية عبر الغلاف الصهاري 1.52 (بسبب التغيرات الطورية في منطقة الانتقال يُلاحظ تغير الكثافة في غلاف الأرض الصهاري بدلًا من ذلك 1.70).

تتحكم هذه النسبة في نسبة درجة الحرارة الأديباتية وفقًا للتعبير أعلاه (انظر الشكل [Ratio]b). بالنسبة للأرض، يجب أن تكون هذه النسبة 1.41 عبر الغلاف الصهاري (مشار إليه برمز الأرض، من 1600 K في الأعلى إلى 2256 K في الأسفل). درجة الحرارة القصوى في القاع \(T_a^b\) محدودة على أي حال عندما \(\rho_a \rightarrow \infty\) بواسطة \[ T_a^b = T_a^t \exp(\Gamma_0) \] حتى في الكواكب الفائقة السيليكاتية الكبيرة جدًا، يجب أن تظل درجة الحرارة الأديباتية في القاع معتدلة وبالكاد تتجاوز الضعف مقارنة بدرجة الحرارة الأديباتية على السطح (الشكل [Ratio]b).

تدفق الحرارة في الحمل القابل للانضغاط

للحمل القابل للانضغاط عند رقم برانتل غير محدود، يرتبط تدفق الحرارة الفائق الأديباتي (تدفق الحرارة السطحي \(Q\) ناقص تدفق الحرارة الأديباتي السطحي \(Q_a\)) ورقم رايلي الفائق الأديباتي بالعلاقة \({\rm Nu}_{sa}\propto {\rm Ra}_{sa}^{1/3}\) حيث \({\rm Nu}_{sa}\) هو رقم نوسلت الفائق الأديباتي (في المعادلة، يتم تقييم التدفقات الحرارية اللابعدية بواسطة \(kT_0/H\) والحرارة بواسطة \(T_0\)). هذه القاعدة التوسعية مع رقم رايلي الفائق الأديباتي تتفق مع ما وجد في تقريب بوسينسك (malkus,GrLo01). يقترح هذا التعبير عادة في الحالات التي يكون فيها \(\Delta T_a\) أصغر وغالبًا أصغر بكثير من \(\Delta T\) وهو ما لا يتحقق بالضرورة عندما يكون \(\Di\) كبيرًا، حيث يمكن أن يحدث الحمل حتى عندما \(\Delta T_a \geq \Delta T\). لاحظ أيضًا أنه، كما يظهر بالخط المتقطع الأزرق في الشكل [figTa]، قد يكون تدفق الحرارة الأديباتي على السطح كبيرًا جدًا وقد يكون \(Q-Q_a\) سلبيًا حتى في الحالة التي \(\Delta T_a\leq\Delta T\). رقم “نوسلت الأديباتي”، \({\rm Nu}_a=Q_a/\Delta T_a=\Di T_a^t/\Delta T_a\) (انظر التعريف أعلاه) هو من الرتبة \(\Di\) حيث \(T_a^t/\Delta T_a\approx 1\). لـ \(\Di=10\)، هذا بالفعل تدفق حراري كبير يتطلب رقم رايلي من 10\(^5\)-10\(^6\) في حالة بوسينسك.