مُلَخَّص
نحسِبُ إشعاعَ الجسيمات المشحونة التي تمرّ عبر مجموعةٍ منتظمةٍ من الألواح البلورية المستطيلة الرقيقة الموضوعة على سطح بلورة أحادية. يُختار سُمك كلّ لوح بحيث يساوي نصف طول المسار الذي يقطعه الجسيم خلال نصف دورة من اهتزاز التوجيه المُستَوي في بلورةٍ سميكة. إذا دخل الجسيمُ الموجب الشحنة اللوحَ الأوّل بزاوية تقلّ عن زاوية التوجيه الحرِجة، فإنه يُحْبَسُ قَنَويّاً وتنعكسُ مركبتُه السرعية العرضية. وبين الألواح، التي تفصلها مسافات قابلة للضبط، يتحرّك الجسيم بخطٍّ مستقيم. وعند المرور عبر سلسلةٍ من ألواح «نصف الموجة» البلورية، يغدو المسار متعرِّجاً أشبه بمسار المُوَجِّه. نركّز في هذه الدراسة على حساب خصائص الإشعاع الصادر عن هذا «المُوَجِّه البلوري مُتَعَدِّد الألواح». يتّسم الطيف بانفصالٍ توافقيّ زاويّاً، وتعتمد تردّدات التوافقيّات الأولى وعددُها على المسافة بين الألواح، وطاقة الجسيم، وعمق بئر الجهد المُتوسِّط لمستويات البلورة الذرّية. ينحصر الإشعاع داخل مخروطٍ ضيّق حول اتجاه السرعة المتوسِّطة للجسيم، مع هيمنة استقطاب في مستوى عمودي على مستويات البلورة.
مُقَدِّمة
استُخدِمَت الجسيمات النسبية المُوَجَّهة في بلورةٍ أُحاديّة منذ زمنٍ طويل كمصدرٍ للإشعاع الكهرومغناطيسي عالِي الطاقة. ومن أبرز عيوب هذا المصدر محدوديّة ضبط تردّد الإشعاع. لمعالجة ذلك، اقترِحت مخطّطاتٌ شتّى تجمع بين مزايا إشعاع التوجيه وإشعاع المُوَجِّه. ومن أكثرها شيوعاً استخدامُ بلّوراتٍ مُنحنيةٍ دوريّاً. ويمكن ثني المستويات البلورية بواسطة أمواجٍ فوق صوتيّة (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أو بواسطة شقوقٍ دقيقةٍ دوريّة في لوحٍ بلّوريٍّ أحاديّ تنحني تحت تأثير الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). وللحصول على إشعاعٍ عالِي الطاقة، طُرِحت المُوَجِّهات البلورية (Kostyuk2013, Sushko2015341) وتحقّقت لاحقاً (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بفترةٍ أقصر بكثير من فترة اهتزاز التوجيه وسعةِ انحناءٍ أصغر من المسافة بين المستويات البلورية.
في بعض الحالات، وعلى العكس، يُراد الحصول على إشعاعٍ بتردّدٍ أدنى مع الحفاظ على شدّةٍ عالية باستخدام حزمة جسيماتٍ ذات طاقةٍ مرتفعة. ولأجل ذلك يمكن استخدام بلّورةٍ منحنيةٍ دوريّاً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، سلسلةٍ من الألواح البلورية الرقيقة يُقلِب كلٌّ منها مركّبةَ السرعة العرضية للحزمة إلى الجهة المعاكسة، فتبدو مساراتُ الجسيمات متعرِّجة. تركّز هذه الورقة على حساب الإشعاع في جهازٍ يُسمّى المُوَجِّه البلوري مُتَعَدِّد الألواح.
دُرِسَت مساراتُ الإلكترونات والبوزيترونات في لوحٍ بلوريٍّ بسُمكٍ يساوي نصف طول المسار في التوجيه المُستَوي بوسائل عددية في (Pivovarov_2014). ووُصِفَت الدراسة التجريبية لمرور الإلكترونات عبر لوح «نصف الموجة» في (Takabayashi2015). كما أظهرت الحسابات الرقمية للإشعاع المنبعث من لوح نصف موجة أن الخصائص الأساسية تُشبه الإشعاع القوسيّ (Bagrov1983, Polozkov2015212). ويؤدّي التراكبُ المُتَّسِق لحقول الإشعاع المتولّدة في سلسلة الألواح إلى طيف انبعاثٍ مميّز، ندرسه نظريّاً في هذه الورقة.
مسار الجسيم
ندرس مُوَجِّهاً بلوريّاً مُتَعَدِّد الألواح مُقاماً على سطح بلّورةٍ واحدة، يتألّف من سلسلةٍ منتظمةٍ من الألواح المستطيلة الرقيقة، سُمكُ كلٍّ منها يساوي نصف طول موجة الاهتزاز التوجيهي. وتكون المستويات البلورية المسؤولة عن توجيه الجسيمات الموجبة عموديّةً على سطح هذه الألواح. ولأن ارتفاع الألواح أكبرُ كثيراً من سُمكها، يمكن إهمال بقية البلورة، ومن ثمّ نعدّها طبقاتٍ بلوريةً رقيقة. وقد استُخدِمَ تصميمٌ مشابه في التجارب (Kaplin2000,Kaplin2001) لإنتاج الإشعاع الانتقالي الخَلْفيّ والإشعاع البارامتري عند زاوية براج، غير أنّ سُمك الألواح حينها كان أكبرَ بكثير من نصف فترة التوجيه.
نختار نظام إحداثياتٍ يكون فيه المحور \(x\) موازياً لمستويات البلورة، والمحور \(y\) عمودياً عليها، والمحور \(z\) عمودياً على الاتجاه الابتدائي للجسيم. سُمكُ كلّ لوح \(d_1\)، والمسافة بين الألواح \(d_2\)، والمسافةُ البينيّة بين المستويات البلورية تساوي \(2a\). نعتمد تقريباً توافقيّاً للجهد المُتوسِّط: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) عمقُ بئر الجهد. وتكون معادلات الحركة النسبية (عند \(z=0\)) كما يلي:
\[ \frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2U_0}{a^2}\,y, \] حيث \( p_i=\gamma m\dot x_i\)، \( \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}\)، \( \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2\)، و\(c\) سرعةُ الضوء.
نفترض جسيماتٍ فائقـةَ النسبية (\(\gamma\gg 1\)) وتوافُر شروط تقريب المُوَجِّه (Bordovitsyn-SR): \[ \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2}, \] حيث \(\delta\beta_x\) سعة تغيّر \(\beta_x\). عندئذٍ تكون \(\gamma\) ثابتة. وبإجراء التكامل نحصل على:
\[ x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin{\omega_{0}t}+y_{0}\cos{\omega_{0}t}, \] مع \(\omega_{0}^2=2U_0/(a^2m\gamma)\).
يشترط للتوجيه أن يكون \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2
\[ \alpha<\alpha_c=\sqrt{\frac{2U_0}{m\gamma c^2}}. \]
يُختار سُمك اللوح \(d_1=\pi v/\omega_{0}\) بحيث يقطع الجسيم نصفَ دورة اهتزازية فيه، فيخرج بالإحداثي \(y_1=-y_0\) وبالسرعة العرضية \(v_{y1}=-v_{y0}\). أمّا بين اللوح الأول والثاني فيتحرّك بخطٍّ مستقيم. وإذا كانت زاويةُ السقوط \(\alpha=0\)، فإنّ التوجيه يتحقّق لجميع الجسيمات بصرف النظر عن \(d_2\).
يشكّل كلُّ لوحين متتاليين مع الفجوة بينهما فترةً مكانيّةً للمُوَجِّه، وتكون الفترة الزمنية للحركة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
الإشعاع
يُعطى التوزيعُ الطيفي والزاوي للطاقة المشعّة من جسيمٍ يتحرّك حركةً شبهَ دوريّة على مسارٍ مُستوٍ بالصيغة (Bordovitsyn-SR):
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4} {c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2\pi\nu N}{\sin^2\pi\nu}(\rho_\sigma+\rho_\pi) |\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)|^2, \]
حيث \(N\) عددُ الدورات، و\( \rho_\sigma\) و\( \rho_\pi\) معاملا الاستقطاب: \[ \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos 2\varphi)^2}{(1+\psi ^2)^4},\quad \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi ^2)^4}, \] و\( \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)\) المكوّن الفورييري للتسارع: \[ \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)=\frac {1}{T}\int_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t)\,e^{i\tilde{\omega}\nu t}\,dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2). \] هنا \(\psi=\gamma\theta\)، و\(\varphi\) زاويةُ السَّمْت بالنسبة إلى مستوى الاهتزاز.
وباستخدام التسارع المستنتَج من معادلات مسار الجسيم وتعويضه في المعادلتين ([e59]) و([e56]) نحصل على:
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2} {\pi^2c^3} I_1(\nu)\,I_2(\nu)\,(\rho_\sigma+\rho_\pi) \left[\left(\frac{y_0\,\nu\,\eta}{a}\right)^2+\phi^2\right], \] حيث \( \phi=\alpha/\alpha_c\) و\( \eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\). والدالتان:
\[ I_1(\nu)=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\quad I_2(\nu)=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}, \] ولِـ\(N\gg1\) تُنتِجان خطوطاً ضيّقةً بعرضٍ يقارب \(N^{-1}\) حول \(\nu\) الصحيح، فيما يُشكّل \(I_1\) الغلافَ الطيفي.
لإيجاد الكثافة الطيفية للإشعاع لمُوَجِّهٍ يحوي عدداً كبيراً من الدورات \(N\)، نستخدم الحد (Bordovitsyn-SR):
\[ \lim_{N\to\infty}\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{N\sin^2(\pi\nu)} =\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu), \] ثم نُجري التكامل على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\,d\theta\,d\varphi\)، فنحصل على الطيف التكاملي:
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\,\xi\,N}{\pi c^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\,\bigl[1-(-1)^n\bigr]\, G_n\,\Theta(n-\xi), \] حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\)، و\(\xi=\omega/(2\gamma^2\eta\omega_0)\) تردّدٌ مُخَفَّض، و\(\Theta\) دالّة هيفيسايد، وعاملُ الشكل:
\[ G_n=\left(\frac{y_0\, n\,\eta}{a}\right)^2+\phi^2. \]
يمثّل الطيف ([e62]) مجموعَ توافقيّاتٍ منفصلة يحدّدها عاملُ الاستقطاب والغلافُ الطيفي المعياري لإشعاع المُوَجِّه (Bordovitsyn-SR, Hofmann). وكما يتّضح من \(G_n\)، يعتمد توزيعُ الطاقة على زاوية السقوط \(\phi\)، والإحداثي الابتدائي \(y_0\)، والمسافةِ بين الألواح.
حتى الآن دُرِس إشعاعُ جسيمٍ واحد. ولإيجاد الكثافة الطيفية المنبعثة من حزمةٍ متوازية من الجسيمات، نوسِّط التعبير ([e62]) بالنسبة للإحداثي الابتدائي \(y_0\) ضمن المدى \([-y_m,y_m]\) المعطى في المعادلة ([trajj]). وبما أنّ \(y_0\) يظهر فقط في \(G_n\)، فيكفي توسيط هذا العامل:
\[ \overline G_n=\frac{1}{2y_m}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0 =\sqrt{1-\phi^2}\,\Bigl[\tfrac{n^2\eta^2}{3}\,(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr]. \]
وباستخدام \(\overline G_n\) في ([e62]) يظهر الطيف لحزمةٍ متوازية عند \(\eta=0.5\) و\(\alpha=0\) في الشكل [spectrum]. وللمقارنة مع التجارب، يُبيَّن عددُ الفوتونات \(dn\) لكل \(d\omega\) في الشكل [spectrum1]، حيث يَغلِب فعليّاً التوافقيّان الأوّل والثالث (إذ لا تُساهِم إلا التوافقيّات الفردية). ويُحدِّد عاملُ الشكل \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\) عددَ التوافقيّات في الطيف؛ إذ يبقى قريباً من الواحد لِـ\(n\eta\lesssim3\) وينخفض سريعاً عند \(n\eta\gtrsim3\)، ما يدلّ على أنّ الجزء الرئيسي من الطيف يضمّ نحو \(3/\eta\) توافقيّات. ويتأثّر الطيف أيضاً بزاوية سقوط الحزمة على البلّورة.
لحساب طاقة الإشعاع في كلّ توافقي، نُجري تكامُل ([e62]) على \(\xi\) ضمن نطاق توافقي واحد، مع الاستعاضة \( G_n\to\overline G_n\)، فنحصل على:
\[ {\cal E}=\sum_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\tfrac{7}{8}{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\tfrac{1}{8}{\cal E}_n, \quad {\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta), \] حيث:
\[ S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\,\bigl[1-(-1)^n\bigr]\, \overline G_n. \]
تُعرَض أغلفةُ هذه الدالة للتوافقيّات الفردية في الشكل [bunch]. ويعتمد الأثر على الزاوية النسبية \(\phi\) عبر العامل \(\overline G_n(\phi)\). فعند \(\phi=0\) يكون \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\)، ومع ازدياد \(\phi\) يزداد هذا العامل عند \(n^2\eta^2<2\) حتى يبلغ القيمة العظمى:
\[ \overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}. \]
ثمّ يتناقص \(\overline G_n\) تدريجيّاً حتى ينعدم عند \(\phi=1\)، كما ينخفض في الجزء عالِي التردّد \(n^2\eta^2\ge2\).
بجمع الطاقة المصدرة ([e611]) على جميع التوافقيّات، نحصل على إجمالي الطاقة لكلّ جسيم:
\[ {\cal E}=\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\,\sqrt{1-\phi^2}\,(1+2\phi^2), \] وهي لا تعتمد على \(\eta\)، وتُوزَّع بين الاستقطابين بنسبة \(1:7\)، وتبلغ ذروتها عند \(\phi=1/\sqrt{2}\).
المناقشة
إذا دعت الحاجة إلى مصدرِ إشعاعٍ بتردّدٍ أدنى من تردّد التوجيه، فإنّ الطريقة المقترحة تمتاز مقارنةً بإشعاع التوجيه عند طاقات جسيماتٍ أقلّ. ففي التوجيه التقليدي، إذا خُفِّض التردّد بعامل \(k\)، وجب استخدام جسيماتٍ بطاقةٍ أقلّ بمقدار \(k^{2/3}\)، ما يؤدّي إلى اتّساع مخروط الإشعاع وانخفاض كثافة الطيف الزاوي بما يقارب \(k^{8/3}\). أمّا في المُوَجِّه البلوري مُتَعَدِّد الألواح، فيمكن تحقيق الانخفاض نفسه في التردّد بجعل \(d_2=(k-1)d_1\) من دون تغيير مخروط الإشعاع، مع إمكانيّة زيادة أو تقليل كثافة الطيف الزاوي تبعاً لزاوية السقوط.
يُلاحَظ أنّ زيادة المسافة بين الألواح تُخفِّض تردّد كلّ توافقي وتزيد عدد التوافقيّات في الجزء الرئيسي (\(n\eta\lesssim3\)) بالنسبة نفسها. وبحسب ([ful]) لا تتغيّر الطاقة الكليّة مع \(\eta\)، لكن طاقة كلّ توافقي تنخفض متناسبـةً مع \(\eta\) وفق ([e611]). ومع ذلك تبقى كثافة الطيف الزاوي والطيفية مستقرتين نسبياً تبعاً لِـ([e60]) و([e62]). فإذا كانت \(\phi>2/\sqrt{3\pi^2-20}\approx0.645\)، فإنّه مع انخفاض \(\eta\) تنمو كثافة الطيف عند كلّ توافقي على الرغم من ظهور توافقيّاتٍ إضافيّة.
هذا النموذجُ المثالي يهدف إلى توضيح الخصائص العامة. ففي الواقع، يكون الجهدُ المُتوسِّط قرب مستوى البلورة غيرَ توافقي تماماً، ما يسبّب تغيّراً طفيفاً في زمن مغادرة الجسيم للوح «نصف الموجة» وزوايا خروجٍ متفاوتة لبعض الجسيمات. ويترتّب على ذلك تشتّتٌ خفيف للحزمة، كما أظهرت نماذجُ أكثرُ واقعية (Pivovarov_2014) ظهورَ قممٍ جانبية في التوزيع الزاوي بعد أوّل لوح «نصف الموجة». وإضافةً إلى ذلك، فإنّ محدوديّة عدد فترات المُشِعّ، وتبعثرَ طاقة الجسيمات، وأخطاءَ التصنيع، كلّها تُوسِّع خطوط الطيف وتُبهِم الحدود بين التوافقيّات في الشكل [spectrum]، من دون تغييرٍ كبير في توزيع الطاقة على التوافقيّات.
الشُّكر والتقدير
دُعِم هذا العمل بمنحةٍ من وزارة التعليم والعلوم في الاتّحاد الروسي تحت رقم المشروع 3.867.2014/K.