latex
يَتِمّ حِسابِ إِشْعاع الجَسِيمات المَشْحُونَة الَّتِي تَمُرّ عَبْرَ مَجْمُوعَةِ مِن الحَوافّ المُتَباعِدَة بِاِنْتِظامٍ عَلَى سَطْحِ بَلْوَرَةِ واحِدَةٍ. تَكُون الحَوافّ مُسْتَطِيله الشَكْلِ، وَكُلُّ مِنها بِسَمّكَ نِصْفِ فَتْرَةٍ مَسارِ الجَسِيم عِنْدَ التَوْجِيهِ الخَطِّيِّ فِي بَلْوَرَةِ سَمِيكه. الجَسِيم المَشْحُون إِيجابِيّاً الَّذِي يَدْخُل الحافَة الأُولَى بِزاوِيَةِ أَصْغَرِ مِن زاوِيَةِ التَوْجِيهِ الحَرِجَةِ يَتِمّ أَسْرَهُ داخِلَ التَوْجِيهِ وَيُغَيِّر اِتِّجاهِ سُرْعَتِهِ العَرْضِيَّةِ إِلَى المَعْكُوس. بَيِّنَ الحَوافّ نِصْفِ الموجيه، يَتَحَرَّك الجَسِيم عَلَى خَطِّ مُسْتَقِيم. عِنْدَ المُرُورِ عَبْرَ مَجْمُوعَةِ مِن أَلْواح البَلُّورَة نِصْفِ الموجيه، يَتَحَرَّك الجَسِيم عَلَى مَساراتٍ شِبْهِ موجيه. يَتِمّ حِسابِ خَصائِصِ الإِشْعاع الَّذِي يُصْدِره الجَسِيم أَثْناءَ مُرُوره عَبْرَ هٰذا “المُوَجَّهِ المُتَعَدِّدِ البَلُّورات”. يَكُون طَيْفِ الإِشْعاع فِي كُلِّ اِتِّجاهِ مُنْفَصِل، وَتَرَدَّدَ التوافقي الأَوَّلِ وَعَدَدٌ التوافقيات فِي الطَيْف يَعْتَمِد عَلَى المَسافَةِ بَيِّنَ الأَلْواح، وَعَلَى طاقَةِ الجَسِيمات وَعَلَى الطاقَةِ الكامِنَةِ المُتَوَسِّطَةِ لِلمُسْتَوَيات الذَرِّيَّةِ لِلبَلُّورَة. يَقْتَصِر الإِشْعاع عَلَى مَخْرُوط ضِيقِ فِي اِتِّجاهِ سُرْعَةٍ الجَسِيم المُتَوَسِّطَةِ ومستقطب بِشَكْلٍ أَساسِيٌّ فِي مُسْتَوَى عَمُودَيَّ عَلَى المُسْتَوَياتِ الذَرِّيَّةِ لِلبَلُّورَة.
تَمَّ اِسْتِخْدامِ الجَسِيمات النِسْبِيَّةِ المُوَجَّهَةِ فِي بَلْوَرَةِ واحِدَةٍ مُنْذُ فَتْرَةٍ طَوِيلَةٍ كَمَصْدَر لِلإِشْعاع الكهرومغناطيسي الصُلْبِ. أَحَدُ العُيُوبِ الرَئِيسِيَّةِ لِمِثْلِ هٰذا المَصْدَرُ هُوَ القُدْرَةِ المَحْدُودَةَ عَلَى تَعْدِيلِ تَرَدَّدَ الإِشْعاع. لِمُعالَجَةِ هٰذا النَقْصِ، تَمَّ اِقْتِراحِ مُخَطَّطاتٌ مُخْتَلِفَةٍ تَجْمَع بَيِّنَ مَزايا إِشْعاع القَنَواتِ وَإِشْعاع المُوَجَّهِ. تَشْمَل المُخَطَّطاتِ الأَكْثَرَ شُيُوعاً البَلُّورات المُنْحَنِيَة دَوْرِيّا. يُمْكِن ثَنَى المُسْتَوَياتِ البَلُّورِيَّة بِواسِطَةِ مَوْجاتِ فَوْقَ صَوْتِيَّةٌ (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أَو قطوع دَقِيقَةً دَوْرِيَّةٍ لَلَوْحَة بَلُّورِيّه واحِدَةٍ، وَالَّتِي فِي هٰذِهِ الحالَةِ تَنْحَنِي بِسَبَبِ الإِجْهادات الداخِلِيَّةِ (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). لِلحُصُولِ عَلَى إِشْعاع ذُو طاقَةِ عالِيَةٍ تَمَّ عَرَضَ مُوَجِّهات البَلُّورات (Kostyuk2013, Sushko2015341) وَمِن ثُمَّ تَحْقِيقِها (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بِفَتْرَةِ أَقْصَرُ بِكَثِيرٍ مِن فَتْرَةٍ قَنَواتٍ الجَسِيمات، وُسْعه الاِنْحِناءِ أَقَلَّ بِكَثِيرٍ مِن المَسافَةِ بَيِّنَ المُسْتَوَياتِ البَلُّورِيَّة.
فِي بِعَضِّ الحالاتِ، عَلَى العَكْسِ مِن ذٰلِكَ، يَطْلُب الحُصُولِ عَلَى إِشْعاع أَكْثَرَ نَعُومه، وَمَعَ ذٰلِكَ، مِن المَرْغُوب فِيهِ اِسْتِخْدامِ شُعاعُ مِن الجَسِيمات ذاتِ الطاقَةِ العالِيَةِ لَتَوْلِيد إِشْعاع ذُو شِدَّةٍ عالِيَةٍ. لِهٰذا الغَرَضِ، يُمْكِن اِسْتِخْدامِ بَلْوَرَةِ مُنْحَنِيه دَوْرِيّا، أَو كَما اِقْتَرَحَ فِي (Vorobiev1982_pat)، مَجْمُوعَةِ مِن الأَلْواح البَلُّورِيَّة الرَقِيقَةِ، كُلِّ مِنها يُغَيِّر السُرْعَةِ العَرْضِيَّةِ لِلشُعاع إِلَى سُرْعَةٍ مُعاكِسه، بِحَيْثُ تَبْدُو مَساراتٍ الجَسِيمات فِي مَجْمُوعَةِ البَلُّورات مِثْلَ خَطِّ مُتَعَرِّج. يَتِمّ التَرْكِيزِ فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ عَلَى حِسابِ الإِشْعاع فِي جِهازِ يُشار إِلَيهِ بِاِسْمِ مُوَجَّهٍ مُتَعَدِّدِ البَلُّورات.
تَمَّت دِراسَةٌ مَساراتٍ الإِلِكْترُونات والبوزيترونات فِي لَوَّحَ بَلُّورِي بِسِماكه تَعادَلَ نِصْفِ فَتْرَةٍ مَسارِ الجَسِيمات عِنْدَ القَنَواتِ الخططيه بِواسِطَةِ الطُرُقِ العَدَدِيَّةِ فِي (Pivovarov_2014). وَصَفَت الدِراسَةُ التَجْرِيبِيَّة لِمُرُورِ الإِلِكْترُونات مِن خِلالَ مِثْلَ هٰذِهِ اللَوْحَةُ نِصْفِ الموجيه فِي الوَرَقَةَ (Takabayashi2015). تَمَّت دِراسَةٌ الإِشْعاع المُنْبَعِثُ فِي لَوْحَةً نِصْفِ موجيه واحِدَةٍ عَدَدِيّا وَأَظْهَرَت أَنَّ الخَصائِص الأَساسِيَّةِ لِلإِشْعاع مُشابِهَةٍ لِتِلْكَ الخاصَّةِ بِالإِشْعاع مِن قَوْس دائِرَةِ (Bagrov1983, Polozkov2015212). يُؤَدِّي التراكب المُتَماسِك لَحُقُول الإِشْعاع المُوَلِّدَة فِي سِلْسِلَةٍ مِن الأَلْواح نِصْفِ الموجيه إِلَى طَيْفِ الاِنْبِعاث بِخَصائِص مُحَدَّدَةٍ يَتِمّ دِراسَتَها نَظَرِيّا فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ.
نَظَراً لَمَوْشُور مُتَعَدِّدِ البَلُّورات مَصْنُوع عَلَى سَطْحِ بَلْوَرَةِ واحِدَةٍ، يَتَكَوَّن مِن مَجْمُوعَةِ مِن الحَوافّ المُتَباعِدَة بِشَكْلٍ مُتَساوٍ وَالمُسْتَطِيلَة الشَكْلِ وَكُلُّ مِنها بِسَمّكَ نِصْفِ المُوَجَّه. الطَبَقاتِ البَلُّورِيَّة الَّتِي تَمَكَّنَ مِن تَوْجِيهِ الجَسِيمات المُوجِبَةِ الشَحْنَةِ، عَمُودَيْهِ عَلَى سُطُوحِ الحَوافّ. اِرْتِفاعِ الحَوافّ أَكْبَرَ بِكَثِيرٍ مِن سَمَكها، وَبِالتالِي، يُمْكِن إِهْمالٍ بَقِيَّةِ البَلُّورَة. مِن هُنا فَصاعِداً، نَعْتَبِر الحَوافّ عِبارَةٌ عَن مَجْمُوعَةِ مِن الأَلْواح البَلُّورِيَّة الرَقِيقَةِ. تَمَّ اِسْتِخْدامِ تَصْمِيمِ مُماثِلٍ فِي التَجارِبِ (Kaplin2000,Kaplin2001) لِإِنْتاجِ إِشْعاع الاِنْتِقالِ السيني المُنْعَكَس وَالإِشْعاع السيني البارامتري عِنْدَ زاوِيَةِ بِراج، لٰكِنَّ سَمَكُ الحَوافّ كانَ أَكْبَرَ بِكَثِيرٍ مِن نِصْفِ فَتْرَةٍ التَوْجِيهِ.
نَخْتار نِظامِ إِحْداثِيّات بِحَيْثُ يَكُون مِحْوَرِ ال\(x\) مُوازِياً لَمُسْتَوَيات البَلُّورَة، وَمِحْوَر ال\(y\) عَمُودِيّاً عَلَيها. مِحْوَرِ ال\(Z\) عَمُودَيَّ عَلَى السُرْعَةِ الاِبْتِدائِيَّةُ لِلجَسِيم الساقِط. سَمَكُ كُلِّ لَوَّحَ هُوَ \(d_1\)، وَالمَسافَة بَيِّنَ الأَلْواح هِيَ \(d_2\)، وَالمَسافَة بَيِّنَ الطَبَقاتِ البَلُّورِيَّة تُساوَى \(2a\). نَسْتَخْدِم تَقْرِيبِ التوافقي لِلجَهْد المُتَوَسِّطِ لِلمَجال الكَهْرَبائِيِّ بَيِّنَ الطَبَقاتِ البَلُّورِيَّة: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حَيْثُ \(U_0\) هُوَ عُمْقِ وادِي الجُهْدِ. مُعادَلات الحَرَكَةِ النِسْبِيَّةِ لِلجَسِيم فِي المُسْتَوَى \(z=0\) لَها الشَكْلِ \[\frac{{ d}p_x}{{ d}t}=0,\quad \frac{{ d}p_y}{{ d} t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y.\] هُنا \( p_x\) وَ \(p_y \) هُما مُكَوِّناتِ الزَخِمِ \[p_i=\gamma m\dot x_i, \, x_i=x,y, \, \gamma=(1-\beta^2)^{1/2}, \, \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2,\] \(m\) وَ \(e\) هُما كُتْلَةِ وَشَحْنَة الجَسِيم، \(\beta_i=\dot x_i/c\)، النُقْطَةِ تَدُلّ عَلَى المُشْتَقَّة الزَمَنِيَّةِ، \(c\) هِيَ سُرْعَةٍ الضَوْء.
لِنَفْتَرِض أَنَّ الجَسِيم فائِق النِسْبِيَّةِ (\(\gamma\gg 1\)) وَأَنَّ شُرُوطٍ تَقْرِيبِ الدَوّامَة مستوفاه (Bordovitsyn-SR) \[\begin{aligned} \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2},\end{aligned}\] حَيْثُ \(\delta\beta_x\) هُوَ سَعَة تُغَيِّر \(\beta_x\). فِي هٰذِهِ الحالَةِ، يُمْكِن اِعْتِبارِ قِيمَةَ \( \gamma\) ثابِتَةٍ. تَكامُلٍ المُعادَلات فِي التَقْرِيبِ المُعْتَمَدُ يُعْطِي \[\begin{aligned} x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin{\omega_{0}t}+y_{0}\cos{\omega_{0}t},\end{aligned}\] حَيْثُ \(v\) وَ \(v_{0y}\) هُما سُرْعَةٍ الجَسِيم الاِبْتِدائِيَّةُ وَمُكَوِّنها \(y\)، \(\omega_{0}\) هُوَ تَرَدَّدَ تَذَبْذُبات الجَسِيم \[\omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}.\]
شَرْطَ التَوْجِيهِ هُوَ أَنَّ سَعَة التَذَبْذُبات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) يَجِب أَنَّ تَكُون أَقَلَّ مِن نِصْفِ المَسافَةِ بَيِّنَ الطَبَقاتِ البَلُّورِيَّة. وَبِالتالِي، إِذا كانَ شُعاعُ مُتَوازِي مِن الجَسِيمات يُسْقِط عَلَى سَطْحِ اللَوْح البَلُّورِيّ، فَإِنَّ الجَسِيمات ذاتِ الاحداثي الاِبْتِدائِيِّ \(y_0\) الَّتِي تُلَبِّي الشَرْطُ \[y_0^2<y_m^2=a^2-\left(\frac{v_{0y}}{\omega_0}\right)^2.\] سَيَتِمّ اِلْتِقاطها فِي وَضْعِ التَوْجِيهِ. الجَسِيمات المُتَبَقِّيَةُ لَدَيها طاقَةِ عَرْضِيَّةً فَوْقَ الحاجِزَ. يَتَرَتَّب عَلَى عَدَمِ المُساواةُ المَذْكُورَةِ أَعْلاه أَنَّ السُرْعَةِ العَرْضِيَّةِ الاِبْتِدائِيَّةُ \(v_{0y}\) يَجِب أَنَّ تُلَبِّي الشَرْطُ \(|v_ {0y}|<a\omega_0\). إِذا قَدَّمْنا زاوِيَةِ السُقُوطُ ك \(\alpha=|v_{0y}|/c\)، يُمْكِن كِتابَةِ عَدَمِ المُساواةُ الأَخِيرَةِ كَشَرْط ليندهارد المَعْرُوفُ \[\alpha<\alpha_c=\sqrt{\frac{2U_0}{m\gamma c^2}}.\]
سَمَكُ كُلِّ لَوَّحَ بَلُّورِي يُساوِي نِصْفِ فَتْرَةٍ المَسارُ: \(d_1=\pi v/\omega_{0}\). وَبِالتالِي، إِحْداثَيْهِ \(y\) لِلجَسِيم عِنْدَ مُغادَرَتِهِ اللَوْح البَلُّورِيّ الأَوَّلِ هِيَ \(y_1=-y_0\)، وَمُكَوِّن السُرْعَةِ \(y\) يُساوِي \(v_{y1}=-v_{y0}\). بَيِّنَ اللَوْح الأَوَّلِ وَالثانِي، يَتَحَرَّك الجَسِيم عَلَى خَطِّ مُسْتَقِيم. إِذا كانَت زاوِيَةِ السُقُوطُ \(\alpha\) تُساوَى صِفْرا، فَإِنَّ جَمِيعِ جَسِيمات الشُعاع سَيَتِمّ اِلْتِقاطها فِي وَضْعِ التَوْجِيهِ بِغَضِّ النَظَرِ عَن المَسافَةِ \(d_2\).
اللَوْحانِ البَلُّورِيّانِ الأَوَّلانِ وَالفَجْوَتانِ اللاحِقَتانِ تُشَكِّلانِ الفَتْرَةِ المَكانِيَّة لَمَوْشُور مُتَعَدِّدِ البَلُّورات. الفَتْرَةِ الزَمَنِيَّةِ لِلحَرَكَةِ تُساوَى \(T=2(d_1+d_2)/v\).
يُعْطَى التَوْزِيعِ الطَيْفِيّ والزاوي لِلطاقَةِ المُشِعَّةِ مِن الجَسِيم فِي حَرَكَةِ شِبْهِ دَوْرِيَّةٍ عَلَى مَسارِ مُسْتَوَى بِواسِطَةِ الصِيغَةِ (Bordovitsyn-SR)
\[\label{e59} \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4} {c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2\pi\nu N}{\sin^2\pi\nu}(\rho_\sigma+\rho_\pi) |\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)|^2,\]
حَيْثُ \(N\) هُوَ عَدَدٍ دَوْراتِ المُوَجَّهِ، وَتَعْرِف التَوْزِيعات الزاوِيَةِ لَمُكَوِّنات الاِسْتِقْطاب \(\rho_\sigma\) وَ \(\rho_\pi\) بِالمُعادَلات \[\begin{aligned} \label{e49ppp} \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos 2\varphi)^2}{(1+\psi ^2)^4}\:,\ \ \ \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi ^2)^4},\end{aligned}\] وَيُعْطَى المُكَوَّنِ الفوريي لِلتَسارُع بِواسِطَةِ \[\begin{aligned} \label{e56} \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)=\frac {1}{T}\int\limits_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t) e^{i\tilde{\omega}\nu t}dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2).\end{aligned}\] هُنا \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هُوَ تَرَدَّدَ تَذَبْذُبات الجَسِيم، \(\psi=\gamma\theta\)، \(\theta\) هُوَ الزاوِيَةِ بَيِّنَ اِتِّجاهِ الإِشْعاع وَمِحْوَر التَوْجِيهِ (\(x\)-axis)، \(\varphi\) هُوَ الزاوِيَةِ الازيموتيه فِي المُسْتَوَى \(yz\).
بِحِساب التَسارُع بِاِسْتِخْدامِ المُعادَلات ([eq-motor-y2]) وَ ([eq-mot-y2]) وَاِسْتِبْدالِهِ فِي المُعادَلات ([e59]) وَ ([e56])، نَحْصُل عَلَى \[\begin{gathered} \label{e60} \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2} {\pi^2c^3} I_1(\nu)I_2(\nu)(\rho_\sigma+\rho_\pi)\times\\ \times\left[\left(\frac{y_0\nu\eta}{a}\right)^2+\phi^2\right],\end{gathered}\] حَيْثُ \(\phi=\alpha/\alpha_c\) هُوَ نِسْبَةَ زاوِيَةِ السُقُوطُ إِلَى الزاوِيَةِ الحَرِجَةِ لِلتَوْجِيه، وَ \(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\) هُوَ نِسْبَةَ تَرَدَّدَ تَذَبْذُبات الجَسِيم إِلَى تَرَدَّدَ التَذَبْذُب عِنْدَ التَوْجِيهِ (مُشابِهٍ لِدَوْرَةِ العَمَلِ فِي الإِلِكْترُونِيّات). تَعْرِف الدوال الطَيْفِيَّة \[\begin{aligned} I_1(\nu)=&\frac{\cos^2\pi\nu\eta/2}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\nonumber\\ I_2(\nu)=&\frac{\sin^2\pi\nu N}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}\end{aligned}\] الخَصائِص الأَساسِيَّةِ لِلإِشْعاع. فِي حالَةِ \(N\gg 1\) تُولَد الدالَّةِ \( I_2(\nu) \) خُطُوطِ طَيْفِيّه ضَيِّقَةٍ بِعَرْضِ \(\Delta \nu=N^{-1}\) فِي جِوارٍ القِيَمِ الفَرْدِيَّةِ لِ \(\nu\)، بَيْنَما الدالَّةِ \( I_1(\nu)\) هِيَ مُغَلَّف طَيْفِي.
لِنَجِد الكَثافَةِ الطَيْفِيَّة لِلإِشْعاع. نَحْسِبها لَمُوَجَّه بَلُّورِي بِعَدَدٍ كَبِيرٍ مِن الدَوْراتِ \(N\). بِاِسْتِخْدامِ الحَدِّ (Bordovitsyn-SR) \[\lim\limits_{N\to\infty}\frac{\sin^2\pi\nu N}{N\sin^2\pi\nu}=\sum\limits_{n=1}^\infty\delta (n-\nu)\] وَالتَكامُلِ عَلَى الزاوِيَةِ الصُلْبَةِ \(d\Omega=\theta d\theta d\varphi\)، نَحْصُل عَلَى الطَيْف التَكامُلِيّ لِلإِشْعاع \[\begin{gathered} \label{e62} \frac{d{\cal E}}{ d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3}\times\\ \times\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2\pi n\eta/2}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\left[1-(-1)^n\right]G_n\Theta(n-\xi),\end{gathered}\] حَيْثُ \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\) هُوَ مَجْمُوعُ مُكَوِّناتِ الاِسْتِقْطاب الخَطِّيِّ [harm] s_n=3^2-2n+n^2,s_n=(-n)^2,\(\xi\) هُوَ تَرَدَّدَ مُخَفَّض، وَ\(G_n\) يَعْرِف تَأْثِيرِ الاحداثيه الأَوَّلِيَّةِ وَزاوِيَة السُقُوطُ عَلَى الطَيْف: \[\xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta{\omega_0}},\quad G_n=\left(\frac{y_0 n\eta}{a}\right)^2+\phi^2,\] \(\Theta(n-\xi)\) هُوَ دالَّةٍ هيفيسايد.
يُمَثِّل الطَيْف الانبعاثي ([e62]) كَمَجْمُوع مِن التوافقيات المُنْفَصِلَة. شَكْلٍ كُلِّ تَوافُقِي مُحَدَّدٍ بِمُكَوِّناتِ الاِسْتِقْطاب \(s_ {n\sigma}\) وَ \(s_{n\pi}\) يَتَطابَق مَعَ المِلَفِّ الشَخْصِيِّ المَعْرُوفُ لَإِشْعاع المُوَجَّهِ فِي التَقْرِيبِ الدايبولي (Bordovitsyn-SR, Hofmann). تَوْزِيعِ طاقَةِ الإِشْعاع فِي التوافقيات، كَما يُمْكِن رُؤْيَتِهِ مِن عامِلٍ الشَكْلِ \(G_n\)، يَعْتَمِد بِشَكْلٍ أَساسِيٌّ عَلَى زاوِيَةِ سُقُوطِ الجَسِيم فِي لَوْحَةً البَلُّور، احداثيته الأَوَّلِيَّةِ \(y_0\) وَالمَسافَة بَيِّنَ اللَوْحاتِ.
حَتَّى الآنَ، قُمْنا بِدِراسَةِ خَصائِصِ إِشْعاع جَسِيمٌ واحِدٍ. مِن أَجْلِ إِيجادِ الكَثافَةِ الطَيْفِيَّة المُنْبَعَثَةِ مِن شُعاعُ مُتَوازِي مِن الجَسِيمات نَقُوم بتوسيط التَعْبِيرِ ([e62]) عَلَى الاحداثيه الأَوَّلِيَّةِ \(y_0\) خِلالَ الفاصِلِ \(2y_m\) المُعْطَى بِالمُعادَلَة ([trajj]). نَظَراً لِأَنَّ \(y_0\) مُمَثَّلَةً فَقَط فِي \(G_n\)، فَسَيَكْفِي توسيط هٰذا الضَرْبِ فَقَط \[{\overline G}_n=\frac{1}{2a}\int\limits_{-y_m}^{y_m}\hspace{-6pt}G_n d y_0= (1-\phi^2)^{1/2} \left[\frac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\right]\] وَاِسْتِخْدامِ \(\overline G_n\) بَدَلاً مِن \(G_n\) فِي المُعادَلَةَ ([e62]). يَرْسُم طَيْفِ الإِشْعاع لَشُعاع مُتَوازِي مِن الجَسِيمات لِلمُعَلِّمات \(\eta=0.5\) وَ \(\alpha=0\) فِي الشَكْلِ [spectrum]. لَغَرَض المُقارَنَةِ مَعَ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة المُحْتَمَلَةِ، يُظْهِر الرَسْمُ البَيانِيّ نَفْسِهِ فِي الشَكْلِ [spectrum1] كَعَدَد الفوتونات \(dn\) لِكُلِّ فاصِلٍ تُرَدِّدِي \(d\omega \). يَتَكَوَّن الطَيْف فِي هٰذِهِ الحالَةِ بِشَكْلٍ رَئِيسِيٍّ مِن التوافقيه الأُولَى وَالثالِثَةَ. عَدَدٍ التوافقيات، الَّتِي تساContributing to the emission spectrum is determined by the factor \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\), which is close to unity in the domain of low \(n\eta\) and decreases rapidly if \(n\eta\gtrsim 3\). Thus, the main part of the spectrum contains about \(n\sim 3/\eta\) harmonics. Furthermore, the emission spectrum depends on the angle of incidence of the particle beam on the crystal.
لِنَسْتَكْشِف هٰذِهِ المَسْأَلَةِ بِمَزِيدٍ مِن التَفْصِيل، دَعُونا نَجِد طاقَةِ الإِشْعاع فِي كُلِّ تَوافُقِي مِن خِلالَ تَكامُلٍ التَعْبِيرِ ([e62]) عَلَى \(\xi\) ضِمْنَ تَوافُقِي واحِدٍ. مَعَ الأَخْذِ فِي الاِعْتِبارِ اِسْتِبْدالِ \( G_n\to{\overline G}_n\) نَحْصُل عَلَى الآتِي \[\begin{aligned} &{\cal E}=\sum\limits_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\frac 78{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\frac 18{\cal E}_n,\nonumber\\ &{\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta). \label{e611}\end{aligned}\] تَوْزِيعِ الطاقَةِ المُنْبَعَثَةِ عَلَى التوافقيات يُعْطَى بِواسِطَةِ الدالَّةِ \[\label{Sn} S(n\eta)=\frac{\cos^2\pi n\eta/2}{(1-n^2\eta^2)^2}\left[1-(-1)^n\right]{\overline G}_n.\] هٰذِهِ دالَّةٍ مُتَقَطِّعَةً لَقِيَم عَدَدَيْهِ فَرْدِيَّةٍ لِ \(n\). تُظْهِر أَغْلَفه هٰذِهِ الدالَّةِ لَزَوايا سُقُوطِ مُخْتَلِفَةٍ \(\phi\) فِي الشَكْلِ.[bunch] تَعْتَمِد طَيْفِ الاِنْبِعاث لِلزاوِيَة النِسْبِيَّةِ \(\phi\) فَقَط فِي العامِلِ \(\overline G_n(\phi)\). إِذا كانَ \(\phi=0\)، يَأْخُذ هٰذا العامِلِ القِيمَةِ \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\). مَعَ زِيادَةِ زاوِيَةِ السُقُوطُ، تَزْداد قِيمَةَ \(\overline G_n(\phi)\) فِي الجُزْء المُنْخَفَض التَرَدُّدِ مِن الطَيْف (\(n^2\eta^2<2\)) وَتَصِل إِلَى أَقْصَى قِيمَةَ لَها عِنْدَ \(\phi=\phi_m\) \[\overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}.\] مَعَ زِيادَةِ \( \phi \) تُقِلّ هٰذِهِ الدالَّةِ وَتَخْتَفَى عِنْدَ \(\phi=1\). فِي الجُزْء عالِي التَرَدُّدِ مِن الطَيْف (\(n^2\eta^2\ge 2\)) تُقِلّ دالَّةٍ \(\overline G_n(\phi)\) تَدْرِيجِيّاً إِلَى الصِفْرِ مَعَ زِيادَةِ زاوِيَةِ السُقُوطُ.
بِجَمْعِ المُعادَلَةَ ([e611]) عَلَى التوافقيات نَحْصُل عَلَى الطاقَةِ الكُلِّيَّةِ المُنْبَعَثَةِ مِن شُعاعُ الجَسِيمات، لِكُلِّ جَسِيمٌ \[\label{ful} {\cal E}=\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\sqrt{1-\phi^2}\left(1+2\phi^2\right),\] وَالَّتِي لا تَعْتَمِد عَلَى \(\eta\) وَتُوَزِّع بَيِّنَ مُكَوِّناتِ الاِسْتِقْطاب وِفْقاً لَنِسْبَة 1:7. كَدالّه لَزاوِيَة السُقُوطُ، تَكُون الطاقَةِ المُنْبَعَثَةِ فِي أَقْصَى حالاتِها عِنْدَ \(\phi=1/\sqrt{2}\)، أَيّ عِنْدَما تَكُون زاوِيَةِ السُقُوطُ أَقَلَّ بِمِقْدارِ \(\sqrt{2}\) مَرّاتٍ مِن الزاوِيَةِ الحَرِجَةِ لِلتَوْجِيه.
إِذا كانَت هُناكَ حاجَةٍ إِلَى مَصْدَرٌ إِشْعاع بِتَرَدُّد أَقَلَّ مِن تَرَدَّدَ الإِشْعاع فِي التَوْجِيهِ، فَإِنَّ الطَرِيقَةِ المُقْتَرَحَةِ لَها مَزايا مُعَيَّنَةٍ مُقارَنَةً بِالإِشْعاع فِي التَوْجِيهِ الَّذِي يُصْدِره جَسِيمات أَقَلَّ طاقَةِ. بِالفِعْلِ، إِذا أَرَدْتَ تَقْلِيلِ تَرَدَّدَ إِشْعاع الجَسِيمات المُوَجَّهَةِ \(k\) مَرّاتٍ، يَجِب عَلَيكَ اِسْتِخْدامِ جَسِيمات بِطاقَةِ أَقَلَّ بِمِقْدارِ \(k^{2/3}\). سَيُؤَدِّي ذٰلِكَ إِلَى زِيادَةِ مَخْرُوط الإِشْعاع \(k^{2/3}\) مَرّاتٍ، وَكَثافَة الطَيْف الزاوي ([e60])، الَّتِي تَتَناسَب طَرْدِيّا مَعَ \(\gamma^4\)، لِتَقُل \(k^{8/3}\) مَرّاتٍ. فِي حالَةِ المُشِعّ البَلُّورِيّ المُتَعَدِّدِ، يُمْكِن تَحْقِيقِ نَفْسِ التَقْلِيلُ فِي التَرَدُّدِ إِذا كانَت المَسافَةِ بَيِّنَ أَلْواح البَلُّور مُساوِيَةً لِ \(d_2 = (k-1) d_1\). مَعَ ذٰلِكَ، لا يَتَغَيَّر مَخْرُوط الإِشْعاع، وَيُمْكِن أَنَّ تَزْداد أَو تُقِلّ كَثافَةُ الطَيْف الزاوي لِلإِشْعاع اِعْتِماداً عَلَى زاوِيَةِ سُقُوطِ الشُعاع.
هُناكَ خُصُوصِيَّةِ مُثِيرَةٍ لِلاِهْتِمامِ لَكَثافَة الطَيْف الزاوي لِلإِشْعاع. إِذا زادَت المَسافَةِ بَيِّنَ أَلْواح البَلُّور، فَإِنَّ تَرَدَّدَ الإِشْعاع عَلَى كُلِّ تَوافُقِي يَقِلّ، وَيَزْداد عَدَدٍ التوافقيات المُمَثَّلَةِ فِي الجُزْء الرَئِيسِيُّ مِن الطَيْف (\(n\eta\lesssim 3\)) بِنَفْسِ النِسْبَةِ. وِفْقاً لِلمُعادَلَة ([ful])، فَإِنَّ الطاقَةِ الكُلِّيَّةِ المُنْبَعَثَةِ لا تَعْتَمِد عَلَى \(\eta\). وَبِالتالِي، تُقِلّ الطاقَةِ المُنْبَعَثَةِ عِنْدَ كُلِّ تَوافُقِي كَما هُوَ مُشار إِلَيهِ بِعامِل \(\eta\) فِي المُعادَلَةَ ([e611]). وَمَعَ ذٰلِكَ، لا تُقِلّ كَثافَةُ الطَيْف الزاوي وَكَثافَة الطَيْف بِالضَرُورَةِ مَعَ \(\eta\)، لِأَنَّهُ لا يُوجَد عامِلٍ \(\eta\) فِي المُعادَلات ([e60]) وَ ([e62]). يُظْهِر هٰذا أَيْضاً مِن الشَكْلِ [spectrum]: مَعَ اِنْخِفاضِ \(\eta\)، يَتَغَيَّر عامِلٍ القِياس لَمَحاوِر \(\xi\) وَيَتَحَرَّك الحَدِّ الأَقْصَى لِكُلِّ تَوافُقِي إِلَى اليَسارِ مِن حَيْثُ \(\omega\). هٰذا يُؤَدِّي بِالتَأْكِيدِ إِلَى اِنْخِفاضِ المِساحَةَ تَحْتَ المُنْحَنَى الَّذِي يُمَثِّل الطَيْف. وَلٰكِن كَثافَةُ الطَيْف نَفْسِها تَتَغَيَّر بِبُطْء وِفْقاً لِشُرُوطٍ المَجْمُوعِ فِي المُعادَلَةَ ([e62]). إِذا كانَ \(\phi > 2/\sqrt{3 \pi^2-20} \approx 0.645\)، فَإِنَّهُ مَعَ اِنْخِفاضِ \(\eta\)، تَنْمُو كَثافَةُ الطَيْف الزاوي وَكَثافَة الطَيْف لِلإِشْعاع عِنْدَ كُلِّ تَوافُقِي، عَلَى الرَغْمِ مِن ظُهُورِ توافقيات إِضافِيَّةً.
لَقَد نَظَرِنا فِي نَمُوذَجَ مِثالِيٌّ لِدِراسَةِ الخَصائِص العامَّةِ لِلإِشْعاع. عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، فَإِنَّ الجُهْدِ المُتَوَسِّطِ فِي مُحِيطِ مُسْتَوَى البَلُّور لَيِسَ متناغما. نَتِيجَةَ لِذٰلِكَ، سَيَكُون لِلجَسِيمات الَّتِي تَتَمَوَّج بِسَعَةِ عالِيَةٍ مِن التَذَبْذُبات فَتْرَةٍ مَكانَيْهِ أَقْصَرُ وَسَتُغادِر لَوَّحَ البَلُّور ’نِصْفِ المُوَجَّه’ بِزاوِيَةِ مُخْتَلِفَةٍ. بِعِبارَةٍ أُخْرَى، اللَوْح الَّذِي يَكُون نِصْفِ مَوْجَةِ لِبَعْضِ الجَسِيمات لَن يَكُون كَذٰلِكَ لِلآخَرَيْنِ. سَيُؤَدِّي ذٰلِكَ إِلَى تَشَتَّتَ طَفِيفٍ لِلشُعاع الأَصْلِيُّ المُتَوازِي لِلجَسِيمات. بِالفِعْلِ، تُظْهِر نمذجه المَساراتِ فِي جُهْدٍ أَكْثَرَ واقِعِيَّةٍ أَنَّهُ بُعْدَ مُرُورِ لَوَّحَ نِصْفِ المُوَجَّه تُظْهِر قِمَّتانِ جانِبِيَّتانِ فِي التَوْزِيعِ الزاوي لِلشُعاع (Pivovarov_2014). هٰذا وَعَوامِل أُخْرَى، مِثْلَ عَدَدٍ مَحْدُودٍ مِن فَتَراتِ المُشِعّ، اِنْتِشارِ طاقَةِ الجَسِيمات فِي الشُعاع، أَخْطاءِ فِي التَصْنِيعِ، سَتُؤَدِّي إِلَى تَوْسِيعِ خُطُوطِ الطَيْف وَإِلَى طَمْسَ الحُدُودِ بَيِّنَ التوافقيات المَعْرُوضَةِ فِي الشَكْلِ [spectrum]. فِي الوَقْتِ نَفْسِهِ، لا تُغَيِّر هٰذِهِ العَوامِلُ بِشَكْلٍ كَبِيرٍ تَوْزِيعِ طاقَةِ الإِشْعاع عَبْرَ التوافقيات.
تَمَّ دَعْمِ هٰذا العَمَلِ بِمَنْحه مِن وِزارَةِ التَعْلِيمِ وَالعُلُومِ لِلاِتِّحادِ الرُوسِيِّ تَحْتَ رَقْمِ المَشْرُوعِ 3.867.2014/K