latex
مُلَخَّص
نحسب إشعاع الجسيمات المشحونة التي تمر عبر مجموعة منتظمة من الحواف الرقيقة على سطح بلورة واحدة. تكون هذه الحواف مستطيلة الشكل ويبلغ سمك كل منها نصف طول مسار الجسيم في حالة التوجيه الخطي داخل بلورة سميكة. إذا دخل الجسيم المشحون إيجابياً الحافة الأولى بزاوية تقل عن زاوية التوجيه الحرجة، فإنه يُحبس داخل القناة البلورية وينعكس اتجاه سرعته العرضية. بين الحواف، التي تفصلها مسافات نصف طول الموجة، يتحرك الجسيم في خط مستقيم. وعند المرور عبر سلسلة ألواح نصف الموجة البلورية، يتخذ المسار شبه الموجي. نركّز في هذه الدراسة على حساب خصائص الإشعاع الصادر عن هذا «الموجه متعدد البلورات». يتّسم طيف الإشعاع بالانفصال في الاتجاهات، وتعتمد تردّدات التوافقي الأول وعدد التوافقيات على المسافة بين الألواح، وطاقة الجسيمات، وعمق بئر الجهد المتوسط للمستويات الذرية للبلورة. يقتصر الإشعاع ضمن مخروط ضيق حول اتجاه السرعة المتوسطة للجسيم، مع استقطاب رئيسي في مستوى عمودي على مستويات البلورة.
مُقَدِّمَة
تم استخدام الجسيمات النسبية الموجَّهة في بلورة واحدة منذ زمن طويل كمصدر للإشعاع الكهرومغناطيسي عالي الطاقة. أحد العيوب الرئيسية لمثل هذا المصدر هو القدرة المحدودة على تعديل تردد الإشعاع. لمعالجة هذا النقص، تم اقتراح مخططات مختلفة تجمع بين مزايا إشعاع القنوات وإشعاع الموجه. من أكثر هذه المخططات شيوعاً استخدام البلورات المنحنية دورياً. يمكن انحناء المستويات البلورية بواسطة موجات فوق صوتية (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أو بواسطة قطوع دقيقة دورية في لوح بلوري واحد تنحني تحت تأثير الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). للحصول على إشعاع عالي الطاقة، طُرحت موجهات البلورات (Kostyuk2013, Sushko2015341) وتم تحقيقها لاحقاً (Wistisen2014, Uggerhoj2015) بفترة أقصر بكثير من الفترة الموجية لقنوات الجسيمات وسعة انحناء أقل من المسافة بين المستويات البلورية.
في بعض الحالات، وعلى النقيض من ذلك، يُراد الحصول على إشعاع بتردد أخفض مع الحفاظ على شدة عالية باستخدام شعاع جسيمات ذي طاقة عالية. لهذا الغرض، يمكن الاستعانة ببلورة منحنية دورياً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، سلسلة من الألواح البلورية الرقيقة، يغير كل منها السرعة العرضية للشعاع إلى الاتجاه المعاكس، فتبدو مسارات الجسيمات متعرجة. تركز هذه الورقة على حساب الإشعاع في جهاز يُسمَّى الموجه متعدد البلورات.
تمت دراسة مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوح بلوري بسماكة تعادل نصف طول مسار الجسيمات في التوجيه الخطي بواسطة الطرق العددية في (Pivovarov_2014). وصفت الدراسة التجريبية لمرور الإلكترونات عبر مثل هذا اللوح نصف الموجة في (Takabayashi2015). كما أظهرت الحسابات الرقمية للإشعاع المنبعث من لوح نصف موجة أن الخصائص الأساسية تشبه إشعاع قوس الدائرة (Bagrov1983, Polozkov2015212). يؤدي التراكب المتماسك لحقول الإشعاع المولدة في سلسلة الألواح نصف الموجة إلى طيف انبعاث مميز، ندرسه نظرياً في هذه الورقة.
مسار الجسيم
ندرس منشوراً متعدد البلورات مبنياً على سطح بلورة واحدة، يتألف من سلسلة منتظمة من الألواح المستطيلة الرقيقة (الحواف)، بحيث يبلغ سمك كل منها نصف الفترة الموجية التوجيهية. تتجه المستويات البلورية المسؤولة عن توجيه الجسيمات الموجبة عمودياً على سطح هذه الألواح. ولأن ارتفاع الألواح أكبر بكثير من سماكتها، يمكن إهمال بقية البلورة، ومن ثم نعتبرها طبقات بلورية رقيقة. استخدم تصميم مشابه في التجارب (Kaplin2000,Kaplin2001) لإنتاج الإشعاع الانتقالي العكسي والإشعاع المعياري عند زاوية براج، لكن سماكة الألواح آنذاك كانت أكبر بكثير من نصف فترة التوجيه.
نختار نظام الإحداثيات بحيث يكون المحور \(x\) موازياً لمستويات البلورة، والمحور \(y\) عمودياً عليها، والمحور \(z\) عمودياً على الاتجاه الابتدائي للجسيم. تكون سماكة كل لوح \(d_1\)، والمسافة بين الألواح \(d_2\)، وثُنائية المسافة بين الطبقات البلورية \(2a\). نعتمد تقريب التوافقي للجهد المتوسط: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) عمق بئر الجهد. معادلات الحركة النسبية عند \(z=0\):
\[ \frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y, \] حيث \( p_i=\gamma m\dot x_i\)، \( \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}\)، \( \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2\)، و\(c\) سرعة الضوء.
لنفترض أن الجسيم فائق النسبية (\(\gamma\gg 1\)) وأن شروط تقريب الدورة مستوفاة (Bordovitsyn-SR): \[ \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll \gamma^{-2}, \] حيث \(\delta\beta_x\) سعة تغير \(\beta_x\). عندها يكون \( \gamma\) ثابتاً. تكامل المعادلات يعطي:
\[ x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin{\omega_{0}t}+y_{0}\cos{\omega_{0}t}, \] مع \(\omega_{0}^2=2U_0/(a^2m\gamma)\).
يشترط للتوجيه أن يكون \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) أقل من \(a^2\). وعليه، يجب أن تتحقق \(|v_{0y}|
\[ \alpha<\alpha_c=\sqrt{\frac{2U_0}{m\gamma c^2}}. \]
يُختار سماكة اللوح \(d_1=\pi v/\omega_{0}\) بحيث يقطع الجسيم نصف دورة اهتزازية فيه، فيخرج بالإحداثي \(y_1=-y_0\) والسرعة العرضية \(v_{y1}=-v_{y0}\). بين اللوح الأول والثاني يتحرك خطياً. إذا كانت زاوية السقوط \(\alpha=0\)، تنطبق التوجيهات على جميع الجسيمات بغض النظر عن \(d_2\).
يشكل كل لوحين متتاليين مع الفجوة بينهما فترة مكانية للمنشور، وتكون الفترة الزمنية للحركة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
الإشعاع
يعطى التوزيع الطيفي والزاوي للطاقة المشعة من جسيم يتحرك شبه دورياً على مسار مستوٍ عبر الصيغة (Bordovitsyn-SR):
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4} {c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2\pi\nu N}{\sin^2\pi\nu}(\rho_\sigma+\rho_\pi) |\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)|^2, \]
حيث \(N\) عدد الدورات، و\( \rho_\sigma\) و\( \rho_\pi\) توزيعات الاستقطاب (\[ \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos 2\varphi)^2}{(1+\psi ^2)^4},\quad \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi ^2)^4}, \]) و\( \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)\) المكون الفوريي للتسارع (\[ \dot{\boldsymbol\beta}(\nu)=\frac {1}{T}\int_0^T \dot{\boldsymbol\beta}(t)e^{i\tilde{\omega}\nu t}dt,\quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2). \])
باستخدام التسارع من المعادلات الخاصة بمسار الجسيم واستبدالها في ([e59]) و([e56]) نحصل على:
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\Omega d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2} {\pi^2c^3} I_1(\nu)I_2(\nu)(\rho_\sigma+\rho_\pi) \left[\left(\frac{y_0\nu\eta}{a}\right)^2+\phi^2\right], \] حيث \( \phi=\alpha/\alpha_c\) و\( \eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\). الدوال:
\[ I_1(\nu)=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\quad I_2(\nu)=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}, \] حيث لـ \(N\gg1\) تنتج خطوطاً ضيقة بعرض \(N^{-1}\) حول \( \nu\) الصحيح، بينما يشكل \(I_1\) المغلف الطيفي.
لإيجاد الكثافة الطيفية للإشعاع لموجه بلوري يحوي عدداً كبيراً من الدورات \(N\)، نستخدم الحد (Bordovitsyn-SR): \[ \lim_{N\to\infty}\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{N\sin^2(\pi\nu)} =\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu), \] ثم ندمج على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\,d\theta\,d\varphi\)، فيظهر الطيف التكاملي:
\[ \frac{d{\cal E}}{ d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{s_n\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr] G_n\,\Theta(n-\xi), \] حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\)، وتردّد مخفّض \( \xi=\omega/(2\gamma^2\eta\omega_0)\)، ودالة هيفيسايد \( \Theta\)، وعامل الشكل:
\[ \xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta{\omega_0}},\quad G_n=\left(\frac{y_0 n\eta}{a}\right)^2+\phi^2. \]
يمثل الطيف ([e62]) مجموع توافقيات منفصلة، يحدّدها عامل الاستقطاب والمغلف الطيفي المعياري لإشعاع الموجه (Bordovitsyn-SR, Hofmann). كما يتضح من \(G_n\)، يعتمد توزيع الطاقة على زاوية السقوط \( \phi\)، والإحداثي الابتدائي \(y_0\) والمسافة بين الألواح.
حتى الآن درسنا إشعاع جسيم واحد. لإيجاد الكثافة الطيفية المنبعثة من حزمة متوازية من الجسيمات، نقوم بتوسيط التعبير ([e62]) بالنسبة للإحداثي الابتدائي \(y_0\) ضمن المدى \([-y_m,y_m]\) المعطى في المعادلة ([trajj]). وبما أن \(y_0\) يظهر فقط في \(G_n\)، فإن توسيط هذا العامل يكفي:
\[ \overline G_n=\frac{1}{2y_m}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0 =(1-\phi^2)^{1/2}\Bigl[\tfrac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr]. \]
باستخدام \(\overline G_n\) في ([e62]) يظهر الطيف لحزمة متوازية عند \(\eta=0.5\) و\(\alpha=0\) في الشكل [spectrum]. للمقارنة مع التجارب، يُبيَّن عدد الفوتونات \(dn\) لكل \(d\omega\) في الشكل [spectrum1]، حيث يسيطر التوافق الأول والثالث فعلياً. وتحدّد عدد التوافقيات في الطيف عامل الشكل \(\cos^2(\pi n\eta/2)/(1-n^2\eta^2)^2\)، الذي يبقى قريبا من واحد لاقتران \(n\eta\lesssim3\) وينخفض بسرعة عند \(n\eta\gtrsim3\). ما يدل على أن الجزء الرئيسي من الطيف يحتوي على حوالي \(3/\eta\) توافقيات. كما يتأثر الطيف بزاوية سقوط حزمة الجسيمات على البلورة.
لحساب طاقة الإشعاع في كل توافقي، ندمج ([e62]) على \( \xi\) ضمن نطاق توافقي واحد، مع استبدال \( G_n\to\overline G_n\)، فيظهر:
\[ {\cal E}=\sum_{n=1}^\infty({\cal E}_{n\sigma}+{\cal E}_{n\pi}),\quad {\cal E}_{n\sigma}=\tfrac{7}{8}{\cal E}_n,\quad {\cal E}_{n\pi}=\tfrac{1}{8}{\cal E}_n, \quad {\cal E}_n=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}S(n\eta), \] حيث:
\[ S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr]\overline G_n. \]
تعرض أغلفة هذه الدالة لدوال \(n\) فردية في الشكل [bunch]. ويعتمد التأثير على الزاوية النسبية \( \phi\) عبر العامل \(\overline G_n(\phi)\). عند \(\phi=0\) تكون \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\)، ومع ازدياد \(\phi\) يزداد هذا العامل عند \(n^2\eta^2<2\) حتى يبلغ أقصى قيمة:
\[ \overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}. \]
يقل \(\overline G_n\) تدريجياً حتى ينعدم عند \(\phi=1\)، كما ينخفض في الجزء عالي التردد \(n^2\eta^2\ge2\).
بجمع الطاقة المصدرة [e611] عبر كل التوافقيات، نحصل على إجمالي الطاقة لكل جسيم:
\[ {\cal E}=\frac{2\pi e^2 a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3}\sqrt{1-\phi^2}\,(1+2\phi^2), \] التي لا تعتمد على \(\eta\) وتتوزع بين الاستقطابين بنسبة 1:7، وتبلغ ذروتها عند \(\phi=1/\sqrt{2}\).
المناقشة
إذا دعت الحاجة إلى مصدر إشعاع بتردد أدنى من تردد التوجيه، فإن الطريقة المقترحة تتمتع بميزات مقارنة بإشعاع التوجيه لمواد أقل طاقة. ففي التوجيه التقليدي إذا خفضنا التردد بمقدار \(k\)، يجب استخدام جسيمات بطاقة أقل بمقدار \(k^{2/3}\)، مما يؤدي إلى اتساع مخروط الإشعاع وكثافة الطيف الزاوي بما يقارب \(k^{8/3}\) انخفاضاً. أما في الموجه متعدد البلورات، فيمكن تحقيق نفس الانخفاض في التردد بإجراء \(d_2=(k-1)d_1\) دون تغيير مخروط الإشعاع، مع إمكانية زيادة أو نقصان كثافة الطيف الزاوي حسب زاوية السقوط.
من الملاحظ أن زيادة المسافة بين الألواح تخفض تردد كل توافقي وتزيد عدد التوافقيات في الجزء الرئيسي (\(n\eta\lesssim3\)) بنفس النسبة. وبحسب ([ful])، فإن الطاقة الكلية لا تتغير مع \(\eta\)، لكن طاقة كل توافقي تنخفض بما يتناسب مع \(\eta\) في ([e611]). على الرغم من ذلك، تبقى كثافة الطيف الزاوي والطيفية مستقرة نسبياً حسب شروط ([e60]) و([e62]). فإذا كانت \(\phi>2/\sqrt{3\pi^2-20}\approx0.645\)، فإنه مع انخفاض \(\eta\) تنمو كثافة الطيف عند كل توافقي رغم ظهور توافقيات إضافية.
هذا النموذج المثالي يرمي إلى توضيح الخصائص العامة. ففي الواقع، يكون الجهد المتوسط حول مستوى البلورة غير توافقي، ما يسبب تغيراً بسيطاً في زمن مغادرة الجسيمات للوح نصف الموجة وزوايا خروج مختلفة لبعض الجسيمات. يترتب على ذلك تشتت خفيف لحزمة الجسيمات، كما أظهرت نماذج أكثر واقعية (Pivovarov_2014) ظهور قمم جانبية في التوزيع الزاوي بعد أول لوح نصف موجة. بالإضافة إلى ذلك، فإن عدد فترات المشع المحدود وامتداد طاقة الجسيمات وأخطاء التصنيع تؤدي إلى توسيع خطوط الطيف وطمس الحدود بين التوافقيات في الشكل [spectrum]، من دون تغيير كبير في توزيع الطاقة عبر التوافقيات.
الشكر والتقدير
تم دعم هذا العمل بمنحة من وزارة التعليم والعلوم للاتحاد الروسي تحت رقم المشروع 3.867.2014/K