latex

مُلَخَّصُ

نَحْنُ نَدْرُس اِنْتِشارِ مَوْجاتِ كَثافَةُ الطاقَةِ غَيْرِ الخَطِيَّة فِي بلازما الكوارك-الغلوون غَيْرِ المُكَثَّفَةِ تَحْتَ تَأْثِيرِ مَجالِ مَغْناطِيسِي بِاِسْتِخْدامِ تَقْنِيَّةٍ الاِخْتِزال الاضطرابي. لِمُعادَلَةِ حالَةِ حَقِيبَةٍ MIT غَيْرِ المُكَثَّفَةِ، نَحْصُل عَلَى المُعادَلَةَ الحاكِمَةِ لِلاِضْطِراب مِن الدَرَجَةِ الأُولَى لَكَثافَة الطاقَةِ. نُلاحِظ أَنَّ زِيادَةِ فِي قُوَّةٍ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ تُؤَدِّي إِلَى تَحْدِيدِ مَوْقِعِ الأَمْواج.

المُقَدَّمَةِ

دِراسَةٌ خَصائِصِ البلازما الكواركيه الغلوونيه الساخِنَةِ وَالكَثِيفَة، الَّتِي تَخْلُق فِي التَصادُمات عالِيَةٍ الطاقَةِ فِي المُصادِم الكَبِيرِ للهادرونات فِي المُنَظَّمَةِ الأُورُوبِّيَّةِ لِلأَبْحاثِ النَوَوِيَّةِ، أَو فِي مَعْهَدِ بروكهافن الوَطَنِيِّ، هِيَ مَجالِ بَحَثَ نَشِطَ. بِعَضِّ الاِتِّجاهاتِ البَحْثِيَّة المُهِمَّةِ فِي مَجالِ التَصادُمات عالِيَةٍ الطاقَةِ تَشْمَل أَنْواعاً مُخْتَلِفَةٍ مِن التَطَوُّرِ الَّتِي تَحَدَّثَ بُعْدَ التَصادُمات. مِن ناحِيَةٍ، نِظامِ الكواركات والغلوونات الَّذِي يَخْلُق بُعْدَ التَصادُمُ هُوَ نِظامِ مُتَطَوِّرٍ. مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى، تَتَطَوَّر تَوْزِيعات الجَسِيمات عالِيَةٍ الطاقَةِ الَّتِي تَخْلُق قِبَلَ تَشْكِيلِ الوَسَطِ عِنْدَما تَمُرّ عَبْرَ الوَسَطِ. يَدْرُس تَطَوُّرِ الوَسَطِ الساخِنِ وَالكَثِيف بِاِسْتِخْدامِ مُعادَلَةِ الديناميكا الهَيْدرُولِيكِيَّة النِسْبِيَّةِ، وَقَد يُحَقِّق تَطَوُّرِ الجَسِيمات عالِيَةٍ الطاقَةِ (المَعْرُوفَةِ أَيْضاً بِاِسْمِ ’النَفّاثات’) داخِلَ البلازما الكواركيه الغلوونيه بِمُساعَدَةِ مُعادَلَةِ نَقْلِ بولتزمان. تَفَقَّدَ النَفّاثات الطاقَةِ داخِلَ الوَسَطِ وَتَخْلُق اِضْطِراباتٍ فِي كَثافَةُ الطاقَةِ تَنْتَقِل كَمَوْجات غَيْرِ خَطَّيْهِ عَبْرَ الوَسَطِ. لَقَد كانَ تَطَوُّرِ مِثْلَ هٰذِهِ المَوْجات غَيْرِ الخَطِيَّة مَوْضُوعِ دِراسَةٌ فِي عَدَدٍ قَلِيلٍ مِن المَقالاتِ البَحْثِيَّة (Raha1,Raha2,Fogaca:2009wf,Fogaca:2011pk,Fogaca:2014gwa,Bhattacharyya:2020sua,Sarwar:2020oux,Sarwar:2021csp).

المُعادَلَةَ الرِياضِيَّةِ الأَساسِيَّةِ الَّتِي تَحْكُم تَطَوُّرِ الاِضْطِراباتِ فِي سائِل مِثالِيٌّ تُعْطِي بِمُعادَلَةٍ اويلر. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، يَجِب أَخَذَ مُعادَلَةِ اِسْتِمْرارِيَّة كَثافَةُ الانتروبيا فِي الاِعْتِبارِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، لِحَلِّ هٰذِهِ المَجْمُوعَةِ مِن المُعادَلات يَجِب تَقْدِيمِ مُعادَلات الحالَةِ الَّتِي تَأْخُذ فِي الاِعْتِبارِ العَلاقاتِ بَيِّنَ المُتَغَيِّراتِ الماكروسكوبيه الَّتِي تُمَيِّز الوَسَطِ. إِحْدَى الإِمْكانِيّات قَد تَكُون بِبَساطَة النَظَرِ فِي إِحْصاءاتُ بولتزمان-جيبس التَقْلِيدِيَّةِ وَحِساب المُتَغَيِّراتِ الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ مِثْلَ كَثافَةُ الطاقَةِ، كَثافَةُ الانتروبيا، وَالضَغْطِ. عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، فِي المَرْجِعِ (Fogaca:2009wf)، اِعْتَبَرَ المُؤَلِّفُونَ مُعادَلَةِ الحالَةِ لَغاز مِثالِيٌّ مِن الكواركات والغلوونات عَدِيمَةُ الكُتْلَةِ بِاِسْتِخْدامِ نَمُوذَجَ الحَقِيبَةُ لِمَعْهَدِ ماساتشوستس لِلتِكْنُولُوجِيا وَحَصَلُوا عَلَى حُلُولٍ لِمَوْجاتِ الاِنْكِسار. كَما عَلَّقَ المُؤَلِّفُونَ عَلَى أَنَّ ما إِذا كانَ الوَسَطِ سَيُدَعِّم اِنْتِشارِ السوليتون (عَلَى عَكْسَ تَقْدِيمِ حَلٍّ لِمَوْجَةِ الاِنْكِسار) أَم لا سَيَعْتَمِد عَلَى مُعادَلَةِ الحالَةِ. لَقَد لُوحِظَ مِثالٌ عَلَى اِنْتِشارِ السوليتون فِي بلازما الكوارك-الغلوون البارِدَةِ بِاِسْتِخْدامِ نَهْجٍ المَجالِ المُتَوَسِّطِ لِنَظَرِيَّةِ الكَمِّ اللَوْنِيَّة لَاِشْتِقاق مُعادَلَةِ الحالَةِ (Fogaca:2011pk).

وَمَعَ ذٰلِكَ، قَد لا تُمَثِّل إِحْصاءاتُ بولتزمان-جيبس الأَنْظِمَةِ الفِيزيائِيَّة قَيْدِ الدِراسَةُ الَّتِي تَتَمَيَّز بِأَجْواء مُتَقَلِّبه. قَد تُؤَدِّي التَقَلُّبات فِي مَواقِعِ النوكليونات داخِلَ النَوَى المتصادمه إِلَى تَقَلُّباتِ فِي كَثافَةُ الطاقَةِ وَبِالتالِي، تَقَلُّباتِ فِي دَرَجَةِ الحَرارَةِ. لَقَد أَظْهَرَت الدِراساتِ أَنَّهُ فِي أَجْواءِ مُتَقَلِّبه تُظْهِر تَوْزِيعات قانُونِ القُوَّةِ (عَلَى عَكْسَ تَوْزِيعات بولتزمان-جيبس الآسِيَة)، وَقَد اُسْتُخْدِمَت تَوْزِيعات قانُونِ القُوَّةِ الناتِجَةِ عَن إِحْصاءاتُ تساليس غَيْرِ المُوسِعَةِ عَلَى نِطاقِ واسِعٍ فِي العَدِيدَ مِن مَجالاتِ البَحْثِ. تَمَّ العُثُورِ عَلَى تواقيع تَجْرِيبِيَّةٍ لِمِثْلِ هٰذا السِينارِيو فِي طَيْفِ الجَسِيمات الَّذِي يَتْبَع تَوْزِيعات الإِحْصاء الإِحْصائِيّ لِقانُونِ القُوَّةِ غَيْرِ المُوسِعُ (CMSTs1,ALICETs1). تَتَمَيَّز هٰذِهِ التَوْزِيعات بِمَعامِل اللاامتداد \(q\) الَّذِي يَرْتَبِط بِالتَبايُن النِسْبِيّ لِدَرَجَةِ الحَرارَةِ العَكْسِيَّة (Wilkprl). لَقَد كانَ تَطَوُّرِ الاِضْطِراباتِ غَيْرِ الخَطِيَّة فِي مِثْلَ هٰذِهِ الأَجْواءِ المُتَقَلِّبَة مَوْضُوعِ أَعْمالنا السابِقَةِ (Bhattacharyya:2020sua,Sarwar:2021csp) الَّتِي اِعْتَبَرَت مُعادَلات الحالَةِ المُسْتَوْحاة مِن الإِحْصاءاتُ غَيْرِ المُوسِعَةِ. فِي المَقالِ الحالِيَّ، نَدْرُس تَطَوُّرِ مَوْجاتِ الاِضْطِرابِ غَيْرِ الخَطِيَّة تَحْتَ تَأْثِيرِ حَقْلِ مَغْناطِيسِي. يَتِمّ تَوْلِيدِ حَقْلِ مَغْناطِيسِي عابِرٍ بِحِوالِي \(eB\sim (1-10) m_{\pi}^2\) فِي التَصادُمات عالِيَةٍ الطاقَةِ غَيْرِ المَرْكَزِيَّةِ (Bzdak:2011yy,PhysRevC.85.044907)، وَسَيَكُون مِن الواقِعِيُّ النَظَرِ فِي مُعادَلات المغنطوهيدروديناميك لِدِراسَةِ تَطَوُّرِ مَوْجاتِ الاِضْطِرابِ. لِحَلِّ مُعادَلَةِ المغنطوهيدروديناميك، يَحْتاج المَرْء إِلَى مُعادَلات الحالَةِ الَّتِي يُمْكِن حِسابها بِالنَظَرِ إِلَى الخَلْفِيَّةِ غَيْرِ المُوسِعَةِ تَحْتَ تَأْثِيرِ حَقْلِ مَغْناطِيسِي كَبِيرٍ. العَمَلِ الحالِيَّ الَّذِي يَأْخُذ فِي الاِعْتِبارِ المغنطوهيدروديناميك النِسْبِيَّةِ مِن المُتَوَقَّعِ أَنَّ يُعَمِّم الأَعْمالِ السابِقَةِ (FogacamagNPA,FogacamagNLSCI) الَّتِي رَكَّزَت عَلَى اِنْتِشارِ المَوْجات فِي وَسَطَ بلازما الكوارك-الغلوون البارِدِ غَيْرِ النِسْبِيّ.

خِلالَ التَحْلِيلِ، قُمْنا أَيْضاً بِحِساب الأَشْكال التَحْلِيلِيَّة لِلمُتَغَيِّرات الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ لَوَسَط غَيْرِ مُوسِعٌ تَحْتَ تَأْثِيرِ حَقْلِ مَغْناطِيسِي لِإِنْشاءِ مُعادَلات الحالَةِ. بِقَدْرِ ما تَصِل مَعْرِفَتنا، لَم يَتِمّ حِسابِ مِثْلَ هٰذِهِ الأَشْكال التَحْلِيلِيَّة فِي أَيّ أَعْمالٍ أُخْرَى حَتَّى الآنَ، وَقَد تَكُون مدخلات مُهِمَّةً لِدِراساتٍ ذاتِ صِلَةٍ أُخْرَى مِثْلَ فَحْص خَصائِصِ الغازِ الكمومي غَيْرِ المُوسِعُ المَعْرِضِ لِحَقْلٍ مَغْناطِيسِي عالِي. إِحْدَى الاِسْتِنْتاجاتِ الَّتِي تَوَصَّلَ إِلَيها تَحْلِيلنا هِيَ أَنَّ الحُقُولِ المَغْناطِيسِيَّة يُمْكِن أَنَّ تُساعِد فِي اِسْتِقْرارِ اِضْطِراباتٍ كَثافَةُ الطاقَةِ غَيْرِ الخَطِيَّة داخِلَ بلازما الكوارك-الغلوون الساخِنَةِ، بِنَفْسِ الطَرِيقَةِ الَّتِي تَسْتَقِرّ بِها اِضْطِراباتٍ كَثافَةُ الباريون فِي بلازما الكوارك-الغلوون البارِدَةِ (FogacamagNLSCI).

تُنَظِّم الوَرَقَةَ كَما يَلِي. سَيُخَصَّص القِسْمِ التالِي لِوَصْفِ النَمُوذَجِ الرِياضِيِّ لِلدِراسَةِ. يُناقِش القِسْمِ [results] النَتائِجِ. وَأَخِيرا، نُلَخِّص وَنَسْتَنْتِج وَنَقْدَم نَظْرَةٌ عامَّةٍ عَلَى النَتائِجِ فِي القِسْمِ [summary].

النَمُوذَجِ الرِياضِيِّ

المَغْناطِيسِيَّة الهيدروديناميكيه وَمُعادَلَة الاِضْطِرابِ

تَخْضَع دِينامِيكِيّات تَطَوُّرِ البلازما الكواركيه الغلوونيه (وَأَيّ اِضْطِراب يَتَوَلَّد داخِلَها) لَمُعادَلات الهيدروديناميك. يَتِمّ تَحْدِيدِ تَرْتِيبَ نَظَرِيَّةَ الهيدروديناميك بِواسِطَةِ تَقْطِيع تَرْتِيبَ التَوَتُّرِ الطاقَةِ-الزَخِمِ (EMT) لِلتَدَفُّقاتِ الانتشاريه. يَتِمّ وَصَفَ التَدَفُّقات الانتشاريه حَتَّى الرُتْبَة الصِفْرِيَّة جَيِّداً بِواسِطَةِ الهيدروديناميك المِثالِيُّ، وَالمُعادَلات الحاكِمَةِ تَعْرِف بِمُعادَلَةٍ اويلر. بِالمِثْلِ، يُمْكِن اِسْتِنْتاجِ نَظَرِيَّةَ الرُتْبَة الأُولَى (Eckart:1940te,Landau_fluid_mechanics) وَنَظَرِيَّةِ الرُتْبَة الثانِيَةِ (Israel:1979wp,Muronga:2001zk) بِواسِطَةِ تَقْطِيع EMT حَتَّى الرُتْبَة الأُولَى وَالثانِيَةُ لِلتَدَفُّقاتِ الانتشاريه عَلَى التَوالِي. نَظَرِيَّةَ الرُتْبَة الأُولَى (نافيير-سَتُوَكِّس) غَيْرِ سَبَبَيْهِ وَغَيْرِ مُسْتَقِرَّةٍ عَدَدِيّا لِوَصْفِ السائِل بِشَكْلٍ صَحِيحٌ. وَمَعَ ذٰلِكَ، هُناكَ بِعَضِّ الأَوْراقِ الَّتِي تَجادَلَ بِأَنَّ نَظَرِيَّةَ الرُتْبَة الأُولَى يُمْكِن أَنَّ تَكُون سَبَبَيْهِ وَمُسْتَقِرّه أَيْضاً (Bemfica:2019knx,Bemfica:2020zjp,Kovtun:2019hdm,Das:2020fnr). وَمَعَ ذٰلِكَ، نَظَراً لِأَنَّ نَظَرِيَّةَ الرُتْبَة الثانِيَةِ خالِيَةً مِن مَشاكِلَ السَبَبِيَّة وَالاِسْتِقْرارِ، فَإِنَّها تُسْتَخْدَم كَنَظَرِيَّة تَقْلِيدِيَّةٍ لِوَصْفِ الوَسَطِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، مِن أَجْلِ بَساطَةِ الحِسابِ، فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نَسْتَخْدِم مُعادَلَةِ اويلر ذاتِ البُعْدِ الواحِدِ فِي وُجُودِ مَجالِ مَغْناطِيسِي ثابِتٌ لِدِراسَةِ اِنْتِشارِ المَوْجات غَيْرِ الخَطِيَّة فِي البلازما الكواركيه الغلوونيه.

خِلالَ المَقالِ، اِعْتَبَرْنا أَنَّ \(\hbar=c=K_B=1\)، وَاِخْتِيارَ المِتْرِيّ هُوَ \(g^{\mu \nu}\)=(+,-,-,-)، بِحَيْثُ يَتْبَع سُرْعَةٍ السائِل الاربعيه \(u^\mu u_\mu=1\). تَكْتُب سُرْعَةٍ السائِل الاربعيه ك \(u^\mu=\gamma(1,\vec{v})\)، حَيْثُ \(\gamma=(1-v^2)^{-1}\).

فِي تَصادُمُ غَيْرِ مَرْكَزِيٍّ، يَتِمّ إِنْتاجِ مَجالِ مَغْناطِيسِي عابِرٍ ضَخْمٍ يَصِل تَرْتِيبَهُ إِلَى \(10^{17}-10^{19}\) غاوس. عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّهُ سَيَكُون هُناكَ مَجالِ كَهْرَبائِيٍّ بِسَبَبِ هٰذا السُلُوكِ العابِرِ، إِلّا أَنَّنا لا نَأْخُذه فِي الاِعْتِبارِ فِي الدِراسَةُ الحالِيَّةِ. تُعْطِي مُعادَلَةِ اويلر فِي وُجُودِ مَجالِ مَغْناطِيسِي بِواسِطَةِ (Roy:2015kma): \[\label{Euler} \frac{\pd \vec{v}}{\pd t}+(\vec{v}.\vec{\nabla})\,\vec{v}=-\frac{1}{\gamma^2(\epsilon+P+B^2)}\Big[\vec{\nabla} \big(P+\frac{B^2}{2}\big)+\vec{v}\,\frac{\pd}{\pd t}\big(P+\frac{B^2}{2}\big)\Big]\,,\] حَيْثُ \(\epsilon\) هُوَ كَثافَةُ الطاقَةِ، \(P\) يُمَثِّل ضَغْطِ السائِل، وَ\(B\) هُوَ قُوَّةٍ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ. مِن أَجْلِ بَساطَةِ الحِسابِ، اِعْتَبَرْنا مَجالِ مَغْناطِيسِي مُوَحَّدٍ فِي مُعادَلَةِ اويلر لِدِراسَةِ اِنْتِشارِ المَوْجات غَيْرِ الخَطِيَّة.

بِالإِضافَةِ إِلَى مُعادَلَةِ اويلر، يَتْبَع السائِل مُعادَلَةِ الاِسْتِمْرارِيَّة لَكَثافَة الانتروبيا \(s\) كَما يَلِي: \[\label{Continuity} \frac{\pd {s}}{\pd t}+\gamma^2v s\,\Big[\frac{\pd \vec{v}}{\pd t}+(\vec{v}.\vec{\nabla})\,\vec{v}\Big]+\vec{\nabla}.(s\vec{v})=0.\] فِي المَقالِ الحالِيَّ، نَحْنُ مُهْتَمُّونَ بِدِراسَةِ الاِضْطِراباتِ فِي كَثافَةُ الطاقَةِ. نَفْتَرِض أَيْضاً أَنَّ الاِضْطِرابِ يَنْتَشِر عَلَى طُولِ اِتِّجاهِ مُفَضَّل (اِتِّجاهِ الشُعاع) \(x\) (Fogaca:2009wf). نَظَراً لِأَنَّ اِضْطِراب كَثافَةُ الطاقَةِ قَد يَكُون مُماثِلا لَكَثافَة الطاقَةِ الخَلْفِيَّةِ، فَقَد تُصْبِح تَقْنِيَّةٍ الخَطِيَّة غَيْرِ كافِيَةٍ. لِأَخْذِ هٰذِهِ الإِمْكانِيَّة فِي الاِعْتِبارِ، تَمَّ اِسْتِخْدامِ تَقْنِيَّةٍ الاِضْطِرابِ الاختزاليه (RPM) الَّتِي تَمَّ فِيها تَوْسِيعِ كَثافَةُ الطاقَةِ وَمِلَفِّ السُرْعَةِ مِن حَيْثُ مَعامِلِ التَوَسُّعِ \(\sigma\) كَما يَلِي (Fogaca:2009wf,Sarwar:2021csp): &=&_0(1+_1+^2_2+^3_3+...)==1+_1+_2+_3+..
P&=&P_0(1+P_1+^2P_2+^3P_3+...)==1++_2+_3+..
v&=&c_s(v_1+^2 v_2+^3 v_3+...)ِنْتِقالِ

مُعادَلات الحالَةِ

نَعْتَبِر الغلوونات والكواركات داخِلَ الوَسَطِ مُمَثَّلَةً بِالتَوْزِيعات الكموميه التالِيَةِ المُشْتَقَّة مِن مِيكانِيكا الإِحْصاء غَيْرِ المُوسِعَةِ (TBParvanEPJA2).

\[\begin{aligned} n_f=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}+1} \nn\\ n_b=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}-1} \label{TsFDBE},\end{aligned}\]

\(E_{p}=\sqrt{p^2+m^2}\) هِيَ طاقَةِ الجَسِيم الفَرْدِيِّ لَجَسِيم بِزَخِم ثُلاثِيّ \(\vec{p}\) وَكُتَله \(m\)، \(\mu\) هُوَ الجُهْدِ الكِيمِيائِيّ، \(q\) هُوَ مَعامِلِ عَدَمِ الاِمْتِداد، وَ\(T\) هِيَ دَرَجَةِ الحَرارَةِ.

فِي هٰذا العَمَلِ نَعْتَبِر نَمُوذَجَ الحَقِيبَةُ غَيْرِ المُوسِعَةِ لِمَعْهَدِ ماساتشوستس لِلتِكْنُولُوجِيا (TsMITBag) الَّذِي يُعْطِينا (لِحالَةِ الجُهْدِ الكِيمِيائِيّ صِفْر) \[\begin{aligned} \epsilon_{\mathrm{bag}} &=& \mathcal{B}+\epsilon_{\text{b}}+2\epsilon_{\text{f}}, \label{bagepsilon}\\ P_{\mathrm{bag}} &=& -\mathcal{B}+P_{\text{b}}+2P_{\text{f}}, \label{bagP}\end{aligned}\]

المُتَغَيِّراتِ الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ مِثْلَ كَثافَةُ الطاقَةِ (\(\epsilon\)) وَالضَغْطِ (\(P\)) المَذْكُورَةِ فِي المُعادَلَةَ مُعْطاة بِالنِسْبَةِ لِلتَوْزِيعات فِي المُعادَلَةَ بِواسِطَةِ

\[\begin{aligned} \epsilon_{i}= g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}~E_p~n_i;~\label{epsilon} P_i=g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{p^{2}}{3E_p}~n_i, \label{P}\end{aligned}\]

حَيْثُ \(g\) هُوَ عامِلٍ التَكافُؤ وَ\(i=f,b\) يُمَثِّل الفرميونات (الكواركات) والبوزونات (الغلوونات).

وَمَعَ ذٰلِكَ، بِسَبَبِ وُجُودِ مَجالِ مَغْناطِيسِي، تُصْبِح قِيَمِ الطاقَةِ مكممه إِلَى ما يُسَمَّى بِمُسْتَوَياتٍ لانداو وَيَتِمّ تَعْدِيلِ تَكامُلٍ الزَخِمِ الثُلاثِيِّ. بِفَرْضِ وُجُودِ مَجالِ مَغْناطِيسِي مُتَجانِسٍ ثُلاثِيّ الأَبْعاد عَلَى طُولِ الاِتِّجاهِ \(z\) \(\Vec{B}=B \hat{z}\)، تُعْطِي طاقَةِ الجَسِيم الفَرْدِيِّ لِلمُسْتَوَى \(j\)-th (\(j\) \(\in\) \(\mathbb Z^{\geq}\)) مِن مُسْتَوَياتٍ لانداو بِواسِطَةِ (Bannurmagtherm), \[E_{pj} = \sqrt{m^2+p_z^2+2j|q_f eB|},\] وَيَخْضَع تَكامُلٍ الزَخِمِ لِلتَعْدِيلِ التالِي (Bannurmagtherm) \[\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \rightarrow \frac{|q_f eB|}{2\pi} \sum_{j=0}^{\infty} \int\frac{dp_z}{2\pi} \left(2-\delta_{0j}\right).\] حَيْثُ \(2-\delta_{0j}\) هُوَ تَكافُؤ المُسْتَوَى \(j\)-th مِن مُسْتَوَياتٍ لانداو.

الجلوونات

الجلوونات لا تَحْمِل شَحْنَةً كَهْرَبائِيَّةٍ وَلا تَتَأَثَّر بِالمَجال المَغْناطِيسِيّ. الأَشْكال التَحْلِيلِيَّة لَكَثافَة الطاقَةِ غَيْرِ المُكَثَّفَةِ وَالضَغْطِ لِلنِظامِ الفَرْعِيِّ الجلووني مُعْطاة بِواسِطَةِ (Bhattacharyya:2020sua) \[\begin{aligned} P_\text{b} &=& \frac{g T^4}{6 \pi ^2 (q-1)^3 q} \left[3 \psi ^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) + \psi ^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right)- 3 \psi ^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) - \psi ^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right)\right], \label{Pboson} \nonumber\\ \epsilon_\text{b} &=& \frac{g T^4}{2 \pi ^2 (q-1)^3 q} \left[ 3 \psi ^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) + \psi ^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right)- 3 \psi ^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) - \psi ^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right) \right], \label{epsilonboson}\end{aligned}\] حَيْثُ \(\psi^{(0)}\) هِيَ دالَّةٍ ديغاما (Erdelyi)

الكواركات

نَعْتَبِر أَنَّ وَسَطَ البلازما الكواركيه الزائِدَةَ يَتَكَوَّن أَيْضاً مِن كواركات خَفِيفَةٍ ذاتِ كُتْلَةِ (تَقْرِيباً 10 MeV). يُمْكِن حِسابِ الأَشْكال التَحْلِيلِيَّة لَكَثافَة الطاقَةِ غَيْرِ المُكَثَّفَةِ وَالضَغْطِ لِلنِظامِ الفَرْعِيِّ مَعَ الفرميونات ذاتِ الكُتْلَةِ الخَفِيفَةِ تَحْتَ تَأْثِيرِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ بِاِسْتِخْدامِ تَمْثِيلِ تَكامُلٍ كونتور مِيلَيْنِ-بارنز لِلتَوْزِيعات المُعْطاة بِالمُعادَلَة . تَمَّ تَفْصِيلِ العَمَلِيَّةِ فِي المَراجِعِ (TsMBPRD, TsMBMDPI). فِي هٰذا العَمَلِ، نَعْتَبِر تَقْرِيبِ مُسْتَوَى لانداو الأَدْنَى (LLL) الَّذِي يَعْنِي النَظَرِ فِي \(j=0\).

كَما نُلاحِظ فِي المَراجِعِ (TsMBPRD, TsMBMDPI), يُمْكِن تَقْسِيمِ النَتائِجِ إِلَى مِنْطَقَتَيْنِ مِن قِيَمِ \(q\) مُعْطاة بِواسِطَةِ \(q\geq 1+T/m\) (المِنْطَقَةِ العُلْيا، \(\mu=0\))، وَ \(q< 1+T/m\) (المِنْطَقَةِ السُفْلَى، \(\mu=0\))، كَما هُوَ مُعْطَى أَدَنّاهُ:

المِنْطَقَةِ العُلْيا: يُعْطَى الضَغْطِ فِي المِنْطَقَةِ العُلْيا بِواسِطَةِ، \[\begin{aligned} P_f^{\text{(up)}}=\mathlarger{\mathlarger{\sum}}_{s=1}^{s_0} (-1)^{s+1}g m |q_f e B| \left[ \frac{m \Gamma \left(\frac{q s}{2 \delta q}-1\right) \left(\frac{T}{\delta q m}\right)^{\frac{q s}{\delta q}} \, _2F_1\left(\frac{q s}{2 \delta q},\frac{q s}{2 \delta q}-1;\frac{1}{2};\frac{T^2}{m^2 {\delta q}^2}\right)}{8 \pi ^{3/2} \Gamma \left( \frac{q s}{2 \delta q}+\frac{1}{2}\right)} \right.\nn\\ - \left. \frac{ T \Gamma \left(\frac{q s}{2\delta q}-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{T}{\delta q m}\right) ^{\frac{q s}{\delta q}} \, _2F_1 \left(\frac{q s}{2\delta q}-\frac{1}{2}, \frac{q s}{2 \delta q}+\frac{1}{2};\frac{3/2};\frac{T^2}{m^2 \delta q^2}\right)}{4 \pi ^{3/2} \delta q \Gamma \left(\frac{q s} {2 \delta q}\right)} \right]. \label{Pup}\end{aligned}\] فِي المُعادَلَةَ أَعْلاه، \(\, _2F_1\) هِيَ الدالَّةِ فائِقه الهَنْدَسِيَّةِ (Erdelyi)، وَ \(\delta q \equiv q-1\).

المِنْطَقَةِ السُفْلَى: يُعْطَى الضَغْطِ فِي المِنْطَقَةِ السُفْلَى بِواسِطَةِ الاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة (AC) لِلدالَّتَيْنِ فائِقَتَيَّ الهَنْدَسَةِ فِي المُعادَلَةَ (Erdelyi),

\[\begin{aligned} P_f^{\text{(low)}}=\mathlarger{\mathlarger{\sum}}_{s=1}^{s_0} (-1)^{s+1} g m |q_f e B| \left[ \frac{m \Gamma \left(\frac{q s}{2 \delta q}-1\right) \left(\frac{T}{\delta q m}\right)^{\frac{q s}{\delta q}} \mathcal{H}^{(\text{1,AC})}} {8 \pi ^{3/2} \Gamma \left( \frac{q s}{2 \delta q}+\frac{1/2}\right)} - \frac{ T \Gamma \left(\frac{q s}{2\delta q}-\frac{1/2}\right) \left(\frac{T}{\delta q m}\right) ^{\frac{q s}{\delta q}} \mathcal{H}^{(\text{2,AC})}}{4 \pi ^{3/2} \delta q \Gamma \left(\frac{q s} {2 \delta q}\right)} \right], \nn\\\end{aligned}\]

حَيْثُ \[\begin{aligned} \mathcal{H}^{(\text{1,AC})} \equiv &&\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{3/2}-\frac{q s}{\delta q}\right) \left(\frac{T^2}{{\delta q}^2 m^2}\right)^{-\frac{q s}{2 \delta q}} \, _2F_1\left(\frac{q s}{2 \delta q}+\frac{1/2},\frac{q s}{2 \delta q};\frac{q s}{\delta q}-\frac{1/2};1-\frac{m^2 {\delta q}^2}{T^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1/2}-\frac{q s}{2 \delta q}\right) \Gamma \left(\frac{3/2}-\frac{q s}{2 \delta q}\right)} \nn\\ &&+ \frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{q s}{\delta q}-\frac{3/2}\right) \left(1-\frac{T^2}{\delta q^2 m^2}\right)^{\frac{3/2}-\frac{q s}{\delta q}} \left(\frac{T^2}{\delta q^2 m^2}\right)^{\frac{q s}{2 \delta q}-\frac{1/2}} \, _2F_1\left(\frac{1/2}-\frac{q s}{2 \delta q},1-\frac{q s}{2 \delta q};\frac{5/2}-\frac{q s}{\delta q};1-\frac{m^2 \delta q^2}{T^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{q s}{2 \delta q}-1\right) \Gamma \left(\frac{q s}{2 \delta q}\right)}; \nn\\ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \mathcal{H}^{(\text{2,AC})} \equiv &&\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{3/2}-\frac{q s} {\delta q}\right) \left(\frac{T}{\delta q m}\right)^{1-\frac{q s}{\delta q}} \,_2F_1\left(\frac{q s}{2 \delta q}-1, \frac{q s}{2 \delta q}-\frac{1/2};\frac{q s}{\delta q}-\frac{1/2};1-\frac{m^2 \delta q^2}{T^2}\right)}{2 \Gamma \left(1-\frac{q s}{2 \delta q}\right) \Gamma \left(2-\frac{q s} {2\delta q}\right)} \nn\\ &&+ \frac{\sqrt{\pi } \delta q^4 m^4 \Gamma \left(\frac{q s}{\delta q}-\frac{3/2}\right) \left(1-\frac{T^2}{\delta q^2 m^2}\right)^{\frac{3/2}-\frac{q s}{\delta q}} \left(\frac{T}{\delta q m}\right)^{\frac{q s}{ \delta q}} \, _2F_1\left(\frac{3/2}-\frac{q s}{2 \delta q},2-\frac{q s}{2 \delta q};\frac{5/2}-\frac{q s}{\delta q};1-\frac{m^2 \delta q^2}{T^2}\right)}{2 T^4 \Gamma \left(\frac{q s}{2\delta q}-\frac{1/2}\right) \Gamma \left(\frac{q s}{2\delta q}+\frac{1/2}\right)}. \nn\\\end{aligned}\] \(s_0\) هُوَ عَدَدٍ الحُدُودِ المَطْلُوبَةِ لَتَقارُب المَجْمُوعِ.

لُذّاً، يُعْطَى الضَغْطِ الفرميوني الكُلِّيِّ بِواسِطَةِ دالَّةٍ هيفيسايد \(\theta\)-function بِواسِطَةِ، \[\begin{aligned} P_f = P_f^{\text{(up)}} \theta \left(q-1-\frac{T}{m}\right) + P_f^{\text{(low)}} \theta \left(1+\frac{T}{m}-q\right).\end{aligned}\] اِعْتِماداً عَلَى قِيَمِ المُعامَلاتِ، يُمْكِن أَنَّ يَكُون \(q\) أَكْبَرَ أَو أَقَلَّ مِن \(1+T/m\)، مِمّا يُؤَدِّي إِلَى مَسّاً CONTRIBUTION مِن المِنْطَقَةِ العُلْيا أَو السُفْلَى. لِحِسابِ مُعادَلَةِ الحالَةِ، نَحْتاج أَيْضاً إِلَى حِسابِ كَثافَةُ الطاقَةِ الَّتِي يُمْكِن الحُصُولِ عَلَيها مِن العَلاقَةِ التالِيَةِ (عِنْدَما \(\mu=0\)): \[\begin{aligned} \epsilon_f = T \left(\frac{\partial P}{\partial T} \right) %+\mu \Big(\frac{\partial P}{\partial \mu}\Big) -P\end{aligned}\]

بِاِسْتِخْدامِ هٰذِهِ التَعْبِيرات عَن الضَغْطِ وَكَثافَة الطاقَةِ، يُمْكِننا تَقْدِيرٍ \(\epsilon_{\text{bag}}\)، وَ \(P_{\text{bag}}\) الَّذِي نعادله إِلَى \(\epsilon_0\)، وَ \(P_0\) عَلَى التَوالِي. أَيْضاً، يَتِمّ حِسابِ سُرْعَةٍ الصَوْتِ مِن العِبارَةِ التالِيَةِ \[\begin{aligned} c_s^2 = \left(\frac{\partial P}{\partial \epsilon} \right).\end{aligned}\]

النَتائِجِ وَالمُناقَشَة

نَهْدِف إِلَى مُراقَبَةِ اِنْتِشارِ اِضْطِراب فِي كَثافَةُ الطاقَةِ كَما يُمْلِيه المُعادَلَةَ Eq. . يَتِمّ تَقْيِيمِ المُتَغَيِّراتِ الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ مِثْلَ كَثافَةُ الطاقَةِ وَالضَغْطِ الَّتِي تُظْهِر فِي المُعادَلَةَ مِن الإِحْصاءاتُ غَيْرِ المُكَثَّفَةِ. لِحَلِّ مِثْلَ هٰذِهِ المُعادَلَةَ، اِعْتَبَرْنا مِلَفّا تَعْرِيفِيّا أَوَّلِيّا لِ \(\hat{\epsilon}_1\) كَما يَلِي: _1=A^2

حَيْثُ يُمَثِّل \(A\) وَ\(B\) عَلَى التَوالِي مِقْدارٍ وَعَرَضَ المِلَفِّ الشَخْصِيِّ. \(x_0\) هُوَ ذُرْوَةِ المَوْضِعَ الأُولَى. هُنا قُمْنا بِأَخْذِ \(x_0=5\). لَن تُغَيِّر الخِياراتِ الأُخْرَى لِ \(x_0\) النَتِيجَةُ المَرْغُوبَة.

تُظْهِر الشَكْلِ [fig1] اِنْتِشارِ \(\hat{\epsilon}_1\) فِي البلازما الكموميه مَعَ خَلْفِيَّةِ مِثالِيَّةٍ غَيْرِ مُكَثَّفَةٍ بِدَرَجَةِ حَرارَةُ \(T=200\) MeV، المَعامِلُ غَيْرِ المُكَثَّفِ \(q=1.10\)، وَقُوَّةِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ \(eB=m_\pi^2\). الشَكْلِ [fig1](a) مَرْسُومٍ ب \(A=1\) وَ\(B=2\) fm فِي أَوْقاتِ مُخْتَلِفَةٍ، حَيْثُ نَرِي أَنَّ النَبَضات غَيْرِ الخَطِيَّة تَفَقَّدَ تَمَرْكُزها مَعَ مُرُورِ الوَقْتِ. الشَكْلِ [fig1](b) وَالشَكْل [fig1](c) مَرْسُومانِ عَلَى التَوالِي لِ (\(A=1,\, B=0.5\) fm)، وَ(\(A=1,\, B=5\) fm) لِمَعْرِفَةِ ما إِذا كانَ اِتِّجاهِ الاِنْتِشارِ يَظَلّ كَما هُوَ لِعَرْضِ المِلَفِّ الأُولَى المُخْتَلِفِ. هُنا نَرِي اِتِّجاهاً مُماثِلا لِاِنْتِشارِ المَوْجات، لٰكِنَّ كَسْرِ المَوْجات أَقَلَّ لِلمَوْجاتِ الأَوْسَعِ كَما هُوَ مُوَضِّح فِي الشَكْلِ [fig1](c). لِفَهْمِ اِنْتِشارِ المُوَجَّه غَيْرِ الخَطِيَّة بِمِقْدارِ أَعْلَى، اِعْتَبَرْنا \(A=2\) مَعَ الحِفاظِ عَلَى نَفْسِ العَرْضِ \(B=2\) fm. نُلاحِظ أَنَّهُ مَعَ المِقْدار الأَعْلَى، تَفَقَّدَ المَوْجات تَمَرْكُزها مُبَكِّراً، كَما هُوَ مُوَضِّح فِي الشَكْلِ [fig2].

تَدْرُس آثارِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ فِي الشَكْلِ [fig5]. اللَوْحَةُ اليُسْرَى مَرْسُومَةً لِ \(T=200\) MeV وَ\(q=1.10\) وَمَعَ \(eB=4.4\,m_\pi^2\). اللَوْحَةُ اليُمْنَى لَنَفْس قِيَمِ \(T\) وَ\(q\)، وَلٰكِن مَعَ \(eB=11.5\,m_\pi^2\). نَرِي أَنَّهُ مَعَ تَقْوِيَةِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ، تَسْتَعِيد المَوْجات تَمَرْكُزها، مِمّا يَعْنِي أَنَّ المَوْجات سَتَبْقَى خِلالَ عُمَر البلازما الكموميه. كَما نُلاحِظ أَنَّ تَحَوَّلَ الذروات أَقَلَّ عِنْدَما تَزْداد قُوَّةٍ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ.

يُلاحِظ مِيزَةً أُخْرَى لِلمَجال المَغْناطِيسِيّ مِن وِجْهَةِ نَظَرِ مَعامِلِ \(q\) وَيُظْهَر فِي الشَكْلِ [fig6]، حَيْثُ يَتِمّ رَسْمِ \(\hat{\epsilon}_1\) لِ \(T=200\) MeV، وَ\(q=1.20\). يُظْهِر أَنَّ المَوْجات تَسْتَعِيد اِسْتِقْرارها عِنْدَ \(eB=8.3\,m_\pi^2\)، بَيْنَما فِي المُقارَنَةِ مَعَ اللَوْحَةُ اليُمْنَى مِن الشَكْلِ [fig5]، تَكُون المَوْجات مُسْتَقِرَّةٍ فَقَط عِنْدَ \(eB=11.5\,m_\pi^2\).

المُلَخَّص، الاِسْتِنْتاجاتِ وَالآفاق

بِاِخْتِصار، لَقَد نَظَرِنا فِي اِنْتِشارِ المَوْجات غَيْرِ الخَطِيَّة داخِلَ بلازما الكوارك-الغلوون الساخِنَةِ تَحْتَ تَأْثِيرِ مَجالِ مَغْناطِيسِي مُوَحَّدٍ. فِي هٰذا العَمَلِ، اُسْتُخْدِمْنا أَيْضاً مُعادَلَةِ الحالَةِ المُسْتَوْحاة مِن المِيكانِيكا الإِحْصائِيَّةُ غَيْرِ المُوسِعَةِ الَّتِي تُنْشَأ لِلأَنْظِمَة المَحْدُودَةَ مَعَ التَقَلُّبات (فِي دَرَجَةِ الحَرارَةِ، عَلَى سَبِيلِ المِثالِ). تَمَّ إِجْراءِ حِساباتٍ مُعادَلَةِ الحالَةِ بِاِفْتِراض تَقْرِيبِ المُسْتَوَى الأَدْنَى للانداو. نَجِد أَنَّهُ مَعَ زِيادَةِ السَعَة وَاِنْخِفاضَ عَرَضَ الاِضْطِرابِ الأُولَى يُؤَدِّي إِلَى دَرَجَةِ أَكْبَرَ مِن عَدَمِ التَحْدِيدِ المَكانِيّ لِلمُوَجَّه المُنْتَشِرَةِ. نُلاحِظ أَيْضاً أَنَّهُ مَعَ زِيادَةِ مَعامِلِ \(q\) تُصْبِح المَوْجات أَكْثَرَ تَحْدِيداً مَكانِيّاً. وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ قِيمَةَ أَعْلَى لِدَرَجَةِ الحَرارَةِ تُؤَدِّي إِلَى المَزِيدِ مِن عَدَمِ التَحْدِيدِ المَكانِيّ. فِي مِنْطَقَةِ طاقَةِ المُصادِم الكَبِيرِ للهادرونات، قَد تَتَنافَس هٰذِهِ التَأْثِيراتِ مَعَ بِعَضُّها البَعْضُ. لُوحِظَ أَيْضاً أَنَّهُ مَعَ زِيادَةِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ، تُصْبِح المَوْجات أَكْثَرَ تَحْدِيداً مَكانِيّاً. تَمَّ الإِبْلاغ عَن هٰذا السُلُوكِ أَيْضاً فِي المَرْجِعِ (FogacamagNLSCI) لَاِضْطِراب كَثافَةُ الباريون فِي بلازما الكوارك-الغلوون البارِدَةِ. قَد يَكُون هٰذا نَتِيجَةَ لَحَقِيقَة أَنَّهُ مَعَ زِيادَةِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ، تَتْبَع الجَسِيمات المَشْحُونَة مَسارا حَلَزُونِيّا بِنِصْفِ قَطَرِ أَصْغَرِ، مِمّا يَخْلُق اِضْطِراباً بِسَعَةِ أَوَّلِيَّةً أَصْغَرِ يَتَطَوَّر إِلَى مَوْجَةِ أَكْثَرَ تَحْدِيداً مَكانِيّاً.

قَد يَسْتَفِيد العَمَلِ الحالِيَّ مِن عِدَّةٍ تَعْمِيمات نَحْتَفِظ بِها لِلمُسْتَقْبَلِ. أَوَّلاً وَقِبَلَ كُلِّ شَيْء، قَد يَتِمّ تَعْمِيمِ العَمَلِ الحالِيَّ لَوَسَط بلازما الكوارك-الغلوون اللَزِج. أَيْضاً، قَد نُفَكِّر فِي مَجالِ مَغْناطِيسِي مُتَغَيِّر، مَعَ الحِفاظِ عَلَى تَدَفُّقِ المَجالِ المَغْناطِيسِيّ ثابِتاً. سَيُؤَدِّي هٰذا السِينارِيو إِلَى ضَغْطِ غَيْرِ مُتَجانِسٍ (GunnarJHEP). سَيَكُون مِن المُثِيرِ لِلاِهْتِمامِ أَيْضاً دِراسَةٌ تَأْثِيراتِ المُسْتَوَياتِ العُلْيا للانداو فِي مُعادَلَةِ الحالَةِ. يَجِب أَيْضاً النَظَرِ فِي التَطَوُّرِ مُتَعَدِّدِ الأَبْعاد لِلمَوْجاتِ غَيْرِ الخَطِيَّة لِلنَظَرِ فِي سِينارِيو فِيزيائِي أَكْثَرَ واقِعِيَّةٍ. آخَرِ وَلِيس آخَرا، فِي هٰذا العَمَلِ حَصَلْنا أَيْضاً عَلَى تَعْبِيرات مُغْلَقَةً الشَكْلِ لِلكَمِّيّاتِ الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ فِي غازِ يُهَيْمِن عَلَيهِ التَقَلُّبات وَيَتَعَرَّض لَمَجال مَغْناطِيسِي مُوَحَّدٍ. قَد تَكُون هٰذِهِ النَتائِجِ مُهِمَّةً فِي الدِراساتِ المُتَعَلِّقَةِ بِالغازِ الكَمِّيّ غَيْرِ المُوسِعُ فِي مَجالِ مَغْناطِيسِي عالِي.