مُلَخَّص

نَدرسُ انتشار موجات كثافة الطاقة غير الخطّيّة في بلازما الكوارك–غلوون غير المُوسَّعة تحت تأثير مجالٍ مغناطيسي باستخدام تقنية الاختزال الاضطرابي. وبالاستناد إلى معادلة حالة نموذج حقيبة MIT بنسخته غير المُوسَّعة، نحصل على المعادلة الحاكمة لاضطراب مرتبة أولى في كثافة الطاقة. نُلاحظ أنّ زيادة شِدّة المجال المغناطيسي تؤدي إلى ازدياد تَمَرْكُز الموجات.

المقدّمة

تُمثّل دراسة خصائص بلازما الكوارك–غلوون الساخنة والكثيفة، المتشكِّلة في التصادمات عالية الطاقة في المصادم الكبير للهادرونات التابع للمنظمة الأوروبية للأبحاث النووية وفي المختبر الوطني بروكهافن، مجالاً بحثيّاً نشطاً. وتتناول بعضُ المحاور البحثية الأساسية مسارين للتطور بعد التصادم: الأوّل يركّز على تطوّر نظام الكواركات والغلوونات المتشكّل، والثاني يدرس تطوّر توزيعات الجسيمات عالية الطاقة (المعروفة أيضاً بـ«النَّفّاثات») أثناء عبورها في الوسط المتكوّن.

يُدرَس تطوّر الوسط الساخن والكثيف عبر معادلات الهيدروديناميكا النسبية، بينما يمكن وصف تطوّر النفّاثات داخل بلازما الكوارك–غلوون بمعادلة نقل بولتزمان. تفقد هذه النفّاثات طاقتها جرّاء تفاعلها مع الوسط، ما يُحدِث اضطراباتٍ في كثافة الطاقة تنتقل كموجات غير خطّيّة عبر الوسط. وقد كان تطوّر مثل هذه الموجات غير الخطّيّة موضوعاً لدراساتٍ عديدة (Raha1, Raha2, Fogaca:2009wf, Fogaca:2011pk, Fogaca:2014gwa, Bhattacharyya:2020sua, Sarwar:2020oux, Sarwar:2021csp).

المعادلةُ الأساسية التي تحكم تطوّر الاضطرابات في سائلٍ مثالي هي معادلة أويلر، مع ضرورة أخذ معادلة حفظ كثافة الإنتروبيا بالحسبان. ولحلّ هذه المعادلات مجتمعةً، يلزم تقديم معادلات حالة تربط بين المتغيّرات الماكروسكوبية للوسط. من الخيارات التقليدية استخدام إحصاءات بولتزمان–جيبس لحساب متغيّراتٍ حرارية مثل كثافة الطاقة وكثافة الإنتروبيا والضغط. فعلى سبيل المثال، في المرجع (Fogaca:2009wf) استُخدمت معادلة الحالة لغازٍ مثالي من كواركاتٍ وغلوونات عديمة الكتلة وفق نموذج حقيبة MIT، فحُصِلت حلول لموجات الانكسار، وأُشير إلى أنّ إمكانية انتشار السُّوليتونات تعتمد اعتماداً كبيراً على معادلة الحالة نفسها. كما رُصِد انتشار السُّوليتونات في بلازما كوارك–غلوون باردة باستخدام نهج المجال المتوسط في نظرية كمّ الديناميكا اللونية لاشتقاق معادلة الحالة (Fogaca:2011pk).

غير أنّ توزيعات بولتزمان–جيبس قد لا تصف الأنظمة التي تتّسم بتقلّبات كبيرة في درجة الحرارة وكثافة الطاقة نتيجة التباينات في مواضع النوكليونات داخل النوى المتصادمة. في مثل هذه الأجواء المتقلقلة تظهر توزيعات قانون القوّة (بدلاً من التوزيعات الأسّية في بولتزمان–جيبس)، وقد استُخدمت على نطاقٍ واسع توزيعات مستوحاة من إحصاءات تساليس غير المُوسَّعة. وقد وُجدت دلائل تجريبية على هذا السيناريو في أطياف الجسيمات التي تتبع توزيعات قانون القوّة (CMSTs1, ALICETs1)، ويرتبط معامل عدم الامتداد \(q\) بالتباين النسبي لدرجة الحرارة العكسية (Wilkprl). اهتمّت أعمالنا السابقة (Bhattacharyya:2020sua, Sarwar:2021csp) بدراسة تطوّر الاضطرابات غير الخطّيّة في مثل هذه الأوساط باستخدام معادلات حالة مُستنبطة من الإحصاءات غير المُوسَّعة. في هذا المقال، ندرس تأثير مجالٍ مغناطيسي في انتشار موجات الاضطراب.

ينشأ حقلٌ مغناطيسيٌّ عابرٌ وضخم (\(eB\sim (1-10)\,m_{\pi}^2\)) في التصادمات عالية الطاقة غير المركزيّة (Bzdak:2011yy, PhysRevC.85.044907)، ومن المنطقي دراسة المعادلات المغنطوهيدروديناميكية النسبيّة لتتبّع تطوّر الموجات. ولحلّ معادلات المغنطوهيدروديناميكا المستخدمة، يلزم الحصول على معادلات حالة تراعي الإحصاءات غير المُوسَّعة والخلفية المغناطيسية القوية. يهدف هذا العمل إلى تعميم دراساتٍ سابقة (FogacamagNPA, FogacamagNLSCI) تناولت انتشار الموجات في بلازما كوارك–غلوون باردة غير نسبيّة.

خلال التحليل، استخلصنا أيضاً الأشكال التحليلية للمتغيّرات الديناميكية الحرارية لوسطٍ غير مُوسَّع تحت مجالٍ مغناطيسي قوي من أجل بناء معادلات الحالة. وحسب علمنا، يُعَدّ هذا أول حسابٍ من نوعه، وقد يكون مفيداً لدراساتٍ مستقبلية مثل فحص خواص الغاز الكمومي غير المُوسَّع في حقول مغناطيسية قوية. ومن نتائج تحليلنا أنّ الحقول المغناطيسية تُسهم في استقرار اضطرابات كثافة الطاقة غير الخطّيّة في بلازما الكوارك–غلوون الساخنة، على غرار استقرار اضطرابات كثافة الباريون في البلازما الباردة (FogacamagNLSCI).

تُنظَّم هذه الورقة على النحو الآتي: يصف القسم التالي النموذج الرياضي المُستخدم، ويستعرض قسم results النتائج، وأخيراً نُجمِل الاستنتاجات ونقدّم نظرةً مُستقبلية في قسم summary.

النموذج الرياضي

المغنطوهيدروديناميكا ومعادلة الاضطراب

تخضع ديناميّات بلازما الكوارك–غلوون (وأي اضطرابٍ ينشأ فيها) لمعادلات الهيدروديناميكا. وتتحدّد صلاحية هذا الوصف بمرتبة قطع موتر الطاقة–الزخم من حيث مساهمات التبدُّد. تصف الهيدروديناميكا المثالية التدفقات عند المرتبة الصفريّة عبر معادلة أويلر. وبالرغم من أنّ نظرية نافيه–ستوكس (الرتبة الأولى) لاسَبَبيّة وغير مستقرة عددياً، تُعَدّ نظريات الرتبة الثانية أكثر موثوقية إذ تخلو من مشكلات السببية وعدم الاستقرار (Israel:1979wp, Muronga:2001zk). ومع ذلك، ومن أجل تبسيط الحسابات في هذا العمل، نستخدم معادلة أويلر أحادية البعد مع مجالٍ مغناطيسي ثابت لدراسة انتشار الموجات غير الخطّيّة.

نعتمد الوحدات \(\hbar=c=k_B=1\)، والمترية \(g^{\mu \nu}=\mathrm{diag}(+,-,-,-)\) بحيث \(u^\mu u_\mu=1\) مع \(u^\mu=\gamma(1,\vec{v})\) و\(\gamma=(1-v^2)^{-1/2}\).

في التصادمات غير المركزيّة، يُنتَج مجالٌ مغناطيسيٌّ عابرٌ قد يبلغ \(10^{17}-10^{19}\) غاوس. وعلى الرغم من وجود حقلٍ كهربائي مصاحب، فإننا سنُهمِله هنا. تُعطى معادلة أويلر في وجود مجالٍ مغناطيسي كما يأتي (Roy:2015kma): \[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\,\vec{v} =-\frac{1}{\gamma^2(\epsilon+P+B^2)}\left[\vec{\nabla} \left(P+\frac{B^2}{2}\right) +\vec{v}\,\frac{\partial}{\partial t}\left(P+\frac{B^2}{2}\right)\right]\,, \] حيث \(\epsilon\) كثافة الطاقة، و\(P\) الضغط، و\(B\) شِدّة المجال المغناطيسي.

إلى جانب معادلة أويلر، يتبع السائل معادلةَ حفظ كثافة الإنتروبيا \(s\): \[ \frac{\partial s}{\partial t}+\gamma^2 v\, s\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] +\vec{\nabla}\cdot(s\,\vec{v})=0. \] في ما يلي نفترض انتشار الاضطراب على طول المحور \(x\) (Fogaca:2009wf). ولأنّ سعة الاضطراب قد تكون من رتبة خلفية الوسط نفسها، نستخدم تقنية الاختزال الاضطرابي لتوسيع كثافة الطاقة وسرعة السائل بمعامل التوسع \(\sigma\) (Fogaca:2009wf, Sarwar:2021csp):

\[ \begin{aligned} \epsilon &= \epsilon_0 \left(1 + \sigma \epsilon_1 + \sigma^2 \epsilon_2 + \sigma^3 \epsilon_3 + \cdots \right), \\ P &= P_0 \left(1 + \sigma P_1 + \sigma^2 P_2 + \sigma^3 P_3 + \cdots \right), \\ v &= c_s \left( \sigma v_1 + \sigma^2 v_2 + \sigma^3 v_3 + \cdots \right). \end{aligned} \]

معادلات الحالة

نُمثّل الغلوونات والكواركات داخل الوسط بتوزيعاتٍ كمّية مُشتقّة من الإحصاء غير المُوسَّع (TBParvanEPJA2):

\[ \begin{aligned} n_f&=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}+1},\quad n_b=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}-1}, \end{aligned} \]

حيث \(E_{p}=\sqrt{p^2+m^2}\) طاقةُ الجسيم ذي الكتلة \(m\) والزخم الثلاثي \(p\)، و\(\mu\) الجهدُ الكيميائي، و\(T\) درجةُ الحرارة، و\(q\) معاملُ عدم الامتداد.

في هذا العمل نستخدم نموذج حقيبة MIT غير المُوسَّع عند \(\mu=0\) (TsMITBag):

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\mathrm{bag}} &= \mathcal{B}+\epsilon_{\text{b}}+2\,\epsilon_{\text{f}},\\ P_{\mathrm{bag}} &= -\mathcal{B}+P_{\text{b}}+2\,P_{\text{f}}, \end{aligned} \]

وتُستخرَج المتغيّرات الديناميكية الحرارية من التوزيعات وفق:

\[ \begin{aligned} \epsilon_{i}&=g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_p\,n_i,\quad P_i=g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{p^{2}}{3E_p}\,n_i, \end{aligned} \]

مع عامل التعدّدية \(g\) و\(i=f,b\).

بوجود مجالٍ مغناطيسي متجانس \(\mathbf{B}=B\hat{z}\)، تُكمَّم مستويات لانداو ويُستبدل تكامل الزخم كما يلي:

\[ \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\to \frac{|q_f eB|}{2\pi}\sum_{j=0}^{\infty}\int\frac{dp_z}{2\pi}(2-\delta_{0j}),\quad E_{pj}=\sqrt{m^2+p_z^2+2j|q_f eB|}. \]

الغلوونات

لا تحمل الغلوونات شحنةً كهربائية، ومن ثمّ لا تتأثّر مباشرةً بالمجال المغناطيسي. تُعطى الصيغ التحليلية للضغط وكثافة الطاقة في النظام الغلووني (Bhattacharyya:2020sua) بـ:

\[ \begin{aligned} P_\text{b}&=\frac{gT^4}{6\pi^2(q-1)^3q}\left[3\psi^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) +\psi^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right) -3\psi^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) -\psi^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right)\right],\\ \epsilon_\text{b}&=\frac{gT^4}{2\pi^2(q-1)^3q}\left[3\psi^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) +\psi^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right) -3\psi^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) -\psi^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right)\right], \end{aligned} \]

حيث \(\psi^{(0)}\) دالةُ الديغاما (Erdelyi).

الكواركات

نفترض كواركاتٍ خفيفة الكتلة (~10 MeV). وتُحسب الصيغ التحليلية للضغط وكثافة الطاقة للفرميونات تحت المجال المغناطيسي عبر تمثيل كونتور ميلين–بارنز للتوزيعات (TsMBPRD, TsMBMDPI). في هذا العمل نعتمد تقريب مستوى لانداو الأدنى (\(j=0\)).

يمكن تقسيم تعابير الضغط وفق قيم \(q\) إلى نطاقين (عند \(\mu=0\)). لتعريف الرموز نُعرِّف \(\delta q\equiv q-1\) و\(s_0\) عدد الحدود المُضمَّنة لضمان التقارب:

النطاق العُلوي (q ≥ 1 + T/m):

\[ \begin{aligned} P_f^{\mathrm{(up)}}&=\sum_{s=1}^{s_0}(-1)^{s+1}g\,m|q_f eB|\Bigg[\frac{m\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-1\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}} \,_2F_1\left(\frac{qs}{2\delta q},\frac{qs}{2\delta q}-1;\frac12;\frac{T^2}{m^2\delta q^2}\right)} {8\pi^{3/2}\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}+\frac12\right)}\\ &\quad-\frac{T\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}} \,_2F_1\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12,\frac{qs}{2\delta q}+\frac12;\frac32;\frac{T^2}{m^2\delta q^2}\right)} {4\pi^{3/2}\delta q\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}\right)} \Bigg], \end{aligned} \]

النطاق الأدنى (q < 1 + T/m):

\[ \begin{aligned} P_f^{\mathrm{(low)}}&=\sum_{s=1}^{s_0}(-1)^{s+1}g\,m|q_f eB|\Bigg[\frac{m\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-1\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}}\mathcal{H}^{(1,\mathrm{AC})}} {8\pi^{3/2}\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}+\frac12\right)}\\ &\quad-\frac{T\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}}\mathcal{H}^{(2,\mathrm{AC})}} {4\pi^{3/2}\delta q\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}\right)} \Bigg], \end{aligned} \]

حيث تُعرَّف دوال \(\mathcal{H}\) بواسطة التحليل المُستمرّ للدوال الفائقة (Erdelyi).

يُكتب الضغط الكلي للفرميونات بدلالة دالة هيفيسايد \(\theta\) كما يلي:

\[ P_f=P_f^{\mathrm{(up)}}\,\theta\left(q-1-\frac{T}{m}\right) +P_f^{\mathrm{(low)}}\,\theta\left(1+\frac{T}{m}-q\right). \]

بعد ذلك تُشتقّ كثافة الطاقة عند \(\mu=0\) من العلاقة الحرارية:

\[ \epsilon_f =T\frac{\partial P}{\partial T}-P. \]

وباستخدام هذه التعابير نحسب \(\epsilon_{\mathrm{bag}}\) و\(P_{\mathrm{bag}}\) ثم نُسندهما إلى \(\epsilon_0\) و\(P_0\) على التوالي. كما يُستخرج مربّع سرعة الصوت من:

\[ c_s^2=\frac{\partial P}{\partial \epsilon}. \]

النتائج والمناقشة

نهدف إلى تتبّع انتشار اضطراب كثافة الطاقة وفقاً للمعادلة الحاكمة المُستخلَصة أعلاه. تُقيَّم المتغيّرات الديناميكية الحرارية الظاهرة في هذه المعادلة، مثل كثافة الطاقة والضغط، انطلاقاً من الإحصاءات غير المُوسَّعة. ولحلّ المعادلة عدديّاً، اخترنا ملفاً ابتدائياً لاضطراب كثافة الطاقة على هيئة دالة غاوسيّة:

\[ \hat{\epsilon}_1(x)=A\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{B^2}\right] \]

حيث يمثّل \(A\) سعةَ الاضطراب، و\(B\) عرضه، بينما \(x_0\) موضعُ الذروة. اتخذنا \(x_0=5\)؛ ولا تؤثّر قيمٌ أخرى لـ \(x_0\) في النتائج النوعيّة.

يُظهر الشكل 1 انتشار \(\hat{\epsilon}_1\) في وسطٍ غير مُوسَّع عند \(T=200\) MeV و\(q=1.10\) و\(eB=m_\pi^2\). (أ) عند \(A=1,\, B=2\) fm لأزمنة مختلفة حيث يُفقَد تماسك النبضات مع مرور الزمن. (ب) و(ج) عند (\(A=1,\, B=0.5\) fm) و(\(A=1,\, B=5\) fm) على التوالي؛ ويُلاحظ أنّ تكسّر الموجة يقلّ للموجات الأعرض كما في (ج). برفع السعة إلى \(A=2\) مع \(B=2\) fm نجد فقداناً أسرع للتماسك كما في الشكل 2.

تُدرَس آثار المجال المغناطيسي في الشكل 5. اللوحة اليسرى عند \(T=200\) MeV و\(q=1.10\) و\(eB=4.4\,m_\pi^2\)؛ واليمنى عند القيم نفسها من \(T\) و\(q\) لكن مع \(eB=11.5\,m_\pi^2\). نرى أنه مع تقوية المجال المغناطيسي يزداد تَمَرْكُز الموجات وتماسكها، ما يرجّح بقاءها خلال عمر البلازما، كما تنخفض إزاحة الذروة.

سِمةٌ أُخرى لتأثير المجال المغناطيسي تظهر في الشكل 6 عند \(T=200\) MeV و\(q=1.20\). تُظهر اللوحة أنّ الموجات تستقرّ عند \(eB=8.3\,m_\pi^2\)، في حين كانت تتطلّب \(eB=11.5\,m_\pi^2\) في الشكل 5.

الخلاصة والاستنتاجات والآفاق

باختصار، درسنا انتشار الموجات غير الخطّيّة داخل بلازما الكوارك–غلوون الساخنة تحت تأثير مجالٍ مغناطيسي منتظم. اعتمدنا معادلة حالة مستوحاة من الإحصاء غير المُوسَّع، مع تقريب مستوى لانداو الأدنى. وجدنا أنّ زيادة السعة أو خفض عرض الاضطراب الابتدائي يؤدّيان إلى مزيد من الانتشار المكاني للموجة، في حين أنّ زيادة معامل \(q\) تعزّز تَمَرْكُزها المكاني. وعلى النقيض، تفضي درجات الحرارة الأعلى إلى ازدياد عدم التمركُز. في نطاق طاقات مصادم الهادرونات الكبير، تتنافس هذه التأثيرات. كما لاحظنا أنّ تقوية المجال المغناطيسي تزيد من تَمَرْكُز الموجات مكانياً وتُحسّن تماسكها، وهو سلوك مماثل لما لوحظ في اضطراب كثافة الباريون في البلازما الباردة (FogacamagNLSCI).

للتطوير المُستقبلي، يمكن تعميم هذا العمل على بلازما لزجة، أو اعتبار مجالٍ مغناطيسي متغيّر زمنياً مع حفظ الفيض، بما يؤدّي إلى ضغوطٍ غير مُتساوية الخواص (GunnarJHEP). كما سيكون من المهم دراسة تأثير المستويات العليا للانقسام اللاندائي والتطوّر متعدّد الأبعاد للموجات. وأخيراً، تُوفّر التعابير التحليلية للمتغيّرات الحرارية في وسطٍ غير مُوسَّع تحت مجالٍ مغناطيسي موحّد مُدخلاتٍ قيّمة لدراساتٍ أوسع للغاز الكمومي غير المُوسَّع.