latex

مُلَخَّص

ندرس انتشار موجات كثافة الطاقة غير الخطية في بلازما الكوارك-غلوون غير المكثفة تحت تأثير مجال مغناطيسي باستخدام تقنية الاختزال الاضطرابي. عند استخدام معادلة حالة حقيبة MIT غير المكثفة، نحصل على المعادلة الحاكمة للاضطراب من الدرجة الأولى لكثافة الطاقة. نلاحظ أن زيادة قوة المجال المغناطيسي تؤدي إلى زيادة تركز الأمواج.

المقدمة

دراسة خصائص البلازما الكواركية الغلوونية الساخنة والكثيفة، التي تتشكل في التصادمات عالية الطاقة في المصادم الكبير للهادرونات بالمنظمة الأوروبية للأبحاث النووية أو في معهد بروكهافن الوطني، تمثل مجالاً بحثياً نشطاً. تتناول بعض الخطوط البحثية الرئيسية في هذا المجال مسارين للتطور بعد التصادم: الأول يركز على تطور نظام الكواركات والغلوونات المتشكل، والثاني يدرس تطور توزيعات الجسيمات عالية الطاقة (المعروفة أيضاً بـ "النفاثات") أثناء مرورها في الوسط المتشكل.

يُدرس تطور الوسط الساخن والكثيف باستخدام معادلة الديناميكا الهيدروليكية النسبية، في حين يُمكن وصف تطور النفاثات داخل البلازما الكواركية الغلوونية بمعادلة نقل بولتزمان. تفقد هذه النفاثات طاقتها خلال التفاعل مع الوسط، ما يخلق اضطرابات في كثافة الطاقة تنتقل كموجات غير خطية عبر الوسط. لقد كان تطور مثل هذه الموجات غير الخطية موضوعاً لعدد من الدراسات (Raha1,Raha2,Fogaca:2009wf,Fogaca:2011pk,Fogaca:2014gwa,Bhattacharyya:2020sua,Sarwar:2020oux,Sarwar:2021csp).

المعادلة الرياضية الأساسية التي تحكم تطور الاضطرابات في سائل مثالي هي معادلة أويلر، مع ضرورة أخذ معادلة استمرارية كثافة الإنتروبيا في الاعتبار. لحل هذه المعادلات مجتمعة، يلزم تقديم معادلات حالة تربط بين المتغيرات الماكروسكوبية للوسط. إحدى الخيارات التقليدية هي استخدام إحصاءات بولتزمان–جيبس لحساب المتغيرات حرارية مثل كثافة الطاقة والكثافة الإنتروبية والضغط. على سبيل المثال، في المرجع (Fogaca:2009wf) اعتُمدت معادلة الحالة لغاز مثالي من الكواركات والغلوونات عديمة الكتلة وفق نموذج حقيبة MIT، فحُصل على حلول لموجات الانكسار، وأشير إلى أن إمكانية انتشار السوليتون تعتمد بشكل كبير على معادلة الحالة نفسها. كما رُصد انتشار السوليتون في بلازما الكوارك-غلوون الباردة باستخدام نهج المجال المتوسط في نظرية الكم اللونية لاشتقاق معادلة الحالة (Fogaca:2011pk).

غير أن توزيعات بولتزمان–جيبس قد لا تصف الأنظمة التي تتسم بتقلبات كبيرة في درجة الحرارة وكثافة الطاقة نتيجة للتقلبات في مواقع النوكليونات داخل النوى المتصادمة. في مثل هذه الأجواء المتقلبة تظهر توزيعات قانون القوة (مقارنة بالتوزيعات الأسية في بولتزمان–جيبس)، وقد استُخدمت على نطاق واسع توزيعات مستوحاة من إحصاءات تساليس غير الموسعة. وقد وُجدت دلائل تجريبية على هذا السيناريو في أطياف الجسيمات التي تتبع توزيعات قانون القوة (CMSTs1,ALICETs1)، ويرتبط معامل عدم الامتداد \(q\) بالتباين النسبي لدرجة الحرارة العكسية (Wilkprl). اهتمت أعمالنا السابقة (Bhattacharyya:2020sua,Sarwar:2021csp) بدراسة تطور الاضطرابات غير الخطية في مثل هذه الأجواء باستخدام معادلات حالة مستنبطة من الإحصاءات غير الموسعة. في هذا المقال، ندرس تأثير مجال مغناطيسي على انتشار موجات الاضطراب.

ينتج حقل مغناطيسي عابر ضخم (\(eB\sim (1-10)\,m_{\pi}^2\)) في التصادمات عالية الطاقة غير المركزية (Bzdak:2011yy,PhysRevC.85.044907)، ومن المنطقي دراسة المعادلات المغنطوهيدروديناميكية النسبية لتتبّع تطور الموجات. ولحل معادلات المغنطوهيدروديناميك المستخدمة، يلزم الحصول على معادلات حالة تراعي الإحصاءات غير الموسعة والخلفية المغناطيسية القوية. يهدف هذا العمل إلى تعميم الدراسات السابقة (FogacamagNPA,FogacamagNLSCI) التي اهتمت بانتشار الموجات في بلازما كوارك-غلوون باردة غير نسبية.

أثناء التحليل، استخلصنا أيضاً الأشكال التحليلية للمتغيرات الديناميكية الحرارية لوسط غير موسع تحت مجال مغناطيسي قوي لإنشاء معادلات الحالة. وحسب علمنا، يُعد هذا أول حساب من نوعه، وقد يكون مفيداً لدراسات مستقبلية مثل فحص خصائص الغاز الكمومي غير الموسع في حقول مغناطيسية قوية. من نتائج تحليلنا أن الحقول المغناطيسية تُسهم في استقرار اضطرابات كثافة الطاقة غير الخطية في بلازما الكوارك-غلوون الساخنة، على غرار استقرار اضطرابات كثافة الباريون في البلازما الباردة (FogacamagNLSCI).

تنظم هذه الورقة على النحو التالي: يصف القسم التالي النموذج الرياضي المستخدم، ويستعرض القسم results النتائج، وأخيراً نلخص الاستنتاجات ونقدم نظرة مستقبلية في القسم summary.

النموذج الرياضي

المغنطوهيدروديناميك ومعادلة الاضطراب

تخضع ديناميكيات البلازما الكواركية الغلوونية (وأي اضطراب يولّد فيها) لمعادلات الهيدروديناميك. تُحدّد صحة هذه النظرية بدرجة تقطيع موتر الطاقة–الزخم (EMT) للتدفقات الانتشاريه. تصف الهيدروديناميك المثالي التدفقات حتى الدرجة الصفرية عبر معادلة أويلر. وبالرغم من أن نظرية ناڤيير–ستوكس (الرتبة الأولى) غير سببية وغير مستقرة عددياً، تُعَدّ نظرية الرتبة الثانية أكثر موثوقية لأنها خالية من مشاكل السببية وعدم الاستقرار (Israel:1979wp,Muronga:2001zk). ومع ذلك، ومن أجل تبسيط الحسابات في هذا العمل، نستخدم معادلة أويلر أحادية البعد مع مجال مغناطيسي ثابت لدراسة انتشار الموجات غير الخطية.

خلال المقال اعتُمدت الوحدات \(\hbar=c=K_B=1\)، والمترية \(g^{\mu \nu}=\mathrm{diag}(+,-,-,-)\)، بحيث \(u^\mu u_\mu=1\) مع \(u^\mu=\gamma(1,\vec{v})\) و\(\gamma=(1-v^2)^{-1/2}\).

في التصادمات غير المركزية، يُنتج مجال مغناطيسي عابر ضخم يصل ترتيبه إلى \(10^{17}-10^{19}\) غاوس. على الرغم من وجود حقل كهربائي مصاحب، فإننا لا نأخذه في الحسبان هنا. تُعطى معادلة أويلر في وجود مجال مغناطيسي كما يلي (Roy:2015kma): \[ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\,\vec{v} =-\frac{1}{\gamma^2(\epsilon+P+B^2)}\left[\vec{\nabla} \left(P+\frac{B^2}{2}\right) +\vec{v}\,\frac{\partial}{\partial t}\left(P+\frac{B^2}{2}\right)\right]\,, \] حيث \(\epsilon\) كثافة الطاقة، \(P\) الضغط، و\(B\) شدة المجال المغناطيسي.

إلى جانب معادلة أويلر، يتبع السائل معادلة الاستمرارية لكثافة الإنتروبيا \(s\): \[ \frac{\partial s}{\partial t}+\gamma^2 v s\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] +\vec{\nabla}\cdot(s\vec{v})=0. \] في هذا المقال، نفترض انتشار الاضطراب على طول المحور \(x\) (Fogaca:2009wf). ولأن الاضطراب قد يكون من نفس رتبة الخلفية، استُخدمت تقنية الاختزال الاضطرابي (RPM) لتوسيع كثافة الطاقة وسرعة السائل بمعامل التوسع \(\sigma\) (Fogaca:2009wf,Sarwar:2021csp).

\[ \begin{aligned} \epsilon &= \epsilon_0 \left(1 + \sigma \epsilon_1 + \sigma^2 \epsilon_2 + \sigma^3 \epsilon_3 + \cdots \right), \\ P &= P_0 \left(1 + \sigma P_1 + \sigma^2 P_2 + \sigma^3 P_3 + \cdots \right), \\ v &= c_s \left( \sigma v_1 + \sigma^2 v_2 + \sigma^3 v_3 + \cdots \right). \end{aligned} \]

معادلات الحالة

نعتبر الغلوونات والكواركات داخل الوسط ممثلة بالتوزيعات الكمومية المشتقة من الإحصاء غير الموسع (TBParvanEPJA2):

\[ \begin{aligned} n_f&=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}+1},\quad n_b=\frac{1}{\left[1+(q-1)\frac{E_p-\mu}{T}\right]^{\frac{q}{q-1}}-1}, \end{aligned} \]

\(E_{p}=\sqrt{p^2+m^2}\) طاقة الجسيم بكتلة \(m\) وزخم ثلاثي \(p\)، \(μ\) الجهد الكيميائي، \(T\) درجة الحرارة، و\(q\) معامل عدم الامتداد.

في هذا العمل نستخدم نموذج الحقيبة غير الموسع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (TsMITBag), عند \(μ=0\):

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\mathrm{bag}} &= \mathcal{B}+\epsilon_{\text{b}}+2\,\epsilon_{\text{f}},\\ P_{\mathrm{bag}} &= -\mathcal{B}+P_{\text{b}}+2\,P_{\text{f}}, \end{aligned} \]

حيث المتغيرات الديناميكية الحرارية تُحسب من التوزيعات وفق:

\[ \begin{aligned} \epsilon_{i}&=g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_p\,n_i,\quad P_i=g\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{p^{2}}{3E_p}\,n_i, \end{aligned} \]

مع عامل التعددية \(g\) و\(i=f,b\).

بوجود مجال مغناطيسي متجانس \(\mathbf{B}=B\hat{z}\)، تُكمم مستويات لانداؤ وتعدل تكامل الزخم كما يلي:

\[ \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\to \frac{|q_f eB|}{2\pi}\sum_{j=0}^{\infty}\int\frac{dp_z}{2\pi}(2-\delta_{0j}),\quad E_{pj}=\sqrt{m^2+p_z^2+2j|q_feB|}. \]

الغلوونات

لا تحمل الغلوونات شحنة كهربائية ولا تتأثر بالمجال المغناطيسي. يُعطى الضغط وكثافة الطاقة التحليليين للنظام الفرعي الغلووني (Bhattacharyya:2020sua):

\[ \begin{aligned} P_\text{b}&=\frac{gT^4}{6\pi^2(q-1)^3q}\left[3\psi^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) +\psi^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right) -3\psi^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) -\psi^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right)\right],\\ \epsilon_\text{b}&=\frac{gT^4}{2\pi^2(q-1)^3q}\left[3\psi^{(0)}\left(\frac{3}{q}-2\right) +\psi^{(0)}\left(\frac{1}{q}\right) -3\psi^{(0)}\left(\frac{2}{q}-1\right) -\psi^{(0)}\left(\frac{4}{q}-3\right)\right], \end{aligned} \]

حيث \(\psi^{(0)}\) دالة ديغاما (Erdelyi).

الكواركات

نفترض وجود كواركات خفيفة الكتلة (~10 MeV). تُحسب الأشكال التحليلية للضغط وكثافة الطاقة للفرميونات تحت المجال المغناطيسي عبر تمثيل كونتور ميلين–بارنز للتوزيعات (TsMBPRD,TsMBMDPI). في هذا العمل نعتمد تقريب مستوى لانداؤ الأدنى (\(j=0\)).

يمكن تقسيم نتائج الضغط حسب قيم \(q\) إلى منطقتين (\(μ=0\)):

المنطقة العليا (q≥1+T/m):

\[ \begin{aligned} P_f^{\mathrm{(up)}}&=\sum_{s=1}^{s_0}(-1)^{s+1}g\,m|q_feB|\Bigg[\frac{m\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-1\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}} \,_2F_1\left(\frac{qs}{2\delta q},\frac{qs}{2\delta q}-1;\frac12;\frac{T^2}{m^2\delta q^2}\right)} {8\pi^{3/2}\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}+\frac12\right)}\\ &\quad-\frac{T\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}} \,_2F_1\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12,\frac{qs}{2\delta q}+\frac12;\frac32;\frac{T^2}{m^2\delta q^2}\right)} {4\pi^{3/2}\delta q\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}\right)} \Bigg], \end{aligned} \]

المنطقة السفلى (q<1+T/m):

\[ \begin{aligned} P_f^{\mathrm{(low)}}&=\sum_{s=1}^{s_0}(-1)^{s+1}g\,m|q_feB|\Bigg[\frac{m\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-1\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}}\mathcal{H}^{(1,\mathrm{AC})}} {8\pi^{3/2}\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}+\frac12\right)}\\ &\quad-\frac{T\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}-\frac12\right)\left(\frac{T}{\delta q\,m}\right)^{\frac{qs}{\delta q}}\mathcal{H}^{(2,\mathrm{AC})}} {4\pi^{3/2}\delta q\,\Gamma\left(\frac{qs}{2\delta q}\right)} \Bigg], \end{aligned} \]

حيث تُعرّف دوال \(\mathcal{H}\) بواسطة التحليل المستمر للدوال الفائقة (Erdelyi)، و\(s_0\) عدد الحدود اللازم تضمينها لضمان التقارب.

يُحسب الضغط الكلي للفرميونات بدالة هيفيسايد \(\theta\):

\[ P_f=P_f^{\mathrm{(up)}}\,\theta\left(q-1-\frac{T}{m}\right) +P_f^{\mathrm{(low)}}\,\theta\left(1+\frac{T}{m}-q\right). \]

يمكن بعدها اشتقاق كثافة الطاقة عند \(μ=0\) من العلاقة:

\[ \epsilon_f =T\frac{\partial P}{\partial T}-P. \]

وباستخدام هذه التعابير نحسب \(\epsilon_{\mathrm{bag}}\) و\(P_{\mathrm{bag}}\) ثم نعادلها مع \(\epsilon_0\) و\(P_0\) على التوالي. كما يحسب تربيع سرعة الصوت من:

\[ c_s^2=\frac{\partial P}{\partial \epsilon}. \]

النتائج والمناقشة

نهدف إلى مراقبة انتشار اضطراب كثافة الطاقة وفقاً للمعادلة Eq. . يتم تقييم المتغيرات الديناميكية الحرارية، مثل كثافة الطاقة والضغط المظهرَة في المعادلة، من الإحصاءات غير المكثفة. لحل هذه المعادلة، اخترنا الملف الابتدائي لاضطراب كثافة الطاقة على شكل دالة غاوسية:

\[ \hat{\epsilon}_1(x)=A\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{B^2}\right] \]

حيث يمثل \(A\) سعة الاضطراب، و\(B\) عرضه، في حين \(x_0\) موضع الذروة. أخذنا \(x_0=5\)، ولا تؤثر قيم أخرى لـ \(x_0\) على النتائج النوعية.

يُظهر الشكل [fig1] انتشار \(\hat{\epsilon}_1\) في بلازما غير مكثفة عند \(T=200\) MeV، و\(q=1.10\)، و\(eB=m_\pi^2\). (a) عند \(A=1,B=2\) fm في أزمنة مختلفة حيث نفقد تماسك النبضات مع مرور الزمن. (b) و(c) عند (\(A=1,B=0.5\) fm) و(\(A=1,B=5\) fm) على التوالي، مع ملاحظة أن كسر الموجة يقل للموجات الأعرض كما في (c). لرفع السعة، اعتبرنا \(A=2\) مع \(B=2\) fm فنجد فقداناً أسرع للتماسك كما في الشكل [fig2].

تُدرس آثار المجال المغناطيسي في الشكل [fig5]. اللوحة اليسرى عند \(T=200\) MeV، \(q=1.10\) و\(eB=4.4\,m_\pi^2\)؛ واليمنى عند ذات \(T\) و\(q\) لكن \(eB=11.5\,m_\pi^2\). نرى أنه مع تقوية المجال المغناطيسي تستعيد الموجات تماسكها، مما يعني بقاؤها خلال عمر البلازما، كما تنخفض إزاحة الذروة.

ميزة أخرى لتأثير المجال المغناطيسي تظهر في الشكل [fig6] عند \(T=200\) MeV و\(q=1.20\). تُظهر اللوحة أن الموجات تستقر عند \(eB=8.3\,m_\pi^2\)، في حين كانت مستقرة فقط عند \(eB=11.5\,m_\pi^2\) في الشكل [fig5].

الملخص، الاستنتاجات والآفاق

باختصار، درسنا انتشار الموجات غير الخطية داخل بلازما الكوارك-غلوون الساخنة تحت تأثير مجال مغناطيسي منتظم. استخدمنا معادلة الحالة المستوحاة من الإحصاء غير الموسع، مع تقريب مستوى لانداؤ الأدنى. وجدنا أن زيادة السعة أو انخفاض عرض الاضطراب الأولي يؤديان إلى مزيد من الانتشار المكاني للموجة، في حين أن زيادة معامل \(q\) تعزز التحديد المكاني. بالمقابل، تؤدي درجات الحرارة الأعلى إلى زيادة عدم التحديد. في نطاق طاقة مصادم الهادرونات الكبير، تتنافس هذه التأثيرات. كما لاحظنا أن تقوية المجال المغناطيسي تزيد من تحديد الموجات مكانياً، وهو سلوك مماثل لما لوحظ في اضطراب كثافة الباريون بالبلازما الباردة (FogacamagNLSCI).

للتطوير المستقبلي، يمكن تعميم هذا العمل على بلازما لزجة، أو اعتبار مجال مغناطيسي زمني التغير تحت حفظ التدفق، مما يؤدي إلى ضغوط غير متجانسة (GunnarJHEP). كما سيكون من المهم دراسة تأثير المستويات العليا للانداؤ والتطور متعدد الأبعاد للموجات. أخيراً، توفّر التعبيرات التحليلية للمتغيرات الحرارية في وسط غير موسع تحت مجال مغناطيسي موحد مدخلات قيّمة لدراسات أوسع في الغاز الكمومي غير الموسع.