latex
مُلَخَّص
تم حساب إشعاع الجسيمات المشحونة التي تمر عبر مجموعة من الحواف المستطيلة المتباعدة بانتظام على سطح بلورة مفردة. يبلغ سمك كل حافة نصف فترة مسار الجسيم عند القنوات الخطية في بلورة سميكة. الجسيم الموجب الشحنة الذي يدخل الحافة الأولى بزاوية سقوط أصغر من زاوية التوجيه الحرجة ينحصر ضمن القناة البلورية وتتغير مكونة سرعته العرضية إلى الاتجاه المعاكس. بين الحواف نصف الموجية يتحرك الجسيم في خط مستقيم، وعند المرور عبر سلسلة من هذه الألواح يتبع مساراً شبه دوري. تم حساب خصائص الإشعاع المنبعث أثناء عبور مثل هذا «الموجه متعدد البلورات». يمتاز طيف الإشعاع في كل اتجاه بتوافقيات منفصلة، ويعتمدان تردد التوافقي الأول وعدد التوافقيات في الطيف على المسافة بين الألواح، وعلى طاقة الجسيمات وعلى عمق وادي الجهد في البلورة. يقتصر الإشعاع على مخروط ضيق في اتجاه السرعة المتوسطة للجسيم، ومستقطب أساساً في مستوى عمودي على المستويات البلورية.
مُقَدِّمَة
استخدمت الجسيمات النسبية المحصورة في بلورة أحادية منذ فترة طويلة كمصدر للإشعاع الكهرومغناطيسي عالي الطاقة. من أهم عيوب هذا المصدر محدودية تعديل تردد الإشعاع. لمعالجة هذا القصور، طُرحت مخططات مختلفة تجمع بين مزايا إشعاع القنوات والإشعاع الموجه، من أشهرها البلورات المنحنية دورياً. إذ يمكن ثني المستويات البلورية بواسطة موجات فوق صوتية (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أو عن طريق قطع دقيقة دورية على لوحة بلورية واحدة تنحني بسبب الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). للحصول على إشعاع عالي الطاقة عُرضت موجهات البلورات بفترة أقصر بكثير من فترة قنوات الجسيمات وسعة انحناء أقل بكثير من المسافة بين المستويات البلورية (Kostyuk2013, Sushko2015341)، ثم تحققت تجريبياً (Wistisen2014, Uggerhoj2015).
في بعض الحالات، يرغب الباحثون في الحصول على إشعاع أكثر نعومة باستخدام شعاع من الجسيمات عالية الطاقة لتوليد شدة إشعاعية أكبر. لهذا الغرض يمكن استخدام بلورة منحنية دورياً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، مجموعة من الألواح البلورية الرقيقة التي تعكس المكون العرضي لسرعة الجسيم بحيث يبدو المسار متعرجاً. يتركز البحث في هذه الورقة على حساب الإشعاع في جهاز يُسمى موجه متعدد البلورات.
درست الأدبيات مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوح بلوري سمكه نصف فترة مسار الجسيم محفوراً رقمياً (Pivovarov_2014)، ووُصف مرور الإلكترونات تجريبياً عبر مثل هذا اللوح نصف الموجة (Takabayashi2015). أُجريت دراسات عددية على الإشعاع المنبعث من لوح نصف موجة مفرد، وأظهرت أن الخصائص الأساسية تشبه إشعاع قوس الدائرة (Bagrov1983, Polozkov2015212). يؤدي التراكب التوافقي المولد في سلسلة الألواح إلى طيف انبعاث مميز تُدرس نظرياً في هذه الورقة.
مسار الجسيم
نظراً لأن موجه متعدد البلورات يُنشىء على سطح بلورة واحدة، فإنه يتألف من مجموعة من الحواف المستطيلة المتباعدة بالتساوي، بحيث يبلغ سمك كل لوح نصف فترة مسار الجسيم. الطبقات البلورية الموجهة للجسيمات موجبة الشحنة عمودية على أسطح هذه الحواف. يكون ارتفاع الحواف أكبر بكثير من سمكها، لذا يمكن إهمال بقية البلورة. من هنا فصاعداً سنعتبر هذه الحواف على أنها مجموعة من الألواح البلورية الرقيقة. استُخدم تصميم مشابه في تجارب (Kaplin2000,Kaplin2001) لإنتاج إشعاع الانتقال العرضي المشتت والإشعاع البارامترية للأشعة السينية عند زاوية براج، لكن بسماكات حواف أكبر من نصف فترة التوجيه.
نختار نظام إحداثيات بحيث يكون محور \(x\) موازياً لمستويات البلورة، ومحور \(y\) عمودياً عليها، ومحور \(z\) موازٍ لاتجاه السرعة الأولية للجسيم. يكون سمك كل لوح \(d_1\)، والمسافة بين الألواح \(d_2\)، وبين الطبقات البلورية \(2a\). نعتمد تقريب التوافقي للجهد المتوسط بين الطبقات البلورية: \[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\] حيث \(U_0\) هو عمق وادٍ في الجهد. معادلات الحركة النسبية في المستوى \(z=0\) هي \[\frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2eU_0}{a^2}y.\] هنا \(p_x\) و \(p_y\) مكونتا الزخم، حيث \[p_i=\gamma m\dot x_i,\quad x_i=x,y,\quad \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2,\] و\(m\) و \(e\) هما كتلة وشحنة الجسيم، و\(\beta_i=\dot x_i/c\)، والنقطة تدل على مشتقة الزمن، و\(c\) سرعة الضوء.
نفترض أن الجسيم فائق النسبية (\(\gamma\gg1\)) وأن شروط تقريب الدوامة مستوفاة (Bordovitsyn-SR) \[ \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll\gamma^{-2}, \] حيث \(\delta\beta_x\) سعة تغير \(\beta_x\). عندها يمكن اعتبار \(\gamma\) ثابتة. يترتب حل المعادلات في هذا التقريب على \[ x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)+y_{0}\cos(\omega_{0}t), \] حيث \(v\) و \(v_{0y}\) سرعته الكلية ومكونها العرضي، و\(\omega_{0}\) تردد التذبذب \[\omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}.\]
شرط التوجيه هو أن سعة التذبذبات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) أقل من نصف المسافة بين الطبقات البلورية، أي \[
y_0^2
يُختار سمك كل لوح \(d_1=\pi v/\omega_0\) بحيث تنعكس الإحداثيات عند الخروج: \(y_1=-y_0\) ويصبح \(v_{y1}=-v_{y0}\). بين اللوحين يتحرك الجسيم على خط مستقيم. ولكي تُؤسر جميع الجسيمات المنعكسة بواسطة اللوح الأول في اللوح الثاني يجب أن تتحقق \[ d_2=2a n\frac{v}{v_{0y}}=\frac{2a n}{\alpha},\quad n=0,1,2,\dots \] وسنفترض مستوفى هذا الشرط. عندئذٍ تكون حركة الجسيم داخل اللوح الثاني \[ x=vt,\quad y=-\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin[\omega_{0}(t-t_2)]-y_{0}\cos[\omega_{0}(t-t_2)]-2an, \] حيث \(t_2=(d_1+d_2)/v\). إذا كانت \(\alpha=0\) فإن جميع الجسيمات ستؤسر بغض النظر عن \(d_2\).
تشكل اللوحان الأولان والفجوتان التاليان الفترة المكانية للموجه متعدد البلورات، وتساوي الفترة الزمنية للحركة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
الإشعاع
تعطى التوزيعات الطيفية والزوايا للطاقة المشعة من جسيم يتحرك شبه دورياً في مستوى ثابت بواسطة الصيغة (Bordovitsyn-SR)
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4}{c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2(\pi\nu N)}{\sin^2(\pi\nu)}\,(\rho_\sigma+\rho_\pi)\, \bigl|\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)\bigr|^2, \]
حيث \(N\) عدد دورات الموجه، و\(\rho_\sigma\) و\(\rho_\pi\) توزيعات الاستقطاب الخطي:
\[ \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos2\varphi)^2}{(1+\psi^2)^4},\quad \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi^2)^4}, \]
والمكون الفورييري للتسارع:
\[ \dot{\boldsymbol\beta}(\nu) =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\dot{\boldsymbol\beta}(t)\,e^{i\tilde{\omega}\nu t}\,dt, \quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2), \]
حيث \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هو التردد الأساسي لتذبذب الجسيم، و\(\psi=\gamma\theta\) مع \(\theta\) زاوية الانبعاث عن محور \(x\)، و\(\varphi\) زاوية السموت في المستوى \(yz\).
بعد حساب التسارع من المعادلات السابقة واستبداله نحصل على:
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2}{\pi^2c^3} I_1(\nu)\,I_2(\nu)\,(\rho_\sigma+\rho_\pi)\, \Bigl[\Bigl(\tfrac{y_0\nu\eta}{a}\Bigr)^2+\phi^2\Bigr], \]
حيث \(\phi=\alpha/\alpha_c\) ونسبة التردد \(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\). وتعطي الدوال الطيفية:
\[ I_1(\nu)=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\quad I_2(\nu)=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}. \]
عند \(N\gg1\) تظهر خطوط طيفية ضيقة بعرض \(\Delta\nu=N^{-1}\) قرب القيم الصحيحة لـ \(\nu\)، بينما \(I_1(\nu)\) تشكّل المغلف الطيفي.
لإيجاد الكثافة الطيفية الكاملة، نفترض \(N\) كبيراً فتقارب:
\[ \lim_{N\to\infty} \frac{\sin^2(\pi\nu N)}{N\sin^2(\pi\nu)} =\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu), \]
وبالدمج على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\,d\theta\,d\varphi\) نحصل على الطيف التكاملي:
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\,[1-(-1)^n]\,G_n\,\Theta(n-\xi), \]
حيث \(s_n=s_{n\sigma}+s_{n\pi}\) هو مجموع مكونات الاستقطاب الخطي، و\(ξ\) التردد المخفض، و\(G_n\) يحدد تأثير الإحداثية الابتدائية وزاوية السقوط:
\[ \xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta\omega_0},\quad G_n=\Bigl(\tfrac{y_0 n\eta}{a}\Bigr)^2+\phi^2, \]
و\(\Theta(n-\xi)\) دالة هيفيسايد.
يمثل الطيف الانبعاثي مجموعاً من التوافقيات المنفصلة كما في الشكل [spectrum]. شكل كل توافق يعتمد على \(s_{n\sigma}\) و \(s_{n\pi}\) ويتطابق مع بروفيل الموجه في تقريب الدوامة (Bordovitsyn-SR,Hofmann). يبين عامل الشكل \(G_n\) كيف تؤثر زاوية السقوط وإحداثية البداية \(y_0\) والمسافة بين اللوحات على توزيع الطاقة في التوافقيات.
حتى الآن درسنا جسيماً واحداً. للحصول على الطيف المنبعث من شعاع متوازي نجري متوسطاً على \(y_0\) في النطاق \(2y_m\) فتُستبدل \(G_n\) بـ:
\[ \overline G_n =\frac{1}{2a}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0 =\sqrt{1-\phi^2}\Bigl[\frac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr]. \]
ويُستخدم \(\overline G_n\) في المعادلة السابقة. يرسم طيف شعاع متوازي للمعايير \(\eta=0.5\) و \(\alpha=0\) في الشكل [spectrum]، وللمقارنة يظهر شكله كنسبة فوتونات \(dn\) لكل فاصل \(d\omega\) في الشكل [spectrum1]. يتكوّن الطيف أساساً من التوافقي الأول والثالث.
لحساب طاقة الإشعاع في كل توافق نكامل التعبير على \(ξ\) ضمن نطاق التوافق، مع استبدال \(G_n\to\overline G_n\) فينبثق:
\[ \begin{aligned} \mathcal{E}&=\sum_{n=1}^\infty(\mathcal{E}_{n\sigma}+\mathcal{E}_{n\pi}),\quad \mathcal{E}_{n\sigma}=\tfrac{7}{8}\mathcal{E}_n,\quad \mathcal{E}_{n\pi}=\tfrac{1}{8}\mathcal{E}_n,\\ \mathcal{E}_n&=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}\, S(n\eta), \end{aligned} \]
حيث:
\[ S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\,[1-(-1)^n]\,\overline G_n. \]
هذه دالة متقطعة عند القيم الصحيحة لـ \(n\). تظهر مغلفاتها لزوايا سقوط مختلفة φ في الشكل [bunch]. يعتمد تأثير φ على \(\overline G_n(\phi)\): إذا كانت φ=0 يأخذ العامل القيمة \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\)، ومع زيادة φ يزداد في الجزء المنخفض (\(n^2\eta^2<2\)) ويبلغ أقصاه عند:
\[ \overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}, \]
ثم ينخفض حتى يختفي عند φ=1، وفي الجزء العالي (\(n^2\eta^2\ge2\)) يهبط تدريجياً.
بجمع الطاقة عبر التوافقيات نحصل على الطاقة الكلية لكل جسيم:
\[ \mathcal{E} =\frac{2\pi e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3} \sqrt{1-\phi^2}\,\bigl(1+2\phi^2\bigr), \]
التي لا تعتمد على \(\eta\) وتتوزع بين الاستقطابين بنسبة 1:7. كدالة في زاوية السقوط تبلغ أقصاها عند φ=1/\sqrt{2}، أي عندما تكون زاوية السقوط نسبة 1/\sqrt{2} من الزاوية الحرجة للتوجيه.
المناقشة
إذا دعت الحاجة إلى مصدر إشعاع بتردد أقل من تردد التوجيه، فإن الطريقة المقترحة تقدم مزايا مقارنة بإشعاع القنوات الناتج عن جسيمات طاقة أقل. فلتقليل التردد بمقدار k يجب استخدام جسيمات طاقة أقل بنحو \(k^{2/3}\)، مما يزيد مخروط الإشعاع بنحو \(k^{2/3}\) ويقلل كثافة الطيف الزاوي (المتناسبة مع \(\gamma^4\)) بمقدار \(k^{8/3}\). أما في موجه متعدد البلورات فيمكن الحصول على نفس التخفيف للتردد بضبط المسافة بين الألواح لتصبح \(d_2=(k-1)d_1\)، في حين يبقى مخروط الإشعاع ثابتاً وتتنوع كثافة الطيف الزاوي وفق زاوية السقوط.
ثمة خاصية لافتة لكثافة الطيف الزاوي: عند زيادة المسافة بين الألواح يقل تردد كل توافق ويزداد عدد التوافقيات في الجزء الرئيسي (\(n\eta\lesssim3\)) بالنسبة نفسها. وبالاعتماد على المعادلة السابقة تنخفض طاقة كل توافق بعامل \(\eta\)، بينما لا يتغير شكل كثافة الطيف الزاوي () و() بالضرورة مع \(\eta\). يظهر هذا في الشكل [spectrum]: مع انخفاض \(\eta\) يتحرك ذروة كل توافق إلى اليسار من حيث \(\omega\)، فيقل المساحة تحت المنحنى، لكن كثافة الطيف نفسها تتغير ببطء وفقاً للشروط المجمعة في (). إذا كانت \(\phi>0.645\) تقريباً، يزداد كل من كثافة الطيف الزاوي وكثافة الطيف عند كل توافق مع انخفاض \(\eta\)، رغم ظهور توافقات إضافية.
اعتمدنا نموذجاً مثالياً لدراسة الخصائص العامة. في الواقع، الجهد المتوسط قرب مستوى البلورة ليس توافقيّاً تماماً، فتقل الفترة المكانية للجسيمات ذات السعة العالية وتخرج بزاوية مختلفة، أي قد يكون لوح نصف موجة لبعض الجسيمات وليس للآخرين، مما يسبب تشتتاً طفيفاً للشعاع المتوازي. تظهر النمذجة بجهد أكثر واقعية قمتين جانبيتين في التوزيع الزاوي بعد لوح نصف موجة (Pivovarov_2014). هذا، إضافة إلى محدودية عدد الفترات، وانتشار طاقة الجسيمات، وأخطاء التصنيع، يؤدي إلى توسعة خطوط الطيف وطمس الحدود بين التوافقيات في الشكل [spectrum]، لكنه لا يغير بشكل جوهري توزيع الطاقة عليها.
الشكر والتقدير
دعم هذا العمل منح من وزارة التعليم والعلوم للاتحاد الروسي ضمن المشروع رقم 3.867.2014/K