مُلَخَّص
تمّ حساب إشعاع الجُسيمات المشحونة التي تعبر صفّاً من الضلوع المستطيلة المتباعدة بانتظام على سطح بلورةٍ أُحادية. يُساوي سُمك كل ضِلع نصفَ فترة اهتزاز التوجيه البلّوري لجسيمٍ في بلورةٍ ثخينة. إذا دخل الجُسيم موجَب الشحنة الضلع الأول بزاويةِ سقوطٍ أصغر من زاويةِ التوجيه الحرِجة، انحصر داخل قناةٍ بلّورية وانعكس مركّب سرعته العرضي إلى الاتجاه المعاكس. وبين الضلوع (أي في الفجوات) يتحرّك الجُسيم في خطٍّ مستقيم، لذا فإن اجتياز سلسلةٍ من هذه الصفائح يُنتج مساراً شبهَ دوري. تمّ حساب خصائص الإشعاع المنبعث أثناء العبور عبر مثل هذا «المُوجِّه متعدِّد الصَّفائح البلّورية». يمتاز الطيف في كل اتجاه بتوافقيّاتٍ منفصلة؛ ويعتمد تردّدُ التوافقي الأول وعددُ التوافقيّات في الطيف على المسافة بين الصفائح، وعلى طاقة الجسيم، وعلى عمق وادي الكمون في البلورة. يَنْحَصِر الإشعاع في مخروطٍ ضيّقٍ حول اتجاه السرعة المتوسّطة للجسيم، وهو مُستقطَب أساساً في المستوى العمودي على المستويات البلّورية.
مُقَدِّمَة
استُخدِمت الجُسيمات النسبية المُوجَّهة داخل بلورةٍ أُحادية زمناً طويلاً كمصدرٍ لإشعاعٍ كهرومغناطيسي عالي الطاقة. ومن أهم عيوب هذا المصدر محدودية ضبط تردّد الإشعاع. لمعالجة ذلك، طُرحت مخططاتٌ تجمع بين مزايا إشعاع التوجيه البلّوري وإشعاع المُوجِّه، من أشهرها البلّورات المنحنية دورياً؛ إذ يمكن ثنيُ المستويات البلّورية بموجاتٍ فوق صوتية (Kaplin1980, Baryshevsky1980) أو بإجراء قُطوعٍ دورية دقيقة على لوحٍ بلّوري واحد ينحني بسبب الإجهادات الداخلية (Baryshevsky:2013jja, Bagli, Bellucci2003, Biryukov2004). وللحصول على إشعاعٍ عالي الطاقة عُرضت مُوجِّهاتٌ بلّورية بفترةٍ أقصر بكثير من فترة توجيه الجُسيمات وسعةِ انحناءٍ أصغر بكثير من المسافة بين المستويات البلّورية (Kostyuk2013, Sushko2015341)، وقد تحقّق ذلك تجريبياً (Wistisen2014, Uggerhoj2015).
في بعض الحالات يُراد الحصول على إشعاعٍ أنعَم مع حزمةٍ من الجُسيمات عالية الطاقة لرفع الشدّة الإشعاعية. ولأجل ذلك يمكن استخدام بلّورةٍ منحنيةٍ دورياً، أو كما اقترح في (Vorobiev1982_pat)، صفٌّ من الصفائح البلّورية الرقيقة يعكس المركّب العرضي لسرعة الجُسيم بحيث يبدو المسار مُتعرِّجاً. تتركّز هذه الورقة على حساب الإشعاع في جهازٍ نُسمّيه المُوجِّه متعدِّد الصَّفائح البلّورية.
دُرست مسارات الإلكترونات والبوزيترونات في لوحٍ بلّوري سُمكه نصفُ فترةِ اهتزاز التوجيه، مُحَفَّرٍ رقمياً (Pivovarov_2014)، ووُصف مرور الإلكترونات تجريبياً عبر مثل هذا «لوح نصف موجة» (Takabayashi2015). كما أُجريت دراساتٌ عددية على الإشعاع المنبعث من لوح نصف موجةٍ مُنفرد، وأظهرت أنّ الخصائص الأساسية تُشبه إشعاع قوس الدائرة (Bagrov1983, Polozkov2015212). إنّ التراكبَ التوافقي المتولِّد في سلسلة الصفائح يؤدّي إلى طيفِ انبعاثٍ مميّز نُحلّله نظرياً في هذه الورقة.
مسار الجُسيم
لأنّ المُوجِّه متعدِّد الصَّفائح يُنشأ على سطح بلّورةٍ واحدة، فهو يتألّف من مجموعةٍ من الضلوع المستطيلة المتباعدة بالتساوي، بحيث يُساوي سُمك كلِّ صفيحةٍ نصفَ فترةِ اهتزاز التوجيه. تُوجَّه الجُسيمات موجبةُ الشحنة بواسطة مستوياتٍ بلّورية عموديةٍ على أسطح هذه الضلوع. ارتفاع الضلوع أكبر بكثير من سُمكها، لذا يمكن إهمال بقية البلّورة. ومن الآن فصاعداً سننظر إلى هذه الضلوع على أنّها مجموعةٌ من الصفائح البلّورية الرقيقة. وقد استُخدم تصميمٌ مشابه في تجارب (Kaplin2000, Kaplin2001) لإنتاج إشعاع الانتقال المُشتَّت وإشعاع الأشعّة السينية البارامتري عند زاوية براج، غير أنّ سُمك الصفائح كان هناك أكبر من نصف فترة التوجيه.
نختار جهاز إحداثيات بحيث يكون المحور \(x\) موازياً لاتجاه السرعة الأوّلية للجُسيم وللمستويات البلّورية، والمحور \(y\) عمودياً على تلك المستويات، بينما يكون \(z\) عمودياً على مستوى الحركة (ونعتبر الحركة في المستوى \(z=0\)). ليكن سُمك كل صفيحة \(d_1\)، والمسافة الفاصلة بين الصفائح \(d_2\)، والمسافة بين المستويات البلّورية \(2a\). نعتمد تقريباً توافقيّاً للكمون المتوسّط بين المستويات البلّورية:
\[U(y)=\frac{U_0}{a^2}y^2,\]
حيث \(U_0\) عمقُ وادي الكمون. معادلات الحركة النسبية في المستوى \(z=0\) هي
\[\frac{d p_x}{d t}=0,\quad \frac{d p_y}{d t}=-\frac{2U_0}{a^2}\,y.\]
هنا \(p_x\) و\(p_y\) مركِّبتا الزخم، حيث
\[p_i=\gamma m\dot x_i,\quad x_i=x,y,\quad \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2},\quad \beta^2=\beta_x^2+\beta_y^2,\]
و\(m\) و\(e\) كتلةُ الجسيم وشحنتُه، و\(\beta_i=\dot x_i/c\)، وتشير النقطة إلى الاشتقاق الزمني، و\(c\) سرعةُ الضوء.
نفترض جسيماتٍ فائقةَ النسبية (\(\gamma\gg1\)) وأنّ شروط «تقريب المُوجِّه» (Bordovitsyn-SR) مستوفاة:
\[ \beta_y\ll\gamma^{-1},\quad \delta\beta_x\ll\gamma^{-2}, \]
حيث \(\delta\beta_x\) سعة تغيّر \(\beta_x\). عندئذٍ يمكن اعتبار \(\gamma\) ثابتة. ويكون الحلّ في هذا التقريب
\[ x(t)=vt,\quad y(t)=\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)+y_{0}\cos(\omega_{0}t), \]
حيث \(v\) السرعة الكلّية و\(v_{0y}\) مركِّبتها العرضيّة، و\(\omega_{0}\) تردّد الاهتزاز:
\[\omega_{0}^2=\frac{2U_0}{a^2m\gamma}.\]
شرطُ التوجيه أن تكون سعةُ الاهتزازات \(y_0^2+(v_{0y}/\omega_0)^2\) أصغر من نصف المسافة بين المستويات البلّورية، أي
\[
y_0^2
ويستلزم ذلك \(|v_{0y}|
\[ \alpha<\alpha_c=\sqrt{\frac{2U_0}{m\gamma c^2}}. \]
نختار سُمك كل صفيحة \(d_1=\pi v/\omega_0\) بحيث تنعكس الإحداثيات عند الخروج: \(y_1=-y_0\) و\(v_{y1}=-v_{y0}\). وبين الصفيحتين يتحرّك الجُسيم بخطٍّ مستقيم. ولكي تُؤسَر جميع الجُسيمات التي انعكست في الصفيحة الأولى داخل الصفيحة الثانية يجب أن يتحقق
\[ d_2=2a n\frac{v}{v_{0y}}=\frac{2a n}{\alpha},\quad n=0,1,2,\dots \]
وسنفترض تحقق هذا الشرط. عندئذٍ تكون حركة الجُسيم داخل الصفيحة الثانية
\[ x=vt,\quad y=-\frac{v_{0y}}{\omega_{0}}\sin[\omega_{0}(t-t_2)]-y_{0}\cos[\omega_{0}(t-t_2)]-2an, \]
حيث \(t_2=(d_1+d_2)/v\). وإذا كانت \(\alpha=0\) فإنّ جميع الجُسيمات ستُؤسَر بغضّ النظر عن \(d_2\).
يشكّل لوحان وفجوتاهما التالية الفترةَ المكانيّة للمُوجِّه متعدِّد الصفائح، وتساوي الفترةُ الزمنيّة للحركة \(T=2(d_1+d_2)/v\).
الإشعاع
تُعطى التوزيعاتُ الطيفيّة والزّاويّة للطاقة المشعّة من جُسيمٍ يتحرّك حركةً شبهَ دوريّة في مستوى ثابت بالصيغة (Bordovitsyn-SR):
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{4e^2\gamma^4}{c\tilde{\omega}^2} \frac{\sin^2(\pi\nu N)}{\sin^2(\pi\nu)}\,(\rho_\sigma+\rho_\pi)\, \bigl|\dot{\boldsymbol\beta}(\nu)\bigr|^2, \]
حيث \(N\) عددُ دورات المُوجِّه، و\(\rho_\sigma\) و\(\rho_\pi\) توزيعا الاستقطاب الخطي:
\[ \rho_\sigma=\frac{(1-\psi^2\cos2\varphi)^2}{(1+\psi^2)^4},\quad \rho_\pi=\frac{\psi^4\sin^2 2\varphi}{(1+\psi^2)^4}, \]
والمركّبة الفورييريّة للتسارع:
\[ \dot{\boldsymbol\beta}(\nu) =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\dot{\boldsymbol\beta}(t)\,e^{i\tilde{\omega}\nu t}\,dt, \quad \nu=\frac{\omega}{2\gamma^2\tilde{\omega}}(1+\psi^2), \]
حيث \(\tilde{\omega}=2\pi/T\) هو التردّد الأساسي لتذبذب الجُسيم، و\(\psi=\gamma\theta\) مع \(\theta\) زاويةُ الانبعاث عن محور \(x\)، و\(\varphi\) زاويةُ السموت في المستوى \(yz\).
بعد حساب التسارع من العلاقات السابقة واستبداله نحصل على:
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\Omega\,d\omega} =\frac{16e^2\gamma^4a^2\omega_0^2N^2}{\pi^2c^3} I_1(\nu)\,I_2(\nu)\,(\rho_\sigma+\rho_\pi)\, \Bigl[\Bigl(\tfrac{y_0\nu\eta}{a}\Bigr)^2+\phi^2\Bigr], \]
حيث \(\phi=\alpha/\alpha_c\)، ونسبة التردّد \(\eta=\tilde{\omega}/\omega_0<1\). والدوال الطيفيّة:
\[ I_1(\nu)=\frac{\cos^2(\pi\nu\eta/2)}{(1-\eta^2\nu^2)^2},\quad I_2(\nu)=\frac{\sin^2(\pi\nu N)}{4N^2\cos^2(\pi\nu/2)}. \]
عند \(N\gg1\) تظهر خطوطٌ طيفيّة ضيّقة بعرض \(\Delta\nu=N^{-1}\) قرب القيم الصحيحة لـ\(\nu\)، في حين يُشكّل \(I_1(\nu)\) الغلاف الطيفي.
لإيجاد الكثافة الطيفيّة الكليّة نفترض \(N\) كبيراً فنقارب:
\[ \lim_{N\to\infty} \frac{\sin^2(\pi\nu N)}{N\sin^2(\pi\nu)} =\sum_{n=1}^\infty\delta(n-\nu), \]
وبالدمج على الزاوية الصلبة \(d\Omega=\theta\,d\theta\,d\varphi\) نحصل على الطيف التكاملي:
\[ \frac{d\mathcal{E}}{d\omega} =\frac{4e^2a^2\omega_0^2\gamma^2\xi N}{\pi c^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{n^4(1-n^2\eta^2)^2}\,[1-(-1)^n]\,G_n\,\Theta(n-\xi), \]
حيث \(ξ\) التردّد المُخفّض، و\(G_n\) يُحدّد تأثير الإحداثي الابتدائي وزاوية السقوط:
\[ \xi=\frac{\omega}{2\gamma^2\eta\omega_0},\quad G_n=\Bigl(\tfrac{y_0 n\eta}{a}\Bigr)^2+\phi^2, \]
و\(\Theta(n-\xi)\) دالّة هيفيسايد.
يمثّل الطيف الانبعاثي مجموعاً من التوافقيّات المنفصلة كما في الشكل [spectrum]. ويعتمد شكل كلّ توافق على \(\rho_\sigma\) و\(\rho_\pi\) ويتطابق مع بروفيل المُوجِّه في «تقريب المُوجِّه» (Bordovitsyn-SR, Hofmann). ويُبيّن عاملُ الشكل \(G_n\) كيف تؤثّر زاويةُ السقوط والإحداثي الابتدائي \(y_0\) والمسافة بين الصفائح في توزيع الطاقة على التوافقيّات.
حتى الآن درسنا جسيماً واحداً. وللحصول على الطيف المنبعث من حُزمةٍ متوازية نُجري مُتوسّطاً على \(y_0\) في النطاق \(2y_m\) فتُستبدل \(G_n\) بـ:
\[ \overline G_n =\frac{1}{2a}\int_{-y_m}^{y_m}G_n\,dy_0 =\sqrt{1-\phi^2}\Bigl[\frac{n^2\eta^2}{3}(1-\phi^2)+\phi^2\Bigr]. \]
ويُستخدَم \(\overline G_n\) في المعادلة السابقة. يُرسم طيفُ حُزمةٍ متوازية للمعاملين \(\eta=0.5\) و\(\alpha=0\) في الشكل [spectrum]، وللمقارنة يظهر شكله كنسبة فوتونات \(dn\) لكل فاصل \(d\omega\) في الشكل [spectrum1]. يتكوّن الطيف أساساً من التوافقيّين الأوّل والثالث.
لحساب طاقة الإشعاع في كلّ توافق نُكامل التعبير على \(ξ\) ضمن نطاق التوافق، مع الاستبدال \(G_n\to\overline G_n\)، فنحصل على:
\[ \begin{aligned} \mathcal{E}&=\sum_{n=1}^\infty(\mathcal{E}_{n\sigma}+\mathcal{E}_{n\pi}),\quad \mathcal{E}_{n\sigma}=\tfrac{7}{8}\mathcal{E}_n,\quad \mathcal{E}_{n\pi}=\tfrac{1}{8}\mathcal{E}_n,\\ \mathcal{E}_n&=\frac{16e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N\eta}{3\pi c^3}\, S(n\eta), \end{aligned} \]
حيث
\[ S(n\eta)=\frac{\cos^2(\pi n\eta/2)}{(1-n^2\eta^2)^2}\,[1-(-1)^n]\,\overline G_n. \]
هذه دالّة متقطِّعة عند القيم الصحيحة لـ\(n\). وتظهر مَغالِفُها لزوايا سقوط مختلفة \(\phi\) في الشكل [bunch]. يعتمد تأثير \(\phi\) على \(\overline G_n(\phi)\): فإذا كانت \(\phi=0\) كان العامل \(\overline G_n(0)=n^2\eta^2/3\)، ومع زيادة \(\phi\) يزداد في الجزء المنخفض (\(n^2\eta^2<2\)) ويبلغ أقصاه عند
\[ \overline G_n(\phi_m)=\frac{2}{3\sqrt{3-n^2\eta^2}},\quad \phi_m=\sqrt{\frac{2-n^2\eta^2}{3-n^2\eta^2}}, \]
ثمّ ينخفض حتى يختفي عند \(\phi=1\)، وفي الجزء العالي (\(n^2\eta^2\ge2\)) يهبط تدريجياً.
بجمع الطاقة عبر التوافقيّات نحصل على الطاقة الكليّة لكلّ جسيم:
\[ \mathcal{E} =\frac{2\pi e^2a^2\omega_0^3\gamma^4N}{9c^3} \sqrt{1-\phi^2}\,\bigl(1+2\phi^2\bigr), \]
التي لا تعتمد على \(\eta\)، وتتوزّع بين الاستقطابين بنسبة \(1:7\). كدالّةٍ في زاوية السقوط تبلغ أقصاها عند \(\phi=1/\sqrt{2}\)، أي عندما تكون زاويةُ السقوط \(1/\sqrt{2}\) من الزاوية الحَرِجة للتوجيه.
المناقشة
إذا دعت الحاجة إلى مصدر إشعاعٍ بتردّدٍ أقلّ من تردّد التوجيه، فإنّ الطريقة المقترحة تُقدّم مزايا مقارنةً بإشعاع التوجيه الناجم عن جُسيماتٍ أقلّ طاقة. فلتخفيض التردّد بمعامل \(k\) ينبغي استخدام جُسيماتٍ بطاقةٍ أقلّ بنحو \(k^{2/3}\)، مما يزيد مخروط الإشعاع بنحو \(k^{2/3}\) ويُقلّل كثافة الطيف الزاوي (المتناسبة مع \(\gamma^4\)) بمقدار \(k^{8/3}\). أمّا في المُوجِّه متعدِّد الصفائح فيمكن الحصول على التخفيف نفسه للتردّد بضبط المسافة بين الصفائح على \(d_2=(k-1)d_1\)، فيما يبقى مخروط الإشعاع ثابتاً، وتتغيّر كثافة الطيف الزاوي بحسب زاوية السقوط.
ثمة خاصيّة لافتة لكثافة الطيف الزاوي: عند زيادة المسافة بين الصفائح ينخفض تردّد كلّ توافق ويزداد عددُ التوافقيّات في الجزء الرئيسي (\(n\eta\lesssim3\)) بالنسبة نفسها. وبالاعتماد على المعادلات السابقة تنخفض طاقة كلّ توافق بعامل \(\eta\)، بينما لا يتغيّر شكل كثافة الطيف الزاوي \((\rho_\sigma)\) و\((\rho_\pi)\) بالضرورة مع \(\eta\). يظهر ذلك في الشكل [spectrum]: إذ مع انخفاض \(\eta\) تنتقل ذروة كلّ توافق إلى يسار محور \(\omega\)، فتقلّ المساحة تحت المنحنى، لكن كثافة الطيف نفسها قد تتغيّر ببطء وفق شروط الاستقطاب. وإذا كانت \(\phi\gtrsim0.645\) تقريباً، يزداد كلٌّ من كثافة الطيف الزاوي والكثافة الطيفية عند كلّ توافق مع انخفاض \(\eta\)، رغم ظهور توافقيّات إضافية.
اعتمدنا نموذجاً مثالياً لاستجلاء الخصائص العامة. في الواقع ليس الكمون المتوسّط قرب المستوى البلّوري توافقيّاً تماماً؛ فتقصر الفترة المكانيّة للجُسيمات ذات السعة العالية وقد تخرج بزاويةٍ مختلفة، أي قد يكون لوحٌ ما نصفَ موجة لبعض الجُسيمات لا لغيرها، مما يسبّب تشتّتاً طفيفاً للحزمة المتوازية. وتُظهر النمذجة بكمونٍ أكثر واقعية قمّتَيْن جانبيّتَيْن في التوزيع الزاوي بعد لوح نصف موجة (Pivovarov_2014). هذا، إضافةً إلى محدودية عدد الفترات، وانتشار طاقة الجُسيمات، وأخطاء التصنيع، يؤدّي إلى توسيع خطوط الطيف وتمويه الحدود بين التوافقيّات في الشكل [spectrum]، لكنه لا يغيّر على نحوٍ جوهري توزيع الطاقة عليها.
الشُكر والتقدير
دُعم هذا العمل بمنحٍ من وزارة التعليم والعلوم في الاتّحاد الروسي ضمن المشروع رقم 3.867.2014/K.