ملخّص

تزداد الكثافة شعاعياً في الكواكب مع العمق بسبب انضغاطيّة المادة، ما يؤدي إلى تغيّرات مهمة في ديناميكا الحَمْل الحراري. ولأخذ هذه التأثيرات في الحسبان، بما في ذلك تشكّل مسار أدياباتي تقريبي لدرجة الحرارة ومصادر الإنتروبيا الناجمة عن التبديد، نُعبّر عن أثر الانضغاط عبر عدد التبديد \(\Di\)، الذي يتناسب مع نصف قطر الكوكب وجاذبيّته. في وشاح الأرض تكون تأثيرات الانضغاط معتدلة، أمّا في الكواكب الصخرية الكبيرة أو الكواكب الفائقة السائلة فقد يصبح عدد التبديد كبيراً جدّاً. يستكشف هذا البحث خصائص الحَمْل الحراري المُنضغِط عندما يكون عدد التبديد مهمّاً. نبدأ بتحديد معادلة حالة مورناهان البسيطة التي تُجسّد الخصائص الأساسية للمادة المكثفة في الظروف الكوكبية. بعد ذلك نحلّل خصائص المسار الأدياباتي ونُظهر أنّ النسبة بين درجتَي الحرارة الأدياباتيتين العليا والدنيا صغيرة نسبيّاً وقد تقلّ عن 2. ثم نفحص استقرار الأغلفة الحرارية المُنضغَطة، فنكشف أنّها قد تخضع للحَمْل سواء كان عدد رايلي المُعرّف على الانحدار الفوق-أدياباتي موجباً أو حتى سالباً. أخيراً نلج إلى محاكاة الحَمْل الحراري باستخدام المعادلات الميكانيكية الكاملة مع إهمال العطالة (حالة عدد برانتل اللامتناهي)، ونبحث في تبعات ذلك على ديناميكا الكواكب الفائقة.

الظروف الأدياباتيّة داخل كوكب مُنضغِط

من المعروف أنّ الحَمْل في سائل مُنضغِط عند عدد رايلي عالٍ يجعل الملامح الشعاعية المتوسطة للكثافة ودرجة الحرارة والضغط تقترب من قيمها الأدياباتيّة والهيدروستاتيّة (\(\rho_a\)، \(T_a\)، \(P_a\)) وفقاً للمعادلات:

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \ln{\rho_a}}{\mathrm{d} z} +\frac{\alpha_a g}{ \Gamma_a C^a_{P}} =0, \\ \frac{\mathrm{d} \ln{ T_a}}{\mathrm{d} z} +\frac{\alpha_a g}{ C^a_{P}} =0, \\ \frac{\mathrm{d} P_a}{\mathrm{d} z} +\rho_a g =0. \end{aligned} \]

حيث \(z\) هي الإحداثيّة العمودية الموجّهة عكس الجاذبية (\(\vec{g}=-g\,\vec{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) هو معامل التمدد الحراري، و\(C_P\) السعة الحرارية عند ضغط ثابت، و\(\Gamma\) معامل غرونيزن. يشير الحرف a إلى أنّ هذه الكميات محسوبة على المسار الأدياباتي.

معادلة الحالة المناسبة لمادة مكثفة في كوكب تعتمد على الملاحظة بأنّ معامل غرونيزن دالّة أساساً في الكثافة anderson79، وفق العلاقة:

\(\Gamma(\rho)=\Gamma_0\left(\rho/\rho_0\right)^q\),

حيث \(q\approx1\)، و\(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) هما الكثافة ومعامل غرونيزن عند الظروف المرجعية التي نأخذها عند سطح الكوكب. تتراوح قيم \(\Gamma\) عادةً بين 1 و2 في الوشاح stacey04 أو في النواة alfe. وفيما يلي نفترض \(q=1\).

عند درجة الحرارة المرجعية \(T_0\)، تُعطى العلاقة بين الضغط والكثافة بواسطة تعبير مورناهان murnaghan51 مع \(n\approx 3\text{–}4\) للسيليكات أو المعادن المكثفة. هنا \(\alpha_0\) و\(K_T^0\) هما معامل التمدد الحراري ومعامل الانضغاطيّة متساوي الحرارة في الظروف المرجعية. على الرغم من بساطته التجريبية، يوفّر هذا التعبير توصيفاً واقعيّاً للكثافة الشعاعية للأرض بافتراض الأدياباتيّة بعيداً عن منطقة الانتقال Ricard22.

تستلزم هذه المعادلة وجود علاقات مباشرة بين معاملي التمدد الحراري والانضغاطيّة وبين كثافة المادة، ما يوفّر بدوره تعابير واقعية للخصائص المقاسة مخبرياً. ونظراً لاعتماد \(\Gamma\) على الكثافة فقط، نحصل على علاقة بسيطة بين درجتَي الحرارة والكثافة الأدياباتيتين عبر دمج المعادلتين أعلاه، حيث يعبّر \(T_a^t\) و\(\rho_a^t\) عن القيم الأدياباتيّة عند السطح (\(t\) للدلالة على الأعلى).

للتبسيط التحليلي (ولا يُستخدمان في الحسابات العددية النهائية):

نفترض أنّ السعة الحرارية عند الحجم الثابت \(C_V\) والسعة الحرارية عند الضغط الثابت \(C_P\) متساويتان وثابتتان، لأنّ \(\alpha T \ll 1\) في المواد المكثفة، وكلاهما قريب من قيمة دي لونغ–بيتي \(3\mathcal{R}\).
نفترض \(\alpha\,(T_a^t-T_0)\ll1\)، بحيث يمكن اعتبار الكثافة الأدياباتيّة السطحية مساويةً للمرجعية \(\rho_a^t\approx\rho_0\) (أي إنّ اعتماد الكثافة على الضغط يفوق اعتمادها على الحرارة).

أخيراً، لطبقة حَمْل حراري بارتفاع \(H\) (مثلاً الوشاح بين النواة والسطح)، نأخذ \(g\) ثابتة تقريباً كما في وشاح الأرض. وعليه، حيث تتراوح \(z\) بين \(0\) و\(H\)، نجد:

\[ \begin{aligned} \rho_a &= \rho_0 \left(1+\frac{H-z}{h}\right)^{1/(n-1)}, \\ P_a &= \frac{n-1}{n}\,\rho_0\, g\, h \left[\left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)^{n}-1\right], \\ T_a &= T^t_a \exp\left[\Gamma_0\left(1-\frac{\rho_0}{\rho_a}\right)\right]. \end{aligned} \]

حيث \(h\) طولٌ مُمَيِّز للانضغاطيّة يُعطى تقريباً بـ\(h \approx K_T^0/(\rho_0 g)\). كما نُعرّف عدد التبديد انطلاقاً من معطيات سطحية فقط على النحو \(\displaystyle \Di = \frac{\alpha_0\, g\, H}{C_V}\)، وهو التعريف الأنسب عند دراسة كوكب جديد. على الأرض تبلغ قيمة \(\Di_\oplus \approx 0.71\) في الوشاح و\(0.56\) في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2900\) km، \(C_V=1200\) J K⁻¹ kg⁻¹ للوشاح، و\(\alpha_0=1.8\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2300\) km، \(C_V=715\) J K⁻¹ kg⁻¹ للنواة السائلة، مع \(g=9.8\) m s⁻²).

في المراجع الجيوفيزيائية schubert، يُصاغ \(\Di\) أيضاً باستخدام \(C_P\) دون اختلاف عملي كبير، إذ يُتجاهل عادةً الفارق بين \(C_P\) و\(C_V\). ونحن نفضّل تعريف عدد التبديد باستخدام \(C_V\) اتساقاً مع تعريف معامل غرونيزن. إنّ افتراض ثبات إحدى السعتين الحراريتين لا يؤثّر في الخواصّ العامة ما لم يُهمَل مبدأ حفظ الطاقة albou13.

يمكن الإفادة من هذه النتائج في مناقشة الملامح الأدياباتيّة للكواكب الكبيرة. تُشير الملاحظات إلى أنّ كثيراً من الكواكب الخارجية تبدو صخرية على الأقل حتى نصف قطر \(\sim 2.5\,R_\oplus\) otegi20. وتزداد كتلتها تقريباً كقوة \(3.45\) من نصف قطرها (\(M\propto R^{3.45}\))، بسبب ارتفاع الضغط الداخلي. سنستخدم هذه الملاحظة لتوسيع تحليلنا.

الجاذبية في معادلاتنا

في التحجيم النموذجي، تتناسب الجاذبية مع \(g\propto M/R^2\approx R^{1.5}\)، ونفترض أنّ سُمك طبقات الحَمْل الحراري يتناسب تقريباً مع \(R\). بناءً على ذلك، يتغيّر عدد التبديد \(\Di\) مثل \(gH\propto R^{2.5}\). ومن ثمّ، وِفقاً لـotegi20، يمكن أن تبلغ أعداد التبديد في الكواكب الصخرية الشائعة نحواً من عشرة أضعاف عدد تبديد الأرض. سنستكشف قيماً لـ\(\Di\) حتى \(10\)، ونَعرض النتائج أحياناً بدلالة أنصاف الأقطار \(R/R_\oplus\) عبر العلاقة \(\Di=\Di_\oplus\,(R/R_\oplus)^{2.5}\).