latex

ملخص

تزداد الكثافة الشعاعية للكواكب مع العمق بسبب قابلية المادة للضغط، مما يؤدي إلى تغيّرات مهمة في ديناميكيات الحمل الحراري. لأخذ هذه التأثيرات في الاعتبار، بما في ذلك تكوين ملف تعريف درجة حرارة شبه أديباتي ومصادر الإنتروبيا الناتجة عن التبديد، نُعبّر عن قابلية الضغط برقم الاستهلاك \(\Di\)، الذي يتناسب مع نصف قطر الكوكب وجاذبيته. في وشاح الأرض، تكون تأثيرات الضغط معتدلة، لكن في الكواكب الصخرية الكبيرة أو الكواكب الفائقة السائلة، قد يصبح رقم الاستهلاك كبيراً جداً. يستكشف هذا البحث خصائص الحمل الحراري المضغوط عندما يكون رقم الاستهلاك مهماً. نبدأ بتحديد معادلة حالة مورناهان البسيطة التي تجسّد الخصائص الأساسية للمادة المكثفة في ظروف كوكبية. بعد ذلك، نحلل خصائص الملف الأديباتي ونظهر أن النسبة بين درجات الحرارة الأديباتية العليا والدنيا صغيرة نسبياً، وربما أقل من 2. ثم نفحص استقرار الأغلفة الحرارية المضغوطة، ونكشف أنها يمكن أن تخضع للحمل الحراري سواء بأرقام رايلي فوق الأديباتية إيجابية أو حتى سلبية. أخيراً، نغوص في محاكاة الحمل الحراري باستخدام المعادلات الميكانيكية الكاملة مع إهمال القصور الذاتي (حالة رقم برانتل اللانهائي)، ونبحث في تبعات ذلك لديناميكيات الكواكب الفائقة.

الظروف اللاحرارية داخل كوكب مضغوط

من المعروف أن الحمل في سائل مضغوط عند رقم رايلي عالٍ يجعل الملامح الشعاعية المتوسطة للكثافة ودرجة الحرارة والضغط تقترب من قيمها الأديباتية والهيدروستاتيكية (\(\rho_a\), \(T_a\), \(P_a\)) وفقًا للمعادلات التالية:

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \ln{\rho_a}}{\mathrm{d} z} +\frac{\alpha_a g}{ \Gamma_a C^a_{P}} =0, \\ \frac{\mathrm{d} \ln{ T_a}}{\mathrm{d} z} +\frac{\alpha_a g}{ C^a_{P}} =0, \\ \frac{\mathrm{d} P_a}{\mathrm{d} z} +\rho_a g =0. \end{aligned} \]

حيث \(z\) هي الإحداثية العمودية المعيارية (متجهة عكس الجاذبية \(\vec{g}=-g\vec{e}_z\)). في هذه المعادلات، \(\alpha\) هو معامل التمدد الحراري، \(C_P\) السعة الحرارية عند ضغط ثابت، و\(\Gamma\) معامل غرونيزن. الحرف 'a' يشير إلى أن هذه الكميات محسوبة على المسار الأديباتي.

معادلة الحالة المعقولة (EoS) لمادة مكثفة في كوكب تعتمد على الملاحظة أن معامل غرونيزن هو أساساً دالة للكثافة (anderson79)، وفقًا للعلاقة:

\(\Gamma(\rho)=\Gamma_0(\rho/\rho_0)^q\),

حيث \(q\approx1\)، و\(\rho_0\) و\(\Gamma_0\) هما الكثافة ومعامل غرونيزن عند الظروف المرجعية التي نختارها عند سطح الكوكب. في المتوسط تتراوح قيم \(\Gamma\) بين 1 و2 في الوشاح (stacey04) أو في النواة (alfe). فيما يلي نفترض \(q=1\).

عند درجة الحرارة المرجعية \(T_0\)، تُعطى العلاقة بين الضغط والكثافة بواسطة تعبير مورناهان (murnaghan51) مع \(n\approx3-4\) للسيليكات أو المعادن المكثفة. هنا \(\alpha_0\) و\(K_T^0\) هما معامل التمدد الحراري وثابت الانضغاطية في الظروف المرجعية. رغم بساطتها التجريبية، تعطينا هذه المعادلة توصيفاً واقعياً لكثافة الأرض الشعاعية بافتراض أديباتيته بعيداً عن منطقة الانتقال (Ricard22).

تعني هذه معادلة الحالة وجود علاقات مباشرة بين معلمي التمدد الحراري والانضغاطية وكثافة المادة، مما يوفّر، مرة أخرى، تعابير واقعية للخصائص المقاسة في المختبر. نظراً لاعتماد \(\Gamma\) على الكثافة فقط، نحصل على علاقة بسيطة بين درجتي الحرارة والكثافة الأديباتيتين من خلال دمج المعادلتين أعلاه، حيث يعبر \(T_a^t\) و\(\rho_a^t\) عن القيمة الأديباتية على السطح (\(t\) للدلالة على الأعلى).

للتبسيط التحليلي (لا يُستخدمان في الحسابات العددية النهائية):

نفترض أن السعات الحرارية عند الحجم الضائع ودرجة الحرارة الثابتة \(C_V\) و\(C_P\) متساويتان وثابتتان لأنه \(\alpha T \ll1\) في المواد المكثفة، وكلاهما قريب من قيمة دولونج–بيتي \(3\mathcal{R}\).
نفترض \(\alpha(T_a^t-T_0)\ll1\)، فيمكن اعتبار الكثافة الأديباتية السطحية مساوية للمرجعية \(\rho_a^t\approx\rho_0\) (أي أن الكثافة تعتمد على الضغط أكثر من درجة الحرارة).

وأخيراً، لمنح طبقة حمل حراري بارتفاع \(H\) (مثلاً الوشاح بين قلب الكوكب وحدوده)، نأخذ \(g\) ثابتة تقريباً كما في وشاح الأرض. عندئذ، حيث تتراوح \(z\) بين 0 و \(H\)، نجد:

\[ \begin{aligned} \rho_a &=\rho_0 \left(1+\frac{H-z}{h}\right)^{1/(n-1)}, \\ P_a &=\frac{n-1}{n}\,\rho_0 g h \left[\left(\frac{\rho_a}{\rho_0}\right)^{n}-1\right], \\ T_a &=T^t_a \exp\left[\Gamma_0\left(1-\frac{\rho_0}{\rho_a}\right)\right], \end{aligned} \]

حيث قدمنا في المعادلة الأخيرة رقم الاستهلاك \(\Di\) المعرف انطلاقاً من المعطيات السطحية فقط، وهو التعريف الأمثل عند دراسة كوكب جديد. على الأرض، يبلغ \(\Di_\Earth\approx0.71\) في الوشاح و0.56 في النواة السائلة (باستخدام \(\alpha_0=3\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2900\) km، \(C_V=1200\) J K⁻¹ kg⁻¹ للشاح، و\(\alpha_0=1.8\times10^{-5}\) K⁻¹، \(H=2300\) km، \(C_V=715\) J K⁻¹ kg⁻¹ للنواة السائلة، مع \(g=9.8\) m s⁻²).

في المراجع الجيوفيزيائية (schubert)، يُعرف \(\Di\) أيضاً بعدد \(C_P\) دون اختلاف عملي كبير، إذ يُتجاهل في العادة الفارق بينهما. نفضل تعريف الاستهلاك باستخدام \(C_V\) مطابقاً لتعريف غرونيزن. ملاحظة الثبات المفترض لإحدى السعتين الحراريتين لا تؤثر على الخصائص العامة إلا إذا أهملنا حفظ الطاقة (albou13).

يمكن الاستفادة من هذه النتائج لمناقشة الملامح الأديباتية للكواكب الكبيرة. تشير الملاحظات إلى أن كثيراً من الكواكب الخارجية تبدو صخرية على الأقل حتى نصف قطر ∼2.5 R⊕ (otegi20). تزيد كتلتها تقريباً كقوة 3.45 من نصف قطرها (\(M\propto R^{3.45}\))، بسبب ارتفاع الضغط الداخلي. سنستخدم هذه الملاحظة لتوسيع تحليلنا.

الجاذبية في معادلاتنا

في التحجيم النموذجي، تتناسب الجاذبية مع \(g\propto M/R^2\approx R^{1.5}\)، ونفترض أن سمك طبقات الحمل الحراري يتناسب تقريباً مع \(R\). بناءً على ذلك، يتغير رقم الاستهلاك \(\Di\) مثل \(gH\propto R^{2.5}\). لذلك، وفقاً لـ(otegi20)، يمكن أن تصل أرقام الاستهلاك في الكواكب الصخرية الشائعة إلى حوالي عشرة أضعاف رقم استهلاك الأرض. سنستكشف أرقام \(\Di\) تصل حتى 10، ونعرض النتائج أحياناً كدالةٍ لأنصاف الأقطار \(R/R_\Earth\) عبر العلاقة \(\Di=\Di_\Earth(R/R_\Earth)^{2.5}\).