latex
مُشْكِلَةِ \(3x+1\) الشَهِيرَةِ لِ L. Collatz لا تَحْتاج إِلَى مُقَدِّمَةِ؛ وَمَعَ ذٰلِكَ، يَتَناوَل هٰذا البَحْثِ مُشْكِلَةِ سابِقَةٍ أَقَلَّ شُهْرَةً وَلَم تُحِلّ بُعْدَ: التَخْمَيْنِ الأَصْلِيُّ لكولاتز، أَو OCC (Lag85).
نُوَضِّح أَنَّ المَشْغَل الحِسابِيّ الأَساسِيُّ مِن OCC، عِنْدَ دَمْجه مَعَ تُقاطِع J.-Y. Girard مِن نِظامِهِ لِلهَنْدَسَةِ التَفاعُلِيَّة (GOI1, GOI2)، يُؤَدِّي إِلَى تَحْقِيقِ مَجْمُوعَةِ R. Thompson \(\mathcal F\) كَوَظائِف تُطابِقِيهِ، بِمَعْنَى J. Conway (JC72).
نُقَدِّم أَيْضاً النَظَرِيَّةِ الفِئَوِيَّةِ الكامِنَةِ الَّتِي تُفَسِّر ذٰلِكَ، وَنِصْفِ المَشْغَل الأَساسِيُّ مِن OCC كَتَطابُق تَماسُكِي قِياسِيٌّ.
نَبْدَأ بِفَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّةِ، كَما وَصَفَت فِي (Lag85).
نَرْمُز لِلمَجْمُوعَةِ المُتَماثِلَة عَلَى \(\mathbb N\) ب \(\SN\)، وَنَعْرِف تَبايُنٍ كولاتز الأَصْلِيُّ \(\rho\in \SN\) ب \(\rho (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{2n}{3} & & n\ (mod\ 3) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n-1}{3} & & n \ (mod \ 3) = 1, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n+1}{3} & & n \ (mod \ 3) = 2. \end{array}\right.\)
النِقاطِ الثابِتَةِ الوَحِيدَةُ لِ \(\rho\) هِيَ \(\{ 0,1\}\subseteq \mathbb N\)، وَمَدارات جَمِيعِ \(\{ 0,\ldots , 9 \} \setminus \{ 8\}\) مَحْدُودَةٍ.
الجَبْر الأُولَى يُعْطِي \(\{0,1\}\) كَحُلُول فَرِيدَةٍ لِ \(\rho(n)=n\). بِالحِساب المُباشِرِ، \(2\rightarrow 3 \rightarrow 2\) وَ \(4\rightarrow 5\rightarrow 7\rightarrow 9\rightarrow 6\rightarrow 4\) هِيَ مَداراتِ مَحْدُودَةٍ.
كَما وَصَفَ فِي (Lag85)، ظُهْرِ التَبايُنِ أَعْلاه فِي دَفاتِر غَيْرِ مَنْشُورَةٍ لكولاتز، بِتارِيخِ \(1^{st}\) مايُو، 1932، كَجَوْهَر الفَرْضِيَّة التالِيَةِ (غَيْرِ المَحْلُولَة حالِيّاً):
مَدارِ العَدَدَ \(8\) تَحْتَ \(\rho\) لا نِهائِيِّ.
نَجْمَع بَيِّنَ المَشْغَل الأَساسِيُّ لَفَرْضِيَّة كولاتز الأَصْلِيَّةِ مَعَ نَمُوذَجَ التَقاطُعِ المَنْطِقِيِّ الَّذِي أَسْتَخْدِمه جان-إِيف جيرارد (GOI1, GOI2). كَما أُشِير فِي (PHD, HA, AHS)، كانَ نِظامِ جيرارد يَعْتَمِد عَلَى الزُمْرَة الجُزْئِيَّةِ \(\mathcal I(\mathbb N)\) لَلَحِقْنَ الجُزْئِيَّةِ عَلَى \(\mathbb N\)؛ نَحْنُ نَقْتَصِر عَلَى الزُمْرَة الفَرْعِيَّةِ \(\SN\subseteq \mathcal I(\mathbb N)\).
تُقاطِع جيرارد هُوَ الدالَّةِ \(\_\star \_ : \SN\times \SN\rightarrow \SN\) مُعْطاة ب \((a\star b)(n) = \left\{ \begin{array}{lcr}
\vspace{0.3em}
2.a\left( \frac{n}{2}\right) & \ \ & n \ \mbox{even,} \\
2.b\left( \frac{n-1}{2}\right)+1 & \ \ & n \ \mbox{odd.} \\
\end{array} \right.\)
مِن المَعْرُوفُ (مَثَلاً PHD, HA, AHS) أَنَّ هٰذِهِ دالَّةٍ تُشابِه حقنيه.
يَنْظُر مَفْهُومِ OCC إِلَى مَداراتِ الأَعْدادُ الطَبِيعِيَّةِ تَحْتَ التَبايُنِ \(\rho\). نَقُوم بترافق \(\rho\) بِوَظِيفَة الخَلْفِ / عَكَسَها (المعرف جُزْئِيّاً) لِلتَخَلُّصِ مِن التَفاهَة \(\rho(0)=0\)، وَلٰكِن لِلحِفاظِ عَلَى سُلُوكِ جَمِيعِ المَدارات الأُخْرَى:
[rcb-def] نَعْرِف التَبايُنِ المُخَفَّض لكولاتز \(\lambda\in \SN\) بِأَنَّ \(\lambda(n)=\rho(n+1)-1\). هٰذا تَبايُنٍ مُحَدَّدٍ جَيِّداً عَلَى \(\mathbb N\)، نَظَراً لِأَنَّ \(\rho(0)=0\). تَوْسِيعِ التَعْرِيفِ يُعْطِي صِيغَةِ صَرِيحَةٌ: \[\lambda (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{4n}{3} & & n\ (\text{mod}\ 3) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{4n+2}{3} & & n \ (\text{mod} \ 3) = 1, \\ \vspace{0.3em} \frac{2n-1}{3} & & n \ (\text{mod} \ 3) = 2. \end{array}\right.\] بِناءَ عَلَى التَصْمِيمِ، \( \lambda^K(n)=\rho^K(n+1)-1\)، لُذّاً فَإِنَّ الأَسْئِلَةِ حَوْلَ المَدارات غَيْرِ التافِهَة لِ \(\rho\) وَتِلْكَ الخاصَّةِ ب \(\lambda\) قابِلَةٍ لِلتَبادُلِ؛ يُصْبِح مَفْهُومِ OCC بُعْدَ ذٰلِكَ الفَرْضِيَّة الَّتِي تَقُول بِأَنَّ مَدارِ العَدَدَ 7 تَحْتَ \(\lambda\) لِإِنْهائِي.
[noCoincidence-lem] \(\lambda\neq\rho\)، وَ\(\lambda(n)=\rho(n) \ \Leftrightarrow \ n=0\)، لِجَمِيعِ \(n\in \mathbb N\).
بِشَكْلٍ تافِه، \(\lambda\neq\rho\). كِتابَةِ الحالاتِ الثَلاثِ بِشَكْلٍ مُنْفَصِل تُعْطِي \[\lambda(n)\ = \ \left\{ \begin{array}{lcr} 4n/3 & \ \ \ \ n=3M \ \ \ \ & 2n/3 \\ % & & \\ (4n+2)/3 & \ \ \ \ n=3M+1 \ \ \ \ & (4n-1)/3\\ % & & \\ (2n-1)/3 & \ \ \ \ n=3M+2 \ \ \ \ & (4n+1)/3 \\ \end{array}\right\} \ = \ \rho(n)\] مِمّا يُعْطِي، عَلَى التَوالِي، \(n=0\)، تُناقِض، وَ \(n=-1\notin \N\).
يُمْكِن إِعْطاءِ معكوسات \(\lambda,\rho\in \SN\) بِشَكْلٍ صَرِيحٍ كَما يَلِي: \[\lambda ^{-1}(n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} \frac{3n}{4} & n \ (mod \ 4) = 0, \\ \vspace{0.3em} \frac{3n-2}{4} & n \ (mod \ 4)=2, \\ \frac{3n+1}{2} & n \ \mbox{ فَرْدِيٌّ,} \end{array} \right. \ \mbox{ وَ } \ \rho^{-1} (n) = \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} \frac{3n}{2} & & n\ (mod\ 2) =0, \\ \vspace{0.3em} \frac{3n+1}{4} & & n \ (mod \ 4) = 1, \\ \frac{3n-1}{4} & & n \ (mod \ 4) = 3. \end{array}\right.\] تَرْكِيبِ التَبايُنِ المُخَفَّض لكولاتز مَعَ مَعْكُوس التَبايُنِ الأَصْلِيُّ لكولاتز يُنْتِج تَبايُناً سَبَقَ رُؤْيَتِهِ فِي نَظَرِيَّةَ الفِئاتِ وَالمَنْطِقَ:
[assoc-def] نَعْرِف المُقْتَرِن \(\alpha\in \SN\) بِأَنَّهُ \(\alpha=\lambda\rho^{-1}\in \SN\)؛ بِمَعْنَى آخَرِ، \(\alpha(n) = \rho(\rho^{-1}(n) +1)-1\). تَوْسِيعِ التَعْرِيفِ يُعْطِي: \[\alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} 2n & n\ (mod \ 2)=0, \\ \vspace{0.3em} n+1 & n \ (mod \ 4) =1, \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 4) =3, \end{array} \right. \ \ \mbox{ وَ } \ \ \alpha^{-1}(n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} \frac{n}{2} & n \ (mod \ 4) = 0, \\ \vspace{0.3em} n-1 & n \ (mod \ 4) = 2, \\ 2n+1 & n \ (mod \ 2) = 1. \end{array}\right.\]
يُمْكِننا التَفْكِيرِ فِي المُقْتَرِن عَلَى أَنَّهُ، “التَبايُنِ المَنْقُولِ لكولاتز، مَرْكَبٍ مَعَ مَعْكُوس التَبايُنِ الأَصْلِيُّ”. بِالمُقارَنَةِ مَعَ أَيّ مِن تَبايُناتٌ كولاتز، فَإِنَّ مَداراتِ الأَعْدادُ الطَبِيعِيَّةِ تَحْتَ المُقْتَرِن سَهْلَةً التَوْصِيفِ لِلغايَةِ.
[assocOrbits-lem] لِلمُقْتَرِن نُقْطَةً ثابِتَةٍ فَرِيدَةٍ، \(\alpha(0)=0\). مَدارِ كُلِّ \(n>0\in\mathbb N\) لَهُ حَدٍّ أَدَّنِي مَحَلِّيٍّ واحِدٍ إِذا وَفَقَط إِذا كانَ \(n>0\) زَوْجِيّا؛ لا يُوجَد مَدارِ لَهُ حَدٍّ أَقْصَى مَحَلِّيٍّ، وَبِالتالِي فَإِنَّ مَدارِ كُلِّ \(n>0\) لا نِهائِيِّ.
مِن الأَسْهَل (لٰكِنَّهُ مُكافِئ) إِثْباتِ ذٰلِكَ لِلمَعْكُوس، \(\alpha^{-1}=\rho\lambda^{-1}\).
بَدِيهِيّا، \(\alpha^{-1}(0)=0\)؛ هٰذِهِ فَرِيدَةٍ، حَيْثُ أَنَّ \(\alpha^{-1}(n)=n \ \Leftrightarrow \ r(n)=l(n)\)، مِمّا يَتَناقَض مَعَ الليما [noCoincidence-lem] لِجَمِيعِ \(n\neq 0\). عِنْدَما يَكُون \(n\in \mathbb N\) فَرْدِيّاً، \(\alpha^{-1}(n)= 2n+1>n\)؛ وَالَّذِي هُوَ بِدَوْرِهِ فَرْدِيٌّ. وَبِالتالِي، \(n< \alpha^{-1}(n)\) لِأَيّ \(n\) فَرْدِيٌّ. عِنْدَما يَكُون \(n>0\) زَوْجِيّا، \(\alpha^{-1}(n)<n\) قَد يَكُون زَوْجِيّا أَو فَرْدِيّاً، وَلٰكِن لا يُمْكِن أَنَّ يَكُون صِفْرا لِأَنَّ \(\alpha^{-1}\) هُوَ تَبايُنٍ. وَبِالتالِي، أَيّ مَسارِ يَبْدَأ بِعَدَدٍ زَوْجِي غَيْرِ صِفْرَيَّ يَنْخَفِض حَتَّى يَصِل إِلَى عَدَدٍ فَرْدِيٌّ (الحَدِّ الأَدْنَى المَحَلِّيِّ)، وَمِن ثُمَّ يَزْداد بِلا حُدُودِ.
كُلِّ مَدارِ مَحْدُودٍ يَصِل إِلَى حَدٍّ أَقْصَى وَأَدْنَى؛ وَبِالتالِي فَإِنَّ المَدارِ الوَحِيدُ المَحْدُودِ تَحْتَ \(\alpha^{-1}\) (وَبِالتالِي تَحْتَ \(\alpha\)) هُوَ النُقْطَةِ الثابِتَةِ \(\alpha^{-1}(0)=0=\alpha(0)\).
تُقاطِع جيرار وَالمُقْتَرِن (وَبِالتالِي التَبايُنِ الأَصْلِيُّ لكولاتز) مُرْتَبِطانِ بِخاصَّيْهِ أَكْثَرَ شُيُوعاً مِن نَظَرِيَّةَ الفِئاتِ:
[nat-lemma] \(\alpha (f\star (g\star h)) \ = \ ((f\star g)\star h) \alpha\), لِجَمِيعِ \(f,g,h\in\SN\).
الحِسابِ المُباشِرِ يُعْطِي، لِجَمِيعِ \(n\in \N\), \[\alpha (f\star (g\star h)) (n) \ = \ ((f\star g)\star h) \alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lcr} 4f\left(\frac{n}{2}\right) & \ \ & n\ (mod \ 2) =0 \\ 4g\left(\frac{n-1}{4}\right)+2 & \ \ & n\ (mod \ 4) =1 \\ 2h\left(\frac{n-3}{4}\right)-1 & \ \ & n\ (mod \ 4) =3 \\ \end{array}\right.\]
مَوْضُوعِ دِراسَةٌ هامٍّ فِي نَظَرِيَّةَ المَجْمُوعاتِ التوافقيه هُوَ مَجْمُوعَةِ تومسون \(\mathcal F\)؛ نُشِير إِلَى (CFP,MB96) لِلحُصُولِ عَلَى نَظْرَةٌ عامَّةٍ. تَعْرِف العَدِيدَ مِن التَحْقِيقاتِ العَمَلِيَّةِ؛ نَبْدَأ بِتَعْرِيف مُجَرَّدَ كَمُوَلِّدات وَعَلاقاتِ.
[F-def] مَجْمُوعَةِ تومسون \(\mathcal F\) يَتِمّ تَوْلِيدها بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ x_j \}_{j\in \mathbb N}\) مَعَ العَلاقاتِ \(x_i^{-1} x_j x_i = x_{j+1}\)، لِكُلِّ \(i<j\). مِن المَعْرُوفُ (مَثَلاً (CFP)) أَنَّ هٰذِهِ لَيِسَت مَجْمُوعَةِ مَوْلِده دُنْيا؛ المَجْمُوعَةِ الفَرْعِيَّةِ \(\{x_0,x_1\}\) تُولَد كامِلٍ \(\mathcal F\)، لٰكِنَّ العَلاقاتِ المَطْلُوبَةِ أَقَلَّ بَدِيهِيّه.
المَجْمُوعَةِ الَّتِي يَتِمّ تَوْلِيدها بِواسِطَةِ \(\{ \alpha \ ,\ Id\star \alpha \}\) مُتَماثِله مَعَ \(\mathcal F\).
نَعْرِف \(\{ X_k \}_{k\in \mathbb N}\subseteq \SN\) بِواسِطَةِ \(X_0=\alpha\) وَ\(X_{j+1}=Id \star X_j\)، لِكُلِّ \(j>0\). بِما أَنَّ \((\_ \star \_)\) هُوَ تَماثُلِ جَماعِيٍّ، القاعِدَةِ [nat-lemma] (الطَبِيعِيَّةِ) تُوحِي \[\alpha (Id\star (Id\star f)) \alpha^{-1} \ =\ (Id\star Id) \star f \ = \ Id \star f \ \ \ \ \forall f\in \SN\] عِنْدَ تَطْبِيقِ هٰذا عَلَى التَعْرِيفِ الاِسْتِقْرائِيّ لِ\(X_j\) يُعْطِي \(X_j = X_i X_{j+1}X_i^{-1}\)، لِكُلِّ \(i<j\)، وَبِالتالِي المَجْمُوعَةِ الفَرْعِيَّةِ مِن \(\SN\) الَّتِي يَتِمّ تَوْلِيدها بِواسِطَةِ \(\{ X_j\}_{j\in \mathbb N}\) هِيَ صُورَةِ تُماثِلِيهِ لِ\(\mathcal F\)، مُعْطاة بِواسِطَةِ \(x_j\mapsto X_j\)، لِكُلِّ \(j\in \mathbb N\). ثُمَّ نَسْتَنْتِج مِن الخاصِّيَّة المَعْرُوفَةِ (مَثَلاً (CFP)) أَنَّ كُلِّ صُورَةِ تُماثِلِيهِ كَهٰذِهِ إِمّا أَنَّ تَكُون جَماعِيَّةٍ أَو مُتَماثِله مَعَ \(\mathcal F\) نَفْسِها، لِنَسْتَنْتِج أَنَّ هٰذِهِ المَجْمُوعَةِ الفَرْعِيَّةِ مُتَماثِله مَعَ \(\mathcal F\).
أَخِيراً، عَرَضَ القاعِدَةِ [F-def] لَيِسَ دُنْيا وَ\(\{ x_0,x_1 \}\) يَكْفِي لَتَوْلِيد كُلِّ \(\mathcal F\)؛ يَتْبَع نَتِيجَتنا.
نُشِير إِلَى المَجْمُوعَةِ الفَرْعِيَّةِ مِن \(\SN\) الَّتِي يَتِمّ تَوْلِيدها بِواسِطَةِ \[\alpha (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} {2n} & { n} \ (mod \ 2) = 0 \\ \vspace{0.3em} n+1 & n \ (mod \ 4) =1 \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 4) =3 \end{array} \right. \ \ \ \ (Id\star \alpha) (n) \ = \ \left\{ \begin{array}{lr} \vspace{0.3em} n & n \ (mod \ 2) = 0 \\ \vspace{0.3em} 2n-1 & n \ (mod \ 4)=1 \\ \vspace{0.3em} n+2 & n \ (mod \ 8) =3 \\ \frac{n-1}{2} & n \ (mod \ 8) =7 \end{array} \right.\] بِاِعْتِبارِها تَحْقِيقِ تَوافُقِي لِ\(\mathcal F\).
يُمْكِننا التَفْكِيرِ فِي \((Id\star \alpha)\) ك، ’تَكْرارِ \(\alpha=\rho \left( \rho^{-1}(n)+1\right)-1\) عَلَى الأَعْدادُ الفَرْدِيَّةِ فَقَط’. مِن خِلالَ البِناءِ، يُمْكِننا كِتابَةِ مُوَلِّداتٍ هٰذا التَحْقِيقِ لِ\(\mathcal F\) بِناءَ عَلَى التَبادُلِ الأَصْلِيُّ لكولاتز، كَما يَلِي: \[n\ \mapsto \ \rho \left( \rho^{-1}(n)+1\right)-1 \ \ \mbox{وَ} \ \ n \mapsto \ \left\{ \begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} n & & n \ \mbox{even,} \\ 2 . \rho \left( \rho^{-1} \left( \frac{n-1}{2} \right) +1 \right) -1 & \ \ & n \ \mbox{ odd.} \end{array} \right.\]
نُلاحِظ أَنَّ هٰذا التَحْقِيقِ لِ\(\mathcal F\) يُمْكِن أَيْضاً أَنَّ يَسْتَنْتِج مِن التَحْقِيقِ الَّذِي قَدَّمَهُ إِم.فِي. لوسون فِي (MVL06) مِن حَيْثُ الأُحادِيّات الدَوْرِيَّةَ لِنَظَرِيَّةِ النِصْفِ مَجْمُوعاتٍ العَكْسِيَّة (MVL)، بِالاِعْتِمادِ عَلَى تَمْثِيلِ حِسابَيَّ مُشْتَرَكٍ وَمَعْرُوفٌ لِهٰذِهِ النِصْفِ مَجْمُوعاتٍ العَكْسِيَّة (NP).
فِي (KB)، يَصِف ك. براون تَماثُلِ جَماعِيٍّ حَقْنِي \(\mu : \mathcal F \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F\) وَهُوَ "متجمع حَتَّى التَقارُن بِواسِطَةِ [المُوَلِّدِ] \(x_0\)”، لُذّاً \[\mu(\mu(a,b),c) \ = \ x_0 \mu(a , \mu(b,c)) x_0^{-1} \ \ \ \ \forall \ a,b,c\in \mathcal F\] هٰذِهِ بِالطَبْعِ خاصَّيْهِ الطَبِيعِيَّةِ لِلقاعِدَةِ [nat-lemma]، وَالمَوْلِد \(x_0\) فِي التَحْقِيقِ التوافقي هُوَ بِالضَبْطِ المُقْتَرِن، المُشْتَقَّ مِن التَبادُلِ الأَصْلِيُّ لكولاتز. بِالتالِي، يُمْكِننا تَحْدِيدِ تُقاطِع جيرارد (عِنْدَ تَقْيِيده بِهٰذا التَحْقِيقِ لِ\(\mathcal F\)) مَعَ تَماثُلِ براون، وَنَسْتَنْتِج أَنَّ التَحْقِيقِ التوافقي لِ\(\mathcal F\) مُغْلَقٍ تَحْتَ تُقاطِع جيرارد.
المُصْطَلَحاتِ المَذْكُورَةِ أَعْلاه تَعْتَمِد عَلَى التَعْرِيفِ التالِي لِ جُون كونواي:
[cf-def] دالَّةٍ \(f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N\) تُعْتَبَر تُطابِقِيهِ عِنْدَما يُوجَد مَجْمُوعَةِ مُفَهْرَسه \(\{ (x_j,y_j) :x_j,y_j<K \}_{j=0,\ldots,K-1}\) بِحَيْثُ أَنَّ \(f(Km+i) \ = \ x_jm+y_j\).
النَتِيجَةُ الرَئِيسِيَّةِ لكونواي (JC72) (أَنْظُر أَيْضاً (SM)) – وَالَّتِي تَقُول بِأَنَّ الحِسابِ العامِّ يُمْكِن التَعْبِيرِ عَنهُ مِن خِلالَ مَشاكِلَ تَكْرارِيّه بَسِيطَةً عَلَى الدوال التطابقيه – تَمَّ تَنْقِيحها وَتَبْسِيطها لاحِقاً بِواسِطَةِ إِس. بوركل (SB)، الَّذِي اِسْتَخْدَمَ مَجْمُوعَةِ فَرْعِيَّةٍ صارِمَةٍ مِن دَوال كونواي.
يُمْكِن التَحَقُّقِ بِسُهُولَةٍ مِن أَنَّ التباديل \(\rho, \lambda\), وَ \(\alpha\) هِيَ تُطابِقِيهِ، وَهٰذِهِ الخاصِّيَّة مَحْفُوظه تَحْتَ التَرْكِيبُ، العَكْسِ، وَتُقاطَع جيرارد. إِن تَحْقِيقِ \(\mathcal F\) المَذْكُورِ أَعْلاه كَدَوال تُطابِقِيهِ هُوَ بِالفِعْلِ تَحْقِيقِ كَذٰلِكَ.
يَبْقَى وَصَفَ بِنْيَةَ مَجْمُوعَةِ التباديل التطابقيه الَّتِي يَتِمّ تَوْلِيدها بِواسِطَةِ \(\{ \lambda,\rho,(Id\star \lambda),(Id\star\rho)\}\). هٰذا يُفْتَرَض أَنَّهُ غَيْرِ تافِه، لٰكِنَّهُ يَسْتَحِقّ الدِراسَةُ؛ يَنْشَأ مُباشَرَةً مِن النِظامِ المَرْكَزِيِّ المَفْتُوحِ وَيَحْتَوِي عَلَى \(\mathcal F\) لتومسون بِطَرِيقَةٍ طَبِيعِيَّةٍ. قَد تَسْتَنْتِج بِعَضِّ الهُوِيّاتِ الَّتِي تُلَبِّيها هٰذِهِ المَجْمُوعَةِ بِطَرِيقَةٍ تَصْنِيفِيّه، مِن الشَكْلِ [pentagram-fig].
السَبَبِ فِي أَنَّ المَواضِيعِ الَّتِي تَبْدُو مُخْتَلِفَةٍ بِشَكْلٍ واضِحٍ (تَخْمِينات كولاتز، مَنْطِقُ جيرارد الخَطِّيِّ، \(\mathcal F\) لتومسون) مُرْتَبِطَةً هُوَ تَصْنِيفِي. جَمِيعِ العَمَلِيّاتِ الحِسابِيَّة الرَئِيسِيَّةِ (تَبايُنٍ كولاتز، تَبايُنٍ كولاتز المُخَفَّض، وَالمُرْتَبِط) هِيَ isomorphisms canonical، فِي مَعْنَى التَماسُكِ التَصْنِيفِيّ. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، تُقاطِع جيرارد (أَو تَجانُس براون) هُوَ tensor تَصْنِيفِي، وَقَد عُرِفَ \(\mathcal F\) لتومسون مُنْذُ تَقْدِيمُهُ بِأَنَّ لَهُ عَلاقاتٍ وَثِيقَةٍ مَعَ نَظَرِيَّةَ التَماسُكِ المَشْهُورَةِ لِمَأْكَلَيْنِ لِلاِرْتِباط (PD96).
نِصْفِ الآنَ وَنُناقِش الهَياكِل الَّتِي تَتَوَسَّط التَبايُنات الَّتِي دَرَسْناها فِي التَماسُكِ.
(نَفْتَرِض الإِلْمام بِأَساسِيّات نَظَرِيَّةَ التَصْنِيفِ، نَظَرِيَّةَ تَماسُكِ مَأْكَلَيْنِ للارتباطيه (MCL, GMK)، وَالعَلاقَةِ بَيِّنَ التَماسُكِ وَمُتَعَدِّدٍ السُطُوحَ الارتباطي لستاشيف (JLL).)
مِن المَعْرُوفُ، عَلَى الأَقَلِّ فِي بِعَضِّ مَجالاتِ نَظَرِيَّةَ التَصْنِيفِ، أَنَّ مَجْمُوعَةِ تومسون \(\mathcal F\) تَصِف التَماسُكِ للارتباطيه فِي السِياقِ التالِي:
تَطْلُب مِن الفِئَةِ شِبْهِ التجميعيه \((\mathcal C,\otimes)\) أَنَّ تُلَبِّي جَمِيعِ مُسْلِماتٍ مَأْكَلَيْنِ / كِيلِي لِفِئَةِ تَجْمِيعَيْهِ بِاِسْتِثْناءِ وُجُودِ عُنْصُرٍ وَحْدَةِ، لُذّاً يُوجَد تَطابُقِ طَبِيعِيٍّ بَيِّنَ المُرافِقُ \[(\_ \otimes (\_ \otimes \_)) \ \ , \ \ ((\_ \otimes \_ ) \otimes \_ ) \ : \ \mathcal C \times \mathcal C \times \mathcal C \rightarrow \mathcal C\] وَمُكَوِّناتِها \(\{ \tau_{A,B,C} : A\otimes (B \otimes C) \rightarrow (A\otimes B) \otimes C \}_{A,B,C\in Ob(\mathcal C)}\) (المُرْتَبِطات المُفَهْرَسَة بِالكائِنات) تُلَبِّي شَرْطَ مَأْكَلَيْنِ الخُماسِيُّ \[( \ \tau_{A,B,C}\otimes Id_D) \ \tau_{A,B\otimes C,D} \ (Id_A \otimes \tau_{B,C,D}) \ = \ \tau_{A\otimes B,C,D} \ \tau_{A,B,C\otimes D}\] يُمْكِن أَنَّ تَكُون الفِئَةِ ذاتِ الكائِنِ الوَحِيدُ (أَيّ الزُمْرَة) \(\mathcal M\) شِبْهِ تَجْمِيعَيْهِ، دُونِ أَنَّ يَطْلُب مِن كائِنها الفَرِيدِ أَنَّ يَكُون كائِن وَحْدَةِ. فِي هٰذا السِياقِ، سَيَكُون لِلتَحْوِيلِ الطَبِيعِيِّ المَطْلُوبِ مُكَوِّن فَرِيد (مُرْتَبِطه) \(\tau\in \mathcal M\)، وَيُصْبِح شَرْطَ مَأْكَلَيْنِ الخُماسِيُّ \(\tau^2=(\tau\otimes Id)\tau(Id\otimes \tau)\).
نُشِير إِلَى (K, JK) لِنَظَرِيَّةِ الفِئاتِ شِبْهِ التجميعيه، وَإِلَى (TAC, JHRS) لِلأَعْداد النَظَرِيّ لِلزُمْرَة. التالِي مَعْرُوفٌ جَيِّداً:
[noSS-thm] لِتَكُن \((M,\star)\) زَمَرَهُ شِبْهِ تَجْمِيعَيْهِ حَيْثُ المُرافِقُ (التَجانُسات) \((Id_M\star \_),(\_ \star Id_M):M\rightarrow M\) مُخْلِصه. إِمّا أَنَّ
المُرْتَبِطُ لِ \(\_\star\_\) هُوَ الهُوِيَّةِ \(Id\in M\)، وَفِي هٰذِهِ الحالَةِ يَكُون الكائِنِ الفَرِيدِ لِ \(M\) (اِسْتِرْجاعِ لِ) كائِن الوَحْدَةِ لِ \(\_\star\_\)، أَو
مَجْمُوعَةِ جَمِيعِ التَطابُقات الارتباطيه القِياسِيَّةِ هِيَ مَجْمُوعَةِ مُتَماثِله مَعَ مَجْمُوعَةِ تومسون \(\mathcal F\).
الجُزْء الأَوَّلِ قَدَّمَ فِي (JHRS). لُوحِظَ الجُزْء الثانِي بِشَكْلٍ مُسْتَقِلٍّ مِن قِبَلَ العَدِيدَ مِن الباحِثِينَ. يُعْطَى سَرْدٌ تارِيخِيٍّ مَعَ بُرْهان (دُونِ المُطالَبَةِ بِالأَصالَة) فِي (OCL). تَشْمَل المُساهَماتِ الرَئِيسِيَّةِ، وَلٰكِن لا تَقْتَصِر عَلَى، (MVL06, JHRS, FL, MB96, PD96)؛ لَم تصاغ جَمِيعِ هٰذِهِ المَراجِعِ تَصْنِيفِيّا.
تُقاطِع جيرارد \(\_ \star \_\) هُوَ تنسور عَلَى \(\SN\)، وَتَطابُق ارتباطيته الفَرِيدِ هُوَ المُرْتَبِطُ \(\alpha\in\SN\) مِن التَعْرِيفِ [assoc-def].
هٰذا مَعْرُوفٌ جَيِّداً (أَنْظُر (PHD, AHS)) مَعَ صِيَغٍ جَبْرِيّه / حِسابِيَّةً وَحَدِيَهُ مُعْطاة فِي (RC). لاحَظَ أَنَّ أَيّاً مِن هٰذِهِ المَراجِعِ لَم يُلاحِظ التَحَلُّلُ إِلَى التَطابُقِ مِن فَرْضِيَّةَ كولاتز الأَصْلِيَّةِ.
كَنَتِيجَةٍ لِذٰلِكَ، قَد نُعْطِي العَلاقَةِ بَيِّنَ تُقاطِع جيرارد وَالمُرْتَبِط كَمُخَطَّط خُماسِيّ متداخل (خُماسِيّ مَأْكَلَيْنِ) – المُخَطَّطِ الفَرْعِيِّ المَعْرُوضِ فِي الأَحْمَرِ؛ تَشْتَق الهُوِيّاتِ المَطْلُوبَةِ لِهٰذا المُخَطَّطِ الفَرْعِيِّ جَبْرِيّا أَيْضاً فِي (RC).
نُلاحِظ أَنَّ الليما [noCoincidence-lem] قَد تَسْتَنْتِج تَصْنِيفِيّا مِن النَظَرِيَّةِ [noSS-thm]؛ سَتَعْنِي الهُوِيَّةِ \(\lambda=\rho\) أَنَّ تُقاطِع جيرارد كانَ تنسورا صارِما ارتباطيا عَلَى \(\SN\)، وَبِالتالِي أَنَّ \(\SN\) كانَ زَمَرَهُ تَبادُلَيْهِ – تُناقِض!
بَدَلاً مِن ذٰلِكَ، قَد نَسْتَخْدِم تَحْلِيلِ هٰذا المُرْتَبِطُ مِن حَيْثُ التَطابُقِ البيجكتيفي لكولاتز، \(\alpha=\lambda\rho^{-1}\)، لِتَحْلِيلِ كُلِّ حافَةِ مِن خُماسِيّ مَأْكَلَيْنِ؛ بِالاِعْتِمادِ عَلَى الدالِيَة للتنسور، يُعْطِي هٰذا الحَوافّ الإِضافِيَّة المَعْرُوضَةِ فِي الأَخْضَرِ. بِناءَ عَلَى التَصْمِيمِ، يَتَداخَل المُخَطَّطِ الفَرْعِيِّ مَعَ الحَوافّ الحَمْراءِ وَ الخَضْراءِ.
نُقَدِّم حِساباً تَصْنِيفِيّا لِهٰذا التَحْلِيلِ:
[star3-def] نَعْرِف التَجانُس \((\_ \star \_ \star \_):\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\) ب \[(f\star g\star h)(n) \ = \ \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} 3f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em} 3g\left( \frac{n-1}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em} 3h\left( \frac{n-2}{3} \right)+2 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\]
تُوجَد تَطابُقات طَبِيعِيَّةٍ
\((\_ \star \_ \star \_ ) \Rightarrow ( (\_ \star \_) \star\_ )\)
\((\_ \star \_ \star \_ ) \Rightarrow ( \_ \star (\_ \star\_ ))\)
وَمُكَوِّناتِها الفَرِيدَة هِيَ
التَطابُقِ البيجكتيفي المُخَفَّض لكولاتز \(\lambda\in \SN\)
التَطابُقِ البيجكتيفي الأَصْلِيُّ لكولاتز \(\rho\in \SN\)
عَلَى التَوالِي.
يَتْبَع هٰذا بِحِساب مُباشِرٍ؛ نُلاحِظ أَنَّ \[\rho(f\star g\star h)(n) = (f\star(g\star h))\rho^{-1}(n) = \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em} 2f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em 4g\left( \frac{n-1}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em 4h\left( \frac{n-2}{3} \right)+3 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\] وَبِالمِثْل \[\lambda(f\star g\star h)(n) = ((f\star g)\star h)\lambda^{-1}(n) = \left\{\begin{array}{lcr} \vspace{0.3em 4f\left( \frac{n}{3} \right) & \ \ & n \ (mod \ 3) = 0 \\ \vspace{0.3em 4g\left( \frac{n-1}{3} \right)+2 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 1 \\ %\vspace{0.3em 2h\left( \frac{n-2}{3} \right)+1 & \ \ & n \ (mod \ 3) = 2 \\ \end{array}\right.\]
نُشِير ب \(({\bf Grp},\times )\) إِلَى الفِئَةِ التجميعيه (الارتباطيه الصارِمَةِ) لِلمَجْمُوعات وَالتَجانُسات مَعَ الجِداء الديكارتي، وَنُشِير إِلَى الاوبراد النِهائِيِّ لِ \(\SN\) ب \(Endo(\SN)\).
[freeOperad-lem] كُلّاً مِن \((\_\star \_):\SN^{\times 2}\rightarrow \SN\) وَ\((\_\star \_\star\_):\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\) هُما عَمَلِيّاتِ فِي \(Endo(\SN)\)، والاوبراد الفَرْعِيِّ الَّذِي يُوَلِّدُونَهُ يَتَوَلَّد بِحُرِّيَّةٍ.
يُمْكِن التَحَقُّقِ مِن العَمَلِيّاتِ حَتَّى الرُتْبَة 5 بِحِساب مُباشِرٍ. أَلْحَقْنَ وَالاِسْتِدْلالُ الطَبِيعِيِّ يُعْطَيانِ الحالَةِ العامَّةِ.
مُكَوِّن التَطابُقِ الطَبِيعِيِّ مِن \((\_ \star (\_ \star \_ ))\) إِلَى \(((\_ \star \_ )\star \_ )\) يُعْطَى بِتَرْكِيب مُكَوِّناتِ:
التَطابُقِ الطَبِيعِيِّ مِن \((\_ \star (\_ \star \_ ))\) إِلَى \((\_ \star \_ \star \_ )\)
التَطابُقِ الطَبِيعِيِّ مِن \((\_ \star \_ \star \_ )\) إِلَى \(((\_ \star \_) \star \_ )\)
وَبِالتالِي \(\alpha = \lambda\rho^{-1}\).
يُمْكِننا أَيْضاً إِضافَةً حَوافّ بَيِّنَ “المُثَلَّثات الداخِلِيَّةِ” لِلشَكْل [pentagram-fig]، بِبَساطَة عَن طَرِيقِ أَخَذَ المَرْكَباتِ عَلَى طُولِ المَساراتِ بِاللَوْن الأَخْضَرِ، لِنُعْطَى الخُماسِيُّ المتداخل المُوَضِّح بِاللَوْن الأَزْرَق. إِمّا عَن طَرِيقِ البِناءِ، أَو الحِسابِ المُباشِرِ، أَو كَنَتِيجَةٍ لِلقَضِيَّةِ [freeOperad-lem]، يَتِمّ تُواصِل الرَسْمُ البَيانِيّ بِأَكْمَلِهِ، بِحَوافّ بِاللَوْن الأَحْمَرِ، وَالأَخْضَر، وَالأَزْرَق بِشَكْلٍ مُتَناسِق.
تَفْسِيرٍ خُماسِيّ مَأْكَلَيْنِ (المَساراتِ الحَمْراءِ) كَهَيْكَل عَظْمِي أَوَّلِ لَرُباعِيّ الاوجه الرابِعِ لستاشيف مَعْرُوفٌ جَيِّداً؛ حَيْثُ تَتَوافَق العَقْدِ مَعَ الرُؤُوسِ (أَيّ التقويس الثُنائِيِّ الجَيِّدِ لِأَرْبَعَةِ رُمُوزِ)، وَالحَوافّ تَتَوافَق مَعَ التَعْيِيناتِ بَيِّنَها. فِي الشَكْلِ [pentagram-fig]، تَكُون التَسْمِيات عَلَى المَساراتِ الزَرْقاءَ (أَيّ الخُماسِيُّ الداخِلِيِّ) هِيَ المُكَوِّناتِ الفَرِيدَة لِلتَحْوِيلاتِ الطَبِيعِيَّةِ بَيِّنَ التَطْبِيقات الحقنيه التالِيَةِ مِن \(\SN^{\times 4}\) إِلَى \(\SN\): \[\{ \ \ (\_ \star (\_ \star \_ \star \_ )) \ , \ ((\_ \star \_ \star \_ ) \star \_ ) \ , \ ((\_ \star \_ ) \star \_ \star \_ ) \ , \ (\_ \star (\_ \star \_ ) \star \_ ) \ , \ (\_ \star \_ \star (\_ \star \_ )) \ \ \}\] بِالطَبْعِ، يُمْكِننا تَفْسِيرٍ هٰذِهِ التَطْبِيقات كَحَوافّ لِ \(\mathcal K_4\)، وَالمَسارات الزَرْقاءَ كَتَعْيِينات بَيِّنَ حَوافّ الرُباعِيِّ الاوجه الرابِعِ.
أَخِيراً، نَحْتاج إِلَى تَقْدِيمِ تَفْسِيرٍ لِلمَسارات الخَضْراءِ. مَرَّةً أُخْرَى، مِن خِلالَ تَفْسِيرُها عَبْرَ الرُباعِيِّ الاوجه الرابِعِ \(\mathcal K_4\)، يَجِب أَنَّ نَفْهَم هٰذِهِ ك، تَعْيِيناتِ بَيِّنَ الحَوافّ وَالرُؤُوس؛ فَهِيَ مُكَوِّناتِ التَحْوِيلاتِ الطَبِيعِيَّةِ مِثْلَ \[(\_ \star (\_ \star (\_ \star \_ ))) \ \Rightarrow (\_ \star (\_ \star \_ \star \_ )) \ \ \ \ \mbox{مَعَ مُكَوِّن فَرِيد} \ \ Id \star \rho^{-1}\] بِالمِثْلِ، فَإِنَّها تَتَوافَق مَعَ حَذْفَ/إِدْراجِ زَوْج مُتَطابِقٌ مِن الأَقْواس فِي سِلْسِلَةٍ مِن أَرْبَعَةِ رُمُوزِ. هٰذا يُوَفِّر لَنا بِالتالِي تَفْسِيرٍ تَبادُلَيْهِ كولاتز: فَهِيَ تُدْرِج زَوْجا مُتَطابِقا (مُرْتَبِطاً بِاليَمِين) مِن الأَقْواس فِي مِثْلَ هٰذِهِ السِلْسِلَة؛ تَبادُلَيْهِ كولاتز المُخَفَّضَةِ تُؤَدِّي نَفْسِ المُهِمَّةِ لَزَوْج مُرْتَبِطٌ بِاليَسار. تَقُوم عكسياتها بِحَذْف مِثْلَ هٰذِهِ الأَزْواج المُتَطابِقَة مِن الأَقْواس.
تَتَعَلَّق فَرْضِيَّةَ كولاتز الأَصْلِيَّةِ بِنِقاط الثَباتِ لِقُوَى \(\rho\) — بِشَكْلٍ ضِمْنِيٍّ، هِيَ مَبْنِيَّةٌ عَلَى التَشابُه مِن \((\mathbb N , +)\) إِلَى \(\SN\) وَالَّذِي يُعْطَى بِواسِطَةِ \(n\mapsto \rho^n\). نَعْتَبِر \(\SN\) كَمَجْمُوعَةٍ فَرْعِيَّةٍ مُمَيَّزَةٍ بِبَساطَة مِن المونويد المُتَماثِل العَكْسِيّ \(\IN\) وَنَقْدَم التَعْرِيفِ التالِي:
نَعْرِف تَشابُهات كولاتز اليُسْرَى وَاليُمْنَى لِتَكُون تَشابُهات المونويد مِن \((\N,+)\) إِلَى \(\IN\) وَالَّتِي تُعْطِي بِواسِطَةِ \[\Cz_L(n)=\lambda^n \ \ \mbox{ وَ } \ \ \Cz_R(n)= \rho^n\]
تُوجَد تَحْوِيله طَبِيعِيَّةٍ \(\Cz_L\Rightarrow \Cz_R\) وَالَّتِي يَكُون مُكَوِّنها الفَرِيدِ هُوَ دالَّةٍ الخَلْفِ \(succ\in \IN\).
لِنُعِيد كِتابَةِ الهُوِيَّةِ الرَئِيسِيَّةِ لِلتَعْرِيف [rcb-def] كَالتالِي \(1+\left(\lambda\right)(n)=\rho(n+1)\)، لِكُلِّ \(n\in \N\). ثُمَّ \(1+\left(\lambda^K\right)(n)=\rho^K(n+1)\) لِكُلِّ \(k\in \N\), مِمّا يُعْطِي، لِكُلِّ \(k\in \N\), \[succ .\Cz_R(k ) \ = \ \Cz_L(k ). succ \ \ \ \forall n\in (\mathbb N,+)\] كَما هُوَ مَطْلُوبٌ.
وَبِالتالِي، تُوجَد تَحْوِيله طَبِيعِيَّةٍ بَيِّنَ تَشابُهات كولاتز اليُسْرَى وَاليَمَنِيّ، وَالَّتِي يَكُون مُكَوِّنها الفَرِيدِ هُوَ بِبَساطَة دالَّةٍ الخَلْفِ.
لَم يَفُت القارِئَ أَنَّ يُلاحِظ أَنَّ التَطابُقِ الايزومورفي، وَتُقاطَع جيرارد، وَالتَعْرِيف [star3-def] يُعَمِّمانِ إِلَى عائِلَةِ لا نِهائِيَّةٍ قابِلَةٍ لِلعَدّ مِن تَحْوِيلاتِ الزَمْر المُفَهْرَسَة ب \(\N^+\).
[stark-def] لِكُلِّ \(k>0\)، نَعْرِف \(\mu_{(k)}:\SN^{\times k}\rightarrow \SN\) لِيَكُون تَحْوِيلِ الزَمْر أَلْحَقَنِي المُعْطَى ب، لِكُلِّ \(F=(f_0,f_1,\ldots , f_{k-1})\in \SN^{\times k}\), \[\mu_{(k)}\left(F\right) (n) \ = \ k.f_{n \ (mod \ k)} \left( \frac{n - (n \ (mod \ k))}{k}\right)+ (n \ (mod \ k))\] مُعْطَيا التَطابُقِ ك \(Id_N=\mu_{(1)} : \SN\rightarrow \SN\)، وَتُقاطَع جيرارد ك \((\_ \star \_) =\mu_{(2)}:\SN\times \SN\rightarrow \SN\)، وَ\((\_ \star \_ \star \_) = \mu_{(3)}:\SN^{\times 3}\rightarrow \SN\)، …
بِشَكْلٍ غَيْرِ رَسْمِيٌّ، \(\mu_{(k)}\left(F\right)\) يُكَرِّر عَمَلٍ كُلِّ عُضْوُ مِن \(\{ f_0 , f_1,\ldots ,f_{k-1} \}\) عَلَى العُضْوُ المُقابِلِ مِن نِظامِ التَغْطِيَةِ الدَقِيقِ \(\{ k\mathbb N + j \}_{j=0 .. k-1}\).
اِدِّعاؤنا – الَّذِي سَيَتِمّ تَبْرِيرُهُ فِي (PH22,PH22c) – هُوَ أَنَّ هٰذِهِ العائِلَةِ المُفَهْرَسَة مِن العَمَلِيّاتِ تُولَد عَمَلِيَّةِ فَرْعِيَّةٍ مِن \(Endo(\SN)\) مُتَطابِقَةٌ مَعَ العَمَلِيَّةِ (الحُرَّةِ، الرَسْمِيَّةِ) \(RPT\) لِ ’الأَشْجارِ المُسْتَوِيَة المتجذره’، وَهٰذِهِ المُلاحَظَةُ تُتِيح لَنا تَقْدِيمِ مُخَطَّطاتٌ تَبادُلَيْهِ لِلوَظائِف التكافؤيه بَيِّنَ جَوانِبَ مُتَعَدِّدَةِ الأَبْعاد مِن الاسوشيهدرا.
فِي هٰذا الإِعْدادُ، تُعْتَبَر التباديل الأَصْلِيَّةِ وَالمُخَفَّضَة لكولاتز \(\rho,\lambda\in \SN\) خاصَّةٍ، حَيْثُ تَعْلَم الاسوشيهدرون الثالِثِ – الَّذِي يَتَكَوَّن بِبَساطَة مِن رَأْسَيْنِ وَحافَة – كَما يَلِي: \[\begin{tikzcd} ( ( \bullet \bullet ) \bullet) & & ( \bullet \bullet \bullet ) \ar{ll}[swap]{\lambda} \ar{rr}{\rho} & & ( \bullet( \bullet \bullet ) ) \end{tikzcd}\] كَما نَحْنُ قادِرُونَ أَيْضاً عَلَى إِنْشاءِ تَضْمِينات تُحافِظ عَلَى التَسْمِيَة \(\mathcal K_a\hookrightarrow \mathcal K_{a+b}\)، لِكُلِّ \(a,b\in \mathbb N\)، وَبِالتالِي قَد تُوجَد فِي مُخَطَّطاتٌ تَبادُلَيْهِ عَلَى \(\SN\) مُشْتَقّه مِن اسوشيهدرا ذاتِ أَبْعادَ مُتَعَدِّدَةِ.
وَصَفَ أَكْثَرَ تَفْصِيلاً لِهٰذا مَوْجُودٌ فِي (PH22,PH22c)، اِسْتِناداً إِلَى الجَبْر الأَساسِيُّ المَوْصُوف فِي (PH22b).
عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّهُ لا يُوجَد إِنْسان هُوَ جَزِيرَةِ بِمُفْرَدِهِ، أَفْضَلَ أَنَّ أُضِيفَ الشُكْرِ – وَالَّذِي سَيَكُون كَثِيراً – إِلَى النُسَخِ النِهائِيَّةِ المَنْشُورَةُ مِن الأَوْراقِ.