ملخص

مسألة \(3x+1\) الشهيرة لِL. Collatz لا تحتاج إلى مقدمة؛ غير أنّ هذا البحث يتناول مسألة أقل شهرة ولم تُحلّ بعد: التخمين الأصلي لكولاتز، أو OCC (Lag85).

نوضح أنّ التحويل الحسابي الأساسي المهم في OCC، عند دمجه مع تشابك J.-Y. Girard من نظامه لـ«هندسة التفاعل» (GOI1, GOI2)، يؤدي إلى تحقيق زمرة R. Thompson \(\mathcal{F}\) كدوال تقابلية، بمعنى J. Conway (JC72).

نقدّم أيضاً النظرية الفئوية الكامنة التي تفسّر ذلك، ونصف التحويل الأساسي المتعلق في OCC كتطابق تماسكي قياسي.

تعريفات أساسية: فرضية كولاتز الأصلية وتشابك جيرار

نبدأ بفرضية كولاتز الأصلية، كما وردت في (Lag85).

نرمز لزُمرة التباديل على \(\mathbb{N}\) بـ\(\mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\)، ونعرف تحويل كولاتز الأصلي \(\rho\in \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\) على النحو التالي: \[ \rho(n) = \begin{cases} \frac{2n}{3} & n\equiv 0\pmod{3}, \\ \frac{4n-1}{3} & n\equiv 1\pmod{3}, \\ \frac{4n+1}{3} & n\equiv 2\pmod{3}. \end{cases} \]

النقط الثابتة الوحيدة لـ\(\rho\) هي \(\{0,1\}\subseteq \mathbb{N}\)، كما أنّ مدارات جميع الأعداد في \(\{0,\ldots ,9\}\setminus\{8\}\) منتهية.

بحساب بسيط، يتبيّن أنّ \(\{0,1\}\) هما الحلّان الوحيدان للمعادلة \(\rho(n)=n\). وبالحساب المباشر، \(2\rightarrow 3 \rightarrow 2\) و\(4\rightarrow 5\rightarrow 7\rightarrow 9\rightarrow 6\rightarrow 4\) مدارات منتهية.

كما ورد في (Lag85)، ظهر هذا التحويل في دفاتر ملاحظات غير منشورة لكولاتز بتاريخ الأوّل من مايو 1932 أساساً للتخمين التالي (غير المحلول حتى الآن):

مدار العدد \(8\) تحت \(\rho\) غير منتهٍ.

نجمع الآن بين التحويل الأساسي لفرضية كولاتز الأصلية ومفهوم التشابك المنطقي في نموذج جان-إيف جيرار (GOI1, GOI2). كما أشير إليه في (PHD, HA, AHS)، يعتمد نظام جيرار على الأحادِيّة العكسيّة \(\mathcal{I}(\mathbb{N})\) للتحويلات التقابلية الجزئية على \(\mathbb{N}\)؛ ونقتصر نحن على الزمرة الفرعية \(\mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{I}(\mathbb{N})\).

تشابك جيرار هو العملية \(\star : \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\times \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\rightarrow \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\) المعطاة بـ \[ (a\star b)(n) = \begin{cases} 2\,a\!\left(\frac{n}{2}\right) & n\text{ زوجي}, \\ 2\,b\!\left(\frac{n-1}{2}\right)+1 & n\text{ فردي}. \end{cases} \] ومن المعروف (مثلاً PHD, HA, AHS) أنّ هذه العملية أُحاديّة؛ أي إنها تعطي تضميناً.

تبسيط طفيف

يركّز مفهوم OCC على مدارات الأعداد الطبيعية تحت التحويل \(\rho\). نقوم بتعديل \(\rho\) عبر دالة الإزاحة وعكسها (المعرّفة جزئياً) للتخلّص من التفاهة \(\rho(0)=0\)، مع الحفاظ على سلوك المدارات الأخرى:

نعرّف التحويل المُخفَّض لكولاتز \(\lambda\in \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\) بأنّ \(\lambda(n)=\rho(n+1)-1\). هذا تحويل مُحكَم التعريف على \(\mathbb{N}\)، نظراً لأنّ \(\rho(0)=0\). وعند توسيع التعريف نحصل على الصيغة الصريحة: \[ \lambda (n) = \begin{cases} \frac{4n}{3} & n\equiv 0\pmod{3}, \\ \frac{4n+2}{3} & n\equiv 1\pmod{3}, \\ \frac{2n-1}{3} & n\equiv 2\pmod{3}. \end{cases} \]

استناداً إلى التعريف، \(\lambda^K(n)=\rho^K(n+1)-1\)، لذا فإنّ الأسئلة حول المدارات غير التافهة لـ\(\rho\) وتلك الخاصة بـ\(\lambda\) قابلة للتبادل؛ ويصبح تخمين OCC مكافئاً للقول إن مدار العدد 7 تحت \(\lambda\) غير منتهٍ.

\(\lambda\neq\rho\)، و\(\lambda(n)=\rho(n)\iff n=0\)، لكل \(n\in\mathbb{N}\).

من الواضح أنّ \(\lambda\neq\rho\). وبتحليل الحالات الثلاث بصورة منفصلة يتبيّن أنّ مساواة \(\lambda(n)=\rho(n)\) تُفضي إلى الحاجة إلى \(n=0\)، وإلا نتطلب \(n=-1\notin\mathbb{N}\)، وهو تناقض.

دمج التحويلين الأصلي والمُخفَّض لكولاتز

يمكن إعطاء معكوسي \(\lambda,\rho\in \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\) بشكل صريح كما يلي: \[ \lambda^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{3n}{4} & n\equiv 0\pmod{4}, \\ \frac{3n-2}{4} & n\equiv 2\pmod{4}, \\ \frac{3n+1}{2} & n\text{ فردي}, \end{cases} \quad\text{و}\quad \rho^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{3n}{2} & n\equiv 0\pmod{2}, \\ \frac{3n+1}{4} & n\equiv 1\pmod{4}, \\ \frac{3n-1}{4} & n\equiv 3\pmod{4}. \end{cases} \] تركيب التحويل المُخفَّض مع معكوس التحويل الأصلي ينتج تحويلاً سبق أن ظهر في نظرية الفئات والمنطق:

نعرّف المُقترِن \(\alpha\in \mathfrak{S}_{\mathbb{N}}\) بأنّ \(\alpha=\lambda\,\rho^{-1}\)؛ أي \(\alpha(n)=\rho\bigl(\rho^{-1}(n)+1\bigr)-1\). وعند التوسيع نحصل على: \[ \alpha(n)=\begin{cases} 2n & n\equiv 0\pmod{2}, \\ n+1 & n\equiv 1\pmod{4}, \\ \frac{n-1}{2} & n\equiv 3\pmod{4}, \end{cases} \quad\text{و}\quad \alpha^{-1}(n)=\begin{cases} \frac{n}{2} & n\equiv 0\pmod{4}, \\ n-1 & n\equiv 2\pmod{4}, \\ 2n+1 & n\text{ فردي}. \end{cases} \]

يمكن اعتبار المُقترِن «التحويل المُخفَّض لكولاتز مركّباً مع معكوس التحويل الأصلي». وبالمقارنة مع أيٍّ من تحويلي كولاتز، فإن مدارات الأعداد تحت المُقترِن سهلة الوصف للغاية.

للمُقترِن نقطة ثابتة وحيدة، هي \(\alpha(0)=0\). ومدار كل \(n>0\in\mathbb{N}\) يملك حدّاً أدنى موضعياً إذا وفقط إذا كان \(n\) زوجياً؛ ولا يوجد حدٌّ أقصى موضعي، ولذا فإن مدار كل \(n>0\) غير منتهٍ.

من الأسهل (لكنّه مكافئ) إثبات ذلك للمعكوس، \(\alpha^{-1}=\rho\,\lambda^{-1}\).

من البدهي أنّ \(\alpha^{-1}(0)=0\)؛ وهي الوحيدة، إذ إنّ \(\alpha^{-1}(n)=n\iff \rho(n)=\lambda(n)\)، ممّا يتناقض مع البيان [noCoincidence-lem] لأي \(n\neq0\). عندما يكون \(n\) فردياً، \(\alpha^{-1}(n)=2n+1>n\)؛ وهو أيضاً فردي، ولذا \(n<\alpha^{-1}(n)\) لكل \(n\) فردي. أمّا عندما يكون \(n>0\) زوجياً فإن \(\alpha^{-1}(n) وقد يكون زوجياً أو فردياً، لكن لا يمكن أن يكون صفراً لأنّ \(\alpha^{-1}\) تحويل. وعليه، فإن أي مدار يبدأ بعددٍ زوجي غير صفري ينخفض حتى يصل إلى عددٍ فردي (حدّ أدنى موضعي)، ثم يزداد بلا حدود.

كل مدار منتهٍ يصل إلى حدٍّ أقصى وحدٍّ أدنى؛ ولذلك فإن المدار الوحيد المنتهِي تحت \(\alpha^{-1}\) (وبالتالي تحت \(\alpha\)) هو النقطة الثابتة \(\alpha^{-1}(0)=0=\alpha(0)\).