أزواج الكثافة–الكمون الجاذبي لعائلة من الأقراص المحدودة

Earl Schulz

مُلَخَّص

نعرض حلولًا تحليلية دقيقة لثلاثة أقراص محدودة ذات كثافة سطحيّة \(\Sigma_n = \sigma_0 \left(1-\frac{R^2}{\alpha^2}\right)^{\,n-\frac{1}{2}}\) مع \(n=0,\,1,\,2\). تُقدَّم صِيَغ مُغلَقة في الإحداثيّات الأسطوانيّة باستخدام الدوالّ الأوّلية فقط لكلٍّ من الكمون الجاذبي والمجال الجاذبي لهذه الأقراص.

القرص \(n=0\) هو صفيحة هوموئيْديّة مُفلطحة (flat homoeoid) كثافتها السطحية \(\Sigma_{\mathrm{hom}} = \frac{\sigma_0}{\sqrt{1-\frac{R^2}{\alpha^2}}}\). نُقدِّم هنا نتائج مُحسّنة لهذا القرص. أمّا القرص \(n=1\) فهو قرص Maclaurin بوصفه الحدّ الرقيق للجرم الأهليلجيّ المفلطح لماكلورين، وتكون كثافته \(\Sigma_{\mathrm{Mac}} = \sigma_0 \sqrt{1-\frac{R^2}{\alpha^2}}\). نستخلص كمونَه هنا عبر تكامل كمون القرص \(n=0\) بالنسبة إلى \(\alpha\) مع الاستفادة من خطيّة معادلة Poisson. والقرص \(n=2\) ذو كثافة سطحية \(\Sigma_{\mathrm{D2}} = \sigma_0 \left(1-\frac{R^2}{\alpha^2}\right)^{3/2}\)، ونستخرج كمونَه بتكامل كمون القرص \(n=1\).

مقدمة

تُوفِّر ملاحظات المجرّات المُشاهَدة من الحافة معلومات بنيويّة وحركيّة ثلاثيّة الأبعاد بتفصيلٍ كبير. ومع ذلك، لم تكن المحاولاتُ لاستنتاج توزيعات الكتلة من هذه البيانات ناجحةً تمامًا. تكمن إحدى الصعوبات في حساب الكمون الجاذبي ومُتَّجه المجال لقُرصٍ محدود. هناك حاجةٌ إلى نماذج أقراصٍ محدودة محلولة تمامًا تُستَخدم في الدراسات النظريّة، ولمعايرة برمجيّات المحاكاة، وكقوالب أوّلية لملاءمة المشاهدات ثلاثيّة الأبعاد مباشرةً.

مثال: مجال القوّة لنموذج مجرّي بسيط

تستفيد الدراسات ثلاثيّة الأبعاد، مثل تلك المعنيّة ببنية وحركيّة الغاز خارج القرص في المجرّات، من استخدام أزواج الكثافة–الكمون الجاذبي الجديدة. وللتوضيح، بُنِي نموذجٌ مجرّي بسيط يتكوّن من قرص \(n=2\) ومكوِّن مركزي (نواة/انتفاخ) مُمثَّل بكتلةٍ نقطيّة. يُعرَّف هذا النموذج بثلاثة معلمات: كتلة القرص، وكتلة المكوّن المركزي، وقُطر القرص. كما هو موضّحٌ في الشكل، فإن السرعة الدورانية، المحسوبة على النحو \(V_c=\sqrt{-\,R\,F_R(R,z)}\)، تبقى شبه ثابتة على معظم امتداد القرص. كذلك فإن مشتقّ السرعة الدورانية بالنسبة إلى \(z\) يكاد يكون ثابتًا على نطاقٍ واسع من كلٍّ من \(R\) و\(z\).