latex
تُعْطِي الحُلُولِ التَحْلِيلِيَّة الدَقِيقَةِ لِثَلاثَةِ أَقْراص مَحْدُودَةٍ بِكَثافَةٍ سَطْحِيَّةٍ \(\Sigma_n = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{n-1/2}\) مَعَ \(n=0, 1, 2\). تَقَدَّمَ الحُلُولِ المُغْلَقَةِ بِالإِحْداثِيّات الأُسْطُوانِيَّة بِاِسْتِخْدامِ الدوال الأَوَّلِيَّةِ فَقَط لِلجَهْد الكَهْرَبائِيِّ وَلِلمَجال الجاذبي لِكُلِّ مِن الأَقْراص.
القُرْصِ \(n=0\) هُوَ الهومويد المُسَطَّحِ الَّذِي لَهُ \(\Sigma_{hom} = \sigma_0/\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). تَقَدَّمَ نَتائِجِ مُحَسِّنه لِهٰذا القُرْصِ. القُرْصِ \(n=1\) هُوَ قُرْص Maclaurin الَّذِي لَهُ \(\Sigma_{Mac} = \sigma_0 \sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). قُرْص Maclaurin هُوَ حالَةِ حَدِيَهُ لِلجِسْم الكُرَوِيِّ Maclaurin. يُوجَد جُهْدٍ قُرْص Maclaurin هُنا مِن خِلالَ دَمْجِ جُهْدٍ القُرْصِ \(n=0\) عَلَى مَدَى \(\alpha\)، مُسْتَغَلّاً خَطَّيْهِ مُعادَلَةِ Poisson. القُرْصِ \(n=2\) لَهُ كَثافَةُ سَطْحِيَّةٍ \(\Sigma_{D2} = \sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{3/2}\). يُوجَد الجُهْدِ مِن خِلالَ دَمْجِ جُهْدٍ القُرْصِ \(n=1\).
تُوَفِّر مُلاحَظاتٍ المَجَرّات المَنْظُورَة مِن الجانِبِ مَعْلُوماتٍ هَيْكَلِيَّةِ وَحَرَكِيّه ثُلاثِيَّةٌ الأَبْعاد بِالتَفْصِيلِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، لَم تَكُن المُحاوَلاتِ لِاِسْتِخْدامِ هٰذِهِ البَياناتِ لَتَوْلِيد تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ ناجِحَةً تَماماً. إِحْدَى المُشْكِلاتِ هِيَ أَنَّهُ مِن الصَعْبِ حِسابِ الجُهْدِ وَمُتَّجِهات القُوَّةِ لِلأَقْراص المَحْدُودَةَ. هُناكَ حاجَةٍ إِلَى أَقْراص مَحْدُودَةٍ مَحْلُوله بِالكامِلِ يُمْكِن اِسْتِخْدامُها لِلدِراساتِ النَظَرِيَّةِ، وَلِمَعايِره بَرامِجِ الكَمْبيُوتِر، وَكَدَوال أَساسِيَّةٍ لنمذجه المُلاحَظاتِ ثُلاثِيَّةٌ الأَبْعاد مُباشَرَةً.
يُفْتَرَض نمذجه الكُتْلَةِ عادَةً أَنَّ كُتْلَةِ القُرْصِ مَوْجُودَةٌ فِي قُرْص لا نِهائِيِّ. تَشْمَل هٰذِهِ الأَقْراص القُرْصِ الأَسَى (fre70)، وَقُرْص ميستل (mes63)، وَقُرْص كوزمين-تومري (too63, bin08, eva92, con00::1)، وَقُرْص ريبيكي (eva93).
تَمَّ حَلٍّ عَدَدٍ قَلِيلٍ مِن الأَقْراص المَحْدُودَةَ تَحْلِيلِيّا لِجَمِيعِ \((R,z)\). يُقَدِّم (las83) وَ (vok98) حَلّاً لِجَمِيعِ \((R,z)\) لَقُرْص رَقِيق مَحْدُودٍ بِكَثافَةٍ ثابِتَةٍ. تَقْتَرِب الجاذِبِيَّة مِن اللانِهايَة عِنْدَ حافَةِ هٰذا القُرْصِ. جاذِبِيَّةً قُرْص ميستل المَحْدُودِ (mes63, lyn78, hun84) وَالقُرْص الأَسَى المَقْطُوع (cas83) مَحْدُودَةٍ عِنْدَ حافَةِ القُرْصِ وَلٰكِن لَم يَتِمّ حَلٍّ هٰذِهِ الأَقْراص بِشَكْلٍ مُغْلَقٍ لِلنِقاط خارِجَ القُرْصِ. يَصِف (hur08, hur05::1) طَرِيقَةِ لِتَقْرِيبِ الجُهْدِ لَقُرْص قانُونِ القُوَّةِ لِلنِقاط عَلَى القُرْصِ وَخارِجَهُ.
تَرْتَبِط عائِلَةِ الأَقْراص المَحْدُودَةَ ذاتِ الكَثافَةِ السَطْحِيَّةُ \( \Sigma_n(R;\alpha) = \left(1- {R^2}/{\alpha^2}\right)^{n-1/2}\) بِالكُرَوِيّ ماكلورين الَّذِي تَمَّت دِراسَتَهُ مُنْذُ زَمَنٍ نِيُوتُن. تَمَّت دِراسَةٌ هٰذِهِ العائِلَةِ مُؤَخَّراً بِواسِطَةِ (gon06) وَ (ped08). يَسْتَخْدِم (gon06) طَرِيقَةِ (hun63) لِلحُصُولِ عَلَى الحَلِّ العامِّ كَمَجْمُوع لَمُتَعَدِّدات الحُدُودِ لِيُجَنْدِر فِي الإِحْداثِيّات البَيْضَوِيَّة وَيُعْطِي تَعْبِيرات مُقِيمه لِلجُهُودِ لِلأَقْراص 1، 2، و3. هُنا نَشْتَقّ حُلُولاً مُغْلَقَةً الشَكْلِ كامِلَةٍ بِإِحْداثِيّات أُسْطُوانِيّه لِلجَهْد وَالمَجالات الجاذِبِيَّة لِلأَقْراص n=0، 1، و2. نَبْسُط التَكامُلِ بِالاِنْتِقال إِلَى المَجالِ التَخَيُّلِيّ بِطَرِيقَةٍ مُشابِهَةٍ لِطَرِيقَةِ الإِزاحَة المَرْكَبَةِ الَّتِي قَدَّمَها أُبِيل. أَنْظُر (cio08, cio07) وَالمَراجِعِ المَذْكُورَةِ فِيها
يَتْبَع الجُهْدِ الجاذبي مُعادَلَةِ بواسون \(\nabla^2\Phi = 4\pi\G\rho\). مُعادَلَةِ بواسون خَطَّيْهِ بِحَيْثُ يُمْكِن إِضافَةً الحُلُولِ. أَيّ، إِذا كانَ \(\nabla^2\Phi_1=4\pi\G\rho_1\) وَ \(\nabla^2\Phi_2=4\pi\G\rho_2\) ثُمَّ \(\nabla^2(\Phi_1+\Phi_2)=4\pi\G(\rho_1+\rho_2)\). بِالمِثْلِ، يُمْكِن تَمْيِيزٍ الحُلُولِ بِالنِسْبَةِ لَمُعَلِّمه لِلحُصُولِ عَلَى حَلٍّ جَدِيدٍ. اِسْتَغَلَّ (too63) وَ (lyn89) هٰذِهِ الخَطِيَّة لِإِيجادِ عائِلَةِ مِن أَزْواج السُرْعَةِ-الكَثافَةِ عَن طَرِيقِ تَمْيِيزٍ نَمُوذَجَ (kuz56). بِنَفْسِ الطَرِيقَةِ، أَسْتَمِدّ (sat80) نَماذِجَ جَدِيدَةٍ مِن مَجْمُوعَةِ أَزْواج الجُهْدِ-الكَثافَةِ (miy75) عَن طَرِيقِ التَمْيِيزِ بِالنِسْبَةِ لَمُعَلِّمه. هُنا نَسْتَخْدِم نَهْجاً مُماثِلا عَن طَرِيقِ دَمْجِ حَلٍّ مَعْرُوفٌ بِالنِسْبَةِ لَمُعَلِّمه. إِذا كانَ التَكامُلِ قابِلٌ لِلتَنْفِيذِ، فَالنَتِيجَةُ هِيَ زَوْج جُهْدٍ-كَثافَةُ جَدِيدٍ.
تَمَّ اِسْتِخْدامِ Maple 11 فِي هٰذا العَمَلِ. كانَ Maple لا غِنَى عَنهُ فِي تَبْسِيطِ النَتائِجِ الوَسِيطَة الثَقِيلَةِ وَلٰكِنَّهُ اِحْتاجَ إِلَى الكَثِيرَ مِن التحفيز لِلتَعامُلِ مَعَ المُعادَلات الأَكْثَرَ فَوْضَوِيَّةٌ. تَمَّ التَحَقُّقِ مِن نَتائِجِ Maple بِعِدَةِ طُرُقٍ.
يَتِمّ اِسْتِخْدامِ تَدْوِينُ مُشْتَرَكٍ فِي جَمِيعِ أَنْحاءِ النَصِّ. تُسْتَخْدَم الإِحْداثِيّات الأُسْطُوانِيَّة \((R,z)\)؛ \(\Sigma\) هِيَ الكَثافَةِ السَطْحِيَّةُ لِلقُرْص؛ \(\sigma_0\) هِيَ الكَثافَةِ السَطْحِيَّةُ عِنْدَ \(R=0\)؛ وَ\(\alpha\) هُوَ نِصْفِ قَطَرِ القُرْصِ. \(\Phi\) هُوَ الجُهْدِ حَيْثُ \(\Phi\) دائِماً سَأَلُبّ وَ\(\Phi(\infty) =0\)؛ \(F_R\) وَ\(F_z\) هِيَ مُتَّجِهات المَجالِ الجاذبي مَعَ اِتِّفاقِيَّةِ العَلّامَةُ القِياسِيَّةِ، أَيّ: \(\vec{F} = - \vec{\nabla} \Phi\) .
تُسْتَخْدَم القِيَمِ الرَئِيسِيَّةِ لِلوَظائِف الأَوَّلِيَّةِ بِحَيْثُ، عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، لِ \(z=x+\I y=r \cos(\theta) + \I r \sin(\theta)\)؛ \(\sqrt{z}=\sqrt{r}\cos(\theta/2) +\I \sqrt{r}\sin(\theta/2)\)، صالِح لِ \(-\pi<\theta<\pi\). بِهٰذِهِ الطَرِيقَةِ، تَكُون الوَظِيفَةِ \(\sqrt{z}\) غَيْرِ غامِضَةٍ مَعَ مُشْتَقّات مُسْتَمِرَّةٌ بِاِسْتِثْناءِ المِحْوَرُ الحَقِيقِيِّ السالِب حَيْثُ تَكُون غَيْرِ مُسْتَمِرَّةٌ.
القِشْرَة المُتَجانِسَة هِيَ قِشْرَةً ذاتِ كَثافَةُ مُوَحَّدَةٍ مَحْدُودَةٍ بِواسِطَةِ السفيرويدات المُتَشابِهَةَ. كانَ نِيُوتُن أَوَّلِ مِن أَثْبَت أَنَّ القُوَّةِ الصافِيَةِ تُساوَى 0 (أَيّ أَنَّ الجُهْدِ ثابِتٌ) داخِلَ هٰذِهِ القشرات. أَنْظُر (cha87) لِلخَلْفِيَّة التارِيخِيَّةِ. القِشْرَة المُتَجانِسَة رَقِيقَةٌ لا نِهائِيّاً هِيَ عُنْصُرٍ تَفاضُلِيّ مِن سفيرويد. القُرْصِ المُتَجانِس هُوَ الحالَةِ الحديه الَّتِي يَقْتَرِب فِيها المِحْوَرُ الصَغِيرِ مِن 0. كَثافَةُ الاِنْهِيارِ لِلقِشْرَة المُتَجانِسَة الرَقِيقَةِ هِيَ:
\[\label{eq:HomSurfDens} \Sigma_{hom}(R;\alpha) = \begin{cases} {\sigma_0} /{\sqrt{1-R^2/\alpha^2}} & \textrm{لِ } R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ } R>\alpha \end{cases}\]
(lyn89) يُعْطِي صِيغَةِ لِلجَهْد الخارِجِيِّ لِلقِشْرَة المُتَجانِسَة الرَقِيقَةِ. أَخَذَ الحَدِّ \(c=(1-e^2)^{1/2} \alpha\rightarrow0\) يُعْطِي حَلّاً لِلقُرْص صالِحاً فِي جَمِيعِ \(R\) وَ \(z\).
(cud93) يُعْطِي تَعْبِيراً عَن جُهْدٍ هٰذا القُرْصِ وَهُوَ أَبْسَطِ مِن الحُلُولِ السابِقَةِ: \[\label{eq:CudPhi} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -2\pi\alpha\sigma_0\G\arcsin\left[\frac{2\alpha}{\sqrt{z^2+(R+\alpha)^2} + \sqrt{z^2+(R-\alpha)^2} }\right]\] يُمْكِن تَبْسِيطِ المُعادَلَةَ [eq:CudPhi] أَكْثَرَ. أَوَّلاً قَمَّ بِالتَحْوِيل البَسِيطِ: \[\label{eq:CudPhi1} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -2\pi\alpha\sigma_0\G\arcsin\left[\frac{\sqrt{z^2+(R+\alpha)^2} - \sqrt{z^2+(R-\alpha)^2}}{2R} \right]\] الآنَ اِسْتَخْدَمَ الهُوِيَّةِ [eq:IdentA1] لِلحُصُولِ عَلَى \[\label{eq:HomPhi} \Phi_{hom}(R,z;\alpha) = -\pi\alpha\sigma_0\G~\left[\arcsin\left(\frac{ \alpha-\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right) \right]\]
يُمْكِن دَمْجِ المُعادَلَةَ [eq:HomPhi] عَلَى \(\alpha\) بَيْنَما تُؤَدِّي المُعادَلَةَ [eq:CudPhi1] إِلَى تَكامُلٍ مُسْتَحِيلٌ. يَجِب أَنَّ تَكُون المُعادَلَةَ [eq:HomPhi] ذاتِ قِيمَةَ حَقِيقِيَّةٍ بِناءَ عَلَى الأُسُسِ الفِيزيائِيَّة. مِن السَهْلِ إِثْباتِ ذٰلِكَ بِمُلاحَظَة أَنَّ (x) هِيَ دالَّةٍ فَرْدِيَّةٍ لِ x وَبِالتالِي تُلْغِي القُوَى الفَرْدِيَّةِ لِ \(\I z\) فِي تَوَسُّع المُتَسَلْسِلَة لِلمُعادَلَة [eq:HomPhi]، مِمّا يَتْرُك نَتِيجَةَ ذاتِ قِيمَةَ حَقِيقِيَّةٍ.
يَتِمّ الحُصُولِ عَلَى المَجالِ الجاذبي لِلقِشْرَة المُتَجانِسَة المُنْهارَة مِن الجُهْدِ. تُعْطِي المُعادَلَةَ [eq:HomPhi] تَعْبِيرات بَسِيطَةً بِشَكْلٍ خاصٍّ لِ مُتَّجِهات الحَقْل \( F_{R,hom}\) وَ \( F_{z,hom}\): \[\begin{aligned} F_{R,hom}(R,z;\alpha) &= -\frac{\pi\alpha\sigma_0\G}{R} \left[ \frac{\alpha-\I z}{\sqrt{R^2 - (\alpha- \I z)^2} } + \frac{\alpha+\I z}{\sqrt{R^2 + (\alpha -\I z)^2} }\right]\\ F_{z,hom}(R,z;\alpha) &= -{\pi\alpha\sigma_0\G} \left[ \frac{\I}{\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}} - \frac{\I}{\sqrt{R^2 - (\alpha+\I z)^2} }\right]\end{aligned}\]
يُمْكِن التَعْبِيرِ عَن هٰذِهِ مُتَّجِهات القُوَّةِ كَدَوال حَقِيقِيَّةٍ بِالكامِلِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ [eq:IdentA8] وَ [eq:IdentA9]: \[\begin{aligned} F_{R,hom}(R,z;\alpha) &= -{\sqrt{2}\pi\alpha\sigma_0\G}~\frac{\alpha\sqrt{f_1 f_2 -f_3} - \abs{z}\sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{ R f_1 f_2}\\ F_{z,hom}(R,z;\alpha) &= -{\sqrt{2}\pi\alpha\sigma_0\G}~\frac{\sgn(z)\sqrt{f_1 f_2 +f_3} } {f_1 f_2 }\end{aligned}\] حَيْثُ \[\begin{aligned} \label{eq:Define-f1-f2-f3} f_1 &= \sqrt{z^2+(R +\alpha)^2} \nonumber \\ f_2 &= \sqrt{z^2+(R -\alpha)^2} \\ f_3 &= \alpha^2 -R^2 -z^2 \nonumber \end{aligned}\]
بَدَأَ كُولِين ماكلورين، بِالإِضافَةِ إِلَى جيمس ايفوري وَالعَدِيد مِن الآخَرِينَ، فِي دِراسَةٌ خَصائِصِ الأَجْسام البَيْضاوِيَّةِ فِي أَوائِلِ القَرْنِ الثامِنِ عَشَرَ (cha87). أَنْظُر أَيْضاً (bin08, ber00, sch56, mih68, kal71, kal72).
الكُرَوِيِّ المُسَطَّحِ المُتَجانِس هُوَ أَبْسَطِ حالَةِ لِجِسْمِ دُوارٌ يَتَوازَن فِيهِ الجَذْبِ الجاذِبِيَّة مَعَ القُوَّةِ الطارِدَة المَرْكَزِيَّةِ. قُرْص ماكلورين، المَعْرُوفُ أَيْضاً بِاِسْمِ قُرْص كالنايس (kal72)، هُوَ حالَةِ حَدِيَهُ يَكُون فِيها المِحْوَرُ الصَغِيرِ صِفْر. يَعْرِف قُرْص ماكلورين بِالكَثافَة السَطْحِيَّةُ: \[\label{eq:MacSurfDens} \Sigma_{Mac}(R;\alpha) = \begin{cases} \sigma_0 \sqrt{1-R^2/\alpha^2} & \textrm{لِ} R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ} R>\alpha \end{cases}\]
هُناكَ بِعَضِّ الحُلُولِ لَإِمْكانِيَّة قُرْص ماكلورين فِي الأَدَبِيّاتِ. يُقَدِّم (mih68) تَعْبِيراً عَن إِمْكانِيَّةَ الكُرَوِيِّ المُتَجانِس المُسَطَّحِ اِسْتِناداً إِلَى الاِشْتِقاق فِي (sch56). يُمْكِن العُثُورِ عَلَى إِمْكانِيَّةَ قُرْص ماكلورين عَن طَرِيقِ السَماحِ لِلشُذُوذ \( e \rightarrow 1\) مَعَ الحِفاظِ عَلَى الكُتْلَةِ ثابِتَةٍ. يُقَدِّم (hun63) الحَلِّ لَقُرْص ماكلورين كَسِلْسِلَة مِن مُتَعَدِّدات الحُدُودِ لِيُجَنْدِر فِي الإِحْداثِيّات البَيْضاوِيَّةِ. يُقَدِّم (neu95, mei01, gon06) حَلّاً مُغْلَقاً لَإِمْكانِيَّة قُرْص ماكلورين فِي الإِحْداثِيّات البَيْضاوِيَّةِ.
نُقْطَةً البِدايَةِ هُنا هِيَ زَوْج الكَثافَةِ-الإِمْكانِيَّة لِلقُرْص n=0، الهومويد المُسَطَّحِ الَّذِي \(\Sigma_{hom}(R;\alpha)=\sigma_0/\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\). يَتِمّ العُثُورِ عَلَى كَثافَةُ الكُتْلَةِ السَطْحِيَّةُ لَقُرْص ماكلورين مِن التَحْوِيلِ: \[\Sigma_{Mac}(R;\alpha) = \frac{1}{\alpha} \int^\alpha_0{ \Sigma_{hom}(R; \hat{\alpha} ) ~d\hat{\alpha}} = \frac{1}{\alpha} \int^\alpha_0{\frac{\sigma_0}{\sqrt{1-R^2/\hat{\alpha}^2} } ~d\hat{\alpha}}= \sigma_0\sqrt{1-R^2/\alpha^2}\]
الإِمْكانِيَّة المُقابَلَةِ هِيَ: \[\Phi_{Mac}(R,z;\alpha) = \frac{1}{\alpha} \int^{\alpha}_0{ \Phi_{hom}(R;\hat{\alpha}) ~d\hat{\alpha}} = \frac{-\pi \sigma_0 \G }{\alpha} \int^{\alpha}_0 { \hat{\alpha} \left[\arcsin\left(\frac{\hat{\alpha}- \I z }{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\hat{\alpha}+ \I z }{R}\right) \right] d\hat{\alpha}}\] حَيْثُ يَتِمّ إِعْطاءِ التَعْبِيرِ عَن \(\Phi_{hom}\) بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:HomPhi] أَعْلاه. اِسْتَخْدَمَ التَكامُلِ 2.813 وَ 2.833 مِن (gra94) لِلحُصُولِ عَلَى:
\[\label{eq:MacPhi-Im} \begin{split} \Phi_{Mac}(R,z;\alpha)&= -\frac{\pi\sigma_0 \G}{4\alpha}\bigg[ ( 2\alpha^2 -R^2 +2z^2 )\left(\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha-\I z}{R}\right)\right)\\ &+\alpha \left( \sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2} +\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2} \right)\\ &-3\ z \left( \I\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2} -\I\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2} \right)\bigg] \end{split}\]
يُمْكِن تَحْوِيلِ المُعادَلَةَ [eq:MacPhi-Im] إِلَى تَعْبِيرِ كامِلٍ الواقِعِيَّةِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ [eq:IdentA1], [eq:IdentA6] وَ [eq:IdentA7]: \[\label{eq:MacPhi-Re} \begin{split} \Phi_{Mac}(R,z;\alpha) =-\frac{\pi\sigma_0 \G}{4\alpha}\bigg[& 2( 2\alpha^2 -R^2 +2z^2)\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ &+\sqrt{2}\alpha \sqrt{f_1 f_2 -f_3} -3\sqrt{2}\abs{z} \sqrt{f_1 f_2 +f_3} \bigg] \end{split}\] حَيْثُ يَتِمّ إِعْطاءِ \(f_1, f_2, f_3\) بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:Define-f1-f2-f3] أَعْلاه.
يَتِمّ العُثُورِ عَلَى المَجالِ الجاذبي لَقُرْص ماكلورين مِن الإِمْكانِيَّة بِاِسْتِخْدامِ \(\Phi\) كَما هُوَ مُعْطَى بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:MacPhi-Im]. تَمَّ التَعْبِيرِ عَن العِباراتِ الناتِجَةِ كَوَظائِف واقِعِيَّةٍ بِالكامِلِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ [eq:IdentA1], [eq:IdentA8]، وَ [eq:IdentA9]: \[\label{eq:MacFR-Re}\begin{split} F_{R,Mac}(R,z;\alpha)=& -\frac{\pi\sigma_0\G}{2 R \alpha} \Bigg[ 2 R^2\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ & +\sqrt{2}\alpha ( \alpha^2 -R^2 +z^2) \frac{\sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2}\\ & -\sqrt{2}\abs{z} ( \alpha^2 +R^2 +z^2) \frac{\sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\] \[\label{eq:MacFz-Re}\begin{split} F_{z,Mac}(R,z;\alpha) = & -\frac{\pi\sigma_0 \G}{ \alpha} \Bigg[ -2z\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ & + 2 \sqrt{2} \alpha z \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ & +\sqrt{2}~\sgn(z)~( \alpha^2 -R^2 -z^2) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\] حَيْثُ يَتِمّ إِعْطاءِ \(f_1, f_2, f_3\) بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:Define-f1-f2-f3] أَعْلاه.
يُمْكِن العُثُورِ عَلَى الإِمْكانِيَّة عَلَى مِحْوَرِ \(z\) وَعَلَى مُسْتَوَى \(z=0\) عَن طَرِيقِ أَخَذَ حُدُودِ المُعادَلَةَ [eq:MacPhi-Re]: \[\label{eq:MacPhizaxis} \Phi_{Mac}( 0,z;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{\alpha}\left[ \left( \alpha^2+ z^2 \right)\arcsin\left( \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}} \right) -\alpha \abs{z} ~\right]\]
\[\label{eq:MacPhiOnDisk} \Phi_{Mac}(R, 0;\alpha) = \begin{cases}-\frac{\pi^2\sigma_0\G}{4\alpha} \left( 2\alpha^2-R^2\right) & \textrm{لِ} R \leq \alpha \\ -\frac{\pi \sigma_0\G}{2\alpha} \left[ (2\alpha^2-R^2)\arcsin(\frac{\alpha}{R}) +\alpha\sqrt{R^2-\alpha^2}\right] &\textrm{لِ} R \geq \alpha \end{cases}\]
يَتِمّ العُثُورِ عَلَى مُتَّجِه القُوَّةِ الشُعاعِيَّة فِي مُسْتَوَى \(z=0\) عَن طَرِيقِ أَخَذَ حَدٍّ المُعادَلَةَ [eq:MacFR-Re] أَو عَن طَرِيقِ التَفاضُل فِي المُعادَلَةَ [eq:MacPhiOnDisk] بِالنِسْبَةِ لِ \(R\).
\[\label{FRMac_in_plane} F_{R,Mac}(R, 0;\alpha) = \begin{cases} - \frac{\pi^2 R\sigma_0\G} {2 \alpha}& \textrm{لِ} R\leq\alpha\\ - \frac{\pi\sigma_0\G} {\alpha}\left[ {R\arcsin({\alpha}/{R}} )-\alpha\sqrt{1-\alpha^2/R^2}\right] & \textrm{لِ} R\geq\alpha \end{cases}\]
يَتِمّ العُثُورِ عَلَى مُتَّجِه القُوَّةِ المِحْوَرِيَّة عَلَى مِحْوَرِ \(z\) عَن طَرِيقِ أَخَذَ حَدٍّ المُعادَلَةَ [eq:MacFR-Re] أَو التَفاضُل فِي المُعادَلَةَ [eq:MacPhizaxis] بِالنِسْبَةِ لِ \(z\).
\[\label{FzMac_in_plane} F_{z,Mac}( 0,z ;\alpha) = -\frac{2\pi\sigma_0\G} {\alpha}\left[z\arcsin\left( \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right) -\alpha~\sgn(z)\right]\]
(gon06) يُقَدِّمُونَ حَلّاً مُغْلَقاً لَإِمْكانِيَّة القُرْصِ n=2 فِي الإِحْداثِيّات الإِهْلَيْلَجِيَّة.
كَثافَةُ سَطْحِ القُرْصِ لِلقُرْص n=2 هِيَ \[\label{eq:D2SurfDens} \Sigma_{D2}(R;\alpha) = \begin{cases} {\sigma_0} { (1-R^2/\alpha^2)^{3/2}} & \textrm{لِ} R<\alpha \\ 0 & \textrm{لِ} R>\alpha \end{cases}\]
يُمْكِن الحُصُولِ عَلَى تَوْزِيعِ الكُتْلَةِ هٰذا مِن المُعادَلَةَ [eq:MacSurfDens]، كَثافَةُ سَطْحِ القُرْصِ لِلقُرْص n=1، بِالتَحْوِيل: \[\Sigma_{D2}(R;\alpha) = \frac{3}{\alpha^3} \int^\alpha_0{ \hat{\alpha}^2 \Sigma_{Mac}(R; \hat{\alpha} ) d\hat{\alpha}}\]
الإِمْكانِيَّة المُقابَلَةِ هِيَ: \[\label{eq:D2PhiTransform} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) = \frac{3}{\alpha^3} \int^{\alpha}_0{ \hat{\alpha}^2 \Phi_{Mac}(R,z;\hat{\alpha}) ~d\hat{\alpha}}\] حَيْثُ يَتِمّ إِعْطاءِ التَعْبِيرِ عَن \(\Phi_{Mac}\) بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:MacPhi-Im] أَعْلاه. تَحْتَوِي المُعادَلَةَ [eq:D2PhiTransform] عَلَى مُصْطَلَحاتٍ يُمْكِن حَلِّها بِاِسْتِخْدامِ (gra94) 2.262، 2.813، وَ 2.833 بُعْدَ جَمْعِ المُصْطَلَحاتِ، النَتِيجَةُ مَضْغُوطه بِشَكْلٍ مَعْقُولٍ:
\[\label{eq:D2Phi-Im} \begin{split} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) &= -\frac{\pi\sigma_0\G}{64\alpha^3}\Bigg[ 3( 8{\alpha}^4 -8{\alpha}^2{R}^2 +16\alpha^2{z}^2 +3{R}^4 -24{R}^2{z}^2 +8{z}^4 ) \left(\arcsin\left(\frac{\alpha+\I z}{R}\right)+\arcsin\left(\frac{\alpha-\I z}{R}\right)\right) \\ &+\alpha ( 18\alpha^2 -9{R}^2 +26{z}^2 ) \left( {\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2}} + {\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}}\right) \\ &-z(58\alpha^2 -55{R}^2 +50{z}^2 ) \left( {\I}{\sqrt{R^2-(\alpha+\I z)^2}} - {\I}{\sqrt{R^2-(\alpha-\I z)^2}}\right) \bigg] \end{split}\]
يُمْكِن تَحْوِيلِ المُعادَلَةَ [eq:D2Phi-Im] إِلَى تَعْبِيرِ كامِلٍ حَقِيقِيٍّ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ [eq:IdentA1], [eq:IdentA6] وَ [eq:IdentA7]: \[\label{eq:D2Phi-Re}\begin{split} \Phi_{D2}(R,z;\alpha) =&-\frac{\pi\sigma_0\G}{64\alpha^3}\Bigg[ 6( 8{\alpha}^4 -8{\alpha}^2{R}^2 +16\alpha^2{z}^2 +3{R}^4 -24{R}^2{z}^2 +8{z}^4 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right)\\ &+\sqrt{2}\alpha ( 18\alpha^2 -9{R}^2 +26{z}^2 ) \sqrt{f_1 f_2 -f_3}\\ &-\sqrt{2}\abs{z} (58\alpha^2 -55{R}^2 +50{z}^2 ) \sqrt{f_1 f_2 +f_3} \Bigg] \end{split}\] حَيْثُ \(f_1, f_2, f_3\) مُعْطاة بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:Define-f1-f2-f3] أَعْلاه.
مَجالِ الجاذِبِيَّة لِلقُرْص n=2 هُوَ التَدَرُّج لِلإِمْكانِيَّة بِاِسْتِخْدامِ \(\Phi\) كَما هُوَ مُعْطَى بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:D2Phi-Im]. تَمَّ التَعْبِيرِ عَن الصِيَغِ الناتِجَةِ كَدَوال حَقِيقِيَّةٍ بِالكامِلِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ [eq:IdentA1], [eq:IdentA8]، وَ [eq:IdentA9] :
\[\label{eq:D2FR-Re} \begin{split} F_{R,D2}(R,z;\alpha) &= - \frac{3\pi\sigma_0\G}{16 R \alpha^3} \Bigg[ 2R^2 (4\alpha^2R^2 -3R^4 +12 R^2z^2 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ &+ \sqrt{2}\alpha( 2\alpha^4 -5\alpha^2R^2 +4\alpha^2z^2 +3R^4 -25R^2z^2 +2z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ &+ \sqrt{2}\abs{z}( 2\alpha^4 +9\alpha^2R^2 +4\alpha^2z^2 -13R^4 -11R^2z^2 +2z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3}}{f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\]
\[\label{eq:D2Fz-Re} \begin{split} F_{z,D2}(R,z;\alpha) & = - \frac{\pi\sigma_0\G}{4 \alpha^3} \Bigg[ -6z( 2\alpha^2 -3R^2 +2z^2 )\arcsin\left( \frac{f_1-f_2}{2 R} \right) \\ & + \sqrt{2} \alpha z ( 13\alpha^2 -13R^2 +17z^2 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 -f_3}}{f_1 f_2} \\ & + \sqrt{2} ~\sgn(z) (( 4\alpha^4 -8\alpha^2R^2 -3\alpha^2z^2 +4R^4 -7R^2z^2 -11z^4 ) \frac{ \sqrt{f_1 f_2 +f_3} } {f_1 f_2} \Bigg] \end{split}\]
حَيْثُ \(f_1, f_2, f_3\) مُعْطاة بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ [eq:Define-f1-f2-f3] أَعْلاه.
الإِمْكانِيَّة عَلَى مِحْوَرِ \(z\) وَعَلَى مُسْتَوَى \(z=0\) يُمْكِن العُثُورِ عَلَيها بِأَخْذِ الحَدِّ مِن المُعادَلَةَ [eq:D2Phi-Re]: \[\label{eq:D2Phizaxis} \Phi_{D2}( 0,z;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{4\alpha^3}\left[ 3\left( \alpha^4+2\alpha^2 z^2 + z^4 \right)\arcsin\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right) -\alpha \abs{z}(5\alpha^2+3z^2) ~\right]\]
\[\label{eq:D2PhiOnDisk} \Phi_{D2}(R,0;\alpha) = \begin{cases}-\frac{3\pi^2\sigma_0\G}{64\alpha^3} \left( 8\alpha^4 -8\alpha^2R^2+3R^4\right) & \textrm{لِ} R \leq \alpha \\ -\frac{3\pi\sigma_0\G}{32\alpha} \left[ ( 8\alpha^4 -8\alpha^2R^2+3R^4)\arcsin(\frac{\alpha}{R}) +3\alpha(2\alpha^2-R^2)\sqrt{R^2-\alpha^2}\right] &\textrm{لِ} R \geq \alpha \end{cases}\]
مُتَّجِه القُوَّةِ الشُعاعِيَّة فِي مُسْتَوَى \(z=0\) يَتِمّ العُثُورِ عَلَيهِ بِأَخْذِ الحَدِّ مِن المُعادَلَةَ [eq:D2FR-Re] أَو بِالتَفاضُل مِن المُعادَلَةَ [eq:D2PhiOnDisk] بِالنِسْبَةِ لِ \(R\).
\[\label{FRD2_in_plane} F_{R,D2}(R, 0;\alpha) = \begin{cases} -\frac{3\pi^2 R\sigma_0\G} {16\alpha^3}(4\alpha^2-3R^2)& \textrm{لِ} R\leq\alpha\\ -\frac{3\pi\sigma_0\G} {8\alpha^3}\left[ R(4\alpha^2-3R^2)\arcsin({\alpha}/{R} ) -\alpha(2\alpha^2-3R^2)\sqrt{1-\alpha^2/R^2}\right] & \textrm{لِ} R\geq\alpha \end{cases}\]
مُتَّجِه القُوَّةِ المِحْوَرِيَّة عَلَى مِحْوَرِ \(z\) يَتِمّ العُثُورِ عَلَيهِ بِأَخْذِ الحَدِّ مِن المُعادَلَةَ [eq:D2Fz-Re] أَو بِالتَفاضُل مِن المُعادَلَةَ [eq:D2Phizaxis] بِالنِسْبَةِ لِ \(z\).
\[\begin{split}\label{eq:FzD2_OnZaxis} F_{z,D2}( 0,z ;\alpha) = - \frac{\pi\sigma_0\G}{2 \alpha^3( \alpha^{2}+{z}^{2}) } \bigg[ & -6(\alpha^2+z^2)^2 z \arcsin\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+z^2}}\right)\\ & +\alpha z^2(13\alpha^2+17z^2) & +\alpha\,\sgn(z)(4\alpha^4-3\alpha^2z^2-11z^4) \bigg] \end{split}\]
يُقارِن الجَدْوَلُ 1 الخَصائِص المُهِمَّةِ لِلقُرْصَيْنِ. يُقارِن القُرْصِ n=2 بِأَنَّهُ أَكْثَرَ تَرْكِيزا فِي المَرْكَزِ مِن قُرْص ماكلورين. تَزْداد السُرْعَةِ الدَوَرانِيَّة بِشَكْلٍ أَسْرَعِ فِي القُرْصِ الداخِلِيِّ وَتَبْدَأ فِي الاِنْخِفاضِ قِبَلَ الوُصُولِ إِلَى حافَةِ القُرْصِ. كَما هُوَ واضِحٍ، مُشْتَقّه السُرْعَةِ الدائِرِيَّةِ لَقُرْص ماكلورين غَيْرِ مُسْتَمِرَّةٌ عِنْدَ حافَةِ القُرْصِ بَيْنَما القُرْصِ n=2 يَتَصَرَّف بِشَكْلٍ أَفْضَلَ.
l r l l
الخاصِّيَّة&& قُرْص ماكلورين & القُرْصِ n=2
الكَثافَةِ السَطْحِيَّةُ &\( \Sigma(R) =\)&\( \sigma_0\sqrt{1 - {R^2}/{\alpha^2}} \)&\(= \sigma_0 (1 - {R^2}/{\alpha^2})^{3/2} \)
الكُتْلَةِ الكُلِّيَّةِ &\( M =\)&\( \frac23 \pi\alpha^2\sigma_0 \)&\(= \frac25\pi \alpha^2\sigma_0 \)
السُرْعَةِ الدائِرِيَّةِ &\( V_c^2(R,0) =\)&\( \dfrac{\pi^2 R^2\sigma_0\G} {2\alpha} \)&\(= \dfrac{3\pi^2 R^2\sigma_0\G (4\alpha^2 -3 R^2) } {16\alpha^3} \)
&= &\( \dfrac{3\pi R^2 M\G}{4\alpha^3} \)&\(= \dfrac{15\pi R^2 M \G(4\alpha^2 -3 R^2)}{32\alpha^3} \)
سُرْعَةٍ حافَةِ القُرْصِ &\( V_c^2(\alpha,0) =\)&\( \dfrac{\pi^2 \alpha \sigma_0\G} {2} \)&\(= \dfrac{3\pi^2 \alpha \sigma_0\G} {16} \)
&= &\( \dfrac{3 \pi M\G}{4\alpha} \)&\(= \dfrac{15\pi M\G}{32\alpha} \)
مَشاكِلَ ثُلاثِيَّةٌ الأَبْعاد مِثْلَ تِلْكَ المُتَعَلِّقَةِ بِبُنْيَة وَحَرَكِيّات الغازِ خارِجَ القُرْصِ سَتَسْتَفِيد مِن اِسْتِخْدامِ أَزْواج الكَثافَةِ-الجُهْدِ الجَدِيدَةِ. تَمَّ بِناءَ نَمُوذَجَ مَجَره بَسِيطٍ لِلتَوْضِيح. يَتَكَوَّن النَمُوذَجِ مِن قُرْص بِمَعامِل n=2 وَمِنْطَقَةٍ لُبِّ/اِنْتِفاخ منمذجه كَكُتْلَةٍ نقطيه. يَعْرِف هٰذا النَمُوذَجِ بِثَلاثَةِ مُعامَلاتِ: كُتْلَةِ القُرْصِ، وَكُتَله مِنْطَقَةِ اللُبّ/الاِنْتِفاخ، وَقَطَرِ القُرْصِ. كَما هُوَ مُوَضِّح فِي الشَكْلِ، فَإِنَّ السُرْعَةِ الدائِرِيَّةِ، المَحْسُوبَة ك \(V_c=\sqrt{(-V F_R(R,z)}\)، تَظَلّ ثابِتَةٍ تَقْرِيباً عَلَى مُعْظَمَ القُرْصِ. أَيْضاً، مُشْتَقّ السُرْعَةِ الدائِرِيَّةِ مَعَ \(z\) تَقْرِيباً خُطَى عَلَى نِطاقِ واسِعٍ مِن كُلِّ مِن \(R\) وَ\(z\).
يَتَوافَق الشَكْلِ بِشَكْلٍ مُدْهِش مَعَ الشَكْلِ 5 مِن (fra05::1) الَّذِي يُظْهِر أَنَّ السُرْعَةِ المقاسه لِ HI لِ NGC891 تُقِلّ خَطِّيّا مَعَ الاِرْتِفاعِ فَوْقَ القُرْصِ. أَنْظُر أَيْضاً (ran97, swa97, kam07, oos07, fra06::3, bar06). مِن المُخَطَّطِ القِيامِ بِمَزِيدٍ مِن العَمَلِ حَوْلَ هٰذا المَوْضُوعِ.
لَقَد قَدَّمْنا حُلُولاً جَدِيدَةٍ لِعائِلَةٍ مِن الأَقْراص المُنْتَهِيَةُ. يَتِمّ إِعْطاءِ التَعْبِيرات الصَرِيحَةِ بِالإِحْداثِيّات الأُسْطُوانِيَّة بِاِسْتِخْدامِ الدوال الأَوَّلِيَّةِ لِلجَهْد وَالقُوَّةِ الجاذِبِيَّة لِلأَقْراص ذاتِ الكَثافَةِ السَطْحِيَّةُ \(\Sigma_n=\sigma_0 (1-R^2/\alpha^2)^{n-1/2} \textrm{ مَعَ } n=0, 1, 2\). كَما يَتِمّ إِعْطاءِ التَعْبِيرات لِلحالات الحديه عِنْدَ \(R=0\) وَ \(z=0\).
تَمْلَأ هٰذِهِ الحُلُولِ حاجَةٍ وَيَنْبَغِي أَنَّ تُسَهِّل نمذجه ظاهِرَةِ الجاذِبِيَّة ثُلاثِيَّةٌ الأَبْعاد الَّتِي تَشْمَل مَجَرّات الأَقْراص. هٰذا مُهِمٌّ بِشَكْلٍ خاصٍّ بِسَبَبِ تُوَفِّر بَياناتٍ حَرَكِيَّةِ مُفَصَّلَةٌ مُؤَخَّراً فَوْقَ مُسْتَوَى القُرْصِ.
أَنا ممتن لِلمَراجِع المَجْهُولِ لَاِقْتِراحاته وَتَعْلِيقاته المُفِيدَةَ الَّتِي ساهَمَت فِي تَحْسِينِ العَرْضِ.
تَمَّ جَمْعِ عَدَدٍ مِن الهُوِيّاتِ هُنا. فِي جَمِيعِ الحالاتِ \( x, y \in \Re\) يَجِب تَجَنُّبِ نطاقات الصَلاحِيَّة الَّتِي تَحْتَوِي عَلَى عَدَمِ اِسْتِمْرارِيَّة القِيمَةِ الرَئِيسِيَّةِ لَدالّه الجَذْر التَرْبِيعِيّ عَلَى المِحْوَرُ الحَقِيقِيِّ السالِب.
يُمْكِن إِثْباتِ المُعادَلَةَ [eq:IdentA1] بِأَخْذِ جَيْب الزاوِيَةِ لَكَلَآ الجانِبَيْنِ؛ تَقْلِيلِ الحُدُودِ بِاِسْتِخْدامِ الهُوِيّاتِ \(\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\) وَ \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(b)\)؛ وَاِسْتِبْدال \(\cos = \sqrt{1-\sin^2}\). يُمْكِن العُثُورِ عَلَى الهُوِيّاتِ الأُخْرَى بِالاِسْتِبْدال فِي العَلاقَةِ \[\sqrt{x+\I y}=\frac{ \sqrt{ \sqrt{x^2+y^2} + x} + \sgn(y) \I \sqrt{ \sqrt{x^2+y^2} - x}} {\sqrt{2}}\] وَفِي التَعْبِيرِ المَوْجُودِ بِأَخْذِ المَعْكُوس لَكَلَآ الجانِبَيْنِ.
\[\begin{aligned} \label{eq:IdentA1}\arcsin(x-\I y) +\arcsin\left(x+\I y\right) &~=~ 2\arcsin\left[ \onehalf\sqrt{(x+1)^2+y^2} - \onehalf\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right]\\ \label{eq:IdentA2} \sqrt{x-\I y}+\sqrt{x+\I y} &~=~ \sqrt{2}\sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} +x}\\ \label{eq:IdentA3} \I\sqrt{x-\I y} - \I\sqrt{x+\I y} &~=~ \sgn(y) \sqrt{2} \sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} -x}\\ \label{eq:IdentA4} \frac{1}{\sqrt{x+\I y}}+ \frac{1}{\sqrt{x-\I y}} &~=~ \sqrt{2}\frac{ \sqrt{\sqrt{x^2+ y^2}+x}}{\sqrt{x^2+ y^2} }\\ \label{eq:IdentA5} \frac{\I}{\sqrt{x+\I y}} -\frac{\I}{\sqrt{x-\I y}} &~=~ \sgn(y)\sqrt{2} \frac{\sqrt{ \sqrt{x^2+ y^2} -x} } {\sqrt{x^2+ y^2}}\\ \label{eq:IdentA6} {\sqrt{1- \left( x+\I y \right) ^2}}+ {\sqrt{1-\left( x-\I y \right) ^2}}&~=~ \sqrt{2} {\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} +1 -x^2 +y^2}} \\ \label{eq:IdentA7} \I {\sqrt{1- \left( x+\I y \right) ^2}}- {\I }{\sqrt{1-\left( x-\I y \right) ^2}} &~= \sgn(xy)\sqrt{2} {\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} -1 +x^2 -y^2}} \\ \label{eq:IdentA8} \frac{1}{\sqrt{1- \left( x-\I y \right) ^2}}+\frac {1}{\sqrt{1-\left( x+\I y \right) ^2}}&~=~ \sqrt{2}\frac{\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} +1 -x^2 +y^2}} {\sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4}}\\ \label{eq:IdentA9} \frac{\I }{\sqrt{1- \left( x-\I y \right) ^2}}- \frac {\I }{\sqrt{1-\left( x+\I y \right) ^2}} &~= \sgn(xy)\sqrt{2}\frac{\sqrt{ \sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4} -1 +x^2 -y^2}} {\sqrt{1 -2x^2 +2y^2+x^4+2x^2y^2 +y^4}} \end{aligned}\]