أُعِدَّ هذا المُستند بتنسيق LaTeX.

مُلَخَّص

تُحدِّد معاملات التطبيع الأسيمبتوتية (ANC) التطبيع المطلق لمقاطع العرض في التفاعلات الطرفيّة للالتقاط الإشعاعي. نبحث في هذه الدراسة قيمة ANC \(C\) لِتفكّك دون العتبة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C (الحالة الأساسية)، إذ تتراوح القيم المنشورة لهذا العامل بين \((0.29-1.65)\times10^3\) fm^{-1/2}. نستخلص \(C\) عن طريق الاستمرار التحليلي لسعة التشتّت ذات موجة \(s\) لتفاعل \(\alpha+^{12}\)C، والمستنتجة من تحليل إزاحة الطور للبيانات التجريبية، إلى القطب الموافق للحالة المرتبطة دون العتبة في \(^{16}\)O الواقعة في حيّز الطاقات السالبة (غير الفيزيائي). لتحديد \(C\) نعتمد طريقتين للاستمرار التحليلي: في الأولى نُقَرِّب بيانات التشتّت في الحيّز الفيزيائي بكثيرات حدود ثم نُجري الاستكمال إلى القطب، مع اختيار صيغة الاستقراء المُثلى بالاستناد إلى نموذج قابل للحل بدقّة. أمّا في النهج الثاني فنحسب \(C\) بحلّ معادلة شرودنجر لجهد \(\alpha+^{12}\)C، حيث تُختار معاملات هذا الجهد بحيث تُعطي أفضل وصف لإزاحة الطور مع تثبيت طاقة الربط التجريبية لحالة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV). تقع القيم المستخلصة لـ\(C\) في كلتا الطريقتين ضمن الفاصل (886–1139) fm^{-1/2}.

مُقَدِّمَة

تُحدِّد معاملات التطبيع الأسيمبتوتية سلوك الدوالّ الموجية النووية في القنوات الثنائيّة على مسافات تتجاوز نصف قطر التفاعل النووي (انظر الورقة المرجعيّة الحديثة (MBrev) والمراجع الواردة فيها). وبواسطة هذه المعاملات يُعرَف التطبيع العام لمقاطع العرض في العمليات النووية الطرفيّة، مثل التفاعلات بين الشحنات عند الطاقات المنخفضة، حيث يحدث التفاعل على مسافات بعيدة بين الشظايا نتيجة حاجز كولوم. وتُعدّ التفاعلات النووية الفلكيّة داخل النجوم، ولا سيّما الشمس، المثال الأبرز لهذه العمليات. وقد لُفِت إلى دور معاملات التطبيع الأسيمبتوتية في علم الفلك النووي لأوّل مرّة في (Mukh1, Xu)، حيث تبيَّن أنّ هذه المعاملات تُحدِّد التطبيع العام لمقاطع العرض في عمليات الالتقاط الإشعاعي الطرفيّ (انظر أيضًا: Mukh2, Mukh3).

نُشير إلى أنّ معاملات التطبيع الأسيمبتوتية ليست مهمّة لعلم الفلك فحسب، بل تتّسم كذلك بحساسية عالية للنماذج النظريّة مقارنةً بكميّات مثل طاقات الربط أو أنصاف الأقطار المتوسّطة التربيع. وهذا يُتيح استخدام المقارنة بين القيم المحسوبة والتجريبية لهذه المعاملات لتقييم جودة النماذج. لذلك ينبغي إدراج ANC ضمن الخصائص النووية الأساسيّة إلى جانب طاقات الربط واحتمالات الانتقالات الكهرومغناطيسية وغيرها.

تُعدّ عملية الالتقاط الإشعاعي لجسيمات \(\alpha\) بواسطة \(^{12}\)C من أهم التفاعلات الفلكيّة. ففي مرحلة احتراق الهيليوم داخل النجوم يحدث تفاعل \(^{12}\)C\((\alpha,\gamma)^{16}\)O، ممّا يُحدِّد النِّسَب الكونيّة لكلٍّ من \(^{12}\)C و\(^{16}\)O. ورغم أنّ المساهمة الرئيسة عند الطاقات الفلكيّة تأتي من حالتين مرتبطتين دون العتبة (\(1^{-}\) و\(2^{+}\))، فإنّ الالتقاط إلى الحالة المُثارة \(^{16}{\rm O}(0^+;6.05\) MeV) يُسهم أيضًا. وبسبب ضآلة طاقة الربط لهذه الحالة المرتبطة، يكون هذا الانتقال طرفيًّا عند الطاقات المنخفضة وله دورٌ مهمّ. ويتحدّد تطبيع العامل الفلكي \(S\) لهذا الانتقال بواسطة معامل التطبيع الأسيمبتوتي لقناة التفكّك دون العتبة \(^{16}\)O\(^*\to \alpha+^{12}\)C (الحالة الأساسية)، لذا تُصبح معرفة هذا المعامل أمرًا بالغ الأهميّة.

على أنّ القيم المنشورة لـANC للقناة \(^{16}{\rm O}(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C (g.s.) تتّسم بتشتّت كبير (انظر الجدول [table1]). في هذه الدراسة نُحدِّد \(C\) بالاستمرار التحليلي في مستوى الطاقة لسعة التشتّت بموجة \(s\) لتفاعل \(\alpha+^{12}\)C، والمستخلصة من تحليل إزاحة الطور للبيانات التجريبية، مع اعتبار النتيجة قيمة مرجعيّة (تجريبية) بفضل قوة الاستمرار التحليلي.

سنشير إلى معامل التطبيع الأسيمبتوتي لهذه القناة لاحقًا بـ\(C\). وتُقابِل طاقة الربط للتفكّك دون العتبة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C (g.s.) القيمة \(\varepsilon=1.113\) MeV.

نعتمد في هذه الدراسة نظام وحدات حيث \(\hbar=c=1\).

الصياغة الأساسيّة

في هذا القسم نستعرض الصيغ الضرورية للمناقشات اللاحقة.

تُعطى سعة التشتّت الكولومبي-النووي لجسيمين 1 و2 بالشكل \[ f_{NC}({\bf k}) = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)\, e^{2i\sigma_l}\, \frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik}\, P_l(\cos\theta). \] هنا \({\bf k}\) هو الزخم النسبي، و\(\theta\) زاوية التشتّت المركزيّة، و\(\sigma_l = \arg\Gamma(l+1+i\eta)\) و\(\delta_l\) هما إزاحتا الطور الكولومبيّة والنوويّة-الكولومبيّة على التوالي، و\(\Gamma(z)\) دالة غاما، و\(\eta = Z_1 Z_2 e^2 \mu / k\) هو معامل كولوم لحالة التشتّت.

سعة التشتّت الجزئيّة \(f_l = (e^{2i\delta_l}-1)/(2ik)\) غير منتظمة قرب \(E=0\)، لذا تُعرَّف السعة المُعاد تطبيعُها \(\tilde f_l\) كما في المعادلة ([renorm]) لتكون تحليليّة وقابلة للاستمرار إلى \(E<0\).

يمكن إعادة كتابة ([renorm]) على الصورة \[ \tilde f_l = \frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik}\, C_l^{-2}(\eta), \] حيث \(C_l(\eta)\) هو عامل غامو المُوضَّح في ([C]).

تُعبَّر السعة \(\tilde f_l\) أيضًا بدالة المدى الفعّال المعدّلة بكولوم \(K_l(E)\) وفق الصيغ ([fK])–([Deltal])، مع كون \(\psi(x)\) هي دالة ديغاما.

إذا كان للنظام \(1+2\) حالة مرتبطة بطاقة ربط \(\varepsilon>0\)، فإنّ \(\tilde f_l\) تمتلك قطبًا عند \(E=-\varepsilon\)، وتُعبَّر بقاياه بواسطة ANC \(C^{(l)}_{3\to1+2}\) حسب ([res2])–([res22]).

عمليًّا، استخدمنا دالة \(\Delta_l(E)\) للاستمرار التحليلي بدلًا من ERF \(K_l(E)\)، نظرًا لأنّها لا تحتوي الشروط الكولومبيّة الصرفة التي قد تُعيق الاستمرار.

في طريقة \(\Delta\) نُقرّب الجزء الحقيقي من مُقام السعة \(\tilde f_0(E)\)، المقابل لـ\(\Delta_0(E)\) عند \(E>0\)، بكثيرات حدود في \(E\) ثم نُواصل الاستكمال إلى \(E<0\) مع شرط القطب \(\Delta_0^{\rm appr}(-\varepsilon)=0\). وقد ثبُتت دقّة هذه الطريقة للنظام موضع البحث (راجع BKMS2, Gaspard).

لأغراض التقريب نستخدم كثيرات حدود تشيبيشيف ([polin]) من الدرجة \(N\)، ونُحدِّد \(N\) والمعاملات \(c_i\) بتحقيق أفضل وصف وفق معيار \(\chi^2\) واختبار F (انظر Wolberg).

تحليل النموذج لاختيار الصيغة المُثلى لاستكمال البيانات التجريبية

ضمن نموذج ثنائي الجسيمات ببئر مربّعة مُضافٍ إليها التفاعل الكولومبي، أجرينا تحليلًا مقارنًا لعدّة صِيَغ للاستمرار التحليلي. إذ تُمكِّن البئر المربّعة من الحلّ التحليلي لمعادلة شرودنجر لأي \(l\)، وقد عدّلنا عمقها \(V_0\) ونصف قطرها \(R\) لتكرار شرطين: طاقة الربط التجريبية (\(\varepsilon=1.113\) MeV) وقيمة ANC المُتوسّطة (\(C=690\) fm^{-1/2}) وفق المرجع (Ando).

يمكن كتابة إزاحة الطور \(l\) في هذا النموذج ([cotdelta])، وتُستخدم لحساب \(\Delta_l(E)\) عبر ([scatfun]) و([fK3]).

في نطاق 39 نقطة لطاقات 1.47–6.56 MeV مع خطأ 5%، اختبرنا أربع صِيَغ للاستكمال:

• الصيغة 1: استكمال \(\Delta_0(E)\) نفسه،
• الصيغة 2: استكمال \(\Delta_0(E)/(E+\varepsilon)\)،
• الصيغة 3: استكمال \(\ln\!\bigl(A-\Delta_0(E)\bigr)\)،
• الصيغة 4: استكمال \(\ln\!\bigl(-\Delta_0(E)/(E+\varepsilon)\bigr)\).

أظهرت الصيغة 3 أفضل تقارُب إلى القيمة الدقيقة (690 fm^{-1/2}) وأعلى استقرارًا عند زيادة درجة كثير الحدود.

إيجاد ANC \(C\) من بيانات تحليل إزاحة الطور

في الخطوة الأولى استكملنا تحليليًّا إلى القطب \(E=-\varepsilon\) باستخدام إزاحة الطور من تحليل البيانات التجريبية (Tischhauser)، مع 20 نقطة لطاقات المختبر 2.607–6.620 MeV. وبناءً على الصيغة 3 حسبنا \(C=1175\) و\(1097\) fm^{-1/2} لقيمتين مختلفتين لـ\(A\)، ووجدنا \(C=1139\) fm^{-1/2} عند استخدام 10 نقاط في النطاق الأضيق (\(E_\alpha\le4.31\) MeV).

في النهج الثاني عدّلنا معاملات البئر المربّعة بطريقة \(\chi^2\) للحصول على أفضل توافق لإزاحات الطور عند طاقة الربط المثبّتة، ثمّ حسبنا ANC من حلّ المعادلة مع المعاملات المُختارة مع التفاعل الكولومبي. وُجدت أفضل قيمة (\(C=734\) fm^{-1/2}) في النطاق الواسع عند وجود حالتين مرتبطتين (\(V_0=25.7656\) MeV, \(R=3.81962\) fm)، بينما أعطى النطاق الضيّق أفضل توافق (\(C=938\) fm^{-1/2}) عند (\(V_0=22.7495\) MeV, \(R=4.16411\) fm). كما اختبرنا حالة وجود ثلاث حالات مرتبطة فحصلنا على \(C=886\) fm^{-1/2}.

الاستنتاجات

تناولنا في هذه الدراسة معامل التطبيع الأسيمبتوتي لقناة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C، وأظهرنا أنّ قيمته، باستخدام طريقتَي الاستمرار التحليلي المُبيَّنتين، تقع ضمن النطاق (886–1139) fm^{-1/2} عند اعتماد نطاق طاقةٍ ضيّق، مع أدنى قيمة ممكنة 734 fm^{-1/2} عند شمول النطاق الواسع. كما أكّدنا أنّ التعويض بين التفرّدات في \(\Delta_l(E)\) و\(ik\,C_l^2(\eta)\) في المُقام يُزيل التفرّد الجوهري عند \(E=0\) في التعبير \(D_l(E)\)، وهو ما يُفنِّد الافتراض الخاطئ بعدم وجود تفرّد لِـ\(\Delta_l(E)\) عند \(E=0\).

يُمثّل هذا العمل خطوةً نحو تحديد الثوابت النووية لحالاتٍ مُثارة أخرى في \(^{16}\)O، بينما يبقى تحدّي تحديد المعامل للحالة الأساسية رهين تطوير طرائق جديدة في وجود حالاتٍ مرتبطةٍ متعدّدة.

الشكر والتقدير

دُعِم هذا العمل بمنحة الصندوق الروسي للبحوث الأساسية رقم 19-02-00014 (ل. د. ب. و د. أ. س.). ويُعرب أ. س. ك. عن امتنانه لمجلس البحوث الأسترالي، وأ. م. م. عن دعمه من إدارة الأمن النووي الوطني الأميركية (الجائزة DENA0003841)، ومنحة DOE رقم DE-FG02-93ER40773.