هذا المستند مُعَدّ بتنسيق LaTeX.
مُلَخَّص
تشير معاملات التطبيع الأسيمبتوتية (ANC) إلى التطبيع الكلي لمقاطع العرض في التفاعلات الطرفية للاحتباس الإشعاعي. في هذه الدراسة، نبحث في قيمة ANC \(C\) للتفكك الافتراضي \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C(الحالة الأساسية)، حيث تتراوح القيم المنشورة لهذا العامل بين \((0.29-1.65)\times10^3\) fm^{-1/2}. نستخلص ANC \(C\) عن طريق الاستمرار التحليلي لسعة التشتت ذات الموجة \(s\) لتفاعل \(\alpha+^{12}\)C، والتي تُعرف من تحليل تحول الطور للبيانات التجريبية، إلى القطب المرتبط بالدولة الافتراضية \(^{16}\)O الموجودة في نطاق الطاقات السالبة (الغير فيزيائية). لتحديد \(C\)، نعتمد على طريقتين مختلفتين للاستمرار التحليلي: في الطريقة الأولى، نقرب بيانات التشتت في النطاق الفيزيائي بمجاميع كثيرة الحدود ثم نستنتجها إلى القطب، مع اختيار أفضل صيغة استقراء بناءً على نموذج قابل للحل بدقة. أما في النهج الثاني، فنحسب ANC \(C\) بحل معادلة شرودنجر لجهد ال\(\alpha+^{12}\)C، حيث تختار معاملات هذا الجهد بحيث تعطي أفضل وصف لتحول الطور عند طاقة الربط التجريبية لحالة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV). تقع القيم المستخلصة لـ \(C\) في كلا الطريقتين ضمن الفاصل (886–1139) fm^{-1/2}.
مُقَدِّمَة
تحدد معاملات التطبيع الأسيمبتوتية (Asymptotic Normalization Coefficients) سلوك دوال الموجة النووية في القنوات الثنائية على مسافات تتجاوز نصف قطر التفاعل النووي (انظر ورقة المراجعة الأخيرة (MBrev) والمراجع الواردة فيها). وبواسطة هذه المعاملات، يُعرف التطبيع العام لمقاطع العرض في العمليات النووية الطرفية، مثل التفاعلات المشحونة عند الطاقات المنخفضة، حيث يحدث التفاعل في نطاقات بعيدة بين الشظايا نتيجة الحاجز الكولومبي. وتعد التفاعلات النووية الفلكية التي تدور داخل النجوم، خاصةً الشمس، أكثر هذه العمليات أهمية. ذُكر دور معاملات التطبيع الأسيمبتوتية في علم الفلك النووي أول مرة في المراجع (Mukh1, Xu)، إذ تبين أن هذه المعاملات تحدد التطبيع العام لمقاطع العرض في عمليات الالتقاط الإشعاعي الطرفية (انظر أيضاً (Mukh2, Mukh3)).
نلحظ أن معاملات التطبيع الأسيمبتوتية ليست مهمة فحسب لعلم الفلك، بل تتسم كذلك بحساسية عالية للنماذج النظرية مقارنةً بكميات مثل طاقات الربط أو أنصاف الأقطار المتوسطة التربيع. وهذا يتيح استخدام مقارنات بين القيم المحسوبة والتجريبية لهذه المعاملات لتقييم جودة النماذج. لذلك، ينبغي أن تُدرج ANC ضمن الخصائص النووية الأساسية إلى جانب طاقات الربط واحتمالات الانتقالات الكهرومغناطيسية وغيرها.
تُعد عملية الالتقاط الإشعاعي لجسيمات \(\alpha\) بواسطة \(^{12}\)C من أبرز التفاعلات الفلكية. ففي مراحل احتراق الهيليوم داخل النجوم، يتفاعل \(^{12}\)C\((\alpha,\gamma)^{16}\)O، مما يحدد النسب النيزكية لـ \(^{12}\)C و \(^{16}\)O. ورغم أن المساهمة الرئيسية عند الطاقات الفلكية تأتي من حالتين مرتبطتين تحت العتبة (\(1^{-}\) و \(2^{+}\))، فإن الالتقاط إلى الحالة المثارة \(^{16}{\rm O}(0^+;6.05\) MeV) يُسهم كذلك. وبسبب قلة طاقة الربط لهذه الحالة المرتبطة، يعد هذا الانتقال الطرفي عند الطاقات المنخفضة ذا دور مهم. ويتحدد تطبيع العامل الفلكي \(S\) لهذا الانتقال بواسطة معامل التطبيع الأسيمبتوتي لقناة التفكك الافتراضي \(^{16}\)O\(^*\to \alpha+^{12}\)C(g.s.)، لذا يصبح معرفة هذا المعامل أمرًا بالغ الأهمية.
مع ذلك، تتسم القيم المنشورة لـ ANC للقناة \(^{16}{\rm O}(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C(g.s.) بالتشتت الكبير (انظر الجدول [table1]). في هذه الدراسة نحدد \(C\) استنادًا إلى الاستمرار التحليلي في مستوى طاقة سعة التشتت \(s\)-wave لتفاعل \(\alpha+^{12}\)C، المستمدة من تحليل تحول الطور للبيانات التجريبية، مع اعتبار النتيجة قيمة معيارية (تجريبية) بفضل قوة الاستمرار التحليلي.
سنشير إلى معامل التطبيع الأسيمبتوتي لهذه القناة تاليًا ب\(C\). وتُحدد طاقة الربط الموافقة للتفكك الافتراضي \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C(g.s.) ب\(\varepsilon=1.113\) MeV.
نعتمد في هذه الدراسة على نظام الوحدات حيث \(\hbar=c=1\).
الصياغة الأساسية
في هذا القسم نستعرض الصيغ الجوهرية الضرورية للمناقشات التالية.
سعة التشتت النووي-كولومبي للجسيمات 1 و2 تعطى بالشكل \[ f_{NC}({\bf k}) = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) \exp(2i\sigma_l) \frac{\exp(2i\delta_l)-1}{2ik} P_l(\cos\theta). \] هنا \({\bf k}\) هو الزخم النسبي، \(\theta\) زاوية التشتت المركزية، \(\sigma_l = \arg\Gamma(l+1+i\eta)\) و\(\delta_l\) هما تحولات الطور الكولومبية والنووية-كولومبية، على التوالي، و\(\Gamma(z)\) دالة غاما، و\(\eta = Z_1 Z_2 e^2 \mu / k\) معامل كولومب لحالة التشتت.
سعة التشتت الجزئية \(f_l = (\exp(2i\delta_l)-1)/(2ik)\) غير منتظمة قرب \(E=0\)، لذا يُعرّف التحوير المعياري \(\tilde f_l\) كما في المعادلة ([renorm]) ليكون تحليليًا ويمكن مواصلة استقراره إلى \(E<0\).
يمكن إعادة كتابة ([renorm]) على الصورة \[ \tilde f_l = \frac{\exp(2i\delta_l)-1}{2ik} C_l^{-2}(\eta), \] حيث \(C_l(\eta)\) عامل غامو الموضح في ([C]).
تعبر السعة \(\tilde f_l\) أيضًا بدالة المدى الفعال المعدلة بالكولومب \(K_l(E)\) وفق الصيغ ([fK])–([Deltal])، مع دالة \(\psi(x)\) هي دالة ديغاما.
إذا كان للنظام \(1+2\) حالة مرتبطة بطاقة ربط \(\varepsilon>0\)، فإن \(\tilde f_l\) يمتلك قطبًا عند \(E=-\varepsilon\)، ويعبر عن بقاياه بواسطة ANC \(C^{(l)}_{3\to1+2}\) حسب ([res2])–([res22]).
عمليًا، استخدمنا دالة \(\Delta_l(E)\) للاستمرار التحليلي بدلاً من ERF \(K_l(E)\)، نظرًا لأنها لا تحتوي على الشروط الكولومبية النقية التي قد تعرقل الاستمرار.
في طريقة \(\Delta\) نقرّب الجزء الحقيقي من مقام السعة \(\tilde f_0(E)\)، المقاابل لـ \(\Delta_0(E)\) عند \(E>0\)، بكثيرات حدود في E ثم نستمر بها إلى \(E<0\) مع شرط القطب \(\Delta_0^{appr}(-\varepsilon)=0\). وتبين الدقة الكافية للطريقة بالنسبة للنظام المعني (راجع BKMS2,Gaspard).
للتقريب نستخدم كثيرات حدود تشيبيشيف ([polin]) من الدرجة N، ونحدد N والمعاملات c_i بأفضل وصف وفق معيار \(\chi^2\) ومعيار F (انظر Wolberg).
تحليل النموذج لاختيار الخيار الأفضل لمتابعة البيانات التجريبية
ضمن نموذج ثنائي الجسيمات مع بئر مربعة مضاف إليه التفاعل الكولومبي، أجرينا تحليلًا مقارنًا لعدة إصدارات لطريقة الاستمرار التحليلي. إذ تتيح البئر المربعة الحل التحليلي لمعادلة شرودنجر لأي \(l\)، وقد عدلنا عمقها \(V_0\) ونصف قطرها \(R\) لتكرار شرطين مرتبطين بطاقة الربط التجريبية العليا (\(\varepsilon=1.113\) MeV) وقيمة ANC المتوسطة (\(C=690\) fm^{-1/2}) من المرجع (Ando).
يمكن كتابة انزياح الطور \(l\) في هذا النموذج ([cotdelta])، ويستخدم لحساب \(\Delta_l(E)\) عبر ([scatfun]) و([fK3]).
في نطاق 39 نقطة لطاقات 1.47–6.56 MeV مع خطأ 5%، جربنا أربع إصدارات للمتابعة:
- الإصدار 1: متابعة \(\Delta_0(E)\) نفسه،
- الإصدار 2: متابعة \(\Delta_0(E)/(E+\varepsilon)\)،
- الإصدار 3: متابعة \(\ln\bigl(A-\Delta_0(E)\bigr)\)،
- الإصدار 4: متابعة \(\ln\bigl(-\Delta_0(E)/(E+\varepsilon)\bigr)\).
أظهر الإصدار 3 أفضل تقارب للقيمة الدقيقة (690 fm^{-1/2}) وأنسب بالاعتماد على زيادة درجة كثير الحدود.
إيجاد ANC \(C\) من بيانات تحليل تحول الطور
في الخطوة الأولى، استمررنا تحليليًا إلى القطب \(E=-\varepsilon\) باستخدام تحويل الطور من تحليل البيانات التجريبية (Tischhauser), مع 20 نقطة لطاقات المختبر 2.607–6.620 MeV. بناءً على الإصدار 3، حسبنا \(C=1175\) و1097 fm^{-1/2} لقيمتين مختلفتين لـ A، ووجدنا \(C=1139\) fm^{-1/2} عند استخدام 10 نقاط في النطاق الأضيق (\(E_\alpha\le4.31\) MeV).
في النهج الثاني، عدلنا معاملات البئر المربعة عن طريق \(\chi^2\) للحصول على أفضل توافق لتحولات الطور عند طاقة الربط الثابتة، ثم حسبنا ANC من حل المعادلة مع المعاملات المختارة والتأثير الكولومبي. وُجدت أفضل قيمة (\(C=734\) fm^{-1/2}) في النطاق الواسع باستخدام حالتين مرتبطتين (\(V_0=25.7656\) MeV, \(R=3.81962\) fm)، بينما أعطى النطاق الضيق أفضل توافق (\(C=938\) fm^{-1/2}) عند (\(V_0=22.7495\) MeV, \(R=4.16411\) fm). كما جربنا ثلاث حالات مرتبطة فحصلنا على \(C=886\) fm^{-1/2}.
الاستنتاجات
في هذه الدراسة تناولنا معامل التطبيع الأسيمبتوتي لقناة \(^{16}\)O(\(0^+;6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C، وأظهرنا أن قيمته، عند استخدام الطريقتين الموصوفتين للاستمرار التحليلي، تقع ضمن النطاق (886–1139) fm^{-1/2} عند الاعتماد على نطاق طاقة ضيق، مع أدنى قيمة ممكنة 734 fm^{-1/2} إذا شملنا النطاق الواسع. كما أكدنا أن التعويض بين التفردات في \(\Delta_l(E)\) و\(ikC_l^2(\eta)\) في المقام يرفع التفرد الجوهرية عند \(E=0\) في expression \(D_l(E)\)، مما ينفي الافتراض الخاطئ بغياب تفرد لـ \(\Delta_l\) عند \(E=0\).
هذا العمل يُعَدّ خطوة نحو تحديد الثوابت النووية لحالات مثارة أخرى في \(^{16}\)O، بينما يبقى تحدّي تحديد الثابت للحالة الأساسية رهن تطوير طرق جديدة عند وجود حالات مرتبطة متعددة.
الشكر والتقدير
دُعم هذا العمل بمنحة الصندوق الروسي للبحوث الأساسية رقم 19-02-00014 (ل.د.ب. و د.أ.س.). ويعرب أ.س.ك. عن امتنانه لمجلس البحوث الأسترالي، وأ.م.م. عن دعمه من إدارة الأمن النووي الوطني الأمريكية (الجائزة DENA0003841)، ومنحة DOE رقم DE-FG02-93ER40773.