latex
تُحَدِّد مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه (ANC) التَطْبِيعِ الكُلِّيِّ لَمَقاطِع العَرْضِ لَتَفاعُلات الاِلْتِقاط الإِشْعاعِيّ الطَرَفِيّ. فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نَتَناوَل ANC \(C\) لِلتَحَلُّل الاِفْتِراضِيّ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C(g.s.)، وَالَّتِي تَتَمَيَّز القِيَمِ المَعْرُوفَةِ لَها بِاِنْتِشارِ كَبِيرٍ \((0.29-1.65)\times 10^3\) fm\(^{-1/2}\). يَتِمّ العُثُورِ عَلَى ANC \(C\) مِن خِلالَ الاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة فِي طاقَةِ لَسَعَة تَشَتَّتَ مَوْجَةِ \(s\) لَتَفاعُل \(\alpha^{12}\)C، المَعْرُوفَةِ مِن تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر لِلبَيانات التَجْرِيبِيَّة، إِلَى القُطْبُ المُقابِلِ لِلحالَةِ المُرْتَبِطَةِ \(^{16}\)O وَالمَوْجُود فِي المِنْطَقَةِ غَيْرِ المادِّيَّةِ لِلطاقات السالِبَة. لِتَحْدِيدِ \(C\)، يَتِمّ اِسْتِخْدامِ طَرِيقَتَيْنِ مُخْتَلِفَتَيْنِ لِلاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة. فِي الطَرِيقَةِ الأُولَى، يَتِمّ تَقْرِيبِ بَياناتٍ التشتت بِمَجْمُوعِ الكَثِيرات فِي المِنْطَقَةِ المادِّيَّةِ ثُمَّ تَقْدِيرها إِلَى القُطْبُ. يَتِمّ اِخْتِيارِ أَفْضَلَ طَرِيقَةِ لِلتَقْدِير بِناءَ عَلَى النَمُوذَجِ القابِل لِلحَلِّ بِدِقَّةٍ. فِي النَهْجِ الثانِي، يَتِمّ العُثُورِ عَلَى ANC \(C\) مِن خِلالَ حَلٍّ مُعادَلَةِ شرودنجر لَجَهْد الجِسْمَيْنِ \(\alpha^{12}\)C، حَيْثُ يَتِمّ اِخْتِيارِ المُعامَلاتِ مِن مُتَطَلَّباتِ أَفْضَلَ وَصَفَ لَبَيانات تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر عِنْدَ طاقَةِ رَبْطُ تَجْرِيبِيَّةٍ ثابِتَةٍ لِ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV) فِي قَناةِ \(\alpha+^{12}\)C. تَقَع قِيَمِ ANC \(C\) المُحَصِّلَةُ ضِمْنَ هٰذَيْنِ الأُسْلُوبَيْنِ فِي الفاصِلِ (886–1139) fm\(^{-1/2}\).
تُحَدِّد مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه (Asymptotic Normalization Coefficients) اسيمبتوتات دَوال المُوَجَّه النَوَوِيَّةِ فِي القَنَواتِ الثُنائِيَّةِ عَلَى مَسافات تَتَجاوَز نِصْفِ قَطَرِ التَفاعُل النَوَوِيِّ (أَنْظُر وَرَقَةً المُراجَعَةِ الأَخِيرَةِ (MBrev) وَالمَراجِعِ المَذْكُورَةِ فِيها). مِن حَيْثُ مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه، يَتِمّ تَعْرِيفٍ مَقاطِعَ العَرْضِ لِلعَمَلِيّاتِ النَوَوِيَّةِ الطَرَفِيَّة، مِثْلَ التَفاعُلات مَعَ الجَسِيمات المَشْحُونَة عِنْدَ طاقات مُنْخَفَضه، عِنْدَما، بِسَبَبِ الحاجِزَ الكُولُومْبِيُّ، يَحْدُث التَفاعُل عَلَى مَسافات كَبِيرَةٍ بَيِّنَ الشَظايا. الفِئَةِ الأَكْثَرَ أَهَمِّيَّةً مِن هٰذِهِ العَمَلِيّاتِ هِيَ التَفاعُلات النَوَوِيَّةِ الفَلَكِيَّة الَّتِي تَحَدَّثَ فِي نَوَى النُجُومِ، بِما فِي ذٰلِكَ الشَمْسِ. تَمَّت الإِشارَةُ لِأَوَّلِ مَرَّةً إِلَى الدَوْرِ المُهِمِّ لَمُعامَلات التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه فِي عُلِمَ الفَلَك النَوَوِيِّ فِي المَراجِعِ (Mukh1, Xu)، حَيْثُ تَمَّ أَظْهار أَنَّ مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه تُحَدِّد التَطْبِيعِ العامِّ لَمَقاطِع العَرْضِ لِلتَقاطُعات الإِشْعاعِيَّة الطَرَفِيَّة (أَنْظُر أَيْضاً المَراجِعِ (Mukh2, Mukh3)).
نُلاحِظ أَنَّ مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه مُهِمَّةً لَيِسَ فَقَط لِعِلْمٍ الفَلَك. تَبَيَّنَ أَنَّ مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه أَكْثَرَ حَسّاسِيَّةٍ لِلنَماذِج النَظَرِيَّةِ مِن كَمِّيّاتٍ مِثْلَ طاقات الرَبْطِ أَو إِنْصاف القَطَر المُتَوَسِّطَةِ المُرَبَّعَةِ. تُتِيح هٰذِهِ الظُرُوفِ اِسْتِخْدامِ مُقارَنَةً قِيَمِ مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه المَحْسُوبَة وَالتَجْرِيبِيَّة لَتَقْيِيم جُودَة النَماذِجِ النَظَرِيَّةِ. يَجِب أَنَّ تُدْرِج مُعامَلاتِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه فِي عَدَدٍ الخَصائِص النَوَوِيَّةِ المُهِمَّةِ جَنْباً إِلَى جَنْبٍ مَعَ كَمِّيّاتٍ مِثْلَ طاقات الرَبْطِ، اِحْتِمالاتِ الاِنْتِقالاتِ الكهرومغناطيسيه، وَما إِلَى ذٰلِكَ.
واحِدَةٍ مِن أَهَمَّ التَفاعُلات الفَلَكِيَّة هِيَ اِلْتِقاطِ الإِشْعاعِيّ لَجَسِيمات \(\alpha\) بِواسِطَةِ \(^{12}\)C. يَتِمّ تَنْشِيطِ تَفاعُلِ \(^{12}\)C\((\alpha,\gamma)^{16}\)O خِلالَ مَراحِلِ حَرْقِ الهِيلِيُوم فِي تَطَوُّرِ النُجُومِ. يُحَدِّد هٰذا التَفاعُل الوَفْرَة النِسْبِيَّةِ لِ \(^{12}\)C وَ \(^{16}\)O فِي نَواةِ النَجْمِ. عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّ المسا CONTRIBUTION الرَئِيسِيَّةِ لِلعامِل الفَلَكِيِّ لِعَمَلِيَّةِ \(^{12}\)C\((\alpha,\gamma)^{16}\)O فِي طاقات فَلَكِيّه تَأْتِي مِن حالَتَيْنِ مُرْتَبِطَتَيْنِ دُونِ العَتَبَةَ \(1^{-}\) وَ \(2^{+}\)، فَإِنَّ اِلْتِقاطِ الإِشْعاع إِلَى الحالَةِ المثاره \(^{16}{\rm O}(0^+; 6.05\) MeV) يُساهِم أَيْضاً. بِسَبَبِ طاقَةِ الرَبْطِ الصَغِيرَةِ لِلحالَةِ المُرْتَبِطَةِ \((0^+; 6.05 {\rm MeV})\)، فَإِنَّ الاِنْتِقالِ الإِشْعاعِيّ \(^{12}{\rm C}(\alpha,\gamma)^{16}{\rm O}(0^+; 6.05 {\rm MeV})\) إِلَى هٰذِهِ الحالَةِ فِي الطاقاتِ المُنْخَفِضَة ذاتِ الصِلَةِ بِاِلْتِقاط الإِشْعاعِيّ هُوَ طَرَفَيْ. يَتِمّ تَحْدِيدِ تَطْبِيعِ العامِلِ الفَلَكِيِّ \(S\) لِهٰذا الاِنْتِقالِ بِواسِطَةِ مَعامِلِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي لِلتَحَلُّل الاِفْتِراضِيّ \(^{16}\)O\(^*\to \alpha+^{12}\)C(g.s.)، حَيْثُ g.s. تَعْنِي الحالَةِ الأَساسِيَّةِ. وَمِن ثُمَّ فَإِنَّ مَعْرِفَةُ هٰذا المَعامِلُ مُهِمَّةً.
وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ القِيَمِ المُتاحَةِ فِي الأَدَبِيّاتِ لَمُعامَلات التَطْبِيعِ الاسيمبتوتيه لِلقَناةِ \(^{16}{\rm O}(0^+; 6.05 {\rm MeV}) \to \alpha+^{12}\)C(g.s.) المُحَصِّلَةُ بِواسِطَةِ طُرُقٍ مُخْتَلِفَةٍ تَتَمَيَّز بِاِنْتِشارِ مَلْحُوظٍ (أَنْظُر الجَدْوَلُ [table1]). فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نُحَدِّد مَعامِلِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي لِهٰذِهِ القَناة بِاِسْتِخْدامِ اِسْتِمْرارِيَّة تَحْلِيلَيْهِ فِي مُسْتَوَى الطاقَةِ لَسَعَة التشتت \(s\)-wave لَجَسِيمات \(\alpha^{12}\)C، المَعْرُوفَةِ مِن تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر لِلبَيانات التَجْرِيبِيَّة. نَظَراً لِأَنَّنا نَسْتَخْدِم الاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة، يُمْكِن اِعْتِبارِ القِيمَةِ المُحَصِّلَةُ كَقِيمَة تَجْرِيبِيَّةٍ.
فِيما يَلِي، سَيُشار إِلَى مَعامِلِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي لِهٰذِهِ القَناة بِاِسْمِ \(C\). تُحَدِّد طاقَةِ الرَبْطِ المُقابَلَةِ لِلتَحَلُّل الاِفْتِراضِيّ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C(g.s.) ب \(\varepsilon=1.113\) MeV.
يَتِمّ تَحْدِيدِ قِيمَةَ مَعامِلِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي \(C\) بِواسِطَةِ اِسْتِمْرارِيَّة تَحْلِيلَيْهِ فِي طاقَةِ مَرْكَزِ الكُتْلَةِ (c.m.) \(E\) لَسَعَة الطَوْر \(S\)-wave \(f_0(E)\) للتشتت المَرِن لَجَسِيمات الأَلْفا عَلَى \(^{12}\)C إِلَى نُقْطَةً تَتَوافَق مَعَ الحالَةِ المُرْتَبِطَةِ المثاره \(^{16}\)O\((0^+)\) وَتَقَع فِي المِنْطَقَةِ غَيْرِ الفِيزيائِيَّة لِلقِيَمِ السالِبَة لِ \(E\). تُؤَخَّذ المَعْلُوماتِ حَوْلَ \(f_0(E)\) عِنْدَ \(E>0\) مِن تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر. تُسْتَخْدَم طُرُقٍ مُخْتَلِفَةٍ لِلاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة. تُقارَن القِيَمِ المُحَصِّلَةُ لَمَعامِل التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي مَعَ نَتائِجِ مُؤَلِّفِينَ آخَرِينَ.
تُنَظِّم الوَرَقَةَ كَما يَلِي. القِسْمِ الثانِي يُقَدِّم الصِيغَةِ العامَّةِ لِلطَرِيقَة المُسْتَخْدَمَةِ. القِسْمِ الثالِثِ مُخَصَّصٍ لِاِخْتِيارِ أَفْضَلَ طَرِيقَةِ لِمُواصَلَةِ البَياناتِ التَجْرِيبِيَّة ضِمْنَ النَمُوذَجِ القابِل لِلحَلِّ بِالضَبْطِ. يَتِمّ تَوْضِيحِ تَحْدِيدِ مَعامِلِ التَطْبِيعِ الاسيمبتوتي \(C\) مِن اِسْتِمْرارِيَّة تَحْلِيلَيْهِ لَبَيانات تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر فِي القِسْمِ الرابِعِ. يَتِمّ مُناقَشَةِ النَتائِجِ فِي القِسْمِ الخامِسِ.
نَسْتَخْدِم نِظامِ الوَحَداتِ الَّذِي فِيهِ \(\hbar=c=\)1 فِي جَمِيعِ أَنْحاءِ الوَرَقَةَ.
فِي هٰذا القِسْمِ، نَسْتَعْرِض الصِيَغِ الأَساسِيَّةِ الضَرُورِيَّةِ لِلمُناقَشات اللاحِقَةِ.
سَعَة التشتت النَوَوِيِّ-الكُولُومْبِيُّ لِلجَسِيمات 1 وَ 2 تَأْخُذ الشَكْلِ \[\label{fNC} f_{NC}({\rm {\bf k}})=\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\exp(2i\sigma_l)\frac{\exp(2i\delta_l)-1}{2ik}P_l(\cos\theta).\] هُنا \({\rm {\bf k}}\) هُوَ الزَخِمِ النِسْبِيّ لِلجَسِيمات 1 وَ 2، \(\theta\) هُوَ زاوِيَةِ التشتت المَرْكَزِيَّةِ، \(\sigma_l=\arg\,\Gamma(l+1+i\eta)\) وَ \(\delta_l\) هِيَ تَحَوُّلاتٍ الطَوْر الكُولُومْبِيُّ وَالنَوَوِيّ-الكُولُومْبِيُّ عَلَى التَوالِي، \(\Gamma(z)\) هِيَ دالَّةٍ غاما، \[\label{eta} \eta =Z_1Z_2e^2\mu/k\] هُوَ مَعامِلِ الكولومب لِحالَةِ التشتت 1+2 مَعَ الزَخِمِ النِسْبِيّ \(k\) المُرْتَبِطُ بِالطاقَة بِواسِطَةِ \(k=\sqrt{2\mu E}\)، \(\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)\)، \(m_i\) وَ \(Z_ie\) هِيَ كُتْلَةِ وَشَحْنَة الجَسِيم \(i\) الكَهْرَبائِيَّةِ.
سُلُوكِ سَعَة التشتت الجُزْئِيِّ النَوَوِيِّ-الكُولُومْبِيُّ \(f_l=(\exp(2i\delta_l)-1)/2ik\) غَيْرِ مُنْتَظِم بِالقُرْبِ مِن \(E=0\). لِذٰلِكَ، يَجِب تَقْدِيمِ سَعَة التشتت الجُزْئِيِّ النَوَوِيِّ-الكُولُومْبِيُّ المعياريه \(\tilde f_l\) (Hamilton,BMS,Konig) \[\label{renorm} \tilde f_l=\exp(2i\sigma_l)\,\frac{\exp(2i\delta_l)-1}{2ik}\,\left[\frac{l!}{\Gamma(l+1+i\eta)}\right]^2e^{\pi\eta}.\] يُمْكِن إِعادَةِ كِتابَةِ المُعادَلَةَ ([renorm]) كَالتالِي \[\label{renorm1} \tilde f_l=\frac{\exp(2i\delta_l)-1}{2ik}C_l^{-2}(\eta),\] حَيْثُ \(C_l(\eta)\) هُوَ عامِلٍ اِخْتِراقِ الكولومب (أَو عامِلٍ غامو) المُحَدَّدِ بِواسِطَةِ \[\begin{aligned} \label{C} C_l(\eta)&=\left[\frac{2\pi\eta}{\exp(2\pi\eta)-1}v_l(\eta)\right]^{1/2}, \\ %\quad v_l(\eta)&=\prod_{n=1}^{l}(1+\eta^2/n^2)\;(l>0),\quad v_0(\eta)=1.\end{aligned}\] تَمَّ أَظْهار فِي المَرْجِعِ (Hamilton) أَنَّ الخَصائِص التَحْلِيلِيَّة لِ \({\tilde f}_{l}\) عَلَى الوَرَقَةَ الفِيزيائِيَّة لِ \(E\) مُماثِلَةٍ لِتِلْكَ الخاصَّةِ بِسَعَةِ التشتت الجُزْئِيِّ لِلجَهْد قَصِيرٍ المَدَى وَيُمْكِن اِسْتِمْرارِ \({\tilde f}_{l}\) تَحْلِيلِيّا إِلَى مِنْطَقَةِ الطاقَةِ السالِبَة.
يُمْكِن التَعْبِيرِ عَن السَعَة \(\tilde f_l\) مِن حَيْثُ دالَّةٍ المَدَى الفَعّالَ المُعَدَّلَةِ بالكولومب (ERF) \(K_l(E)\) (Hamilton, Konig) كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{fK} \tilde f_l&=\frac{k^{2l}}{K_l(E)-2\eta k^{2l+1}h(\eta)v_l(\eta)}\\ %\nonumber &=\frac{k^{2l}}{k^{2l+1}C_l^2(\eta)(\cot\delta_l-i)} \\ %\nonumber &=\frac{k^{2l}}{v_l^2 k^{2l}\Delta_l(E)-ik^{2l+1}C_l^2(\eta)}, \label{fK3}\end{aligned}\] حَيْثُ \[\begin{aligned} \label{scatfun} K_l(E)&= k^{2l+1} \left[ C_l^2(\eta)(\cot\delta_l-i) + 2 \eta h(k)v_l(\eta) \right],\\ %\nonumber h(\eta) &= \psi(i\eta) + \frac{1}{2i\eta}-\ln(i\eta), \\ \Delta_l(E)&=kC_0^2(\eta)\cot\delta_l, \label{Deltal}\end{aligned}\] \(\psi(x)\) هِيَ دالَّةٍ ديغاما وَ \(\Delta_l(E)\) هِيَ دالَّةٍ \(\Delta\) المُقَدَّمَةِ فِي المَرْجِعِ (Sparen).
إِذا كانَ لِلنِظامِ \(1+2\) فِي المُوَجَّه الجُزْئِيَّةِ \(l\) حالَةِ مُرْتَبِطَةً 3 بِطاقَةِ الرَبْطِ \(\varepsilon=\varkappa^2/2\mu>0\)، فَإِنَّ السَعَة \(\tilde f_l\) لَها قُطْبَ عِنْدَ \(E=-\varepsilon\). يَتِمّ التَعْبِيرِ عَن بَقايا \(\tilde f_l\) فِي هٰذِهِ النُقْطَةِ مِن حَيْثُ ANC \(C^{(l)}_{3\to 1+2}\) (BMS) كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{res2} {\rm res}\tilde f_l(E)|_{E=-\varepsilon}&=\lim_{\substack{E\to -\varepsilon}}[(E+\varepsilon)\tilde f_l(E)] \\ &= -\frac{1}{2\mu}\left[\frac{l!}{\Gamma(l+1+\eta_b)}\right]^2 \left[C^{(l)}_{3\to 1+2}\right]^2, \label{res22}\end{aligned}\] حَيْثُ \(\eta_b=Z_1Z_2e^2\mu/\varkappa\) هُوَ مَعامِلِ الكولومب لِلحالَةِ المُرْتَبِطَةِ 3.
مِن الناحِيَةِ الرَسْمِيَّةِ، فَإِنَّ الكَمِّيَّةِ الأَكْثَرَ طَبِيعِيَّةٍ لِاِسْتِمْرارِ بَياناتٍ التشتت إِلَى مِنْطَقَةِ الطاقاتِ السالِبَة هِيَ ERF \(K_l(E)\) الَّتِي يَتِمّ التَعْبِيرِ عَنها مِن حَيْثُ تَحَوُّلاتٍ الطَوْر التشتت. تَمَّ أَظْهار فِي المَرْجِعِ (Hamilton) أَنَّ دالَّةٍ \(K_l(E)\) المُحَدَّدَةِ بِواسِطَةِ ([scatfun]) تَكُون تَحْلِيلَيْهِ بِالقُرْبِ مِن \(E=0\) وَيُمْكِن تَوْسِيعها إِلَى سِلْسِلَةٍ تايْلُور فِي \(E\). فِي غِيابِ التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ (\(\eta=0\))، \(K_l(E)=k^{2l+1}\cot\delta_l(k)\). وَمَعَ ذٰلِكَ، فِي حالَةِ الجَسِيمات المَشْحُونَة، يَجِب تَعْدِيلِ ERF لِلتَفاعُلِ قَصِيرٍ المَدَى. هٰذا التَعْدِيلِ يُولَد شُرُوطاً إِضافِيَّةً فِي ERF (أَنْظُر المُعادَلَةَ ([scatfun])). تَعْتَمِد هٰذِهِ الشُرُوطِ فَقَط عَلَى التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ وَقَد تَتَجاوَز، مِن حَيْثُ القِيمَةِ المُطْلَقَةِ، الجُزْء المَعْلُوماتِيّ مِن ERF الَّذِي يَحْتَوِي عَلَى تَحَوُّلاتٍ الطَوْر. قَد يُعِيق هٰذا الواقِعِ الإِجْراءَ العَمَلِيِّ لِلاِسْتِمْرارِ التَحْلِيلِيّ وَيُؤَثِّر عَلَى دِقَّته. عَلَى وَجْهِ الخُصُوصِ، بِالنِسْبَةِ لِنِظامِ \(\alpha+^{12}\)C المُعْتَبَر فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، تَبَيَّنَ أَنَّ أَيّ اِسْتِمْرارِ مَوْثُوقٌ لِ \(K_0(E)\) إِلَى المِنْطَقَةِ \(E<0\)، مَعَ مُراعاةِ الأَخْطاءِ التَجْرِيبِيَّة، كانَ مُسْتَحِيلاً. تَمَّ اِقْتِراحِ فِي المَرْجِعِ (Sparen) اِسْتِخْدامِ الكَمِّيَّةِ \(\Delta_l(E)\) بَدَلاً مِن ERF \(K_l(E)\) لِلاِسْتِمْرارِ التَحْلِيلِيّ. دالَّةٍ \(\Delta_l(E)\) لا تَحْتَوِي عَلَى الشُرُوطِ الكُولُومْبِيَّةِ النَقِيَّةِ.
فِيما يَلِي، لِلاِسْتِمْرارِ التَحْلِيلِيّ لِلبَيانات التَجْرِيبِيَّة، سَنَسْتَخْدِم الدالَّةِ \(\Delta_l(E)\) عِنْدَ \(l=0\) وَالتَعْبِيرات التَحْلِيلِيَّة المُكَوَّنَةِ مِنها (طَرِيقَةِ \(\Delta\)). فِي هٰذِهِ الطَرِيقَةِ، يَتِمّ تَقْرِيبِ الجُزْء الحَقِيقِيِّ مِن مَقامِ السَعَة \(\tilde f_0(E)\)، الَّذِي يَتَطابَق لِ \(E > 0\) مَعَ \(\Delta_0(E)\) (أَنْظُر (9))، بِواسِطَةِ مُتَعَدِّدات الحُدُودِ فِي \(E\) وَيَسْتَمِرّ تَحْلِيلِيّا إِلَى المِنْطَقَةِ \(E < 0\). يَتِمّ صِياغَةِ شَرْطَ قُطْبَ السَعَة ك \(\Delta_0^{appr}(-\varepsilon)=0\)، حَيْثُ \(\Delta_0^{appr}(E)\) هِيَ دالَّةٍ تَقْرِيبِ \(\Delta_0(E)\) عِنْدَ \(E>0\). مِن نَتائِجِ المَراجِعِ (BKMS2,Gaspard) يَتَّضِح أَنَّ طَرِيقَةِ \(\Delta\)، عَلَى الرَغْمِ مِن كَوْنُها غَيْرِ صارِمَةٍ وَتَقْرِيبِيّه، دَقِيقَةً بِما فِيهِ الكِفايَةُ لِلنِظامِ المُعْتَبَر وَنِطاق الطاقَةِ المُهْتَمّ بِهِ. لاحَظَ أَنَّهُ بِالنِسْبَةِ لِلأَنْظِمَة الأَخَفّ، وَخاصَّةً لِلقَنَوات \(^6\)Li\(\to \alpha+d\) وَ \(^7\)Be\(\to \alpha+^3\)He، فَإِنَّ طَرِيقَةِ \(\Delta\) غَيْرِ مُناسَبَةِ.
الوَظائِفِ الَّتِي نَنْظُر فِيها، المُحَدَّدَةِ بِواسِطَةِ البَياناتِ التَجْرِيبِيَّة، يَتِمّ تَقْرِيبها فِي المِنْطَقَةِ الفِيزيائِيَّة \(E>0\) بِالتَعْبِيرِ \[\label{polin} \sum_{i=0}^Nc_i P_i(E),\] حَيْثُ \(P_i\) هِيَ مُتَعَدِّدات حُدُودِ تشيبيشيف مِن الدَرَجَةِ \(i\). يَتِمّ تَحْدِيدِ الدَرَجَةِ القُصْوَى لِلمُتَعَدِّد الحُدُودِ \(N\) وَمُعامَلات \(c_i\) مِن أَفْضَلَ وَصَفَ لِلوَظائِف المُقَرَّبَةِ بِاِسْتِخْدامِ مِعْيار \(\chi^2\) وَكَذٰلِكَ مِعْيار \(F\) (أَنْظُر المونوغراف (Wolberg)). لاحَظَ أَنَّ هٰذِهِ المَعايِيرِ تُعْطِي نَتائِجِ مُماثِلَةٍ.
فِي هٰذا القِسْمِ، ضِمْنَ إِطارِ نَمُوذَجَ قابِلٌ لِلحَلِّ بِدِقَّةٍ، يَتِمّ إِجْراءِ تَحْلِيلِ مُقارَن لِطُرُقِ مُخْتَلِفَةٍ لِمُتابَعَةِ بَياناتٍ التشتت إِلَى نُقْطَةً القُطْبُ لَسَعَة التشتت الموجي الجُزْئِيِّ لِاِخْتِيارِ أَفْضَلَ طَرِيقَةِ لِتَحْدِيدِ ثابِتٌ الاِقْتِران النَوَوِيِّ (ANC). تَمَّت مُحاكاةَ القِيَمِ التَجْرِيبِيَّة لانزياحات الطَوْر بِنَتائِجِ الحِساباتِ فِي نَمُوذَجَ ثُنائِيٍّ الجَسِيمات مَعَ إِمْكانِيَّةَ أَخَذَ شَكْلٍ بِئْر مُرَبَّعَةٍ بِالإِضافَةِ إِلَى التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ. حَسَبَ مَعْرِفَةُ المُؤَلِّفِينَ، البِئْر المُرَبَّعَةِ هِيَ الإِمْكانِيَّة المَحَلِّيَّةِ الوَحِيدَةُ الَّتِي، مَعَ إِضافَةً التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ، تَسْمَح بِالحَلِّ التَحْلِيلِيّ لِمُعادَلَةِ شرودنجر فِي أَيّ قِيمَةَ لَزَخَمَ الزاوِيَةِ المَدارِي \(l\). تَمَّ تَعْدِيلِ المُعَلِّمَتَيْنِ لِلبِئْر المُرَبَّعَةِ، نِصْفِ القَطَر \(R\) وَعُمْقِ \(V_0\)، لِتَكْرارِ، فِي وُجُودِ حالَتَيْنِ مُرْتَبِطَتَيْنِ \(0^+\)، طاقَةِ الرَبْطِ التَجْرِيبِيَّة لِلحالَةِ العُلْيا \(\varepsilon=1.113\) MeV وَقِيمَةُ ANC \(C=690.0\) fm\(^{-1/2}\)، وَهِيَ القِيمَةِ المُتَوَسِّطَةِ المُحَصِّلَةُ فِي المَرْجِعِ (Ando). الحِساباتِ فِي هٰذا القِسْمِ هِيَ مَنْهَجِيَّةً، وَالاِسْتِنْتاجات النَوْعِيَّةِ المُتَحَصِّلَة يَجِب أَلّا تَعْتَمِد عَلَى اِخْتِيارِ قِيمَةَ ANC مُحَدَّدَةٍ ضِمْنَ القِيَمِ المُقَدَّمَةِ فِي الجَدْوَلُ [table1].
يُؤَدِّي حَلٍّ مُعادَلَةِ شرودنجر ضِمْنَ النَمُوذَجِ المَذْكُورِ إِلَى التَعْبِيرِ التالِي لانزياح الطَوْر \(\delta_l\) (BKMS1) \[\begin{aligned} \label{cotdelta} \cot\delta_l & \nonumber \\ =&\dfrac{\dfrac{d\hat G_{l,\eta}(k,R)}{dR} \hat F_{l,\eta_1}(K,R) - \dfrac{d\hat F_{l,\eta_1}(K,R)}{dR} \hat G_{l,\eta}(k,R)} {\dfrac{d\hat F_{l,\eta}(k,R)}{dR} \hat F_{l,\eta_1}(K,R) - \dfrac{d\hat F_{l,\eta_1}(K,R)}{dR} \hat F_{l,\eta}(k,R)} .\end{aligned}\] هُنا \(K=\sqrt{2\mu(E+V_0)}\), \(\hat F_{l,\eta}(q,r)= F_l(\eta, qr)/qr\), \(\hat G_{l,\eta}(q,r)= -G_l(\eta, qr)/qr\), \(F_l(\eta, \rho)\) وَ \(G_l(\eta, \rho)\) هِيَ الدوال الكُولُومْبِيَّةِ العادِيَّةِ وَغَيْرِ العادِيَّةِ عَلَى التَوالِي (NIST). تَسْمَح المُعادَلَةَ ([cotdelta]) بِحِساب الدالَّةِ \(\Delta_l(E)\) بِاِسْتِخْدامِ المُعادَلات (5) وَ (12).
لِتَحْلِيلِ انزياح الطَوْر النَمُوذَجِيّ، تَمَّ أَخَذَ 39 نُقْطَةً فِي طاقَةِ الحَرَكَةِ الوَسَطِيّ \(E\) فِي النِطاقِ 1.47–6.56 MeV، وَهُوَ قَرِيبٍ مِن النِطاقِ 1.96–4.97 MeV، الَّذِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَى انزياحات الطَوْر فِيهِ فِي المَرْجِعِ (Tischhauser) مِن تَحْلِيلِ البَياناتِ التَجْرِيبِيَّة. تَمَّ تَراكَبَ الانزياحات الطوريه النَظَرِيَّةِ المَحْسُوبَة فِي هٰذِهِ النِقاطِ، كَما فِي (Tischhauser)، مَعَ خَطَأ عَشْوائِيٍّ بِنِسْبَةِ 5%.
لِتَقْرِيبِ الدالَّةِ \(\Delta_0(E)\) لِ \(E>0\) وَتَمْدِيدها إِلَى النُقْطَةِ \(E=-\varepsilon\)، تَمَّ اِخْتِيارِ أَرْبَع طُرُقٍ (إِصْداراتِ) مُخْتَلِفَةٍ:
الإِصْدار 1 – مُتابَعَةِ الدالَّةِ \(\Delta_0(E)\) مُباشَرَةً،
الإِصْدار 2 – مُتابَعَةِ الدالَّةِ \(\dfrac{\Delta_0(E)}{E+\varepsilon}\)،
الإِصْدار 3 – مُتابَعَةِ الدالَّةِ \(\ln(A- \Delta_0(E))\),
الإِصْدار 4 – مُتابَعَةِ الدالَّةِ \(\ln \left(\dfrac{-\Delta_0(E)}{E+\varepsilon}\right)\).
ظُهُورِ عَلامَةً اللُوغارِيتْم فِي الاصدارين 3 وَ 4 يَعُود إِلَى حَقِيقَةِ أَنَّهُ بِالقُرْبِ مِن \(E=0\)، تَتَغَيَّر \(\Delta_0(E)\) بِشَكْلٍ أَسَى؛ اِسْتِخْدامِ الدالَّةِ اللوغاريتميه يَجْعَل مِن المُمْكِنِ تلطيف هٰذا الاِعْتِمادِ وَتَحْسِينِ جُودَة تَقْرِيبِ الدوال المُعْتَبَرَةِ بِواسِطَةِ الكَثِيرات الحُدُودِ. تُضاف الثابِتَةِ \(A>0\) لِجَعْلِ \(A-\Delta_0(-\varepsilon)\) مُوجِبه. لاحَظَ أَنَّهُ فِي نِطاقِ الطاقَةِ المُعْتَبَر، \(\Delta_0(E)<0\) وَتَقُل تَدْرِيجِيّاً مَعَ زِيادَةِ \(E\)؛ لِ \(E\to -\varepsilon\)، \(\Delta_0(E)\to 0\). تَمَّ اِخْتِيارِ قِيمَةَ \(A\) بِحَيْثُ تَكُون الشَرْطُ \(A\ll|\Delta_0(E)|\) مستوفي، وَالدالَّة المُقَرَّبَةِ قَرِيبَةٌ قَدْرَ الإِمْكانِ مِن خَطِّ مُسْتَقِيم بِحَيْثُ يُمْكِن تَقْرِيبها بِكَثِيره حُدُودِ مِن دَرَجَةِ مُنْخَفَضه. تَحْتَ هٰذِهِ الظُرُوفِ، تَكُون نَتائِجِ الحِسابِ قَلِيلَةٍ الحَسّاسِيَّةِ لِلتَغَيُّرات فِي \(A\).
لاحَظَ أَنَّهُ ضِمْنَ الاصدارين 2 وَ 4 يَتِمّ تَلْبِيَةِ الشَرْطُ \(\Delta_0^{appr}(-\varepsilon)=0\) تِلْقائِيّا. فِي الاصدارين 1 وَ 3، يَتِمّ تَحْقِيقِ تَلْبِيَةِ هٰذا الشَرْطُ بِدِقَّةٍ عالِيَةٍ مِن خِلالَ حَقِيقَةِ أَنَّ النُقْطَةِ \(E=-\varepsilon\) مَشْمُوله فِي مَجْمُوعَةِ النِقاطِ المُسْتَخْدَمَةِ فِي تَقْرِيبِ الدوال المُقابَلَةِ، وَالخَطَأ فِي هٰذِهِ النُقْطَةِ يُؤَخَّذ بِأَوامِر مِن حَيْثُ الحَجْمِ أَصْغَرِ مِن 5% المُقابَلَةِ لِلنِقاط عِنْدَ \(E>0\).
تَمَّت مُقارَنَةً قِيَمِ \(C\) المُحَصِّلَةُ فِي الإِصْدارات 1–4 مَعَ القِيمَةِ الدَقِيقَةِ \(C=690.0\) fm\(^{-1/2}\) لِلإِمْكانِيَّة المُخْتارَة. يَتَّضِح مِن نَتائِجِ الحِسابِ أَنَّ الأَقْرَبُ إِلَى القِيمَةِ الدَقِيقَةِ لِ \(C\)، فَضْلاً عَن أَفْضَلَ تَقارُبٍ لِلنَتائِجِ مَعَ زِيادَةِ الدَرَجَةِ القُصْوَى لَكَثِيرات الحُدُودِ التَقْرِيبِيَّة \(N\)، يَتَوافَق مَعَ الإِصْدار 3.
أَوَّلاً، يَتِمّ العُثُورِ عَلَى ANC \(C\) مُباشَرَةً مِن خِلالَ الاِسْتِمْرارِ إِلَى القُطْبُ \(E=-\varepsilon\) لَتَحَوُّلات الطَوْر المُسْتَخْلَصَة مِن تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر لَبَيانات تَشَتَّتَ \(\alpha-^{12}\)C المَرِنَة مِن المَرْجِعِ (Tischhauser). لِلتَناسُب، تَمَّ اِسْتِخْدامِ 20 نُقْطَةً لَطاقَة المُخْتَبَرِ \(E_\alpha\) فِي النِطاقِ 2.607 - 6.620 MeV (الرَنِين الضِيقَ أَعْلَى فِي الطاقَةِ). اِسْتِناداً إِلَى نَتائِجِ القِسْمِ السابِقِ، نَسْتَخْدِم الإِصْدار 3 – اِسْتِمْرارِيَّة الدالَّةِ \(\ln(A-\Delta_0(E))\) كَأَكْثَرها اِسْتِقْراراً. ضِمْنَ هٰذا الإِصْدار، لِتَحْدِيدِ حَسّاسِيَّةٍ النَتائِجِ لِلمَعامِل \(A\)، تَمَّ إِجْراءِ الحِساباتِ لِقِيمَتَيْنِ مُخْتَلِفَتَيْنِ \(A\): \(A_1=0.506\times 10^{-5}\) fm\(^{-1}\) وَ \(A_2=0.805\times 10^{-5}\) fm\(^{-1}\). بِاِسْتِخْدامِ مَعايِيرِ \(\chi^2\) وَ \(F\)، نَحْصُل عَلَى \(C=1175\) fm\(^{-1/2}\) وَ \(C=1097\) fm\(^{-1/2}\) لِ \(A_1\) وَ \(A_2\) عَلَى التَوالِي. يُمْكِن مُلاحَظَةُ أَنَّ هاتَيْنِ القِيمَتَيْنِ قَرِيبَتانِ مِن بِعَضِّهِما. تَمَّ أَيْضاً إِجْراءِ حِساباتٍ \(C\) بِاِسْتِخْدامِ 10 نِقاطٍ تَجْرِيبِيَّةٍ تَقَع فِي نِطاقِ طاقَةِ أَضِيق (حَتَّى \(E_\alpha=4.31\) MeV). فِي هٰذِهِ الحالَةِ، يَتِمّ الحُصُولِ عَلَى \(C=1139\) fm\(^{-1/2}\). تَقَع هٰذِهِ القِيمَةِ ANC بَيِّنَ قِيمَتَيْنِ تَمَّ الحُصُولِ عَلَيهِما عَلَى نِطاقِ طاقَةِ أَوْسَعِ.
بُعْدَ ذٰلِكَ، نَسْتَخْدِم نَهْجاً مُخْتَلِفاً لِتَحْدِيدِ ANC \(C\) اِسْتِناداً إِلَى تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر مِن المَرْجِعِ (Tischhauser). النَهْجِ يَعْتَمِد عَلَى تَعْدِيلِ مُعامَلاتِ الجُهْدِ. تَمَّ اِخْتِيارِ مُعامَلاتِ الجُهْدِ لِلبِئْر المُرَبَّعِ بِواسِطَةِ طَرِيقَةِ \(\chi^2\) مِن مُتَطَلَّباتِ أَفْضَلَ وَصَفَ لَبَيانات تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر عِنْدَ طاقَةِ رَبْطُ تَجْرِيبِيَّةٍ ثابِتَةٍ \(\varepsilon=1.113\) MeV. بُعْدَ ذٰلِكَ، يَتِمّ العُثُورِ عَلَى ANC مِن حَلٍّ مُعادَلَةِ شرودنجر لِلبِئْر المُرَبَّعِ مَعَ المُعامَلاتِ المُحَدَّدَةِ بِالإِضافَةِ إِلَى التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ. يُمْكِن اِعْتِبارِ هٰذا النَهْجِ رَسْمِيّاً كَطَرِيقه بَدِيلَةٍ لِلاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة لَبَيانات التشتت. تَمَّ النَظَرِ فِي البِئْر المُرَبَّعِ مَعَ حالَتَيْنِ وَثَلاثُ حالاتِ مُرْتَبِطَةً. تَمَّ اِسْتِخْدامِ نطاقات طاقَةِ واسِعَةً وَضَيَّقَهُ لِلتَناسُب. فِي الوَقْتِ نَفْسِهِ، تَمَّ أَيْضاً التَحَقُّقِ مِن دِقَّةٍ وَصَفَ البِئْر المُرَبَّعِ لَبَيانات تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر مَعَ المُعامَلاتِ المُعَدَّلَةِ بِقِيمَةِ \(\varepsilon=1.113\) MeV وَقِيَمِ ANC الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها سابِقاً مِن قِبَلَ مُؤَلِّفِينَ آخَرِينَ وَالمُقَدِّمَة فِي الجَدْوَلُ [table1].
تُظْهِر النَتائِجِ لِ \(C\) وَ \(\chi^2\)، المُسْتَخْدَمَةِ بِاِسْتِخْدامِ نِطاقِ طاقَةِ أَوْسَعِ وَجَهْد بِحالَتَيْنِ مُرْتَبِطَتَيْنِ، فِي الجَدْوَلُ [table2]. أَفْضَلَ نَتِيجَةَ لِ \(\chi^2\) تَتَوافَق مَعَ \(C=734\) fm\(^{-1/2}\). مُعامَلاتِ الجُهْدِ هِيَ \(V_0\)=25.7656 MeV وَ \(R\)=3.81962 fm. تُظْهِر الشَكْلِ [figx1] تَحَوَّلَ الطَوْر \(\delta_0\) لَتَشَتَّت \(\alpha^{12}\)C المُسْتَخْدِمُ بِاِسْتِخْدامِ نِطاقِ الطاقَةِ الواسِعِ. يُمْكِن مُلاحَظَةُ أَنَّهُ بِالقُرْبِ مِن الحَدِّ الأَعْلَى لَنِطاق الطاقَةِ المُعْتَبَر، يَبْدَأ تَحَوَّلَ الطَوْر المَحْسُوبُ فِي الاِنْحِرافِ عَن نَتائِجِ تَحْلِيلِ تَحَوَّلَ الطَوْر. هٰذا يُشِير إِلَى أَنَّ البِئْر المُرَبَّعِ لا يُمْكِنه وَصَفَ نِطاقِ طاقَةِ واسِعٍ بِدِقَّةٍ. لِذٰلِكَ، تَمَّ إِجْراءِ تُناسِب مُماثِلٍ لَنِطاق أَضِيق، وَالَّذِي تَمَّ اِسْتِخْدامه بِالفِعْلِ فِي القِسْمِ الثالِثِ.
تَعَرَّضَ النَتائِجِ فِي الجَدْوَلُ [table3] وَفِي الشَكْلِ [figx2]. أَفْضَلَ نَتِيجَةَ لِ \(\chi^2\) تَتَوافَق مَعَ \(C=938\) fm\(^{-1/2}\). مُعامَلاتِ الجُهْدِ المُقابَلَةِ هِيَ \(V_0\)=22.7495 MeV وَ \(R\)= 4.16411 fm. لاحَظَ أَنَّ \(\chi^2\) لَنِطاق طاقَةِ ضِيقِ أَقَلَّ بِأَكْثَرِ مِن رُتْبَتَيْنِ مِن النِطاقِ الواسِعِ وَهُوَ قَرِيبٍ مِن الوَحْدَةِ. يُظْهِر أَفْضَلَ تَوافُقٌ أَيْضاً فِي الشَكْلِ. لِذٰلِكَ، يَجِب تَقْيِيمِ النِطاقِ الضِيقَ عَلَى أَنَّهُ أَكْثَرَ مُلاءَمَةِ، وَالنَتائِجِ المُحَصِّلَةُ لَهُ أَقْرَبِ إِلَى النَتائِجِ الفِيزيائِيَّة.
لِلمُقارَنَة، تَمَّ إِجْراءِ الحِساباتِ المُماثِلَةِ لِلنِطاق الضِيقَ لِلبِئْر المُرَبَّعِ مَعَ ثَلاثِ حالاتِ مُرْتَبِطَةً أَيْضاً. فِي هٰذِهِ الحالَةِ، كانَت أَفْضَلَ النَتائِجِ هِيَ \(C=886\) fm\(^{-1/2}\)، وَالَّتِي تَقْتَرِب مِن القِيمَةِ 938 fm\(^{-1/2}\) المُحَصِّلَةُ لِحالَةِ الحالَتَيْنِ المُرْتَبِطَتَيْنِ.
تَمَّ أَيْضاً إِجْراءِ حِساباتٍ تَحَوَّلَ الطَوْر لِلبِئْر المُرَبَّعِ مَعَ حالَتَيْنِ مُرْتَبِطَتَيْنِ وَمُعامَلات مُعَدَّله إِلَى \(\varepsilon= 1.113\) MeV وَقِيَمِ ANC الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها مِن قِبَلَ مُؤَلِّفِينَ آخَرِينَ وَالمُدَرَّجَة فِي الجَدْوَلُ [table1]. تَعَرَّضَ النَتائِجِ المُقابَلَةِ فِي الجَدْوَلُ [table4] وَفِي الشَكْلِ [figx3].
فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، تَعامُلنا مَعَ الثابِتُ النَوَوِيِّ المُقابِلِ لِلتَحَلُّل الاِفْتِراضِيّ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C، وَالَّذِي تَتَمَيَّز قِيَمِهِ المستحصله بِواسِطَةِ طُرُقٍ مُخْتَلِفَةٍ بِتَبايُن كَبِيرٍ. لِتَحْدِيدِ الثابِتُ النَوَوِيِّ، اُسْتُخْدِمْنا طَرِيقَتَيْنِ مُخْتَلِفَتَيْنِ لِلاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة فِي طاقَةِ بَياناتٍ تَشَتَّتَ \(\alpha-^{12}\)C إِلَى القُطْبُ المُقابِلِ لِلحالَةِ المُرْتَبِطَةِ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV). فِي الطَرِيقَةِ الأُولَى، يَتِمّ تَقْرِيبِ الدالَّةِ \(\Delta_0(E)\) المُقَدَّمَةِ فِي المَرْجِعِ (Sparen) وَالمَعْرِفَةِ أَعْلاه فِي المُعادَلَةَ بِمَجْمُوعِ مُتَعَدِّدات الحُدُودِ تشيبيشيف فِي المِنْطَقَةِ الفِيزيائِيَّة \(E>0\) ثُمَّ تَسْتَقِرّا إِلَى القُطْبُ. يَتِمّ اِخْتِيارِ أَفْضَلَ طَرِيقَةِ لِلاِسْتِقْراء عَلَى أَساسِ النَمُوذَجِ القابِل لِلحَلِّ بِالضَبْطِ. فِي النَهْجِ الثانِي، يَتِمّ إِيجادِ الثابِتُ النَوَوِيِّ بِحَلِّ مُعادَلَةِ شرودنجر لِلجَهْد النَوَوِيِّ المُرَبَّعِ، وَيَتِمّ اِخْتِيارِ مُعامَلاته بِطَرِيقَةٍ \(\chi^2\) مِن مُتَطَلَّباتِ أَفْضَلَ وَصَفَ لَبَيانات تَحْلِيلِ الطَوْر المرحلي عِنْدَ طاقَةِ رَبْطُ تَجْرِيبِيَّةٍ ثابِتَةٍ لِ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV) فِي قَناةِ \(\alpha+^{12}\)C. فِي كُلّاً الطَرِيقَتَيْنِ، تَمَّ اِسْتِخْدامِ نطاقات طاقَةِ أَوْسَعِ وَأَضِيق لِضَبْطِ المُعامَلاتِ الَّتِي تُحَدِّد الاِسْتِمْرارِيَّة التَحْلِيلِيَّة. إِذا اِفْتَرَضَنا، وِفْقاً لِنَتائِجِ القِسْمِ الرابِعِ، أَنَّهُ مِن الأَفْضَلِ لِلطَرِيقَة الثانِيَةِ أَنَّ نَقْتَصِر عَلَى البَياناتِ ضِمْنَ نِطاقِ الطاقَةِ الأَضْيَق، فَيُمْكِننا أَنَّ نَسْتَنْتِج أَنَّ جَمِيعِ النَتائِجِ الَّتِي حَصَلْنا عَلَيها لِلثابِت النَوَوِيِّ تَقَع فِي الفاصِلِ (886–1139) fm\(^{-1/2}\). إِذا أَخَذْنا فِي الاِعْتِبارِ البَياناتِ ضِمْنَ نِطاقِ الطاقَةِ الأَوْسَعِ، فَإِنَّ الحَدِّ الأَدْنَى لِلثابِت النَوَوِيِّ هُوَ 734 fm\(^{-1/2}\).
فِيما يَتَعَلَّق بِاِسْتِخْدامِ طَرِيقَةِ \(\Delta\) فِي هٰذا العَمَلِ، يَجِب التَأْكِيدُ عَلَى أَنَّهُ فِي إِطارِ هٰذِهِ الطَرِيقَةِ، لَيِسَت الدالَّةِ \(\Delta_l(E)\) هِيَ الَّتِي يَتِمّ اِسْتِمْرارِها فِعْلِيّاً إِلَى مِنْطَقَةِ الطاقاتِ السالِبَة، بَل الجُزْء الحَقِيقِيِّ مِن مَقامِ السَعَة المُعَدَّلَةِ بكولومب \(\tilde f_l(E)\) المَعْرِفَةِ فِي المُعادَلَةَ . كَما ذَكَّرَنا سابِقاً، لا يُمْكِن اِسْتِمْرارِ \(\Delta_l(E)\) مُباشَرَةً إِلَى مِنْطَقَةِ \(E < 0\) بِواسِطَةِ تَقْرِيبِ مُتَعَدِّدِ الحُدُودِ، نَظَراً لِوُجُودِ نُقْطَةً تَفَرُّد جَوْهَرِيَّةٍ عِنْدَ \(E=0\). لَأَجْل الاِخْتِصارِ، دَعُونا نُثْبِت هٰذِهِ الفَرْضِيَّة لِ \(l=0\)، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّ الحُجَجِ التالِيَةِ صالِحَةٌ لِأَيّ قِيَمِ لِ \(l\). وِفْقاً لِلمُعادَلَة ، يُمْكِن كِتابَةِ \(\tilde f_0(E)\) ك \(\tilde f_0(E)=D_0^{-1}(E)\)، حَيْثُ \(D_0(E)=\Delta_0(E)-ikC_0^2(\eta)\). الدالَّةِ \(C_0^2(\eta)\) المَعْرِفَةِ فِي المُعادَلَةَ تَمْتَلِك نُقْطَةً تَفَرُّد جَوْهَرِيَّةٍ عِنْدَ \(E=0\) بِسَبَبِ وُجُودِ \(\exp(2\pi\eta)\) مَعَ \(\eta=Z_1Z_2e^2\sqrt{\mu/2E}\) (أَنْظُر المُعادَلَةَ ). مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى، لا تَمْتَلِك \(D_0(E)\) نُقْطَةً تَفَرُّد جَوْهَرِيَّةٍ عِنْدَ \(E=0\) نَظَراً لِلخَصائِص التَحْلِيلِيَّة لِ \({\tilde f}_{l}(E)\) عَلَى الوَرَقَةَ الفِيزيائِيَّة لِ \(E\) وَالَّتِي تُشْبِه تِلْكَ الخاصَّةِ بِسَعَةِ التشتت الموجي الجُزْئِيِّ لِلجَهْد قَصِيرٍ المَدَى (Hamilton). لِذٰلِكَ، فِي تَعْبِيرِ \(D_0(E)\)، يَجِب أَنَّ تُعَوِّض نُقْطَةً التَفَرُّدُ الجَوْهَرِيَّة لِلمُصْطَلَح \(ikC_0^2(\eta)\) بِنُقْطَةٍ التَفَرُّدُ الجَوْهَرِيَّة لِ \(\Delta_0(E)\). فِي المَرْجِعِ (BKMS1)، ضِمْنَ إِطارِ نَمُوذَجَ قابِلٌ لِلحَلِّ بِالضَبْطِ، يُظْهِر بِوُضُوحٍ أَنَّ الدوال \(ikC_0^2(\eta)\) وَ \(\Delta_0(E)\) تَمْتَلِكانِ نِقاطٍ تَفَرُّد جَوْهَرِيَّةٍ عِنْدَ \(E=0\) وَتَتَصَرَّفانِ بِشَكْلٍ غَيْرِ مُنْتَظِم عِنْدَ \(E\to-0\)، وَلٰكِن هٰذِهِ الاِضْطِراباتِ تُعَوِّض فِي تَعْبِيرِ \(D_0(E)\). مِن ما سَبَقَ، يَتَّضِح بِوُضُوحٍ أَنَّ البَيانُ حَوْلَ عَدَمِ وُجُودِ نُقْطَةً تَفَرُّد جَوْهَرِيَّةٍ لِ \(\Delta_l(E)\) عِنْدَ \(E=0\)، المَذْكُورِ فِي المَراجِعِ (Orlov3,Orlov4)، خاطِئٍ.
فِي هٰذا العَمَلِ، تَعامُلنا مَعَ الثابِتُ النَوَوِيِّ لِلقَناةِ \(^{16}\)O\((0^+; 6.05\) MeV)\(\to \alpha+^{12}\)C. العَمَلِ جارَ لِتَحْدِيدِ الثَوابِتِ النَوَوِيَّةِ المُماثِلَةِ لِلحالات المثاره لِ \(^{16}\)O مَعَ \(l>0\). أَمّا بِالنِسْبَةِ لِلحالَةِ الأَساسِيَّةِ لِ \(^{16}\)O، فَمِن الصَعْبِ تَحْدِيدِ الثابِتُ النَوَوِيِّ المُقابِلِ بِواسِطَةِ اِسْتِمْرارِيَّة تَحْلِيلَيْهِ لَبَيانات سعات التشتت الموجي الجُزْئِيِّ. كَما يَتَّضِح مِن نَتائِجِ المَراجِعِ (BKMS2,BlSav2016)، فِي الحالَةِ الَّتِي يُوجَد فِيها أَكْثَرَ مِن حالَةِ مُرْتَبِطَةً واحِدَةٍ بِنَفْسِ الأَعْدادُ الكموميه فِي النِظامِ، تُتِيح طَرِيقَةِ الاِسْتِقْراء التَحْلِيلِيّ الحُصُولِ عَلَى مَعْلُوماتٍ مَوْثُوقه فَقَط عَن الحالَةِ العُلْيا (الأَقَلِّ اِرْتِباطا).
تَمَّ دَعْمِ هٰذا العَمَلِ مِن قِبَلَ مِنْحَةً الصُنْدُوقِ الرُوسِيِّ لِلبُحُوثِ الأَساسِيَّةِ رَقْمِ 19-02-00014 (لِ.د.ب. وَ د.أَ.س.). يَعْتَرِف أَ.س.ك. بِالدَعْمِ مِن مَجْلِسِ البُحُوثِ الأُسْتُرالِيّ. يَعْتَرِف أَ.م.م. بِالدَعْمِ مِن إِدارَةِ الأَمْنِ النَوَوِيِّ الوَطَنِيِّ بِالوِلاياتِ المُتَّحِدَةِ تَحْتَ رَقْمِ الجائِزَةِ DENA0003841 وَمِنْحَةِ DOE رَقْمِ DE-FG02-93ER40773.