نُبيّن هنا استخدام تقنية "المجهرية الديناميكية التفاضلية" (DDM) كطريقة سريعة وشاملة لوصف ديناميكيات الجسيمات النشطة. على وجه الخصوص، نصف توزيع سرعات السباحة ونسبة الخلايا المتحركة في معلقات بكتيريا Escherichia coli. عبر أخذ المتوسط الحسابي على \(\sim 10^4\) خلية، تظهر نتائجنا دقةً عالية مقارنةً بالتتبع التقليدي. كما يتضح أن تشتت الخلايا غير المتحركة يزداد بما يتناسب مع تركيز الخلايا المتحركة.
يمكن ملاحظة هذه العمليات المتنوعة في الكائنات متعددة الخلايا مثل كيموتاكسيس الحركية (Bray)، كما أنها شائعة أيضاً في الكائنات أحادية الخلية كالبكتيريا، مما يمكّن، على سبيل المثال، العامل الممرض Helicobacter pylori من غزو الظهارة المعدية (MontecuccoRP_NatureMolCellBiol01). وعلى النطاق البيئي، ترتبط حركة البكتيريا غالباً بإعادة تدوير المغذيات في البيئات المائية (Azam01). تُعد بكتيريا Escherichia coli نموذجاً أساسياً لدراسة حركة الخلايا (BergBook). تنتقل الخلية في مسار عشوائي عبر التبديل بين السباحة (أو "الجري") بسرعة متوسطة \(\bar{v} \gtrsim 10\,\mu\mathrm{m}/\mathrm{s}\) لمدة \(\sim 1\) ثانية والتدحرج لمدة \(\sim 0.1\) ثانية.
في البداية، كانت الدراسات تعتمد على تتبع خلية واحدة أو بضع خلايا فقط (BergDB_Nature72, Schneider74). ومع تطور التقنيات، أصبح بالإمكان اليوم تتبع \(\sim 10^2 - 10^3\) خلايا في آن واحد (Worku98, WuJRSKDKMD_ApplEnvMicrobiol06, DouarcheABHSAL_PRL09). يؤدّي التتبع إلى استخراج مجموعة من المعلمات، منها السرعة المتوسطة \(\bar{v}\) (مثلاً في محاليل البوليمر Schneider74)، ونسبة الكائنات المتحركة \(\alpha\) (مثلاً في البكتيريا البحرية Azam01). ومع ذلك، لا يزال التتبع عملية مرهقة، كما أنّ الحاجة لأخذ المتوسط على بيانات متعددة لتحقيق دقة عالية يقيّد قابلية القياس في الزمن الحقيقي.
نقدّم هنا طريقة سريعة وعالية الإنتاجية لوصف حركة E. coli، يُمكن تطبيقها بسهولة أيضاً على أنواع أخرى من البكتيريا والكائنات الدقيقة، فضلاً عن الجيل الجديد من الجسيمات النشطة الاصطناعية (Sen10).
استُخدم تشتت الضوء الديناميكي (DLS)، المستعمل منذ فترة طويلة لقياس التشتت في الغرويات، ومن حيث المبدأ مناسب لوصف البكتيريا المتحركة بسرعة (NossalSCCL_OptComm71). ينتج عن DLS دالة التشتت المتوسطة الزمن (ISF)، \(f(q, \tau)\) (حيث \(q\) هو متجه التشتت و\(\tau\) هو الزمن) (Berne00)، والتي تستكشف عمليات استرخاء الكثافة على مقياس الطول \(2\pi/q\). غير أن أقل زاوية تشتت في DLS التقليدي، \(\sim 20^{\circ}\) (أو \(q \sim 4.5\,\mu\mathrm{m}^{-1}\))، تحدد ديناميكيات عند \(2\pi/q \lesssim 1.4\,\mu\mathrm{m}\)، حيث يساهم دوران جسم الخلية (BoonRNSC_BiophysJ74) وحركات أخرى في Escherichia coli بشكل كبير في اضمحلال ISF. وبالتالي، وعلى عكس الادعاءات الأولية (NossalSCCL_OptComm71)، لا يمكن وصف سباحة Escherichia coli، التي تحدث على مقياس \(\bar{v}/\tau_{\rm run} \sim 10\,\mu\mathrm{m}\)، بشكل واضح باستخدام DLS ما لم نتمكن من الوصول إلى \(q \lesssim 2\pi/10\,\mu\mathrm{m} \sim 0.6\,\mu\mathrm{m}^{-1}\) (أو \(\lesssim 3^{\circ}\)) (BoonRNSC_BiophysJ74).
عوضاً عن استخدام DLS بزوايا منخفضة للغاية، نعتمد تقنية المجهرية الديناميكية التفاضلية (DDM) القوية لقياس \(f(q,\tau)\) الخاصة بسباحة البكتيريا. استُخدم أحد أشكال DDM لأول مرة لدراسة تقلبات الكثافة في الخلائط الثنائية (Giglio06)، ولاحقاً لقياس التشتت في الغرويات (CerbinoVT_PRL08)، وذلك باستخدام معدات غير متخصصة فقط (مجهر وكاميرا وجهاز حاسوب). إلا أنّ تطبيق DDM الغرواني لم يستفد بعد من قدرته الفريدة على الوصول إلى قيم \(q\) منخفضة جداً (\(\lesssim 1\,\mu\mathrm{m}^{-1}\))، وهو الأمر الضروري لاستكشاف سباحة البكتيريا.
تفاصيل نظرية DDM موضحة في (GiavazziDBVTTBRC_PRE09). نقدم استنتاجاً بديلاً يشرح أيضاً الإجراءات التجريبية. تتألف البيانات الأولية من صور متتابعة زمنياً للبكتيريا، حيث يُوصف كل إطار بكثافة الإضاءة \(I(\vec{r},t)\) في مستوى الصورة (\(\vec{r}\)). من هذه الصور نحسب صور الفرق عند أزمنة تأخير مختلفة \(\tau\) عبر العلاقة \(D(\vec{r},\tau) = I(\vec{r},t + \tau) - I(\vec{r},t) = \Delta I(\vec{r},\tau) - \Delta I(\vec{r},0)\)، حيث تُعبّر \(\Delta I(\vec{r},t) = I(\vec{r},t) - \langle I \rangle\) عن تقلبات الكثافة. التحويل الفورييه لـ \(D(\vec{r},\tau)\) يعطي \[ F_D (\vec{q},\tau) = \int D(\vec{r},\tau) e^{i\vec{q}\cdot \vec{r}} \, {\rm d}\vec{r}. \] للأنظمة الثابتة والمتجانسة زمنياً، نقوم بالتوسيط على وقت البدء \(t\) وفي فضاء \(\vec{q}\) للحصول على دالة الترابط الكثافي التفاضلية (DICF)، \(\langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle\) (حيث \(q = |\vec{q}|\)).
نبيّن الآن أن DICF ترتبط ببساطة بـ ISF إذا افترضنا أن تقلبات الكثافة في الصورة تتناسب مع تقلبات كثافة البكتيريا حول الكثافة المتوسطة \(\langle \rho \rangle\): \[ \Delta I(\vec{r},t) = \kappa\, \Delta \rho(\vec{r},t)\;. \] هنا، الثابت \(\kappa\) يعتمد على آلية التباين و\(\Delta \rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t) - \langle \rho \rangle\). من المعادلتين أعلاه نحصل على \[ \begin{aligned} F_D (\vec{q},\tau) & = \kappa [\Delta \rho (\vec{q},\tau ) - \Delta \rho (\vec{q},0)]\;,\\ \text{حيث}\;\; \Delta \rho (\vec{q},\tau ) & = \int \Delta \rho (\vec{r},t)\,e^{i\vec{q}\cdot \vec{r}}\, {\rm d} \vec{r}\;. \end{aligned} \] ويمكن بعد ذلك التعبير عن DICF كما يلي \[ \begin{aligned} \langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle & = A(q) \left[ 1 - \frac{\langle \Delta \rho (q,0)\Delta \rho (q,\tau)\rangle}{\langle [\Delta \rho (q)]^2 \rangle}\right] \\ \text{حيث}\;\; A(q) & = 2\kappa^2 \langle [ \Delta \rho (q)]^2 \rangle\;. \end{aligned} \] وملاحظة أن المصطلح المعتمد على \(\tau\) في الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه هو ISF، نصل إلى النتيجة الرئيسية: \[ \langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle = A(q)\left[ 1 - f(q,\tau ) \right] + B(q)\;, \] حيث أُضيف مصطلح \(B(q)\) لتمثيل ضوضاء الكاميرا. وهكذا، ينتج طيف تقلبات كثافة الصور \(\langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle\) دالة ISF. عملياً، نعيد بناء \(f(q,\tau)\) باستخدام نموذج معلمي لـ ISF لمواءمة DICF المقاسة مع المعادلة أعلاه.
``` **تمت مراجعة جميع المعادلات وضبطها لتكون متوافقة مع LaTeX/MathJax بشكل صحيح:** - تم تصحيح جميع الكسور، وحدات القياس، واستخدام الفواصل والفواصل العشرية. - تم إزالة أي علامات ترقيم أو أوامر غير قياسية (مثل \label أو أرقام المعادلات) من داخل المعادلات لأن MathJax لا يدعمها في HTML. - تم التأكد من أن جميع المعادلات محاطة بشكل صحيح بـ `\[` ... `\]` أو `\( ... \)` حسب السياق. - تم التأكد من أن جميع الرموز (مثل \mathrm, \vec, \cdot, \langle, \rangle, إلخ) مكتوبة بشكل صحيح. - تم الحفاظ على النص الكامل دون أي تغيير في الكلمات أو المعنى.