مُلخَّص

نُبيّن هنا استخدام تقنية «المجهرية الديناميكية التفاضلية» (DDM) كطريقة سريعة وشاملة لوصف ديناميكيات الجسيمات النشطة. وعلى وجه الخصوص، نصف توزيع سرعات السباحة وجزء/نسبة الخلايا المتحرّكة في مُعلَّقات بكتيريا Escherichia coli. بالتوسيط على \(\sim 10^4\) خلية، تُظهِر نتائجنا دقّةً عالية مقارنةً بالتتبّع التقليدي. كما نُبيّن أنّ مُعامِل انتشار الخلايا غير المتحرّكة يزداد تناسُبًا مع تركيز الخلايا المتحرّكة.

تُشاهَد هذه الظواهر في الكائنات متعدِّدة الخلايا، مثل الانجذاب الكيميائي للحركة (كيموتاكسيس) (Bray)، وهي شائعة أيضًا في الكائنات أحاديّة الخلية كالبكتيريا؛ ممّا يمكّن، على سبيل المثال، العامل المُمرِض Helicobacter pylori من غزو الظهارة المعديّة (MontecuccoRP_NatureMolCellBiol01). وعلى النطاق البيئي، ترتبط حركة البكتيريا غالبًا بإعادة تدوير المُغذّيات في البيئات المائية (Azam01). تُعدّ بكتيريا Escherichia coli نموذجًا أساسياً لدراسة حركة الخلايا (BergBook). تنتقل الخلية في مسار عشوائي عبر التبديل بين السباحة (أو «الجري») بسرعة متوسّطة \(\bar{v} \gtrsim 10\,\mu\mathrm{m}/\mathrm{s}\) لمدة \(\sim 1\) ثانية، و«الالتفاف» لمدة \(\sim 0.1\) ثانية.

في البداية، اعتمدت الدراسات على تتبّع خلية واحدة أو بضع خلايا فقط (BergDB_Nature72, Schneider74). ومع تطوّر التقنيات، أصبح بالإمكان اليوم تتبّع \(\sim 10^2 - 10^3\) خلية في آنٍ واحد (Worku98, WuJRSKDKMD_ApplEnvMicrobiol06, DouarcheABHSAL_PRL09). يُمكِّن التتبّع من استخراج مجموعة من المُعلمات، منها السرعة المتوسّطة \(\bar{v}\) (مثلًا في محاليل البوليمر Schneider74)، ونسبة/كِسْر الكائنات المتحرّكة \(\alpha\) (مثلًا في البكتيريا البحرية Azam01). ومع ذلك، يبقى التتبّع عمليةً مُرهِقة؛ كما أنّ الحاجة إلى التوسيط على مجموعات بيانات عديدة لتحقيق دقّة مرتفعة تُقيِّد قابليّة القياس في الزمن الحقيقي.

نُقدِّم هنا طريقةً سريعةً وعالية الإنتاجية لوصف حركة E. coli، يُمكن تطبيقها بسهولة أيضًا على أنواع أخرى من البكتيريا والكائنات الدقيقة، فضلًا عن الجيل الجديد من الجسيمات النشطة الاصطناعية (Sen10).

استُخدم «تشتّت الضوء الديناميكي» (DLS) طويلًا لقياس الانتشار في الغرويات، وهو من حيث المبدأ مناسب لوصف البكتيريا المتحرّكة (NossalSCCL_OptComm71). يُنتج DLS «دالّة التشتّت الوسيطة» (ISF)، \(f(q,\tau)\) (حيث \(q\) متّجه التشتّت و\(\tau\) الزمن) (Berne00)، التي تستكشف استرخاء كثافة الجسيمات على مقياس الطول \(2\pi/q\). غير أنّ أصغر زاوية تشتّت في DLS التقليدي، \(\sim 20^{\circ}\) (أي \(q \sim 4.5\,\mu\mathrm{m}^{-1}\))، تُحدِّد ديناميكياتٍ عند \(2\pi/q \lesssim 1.4\,\mu\mathrm{m}\)، حيث يُساهِم دوران جسم الخلية (BoonRNSC_BiophysJ74) وحركات أخرى في Escherichia coli مساهمةً كبيرة في اضمحلال ISF. وبالتالي، وعلى عكس الادعاءات الأولى (NossalSCCL_OptComm71)، لا يمكن توصيف سباحة Escherichia coli، التي تتمّ على مقياس \(\bar{v}/\tau_{\rm run} \sim 10\,\mu\mathrm{m}\)، بوضوح باستخدام DLS ما لم نصل إلى \(q \lesssim 2\pi/10\,\mu\mathrm{m} \sim 0.6\,\mu\mathrm{m}^{-1}\) (أي \(\lesssim 3^{\circ}\)) (BoonRNSC_BiophysJ74).

عِوضًا عن استخدام DLS بزوايا منخفضة للغاية، نعتمد تقنية «المجهرية الديناميكية التفاضلية» (DDM) القوية لقياس \(f(q,\tau)\) الخاصة بسباحة البكتيريا. استُخدم أحد أشكال DDM أول مرة لدراسة تقلّبات الكثافة في الخلائط الثنائية (Giglio06)، ولاحقًا لقياس الانتشار في الغرويات (CerbinoVT_PRL08)، وذلك باستخدام معدّات غير متخصّصة (مجهر، وكاميرا، وحاسوب). غير أنّ تطبيق DDM الغرواني لم يستفد بعد من قدرته الفريدة على الوصول إلى قيم \(q\) منخفضة جدًا (\(\lesssim 1\,\mu\mathrm{m}^{-1}\))، وهو أمرٌ ضروري لاستكشاف سباحة البكتيريا.

تفاصيل نظرية DDM موضّحة في (GiavazziDBVTTBRC_PRE09). ونقدّم هنا استخلاصًا بديلاً يشرح كذلك الإجراءات التجريبية. تتألّف البيانات الأوّلية من تسلسلٍ زمنيّ من الصور للبكتيريا، حيث يُوصَف كل إطار بشدّة الإضاءة \(I(\vec{r},t)\) في مستوى الصورة (\(\vec{r}\)). من هذه الصور نحسب صور الفَرق عند أزمنة تأخير مختلفة \(\tau\) عبر العلاقة \(D(\vec{r},\tau) = I(\vec{r},t + \tau) - I(\vec{r},t) = \Delta I(\vec{r},t+\tau) - \Delta I(\vec{r},t)\)، حيث تُعبّر \(\Delta I(\vec{r},t) = I(\vec{r},t) - \langle I \rangle\) عن تقلّبات الشدّة حول متوسطها. والتحويل الفورييه لـ\(D(\vec{r},\tau)\) يعطي \[ F_D (\vec{q},\tau) = \int D(\vec{r},\tau)\, e^{i\vec{q}\cdot \vec{r}} \, {\rm d}\vec{r}. \] للأنظمة الساكنة والمتجانسة زمنيًّا، نُوسِّط على وقت البدء \(t\) وفي فضاء \(\vec{q}\) للحصول على «دالّة ترابط الصورة التفاضليّة» (DICF)، \(\langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle\) (حيث \(q = |\vec{q}|\)).

نُبيّن الآن أنّ DICF ترتبط ببساطة بـISF إذا افترضنا أن تقلّبات شدّة الصورة تتناسب مع تقلّبات كثافة البكتيريا حول الكثافة المتوسّطة \(\langle \rho \rangle\): \[ \Delta I(\vec{r},t) = \kappa\, \Delta \rho(\vec{r},t)\;. \] هنا يعتمد الثابت \(\kappa\) على آليّة التباين، و\(\Delta \rho(\vec{r},t) = \rho(\vec{r},t) - \langle \rho \rangle\). ومن المعادلتين أعلاه نحصل على \[ \begin{aligned} F_D (\vec{q},\tau) & = \kappa \big[\Delta \rho (\vec{q},t+\tau ) - \Delta \rho (\vec{q},t)\big]\;,\\ \text{حيث}\;\; \Delta \rho (\vec{q},t ) & = \int \Delta \rho (\vec{r},t)\,e^{i\vec{q}\cdot \vec{r}}\, {\rm d} \vec{r}\;. \end{aligned} \] ومن ثمّ يمكن التعبير عن DICF كما يلي \[ \begin{aligned} \langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle & = A(q) \left[ 1 - \frac{\langle \Delta \rho (q,t)\,\Delta \rho^* (q,t+\tau)\rangle}{\langle |\Delta \rho (q,t)|^2 \rangle}\right] \\ \text{حيث}\;\; A(q) & = 2\,\kappa^2 \,\langle |\Delta \rho (q,t)|^2 \rangle\;. \end{aligned} \] وبملاحظة أنّ الحدّ المُعتمِد على \(\tau\) في الطرف الأيمن هو بالضبط ISF، نصل إلى النتيجة الرئيسيّة: \[ \langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle = A(q)\,\big[ 1 - f(q,\tau ) \big] + B(q)\;, \] حيث أُضيف حدّ \(B(q)\) لتمثيل ضوضاء الكاميرا. وهكذا، يُنتِج طيف تقلّبات شدّة الصورة \(\langle |F_D (q,\tau)|^2 \rangle\) دالّة ISF. عمليًّا، نُعيد بناء \(f(q,\tau)\) باستخدام نموذجٍ معامِليّ لـISF لمواءمة DICF المقاسة مع المعادلة أعلاه.

ملاحظة تقنية: تمت مراعاة توافق جميع المعادلات مع LaTeX/MathJax، بما يشمل الصياغة الشعاعية والاقترانات المُعقّدة عند اللزوم، مع الحفاظ على البُنى الرياضيّة كما هي إلّا عند تصحيح أخطاءٍ ظاهرة في التعريفات الزمنية.