latex
قُوَّةٍ الضَغْطِ هِيَ مِفْتاحَ لِفَهْمِ البُنْيَةِ الداخِلِيَّةِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ فِي أَقْراص الكَواكِب الأَوَّلِيَّةِ وَالأَجْسام الناتِجَةِ عَنها، مِثْلَ المُذْنِبات وَالكُوَيْكِبات فِي المَجْمُوعَةِ الشَمْسِيَّةُ. الأَعْمالِ السابِقَةِ قَد نمذجت قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ شَدِيدَةٍ المَسامِّيَّة بِعَوامِلِ مِلْءِ حَجْمِ أَقَلَّ مِن 0.1. وَمَعَ ذٰلِكَ، لا يَزال الفَهْمِ الشامِلِ لِقُوَّةِ الضَغْطِ مِن العَوامِلُ المُنْخَفِضَة (<0.1) إِلَى العَوامِلُ العالِيَةِ (>0.1) مَفْقُوداً. فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نُحَقِّق فِي قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ بِاِسْتِخْدامِ مُحاكاةَ ضَغْطِ التَجَمُّعاتِ الَّتِي تَحْلِل الحَبِيبات المُكَوَّنَةِ بِناءَ عَلَى نَظَرِيَّةَ JKR لِصِياغَةِ قُوَّةٍ الضَغْطِ بِشَكْلٍ شامِلٍ. نَقُوم بِأَداء سِلْسِلَةٍ مِن المُحاكاة العَدَدِيَّةِ مَعَ حُدُودِ دَوْرِيَّةٍ مُتَحَرِّكَةٌ تُحاكِي سُلُوكِ الضَغْطِ. نَتِيجَةَ لِذٰلِكَ، نَجِد أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ تُصْبِح أَكْثَرَ صَلابَةَ بِشَكْلٍ حادٍّ عِنْدَما يَتَجاوَز عامِلٍ مِلْءِ الحَجْمِ 0.1. نَنْجَح فِي صِياغَةِ قُوَّةٍ الضَغْطِ بِشَكْلٍ شامِلٍ مِن خِلالَ أَخَذَ فِي الاِعْتِبارِ حَرَكَةِ التَدَحْرُج لِلتَجَمُّعات لَعَوامِل مِلْءِ الحَجْمِ المُنْخَفِضَة وَالتَعْبِئَة الأَقْرَبُ لِلتَجَمُّعات لَعَوامِل مِلْءِ الحَجْمِ العالِيَةِ. نَجِد أَيْضاً أَنَّ أَلَياتِ الضَغْطِ السائِدَةِ لَعَوامِل مِلْءِ الحَجْمِ العالِيَةِ هِيَ حَرَكاتِ الاِنْزِلاقِ وَالاِلْتِواء، بَيْنَما تُهَيْمِن حَرَكَةِ التَدَحْرُج لَعَوامِل مِلْءِ الحَجْمِ المُنْخَفِضَة. نُؤَكِّد أَنَّ نَتائِجنا تَتَوافَق بِشَكْلٍ جَيِّدٍ مَعَ الدِراساتِ العَدَدِيَّةِ السابِقَةِ. نَقْتَرِح أَنَّ صِيغَتنا التَحْلِيلِيَّة مُتَّسِقه مَعَ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ إِذا اِفْتَرَضَنا أَنَّ طاقَةِ السَطْحِ للسيليكات هِيَ \(\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). الآنَ، يُمْكِننا تَطْبِيقِ نَتائِجنا عَلَى خَصائِصِ الأَجْسام المُدْمَجَة الصَغِيرَةِ، مِثْلَ المُذْنِبات وَالكُوَيْكِبات وَالحَصَى.
الخَطْوَةِ الأُولَى فِي تَكْوِينِ الكَواكِب هِيَ تَجْمَع حُبَيْباتِ الغُبارِ ذاتِ الأَحْجام الدَقِيقَةِ (الفَرْعِيَّةِ). تَعْرِف تَجَمُّعاتٍ حُبَيْباتِ الغُبارِ بِتَجَمُّعات الغُبارِ (Smirnov1990, Meakin1991, Ossenkopf1993, Dominik1997, Wurm1998, Kempf1999, Blum2000, Krause2004, Paszun2006, Paszun2008, Paszun2009, Wada2007, Wada2008, Wada2009, Wada2013, Suyama2008, Suyama2012, Okuzumi2009dustagg, Geretshauser2010, Geretshauser2011). فِي المَرْحَلَةِ الأُولَى مِن نُمُوِّ الغُبارِ، يَصْطَدِم تَجْمَع غُبارَ بِآخَر وَيُعَلِّق بِهِ. هٰذِهِ العَمَلِيَّةِ تُنْتِج تَجَمُّعاتٍ كَسُورِيّه تَعْرِف بِتَجَمُّعات الكُتَلِ الكُرَوِيَّةُ الكُرَوِيَّةُ (Mukai1992). تُؤَدِّي تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ إِلَى تَكْوِينِ الكُوَيْكِبات، وَهِيَ الكُتَلِ الأَساسِيَّةِ بِحَجْمِ الكِيلُومِتراتِ لِلكَواكِب (Okuzumi2012, Kataoka2013L). هُناكَ سِينارِيو آخَرِ يَنْمُو فِيهِ تَجْمَع الغُبارِ إِلَى حَصَى مُدْمَجه بِحَجْمِ المِلِيمِتر، وَتَتَجَمَّع الحَصَى لِتَشْكِيلِ الكُوَيْكِبات مِن خِلالَ بِعَضِّ عَدَمِ الاِسْتِقْرارِ أَو الاِصْطِدامات (Johansen2007, Windmark2012b, Davidsson2016, WahlbergJansson2017, Yang2017, Lorek2018, Fulle2019). فِي هٰذا السِينارِيو، الكُوَيْكِبات هِيَ تَجَمُّعاتٍ حَصَى تَخْتَلِف بِنِيَّتها الداخِلِيَّةِ عَن تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ فِي هٰذا العَمَلِ.
الضَغْطِ عَلَى تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ هُوَ عَمَلِيَّةِ رَئِيسِيَّةٍ أَثْناءَ نُمُوَّها. هُناكَ عِدَّةٍ أَلَياتِ لِلضَغْطِ: الاِصْطِدامِ، غازِ القُرْصِ، وَضَغْطٌ الجاذِبِيَّة الذاتِيَّةِ. أَظْهَرَت بِعَضِّ الدِراساتِ العَدَدِيَّةِ أَنَّ الضَغْطِ الناتِجِ عَن الاِصْطِدامِ غَيْرِ كافٍ وَتَظَلّ الكثافات الداخِلِيَّةِ لِلتَجَمُّعات حِوالِي \(\sim10^{-5}\mathrm{\ g\ cm^{-3}}\) (Okuzumi2012, Kataoka2013L). تُشِير بِعَضِّ الدِراساتِ التَجْرِيبِيَّة إِلَى أَنَّ اِرْتِدادَ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ يُؤَدِّي إِلَى الضَغْطِ (Krijt2018)، لٰكِنَّ الدِراساتِ العَدَدِيَّةِ تُشِير إِلَى أَنَّ اِرْتِدادَ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ المَسامِّيَّة لا يَحْدُث بِالْكاد (Wada2011). بِالنِسْبَةِ لِضَغْطٍ غازِ القُرْصِ وَالجاذِبِيَّة الذاتِيَّةِ، فَإِنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ تُحَدِّد كثافاتها الداخِلِيَّةِ (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Kataoka2013, Kataoka2013L, Omura2017). كَما تُحَدِّد قُوَّةٍ الضَغْطِ البِنَى الداخِلِيَّةِ لِلأَجْسام الأَكْبَرُ، مِثْلَ الكُوَيْكِبات وَالكُوَيْكِبات وَالمُذْنِبات (Omura2018, Omura2021).
قامَ Kataoka2013 بنمذجه قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ شَدِيدَةٍ المَسامِّيَّة بِعَوامِلِ تَعْبِئَةِ حَجْمِيّه أَقَلَّ مِن 0.1. لَقَد صاغُوا تَحْلِيلِيّا قُوَّةٍ الضَغْطِ بِاِسْتِخْدامِ عامِلٍ التَعْبِئَةِ الحَجْمِيّ وَعُدَّةُ مُعامَلاتِ مادِّيَّةٍ، مِثْلَ نِصْفِ قَطَرِ الحَبِيبات الأُحادِيَّة وَطاقَة السَطْحِ.
وَمَعَ ذٰلِكَ، لا يَزال الفَهْمِ الشامِلِ لِقُوَّةِ الضَغْطِ مِن العَوامِلُ المُنْخَفِضَة لِلتَعْبِئَة الحَجْمِيَّةِ (<0.1) إِلَى العَوامِلُ العالِيَةِ (>0.1) مَفْقُوداً. قُوَّةٍ الضَغْطِ لِلعَوامِل العالِيَةِ لِلتَعْبِئَة الحَجْمِيَّةِ ضَرُورِيَّةٌ لِلتَطْبِيقات عَلَى المُذْنِبات وَالكُوَيْكِبات وَالحَصَى، بَيْنَما العَوامِلُ المُنْخَفِضَة لِلتَعْبِئَة الحَجْمِيَّةِ ضَرُورِيَّةٌ لِنُمُوِّ الغُبارِ. لَقَد بَحَثَت بِعَضِّ الدِراساتِ فِي قُوَّةٍ الضَغْطِ لَعَوامِل التَعْبِئَةِ الحَجْمِيَّةِ فَوْقَ 0.1 (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018). وَمَعَ ذٰلِكَ، لا تَزال الاِعْتِماداتِ عَلَى المُعامَلاتِ المادِّيَّةِ غَيْرِ واضِحَةٍ وَهُناكَ تُناقِض بَيِّنَ العَوامِلُ المُنْخَفِضَة وَالعالِيَة لِلتَعْبِئَة الحَجْمِيَّةِ.
فِي هٰذا العَمَلِ، نَقُوم بِإِجْراءِ مُحاكاةَ عَدَدَيْهِ لِضَغْطٍ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ ونصيغ قُوَّةٍ الضَغْطِ الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تُعالِج نِطاقاً كامِلاً مِن عَوامِلِ التَعْبِئَةِ الحَجْمِيَّةِ. نَسْتَخْدِم نَفْسِ رَمْزُ المُحاكاة كَما فِي Kataoka2013، وَلٰكِنَّنا نَحْسِب قُوَّةٍ الضَغْطِ لِلعَوامِل العالِيَةِ لِلتَعْبِئَة الحَجْمِيَّةِ لِتَطْبِيقِها عَلَى الأَجْسام الصَغِيرَةِ فِي النِظامِ الشَمْسِيّ بِعَوامِلِ تَعْبِئَةِ حَجْمِيّه أَعْلَى مِن 0.1. نَحْنُ نَدْرُس أَيْضاً الاِعْتِماداتِ عَلَى المُعامَلاتِ المادِّيَّةِ، مِثْلَ نِصْفِ قَطَرِ الحَبِيبات الأُحادِيَّة وَطاقَة السَطْحِ. وَأَخِيرا، نَبْنِي صِيغَةِ تَحْلِيلَيْهِ مُصَحِّحه لِقُوَّةِ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ بِناءَ عَلَى نَمُوذَجَ بَسِيطٍ لَتَطْبِيقه عَلَى مُعامَلاتِ أُخْرَى.
يُنَظِّم هٰذا العَمَلِ عَلَى النَحْوِ التالِي. فِي القِسْمِ [sec:setting]، نَشْرَح إِعْدادات المُحاكاة لَدَينا وَنَمُوذَجٌ التَفاعُل الأُحادِيّ بِناءَ عَلَى Dominik1997 وَ Wada2007. إِعْدادات المُحاكاة لَدَينا، مِثْلَ الظُرُوفِ الأَوَّلِيَّةِ، الظُرُوفِ الحُدُودِيَّةِ، وَحِساب قُوَّةٍ الضَغْطِ، هِيَ نَفْسِها الَّتِي لَدَى Kataoka2013. فِي القِسْمِ [sec:result]، نَعْرِض نَتائِجِ مُحاكاتنا العَدَدِيَّةِ لَاِشْتِقاق قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ. نَعْرِض الجريانات النَمُوذَجِيَّةِ، ثُمَّ نَدْرُس الاِعْتِماداتِ المعلميه. فِي القِسْمِ [sec:discuss]، نُناقِش الاِعْتِماداتِ المعلميه وَالفِيزياء وَراءَ ضَغْطِ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ. نَعْرِض صِيغَةِ تَحْلِيلَيْهِ مُصَحِّحه لِقُوَّةِ الضَغْطِ وَأَلَياتٍ تَبْدِيد الطاقَةِ أَثْناءَ الضَغْطِ. ثُمَّ نُقارَن نَتائِجنا مَعَ الدِراساتِ التَجْرِيبِيَّة وَالعَدَدِيَّة السابِقَةِ لِتَأْكِيدِ صِحَّةِ نَتائِجنا وَمُناقَشَة تَفْسِيراتٍ النَتائِجِ السابِقَةِ. وَأَخِيرا، نَخْتَتِم عَمَلِنا فِي القِسْمِ [sec:conclusion].
فِي هٰذا القِسْمِ، نَشْرَح إِعْدادات المُحاكاة الخاصَّةِ بِنا. أَوَّلاً، نُقَدِّم نَمُوذَجَ تَفاعُلِ الوَحَداتِ الأُحادِيَّة اِسْتِناداً إِلَى (Dominik1997) وَ (Wada2007) فِي القِسْمِ [subsec:setting:model]. نَشْرَح أَيْضاً قُوَّةٍ التخميد الطَبِيعِيَّةِ الاِصْطِناعِيَّةِ. ثانِياً، نِصْفِ مُخَطَّطٍ المُحاكاة الخاصِّ بِنا، حَيْثُ نَسْتَخْدِم حُدُوداً دَوْرِيَّةٍ وَنُحَرِّكها لِحِسابِ قُوَّةٍ الضَغْطِ فِي القِسْمِ [subsec:setting:boundary]. نَشْرَح أَيْضاً الشُرُوطِ الأَوَّلِيَّةِ وَالسُرْعَةُ عِنْدَ الحُدُودِ الحِسابِيَّة. ثالِثاً، نَشْرَح الطَرِيقَةِ لِحِسابِ قُوَّةٍ الضَغْطِ وَعامِلٌ مِلْءِ الحَجْمِ فِي القِسْمِ [subsec:setting:measure].
نَحْسِب تَفاعُلاتٌ الوَحَداتِ الأُحادِيَّة الكُرَوِيَّةُ المتلامسه بِاِسْتِخْدامِ نَمُوذَجَ نَظَرِي مِن (Dominik1997) وَ (Wada2007) اِسْتِناداً إِلَى نَظَرِيَّةَ (Johnson1971). هُناكَ أَرْبَعَةِ أَنْواعِ مِن التَفاعُلات فِي هٰذا النَمُوذَجِ: الاِتِّجاهِ العادِيُّ، الاِنْزِلاقِ، الدَوْرانِ، وَالاِلْتِواء. المُعامَلاتِ المادِّيَّةِ اللازِمَةِ لِوَصْفِ النَمُوذَجِ هِيَ نِصْفِ قَطَرِ الوَحْدَةِ الأُحادِيَّة \(r_0\)، كَثافَةُ المادَّةُ \(\rho_0\)، طاقَةِ السَطْحِ \(\gamma\)، نِسْبَةَ بواسون \(\nu\)، مَعامِلِ يُونْغ \(E\)، وَالإِزاحَة الدَوَرانِيَّة الحَرِجَةِ \(\xi_\mathrm{crit}\). نَحْنُ نُدْرَج المُعامَلاتِ المادِّيَّةِ لِلجَلِيد والسيليكات فِي الجَدْوَلُ [tab:parameters]. نَحْنُ نَضَع نَفْسِ القِيَمِ لَمُقارَنَة نَتائِجنا مَعَ تِلْكَ الخاصَّةِ ب (Kataoka2013).
نَشْرَح سُلُوكِ الدَوْرانِ لِوَحْدَتَيْنِ أُحادِيَّتَيْنِ متلامستين كَنَتِيجَةٍ لَهَيْمَنَة الحَرَكَةِ الدَوَرانِيَّة أَثْناءَ ضَغْطِ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ ذاتِ عَوامِلِ التَعْبِئَةِ الحَجْمِيَّةِ أَقَلَّ مِن 0.1 (Kataoka2013). تَدُور الوَحْدَتانِ الأُحادِيَّتانِ بِشَكْلٍ لا رَجْعَةَ فِيهِ بُعْدَ أَنَّ يَتَجاوَز القِيمَةِ المُطْلَقَةِ لِلإِزاحَة الدَوَرانِيَّة الحَدِّ الحَرَج \(\xi_\mathrm{crit}\). الإِزاحَة الدَوَرانِيَّة الحَرِجَةِ لَها قِيَمِ مُخْتَلِفَةٍ بَيِّنَ النَظَرِيَّةِ (Dominik1997) وَالتَجْرِيبِيَّة (Heim1999). نَحْنُ نَتَبَنَّى \(\xi_\mathrm{crit}=8\) Åكَقِيمَة مَرْجِعِيَّةِ لِلجَلِيد وِفْقاً لِ (Kataoka2013) وَنَدْرُس تَأْثِيرِ نَتائِجنا عَلَى \(\xi_\mathrm{crit}\) فِي القِسْمِ [subsec:result:parameter]. الطاقَةِ اللازِمَةِ لِوَحْدَةِ أُحادِيَّةُ لِلدَوَران مَسافَةِ \((\pi/2)r_0\) تُعْطِي كَما يَلِي \[\begin{aligned} E_\mathrm{roll} &=& 6\pi^2\gamma r_0\xi_\mathrm{crit}\nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^{-16}\mathrm{\ J}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right). \label{eq:E_roll}\end{aligned}\] لِلتَفاصِيل، أَنْظُر الأَقْسام 2.2.2 وَ 3 مِن (Wada2007).
نُضِيف قُوَّةٍ تخميد عادِيَّةٍ اِصْطِناعِيَّةٍ تَتَناسَب مَعَ مَعامِلِ تخميد بِلا أَبْعادَ \(k_\mathrm{n}\). لِلتَفاصِيل، أَنْظُر القِسْمِ 2.2 مِن (Tatsuuma2019). القُوَّةِ فِي الاِتِّجاهِ العادِيُّ تَحَدَّثَ تَذَبْذُبات لِوَحْدَتَيْنِ أُحادِيَّتَيْنِ متلامستين. فِي الواقِعِ، سَتَتَلاشَى التَذَبْذُبات بِسَبَبِ اللُزُوجَة المَرِنَة أَو الاسترجاعيه لِلوَحَداتِ الأُحادِيَّة (Greenwood2006, Tanaka2012, Krijt2013). نَحْنُ نَتَبَنَّى \(k_\mathrm{n}=0.01\) وِفْقاً لِ (Kataoka2013)، عَلَى الرَغْمِ مِن أَنَّهُم كَشَفُوا أَنَّ مَعامِلِ التخميد لا يُغَيِّر قُوَّةٍ الضَغْطِ.
الخُطُوطِ العَرِيضَةِ لَمُحاكاتنا العَدَدِيَّةِ هِيَ كَما يَلِي. أَوَّلاً، نَقُوم بِإِنْشاءِ تَجْمِيعه BCCA بِشَكْلٍ عَشْوائِيٍّ. ثانِياً، نَقُوم بِضَغْطها بِبُطْء كافٍ وَبِشَكْلٍ مُتَساوِي مِن خِلالَ تَحْرِيكِ الحُدُودِ الدَوْرِيَّةَ. لِلتَفاصِيل حَوْلَ شُرُوطٍ الحُدُودِ الدَوْرِيَّةَ، أَنْظُر القِسْمِ 2.3 (Kataoka2013).
سُرْعَةٍ الحُدُودِ الحِسابِيَّة مُعْطاة كَما يَلِي: \[v_\mathrm{b} = -\frac{C_\mathrm{v}}{t_\mathrm{c}}L,\] حَيْثُ \(C_\mathrm{v}\) هُوَ مَعامِلِ مُعَدَّلِ الإِجْهاد البعدي الثابِتُ، \(t_\mathrm{c}\) هُوَ الزَمَنِ الخصائصي (Wada2007)، وَ\(L\) هُوَ طُولِ صُنْدُوقِ الحِساباتِ. يُعْطَى الزَمَنِ الخصائصي كَما يَلِي: \[\begin{aligned} t_\mathrm{c} &=& 0.95\frac{r_0^{7/6}\rho_0^{1/2}}{\gamma^{1/6}E^{\ast1/3}}\nonumber\\ &\simeq&1.9\times10^{-10}\mathrm{\ s}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{-1/6}\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{7/6}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\rho_0}{1\mathrm{\ g\ cm^{-3}}}\right)^{1/2}\left(\frac{E^\ast}{3.73\mathrm{\ GPa}}\right)^{-1/3},\end{aligned}\] حَيْثُ \(E^\ast\) هُوَ مَعامِلِ يُونْغ المُخَفَّض لَمُعامَلات يُونْغ \(E_1\) وَ\(E_2\) المعرف كَما يَلِي: \[\frac{1}{E^\ast}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}.\] هُنا، نَفْتَرِض \(E_1=E_2=E\) وَ\(\nu_1=\nu_2=\nu\)، وَبِالتالِي \(E^\ast=E/[2(1-\nu^2)]\). يُمْكِننا أَيْضاً وَصَفَ القِيمَةِ المُطْلَقَةِ لِلسُرْعَةِ عِنْدَ الحُدُودِ الحِسابِيَّة كَما يَلِي: \[\begin{aligned} |v_\mathrm{b}| &\simeq& 0.21\mathrm{\ cm\ s^{-1}}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{1/6}\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-1/6}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\rho_0}{1\mathrm{\ g\ cm^{-3}}}\right)^{-1/2}\left(\frac{E^\ast}{3.73\mathrm{\ GPa}}\right)^{1/3}\left(\frac{C_\mathrm{v}}{1\times10^{-7}}\right)\nonumber\\ &&\times\left(\frac{N}{16384}\right)^{1/3}\phi^{-1/3}, \label{eq:boundary}\end{aligned}\] حَيْثُ \(N\) هُوَ عَدَدٍ الجُزَيْئات الأُحادِيَّة وَ\(\phi\) هُوَ عامِلٍ مِلْءِ الحَجْمِ.
نَعْتَمِد \(C_\mathrm{v}=1\times10^{-7}\) كَقِيمَة مَرْجِعِيَّةِ لِأَنَّهُ كَلْماً زادَ \(C_\mathrm{v}\)، زادَ الضَغْطِ الَّذِي نَحْتاجه لِضَغْطٍ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ مُنْخَفَضه الكَثافَةِ (Kataoka2013). بِالنِسْبَةِ لَمَجْمُوعات المُعَلِّماتُ الأُخْرَى، نَعْتَمِد \(C_\mathrm{v}=3\times10^{-7}\) لِأَنَّ المُحاكاة ب \(C_\mathrm{v}\) المُنْخَفَض تَسْتَغْرِق وَقْتاً طَوِيلاً.
نَحْسِب قُوَّةٍ الضَغْطِ \(P_\mathrm{calc}\) بِالطَرِيقَةِ المَوْصُوفَة فِي القِسْمِ 2.4 (Kataoka2013). نَحْسِب الطاقَةِ الحَرَكِيَّة الترجميه لِكُلِّ وَحْدَةِ حَجْمِ وَمَجْمُوع القُوَى المُؤَثِّرَةِ عَلَى جَمِيعِ الوُصْلاتِ لِكُلِّ وَحْدَةِ حَجْمِ كَما يَلِي: \[P_\mathrm{calc} = \frac{2K}{3V} + \frac{1}{3V}\left\langle\sum_{i<j}(\bm{x}_i-\bm{x}_j)\cdot\bm{f}_{i,j}\right\rangle_t, \label{eq:Pcalc}\] حَيْثُ \(V\) هُوَ حَجْمِ الصُنْدُوقِ الحِسابِيّ، \(K\) هُوَ مُتَوَسِّطُ الطاقَةِ الحَرَكِيَّة الزَمَنِيَّةِ لِجَمِيعِ الوَحَداتِ الأَساسِيَّةِ وَيُعْطَى بِالمُعادَلَة: \[K = \left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t,\] \(m_0\) هُوَ كُتْلَةِ الوَحْدَةِ الأَساسِيَّةِ، \(\bm{x}_i\) هِيَ إِحْداثِيّات الوَحْدَةِ الأَساسِيَّةِ \(i\)، \(\langle\rangle_t\) هُوَ مُتَوَسِّطُ زَمَنِيٍّ طَوِيلٍ، وَ\(\bm{f}_{i,j}\) هِيَ القُوَّةِ مِن الوَحْدَةِ الأَساسِيَّةِ \(j\) عَلَى الوَحْدَةِ الأَساسِيَّةِ \(i\). لِلتَفاصِيل حَوْلَ اِسْتِنْتاجِ قُوَّةٍ الضَغْطِ، أَنْظُر المُلْحَقِ [apsec:compstrength]. فِي مُحاكاتنا، يُهَيْمِن المُصْطَلَحِ الثانِي فِي الجانِبِ الأَيْمَن مِن المُعادَلَةَ ([eq:Pcalc]) عَلَى قُوَّةٍ الضَغْطِ.
نَحْسِب أَيْضاً عامِلٍ مِلْءِ الحَجْمِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ كَما يَلِي: \[\phi_\mathrm{calc} = \frac{(4/3)\pi r_0^3N}{V}. \label{eq:phi_calc}\]
نَأْخُذ مُتَوَسِّطُ قُوَّةٍ الضَغْطِ \(P_\mathrm{calc}\) (المُعادَلَةَ ([eq:Pcalc])) وَعامِلٌ مِلْءِ الحَجْمِ \(\phi_\mathrm{calc}\) (المُعادَلَةَ ([eq:phi_calc])) لِكُلِّ 10,000 خَطْوَةٍ زَمَنِيَّةٍ. خَطْوَةٍ زَمَنِيَّةٍ واحِدَةٍ فِي مُحاكاتنا هِيَ \(0.1t_\mathrm{c}=1.9\times10^{-11}\) s و10,000 خَطْوَةٍ زَمَنِيَّةٍ تَعادَلَ \(1.9\times10^{-7}\) s.
فِي هٰذا القِسْمِ، نُقَدِّم نَتائِجِ المُحاكاة العَدَدِيَّةِ لَاِسْتِنْتاج قُوَّةٍ الضَغْطِ لِلتَجَمُّعات الغباريه. نَقُوم بِإِجْراءِ 10 مُحاكاةَ مَعَ تَجَمُّعاتٍ مُخْتَلِفَةٍ وَنَأْخُذ مُتَوَسِّطها لِكُلِّ مَجْمُوعَةِ مِن البارامترات لِتَقْلِيلِ تَأْثِيرِ تَكْوِينات الجَسِيمات المُخْتَلِفَةِ. أَوَّلاً، نَعْرِض نَتائِجِ الجريانات الأَساسِيَّةِ فِي القِسْمِ [subsec:result:fiducial]. ثُمَّ، نَسْتَقْصِي اِعْتِماداتٍ البارامتر فِي القِسْمِ [subsec:result:parameter]. (Kataoka2013) أَكَّدَ أَنَّ النَتائِجِ لا تَعْتَمِد عَلَى أَيّ مِن البارامترات العَدَدِيَّةِ: عَدَدٍ الجَسِيمات \(N\)، بارامتر مُعَدَّلِ الإِجْهاد \(C_\mathrm{v}\)، وَمَعامِلِ التخميد \(k_\mathrm{n}\). لِلاِعْتِماد عَلَى البارامترات العَدَدِيَّةِ، أَنْظُر المُلْحَقِ [apsec:parameterdepend].
يُظْهِر الخَطِّ المُنَقَّط الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة (Kataoka2013)، \[\begin{aligned} P_\mathrm{K13} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\phi^3 \nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa} \nonumber\\ &&\times\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\phi^3. \label{eq:Pcomp_kataoka}\end{aligned}\] نَتِيجَةَ المُحاكاة المُتَوَسِّطَةِ لَدَينا تَتَوافَق مَعَ المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka]) عِنْدَما \(\phi\lesssim0.1\). وَمَعَ ذٰلِكَ، وَجَدْنا أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ المقاسه لِ \(\phi>0.1\) أَعْلَى بِكَثِيرٍ مِمّا تَمَّ التَنَبُّؤ بِهِ مِن المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka]). نُلاحِظ أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ المقاسه فِي كُلِّ تَشْغِيلِ تُظْهِر تَبايُناً كَبِيراً.
وَجَدْنا أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ لا تَعْتَمِد عَلَى الإِزاحَة الدَوَرانِيَّة الحَرِجَةِ \(\xi_\mathrm{crit}\) عِنْدَما \(\phi\gtrsim0.3\). بِالمُقابِلِ، عِنْدَما \(\phi\lesssim0.3\)، فَإِنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ تَعْتَمِد عَلَى \(\xi_\mathrm{crit}\) لِأَنَّ الآلِيَّةِ السائِدَةِ لَتَبْدِيد الطاقَةِ هِيَ حَرَكَةِ الدَوْرانِ. اِسْتِثْناءِ يَحْدُث عِنْدَما \(\xi_\mathrm{crit}=32\textrm{\ \AA}\)، حَيْثُ تَكُون مَنَحَنِي قُوَّةٍ الضَغْطِ شِبْهِ مطابق لِذٰلِكَ عِنْدَ \(\xi_\mathrm{crit}=16\textrm{\ \AA}\). وَذٰلِكَ لِأَنَّ الآلِيَّةِ السائِدَةِ لَتَبْدِيد الطاقَةِ عِنْدَ \(\xi_\mathrm{crit}>16\textrm{\ \AA}\) هِيَ حَرَكَةِ الاِلْتِواء (Kataoka2013). نُلاحِظ أَنَّ الفِرَقِ فِي قُوَّةٍ الضَغْطِ بِسَبَبِ \(\xi_\mathrm{crit}\) يُعادِل الفِرَقِ لِكُلِّ تَشْغِيلِ.
بِالنِسْبَةِ لِلاِعْتِمادات عَلَى المُعامَلاتِ المادِّيَّةِ الأُخْرَى، وَجَدْنا أَنَّ التَنَبُّؤ المُسْتَخْلَص مِن المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka]) بِأَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ تَتَناسَب ك \(P\propto\gamma\xi_\mathrm{crit}r_0^{-2}\) لَم يَعُد يَنْطَبِق عِنْدَما \(\phi>0.1\). بِالمُقابِلِ، لِ \(\phi\lesssim0.1\)، فَإِنَّ نَتائِجنا متوافقه مَعَ التَنَبُّؤ مِن المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka]). نُلاحِظ أَنَّ هُناكَ تَقَلُّباتِ فِي الخُطُوطِ عِنْدَما \(\phi<10^{-2}\) لِأَنَّ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ لَيِسَت مُرْتَبِطَةً بِجَمِيعِ الحُدُودِ الحِسابِيَّة.
فِي هٰذا القِسْمِ، نُناقِش اِعْتِماداتٍ المُعامَلاتِ وَالفِيزياء وَراءَ قُوَّةٍ الضَغْطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ. أَوَّلاً، نُصَحِّح الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة لِقُوَّةِ الضَغْطِ مَعَ عَوامِلِ مِلْءِ الحَجْمِ الَّتِي تَزِيد عَن 0.1 فِي القِسْمِ [subsec:discuss:formulate]. ثانِياً، نُناقِش صِحَّةِ الصِيغَةِ الفِيزيائِيَّة لِقُوَّةِ الضَغْطِ مِن حَيْثُ تَعْطِيلِ الجَسِيمات الأُحادِيَّة فِي القِسْمِ [subsec:discuss:monomerdisruption]. ثالِثاً، نَعْرِض أَلَياتِ تَبْدِيد الطاقَةِ أَثْناءَ الضَغْطِ فِي القِسْمِ [subsec:discuss:energy]. وَأَخِيرا، نُقارَن نَتائِجنا مَعَ الدِراساتِ التَجْرِيبِيَّة وَالعَدَدِيَّة السابِقَةِ فِي القِسْمِ [subsec:discuss:compare] لِتَأْكِيدِ صِحَّةِ نَتائِجنا وَمُناقَشَة تَفْسِيراتٍ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة.
لَقَد أَظْهَرَنا فِي القِسْمِ [sec:result] أَنَّ الصِيغَةِ البَسِيطَةِ لِ (Kataoka2013) (المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka])) تُقَلِّل مِن تَقْدِيرٍ قُوَّةٍ الاِنْضِغاطِ عِنْدَ \(\phi>0.1\). هُنا، نَقْتَرِح صِيغَةِ مُصَحِّحه تَنْطَبِق عَلَى عَوامِلِ تَعْبِئَةِ الحَجْمِ المُنْخَفِضَة وَالعالِيَة.
السَبَبِ فِي عَدَمِ دِقَّةٍ الصِيغَةِ السابِقَةِ لَعَوامِل تَعْبِئَةِ الحَجْمِ العالِيَةِ هُوَ أَنَّها تُهْمَل حَجْمِ الجُزَيْئات الأُحادِيَّة المَحْدُودِ. فِي هٰذا الصَدَدِ، تُشْبِه الصِيغَةِ السابِقَةِ مُعادَلَةِ الحالَةِ لِلغازاتِ المِثالِيَّةِ، حَيْثُ يَتِمّ تَجاهُلُ الحَجْمِ الَّذِي تَشْغَله الجُزَيْئات. كَما هُوَ مَعْرُوفٌ، تَفْشَل قانُونِ الغازِ المِثالِيُّ عِنْدَ الكثافات العالِيَةِ حَيْثُ يَكُون الحَجْمِ بَيِّنَ الجُزَيْئِيّ صَغِيراً مُقارَنَةً بِالحَجْمِ الَّذِي تَشْغَله الجُزَيْئات. تَأْخُذ مُعادَلَةِ حالَةِ فَإِنَّ دَيْرِ فَأَلُزّ لِلغازاتِ الحَقِيقِيَّةِ فِي الاِعْتِبارِ الحَجْمِ المَحْدُودِ لِلجُزَيْئات مِن خِلالَ طَرْحِ الحَجْمِ المُسْتَبْعَدِ بِبَساطَة مِن الحَجْمِ فِي قانُونِ الغازِ المِثالِيُّ. نَتَوَقَّع أَنَّ تَحْسِينا مُماثِلا يَجِب أَنَّ يُحَسِّن دِقَّةٍ صِيغَةِ قُوَّةٍ الاِنْضِغاطِ السابِقَةِ.
التَصْحِيحِ كَالتالِي. أَوَّلاً، نَقُوم بِعَكْسِ المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_kataoka]) كَما يَلِي \[P_\mathrm{comp} = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}{\phi'}^3 = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V'}\right)^3, \label{eq:Pcomp_kataoka_mod}\] حَيْثُ \(V_0=(4/3)\pi r_0^3\) هُوَ حَجْمِ الجُزَيْء الأُحادِيّ. هُنا، نَفْتَرِض أَنَّ \(V'\) هُوَ حَجْمِ الفَراغِ فِي تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ، وَلِيس حَجْمِ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ. يَكُون حَجْمِ الفَراغِ تَقْرِيباً نَفْسِ حَجْمِ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ عِنْدَما \(\phi\lesssim0.1\)، بَيْنَما يُوجَد اِخْتِلافِ بَيِّنَهُما عِنْدَما \(\phi>0.1\). ثانِياً، نُحَدِّد الحَجْمِ المُسْتَبْعَدِ الَّذِي لا يُمْكِن اِسْتِخْدامه لِلضَغْطِ. حَجْمِ جَمِيعِ الجُزَيْئات الأُحادِيَّة \(NV_0\) هُوَ الحَجْمِ المُسْتَبْعَدِ. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، فَراغٍ التَجَمُّعاتِ المُعَبَّأَة بِأَقْصَى دَرَجَةِ \(V_\mathrm{cp}-NV_0\) هُوَ الحَجْمِ المُسْتَبْعَدِ، حَيْثُ \(V_\mathrm{cp}\) هُوَ حَجْمِ التَجَمُّعاتِ المُعَبَّأَة بِأَقْصَى دَرَجَةِ. لِذٰلِكَ، نُحَدِّد الحَجْمِ المُسْتَبْعَدِ ك \(V_\mathrm{cp}=NV_0/\phi_\mathrm{max}\). أَخِيراً، نَحْصُل عَلَى قُوَّةٍ الاِنْضِغاطِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ كَما يَلِي \[\begin{aligned} P_\mathrm{comp} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V-NV_0/\phi_\mathrm{max}}\right)^3 \nonumber\\ &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3} \nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3}. \label{eq:Pcomp_mod}\end{aligned}\] تُظْهِر المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_mod]) أَنَّ قُوَّةٍ الاِنْضِغاطِ تَتَباعَد عِنْدَ \(\phi_\mathrm{max}\).
لَمُقارَنَة نَتائِجِ المُحاكاة لَدَينا مَعَ الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة المُصَحِّحَة، نَقُوم بِعَكْسِ المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_mod]) إِلَى \(\phi\) كَدالّه لِ \(P\). عامِلٍ تَعْبِئَةِ الحَجْمِ الَّذِي تَمَّ تَحْدِيدِهِ بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_mod]) مُعْطَى كَما يَلِي \[\phi_\mathrm{comp}=\left(\frac{E_\mathrm{roll}^{1/3}}{r_0P^{1/3}}+\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-1}.\label{eq:phi_mod}\] نَفْتَرِض أَنَّ \(\phi_\mathrm{max}=\sqrt{2}\pi/6=0.74\)، وَهُوَ عامِلٍ تَعْبِئَةِ الحَجْمِ لِلهَياكِل المُعَبَّأَة بِشَكْلٍ سُداسِيّ وَمُكَعَّب مَرْكَزِيٍّ الوَجْهِ. نُؤَكِّد أَنَّ الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة المُصَحِّحَة هِيَ تَقْرِيبِ أَفْضَلَ بِكَثِيرٍ مِن الصِيغَةِ السابِقَةِ.
فِي هٰذا القِسْمِ، نُناقِش نِطاقِ عامِلٍ مِلْءِ الحَجْمِ الَّذِي يُمْكِن تَطْبِيقِ قُوَّةٍ الضَغْطِ عَلَيهِ. إِذا كانَت قُوَّةٍ الضَغْطِ مُرْتَفَعَةً جِدّاً، يُمْكِن أَنَّ تَتَكَسَّر الوَحَداتِ الأُحادِيَّة، وَبِالتالِي قَد تَخْتَلِف عَن نَتائِجنا.
لَقَد تَمَّت دِراسَةٌ القُوَّةِ الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تَتَكَسَّر بِها المَوادِّ فِي سِياقِ عُلِمَ المَوادِّ. عَلَى سَبِيلِ المِثالِ، يُمْكِن أَنَّ يَتَكَسَّر الجَلِيدِ عِنْدَ (5–25 MPa) عِنْدَما تَكُون دَرَجَةِ الحَرارَةِ مِن (\(-10^\circ\)C) إِلَى (\(-20^\circ\)C) (Haynes1978,Petrovic2003). مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى، يُمْكِن أَنَّ تَتَكَسَّر الزُجاجاتِ السيليكا عِنْدَ حِوالِي (5 GPa) فِي دَرَجَةِ حَرارَةُ الغُرْفَةِ (Proctor1967,Bruckner1970,Kurkjian2003).
أَوَّلاً، نُلاحِظ أَنَّ الضَغْطِ المُطْبَقَ عَلَى سَطْحِ الاِتِّصالِ بَيِّنَ الوَحَداتِ الأُحادِيَّة يُمْكِن أَنَّ يَكُون أَعْلَى مِن قُوَّةٍ الضَغْطِ لِأَنَّ الضَغْطِ يَتَرَكَّز عَلَى مِساحَةِ سَطْحِ الاِتِّصالِ \(a^2\ll r_0^2\)، حَيْثُ \(a\) هُوَ نِصْفِ قَطَرِ سَطْحِ الاِتِّصالِ. نَفْتَرِض هٰذا الضَغْطِ بِفَرْضِ نِصْفِ قَطَرِ التَوازُنِ لَسَطْح الاِتِّصالِ الَّذِي قَدَّمَهُ (Wada2007) كَما يَلِي: \[\begin{aligned} a_0 &=& \left(\frac{9\pi\gamma r_0^2}{4E^\ast}\right)^{1/3}\nonumber\\ &\simeq& 0.012\mathrm{\ \mu m}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{1/3}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\mathrm{\ GPa}}\right)^{-1/3}.\end{aligned}\] الضَغْطِ المُطْبَقَ عَلَى سَطْحِ الاِتِّصالِ هُوَ \((a_0/r_0)^2\) أَضْعافٍ قُوَّةٍ الضَغْطِ.
مِن خِلالَ النَظَرِ فِي كُلِّ مِن القُوَّةِ الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تَتَكَسَّر بِها المَوادِّ وَالضَغْطِ المُطْبَقَ عَلَى سَطْحِ الاِتِّصالِ، يُمْكِننا تَقْدِيرٍ الحَدِّ الأَعْلَى الَّذِي يُمْكِن تَطْبِيقِ صِيغَةِ قُوَّةٍ الضَغْطِ عَلَيهِ (المُعادَلَةَ ([eq:Pcomp_mod])). يُمْكِننا تَقْدِيرٍ الحَدِّ الأَعْلَى لِقُوَّةِ الضَغْطِ كَما يَلِي: \[\begin{aligned} P_\mathrm{ul} &\sim& P_\mathrm{dis}\left(\frac{a_0}{r_0}\right)^2\nonumber\\ &\simeq& 0.014P_\mathrm{dis}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)^{2/3}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\mathrm{\ GPa}}\right)^{-2/3}, \label{eq:P_upperlimit}\end{aligned}\] حَيْثُ \(P_\mathrm{dis}\) هِيَ القُوَّةِ الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تَتَعَطَّل بِها المَوادِّ. هُنا، نَفْتَرِض أَنَّ \(P_\mathrm{dis}=10\) MPa وَ (1 GPa) لِلجَلِيد والسيليكات عَلَى التَوالِي. ثُمَّ، يُمْكِننا أَيْضاً تَقْدِيرٍ الحَدِّ الأَعْلَى لَعامِل مِلْءِ الحَجْمِ كَما يَلِي: \[\phi_\mathrm{ul}=\left(\frac{E_\mathrm{roll}^{1/3}}{r_0P_\mathrm{ul}^{1/3}}+\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-1}. \label{eq:phi_upperlimit}\] نَرْسُم الحَدِّ الأَعْلَى لِكُلِّ مِن قُوَّةٍ الضَغْطِ (المُعادَلَةَ ([eq:P_upperlimit])) وَعامِلٌ مِلْءِ الحَجْمِ (المُعادَلَةَ ([eq:phi_upperlimit])) فِي الشَكْلِ [fig:upperlimit]. يَعْتَمِد الحَدِّ الأَعْلَى لَعامِل مِلْءِ الحَجْمِ عَلَى نِصْفِ قَطَرِ الوَحْدَةِ الأُحادِيَّة بِالإِضافَةِ إِلَى المادَّةُ، نَجِد أَنَّ الحُدُودِ العُلْيا هِيَ \(\sim0.36\)، \(\sim0.53\)، \(\sim0.53\)، وَ \(\sim0.64\) فِي حالَةِ الجَلِيدِ (0.1)، الجَلِيدِ (1.0)، السيليكات (0.1)، والسيليكات (1.0)، عَلَى التَوالِي.
هُناكَ العَدِيدَ مِن الدِراساتِ التَجْرِيبِيَّة وَالعَدَدِيَّة حَوْلَ قُوَّةٍ الضَغْطِ شِبْهِ الثابِتَةِ لِلتَجَمُّعات الكُرَوِيَّةُ مِن السيليكات وَثانِي أُكْسِيد السيليكون بِعَوامِلِ تَعْبِئَةِ حَجْمِيّه أَعْلَى مِن 0.1 (Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018, Omura2021). أَجْرَى (Seizinger2012) مُحاكاةَ عَدَدَيْهِ، حَيْثُ أَعَدُّوا تَجْمَعا مِن السيليكات بِتَوْزِيعِ حَجْمِ أُحادِيٍّ الحَجْمِ مَحْصُوراً فِي صُنْدُوقِ بِحُدُودِ ثابِتَةٍ مِن جَمِيعِ الجَوانِبِ، وَتَحْرِيك الحَدِّ العَلَوِيّ لَأَسْفَل لَتَقْلِيد التَجارِبِ الَّتِي أَجْراها (Guttler2009). اُسْتُخْدِمُوا صِيغَةِ التَوافُقُ لَعامِل تَعْبِئَةِ الحَجْمِ \(\phi_\mathrm{G09}\) الَّتِي حَصَلَ عَلَيها (Guttler2009) كَما يَلِي \[\phi_\mathrm{G09} = \phi_2-\frac{\phi_2-\phi_1}{\exp\left[(\log_{10} P-\log_{10} p_\mathrm{m})/\Delta\right]+1}, \label{eq:Guttler2009_P}\] حَيْثُ \(\phi_1=0.15\), \(\phi_2=0.58\), \(p_\mathrm{m}=16.667\) كِيلُو باسكال، وَ\(\Delta=0.562\). مُؤَخَّراً، قامَ (Omura2021) بِتَوافُقِ نَتائِجِ التَجارِبِ الَّتِي أَجْراها (Omura2017, Omura2018). اُسْتُخْدِمُوا نَفْسِ الإِعْدادات التَجْرِيبِيَّة كَما فِي (Guttler2009)، لٰكِنَّ لَتَجَمُّعات ثانِي أُكْسِيد السيليكون بِتَوْزِيعِ حَجْمِ مُتَعَدِّدِ الأَحْجام. اِسْتَخْدَمَ (Omura2021) العَلاقَةِ البوليتروبيه كَما يَلِي \[P = K_\mathrm{p}\rho^{(n_\mathrm{p}+1)/n_\mathrm{p}} = K'_\mathrm{p}\phi^{(n_\mathrm{p}+1)/n_\mathrm{p}}, \label{eq:Omura_poly_P}\] حَيْثُ \(K_\mathrm{p}\) وَ\(K'_\mathrm{p}\) ثَوابِتِ، \(\rho\) هِيَ الكَثافَةِ، وَ\(n_\mathrm{p}\) هُوَ مُؤَشِّرُ البوليتروب. لِلحُصُولِ عَلَى عامِلٍ تَعْبِئَةِ الحَجْمِ كَدالّه لِقُوَّةِ الضَغْطِ، نَقُوم بِعَكْسِ المُعادَلَةَ ([eq:Omura_poly_P]) كَما يَلِي \[\phi_\mathrm{O21} = \left(\frac{P}{K_\mathrm{p}'}\right)^{n_\mathrm{p}/(n_\mathrm{p}+1)}. \label{eq:Omura_poly}\] نَتائِجِ التَوافُقُ مُدْرَجَةً فِي الجَدْوَلُ [tab:Omura2021].
لَمُقارَنَة نَتائِجنا مَعَ النَتائِجِ السابِقَةِ، نَسْتَخْدِم صِيَغٍ التَوافُقُ لِلتَجارِبِ: المُعادَلَةَ ([eq:Guttler2009_P]) وَالمُعادَلَة ([eq:Omura_poly]). نُقارَن نَتائِجنا مَعَ الدِراسَةُ العَدَدِيَّةِ السابِقَةِ (Seizinger2012)، الدِراسَةُ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ لَتَجَمُّعات ثانِي أُكْسِيد السيليكون بِتَوْزِيعِ حَجْمِ أُحادِيٍّ الحَجْمِ (Guttler2009)، وَمِن ثُمَّ الدِراساتِ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ بِتَوْزِيعِ حَجْمِ مُتَعَدِّدِ الأَحْجام (Omura2021).
نَتائِجنا تَتَوافَق جَيِّداً مَعَ النَتائِجِ العَدَدِيَّةِ السابِقَةِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، هُناكَ اِخْتِلافِ طَفِيفٍ بَيِّنَهُما بِسَبَبِ اِخْتِلافِ إِعْدادات الضَغْطِ: لِتَحْرِيكِ الحَدِّ العَلَوِيّ فَقَط (Seizinger2012) أَو جَمِيعِ الحُدُودِ (هٰذا العَمَلِ). نَجِد أَنَّ هٰذا الاِخْتِلافِ فِي إِعْدادات الضَغْطِ ضَئِيلٍ.
فِي حالَةِ الدِراسَةُ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ لَتَجَمُّعات ثانِي أُكْسِيد السيليكون بِتَوْزِيعِ حَجْمِ أُحادِيٍّ الحَجْمِ (Guttler2009)، هُناكَ تَبايُنٍ بَيِّنَ نَتائِجهم وَصِيغَتنا التَحْلِيلِيَّة \(\phi_\mathrm{comp}\). هٰذا التَبايُنِ قَد يَنْشَأ مِن الاِخْتِلافِ فِي طاقَةِ السَطْحِ. فِي مُحاكاتنا، نَفْتَرِض أَنَّ طاقَةِ سَطْحِ السيليكات (ثانِي أُكْسِيد السيليكون) هِيَ \(\gamma=20\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\)، لٰكِنَّ بِعَضِّ الدِراساتِ تَقْتَرِح أَنَّها قَد تَكُون أَعْلَى (Yamamoto2014, Kimura2015). لِذٰلِكَ، نَبْحَث عَن أَفْضَلَ طاقَةِ سَطْحِ مُوافَقَةِ وَنَجِد أَنَّ \(\phi_\mathrm{comp}\) مَعَ \(\gamma\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\) يَتَوافَق جَيِّداً مَعَ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة لِ(Guttler2009).
نُفَسِّر أَيْضاً النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ لَتَجَمُّعات ثانِي أُكْسِيد السيليكون بِتَوْزِيعِ حَجْمِ مُتَعَدِّدِ الأَحْجام (Omura2021) بِفَرْضِ طاقَةِ سَطْحِ أَعْلَى مِن \(\gamma=20\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). وَمَعَ ذٰلِكَ، لا يَزال هُناكَ تَبايُنٍ، خاصَّةٍ لِنَصِف قَطَرِ الأُحادِيّ الأَكْبَرُ. عِنْدَما يَكُون تَوْزِيعِ حَجْمِ الأُحادِيّ مُتَعَدِّدِ الأَحْجام، يُعَلِّق الأُحادِيّ الأَكْبَرُ أَوَّلاً أَثْناءَ ضَغْطِ التَجَمُّعِ، ثُمَّ يُعَلِّق الأُحادِيّ الأَصْغَرِ. نُفَسِّر هٰذا التَبايُنِ كَعَدَم يَقِينٍ فِي عامِلٍ تَعْبِئَةِ الحَجْمِ لَتَجَمُّعات الغُبارِ الواقِعِيَّةِ الَّتِي لَها تَوْزِيعِ حَجْمِ أُحادِيٍّ.
يَمِين: الخُطُوطِ المُنَقَّطَة هِيَ نَفْسِها المَوْجُودَةِ فِي اللَوْحَةُ اليُسْرَى، وَلٰكِنَّنا غَيْرِنا طاقَةِ السَطْحِ لِتُصْبِح \(\gamma=210\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\).
لَقَد قُمْنا بِإِجْراءِ مُحاكاةَ عَدَدَيْهِ لِضَغْطٍ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ وَصاغَنا قُوَّةٍ الضَغْطِ الَّتِي يُمْكِن أَنَّ تُعالِج مَجْمُوعَةِ كامِلَةٍ مِن مُعامَلاتِ الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ. اُسْتُخْدِمْنا نَمُوذَجَ تَفاعُلِ الأُحادِيّ الجُزَيْئِيّ بِناءَ عَلَى (Dominik1997) وَ (Wada2007). فِي مُحاكاتنا، قُمْنا بِإِنْشاءِ BCCA فِي البِدايَةِ وَضَغَطْناهُ بِبُطْء كافٍ وَثُلاثِيّ الأَبْعاد مِن خِلالَ تَحْرِيكِ الحُدُودِ الدَوْرِيَّةَ. قُمْنا بِحِساب قُوَّةٍ الضَغْطِ بِاِسْتِخْدامِ الطاقَةِ الحَرَكِيَّة الترجميه وَمَجْمُوع القُوَى المُؤَثِّرَةِ عَلَى جَمِيعِ الاِتِّصالاتِ لِكُلِّ وَحْدَةِ حَجْمِ. لِكُلِّ مَجْمُوعَةِ مِن المُعامَلاتِ، أَجْرَيْنا 10 مُحاكاةَ مَعَ BCCAs مُخْتَلِفَةٍ فِي البِدايَةِ وَأَخَذَنا مُتَوَسِّطها.
النَتائِجِ الرَئِيسِيَّةِ لِقُوَّةِ ضَغْطِ تَجَمُّعاتٍ الغُبارِ هِيَ كَما يَلِي:
نَتِيجَةَ لِلمُحاكاة العَدَدِيَّةِ، وَجَدْنا أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ تُصْبِح أَكْثَرَ صَلابَةَ بِشَكْلٍ حادٍّ عِنْدَما يَتَجاوَز مَعامِلِ الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ 0.1. وَجَدْنا أَيْضاً أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ لَمُعامَلات الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ العالِيَةِ (\(\phi\gtrsim0.3\)) لا تَعْتَمِد عَلَى الإِزاحَة الحَرِجَةِ لِلدَوَران.
قُمْنا بِتَصْحِيحِ الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة لِقُوَّةِ الضَغْطِ بِأَخْذِ أَقْرَبِ تَعْبِئَةِ لِلتَجَمُّعات بِعَيْنِ الاِعْتِبارِ لَمُعامَلات الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ العالِيَةِ. الصِيغَةِ المُصَحِّحَة مُعْطاة بِالمُعادَلَة ([eq:Pcomp_mod]) فِي القِسْمِ ([subsec:discuss:formulate]) كَما يَلِي: \[\begin{aligned} P_\mathrm{comp} &=& \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3}\nonumber\\ &\simeq& 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\nonumber\\ &&\times\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\textrm{\ \AA}}\right)\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3},\end{aligned}\] حَيْثُ \(E_\mathrm{roll}\) هِيَ الطاقَةِ اللازِمَةِ لِلأُحادِيّ الجُزَيْئِيّ لِلدَوَران مَسافَةِ \((\pi/2)r_0\) (المُعادَلَةَ ([eq:E_roll])), \(r_0\) هُوَ نِصْفِ قَطَرِ الأُحادِيّ الجُزَيْئِيّ، \(\phi_\mathrm{max}=\sqrt{2}\pi/6=0.74\) هُوَ مَعامِلِ الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ لَأَقْرَب تَعْبِئَةِ، \(\gamma\) هِيَ الطاقَةِ السَطْحِيَّةُ، وَ \(\xi_\mathrm{crit}\) هِيَ الإِزاحَة الحَرِجَةِ لِلدَوَران. لَقَد تَأَكُّدنا مِن أَنَّ الصِيغَةِ التَحْلِيلِيَّة المُصَحِّحَة تَسْتَنْسِخ نَتائِجِ المُحاكاة بِما فِي ذٰلِكَ اِعْتِماداتٍ المُعامَلاتِ. فِيما يَتَعَلَّق بِتَفَكُّك الأُحادِيّ الجُزَيْئِيّ، فَإِنَّ الصِيغَةِ المُصَحِّحَة صالِحَةٌ لِ \(\phi\lesssim0.36\), 0.53, 0.53, وَ 0.64 فِي حالَةِ أُحادِيّات الجُزَيْئات الجَلِيدِيَّة بِنِصْفِ قَطَرِ 0.1-\(\mathrm{\mu m}\), أُحادِيّات الجُزَيْئات الجَلِيدِيَّة بِنِصْفِ قَطَرِ 1.0-\(\mathrm{\mu m}\), أُحادِيّات الجُزَيْئات السيليكاتيه بِنِصْفِ قَطَرِ 0.1-\(\mathrm{\mu m}\)، وَأُحادِيّات الجُزَيْئات السيليكاتيه بِنِصْفِ قَطَرِ 0.1-\(\mathrm{\mu m}\)، عَلَى التَوالِي.
وَجَدْنا أَنَّ حَرَكاتِ الاِلْتِواء وَالاِنْزِلاقِ تُهَيْمِن عِنْدَ مُعامَلاتِ الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ العالِيَةِ (\(\phi>0.3\))، بَيْنَما تُهَيْمِن حَرَكَةِ الدَوْرانِ عِنْدَ مُعامَلاتِ الاِمْتِلاء بِالحَجْمِ المُنْخَفِضَة (\(\phi<0.3\)). لَقَد شَرَحَنا سَبَبُ هَيْمَنَة حَرَكاتِ الاِلْتِواء وَالاِنْزِلاقِ بِزِيادَةٍ عَدَدٍ التَنْسِيقِ.
نَتائِجنا العَدَدِيَّةِ مُتَّسِقه مَعَ النَتائِجِ العَدَدِيَّةِ السابِقَةِ (Seizinger2012). وَمَعَ ذٰلِكَ، هُناكَ تُناقِض بَيِّنَ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة السابِقَةِ (Guttler2009) وَصِيغَتنا التَحْلِيلِيَّة. وَجَدْنا أَنَّ صِيغَتنا التَحْلِيلِيَّة مُتَّسِقه مَعَ النَتائِجِ التَجْرِيبِيَّة إِذا اِفْتَرَضَنا أَنَّ الطاقَةِ السَطْحِيَّةُ للسيليكات هِيَ \(\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\).
تَمَّ دَعْمِ هٰذا العَمَلِ مِن قِبَلَ مَنْحِ JSPS KAKENHI بِأَرْقامِ JP19J20351 وَ JP22J00260. لَقَد اِسْتَفادَ هٰذا العَمَلِ مِن نِظامِ بَياناتٍ عُلِمَ الفَلَك التابِعِ لَناسا. لَقَد اِسْتَفادَ هٰذا العَمَلِ مِن اِسْتِخْدامِ adstex (https://github.com/yymao/adstex).
فِي هٰذا المُلْحَقِ، نَشْرَح الاِشْتِقاق التَفْصِيلِيّ لِقُوَّةِ الضَغْطِ المُتَعَلِّقَةِ بِالقِسَم [subsec:setting:measure].
مُعادَلَةِ حَرَكَةِ الجُزَيْء \(i\) مُعْطاة بِالصِيغَة \[m_0\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}_i}{\mathrm{d}t^2}=\bm{W}_i+\bm{F}_i, \label{eq:EOM_comp}\] حَيْثُ \(\bm{W}_i\) هِيَ القُوَّةِ المُؤَثِّرَةِ مِن الحُدُودِ الحِسابِيَّة عَلَى الجُزَيْء \(i\) وَ \(\bm{F}_i\) هِيَ القُوَّةِ الكُلِّيَّةِ مِن الجُزَيْئات الأُخْرَى عَلَى الجُزَيْء \(i\). تَرْتَبِط قُوَّةٍ الضَغْطِ ب \(\bm{W}_i\).
لِوَصْفِ الحَدِّ الأَوَّلِ عَلَى الجانِبِ الأَيْمَن مِن المُعادَلَةَ ([eq:EOM_comp]) بِاِسْتِخْدامِ قُوَّةٍ الضَغْطِ، نَأْخُذ الجِداء الداخِلِيِّ لِ \(\bm{x}_i\) وَالمُعادَلَة ([eq:EOM_comp])، وَنَأْخُذ مُتَوَسِّطُ زَمَنِيٍّ طَوِيلٍ مَعَ فَتْرَةٍ زَمَنِيَّةٍ \(\tau\). يُصْبِح الجانِبِ الأَيْسَر مِن المُعادَلَةَ ([eq:EOM_comp]) كَالتالِي \[\frac{m_0}{\tau}\int_0^\tau \bm{x}_i\cdot\frac{\mathrm{d}^2\bm{x}_i}{\mathrm{d}t^2}\mathrm{d}t=\frac{m_0}{\tau}\left[\bm{x}_i\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right]_0^\tau-\frac{m_0}{\tau}\int_0^\tau\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t. \label{eq:EOMleft_comp}\] يَخْتَفِي الحَدِّ الأَوَّلِ عَلَى الجانِبِ الأَيْمَن مِن المُعادَلَةَ ([eq:EOMleft_comp]) عِنْدَما \(\tau\to\infty\). بِكِتابه مُتَوَسِّطُ زَمَنِيٍّ طَوِيلٍ ك \(\langle\rangle_t\) وَجَمْعِ المُعادَلَةَ ([eq:EOM_comp]) عَلَى جَمِيعِ \(i\)، لَدَينا \[\left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t = -\frac{1}{2}\left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{W}_i\right\rangle_t -\frac{1}{2}\left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{F}_i\right\rangle_t. \label{eq:EOM2_comp}\] الجانِبِ الأَيْسَر مِن المُعادَلَةَ ([eq:EOM2_comp]) هُوَ الطاقَةِ الحَرَكِيَّة المُتَوَسِّطَةِ الزَمَنِيَّةِ لِجَمِيعِ الجُزَيْئات مَعْرِفَةُ ك \[K = \left\langle\sum_{i=1}^N\frac{m_0}{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)^2\right\rangle_t.\] الحَدِّ الأَوَّلِ عَلَى الجانِبِ الأَيْمَن مِن المُعادَلَةَ ([eq:EOM2_comp]) يَتَعَلَّق بِقُوَّةٍ الضَغْطِ \(P_\mathrm{calc}\). القُوَّةِ عَلَى الحَدِّ الحِسابِيّ لِلمِساحَة \(\mathrm{d}S_\mathrm{b}\) هِيَ \(P_\mathrm{calc}\bm{n}_\mathrm{b}\mathrm{d}S_\mathrm{b}\)، حَيْثُ \(\bm{n}_\mathrm{b}\) هُوَ المُتَّجِه العَمُودِيّ لِلحَدِّ مُوَجَّهٍ لِلخارِج. ثُمَّ، \[\begin{aligned} \left\langle\sum_{i=1}^N\bm{x}_i\cdot\bm{W}_i\right\rangle_t &=& -\int_{S_\mathrm{b}}P_\mathrm{calc}\bm{n}_\mathrm{b}\cdot\bm{x}\mathrm{d}S_\mathrm{b} \nonumber \\ &=& -P_\mathrm{calc}\int_V\mathrm{div}\bm{x}\mathrm{d}V \nonumber \\ &=& -P_\mathrm{calc}\int_V\left(\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}\right)\mathrm{d}V \nonumber \\ &=& -3P_\mathrm{calc}V.\end{aligned}\] القُوَّةِ الكُلِّيَّةِ مِن الجُزَيْئات الأُخْرَى إِلَى الجُزَيْء \(i\) يُمْكِن وَصَفَها ك \[\bm{F}_i = \sum_{j\neq i}\bm{f}_{i,j}. \label{eq:totalforce}\] المُعادَلات ([eq:EOM2_comp])–([eq:totalforce]) تُعْطِي \[P_\mathrm{calc} = \frac{2K}{3V} + \frac{1}{3V}\left\langle\sum_{i<j}(\bm{x}_i-\bm{x}_j)\cdot\bm{f}_{i,j}\right\rangle_t \label{eq:P_compfinal}\] بِسَبَبِ العَلاقَةِ الَّتِي \(\bm{f}_{i,j}=-\bm{f}_{j,i}\).
فِي هٰذا المُلْحَقِ، نَعْرِض الاِعْتِماداتِ عَلَى عَدَدٍ الوَحَداتِ الأُحادِيَّة \(N\)، وَمَعامِلِ مُعَدَّلِ الإِجْهاد \(C_\mathrm{v}\)، وَمَعامِلِ التخميد \(k_\mathrm{n}\)، وَخَطْوَةً الزَمَنِ.
أَوَّلاً، نُؤَكِّد أَنَّهُ لا يُوجَد اِعْتِمادِ عَلَى عَدَدٍ الوَحَداتِ الأُحادِيَّة، أَيّ حَجْمِ صُنْدُوقِ الحِسابِ.
ثانِياً، نَتَحَقَّق مِن أَنَّ مَعامِلِ مُعَدَّلِ الإِجْهاد، الَّذِي يُشِير إِلَى السُرْعَةِ عِنْدَ الحُدُودِ الحِسابِيَّة، لا يُظْهِر أَيّ اِعْتِمادِ. هُناكَ تَقَلُّباتِ فِي قُوَّةٍ الضَغْطِ عِنْدَما \(\phi\lesssim3\times10^{-3}\) لِأَنَّ التَجَمُّعاتِ الغباريه لَيِسَت مُلْتَصِقَةٍ بِجَمِيعِ الحُدُودِ الحِسابِيَّة. نُلاحِظ أَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ فِي هٰذا العَمَلِ ثابِتَةٍ تَقْرِيباً، لُذّاً فَهِيَ لا تَعْتَمِد عَلَى السُرْعَةِ عِنْدَ الحُدُودِ الحِسابِيَّة إِذا كانَت صَغِيرَةٌ بِما فِيهِ الكِفايَةُ.
ثالِثاً، نُؤَكِّد أَنَّ مَعامِلِ التخميد لا يُظْهِر أَيّ اِعْتِمادِ.
أَخِيراً، نَتَحَقَّق مِن أَنَّ النَتائِجِ لا تَتَأَثَّر بِطُولِ خَطْوَةٍ الزَمَنِ لِأَنَّ قُوَّةٍ الضَغْطِ فِي هٰذا العَمَلِ ثابِتَةٍ تَقْرِيباً. نَعْرِض قُوَّةٍ الضَغْطِ فِي الحالَتَيْنِ (جَلِيد \(0.1\mathrm{\ \mu m}\) وَجَلِيد \(1.0\mathrm{\ \mu m}\)) المَذْكُورَتَيْنِ فِي الجَدْوَلُ [tab:parameters] وَعِنْدَما تَكُون خَطْوَةٍ الزَمَنِ أَطْوَلِ مَرَّتَيْنِ.