قُوَّة الاِنضِغاط تُعَدُّ مفتاحًا لِفَهْم البِنية الداخليّة لِتَجَمُّعات الغُبار في أَقراص الكَواكِب الأَوَّليّة والأجسام الناتجة عنها، مثل المُذَنَّبات والكُوَيْكِبات في المَجْمُوعَة الشَّمسيّة. الأَعمال السابقة قد نمذجت قوّة الاِنضِغاط لتجمّعات غبار شديدة المَسامِّيّة عند عَوامِل مِلء حجمي أقلّ من 0.1، ومع ذلك لا يزال الفهم الشامل لقوّة الاِنضِغاط عبر نِطاق عَوامِل المِلء الحجمي المُنخَفِضة (\(<0.1\)) إلى العالية (\(>0.1\)) غير مكتمل. في هذه الورقة، نُجري مُحاكاةً عدديّة لانضغاط التجمّعات استنادًا إلى نظريّة JKR لصياغة قوّة الاِنضِغاط بصورة شاملة. ننفّذ سلسلة من المحاكاة العدديّة بحدود دوريّة متحرّكة لمحاكاة سلوك الاِنضِغاط. نتيجةً لذلك، نَجِد أنّ قوّة الاِنضِغاط تزداد بشكلٍ حادّ عند تجاوز عامِل المِلء الحجمي 0.1. نُقدِّم صيغةً شاملة تأخذ في الاعتبار تدحرُج الوَحدات الأُحاديّة عند العَوامِل المُنخَفِضة وأقرب تعبئة للتجمّعات عند العَوامِل العالية. كما نَكتشف أنّ آليّات الاِنضِغاط السائدة تتغيّر من التدحرُج عند العَوامِل المُنخَفِضة إلى الانزلاق والالتواء عند العَوامِل العالية. نؤكّد أنّ نتائجنا تتوافق جيّدًا مع الدراسات العدديّة السابقة، وتقترح معادلتنا التحليليّة توافقًا مع النتائج التجريبيّة السابقة إذا افترضنا أنّ طاقة سطح السيليكات هي \(\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). يمكن الآن تطبيق نتائجنا على خصائص الأجسام الصلبة الصغيرة مثل المُذنَّبات والكُويكِبات والحَصى.
الخَطوة الأُولى في تَكوُّن الكَواكب هي تَجَمُّع حُبَيْبات الغُبار دون الميكرونيّة. تُسمَّى تَجَمُّعات حُبَيْبات الغُبار «تجمّعات الغبار» (Smirnov1990, Meakin1991, Ossenkopf1993, Dominik1997, Wurm1998, Kempf1999, Blum2000, Krause2004, Paszun2006, Paszun2008, Paszun2009, Wada2007, Wada2008, Wada2009, Wada2013, Suyama2008, Suyama2012, Okuzumi2009dustagg, Geretshauser2010, Geretshauser2011). في المرحلة الأُولى من نُموّ الغُبار، يَصطدم تجمُّعٌ بآخر فيلتصق به، مُنتجًا بُنى هَشّة تُعرَف بالتجميع العنقودي الباليستي من نوع عناقيد-عناقيد (BCCA; Mukai1992). تؤدّي تجمّعات الغبار بعد ذلك إلى تَكوُّن الكواكب الأوّليّة بحجم الكيلومترات (Okuzumi2012, Kataoka2013L). هناك سيناريو آخر ينمو فيه الغُبار إلى حَصى بحجم المليمتر، ثم تتجمّع هذه الحُصى لتكوين الكواكب الأوّليّة عبر آليّات عدم الاستقرار أو الاصطدام (Johansen2007, Windmark2012b, Davidsson2016, WahlbergJansson2017, Yang2017, Lorek2018, Fulle2019). في هذا السيناريو، تختلف البنية الداخليّة لتجمّعات الحصى عن تلك لتجمّعات الغبار التي ندرسها هنا.
الاِنضِغاط في تجمّعات الغبار هو عمليّة رئيسيّة خلال نُموّها، ويشمل عدّة آليّات: الاصطدام، ضغط غاز القرص، والضغط الجاذبي الذاتي. أظهرت بعض الدراسات العدديّة أنّ الاِنضِغاط الاصطدامي لا يكفي، فتظلّ الكثافات الداخليّة منخفضة حوالي \(\sim10^{-5}\mathrm{\ g\ cm^{-3}}\) (Okuzumi2012, Kataoka2013L). تشير دراسات تجريبيّة إلى أنّ ارتداد تجمّعات الغبار قد يؤدّي إلى الاِنضِغاط (Krijt2018)، لكن المحاكاة العدديّة تُظهر أنّ ارتداد التجمّعات المساميّة نادر (Wada2011). أمّا بالنسبة لضغط الغاز والجاذبيّة الذاتيّة، فإنّ قُوَّة الاِنضِغاط تُحدِّد الكثافة الداخليّة للتجمّعات (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Kataoka2013, Kataoka2013L, Omura2017)، وتمتدّ أهمّية القوّة أيضًا إلى الأجسام الأكبر مثل الكُويكِبات والمُذنَّبات (Omura2018, Omura2021).
قدّم (Kataoka2013) نموذجًا تحليليًّا لقوّة الاِنضِغاط لتجمّعات شديدة المَسامِّيّة عند عَوامِل مِلء حجميّة أقلّ من 0.1، مُستخدمًا عامِل المِلء وعدّة معاملات مادّيّة مثل نصف قطر الحُبَيْبات وطاقتها السطحيّة.
ومع ذلك، لا يزال الفهم الشامل لقوّة الاِنضِغاط من عَوامِل المِلء الحجمي المُنخَفِضة (\(<0.1\)) إلى العالية (\(>0.1\)) مفقودًا. فقوّة الاِنضِغاط عند المِلء الحجمي العالي ضروريّة لتطبيقات المُذنَّبات والكُويكِبات والحصى، بينما المِلء المنخفض مهمّ لنُموّ الغبار. تناولت بعض الدراسات قوّة الاِنضِغاط عند عَوامِل مِلء حجمي أعلى من 0.1 (Blum2004, Paszun2008, Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018)، لكن الاعتمادات على المعاملات المادّيّة ما تزال غير واضحة وتظهر فجوة بين النطاقين المنخفض والعالي.
في هذا العمل، نجري محاكاة عدديّة لاِنضِغاط تجمّعات الغبار ونُصيغ قوّة الاِنضِغاط التي تغطّي كامل نطاق عَوامِل المِلء الحجمي. نستخدم الشيفرة نفسها كما في (Kataoka2013)، لكننا نركّز على عَوامِل المِلء الحجمي العالية (\(>0.1\)) لتطبيق النتائج على الأجسام الصغيرة في النظام الشمسي. ندرس أيضًا تبعيّة القوّة على المعاملات المادّيّة مثل نصف القطر والطاقة السطحيّة. وأخيرًا، نستخلص صيغةً تحليليّة مُصحَّحة يمكن تطبيقها على معاملات مادّيّة أخرى.
يُنظَّم هذا البحث كما يلي. في القسم «إعدادات المُحاكاة» نقدّم إعدادات المحاكاة ونموذج التفاعل الأُحادي استنادًا إلى (Dominik1997) و(Wada2007). نشرح شروط الحدود الدوريّة المتحرّكة وحساب القوّة في القسم الفرعي «إعدادات مُحاكاة الاِنضِغاط»، وطريقة قياس عامِل المِلء الحجمي في القسم الفرعي «قياسات قُوَّة الاِنضِغاط وعامِل المِلء الحجمي». في القسم «النتائج العدديّة» نعرض النتائج العدديّة والتبعيات على المعاملات. في القسم «المناقشات» نُصحّح الصيغة التحليليّة ونناقش الفيزياء خلف الاِنضِغاط وآليّات تبدُّد الطاقة، ثم نقارن نتائجنا مع الدراسات السابقة. نختتم في القسم «الاستنتاجات».
في هذا القسم نشرح إعدادات المحاكاة. أوّلًا، نعرض نموذج التفاعل الأُحادي استنادًا إلى (Dominik1997) و(Wada2007) في القسم الفرعي «نموذج تفاعل الوحدات الأُحاديّة»، مع شرح التخميد الاصطناعي. ثانيًا، نصف تصميم المحاكاة الذي يستخدم حدودًا دوريّة متحرّكة لاِنضِغاط التجمّعات في القسم الفرعي «إعدادات مُحاكاة الاِنضِغاط»، بما في ذلك الشروط الأوّليّة وسرعة الحدود. ثالثًا، نشرح كيفية حساب قوّة الاِنضِغاط وعامِل المِلء الحجمي في القسم الفرعي «قياسات قُوَّة الاِنضِغاط وعامِل المِلء الحجمي».
نحسب تفاعلات الوحدات الأُحاديّة الكرويّة المتلامسة باستخدام نموذج (Dominik1997) و(Wada2007) استنادًا إلى نظريّة (Johnson1971). يتضمّن النموذج أربعة أنواع من التفاعلات: الاِنضِغاط المحوري (العادي)، الانزلاق، التدحرُج، والالتواء. المعاملات المادّيّة هي نصف قطر الوحدة الأُحاديّة \(r_0\)، الكثافة \(\rho_0\)، الطاقة السطحيّة \(\gamma\)، نسبة بواسون \(\nu\)، معامل يونغ \(E\)، والإزاحة التدحرُجيّة الحرِجة \(\xi_\mathrm{crit}\). ندرج قيم الجليد والسيليكات كما في (Kataoka2013).
نركّز على سلوك التدحرُج لزوجٍ من الوحدات الأُحاديّة نظرًا لهيمنة حركة التدحرُج عند عَوامِل مِلء منخفضة (0.1) (Kataoka2013). عندما تتجاوز الإزاحة التدحرُجيّة الحدّ الحرج \(\xi_\mathrm{crit}\) يحدث تدحرُج لا رجعي. نختار \(\xi_\mathrm{crit}=8\) \(\text{\AA}\) للجليد وفقًا لـ(Kataoka2013)، وندرس تأثيرها في القسم الفرعي «اعتمادات المعاملات». الطاقة اللازمة لتدحرُج مسافة \((\pi/2)r_0\) تُعطى بـ: \[ E_\mathrm{roll} = 6\pi^2\gamma r_0\xi_\mathrm{crit}\simeq4.7\times10^{-16}\mathrm{\ J}\times\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\ \text{\AA}}\right). \]
نُضيف تخميدًا اصطناعيًّا في الاتّجاه العادي بمعامل بلا أبعاد \(k_\mathrm{n}\) (انظر Tatsuuma2019). نختار \(k_\mathrm{n}=0.01\) وفقًا لـ(Kataoka2013)، مع العلم أنّ تأثير التخميد على قوّة الاِنضِغاط طفيف.
الخطوط العريضة لمحاكاتنا العدديّة كما يلي: أوّلًا، ننشئ تجمُّع BCCA عشوائيًّا. ثانيًا، نضغطه ببطء وبشكلٍ مُتساوٍ باستخدام حدود دوريّة مُتحرّكة (انظر Kataoka2013، القسم 2.3).
سرعة الحدود تُعطى بـ: \[ v_\mathrm{b} = -\frac{C_\mathrm{v}}{t_\mathrm{c}}L, \] حيث \(C_\mathrm{v}\) معامل معدّل الإجهاد، \(t_\mathrm{c}\) الزمن المميّز (Wada2007)، و\(L\) طول الصندوق. تُحسب \(t_\mathrm{c}\) كما في المراجع الأصليّة، ونختار \(C_\mathrm{v}=1\times10^{-7}\) كتجربة مرجعيّة و\(C_\mathrm{v}=3\times10^{-7}\) للمحاكاة ذات الزمن المعقول (Kataoka2013).
نحسب قوّة الاِنضِغاط \(P_\mathrm{calc}\) كما في (Kataoka2013):
\[
P_\mathrm{calc} = \frac{2K}{3V} + \frac{1}{3V}\left\langle\sum_{i
نُعرِّف عامِل المِلء الحجمي بالشكل التالي: \[ \phi_\mathrm{calc} = \frac{(4/3)\pi r_0^3N}{V}. \] نأخذ المتوسّط الزمني كل 10,000 خطوة، حيث تمثّل خطوة الزمن \(0.1t_\mathrm{c}\).
في هذا القسم نقدّم نتائج المحاكاة لاشتقاق قوّة الاِنضِغاط. نجري 10 محاكاة لتشكيلات أوليّة مختلفة ونأخذ المتوسّط للتقليل من أثر العشوائيّة البنيويّة. أوّلًا، نعرض النتائج الأساسيّة في «التجارب الأساسيّة»، ثم ندرس تبعيّات المعاملات في «اعتمادات المعاملات». وقد أكّد (Kataoka2013) أنّ النتائج مستقرة تجاه المعاملات العدديّة مثل \(N\) و\(C_\mathrm{v}\) و\(k_\mathrm{n}\) (انظر الملحق).
تُظهر التجارب الأساسيّة قوّة الاِنضِغاط لمعاملات مرجعيّة. يمثّل الخطّ المنقّط الصيغة التحليليّة لـ(Kataoka2013): \[ P_\mathrm{K13} = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\phi^3 \simeq 4.7\times10^5\mathrm{\ Pa}\left(\frac{\gamma}{100\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}}\right)\left(\frac{r_0}{0.1\mathrm{\ \mu m}}\right)^{-2}\left(\frac{\xi_\mathrm{crit}}{8\ \text{\AA}}\right)\phi^3. \] تتوافق المحاكاة مع هذه الصيغة عند \(\phi\lesssim0.1\)، لكن عند \(\phi>0.1\) نجد قوّة انضغاط أعلى بكثير وتباينًا واضحًا بين التجارب.
وجدنا أنّ قوّة الاِنضِغاط لا تعتمد على الإزاحة التدحرُجيّة الحرِجة \(\xi_\mathrm{crit}\) عند \(\phi\gtrsim0.3\)، بينما عند \(\phi\lesssim0.3\) تظهر تبعيّة قويّة على \(\xi_\mathrm{crit}\) حيث تهيمن حركة التدحرُج. يظهر استثناءٌ طفيف عند \(\xi_\mathrm{crit}=32\ \text{\AA}\) لأنّ حركة الالتواء تُصبح المهيمنة عند القيم الكبيرة (\(>16\ \text{\AA}\)).
بالنسبة للمعاملات الأخرى، تتناسب نتائج المحاكاة مع التوقّع \(P\propto\gamma\,\xi_\mathrm{crit}\,r_0^{-2}\) فقط حين \(\phi\lesssim0.1\)، بينما تتباعد عنه عند القيم الأكبر. نُلاحظ تقلباتٍ عند \(\phi<10^{-2}\) بسبب عدم ارتباط التجمّعات بكلّ الحدود.
في هذا القسم نناقش تبعيّات المعاملات والفيزياء وراء قوّة الاِنضِغاط. أوّلًا، نقوم بتصحيح الصيغة التحليليّة لعَوامِل مِلء أكبر من 0.1 في القسم الفرعي التالي. ثانيًا، ندرس تكسُّر الوحدات الأُحاديّة في القسم الفرعي المعني. ثالثًا، نستعرض آليّات تبدُّد الطاقة في قسم الطاقة. وأخيرًا، نقارن نتائجنا مع الدراسات السابقة في قسم المقارنة.
أظهرنا في النتائج العدديّة أنّ الصيغة البسيطة لـ(Kataoka2013) تُقَلِّل التقدير عند \(\phi>0.1\). هنا نقترح صياغةً مُحسَّنة تُراعي حجم المونومرات المحدود:
أوّلًا، نَعكِس معادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) لتُصبح \[ P_\mathrm{comp} = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}{\phi'}^3 = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V'}\right)^3, \] حيث \(V_0=(4/3)\pi r_0^3\) وحجم الفراغ المتاح \(V'\). ثانيًا، نطرح الحجم المُستبعَد \(V_\mathrm{cp}=NV_0/\phi_\mathrm{max}\) لنحصل على \[ P_\mathrm{comp} = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{NV_0}{V - NV_0/\phi_\mathrm{max}}\right)^3 = \frac{E_\mathrm{roll}}{r_0^3}\left(\frac{1}{\phi}-\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-3}, \] مع تقريبٍ عددي مماثل لنصّ المعادلة ([eq:Pcomp_mod]).
ولعكس المعادلة إلى \(\phi\) كدالّة في \(P\)، نحصل على \[ \phi_\mathrm{comp}=\left(\frac{E_\mathrm{roll}^{1/3}}{r_0P^{1/3}}+\frac{1}{\phi_\mathrm{max}}\right)^{-1}, \] مع فرض \(\phi_\mathrm{max}=0.74\). كذلك نَعكِس معادلة ([eq:Pcomp_kataoka]) لنحصل على \[ \phi_\mathrm{K13}=\frac{r_0P^{1/3}}{E_\mathrm{roll}^{1/3}}. \]
تُظهر المقارنة أنّ الصيغة المُصحَّحة تتطابق بصورةٍ أفضل مع نتائج المحاكاة، بخطأٍ أقلّ من 0.1 في معظم الحالات، مع ملاحظة أنّ تشوّه المونومرات المرِن قد يظهر أحيانًا.
نناقش هنا الحدّ الأعلى لتطبيق صيغة قوّة الاِنضِغاط قبل كسر الوحدات الأُحاديّة. تُشير الدراسات إلى أنّ الجليد ينكسر عند (5–25) ميغاباسكال عند درجات حرارة −10° إلى −20°C (Haynes1978, Petrovic2003)، بينما ينكسر زجاج السيليكا عند نحو 5 غيغاباسكال (Proctor1967, Bruckner1970, Kurkjian2003).
نُشير إلى أنّ الضغط على سطح التلامس يتركّز على مساحة صغيرة \(a^2\ll r_0^2\)، حيث نصف قطر التلامس \(a_0\) يُعطى بـ: \[ a_0 = \left(\frac{9\pi\gamma r_0^2}{4E^\ast}\right)^{1/3}\simeq0.012\ \mu\mathrm{m}\left(\frac{\gamma}{100\ \mathrm{mJ\ m^{-2}}}\right)^{1/3}\left(\frac{r_0}{0.1\ \mu\mathrm{m}}\right)^{2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\ \mathrm{GPa}}\right)^{-1/3}. \]
يمكن تقدير الحدّ الأعلى لقوّة الاِنضِغاط قبل الكسر بـ: \[ P_\mathrm{ul}\sim P_\mathrm{dis}\left(\frac{a_0}{r_0}\right)^2\simeq0.014\,P_\mathrm{dis}\left(\frac{\gamma}{100\ \mathrm{mJ\ m^{-2}}}\right)^{2/3}\left(\frac{r_0}{0.1\ \mu\mathrm{m}}\right)^{-2/3}\left(\frac{E^\ast}{3.7\ \mathrm{GPa}}\right)^{-2/3}, \] حيث \(P_\mathrm{dis}\) ضغط الكسر (~10 ميغاباسكال للجليد، ~1 غيغاباسكال للسيليكات). وبالتّالي يُحسب الحدّ الأعلى لعامِل المِلء عبر المعادلة ([eq:phi_upperlimit]) وتنتج قيمٌ في النطاق 0.36–0.64 تبعًا للمادّة والحجم.
نستعرض هنا الآليّات المختلفة لتبدُّد الطاقة أثناء الاِنضِغاط، مثل التدحرُج والانزلاق والالتواء في الوصلات بين الجسيمات.
هناك العديد من الدراسات التجريبيّة والعدديّة حول قوّة الاِنضِغاط شبه الثابتة لتجمّعات السيليكات وثاني أكسيد السيليكون عند عَوامِل مِلء أعلى من 0.1 (Guttler2009, Seizinger2012, Omura2017, Omura2018, Omura2021). أجرى (Seizinger2012) محاكاة عدديّة لاِنضِغاط أُحاديّ المحور، بينما نهجُنا ثلاثيّ الأبعاد بحدود دوريّة؛ ورغم ذلك فإنّ النتائج العدديّة متوافقة. في التجارب على ثاني أكسيد السيليكون (Guttler2009) يظهر اختلافٌ يُعزى إلى قيمة الطاقة السطحيّة المفترضة؛ ويتحسّن التوافق عند افتراض \(\gamma\simeq210\pm90\mathrm{\ mJ\ m^{-2}}\). كما أنّ دراسات Omura2021 لتوزيعات حجميّة متعدّدة تتطلّب أيضًا \(\gamma\) أعلى لتحقيق التوافق الكامل، مع بعض التباين بسبب ترتيب التلاصق بين الجسيمات مختلفة الحجم.
ملاحظة: الخطوط المنقّطة كما في اللوحة اليسرى لكن مع \(\gamma=210\ \mathrm{mJ\ m^{-2}}\).
أجرينا محاكاةً عدديّة لاِنضِغاط تجمّعات الغبار وصُغنا قوّة الاِنضِغاط عبر كامل نطاق عَوامِل المِلء الحجمي. استخدمنا نموذج تفاعل الوَحدة الأُحاديّة استنادًا إلى (Dominik1997, Wada2007)، وضغطنا بُنى BCCA ثلاثيًّا بحدود دوريّة متحرّكة. حسبنا القوّة من الطاقة الحركيّة ومجموع قوى الوصلات، وأجرينا 10 محاكاة لكل مجموعة معاملات لأخذ المتوسّط.
النتائج الرئيسيّة:
الدعم: منحة JSPS KAKENHI أرقام JP19J20351 وJP22J00260. استخدمنا نظام بيانات علم الفلك التابع لوكالة ناسا وحزمة adstex (https://github.com/yymao/adstex).
في هذا الملحق نشرح الاشتقاق التفصيلي لقوّة الاِنضِغاط استنادًا إلى القسم الفرعي المعني بالقياسات بدءًا من معادلة الحركة ([eq:EOM_comp]) وصولًا إلى التعبير النهائي ([eq:P_compfinal]).
في هذا الملحق نعرض عدم اعتماد قوّة الاِنضِغاط على عدد الوحدات الأُحاديّة \(N\)، ومعامل معدّل الإجهاد \(C_\mathrm{v}\)، ومعامل التخميد \(k_\mathrm{n}\)، وطول خطوة الزمن.