latex
لِتَكُن \( R \) حَلْقَةِ تَبادُلَيْهِ مَعَ الوَحْدَةِ. رَسْمِ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لِلحَلْقَة \( R \) هُوَ الرَسْمُ البَيانِيّ غَيْرِ المُوَجَّهِ البَسِيطِ الَّذِي يَكُون فِيهِ مَجْمُوعَةِ الرُؤُوسِ هِيَ مَجْمُوعَةِ جَمِيعِ المِثالِيّات الصَحِيحَةِ غَيْرِ الصِفْرِيَّة لِ \( R \)، وَتَكُون رَأْسَيْنِ مُتَمَيِّزَيْنِ \( I \)، \( J \) مُتَجاوِرَيْنِ إِذا وَفَقَط إِذا كانَ \( I + J \) مِثالِيَّةٍ أَوَّلِيَّةً لِ \( R \). فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نِصْفِ جَمِيعِ الحَلَقاتِ التبادليه الارتينيه الَّتِي تَكُون رُسُومات مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لَها رُسُومات خَطَّيْهِ. وَأَخِيرا، نُقَدِّم وَصَفا لِجَمِيعِ الحَلَقاتِ التبادليه الارتينيه الَّتِي يَكُون رَسْمِ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لَها مكملا لِرَسْمِ خُطَى.
تُمَثِّل دِراسَةٌ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ المُرْتَبِطَةِ بِالهَياكِل الجَبْرِيَّةِ مِنْطَقَةِ بَحْثِيَّةٍ كَبِيرَةٍ وَحَيَوِيّه، وَتَعْتَبِر واحِدَةٍ مِن النِقاطِ الرَئِيسِيَّةِ داخِلَ مَجالِ نَظَرِيَّةَ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ الجَبْرِيَّةِ. يُوَفِّر هٰذا المَجالِ تَفاعُلا عَمِيقاً بَيِّنَ الجَبْر وَنَظَرِيَّةِ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ، مِمّا يَجْسُر بَيِّنَ فَرْعَيْنِ أَساسِيَّيْنِ مِن الرِياضِيّات. لَقَد كانَت الدِراسَةُ الشامِلَةِ لِلرُسُوم البَيانِيَّةِ المُرْتَبِطَةِ بِالهَياكِل الجَبْرِيَّةِ مَوْضُوعِ اِهْتِمامَ كَبِيرٍ بِسَبَبِ تَطْبِيقاتها وَعَلاقاتها بِنَظَرِيَّة الاوتوماتا (أَنْظُر (kelarev2003graph,kelarev2009cayley,kelarev2004labelled)). تَمَّت دِراسَةٌ مُخْتَلِفِ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ المُرْتَبِطَةِ بِالحَلَقات فِي الأَدَبِيّاتِ، مِثْلَ: رَسْمِ البَيانِيّ للمقسومات الصِفْرِيَّة (afkhami2011cozero)، رَسْمِ البَيانِيّ لِلمُضاعَفات الصِفْرِيَّة (Anderson1999zero)، رَسْمِ البَيانِيّ لِلمُعْدِمات (badawi2014annihilator)، رَسْمِ البَيانِيّ لِتُقاطَع المِثالِيّات (chakrabarty2009intersection)، رَسْمِ البَيانِيّ لِلمِثالِيّات المُشْتَرَكَةِ القُصْوَى (maimani2008comaximal)، رَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ (saha2023prime) وَغَيْرِها.
تَمَّ تَقْدِيمِ رَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لَحَلْقَة تَبادُلَيْهِ مِن قِبَلَ ساها وَآخَرُونَ (saha2023prime). رَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ \(\text{PIS}(R)\) لِلحَلْقَة \(R\) هُوَ الرَسْمُ البَيانِيّ البَسِيطِ غَيْرِ المُوَجَّهِ الَّذِي مَجْمُوعَةِ رُؤُوسه هِيَ مَجْمُوعَةِ جَمِيعِ المِثالِيّات الصَحِيحَةِ غَيْرِ الصِفْرِيَّة لِ \(R\) وَرَأْسانِ مُتَمَيِّزانِ \(I\)، \(J\) مُتَجاوِرانِ إِذا وَفَقَط إِذا كانَ \(I + J\) مِثالِيّا أَوَّلِيّا لِ \(R\). دَرْسَ مُؤَلِّفُو (saha2023prime) بِعَضِّ الخَصائِص النَظَرِيَّةِ لِلرُسُوم البَيانِيَّةِ لِ \(\text{PIS}(R)\) مِثْلَ عَدَدٍ النَقَرات، العَدَدَ اللَوْنِيّ، عَدَدٍ السَيْطَرَةِ وَغَيْرِها. تَمَّت مُناقَشَةِ البُعْدِ المِتْرِيّ وَالبُعْد المِتْرِيّ القُوَى لِرَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لِمُخْتَلَفِ فِئاتِ الحَلَقاتِ فِي (adlifard2023metric,mathil2023strong). تَمَّت دِراسَةٌ مُخْتَلِفِ التَضْمِينات لَرُسُوم البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ عَلَى الأَسْطُح فِي (mathil2022embedding). بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، دَرَسُوا رُسُومٍ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ مَعَ بِعَضِّ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ المَحْظُورَةِ المستحثه مِثْلَ الاِنْقِسامِ، العَتَبَةَ، الوَتَرِيَّةِ وَالرَسْم البَيانِيّ المُشْتَرَكِ. رَسْمِ البَيانِيّ الخَطِّيِّ \(L(\Gamma)\) لِلرَسْمِ البَيانِيّ \(\Gamma\) هُوَ الرَسْمُ البَيانِيّ الَّذِي مَجْمُوعَةِ رُؤُوسه هِيَ جَمِيعِ حَوافّ \(\Gamma\) وَرَأْسانِ مِن \(L(\Gamma)\) مُتَجاوِرانِ إِذا كانا مُتَجاوِرَيْنِ فِي \(\Gamma\). يَتِمّ وَصَفَ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ الخَطِيَّة بِواسِطَةِ التِسْعَةِ رُسُومٍ البَيانِيَّةِ المَحْظُورَةِ (أَنْظُر النَظَرِيَّةِ [linegraphchar]). تَمَّت دِراسَةٌ الرُسُومِ البَيانِيَّةِ الجَبْرِيَّةِ المُتَعَلِّقَةِ بِالرُسُوم البَيانِيَّةِ الخَطِيَّة عَلَى نِطاقِ واسِعٍ مِن قِبَلَ العَدِيدَ مِن الباحِثِينَ (أَنْظُر (barati2021line,bera2022line,khojasteh2022line,kumar2023finite,pirzada2022line,singh2022graph)). فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، نَدْرُس مَتَى يَكُون رَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ رَسْماً بَيانِيّا خَطِّيّا. كَما نُحَقِّق مَتَى يَكُون رَسْمِ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ مكملا لِرَسْمِ بَيانَيَّ خُطَى. فِي القِسْمِ [section2]، نِصْفِ جَمِيعِ الحَلَقاتِ التبادليه الارتينيه الَّتِي رُسُومٍ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ فِيها هِيَ رُسُومٍ بَيانَيْهِ خَطَّيْهِ. فِي القِسْمِ [section3]، نِصْفِ جَمِيعِ الحَلَقاتِ التبادليه الارتينيه الَّتِي رُسُومٍ البَيانِيّ لَمَجْمُوع المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ فِيها هِيَ مُكَمِّلات لِلرُسُوم البَيانِيَّةِ الخَطِيَّة.
نَسْتَعْرِض الآنَ التَعْرِيفات وَالنَتائِجِ الضَرُورِيَّةِ لِلاِسْتِخْدامِ لاحِقاً. الرَسْمُ البَيانِيّ \(\Gamma\) هُوَ زَوْج مُرَتَّب \((V(\Gamma), E(\Gamma))\)، حَيْثُ \(V(\Gamma)\) هِيَ مَجْمُوعَةِ الرُؤُوسِ وَ\(E(\Gamma)\) هِيَ مَجْمُوعَةِ الحَوافّ لِ \(\Gamma\). رَأْسانِ مُتَمَيِّزانِ \(u, v \in V(\Gamma)\) هُما \(\mathit{مُتَجاوِرانِ}\) فِي \(\Gamma\)، يَرْمِز لَهُما ب \(u \sim v\) (أَو \((u, v)\))، إِذا كانَ هُناكَ حافَةِ بَيِّنَ \(u\) وَ\(v\). وَإِلّا، نَكْتُب \(u \nsim v\). لِنَأْخُذ \(\Gamma\) كَرَسْم بَيانَيَّ. يُقال إِن الرَسْمُ البَيانِيّ \(\Gamma'\) هُوَ رَسْمِ بَيانَيَّ فَرْعِيٍّ لِ \(\Gamma\) إِذا كانَ \(V(\Gamma') \subseteq V(\Gamma)\) وَ\(E(\Gamma') \subseteq E(\Gamma)\). المكمل \(\overline{\Gamma}\) لِرَسْمِ بَيانَيَّ \(\Gamma\) هُوَ الرَسْمُ البَيانِيّ الَّذِي مَجْمُوعَةِ رُؤُوسه هِيَ \(V(\Gamma)\) وَرَأْسانِ مُتَجاوِرانِ إِذا وَفَقَط إِذا لَم يَكُونا مُتَجاوِرَيْنِ فِي \(\Gamma\). إِذا كانَ \(X \subseteq V(\Gamma)\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ الفَرْعِيِّ \(\Gamma(X)\) المستحث بِواسِطَةِ \(X\) هُوَ الرَسْمُ البَيانِيّ الَّذِي مَجْمُوعَةِ رُؤُوسه هِيَ \(X\) وَرَأْسانِ مِن \(\Gamma(X)\) مُتَجاوِرانِ إِذا وَفَقَط إِذا كانا مُتَجاوِرَيْنِ فِي \(\Gamma\). مَسارِ فِي رَسْمِ بَيانَيَّ هُوَ تَسَلْسُلُ مِن الرُؤُوسِ المُتَمَيِّزَةِ بِحَيْثُ يَكُون كُلِّ رَأْسِ فِي التَسَلْسُل مُتَجاوِرا مَعَ الرَأْسِ التالِي لَهُ. نَسْتَخْدِم \(P_n\) لِلدَلالَة عَلَى رَسْمِ البَيانِيّ المساري عَلَى \(n\) رُؤُوسِ. يُقال إِن الرَسْمُ البَيانِيّ \(\Gamma\) هُوَ كامِلٍ إِذا كانَ أَيّ رَأْسَيْنِ مُتَجاوِرَيْنِ فِي \(\Gamma\). الرَسْمُ البَيانِيّ الكامِلِ عَلَى \(n\) رُؤُوسِ يَرْمِز لَهُ ب \(K_n\). نَرْمُز \(mK_n\) ب \(m\) نُسَخ مِن \(K_n\). يُقال إِن الرَسْمُ البَيانِيّ \(\Gamma\) هُوَ ثُنائِيٍّ الأَجْزاء إِذا كانَ يُمْكِن تَقْسِيمِ \(V(\Gamma)\) إِلَى مَجْمُوعَتَيْنِ فَرَعِيَّتَيْنِ بِحَيْثُ لا يَكُون أَيّ رَأْسَيْنِ فِي نَفْسِ المَجْمُوعَةِ الفَرْعِيَّةِ مُتَجاوِرَيْنِ. رَسْمِ بَيانَيَّ ثُنائِيٍّ الأَجْزاء كامِلٍ هُوَ رَسْمِ بَيانَيَّ ثُنائِيٍّ الأَجْزاء بِحَيْثُ يَكُون كُلِّ رَأْسِ فِي جُزْء واحِدٍ مُتَجاوِرا مَعَ جَمِيعِ الرُؤُوسِ فِي الجُزْء الآخَرِ. رَسْمِ بَيانَيَّ ثُنائِيٍّ الأَجْزاء كامِلٍ بِأَحْجام تَقْسِيمِ \(m\) وَ\(n\) يَرْمِز لَهُ ب \(K_{m, n}\).
فِي جَمِيعِ أَنْحاءِ الوَرَقَةَ، الحَلْقَةِ \(R\) هِيَ حَلْقَةِ تَبادُلَيْهِ ارتينيه مَعَ الوَحْدَةِ وَ\(F_i\) تَرْمُز إِلَى حَقْلِ. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، \(U(R)\) تَرْمُز إِلَى مَجْمُوعَةِ جَمِيعِ الوَحَداتِ لِ \(R\). لِلتَعْرِيفات الأَساسِيَّةِ لِنَظَرِيَّةِ الحَلَقاتِ، نُحِيل القارِئَ إِلَى (atiyah1969introduction). يُقال إِن الحَلْقَةِ \(R\) هِيَ مَحَلِّيَّةٍ إِذا كانَ لَدَيها مِثالِيٌّ أَقْصَى فَرِيد \(\mathcal{M}\). بِالنِسْبَةِ لِحَقْلٍ \(F\)، نَأْخُذ \(\mathcal{M}= \langle 0 \rangle \). بِواسِطَةِ \(\mathcal{I}^*(R)\)، نَعْنِي مَجْمُوعَةِ المِثالِيّات الصَحِيحَةِ غَيْرِ التافِهَة لِ \(R\). مُؤَشِّرُ العَدَمِيَّة \(\eta(I)\) لِمِثالِي \(I\) مِن الحَلْقَةِ \(R\) هُوَ أَصْغَرِ عَدَدٍ صَحِيحٌ مُوجِب \(n\) بِحَيْثُ \(I^n = 0\). المِثالِيُّ الَّذِي يَتِمّ تَوْلِيده بِواسِطَةِ العَناصِرِ \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(n \ge 1\)) يَرْمِز لَهُ ب \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\). بِواسِطَةِ النَظَرِيَّةِ الهَيْكَلِيَّةِ (atiyah1969introduction)، فَإِنَّ الحَلْقَةِ الارتينيه غَيْرِ المَحَلِّيَّةِ التبادليه \(R\) هِيَ بِشَكْلٍ فَرِيد (حَتَّى التَطابُقِ) مُنْتِجٍ مُباشِرٍ مَحْدُودٍ مِن الحَلَقاتِ المَحَلِّيَّةِ \(R_i\) أَيّ \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\)، حَيْثُ \(n \geq 2\).
سَنَسْتَخْدِم بِشَكْلٍ مُتَكَرِّرٍ التَوْصِيفات التالِيَةِ لِلرُسُوم البَيانِيَّةِ الخَطِيَّة (أَنْظُر (beineke1970characterizations)).
فِي هٰذا القِسْمِ، نِصْفِ جَمِيعِ الحَلَقاتِ الارتينيه التبادليه \(R\) بِحَيْثُ يَكُون \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْماً خَطِّيّا. فِي النَظَرِيَّةِ التالِيَةِ، نِصْفِ أَوَّلاً جَمِيعِ الحَلَقاتِ المَحَلِّيَّةِ التبادليه الَّتِي يَكُون رَسْمِ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ فِيها رَسْماً خَطِّيّا.
[primeline] لِتَكُن \(R\) حَلْقَةِ مَحَلِّيَّةٍ تَبادُلَيْهِ بِمِثالِي أَعْظَمُ \(\mathcal{M}\). عِنْدَئِذٍ يَكُون \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْماً خَطِّيّا لِبَعْضِ الرُسُومِ إِذا وَفَقَط إِذا تَحَقَّقَ أَحَدُ الشُرُوطِ التالِيَةِ.
\(R\) حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ بِحَيْثُ \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\).
\(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لِبَعْضِ \(x,y \in R\) بِحَيْثُ \(x^2 = y^2 =0\).
أَفْتَرِض أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْمِ خُطَى لِبَعْضِ الرُسُومِ. لِتَكُن \(\{ x_1, x_2, \ldots , x_m\}\) مَجْمُوعَةِ مُوَلِّداتٍ أَدَّنِي لِ \(\mathcal{M}\). أَفْتَرِض أَوَّلاً أَنَّ \(m=1\)، أَيّ أَنَّ \(R\) حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ. إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}) \ge 5\)، فَإِنَّ الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \mathcal{M}, \mathcal{M}^2, \mathcal{M}^3, \mathcal{M}^4 \}\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا تُناقِض. يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\). الآنَ إِذا كانَ \(m =2\)، فَإِنَّ \(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لِبَعْضِ \(x,y \in R\). بِالنِسْبَةِ لِ \(x^2 \neq 0\)، لاحَظَ أَنَّ الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \mathcal{M}, \langle x \rangle, \langle x^2 \rangle, \langle x^2 +x \rangle \}\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّهُ لِكَي يَكُون \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْماً خَطِّيّا لِبَعْضِ الرُسُومِ، يَجِب أَنَّ يَكُون \(x^2 = y^2 = 0\). إِذا كانَ \(m \ge 3\)، فَإِنَّ الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \mathcal{M}, \langle x_1 \rangle, \langle x_2 \rangle, \langle x_3 \rangle \}\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، مَرَّةً أُخْرَى تُناقِض.
بِالمُقابِلِ، لِنَفْتَرِض أَوَّلاً أَنَّ \(R\) حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ بِحَيْثُ \(\eta(\mathcal{M}) \le 4\). إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}) =4\)، فَلاحَظَ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R) \cong P_3 = L(P_4)\). إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}) =3\)، فَإِنَّ \(\textnormal{PIS}(R) \cong K_2 = L(P_3)\). إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}) =2\)، فَإِنَّ \(\textnormal{PIS}(R) = L(K_2)\). إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}) =1\)، أَيّ أَنَّ \(R\) حَقْلِ، فَإِنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْمِ فارِغٌ وَهُوَ رَسْمِ خُطَى لِلرَسْمِ الفارِغ. بُعْدَ ذٰلِكَ، أَفْتَرِض أَنَّ \(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\)، لِبَعْضِ \(x,y \in R\) بِحَيْثُ \(x^2 = y^2 = 0\). عِنْدَئِذٍ جَمِيعِ المِثالِيّات غَيْرِ التافِهَة لِ \(R\) هِيَ \(\mathcal{M}\)، \(\langle x \rangle\)، \(\langle y \rangle\)، \(\langle xy \rangle\)، \(\langle x + uy \rangle\)، حَيْثُ \(u \in U(R)\). الآنَ نُظْهِر أَنَّ \(u-v \in \mathcal{M}\) إِذا وَفَقَط إِذا \(\langle x + uy \rangle = \langle x + vy \rangle\). لِيَكُن \(u-v \in \mathcal{M}\). عِنْدَئِذٍ \(\langle x + uy \rangle = \langle x + (u-v+v)y \rangle = \langle x + vy \rangle\). بِالمُقابِلِ، إِذا كانَ \(\langle x + uy \rangle = \langle x + vy \rangle\)، فَإِنَّ \(x + uy = \alpha(x + vy)\) لِبَعْضِ \(\alpha \in R\). يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ \((1- \alpha)x = (\alpha v -u)y\) وَبِالتالِي \((1- \alpha)x \in \langle y \rangle\) وَ\((\alpha v -u)y \in \langle x \rangle\). بِما أَنَّ \(\mathcal{M}\) يَتِمّ تَوْلِيده بِشَكْلٍ أَدَّنِي بِواسِطَةِ عُنْصُرَيْنِ، يَجِب أَنَّ يَكُون \(1- \alpha \in \mathcal{M}\) وَ\(\alpha v -u \in \mathcal{M}\). وَبِالتالِي، \(v-u = v(1-\alpha) + \alpha v -u \in \mathcal{M}\). لِذٰلِكَ، لَدَينا \(|R/\mathcal{M}| + 3\) مِثالِيّات غَيْرِ تافِهه لِ \(R\).
بُعْدَ ذٰلِكَ، نُظْهِر أَنَّهُ بِالنِسْبَةِ لِلرُؤُوس المُتَمَيِّزَةِ \(\langle x + uy \rangle\) وَ\( \langle x + vy \rangle\)، حَيْثُ \(u,v \in U(R)\)، لَدَينا \(\langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle = \mathcal{M}\). بِوُضُوحٍ، \(\langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle \subseteq \mathcal{M}\). بِما أَنَّ \(v-u \notin \mathcal{M}\)، لَدَينا \(x = v(v-u)^{-1}(x + uy) + [1-v(v-u)^{-1}](x +vy)\). يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ \(x \in \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\). بِالمِثْلِ، \(y \in \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\). وَبِالتالِي، \(\mathcal{M} \subseteq \langle x + uy \rangle + \langle x + vy \rangle\).
وَهٰكَذا، الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\mathcal{I}^*(R) \setminus \{ \langle xy \rangle \}\) هُوَ رَسْمِ كامِلٍ. الآنَ، إِذا كانَ \(xy =0\)، فَكَوْنه رَسْماً كامِلاً عَلَى \(|R/\mathcal{M}| + 2\) رُؤُوسِ، \(\textnormal{PIS}(R)\) هُوَ رَسْمِ خُطَى لِلرَسْمِ \(K_{1, |R/\mathcal{M}| + 2}\). إِذا كانَ \(xy \neq 0\)، فَإِنَّ الرَأْسِ \(\langle xy \rangle\) مِن الدَرَجَةِ واحِدَةٍ (مُجاوِرٍ لِ \(\mathcal{M}\) فَقَط). وَبِالتالِي، لِأَيّ \(xy \neq 0\)، لا يُمْكِن أَنَّ يَكُون أَيّ رَسْمِ فَرْعِيٍّ مستحث مِن \(\textnormal{PIS}(R)\) مُتَماثِلا مَعَ أَيّ مِن الرُسُومِ المُعْطاة فِي الشَكْلِ [forbidden_graphs]. وَهٰكَذا، \(\textnormal{PIS}(R)\) هُوَ رَسْمِ خُطَى لِبَعْضِ الرُسُومِ. هٰذا يُكْمِل البُرْهانُ.
الآنَ نُحَقِّق فِي الحَلَقاتِ التبادليه غَيْرِ المَحَلِّيَّةِ الَّتِي يَكُون رَسْمِ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ فِيها رُسُوماً خَطَّيْهِ.
[fourproduct] لِتَكُن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حَلْقَةِ تَبادُلَيْهِ غَيْرِ مَحَلِّيَّةٍ، حَيْثُ كُلِّ \(R_i\) حَلْقَةِ مَحَلِّيَّةٍ بِمِثالِي أَعْظَمُ \(\mathcal{M}_i\). إِذا كانَ \(n \ge 4\)، فَإِنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) لَيِسَ رَسْماً خَطِّيّا.
لِإِثْباتِ النَتِيجَةُ، يَكْفِي أَظْهار أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) لَيِسَ رَسْماً خَطِّيّا عِنْدَما يَكُون \(n=4\). لِتَكُن \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3 \times R_4\). اِعْتَبَرَ المَجْمُوعَةِ \[S = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times \mathcal{M}_4 \}.\] عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(S\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\). وَبِالتالِي، لِ \(n \ge 4\)، \(\textnormal{PIS}(R)\) لَيِسَ رَسْماً خَطِّيّا.
لِتَكُن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حَلْقَةِ تَبادُلَيْهِ غَيْرِ مَحَلِّيَّةٍ، حَيْثُ كُلِّ \(R_i\) حَلْقَةِ مَحَلِّيَّةٍ بِمِثالِي أَعْظَمُ \(\mathcal{M}_i\). عِنْدَئِذٍ يَكُون \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْماً خَطِّيّا إِذا وَفَقَط إِذا تَحَقَّقَ أَحَدُ الشُرُوطِ التالِيَةِ.
\(R \cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
\(R \cong F_1 \times F_2\).
\(R \cong R_1 \times F_2\) بِحَيْثُ \(R_1\) حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ ب \(\eta({\mathcal{M}_1}) = 2\).
أَفْتَرِض أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) رَسْمِ خُطَى لِبَعْضِ الرُسُومِ. بِمُوجِبِ الفَقْرَةِ [fourproduct]، لَدَينا \(n \le 3\). أَوَّلاً، لِنَفْتَرِض أَنَّ \(n =3\) أَيّ، \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3\). أَفْتَرِض أَنَّ أَحَدُ \(R_i\) لَيِسَ حَقْلا. بِدُونِ فُقْدانِ العُمُومِيَّةِ، أَفْتَرِض أَنَّ \(R_1\) لَيِسَ حَقْلا. اِعْتَبَرَ المَجْمُوعَةِ \(A = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3, \langle 0 \rangle \times R_2 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle 0 \rangle \times \langle 0 \rangle \times R_3\}\). عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ \(A\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا تُناقِض. يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ \(R\cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
الآنَ لِنَفْتَرِض أَنَّ \(R\cong R_1 \times R_2\). أَفْتَرِض أَنَّ كُلّاً مِن \(R_1\) وَ\(R_2\) لَيِسا حَقْلَيْنِ. اِعْتَبَرَ المَجْمُوعَةِ \(B = \{ R_1 \times \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2, \langle 0 \rangle \times \mathcal{M}_2 \}\).
ثُمَّ \(\textnormal{PIS}(B)\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. يَتَرَتَّب عَلَى ذٰلِكَ أَنَّ أَحَدُ \(R_i\) يَجِب أَنَّ يَكُون الحَقْل. دُونِ فُقْدانِ العُمُومِيَّةِ، نَفْتَرِض أَنَّ \(R_2\) هُوَ حَقْلِ، أَيّ \(R \cong R_1 \times F_2\). لِنَفْتَرِض أَنَّ \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_m \}\) هُوَ مَجْمُوعَةِ مُوَلِّداتٍ دُنْيا لِلمِثالِيّ الأَعْظَمِ \(\mathcal{M}_1\). نَفْتَرِض أَنَّ \(m \ge 2\). نَظَراً لِلمَجْمُوعَةِ \(C = \{ \mathcal{M}_1 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \langle x_1 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle \}\). ثُمَّ الرَسْمُ البَيانِيّ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ \(C\) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا تُناقِض. يَعْنِي ذٰلِكَ أَنَّ \(m=1\)، أَيّ \(R_1\) هُوَ حَلْقَةِ المِثالِيُّ الرَئِيسِيُّ. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}_1) \ge 3\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ الفَرْعِيِّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \mathcal{M}_1 \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times \langle 0 \rangle\} \) مُتَماثِل مَعَ \(K_{1,3}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. وَبِالتالِي، إِمّا أَنَّ \(R \cong R_1 \times F_2\) بِحَيْثُ \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\) أَو \(R \cong F_1 \times F_2\).
مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى، يُمْكِن مُلاحَظَةُ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 ) = L(2K_2)\) وَ \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 \times F_3) = L(H_1)\) وَ \(\textnormal{PIS}(R_1 \times F_2 ) = L(H_2)\) حَيْثُ \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\).
فِي هٰذا القِسْمِ، نِصْفِ جَمِيعِ الحَلَقاتِ الارتينيه التبادليه الَّتِي تَكُون رُسُومٍ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لَها تُكْمِله لَرُسُوم الخُطُوطِ. نَبْدَأ بِتَوْصِيف جَمِيعِ الحَلَقاتِ المَحَلِّيَّةِ التبادليه \(R\) بِحَيْثُ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) تَكُون تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ.
لِتَكُن \(R\) حَلْقَةِ مَحَلِّيَّةٍ تَبادُلَيْهِ بِمِثالِي أَعْظَمُ \(\mathcal{M}\). عِنْدَئِذٍ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ إِذا وَفَقَط إِذا تَحَقَّقَ أَحَدُ الشُرُوطِ التالِيَةِ.
\(R\) هِيَ حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ.
\(\mathcal{M} = \langle x, y \rangle\) لِبَعْضِ \(x,y \in R\) بِحَيْثُ \(x^2 = y^2 = xy =0\).
أَفْتَرِض أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ. لِيَكُن \(\{ x_1, x_2, \ldots , x_m\}\) هُوَ المَجْمُوعَةِ الأَدْنَى مِن المُوَلِّداتِ لِ \(\mathcal{M}\). إِذا كانَ \(m \ge 4\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \langle x_4 \rangle, \langle x_2, x_3, \ldots, x_m \rangle, \langle x_1, x_3, \ldots, x_m \rangle, \langle x_1, x_2, x_4, \ldots, x_m \rangle\} \) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا تُناقِض. بِالنِسْبَةِ لِ \(m =3\)، ضع فِي الاِعْتِبارِ المَجْمُوعَةِ \(A = \{ \langle x_1 \rangle, \langle x_1, x_2 \rangle, \langle x_1, x_3 \rangle, \langle x_2 + x_3\rangle \}\). عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ \(A\) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. بُعْدَ ذٰلِكَ، لِيَكُن \(m=2\)، أَيّ \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لِبَعْضِ \(x, y \in R\). إِذا كانَ \(x^2 \neq 0\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \langle x^2 \rangle, \langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle x+y \rangle \}\) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. إِذا كانَ \(xy \neq 0\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \langle xy \rangle, \langle x \rangle, \langle y \rangle, \langle x+y \rangle \}\) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، مَرَّةً أُخْرَى تُناقِض. وَبِالتالِي، نَحْصُل عَلَى \(x^2 = y^2= xy = 0\). وَهٰكَذا، لِكَي تَكُون \(\textnormal{PIS}(R)\) تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ، يَجِب أَنَّ يَكُون إِمّا \(m = 1\)، أَيّ \(R\) هِيَ حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ أَو \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لِبَعْضِ \(x, y \in R\) بِحَيْثُ \(x^2 = y^2= xy = 0\).
بِالعَكْسِ، أَفْتَرِض أَوَّلاً أَنَّ \(R\) هِيَ حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ. ثُمَّ لاحَظَ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ رَسْمِ نَجْمَيْ، وَبِالتالِي لا يُوجَد أَيّ رَسْمِ بَيانَيَّ مستحث يَكُون مُتَماثِلا مَعَ أَيّ مِن الرُسُومِ البَيانِيَّةِ المُعْطاة فِي الشَكْلِ [complenentforbidden_graphs]. وَبِالتالِي، \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ. بُعْدَ ذٰلِكَ، أَفْتَرِض أَنَّ \(\mathcal{M} = \langle x,y \rangle \) لِبَعْضِ \(x, y \in R\) وَ \(x^2 = y^2= xy = 0\). بِالحُجَّةِ المُماثِلَةِ المُسْتَخْدَمَةِ فِي النَظَرِيَّةِ [primeline]، نَحْصُل عَلَى أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ رَسْمِ بَيانَيَّ كامِلٍ عَلَى \(|R/ \mathcal{M}| +2\) رُؤُوسِ. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، لاحَظَ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R) = \overline{L\big( (|R/ \mathcal{M}| +2)K_2 \big)}\). وَهٰكَذا، تَصِحّ النَتِيجَةُ.
نِصْفِ الآنَ جَمِيعِ الحَلَقاتِ التبادليه غَيْرِ المَحَلِّيَّةِ الَّتِي تَكُون رُسُومٍ مَجْمُوعُ المِثالِيّات الأَوَّلِيَّةِ لَها تُكْمِله لَرُسُوم الخُطُوطِ.
لِتَكُن \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\) \((n \ge 2)\) حَلْقَةِ تَبادُلَيْهِ غَيْرِ مَحَلِّيَّةٍ، حَيْثُ كُلِّ \(R_i\) هِيَ حَلْقَةِ مَحَلِّيَّةٍ بِمِثالِي أَعْظَمُ \(\mathcal{M}_i\). عِنْدَئِذٍ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ إِذا وَفَقَط إِذا تَحَقَّقَ أَحَدُ الشُرُوطِ التالِيَةِ.
\(R \cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
\(R \cong F_1 \times F_2\).
\(R \cong R_1 \times F_2\) بِحَيْثُ \(R_1\) هِيَ حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ ب \(\eta({\mathcal{M}_1}) = 2\).
أَفْتَرِض أَنَّ \(\textnormal{PIS}(R)\) هِيَ تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ. بِالنِسْبَةِ لِ \(n =4\)، ضع فِي الاِعْتِبارِ المَجْمُوعَةِ \[S' = \{ \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times R_3 \times R_4, R_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times R_2 \times \mathcal{M}_3 \times R_4, \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \times \mathcal{M}_3 \times \mathcal R_4 \}.\] عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(S'\) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا تُناقِض. وَبِالتالِي، بِالنِسْبَةِ لِ \(n \ge 4\)، \(\textnormal{PIS}(R)\) لَيِسَت تُكْمِله لِرَسْمِ خَطِّ. يُمْكِننا الآنَ اِفْتِراضِ أَنَّ \(n \le 3\). لِيَكُن \(R \cong R_1 \times R_2 \times R_3\). أَفْتَرِض أَنَّ أَحَدُ \(R_i\) لَيِسَ حَقْلا. بِدُونِ فُقْدانِ العُمُومِيَّةِ، أَفْتَرِض أَنَّ \(R_1\) لَيِسَ حَقْلا. عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(X = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2 \times R_3, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle \times R_3, \langle 0 \rangle \times R_2 \times R_3, R_1 \times R_2 \times \langle 0 \rangle \} \) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا تُناقِض. يَعْنِي ذٰلِكَ أَنَّ \(R\cong F_1 \times F_2 \times F_3\).
بُعْدَ ذٰلِكَ، لِيَكُن \(R\cong R_1 \times R_2\). أَفْتَرِض أَنَّ كُلّاً مِن \(R_1\) وَ \(R_2\) لَيِسا حَقْلَيْنِ. ضع فِي الاِعْتِبارِ المَجْمُوعَةِ \(Y = \{ \mathcal{M}_1 \times R_2, \langle 0 \rangle \times R_2, \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, R_1 \times \langle 0 \rangle\}\). عِنْدَئِذٍ \(\textnormal{PIS}(Y)\) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_1}\)، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. وَبِالتالِي، يَجِب أَنَّ يَكُون أَحَدُ \(R_i\) حَقْلا. بِدُونِ فُقْدانِ العُمُومِيَّةِ، أَفْتَرِض أَنَّ \(R_2\) هُوَ حَقْلِ، أَيّ \(R \cong R_1 \times F_2\). لِيَكُن \(\{ x_1, x_2, \ldots, x_m \}\) هُوَ المَجْمُوعَةِ الأَدْنَى مِن المُوَلِّداتِ لِلمِثالِيّ الأَعْظَمِ \(\mathcal{M}_1\). أَفْتَرِض أَنَّ \(m \ge 2\). عِنْدَئِذٍ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(Z = \{ \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \langle 0 \rangle \times R_2, \langle x_1 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle, \langle x_1 + x_2 \rangle \times \langle 0 \rangle \} \) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_3}\)، وَهٰذا تُناقِض. يَعْنِي ذٰلِكَ أَنَّ \(m=1\) وَبِالتالِي \(R_1\) هِيَ حَلْقَةِ مِثالِيَّةٍ رَئِيسِيَّةٍ. إِذا كانَ \(\eta(\mathcal{M}_1) \ge 3\)، فَإِنَّ الرَسْمُ البَيانِيّ المستحث بِواسِطَةِ المَجْمُوعَةِ \(\{ \mathcal{M}_1 \times \langle 0 \rangle, \mathcal{M}_1^2 \times F_2, \mathcal{M}_1 \times F_2, \langle 0 \rangle \times F_2, \mathcal{M}_1^2 \times \langle 0 \rangle, R_1 \times \langle 0 \rangle\} \) يَكُون مُتَماثِلا مَعَ \(\overline{\Gamma_4}\) (أَنْظُر الشَكْلِ [linefigure_5])، وَهٰذا غَيْرِ مُمْكِنٍ. وَهٰكَذا، إِمّا أَنَّ \(R \cong R_1 \times F_2\) بِحَيْثُ \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\) أَو \(R \cong F_1 \times F_2\). بِالعَكْسِ، يُمْكِن مُلاحَظَةُ أَنَّ \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 ) = \overline{L(P_3)}\) وَ \(\textnormal{PIS}(F_1 \times F_2 \times F_3) = \overline{L(H_1')}\) (أَنْظُر الشَكْلِ [linefigure_3]). بِواسِطَةِ الشَكْلِ [linefigure_4]، نَحْصُل عَلَى \(\textnormal{PIS}(R_1 \times F_2 ) = \overline{L(H_2')}\) مَعَ \(\eta(\mathcal{M}_1) = 2\).
الشُكْرِ وَالتَقْدِيرِ: يَتَقَدَّم المُؤَلِّفُ الأَوَّلِ بِالشُكْر الجَزِيل لِمَعْهَدِ بيرلا لِلتِكْنُولُوجِيا وَالعُلُومِ (BITS) بيلاني، الهِنْدِ، لِتَقْدِيمِ الدَعْمِ المالِيِّ.