المعادلات مكتوبة بصيغة LaTeX.

مُلَخَّص

لتكن \( R \) حلقة تبادليّة بوحدة. إنّ رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لـ\( R \) هو الرسم البياني البسيط غير الموجَّه الذي تكون مجموعةُ رؤوسِه هي مجموعة جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية لـ\( R \)، ويكون رأسان متميّزان \( I \) و\( J \) متجاوِرَيْن إذا وفقط إذا كان \( I + J \) مثاليًّا أوّليًّا في \( R \). في هذه الورقة نصف جميع الحلقات التبادليّة الآرتينيّة التي يكون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسمًا خطِّيًّا، ثم نقدّم توصيفًا لجميع الحلقات التبادليّة الآرتينيّة التي يكون مُكمِّل رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسمًا خطِّيًّا.

الخلفيّة التاريخيّة والمقدّمات

تمثّل دراسة الرسوم البيانيّة المرتبطة بالهياكل الجبريّة مجالًا بحثيًّا واسعًا ونشطًا، وهي من المحاور الأساسيّة في نظرية الرسوم البيانيّة الجبريّة. يتيح هذا المجال تفاعُلًا عميقًا بين الجبر ونظرية الرسوم البيانيّة، بما يشكّل جسرًا بين هذين الفرعين. وقد حظيت الدراسة الشاملة للرسوم البيانيّة المرتبطة بالهياكل الجبريّة باهتمامٍ كبير لما لها من تطبيقاتٍ وصلاتٍ بنظرية الأوتوماتا [kelarev2003graph, kelarev2009cayley, kelarev2004labelled]. وقد دُرِسَت في الأدبيّات رسومٌ بيانيّة متعدّدة مرتبطة بالحلقات، مثل: الرسم البياني لقواسم اللّا-صفر (cozero-divisor) [afkhami2011cozero]، والرسم البياني لقواسم الصفر [Anderson1999zero]، والرسم البياني للمُعدِّمات [badawi2014annihilator]، والرسم البياني لتقاطُع المثاليّات [chakrabarty2009intersection]، ورسم المثاليّات الـcomaximal (أي التي يكون مجموعها هو \( R \)) [maimani2008comaximal]، ورسم مجموع المثاليّات الأوّليّة [saha2023prime]، وغيرها.

قدّم ساهـا وآخرون [saha2023prime] رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لحلقة تبادليّة. فرسم مجموع المثاليّات الأوّليّة \(\text{PIS}(R)\) للحلقة \(R\) هو الرسم البياني البسيط غير الموجَّه الذي تكون مجموعةُ رؤوسِه هي مجموعة جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية لـ\(R\)، ويكون رأسان متميّزان \(I\) و\(J\) متجاوِرَيْن إذا وفقط إذا كان \(I + J\) مثاليًّا أوّليًّا. درس مؤلفو [saha2023prime] بعض الخصائص النظرية لرسم \(\text{PIS}(R)\) مثل عدد النِّقَر (clique number)، والعدد اللوني، وعدد السيطرة وغيرها. كما نوقش البُعد المتري والبُعد المتري القوي لرسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لفئاتٍ مختلفة من الحلقات في [adlifard2023metric, mathil2023strong]. ودُرِست تضمينات هذا الرسم على الأسطح في [mathil2022embedding]. إضافةً إلى ذلك، درست الأعمالُ السابقة رسومَ مجموع المثاليّات الأوّليّة مع بعض الرسوم البيانيّة المحظورة المستحثة مثل: الرسوم الانقساميّة (split)، والعتبيّة (threshold)، والوَتَريّة (chordal)، و«الكُوغراف» (cograph). أمّا الرسم البياني الخطي \(L(\Gamma)\) لرسم بياني \(\Gamma\)، فهو الرسم الذي تكون مجموعةُ رؤوسِه هي حواف \(\Gamma\)، ويكون رأسان من \(L(\Gamma)\) (أي حافتان من \(\Gamma\)) متجاوِرَيْن إذا وفقط إذا كانت الحافتان في \(\Gamma\) متلاقيتين في رأسٍ مشترك. وتُوصَف الرسوم البيانيّة الخطيّة بواسطة تسعة رسوم بيانيّة محظورة (انظر النظرية [linegraphchar]). وقد دُرِست الرسوم البيانيّة الجبريّة المتعلّقة بالرسوم الخطيّة على نطاقٍ واسع [barati2021line, bera2022line, khojasteh2022line, kumar2023finite, pirzada2022line, singh2022graph]. في هذه الورقة نبحث متى يكون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة رسمًا خطِّيًّا، ومتى يكون مُكمِّلُه رسمًا خطِّيًّا. في القسم [section2] نصف جميع الحلقات التبادليّة الآرتينيّة التي يكون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسمًا خطِّيًّا، وفي القسم [section3] نصف تلك التي يكون مُكمِّلُ رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسمًا خطِّيًّا.

نستعرض الآن التعريفات والنتائج اللازمة للاستخدام لاحقًا. الرسم البياني \(\Gamma\) هو زوجٌ مرتب \((V(\Gamma), E(\Gamma))\)، حيث \(V(\Gamma)\) مجموعةُ الرؤوس و\(E(\Gamma)\) مجموعةُ الحواف. يُقال لرأسين متميّزين \(u, v \in V(\Gamma)\) إنهما متجاوران في \(\Gamma\)، ونرمز لذلك بـ \(u \sim v\) (أو للحافّة بينهما بـ \(\{u, v\}\))، إذا وُجدت حافّة بين \(u\) و\(v\)؛ وإلّا نكتب \(u \nsim v\). ويُقال إن \(\Gamma'\) هو رسم بياني فرعي من \(\Gamma\) إذا كان \(V(\Gamma') \subseteq V(\Gamma)\) و\(E(\Gamma') \subseteq E(\Gamma)\). مُكمِّل الرسم البياني \(\overline{\Gamma}\) هو الرسم الذي له نفس مجموعة الرؤوس \(V(\Gamma)\)، ويكون رأسان متجاورين فيه إذا وفقط إذا لم يكونا متجاورين في \(\Gamma\). وإذا كان \(X \subseteq V(\Gamma)\)، فإن الرسم الفرعي المستحث \(\Gamma(X)\) هو الرسم الذي مجموعةُ رؤوسِه \(X\)، ويكون رأسان منه متجاورين إذا وفقط إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). المسار في رسمٍ بياني تسلسلٌ من الرؤوس المتمايزة بحيث يكون كلُّ رأسٍ في التسلسل متجاورًا مع الذي يليه. ونكتب \(P_n\) للدلالة على الرسم البياني المساري ذي \(n\) رؤوس. ويُقال إن الرسم البياني \(\Gamma\) كامل إذا كان كلُّ زوجٍ من رؤوسه متجاورَين؛ ويُرمز للرسم الكامل على \(n\) رؤوس بـ \(K_n\). ويرمز \(mK_n\) إلى اتحاد \(m\) نُسَخ من \(K_n\). ويُقال إن \(\Gamma\) ثنائيُّ الأجزاء إذا أمكن تقسيم \(V(\Gamma)\) إلى جزأين بحيث لا يتجاور رأسان في الجزء نفسه. والرسم الثنائي الأجزاء الكامل هو ما يتجاور فيه كلُّ رأسٍ من جزء مع جميع رؤوس الجزء الآخر، ويُرمز له عند أحجام تقسيم \(m\) و\(n\) بـ \(K_{m, n}\).

طِوال هذه الورقة، ستكون \(R\) حلقةً تبادليّةً آرتينيّةً ذات وحدة، ونرمز بـ \(F_i\) إلى حقل. كذلك نكتب \(U(R)\) لمجموعة جميع الوحدات في \(R\). وللتعريفات الأساسية في نظرية الحلقات نحيل القارئ إلى [atiyah1969introduction]. وتُسمّى الحلقة \(R\) محلّيّةً إذا كان لها مثاليّة عُظمى وحيدة \(\mathcal{M}\)؛ ولدى الحقل \(F\) نأخذ \(\mathcal{M}=\langle 0\rangle\). ونقصد بـ \(\mathcal{I}^*(R)\) مجموعةَ المثاليّات الصحيحة غير التافهة في \(R\). ومؤشِّر العَدَميّة \(\eta(I)\) لمثاليّة \(I\) من الحلقة \(R\) هو أصغر عددٍ صحيحٍ موجب \(n\) بحيث \(I^n = 0\). والمثاليّة المُولَّدة بالعناصر \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(n \ge 1\)) نرمز لها بـ \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\). وبحسب النظرية البنيويّة [atiyah1969introduction]، فإن الحلقة التبادليّة الآرتينيّة غير المحليّة \(R\) هي على نحوٍ فريد (حتى التطابق) حاصلُ ضربٍ مباشرٍ محدود لحلقاتٍ محليّة \(R_i\)، أي \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\)، حيث \(n \geq 2\).

سنستخدم مرارًا التوصيفات المعروفة للرسوم البيانيّة الخطيّة (انظر [beineke1970characterizations]).

رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة التي تكون رسومًا خطِّيّة

في هذا القسم…