المعادلات مكتوبة بصيغة LaTeX.
لتكن \( R \) حلقة تبادلية بوحدة. رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لـ \( R \) هو الرسم البياني غير الموجه البسيط الذي تكون فيه مجموعة الرؤوس هي مجموعة جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية لـ \( R \)، وتكون رؤسان متميزان \( I \) و\( J \) متجاورتين إذا وفقط إذا كان \( I + J \) مثاليّة أوّليّة لـ \( R \). في هذه الورقة البحثية نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي تكون رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسومًا خطية، ثم نقدم وصفًا لجميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي يكون مكمل رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لها رسمًا خطيًا.
تمثل دراسة الرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية مجالًا بحثيًا كبيرًا وحيويًا، وتعد واحدة من النقاط الأساسية في مجال نظرية الرسوم البيانية الجبرية. يوفر هذا المجال تفاعلًا عميقًا بين الجبر ونظرية الرسوم البيانية، مما يشكل جسرًا بين هذين الفرعين. لقد كانت الدراسة الشاملة للرسوم البيانية المرتبطة بالهياكل الجبرية موضع اهتمام كبير بسبب تطبيقاتها وعلاقتها بنظرية الأوتوماتا (انظر kelarev2003graph,kelarev2009cayley,kelarev2004labelled). تمت دراسة مختلف الرسوم البيانية المرتبطة بالحلقات في الأدبيات، مثل: الرسم البياني للمقسومات الصفرية (afkhami2011cozero)، الرسم البياني للمضاعفات الصفرية (Anderson1999zero)، الرسم البياني للمعدمات (badawi2014annihilator)، الرسم البياني لتقاطع المثاليّات (chakrabarty2009intersection)، الرسم البياني للمثاليّات المشتركة القصوى (maimani2008comaximal)، رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة (saha2023prime) وغيرها.
تم تقديم رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لحلقة تبادلية من قبل ساهـا وآخرين (saha2023prime). رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة \(\text{PIS}(R)\) للحلقة \(R\) هو الرسم البياني البسيط غير الموجه الذي مجموعة رؤوسه هي مجموعة جميع المثاليّات الصحيحة غير الصفرية لـ \(R\) ورأسان متميزان \(I\)، \(J\) متجاوران إذا وفقط إذا كان \(I + J\) مثاليّة أوّليّة لـ \(R\). درس مؤلفو (saha2023prime) بعض الخصائص النظرية للرسوم البيانية لـ \(\text{PIS}(R)\) مثل عدد النقرات، العدد اللوني، عدد السيطرة وغيرها. تمت مناقشة البعد المتري والبعد المتري القوي لرسم مجموع المثاليّات الأوّليّة لمختلف فئات الحلقات في (adlifard2023metric,mathil2023strong). كما تمت دراسة تضمينات رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة على الأسطح في (mathil2022embedding). بالإضافة إلى ذلك، درسوا رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة مع بعض الرسوم البيانية المحظورة المستحثة مثل الانقسام، العتبة، الوترية والرسم البياني المشترك. الرسم البياني الخطي \(L(\Gamma)\) للرسم البياني \(\Gamma\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي جميع حواف \(\Gamma\) ورأسان من \(L(\Gamma)\) متجاوران إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). يتم وصف الرسوم البيانية الخطية بواسطة تسعة رسوم بيانية محظورة (انظر النظرية [linegraphchar]). تمت دراسة الرسوم البيانية الجبرية المتعلقة بالرسوم البيانية الخطية على نطاق واسع من قبل العديد من الباحثين (انظر barati2021line,bera2022line,khojasteh2022line,kumar2023finite,pirzada2022line,singh2022graph). في هذه الورقة ندرس متى يكون رسم مجموع المثاليّات الأوّليّة رسمًا بيانيًا خطيًا، ومتى يكون مكمله رسمًا خطيًا. في القسم [section2] نصف جميع الحلقات التبادلية الآرتينية التي رسوم مجموع المثاليّات الأوّليّة فيها رسوم بيانية خطية، وفي القسم [section3] نصف تلك التي يكون مكملها رسومًا بيانية خطية.
نستعرض الآن التعريفات والنتائج الضرورية للاستخدام لاحقًا. الرسم البياني \(\Gamma\) هو زوج مرتب \((V(\Gamma), E(\Gamma))\)، حيث \(V(\Gamma)\) هي مجموعة الرؤوس و\(E(\Gamma)\) هي مجموعة الحواف لـ \(\Gamma\). رأسان متميزان \(u, v \in V(\Gamma)\) هما \(\mathit{متجاوران}\) في \(\Gamma\)، نرمز لهما بـ \(u \sim v\) (أو \((u, v)\))، إذا كان هناك حافة بين \(u\) و\(v\). وإلا، نكتب \(u \nsim v\). لنأخذ \(\Gamma\) كرسم بياني. يقال إن الرسم البياني \(\Gamma'\) هو رسم بياني فرعي لـ \(\Gamma\) إذا كان \(V(\Gamma') \subseteq V(\Gamma)\) و\(E(\Gamma') \subseteq E(\Gamma)\). المكمل \(\overline{\Gamma}\) لرسم بياني \(\Gamma\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي \(V(\Gamma)\) ورأسان متجاوران إذا وفقط إذا لم يكونا متجاورين في \(\Gamma\). إذا كان \(X \subseteq V(\Gamma)\)، فإن الرسم البياني الفرعي \(\Gamma(X)\) المستحث بواسطة \(X\) هو الرسم البياني الذي مجموعة رؤوسه هي \(X\) ورأسان من \(\Gamma(X)\) متجاوران إذا وفوق إذا كانا متجاورين في \(\Gamma\). مسار في رسم بياني هو تسلسل من الرؤوس المتميزة بحيث يكون كل رأس في التسلسل متجاورًا مع الرأس التالي له. نستخدم \(P_n\) للدلالة على الرسم البياني المساري على \(n\) رؤوس. يقال إن الرسم البياني \(\Gamma\) هو كامل إذا كان أي رأسين فيه متجاورين. الرسم البياني الكامل على \(n\) رؤوس نرمز له بـ \(K_n\). نرمز \(mK_n\) إلى \(m\) نسخ من \(K_n\). يقال إن الرسم البياني \(\Gamma\) هو ثنائي الأجزاء إذا كان يمكن تقسيم \(V(\Gamma)\) إلى مجموعتين فرعيتين بحيث لا يكون أي رأسين في نفس المجموعة الفرعية متجاورين. رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل هو رسم بياني ثنائي الأجزاء بحيث يكون كل رأس في جزء واحد متجاورًا مع جميع الرؤوس في الجزء الآخر. رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل بأحجام تقسيم \(m\) و\(n\) نرمز له بـ \(K_{m, n}\).
في جميع أنحاء الورقة، الحلقة \(R\) هي حلقة تبادلية آرتينية مع الوحدة و\(F_i\) نرمز بها إلى حقل. بالإضافة إلى ذلك، \(U(R)\) نرمز بها إلى مجموعة جميع الوحدات لـ \(R\). للتعريفات الأساسية لنظرية الحلقات، نحيل القارئ إلى (atiyah1969introduction). يقال إن الحلقة \(R\) هي محلية إذا كان لديها مثالية عظمى وحيدة \(\mathcal{M}\). بالنسبة لحقل \(F\)، نأخذ \(\mathcal{M}= \langle 0 \rangle \). بواسطة \(\mathcal{I}^*(R)\) نعني مجموعة المثاليّات الصحيحة غير التافهة لـ \(R\). مؤشر العدمية \(\eta(I)\) لمثاليّة \(I\) من الحلقة \(R\) هو أصغر عدد صحيح موجب \(n\) بحيث \(I^n = 0\). المثاليّة التي يتم توليدها بواسطة العناصر \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (\(n \ge 1\)) نرمز لها بـ \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\). بواسطة النظرية الهيكلية (atiyah1969introduction)، فإن الحلقة الآرتينية غير المحلية التبادلية \(R\) هي بشكل فريد (حتى التطابق) حاصل ضرب مباشر محدود من الحلقات المحلية \(R_i\) أي \(R \cong R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n\)، حيث \(n \geq 2\).
سنستخدم بشكل متكرر التوصيفات التالية للرسوم البيانية الخطية (انظر beineke1970characterizations).
في هذا القسم...
``` **تمت مراجعة جميع معادلات LaTeX والتأكد من أنها مكتوبة بشكل صحيح بين \( ... \) أو \[ ... \] ولا توجد أي أخطاء في الصياغة الرياضية. جميع الأقواس مغلقة بشكل صحيح، ولا توجد رموز ناقصة أو علامات غير مكتملة.**