المُلَخَّص

أَصبحت النماذجُ التوليدية ذاتَ أهمّيةٍ متزايدة في تعلُّم الآلة ونماذج التعلُّم العميق. من بين هذه النماذج تبرز تدفُّقاتُ التطبيع، التي تُتيح تقديرَ الاحتمالية بدقّة عبر تحويل توزيعٍ أساسي بواسطة تحويلاتٍ تقابلية قابلة للاشتقاق. وقد تمّ توسيع إطارِ عمل تدفّق التطبيع ليشمل تدفّقاتٍ مُفهرسةً بالزمن، ما أدى إلى ظهور تدفّقاتِ التطبيع الديناميكية، وهي أداةٌ قوية لنمذجة السلاسل الزمنية والعمليات العشوائية والمعادلات التفاضلية العشوائية العصبية. في هذا العمل نقترح مُتغيِّرًا جديدًا من تدفّقات التطبيع الديناميكية، هو التدفّق المُعَدَّل زمنيًّا (TCNF)، قائمٌ على تغييرٍ زمنيٍّ لحركة براونية، وهو ما يُنتِج عائلةً غنيّة ومتنوّعة من العمليات الغاوسية. يُمكِّننا هذا النهج من نمذجة بعض المعادلات التفاضلية العشوائية التي تعجز النُّهُج الأخرى عن نمذجتها، بما في ذلك الحالات القياسية مثل عملية أورنشتاين–أولنبيك المعروفة، كما يُعمِّم المنهجيات السابقة ويؤدّي إلى نتائج مُحسّنة وقدرة أفضل على الاستدلال والتنبّؤ.

المُقَدِّمَة

تُستَخدَم الأنظمةُ الديناميكية على نطاقٍ واسع في مجالاتٍ علميةٍ متعدّدة مثل المالية وعلوم الأرض والفيزياء. ويشتمل تمثيلُ هذه الأنظمة عادةً على معادلاتٍ تفاضليةٍ عادية أو عشوائية (oksendal2013stochastic) لأخذ الضوضاء والاضطرابات في الحسبان إلى جانب المكوّن الحتمي. من تطبيقاتها الحاسمة نمذجةُ التقلّبات في البيانات المالية، أو تقديرُ الشكوك ونشرُها في علوم الأرض. ويُعَدُّ التعامُل مع هذه الأنظمة عبر نمذجة السلاسل الزمنية وتعلُّم الآلة نهجًا ازدادَت شعبيته مؤخرًا، بفضل النماذج التوليدية، لأغراض التنبّؤ والتصفية والاستيفاء مع مراعاة الشك.

تشمل النماذجُ التوليدية الشائعة الشبكاتِ العصبيةَ التوليديةَ الخصمية (conf/nips/GoodfellowPMXWOCB14) والمُشَفِّراتِ التلقائيةَ الاختلافية (journals/corr/KingmaW13)، وكذلك تدفّقات التطبيع (jmlr/PapamakariosNRM21, journals/pami/KobyzevPB21) والنماذجَ المبنيّة على الانتشار/التسجيل (conf/nips/SongE19). وعلى الرغم من إمكان تطبيق هذه النماذج لتوليد السلاسل الزمنية، فإنها ليست الأنسب لهذه المهمّة لأنها تتعامل مع هذه البيانات كمتجهات في \(\mathbb{R}^{T}\)، حيث \(T\) هو عددُ الخُطوات الزمنية، من دون مراعاة البنية السببية. وقد أُجريت تكييفات للشبكات العصبية التوليدية الخصمية وللمُشَفِّرات التلقائية الاختلافية ولتدفّقات التطبيع لبيانات السلاسل الزمنية في (conf/nips/YoonJS19, kidger2021neural)، و(li2020scalable, zeng2023latent)، و(mehrasa2019point, conf/iclr/ShchurBG20) على التوالي. نركّز في هذا العمل على تدفّقات التطبيع لقدرتها على إتاحة احتمالاتٍ صريحة، وهو أمرٌ حاسم للتطبيقات التي تتطلّب تقدير الشكوك أو كشف الشذوذ.

تعتمد تدفّقات التطبيع على صيغةِ تغيير المتغيّرات المعروفة التي تُوفِّر تعبيرًا عن دالّة الكثافة الاحتمالية لتحويلٍ تقابلي قابل للاشتقاق لمتغيّرٍ عشوائي. وباختيار التحويلات (أو تراكيبها) بعناية، إذا كانت الكثافةُ الأساسية قابلةً للتعامل معها (احتمالٌ صريح وأخذُ عيناتٍ سهل، في معظم الحالات غاوسية)، أمكن التلاعب بالكثافة المحوَّلة والأخذُ منها بسهولة أيضًا، شريطة إمكان حساب يعقوبي التحويل بكفاءة. وعند النظر في الحدّ النظري حيث يُطبَّق عددٌ لا نهائي من التحويلات، نحصل على تدفّق التطبيع المستمر (DBLP:conf/iclr/GrathwohlCBSD19). في هذه الحالة يُوصَف تدفّقُ التطبيع بمعادلةٍ تفاضليةٍ عادية يمكن تكاملُها للحصول على الكثافة الناتجة، ما يزيد كفاءةَ الحساب لهذه الفئة من النماذج عبر استبدال مُحدَّد اليعقوبي بتكامل أَثَرِه.

تمّ توسيع تدفّقات التطبيع إلى الإعداد الديناميكي باستبدال التوزيع الأساسي القابل للتعامل بعمليةٍ عشوائية قابلةٍ للتعامل، هي حركة براونية (deng2020modeling)، ما يجعل هذا النوع من النماذج أكثر ملاءمةً لتوليد السلاسل الزمنية. ومع ذلك، لوحظ في (deng2021continuous) أنّ هذه النماذج غيرُ قادرةٍ نظريًّا على تمثيل بعض العمليات الأساسية والشائعة، مثل عملية أورنشتاين–أولنبيك الكلاسيكية.

لذلك نقترح في هذه الورقة تعميمًا لهذا النهج عبر استخدام عائلةٍ كبيرة من العمليات الغاوسية كعمليةٍ أساسية بدلًا من الحركة البراونية التقليدية. تُبنى هذه العمليات الغاوسية عبر تغييرٍ زمني للحركة البراونية القياسية، ما يؤدّي إلى التدفّق المُعَدَّل زمنيًّا (TCNF)، وهو نموذج يمتلك خصائصَ رياضيةً تُمكِّنه من وصف الديناميكيات والمعادلات التفاضلية العشوائية التي تعجز النماذجُ السابقة المبنيّة على التدفّق عن التقاطها، مع الحفاظ على تعبيرية تدفّقات التطبيع الديناميكية. نؤكّد هذه النتائج من خلال تجارب عديدة على عملياتٍ معروفة.

تُنظَّم بقيةُ الورقة على النحو الآتي: نقدّم أولًا، في القسم [background]، لمحةً عن المعادلات التفاضلية العشوائية العصبية، حيث الانجراف والانتشار كلاهما شبكاتٌ عصبية، ونهجَ عملية التدفّق بالزمن المستمر (CTFP) ومناقشةً لقيود هذه النماذج الجوهرية. بعد ذلك، في القسم [tcnf]، نعرض نموذجنا ونصفُ خصائصه وخوارزمية التدريب. أخيرًا، نعرض النتائجَ الكمية في القسم [quantResults] ونقارنها بنماذجَ أخرى مبنيّةٍ على التدفّق، ثم نقدّم الملاحظات الختامية في القسم [conclusion].

الخلفيّة

الأعمال ذات الصلة

المعادلاتُ التفاضليةُ العشوائيةُ العصبية

نعتبر فضاءً احتماليًّا مُفلترًا \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) وأفقًا زمنيًّا \(T\). وتُعرَّف عمليةُ الانتشار \(X = \{X_t\}_{t\in [0, T]}\) بواسطة معادلةِ إيتو التفاضلية العشوائية (SDE): \[ \begin{aligned} \label{eq:EDS_X} dX_t = \mu(X_t, t)dt + \sigma(X_t,t)dW_t, \quad t\in [0, T] \end{aligned} \] حيث \(W = \{W_t\}_{t\in [0, T]}\) عمليةُ فاينر (حركة براونية) معيارية متكيفة ذات أبعاد \(m\). والدالتان \(\mu:\mathbb{R} ^d \times [0,T] \longrightarrow \mathbb{R} ^d\) و\(\sigma:\mathbb{R} ^d \times [0,T] \longrightarrow \mathbb{R} ^{d\times m}\) هما مُعامِلا الانجراف والانتشار على التوالي. وعندما يُمثَّل \(\mu\) و\(\sigma\) بواسطة الشبكات العصبية يُسمّى الـ SDE عصبيًّا (tzen2019neural, liu2019neural).

اقتُرحت أعمالٌ عديدة لتعلُّم الـ SDEs العصبية باستعمال أطر نمذجةٍ توليدية مختلفة تشمل المُشَفِّراتِ التلقائيةَ الاختلافية (VAEs) (li2020scalable, zeng2023latent) والشبكاتِ التوليديةَ الخصمية (GANs) (kidger2021neural). نركّز في هذه الورقة على نموذج تدفّق التطبيع.

تدفّقات التطبيع

تدفّقُ التطبيع (jmlr/PapamakariosNRM21, journals/pami/KobyzevPB21, DBLP:conf/iclr/GrathwohlCBSD19) هو تحويلٌ مُصمَّم لنمذجة متغيّرٍ عشوائي \(X\) وتوزيعِه المعقّد \(p_X\) عبر توزيعٍ أساسي \(p_Z\) ودالّةٍ تقابلية قابلةٍ للاشتقاق \(f:\mathbb{R} ^d \longrightarrow \mathbb{R} ^d\). وتُتيح هذه النمذجة تقديرَ الكثافة بدقّة وأخذَ عيناتٍ بكفاءة، باستخدام صيغة تغيير المتغيّرات لـ \(X=f(Z)\):

\[ \log p_X(x) = \log p_Z(z) - \log \left|\det J_{f}(z)\right| \]

حيث اليعقوبي \(J_f(z) = \left[\frac{\partial f_i}{\partial z_j} \right]_{1\leq i,j \leq d}\) هو مصفوفة \(d\times d\) لجميع المشتقات الجزئية لـ \(f\).

وقد وَسَّعت الأعمالُ السابقةُ هذا الإطارَ لنمذجة السلاسل الزمنية والعمليات العشوائية باستخدام تحويلٍ مستمرٍّ مُفهرسٍ بالزمن \(F(., t)\) إلى جانب حركة براونية كعمليةٍ أساسية، ما أفضى إلى «عملية التدفّق بالزمن المستمر» (deng2020modeling): \[ \begin{aligned} X_t = F(W_t, t). \end{aligned} \]

وتقترح طريقةٌ أخرى (deng2021continuous) دمجَ الديناميكيات الكامنة لعملية أورنشتاين–أولنبيك مع تدفّق التطبيع لنمذجة المعادلات التفاضلية العشوائية بفاعلية.

لقد برهنت هذه النماذجُ على فاعلية تدفّقات التطبيع الديناميكية في التقاط السلوك المعقّد لأنواعٍ مختلفة من العمليات العشوائية والمعادلات التفاضلية العشوائية. غير أنّ لهذه النماذج قيودًا جوهريةً مهمّة. إذ تنشأ إحدى القيود عند تطبيق لِمَّا إيتو على عملية التدفّق بالزمن المستمر لاشتقاق عملية أورنشتاين–أولنبيك الأحادية الموصوفة بالمعادلة:

\[ \begin{aligned} \label{eq:ou} dY_t = -a(Y_t - b)dt + \sigma dW_t \end{aligned} \]

فإنّ تطبيق لِمَّا إيتو على \(F(W_t,t)\) يعطي: \[ \begin{aligned} \label{eq:NF-OU} \begin{split} dF(W_t,t) = & \frac{\partial F}{\partial t}(W_t,t)dt + \frac{\partial F}{\partial x}(W_t,t)dW_t \\ & + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(W_t,t)dt \end{split} \end{aligned} \]

وبالمقارنة بين المعادلتين نَستلزم لنمذجة عملية أورنشتاين–أولنبيك أن يكون \(\frac{\partial F}{\partial x}(W_t,t) = \sigma \)، ما يعني أنّ \(F(W_t, t) = \sigma W_t + g(t)\) حيث \(g\) دالةٌ قابلةٌ للاشتقاق. لكن باشتقاق هذه العلاقة بالنسبة إلى \(t\) وإدخالها في المعادلة ينتج الشرط التالي: \[ \begin{aligned} \label{OUabsurde} \frac{dg}{dt}(t) +a g(t) -a b= -a\sigma W_t \end{aligned} \] وهو شرطٌ غيرُ قابلٍ للتحقيق لأن الطرف الأيسر دالةٌ حتمية في \(t\)، بينما الطرف الأيمن دالةٌ عشوائية تعتمد على \(W_t\). وعليه تُظهِر عمليةُ التدفّق بالزمن المستمر قيودًا وتفشل في نمذجة بعض العمليات العشوائية بفاعلية.

في القسم التالي نقترح نموذجًا يُعالِج هذا القيد ويُحقِّق نتائجَ مُحسّنة.

تدفّق التطبيع الديناميكي مع تغيير الزمن

تدفّق التطبيع المُتغيِّر بالزمن

نقترح نمذجةَ عمليةٍ عشوائيةٍ مُلاحَظة، نرمز لها بـ \(X = \{X_t\}_{t\in [0, T]}\)، عبر دمج تدفّق التطبيع مع حركة براونية مُغَيَّرة زمنيًّا لِالتقاط سلوك المتغيّر \(X_t\) استنادًا إلى سلسلةٍ زمنيةٍ مُلاحَظة \(\{(x_{t_i},t_i)\}_{i=1}^n\). نتناول صراحةً الحالة أحاديةَ البعد، مع الإشارة إلى أنّ الإطار يمتدّ بسهولة إلى الحالة متعدّدة الأبعاد حيث يتطلّب كلُّ بُعدٍ تغييرًا زمنيًّا خاصًّا. نقدّم مفهوم «تدفّق التطبيع المُتغيِّر بالزمن» (TCNF) المُعرَّف كما يلي:

\[ \begin{aligned} X_t = f_\theta \left(W_{\phi(t)},\phi(t)\right), \quad \forall t \in [0,T], \end{aligned} \]

حيث \(f_\theta(.,t):\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) تحويلٌ قابلٌ للاشتقاق مُعلَّمٌ بـ \(\theta\)، و\(W_{\phi(t)}\) حركةٌ براونية مع تغييرٍ زمني (revuz2013continuous). ويُعطى التغييرُ الزمني بدالّة \(\phi : \mathbb{R} ^{+} \longrightarrow \mathbb{R} ^{+}\) قابلةٍ للقياس، موجبةٍ ومتزايدةٍ غيرِ ناقصة. تضمن القابليةُ للقياس والإيجابيةُ سلامةَ تعريف \(W_{\phi(t)}\)، بينما يضمن التزايدُ عدمَ سلبية فروق الأوقات ومن ثمّ سلامةَ التباينات. للتغيير الزمني تطبيقاتٌ مهمّة إذ يُنتج عائلةً من العمليات الغاوسية أعمَّ من الحركة البراونية. كما تؤكّد نظريةُ دامبيس–دوبينز–شوارتز (revuz2013continuous) هذه الخاصيّة إذ تنصّ على أنّ كلَّ مارتينجالٍ محليٍّ مُستمر يمكن تمثيلُه كحركةٍ براونية مُغَيَّرةٍ زمنيًّا.

وعليه، بجعل العملية الأساسية في نموذجنا حركةً براونية مُغَيَّرةً زمنيًّا، نلتقط طيفًا واسعًا يشمل جميع المارتينجالات المحلية المُستمرة، ونُعمِّم إعداد CTFP. في الواقع، يمكن كتابة حلّ عملية أورنشتاين–أولنبيك كما يلي: \[ \begin{aligned} Y_t = Y_0e^{-at} + b(1-e^{-at}) + \frac{\sigma e^{-at}}{\sqrt{2a}}W_{e^{2at}-1} \end{aligned} \] وهو تمثيلٌ ملائم يمكن لنموذج TCNF التقاطُه بصورةٍ صحيحة. كما يمكن التعبيرُ عن حالاتٍ أكثر عمومية — مثل العمليات ذات التقلب المعتمد على الزمن — عبر تغييرٍ زمني، وبالتالي يمكن نمذجتُها بواسطة TCNF. وأخيرًا، لأجل \(\phi(t) = t\) نستعيد إعدادَ CTFP، المناسبَ لنمذجة المعادلات التفاضلية العشوائية التي لا تتطلّب تغييرًا زمنيًّا مثل الحركة البراونية الهندسية (oksendal2013stochastic).

دالّةُ تغيير الزمن

للتعامُل مع دالّة تغيير الزمن نستخدم شبكةً عصبيةً أحاديةَ النِّسْب (Monotone) تضمن مُشتقًّا موجبًا، أي إخراجًا أحاديَّ الاتجاه. على وجه التحديد نستخدم بنية (M-MGN) (chaudhari2023learning) المبنيّة على وحدات شبكة عددُها \(K\) ومعرّفة كما يلي: \[ \begin{aligned} \begin{split} \Tilde{t}_k &= W_k\times t + b_k, \\ \text{M-MGN}(t) &= a + V^\top V t + \sum_{k=1}^K s_k(\Tilde{t}_k) \times W_k^\top \sigma_k(\Tilde{t}_k) \end{split} \end{aligned} \]

حيث \(W_k, b_k \in \mathbb{R} ^{l \times 1}\) هما — على التوالي — مُتَّجهَا الوزن والانحياز للطبقة \(k^{\text{th}}\)، و\(\sigma_k:\mathbb{R} ^l \longrightarrow \mathbb{R} ^l\) دالّةُ التنشيط، و\(s_k :\mathbb{R} ^l \longrightarrow \mathbb{R}\) مُكاملُها الأوّلي. كذلك \(a \in \mathbb{R}\) و\(V \in \mathbb{R} ^{l \times 1}\) مُعامِلان إضافيان للشبكة. وبما أنّ خرج (M-MGN) ليس موجبًا بالضرورة، نُطبِّق إزاحةً للخرج لضمان أن يكون التغييرُ الزمني موجبًا.

خوارزميةُ التدريب

الهدف هو تدريب TCNF لتعظيم دالّة الاحتمال اللوغاريتمية لمجموعة البيانات المُلاحَظة \(\{(x_{t_i},t_i)\}_{i=1}^n\): \[ \begin{aligned} \label{eq:LL} L = \log p_{X_{t_1}, ..., X_{t_n}}(x_{t_1}, ..., x_{t_n}) \end{aligned} \] لحساب هذه الكميّة نستخدم صيغةَ تغيير المتغيّر ونستفيد من استقلالية زيادات \(W_{\phi(t_i)} - W_{\phi(t_{i-1})}\). وعليه تُكتَب دالّةُ الاحتمال اللوغاريتمية كما يلي: \[ \begin{aligned} \begin{split} L = \sum_{i=1}^n & \log p_{W_{\phi(t_i)}|W_{\phi(t_{i-1})}}\left(w_{\phi(t_i)}\right) \\ &- \log \left|\det \frac{\partial f_\theta \left(w_{\phi(t_i)},\phi(t_i)\right)}{\partial W_{\phi(t_i)}} \right|, \end{split} \end{aligned} \] حيث \(w_{\phi(t_i)} = f_\theta ^{-1} \left(x_{t_i}; \phi(t_i)\right)\) و\(p_{W_{\phi(t_i)}|W_{\phi(t_{i-1})}}\) يرمز إلى التوزيع الغاوسي الشرطي بمتوسط \(W_{\phi(t_{i-1})}\) وتباين \(\phi(t_i)- \phi(t_{i-1})\). وهذا يُشكِّل فرقًا بارزًا عن دالّة الاحتمال اللوغاريتمية لـ CTFP التي تستخدم تباينًا \(t_i - t_{i-1}\) بدلًا من \(\phi(t_i)- \phi(t_{i-1})\).

التجارب

مجموعاتُ البيانات التجريبية

لتقييم أداء النموذج المقترَح أجرينا تجاربَ على ثلاث مجموعات بياناتٍ تجريبية تتكوّن من سلاسل زمنية أحادية البعد (دون وحدات). جرى توليد هذه المجموعات بأخذ عيناتٍ من ثلاث عملياتٍ عشوائية مختلفة. كما استخدمنا في تجاربنا هيكلًا مماثلًا لهندسة عملية التدفّق بالزمن المستمر (CTFP)، مستفيدين من تحويلاتٍ طبيعيةٍ مستمرة.

تمّ إنشاء المجموعة الأولى (Toy-SDE1) بتقطيع عمليةِ أورنشتاين–أولنبيك، وفق المعادلة: \(dX_t = -\theta(X_t - \mu)dt + \sigma dW_t\)، حيث يمثّل \(\mu\) و\(\sigma\) المُعامِلين الثابتين لمصطلحي الانجراف والتقلب على التوالي، ويُعبِّر \(\theta\) عن سرعة تقارُب مسار العيّنة نحو مستوى الانجراف. وتهدف هذه المجموعة إلى تقييم قدرة النموذج على التقاط ديناميكياتٍ ذات تغيّر زمني.

تمّ إنشاء المجموعة الثانية (Toy-SDE2) استنادًا إلى المعادلة: \(dX_t = -\theta(X_t - \mu)dt + \sigma \sqrt{t}dW_t\)، التي تصف أورنشتاين–أولنبيك بمعاملِ انتشارٍ مُعتمِدٍ على الزمن، وتُستَخدَم لاختبار قدرة النموذج على التقاط تحوّلاتٍ زمنيةٍ أعلى تعقيدًا. وتكتسب هذه الـ SDE أهمّيةً لأنّها شائعةُ الاستعمال في النماذج القائمة على الدرجات (yang2022diffusion)، حيث تُدخَل الضوضاء تدريجيًّا خلال التدريب.

أخيرًا، تشمل المجموعة الثالثة (Toy-SDE3) حركةً براونيةً هندسية، وفق المعادلة: \(dX_t = \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t\)، حيث يمثّل \(\mu\) و\(\sigma\) المُعامِلين الثابتين للانجراف والتقلب على التوالي. وقد صُمِّمت هذه المجموعة لإظهار قدرة CTFP على التعامل مع الـ SDEs التي لا تتطلّب تغييرًا زمنيًّا، وبالتالي تعلُّم الدالة البسيطة \(\phi(t) = t\)، ما يُبيّن أنّ نهجنا يُحيط بإطار CTFP كحالةٍ خاصّة.

أجرينا المقارنةَ الكمية بمقارنة تقديرات المتوسط \(m_{X_t}\)، والانحراف المعياري \(\sigma_{X_t}\)، ومجال الربيعين IQR (\(=Q_{3} - Q_{1}\))، وكذلك الكثافة \(p_{X_t}\). ولكل نموذج نحسب الأخطاءَ المطلقةَ المتوسطة (MAE) مقابل القيم الحقيقية. يُقدَّر المتوسطُ والانحرافُ المعياري والربيعيّات بالاعتماد على 1000 مسار عيّنة عبر 1000 تكرار، بينما تُقدَّر الكثافةُ بصيغة تغيير المتغيّر على شبكةٍ من 1000 نقطةٍ مكانية و500 نقطةٍ زمنية ضمن الفترة \([0, T = 1.5]\). وتُظهِر النتائجُ الكميةُ المُبلَّغ عنها في الجدول [tab:quant_error_toy12] أولًا أنّ CTFP لا يفقد عموميته في الحالات التي لا تتطلّب تغييرًا زمنيًّا، وثانيًا أنّ نموذجنا يُبدي قدرةً تقديريةً متفوّقة إذ يلتقط سلوكَ الحلول الحقيقية المتغيّرة زمنيًّا.

مجموعاتُ البيانات الواقعية

لتقييم قدرة نموذجنا على التقاط ديناميكياتٍ أكثر تعقيدًا، درّبناه على مجموعتَين من البيانات الواقعية: التنبؤُ بالعملات المشفَّرة (Crypto) (g-research-crypto-forecasting) واستهلاكُ الطاقة الكهربائية (ECL) (zhou2021informer). تحتوي مجموعةُ العملات المشفَّرة على أسعارٍ تاريخية لعدّة عُملاتٍ مشفَّرة؛ وركّزنا على نمذجة عوائد لوغاريتم سعر الإيثريوم خِلال عام 2020. أمّا مجموعةُ استهلاك الطاقة الكهربائية فتضمّ بياناتِ استهلاكٍ لعملاء متعدّدين بفواصلَ قدرُها 15 دقيقة؛ واخترنا نمذجةَ استهلاك العميل «200» لطول سلسلته الزمنية.

تتضمّن النتائجُ أخطاءً مطلقةً متوسطة (MAE) لتقدير المتوسط \(m_{X_t}\) والانحراف المعياري \(\sigma_{X_t}\) لمجموعة العملات المشفَّرة، كما استخدمنا أخطاءً نسبيةً متوسطة (MRE) لمجموعة استهلاك الطاقة الكهربائية لِعرض النتائج على نحوٍ مناسب. وقد أُبلِغ عن هذه النتائج في الجدول [tab:real-world] مع مقارنتها بـ CTFP.

الخُلاصة

قدّمنا نهجًا مُعمَّمًا لنمذجة المعادلات التفاضلية العشوائية عبر الشبكات العصبية الديناميكية وتغيير الزمن. فمن خلال تغيير زمن عملية فاينر نحصل على طيفٍ واسع من العمليات الغاوسية، والتي نُسقِطها بعد ذلك على العملية المُلاحَظة بتطبيق تحويلٍ أحادي. ويُمكِّننا تغييرُ الزمن بالاقتران مع الشبكة العصبية الديناميكية من نمذجة عملياتٍ يُعسِر اشتقاقُها ضمن القيود التقليدية للتكامل والاشتقاق. والمهم أنّ هذا التوسيع يحتفظ بمزايا تدفّقات التطبيع الديناميكية، مثل تقدير الكثافة بدقّة وأخذ العينات بكفاءة.

أظهرت التجارب أنّ نموذجنا يُحقّق أداءً أفضل وقدرةً أعلى على التعميم. ونرى أنّ دمج تغييراتٍ زمنيةٍ مُحدَّدةٍ لكل بُعد يُتيح توسيعَ الطريقة إلى أبعادٍ أعلى. بالإضافة إلى ذلك يمكن تحسينُ مُعامِلات تغيير الزمن بربطها إمّا بالتباين التربيعي للعملية أو بلحظاتها.