latex
نَشْتَقّ قانُونِ الانتروبيا-المِساحَةَ لَأُفُق المُسْتَقْبَلِ لَمُراقِب فِي الماسّ داخِلَ الجُزْء الثابِتُ مِن الزمكان دِي سَيَتِر، مَعَ مُراعاةِ رَدٍّ فِعْلٍ الحُقُولِ الكموميه لِلمادَّةِ. نُثْبِت إِيجابِيَّةً وَتَحَدَّبَ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ لِلحالات المُتَماسِكَة بِاِسْتِخْدامِ نَظَرِيَّةَ توميتا-تاكيساكي الموديولار، وَالَّتِي مِنها يَتْبَع QNEC لِلماسّ. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، نُظْهِر أَنَّ الفَرْضِيَّة العامَّةِ للانتروبيا صَحِيحَةٍ. وَأَخِيرا، نَكْشِف أَنَّ دَرَجَةِ الحَرارَةِ المَحَلِّيَّةِ الَّتِي يَقِيسها مُراقِبٍ فِي حالَةِ سُكُونَ تُظْهِر تَصْحِيحات كَمُومِيَة فَرْعِيَّةٍ بِالنِسْبَةِ لِدَرَجَةِ حَرارَةُ الأُفُقِ الكَوْنِيَّة المَعْرُوفَةِ \(H/(2\pi)\).
مُنْذُ اِكْتِشافِ بيكنشتاين وهوكينغ لانتروبيا الثَقْب الأَسْوَدِ (bekenstein1972,hawking1975)، فَإِنَّ العَلاقَةِ بَيِّنَ الانتروبيا وَالهَنْدَسَةِ قَدَّمَت رُؤَى أَساسِيَّةٍ حَوْلَ طَبِيعَةِ الجاذِبِيَّة الكموميه (jacobson2016). عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، فَإِنَّ الاِعْتِباراتُ المُسْتَوْحاة مِن الجاذِبِيَّة الكموميه شَجَّعَت عَلَى دِراسَةٌ الكَمِّيّاتِ المَعْلُوماتِيَّةِ وَمَقايِيس الانتروبيا الجَدِيدَةِ، مِمّا أَدَّى أَحْياناً إِلَى نَتائِجِ مُفاجِئَةٍ فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي (QFT). أَحَدُ الأَمْثِلَة هُوَ تَقْدِيمِ انتروبيا التَشابُكِ، كَمِقْياس لِلتَشابُك بَيِّنَ دَرَجاتٍ الحُرِّيَّةِ الكموميه فِي المَناطِقِ المُنْفَصِلَة مَكانِيّاً، مَدْفُوعاً بِالبَحْث عَن تَفْسِيرٍ دَقِيقٍ لانتروبيا الثَقْب الأَسْوَدِ (bombelli1986,srednicki1993,solodukhin2011). مُنْذُ تَقْدِيمُها فِي سِياقِ ديناميكا الثَقْب الأَسْوَدِ الحَرارِيَّةِ، وَجَدَت انتروبيا التَشابُكِ العَدِيدَ مِن التَطْبِيقات فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي، وَبِشَكْلٍ خاصٍّ فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل التوافقي فِي الأَبْعاد المُنْخَفِضَة؛ أَنْظُر مَثَلاً (holzheylarsenwilczek1994,calabresecardy2004,calabresecardy2009, wall2011,wall2017,casinihuerta2023,buenocasiniandinomoreno2023, bostelmanncadamurodelvecchio2020). وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ انتروبيا التَشابُكِ فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي تُعانِي مِن تَبايُناتٌ فَوْقَ البَنَفْسَجِيَّة عالَمِيَّةٍ؛ فِيزيائِيّا، تُنْشَأ هٰذِهِ التَبايُنات مِن التَشابُكِ لِلأَوْضاعِ ذاتِ الطاقاتِ العالِيَةِ بِشَكْلٍ تَعَسُّفِيٍّ. رِياضِيّاً، تُنْشَأ لِأَنَّ الجَبْر النَمُوذَجِيّ الَّذِي يَصِف المُلاحَظاتِ فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي هِيَ عَوامِلِ فُون نيومان مِن النَوْعِ الثالِثِ الَّتِي لا تَقْبَل أَثَراً، بِحَيْثُ لا يُوجَد مَصْفُوفه كَثافَةُ مُخَفَّضَةٍ (buchholzfredenhagendantoni1987,borchers2000,yngvason2005,witten2018).
مَفْهُومِ الانتروبيا الأَكْثَرَ مُلاءَمَةِ لَجَبَرَ نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي هُوَ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ، المَعْرُوفَةِ أَيْضاً بِاِسْمِ اِنْحِرافٍ كولباك-لايبلر فِي نَظَرِيَّةَ المَعْلُوماتِ. تَقِيس الانتروبيا النِسْبِيَّةِ التَمْيِيزِ بَيِّنَ حالَتَيْنِ. وَهِيَ مَعْرِفَةُ لِأَيّ جَبْر فُون نيومان، وَبِالتالِي فَهِيَ مَفْهُومِ مُحَدَّدٍ بِشَكْلٍ جَيِّدٍ لَعَوامِل النَوْعِ الثالِثِ مِن نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي؛ فِي حالَةِ مِيكانِيكا الكَمِّ، فَإِنَّها تُقَلِّل إِلَى انتروبيا التَشابُكِ مَعَ مُساهَمَةً مخصومه بِالفَراغ. بِاِسْتِخْدامِ نَظَرِيَّةَ توميتا-تاكيساكي لِلتَحْوِيلاتِ الوَحْدَوِيَّة (tomita1967,takesaki1970)، يُمْكِن الحُصُولِ عَلَى الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مِن صِيغَةِ اراكي-اولمان (araki1975,araki1976,uhlmann1977)، بِاِسْتِخْدامِ هاملتوني النِسْبِيّ المعياري.
فِي الإِعْدادُ الأَكْثَرَ عُمُومِيَّةٍ، تُعْتَبَر نَظَرِيَّةَ توميتا-تاكيساكي الوَحْدَوِيَّة جَبْر فُون نيومان \(\mathfrak{A}\) الَّذِي يَعْمَل عَلَى فَضاءِ هيلبرت \(\mathscr{H}\)، وَمُتَّجِه دَوْرِيِّ وَمُنْفَصِل \(\ket{\Omega} \in \mathscr{H}\). تَنُصّ نَظَرِيَّةَ توميتا-تاكيساكي عَلَى أَنَّ هُناكَ مَشْغَل ذاتِيٍّ التَكافُؤ يُسَمَّى هاملتوني المعياري \(\mathcal{H}\)، الَّذِي يُحَدِّد تَحْوِيلا لِلجَبْر عَبْرَ تَدَفُّقِ المعياري \(\sigma_\tau \colon \mathfrak{A} \to \mathe^{\mathi \mathcal{H} \tau} \, \mathfrak{A} \, \mathe^{-\mathi \mathcal{H} \tau}\). تُوَفِّر نَظَرِيَّةَ توميتا-تاكيساكي بِذٰلِكَ مَفْهُوماً طَبِيعِيّاً لَتَطَوُّر الزَمَنِ عَلَى طُولِ المُعَلِّمَةُ المعياريه \(\tau\)، حَيْثُ يَكُون الحالَةِ \(\ket{\Omega}\) حَرارِيَّةٍ (KMS). مِن خِلالَ تَعْمِيمها إِلَى مُتَّجِهِينَ دَوْرِيَّيْنِ وَمُنْفَصِلَيْنِ \(\Omega\) وَ \(\Phi\)، تَعْرِف النَظَرِيَّةِ المعياريه أَيْضاً هاملتوني نِسْبِيٍّ مِعْيارَيَّ \(\mathcal{H}_{\Omega \vert \Phi}\). ثُمَّ تَعْرِف صِيغَةِ اراكي-اولمان الانتروبيا النِسْبِيَّةِ كَما يَلِي: \[\label{eq:araki} \mathcal{S}(\Omega \Vert \Phi) = - \bra{\Omega} \mathcal{H}_{\Omega \vert \Phi} \ket{\Omega} \eqend{.}\]
مُؤَخَّراً، وَجَدَت الانتروبيا النِسْبِيَّةِ تَطْبِيقات فِي سِياقِ الجاذِبِيَّة شِبْهِ الكلاسِيكِيَّةِ، مُعَمَّمه النَتائِجِ المُتَحَصِّلَة بِاِسْتِخْدامِ انتروبيا التَشابُكِ وَمُؤَسَّسَةُ لَها بِشَكْلٍ صارِمٍ فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي. بِالنِسْبَةِ لِلحالات المُتَماسِكَة، الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها كَآثاره وَحْدَوِيّه لِلفَراغ، يُمْكِن حِسابِ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مِن هاملتوني المعياري لِلفَراغ وَحْدَهُ، مِمّا يَبْسُط الحِساباتِ بِشَكْلٍ كَبِيرٍ وَيُسْمَح بِتَقْيِيم أَكْثَرَ مُباشَرَةً للانتروبيا (longo2019,casinigrillopontello2019,hollands2019,galandamuchverch2023). تَمَّ اِسْتِخْدامُها لِصِياغَةِ وَإِثْباتِ حَدٍّ بيكنشتاين (bousso2003,casini2008,idaokamotosaito2013,longoxu2018)، وَمُتَبايِنه الطاقَةِ الكموميه الصِفْرِيَّة (QNEC) (ceyhanfaulkner2018,ciollilongoranalloruzzi2022)، لَاِشْتِقاق صِيغَةِ بيكنشتاين-هوكينغ لشوارتزشيلد (hollands2019)، إِثْباتِ نَظَرِيّاتٍ الفراده (boussoetal2022)، وَلِتَعْرِيف انتروبيا (dangelo2021) وَدَرَجَة حَرارَةُ (kurpiczpinamontiverch2021) لِلثُقُوب السَوْداءِ الدِينامِيكِيَّة. وَأَخِيرا، تَمَّت دِراسَةٌ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بَيِّنَ الحالاتِ المُتَماسِكَة مُؤَخَّراً فِي الزمكان دِي سَيَتِر (dS) مِن قِبَلَ ثَلاثَةِ مِن المُؤَلِّفِينَ (froebmuchpapadopoulos2023).
يَلْعَب الزمكان دِي سَيَتِر أَيْضاً دَوْراً هامّا كَمَجال اِخْتِبارِ لَنَهْج الجاذِبِيَّة الكموميه، وَبِشَكْلٍ خاصٍّ لِ فَرْضِيَّةَ الانتروبيا المُعَمَّمَة. تَعْرِف الانتروبيا المُعَمَّمَة \(\mathcal{S}_\text{gen}\) كَمَجْمُوع انتروبيا المادَّةُ \(\mathcal{S}_\text{M}\) وَالمِساحَة المُعاد تَحْجِيمها \(A_\text{dS}/(4 G_\text{N})\) لَأُفُق دِي سَيَتِر، وَقَد تَمَّ التَكَهُّنُ بِأَنَّ \(\mathcal{S}_\text{gen}\) لا يُمْكِن أَنَّ تُقِلّ عِنْدَ إِضافَةً أَيّ نَوْعٍ مِن المادَّةُ (maeda1997, bousso2000, giddingsmarolf2007,banihashemijacobsonsveskovisser2023,balasubramaniannomuraugajin2023,chandrasekaranlongopeningtonwitten2023). بَيْنَما تَمَّت دِراسَةٌ انتروبيا الأُفُقِ بِشَكْلٍ مُوسِعٌ فِي سِياقِ تَصْوِيرِي (boussoengelhardt2015, nguyen2017,narayan2018,dongsilversteintorroba2018,narayan2019,genggrieningerkarch2019,ariasdiazsundell2020,geng2020,geng2021,arenashenriquezetal2022)، فَإِنَّ الفَرْضِيَّة نَفْسِها لا تُشِير إِلَى التَصْوِيرِ بِأَيّ شَكْلٍ. وَبِالتالِي، يُمْكِن فَهْمُها (وَرُبَّما إِثْباتها) فِي سِياقِ نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي بُحْتَهُ، مَعَ مُراعاةِ رَدٍّ فِعْلٍ المادَّةُ عَلَى الهَنْدَسَةِ. هُنا، نَتَناوَل هٰذِهِ المُشْكِلَةِ فِي سِياقِ النَظَرِيَّةِ الوَحْدَوِيَّة.
عَلَى وَجْهِ التَحْدِيدِ، نَعْتَبِر الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بَيِّنَ الحالاتِ المُتَماسِكَة لِحَقْلٍ قِياسِيٌّ حَقِيقِيٍّ بِدُونِ كُتْلَةِ فِي ماسات دِي سَيَتِر. أَصْبَحَ ذٰلِكَ مُمْكِناً بِفَضْلِ نَتائِجِ المَرْجِعِ (froeb2023)، حَيْثُ تَمَّ اِشْتِقاق الهاملتوني المعياري لِهٰذِهِ المَناطِقِ. نُظْهِر أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مُحَدَّبه إِذا قُمْنا بِتَقْلِيصِ الماسّ فِي الاِتِّجاهِ الصِفْرِيّ، مِمّا يُثْبِت بِالتالِي مُتَبايِنه الطاقَةِ الكموميه الصِفْرِيَّة (QNEC) (boussoetal2016) لِلمَناطِقِ المَحْدُودَةَ فِي الفَضاءِ دِي سَيَتِر.
ثُمَّ نَرْبُط الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بِالمِساحَة الهَنْدَسِيَّةِ لَأُفُق الكَوْنِ. بِهٰذِهِ الطَرِيقَةِ، نَشْتَقّ قانُونِ حِفْظِ للانتروبيا المُعَمَّمَة، بِاِسْتِخْدامِ رَدٍّ فِعْلٍ انتروبيا حُقُولِ المادَّةُ عَلَى الهَنْدَسَةِ الكلاسِيكِيَّةِ. تَصْمُد نَتِيجَتنا للانتروبيا النِسْبِيَّةِ بَيِّنَ الفَراغِ وَاِضْطِراب مُتَماسِك فِي جَبْر فُون نيومان مِن النَوْعِ الثالِثِ، مُقْتَرِنه بِالجاذِبِيَّة الكلاسِيكِيَّةِ مِن خِلالَ مُعادَلات أَيْنشتاين. يُمْكِن رَبْطُ الحِسابِ بِنَتائِجِ حَدِيثَةٍ اِسْتِناداً إِلَى جَبْر فُون نيومان مِن النَوْعِ الثانِي، المُضاف إِلَيهِ جَبْر المُلاحَظاتِ لِلحَقْل القِياسِيَّ مَعَ اِضْطِراباتٍ الجاذِبِيَّة الكلاسِيكِيَّةِ الخَطِيَّة، المُقْتَرِنَة عَبْرَ مُعادَلَةِ رايتشودوري (chandrasekaranlongopeningtonwitten2023).
وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ بِناءنا يَعْتَمِد عَلَى الانتروبيا النِسْبِيَّةِ، وَالَّتِي تَكُون دائِماً مُحَدَّدَةٍ جَيِّداً، بَيْنَما تَتَطَلَّب الطُرُقِ المُعْتَمَدَةِ عَلَى انتروبيات فُون نيومان كَمِّيّاتٍ مُتَبايِنه فِي خَطَواتٍ مُتَوَسِّطَةِ (chandrasekaranpeningtonwitten2022, kudler-flam2023).
أَخِيراً، نُحَدِّد مَفْهُوماً مَحَلِّيّاً لِدَرَجَةِ الحَرارَةِ لِلمُراقِبِينَ الثابِتَيْنِ داخِلَ ماسَّةٍ دِي سَيَتِر. فِي الحَدِّ الَّذِي تُصْبِح فِيهِ أَلْماسات كَبِيرَةٍ وَتَتَطابَق مَعَ القِطْعَةَ الثابِتَةِ بِالكامِلِ، نَسْتَعِيد دَرَجَةِ الحَرارَةِ المَعْرُوفَةِ جَيِّداً لِلأُفُق الكَوْنِيّ (figarietal1975, gibbonshawking1977)، بَيْنَما للماسات ذاتِ الحَجْمِ المَحْدُودِ نَجِد تَصْحِيحات مَكْبُوته آسِيا.
الجُزْء ذُو الصِلَةِ مِن \( dS \) هُوَ التَوَسُّعِ فِي رُقْعَةِ بوانكاريه مَعَ المِتْرِيّ \( g_{\mu\nu} = \mathe^{2 \omega} \eta_{\mu\nu} \) مَعَ عامِلٍ التَطابُقِ \( \omega = - \ln(-H \eta) \)، حَيْثُ \( \eta \in (-\infty,0) \) هُوَ الزَمَنِ التطابقي. وَمَعَ ذٰلِكَ، لَيِسَ كُلِّ هٰذا مُتاحٌ لَمُراقِب واحِدٍ. المِنْطَقَةِ المُقابَلَةِ (لَمُراقِب فِي حالَةِ سُكُونَ عِنْدَ \( r = 0 \)) هِيَ الرُقْعَة الثابِتَةِ مَعَ المِتْرِيّ \[\label{eq:metric-static-coordinates} \total s^2 = - (1 - H^2 R^2) \total T^2 + (1 - H^2 R^2)^{-1} \total R^2 + R^2 \total \Omega^2\] فِي الإِحْداثِيّات الكُرَوِيَّةُ؛ كُلّاً المِنْطَقَتَيْنِ مَعْرُوضَتانِ فِي الشَكْلِ.
أَلْماسات \( dS \) الَّتِي نَنْظُر فِيها، مُرَكَّزَةً عِنْدَ \( (\chi,\vec{0}) \) وَبِحَجْم \( \ell \)، هِيَ المَناطِقِ \[\label{eq:desitter_diamond} \doublecone = \left\{ (\eta,\vec{x})\colon r = \abs{\vec{x}} \in [0, \ell), \eta \in (\chi - \ell + r, \chi + \ell - r) \right\} \eqend{.}\] الهاملتوني الوَحْدَوِيِّ لَحُقُول القِياس التطابقيه \( \Phi \) ذاتِ البُعْدِ \( \Delta \) فِي الفَراغِ التطابقي \( \ket{\Omega} \) يُعْطَى عَبْرَ تَكامُلٍ سَطْحِيٍّ لِلتَوَتُّر الكَمِّيّ \( \hat{T}_{\mu\nu} \) عَلَى سَطْحِ كَوَشْي \( \Sigma \) (froeb2023)، وَالَّذِي نَأْخُذه لِيَكُون السَطْحِ \( \Sigma = \{ \eta = \chi \} \). مِن المُفِيدِ أَداءِ إِعادَةِ تَحْجِيم تَطابُقِي، بِكِتابه \( \Phi(f) = \phi(f_\omega) \) مَعَ دالَّةٍ الاِخْتِبارُ المُعاد تَحْجِيمها تطابقيا \( f_\omega(x) \equiv \mathe^{(4-\Delta) \omega(x)} f(x) \) وَحَقْل القِياس القِياسِيَّ الخالِي مِن الكُتْلَةِ \( \phi \). ثُمَّ يَقْرَأ الهاملتوني الوَحْدَوِيِّ كَما يَلِي (froeb2023) \[\label{eq:modular-hamiltonian} \mathcal{H}_{\chi,\ell} = \int_\Sigma \hat{T}_{\mu\nu}[\phi] \xi^\mu n^\nu \total^3 \Sigma \eqend{,}\] حَيْثُ يَتِمّ تَقْلِيصِ التَوَتُّرِ الكَمِّيّ \( \hat{T}_{\mu\nu}[\phi] \) مَعَ مُتَّجِه القَتْلِ التطابقي \[\label{eq:conformal_killing} \xi^\mu = \frac{\pi}{\ell} \left[ \left( \ell^2 - \tau^2 \right) \delta^\mu_0 + 2 (\tau-\eta) x^\mu - x^2 \delta^\mu_0 \right] \eqend{.}\]
مِن الهاملتوني الوَحْدَوِيِّ يُمْكِننا تَقْدِيمِ صِيغَةِ صَرِيحَةٌ للانتروبيا النِسْبِيَّةِ بَيِّنَ الحالاتِ المُتَماسِكَة فِي ماسات \( dS \). بِالنِسْبَةِ لِلحالات المُتَماسِكَة \( \mathe^{\mathi \Phi(f)} \ket{\Omega} \)، تَتَقَلَّص صِيغَةِ اراكي-اولمان إِلَى (casinigrillopontello2019, longo2019, lashkariliurajagopal2021) \[\label{eq:araki-uhlmann} \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = - \bra{\Omega} \mathe^{\mathi \Phi(f)} \, \mathcal{H}_{\chi,\ell} \, \mathe^{- \mathi \Phi(f)} \ket{\Omega} \eqend{.}\] بِما أَنَّ \( \mathcal{H}_{\chi,\ell} \) رُباعِيٍّ فِي الحُقُولِ، فَإِنَّ إِعادَةِ التَحْجِيم التطابقي المَذْكُورَةِ أَعْلاه وَصِيغَةِ بَيْكِر-كامبل-هاوسدورف (achillesbonfiglioli2012) تُعْطِي
[eq:relative-entropy-modular-hamiltonian] ( ^(f) ) &=
&= - (f_)(x) (f_)(y) ^4 x ^4 y
حَيْثُ \( (\Delta f_\omega)(x) \equiv \int \Delta(x,y) f_\omega(y) \total^4 y \) مَعَ دالَّةٍ المَبادِل \( \Delta(x,y) = - \mathi [ \phi(x), \phi(y) ] \).
بِما أَنَّ الإِثارَةِ المُتَماسِكَة لِلفَراغ يُمْكِن تَفْسِيرُها أَيْضاً كَمُوَجَّه كلاسِيكِيَّةِ، فَلَيِسَ مِن المُسْتَغْرَب أَنَّنا نَسْتَطِيع إِعادَةِ صِياغَةِ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ كَتَكامُل عَلَى التَوَتُّرِ الكلاسِيكِيِّ المُقابِلِ. وَبِالتالِي، لَدَينا \[\iint\! \frac{\delta^2 \hat{T}_{\mu\nu}}{\delta \phi(x) \delta \phi(y)} (\Delta f_\omega)(x) (\Delta f_\omega)(y) \total^4 x \total^4 y = 2 T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\] مَعَ التَوَتُّرِ الكلاسِيكِيِّ (المُحْسِن) (froeb2023) \[\label{eq:SET-coherent} T_{\mu\nu}(f) = \frac{2}{3} \partial_\mu f \partial_\nu f - \frac{1}{3} f \partial_\mu \partial_\nu f - \frac{1}{6} \eta_{\mu\nu} \partial_\rho f \partial^\rho f \eqend{,}\] وَبِالتالِي \[\label{eq:relative-entropy-stress} \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = \int_\Sigma T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega) \xi^\mu n^\nu \total^3 \Sigma \eqend{.}\] مَعَ سَطْحِ كَوَشْي \( \Sigma = \{ \eta = \chi \} \)، بِاِسْتِخْدامِ حَقِيقَةِ أَنَّ \( \Delta \) يُلَبِّي مُعادَلَةِ كلاين-غوردون، بِاِسْتِخْدامِ النَتِيجَةُ وَتَكامُل المُشْتَقّاتِ الفَضائِيَّةِ بِالأَجْزاء، نَجِد أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مُعْطاة بِالتَعْبِيرِ النسبيا البَسِيطِ \[\label{eq:entropy-diamond} \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = \frac{\pi}{2 \ell} \int_{\eta = \chi} \Big[ \left( \ell^2 - \vec{x}^2 \right) ( \partial_\eta (\Delta f_\omega) \partial_\eta (\Delta f_\omega) + \partial_i (\Delta f_\omega) \partial^i (\Delta f_\omega) ) + 2 (\Delta f_\omega)^2 \Big] \total^3 \vec{x} \eqend{.}\] هٰذا التَعْبِيرِ للانتروبيا النِسْبِيَّةِ إِيجابِيٍّ بِشَكْلٍ واضِحٍ، كَما هُوَ مَطْلُوبٌ مِن الاِعْتِباراتُ العامَّةِ (hollandssanders2017).
بِخِلافِ الإِيجابِيَّةِ، فَإِنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ الَّتِي يُعْطِيها مُعادَلَةِ اراكي-اولمان تُلَبِّي العَدِيدَ مِن الخَصائِص المُهِمَّةِ الأُخْرَى مِثْلَ الاِحْتِفاظِ بِالتَرْتِيبِ تَحْتَ الخَرائِطَ المُوجِبَةِ التامَّةِ والتحدب المُشْتَرَكِ فِي كُلّاً الحُجَّتَيْنِ (hollandssanders2017). كَما أَنَّها تُوَفِّر أَساساً لِصِياغَةِ وَإِثْباتِ مُتَّسِق لَمُتَبايِنات الانتروبيا فِي نَظَرِيَّةَ الحَقْل الكمومي. عَلَى وَجْهِ الخُصُوصِ، مِن المَعْرُوفُ أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بَيِّنَ الحالاتِ المُتَماسِكَة مُحَدَّبه تَحْتَ الشموليات النِصْفِيَّةُ المعياريه، وَهِيَ شَرْطَ كافٍ لِإِثْباتِ QNEC عَلَى أَيّ آسِفَيْنِ نِصْفِ مُتَغَيِّر فِي الزمكان الكُلِّيِّ الفائِق (ciollilongoranalloruzzi2022).
هُنا، نُثْبِت أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مُحَدَّبه أَيْضاً تَحْتَ الشموليات لماسات dS، مِن خِلالَ حِسابِ صَرِيحٍ. فِي هٰذا السِياقِ، تَتَحَقَّق الشموليات النِصْفِيَّةُ المعياريه هَنْدَسِيّا عَن طَرِيقِ تَقْلِيصِ أَلْماسات نَحْوَ المُسْتَقْبَلِ، مَعَ الحِفاظِ عَلَى طَرَفٍ المُسْتَقْبَلِ ثابِتاً. لِلتَوْضِيح، ضع فِي اِعْتِباركَ ماسَّةٍ بِحَجْمِ \(\ell_0\) مَعَ مَرْكَزِ عِنْدَ \((\chi_0,\vec{0})\)، وَماسّه بِحَجْمِ \(\ell < \ell_0\) مَعَ مَرْكَزِ عِنْدَ \((\chi_0 + \ell_0 - \ell,\vec{0})\). تَدَفُّقِ المعياري للهاملتوني المعياري لِلماسَّة الأَكْبَرُ يُلَبِّي العَلاقَةِ التالِيَةِ: \[\mathe^{\mathi \tau \mathcal{H}_{\chi,\ell_0}} \, \mathfrak{A}_\text{sub} \, \mathe^{- \mathi \tau \mathcal{H}_{\chi,\ell_0}} \subset \mathfrak{A}_\text{sub} \eqend{,} \quad \tau \geq 0 \eqend{,}\] حَيْثُ \(\mathfrak{A}_\text{sub}\) هُوَ الجَبْر الفَرْعِيِّ لِلحُقُول ذاتِ الدَعْمِ داخِلَ الماسَّةِ الأَصْغَرِ. هٰذا هُوَ بِالضَبْطِ الشَرْطُ لَشُمُولِيَّة نِصْفِيّه مِعْيارَيْهِ (borchers2000,ciollilongoranalloruzzi2022).
لِإِظْهارِ أَنَّ الانتروبيا مُحَدَّبه تَحْتَ هٰذِهِ الشموليات، نَأْخُذ سَطْحِ كَوَشْي عِنْدَ \(\eta = \chi = \chi_0 + \ell_0 - \ell\)، وَنَفْتَرِض أَنَّ \(\Delta f_\omega\) لَهُ دَعْمِ مَضْغُوط عَلَى هٰذا السَطْحِ الكوشي. ثُمَّ تُعْطِي الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بِواسِطَةِ Eq. مَعَ \(\chi = \chi_0 + \ell_0 - \ell\)، وَيُنْتَج عَن حِسابِ قَصِيرٍ العَلاقَةِ التالِيَةِ: \[\partial_\ell^2 \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = - \frac{2}{\ell} \partial_\ell \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) \eqend{.}\] هٰذِهِ التَعْبِيرِ يُمْكِن دَمْجه بِسُهُولَةٍ، مِمّا يُؤَدِّي إِلَى: \[\mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = \frac{\mathcal{S}_1}{\ell} + \mathcal{S}_2\] مَعَ تعبيرين \(\mathcal{S}_i\) مُسْتَقِلِّينَ عَن \(\ell\).1
بِما أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ إِيجابِيَّةً لِأَيّ \(\ell\)، يَجِب أَنَّ يَكُون كُلّاً مِن \(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2 > 0\). وَمِن ثُمَّ يَتْبَع ذٰلِكَ: \[\label{eq:entropy-convexity} \partial_\ell^2 \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) \geq 0 \eqend{,}\] مِمّا يُثْبِت التحدب للانتروبيا النِسْبِيَّةِ لماسات dS. نَظَراً لِأَنَّ التَحْوِيلِ الهَنْدَسِيِّ هُوَ تَقْلِيصِ لَماسّه dS فِي الاِتِّجاهِ العَدَمِيّ، فَإِنَّ الصِيغَةِ كافِيَةٍ لِإِثْباتِ QNEC (ciollilongoranalloruzzi2022) لِهٰذِهِ المَناطِقِ.
لَقَد كانَ مَعْرُوفاً مُنْذُ وَقْتٍ طَوِيلٍ أَنَّهُ مِن المُمْكِنِ رَبْطُ الانتروبيا بِالآفاق الكَوْنِيَّة (gibbonshawking1977)، بِشَكْلٍ مُماثِلٍ لانتروبيا بيكنشتاين-هوكينغ لِلثُقُوب السَوْداءِ (hawking1975). نُوَضِّح الآنَ أَنَّ تَأْثِيرِ تَشْوِيش المادَّةُ عَلَى الهَنْدَسَةِ الكلاسِيكِيَّةِ يُؤَدِّي إِلَى تَغْيِيرٍ فِي مِساحَةِ الأُفُقِ الكَوْنِيّ بِما يَتَوافَق مَعَ تَخْمَيْنِ الانتروبيا المُعَمَّمَ لِلفَضاءِ الدِينامِيكِيّ.
بِشَكْلٍ مُماثِلٍ لِلحِسابات لِلثُقُوب السَوْداءِ الثابِتَةِ (hollands2019) وَالثُقُوب السَوْداءِ الدِينامِيكِيَّة (dangelo2021)، نَسْتَخْدِم مُعادَلَةِ رايتشودوري لِرَبْطِ تَأْثِيرِ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ بِتَغَيُّرِ مِساحَةِ الأُفُقِ. نَظَراً لِلماسَّة المُرَكَّزَةِ عِنْدَ \(\chi = - \ell\)، وَنَقْدَم الإِحْداثِيّات العَدَمِيَّة \(u = \eta-r\)، \(v = \eta+r\). تُصْبِح المُعادَلَةَ: \[\total s^2 = \frac{4}{H^2 (u+v)^2} \left[ - \total u \total v + \frac{(v-u)^2}{4} \total \Omega^2 \right] \eqend{,}\] وَالأُفُق الكَوْنِيّ المُسْتَقْبَلِيِّ هُوَ السَطْحِ \(v = 0\)، \(u \in [-2\ell,0]\). يُوصَف الأُفُقِ بِالإِحْداثِيّات الذاتِيَّةِ \(u,\theta,\phi\)، وَالمُتَّجِه العادِيُّ \(n_\mu = \partial_\mu v = \delta_\mu^v\)، أَو \(n^\mu = - 2 \delta^\mu_u\). بُعْدَ إِعادَةِ تَحْجِيم متوافق، تُصْبِح المِقْياسُ المَقْطَعِيّ المستحث لِلأُفُق هُوَ مِقْياسِ الكُرَةِ الوَحْدَوِيَّة ذاتِ البُعْدَيْنِ مَعَ قِياسُ التَكامُلِ \(\total \Omega = \sin \theta \total \theta \total \phi\)، وَالمُتَّجِه القَتْلِ المتوافق (eq:conformal_killing) الَّذِي يَحُثّ التَدَفُّقِ الوَحْدَوِيِّ يَقْرَأ: \[\xi^\mu \partial_\mu = - \frac{\pi}{\ell} \big[ u (u+2\ell) \partial_u + v (v+2\ell) \partial_v \big] \eqend{.}\]
بِما أَنَّ صِيغَةِ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ مُسْتَقِلَّةٍ عَن اِخْتِيارِ السَطْحِ الكوشي \(\Sigma\) الَّذِي يَتِمّ عَلَيهِ حِسابِ التَكامُلِ السَطْحِيّ (froeb2023)، يُمْكِننا النَظَرِ فِي الحَدِّ الَّذِي يَتَطابَق فِيهِ \(\Sigma\) مَعَ الأُفُقِ الكَوْنِيّ. المُعادَلَةَ (eq:relative-entropy-stress) للانتروبيا النِسْبِيَّةِ، المُقِيمَةِ عَلَى الأُفُقِ، تَبْسُط إِلَى: \[\label{eq:relative-entropy-stress-horizon} \mathcal{S}\left( \Omega \Vert \mathe^{\mathi \Phi(f)} \Omega \right) = - \frac{2 \pi}{\ell} \int_{-2\ell}0 \int T_{uu} \big\rvert_{v = 0} u (u+2\ell) \total \Omega \total u \eqend{.}\]
لِتَحْدِيدِ تُغَيِّر مِساحَةِ الأُفُقِ إِلَى الرُتْبَة الأُولَى فِي التَشْوِيشات، نَحْسِب تَأْثِيرِ المادَّةُ عَلَى الهَنْدَسَةِ بِشَكْلٍ مُماثِلٍ لِحالَةِ الثُقُوب السَوْداءِ (hollandsishibashi2019). التَصْحِيحِ الرَئِيسِيُّ لِلمِقْياس تَحْتَ تَأْثِيرِ موتر الإِجْهاد \(T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\) (eq:SET-coherent) هُوَ تَرْبِيعَيَّ فِي \(f_\omega\). وَبِالتالِي، التَصْحِيحِ الرَئِيسِيُّ لِمُعادَلَةِ رايتشودوري، فِي الإِحْداثِيّات العَدَمِيَّة، يُحَدِّد التَأْثِيرِ عَلَى الهَنْدَسَةِ الأَساسِيَّةِ، \[\left. \frac{\total \delta \Theta}{\total u} \right\rvert_{v = 0} = - 32 \pi G_\text{N} T_{uu} \eqend{,}\] حَيْثُ \(\delta \Theta\) يَدُلّ عَلَى تَوَسُّع الجيوديسيه لِلأُفُق الكَوْنِيّ بِسَبَبِ التَشْوِيشُ المُتَماسِك. كُلّاً مِن موترات القَصّ وَالدَوّامَة، بِالإِضافَةِ إِلَى المسا CONTRIBUTION
أَخِيراً، تُوَفِّر العَلاقَةِ الدِينامِيكِيَّة الحَرارِيَّةِ بَيِّنَ الانتروبيا وَالطاقَةِ مَفْهُوماً لِدَرَجَةِ الحَرارَةِ المَحَلِّيَّةِ. فَلِنَأْخُذ بِعَيْنِ الاِعْتِبارِ مُراقِباً بِزَمَنِ مَلائِمِ \(t\) وَسُرْعَةٍ رُباعِيَّةٍ \(v^\mu = - g^{\mu\nu} \partial_\nu t\) داخِلَ ماسَّةٍ، يُعَبِّر سَطْحِ كَوَشْي \(\Sigma\) بِشَكْلٍ طَبِيعِيٍّ بِحَيْثُ يَكُون \(v_\mu \big\rvert_\Sigma = n_\mu\) مَعَ المُتَّجِه العادِيُّ \(n_\mu\). يُعْطَى الانتروبيا النِسْبِيَّةِ الَّتِي يَقِيسها هٰذا المُراقِبُ بِواسِطَةِ المُعادَلَةَ ، وَكَثافَة الانتروبيا \(s\) بِواسِطَةِ المُتَكامِل فِي هٰذِهِ الصِيغَةِ. مِن ناحِيَةٍ أُخْرَى، يَقِيس المُراقِبُ كَثافَةُ الطاقَةِ \(e \equiv v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\)، وَتُؤَدِّي القاعِدَةِ الأُولَى للديناميكا الحَرارِيَّةِ إِلَى دَرَجَةِ حَرارَةُ مَحَلِّيَّةٍ: \(\delta s = \beta \delta e\). بِمُقارَنَة التعبيرين لِ \(s\) وَ \(e\)، نَجِد أَنَّ \(\beta = \partial t/\partial (-\tau)\) حَيْثُ \(\tau\) هُوَ مَعامِلِ التَدَفُّقِ النَمُوذَجِيّ الَّذِي يُوَلِّده الهاملتوني النَمُوذَجِيّ ، أَيّ \(\xi^\mu \partial_\mu = \partial_\tau\) مَعَ المُتَّجِه القاتِلِ التوافقي \(\xi^\mu\) . هٰذِهِ، فِي الواقِعِ، هِيَ دَرَجَةِ الحَرارَةِ الناتِجَةِ عَن فَرْضِيَّةَ الزَمَنِ الحَرارِيِّ (connesrovelli1994, martinettirovelli2003, longomartinettirehren2010).
لِلحُصُولِ عَلَى تَعْبِيرِ صَرِيحٍ لِدَرَجَةِ الحَرارَةِ (المَعْكُوسَة) \(\beta\)، نَنْتَقِل إِلَى الإِحْداثِيّات الثابِتَةِ. فِي تِلْكَ، تَقْرَأ ماسات الشَكْلِ [fig:diamonds-area] \[\doublecone = \left\{ (T,\vec{X})\colon H R < 1, H T > - \ln\left( 2 H \ell \sqrt{\frac{1 - H R}{1 + H R}} \right) \right\}\] حَيْثُ \(R = \abs{\vec{X}}\). يَمُرّ مُراقِبٍ فِي حالَةِ سُكُونَ عَبْرَ النُقْطَةِ \((T,\vec{0})\) فِي \(\tau = 0\) يَتْبَع المَسارُ \((T,\vec{X})(\tau) = (T_\tau,\vec{0})\) مَعَ (froeb2023) \[\label{eq:desitter_doublecone_flow_coords_static} T_\tau = T_\text{min} + \frac{1}{H} \ln\left[ 1 + \mathe^{- 2 \pi \tau} \left( 2 \mathe^{H T} H \ell - 1 \right) \right] \eqend{.}\] بِما أَنَّ \[\lim_{\tau \to \infty} T_\tau = T_\text{min} \equiv - \frac{1}{H} \ln(2 H \ell)\] هُوَ الزَمَنِ الثابِتُ لِلطَرَفِ السُفْلِيِّ لِلماسَّة، وَ\(\lim_{\tau \to -\infty} T_\tau = \infty\) هُوَ الزَمَنِ لِلطَرَفِ العَلَوِيّ، يُعَبِّر المُراقِبُ الماسَّةِ بِأَكْمَلِها.
بِحِساب \(\beta = \partial T_\tau/\partial (-\tau)\)، نَحْصُل عَلَى \[\beta = \frac{2 \pi}{H} \frac{2 \mathe^{H T} H \ell - 1}{2 \mathe^{H T} H \ell - 1 + \mathe^{2 \pi \tau}} = \frac{2 \pi}{H} \left[ 1 - \mathe^{- H ( T_\tau - T_\text{min} )} \right] \eqend{.}\] يَسْتَعِيد الحَدِّ الأَوَّلِ دَرَجَةِ الحَرارَةِ المَعْرُوفَةِ المُرْتَبِطَةِ بِالأُفُق الكَوْنِيّ (gibbonshawking1977)، وَلٰكِن الحَدِّ الثانِي هُوَ تَصْحِيحِ فَرْعِيٍّ، يَتَلاشَى بِالفِعْلِ بِسُرْعَةٍ مَعَ الزَمَنِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، فِي الحَدِّ \(\ell \to \infty\) حَيْثُ تُصْبِح الماسَّةِ كَبِيرَةٍ وَتَتَطابَق مَعَ القِطْعَةَ الثابِتَةِ بِالكامِلِ، لَدَينا \(T_\text{min} \to -\infty\) وَنَسْتَعِيد \(\beta \to 2 \pi/H\) لِجَمِيعِ الأَوْقات.
لَقَد حَدَّدْنا الانتروبيا النِسْبِيَّةِ (اراكي-اولمان) لِلإِثارات المُتَماسِكَة لِلفَراغ داخِلَ أَلْماسات دِي سَيَتِر. أَظْهَرَنا أَنَّ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ تَكُون مُحَدَّبه عِنْدَ تَقْلِيصِ الأَلْماس فِي اِتِّجاهِ الفَراغِ، مِمّا يُثْبِت (QNEC) لِلأَلْماسات فِي دِي سَيَتِر (boussoetal2016). ثُمَّ نَظَرِنا فِي رَدٍّ فِعْلٍ الإِثارَةِ المُتَماسِكَة عَلَى الهَنْدَسَةِ مِن خِلالَ مُعادَلَةِ رايتشودوري، وَأَثْبَتنا أَنَّ التَغَيُّرِ فِي مِساحَةِ الأُفُقِ المُسْتَقْبَلِيِّ يُعَوِّض بِالضَبْطِ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ، بِحَيْثُ تَظَلّ الانتروبيا العامَّةِ ثابِتَةٍ. أَخِيراً، أَظْهَرَنا أَنَّ مُراقِباً داخِلَ أَلْماسٍ يَقِيس دَرَجَةِ حَرارَةُ مَحَلِّيَّةٍ مُخْتَلِفَةٍ عَن دَرَجَةِ حَرارَةُ دِي سَيَتِر \(H/(2\pi)\)، وَلٰكِن التَصْحِيحات تَتَلاشَى بِسُرْعَةٍ أُسَّيْهِ.
المَنْظُورِ المُفْتَرَضِ فِي هٰذا العَمَلِ يُوَفِّر إِطارا لِمَشاكِلِ رَدٍّ الفِعْلِ الأَكْثَرَ عُمُومِيَّةٍ، وَالَّتِي يُمْكِن اِسْتِكْشافها فِي الأَعْمالِ المُسْتَقْبَلِيَّةِ. عَلَى وَجْهِ الخُصُوصِ، مِن المُهِمِّ دِراسَةٌ الانتروبيا النِسْبِيَّةِ لِلاِضْطِراباتِ الكموميه الجاذِبِيَّة، وَالاِضْطِرابات المستحثه لِلأُفُق الكَوْنِيّ. يَجِب أَنَّ تُؤَدِّي إِدْراجِ هٰذِهِ التَصْحِيحات إِلَى تَقْلِيلِ مِساحَةِ الأُفُقِ، مِمّا يُؤَكِّد بِذٰلِكَ فَرْضِيَّةَ الانتروبيا العامَّةِ. لِمُعالَجَةِ مَسْأَلَةِ التَغايُر القِياسِيَّ، سَيَكُون مِن الضَرُورِيِّ اِسْتِخْدامِ المُراقَبات العلاقيه (dittrich2006, gieselthiemann2015, brunfredhackpinrej2016, froeblima2023).
نَحْنُ ممتنون لَنِيكُولا بينامونتي وَرايْنِر فَيَرُشّ لَمُناقَشاتهم المُفِيدَةَ. يَشْكُر إِم.بِي.إِف. جامِعَةِ جَنَوْهُ، وَيَشْكُر إِي.دِي.، إِس.جِي.، وَبِيَ.إِم. دانييلا كادامورو وَ ITP لايبزيغ عَلَى كَرَم الضِيافَةِ. يُدَعِّم إِم.بِي.إِف. مِن قِبَلَ الجَمْعِيَّةِ الأَلْمانِيَّةِ لِلبَحْثِ العِلْمِيِّ (DFG، الجَمْعِيَّةِ الأَلْمانِيَّةِ لِلبَحْثِ العِلْمِيِّ) — رَقْمِ المَشْرُوعِ 396692871 ضِمْنَ مِنْحَةً أَيْمِي نَوثُر CA1850/1-1. يُدَعِّم إِي.دِي. بِمَنْحه دُكْتُوراهُ مِن جامِعَةِ جَنَوْهُ وَبِمَشْرُوع GNFM-INdAM Progetto Giovani نَماذِجَ سَيَغُمّا غَيْرِ الخَطِيَّة وَمُعادَلَة وَيَتَرَيَّش اللورنتزيه، CUP_E53C22001930001. يَشْكُر إِي.دِي.، إِس.جِي.، وَبِيَ.إِم. عَلَى دَعْمِ المَجْمُوعَةِ الوَطَنِيَّةِ لِلفِيزياء الرِياضِيَّةِ (GNFM-INdAM). دَعَّمَت الأَبْحاثِ الَّتِي أَجْراها إِي.دِي. وَأُسّ.جِي. جُزْئِيّاً مِن قِبَلَ مَشْرُوعِ قِسْمِ التَمَيُّز MIUR لِلفَتْرَةِ 2023-2027 المَمْنُوح لِقِسْمٍ الرِياضِيّات بِجامِعَةِ جَنَوْهُ، CUP_D33C23001110001.
هٰذا الشَكْلِ يَتْبَع أَيْضاً مِن التَعْبِيرِ الصَرِيحِ لِعَمَلِ المَعامِلُ المعياري \(\mathcal{H}_{\chi,\ell}\) فِي الإِحْداثِيّات الثابِتَةِ .↩