```latex
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[arabic]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, margin=1in}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{setspace}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{physics}
\usepackage{bm}
\usepackage{color}
\usepackage{footnote}
\usepackage{graphicx}

\setlength{\parskip}{1.2em}
\setlength{\parindent}{0pt}
\onehalfspacing

\title{قانون الإنتروبية–المساحة ودرجة حرارة أُفُق دي سيتر من النظرية المعياريّة}
\author{Edoardo D’Angelo, Markus B. Fröb, Stefano Galanda, Paolo Meda,\\ Albert Much, Kyriakos Papadopoulos}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{ملخص}
نشتقُّ قانون الإنتروبية–المساحة لأُفُق المستقبل لمراقب داخل أَلماسةٍ في الرقعة الثابتة من زمكان دي سيتر، مع مراعاة ردِّ فعل الحقول الكموميّة للمادّة. نُثبت إيجابيّة وتحدُّب الإنتروبية النسبيّة للحالات المتماسكة باستخدام نظرية توميتا–تاكيساكي المعياريّة، ويترتّب على ذلك تحقق QNEC للأَلماسات. علاوةً على ذلك، نُظهر صحّة فرضية الإنتروبية المُعَمَّمة. وأخيرًا، نكشف أنّ درجة الحرارة المحليّة التي يقيسها مراقب ساكن تُظهِر تصحيحاتٍ كموميّة دونيّة بالنسبة لدرجة حرارة الأُفُق الكوني المعروفة \(H/(2\pi)\).

\section*{مقدمة}
منذ اكتشاف بيكنشتاين وهوكينغ لإنتروبية الثقب الأسود (bekenstein1972,hawking1975)، قدّمت العلاقة بين الإنتروبية والهندسة رؤى أساسية حول طبيعة الجاذبية الكموميّة (jacobson2016). كما أنَّ الاعتبارات المستوحاة من الجاذبية الكموميّة شجّعت على دراسة كمّيات معلوماتيّة ومقاييس إنتروبية جديدة، قادت أحيانًا إلى نتائج مفاجئة في نظرية الحقل الكمومي (QFT). من الأمثلة إدخال إنتروبية التشابك بوصفها مقياسًا للتشابك بين درجات الحرية الكموميّة في مناطق متباعدة مكانيًّا، بدافع البحث عن تفسيرٍ دقيق لإنتروبية الثقب الأسود (bombelli1986,srednicki1993,solodukhin2011). ومنذ تقديمها في سياق ديناميكا الثقب الأسود الحرارية، وجدت إنتروبية التشابك تطبيقاتٍ عديدة في نظرية الحقل الكمومي، وبوجه خاص في نظريات الحقل التوافقية في الأبعاد المنخفضة؛ انظر مثلاً (holzheylarsenwilczek1994,calabresecardy2004,calabresecardy2009, wall2011,wall2017,casinihuerta2023,buenocasiniandinomoreno2023, bostelmanncadamurodelvecchio2020). ومع ذلك، تعاني إنتروبية التشابك في نظرية الحقل الكمومي من تبايناتٍ فوق بنفسجية عامّة؛ فيزيائيًّا تنشأ هذه التباينات من تشابك الأنماط ذات الطاقات العالية على نحوٍ اعتباطي. ورياضياً، مردّها إلى أن جبر الملاحظات النموذجي في نظرية الحقل الكمومي هو من عوامل فون نيومان من النمط الثالث التي لا تقبل أثرًا، بحيث لا توجد مصفوفة كثافة مُخفَّضة (buchholzfredenhagendantoni1987,borchers2000,yngvason2005,witten2018).

المفهوم الأنسب للإنتروبية في أجبُر نظرية الحقل الكمومي هو \emph{الإنتروبية النسبيّة}، المعروفة أيضًا باسم \emph{انحراف كولباك–لايبلر} في نظرية المعلومات، إذ تقيس التمييز بين حالتين. وهي مُعرَّفة لأي جبر فون نيومان، ومن ثَمَّ فهي مفهوم مُحكَم التعريف لعوامل النمط الثالث في نظرية الحقل الكمومي؛ وفي حالة ميكانيكا الكم، تختزل إلى إنتروبية التشابك مع طرح مساهمة الفراغ. باستخدام نظرية توميتا–تاكيساكي للتدفقات المعياريّة (tomita1967,takesaki1970)، يمكن التعبير عن الإنتروبية النسبيّة بصيغة أراكي–أولمان (araki1975,araki1976,uhlmann1977) بواسطة \emph{الهاملتوني النسبي المعياري}.

في الإعداد الأكثر عموميّة، تنظر النظرية المعياريّة في جبر فون نيومان \(\mathfrak{A}\) يعمل على فضاء هيلبرت \(\mathscr{H}\)، ومتجهٍ دوريٍّ وفاصل \(\ket{\Omega} \in \mathscr{H}\). وتنصُّ \emph{نظرية توميتا–تاكيساكي} على وجود مُؤثّر ذاتيّ التوافق يسمّى \emph{الهاملتوني المعياري} \(\mathcal{H}\)، يُحدِّد تحويلًا على الجبر عبر \emph{التدفق المعياري} \(\sigma_\tau \colon \mathfrak{A} \to e^{i \mathcal{H} \tau} \, \mathfrak{A} \, e^{-i \mathcal{H} \tau}\). تُوفِّر هذه النظرية مفهومًا طبيعيًّا لتطوّر الزمن على طول المعلمة المعياريّة \(\tau\)، حيث تكون الحالة \(\ket{\Omega}\) حالة KMS حرارية. وبتعميم ذلك إلى متجهين دوريّين وفاصلين \(\Omega\) و\(\Phi\)، تُعرِّف النظرية المعياريّة أيضًا هاملتونيًّا نسبيًّا معياريًّا \(\mathcal{H}_{\Omega \vert \Phi}\). وتُعرَّف عندئذٍ صيغة أراكي–أولمان للإنتروبية النسبيّة كما يلي:
\begin{equation}\label{eq:araki}
\mathcal{S}(\Omega \Vert \Phi) = - \bra{\Omega} \mathcal{H}_{\Omega \vert \Phi} \ket{\Omega} \,.
\end{equation}

مؤخّرًا، وجدت الإنتروبية النسبيّة تطبيقاتٍ في سياق الجاذبية شبه الكلاسيكية، فعمَّمت نتائج حُصِلَ عليها باستخدام إنتروبية التشابك ولكن على أسسٍ صارمة في نظرية الحقل الكمومي. ففي الحالات المتماسكة، المُتحصَّلة بوصفها إثاراتٍ وحيدية للفراغ، يمكن حساب الإنتروبية النسبيّة من \emph{الهاملتوني المعياري} للفراغ وحده، ما يُبسِّط الحسابات كثيرًا ويُتيح تقييمًا مباشرًا للإنتروبية (longo2019,casinigrillopontello2019,hollands2019,galandamuchverch2023). واستُخدِمت لصياغة وإثبات حدّ بيكنشتاين (bousso2003,casini2008,idaokamotosaito2013,longoxu2018)، ومتباينة الطاقة الكموميّة الصفريّة (QNEC) (ceyhanfaulkner2018,ciollilongoranalloruzzi2022)، واشتقاق صيغة بيكنشتاين–هوكينغ لمترية شوارتزشيلد (hollands2019)، وإثبات نظريات الفَرَادة (boussoetal2022)، ولتعريف إنتروبية (dangelo2021) ودرجة حرارة (kurpiczpinamontiverch2021) لثقوب سوداء ديناميكية. وأخيرًا، دُرِست الإنتروبية النسبيّة بين الحالات المتماسكة حديثًا في زمكان دي سيتر (dS) بواسطة ثلاثةٍ من المؤلفين (froebmuchpapadopoulos2023).

يلعب زمكان دي سيتر أيضًا دورًا مهمًّا كميدان اختبار لمقاربات الجاذبية الكموميّة، وبخاصةٍ لـ \emph{فرضية الإنتروبية المُعَمَّمة}. تُعرَّف الإنتروبية المُعَمَّمة \(\mathcal{S}_\text{gen}\) على أنها مجموع إنتروبية المادّة \(\mathcal{S}_\text{M}\) والمساحة المُقاسة بوحدة \(A_\text{dS}/(4 G_\text{N})\) لأفق دي سيتر، ويُتَكهَّن بأن \(\mathcal{S}_\text{gen}\) لا يمكن أن تنقص عند إضافة أي نوع من المادّة (maeda1997, bousso2000, giddingsmarolf2007,banihashemijacobsonsveskovisser2023,balasubramaniannomuraugajin2023,chandrasekaranlongopeningtonwitten2023). وبينما دُرِست إنتروبية الأفق على نطاقٍ واسع في سياق الهولوغرافيا (boussoengelhardt2015, nguyen2017,narayan2018,dongsilversteintorroba2018,narayan2019,genggrieningerkarch2019,ariasdiazsundell2020,geng2020,geng2021,arenashenriquezetal2022)، فإن الفرضية ذاتها لا تفترض الهولوغرافيا بحدّ ذاتها. ولذلك يمكن فهمها (وربما إثباتها) في إطار نظرية الحقل الكمومي وحدها، مع أخذ ردّ فعل المادّة على الهندسة بالحسبان. هنا نتناول هذه المسألة في سياق النظرية المعياريّة.

على وجه الخصوص، نعتبر الإنتروبية النسبيّة بين حالاتٍ متماسكة لحقلٍ سلميّ حقيقيّ عديم الكتلة ومُقترَنٍ توافقياً في أَلماسات دي سيتر. وقد غدا ذلك ممكنًا بفضل نتائج المرجع (froeb2023) حيث اشتُقَّ الهاملتوني المعياري لهذه المناطق. نُظهر أن الإنتروبية النسبيّة مُحدَّبة إذا قُلِّصت الأَلماسة في الاتجاه العدَمي، وبذلك نُثبت \emph{متباينة الطاقة الكموميّة الصفريّة} (QNEC) (boussoetal2016) للمناطق \emph{المحدودة} في فضاء دي سيتر.

بعد ذلك نربط الإنتروبية النسبيّة بالمساحة الهندسية لأُفُق الكون. وبهذه الطريقة نشتق قانون حفظٍ للإنتروبية المُعَمَّمة، آخذين ردَّ فعل إنتروبية حقول المادّة على الهندسة الكلاسيكية بالحسبان. وتبقى نتيجتنا صالحة للإنتروبية النسبيّة بين الفراغ واضطرابٍ متماسك في جبر فون نيومان من النمط الثالث، مقترنًا بالجاذبية الكلاسيكية عبر معادلات آينشتاين. كما يمكن ربط هذا الحساب بنتائج حديثة استندت إلى جبر فون نيومان من النمط الثاني مضافًا إليه جبر ملاحظات الحقل السلمي مع اضطراباتٍ جاذبية كلاسيكية خطية، مُقترنة عبر معادلة رايتشودوري (chandrasekaranlongopeningtonwitten2023).

\section*{الخلفية}
على النقيض من طرائقٍ مبنيّة على إنتروبيّات فون نيومان والتي تستدعي كمّياتٍ مُتباينة في خطواتٍ وسيطة (chandrasekaranpeningtonwitten2022, kudler-flam2023)، يعتمد بناؤُنا على الإنتروبية النسبيّة، وهي دائمًا مُعرَّفةٌ جيدًا.

أخيرًا، نُحدِّد مفهومًا مَحلّيًا لدرجة الحرارة للمراقبين الساكنين داخل أَلماسات دي سيتر. ففي الحد الذي تكبر فيه الأَلماسات وتُطابِق الرقعة الثابتة كاملةً، نستعيد درجة الحرارة المعروفة للأُفُق الكوني (figarietal1975, gibbonshawking1977)، بينما نجد للأَلماسات ذات الحجم المحدود تصحيحاتٍ كموميّة صغيرة.

\section*{الإنتروبية النسبيّة}
نُمثِّل الجزء الملائم من \( dS \) برقعة بوانكاريه ذات المتريّة \( g_{\mu\nu} = e^{2 \omega} \eta_{\mu\nu} \) مع عامل التوافق \( \omega = - \ln(-H \eta) \)، حيث \( \eta \in (-\infty,0) \) هو الزمن التوافقي. غير أنَّ هذه الرقعة ليست كلّها متاحةً لمراقبٍ واحد؛ فالمنطقة المناسبة (لمراقبٍ ساكن عند \( r = 0 \)) هي الرقعة الثابتة ذات المتريّة
\begin{equation}\label{eq:metric-static-coordinates}
ds^2 = - (1 - H^2 R^2) dT^2 + (1 - H^2 R^2)^{-1} dR^2 + R^2 d\Omega^2
\end{equation}
في الإحداثيات الكروية.

الأَلماسات في \( dS \)، المتمركزة عند \( (\chi,\vec{0}) \) وبحجم \( \ell \)، هي المناطق
\begin{equation}\label{eq:desitter_diamond}
\mathcal{D} = \left\{ (\eta,\vec{x}): r = |\vec{x}| \in [0, \ell), \eta \in (\chi - \ell + r, \chi + \ell - r) \right\} \,.
\end{equation}
الهاملتوني المعياري لحقلٍ سلميّ متوافقٍ توافقياً \(\Phi\) ببُعدٍ توافقي \(\Delta\) في الفراغ التوافقي \(\ket{\Omega}\) يُعطى بتكاملٍ سطحي لموتر الإجهاد–الطاقة الكمومي \(\hat{T}_{\mu\nu}\) على سطح كوشي \(\Sigma\) (froeb2023)، وسنأخذ \(\Sigma = \{ \eta = \chi \}\). ومن المفيد إجراء إعادة تحجيمٍ توافقي بكتابة \( \Phi(f) = \phi(f_\omega) \) مع دالة اختبار مُعاد تحجيمها توافقيًّا \( f_\omega(x) \equiv e^{(4-\Delta) \omega(x)} f(x) \) وحقلٍ سلميّ عديم الكتلة \(\phi\). عندئذٍ يقرأ الهاملتوني المعياري (froeb2023)
\begin{equation}\label{eq:modular-hamiltonian}
\mathcal{H}_{\chi,\ell} = \int_\Sigma \hat{T}_{\mu\nu}[\phi] \,\xi^\mu n^\nu \, d^3 \Sigma \,,
\end{equation}
حيث يُقلَّص موتر الإجهاد–الطاقة \(\hat{T}_{\mu\nu}[\phi]\) مع متجه كيلينغ التوافقي
\begin{equation}\label{eq:conformal_killing}
\xi^\mu = \frac{\pi}{\ell} \left[ \left( \ell^2 - \tau^2 \right) \delta^\mu_0 + 2 (\tau-\eta) x^\mu - x^2 \delta^\mu_0 \right] \,.
\end{equation}

انطلاقًا من الهاملتوني المعياري يمكننا تقديم صيغةٍ صريحة للإنتروبية النسبيّة بين الحالات المتماسكة في أَلماسات \( dS \). فبالنسبة للحالات المتماسكة \( e^{i \Phi(f)} \ket{\Omega} \)، تختزل صيغة أراكي–أولمان إلى (casinigrillopontello2019, longo2019, lashkariliurajagopal2021)
\begin{equation}\label{eq:araki-uhlmann}
\mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = - \bra{\Omega} \, e^{i \Phi(f)} \, \mathcal{H}_{\chi,\ell} \, e^{- i \Phi(f)} \, \ket{\Omega} \,.
\end{equation}
وبما أنّ \(\mathcal{H}_{\chi,\ell}\) تربيعيّ في الحقول، فإن إعادة التحجيم التوافقي المذكورة وصيغة بيكر–كامبل–هاوسدورف (achillesbonfiglioli2012) تُفضيان إلى التعبير العام
\begin{equation}
\mathcal{S}\!\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = - \iint f_\omega(x)\, \mathsf{K}(x,y)\, f_\omega(y)\, d^4 x \, d^4 y \,,
\end{equation}
حيث تُستخلص النواة \(\mathsf{K}(x,y)\) من دالّة المُبادَلة، وبالأخص عبر
\[
(\Delta f_\omega)(x) \equiv \int \Delta(x,y)\, f_\omega(y)\, d^4 y \,, \quad \Delta(x,y) = - i \,[ \phi(x), \phi(y) ] \,.
\]

وبما أنّ الإثارة المتماسكة للفراغ يمكن فهمها أيضًا كموجةٍ كلاسيكية، فليس مُستغرَبًا أن نُعيد صياغة الإنتروبية النسبيّة كتكاملٍ على موتر الإجهاد–الطاقة الكلاسيكي الموافق. وعليه نحصل على
\begin{equation}
\iint \frac{\delta^2 \hat{T}_{\mu\nu}}{\delta \phi(x) \, \delta \phi(y)} \, (\Delta f_\omega)(x) \, (\Delta f_\omega)(y) \, d^4 x \, d^4 y \;=\; 2\, T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)
\end{equation}
مع موتر الإجهاد–الطاقة الكلاسيكي (المُحسَّن) (froeb2023)
\begin{equation}\label{eq:SET-coherent}
T_{\mu\nu}(f) = \frac{2}{3} \,\partial_\mu f\, \partial_\nu f \;-\; \frac{1}{3}\, f\, \partial_\mu \partial_\nu f \;-\; \frac{1}{6}\, \eta_{\mu\nu}\, \partial_\rho f\, \partial^\rho f \,,
\end{equation}
وبالتالي
\begin{equation}\label{eq:relative-entropy-stress}
\mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = \int_\Sigma T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega) \, \xi^\mu n^\nu \, d^3 \Sigma \,.
\end{equation}
وباختيار سطح كوشي \( \Sigma = \{ \eta = \chi \} \)، واستخدام حقيقة أن \(\Delta\) تُلَبِّي معادلة كلاين–غوردون، ومن ثم إجراء تكامل المُشتقّات الفضائيّة بالأجزاء، نجد أن الإنتروبية النسبيّة تُعطى بالتعبير البسيط
\begin{equation}\label{eq:entropy-diamond}
\mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = \frac{\pi}{2 \ell} \int_{\eta = \chi} \Big[ \big( \ell^2 - \vec{x}^2 \big) \big( \partial_\eta (\Delta f_\omega) \, \partial_\eta (\Delta f_\omega) + \partial_i (\Delta f_\omega) \, \partial^i (\Delta f_\omega) \big) + 2 \, (\Delta f_\omega)^2 \Big] d^3 \vec{x} \,.
\end{equation}
وهذا التعبير للإنتروبية النسبيّة إيجابيّ بجلاء، كما تقتضيه اعتباراتٌ عامّة (hollandssanders2017).

\section*{الاحتواءات المعياريّة نصف-الجانبية و QNEC}
إضافةً إلى الإيجابيّة، فإن الإنتروبية النسبيّة المُعطاة بصيغة أراكي–أولمان تُلبّي خصائص مهمّة أخرى، مثل المحافظة على الترتيب تحت الخرائط الموجبة التامة والتحدّب المشترك في الحجّتَين كلتيهما (hollandssanders2017). كما تُوفِّر أساسًا لصياغة وإثبات متبايناتٍ إنتروبية في نظرية الحقل الكمومي. وعلى وجه الخصوص، من المعروف أن الإنتروبية النسبيّة بين الحالات المتماسكة مُحدَّبة تحت الاحتواءات المعياريّة نصف-الجانبية، وهو شرطٌ كافٍ لإثبات QNEC على أي إسفينٍ نصف-متغيّر في الزمكان الفائق العالمي (ciollilongoranalloruzzi2022).

هنا نُثبت أن الإنتروبية النسبيّة مُحدَّبة أيضًا تحت احتواءات أَلماسات dS، من خلال حسابٍ صريح. في هذا السياق يتحقّق الاحتواء المعياري نصف-الجانبي هندسيًا بتقليص الأَلماسات نحو المستقبل مع إبقاء الطرف المستقبلي ثابتًا. للتوضيح، اعتبر أَلماسةً بحجم \(\ell_0\) ومركز \((\chi_0,\vec{0})\)، وأُخرى بحجم \(\ell < \ell_0\) ومركز \((\chi_0 + \ell_0 - \ell,\vec{0})\). إن تدفق الهاملتوني المعياري للأَلماسة الأكبر يُحقِّق
\begin{equation}
e^{i \tau \mathcal{H}_{\chi,\ell_0}} \, \mathfrak{A}_\text{sub} \, e^{- i \tau \mathcal{H}_{\chi,\ell_0}} \subset \mathfrak{A}_\text{sub} \,, \quad \tau \geq 0 \,,
\end{equation}
حيث \(\mathfrak{A}_\text{sub}\) هو الجبر الفرعي للحقول ذات الدعم داخل الأَلماسة الأصغر. وهذا عينُ شرط الاحتواء المعياري نصف-الجانبي (borchers2000,ciollilongoranalloruzzi2022).

لبيان أن الإنتروبية مُحدَّبة تحت هذه الاحتواءات، نأخذ سطح كوشي عند \(\eta = \chi = \chi_0 + \ell_0 - \ell\)، ونفترض أن \(\Delta f_\omega\) ذو دعمٍ مُضغَط على هذا السطح. عندئذٍ تُعطى الإنتروبية النسبيّة بواسطة المعادلة \eqref{eq:entropy-diamond} مع \(\chi = \chi_0 + \ell_0 - \ell\)، وينتج عن حسابٍ قصير:
\begin{equation}
\partial_\ell^2 \mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = - \frac{2}{\ell} \, \partial_\ell \mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) \,.
\end{equation}
وهذا التعبير يُدمَج بسهولة، فنحصل على:
\begin{equation}
\mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = \frac{\mathcal{S}_1}{\ell} + \mathcal{S}_2 \,,
\end{equation}
حيث \(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2\) مقداران مستقلّان عن \(\ell\).\footnote{يتّسق هذا الشكل أيضًا مع التعبير الصريح لعمل الهاملتوني المعياري \(\mathcal{H}_{\chi,\ell}\) في الإحداثيات الثابتة \cite{froeb2023}.}

وبما أنّ الإنتروبية النسبيّة موجبةٌ لأي \(\ell\)، يلزم أن يكون كلٌّ من \(\mathcal{S}_1, \mathcal{S}_2 > 0\). ومن ثَمَّ
\begin{equation}\label{eq:entropy-convexity}
\partial_\ell^2 \mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) \geq 0 \,,
\end{equation}
مما يُثبت تحدُّب الإنتروبية النسبيّة لأَلماسات dS. وبما أنّ التحويل الهندسي المعنيّ هو تقليص الأَلماسة في الاتجاه العدَمي، فإن هذه الصيغة كافية لإثبات QNEC (ciollilongoranalloruzzi2022) لتلك المناطق.

\section*{قانون الإنتروبية–المساحة من التدفق المعياري وردّ الفعل}
من المعروف منذ زمنٍ طويل إمكان ربط إنتروبيةٍ بالآفاق الكونية (gibbonshawking1977)، على غرار إنتروبية بيكنشتاين–هوكينغ للثقوب السوداء (hawking1975). ونُبيِّن الآن أن اضطراب المادّة للهندسة الكلاسيكية يفضي إلى تغيُّرٍ في مساحة الأفق الكوني بما ينسجم مع تخمين الإنتروبية المُعَمَّمة للفضاء الديناميكي.

على نحوٍ موازٍ لحسابات الثقوب السوداء الثابتة (hollands2019) والديناميكية (dangelo2021)، نستخدم معادلة رايتشودوري لربط تأثير الإنتروبية النسبيّة بتغيُّر مساحة الأفق. وللأَلماسة المتمركزة عند \(\chi = - \ell\)، نُدخِل الإحداثيات العدَمية \(u = \eta - r\)، \(v = \eta + r\). فتصبح المتريّة:
\begin{equation}
ds^2 = \frac{4}{H^2 (u+v)^2} \left[ - du \, dv + \frac{(v-u)^2}{4} \, d\Omega^2 \right] \,,
\end{equation}
والأفق الكوني المستقبلي هو السطح \(v = 0\)، \(u \in [-2\ell,0]\). ويوصَف الأفق بإحداثياتٍ ذاتيّة \(u,\theta,\phi\)، مع المتجه العادي \(n_\mu = \partial_\mu v = \delta_\mu^v\)، أي \(n^\mu = - 2 \,\delta^\mu_u\). وبعد إعادة تحجيمٍ توافقي يصبح المقياس المقطعي المُستحث على الأفق هو مقياس الكرة الوحدوية ثنائيّة الأبعاد، مع قياس تكامل \(d\Omega = \sin \theta\, d\theta \, d\phi\). أما متجه كيلينغ التوافقي \eqref{eq:conformal_killing} المُولِّد للتدفق المعياري فيقرأ:
\begin{equation}
\xi^\mu \partial_\mu = - \frac{\pi}{\ell} \Big[ u (u+2\ell) \,\partial_u + v (v+2\ell) \,\partial_v \Big] \,.
\end{equation}

وبما أنّ صيغة الإنتروبية النسبيّة \eqref{eq:relative-entropy-stress} مستقلةٌ عن اختيار سطح كوشي \(\Sigma\) الذي يُجرى عليه التكامل السطحي (froeb2023)، يمكننا أخذ الحد الذي يتطابق فيه \(\Sigma\) مع الأفق الكوني. وعند تقييم المعادلة \eqref{eq:relative-entropy-stress} على الأفق، تتبسّط إلى:
\begin{equation}\label{eq:relative-entropy-stress-horizon}
\mathcal{S}\left( \Omega \Vert e^{i \Phi(f)} \Omega \right) = - \frac{2 \pi}{\ell} \int_{-2\ell}^0 \int T_{uu} \big|_{v = 0} \, u (u+2\ell) \, d\Omega \, du \,.
\end{equation}

ولتحديد تغيُّر مساحة الأفق عند المرتبة الأولى في الاضطرابات، نحسب ردَّ فعل المادّة على الهندسة على نحوٍ مماثلٍ لحالة الثقوب السوداء (hollandsishibashi2019). فالتصحيح الرئيس للمتريّة تحت تأثير موتر الإجهاد–الطاقة \(T_{\mu\nu}(\Delta f_\omega)\) في \eqref{eq:SET-coherent} يكون من رتبة \(f_\omega^2\). ومن ثَمَّ فإن التصحيح الرئيس لمعادلة رايتشودوري في الإحداثيات العدَمية يُحدِّد التأثير على الهندسة الأساسية:
\begin{equation}
\left. \frac{d \, \delta \Theta}{d u} \right|_{v = 0} = - 32 \pi G_\text{N} \, T_{uu} \,,
\end{equation}
حيث تدل \(\delta \Theta\) على تمدُّد الجيوديسيات المولِّدة لأُفُق الكون بسبب الاضطراب المتماسك. ونُذكِّر بأنّ مساهمات موترَي القصّ والدوران، إضافةً إلى المصطلحات غير الخطيّة الأخرى، مُهمَلةٌ في هذا التقريب.

\section*{درجة الحرارة المحليّة}
تُوفِّر العلاقة الديناميكية الحرارية بين الإنتروبية والطاقة مفهومًا لدرجة الحرارة المحليّة. لننظر في مراقبٍ بزمنٍ مُلاءم \(t\) وسرعةٍ رباعية \(v^\mu = - g^{\mu\nu} \partial_\nu t\) داخل أَلماسة، يقطع سطح كوشي \( \Sigma\) على نحوٍ طبيعي بحيث \(v_\mu |_\Sigma = n_\mu\) مع المتجه العادي \(n_\mu\). تُعطى الإنتروبية النسبيّة التي يقيسها هذا المراقب بالمعادلة \eqref{eq:relative-entropy-stress}، وتُعرَّف كثافة الإنتروبية \(s\) عبر المُتكامل في هذه الصيغة. ومن ناحيةٍ أخرى، يقيس المراقب كثافة الطاقة \(e \equiv v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\)، وتقتضي القاعدة الأولى للديناميكا الحرارية درجة حرارة محليّة \(\delta s = \beta \, \delta e\). وبمقارنة التعبيرين لـ \(s\) و\(e\)، نجد \(\beta = \partial t/\partial (-\tau)\) حيث \(\tau\) هو مُعامِل التدفق المعياري المُولَّد بالهاملتوني المعياري، أي \(\xi^\mu \partial_\mu = \partial_\tau\) مع متجه كيلينغ التوافقي \(\xi^\mu\). وهذه بالفعل درجة الحرارة الناشئة عن فرضية الزمن الحراري (connesrovelli1994, martinettirovelli2003, longomartinettirehren2010).

وللحصول على تعبيرٍ صريح لدرجة الحرارة (المعكوسة) \(\beta\)، ننتقل إلى الإحداثيات الثابتة. في تلك الإحداثيات تُعطى الأَلماسات بـ
\begin{equation}
\mathcal{D} = \left\{ (T,\vec{X}): H R < 1, \; H T > - \ln\!\left( 2 H \ell \sqrt{\frac{1 - H R}{1 + H R}} \right) \right\} \,,
\end{equation}
حيث \(R = |\vec{X}|\). ومراقبٌ ساكن يعبر النقطة \((T,\vec{0})\) عند \(\tau = 0\) يتبع المسار \((T,\vec{X})(\tau) = (T_\tau,\vec{0})\) مع (froeb2023)
\begin{equation}\label{eq:desitter_doublecone_flow_coords_static}
T_\tau = T_\text{min} + \frac{1}{H} \ln\!\left[ 1 + e^{- 2 \pi \tau} \left( 2 e^{H T} H \ell - 1 \right) \right] \,.
\end{equation}
وبما أنّ
\begin{equation}
\lim_{\tau \to \infty} T_\tau = T_\text{min} \equiv - \frac{1}{H} \ln(2 H \ell)
\end{equation}
هو الزمن الثابت للطرف السفلي للأَلماسة، و\(\lim_{\tau \to -\infty} T_\tau = \infty\) هو زمن الطرف العلوي، فإن المراقب يعبر الأَلماسة بأكملها.

وباستخدام \(\beta = \partial T_\tau/\partial (-\tau)\)، نحصل على
\begin{equation}
\beta = \frac{2 \pi}{H} \, \frac{2 e^{H T} H \ell - 1}{2 e^{H T} H \ell - 1 + e^{2 \pi \tau}} \;=\; \frac{2 \pi}{H} \left[ 1 - e^{- H \, ( T_\tau - T_\text{min} )} \right] \,.
\end{equation}
يستعيد الحدّ الأوّل درجة الحرارة المعروفة المرتبطة بالأُفُق الكوني (gibbonshawking1977)، بينما يمثّل الحدّ الثاني تصحيحًا دونيًّا يتلاشَى سريعًا مع الزمن. ومع ذلك، في حدّ \(\ell \to \infty\) حيث تكبر الأَلماسة وتُطابِق الرقعة الثابتة بالكامل، لدينا \(T_\text{min} \to -\infty\) فنستعيد \(\beta \to 2 \pi/H\) لجميع الأزمنة.

\section*{الخلاصة والآفاق}
حدَّدنا الإنتروبية النسبيّة (أراكي–أولمان) لإثاراتٍ متماسكة للفراغ داخل أَلماسات دي سيتر. وأظهرنا أن الإنتروبية النسبيّة تُصبح مُحدَّبة عند تقليص الأَلماسة في الاتجاه العدَمي، وبذلك نُثبت QNEC للأَلماسات في دي سيتر (boussoetal2016). ثم نظرنا في ردّ فعل الإثارة المتماسكة على الهندسة عبر معادلة رايتشودوري، وبرهَنَّا أن تغيُّر مساحة الأُفُق المستقبلي يُعوِّض تمامًا الإنتروبية النسبيّة بحيث تبقى الإنتروبية المُعَمَّمة ثابتة. وأخيرًا، بيَّنَّا أن مراقبًا داخل أَلماسة يقيس درجة حرارة محليّة تختلف عن درجة حرارة دي سيتر \(H/(2\pi)\)، إلا أنّ التصحيحات تتلاشَى سريعًا أسيًّا.

يوفِّر المنظور المُعتمد هنا إطارًا لمسائل ردّ الفعل الأكثر عموميّة، ويمكن استكشافه في أعمالٍ لاحقة. ومن المهم خصوصًا دراسة الإنتروبية النسبيّة لاضطرابات الجاذبية الكموميّة، والاضطرابات المُحَثَّة لأُفُق الكون. وإدراج هذه التصحيحات يجب أن يؤدّي إلى إنقاص مساحة الأُفُق، مؤكدًا بذلك فرضية الإنتروبية المُعَمَّمة. ولمعالجة مسألة التغاير القياسي سيكون من الضروري استخدام الملاحظات العِلاقيّة (dittrich2006, gieselthiemann2015, brunfredhackpinrej2016, froeblima2023).

\section*{الشكر والتقدير}
نحن ممتنّون لنيكولا بينامونتي وراينر فيروش على مناقشاتهما المفيدة. يشكر م.ب.ف. جامعة جنوة، ويشكر إ.د.، إ.ج.، و ب.م. دانييلا كادامورو وITP لايبزيغ على كرم الضيافة. يدعم م.ب.ف. من قبل الجمعية الألمانية للبحث العلمي (DFG، الجمعية الألمانية للبحث العلمي) — رقم المشروع 396692871 ضمن منحة إيمي نوثر CA1850/1-1. يدعم إ.د. بمنحة دكتوراه من جامعة جنوة وبمشروع GNFM-INdAM Progetto Giovani \emph{نماذج سيغما غير الخطّية ومعادلة ويترش اللورنتزية}، CUP\_E53C22001930001. يشكر إ.د.، إ.ج.، و ب.م. المجموعة الوطنية للفيزياء الرياضية (GNFM-INdAM) على الدعم. ودُعِمت الأبحاث التي أجراها إ.د. و إ.ج. جزئيًا من مشروع قسم التميّز MIUR للفترة 2023–2027 المُنح لِقسم الرياضيات بجامعة جنوة، CUP\_D33C23001110001.

\end{document}
```