مُلخّص

نُطوِّر طريقةً تكراريّةً لحساب جذور كثيرات الحدود التعسّفيّة فوق حقل سلاسل Puiseux، بما في ذلك غيرُ القابلةِ للفصل. تقوم الطريقة على تحويل كثيرةِ الحدود وجذورها إلى هيئةٍ خاصّة، ثمّ استخراج كثيرةِ حدودٍ مُساعِدة تُشفِّر معلوماتٍ دقيقةً عن جذور المعادلة. كما نوفِّر تطبيقًا عمليًّا لهذه الخوارزميّة بلغة Python.

التدوين

لتكن \(\mathbb{N}\) مجموعة الأعداد الطبيعيّة التي تشمل الصفر. ولنفترض أنّ \(K\) حقل، و\(K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)\) هو حقل سلاسل Puiseux العاملة فوقه. تُكتب عناصر \(K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)\) على الشكل \(y = \sum_{k=k_0}^{\infty} b_{k}\,x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{N}^+\). وإذا اقتصر المجموع على عددٍ متناهٍ من الحدود نُسمّي \(d_x\) درجة \(y\) بالنسبة إلى \(x\) (أي أعلى أُسٍّ في \(x\) يظهر في \(y\)).

ولتكن كثيرة الحدود \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N}^+\) ذات معاملات في \(K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)\)، أي \(Q(y)\in K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)[y]\). ولتكن \(\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} b_{k}\,x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{N}^+\) جذرًا لـ\(Q\).

نقول إنّ لـ\(Q\) تعدُّدًا مقداره \(s\) عند الصفر إذا وُجدت \(s\) جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) لـ\(Q\) بحيث يكون الحدّ الثابت \(b_0=0\) في جميع هذه الجذور (أي أنّ \(v(\alpha_j)>0\) لكلّ \(j\)).

ونقول إنّ لـ\(Q\) تعدُّدًا زائدًا مقداره \(s^+\) إذا وُجدت جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_{s^+}\) بحيث \(s^+ \in \{1,\dots,s\}\)، و\(s\) هو التعدُّد عند الصفر لـ\(Q\)، وتكون الحدود الأُولى غير الصفرية في كلّ \(\alpha_j\) ذات التقييم نفسه؛ أي إنّ \(v(\alpha_1)=\cdots=v(\alpha_{s^+})\).

على سبيل المثال، كثيرة الحدود \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-x^{0.5})(y-x^{0.6})(y-x^{0.5} + x^2)\) لها تعدُّدٌ 3 عند الصفر، وتعدُّدٌ زائدٌ مقداره 2.

ولنعتبر خريطة التقييم \(v: K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr) \to \mathbb{Q}\) المُعرَّفة بـ\(v(y) = k_0\)، حيث \(k_0\) هو أصغر أُسٍّ يظهر في سلسلة \(y\).

مقدّمة

لنتخيّل أنّ لدينا خوارزميّةً لحساب أصغر جذرٍ لكثيرة الحدود \(Q\) (من حيث التقييم)، مثل \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-(2+x+x^2))\) فوق حقل سلاسل Puiseux. هنا، عندما نقول «الأصغر» نقصد الجذر ذا التقييم الأدنى عند الحدّ الرئيسي. غالبًا ما تستخرج الخوارزميّة بادئ الأمر الحدّ الأوّل للجذر، أي المعامل الرئيس 1. فكيف نمضي قُدُمًا لحساب الحدود التالية في الجذر؟ يكمن الحلّ في تحويل (إزاحة) كثيرة الحدود وجذورها. بعد ذلك نحصل على الكثيرة المُحوَّلة

\[Q_{\text{shift}} = (y-(x+x^2))(y-(1+x+x^2))\]

ونتمكّن بسهولة من استخراج الحدّ التالي عبر الخوارزميّة، وهو \(x\). في هذه الورقة نستعرض هذه الفكرة عبر: (1) تطوير خوارزميّةٍ لحساب أصغر جذر تحت شروطٍ مُعيَّنة، و(2) بيان كيفيّة تحويل كثيرة الحدود لتلبية هذه الشروط. يمكن الاطّلاع على نظرة عامّة على العملية في القسم algorithm. توجد أيضًا طرائق مُشابهة في سياق سلاسل Puiseux وسلاسل القوى، مثل رفع هنسل ونُسخه المُحسَّنة (neiger)، وكذلك طريقة نيوتن–بويزو (brieskorn2012plane).

النتيجة الرئيسيّة

في هذا القسم نستعرض النتيجة الرئيسيّة. تقوم الطريقة على تقليص الكثيرة إلى أُخرى أدنى درجةً تحت شروطٍ محدّدة. في القسم 4 نُبيّن كيفيّة تحويل أيّ كثيرة حدود إلى صورةٍ تُحقّق هذه الشروط تمامًا، ثمّ نحسب الجذور واحدًا تلوَ الآخر وفق خوارزميّة نيوتن–بويزو القياسيّة.

لتكن \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N}^+\) كثيرة حدود في \(y\) ذات معاملات في \(K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)\)، بحيث \(Q(y)\in K\bigl((x^{\frac{1}{n}})\bigr)[y]\). ولنفترض أنّ \(\alpha_1,\dots,\alpha_{d_y}\) هي جذورها في حقل سلاسل Puiseux، وأنّ \(v(a_i)\ge 0\) لكلّ \(i\). نفرضُ كذلك أنّ \(v(\alpha_j)\ge e>0\) لكلّ \(j=1,\dots,s\)، حيث \(s\in\{1,\dots,d_y-1\}\) و\(e\in\mathbb{Q}\)، مع توافر \(v(\alpha_j)=e\) لجميع \(j=1,\dots,s^+\) بحيث \(s^+>1\). هنا يُمثّل \(s\) عدد الجذور ذات \(b_0=0\) (التعدُّد عند الصفر)، و\(s^+\) «التعدُّد الزائد» عند أصغر تقييمٍ مشترك \(e\)، وهو أصغرُ تقييمٍ بين جميع قيم \(v(\alpha_j)\).