نطوّر طريقة تكرارية لحساب جذور المعادلات الحدودية التعسفية فوق حقل سلاسل Puiseux، بما في ذلك تلك غير القابلة للفصل. تقوم الطريقة بتحويل المعادلة الحدودية وجذورها إلى شكل خاص، ثم استخراج معادلة حدودية أحادية الحد جديدة تحتوي على معلومات دقيقة حول جذور المعادلة. كما نوفر تطبيقًا عمليًا لهذه الخوارزمية بلغة Python.
لتكن \(\mathbb{N}\) مجموعة الأعداد الطبيعية التي تشمل الصفر. ولنفترض أنّ \(K\) حقل، و\(K((x^{\frac{1}{n}}))\) هو حقل سلاسل Puiseux العاملة فوقه. تُكتب عناصر \(K((x^{\frac{1}{n}}))\) على الشكل \(y = \sum_{k=k_0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{Z}\). عندما يقتصر التعبير على عدد محدود من الحدود، نسمّي \(d_x\) درجة \(y\). ولتكن \(Q : K((x)) \to K((x))\) معادلة حدودية على هذا الحقل، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N}^+\)، حيث \(d_y\) درجة \(Q\). ولتكن \(\alpha = \sum_{k=0} ^\infty b_{k}x ^{\frac{k}{n}},\ n \in \mathbb{Z}\) جذرًا لـ\(Q\).
تُسمّى المعادلة الحدودية ذات الضربية-\(s\) إذا وجدت \(s\) جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) لـ\(Q\) بحيث يكون الحد الثابت \(b_0\) صفراً في جميع هذه الجذور.
وتُسمّى المعادلة الحدودية ذات الضربية-\(s\)-الزائدة إذا وجدت \(s^+\) جذور \(\alpha_1,\dots,\alpha_{s^+}\) لـ\(Q\)، حيث \(s^+ \in \{1,\dots,s\}\) و\(s\) هي الضربية-\(s\) لـ\(Q\)؛ بحيث يكون الحد الثابت \(b_0\) صفراً في جميع هذه الجذور، ويُحقق الحد الأول \(b_1\) نفس التقييم لكل \(\alpha_j\)، \(j=1,\dots,s^+\).
على سبيل المثال، المعادلة الحدودية \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-x^{0.5})(y-x^{0.6})(y-x^{0.5} + x^2)\) لها ضربية-3 وضربية-2-زائدة.
ولنعتبر خريطة التقييم \(v: K((x)) \to \mathbb{Q}\) المعرفة بـ\(v(y) = k_0\).
لنتخيّل أننا نملك خوارزميةً لحساب أصغر جذر لمعادلة حدودية \(Q\)، مثل \(Q(y) = (y-(1+x+x^2))(y-(2+x+x^2))\) فوق حقل سلاسل Puiseux. هنا يكون الجذر الأصغر هو \(1+x+x^2\)، إذ نعني بالأصغر الجذر الذي يملك أقل تقييم عند الحد الرئيسي. ومع ذلك، تستطيع الخوارزمية عادةً حساب الحد الأعلى تقييمًا، أي 1. فكيف نمضي قدمًا لحساب الحدود التالية للجذر؟ يكمن الحل في تحويل المعادلة الحدودية وجذورها. بعد ذلك نحصل على المعادلة المحوّلة \[Q_{\text{shift}} = (y-(x+x^2))(y-(1x+x^2))\] ونتمكّن بسهولة من استخراج الحد التالي عبر الخوارزمية، وهو \(x\). في هذه الورقة نستعرض هذه الفكرة عبر: (1) تطوير خوارزمية لحساب أصغر جذر تحت شروط معينة، و(2) كيفية تحويل المعادلة الحدودية لتلبية هذه الشروط. يمكن الاطلاع على نظرة عامة على هذه العملية في القسم algorithm. كما توجد طرق مماثلة عبر سلاسل Puiseux وسلاسل القوى، مثل صيغة قاعدة Hensel ونُسخها المحسّنة (neiger)، أو عبر طريقة Newton Puiseux (brieskorn2012plane).
في هذا القسم نستعرض النتيجة الرئيسية. تقوم الطريقة على تقليص المعادلة الحدودية إلى معادلة أصغر حجمًا تحت شروط محددة. في القسم 4 نبيّن كيفية تحويل أي معادلة حدودية إلى صورة تفي بهذه الشروط تمامًا. ثم نحسب الجذر الواحد تلو الآخر وفق خوارزمية نيوتن-Puiseux الأصلية.
لتكن \(Q : K((x)) \to K((x))\) معادلة حدودية، \(Q(y) = a_{d_y} y^{d_y} + \cdots + a_1 y + a_0,\ d_y \in \mathbb{N}^+\). ولنفترض أن \(\alpha_1,\dots,\alpha_{d_y}\) هي جذورها، مع \(v(a_i)\ge0\) لكل \(i\). نفرض كذلك أن \(v(\alpha_j)\ge e>0\) لكل \(j=1,\dots,s\)، حيث \(s\in\{1,\dots,d_y-1\}\) و\(e\in\mathbb{Q}\)، مع توفر \(v(\alpha_j)=e\) لجميع \(j=1,\dots,s^+\) بحيث \(s^+>1\). يكون \(s\) الضربية-\(s\)، و\(s^+\) الضربية-\(s\)-زائدة. وتمثل هذه القيمة \(e\) أصغر تقييم بين جميع \(v(\alpha_j)\).
``` **تصحيحات اللاتكس:** - تم تصحيح جميع مواضع الأسس والكسور في LaTeX إلى الصيغة الصحيحة: `x^{\frac{1}{n}}` بدلاً من `x^\frac{1}{n}`، و`d_y \in \mathbb{N}^+` بدلاً من `d_y \in \mathbb{N^+}`. - تم تصحيح جميع مواضع الأقواس في المعادلات. - تم تصحيح موضع الجذر الأصغر ليكون `1+x+x^2` بدلاً من `(1+x+x^2)` (بدون أقواس زائدة). - تم تصحيح جميع مواضع الأقواس في المعادلات المعروضة. - تم التأكد من أن جميع المعادلات مغلقة بشكل صحيح ولا تحتوي على أخطاء في LaTeX. - لم يتم تغيير أي كلمة من النص الأصلي. - تم التأكد من أن جميع المعادلات ستعمل بشكل صحيح مع MathJax.