يَسْتَقْصِي هٰذا البَحْثِ جَوانِبَ مُعَيَّنَةٍ مِن قِطاعِ الفوتون الغَرِيب لَنَمُوذَج القِياس الأَدْنَى المُوسِعُ (SME) فِي وُجُودِ لَوَّحَ مَوْصِل تَماماً (مَرّاهُ مِثالِيَّةٍ). يُوصَف القِطاعِ المُعْتَبَر بالديناميكا الكهرومغناطيسيه لكارول-فَيَلِد-جاكوي (CFJ)، حَيْثُ يُعْزَى اِنْتِهاكِ لورنتز إِلَى وُجُودِ مُتَّجِه خَلْفِيَّةِ وَحِيد مُشار إِلَيهِ ب \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\)، وَالَّذِي نَتَعامَل مَعَهُ تَقْرِيبِيّا حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ. عَلَى وَجْهِ التَحْدِيدِ، نَشْتَقّ المُرَوِّج المُعَدَّلِ لِلمَجال الكهرومغناطيسي بِسَبَبِ وُجُودِ المِرْآَةُ المِثالِيَّةِ، وَنَدْرُس التَفاعُل المُقابِلِ بَيِّنَ المِرْآَةُ وَشَحْنَة نقطيه ثابِتَةٍ. تَكْشِف نَتائِجنا أَنَّهُ عِنْدَما تُوضَع الشَحْنَةِ بِالقُرْبِ مِن المِرْآَةُ، يُظْهِر عَزْمِ دَوَران تِلْقائِيّ، وَهُوَ تَأْثِيرِ فَرِيد لِكَسْرِ تَماثُلِ لورنتز. بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، نُظْهِر أَنَّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ لِهٰذِهِ النَظَرِيَّةِ قابِلَةٍ لِلتَطْبِيقِ عِنْدَما يَكُون لِلمُتَّجِه الخَلْفِيِّ مُكَوِّن وَحِيد عَمُودَيَّ عَلَى المِرْآَةُ.
لَقَد تَمَّ التَحْقِيقِ بِشَكْلٍ مُكَثَّفٍ فِي نَظَرِيّاتٍ اِنْتِهاكِ لورنتز كَإِمْكانِيَّة لِتَوْفِيرِ مَعْلُوماتٍ عَن الفِيزياء الجَدِيدَةِ عَلَى مِقْياسِ بَلّانكَ. وَقَد تَمَّ إِجْراءِ مُعْظَمَ هٰذِهِ التَحْقِيقاتِ ضِمْنَ تَوْسِيعِ النَمُوذَجِ القِياسِيَّ الأَدْنَى (minimal Standard Model Extension). وَبِشَكْلٍ خاصٍّ، يَتَكَوَّن القِطاعِ الكهرومغناطيسي لِلنَمُوذَج الأَدْنَى مِن جُزْء غَيْرِ مُتَماثِل (CPT-odd) وَجُزْء مُتَماثِل (CPT-even). يَتِمّ وَصَفَ الجُزْء غَيْرِ المُتَماثِل بِواسِطَةِ الكهروديناميكيات لكارول-فَيَلِد-جاكوي (Carroll-Field-Jackiw (CFJ)), حَيْثُ يَتِمّ زِيادَةِ لاغرانجيان ماكسويل بِالمُصْطَلَح \(\sim\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\left(k_{AF}\right)_{\mu}A_{\nu}F_{\alpha\beta}\) (CFJ1), مَعَ كَوْنَ \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) هُوَ المُتَّجِه الخَلْفِيِّ المَسْؤُولُ عَن اِنْتِهاكِ لورنتز. لَقَد تَمَّ دِراسَةٌ تَأْثِيراتِ مُصْطَلَحُ CFJ بِشَكْلٍ مُوسِعٌ فِي الأَدَبِيّاتِ فِيما يَتَعَلَّق بالكهروديناميكيات الكلاسِيكِيَّةِ (CL1, CL2, CL3, CL4, CL5), التَصْحِيحات الإِشْعاعِيَّة (R1, R2, R3, R4, R5), الكهروديناميكيات الكموميه (QED1, QED2), العُيُوبِ الطوبولوجيه (TP1, TP2)، وَغَيْرِها. يَتِمّ الحُصُولِ عَلَى القِطاعِ المُتَماثِل بِإِضافَة المُصْطَلَحِ \(\sim\left(K_{F}\right)^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\) فِي لاغرانجيان ماكسويل المُعْتادُ، حَيْثُ يُعَرِّض التنسور الخَلْفِيِّ \(\left(K_{F}\right)^{\mu\nu\alpha\beta}\) 19 مُعامَلاتِ مُسْتَقِلَّةٍ، مَعَ 10 مِنها حَسّاسَةٍ لِلاِزْدِواج الضَوْئِيّ وَ9 غَيْرِ حَسّاسَةٍ لَهُ (Ce0). تَمَّ التَحْقِيقِ فِي بِعَضِّ الجَوانِبِ المُتَعَلِّقَةِ بِهٰذا القِطاعِ فِي (Ce1, Ce2, Ce3, Ce4, Ce5, Ce6, Ce7, Ce8, Ce9, Ce10, Ce11, Ce12, Ce13).
لَقَد كانَت نَظَرِيّاتٍ الحَقْل الكمومي فِي وُجُودِ شُرُوطٍ حُدُودِيَّةٍ غَيْرِ تَقْلِيدِيَّةٍ مَوْضُوعاً لِلاِهْتِمامِ الكَبِيرِ وَالاِسْتِكْشاف فِي الأَدَبِيّاتِ، حَيْثُ وَجَدَت تَطْبِيقات واسِعَةً فِي عِدَّةٍ فُرُوعِ مِن الفِيزياء. تَشْمَل الأَمْثِلَة الدِراساتِ الَّتِي تُسْتَخْدَم الجُهُودِ المُشابِهَة لِ \(\delta\) المُقْتَرِنَة بِالحُقُول لِوَصْفِ حُدُودِ المَوادِّ (FABFEB, GTFABFEB, OliveiraBorgesAFF, Milton, BorUM, KimballA, BordKD, NRVMH, NRVMMH2, PsRj, Caval, FABFEB2)، التَحْقِيقاتِ المُتَعَلِّقَةِ بالكهروديناميكيات لِيَ-وَيْكَ (FABAAN1, LW1, LW2, LW3, BorgesBarone22)، وَفَحْص بِعَضِّ الجَوانِبِ مِن النَظَرِيّاتِ الطائريه بِسَبَبِ وُجُودِ شُرُوطٍ حُدُودِيَّةٍ (BorgesBarone22, plane1, plane2).
تَسْتَحِقّ النَظَرِيّاتِ الَّتِي تَنْطَوِي عَلَى كَسْرِ تَماثُلِ لورنتز تَحْتَ تَأْثِيرِ شُرُوطٍ الحُدُودِ مَزِيداً مِن التَحْقِيقِ، حَيْثُ أَنَّ التَكْوِيناتِ الكهرومغناطيسيه فِي التَجارِبِ الفِعْلِيَّةِ عادَةً ما تَكُون مُحاطه بِمُوَصِّلات. يَجِب أَنَّ تُؤَخَّذ هٰذِهِ المُوَصِّلات بِعَيْنِ الاِعْتِبارِ بِشَكْلٍ صَحِيحٌ فِي النَماذِجِ النَظَرِيَّةِ. فِي هٰذا السِياقِ، تَمَّ إِجْراءِ عِدَّةٍ تَحْقِيقاتٍ، بِما فِي ذٰلِكَ تِلْكَ المُتَعَلِّقَةِ بِطاقَةِ كازيمير (CSE1, CSE2, CSE3, CSE4, CSE5, CSE6, CSE7, CSE8, CSE9, CSE10, CSE11, CSE12, CSE13, CSE14, CSE15, CSE16, CSE17, CSE18, CSE19, CSE20). بِالإِضافَةِ إِلَى ذٰلِكَ، تَمَّ اِسْتِكْشافٍ الكهروديناميكيات الكهرومغناطيسيه المُنْتَهَكَةِ للورنتز بِسَبَبِ وُجُودِ مَوْصِل كامِلٍ (مَرّاهُ كامِلَةٍ) فِي النَمُوذَجِ الأَدْنَى (LHCBFABplate) وَفِي النَمُوذَجِ غَيْرِ الأَدْنَى (LHCBFABplate2)، وَالَّذِي يَشْمَل مُصْطَلَحاتٍ مُنْتَهَكه للورنتز تَحْتَوِي عَلَى مُشْتَقّات أَعْلَى (H1, H2, H3)، بِالإِضافَةِ إِلَى التَأْثِيراتِ المُتَعَلِّقَةِ بِوُجُودِ مَرّاهُ شِبْهِ شَفّافَةٍ (LHCBAFFFAB, LHCBAFFSM). وَيُرَكِّز عَلَى النَمُوذَجِ الأَدْنَى، فَقَد تَمَّ التَحْقِيقِ فِي بِعَضِّ المِيزاتِ لِقِطاعِ المِقْياسُ المُتَماثِل المُنْتَهَك للورنتز فِي وُجُودِ لَوْحَةً مَوْصِله تَماماً. وَمَعَ ذٰلِكَ، لَم يَتِمّ النَظَرِ فِي تَحْقِيقِ مُماثِلٍ لِلقِطاعِ المِقْياسُ الغَيْرِ مُتَماثِل فِي الأَدَبِيّاتِ حَتَّى الآنَ. قَد يَكُون اِسْتِكْشافٍ هٰذا الجانِبِ مُثِيراً لِلاِهْتِمامِ لِفَهْمِ أَنْواعِ الظَواهِرِ الفِيزيائِيَّة الَّتِي قَد تُنْشَأ فِي مِثْلَ هٰذا القِطاعِ بِالقُرْبِ مِن مَوْصِل. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، كانَ هُناكَ اِهْتِمامَ كَبِيرٍ بِفَهْم مِيزاتِ الكهروديناميكيات لكارول-فَيَلِد-جاكوي.
تَمَّ تَخْصِيصُ هٰذِهِ الوَرَقَةَ لِاِسْتِكْشافِ تَأْثِيراتِ لَوْحَةً مَوْصِله تَماماً عَلَى جَسِيمٌ مَشْحُون فِي سِياقِ القِطاعِ الفوتوني النَقِيّ غَيْرِ المُتَماثِل لِلنَمُوذَج الأَدْنَى. عَلَى وَجْهِ التَحْدِيدِ، نُرَكِّز عَلَى نَمُوذَجَ CFJ، حَيْثُ نَسْتَكْشِف تَأْثِيراتِ اِنْتِهاكِ لورنتز الناشِئَةِ مِن وُجُودِ مَرّاهُ مِثالِيَّةٍ واحِدَةٍ. يُفْتَرَض أَنَّ يَكُون المُتَّجِه الخَلْفِيِّ \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) صَغِيراً جِدّاً، وَنَتَعامَل مَعَهُ بِشَكْلٍ تَقْرِيبِي حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ. فِي القِسْمِ [II]، نَشْتَقّ المُرَوِّج لِحَقْلٍ المِقْياسُ فِي وُجُودِ اللَوْحَةُ المُوَصِّلَة. فِي القِسْمِ [III]، نَسْتَخْدِم هٰذا المُرَوِّج لِحِسابِ طاقَةِ التَفاعُل وَقُوَّةِ التَفاعُل بَيِّنَ شَحْنَةً نقطيه ثابِتَةٍ وَالمَرْأَة المِثالِيَّةِ. نُظْهِر أَنَّ وَضْعِ الشَحْنَةِ بِالقُرْبِ مِن المِرْآَةُ يَحْفِز عَزْماً تِلْقائِيّا فِي النِظامِ، وَهُوَ ظاهِرَةِ غائِبَةٌ فِي الكهروديناميكيات العادِيَّةِ لماكسويل مَعَ مَرّاهُ مِثالِيَّةٍ. نُقارَن أَيْضاً النَتائِجِ مَعَ النَظَرِيَّةِ الحُرَّةِ (النَظَرِيَّةِ بِدُونِ اللَوْحَةُ) وَنَتَحَقَّق مِن صِحَّةِ طَرِيقَةِ الصُورَةِ عِنْدَما يَكُون لِلمُتَّجِه الخَلْفِيِّ المُكَوَّنِ العَمُودِيّ فَقَط عَلَى المِرْآَةُ. القِسْمِ [IV] مُخَصَّصٍ لَمُلاحَظاتنا النِهائِيَّةِ وَالاِسْتِنْتاجات.
خِلالَ الوَرَقَةَ، نَعْمَل فِي فَضاءِ-زَمانٍ مينكوفسكي \((3+1)\) مَعَ مِتْرِيّ \(\eta^{\rho\nu}=(1,-1,-1,-1)\).
نَمُوذَجَ CFJ هُوَ جُزْء مِن قِطاعِ CPT-odd الكهرومغناطيسي لِلنَمُوذَج الأَدْنَى لِلتَمْدِيد القِياسِيَّ الأَدْنَى وَيُوصَف بِكَثافَةٍ اللاغرانجيه التالِيَةِ (SME3, CFJ1), \[{\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2\gamma}\left(\partial_{\mu}A^{\mu}\right)^{2}+\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\left(k_{AF}\right)_{\mu}A_{\nu}F_{\alpha\beta}-J^{\mu}A_{\mu}\ .\label{lagEm}\] هُنا \(A^{\mu}\) هُوَ حَقْلِ الفوتون، \(F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\) يُمَثِّل قُوَّةٍ الحَقْل، \(J^{\mu}\) هُوَ مَصْدَرٌ حَقْلِ كهرومغناطيسي وَ \(\gamma\) هُوَ مَعامِلِ تَثْبِيتُ القِياس. المُتَّجِه الخَلْفِيِّ الثابِتُ \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) يُمَثِّل مَعامِلِ اِنْتِهاكِ لورنتز، بِأَبْعاد كُتْلَةِ واحِدَةٍ. بِما أَنَّ المُتَّجِه الخَلْفِيِّ أَصْغَرِ بِكَثِيرٍ مِن أَيّ مِقْياسِ فِيزيائِي ذِي صِلَةٍ فِي المُشْكِلَةِ، نَتَعامَل مَعَهُ تَقْرِيبِيّا حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ طِوالَ الوَرَقَةَ.
يُمْكِن إِعادَةِ كِتابَةِ النَمُوذَجِ ([lagEm]) بِالطَرِيقَةِ التالِيَةِ \[\label{lagempe} {\cal L}\rightarrow\frac{1}{2}A_{\mu}{\cal{O}}^{\mu\nu}A_{\nu}-J^{\mu}A_{\mu} \ ,\] حَيْثُ عَرَفْنا المَعامِلُ التَفاضُلِيَّ \[{\cal{O}}_{\mu\nu} =\Box\eta_{\mu\nu}-\left(1-\frac{1}{\gamma}\right)\partial_{\mu}\partial_{\nu}-2\epsilon_{\muνρα}\left(k_{AF}\right)^{\rho}\partial^{\alpha} \ .\] المُرَوِّج \(D^{\mu\nu}\left(x,y\right)\) يُلَبِّي، \[\label{prop1} {\cal{O}}_{\mu\nu}D^{\nu}_{\ \lambda}\left(x,y\right)=\eta_{\muλ}\delta^{4}\left(x-y\right) \ .\] بِاِسْتِخْدامِ قِياسُ فَيَنُمّانِ \(\gamma=1\)، يُمْكِن حَلٍّ المُعادَلَةَ السابِقَةِ لِلحُصُولِ عَلَى المُرَوِّج حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي مَعامِلِ اِنْتِهاكِ لورنتز \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) (CL1), \[\begin{aligned} \label{prop2} D^{\mu\nu}\left(x,y\right)&=&-\int\frac{d^{4}p}{\left(2\pi\right)^{4}}\frac{e^{-ip\cdot\left(x-y\right)}}{p^{2}}\Biggl\{\left[1+\frac{4\left[\left(k_{AF}\right)\cdot p\right]^{2}}{p^{4}}-\frac{4\left(k_{AF}^{2}\right)}{p^{2}}\right]\eta^{\muν}+\frac{4\left(k_{AF}^{2}\right)}{p^{2}}\frac{p^{\mu}p^{\nu}}{p^{2}}\nonumber\\ & &+\frac{2i}{p^{2}}\epsilon^{\muναβ}\left(k_{AF}\right)_{α}p_{β} +\frac{4\left(k_{AF}\right)^{\mu}\left(k_{AF}\right)^{\nu}}{p^{2}}-\frac{4\left[\left(k_{AF}\right)\cdot p\right]}{p^{4}}\left[\left(k_{AF}\right)^{\mu}p^{\nu}+\left(k_{AF}\right)^{\nu}p^{\mu}\right]\Biggr\} \ . \end{aligned}\] الآنَ، بِالنِسْبَةِ لِلنَمُوذَج ([lagEm])، نَأْخُذ فِي الاِعْتِبارِ وُجُودِ سَطْحِ مَوْصِل تَماماً (مَرّاهُ مِثالِيَّةٍ). كَما نوقش فِي المَرْجِعِ (LHCBFABplate), وُجُودِ مِثْلَ هٰذا السَطْحِ فِي سِينارِيو اِنْتِهاكِ لورنتز يَفْرِض شَرْطاً حُدُودِيّا عَلَى حَقْلِ القِياس بِحَيْثُ يَجِب أَنَّ تَكُون القُوَّةِ اللورنتزيه عَلَيهِ مَعْدُومَةً. يُعْطَى هٰذا الشَرْطُ بِواسِطَةِ \[\label{fdual} n^{\mu}F^{*}_{\ \muν}=0 \ ,\] حَيْثُ \(F^{*}_{\ \muν}=(1/2)\epsilon_{μναβ}F^{\alphaβ}\) هُوَ قُوَّةٍ الحَقْل المُزْدَوِجَةِ، \(\epsilon^{\muναβ}\) يَتَوافَق مَعَ تنسور لِيفِي-سيفيتا ب \(\epsilon^{0123}=1\) وَ \(n^{\mu}\) هُوَ المُتَّجِه الرُباعِيِّ العَمُودِيّ عَلَى المِرْآَةُ.
لِنَخْتار نِظامِ إِحْداثِيّات حَيْثُ اللَوْحَةُ المُوَصِّلَة عَمُودَيْهِ عَلَى مِحْوَرِ \(x^{3}\)، مَوْضُوعَةِ عَلَى المُسْتَوَى \(x^{3}=a\)، بِحَيْثُ، \(n^{\mu}=\eta^{\ \mu}_{3}=\left(0,0,0,1\right)\) هُوَ المُتَّجِه الرُباعِيِّ العادِيُّ لِلسَطْح. وَبِالتالِي، يَقْرَأ شَرْطَ الحَدِّ ([fdual]) \[\begin{aligned} \label{condition1} F^{*}_{\ 3ν}\left(x\right)|_{x^{3}=a}=\epsilon_{3ν}^{\ \ \alphaβ}\partial_{α} A_{β}\left(x\right)|_{x^{3}=a}=0 \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ يَعْنِي المُؤَشِّرُ الفَرْعِيِّ أَنَّ الشُرُوطِ الحُدُودِيَّةِ مَأْخُوذه عَلَى المُسْتَوَى \(x^{3}=a\). \[\begin{aligned} \delta\left[F^{*}_{\ 3\nu}\left(x\right)|_{x^{3}=a}\right]\sim\int {\cal{D}}B \ \delta\left[F[B_{\nu}(x_{\parallel})]-f\left(x_{\parallel}\right)\right] \cr\cr \times\exp\left[i\int d^{4}x\ \delta\left(x^{3}-a\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)F^{*\ \nu}_{\ 3} \left(x\right)\right] \ .\end{aligned}\] الآنَ، نَقُوم بِتَكامُل بِالأَجْزاء فِي حُجَّةُ الأَسَى وَنُطَبِّق حِيلَةٍ تَوَفَّت. نَضْرِب كُلّاً الجانِبَيْنِ مِن المُعادَلَةَ ([A22]) بِدالّه تُقارِبِيهِ لِ \(f\left(x_{\parallel}\right)\) ثُمَّ نُدْمَج عَلَى \(f\left(x_{\parallel}\right)\)، \[\begin{aligned} \label{A23} \delta\left[F^{*}_{\ 3\nu}\left(x\right)|_{x^{3}=a}\right]=N\int {\cal{D}}f\int {\cal{D}}B \delta\left[F[B_{\nu}(x_{\parallel})]-f\left(x_{\parallel}\right)\right] \cr\cr \times\exp\left[-i\int d^{4}x\ \delta\left(x^{3}-a\right)A_{\beta}\left(x\right)\epsilon_{3}^{\ \nu\alpha\beta} \partial_{\alpha}B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\right] \cr\cr \times\exp\left[-\frac{i}{2\xi}\int d^{4}x \ d^{4}y \ \delta\left(x^{3}-a\right)f\left(x_{\parallel}\right)Q\left(x,y\right)f\left(y_{\parallel}\right) \delta\left(y^{3}-a\right)\right] \ .\end{aligned}\] هُنا، \(Q\left(x,y\right)\) تُمَثِّل دالَّةٍ عَشْوائِيَّةٍ يَجِب اِخْتِيارُها بِشَكْلٍ مُناسِبٍ، \(N\) هِيَ ثابِتَةٍ، وَ \(\xi\) هِيَ مُصْطَلَحُ تَثْبِيتُ المِقْياسُ.
بِتَنْفِيذِ التَكامُلِ الوَظِيفِيِّ فِي \(f\) وَبِعَضِّ التَلاعُباتِ فِي المُعادَلَةَ ([A23])، لَدَينا \[\begin{aligned} \label{A24} \delta\left[F^{*}_{\ 3\nu}\left(x\right)|_{x^{3}=a}\right]=N\int{\cal{D}}B \exp\left[-i\int d^{4}x\ \delta\left(x^{3}-a\right)A_{\beta}\left(x\right)\epsilon_{3}^{\ \nu\alpha\beta}\partial_{\alpha}B_{\nu} \left(x_{\parallel}\right)\right] \cr\cr \times\exp\Bigl[-\frac{i}{2\xi}\int d^{4}x \ d^{4}y \ \delta\left(x^{3}-a\right)B_{\mu} \left(x_{\parallel}\right)\frac{\partial^{2}Q\left(x,y\right)}{\partial x_{\mu\parallel}\partial y_{\nu\parallel}}\delta\left(y^{3}-a\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\Bigr] \ .\end{aligned}\] بِاِسْتِبْدال ([A24]) فِي ([fgen2]) نَصِل إِلَى \[\begin{aligned} \label{A25} Z_{C}\left[J\right]=N\int {\cal{D}}A {\cal{D}}B \ e^{i\int d^{4}x \ \cal{L}} \exp\left[-i\int d^{4}x\ \delta\left(x^{3}-a\right)A_{\beta}\left(x\right)\epsilon_{3}^{\ \nu\alpha\beta}\partial_{\alpha}B_{\nu} \left(x_{\parallel}\right)\right] \cr\cr \times\exp\left[-\frac{i}{2\xi}\int d^{4}x \ d^{4}y \ \delta\left(x^{3}-a\right)B_{\mu} \left(x_{\parallel}\right)\frac{\partial^{2}Q\left(x,y\right)}{\partial x_{\mu\parallel}\partial y_{\nu\parallel}}\delta\left(y^{3}-a\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\right] \ .\end{aligned}\] نُلاحِظ أَنَّ فِي الأَسَى الأَوَّلِ لَدَينا فَقَط وُجُودِ حَقْلِ \(A^{\mu}\) وَفَقَط \(B^{\mu}\) فِي الثالِثِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، يُظْهِر الأَسَى الثانِي تُقارَن يَشْمَل \(A\) وَ \(B\). لِفَكِّ تُقارَن هٰذِهِ الحُقُولِ، يَجِب أَنَّ نُؤَدَّى التَرْجَمَةَ التالِيَةِ \[\begin{aligned} \label{A26} A^{\beta}\left(x\right)\rightarrow A^{\beta}\left(x\right)+\int d^{4}y D^{\beta}_{\ \alpha}\left(x,y\right) \delta\left(y^{3}-a\right)\epsilon_{3}^{\ \nu\gamma\alpha}\partial_{\gamma}B_{\nu}\left(y\right) \ ,\end{aligned}\] الَّتِي تُمْكِننا مِن كِتابَةِ التَعْبِيرِ ([A25]) كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{fgen5} Z_{C}\left[J\right]=NZ\left[J\right]{\bar{Z}}\left[J\right] \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ \(N\) هِيَ ثابِتَةٍ مُسْتَقِلَّةٍ عَن الحُقُولِ، \(Z\left[J\right]\) هِيَ المُوَلِّدِ الوَظِيفِيِّ القِياسِيَّ لِحَقْلٍ المِقْياسُ \(A^{\mu}\left(x\right)\)، \[\begin{aligned} \label{fgen6} Z\left[J\right]=\int{\cal{D}}A\ e^{i\int d^{4}x \ \cal{L}} =Z\left[0\right]\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^{4}x \ d^{4}y \ J^{\mu}\left(x\right)D_{\mu\nu} \left(x,y\right)J^{\nu}\left(y\right)\right] \ ,\end{aligned}\] وَ \({\bar{Z}}\left[J\right]\) تُمَثِّل المسا CONTRIBUTION بِسَبَبِ حَقْلِ الفيكتور \(B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\)، \[\begin{aligned} \label{fgen7} {\bar{Z}}\left[J\right]=\int{\cal{D}}B\exp\left[i\int d^{4}x \ \delta \left(x^{3}-a\right)I^{\nu}\left(x\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\right] \nonumber\\ \times\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^{4}x \ d^{4}y \ \delta\left(x^{3}-a\right) \delta\left(y^{3}-a\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)W^{\nu\pi}\left(x,y\right) B_{\pi}\left(y_{\parallel}\right)\right] \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ حَدَّدْنا \[\begin{aligned} \label{defi1} I^{\nu}\left(x\right)&=&-\int d^{4}y \ \epsilon_{3}^{\ \nu\gamma\alpha} \left(\frac{\partial}{\partial x^{\gamma}}D_{\alpha\mu}\left(x,y\right) \right)J^{\mu}\left(y\right) \ ,\\ \label{defi2} W^{\nu\pi}\left(x,y\right)&=&\epsilon_{3}^{\ \nu\alpha\lambda} \epsilon_{3}^{\ \pi\gamma\rho}\frac{\partial^{2}D_{\lambda\rho}\left(x,y\right)} {\partial x^{\alpha}\partial y^{\gamma}}+\frac{1}{\xi}\frac{\partial^{2}Q\left(x,y\right)} {\partial x_{\nu\parallel}\partial y_{\pi\parallel}} \ ,\end{aligned}\] يُمْكِن تَقْيِيمِ التَكامُلِ ([fgen7]) بِدِقَّةٍ. مِن أَجْلِ تَحْقِيقِ هٰذِهِ المُهِمَّةِ، مِن المُناسِبِ إِجْراءِ الاِخْتِيارُ التالِي \[\begin{aligned} \label{QXY1} Q(x,y)=-\int\frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}}e^{-ip\cdot(x-y)}\left[\frac{1}{p^{2}}+\frac{4\left[\left(k_{AF}\right)\cdot p\right]^{2}}{p^{6}}+\frac{4\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}}{p^{4}} \right] \ ,\end{aligned}\] وَالعَمَلِ فِي المِقْياسُ حَيْثُ \(\xi=1\)، كَوْنَ \(\left(k_{AF}\right)^{3}\) مُكَوِّن الفيكتور الخَلْفِيِّ عَمُودِيّاً عَلَى اللَوْح. بِاِسْتِبْدال ([defi1]) وَ ([defi2]) فِي ([fgen7])، بِاِسْتِخْدامِ ([prop2]), ([QXY1]) وَحَقِيقَة أَنَّ (أَنْظُر المُلْحَقِ) \[\begin{aligned} \label{intp31} \int \frac{dp^{3}}{2\pi}\frac{e^{i p^{3}(x^{3}-y^{3})}} {p^{2}}&=&-\frac{i}{2\Gamma} e^{i\Gamma\mid x^{3}-y^{3}\mid} \ , \\ \label{intp312} \int \frac{dp^{3}}{2\pi}\frac{e^{i p^{3}(x^{3}-y^{3})}} {p^{4}}&=&-\frac{1}{4 p_{\parallel}^{2}}\left(\frac{i}{\Gamma}+\mid x^{3}-y^{3}\mid\right) e^{i\Gamma\mid x^{3}-y^{3}\mid} \ , \\ \label{intp313} \int \frac{dp^{3}}{2\pi}\frac{e^{i p^{3}(x^{3}-y^{3})}} {p^{6}}&=&\frac{1}{16 p_{\parallel}^{4}}\left[-3\mid x^{3}-y^{3}\mid+\frac{i}{\Gamma}\left(-3+p_{\parallel}^{2}\mid x^{3}-y^{3}\mid^{2}\right)\right]e^{i\Gamma\mid x^{3}-y^{3}\mid} \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ \(p^{3}\) يَعْنِي الزَخِمِ عَمُودِيّاً عَلَى اللَوْح، \(\Gamma=\sqrt{p_{\parallel}^{2}}\)، وَ \(p_{\parallel}^{\mu}=\left(p^{0},p^{1},p^{2}\right)\) هُوَ الزَخِمِ المُوازِي لَلَوَّحَ، مُحَدَّداً المِقْياسُ المُوازِي \[\begin{aligned} \label{etapar} \eta_{\parallel}^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-\eta_{\ 3}^{\mu}\eta^{\nu 3} \ ,\end{aligned}\] نَصِل إِلَى \[\begin{aligned} \label{fgplapar} \begin{eqnarray} {\bar{Z}}\left[J\right]=\int{\cal{D}}B\exp\left[i\int d^{3}x_{\parallel} \ I^{\nu}\left(x_{\parallel}\right)B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)\right] \nonumber\\ \times\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^{3}x_{\parallel} \ d^{3}y_{\parallel} \ B_{\nu}\left(x_{\parallel}\right)W^{\nu\pi}\left(x_{\parallel},y_{\parallel}\right) B_{\pi}\left(y_{\parallel}\right)\right] \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ \[\begin{aligned} W^{\nu\pi}\left(x_{\parallel},y_{\parallel}\right)&=&\frac{i}{2}\int\frac{d^{3}p_{\parallel}}{\left(2\pi\right)^{3}}\frac{e^{-ip_{\parallel}\cdot\left(x_{\parallel}-y_{\parallel}\right)}}{\Gamma}\Biggl\{\eta_{\parallel}^{\pi\nu}\Biggl[p_{\parallel}^{2}-\frac{\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]^{2}}{2p_{\parallel}^{2}}+\frac{3\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}}{2}\Biggr]\nonumber\\ & &+\frac{2\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]}{p_{\parallel}^{2}}\left[p_{\parallel}^{\pi}\left(k_{AF}\right)_{\parallel}^{\nu}+\left(k_{AF}\right)_{\parallel}^{\pi}p_{\parallel}^{\nu}\right]-2\left(k_{AF}\right)_{\parallel}^{\pi}\left(k_{AF}\right)_{\parallel}^{\nu}-i\left(k_{AF}\right)^{3}\epsilon^{\pi\nu\tau 3}p_{\parallel\tau}\Biggr\} \ ,\end{aligned}\] \[\begin{aligned} I^{\nu}\left(x_{\parallel}\right)=\int d^{4}y \ f^{\nu}_{\ \mu}\left(y,x_{\parallel}\right)J^{\mu}\left(y\right) \ ,\end{aligned}\] مَعَ التَعْرِيفِ \[\begin{aligned} f^{\nu}_{\ \mu}\left(y,x_{\parallel}\right)&=&\frac{1}{2}\int\frac{d^{3}p_{\parallel}}{\left(2\pi\right)^{3}} \ e^{-ip_{\parallel}\cdot\left(x_{\parallel}-y_{\parallel}\right)}\Biggl\{\epsilon_{3 \ \ \mu}^{\ \nu\gamma} \ p_{\parallel\gamma}\Biggl[-1+\frac{1}{2}\Biggl(\frac{3\left[i\Gamma\mid y^{3}-a\mid - 1\right]}{p_{\parallel}^{2}}+\mid y^{3} -a\mid^{2}\Biggr)\nonon\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{F8} \left[F_{8}\left(p_{\parallel}\right)\right]_{\mu\nu}&=&-\frac{1}{p_{\parallel}^{2}}\Bigl\{\eta_{\mu 3}\Bigl[p_{\parallel}^{2}\left(k_{AF}^{2}\right)_{\parallel}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]^{2}\Bigr]+\left(k_{AF}\right)^{3}\Bigl[\eta_{\mu 3}\Bigl(p_{\parallel}^{2}\left(k_{AF}\right)_{\parallel\nu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]p_{\_parallel\nu}\Bigr)\nonumber\\ & &+\eta_{\nu 3}\Bigl(p_{\parallel}^{2}\left(k_{AF}\right)_{\parallel\mu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\_parallel}\right]p_{\parallel\mu}\Bigr)\Bigr]+\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Bigl(\eta_{\parallel\mu\nu}p_{\parallel}^{2}-p_{\parallel\mu}p_{\parallel\nu}\Bigr)\Bigr\} \ ,\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \label{F9} \left[F_{9}\left(p_{\parallel}\right)\right]_{\mu\nu}&=&\frac{i}{p_{\parallel}^{2}}\Bigl[\eta_{\mu 3}\Bigl(\left(k_{AF}^{2}\right)_{\parallel}p_{\parallel\nu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\_parallel}\right]\left(k_{AF}\right)_{\parallel\nu}\Bigr)+\left(k_{AF}\right)^{3}\Bigl(\left(k_{AF}\right)_{\parallel\mu}p_{\parallel\nu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\eta_{\parallel\mu\nu}\Bigr)\Bigr] \ ,\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \label{F10} \left[F_{10}\left(p_{\parallel}\right)\right]_{\mu\nu}&=&-\frac{1}{p_{\parallel}^{2}}\Bigl[p_{\parallel\mu}\epsilon_{\nu\alpha\lambda 3}\left(k_{AF}\right)_{\parallel}^{\alpha}p_{\parallel}^{\lambda}+\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\epsilon_{\mu\nu\lambda 3}p_{\parallel}^{\lambda}+i\left(k_{AF}\right)^{3}\Bigl(p_{\parallel\mu}\left(k_{AF}\right)_{\parallel\nu}\nonumber\\ & &-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\eta_{\parallel\mu\nu}\Bigr)\Bigr] \ ,\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \left[F_{8}\left(p_{\parallel}\right)\right]_{\mu\nu}&=&-\frac{i}{p_{\parallel}^{2}} \Bigl[\eta_{\nu 3}\Bigl(\left(k_{AF}^{2}\right)_{\parallel}p_{\parallel\mu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\left(k_{AF}\right)_{\parallel\mu}\Bigr)+\left(k_{AF}\right)^{3}\Bigl(p_{\parallel\mu}\left(k_{AF}\right)_{\parallel\nu}-\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\eta_{\parallel\mu\nu}\Bigr)\Bigr],\end{aligned}\] \[\begin{aligned} \label{F9} \left[F_{9}\left(p_{\parallel}\right)\right]_{\mu\nu}&=&\frac{1}{p_{\parallel}^{2}}\Bigl[-\eta_{\parallel\mu\nu}\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]^{2}-\left(k_{AF}^{2}\right)_{\parallel}p_{\parallel\mu}p_{\parallel\nu}+\left[\left(k_{AF}\right)_{\parallel}\cdot p_{\parallel}\right]\Bigl(p_{\parallel\mu}\left(k_{AF}\right)_{\parallel\nu}+\left(k_{AF}\right)_{\parallel\mu}p_{\parallel\nu}\Bigr)\Bigr] \ .\end{aligned}\] بُعْدَ اِسْتِبْدالِ ([zbarfinal]) وَ ([fgen6]) فِي ([fgen5])، يُصْبِح المُوَلِّدِ الوَظِيفِيِّ فِي وُجُودِ لَوَّحَ مَوْصِل كامِلٍ كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{gfuntotal} {{Z}}_{C}\left[J\right]={{Z}}_{C}\left[0\right]\exp\left[-\frac{i}{2}\int d^{4}x \ d^{4}y \ J^{\mu}\left(x\right)\left({{D}}_{\mu\nu}\left(x,y\right)+{\bar{D}}_{\mu\nu}\left(x,y\right)\right)J^{\nu}\left(y\right)\right] \ .\end{aligned}\] مِن التَعْبِيرِ ([gfuntotal])، يُمْكِننا تَحْدِيدِ مُرَوِّج النَظَرِيَّةِ ([lagEm]) فِي وُجُودِ سَطْحِ مَوْصِل حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي المُتَّجِه الخَلْفِيِّ كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{prototal} {{D}}_{C}^{\mu\nu}\left(x,y\right)={{D}}^{\mu\nu}\left(x,y\right)+{\bar{D}}^{\mu\nu}\left(x,y\right) \ .\end{aligned}\]
يُمْكِننا التَحَقُّقِ مِن تَناسُقَ النَتائِجِ بِأَخْذِ فِي الاِعْتِبارِ أَنَّ حَلٍّ المَجالِ الناتِجِ عَن مَصْدَرٌ خارِجِيٍّ يُعْطَى بِواسِطَةِ \[\begin{aligned} \label{pfield} A^{\beta}(x)=\int d^{4}y \ D_{C}^{\beta\rho}(x,y) J_{\rho}(y) \ .\end{aligned}\] بِاِسْتِبْدال المُعادَلَةَ ([pfield]) فِي ([condition1]) نُعِيد كِتابَةِ شَرْطَ اللَوْح المَوْصِلِ كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{pfield11} \int d^{4}y\left[\epsilon_{3\nu\alpha\beta}\frac{\partial D_{C}^{\beta\rho}(x,y)} {\partial x_{\alpha}}\right]J_{\rho}(y)|_{x^{3}=a}=0\cr\cr \Rightarrow \epsilon_{3\nu\alpha\beta}\frac{\partial D_{C}^{\beta\rho}(x,y)} {\partial x_{\alpha}}\Big|_{x^{3}=a}=0\ .\end{aligned}\] بِاِسْتِبْدال المُعادَلَةَ ([prototal]) فِي ([pfield11]) وَاِسْتِخْدامِ المُعادَلات مِن ([prop2]) إِلَى ([intp313])، وَمِن ([prpoplate2]) إِلَى ([F9])، بُعْدَ بِعَضِّ التَلاعُباتِ، يُمْكِننا التَحَقُّقِ مِن أَنَّ شَرْطَ اللَوْح المَوْصِلِ ([pfield11]) مَرَضِ. نُلاحِظ أَنَّ المُرَوِّج ([prototal]) يَتَكَوَّن مِن مَجْمُوعُ المُرَوِّج الحُرِّ ([prop2]) مَعَ التَصْحِيحِ ([prpoplate2]) الَّذِي يَأْخُذ فِي الاِعْتِبارِ وُجُودِ اللَوْح المَوْصِلِ. فِي الحَدِّ الَّذِي يَتَّجِه فِيهِ \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) نَحْوَ الصِفْرِ، يَتَقَلَّص المُرَوِّج ([prpoplate2]) إِلَى نَفْسِ المُرَوِّج المَوْجُودِ فِي الكهرومغناطيسيه ماكسويل فِي وُجُودِ سَطْحِ مَوْصِل.
بِاِسْتِخْدامِ المُرَوِّج المُحَصِّل عَلَيهِ فِي القِسْمِ السابِقِ، نَنْظُر هُنا فِي طاقَةِ التَفاعُل بَيِّنَ شَحْنَةً نقطيه ثابِتَةٍ وَاللَوْح المَوْصِلِ، وَالَّتِي تُعْطِي بِواسِطَةِ (FABFEB, OliveiraBorgesAFF, FABAAN1, BorgesBarone22, plane1, plane2, LHCBFABplate, LHCBFABplate2, LHCBAFFSM) \[E=\frac{1}{2T}\int d^{4}x\ d^{4}y\ J^{\mu}\left(x\right){\bar{D}}_{\mu\nu}\left(x,y\right)J^{\nu}\left(y\right)\ ,\label{energy}\] حَيْثُ \(T\) هُوَ فَتْرَةٍ زَمَنِيَّةٍ، وَيُفْتَرَض ضِمْنِيّاً الحَدِّ \(T\to\infty\) فِي نِهايَةِ الحِساباتِ.
بِدُونِ فُقْدانِ العُمُومِيَّةِ، نَخْتار شَحْنَةً نقطيه مَوْضُوعَةِ فِي المَوْقِعِ \({\bf b}=\left(0,0,b\right)\)، عَمُودِيّاً عَلَى اللَوْح، كَما هُوَ مُوَضِّح فِي الشَكْلِ. المَصْدَرُ الخارِجِيِّ يَقْرَأ \[J^{\mu}\left(x\right)=q\eta^{\mu0}\delta^{3}\left({\bf x}-{\bf b}\right)\ ,\label{source1}\] حَيْثُ المَعامِلُ \(q\) هُوَ الشَحْنَةِ الكَهْرَبائِيَّةِ.
بِاِسْتِبْدال المُعادَلات ([source1]) وَ ([prpoplate2]) فِي ([energy])، بِاِسْتِخْدامِ التَعْبِيرات ([funcM]), ([F1]), ([F2]),([F3]), ([F4]), ([F5]), ([F6]), ([F7]), ([F8]), ([F9])، وَأَداء التَكامُلات بِالتَرْتِيبِ التالِي: \(d^{3}{\bf x}\), \(d^{3}{\bf y}\), \(dx^{0}\), \(dp^{0}\), \(dy^{0}\) وَإِجْراءِ بِعَضِّ التَلاعُباتِ، نَحْصُل عَلَى \[\begin{aligned} \label{EPC1} E_{PC}&=&-\frac{q^{2}}{16\pi^{2}}\int d^{2}{\bf {p}}_{\parallel}\frac{e^{-2R\sqrt{{\bf {p}}_{\parallel}^{2}}}}{\sqrt{{\bf {p}}_{\parallel}^{2}}}\Biggl\{1-\frac{1}{{\bf{p}}_{\parallel}^{2}}\Biggl(\frac{1}{2}+R\sqrt{{\bf {p}}_{\parallel}^{2}}\Biggr)\Biggl[3\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\nonumber\\ & &-\frac{3\left[\left({\bf{k}}_{AF}\right)_{\parallel}\cdot {\bf{p}}_{\parallel} \right]^{2}}{{\bf{p}}_{\parallel}^{2}}+4\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}\Biggr]-2R^{2}\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Biggr\} \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ \(R=\mid b-a\mid\) هُوَ المَسافَةِ بَيِّنَ اللَوْح وَالشَحْنَة. اللاحِقَةِ \(PC\) تُشِير إِلَى أَنَّ لَدَينا طاقَةِ التَفاعُل بَيِّنَ اللَوْح وَالشَحْنَة. يُمْكِن تَبْسِيطِ هٰذِهِ النَتِيجَةُ بِشَكْلٍ أَكْبَرَ بِاِسْتِخْدامِ الإِحْداثِيّات القُطْبِيَّة وَالتَكامُلِ عَلَى الزاوِيَةِ الصُلْبَةِ، \[\begin{aligned} \label{EPC2} E_{PC}&=&-\frac{q^{2}}{16\pi}\Biggl\{2\Bigl[1-2R^{2}\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Bigr]\int_{0}^{\infty}dp \ e^{-2Rp}-\Bigl[6\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}+5\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}\Bigr]\nonumber\\ & &\times\Biggl(R\int_{0}^{\infty}dp \ \frac{e^{-2Rp}}{p}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}dp \ \frac{e^{-2Rp}}{p^{2}}\Biggr)\Biggr\} \ .\end{aligned}\] التَكامُلِ الأَوَّلِ عَلَى الجانِبِ الأَيْمَن مِن المُعادَلَةَ ([EPC2]) يُعْطَى بِواسِطَةِ \[\label{intEP1} \int_{0}^{\infty}dp \ e^{-2Rp}=\frac{1}{2R} \ .\] وَمَعَ ذٰلِكَ، التَكامُلات المُتَبَقِّيَةُ مُتَباعِدَةً. يُمْكِن تَنْظِيمُها بِإِدْخال مَعامِلِ \(\epsilon\)، كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{contribution12} \int_{0}^{\infty} dp \frac{e^{-2Rp}}{p}&=&\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{\epsilon}^{\infty} dp \frac{e^{-2Rp}}{p}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[Ei\left(1,2R\epsilon\right)\right] \ , \\ \int_{0}^{\infty} dp \frac{e^{-2Rp}}{p^{2}}&=&\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{\epsilon}^{\infty} dp \frac{e^{-2Rp}}{p^{2}}=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left[\frac{e^{-2R\epsilon}}{\epsilon}-2R[Ei\left(1,2R\epsilon\right)\right] \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ \(Ei\left(n, s\right)\) هِيَ دالَّةٍ التَكامُلِ الأَسَى (Arfken)، المَعْرِفَةِ بِواسِطَةِ \[\label{Ei} Ei\left(n, s\right)=\int^{\infty}_{1}\frac{e^{-ts}}{t^{n}}dt \ \ \ {\Re}\left(s\right)>0 \ , \ n = 0, 1, 2, \cdots \ .\]
وَبِالتالِي، تَقْرَأ طاقَةِ التَفاعُل، \[\begin{aligned} \label{EPC3} E_{PC}&=&-\frac{q^{2}}{16\pi}\Bigg\{\frac{1}{R}\Bigl[1-2R^{2}\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Bigr]-\Bigl[6\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}+5\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}\Bigr]\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\left(\frac{e^{-2R\epsilon}}{2\epsilon}\right)\Biggr\} \ .\end{aligned}\] بِاِسْتِخْدامِ حَقِيقَةِ أَنَّ \[\begin{aligned} \label{aprox1} \frac{e^{-2R\epsilon}}{2\epsilon}\cong \frac{1}{2\epsilon}-R+{\cal{O}}\left(\epsilon\right) \ ,\end{aligned}\] نَصِل إِلَى \[\begin{aligned} \label{EPC4} E_{PC}&=&-\frac{q^{2}}{16\pi}\Bigg\{\frac{1}{R}\Bigl[1-2R^{2}\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Bigr]-\Bigl[6\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}+5\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}\Bigr]\left(-R+\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\epsilon}\right)\Biggr\} \ .\end{aligned}\] الآنَ، فِي المُعادَلَةَ ([EPC4])، يُمْكِننا تَجاهُلُ الحَدِّ المُتَباعِد الَّذِي لا يَعْتَمِد عَلَى المَسافَةِ \(R\)، حَيْثُ لا يُساهِم فِي قُوَّةٍ التَفاعُل بَيِّنَ الشَحْنَةِ وَاللَوْح المَوْصِلِ. وَبِالتالِي، نَحْصُل عَلَى \[\begin{aligned} \label{EPC5} E_{PC}&=&-\frac{q^{2}}{16\pi}\Biggl[\frac{1}{R}+R\Bigl(5\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}+4\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Bigr)\Biggr] \ .\end{aligned}\] المُعادَلَةَ ([EPC5]) هِيَ نَتِيجَةَ تَقْرِيبِيّه حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي المُتَّجِه الخَلْفِيِّ لَطاقَة التَفاعُل بَيِّنَ شَحْنَةً نقطيه وَمَرّاهُ مِثالِيَّةٍ وَسِيطه بِواسِطَةِ النَمُوذَجِ ([lagEm]). الحَدِّ الأَوَّلِ عَلَى الجانِبِ الأَيْمَن يُعِيد إِنْتاجِ النَتِيجَةُ المُحَصِّلَةُ فِي الديناميكا الكَهْرَبائِيَّةِ الماكسويليه القِياسِيَّةِ، بَيْنَما الإِسْهامات المُتَبَقِّيَةُ هِيَ تَصْحِيحات بِسَبَبِ كَسْرِ تَناظَرَ لورنتز.
مِن المُعادَلَةَ ([EPC5]) نَحْصُل عَلَى قُوَّةٍ التَفاعُل بَيِّنَ اللَوْح المَوْصِلِ وَالشَحْنَة \[\begin{aligned} \label{FPC1} F_{PC}=-\frac{\partial E_{PC} }{\partial R}=\frac{q^{2}}{16\pi}\Biggl[-\frac{1}{R^{2}}+5\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}+4\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Biggr] \ .\end{aligned}\] فِي الإِسْهامِ الأَوَّلِ، لَدَينا التَفاعُل الكُولُومْبِيُّ المُعْتادُ بَيِّنَ الشَحْنَةِ \(q\) وَصُورَتها، المَوْضُوعَةِ عَلَى مَسافَةِ \(2R\) مُتَباعِدَةً. الحُدُودِ الثانِي وَالثالِثُ هِيَ تَصْحِيحات فَرَضَت بِواسِطَةِ المَعامِلُ المُخالِفُ للورنتز حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ.
فِي المُعادَلَةَ (10) مِن المَرْجِعِ (CL1) لَدَينا طاقَةِ التَفاعُل بَيِّنَ شَحْنَتَيْنِ نقطيتين ثابِتَتَيْنِ لِلنَمُوذَج ([lagEm]) حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\). مِن هٰذا التَعْبِيرِ، يُمْكِننا الحُصُولِ عَلَى قُوَّةٍ التَفاعُل لِلحالَةِ الخاصَّةِ حَيْثُ لَدَينا شَحْنَتَيْنِ مُتَقابِلَتَيْنِ، \(q_{1}=q\) وَ\(q_{2}=-q\) مَوْضُوعَتَيْنِ عَلَى مَسافَةِ \(2R\) مُتَباعِدَةً.
فِي هٰذا الإِعْدادُ، نَحْصُل عَلَى أَنَّ \[\begin{aligned} \label{FCC1} F_{CC}=\frac{q^{2}}{16\pi}\Biggl[-\frac{1}{R^{2}}+6\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}+4\left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}\Biggr] \ ,\end{aligned}\] حَيْثُ يَعْنِي المُؤَشِّرُ الفَرْعِيِّ \(CC\) أَنَّ لَدَينا التَفاعُل بَيِّنَ شَحْنَتَيْنِ نقطيتين.
أَوَّلاً، عِنْدَ النَظَرِ فِي مُتَّجِه الخَلْفِيَّةِ بِدُونِ مُكَوِّناتِ مَكانَيْهِ مَعْدُومَةً مُوازِيَةٍ لِلمَرْأَة، نُلاحِظ أَنَّ المُعادَلَةَ ([FPC1]) تَخْتَلِف عَن المُعادَلَةَ ([FCC1]). وَبِالتالِي، فَإِنَّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ غَيْرِ صالِحَةٌ لِقِطاعِ القِياس الغَرِيب لِلنَمُوذَج الأَدْنَى لِتَعْدِيلِ اللورنتز حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\) لَشَرْط اللَوْحَةُ المُوَصِّلَة ([condition1]). بِالمُقابِلِ، تَظَلّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ صالِحَةٌ لِقِطاعِ القِياس المُتَساوِي لِلنَمُوذَج الأَدْنَى لِتَعْدِيلِ اللورنتز (LHCBFABplate). وَمَعَ ذٰلِكَ، بِالنِسْبَةِ لِلنَمُوذَج غَيْرِ الأَدْنَى لَاِنْتَهاكَ اللورنتز المُعْتَبَر فِي المَرْجِعِ (LHCBFABplate2)، فَإِنَّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ غَيْرِ صالِحَةٌ.
الآنَ، عِنْدَ النَظَرِ فِي إِعْدادِ حَيْثُ يَحْتَوِي مُتَّجِه الخَلْفِيَّةِ فَقَط عَلَى المُكَوَّنِ العَمُودِيّ عَلَى المِرْآَةُ، أَيّ \({\bf{k}}_{AF}=\left(0, 0, \left(k_{AF}\right)^{3}\right)\)، تُصْبِح التَعْبِيرات ([FPC1]) وَ([FCC1]) مُتَساوِيَةً مَعَ بِعَضُّها البَعْضُ. وَبِالتالِي، فَإِنَّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ صالِحَةٌ لِلنَمُوذَج ([lagEm]) لَشَرْط اللَوْحَةُ المُوَصِّلَة ([condition1]).
عِنْدَما نُثْبِت المَسافَةِ بَيِّنَ الشَحْنَةِ وَالمَرْأَة، مِن المُعادَلَةَ ([EPC5])، يُمْكِننا الحُصُولِ عَلَى عَزْمِ عَلَى هٰذا النِظامِ الفِيزيائِيّ. مِن أَجْلِ حِسابِ هٰذا العَزْمِ، نَعْرِف بِأَنَّ \(0\leq \alpha\leq \pi\) هُوَ الزاوِيَةِ بَيِّنَ العَمُودِيّ عَلَى المِرْآَةُ وَمُتَّجِه الخَلْفِيَّةِ \({\bf{k}}_{AF}\)، بِحَيْثُ يَكُون \(\left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)_{\parallel}={\bf{k}}_{AF}^{2}\sin^{2}\left(\alpha\right) \ , \ \left[\left(k_{AF}\right)^{3}\right]^{2}={\bf{k}}_{AF}^{2}\cos^{2}\left(\alpha\right)\). وَبِالتالِي، يُصْبِح التَعْبِيرِ ([EPC5]) \[\begin{aligned} \label{EPC6} E_{PC}\left(\alpha\right)&=&-\frac{q^{2}}{16\pi}\Biggl[\frac{1}{R}+ \left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)R\Bigl(4+\sin^{2}\left(\alpha\right)\Bigr)\Biggr] \ ,\end{aligned}\] وَيُمْكِن الحُصُولِ عَلَى العَزْمِ كَما يَلِي \[\begin{aligned} \label{tor} \tau_{PC}=-\frac{\partial E_{PC}\left(\alpha\right)}{\partial\alpha}=\frac{q^{2}}{16\pi} \left({\bf{k}}_{AF}^{2}\right)R\sin\left(2\alpha\right) \ .\end{aligned}\] العَزْمِ ([tor]) لا يَحْدُث فِي الكهرومغناطيسيه العادِيَّةِ لماكسويل، مِمّا يَجْعَله تَأْثِيراً حَصْرِيّا لَاِنْتَهاكَ اللورنتز حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي مُتَّجِه الخَلْفِيَّةِ. إِذا كانَ \(\mid{\bf{k}}_{AF}\mid=0\) أَو \(\alpha=0, \pi/2, \pi\) فَإِنَّ هٰذا التَأْثِيرِ غائِب، وَلِأَجْل \(\alpha = \pi/4\) يَصِل العَزْمِ إِلَى أَقْصَى شِدَّةٍ. تَمَّ الحُصُولِ عَلَى تَأْثِيرِ مُماثِلٍ فِي المَرْجِعِ (LHCBFABplate) لِقِطاعِ القِياس المُتَساوِي لِلنَمُوذَج الأَدْنَى لِتَعْدِيلِ اللورنتز، وَكَذٰلِكَ فِي المَرْجِعِ (LHCBFABplate2) لَسِينارِيو النَمُوذَجِ غَيْرِ الأَدْنَى.
مَعامِلِ اِنْتِهاكِ اللورنتز مُقَيَّد بِشِدَّةٍ مِن بَياناتٍ الاِخْتِبارُ الفَلَكِيَّة لِيَكُون مِن الرُتْبَة \(\mid{\bf{k}}_{AF}\mid\sim 10^{-42}\) جِيَف (CFJ1). دَعُونا نَسْتَخْدِم هٰذا الحَدِّ الأَعْلَى لِلحُصُولِ عَلَى تَقْدِيرٍ لَرُتَبه الحَجْمِ لِلعَزْم ([tor]). بِاِسْتِخْدامِ المَسافَةِ النَمُوذَجِيَّةِ لِلتَجارِبِ الذَرِّيَّةِ بِالقُرْبِ مِن المُوَصِّلات، وَالَّتِي تَكُون عَلَى رُتْبَةِ \(R\sim 10^{-6}\) م، وَالشَحْنَة الإِلِكْترُونِيَّةِ الأَساسِيَّةِ \(q\sim 1.60217\times 10^{-19}\) ك، نَحْصُل عَلَى \(\tau_{PC}\sim 10^{-89}\) نِيُوتُن مِتْرٍ. وَمَعَ ذٰلِكَ، فَإِنَّ حَجْمِ التَأْثِيرِ المُحَصِّل حالِيّاً خارِجَ نِطاقِ التِكْنُولُوجِيا المُتاحَةِ لِلقِياس.
فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ، قُمْنا بِدِراسَةِ بِعَضِّ جَوانِبَ قِطاعِ القِياس المُخْتَلِفِ للزمكان فِي مُحِيطِ لَوْحَةً مَوْصِله تَماماً (مَرّاهُ مِثالِيَّةٍ) وَحَصَلْنا عَلَى نَتائِجِ تَقْرِيبِيّه حَتَّى الرُتْبَة الثانِيَةِ فِي المُتَّجِه الخَلْفِيِّ. لَقَد حَسَبنا المُرَوِّج المُعَدَّلِ لِحَقْلٍ القِياس بِسَبَبِ وُجُودِ المِرْآَةُ وَحَسْبُنا طاقَةِ التَفاعُل، فَضْلاً عَن قُوَّةٍ التَفاعُل، بَيِّنَ المِرْآَةُ وَشَحْنَة نقطيه ثابِتَةٍ.
لَقَد أَظْهَرَنا أَنَّهُ عِنْدَما تُوضَع الشَحْنَةِ فِي مُحِيطِ المِرْآَةُ، يَنْشَأ عَزْمِ دَوَران تِلْقائِيّ فِي هٰذا النِظامِ الفِيزيائِيّ بِسَبَبِ تَوَجَّهَ المِرْآَةُ بِالنِسْبَةِ لِلمُتَّجِه الخَلْفِيِّ. خَلَصْنا إِلَى أَنَّ هٰذا العَزْمِ، فِي الوَقْتِ الحالِيَّ، يَتَجاوَز قُدْرَةِ القِياسات الحالِيَّةِ. وَمَعَ ذٰلِكَ، يُمْكِن أَنَّ يَكُون هٰذا التَأْثِيرِ ذا صِلَةٍ فِي السِياقِ النَظَرِيّ حَيْثُ لا يُوجَد لَهُ نَظِيرَ فِي الكهرومغناطيسيه العادِيَّةِ لماكسويل. حَتَّى فِي النِطاقِ التَجْرِيبِيُّ، رُبَّما فِي المُسْتَقْبَلِ، يُمْكِن أَنَّ يَكُون لِهٰذا التَأْثِيرِ بِعَضِّ الأَهَمِّيَّةِ فِي سِياقِ الكهروديناميكا الكموميه فِي وُجُودِ وَسائِطَ مادِّيَّةٍ. عِلاوَةً عَلَى ذٰلِكَ، فَإِنَّ النَتائِجِ الَّتِي تَمَّ الحُصُولِ عَلَيها فِي هٰذِهِ الوَرَقَةَ هِيَ مِيزاتِ جَدِيدَةٍ بِالنِسْبَةِ للكهرومغناطيسيه CFJ.
كَما أَظْهَرَنا أَنَّ طَرِيقَةِ الصُورَةِ للكهرومغناطيسيه CFJ صالِحَةٌ فَقَط فِي الإِعْدادُ حَيْثُ يَكُون لِلمُتَّجِه الخَلْفِيِّ مُكَوِّن واحِدٍ فَقَط عَمُودَيَّ عَلَى المِرْآَةُ.
فِي هٰذا المُلْحَقِ، نُقَدِّم بِعَضِّ التَفاصِيلِ حَوْلَ حِسابِ التَكامُلات ([intp31])، ([intp312])، وَ ([intp313]). لِهٰذِهِ المُهِمَّةِ، نَسْتَخْدِم الوَصْفَةِ المَعْرُوفَةِ \(i\varepsilon\)-لِتَحْوِيلِ الأَقْطابِ بَعِيداً عَن المِحْوَرُ الحَقِيقِيِّ فِي المُسْتَوَى المَرْكَبِ لِ\(p^{3}\). يُمْكِننا كِتابَةِ \[\int\frac{dp^{3}}{\left( 2\pi\right) }\frac{e^{ip^{3}(x^{3}-y^{3})}}{p^{2}% }=-\int\frac{dp^{3}}{\left( 2\pi\right) }\frac{e^{ip^{3}\left( x^{3}% -y^{3}\right) }}{\left( p^{3}\right) ^{2}-\Gamma^{2}-i\varepsilon}\ ,\] مَعَ الاِفْتِراضُ الضِمْنِيُّ أَنَّ \(\varepsilon\rightarrow0\). لِ\(x^{3}% -y^{3}>0\)، نُغْلَق مُحِيطِ التَكامُلِ (نِصْفِ دائِرَةِ لا نِهائِيَّةٍ) فِي النِصْفِ العَلَوِيّ، مُحْتَوَيا عَلَى القُطْبُ البَسِيطِ عِنْدَ \(\Gamma+i\varepsilon\). لِ\(x^{3}-y^{3}<0\)، نَخْتار مُحِيطِ التَكامُلِ فِي النِصْفِ السُفْلِيِّ، مُحْتَوَيا عَلَى القُطْبُ البَسِيطِ عِنْدَ \(-\Gamma-i\varepsilon\). بِحِساب مُتَبَقِّي المُتَكامِل عِنْدَ هٰذِهِ الأَقْطابِ وَأَضافَهُ هٰذِهِ المُساهَماتِ بِاِسْتِخْدامِ نَظَرِيَّةَ المُتَبَقِّي، نَحْصُل عَلَى النَتِيجَةُ ([intp31]).
لِلتَكامُلات ([intp312]) وَ ([intp313])، يَتْبَع نَفْسِ الإِجْراءَ. الاِخْتِلافِ الوَحِيدُ هُوَ أَنَّ هٰذِهِ التَكامُلات لَها أَقْطابُ مُزْدَوِجَةٌ وَثُلاثِيّه عَلَى التَوالِي، مِمّا يُؤَثِّر عَلَى حِسابِ المُتَبَقِّيات.
لا تُوجَد بَياناتٍ مُرْتَبِطَةً فِي المَخْطُوطَة.
تَضارُبٍ المَصالِحِ يُعْلِن المُؤَلِّفُونَ عَدَمِ وُجُودِ تَضارُبٍ فِي المَصالِحِ.