ملخّص

يستقصي هذا العمل جوانبَ من قطاع الفوتون غير الزوجي تحت CPT في التوسيع القياسي الأدنى (SME) عند وجود لوحٍ مُوصِلٍ مثاليٍّ (مرآة مثاليّة). يُعتمد فيه الوصف على كهروديناميكا كارول–فيلد–جاكيو (CFJ)، حيث ينشأ كسرُ تماثُل لورنتز من مُتجهٍ خَلْفيٍّ وحيد \(\left(k_{AF}\right)^{\mu}\)، ونتعامل معه تقريبيّاً حتى الرتبة الثانية. على وجه التحديد، نشتقّ المُرَوِّج المُعَدَّل لحقل الكهرومغناطيسيّة بسبَب المرآة، ونفحص التفاعل بين المرآة وشُحنةٍ نقطيّةٍ ساكنة. تكشف النتائج أنّه عند وضع الشحنة قرب المرآة يتولَّد عزمٌ تلقائيّ، وهو أثر فريد ناجم عن كسر تماثُل لورنتز. كما نُبيِّن صلاحيّة طريقة الصورة في هذه النظريّة عندما يكون المُتجه الخَلْفي موازياً للعموديّ على اللوح.

مقدمة

في السنوات الأخيرة، حظيت نظريّات كسر تماثُل لورنتز باهتمام واسع باعتبارها نافذةً لاكتشاف فيزياء ما وراء النموذج القياسي عند مِقياس بلانك. وقد أُنجِز معظمُ الدراسات ضمن إطار التوسيع القياسي الأدنى (SME). يضمّ القطاع الكهرومغناطيسي لـSME قسمين: قسمٌ غير زوجيّ تحت CPT وقسمٌ زوجيّ تحت CPT.

يُوصَف القسم غير الزوجي بواسطة لاغرانجيان كارول–فيلد–جاكيو (CFJ) الذي يُضيف إلى لاغرانجيان ماكسويل المصطلح \(\sim \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(k_{AF})_{\mu}A_{\nu}F_{\alpha\beta}\)، حيث \((k_{AF})^{\mu}\) مُتجه خَلْفيّ ثابت مسؤول عن الكسر. وقد دُرِست آثار هذا المصطلح في جوانب الكهروديناميكا الكلاسيكيّة (CL1–CL5)، والتصحيحات الإشعاعيّة (R1–R5)، والكهروديناميكا الكموميّة (QED1–QED2)، والعيوب الطوبولوجيّة (TP1–TP2)، وغيرها.

أمّا القسم الزوجي فيُدرَج فيه المصطلح \(\sim (K_{F})^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\)، حيث يحتوي المُوَتَّر \(K_F\) على 19 معاملاً مستقلاً، عشرةٌ منها تُسبِّب ثنائيّةَ الانكسار، وتسعة لا تُسبِّبها (Ce0). وقد عُرضت بعض نتائج هذا القسم في (Ce1…Ce13).

إنّ ديناميّات الحقل الكمّي تحت شروطٍ حدِّيّةٍ غير اعتياديّة لها تطبيقات كثيرة، من بينها نماذج تستخدم مُقاربَ دلتا ديراك \(\delta\) لوصف حدود المُوصِلات (FABFEB…FABFEB2)، والكهروديناميكا لي–ويك (FABAAN1, LW1–LW3, BorgesBarone22)، ودراسات النماذج المُستويّة (plane1–plane2).

وبالنظر إلى أنّ الترتيبات الكهرومغناطيسيّة العمليّة تُحاط غالباً بمُوصِلات، فمن المهمّ احتساب أثر هذه المُجاوَرة ضمن نماذج كسر تماثُل لورنتز. وقد أُجرِيَت دراسات كثيرة حول طاقة كازيمير (CSE1–CSE20)، كما استُقصِيت آثار مرآةٍ كاملة في SME وغير SME (LHCBFABplate, LHCBFABplate2)، إضافةً إلى مرآةٍ شبه شفّافة (LHCBAFFFAB, LHCBAFFSM).

مع ذلك، لم يُستكشَف بعدُ دورُ القسم غير الزوجي تحت CPT عند وجود لوحٍ مُوصِلٍ مثالي، وهو ما نعالجه هنا. نركّز على نموذج CFJ ونفترض أنّ المُكوِّن الخَلْفي صغيرٌ جدّاً، لذا نعتمد التقريب حتى الرتبة الثانية. في القسم [II] نشتقّ المُروِّج في وجود اللوح، وفي القسم [III] نحسب طاقةَ وقوّةَ التفاعل بين الشحنة والمرآة، مُكتشفين تولُّدَ عزمٍ تلقائيّ لا يظهر في كهروديناميكا ماكسويل التقليديّة مع مرآةٍ مثاليّة. وأخيراً، في القسم [IV] نعرض الاستنتاجات.

نعمل في فضاء–زمن مينكوفسكي (3+1) بتوقيع \(\eta^{\rho\nu}=(1,-1,-1,-1)\).

المُروِّج في وجود شروطٍ حدِّيّة مادِّية

نموذج CFJ هو جزء من القسم غير الزوجي تحت CPT في التوسيع القياسي الأدنى، وتُعطى كثافةُ لاغرانجيانه (SME3, CFJ1) بـ\[ {\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2\gamma}\left(\partial_{\mu}A^{\mu}\right)^{2}+\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(k_{AF})_{\mu}A_{\nu}F_{\alpha\beta}-J^{\mu}A_{\mu}\ . \] هنا \(A^{\mu}\) هو حقل الفوتون، و\(F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\)، و\(J^{\mu}\) مصدرٌ كهرومغناطيسيّ، و\(\gamma\) معاملُ تثبيتِ المقياس. المُتجه الخَلْفي \((k_{AF})^{\mu}\) يمثّل كسرَ لورنتز بأبعاد الكتلة، ونعمل على توسُّعٍ تقريبيّ حتى الرتبة الثانية.

يمكن إعادةُ كتابة النموذج أعلاه على الصورة: \[ {\cal L} = \frac{1}{2}A_{\mu}{\cal{O}}^{\mu\nu}A_{\nu}-J^{\mu}A_{\mu}\ , \] حيث \[ {\cal{O}}_{\mu\nu} =\Box\,\eta_{\mu\nu}-\left(1-\frac{1}{\gamma}\right)\partial_{\mu}\partial_{\nu}-2\,\epsilon_{\mu\nu\rho\alpha}(k_{AF})^{\rho}\partial^{\alpha}\ . \] المُروِّج \(D^{\mu\nu}(x,y)\) يحلّ المعادلة \[ {\cal{O}}_{\mu\nu}D^{\nu}{}_{\lambda}(x,y)=\eta_{\mu\lambda}\,\delta^{4}(x-y)\ . \]

باختيار مقياس فينمان \(\gamma=1\)، يمكن حلّ المعادلة أعلاه تقريبيّاً للمُروِّج حتى الرتبة الثانية في \((k_{AF})^{\mu}\) (CL1):